7.5三角形内角和定理证明
7.5 三角形内角和定理 知识考点梳理(课件)北师大版数学八年级上册
巧 点
又 ∵∠C=90°，
拨 ∴∠D=180°-90°-55°=35°.
［答案］ A
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混
分 析
领悟提能 三角形的外角是由三角形的一边与另一边的
反向延长线组成的，由外角的性质可以把不在同一个三角
形中的几个内角联系起来．
7.5 三角形内角和定理
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方 ■方法：转化法求角度
法 技
用已知角的度数求未知角的度数时，若几个角的位置分
巧 点
布比较分散，那么我们利用平行线的性质、对顶角的性质
拨 等将所求角与已知角“转移”到一个图形中求解.
7.5 三角形内角和定理
● 考点清单解读 ● 重难题型突破 ● 易错易混分析 ● 方法技巧点拨
7.5 三角形内角和定理
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考 ■考点一 三角形内角和定理
点
清 三角形内角和
单 解
定理
三角形的内角和等于 180°
读 如图，在△ABC 中，∠A+∠B+∠C=180°
数学语言描述
7.5 三角形内角和定理
7.5 三角形内角和定理
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方 例 如图，已知∠A=35°，∠B=∠C=90°，则∠D 的度
法
技 数是 （
）
巧 点
A. 35° B. 45°
C. 55°
D. 65°
拨
7.5 三角形内角和定理
方 ［解析］ ∵∠A=35 ° ，∠B=90°，
法 技 ∴∠COD=∠AOB=180°-90°-35°=55°.
________（选填“增加”或“减少”）_______°.
7.5 三角形内角和定理
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重 ［解析］如解析图，延长 EF，交 CD 于点 G.
数学 7.5 三角形内角和定理-课件
C.180° D.140°
9.一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示,若∠3=50°,则∠1+∠2等于( B )
A.90° B.100°
C.130° D.180°
第七章
7.5 三角形内角和定理
知识要点基础练
综合能力提升练
拓展探究突破练
-6-
10.如图是由线段AB,CD,DF,BF,CA组成的平面图形.若∠D=28°,则∠A+∠B+∠C+∠F的度数
C,∠1=30°,∠B=60°,∠C=20°,则∠2= 50° ,∠A= 70° .
-3-
第七章
7.5 三角形内角和定理
知识要点基础练
综合能力提升练
拓展探究突破练
6.( 改编 )如图,∠1,∠2,∠3之间的大小关系为 ∠2<∠3<∠1 ( 用“<”连接 ).
-4-
第七章
7.5 三角形内角和定理
知识要点基础练
∴∠AFC=180°-∠FAC-∠FCA=120°,
∴∠EFD=∠AFC=120°.
( 2 )FE=FD.
在 AC 上截取 AG=AE,连接 FG.
∵AD 是∠BAC 的平分线,∴∠BAD=∠DAC,
又∵AF=AF,∴△AEF≌△AGF( SAS ),
∴FE=FG,∠AFE=∠AFG=60°,
∴∠CFG=60°.
于点F.
( 1 )求∠EFD的度数;
( 2 )判断FE与FD之间的数量关系,并证明你的结论.
