现 代 控 制 理 论第4章修改完成

2 2 2 x1 x2


2
显然 V (x) 是负定的。 2 又由于‖X‖→∞时， V X x12 x2 因此系统在原点处的平衡状态是在大范围内渐近稳定的。
［定理二］ 系统状态方程：X f X , t ，且f(0,t)=0。 如果有一纯量函数V(X)，它具有连续的一阶偏导数，且满足： 1．V(X,t) 是正定的； 2． V x, t 是负半定的。 3．V x, t 在X≠0时不恒等于0 则系统在原点处的平衡状态是在大范围内渐近稳定的。
因此由定理二，原点处的平衡状态是在大范围内渐近稳定的。
对该例，可另取：
V X

1 2
x
1
x2

2
2 2 2 x1 x2


(正定)
2 2 V X x1 x2 x1 x2 2 x1 x1 x2 x2 x1 x2
⑤
⑥
大范围渐近稳定的必要条件是在整个状态空间中，只有一个 平衡状态。 如果线性定常系统是渐近稳定的，由于其有唯一解，因此它 必定也是大范围渐近稳定的。
当t→∞ 时，在球域Ｓ(δ )的某个状态Ｘ0出发的轨迹最终 超越球域Ｓ(ε )，则称平衡状态Ｘe为不稳定的。(图c)
⑦
⑧
3.
纯量函数号性
广义能量函数 V x 通常是一个二次型纯量函数。 当且仅当Ｘ＝0时，有V x ＝0,对任意非零Ｘ，恒有 V x >0则 称V(x)为正定。 当Ｘ＝0时，有 V x ＝0；对任意非零X ，有 V x ≥0，则称 V x 为正半定(或称准正定)。 当且仅当X＝0时，有 V x ＝0；对任意非零X，恒有 V x <0， 负定。
若P是奇异矩阵，并且它的所有主子行列式为非负，则 V X X T PX 为正半定的。
二次型V(x)为负定的充分必要条件是矩阵P的所有主子行列式满 足： Δ i <0 (i为奇数)； Δ i >0 (i为偶数) (i=1,2,„,n)
5.
李雅普诺夫函数——广义能量函数的物理意义
图示系统，质量M，弹簧刚度K，阻尼系数B，系统相对于平衡状 态的位移为y,速度 y 取状态变量x1＝y, x2 x1 y ,则有：
2.
李雅普诺夫意义下的稳定性
①
系统的平衡状态为Ｘe，f(Xe,t)=0,在t=t0时，有扰动使系统 的初态为Ｘ0,产生初始偏差Ｘ0-Xe,则t≥t0 后,系统的状态 从Ｘ0开始发生变化。 Ｅuclid范数： 表示初始偏差都在以δ 为半径，以平衡状态Ｘe为中心的闭 X 球域S(δ )中，同样， X e 表示平衡状态偏差都在以ε 为半径，以平衡状态Xe为中心的闭球域S(ε )中。
若 B＝0,则 V X 0 ，无能量损失，当初始位置偏离平衡位 置足够小时，系统将在平衡点足够小的范围内作谐振,系统相对 于平衡位置是稳定的(尽管是不断作谐振)。
若B ≠0,即B>0。此时，系统沿着其运动轨迹有 Vx , x 0 ， 阻尼器不断消耗系统能量，总能量V(x)不断减小，直至为零，物 体趋向平衡位置，系统是渐近稳定的。

2 2 x2 x1 x2 x1 x2



试确定系统的稳定性 解： 显然，原点(0,0)为系统唯一的一个平衡状态， 2 2 V X x1 x2 若取 (V(X)为正定) 2 2 V 则： X 2 x1 x1 2 x2 x2 2 x1[ x2 x1 x12 x2 ] 2 x2 [ x1 x2 x12 x2 ]
④
如果平衡状态Ｘe在李雅普诺夫意义下是稳定的，又当t→∞ 时，从Ｓ(δ )出发的轨迹都不离开Ｓ(ε )，而且收敛于Xe， lim 即有： X X e 0 ,则称平衡状态为渐近稳定的。(图b) t 如果对状态空间中的任意点，不管初始偏差有多大，由这些 状态出发的轨迹都保持渐近稳定特性，则称平衡状态Ｘe为 大范围渐近稳定的。
如果有连续一阶偏导的纯量函数 V X 存在，且满足以下条件： 1．V(X,t) 是正定的； 2． 是负定的。
V x, t
则在原点处的平衡状态是渐近稳定的。 如果随着‖X‖→∞时， 有V(X,t) →∞，则在原点处的平衡状 态是在大范围内渐近稳定的。
例 4-1 系统方程为：
2 2 x1 x2 x1 x1 x2
[定理四] 系统状态方程 X f ( X , t ) ，且 f (0, t ) 0 如果有一纯量函 数 V (X ) ,它具有连续一阶偏导数，且满足 V 1． ( X , t ) 在原点的某一邻域内是正定的； V 2． ( X , t ) 在同样的邻域内是正定的；

