高二数学必修5导学案：1.2应用举例(2)
人教新课标版数学高二-人教B版必修5学案 1.2 应用举例(二)
1．2 应用举例(二)1.利用正、余弦定理解决生产实践中的有关角度的测量问题.2.能够运用正、余弦定理解决力学或几何方面的问题．有人说物理学科中的题实质上是数学的应用题，事实上学习物理离不开数学，数学在物理学中的应用非常广泛，本节课我们来研究正、余弦定理在测量方面，及在物理中的力学、平面几何方面的应用．要点一 测量角度问题例1 如图在海岸A 处发现北偏东45°方向，距A 处(3－1)海里的B 处有一艘走私船．在A 处北偏西75°方向，距A 处2海里的C 处的我方缉私船奉命以103海里/时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/时的速度，从B 处向北偏东30°方向逃窜．问：缉私船应沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间．解 设缉私船应沿CD 方向行驶t 小时，才能最快截获(在D 点)走私船，则CD ＝103t 海里，BD ＝10t 海里．在△ABC 中，由余弦定理， 得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝(3－1)2＋22－2(3－1)·2·cos 120°＝6， ∴BC ＝6(海里)． 又∵BC sin A ＝AC sin ∠ABC，∴sin ∠ABC ＝AC ·sin A BC ＝2·sin 120°6＝22，∴∠ABC ＝45°，∴B 点在C 点的正东方向上， ∴∠CBD ＝90°＋30°＝120°.在△BCD 中，由正弦定理，得BD sin ∠BCD ＝CDsin ∠CBD ，∴sin ∠BCD ＝BD ·sin ∠CBD CD ＝10t ·sin 120°103t＝12.∴∠BCD ＝30°，∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶， 又在△BCD 中，∠CBD ＝120°，∠BCD ＝30°， ∴∠CDB ＝30°，∴BD ＝BC ，即10t ＝ 6. ∴t ＝610小时≈15分钟． ∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟．规律方法 航海问题是解三角形应用问题中的一类很重要的问题，解决这类问题一定要搞清方位角，再就是选择好不动点，然后根据条件，画出示意图，转化为三角形问题． 跟踪演练1 甲船在A 点发现乙船在北偏东60°的B 处，乙船以每小时a 海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时3a 海里，问甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？ 解 如图所示．设经过t 小时两船在C 点相遇，则在△ABC 中，BC ＝at 海里，AC ＝3at 海里， B ＝90°＋30°＝120°，由BC sin ∠CAB ＝AC sin B 得：sin ∠CAB ＝BC sin B AC ＝at ·sin 120°3at ＝323＝12.∵0°<∠CAB <90°，∴∠CAB ＝30°. ∴∠DAC ＝60°－30°＝30°.所以甲船应沿着北偏东30°的方向前进，才能最快与乙船相遇． 要点二 正、余弦定理在几何中的应用例2 如图所示，半圆O 的直径为2，A 为直径延长线上的一点，OA ＝2，B 为半圆上任意一点，以AB 为一边作等边三角形ABC ，问：点B 在什么位置时，四边形OACB 面积最大？解 设∠AOB ＝α，在△ABC 中，由余弦定理， 得AB 2＝12＋22－2×2cos α＝5－4cos α，α∈(0，π)， 于是，四边形OACB 的面积为S ＝S △AOB ＋S △ABC ＝12OA ·OB ·sin α＋34AB 2＝12×2×1×sin α＋34(5－4cos α) ＝sin α－3cos α＋543＝2sin(α－π3)＋543.因为0<α<π，所以当α－π3＝π2，α＝56π，即∠AOB ＝56π时，四边形OACB 面积最大．规律方法 利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审题及根据题意画示意图，要懂得从所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化． 跟踪演练2 如图所示，在△ABC 中，已知BC ＝15，AB ∶AC ＝7∶8，sin B ＝437，求BC 边上的高AD 的长．解 在△ABC 中，由已知设AB ＝7x ，AC ＝8x ，x >0， 由正弦定理得7x sin C ＝8xsin B .∴sin C ＝7x sin B 8x ＝78×437＝32.∴C ＝60°(C ＝120°舍去，否则由8x >7x ，知B 也为钝角，不合要求)． 由余弦定理得(7x )2＝(8x )2＋152－2×8x ×15cos 60°， ∴x 2－8x ＋15＝0，解得x ＝3或x ＝5. ∴AB ＝21或AB ＝35，在△ABD 中，AD ＝AB sin B ＝437AB ，∴AD ＝123或20 3.1．已知两座灯塔A ，B 与海洋观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站C 的北偏东40°，灯塔B 在观察站C 的南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的( ) A ．北偏东10° B ．北偏西10° C ．南偏东10° D ．南偏西10°答案 B解析 如图，因△ABC 为等腰三角形，所以∠CBA ＝12(180°－80°)＝50°，60°－50°＝10°，故选B.2．台风中心从A 地以20 km/h 的速度向东北方向移动，离台风中心30 km 内的地区为危险区，城市B 在A 的正东40 km 处，B 城市处于危险区内的时间为( ) A ．0.5 h B ．1 h C ．1.5 h D ．2 h 答案 B解析 设A 地东北方向上点P 到B 的距离为30 km ，AP ＝x . 在△ABP 中，PB 2＝AP 2＋AB 2－2AP ·AB cos A ， 即302＝x 2＋402－2x ·40cos 45°， 化简得x 2－402x ＋700＝0. 设该方程的两根为x 1，x 2，则|x 1－x 2|2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝400，|x 1－x 2|＝20，即P 1P 2＝20，故t ＝P 1P 2v ＝2020＝1.故选B.3．一艘海轮从A 处出发，以40 n mile/h 的速度沿南偏东40°方向直线航行，30 min 后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是( ) A ．10 2 n mile B ．10 3 n mile C ．20 2 n mile D ．20 3 n mile 答案 A解析 如图所示，由已知条件可得，∠CAB ＝30°， ∠ABC ＝105°，AB ＝40×12＝20(n mile)．∴∠BCA ＝45°.∴由正弦定理可得AB sin 45°＝BCsin 30°.∴BC ＝20×1222＝102(n mile)．4．如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠DAB ，∠ABC ＝60°，AC ＝6，AD ＝5，S △ADC ＝152，则AB ＝________.答案 43解析 在△ADC 中，已知AC ＝6，AD ＝5，S △ADC ＝152，则由S △ADC ＝12·AC ·AD ·sin ∠DAC ，求得sin ∠DAC ＝12，即∠DAC ＝30°，∴ ∠BAC ＝30°.而∠ABC ＝60°，故△ABC 为直角三角形； ∵ AC ＝6，∴ AB ＝AC cos 30°＝632＝4 3.1．在求解三角形中，我们可以根据正弦函数的定义得到两个解，但作为有关现实生活的应用题，必须检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．2．解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况：(1)已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之． (2)已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解．一、基础达标1．从高出海平面h m 的小岛看正东方向有一只船俯角为30°，看正南方向有一只船俯角为45°，则此时两船间的距离为 ( ) A ．2h m B.2h m C.3h m D ．22h m 答案 A解析 如图所示，BC ＝3h m ，AC ＝h m ，∴AB ＝3h 2＋h 2＝2h (m)．2．甲船在岛B 的正南A 处，AB ＝10 km ，甲船以每小时4 km 的速度向正北航行，同时，乙船自B 出发以每小时6 km 的速度向北偏东60°的方向驶去．当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是( ) A.1507分钟 B.157小时 C ．21.5分钟 D ．2.15分钟答案 A解析 设行驶x h 后甲到点C ，乙到点D ， 两船相距y km ，则∠DBC ＝180°－60°＝120°. ∴y 2＝(10－4x )2＋(6x )2－2(10－4x )·6x cos 120° ＝28x 2－20x ＋100＝28(x －514)2－257＋100∴当x ＝514小时＝1507分钟，y 2有最小值．∴y 最小．3．已知A 船在灯塔C 北偏东80°处，且A 船到灯塔的距离为2 km ，B 船在灯塔C 北偏西处40°，A ，B 两船间的距离为3 km ，则B 船到灯塔的距离为________ km. 答案6－1解析 由题意知，∠ACB ＝80°＋40°＝120°，AC ＝2，AB ＝3，设B 船到灯塔的距离为x ，即BC ＝x .由余弦定理可知AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos120°，即9＝4＋x 2－2×2x ×(－12)，整理得x 2＋2x －5＝0，解得x ＝－1－6(舍去)或x ＝－1＋ 6.4．在平行四边形中，AC＝65，BD＝17，周长为18，则平行四边形面积是________．答案16解析设两邻边AD＝b，AB＝a，∠BAD＝α，则a＋b＝9，a2＋b2－2ab cos α＝17，a2＋b2－2ab cos(180°－α)＝65.解得：a＝5，b＝4，cos α＝35，∴S▱ABCD＝ab sin α＝16.5．两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为________km.答案3a解析因为灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，所以∠ACB ＝120°.又因为AC和BC的距离都是a km，由余弦定理，得AB2＝a2＋a2－2×a×a×cos 120°＝3a2，所以A，B的距离是3a km.6.某地出土一块类似三角形刀状的古代玉佩(如右图)，其一角已破损，现测得如下数据：BC＝2.57 cm，CE＝3.57 cm，BD＝4.38 cm，B＝45°，C＝120°.为了复原，请计算原玉佩两边的长(结果精确到0.01 cm)．解如下图所示，将BD，CE分别延长相交于一点A，在△ABC中，已知BC的长及角B与角C，可以通过正弦定理求AB，AC的长．将BD，CE分别延长相交于一点A，在△ABC中，BC＝2.57 cm，B＝45°，C＝120°，A＝180°－(B＋C)＝180°－(45°＋120°)＝15°.∵BCsin A＝ACsin B，∴AC＝BC sin Bsin A＝2.57sin 45°sin 15°.利用计算器算得AC ≈7.02(cm)． 同理，AB ≈8.60(cm)．答 原玉佩两边的长分别约为7.02 cm,8.60 cm.7．如图，某货轮在A 处看灯塔B 在货轮的北偏东75°，距离为12 6 n mile ，在A 处看灯塔C 在货轮的北偏西30°，距离为8 3 n mile ，货轮由A 处向正北航行到D 处时，再看灯塔B 在货轮的南偏东60°. 求：(1)A 处与D 处的距离； (2)灯塔C 与D 处的距离．解 (1)在△ABD 中，∠ADB ＝60°，B ＝45°.由正弦定理得AD ＝AB sin Bsin ∠ADB＝126×2232＝24(n mile)．所以A 处与D 处的距离为24 n mile.(2)在△ADC 中，由余弦定理得CD 2＝AD 2＋AC 2－2AD ·AC ·cos 30°.解得：CD ＝83(n mile)． 即灯塔C 与D 处的距离为8 3 n mile. 二、能力提升8．如图，一货轮航行到M 处，测得灯塔S 在货轮的北偏东15°的方向上，与灯塔S 相距20海里，随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟后到达N 处，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为________海里/时． 答案 20(6－2) 解析 由题意，得∠SMN ＝45°，∠SNM ＝105°，∠NSM ＝30°. 由正弦定理得MN sin 30°＝MS sin 105°.∴MN ＝MS sin 30°sin 105°＝106＋24＝10(6－2)(海里)．则v 货＝20(6－2) (海里/时)．9．某渔船在航行中不幸遇险，发出呼叫信号，我海军舰艇在A 处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45°，距离为10海里的C 处，并测得渔船正沿方位角为105°的方向，以10海里/时的速度向小岛B 靠拢，我海军舰艇立即以103海里/时的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔船所需的时间．解 如图所示，设所需时间为t 小时， 则AB ＝103t 海里，CB ＝10t 海里，在△ABC 中，根据余弦定理，则有 AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos 120°，可得(103t )2＝102＋(10t )2－2×10×10t cos 120°， 整理得2t 2－t －1＝0，解得t ＝1或t ＝－12(舍去)．即舰艇需1小时靠近渔船，此时AB ＝103(海里)，BC ＝10(海里)， 在△ABC 中，由正弦定理得BC sin ∠CAB ＝ABsin 120°，所以sin ∠CAB ＝BC sin 120°AB ＝10×32103＝12，所以∠CAB ＝30°，所以舰艇航行的方位角为75°.10．为保障高考的公平性，高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要求在考点周围1千米处不能收到手机信号，检查员抽查青岛市一考点，在考点正西约1.732千米有一条北偏东60°方向的公路，在此处检查员用手机接通电话，以每小时12千米的速度沿公路行驶，问最长需要多少分钟检查员开始收不到信号，并至少持续多长时间该考点才算合格？ 解 如图所示，考点为A ，检查开始处为B ， 设公路上C ，D 两点到考点的距离为1千米． 在△ABC 中，AB ＝3≈1.732(千米)，AC ＝1(千米)， ∠ABC ＝ 30°，由正弦定理sin ∠ACB ＝sin 30°AC ·AB ＝32，∴∠ACB ＝120°(∠ACB ＝60°不合题意)， ∴∠BAC ＝30°，∴BC ＝AC ＝1(千米)，在△ACD 中，AC ＝AD ，∠ACD ＝60°， ∴△ACD 为等边三角形，∴CD ＝1(千米)．∵BC12×60＝5，∴在BC 上需5分钟，CD 上需5分钟． 所以最长需要5分钟检查员开始收不到信号，并持续至少5分钟才算合格．11．某工厂生产产品后，留下大量中心角为60°，半径为R 的扇形边角料，现要利用边角料，从中剪裁出矩形毛坯，要求矩形面积尽可能大，请问如何裁剪？ 解 如图所示，矩形有两个顶点在半径OA 上，设∠AOP ＝θ， 则PM ＝R sin θ， ∵扇形中心角为60°， ∴∠PQO ＝120°.在△OPQ 中，由正弦定理， 得OP sin 120°＝PQsin (60°－θ)，即PQ ＝23R sin(60°－θ)． ∴矩形MPQR 的面积为 S 1＝PM ·PQ ＝23R 2sin θsin(60°－θ)， sin θsin(60°－θ)＝sin θ(32cos θ－12sin θ) ＝32sin θcos θ－12sin 2 θ ＝34sin 2θ－1－cos 2θ4＝34sin 2θ＋14cos 2θ－14＝12sin(2θ＋30°)－14， 当sin(2θ＋30°)＝1时，取得最大值14，即θ＝30°时，sin θsin(60°－θ)≤14.此时S 1＝23R 2sin θsin(60°－θ)≤36R 2， 故θ＝30°时，S 1取最大值36R 2，由θ＝30°确定P 点，通过做平行线不难确定出另三点． 三、探究与创新12．现有一块直径为30 cm 的圆形钢板，需截去直径分别为20 cm,10 cm 的圆形钢板各一块，现需在剩余的钢板中再截出同样大小的圆形钢板两块，问这两块钢板的半径最大为多少？ 解 如图，设⊙A ，⊙B 分别是直径为20 cm 和10 cm 的圆，⊙D 是直径为30 cm 的圆，则⊙A ，⊙B 相外切且与⊙D 内切，再设最后截下的两个最大的圆为⊙C ，⊙E ，则它们与⊙A ，⊙B 相外切，且与⊙D 相内切，连接AB 、AC 、BC 、CD .设⊙C 的半径为r ，在△ABC 中，AB ＝15，AC ＝10＋r ，BC ＝5＋r ，AD ＝5，CD ＝15－r ，由余弦定理得cos ∠BAC ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC＝152＋(10＋r )2－(5＋r )22×15×(10＋r )＝30＋r 30＋3r. 在△ADC 中，cos ∠DAC ＝AD 2＋AC 2－CD 22AD ·AC＝52＋(10＋r )2－(15－r )22·5·(10＋r )＝5r －10r ＋10. 故30＋r 30＋3r ＝5r －10r ＋10，整理得7r 2＋40r －300＝0， ∴r ＝307或r ＝－10(舍去)． 所以在剩余的钢板中还可以截出半径最大为307 cm 的同样大小的圆形钢板两块．。
