九年级数学正方形的判定导学案
九年级数学(上)导学案
九年级数学（上）导学案（第一章）1.1菱形的性质与判定(一)一、学习目标 1.理解菱形的定义，2.探究归纳菱形的性质。
二、学习重点理解菱形的定义；探究归纳菱形的性质.三、学习过程【课前预习】学习任务一：阅读教材第2—4页内容，思考并总结本节课学习的主要内容，写在下面的横线上：（要写得详细些）学习任务二：菱形及其性质1. 叫做菱形。
菱形是________的平行四边形。
2.从菱形的意义可以探究菱形具有的性质：（1）菱形具有平行四边形具有的一切性质。
（2）菱形与平行四边形比较又有其特殊的性质:特殊在“边”上的性质是_____________________________________________.特殊在“对角线”上的性质是：_______________________________________.学习任务三：阅读课本4页，自己在下面独立证明菱形的性质定理：1.菱形的四条边都相等已知：求证：证明：学习任务五：阅读课本4页，合上课本在下面独立证明菱形的性质定理:2.菱形的对角线互相垂直,并且每条对角线平分一组对角.已知：求证：证明：【课中实施】预习诊断1.如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O, ∠BAD=60°,BD=6,求菱形的边长AB和对角线AC的长.精讲点拨系统总结【当堂达标】1、如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于O,AB=5,AO=4,求BD的长.2.如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,图中有多少个等腰三角形和直角三角形.§1.2菱形的性质与判定(二)学习目标：1.掌握菱形的判定定理及证明方法; 学会运用菱形的判定定理解决一些问题；2.进一步发展合情推理能力；逐步掌握说理的基本方法.3.经历探索菱形判定的过程，发展主动探索、研究的习惯.重点：菱形的判定方法．难点：探究菱形的判定条件并合理利用它进行论证和计算．学习过程:一．温故知新，引入新课㈠.“忆”：1.菱形的定义：有的平行四边形叫做菱形。
导学案.3正方形的性质与判定(第2课时)
1.3正方形的性质与判定（第2课时）年级：九年级科目：数学课型：新授课主备人：白燕审核人：任红梅教学时间：【目标导航】会用正方形的定义及判定来证明。
【据案自学】（一）自学指导1、用2分钟的时间阅读第22页的内容，勾画出关键语段。
2、再读课本，寻找重点语段中的关键字词，圈点批注，深刻理解其涵义。
3、结合以下问题以及下图的各种四边形的图三读课本，归纳正方形的判定方法。
（1）判定一个平行四边形是正方形，还应具备什么条件？（2）判定一个矩形是正方形还应具备什么条件？（3）判定一个菱形是正方形还应具备什么条件？注：判定正方形的一般顺序：先证明它是平行四边形→再证明它是菱形（或矩形）→最后证明它是正方形。
（二）尝试挑战1、下列说法中错误的是（）A、对角线相等的菱形是正方形B、有一组邻边相等的矩形是正方形C、四条边都相等的四边形是正方形D、有一个角为直角的菱形是正方形2、已知四边形两对角线：①互相垂直；②相等；③互相平分。
具备条件____可得平行四边形；具备条件_______可得矩形；具备条件_______ 可得是菱形；具备条件________可得正方形。
（填序号）【交流展示】1、如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，顺次连接这四个点得到四边形EFGH，你能判断四边形EFGH的形状吗？2、如果把四边形ABCD变为矩形，那么四边形EFGH又是什么样的四边形呢？3、如果把四边形ABCD变为菱形呢？变为正方形呢？基础训练：1、已知四边形ABCD 是菱形，当满足条件_________时，它成为正方形(填上你认为正确的一个条件即可).2、在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD 平分∠ACB ，DE ⊥BC ，DF ⊥AC ，垂足分别是E ，F 。
求证：（1）四边形CFDE 是平行四边形。
（2）四边形CFDE 是矩形或菱形（任选一项）。
（3）四边形CFDE 是正方形。
北师大版九年级上册数学 第一章复习导学案1