第七章
7.5 三角形内角和定理
知识要点基础练
综合能力提升练
解:( 1 )∵△ABC 中,∠ACB=90°,∠B=60°,
7.5三角形内角和定理的证明
D
E C
（第3题）
∴ ∠ AED= ∠ C = 700 （两直线平行，同位角相等）
∵ ∠ A+ ∠ AED+ ∠ ADE=1800（三角形的内角和定理） ∠ A=600（已知） ∴ ∠ ADE=1800—600—700=500（等量代换） 即∠ ADE= 500
证明： 因为 ∠A+∠B+∠ACB=180°（三角形内角和定理）
所以 ∠A+∠B=180°-∠ACB（等式性质） 又因为 ∠ACF+∠ACB=180°（三角形外角定义） 所以 ∠ACF=180°-∠ACB（等式性质）
所以 ∠ACF=∠A+∠B（等量代换）
• 在任意一个三角形中，无论这个三角形的形状如 何，三角形的内角和总等于180度。
1、△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，∠B=？ 2、 △ABC中∠A=50°，∠B=∠C，则∠B=？
练一练
3、三角形的三个内角中，只能有__个直角或__个钝角 4、任意一个三角形，至少有__个锐角,至多有__个锐角 5、任意一个三角形，最大的角一定不小于 度； 6、三角形中三角之比为1∶2∶3，则三个角各为多少度？
证明： 因为 ∠A+∠B+∠ACB=180°（三角形内角和定理）
所以 ∠A+∠B=180°-∠ACB（等式性质） 又因为 ∠ACF+∠ACB=180°（三角形外角定义） 所以 ∠ACF=180°-∠ACB（等式性质）
所以 ∠ACF=∠A+∠B（等量代换）
实际问题
如图，一艘轮船按箭头所示方向行驶， C处有一灯塔，轮船行驶到哪一点时距离 灯塔最近？当轮船从A点行驶到B点时， ∠ACB的度数是多少？当轮船行驶到距离 灯塔最近点时呢？ C
三角形内角和证明方法
三角形内角和证明方法三角形内角和是指三角形的三个内角的度数之和，它是三角形最基本的性质之一。
在本文中，我们将介绍一些关于三角形内角和的证明方法。
1.我们可以使用三角形内角和定理来证明三角形内角和的性质。
根据该定理，三角形的内角和等于180度。
证明方法：假设ABC是一个三角形，我们可以作三角形的外接圆O。
连接AO，BO，CO，以及连接AO与BC的垂线OD。
根据外接圆的性质，AO的长度等于半径R，而R为定值。
又因为AO与OD相交，所以AO的垂足D到外接圆的距离等于OD的长度。
由于OD与BC垂直，并且是BC的中线，所以OD的长度等于BC的一半，即OD=BC/2。
根据三角形ABC的内角和定理，∠A+∠B+∠C=180度，而∠A和∠B是三角形的两个锐角，它们可以理解为AO和BO在三角形内角A和B上的倒影，所以∠A和∠B的和等于AO和BO的倒影两个角之和，即∠A+∠B=∠DOA+∠DOB。
同理，∠B+∠C=∠BOC+∠BOA，∠C+∠A=∠COA+∠COD。
因为∠DOA+∠DOB+∠BOC+∠BOA+∠COA+∠COD=360度，而∠A+∠B+∠C=180度，所以∠DOA+∠DOB+∠BOC+∠BOA+∠COA+∠COD-∠A-∠B-∠C=360度-180度=180度。
同理∠DOA+∠COA=180度-∠A-∠C，∠DOB+∠BOA=180度-∠A-∠B，∠BOC+∠COD=180度-∠B-∠C。
将上述等式代入∠A+∠B+∠C=180度，得到：(180度-∠A-∠C)+(180度-∠A-∠B)+(180度-∠B-∠C)=180度。
化简上述等式，可以得到3*180度-2*(∠A+∠B+∠C)=180度，即3*180度=2*(∠A+∠B+∠C)，进一步化简为∠A+∠B+∠C=180度。
证明完毕。
2.另一种证明三角形内角和的方法是使用拓扑学中的欧拉公式。
根据欧拉公式，一个简单多边形的顶点数、边数和面数之间存在着一个关系。
7.5三角形的内角和(1)
3
b
操作：把木条a绕点A转动，使它与木条b相 交于点C，根据图（2），你能说明“三角 形内角和等于1800”吗？
A 2
B 1 3
4 C
解：因为c//b, 所以∠3=∠4 b ∠1+∠2+∠3=180° a 所以∠1+∠2+∠4=180° 即△ABC的三个内角的和等于180°
三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一 个内角。
三角形的外角和等于
。
（2）由三角形3个内角之间的关系得到直 角三角形的一个性质： 直角三角形的两个锐角互余.