【优质文档】必修5教案《1.2应用举例(二)》
生：需求出 BD边。 师：那如何求 BD边呢？ 生：可首先求出 AB 边，再根据 BAD= 求得。
解 : 在 ABC中 , BCA=90 + , ABC =90 - ,
BAC= -
, BAD = . 根据正弦定理 ,
BC =
AB
sin( ) sin(90 )
所以 AB= BC sin(90 ) = BCcos 在 Rt ABD中 , 得 BD =ABsin
sin( ) sin( )
BAD=BCcos sin sin( )
将测量数据代入上式 , 得 BD = 27.3cos501 sin54 40 = 27.3cos501sin5440 ≈ 177 (m)
1.2 解三角形应用举例
第二课时
一、教学目标
1、 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题
2、 巩固深化解三角形实际问题的一般方法，养成良好的研究、探索习惯。
3、 进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力
二、教学重点、难点
重点： 结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题
1、 作业：《习案》作业五
DBC≈ BC tan8 ≈ 1047(m) , 要懂得从所给的背景资
AB
的方法。
分析：求 AB 长的关键是先求 AE，在 ACE中，如
能求出 C 点到建筑物顶部 A 的距离 CA，再测出由
C 点观察 A 的仰角，就可以计算出 AE的长。
解：选择一条水平基线 HG，使 H、G、 B 三点在同
一条直线上。 由在 H、G两点用测角仪器测得 A
新人教A版必修5高中数学学案教案：《1.2 应用举例(二)》
数学必修五《1.2 应用举例（二）》教案教学要求：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题.教学重点：结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题.教学难点：能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件.教学过程：一、复习准备：1. 讨论：测量建筑物的高度？怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢？2. 讨论：怎样测量底部不可到达的建筑物高度呢？二、讲授新课：1. 教学高度的测量：① 出示例1：AB 是底部B 不可到达的一个建筑物，A 为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB 的方法.分析：测量方法→ 计算方法 师生一起用符号表示计算过程与结论.AC =sin sin()a βαβ-，AB = AE +h =AC sin α+h =sin sin sin()a αβαβ-+h . ② 练习：如图，在山顶铁塔上B 处测得地面上一点A 的俯角α=5440︒'，在塔底C 处测得A 处的俯角β=501︒'. 已知铁塔BC 部分的高为27.3 m ,求出山高CD (精确到1 m ) ③ 出示例2：如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶,到A 处时测得公路南侧远处一山顶D 在东偏南15︒的方向上,行驶5km 后到达B 处,测得此山顶在东偏南25︒的方向上,仰角为8︒,求此山的高度CD .分析：已知条件和问题分别在哪几个三角形中？ 分别选用什么定理来依次解各三角形？ → 师生共同解答.解答:在∆ABC 中, ∠A =15︒,∠C = 25︒-15︒=10︒,根据正弦定理,sin BC A = sin AB C , BC =sin sin AB A C=5sin15sin10︒︒≈7.4524(km )，CD =BC ⨯tan ∠DBC ≈BC ⨯tan8︒≈1047(m ). 2. 练习：某人在山顶观察到地面上有相距2500米的A 、B 两个目标，测得目标A 在南偏西57°，俯角是60°，测得目标B 在南偏东78°，俯角是45°，试求山高.解法：画图分析，标出各三角形的有关数据，再用定理求解. 关键：角度的概念3. 小结：审题；基本概念（方位角、俯角与仰角）；选择适合定理解三角形；三种高度测量模型（结合图示分析）.三、巩固练习：1. 为测某塔AB 的高度，在一幢与塔AB 相距20m 的楼的楼顶处测得塔顶A 的仰角为30︒，测得塔基B 的俯角为45︒，则塔AB 的高度为多少m ？ 答案：20+2033(m ) 2. 在平地上有A 、B 两点，A 在山的正东，B 在山的东南，且在A 的南25°西300米的地方，在A 侧山顶的仰角是30°，求山高. （答案：230米）3. 作业：P17 练习1、3题.。
高二数学必修5全册导学案经典
必修五目录第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.2使用举例1.3实习作业解三角形实际使用举例习题第二章数列2.1数列的概念和简单表示法2.2等差数列2.3等差数列的前n项和2.4等比数列2.5等比数列的前n项和第三章不等式3.1不等关系和不等式3.2 一元二次不等式及其解法3.3 二元一次不等式（组）和简单的线性3.4基本不等式：2a bab+≤不等式练习题第一章 解三角形1.1.1 正弦定理1.在ABC △中，已知3b =，33c =，30B ∠=，解此三角形。
2.在ABC △中，已知∠A =4530B ∠=，C=10,解此三角形。
3．在三角形ABC 中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，且A,B 为锐角，sin A = 5sin B = 10（1） 求A+B 的值：（2） 若a-b= 2，求a,b,c 得值1. 在ABC △中，已知222sin sin sin A B C +=，求证：ABC △为直角三角形2． 已知ABC △中，60A ∠=，45B ∠=，且三角形一边的长为m ，解此三角1． 正弦定理反映了三角形中各边和它的对角正弦值的比例关系，表示形式为2sin sin sin a b c R A B C===，其中R 是三角形外接圆的半径。
2． 正弦定理的使用（1）如果已知三角形的任意两角和一边，由三角形的内角和定理可以计算出另外一个角，并由三角形的正弦定理计算书另外两边。
（2）如果已知三角形的任意两边和其中一边的对角，使用正弦定理可以计算出另外一边对角的正弦值，进而可以确定这个角（此时特别注意：一定要先判断这个三角形是锐角还是钝角）和三角形其它的边和角。
1．在ABC △中，若2sin sin cos 2A C =，B 则ABC △是（ ）A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ． 等腰直角三角形3. 在ABC △中，已知30B =，503b =，150c =，那么这个三角形是（ ） Ａ．等边三角形Ｂ．直角三角形 Ｃ．等腰三角形 Ｄ．等腰三角形或直角三角形4. 在△ABC 中，::1:2:3A B C =，则::a b c 等于（ ）A ．1:2:3B ．3:2:1C ．32D ．236.ABC △若26120c b B ===，，，则a 等于 （ ）A 6B ．2C 3D 2 7. ．在△ABC 中，若B A 2=，则a 等于 （ ）A ．A b sin 2B ．A b cos 2C ．B b sin 2D ．B b cos 28.若12057A AB BC ∠===，，，则ABC △的面积S = ．9. 在ABC △中，若此三角形有一解，则a b A ，，满足的条件为________1.1.2 余弦定理1.在三角形ABC 中，已知下列条件，解三角形。
高中数学必修5导学案
§1.1.1 正弦定理学习目标1. 掌握正弦定理的内容；2. 掌握正弦定理的证明方法；3. 会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题．学习过程一、课前准备试验：固定∆ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动．思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而 ．能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？二、新课导学※ 学习探究探究1：在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系. 如图，在Rt ∆ABC 中，设BC =a ，AC =b ，AB =c ，根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sin a A c =，sin b B c =，又sin 1c C c==， 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b c A B C==．(探究2：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD =sin sin a B b A =，则sin sin a b A B=， 同理可得sin sin c b C B=， 从而sin sin a b A B =sin c C=．类似可推出，当∆ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立．请你试试导.新知：正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相等，即sin sin a b A B =sin c C=．试试：（1）在ABC ∆中，一定成立的等式是（ ）．A ．sin sin a A bB = B .cos cos a A b B =C . sin sin a B b A =D .cos cos a B b A =（2）已知△ABC 中，a ＝4，b ＝8，∠A ＝30°，则∠B 等于 ．[理解定理]（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使sin a k A =， ，sin c k C =；（2）sin sin a b A B =sin c C =等价于 ，sin sin c b C B =，sin a A =sin c C． （3）正弦定理的基本作用为： ①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sin sin b A a B=；b = ． ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值， 如sin sin a A B b=；sin C = ． （4）一般地，已知三角形的某些边和角，求其它的边和角的过程叫作解三角形．※ 典型例题例1. 在ABC ∆中，已知45A =，60B =，42a =cm ，解三角形．变式：在ABC ∆中，已知45B =，60C =，12a =cm ，解三角形．例2. 在45,2,,ABC c A a b B C ∆===中，求和．变式：在60,1,,ABC b B c a A C ∆==中，求和．三、总结提升※ 学习小结1. 正弦定理：sin sin a b A B =sin c C= 2. 正弦定理的证明方法：①三角函数的定义，还有 ②等积法，③外接圆法，④向量法.3．应用正弦定理解三角形：①已知两角和一边；②已知两边和其中一边的对角．※ 知识拓展 a b =2c R ==，其中2R 为外接圆直径.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 在ABC ∆中，若cos cos A b B a=，则ABC ∆是（ ）. A ．等腰三角形 B ．等腰三角形或直角三角形C ．直角三角形D ．等边三角形2. 已知△ABC 中，A ∶B ∶C ＝1∶1∶4，则a ∶b ∶c 等于（ ）.A ．1∶1∶4B ．1∶1∶2C ．1∶1D ．2∶23. 在△ABC 中，若sin sin A B >，则A 与B 的大小关系为（ ）.A. A B >B. A B <C. A ≥BD. A 、B 的大小关系不能确定4. 已知∆ABC 中，sin :sin :sin 1:2:3A B C =，则::a b c = ．5. 已知∆ABC 中，∠A 60=︒，a =sin sin sin a b c A B C++++= ．1. 已知△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝30°，∠B ＝120︒，解此三角形．2. 已知△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝k ∶(k ＋1)∶2k (k ≠0)，求实数k 的取值范围为．§1.1.2 余弦定理1. 掌握余弦定理的两种表示形式；2. 证明余弦定理的向量方法；3. 运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题．一、课前准备复习1：在一个三角形中，各 和它所对角的 的 相等，即 = = ．复习2：在△ABC 中，已知10c =，A =45︒，C =30︒，解此三角形．思考：已知两边及夹角，如何解此三角形呢？二、新课导学※ 探究新知问题：在ABC ∆中，AB 、BC 、CA 的长分别为c 、a 、b .∵AC = ，∴AC AC •=同理可得： 2222cos a b c bc A =+-，2222cos c a bab C =+-．新知：余弦定理：三角形中任何一边的 等于其他两边的 的和减去这两边与它们的夹角的 的积的两倍．思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？从余弦定理，又可得到以下推论：222cos 2b c a A bc+-=， ， ．[理解定理]（1）若C =90︒，则cos C = ，这时222c a b =+由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例．（2）余弦定理及其推论的基本作用为：①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；②已知三角形的三条边就可以求出其它角．试试：（1）△ABC 中，a =2c =，150B =，求b ．（2）△ABC 中，2a =，b ，1c ，求A ．※ 典型例题例1. 在△ABC 中，已知a b =，45B =，求,A C 和c ．变式：在△ABC中，若AB，AC＝5，且cos C＝910，则BC＝________．