则系统在原点处的平衡状态是不稳定的。
X0 Xe
②
x10 x1e 2 x20 x2e 2 ... xn0 xne 2
③
如果对球域S(ε )，存在着一个球域S(δ )使当t→∞时，从 S(δ )出发的轨迹不离开S(ε )，即有:
lim X X e
t
则称平衡状态Ｘe为在李雅普诺夫意义下稳定的(图a)

为使系统渐进稳定，可使 u(t ) K1 x2 设：
2 V ( X ) 2 KK1 x 2
其中 K1 是根据希望的响应选取的常数，这样便符合定理一，上 述方法，就是通常采用的所谓速度反馈。
必须注意，上述定理只是给出了系统稳定的充分条件，尚未给出 必要条件。即对给定的系统如果可以找到满足条件的李雅普诺夫 函数 V (X ) ，则系统必定是稳定的；但是如果找不到这样的李雅普 诺夫函数，即 V (X ) 不定，也并不意味着系统是不稳定的。
第四章 李雅普诺夫稳定性分析
1892年，李雅普诺夫，在《运动稳定性的一般问题》中 系统的建立了运动稳定性理论，给出了运动稳定性的精确定 义。 李雅普诺夫第二法(直接法)：对于一个动力学系统，如 果随着系统的运动，其贮存的能量(能量函数 V (x) )随着时间 dV ( x ) 的增长而连续地减小，即能量对时间的导数( dt V x ) 为负，直至趋于平衡状态而能量趋于极小值，则此系统是稳 定的。
x1=0,x2=0时， V X 0 当 x1≠0,x2=0时， V X 0 V X 0 x2≠0时， 因此 V X 是负半定的。
反推论：若 V X 恒等于零，则x2必为零，这就要求 x2 0 。 由于 x2 x1 x2，故x1也必须等于零。 这就是说，V(X)只有在原点处才恒等于零。
4-1
1.
基本定义
平衡状态
对于系统 X f X , t 对所有t，存在：X f X e , t 0 则称Ｘe为系统的平衡状态。
对于线性定常系统,

X f X , t AX(讨论稳定性无关输入u。)
当Ａ为非奇异时，系统只存在一个平衡状态，即Ｘ＝0是唯一 的平衡点。 当Ａ为奇异时，则系统存在无穷多个平衡状态，对于非线性系 统，可有一个或多个平衡状态。 任何平衡状态，总可通过坐标变换，将其移至坐标原点，即 f(0,t)=0 。


V 可见，(X ) 在任意X值上均可保持为零，则系统在李雅普诺 夫意义下是稳定的。但不是渐进稳定的。存在着极限环。

事实上，该系统在古典的控制理论中属结构不稳定的，因其闭环 传递函数：
Y ( s) K U ( s) s2 K

为使系统变为渐进稳定，现考虑非齐次状态方程:
V ( X ) 2 x1 x 1 2 Kx2 x 2 2[ Kx1 x 2 K x 2 ( x1 u )] 2 K x 2 u
V(x)的正定性可由Sylvester准则来确定： 二次型V(x)为正定的充分必要条件是矩阵P的所有主子行列式 为正，即：
P P 0, 11 11 P21
P P 11 12 P P P 12 0, 21 22 P22 Pn1 Pn 2
Pn 1 P2 n | p | 0 Pnn
x1 x2 K B x2 x1 x2 M M
表示系统的自由运动,为一齐次方程。
系统在任一个瞬时的具有的总能量为： 1 弹簧的势能：1 Kx ,质量的动能: 2 Mx 2 2 即： V X 1 Kx12 1 Mx2
2 1
2 2
2
2
显然V(x)=V (x1,x2)是正定的，且V(0,0)=0。 2 而能量变化率: V X Kx1 x1 Mx2 x2 Bx 2 显然，无论x1,x2取何值, V X V x1 , x2 总是负定的(或负 半定)。
例4-3：系统如图，方程为：
x1 Kx2


(K>0)
x2 x1 u
试确定系统平衡状态的稳定性。 解：显然，原点（0，0）为平衡状态。ห้องสมุดไป่ตู้
2 取: V ( X ) V ( x1 , x2 ) x 2 Kx2
1
(正定)
则
V ( X ) 2 x1 x 1 2 Kx2 x 2 2 Kx1 x 2 2 Kx1 x 2 0
当X＝0时，有 V x ＝0；对任意非零X，有 V x ≤0，则负半 定(准负定)。
如果无论取多么小的零点的邻域， V x 可为负值，也可为负 值，则称 V x 不定。
4.
二次型V(x)正定性的Sylvester准则
李雅普诺夫稳定性理论中的“广义能量函数”V(x)通常为二次 型： P11 P12 P1n x1 P P P2 n x2 V X X T PX x1 x2 xn 21 22 Pn1 Pn 2 Pnn xn 矩阵P为实对称矩阵。