第一章特殊平行四边形【学习目标】1、掌握并能区分矩形、菱形、正方形的性质与判定（重点）2、矩形、菱形、正方形的性质与判定综合运用.（难点）【学习方案】正方形、平行四边形、矩形、菱形的性质可比较如下：平行四边形矩形菱形正方形对边平行且相等四条边都相等对角相等四个角都是直角对角线互相平分对角线互相垂直对角线相等每条对角线平分一组对角（凡是图形所具有的性质，在表中相应的空格中填上“√”，没有的性质不要填写)矩形的判定方法．矩形判定方法1：对角钱相等的平行四边形是矩形．矩形判定方法2：有三个角是直角的四边形是矩形．矩形判定方法3：有一个角是直角的平行四边形是矩形．矩形判定方法4：对角线相等且互相平分的四边形是矩形直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半1、已知：如图，矩形ABCD，AB长8 cm ，对角线比AD边长4 cm．求AD的长及点A到BD的距离AE的长．2、如图，已知矩形ABCD中，E是AD上的一点，F是AB上的一点，EF⊥EC，且EF=EC，DE=4cm，矩形ABCD的周长为32cm，求AE的长．3、如图，在□ABCD 中，E 为BC 的中点，连接AE 并延长交DC 的延长线于点F ．(1)求证：AB=CF ；(2)当BC 与AF 满足什么数量关系时，四边形ABFC 是矩形，并说明理由．※4、如图，在□ABCD 中，DE ⊥AB 于E ，BM ＝MC ＝DC ，求证：∠EMC=3∠BEM.菱形的判定菱形判定方法1:对角线互相垂直的平行四边形是菱形．注意此方法包括两个条件：（1）是一个平行四边形；（2）两条对角线互相垂直．菱形判定方法2:四边都相等的四边形是菱形1、 已知：如图，四边形ABCD 是菱形，F 是AB 上一点，DF 交AC 于E ． 求证：∠AFD=∠CBE ．2、已知：如图ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边AD 、BC 分别交于E 、F ．求证：四边形AFCE 是菱形．F E DC BAM EAB DC3、如图，在菱形ABCD 中，∠A =60°,AB =4,O 为对角线BD 的中点，过O 点作OE ⊥AB ，垂足为E ．求线段BE 的长．4、如图，四边形ABCD 是菱形，DE ⊥AB 交BA 的延长线于E ，DF ⊥BC ，交BC 的延长线于F 。
1.3.2正方形的性质与判定
课题：1.3.2正方形的判定课型：新授年级：九年级(下)教学目标：1.掌握正方形的判定定理，并能综合运用特殊四边形的性质和判定解决问题.2.引导学生总结决定中点四边形形状的因素，熟练运用特殊四边形的判定及性质对中点四边形进行判断，并能对自己的猜想进行证明，进一步发展学生演绎推理的能力.3.使学生进一步体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用.教学重、难点：重点：掌握正方形的判定方法.难点：合理恰当地利用特殊平行四边形的判定进行有关的论证和计算.课前准备：教师准备：多媒体课件．学生准备：一张长方形白纸，剪刀一把.教学过程：一、创设情境，导入新课活动内容：回答下列问题.问题1：我们学习了平行四边形、矩形、菱形、正方形，那么思考一下，它们之间有怎样的包含关系？请填入下图中问题2：将一张长方形纸对折两次，然后剪下一个角，打开，怎样剪才能剪出一个正方形？问题3：你有什么方法判定一个四边形是正方形？处理方式：问题1、3由学生口答完成，问题2部分学生在动手操作时，会剪出菱形，教师要引导学生思考：正方形是特殊的矩形和菱形，因此想得到一个正方形，可以在矩形的基础上强化边的条件得到，也可以在菱形的基础上强化角的条件得到，而折痕是正方形的对角线，所以本环节要从对角线的角度考虑，即对角线要垂直相等且平分，学生很自然的会想到需要剪一个等腰直角三角形，因此只要保证剪口线与折痕成45°角即可，本节课的第一个教学难点迎刃而解.设计意图：通过剪纸可以更加直观的让学生感知看到正方形是特殊的矩形，也是特殊的菱形，还是特殊的平行四边形；而正方形、矩形、菱形都是平行四边形.二、探究学习，感悟新知活动内容：探索正方形的判定条件：学生活动：三人一组进行类比平行四边形、菱形、矩形的判定进行讨论研究，并完成下列探究问题，老师巡回其间，进行引导、质疑、解惑，通过分析与讨论，师生共同总结出判定一个四边形是正方形的基本方法.（1）的菱形是正方形；（2）的矩形是正方形；（3）的菱形是正方形.以上三个问题的依据分别是什么？处理方式：学生讨论交流，在导学案上完成后再展示说明，学生之间互相补充．教师适时点评，强调：后两种判定均要用到矩形和菱形的判定定理.矩形和菱形的判定定理是判定正方形的基础.设计意图：本活动的设计意在引导学生通过自主探究、合作交流，对矩形的判定从感性认识上升到理性认识．先从观察剪纸入手，让学生具体体验矩形的判定，从而让学生站在一定高度体验三种特殊平行四边形之间的关系.活动内容2：判断下列命题是真命题还是假命题？