例2. 在△ABC中，已知三边长3a=，4b=，c=，求三角形的最大内角．变式：在∆ABC中，若222a b c bc=++，求角A．三、总结提升※ 学习小结1. 余弦定理是任何三角形中边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；2. 余弦定理的应用范围：① 已知三边，求三角；② 已知两边及它们的夹角，求第三边．※ 知识拓展在△ABC 中，若222a b c +=，则角C 是直角；若222a b c +<，则角C 是钝角； 222是锐角．※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 已知a c ＝2，B ＝150°，则边b 的长为（ ）.A. 2B.C. 2D. 2. 已知三角形的三边长分别为3、5、7，则最大角为（ ）.A ．60B ．75C ．120D ．1503. 已知锐角三角形的边长分别为2、3、x ，则x 的取值范围是（ ）.A x <<B x ＜5C ． 2＜xD ．5＜x ＜54. 在△ABC 中，|AB |＝3，|AC |＝2，AB 与AC 的夹角为60°，则|AB －AC |＝________．5. 在△ABC 中，已知三边a 、b 、c 满足222b a c ab +-=，则∠C 等于 ．1. 在△ABC中，已知a＝7，b＝8，cos C＝1314，求最大角的余弦值．2. 在△ABC中，AB＝5，BC＝7，AC＝8，求AB BC的值.§1.1 正弦定理和余弦定理（练习）1. 进一步熟悉正、余弦定理内容；2. 掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形．一、课前准备复习1：在解三角形时已知三边求角，用定理；已知两边和夹角，求第三边，用 定理； 已知两角和一边，用 定理．复习2：在△ABC 中，已知 A ＝6π，a ＝，b ＝二、新课导学※ 学习探究探究：在△ABC 中，已知下列条件，解三角形.① A ＝6π，a ＝25，b ＝；② A ＝6π，a ，b ＝③ A ＝6π，a ＝50，b ＝.思考：解的个数情况为何会发生变化？新知：用如下图示分析解的情况（A 为锐角时）．已知边a,b和∠A有两个解仅有一个解无解CH=bsinA<a<ba=CH=bsinAa<CH=bsinA试试：1. 用图示分析（A为直角时）解的情况？2．用图示分析（A为钝角时）解的情况？※典型例题例1. 在∆ABC中，已知80a=，100b=，45A∠=︒，试判断此三角形的解的情况．变式：在∆ABC中，若1a=，12c=，40C∠=︒，则符合题意的b的值有_____个．例2. 在∆ABC 中，60A =︒，1b =，2c =，求sin sin sin a b c A B C++++的值．变式：在∆ABC 中，若55a =，16b =，且1sin 2ab C =C ．三、总结提升※ 学习小结1. 已知三角形两边及其夹角（用余弦定理解决）；2. 已知三角形三边问题（用余弦定理解决）；3. 已知三角形两角和一边问题（用正弦定理解决）；4. 已知三角形两边和其中一边的对角问题（既可用正弦定理，也可用余弦定理，可能有一解、两解和无解三种情况）．※ 知识拓展在∆ABC 中，已知,,a b A ，讨论三角形解的情况 ：①当A 为钝角或直角时，必须a b >才能有且只有一解；否则无解；②当A 为锐角时，如果a ≥b ，那么只有一解；如果a b <，那么可以分下面三种情况来讨论：（1）若sin a b A >，则有两解；（2）若sin a b A =，则只有一解；※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 已知a 、b 为△ABC 的边，A 、B 分别是a 、b 的对角，且sin 2sin 3A B =，则a b b +的值=（ ）. A. 13 B. 23 C. 43 D. 532. 已知在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7，那么这个三角形的最大角是（ ）.A ．135°B ．90°C ．120°D ．150°3. 如果将直角三角形三边增加同样的长度，则新三角形形状为（ ）.A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．由增加长度决定4. 在△ABC 中，sin A :sin B :sin C ＝4:5:6，则cos B ＝ ．5. 已知△ABC 中，cos cos b C c B =，试判断△ABC 的形状 ．1. 在∆ABC 中，a xcm =，2b cm =，45B ∠=︒，如果利用正弦定理解三角形有两解，求x 的取值范围．2. 在∆ABC中，其三边分别为a、b、c，且满足2221sin24a b cab C+-=，求角C．§1.2应用举例—①测量距离能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题一、课前准备复习1：在△ABC中，∠C＝60°，a＋b＝2+，c＝A为.复习2：在△ABC中，sin A＝sin sincos cosB CB C++，判断三角形的形状.二、新课导学※典型例题例1. 如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，∠BAC=51︒，∠ACB=75︒. 求A、B两点的距离(精确到0.1m).提问1：∆ABC中，根据已知的边和对应角，运用哪个定理比较适当？提问2：运用该定理解题还需要那些边和角呢？分析：这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题题目条件告诉了边AB的对角，AC为已知边，再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算出AC的对角，应用正弦定理算出AB边.新知1：基线在测量上，根据测量需要适当确定的叫基线.例2. 如图，A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A、B两点间距离的方法.分析：这是例1的变式题，研究的是两个的点之间的距离测量问题.首先需要构造三角形，所以需要确定C、D两点.根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边既可求出另两边的方法，分别求出AC 和BC，再利用余弦定理可以计算出AB的距离.变式：若在河岸选取相距40米的C、D两点，测得∠BCA=60°，∠ACD=30°，∠CDB=45°，∠BDA =60°.练：两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东30°，灯塔B在观察站C南偏东60°，则A、B之间的距离为多少？三、总结提升※ 学习小结1. 解斜三角形应用题的一般步骤：（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解.2．基线的选取：测量过程中，要根据需要选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 水平地面上有一个球，现用如下方法测量球的大小，用锐角45︒的等腰直角三角板的斜边紧靠球面，P 为切点，一条直角边AC 紧靠地面，并使三角板与地面垂直，如果测得PA =5cm ，则球的半径等于（ ）.A ．5cm B ．C ．1)cmD ．6cm2. 台风中心从A 地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A 的正东40千米处，B 城市处于危险区内的时间为（ ）.A ．0.5小时B ．1小时C ．1.5小时D ．2小时3. 在ABC ∆中，已知2222()sin()()sin()a b A B a b A B +-=-+，则ABC ∆的形状（ ）.A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形4.在ABC ∆中，已知4a =，6b =，120C =，则sin A 的值是 ．5. 一船以每小时15km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔B 在北偏东60，行驶４h 后，船到达C 处，看到这个灯塔在北偏东15，这时船与灯塔的距离为 km ．1. 的C、D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，A、B、C、D在同一个平面，求两目标A、B间的距离.2. 某船在海面A处测得灯塔C与A相距且在北偏东30︒方向；测得灯塔B与A相距75︒方向. 船由A向正北方向航行到D处，测得灯塔B在南偏西60︒方向. 这时灯塔C与D相距多少海里？§1.2应用举例—②测量高度1. 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题；2. 测量中的有关名称.一、课前准备复习1：在∆ABC中，cos5cos3A bB a==，则∆ABC的形状是怎样？复习2：在∆ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，若::a b c=1:1:3，求A:B:C 的值.二、新课导学※学习探究新知：坡度、仰角、俯角、方位角方位角---从指北方向顺时针转到目标方向线的水平转角；坡度---沿余坡向上的方向与水平方向的夹角；仰角与俯角---视线与水平线的夹角当视线在水平线之上时，称为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角.探究：AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法.分析：选择基线HG，使H、G、B三点共线，要求AB，先求AE在ACE∆中，可测得角，关键求AC在ACD∆中，可测得角，线段，又有α故可求得AC※典型例题例1. 如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角α=5440'︒，在塔底C处测得A处的俯角β=501'︒. 已知铁塔BC部分的高为27.3 m，求出山高CD(精确到1 m)例2. 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到A处时测得公路南侧远处一山顶D在东偏南15︒的方向上，行驶5km后到达B处，测得此山顶在东偏南25︒的方向上，仰角为8︒，求此山的高度CD.问题1：欲求出CD，思考在哪个三角形中研究比较适合呢？问题2：在∆BCD中，已知BD或BC都可求出CD，根据条件，易计算出哪条边的长？变式：某人在山顶观察到地面上有相距2500米的A、B两个目标，测得目标A在南偏西57°，俯角是60°，测得目标B在南偏东78°，俯角是45°，试求山高.三、总结提升※ 学习小结利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审题及根据题意画方位图，要懂得从所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化.※ 知识拓展在湖面上高h 处，测得云之仰角为α，湖中云之影的俯角为β，则云高为sin()sin()h αβαβ+-.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 在∆ABC 中，下列关系中一定成立的是（ ）.A ．sin a b A >B ．sin a b A =C ．sin a b A <D ．sin a b A ≥2. 在∆ABC 中，AB =3，BC AC =4，则边AC 上的高为（ ）.A B C ．32 D ． 3. D 、C 、B 在地面同一直线上，DC =100米，从D 、C 两地测得A 的仰角分别为30和45，则A 点离地面的高AB 等于（ ）米．A ．100B ．C ．501)D ．501)4. 在地面上C 点，测得一塔塔顶A 和塔基B 的仰角分别是60︒和30︒，已知塔基B 高出地面20m ，则塔身AB 的高为_________m ．5. 在∆ABC 中，b =2a =，且三角形有两解，则A 的取值范围是 ．1. 为测某塔AB 的高度，在一幢与塔AB 相距20m 的楼的楼顶处测得塔顶A 的仰角为30°，测得塔基B 的俯角为45°，则塔AB 的高度为多少m ？2. 在平地上有A 、B 两点，A 在山的正东，B 在山的东南，且在A 的南25°西300米的地方，在A 侧山顶的仰角是30°，求山高.§1.2应用举例—③测量角度能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题.一、课前准备复习1：在ABC △中，已知2c =，3C π=，且1sin 2ab C =a b ，.复习2：设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A =60，3c =，求a c的值.二、新课导学※ 典型例题例1. 如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东75︒的方向航行67.5 n mile后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东32︒的方向航行54.0 n mile后达到海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C，此船应该沿怎样的方向航行，需要航行多少距离?(角度精确到0.1︒，距离精确到0.01n mile)分析：首先由三角形的内角和定理求出角∠ABC，然后用余弦定理算出AC边，再根据正弦定理算出AC边和AB边的夹角∠CAB.例2. 某巡逻艇在A处发现北偏东45︒相距9海里的C处有一艘走私船，正沿南偏东75︒的方向以10海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？※动手试试练1. 甲、乙两船同时从B点出发，甲船以每小时1)km的速度向正东航行，乙船以每小时20km的速度沿南60°东的方向航行，1小时后甲、乙两船分别到达A、C两点，求A、C两点的距离，以及在A点观察C点的方向角.练2. 某渔轮在A 处测得在北45°的C 处有一鱼群，离渔轮9海里，并发现鱼群正沿南75°东的方向以每小时10海里的速度游去，渔轮立即以每小时14海里的速度沿着直线方向追捕，问渔轮应沿什么方向，需几小时才能追上鱼群？三、总结提升※ 学习小结1. 已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之.；2．已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解.※ 知识拓展已知∆ABC 的三边长均为有理数，A =3θ，B =2θ，则cos5θ是有理数，还是无理数？ 因为5C πθ=-，由余弦定理知222cos 2a b c C ab+-=为有理数， 所以cos5cos(5)cos C θπθ=--=-为有理数.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α，β的关系为（ ）.A ．α>βB ．α=βC ．α+β=90D ．α+β=1802. 已知两线段2a =，b =若以a 、b 为边作三角形，则边a 所对的角A 的取值范围是（ ）.A ．(,)63ππB ．(0,]6π C ．(0,)2π D ．(0,]4π3. 关于x 的方程2sin 2sin sin 0A x B x C ++=有相等实根，且A 、B 、C 是∆的三个内角，则三角形的三边a b c 、、满足（ ）.A ．b ac =B ．a bc =C ．c ab =D ．2b ac =4. △ABC 中，已知a :b :c ，则此三角形中最大角的度数为 .5. 在三角形中，已知:A ，a ，b 给出下列说法:(1)若A ≥90°，且a ≤b ，则此三角形不存在(2)若A ≥90°，则此三角形最多有一解(3)若A ＜90°，且a =b sin A ，则此三角形为直角三角形，且B =90°(4)当A ＜90°，a <b 时三角形一定存在(5)当A ＜90°，且b sin A <a <b 时，三角形有两解其中正确说法的序号是 .1. 我舰在敌岛A 南偏西50︒相距12海里的B 处，发现敌舰正由岛沿北偏西10︒的方向以10海里/小时的速度航行.问我舰需以多大速度、沿什么方向航行才能用2小时追上敌舰？2.§1.2应用举例—④解三角形1. 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题；2. 