试一试
把△ABC的边AB延长，得到∠CBD，度 量∠A、∠C和∠CBD的度数，你能得到 什么关系？
C
1
A
B
D
外角
1、三角形的一边与另一边的延长线 的夹角，叫做外角 。 2、想一想，三角形的外角共有几个？ 共有六个。 注意：每个顶点处有两个外角，它们 是对顶角。研究与三角形外角有关的 问题时，通常每个顶点处取一个外角.
C
D
112
C B
y
x
65
A
B
A
x
(x-10)
E
2、（1）三角形的三个内角中，最多能有几 个直角？最多能有几个钝角？
（2）直角三角形的外角可能是锐角吗？
3、如图，AD是△ABC的角平分线，E是BC延 长线上一点，∠EAC=∠B, ∠ADE与∠DAE相 等吗？
解：∠ADE与∠DAE相等. 因为 ∠DAE= ∠DAC+ ∠EAC, ∠ADE是△ABD的一个外角, ∠ADE=∠B+ ∠BAD 因为 ∠BAD= ∠DAC, ∠EAC= ∠B, B 所以∠ADE= ∠DAE
三角形内角和定理
三角形内角和定理三角形是几何学中的基本图形之一，由三条边和三个内角组成。
在数学中，有许多定理和公式适用于三角形的性质和特征。
本文将介绍三角形内角和定理。
一、三角形的内角和三角形的内角和定理是指三角形内的三个角的度数之和等于180度。
即对于任意三角形ABC，有∠A +∠B +∠C = 180°。
二、三角形内角和定理的证明要证明三角形内角和定理，可以采用如下的方法之一：1. 通过平行线证明：设直线L与边AC平行，交边AB于点D。
则∠ACD与∠A之和为180°（同位角和对内错外角和为180°）。
同理，设直线M与边AB平行，交边AC于点E，则∠ABE与∠C之和为180°。
根据两段式证明原理，可以得出∠ACD + ∠C + ∠ABE = 180°，即∠A + ∠B + ∠C = 180°。
2. 通过角平分线证明：设三角形ABC的内角A的角平分线交边BC于点D。
则∠BAD =∠CAD，由此可得∠B + ∠BAD = ∠C + ∠CAD。
又由三角形内角和定理可知∠A + ∠B + ∠C = 180°，因此可以推出∠A + ∠B + ∠C =∠B + ∠BAD + ∠C + ∠CAD，即∠A + ∠B + ∠C = 180°。
三、三角形内角和定理的应用三角形内角和定理在解决各种与三角形相关的问题时起到了重要的作用。
下面以一些典型的应用为例进行说明：1. 求解缺失的角度：在已知三角形两个角的度数时，可以利用内角和定理求解第三个角的度数。
例如，若已知∠A = 30°，∠B = 60°，则根据内角和定理可得∠C = 180° - ∠A - ∠B = 90°。
2. 判断三角形类型：根据内角和定理，若三角形的内角和等于180°，则可以判断出该三角形是一个普通三角形。
而当内角和小于180°时，表示该图形是一个退化三角形（如直线），当内角和大于180°时，表示该图形不是一个三角形。
三角形内角和定理多种证明方法
三角形内角和定理多种证明方法三角形内角和定理是数学中的一个基本定理，也是初中数学中常见的一个知识点。
它表明任意一个三角形的三个内角之和等于180度。
下面我将介绍一些证明三角形内角和定理的方法。
方法一：通过三角形内切圆的角度性质证明我们可以通过利用三角形内切圆的一些性质来证明三角形内角和定理。
首先，我们知道，对于任意一个三角形ABC，它的内切圆可以与三角形的三边分别相切于点D、E、F。
如下图所示：A/ \/ \/ \/ \/ \C_____________BE/ \/ \/ \/ \D_________________F根据内切圆的性质，我们可以得知：AE=AF、BD=BF、CD=CE分别连接AD、BE、CF，得到以下关系式：AD=AE+ED、BE=BF+EF、CF=CE+FD将上述三个等式左右两边相加：AD+BE+CF=AE+ED+BF+EF+CE+FD等式左边AD+BE+CF代表了三角形ABC的周长，记为P。