并说明理由（1）对角线相等的菱形是正方形；（2）对角线互相垂直的矩形是正方形；（3）对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；（4）四条边都相等的四边形是正方形；（5）四个角都相等的四边形是正方形.处理方式：先由学生独立思考、判断，再由师生共同分析，然后学生对比正误，完善对正方形判定定理的理解，同时要求学生注意审题，不同的已知条件适用不同的判定定理.设计意图：通过五道练习题让学生加深对正方形判定定理的认识．三、例题解析，应用新知活动内容：我们已经学习了正方形的三个判定定理，你能顺利的利用正方形的三个判定定理来判断一个四边形是正方形吗？请同学们仔细阅读例1中的已知条件，想一想如何进行证明．（多媒体出示例2）例2 已知如图1-21，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE 。
九年级数学上册 1.3.1 正方形的性质与判定教案 北师大版(2021学年)
九年级数学上册1.3.1 正方形的性质与判定教案（新版）北师大版编辑整理:尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望(九年级数学上册１.3.1 正方形的性质与判定教案（新版）北师大版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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课题：１.３．１正方形的性质与判定教学目标：1．理解正方形的概念,通过由一般到特殊的研究方法,分析平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念及性质之间的区别与联系.并形成文本信息与图形信息相互转化的能力．2．在观察、操作、推理、归纳等探索明正方形的性质定理过程中,发展合情推理能力，进一步培养自己的说理习惯与能力3．培养学生勇于探索、团结协作交流的精神．激发学生学习的积极性与主动性． 教学重、难点:重点：理解正方形的定义和性质.难点：选择适当的方法解决有关正方形的问题. 教学过程：一、回忆童年,情境引入 活动内容:动手做风车.(学生在动手中对正方形产生感性认识,并感知正方形与矩形的关系）问题１：做风车需要准备一张什么样的纸啊？ 问题2：你们是如何把一张矩形的纸片折叠出正方形的? 问题3:结合菱形和矩形的定义想一想什么样的四边形是正方形？处理方式:问题1、2由学生口答完成。
对于问题3先让学生回答菱形与矩形的概念,然后结合折纸的过程尝试总结正方形的概念．正方形定义:有一组邻边相等．．．．．．并且有一个角是直角．．．．．．．的平行四边形．．．．．叫做正方形． 其定义包括了两层意:⑴有一组邻边相等的平行四边形 （菱形）⑵有一个角是直角的平行四边形 （矩形)所以说正方形既是菱形又是矩形.设计意图:从学生的生活实际出发,创设情境，提出问题，激发学生强烈的好奇心和求知欲．学生经历了将实际问题抽象为数学问题的建模过程.二、实践探究，交流新知活动内容1：问题1:正方形是菱形吗？是矩形吗?问题2：你认为正方形有哪些性质?由正方形的定义可以得知,正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形．所以它应该具备菱形和矩形的所有性质.正方形的四个角都是直角，四条边都相等．正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分.（多媒体显示）正方形性质1:正方形的四个角都是直角,四条边都相等．正方形性质2:正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分.处理方式：学生讨论交流，学生之间互相补充．教师适时点评，强调:正方形既是菱形又是矩形,性质的归纳从边、角、对角线三个方面来叙述．设计意图:本活动的设计意在引导学生通过自主探究、合作交流,对正方形从感性认识上升到理性认识.活动内容２：正方形性质的证明．处理方式:学生根据文字命题画图,写出已知求证,再结合活动1的结果,独立完成证明的书写，找两位同学黑板板书.．设计意图:本活动的设计意在培养学生的推理书写能力.活动内容3:正方形的对称性.问题：正方形有几条对称轴?处理方式：学生通过折纸或者画图去发现正方形的对称轴,并能用准确的语言去叙述．若果学生在活动1中提出了正方形的对成性,可以在活动1中讨论完成．三、例题示范，巩固新知活动内容1：我们学习完正方形的性质后,你能顺利的利用利用性质结题吗？请同学们看例1．（多媒体出示例1）例1 如图1—1８，在正方形ABCD 中,E 为ＣＤ边上一点,F 为BC 延长线上一点,且CE ＝ＣF．BE 与DF 之间有怎样的关系?