掌握三角形的面积公式的简单推导和应用；3. 能证明三角形中的简单的恒等式．一、课前准备复习1：在∆ABC 中（1）若1,120a b B ===︒，则A 等于 ．（2）若a =2b =，150C =︒，则c = _____．复习2：在ABC∆中，a=2b=，150C=︒，则高BD= ，三角形面积= ．二、新课导学※学习探究探究：在∆ABC中，边BC上的高分别记为ha，那么它如何用已知边和角表示？ha=b sin C=c sin B根据以前学过的三角形面积公式S=12 ah，代入可以推导出下面的三角形面积公式，S=12ab sin C，或S= ，同理S= ．新知：三角形的面积等于三角形的任意两边以及它们夹角的正弦之积的一半．※典型例题例1. 在∆ABC中，根据下列条件，求三角形的面积S（精确到0.1cm2）：（1）已知a=14.8cm，c=23.5cm，B=148.5︒；（2）已知B=62.7︒，C=65.8︒，b=3.16cm；（3）已知三边的长分别为a=41.4cm，b=27.3cm，c=38.7cm．变式：在某市进行城市环境建设中，要把一个三角形的区域改造成室内公园，经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为68m，88m，127m，这个区域的面积是多少？（精确到0.1cm2）例2. 在∆ABC中，求证：（1）222222sin sinsina b A Bc C++=；（2）2a+2b+2c=2（bc cos A+ca cos B+ab cos C）．小结：证明三角形中恒等式方法：应用正弦定理或余弦定理，“边”化“角”或“角”化“边”．※动手试试练1. 在∆ABC中，已知28a cm=，33c cm=，45B=，则∆ABC的面积是．练2. 在∆ABC中，求证：22(cos cos)c a B b A a b-=-．三、总结提升※学习小结1. 三角形面积公式：S =12ab sin C = = ． 2. 证明三角形中的简单的恒等式方法：应用正弦定理或余弦定理，“边”化“角”或“角”化“边”．※ 知识拓展三角形面积S =， 这里1()p a b c =++，这就是著名的海伦公式．※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 在ABC ∆中，2,60a b C ︒===，则ABC S ∆=（ ）.A. B. C. D. 322. 三角形两边之差为2，夹角的正弦值为35，面积为92，那么这个三角形的两边长分别是（ ）.A. 3和5B. 4和6C. 6和8D. 5和73. 在ABC ∆中，若2cos sin sin B A C ⋅=，则ABC ∆一定是（ ）三角形．A. 等腰B. 直角C. 等边D. 等腰直角4. ABC ∆三边长分别为3,4,6，它的较大锐角的平分线分三角形的面积比是 ．5. 已知三角形的三边的长分别为54a cm =，61b cm =，71c cm =，则∆ABC 的面积是 ．2. 已知在∆ABC 中，∠B =30︒，b =6，c a 及∆ABC 的面积S ．2. 在△ABC 中，若sin sin sin (cos cos )A B C A B +=⋅+，试判断△ABC 的形状.§1.2应用举例（练习）1．能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量的实际问题；2．三角形的面积及有关恒等式．一、课前准备复习1：解三角形应用题的关键：将实际问题转化为解三角形问题来解决．复习2：基本解题思路是：①分析此题属于哪种类型（距离、高度、角度）；②依题意画出示意图，把已知量和未知量标在图中；③确定用哪个定理转化，哪个定理求解；④进行作答，并注意近似计算的要求．二、新课导学※典型例题例1. 某观测站C在目标A的南偏西25方向，从A出发有一条南偏东35走向的公路，在C 处测得与C相距31km的公路上有一人正沿着此公路向A走去，走20km到达D，此时测得CD距离为21km，求此人在D处距A还有多远？例2. 在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为θ，沿BE方向前进30m，至点C处测得顶端A的仰角为2θ，再继续前进至D点，测得顶端A的仰角为4θ，求θ的大小和建筑物AE的高．例3. 如图，在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ABC=60°，AC=7，AD=6，S△ADC求AB的长．※动手试试练1. 为测某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20m的楼的楼顶处测得塔顶A的仰角为30°，测得塔基B的俯角为45°，则塔AB的高度为多少m？练2. 两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东30°，灯塔B在观察站C南偏东60°，则A、B之间的距离为多少？三、总结提升※学习小结1. 解三角形应用题的基本思路，方法；2．应用举例中测量问题的强化.※知识拓展秦九韶“三斜求积”公式：※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 某人向正东方向走x km后，向右转150，然后朝新方向走3km，结果他离出发点恰好km，则x等于（）.A B．C D．32.在200米的山上顶，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30,60，则塔高为（ ）米．A ．2003BC ．4003D3. 在∆ABC 中，60A ∠=︒，16AC =，面积为BC 的长度为（ ）.A ．25B ．51C ．D ．494. 从200米高的山顶A 处测得地面上某两个景点B 、C 的俯角分别是30º和45º，且∠BAC ＝45º，则这两个景点B 、C 之间的距离 ．5. 一货轮航行到M 处，测得灯塔S 在货轮的北偏东15°相距20里处，随后货轮按北偏西30°的方向航行，半小时后，又测得灯塔在货轮的北偏东45︒，则货轮的速度 ．1. 3.5米长的棒斜靠在石堤旁，棒的一端在离堤足1.2米地面上，另一端在沿堤上2.8米的地方，求堤对地面的倾斜角.2. 已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m 1-），n ＝（cos A ，sin A ）. 若m ⊥n ，且a cos B +b cos A =c sin C ，求角B .第一章 解三角形（复习）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题．一、课前准备复习1： 正弦定理和余弦定理（1）用正弦定理：①知两角及一边解三角形；②知两边及其中一边所对的角解三角形（要讨论解的个数）．（2）用余弦定理：①知三边求三角；②知道两边及这两边的夹角解三角形．复习2：应用举例① 距离问题，②高度问题，③ 角度问题，④计算问题．练：有一长为2公里的斜坡，它的倾斜角为30°，现要将倾斜角改为45°，且高度不变. 则斜坡长变为___ ．二、新课导学※ 典型例题例1. 在ABC ∆中tan()1A B +=，且最长边为1，tan tan A B >，1tan 2B =，求角C 的大小及△ABC 最短边的长．例2. 如图，当甲船位于A 处时获悉，在其正东方向相距20海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30，相距10海里C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援（角度精确到1）？例3. 在∆ABC中，设tan2,tanA c bB b-=求A的值．※动手试试练1. 如图，某海轮以60 n mile/h 的速度航行，在A点测得海面上油井P在南偏东60°，向北航行40 min后到达B点，测得油井P在南偏东30°，海轮改为北偏东60°的航向再行驶80 min到达C点，求P、C间的距离．练2. 在△ABC中，b＝10，A＝30°，问a取何值时，此三角形有一个解？两个解？无解？三、总结提升※ 学习小结1. 应用正、余弦定理解三角形；2. 利用正、余弦定理解决实际问题（测量距离、高度、角度等）；3．在现实生活中灵活运用正、余弦定理解决问题. （边角转化）．※ 知识拓展设在ABC ∆中，已知三边a ，b ，c ，那么用已知边表示外接圆半径R 的公式是※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 已知△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝30°，∠B ＝120︒，则△ABC 的面积为（ ）.A ．9B ．18C ．9D ．2.在△ABC 中，若222c a b ab =++，则∠C =（ ）.A ． 60°B ． 90°C ．150°D ．120°3. 在∆ABC 中，80a =，100b =，A =30°，则B 的解的个数是（ ）.A ．0个B ．1个C ．2个D ．不确定的4. 在△ABC 中，a =b =1cos 3C =，则ABC S =△_______ 5. 在∆ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，若2222sin a b c bc A =+-，则A =___ ____.1. 已知A 、B 、C 为ABC ∆的三内角，且其对边分别为a 、b 、c ，若1cos cos sin sin 2B C B C -=． （1）求A ；（2）若4a b c =+=，求ABC ∆的面积．2. 在△ABC中，,,a b c分别为角A、B、C的对边，2228 5 bca c b-=-，a=3，△ABC的面积为6，（1）求角A的正弦值；（2）求边b、c.§2.1数列的概念与简单表示法(1)学习目标1. 理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；2. 了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；3. 对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式.学习过程一、课前准备（预习教材P28 ~ P30 ，找出疑惑之处）复习1：函数，当x依次取1，2，3，…时，其函数值有什么特点？复习2：函数y=7x+9，当x依次取1，2，3，…时，其函数值有什么特点？二、新课导学※学习探究探究任务：数列的概念⒈数列的定义：的一列数叫做数列.⒉数列的项：数列中的都叫做这个数列的项.反思：⑴ 如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们是相同的数列？⑵ 同一个数在数列中可以重复出现吗？3. 数列的一般形式：123,,,,,n a a a a ，或简记为{}n a ，其中n a 是数列的第 项.4. 数列的通项公式：如果数列{}n a 的第n 项与n 之间的关系可以用 来表示，那么 就叫做这个数列的通项公式. 反思：⑴所有数列都能写出其通项公式？⑵一个数列的通项公式是唯一？⑶数列与函数有关系吗？如果有关，是什么关系？5．数列的分类：1）根据数列项数的多少分 数列和 数列；2）根据数列中项的大小变化情况分为 数列， 数列， 数列和 数列.※ 典型例题例1写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：⑴ 1，－12，13，－14；⑵ 1， 0， 1， 0.。
人教版高中必修5(B版)1.2应用举例教学设计 (2)
人教版高中必修5(B版)1.2应用举例教学设计一、教材简介《人教版高中必修5(B版)》是适用于高中二年级学生的教材，主要包括语文、数学、英语、物理、化学、生物、地理等多个学科。
本文以该教材中的数学部分的第一章第二节作为教学对象，进行教学设计。
二、教学目标本节课的主要目标是学生能够通过实例理解线性规划的基本思想和方法，掌握如何列出数学模型并解决线性规划问题。
具体目标：1.了解线性规划的基本概念和解题思路；2.掌握线性规划模型的建立方法；3.能够通过现实问题进行线性规划模型的建立，并解决问题。
三、教学内容1. 基本概念介绍线性规划的基本概念，包括目标函数、约束条件、可行解集、最优解等。
2. 解题思路介绍线性规划的解题思路，包括先画出可行域，再确定目标函数在可行域内的最优解。
3. 线性规划模型的建立通过实例来讲解线性规划模型的建立方法，包括确定决策变量、列出目标函数和约束条件等。
4. 实例分析通过几个实际问题，让学生应用线性规划模型来解决问题，如：生产问题、销售问题、调度问题等。
四、教学重点以线性规划模型的建立和列出目标函数和约束条件为重点。
五、教学难点学生对于线性规划模型的建立和列出目标函数和约束条件的理解和掌握。
六、教学方法1. 讲授法通过在黑板上讲解线性规划的基本概念和解题思路，让学生掌握线性规划的基本知识。
2. 练习法通过一些练习，让学生掌握线性规划模型的建立方法。
例如，通过实例来让学生列出目标函数和约束条件。
3. 案例法通过一些实际问题的案例，让学生学会如何应用线性规划模型来解决问题。
七、教学资源1.课本：《人教版高中必修5(B版)》；2.PPT：包括线性规划基本概念和解题思路，线性规划模型的建立方法和应用实例等。
八、教学评估1.课堂测试：通过解决一些类似于教学内容的问题来评估学生的掌握程度；2.课后作业：布置一些与课堂上所学内容相关的作业来巩固学生的知识。
九、教学计划1.课前10分钟：介绍课程的目标和内容，讲解线性规划的基本概念和解题思路；2.课前40分钟：讲解线性规划模型的建立方法，并通过实例进行演示；3.课后40分钟：通过一些实际问题的案例，让学生应用线性规划模型来解决问题；4.课后10分钟：课堂测试和总结。
高中数学必修五导学案13：1.2 综合应用
1.2 综合应用学习目标：能综合应用正弦定理、余弦定理、三角形面积公式解决一些简单的三角形问题.【课前导学】 1、基本知识：解斜三角形时可用的定理和公式 适用类型 备注 余弦定理⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=-+=C ba a b c B ac c a b A bc c b a cos 2cos 2cos 2222222222①已知三边； ②已知两边及其夹角； 类型①②有解时只有一个正弦定理：R C c B b A a 2sin sin sin === ③已知两角和一边； ④已知两边及其中一边的对角； 类型③有解时只有一个，类型④可有二解、一解或无解 三角形面积公式：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=C ab B ac Abc S sin 21sin 21sin 21⑤已知两边及其夹角. 2.常用公式变式： （1）余弦定理变形：bc a c b A 2cos 222-+=；ac b a c B 2cos 222-+=；abc a b C 2cos 222-+=. （2）正弦定理变形：C B A c b a sin :sin :sin ::= ………………………………适用边角互化。
3、三角形常用结论： 在ABC ∆中：(1)三角形任意两边之和大于第三边，三角形任意两边之差小于第三边；(2)三角形的大角对大边，大边对大角； (3)A ＋B ＋C =π；(4) sin()sin()sin A B C C π+=-= cos()cos()cos A B C C π+=-=-4、判断三角形的形状，一般是利用正余弦定理边化角或角化边。
如果C 的对边是c ，则有：222a b c C +>⇔是锐角 222a b c C +<⇔是钝角222a b c C +=⇔是直角【课中导学】 例１：在ABC ∆中，求证：（１）222222sin sin sin a b A B c C++=； （２）2222(cos cos cos )a b c bc A ca B ab C ++=++ .。
人教版高中数学必修五探究式导学案3：1.2 应用举例(二)
1.2应用举例(二）学习目标：1、利用正、余弦定理等相关知识解决实践中产生的测量角度问题。
2能够利用正、余弦定理进一步解决一些有关三角形的计算问题。
3、掌握三角形的面积公式并能够应用。
学习重点：掌握余弦定理的内容及其简单应用，掌握三角形的面积公式并能够应用。
学习难点：掌握余弦定理的内容及其简单应用，掌握三角形的面积公式并能够应用。
学习过程：一、阅读教材11~18页二、填写知识要点1、方位角：指从正北方向 顺时针方向 转到目标方向线的 水平夹 角。
2、方向角：指从指定方向到目标方向线所称的水平角。