等式右边AE+ED+BF+EF+CE+FD代表了三角形内切圆的周长，由于内切圆的半径相等，所以它的周长等于2πr，其中r为内切圆的半径。
因此，我们可以得到以下关系式：P=2πr而三角形的内角和等于周角，可以表示为360度。
所以我们可以推导出以下关系式：360°=P将上述两个等式组合在一起，得到：360°=2πr进一步化简可以得到：180°=πr而π是一个固定的常数，所以我们可以得到以下结论：180°=r结合之前的推导，我们可以得出：三角形的内角和等于180度。
方法二：通过三角形的内切圆面积证明我们可以利用三角形的面积公式来证明三角形内角和定理。
首先，我们知道对于任意一个三角形ABC，它的内切圆的半径为r。
根据三角形面积公式S=1/2 *底边*高，我们可以将三角形ABC分成三个小三角形，分别为BDF、AED和CEC。
三角形BDF的高为r，底边DF的长度等于三角形的周长P，所以三角形BDF的面积为S1=1/2 * P * r。
三角形内角和定理的证明方法
三角形内角和定理是：三角形的内角和等于180°。
接下来分享三角形内角和定理的证明方法，供参考。
三角形内角和定理证明方法证法一：作BC的延长线CD，过点C作CE∥BA，则∠1=∠A，∠2=∠B，又∵∠1+∠2+∠ACB=180°∴∠A+∠B+∠ACB=180°证法二：过点C作DE∥AB，则∠1=∠B，∠2=∠A，∵∠1+∠ACB+∠2=180°∴∠A+∠ACB+∠B=180°证法三：在BC上任取一点D，作DE∥BA交AC于E，DF∥CA交AB于F，则有∠2=∠B，∠3=∠C,∠1=∠4,∠4=∠A。
∴∠1=∠A。
又∵∠1+∠2+∠3=180°∴∠A+∠B+∠C=180°三角形内角和公式任意n边形内角和公式任意n边形的内角和公式为θ=180°·(n-2)。
其中，θ是n边形内角和，n 是该多边形的边数。
从多边形的一个顶点连其他的顶点可以将此多边形分成(n-2)个三角形，每个三角形内角和为180°，故，任意n边形内角和的公式是:θ=(n-2)·180°，∀n=3，4，5，…。
三角形的五心(1)重心:三条中线的交点,这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍;重心分中线比为1：2;(2)垂心：三角形的三条高线的交点叫做三角形的垂心。
(3)内心：三角形三条内角平分线的交点叫三角形的内心。
即内切圆的圆心，到三边距离相等。
(4)外心：是指三角形三条边的垂直平分线也称中垂线的相交点。
是三角形的外接圆的圆心的简称，到三顶点距离相等。
(5)旁心：一条内角平分线与其它二外角平分线的交点(共有三个)，是三角形的旁切圆的圆心的简称。
北师大版八年级上册数学第7章平行线的证明 第5节三角形内角和定理
感悟新知
知识点 2 三角形的外角
知2－讲
1.三角形的外角 三角形内角的一条边与另一条边的反向延 长线组成的角，称为三角形的外角 . 如图 7-5-3，∠ ACD 是 △ ABC 的∠ ACB 的外角 .
感悟新知
2. 外角的特征 (1)顶点是三角形的顶点； (2)一条边是三角形内角的一边； (3)另一条边是该内角另一边的反向延长线 .
第七章
平行线的证明
7.5 三角形内角和定理
学习目标
1 课时讲解 2 课时流程
三角形内角和定理 三角形的外角 三角形内角和定理的推论
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
感悟新知
知识点 1 三角形内角和定理
知1－讲
1.定理： 三角形的内角和等于 180° . 几何语言： 在△ ABC 中，∠ A+ ∠ B+ ∠ C=180° .