处理方式:本题是利用正方形的性质判断两条线段的关系,这种关系包括数量关系和位置关系.可以先鼓励学生用自己的方法进行猜想.比如可以从旋转的角度来看,从而猜想ＢE = DF，且BE⊥DＦ，在猜想的基础上再展开证明．解：ＢE = DF，且BE⊥DF．理由如下：(１)∵ 四边形ＡBCＤ是正方形,∴BＣ＝DC,∠ ＢＣE = 90°(正方形的四条边相等,四个角都是直角）.∴ ∠ＤCF = 180°—∠BCE = 180°—90°= 90°.∴ ∠BCＥ= ∠ＤＣF.又∵ CE = CF，∴ △BＣE ≌△DCF．∴BE = DF.（2）延长BＥ交ＤF 于点M（如图１-１９）.∵ △BCＥ≌ △DCＦ,∴ ∠CＢE ＝∠CDF．∵ ∠DCF = 90°,∴ ∠CDF + ∠Ｆ＝90°.∴∠CBE + ∠F ＝９0°．∴ ∠BMF = 9０°.∴ BE⊥DF．巩固练习1：如图,在正方形ＡBCＤ中，对角线AC与BＤ相交于点O,图中有多少个等腰三角形？2：如图,在正方形ABCD中，点F为对角线ＡC上一点，连接BF,D Ｆ．你能找出图中的全等三角形吗?选择其中一对进行证明．处理方式:第一题让学生口述，第二题首先让同学尽可能多的找出全等的三角形，然后让三名学生主动到黑板板演，其他学生在练习本上完成．教师巡视,适时点拨．学生完成后及时点评，借助多媒体展示学生出现的问题进行矫正．活动内容２：平行四边形、菱形、矩形、正方形之间的关系议一议:平行四边形、菱形、矩形、正方形之间有什么关系？你能用一个图直观地表示它们之间的关系吗？与同伴交流．（学生画图)（多媒体显示)设计意图：①使学生对通过自己的实践总结得到的关于正方形的性质能够熟练运用、解决具体问题．实际上就是充分锻炼学生理论依据(本节课是关于正方形的定理)图形化的能力,也锻炼了学生文本信息图形化的能力．充分锻炼学生的空间观念.②使学生养成阶段性回顾总结的习惯，使其逐渐养成良好的学习品质．同时又是对知识结构的再建过程,是学生丰富、重建自身认知结构的必要手段.四、课堂小结，内敛提升师：通过这节课的学习,你有哪些收获?有何感想？学会了哪些方法?先想一想，再分享给大家．学生畅谈自己的收获!设计意图：课堂总结是知识沉淀的过程,使学生对本节课所学进行梳理，养成反思与总结的习惯，培养自我反馈，自主发展的意识．五、达标检测，反馈纠正请独立完成导学案中的达标检测题（时间:５分钟）．(同时多媒体出示)必做题：1．正方形的四条边＿_＿＿_＿,四个角__＿____，两条对角线__＿_ ＿___.2．已知:如图，四边形ABCD为正方形，E、Ｆ分别为CD、CB延长线上的点，且DＥ＝BF．求证：∠AＦE＝∠AEF．选做题：３.如图,E为正方形ABCＤ内一点,且△EBC是等边三角形,求∠EAD与∠ECD的度F数．处理方式：学生做完后，教师出示答案,指导学生校对,并统计学生答题情况.学生根据答案进行纠错.设计意图:学以致用,当堂检测及时获知学生对所学知识掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高,明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的.六、作业布置,落实目标必做题:课本22页习题7.1 第1、2题.选做题：课本２2页习题７．１第3题．板书设计:以上就是本文的全部内容，可以编辑修改。
正方形的判定导学案
19.3正方形的判定导学案【学习目标】1. 掌握正方形的判定并会用它们进行有关的论证和计算。
2. 理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别。
学习重点：正方形性质的灵活运用。
学习难点：正方形与矩形、菱形的关系。
一、自主学习：复习回顾：1.平行四边形的判定方法：1）2）3）4）2.矩形的判定方法：1）2）3）3.菱形的判定方法：1）2）3）4.正方形的性质：是最特殊的平行四边形，既是矩形，又是；具体为：①边：四边，对边；②角：四个角都是；③对角线：互相、且。
5.正方形图形的特殊性：既是中心对称图形，又是轴对称图形，有条对称轴。
（一）先自己回忆（二）小组内相互说一说结果（三）挑几个同学回答（四）老师点评二、合作探究1、探讨1. 你能否利用手中的矩形白纸裁出一个正方形呢？然后与同小组同学交流一下，说说矩形与正方形的关系。
归纳：（1）矩形+（）=正方形；即正方形的判定定理（一）探讨2. 你能否利用手中的可以活动的菱形模型变成一个正方形吗？如何变？归纳：（1）菱形+（）=正方形；即正方形的判定定理（二）小结：正方形的判定方法：①定义：有一组相等并且有一个角是的叫做正方形.②正方形的判定定理（一）：的矩形是正方形。
③正方形的判定定理（二）：的菱形是正方形。
2、课本120页讨论。