如南偏西ο60，即以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转ο60。
3、三角形常用面积公式（1）三角形面积公式=S 1()2a h a h ⨯⨯是三角形的底，是底上的高。
（2）三角形面积公式推广=S 1cos 2ab C ⨯⨯⨯ = 1cos 2bc A ⨯⨯⨯ =B ca sin 21。
三、典型例题 例1、甲船在A 点发现乙船在北偏东ο60的B 处，乙船以每小时a 海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时a 3海里，问甲船应沿着什么方向前进，才能最快和乙船相遇。
例2、在ABC ∆中，ο30,1,3=∠==B AC AB ,求ABC ∆的面积。
跟踪训练2 已知c b a ,,分别为ABC ∆三个内角A,B,C 的对边，A c C a c cos sin 3-=（1）求A（2）若2=a ，ABC ∆的面积为3，求c b ,例3、如图所示，已知半圆O 的直径为2，点A 为半径延长线上的一点，OA=2，点B 为半圆上任意一点，以AB 为一边作等边三角形ABC ，求B 在什么位置时，四边形OACB 面积最大。
随堂检测3 在ABC ∆中，已知34,31cos ,23===∆ABC S C a ，求b 。
人教A版必修5数学 精品导学案：1.2应用举例—②
§1.2应用举例—② 班级 姓名 学号学习目标1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题.2. 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题；3. 掌握三角形的面积公式的简单推导和应用；学习过程一、课前准备复习1：在ABC △中，已知2c =，3C π=，且1sin 32ab C =，求a b ，.复习2：设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A =60，3c =，求a c的值.二、新课导学※ 典型例题例1. 如图，一艘海轮从A 出发，沿北偏东75︒的方向航行67.5 n mile 后到达海岛B ，然后从B 出发，沿北偏东32︒的方向航行54.0 n mile 后达到海岛C.如果下次航行直接从A 出发到达C ，此船应该沿怎样的方向航行，需要航行多少距离?(角度精确到0.1︒，距离精确到0.01n mile)例2. 某巡逻艇在A 处发现北偏东45︒相距9海里的C 处有一艘走私船，正沿南偏东75︒的方向以10海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？例3、在∆ABC中，边BC上的高分别记为ha，那么它如何用已知边和角表示？ha=b sin C=c sin B根据以前学过的三角形面积公式S=12 ah，代入可以推导出下面的三角形面积公式，S=12ab sin C，或S= ，同理S= ．变式：在某市进行城市环境建设中，要把一个三角形的区域改造成室内公园，经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为68m，88m，127m，这个区域的面积是多少？（精确到0.1cm2）例2. 在∆ABC中，求证：（1）222222sin sinsina b A Bc C++=；（2）2a+2b+2c=2（bc cos A+ca cos B+ab cos C）．练1. 在∆ABC 中，已知28a cm =，33c cm =，45B =，则∆ABC 的面积是 ．练2. 在∆ABC 中，求证：22(cos cos )c a B b A a b -=-．三、总结提升※ 学习小结1. 三角形面积公式：S =12ab sin C = = ． 2. 证明三角形中的简单的恒等式方法：应用正弦定理或余弦定理，“边”化“角”或“角”化“边”．※ 知识拓展三角形面积S =1()2p a b c =++，这就是著名的海伦公式．1. 在ABC ∆中，2,60a b C ︒===，则ABC S ∆=（ ）.A. B. C. D. 32 2. 三角形两边之差为2，夹角的正弦值为35，面积为92，那么这个三角形的两边长分别是（ ）.A. 3和5B. 4和6C. 6和8D. 5和73. 在ABC ∆中，若2cos sin sin B A C ⋅=，则ABC ∆一定是（ ）三角形．A. 等腰B. 直角C. 等边D. 等腰直角4. ABC ∆三边长分别为3,4,6，它的较大锐角的平分线分三角形的面积比是 ．5. 已知三角形的三边的长分别为54a cm =，61b cm =，71c cm =，则∆ABC 的面积是 ．2. 已知在∆ABC 中，∠B =30︒，b =6，c a 及∆ABC 的面积S ．2. 在△ABC中，若+=⋅+，试判断△ABC的形状.sin sin sin(cos cos)A B C A B3.在ABCC=︒，则高BD= ，三角形面积= ．教∆中，a=2b=，150师个人研修总结在新课改的形式下，如何激发教师的教研热情，提升教师的教研能力和学校整体的教研实效，是摆在每一个学校面前的一项重要的“校本工程”。
高二人教A版必修5教案精选：1.2 应用举例
正余弦定理及其应用的教案教学目标（一）知识与能力目标1．通过对正余弦定理的应用，加深对正余弦定理的理解．会用正余弦定理解三角形．(1)已知两角和任一边，求其它两边和一角．(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角及其它的边和角． （3）已知三边，用余弦定理，必有唯一解；（4）已知两边及其中一边的对角，（不妨设为a,b,A ）解法有两种：2．理解掌握已知两边和其中一边的对角解三角形时，有一解或两解或无解三种情况，并会判断哪些条件使解三角形时出现一解、两解、无解．（二）过程与方法目标① 由正弦定理 求出 ，再由，得出的值有0、1或2个，只要满足 的B 都是符合题意的，再由（1）的方法可完整求解；②由余弦定理 求出c ，得到的正数c （有0、1或2个）都是符合题意的，再由（2）的方法可完整求解。
sinBbsinA a =sinA a b sinB =π<<B 0π<+B A A bc c b a cos 2222-+=通过对正余弦定理及其变形式的应用，达到边角互化的目的，在题型中的操练，达到熟练掌握的同时，并掌握一定的解题技巧和方法。
（三）情感态度与价值观感受正余弦定理与其他知识间的紧密联系，体会万事万物间也存在着千丝万缕的关系。
教学重点和难点重点：1、正余弦定理的应用，用正余弦定理解三角形，特别是在已知两边和其中一边的对角解三角形时，解的情况2、利用正余弦定理实现边角互化，体现正余弦定理搭建边角互化的桥梁，是解三角形有利的两大工具。
难点：在具体的题型中真正体现正余弦定理作为桥梁的作用，并能挖掘出题目中的隐含条件，达到求解的目的。
教学设计：由复习引入到本节主要三个环节，分环节进行，典例剖析，讲练结合，层层递进，环环相扣。
教学过程设计 一、复习正余弦定理1、正弦定理：正弦定理精确地表达了三角形中各边和它所对角的正弦成正比．a ＝2RsinA ，b ＝2RsinB ，c ＝2RsinC ．)(2sin sin sin 外接圆的半径表示ABC R R C cB b A a ∆===2R sinC c 2R，sinB b 2R，sinA a ===2Rc，sinC 2R b ，sinB 2R a sinA ===2、余弦定理：二、教师指导学生完成，教师最后总结．正余弦定理精确地表达了三角形中的边与角之间的关系，我们就可利用它根据三角形中的已知元素去求出未知元素．（一）解三角形二、合理使用正、余弦定理，使角边互相转化a =b +c -2bccos Ab =c +a -2accos B c =a +b -2abcos C22 2222 2 2 2例1：在 中，a,b,c 分别是角A ，B ，C的对边长。
人教版高中必修5(B版)1.2应用举例课程设计 (2)
人教版高中必修5(B版)1.2应用举例课程设计一、课程目标通过本次课程的学习，学生将能够：1.理解什么是应用举例；2.掌握应用举例的基本方法和技巧；3.意识到应用举例在学习和生活中的重要性和价值。
二、课程内容本次课程将介绍应用举例的概念、基本方法和技巧，并通过案例分析和实践训练，让学生深入理解应用举例的本质和作用。
具体内容如下：1. 应用举例的概念1.定义：应用举例是指通过实例来说明一个概念、原理或现象的方法；2.特点：具有生动形象、易于理解、符合实际的特点；3.应用范围：在学习和生活中广泛应用。
2. 应用举例的基本方法和技巧1.理清概念：在选择实例时，要确保实例与要说明的问题具有相关性；2.具体化实例：要选择具体、生动、有代表性的实例，以便更好地说明问题；3.适量运用：要在说明问题的过程中适度运用举例方法，不要过度依赖；4.注意多角度：要从不同角度、不同侧面进行举例说明，以便更全面、更深刻地理解问题。
3. 应用举例的实践训练1.分析案例：以实际案例为例，进行分析和解决，学生积极参与；2.运用技巧：学生运用所学技巧，从多个角度和侧面进行案例分析，提高知识的深度和广度；3.综合评价：通过对学生的表现和实际案例的解决过程进行评价，提高学生应用举例的能力和水平。
三、课程布置和反馈1. 课程布置1.预习：学生在上课前预习本次课程的相关内容，提前了解应用举例的概念、方法和技巧；2.上课：老师在上课中讲解和演示应用举例的基本知识和技能，并进行案例分析和实践训练；3.课后作业：要求学生将所学的知识和技能运用到生活实践中，例如：以身边事例为例，运用举例法进行分析和解决。
2. 学生反馈1.针对学生的认知、应用能力和学习兴趣等方面进行调查和评价；2.根据反馈结果做出相应的优化和改进，提高课程质量和效果。
四、课程评价1.教师评价：本次课程着重培养学生的应用举例能力，让学生通过实际案例的分析和解决，掌握应用举例的基本方法和技巧，并在生活实践中得到应用和提高。
人教新课标版数学高二必修5导学案 1.2 应用举例(二)学生版
1.2 应用举例（二）学习目标1.会运用测仰角(或俯角)解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题.2.会用测方位角解决立体几何中求高度问题.3.进一步培养学习数学、应用数学的意识．学习过程一、自主学习1.如图，AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，如果能测出点C，D间的距离m和由C点，D点观察A的仰角，怎样求建筑物高度AB？(已知测角仪器的高是h)2.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北15°的方向上，行驶5km后到达B处，测得此山顶在西偏北25°的方向上，仰角为8°，怎样求此山的高度CD?二、合作探究探究点1：测量仰角(或俯角)求高度问题例1如图所示，D，C，B在地平面同一直线上，DC＝10m，从D，C两地测得A点的仰角分别为30°和45°，则A点离地面的高AB等于()A．10m B．53mC．5(3－1) m D．5(3＋1) m例2如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角α＝54°40′，在塔底C处测得A处的俯角β＝50°1′.已知铁塔BC部分的高为27.3m，求出山高CD.(精确到1m)探究点2：测量方位角求高度问题例3如图所示，A、B是水平面上的两个点，相距800m，在A点测得山顶C的仰角为45°，∠BAD＝120°，又在B点测得∠ABD＝45°，其中D点是点C到水平面的垂足，求山高CD.三、当堂检测1．一架飞机在海拔8000m的高度飞行，在空中测出前下方海岛两侧海岸俯角分别是30°和45°，则这个海岛的宽度为________m．(精确到0.1m)2．甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是________________．3．为测量某塔的高度，在A，B两点进行测量的数据如图所示，求塔的高度．四、课堂小结本节课我们学习过哪些知识内容?五、学后反思1、我的疑问：2、我的收获：。
高中数学 1.2应用举例(2)导学案 新人教A版必修5
预习案【学习目标】1.了解常用的测量相关术语，把一些简单的实际问题转化为数学问题，培养数学的应用意识。
2.学会用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量高度（底部或顶部不能得到）有关的实际问题的方法。
3．让学生在独立思考，合作探究中激发学习数学的兴趣，体会数学建模的基本思想，培养其分析问题和解决问题的能力。
.【重点】：综合运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决生活中的测量高度问题。
【难点】：根据题意建立数学模型，画出示意图，并从中找出解决问题的关键条件。
将预习不能解决的问题中标出来，并写到后面“我的疑惑”处.Ⅰ.相关知识仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在上方的角叫仰角，在下方的角叫俯角(如图①)．2)方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如②)．Ⅱ.教材助读1.课本例3可转化为“已知任意两角与”的解三角形问题，可利用定理得到解决。
2.在测量上，我们根据测量需要适当确定的线段叫做，一般来说，越长，测量的精度。
例3中是基底。
【预习自测】如图所示，B、C、D在地平面同一直线上，DC＝10 m，从D、C两地测得A的仰角分别为30°、45°，则点A距地面的距离等于( )A．10 m B．5 3 m C．5(3－1) m D．5(3＋1) m图1 【我的疑惑】探究案Ⅰ.质疑探究——质疑解惑、合作探究探究点1：测量底部不能到达的某物体的高度（重点）【例1】如图2，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底在同一水平面内的两个测量点C与D.现测得∠BCD=α,∠BDC=β,CD=s,并在点C处测得塔顶A的仰角为θ,求塔高AB.图2【规律方法总结】解决该类问题时，一定要准确理解和的概念.Ⅱ.我的知识网络图→训练案一、基础巩固------把简单的事做好就叫不简单！2.如图，A，B，C，D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC＝0.1 km.试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离. 二、综合应用-----挑战高手，我能行！3.(09·宁夏海南)如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量．已知AB＝50 m，BC＝120 m，于A处测得水深AD＝80 m，于B处测得水深BE＝200 m，于C处测得水深CF＝110 m，求∠DEF的余弦值．正弦定理、余弦定理的应用1．在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为θ，沿BE方向前进30 m 至点C处测得顶端A的仰角为2θ，再继续前进103 m至D点，测得顶端A的仰角为4θ.则θ的值为( )A．15°B．10°C．5°D．20°三、拓展探究题------战胜自我，成就自我！4.为了测量两山顶M,N间的距离，飞机沿水平方向在A,B,M,N在同一个铅垂平面飞机能够测量的数据有俯角和A,B间的距离。
2022-2021学年高二数学人教A必修5学案：1.2 应用举例(二)