感悟新知
2. 三角形内角和定理的证明思路
知1－讲
思路一：利用“两直线平行，内错角及同位角相等”将
三角形的三个内角转化为一个平角 . 如图 7-5-1 ①② .
感悟新知
知1－讲
思路二：利用“两直线平行，内错角相等”将三角形的 三个内角转化为两平行线间的一组同旁内角 . 如图 7-5-2 ① ②.
感悟新知
知2－练
感悟新知
解题秘方：紧扣三角形外角的定义识别外角 .
知2－练
解：图中△ CEF 的三边的延长线只有 EF的延长线 FA，
CE 的延长线 EB，延长线 FA与边 FC 构成的角为∠
AFC；延长线 EB 与边EF 构成的角为∠ BEF.
由三角形外角的定义可以判断∠ AFC，∠ BEF
是△ CEF的外角 .
三角形内角和定理的几种证明方法
三角形内角和定理的几种证明方法有很多种方法可以证明三角形的内角和定理，下面列举了其中的几种常见证明方法。
方法一：利用平行线的性质1.加边法：首先，将三角形ABC边AB上延长一条边AD，使得AD与BC平行。
然后，利用平行线性质可得∠BAC和∠DCA是同位角。
再进一步，由三角形内角和定理可知∠BAC+∠ACB+∠DCA=180°，再结合∠ACB+∠DCA=180°，得到∠BAC+∠ACB+∠DCA=360°，即证明了三角形内角和定理。
方法二：利用直线的性质1.平行线截三角形法：首先，通过点B和点C分别作直线DE和直线AF与边AC交于点D和点E，点AB交于点F。
然后，利用平行线截三角形的性质可知，三角形ADF与三角形ABC相似，三角形CDE与三角形ABC相似。
根据相似三角形的内角和相等，我们可以得到三角形ADF的内角和为∠ADF+∠DAF+∠AFD=180°，以及三角形CDE的内角和为∠CDE+∠EDC+∠DEC=180°。
进一步，根据三角形内角和的性质，我们可以推出∠BAC+∠ACB+∠ABC=∠ADF+∠DAF+∠AFD+∠CDE+∠EDC+∠DEC=180°+180°=360°，即证明了三角形内角和定理。
方法三：利用三角形面积的性质1.面积法：首先，画出三角形ABC，并作高BD。
然后，利用三角形面积的公式S=1/2*底*高，可知三角形ABC的面积为S=1/2*AB*BD+1/2*AC*CD+1/2*BC*CE。
再进一步，可知三角形ABC的面积为S=1/2*(AB*BD+AC*CD+BC*CE)。
由于BD=CD+CE，代入原式可得S=1/2*(AB*CD+AC*CD+BC*CE+BC*CE)。
化简得S=1/2*(AB*CD+AC*CD+BC*2CE)=1/2*(AB+AC+BC)*CD。
由于三角形ABC的面积等于三角形ABC的高与底乘积的两倍，即S=1/2*(AB+AC+BC)*CD。
三角形内角和定理的证明方法
三角形内角和定理的证明方法三角形的内角和定理是指一个三角形的三个内角之和等于180度。
下面将阐述三角形内角和定理的证明方法。
证明方法一：1. 取一条线段AB，并以该线段为边构造一个任意的封闭图形ABCDEF。
2. 假设三角形ABC的内角和为θ。
3. 将该封闭图形ABCDEF分为n个三角形，其中一个三角形为ABC。
4. 根据封闭图形ABCDEF的性质，所有的内角之和等于(n-2)×180度。
即：Σxx = (x−2) ×180度5. 根据三角形的性质，封闭图形ABCDEF中除了三角形ABC之外的其他三角形的内角之和等于180度。
即：Σ(xx) = 180度6. 将上述两个等式相减，得到：(x−2) ×180度- 180度= x7. 化简上述等式得到：(x−3) ×180度= x8. 由于三角形ABC是封闭图形ABCDEF中的一个三角形，所以x等于三角形ABC的内角和。
9. 将上述等式中的x替换为三角形ABC的内角和，得到：(x−3) ×180度= 三角形ABC的内角和10. 将上述等式化简，得到：(x−3) ×180度= θ11. 又因为三角形ABC的内角和为θ，所以上述等式可以改写为：(n - 3) ×180度= θ12. 将等式中的n - 3替换为n，得到：n ×180度= θ13. 由于n表示封闭图形ABCDEF中三角形的个数，所以n = 3，即封闭图形ABCDEF中只包含一个三角形ABC。