3、如图，在ABC中∠ACB=90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC,垂足分别为E、F，求证：四边形CFDE为正方形（一）独立完成上面各题（二）组内对答案，解决问题（三）挑学生展讲（四）教师总结正方形的两种判定方法三、归纳整理：1、正方形与平行四边形、矩形、菱形、正方形的联系？2、正方形的两种判定方法？四、分层训练：1.下列说法是否正确，并说明理由．① 有一个角为直角的菱形是正方形；（）② 四个角相等的四边形是正方形．（）③ 四条边都相等的四边形是正方形；（）④ 有一组邻边相等的矩形是正方形；（）⑤ 对角线垂直且相等的四边形是正方形（）⑥ 对角线相等的菱形是正方形；（）⑦ 对角线互相垂直的矩形是正方形；（）⑧ 对角线互相垂直平分的四边形是正方形；（）2. 四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，能判别这个四边形是正方形的条件是（）A.OA=OB=OC=OD，AC⊥BDB.AB∥CD，AC=BDC.AD∥BC，∠A=∠CD.OA=OC，OB=OD，AB=BC3.下列命题中的假命题是( )．A．一组邻边相等的平行四边形是菱形B. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形C．一组邻边相等的矩形是正方形D．一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形4. 顺次连结矩形的各边中点，所得的四边形一定是（）Ａ．正方形Ｂ．菱形Ｃ．矩形Ｄ．梯形5、拓展提升：已知:矩形ABCD,它的四个角平分线交于E,F,G,H.求证:四边形EFGH是正方形（一）独立完成（二）组内对答案并解决问题（三）利用白板展讲（四）老师点评证明方法，并纠错。
最新九年级数学上册全册导学案(人教版含答案)名师优秀教案
九年级数学上册全册导学案（人教版含答案）---------------------------------------------------------------精品范文 ------------------------------------------------------------- 九年级数学上册全册导学案(人教版含答案) 本资料为WoRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址第二十一章一元二次方程21(1 一元二次方程1.了解一元二次方程的概念，应用一元二次方程概念解决一些简单问题(2(掌握一元二次方程的一般形式ax2，bx，c,0(a?0)及有关概念( 3(会进行简单的一元二次方程的试解;理解方程解的概念(重点:一元二次方程的概念及其一般形式;一元二次方程解的探索( 难点:由实际问题列出一元二次方程;准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一次项和系数及常数项(一、自学指导((10分钟)问题1:如图，有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒(如果要制作的无盖方盒的底面积为3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形,1 / 45---------------------------------------------------------------精品范文 ------------------------------------------------------------- 分析:设切去的正方形的边长为xcm，则盒底的长为__(100,2x)cm__，宽为__(50,2x)cm__(列方程__(100,2x)•(50,2x),3600__，化简整理，得__x2,75x，350,0__(?问题2:要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场(根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛,分析:全部比赛的场数为__4×7,28__(设应邀请x个队参赛，每个队要与其他__(x,1)__个队各赛1场，所以全部比赛共x(x,1)2__场(列方程__x(x,1)2,28__，化简整理，得__x2,x,56,0__(?探究:(1)方程??中未知数的个数各是多少,__1个__((2)它们最高次数分别是几次,__2次__(归纳:方程??