明目标、知重点 1.能够运用正弦定理、余弦定理等学问和方法解决一些有关底部不行到达的物体高度测量的问题.2.巩固深化解三角形实际问题的一般方法，养成良好的争辩、探究习惯.3.进一步培育学习数学、应用数学的意识及观看、归纳、类比、概括的力气．[情境导学]现实生活中，人们是怎样测量底部不行到达的建筑物高度？又怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度？今日我们就来共同探讨这方面的问题．探究点一测量仰角求高度问题例1如下图，AB是底部B不行到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法．思考1通过观看图形，你认为哪些量能够测量出？答能够测量出的分别是α、β，CD＝a，测角仪器的高h.思考2你能说出求AE长的一个解题思路吗？答求AB长的关键是先求AE，在△ACE中，如能求出C点到建筑物顶部A的距离CA，再测出由C点观看A的仰角，就可以计算出AE的长．思考3写出例题的解题过程．解选择一条水平基线HG，使H、G、B三点在同一条直线上．由在H、G两点用测角仪器测得A的仰角分别是β、α，CD＝a，测角仪器的高是h.那么，在△ACD中，依据正弦定理可得AC＝a sin βsin(α－β)，AB＝AE＋h＝AC sin α＋h＝a sin αsin βsin(α－β)＋h.反思与感悟在运用正弦定理、余弦定理解决实际问题时，通常都依据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出实际问题的解．和高度有关的问题往往涉及直角三角形的求解．跟踪训练1某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为35°，沿倾斜角为20°的斜坡前进1 000米后到达D处，又测得山顶的仰角为65°，则山的高度为______ m．(精确到1 m)答案811解析过点D作DE∥AC交BC于E，由于∠DAC＝20°，所以∠ADE＝160°，于是∠ADB＝360°－160°－65°＝135°.又∠BAD＝35°－20°＝15°，所以∠ABD＝30°.在△ABD中，由正弦定理，AB＝AD sin∠ADBsin∠ABD＝1 0002(m)．在Rt△ABC中，BC＝AB sin 35°≈811(m)．答山的高度约为811 m.探究点二测量俯角求高度问题例2如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角α＝54°40′，在塔底C处测得A处的俯角β＝50°1′.已知铁塔BC部分的高为27.3 m，求出山高CD(精确到1 m)．思考1 若在△ABD 中求CD ，则关键需要求出哪条边？又如何求出关健的这条边？ 答 需求出BD 边．可首先求出AB 边，再依据∠BAD ＝α求得BD 边．思考2 有没有别的解法？若在△ACD 中求CD ，则关键需要求出哪条边？又如何求出关健的这条边？ 答 需要求出AC .在△ABC 中，由于∠ABC ＝90°－α，∠BAC ＝α－β，BC ＝27.3 m ，由正弦定理能求出AC . 思考3 写出例题的解题过程．解 在△ABC 中，∠BCA ＝90°＋β，∠ABC ＝90°－α，∠BAC ＝α－β，∠BAD ＝α. 依据正弦定理，BC sin (α－β)＝ABsin (90°＋β)，所以AB ＝BC sin (90°＋β)sin (α－β)＝BC cos βsin (α－β).在Rt △ABD 中，得BD ＝AB sin ∠BAD ＝BC cos βsin αsin (α－β).将测量数据代入上式，得BD ＝27.3cos 50°1′sin 54°40′sin (54°40′－50°1′)＝27.3cos 50°1′sin 54°40′sin 4°39′≈177.4(m)．CD ＝BD －BC ≈177.4－27.3≈150(m)． 答 山的高度约为150米．反思与感悟 利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审题及依据题意画示意图，要懂得从所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化．跟踪训练2 江岸边有一炮台高30 m ，江中有两条船，船与炮台底部在同一水面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________ m. 答案 30解析 设两条船所在位置分别为A 、B 两点，炮台底部所在位置为C 点， 在△ABC 中，由题意可知AC ＝30tan 30°＝303(m)，BC ＝30tan 45°＝30(m)，∠C ＝30°， AB 2＝(303)2＋302－2×303×30×cos 30°＝900， 所以AB ＝30(m)．探究点三 测量方位角求高度问题例3 如图，一辆汽车在一条水平的大路上向正西行驶，到A 处时测得大路北侧远处一山顶D 在西偏北15°的方向上，行驶5 km 后到达B 处，测得此山顶在西偏北25°的方向上，仰角为8°，求此山的高度CD .(精确到1 m)思考1 欲求出CD ，你认为在哪个三角形中争辩比较适合？为什么？答 在△BCD 中比较适合；由于在已知条件中，只告知了B 处的仰角为8°，在A 处的仰角不知道． 思考2 在△BCD 中，已知BD 或BC 都可求出CD ，依据条件，易计算出哪条边的长？ 答 依据已知条件，在△ABC 中，易计算出BC 边． 思考3 写出例题的解题过程．解 在△ABC 中，∠A ＝15°，∠C ＝25°－15°＝10°， 依据正弦定理，BC sin A ＝ABsin C， BC ＝AB sin A sin C ＝5sin 15°sin 10°≈7.452 4 (km)．CD ＝BC ×tan ∠DBC ≈BC ×tan 8°≈1 047(m)． 答 山的高度约为1 047米．反思与感悟 利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审题及依据题意画方位图，要懂得从所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化．跟踪训练3 如图，为测得河对岸塔AB 的高，先在河岸上选一点C ，使C 在塔底B 的正东方向上，测得点A 的仰角为60°，再由点C 沿北偏东15°方向走10 m 到位置D ，测得∠BDC ＝45°，则塔AB 的高是( )A ．10 mB ．10 2 mC ．10 3 mD ．10 6 m答案 D解析 在△BCD 中，CD ＝10m ，∠BDC ＝45°，∠BCD ＝15°＋90°＝105°，∠DBC ＝30°，由正弦定理，得BC sin 45°＝CD sin 30°，BC ＝CD sin 45°sin 30°＝102(m)． 在Rt △ABC 中，tan 60°＝ABBC，AB ＝BC ·tan 60°＝106(m)．1．已知两座灯塔A ，B 与海洋观看站C 的距离相等，灯塔A 在观看站C 的北偏东40°，灯塔B 在观看站C 的南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的( ) A ．北偏东10° B ．北偏西10° C ．南偏东10° D ．南偏西10°答案 B解析 如下图，因△ABC 为等腰三角形，所以∠CBA ＝12(180°－80°)＝50°，60°－50°＝10°，故选B.2．从高出海平面h 米的小岛看正东方向有一只船俯角为30°，看正南方向有一只船俯角为45°，则此时两船间的距离为( )A ．2h 米 B.2h 米 C.3h 米 D ．22h 米 答案 A解析 如图所示，BC ＝3h ，AC ＝h ，∴AB ＝3h 2＋h 2＝2h (米)．3．甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是________________．答案 203米、4033米解析 甲楼的高为20tan 60°＝20×3＝203(米)；乙楼的高为203－20tan 30°＝203－20×33＝4033(米)． [呈重点、现规律]1．在争辩三角形时，机敏依据两个定理可以查找到多种解决问题的方案，但有些过程较繁琐，如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选择最佳的计算方式．2．测量底部不行到达的建筑物的高度问题．由于底部不行到达，这类问题不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理和余弦定理，计算出建筑物顶部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．一、基础过关1．为了测某塔AB 的高度，在一幢与塔AB 相距20 m 的楼顶处测得塔顶的仰角为30°，塔基的俯角为45°，那么塔AB 的高为( ) A ．20⎝⎛⎭⎫1＋33 m B ．201＋32m C ．20(1＋3) m D ．30 m答案 A解析 塔的高度为20tan 30°＋20tan 45°＝20⎝⎛⎭⎫1＋33(m)，故选A. 2．在某个位置测得某山峰仰角为θ，对着山峰在地面上前进600 m 后测得仰角为2θ，连续在地面上前进200 3 m 以后测得山峰的仰角为4θ，则该山峰的高度为( ) A ．200 m B ．300 m C ．400 mD ．100 3 m答案 B解析 方法一 如图，△BED ，△BDC 为等腰三角形，BD ＝ED ＝600 m ，BC ＝DC ＝200 3 m. 在△BCD 中，由余弦定理可得cos 2θ＝6002＋(2003)2－(2003)22×600×2003＝32，∴2θ＝30°，4θ＝60°.在Rt △ABC 中，AB ＝BC ·sin 4θ＝2003×32＝300(m)， 故选B.方法二 由于△BCD 是等腰三角形，12BD ＝DC cos 2θ，即300＝2003cos 2θ. cos 2θ＝32，2θ＝30°，4θ＝60°. 在Rt △ABC 中，AB ＝BC ·sin 4θ＝2003×32＝300(m)， 故选B.3．一架飞机在海拔8 000 m 的高度飞行，在空中测出前下方海岛两侧海岸俯角分别是30°和45°，则这个海岛的宽度为________ m ．(精确到0.1 m) 答案 5 856.4 解析 宽＝8 000tan 30°－8 000tan 45°＝5 856.4(m)． 4．为测量某塔的高度，在A ，B 两点进行测量的数据如图所示，求塔的高度．解 在△ABT 中，∠ATB ＝21.4°－18.6°＝2.8°，∠ABT ＝90°＋18.6°，AB ＝15(m)． 依据正弦定理，AB sin 2.8°＝ATcos 18.6°，AT ＝15×cos 18.6°sin 2.8°.塔的高度为AT ·sin 21.4°＝15·cos 18.6°sin 2.8°·sin 21.4°≈106.19(m)．5．我炮兵阵地位于地面A 处，两观看所分别位于地面点C 和D 处，已知CD ＝6 km ，∠ACD ＝45°，∠ADC ＝75°，目标毁灭于地面点B 处时，测得∠BCD ＝30°，∠BDC ＝15°(如图)，求我炮兵阵地到目标的距离．解 在△ACD 中，∠CAD ＝180°－∠ACD －∠ADC ＝60°，∠ACD ＝45°， 依据正弦定理，有AD ＝CD sin 45°sin 60°＝23CD ， 同理：在△BCD 中，∠CBD ＝180°－∠BCD －∠BDC ＝135°，∠BCD ＝30°，依据正弦定理，有BD ＝CD sin 30°sin 135°＝22CD ，在△ABD 中，∠ADB ＝∠ADC ＋∠BDC ＝90°，依据勾股定理，有AB ＝AD 2＋BD 2＝23＋12CD ＝426CD ＝42(km)，所以我炮兵阵地到目标的距离为42 km.二、力气提升6．某人在C 点测得某塔在南偏西80°，塔顶仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进10 m 到D ，测得塔顶A 的仰角为30°，则塔高为( ) A ．15 m B ．5 m C ．10 m D ．12 m答案 C解析 如图，设塔高为h ，在Rt △AOC 中，∠ACO ＝45°，则OC ＝OA ＝h .在Rt △AOD 中，∠ADO ＝30°， 则OD ＝3h .在△OCD 中，∠OCD ＝120°，CD ＝10，由余弦定理得OD 2＝OC 2＋CD 2－2OC ·CD cos ∠OCD ，即(3h )2＝h 2＋102－2h ×10×cos 120°，∴h 2－5h －50＝0，解得h ＝10或h ＝－5(舍)．即塔高为10 m.7．要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点分别测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°，甲、乙两地相距500 m ，则电视塔在这次测量中的高度是( ) A ．100 2 m B ．400 m C ．200 3 m D ．500 m答案 D解析 由题意画出示意图，设高AB ＝h ，在Rt △ABC 中，由已知BC ＝h ， 在Rt △ABD 中， 由已知BD ＝3h ，在△BCD 中，由余弦定理BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD ·cos ∠BCD 得， 3h 2＝h 2＋5002＋h ·500， 解之得h ＝500(m)．故选D.8．如图，在山脚A 测得山顶P 的仰角为α，沿倾斜角为β的斜坡向上走a 米到B ，在B 处测得山顶P 的仰角为γ，求证：山高h ＝a sin αsin (γ－β)sin (γ－α).证明 在△ABP 中，∠ABP ＝180°－γ＋β，∠BP A ＝180°－(α－β)－∠ABP ＝180°－(α－β)－(180°－γ＋β)＝γ－α. 在△ABP 中，依据正弦定理，AP sin ∠ABP ＝AB sin ∠APB ，AP sin (180°－γ＋β)＝asin (γ－α)，AP ＝a ×sin (γ－β)sin (γ－α)，所以山高h ＝AP sin α＝a sin αsin (γ－β)sin (γ－α).9．如图，A 、B 、C 、D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B 、D 为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A 处测得B 点和D 点的仰角分别为75°，30°，于水面C 处测得B 点和D 点的仰角均为60°，AC ＝0.1 km.摸索究图中B 、D 间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B 、D 的距离(计算结果精确到0.01 km ，2≈1.414，6≈2.449)．解 在△ACD 中，∠DAC ＝30°，∠ADC ＝60°－∠DAC ＝30°，所以CD ＝AC ＝0.1. 又∠BCD ＝180°－60°－60°＝60°，故CB 是△CAD 底边AD 的中垂线，所以BD ＝BA . 在△ABC 中，AB sin ∠BCA ＝ACsin ∠ABC ，所以AB ＝AC sin 60°sin 15°＝32＋620(km)，即BD ＝32＋620≈0.33(km)．故B 、D 的距离约为0.33 km.三、探究与拓展10．为保障高考的公正性，高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要求在考点四周1千米处不能收到手机信号，检查员抽查青岛市一考点，在考点正西约1.732千米有一条北偏东60°方向的大路，在此处检查员用手机接通电话，以每小时12千米的速度沿大路行驶，问最长需要多少分钟检查员开头收不到信号，并至少持续多长时间该考点才算合格？解如图所示，考点为A，检查开头处为B，设大路上C，D两点到考点的距离为1千米．在△ABC中，AB＝3≈1.732(千米)，AC＝1(千米)，∠ABC＝30°，由正弦定理sin∠ACB＝sin 30°AC·AB＝3 2，∴∠ACB＝120°(∠ACB＝60°不合题意)，∴∠BAC＝30°，∴BC＝AC＝1(千米)．在△ACD中，AC＝AD，∠ACD＝60°，∴△ACD为等边三角形，∴CD＝1(千米)．∵BC12×60＝5，∴在BC上需5分钟，CD上需5分钟．所以最长需要5分钟检查员开头收不到信号，并持续至少5分钟才算合格．。
高中数学新人教A版必修5学案1.2应用举例(第2课时)