14. 所以，三角形ABC的内角和等于θ= n ×180度= 3 ×180度= 540度。
综上所述，三角形ABC的内角和为540度，符合三角形的内角和定理。
证明方法二：1. 以线段AB为边，取一点C在AB的任意一侧。
2. 连接AC和BC，构成三角形ABC。
3. 假设三角形ABC的内角分别为α、β和γ。
4. 将三角形ABC平移到与原来的位置重合。
三角形内角和三种证明
三角形内角和三种证明
三角形内角和是指三角形三个内角的度数之和。
这个和等于180度，也就是一个直角。
有三种常见的证明方法：
1. 利用平行线性质
先画出一个任意三角形ABC，然后在BC线段上取一点D，使得AD与AC线段平行。
这时，三角形ABC与三角形ABD的两个角是对应角，它们相等；同时，三角形ABD与三角形ACD的两个角也是对应角，它们也相等。
因此，∠ABC=∠ABD+∠ACD。
又因为AD||BC，所以∠ACD+∠BCD=180°，代入上面的等式，得到∠ABC=∠ABD+∠BCD，即三角形三个内角的和为180度。
2. 利用外角和定理
在三角形ABC的每个顶点处画一条外角，得到三个外角。
通过观察可以发现，三个外角的度数之和等于360度。
同时，每个外角都是相邻两个内角的补角。
因此，三角形三个内角的度数之和等于三个外角的度数之和，即180度。
3. 利用向量
将三角形的三个顶点A、B、C看成三个向量a、b、c。
利用向量的数量积公式cosθ=ab/|a||b|，可以得到：
cos∠A=（bc）/（|b||c|），cos∠B=（ca）/（|c||a|），cos∠C=（ab）/（|a||b|）。
由于三个角的和为180度，因此有：
cos∠A+cos∠B+cos∠C=-1。
代入上面的公式中，得到：
（bc）/（|b||c|）+（ca）/（|c||a|）+（ab）/（|a||b|）=-1。
整理后，得到：
ab+bc+ca=0。
这个公式说明，三个向量的数量积等于0，因此它们共面，即三角形三个内角的和为180度。
三角形内角和证明
三角形内角和等于180度，这个定理可以通过多种方法进行证明。
以下是一些常见的证明方法：
1. 平行线法：在三角形的一边上延长一条线段，然后通过顶点作一条与另一边平行的线。
由于平行线的性质，可以得出三角形的两个内角与这条延长线上的一个平角相等，从而证明三角形内角和为180度。
2. 邻补角法：利用直线上的邻补角之和为180度的原理，将三角形的一个内角与其外角相加，由于外角等于不相邻的两个内角之和，因此可以得出三角形内角和为180度。
3. 折叠法：将三角形的一个角沿着它的对边折叠，使得这个角的顶点落在对边上，然后将另一个角也沿着它的对边折叠，同样使得这个角的顶点落在对边上，最后可以发现三个角的顶点都在一条直线上，形成一个平角，即180度。
4. 勾股定理法：在直角三角形中，直角的度数为90度，而另外两个锐角的和必然等于90度，因此整个三角形的内角和为180度。
虽然这个方法只适用于直角三角形，但它也是证明三角形内角和定理的一种方式。
5. 多边形分割法：将三角形分割成多个三角形，每个小三角形的内角和都是180度，将这些小三角形的内角和相加，再减去多余的角度（如果有的话），也可以得到原三角形的内角和为180度。
6. 角度转换法：利用角度的性质，将三角形的一个内角转换为另外两个内角的和，从而证明三个内角的和为180度。
7. 数学归纳法：这种方法涉及到更高级的数学概念，通过数学归纳法证明对于任意多边形成立的角度和公式，再应用于三角形的情况。
以上只是几种证明方法的简要介绍，每种方法都有其独特的数学逻辑和几何意义。
在学习数学的过程中，理解和掌握这些证明方法不仅能够帮助我们更好地理解三角形内角和定理，还能够锻炼我们的逻辑思维能力和空间想象能力。