的共同特点是:这些方程的两边都是__整式__，只含有__一个__未知数(一元)，并且未知数的最高次数是__2__的方程( 1(一元二次方程的定义等号两边都是__整式__，只含有__一__个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是__2__(二次)的方程，叫做一元二次方程( 2(一元二次方程的一般形式一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式: ax2，bx，c,0(a?0)(2 / 45---------------------------------------------------------------精品范文 ------------------------------------------------------------- 这种形式叫做一元二次方程的一般形式(其中__ax2__是二次项，__a__是二次项系数，__bx__是一次项，__b__是一次项系数，__c__是常数项( 点拨精讲:二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号(二次项系数a?0是一个重要条件，不能漏掉(二、自学检测:学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视((6分钟)1(判断下列方程，哪些是一元二次方程,(1)x3,2x2，5,0; (2)x2,1;(3)5x2,2x,14,x2,2x，35;(4)2(x，1)2,3(x，1);(5)x2,2x,x2，1;(6)ax2，bx，c,0.解:(2)(3)(4)(点拨精讲:有些含字母系数的方程，尽管分母中含有字母，但只要分母中不含有未知数，这样的方程仍然是整式方程(2(将方程3x(x,1),5(x，2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项(解:去括号，得3x2,3x,5x，10.移项，合并同类项，得3x2,8x,10,0.其中二次项系数是3，一次项系数是,8，常数项是,10. 点拨精讲:将一元二次方程化成一般形式时，通常要将首项化负为正，化分为整(3 / 45---------------------------------------------------------------精品范文 -------------------------------------------------------------一、小组合作:小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果((8分钟)1(求证:关于x的方程(m2,8m，17)x2，2mx，1,0，无论m取何值，该方程都是一元二次方程(证明:m2,8m，17,(m,4)2，1，?(m,4)2?0，?(m,4)2，1>0，即(m,4)2，1?0.?无论m取何值，该方程都是一元二次方程(点拨精讲:要证明无论m取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明m2,8m，17?0即可(2(下面哪些数是方程2x2，10x，12,0的根,,4，,3，,2，,1，0，1，2，3，4.解:将上面的这些数代入后，只有,2和,3满足等式，所以x,,2或x,,3是一元二次方程2x2，10x，12,0的两根( 点拨精讲:要判定一个数是否是方程的根，只要把这个数代入等式，看等式两边是否相等即可(二、跟踪练习:学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路((9分钟)1(判断下列方程是否为一元二次方程((1)1,x2,0;(2)2(x2,1),3y;(3)2x2,3x,1,0;(4)1x2,2x,0;4 / 45---------------------------------------------------------------精品范文 -------------------------------------------------------------(5)(x，3)2,(x,3)2;(6)9x2,5,4x.解:(1)是;(2)不是;(3)是;(4)不是;(5)不是;(6)是(2(若x,2是方程ax2，4x,5,0的一个根，求a的值( 解:?x,2是方程ax2，4x,5,0的一个根，?4a，8,5,0，解得a,,34.3(根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式:(1)4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x; (2)一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长x. 