1.2应用举例(第2课时)学习目标1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些相关底部不行抵达的物体高度丈量的问题 .2. 本节课是解三角形应用举例的延长. 能够在温故知新中学会正确识图、绘图、想图, 逐步建立知识框架.3. 进一步提高学习数学、应用数学的意识及察看、归纳、类比、归纳的能力.合作学习一、设计问题 , 创建情境塞乐斯生于公元前624 年 , 是古希腊第一位有名世界的大数学家. 他原是一位很聪明的商人 , 靠卖橄榄油累积了相当财产后, 塞乐斯便专心从事科学研究和旅游. 他游览埃实时, 曾用一种奇妙的方法算出了金字塔的高度, 使古埃及国王阿美西斯钦羡不已.塞乐斯的方法既奇妙又简单: 选一个天气明朗的日子, 在金字塔边直立一根小木棍, 而后察看木棍暗影的长度变化, 等到暗影长度恰巧等于木棍长度时, 连忙丈量金字塔影的长度, 因为在这一时辰, 金字塔的高度也恰巧与塔影长度相等.设问 : 现实生活中, 人们是如何丈量底部不行抵达的建筑物的高度的呢?又是如何在水平飞翔的飞机上丈量飞机下方山顶的海拔高度的呢?今日我们就来共同商讨这方面的问题.二、信息沟通 , 揭露规律思虑 : 解决一些相关底部不行抵达的物体高度丈量的问题和解决距离问题能否拥有必定的相像性 ?三、运用规律 , 解决问题【例 1】 AB 是底部 B 不行抵达的一个建筑物 ,A 为建筑物的最高点 , 设计一种丈量建筑物高度AB的方法 .问题1: 这个建筑物就不好抵达它的底部去丈量, 假如好抵达的话, 那直接用尺子去量一下就行了 , 那么大家思虑一下如何去丈量这个建筑物的高呢?问题 2: 求 AB长的重点是先求AE,那如何求AE?问题 3: 经过以上议论问题就转变成如何去求CA的长 ?问题 4: 经过这道题我们能否是能够获得一般的求解这类建筑物的高的方法呢?【例 2】如图 , 在山顶铁塔上 B 处测得地面上一点 A 的俯角α=54°40', 在塔底 C 处测得 A 处的俯角β=50°1'. 已知铁塔 BC部分的高为 27.3m, 求出山高 CD(精准到 1m).问题 5: 依据已知条件 , 大家能设计出解题方案吗?若在△ ABD中求 CD的长 , 则重点需要求出哪条边呢 ?四、变式训练 , 深入提高【例 3】如图 , 一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶, 到 A 处时测得公路南侧远处一山顶 D 在西偏北15°的方向上 , 行驶 5km 后抵达 B 处 , 测得此山顶在西偏北25°的方向上 , 仰角为 8°, 求此山的高度CD.问题 6: 欲求出 CD,大家思虑在哪个三角形中研究比较合适呢?问题 7: 在△ BCD中 , 已知 BD或 BC都可求出CD,依据条件 , 易计算出哪条边的长?练习 : 用相同高度的两个测角仪AB 和 CD同时看见气球 E 在它们的正西方向的上空, 分别测得气球的仰角α和β, 已知 BD间的距离为a, 测角仪的高度为b, 求气球的高度.五、限时训练1. 从 A 处望 B 处的仰角为α,从B处望A处的仰角为β,则α,β 的关系为()A. α>βB. α+β=90°C.α=βD.α+β=180°2. 如图 , 三点B,C,D在地面的同向来线上,DC=a, 在D,C 两点测得点 A 的仰角分别为α, β( α>β), 则点 A 离地面的高为 ()A. B.C. D.3. 在 200m的山顶上 , 测得山下一塔塔顶与塔底的俯角分别为30°,60 °, 则塔高为 ()A.mB.mC.mD.m4.在某点 B 处测得建筑物 AE的顶端 A 的仰角为θ, 沿 BE方向行进 30m至点 C处测得顶端A 的仰角为 2θ, 再持续行进10m至 D点 , 测得顶端A 的仰角为 4θ, 则θ=.5. 飞机的航线和山顶在同一个铅直平面内, 已知飞机的高度为海拔20250m, 速度为180km/h, 飞翔员先看到山顶的俯角为18°30', 经过120 秒后又看到山顶的俯角为81°, 求山顶的海拔高度( 精准到 1m).六、反省小结 , 看法提炼解三角形应用题的一般步骤:参照答案三、运用规律 , 解决问题【例 1】解 : 选择一条水平基线HG,使 H,G,B 三点在同一条直线上. 由在 H,G 两点用测角仪器测得由C,D 两点察看 A 的仰角分别是α,β,CD=a,测角仪器的高是h, 那么 , 在△ ACD中 , 依据正弦定理可得AC=,AB=AE+h=ACsinα+h=+h.问题 1: 要求建筑物AB的高 , 只需能把 AE的长求出来 , 而后再加上测角仪的高度EB的长就行了 .问题 2: 由解直角三角形的知识, 在△ ADC中 , 如能求出 C点到建筑物顶部A的距离 CA,再测出由 C点察看 A 的仰角 , 就能够计算出AE的长 .问题 3: 为了求 CA的长 , 应当把 CA放到△ DCA中 , 因为基线 DC能够丈量 , 且β也能够丈量 ,这样在△ DCA中就已知两角和一边, 因此由正弦定理能够解出CA的长 .问题 4: 要丈量某一高度AB,只需在地面某一条过AB 底端的直线上取两点D,C, 量出 CD=a 的长并在C,D 两点测出到AB顶端的仰角α,β,则高度AB=+h,此中 h 为测角仪的高 .【例2】解 : 在△ ABC 中 , ∠BCA=90°+β, ∠ABC=90° - α, ∠BAC=α - β, ∠BAD=α. 依据正弦定理 ,,因此 AB=.解 Rt △ ABD,得 BD=ABsin∠ BAD=.把丈量数据代入上式, 得BD==≈177.4(m)CD=BDBC-≈177.4 -27.3=150(m).问题 5: 需求出 BD边 , 可第一求出AB边 , 再依据∠ BAD=α求得 .四、变式训练 , 深入提高【例 3】解 : 在△ ABC中 , ∠A=15°, ∠C=25° - 15°=10°, 依据正弦定理,,BC=≈7.4524(km).CD=BC·tan ∠DBC≈BC·tan 8 °≈ 1047(m).答: 山的高度约为1047 米 .问题 6: 在△ BCD中 .问题 7:BC 边.练习 : 解 :AC=BD=a,在△ ACE中 , ∠ACE=β, ∠AEC=α - β, 依据正弦定理, 得AE=.在 Rt △AEG中,EG=AEsinα=.因此 EF=EG+b=+b.答: 气球的高度是+b.五、限时训练1.C2.A3.A4.15 °5.解 : 设飞翔员的两次观察点挨次为A 和 B, 山顶为 M,山顶到直线 AB 的距离为 MD.如图 , 在△ ABM中, 由已知 , 得∠A=18°30', ∠ABM=180° - 81°=99°, ∠AMB=81° - 18°30'=62 °30'.又 AB=180×=6(km),依据正弦定理 , 可得 BM=,从而求得MD=,因此 MD≈2120(m),可得山顶的海拔高度为20250-2120=18130(m).六、反省小结 , 看法提炼(1)剖析 : 理解题意 , 分清已知与未知 , 画出表示图 ;(2) 建模 : 依据已知条件与求解目标, 把已知量与求解量尽量集中在相关的三角形中, 成立一个解三角形的数学模型;(3) 求解 : 利用正弦定理或余弦定理有序地解三角形, 求得数学模型的解;(4) 查验 : 查验上述所求的解能否切合实质意义, 从而得出实质问题的解.。
人教版高中数学必修五导学案：1.2应用举例(2)
复习 2：在 ABC 中，a、b、c 分别为A、 B、 C 的对边，若a : b : c =1:1: 3 ，求 A:B:C 的值 .二、新课导学◆ 典型例题例 1. 如图，一艘海轮从 A 出发，沿北偏东 75 的方向航行 67.5 n mile 后抵达海岛 B，而后从 B 出发，沿北偏东 32 的方向航行 54.0 n mile 后达到海岛 C.假如下次航行直接从 A 出发抵达 C，此船应当沿如何的方向航行，需要航行多少距离 ?(角度精准到 0.1 ，距离精准到 0.01n mile)剖析：第一由三角形的内角和定理求出角ABC，而后用余弦定理算出AC 边，再依据正弦定理算出AC 边和 AB 边的夹角CAB.变式：某船在海面 A 处测得灯塔 C 与 A 相距10 3海里，且在北偏东30方向；测得灯塔 B 与 A 相距15 6海里，且在北偏西75方向 . 船由A向正北方向航行到 D 处，测得灯塔 B 在南偏西60方向 . 这时灯塔 C 与 D 相距多少海里？④解三角形一、课前准备 复习 1：在 ABC 中(1)若 a 1,b 3, B 120 ，则 A 等于 ．(2)若 a 3 3 ， b 2 ， C 150 ，则 c_____．复习 2：在 ABC 中， a 3 3 ， b2 ， C150 ，则高 BD=，三角形面积=．二、新课导学◆ 学习研究研究：在 ABC 中，边 BC 上的高分别记为 h a ，那么它如何用已知边和角表示？ h a =bsinC=csinBS=1依据从前学过的三角形面积公式，代入能够推导出下边的三角形面积公2 ah式，S=1absinC ，或 S=，2同理 S= ．新知：三角形的面积等于三角形的随意两边以及它们夹角的正弦之积的一半．◆ 典型例题例 1. 在 ABC 中，依据以下条件，求三角形的面积 S （精准到 0.1cm 2 ）：(1)已知 a=14.8cm ， c=23.5cm ，B=148.5 ； (2)已知 B=62.7 ， C=65.8 ，b=3.16cm ； (3)已知三边的长分别 为a=41.4cm ，b=27.3cm ， c=38.7cm ．变式：在某市进行城市环境建设中， 要把一个三角形的地区改造成室内公园， 经过丈量获得这个三角形地区的三条边长分别为 68m，88m，127m，这个地区的面积是多少？（精准到 0.1cm 2）例 2. 在ABC 中，求证：（1） a22b 2sin 2 A2sin 2 B ；c sin C（2）a2 + b2 + c2 =2（ bccosA+cacosB+abcosC）◆ 着手试一试1.从A处望B 处的仰角为，从 B 处望 A 处的俯角为，则，的关系为（） .A．C．+ = 90B．D．=+ =1802.已知两线段 a 2 ， b 2 2 ，若以 a 、 b 为边作三角形，则边 a 所对的角A的取值范围是（）.A．(, )B．(0,]636C．(0,)D．(0,]243. 对于x的方程sin A x22sin B x sin C0 有相等实根，且A、B、C 是的三个内角，则三角形的三边a、 b、 c 知足（） .A．b ac B．a bcC．c ab D．b2ac此中正确说法的序号是.6. 在 ABC 中， a2,b 3, C60 ，则 S ABC （）.A.23B.3 C.3D.3227. 三角形两边之差为 2，夹角的正弦值为 3，面积为 9，那么这个三角形的两边52长分别是（ ）.A.3和5B.4和6C.6和8D.5和78. ABC 三边长分别为 3,4,6 ，它的较大锐角的均分线分三角形的面积比 是 ． 三、总结提高 ◆ 学习小结1. 已知量与未知量所有集中在一个三角形中，挨次利用正弦定理或余弦定理解之 .；2．已知量与未知量波及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐渐在其他的三角形中求出问题的解 .3. 三角形面积公式：S= 1absinC===．24. 证明三角形中的简单的恒等式方法： 应用正弦定理或余弦定理， “边”化“角”或“角”化“边”．。
人教版高中数学必修5导学案 1.2应用举例
1.2 应用举例【学习目标】1.在平面图形中构造恰当的三角形,能正确选择正弦定理或余弦定理加以解答.2.体会正弦定理和余弦定理在平面几何的计算与推理中的作用.【重点难点】1．重点:运用正弦定理和余弦定理处理三角形中的计算问题.2．难点:正确挖掘图形中的几何条件简化计算.【学习过程】一、自主学习：正弦定理： .正弦定理的性质： .余弦定理： .余弦定理的推论： .三角形面积公式： .二、合作探究归纳展示如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，∠BAC=51︒，∠ACB=75︒. 求A、B两点的距离(精确到0.1m).提问1：∆ABC中，根据已知的边和对应角，运用哪个定理比较适当？提问2：运用该定理解题还需要那些边和角呢？分析：这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题题目条件告诉了边AB的对角，AC为已知边，再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算出AC的对角，应用正弦定理算出AB边.三、讨论交流点拨提升新知1：基线在测量上，根据测量需要适当确定的 叫基线.例. 如图，A 、B 两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A 、B 两点间距离的方法. 分析：这是例1的变式题，研究的是两个 的点之间的距离测量问题.首先需要构造三角形，所以需要确定C 、D 两点.根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边既可求出另两边的方法，分别求出AC 和BC ，再利用余弦定理可以计算出AB 的距离.变式：河岸选取相距40米的C 、D 两点，测得∠BCA =60°，∠ACD =30°，∠CDB =45°，∠BDA =60°.练：两灯塔A 、B 与海洋观察站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东30°，灯塔B 在观察站C 南偏东60°，则A 、B 之间的距离为多少？四、学能展示课堂闯关1. 水平地面上有一个球，现用如下方法测量球的大小，用锐角45︒的等腰直角三角板的斜边紧靠球面，P 为切点，一条直角边AC 紧靠地面，并使三角板与地面垂直，如果测得PA =5cm ，则球的半径等于（ ）.A ．5cmB ．52cmC ．5(21)cm +D ．6cm2. 台风中心从A 地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B 在A 的正东40千米处，B 城市处于危险区内的时间为（ ）.A ．0.5小时.. .B ．1小时..C ．1.5小时.. .D ．2小时3. 在ABC ∆中，已知2222()sin()()sin()a b A B a b A B +-=-+，则ABC ∆的形状（ ）. P A CA.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形4.在ABCC=，则sin A的值是．b=，120a=，6∆中，已知45. 一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60，行驶４h 后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15，这时船与灯塔的距离为 km．五、学后反思1. 解斜三角形应用题的一般步骤：（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解.2．基线的选取：测量过程中，要根据需要选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度.【课后作业】1. 隔河可以看到两个目标，但不能到达，在岸边选取相距3km的C、D两点，并测得∠ACB ＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，A、B、C、D在同一个平面，求两目标A、B间的距离.2. 某船在海面A处测得灯塔C与A相距103海里，且在北偏东30︒方向；测得灯塔B与A 相距156海里，且在北偏西75︒方向. 船由A向正北方向航行到D处，测得灯塔B在南偏西60︒方向. 这时灯塔C与D相距多少海里？。
人教新课标版数学高二-人教A必修5学案 1.2 应用举例(二)