三角形内角和定理的证明方法
三角形内角和定理的证明方法
三角形内角和定理是数学中的重要定理之一，它指出任意一个三角形三个内角的和为180度。
以下是证明方法：
1. 通过平行线原理证明
首先，我们需要画一条平行于其中一条边的直线。
在此基础上，我们可以将三角形分成两个小三角形，这两个小三角形中的一部分可以组成一个平行四边形。
因为平行四边形对边相等，所以我们可以得到这两个小三角形的另一个共同边的两个内角之和等于180度。
将两个小三角形的共同边的内角相加，再加上另外一个大三角形的内角，即可得到三角形内角和为180度。
2. 通过直角三角形证明
任意一个三角形都可以通过旋转和缩放变成一个直角三角形。
因此，我们可以通过证明直角三角形内角和为180度来证明三角形内角和定理。
在一个直角三角形中，其中一个角为90度，另外两个角的和为90度。
于是，我们只需要证明直角三角形的两个角和为90度即可。
我们可以利用正弦、余弦、正切等三角函数来证明直角三角形的两个角和为90
度。
例如，tan A = AB/BC，tan B = BC/AB，那么A + B = 90度。
通过以上两种方法，我们可以证明三角形内角和定理成立。
三角形的内角和定理
三角形的内角和定理三角形是初中数学中的基础知识之一，而三角形的内角和定理是其中的核心概念之一。
本文将对三角形的内角和定理进行详细解析，并讨论其相关性质和应用。
一、三角形的内角和定理的概念三角形的内角和定理是指任意三角形的三个内角的和等于180度。
这个定理对于解决三角形相关问题非常重要，理解了这个定理，我们可以在解题过程中快速推导出其他角度的数值。
二、三角形的内角和定理的证明为了证明三角形的内角和定理，我们可以利用平行线和同位角的性质。
假设在三角形ABC中，我们任意选取一条直线DE与边BC平行，交边AB于点D，交边AC于点E，如下图所示。
（图）根据平行线与三角形的性质，可知∠1 = ∠D，∠2 = ∠CDE，∠3 = ∠E，∠4 = ∠B，∠5 = ∠C 和∠6 = ∠ACB。
因为直线DE与边BC平行，所以∠CDE与∠E的和为180度。
根据同位角的性质，可知∠CDE = ∠A，∠E = ∠BAC。
将以上各角代入原三角形ABC的内角和定理中，得到：∠A +∠BAC + ∠B = ∠A + ∠B + ∠C = ∠CDE + ∠E = 180度。
因此，三角形ABC的内角和等于180度的定理得证。
三、三角形的内角和定理的性质1. 三角形的每个内角都小于180度：根据三角形的内角和定理，三个内角的和等于180度，所以每个角度必然小于180度。
2. 直角三角形的两个锐角和等于90度：在直角三角形中，一个角是90度，根据内角和定理，另外两个角的和也必定是90度。
3. 钝角三角形的两个锐角和大于90度：在钝角三角形中，一个角大于90度，根据内角和定理，另外两个角的和也必定大于90度。
四、三角形的内角和定理的应用1. 联立角和方程解三角形问题：当我们已知三角形的某两个内角，且这两个内角的和与第三个内角的和相等时，可以通过联立角和方程来求解未知角的数值。
例如，已知三角形ABC中∠A + ∠B = x，∠B + ∠C = x，求解∠A、∠B、∠C的数值。
三角形的内角和定理的证明
三角形的内角和定理的证明三角形是基础的几何形状之一，在数学中有许多与三角形相关的定理和性质。
其中，三角形的内角和定理是一条重要的定理，它阐述了任意三角形内角之和为180度。
本文将详细证明这一定理。
证明过程如下：设三角形的三个内角分别为A、B、C。
我们需要证明A + B + C = 180度。
我们可以采用数学归纳法来证明这一定理。
首先，我们先证明当三角形是直角三角形时，定理成立。
假设三角形ABC是一个直角三角形，其中∠A = 90度。
根据直角三角形的定义，∠B + ∠C = 90度。
因此，三角形ABC的内角和为A+ B + C = 90度 + 90度 = 180度。