解:(1)4x2,25，4x2,25,0;(2)x(x,2),100，x2,2x,100,0. 学生总结本堂课的收获与困惑((2分钟) 1(一元二次方程的概念以及怎样利用概念判断一元二次方程( 2(一元二次方程的一般形式ax2，bx，c,0(a?0)，特别强调a?0. 3(要会判断一个数是否是一元二次方程的根(学习至此，请使用本课时对应训练部分((10分钟)21(2 解一元二次方程21(2.1 配方法(1)1.使学生会用直接开平方法解一元二次方程(2.渗透转化思想，掌握一些转化的技能(5 / 45---------------------------------------------------------------精品范文 ------------------------------------------------------------- 重点:运用开平方法解形如(x，m)2,n(n?0)的方程;领会降次——转化的数学思想(难点:通过根据平方根的意义解形如x2,n(n?0)的方程，知识迁移到根据平方根的意义解形如(x，m)2,n(n?0)的方程(一、自学指导((10分钟)问题1:一桶某种油漆可刷的面积为1500dm2，小李用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗, 设正方体的棱长为xdm，则一个正方体的表面积为__6x2__dm2，根据一桶油漆可刷的面积列出方程:__10×6x2,1500__，由此可得__x2,25__，根据平方根的意义，得x,__?5__，即x1,__5__，x2,__,5__(可以验证__5__和,5都是方程的根，但棱长不能为负值，所以正方体的棱长为__5__dm.探究:对照问题1解方程的过程，你认为应该怎样解方程(2x,1)2,5及方程x2，6x，9,4?方程(2x,1)2,5左边是一个整式的平方，右边是一个非负数，根据平方根的意义，可将方程变形为__2x,1,?5__，即将方程变为__2x6 / 45---------------------------------------------------------------精品范文 ------------------------------------------------------------- ,1,5和__2x,1,,5__两个一元一次方程，从而得到方程(2x,1)2,5的两个解为x1,__1，52，x2,__1,52__(在解上述方程的过程中，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样问题就容易解决了(方程x2，6x，9,4的左边是完全平方式，这个方程可以化成(x，__3__)2,4，进行降次，得到__x，3,?2__，方程的根为x1,__,1__，x2,__,5__.归纳:在解一元二次方程时通常通过“降次”把它转化为两个一元一次方程(如果方程能化成x2,p(p?0)或(mx，n)2,p(p?0)的形式，那么可得x,?p或mx，n,?p.二、自学检测:学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视((6分钟)解下列方程:(1)2y2,8; (2)2(x,8)2,50;(3)(2x,1)2，4,0;(4)4x2,4x，1,0.解:(1)2y2,8， (2)2(x,8)2,50，y2,4， (x,8)2,25，y,?2， x,8,?5，?y1,2，y2,,2; x,8,5或x,8,,5，?x1,13，x2,3;(3)(2x,1)2，4,0， (4)4x2,4x，1,0，(2x,1)2,,4<0， (2x,1)2,0，7 / 45---------------------------------------------------------------精品范文 ------------------------------------------------------------- ?原方程无解; 2x,1,0，?x1,x2,12.点拨精讲:观察以上各个方程能否化成x2,p(p?0)或(mx，n)2,p(p?0)的形式，若能，则可运用直接开平方法解(一、小组合作:小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果((8分钟)1(用直接开平方法解下列方程:(1)(3x，1)2,7;(2)y2，2y，1,24;(3)9n2,24n，16,11.解:(1),1?73;(2),1?26;(3)4?113.