最新人教版高中数学必修1第三章《几类不同增长的函数模型》1

3.2 函数模型及其应用3.2.1 几类不同增长的函数模型问题导学一、一次函数、二次函数或幂函数模型活动与探究1有甲、乙两种商品，经销这两种商品所能获得的利润依次是p 万元和q 万元，它们与投入的资金x 万元的关系有经验公式：p ＝110x ，q ＝25x .现有资金9万元投入经销甲、乙两种商品，为了获取最大利润，问：对甲、乙两种商品的资金分别投入多少万元能获取最大利润？迁移与应用1．下列函数中，随着x 的增大，增长速度最快的是( )A ．y ＝x 5＋10B ．y ＝100x 3C ．y ＝ln(x ＋1)D ．y ＝0.5e x －22．某文具店出售软皮本和铅笔，软皮本每本2元，铅笔每支0.5元．该店推出两种优惠办法：(1)买一本软皮本赠送一支铅笔；(2)按总价的92%付款．现要买软皮本4本，铅笔若干支(不少于4支)，若购买铅笔x 支，支付款为y元，试分别建立两种优惠办法中y 与x 之间的函数关系式，并说明使用哪种优惠办法更合算？(1)用函数模型解实际问题较为容易，一般情况下可以用“问什么，设什么，列什么”这一方法来处理．(2)对于给出图象的关于一次函数或二次函数或幂函数的应用题，可以先利用函数的图象用待定系数法求出解析式，再反过来，用函数解析式来解决问题，最后再翻译成具体问题作出解答．二、指数函数模型活动与探究2有一种储蓄按复利计算利息，本金为a 元，每期利率为r ，设本利和为y ，存期为x ，写出本利和y 随存期x 变化的函数式．如果存入本金1 000元，每期利率2.25%，试计算5期后的本利和是多少(精确到0.01元)?迁移与应用1．已知大气压p (百帕)与海拔高度h (米)的关系式为p ＝1 000·30007100h ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则海拔6 000米处的大气压为______．2．某个病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且已知病毒的繁殖规律为y ＝e kt (其中k 为常数，t 表示时间，单位：小时，y 表示病毒个数)，则k ＝______，经过5个小时，1个病毒能繁殖为______个．在实际问题中，指数函数模型如增长率问题、复利计算问题等较为常见，通过归纳法确定函数关系是解决此类问题常用的方法．三、对数函数模型活动与探究3已知火箭的起飞重量M 是箭体(包括搭载的飞行器)的重量m 和燃料重量x 之和．在不考虑空气阻力的条件下，假设火箭的最大速度y 关于x 的函数关系式为：y ＝k [ln(m ＋x )－ln(2m )]＋4ln2(其中k ≠0)．当燃料重量为(e －1)m 吨(e 为自然对数的底数，e ≈2.72)时，该火箭的最大速度为4 km/s.(1)求火箭的最大速度y (km/s)与燃料重量x 吨之间的函数关系式y ＝f (x )；(2)已知该火箭的起飞重量是544吨，则应装载多少吨燃料才能使该火箭的最大飞行速度达到8 km/s ，顺利地把飞船发送到预定的轨道？迁移与应用1．里氏震级M的计算公式为：M＝lg A－lg A0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为__________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的__________倍．2．燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁的燕子的飞行速度可以表示为函数v＝5log2Q10，单位是m/s，其中Q表示燕子的耗氧量．(1)计算：燕子静止时的耗氧量是多少单位？(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？直接以对数函数为模型的应用问题不是很多．此类问题一般是先给出对数函数模型，利用对数运算性质求解．当堂检测1．某公司市场营销部的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图象如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售时的收入是()A．310元B．300元C．290元D．280元2．某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y＝a log2(x＋1)，设这种动物第一年有100只，到第7年它们发展到()A．300只B．400只C．500只D．600只3．1992年底世界人口数达到54.8亿，若人口的年平均增长率为x%，设2012年底世界人口数为y(亿)，那么y与x的函数解析式为()A．y＝54.8(1＋x%)20B．y＝54.8(1＋x%)21C．y＝54.8(x%)20D．y＝54.8(x%)214．