所以，直角三角形满足三角形的内角和定理。
接下来，我们假设当三角形的某个内角为180度时，定理也成立。
假设三角形ABC是一个退化三角形，其中∠A = 180度。
根据退化三角形的定义，此时三角形ABC只有一条直线，因此我们无法给出B和C的度数。
但是根据数学约定，我们可以假设这两个角度都为0度。
那么A + B + C = 180度 + 0度 + 0度 = 180度。
所以，退化三角形也满足三角形的内角和定理。
接下来，我们假设定理在任意一个角度小于180度的三角形中成立。
设三角形ABC是一个一般性的三角形，其中∠A < 180度。
现在我们需要证明A + B + C = 180度。
我们可以利用角平分线的性质来展开这个证明。
假设从角A的顶点B引一条射线BD，使其与边AC相交于点D。
那么角BAD和角CAD可以视为∠A的两个平分角。
根据平分角的性质，我们可以得到以下等式：∠BAD = ∠CAD = A/2（平分角的定义）∠B + ∠BAD = 180度（三角形内角和定理的假设）将上述两个等式结合，我们可以得到：∠B + A/2 = 180度进一步化简：2∠B + A = 360度我们知道三角形的内角之和为180度，因此∠B + ∠C = 180度 - A。
7.5三角形内角和定理的证明(教案)
此外，实践活动环节，学生们分组讨论和实验操作的过程非常积极，但我注意到有些小组在讨论时，组内成员之间的交流不够充分。为了提高小组讨论的效率，我计划在接下来的教学中，加强对小组讨论的引导和指导，鼓励学生们积极参与，表达自己的观点。
3.成果分享：每以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了三角形内角和定理的基本概念、证明方法以及在实际中的应用。通过实践活动和小组讨论加深了对三角形内角和定理的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
7.5三角形内角和定理的证明（教案）
一、教学内容
本节课选自七年级下册数学教材第七章第五节《三角形内角和定理的证明》。教学内容主要包括以下两部分：
1.理解并掌握三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°。
2.学会运用并证明三角形内角和定理，包括以下方法：
a.利用拼接法证明三角形内角和定理。
b.利用平行线性质证明三角形内角和定理。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“三角形内角和定理在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
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郑州市第九十三中学北师大八（下）导学案
班级 姓名 日期 整洁度
第一环节 知识回顾
三角形内角和定理 。
第二环节 自学课本
（一）自学课本P178-179内容，能掌握三角形内角和定理证法并能回答下面的问题：
跟踪练习：1、证明：三角形内角和为1800.
已知：如图
求证：
证明：过A 做直线PQ//BC 。
2、 已知，如图，△AB C.求证：∠A +∠B +∠C =180°
证明：在BC 上任取一点D ，过点D 分别作DE ∥AB 交AC 于E ，
DF ∥AC 交AB 于F .
3、
第三环节：小结
第四环节：知识反馈
1、1.直角三角形的两锐角之和是多少度?等边三角形的一个内角是多少度?
2、已知:如图在△ABC中,DE∥BC,∠A=60°, ∠C=70°.求证：∠ADE=50°.
3.已知：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，
求证：∠A= ∠D CB.
4.求证：四边形的内角和是3600.
已知：
求证：
证明：。