1．2应用举例(二)[学习目标] 1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题.2.巩固深化解三角形实际问题的一般方法，养成良好的研究、探索习惯.3.进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力．[知识链接]现实生活中，人们是怎样测量底部不可到达的建筑物高度呢？又怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢？要点一测量仰角求高度问题例1如图所示，A、B是水平面上的两个点，相距800 m，在A点测得山顶C的仰角为45°，∠BAD＝120°，又在B点测得∠ABD＝45°，其中D点是点C到水平面的垂足，求山高CD.解由于CD⊥平面ABD，∠CAD＝45°，所以CD＝AD.因此只需在△ABD中求出AD即可，在△ABD中，∠BDA＝180°－45°－120°＝15°，由ABsin 15°＝ADsin 45°，得AD＝AB·sin 45°sin 15°＝800×226－24＝800(3＋1) (m)．即山的高度为800(3＋1) m.规律方法在运用正弦定理、余弦定理解决实际问题时，通常都根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出实际问题的解．和高度有关的问题往往涉及直角三角形的求解．跟踪演练1如图，地平面上有一旗杆OP，为了测得它的高度h，在地面上选一基线AB，AB＝20 m，在A点处测得P点仰角∠OAP＝30°，在B点处测得P点的仰角∠OBP＝45°，又测得∠AOB＝60°，求旗杆的高度h.(结果保留两个有效数字)解在Rt△AOP中，∠OAP＝30°，OP＝h，∴OA ＝OP ·1tan 30°＝3h . 在Rt △BOP 中，∠OBP ＝45°，∴OB ＝OP ·1tan 45°＝h . 在△AOB 中，AB ＝20，∠AOB ＝60°，由余弦定理得AB 2＝OA 2＋OB 2－2×OA ×OB ·cos 60°，即202＝(3h )2＋h 2－2·3h ·h ·12， 解得h 2＝4004－3≈176.4，∴h ≈13(m)． 答 旗杆高度约为13 m.要点二 测量俯角求高度问题例2 如图所示，在山顶铁塔上B 处测得地面上一点A 的俯角为α，在塔底C 处测得A 处的俯角为β.已知铁塔BC 部分的高为h ，求出山高CD .解 在△ABC 中，∠BCA ＝90°＋β，∠ABC ＝90°－α，∠BAC ＝α－β，∠CAD ＝β.根据正弦定理得AC sin ∠ABC ＝BC sin ∠BAC， 即AC sin (90°－α)＝BC sin (α－β)， ∴AC ＝BC cos αsin (α－β)＝h cos αsin (α－β). 在Rt △ACD 中，CD ＝AC sin ∠CAD ＝AC sin β＝h cos αsin βsin (α－β). 答 山的高度为h cos αsin βsin (α－β). 规律方法 利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审题及根据题意画示意图，要懂得从所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化．跟踪演练2 江岸边有一炮台高30 m ，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m.答案 30解析 设两条船所在位置分别为A 、B 两点，炮台底部所在位置为C 点，在△ABC 中，由题意可知AC ＝30tan 30°＝303，BC ＝30tan 45°＝30，C ＝30°， AB 2＝(303)2＋302－2×303×30×cos 30°＝900，所以AB ＝30.要点三 测量方位角求高度问题例3 如图，为测得河对岸塔AB 的高，先在河岸上选一点C ，使C 在塔底B 的正东方向上，测得点A 的仰角为60°，再由点C 沿北偏东15°方向走10 m 到位置D ，测得∠BDC ＝45°，求塔AB 的高度．解 在△BCD 中，CD ＝10，∠BDC ＝45°，∠BCD ＝15°＋90°＝105°，∠DBC ＝30°，由正弦定理，得BC sin 45°＝CD sin 30°， BC ＝CD sin 45°sin 30°＝10 2. 在Rt △ABC 中，tan 60°＝AB BC，AB ＝BC tan 60°＝10 6. 答 塔AB 的高度为10 6 m.规律方法 利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审题及根据题意画方位图，要懂得从所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化．跟踪演练3 一船以每小时15 km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔B 在北偏东60°方向，行驶4 h 后，船到达C 处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为________ km.答案 302解析 如图，由已知条件，得AC ＝60 km ，∠BAC ＝30°，∠ACB ＝105°，∠ABC ＝45°.由正弦定理得BC＝AC sin∠BACsin B＝302(km)1．已知两座灯塔A，B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的()A．北偏东10° B．北偏西10°C．南偏东10° D．南偏西10°答案B解析如右图，因△ABC为等腰三角形，所以∠CBA＝12(180°－80°)＝50°，60°－50°＝10°，故选B.2．从高出海平面h米的小岛看正东方向有一只船俯角为30°，看正南方向有一只船俯角为45°，则此时两船间的距离为()A．2h米 B.2h米C.3h米D．22h米答案A解析如图所示，BC＝3h，AC＝h，∴AB＝3h2＋h2＝2h(米)．3．甲、乙两楼相距20 m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是________________.答案20 3 m，403 3 m解析甲楼的高为20tan 60°＝20×3＝203；乙楼的高为203－20tan 30°＝203－20×33＝4033.1.在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案，但有些过程较烦琐，如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选择最佳的计算方式．2．测量底部不可到达的建筑物的高度问题．由于底部不可到达，这类问题不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理和余弦定理，计算出建筑物顶部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．一、基础达标1．为了测某塔AB 的高度，在一幢与塔AB 相距20 m 的楼顶处测得塔顶的仰角为30°，塔基的俯角为45°，那么塔AB 的高为( )A ．20⎝⎛⎭⎫1＋33 mB ．20⎝⎛⎭⎫1＋32 m C ．20(1＋3) mD ．30 m答案 A 解析 如图，h ＝20tan 30°＋20tan 45°＝20⎝⎛⎭⎫1＋33(m)，故选A. 2．在某个位置测得某山峰仰角为θ，对着山峰在地面上前进600 m 后测得仰角为2θ，继续在地面上前进200 3 m 以后测得山峰的仰角为4θ，则该山峰的高度为( )A ．200 mB ．300 mC ．400 mD ．100 3 m答案 B解析 法一 如图，△BED ，△BDC 为等腰三角形，BD ＝ED ＝600，BC ＝DC ＝200 3.在△BCD 中，由余弦定理可得cos 2θ＝6002＋(2003)2－(2003)22×600×2003＝32， ∴2θ＝30°，4θ＝60°.在Rt △ABC 中，AB ＝BC ·sin 4θ＝2003×32＝300，故选B.法二由于△BCD是等腰三角形，12BD＝DC cos 2θ，即300＝2003cos 2θ.cos 2θ＝32，2θ＝30°，4θ＝60°.在Rt△ABC中，AB＝BC·sin 4θ＝2003×32＝300，故选B.3．一架飞机在海拔8 000 m的高度飞行，在空中测出前下方海岛两侧海岸俯角分别是30°和45°，则这个海岛的宽度为________m.答案 5 856.4解析宽＝8 000tan 30°－8 000tan 45°＝5 856.4(m)．4．为测量某塔的高度，在A，B两点进行测量的数据如图所示，求塔的高度．解在△ABT中，∠ATB＝21.4°－18.6°＝2.8°，∠ABT＝90°＋18.6°，AB＝15(m)．根据正弦定理，ABsin 2.8°＝ATcos 18.6°，AT＝15×cos 18.6°sin 2.8°.塔的高度为AT·sin 21.4°＝15·cos 18.6°sin 2.8°sin 21.4°≈106.19(m)．所以塔的高度为106.19 m.5．如图，某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°，距离为12 6n mile，在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°，距离为8 3 n mile，货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在货轮的南偏东60°.求：(1)A处与D处的距离；(2)灯塔C与D处的距离．解(1)在△ABD中，∠ADB＝60°，B＝45°，由正弦定理得AD＝AB sin Bsin∠ADB＝126×2232＝24 (n mile)．所以A处与D处的距离为24 n mile.(2)在△ADC中，由余弦定理得CD2＝AD2＋AC2－2AD·AC cos 30°＝192，解得CD＝8 3 n mile.即灯塔C与D处的距离为8 3 n mile.二、能力提升6．某人在C点测得某塔在南偏西80°，塔顶仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进10 m到D，测得塔顶A的仰角为30°，则塔高为()A．15 m B．5 mC．10 m D．12 m答案C解析如图，设塔高为h，在Rt△AOC中，∠ACO＝45°，则OC＝OA＝h.在Rt△AOD中，∠ADO＝30°，则OD＝3h.在△OCD中，∠OCD＝120°，CD＝10，由余弦定理得OD2＝OC2＋CD2－2OC·CD cos∠OCD，即(3h)2＝h2＋102－2h×10×cos 120°，∴h2－5h－50＝0，解得h＝10或h＝－5(舍)．7．要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点分别测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°，甲、乙两地相距500 m，则电视塔在这次测量中的高度是()A．100 2 m B．400 m C．200 3 m D．500 m答案D解析由题意画出示意图，设高AB＝h，在Rt△ABC中，由已知BC＝h，在Rt△ABD中，由已知BD＝3h，在△BCD中，由余弦定理BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos∠BCD得，3h2＝h2＋5002＋h·500，解之得h＝500 m．故选D.8．如图，在山脚A 测得山顶P 的仰角为α，沿倾斜角为β的斜坡向上走a 米到B ，在B 处测得山顶P 的仰角为γ，求证：山高h ＝a sin αsin (γ－β)sin (γ－α). 解 在△ABP 中，∠ABP ＝180°－γ＋β，∠BP A ＝180°－(α－β)－∠ABP ＝180°－(α－β)－(180°－γ＋β)＝γ－α.在△ABP 中，根据正弦定理，AP sin ∠ABP ＝AB sin ∠APB ，AP sin (180°－γ＋β)＝αsin (γ－α)，AP ＝a ×sin (γ－β)sin (γ－α)所以山高h ＝AP sin α＝a sin αsin (γ－β)sin (γ－α). 9．如图，A 、B 、C 、D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B 、D为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A 处测得B 点和D 点的仰角分别为75°，30°，于水面C 处测得B 点和D 点的仰角均为60°，AC ＝0.1 km.试探究图中B 、D 间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B 、D 的距离(计算结果精确到0.01km ，2≈1.414，6≈2.449).解 在△ACD 中，∠DAC ＝30°，∠ADC ＝60°－∠DAC ＝30°，∴CD ＝AC ＝0.1，又∠BCD ＝180°－60°－60°＝60°，故CB 是△CAD 底边AD 的中垂线，∴BD ＝BA ，在△ABC 中，AB sin ∠BCA ＝AC sin ∠ABC， 所以AB ＝AC sin 60°sin 15°＝32＋620. 因此，BD ＝32＋620≈0.33 km ，故B 、D 的距离约为0.33 km. 三、探究与创新10．为保障高考的公平性，高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要求在考点周围1千米处不能收到手机信号，检查员抽查青岛市一考点，在考点正西约1.732千米有一条北偏东60°方向的公路，在此处检查员用手机接通电话，以每小时12千米的速度沿公路行驶，问最长需要多少分钟检查员开始收不到信号，并至少持续多长时间该考点才算合格？解如图所示，考点为A，检查开始处为B，设公路上C，D两点到考点的距离为1千米．在△ABC中，AB＝3≈1.732(千米)，AC＝1(千米)，∠ABC＝30°，由正弦定理sin∠ACB＝sin 30°AC·AB＝3 2，∴∠ACB＝120°(∠ACB＝60°不合题意)，∴∠BAC＝30°，∴BC＝AC＝1(千米)，在△ACD中，AC＝AD，∠ACD＝60°，∴△ACD为等边三角形，∴CD＝1(千米)．∵BC12×60＝5，∴在BC上需5分钟，CD上需5分钟．所以最长需要5分钟检查员开始收不到信号，并持续至少5分钟才算合格．。
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复习2：在∆ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，若::
a b c=1:1:3，求A:B:C的值.
二、新课导学
◆典型例题
例1. 如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东75︒的方向航行67.5 n mile后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东32︒的方向航行54.0 n mile后达到海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C，此船应该沿怎样的方向航行，需要航行多少距离?(角度精确到0.1︒，距离精确到0.01n mile)
分析：
首先由三角形的内角和定理求出角∠ABC，
然后用余弦定理算出AC边，
再根据正弦定理算出AC边和AB边的夹角∠CAB.
变式：某船在海面A处测得灯塔C与A相距3海里，且在北偏东30︒方向；测得灯塔B与A相距15675︒方向. 船由A向正北方向航行到D 处，测得灯塔B在南偏西60︒方向. 这时灯塔C与D相距多少海里？
④解三角形
一、课前准备
复习1：在∆ABC中
(1)若1,120
===︒，则A等于．
a b B
(2)若a=，2
C=︒，则c= _____．
b=，150
复习2：
在ABC
C=︒，则高BD= ，三角形面积∆中，a=，2
b=，150
= ．
二、新课导学
◆学习探究
探究：在∆ABC中，边BC上的高分别记为h
，那么它如何用已知边和角表示？
a
h
=b sin C=c sin B
a
ah，代入可以推导出下面的三角形面积公根据以前学过的三角形面积公式S=1
2
ab sin C，或S= ，
式，S=1
2
同理S= ．
新知：三角形的面积等于三角形的任意两边以及它们夹角的正弦之积的一半．
◆典型例题
例1. 在∆ABC中，根据下列条件，求三角形的面积S（精确到0.1cm2）：
(1)已知a=14.8cm，c=23.5cm，B=148.5︒；
(2)已知B=62.7︒，C=65.8︒，b=3.16cm；
(3)已知三边的长分别为
a=41.4cm，b=27.3cm，c=38.7cm．
变式：在某市进行城市环境建设中，要把一个三角形的区域改造成室内公园，经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为68m ，88m ，127m ，这个区域的面积是多少？（精确到0.1cm 2）
例2. 在∆ABC 中，求证：
（1）222222sin sin sin a b A B c C
++=； （2）2a +2b +2c =2（bc cos A +ca cos B +ab cos C ）
◆ 动手试试
1. 从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α，β的关系为（ ）.
A ．α>β
B ．α=β
C ．α+β=90o
D ．α+β=180o
2. 已知两线段2a =，b =a 、b 为边作三角形，则边a 所对的角A 的取值范围是（ ）.
A ．(,)63ππ
B ．(0,]6
π C ．(0,)2π D ．(0,]4
π 3. 关于x 的方程2sin 2sin sin 0A x B x C ++=g g 有相等实根，且
A 、
B 、
C 是∆的三个
内角，则三角形的三边a b c 、、满足（ ）.
A ．b ac =
B ．a bc =
C ．c ab =
D ．2b ac =
其中正确说法的序号
是 .
6. 在ABC ∆中，2,3,60a b C ︒===，则ABC S ∆=（ ）. A. 33332
7. 三角形两边之差为2，夹角的正弦值为35，面积为92，那么这个三角形的两边长分别是（ ）.
A. 3和5
B. 4和6
C. 6和8
D. 5和7
8. ABC ∆三边长分别为3,4,6，它的较大锐角的平分线分三角形的面积比是 ．
三、总结提升
◆ 学习小结
1. 已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之.； 2．已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解.
3. 三角形面积公式：S =12ab sin C = = = ．
4. 证明三角形中的简单的恒等式方法：应用正弦定理或余弦定理，“边”化“角”或“角”化“边”．。