某汽车在同一时间内速度v(km/h)与耗油量Q(L)之间有近似的函数关系：Q＝0.002 5v2－0.4v＋24.5，则车速为__________km/h时，汽车的耗油量最少．5．某种细菌在培养过程中，每15分钟分裂一次，由一个分裂成两个，这种细菌由一个分裂成4 096个需要经过的时间为______．答案：课前预习导学【预习导引】1．上升上升上升2．(1)增函数增长速度(2)越来越快越来越慢(3)log a x＜x n＜a x预习交流 提示：在区间(0，＋∞)上，有x 2＞log 2x .又当x ＞4时，总有2x ＞x 2，∴x 0的最小值为4.课堂合作探究【问题导学】活动与探究1 思路分析：先设投入两种商品的资金额，列出所获得的总利润，通过求函数最值解答问题．解：设对乙商品投入x 万元，则对甲商品投入9－x 万元．设利润为y 万元，x ∈[0,9]．∴y ＝110(9－x )＋25x ＝110(－x ＋4x ＋9) ＝110[－(x －2)2＋13]，∴当x ＝2， 即x ＝4时，y ma x ＝1.3.所以，投入甲商品5万元，乙商品4万元时，能获得最大利润1.3万元．迁移与应用 1．D2．解：由优惠办法(1)得到的函数关系式为y ＝0.5x ＋6(x ≥4且x ∈N )，由优惠办法(2)得到的函数关系式为y ＝0.46x ＋7.36(x ≥4且x ∈N )．由0.5x ＋6＜0.46x ＋7.36，得x ＜34.所以，当购买铅笔数少于34支(不少于4支)时，优惠办法(1)合算；当购买铅笔数多于34支时，优惠办法(2)合算；当购买铅笔数是34支时，两种优惠办法一样．活动与探究2 解：已知本金为a 元：1期后的本利和为y 1＝a ＋a ×r ＝a (1＋r )；2期后的本利和为y 2＝a (1＋r )＋a (1＋r )r ＝a (1＋r )2；3期后的本利和为y 3＝a (1＋r )3；……x 期后的本利和为y ＝a (1＋r )x .将a ＝1 000(元)，r ＝2.25%，x ＝5代入上式，得y ＝1 000×(1＋2.25%)5＝1 000×1.022 55. 由计算器算得y ≈1 117.68(元)．所以复利函数式为y ＝a (1＋r )x,5期后的本利和约为1 117.68元．迁移与应用 1．4.9百帕2．2ln 2 1 024 解析：t ＝12时，y ＝2， ∴2＝12e k ，即e k ＝4，∴k ＝ln 4＝2ln 2，y ＝4t .∴当t ＝5时，y ＝45＝1 024.活动与探究3 思路分析：根据所给条件求出k 即得函数式；把m ＋x ＝544与y ＝8代入函数式解方程即得x .解：(1)依题意把x ＝(e －1)m ，y ＝4代入函数关系式y ＝k [ln(m ＋x )－ln(2m )]＋4ln2，解得k ＝8，所以所求的函数关系式为y ＝8[ln(m ＋x )－ln(2m )]＋4ln2，整理得y ＝ln ⎝⎛⎭⎫m ＋x m 8.(2)设应装载x 吨燃料方能满足题意，此时，m ＝544－x ，y ＝8，代入函数关系式y ＝ln ⎝⎛⎭⎫m ＋x m 8得ln 544544－x＝1，解得x ≈344. 即应装载344吨燃料方能顺利地把飞船发送到预定的轨道．迁移与应用 1．6 10 000 解析：由lg 1 000－lg 0.001＝6，得此次地震的震级为6级．因为标准地震的振幅为0.001，设9级地震最大振幅为A 9，则lg A 9－lg 0.001＝9，解得A 9＝106，同理5级地震最大振幅A 5＝102，所以9级地震的最大振幅是5级地震的10 000倍．2．解：(1)由题意知，当燕子静止时，它的速度v ＝0，代入所给的公式可得：0＝5log 2Q 10，解得Q ＝10.即燕子静止时的耗氧量是10个单位．(2)将耗氧量Q ＝80代入所给的公式得：v ＝5log 28010＝5log 28＝15(m/s)． 即当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度为15 m/s.【当堂检测】1．B 解析：由射线经过点(1,800)，(2,1 300)得其解析式为y ＝500x ＋300(x ≥0)，∴当x ＝0时，y ＝300.2．A 解析：由题意得，x ＝1时，y ＝100，即100＝a log 2(1＋1)，∴a ＝100，∴y ＝100log 2(x ＋1)．∴当x ＝7时，y ＝300.3．A 解析：1993年底，人口数为54.8(1＋x %)；1994年底，人口数为54.8(1＋x %)2；1995年底，人口数为54.8(1＋x %)3；……∴到2012年底，人口数为54.8(1＋x %)20.4．80 解析：Q ＝0.002 5v 2－0.4v ＋24.5＝0.002 5(v －80)2＋8.5，所以当v ＝80 km/h 时，Q min ＝8.5(L)．5．3小时 解析：设经过x 个15分钟，该种细菌由一个分裂为4 096个，则2x ＝4 096，x ＝12.所以共需12×1560＝3(小时)．。