点拨精讲:运用开平方法解形如(mx，n)2,p(p?0)的方程时，最容易出错的是漏掉负根(2(已知关于x的方程x2，(a2，1)x,3,0的一个根是1，求a的值( 解:?1.二、跟踪练习:学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路((9分钟)用直接开平方法解下列方程:(1)3(x,1)2,6,0;(2)x2,4x，4,5;(3)9x2，6x，1,4;(4)36x2,1,0;(5)4x2,81;(6)(x，5)2,25;(7)x2，2x，1,4.8 / 45---------------------------------------------------------------精品范文 ------------------------------------------------------------- 解:(1)x1,1，2，x2,1,2;(2)x1,2，5，x2,2,5;(3)x1,,1，x2,13;(4)x1,16，x2,,16;(5)x1,92，x2,,92;(6)x1,0，x2,,10;(7)x1,1，x2,,3.学生总结本堂课的收获与困惑((2分钟)1(用直接开平方法解一元二次方程(2(理解“降次”思想(3(理解x2,p(p?0)或(mx，n)2,p(p?0)中，为什么p?0? 学习至此，请使用本课时对应训练部分((10分钟)21(2.1 配方法(2)1(会用配方法解数字系数的一元二次方程(2(掌握配方法和推导过程，能使用配方法解一元二次方程(重点:掌握配方法解一元二次方程(难点:把一元二次方程转化为形如(x,a)2,b的过程( (2分钟)1(填空:(1)x2,8x，__16__,(x,__4__)2;9 / 45---------------------------------------------------------------精品范文 -------------------------------------------------------------(2)9x2，12x，__4__,(3x，__2__)2;(3)x2，px，__(p2)2__,(x，__p2__)2.2(若4x2,mx，9是一个完全平方式，那么m的值是__?12__(一、自学指导((10分钟)问题1:要使一块矩形场地的长比宽多6m，并且面积为16m2，场地的长和宽分别是多少米,设场地的宽为xm，则长为__(x，6)__m，根据矩形面积为16m2，得到方程__x(x，6),16__，整理得到__x2，6x,16,0__( 探究:怎样解方程x2，6x,16,0?对比这个方程与前面讨论过的方程x2，6x，9,4，可以发现方程x2，6x，9,4的左边是含有x的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程;而方程x2，6x,16,0不具有上述形式，直接降次有困难，能设法把这个方程化为具有上述形式的方程吗, 解:移项，得x2，6x,16，两边都加上__9__即__(62)2__，使左边配成x2，bx，(b2)2的形式，得__x2__，6__x__，9,16，__9__，左边写成平方形式，得__(x，3)2,25__，开平方，得10 / 45---------------------------------------------------------------精品范文 ------------------------------------------------------------- __x，3,?5__， (降次)即__x，3,5__或__x，3,,5__，解一次方程，得x1,__2__，x2,__,8__(归纳:通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法，叫做配方法;配方的目的是为了降次，把一元二次方程转化为两个一元一次方程(问题2:解下列方程:(1)3x2,1,5; (2)4(x,1)2,9,0;(3)4x2，16x，16,9.解:(1)x,?2;(2)x1,,12，x2,52;(3)x1,,72，x2,,12.归纳:利用配方法解方程时应该遵循的步骤:(1)把方程化为一般形式ax2，bx，c,0;(2)把方程的常数项通过移项移到方程的右边;(3)方程两边同时除以二次项系数a;(4)方程两边同时加上一次项系数一半的平方;(5)此时方程的左边是一个完全平方式，然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两个一元一次方程来解(二、自学检测:学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视((8分钟)1(填空:(1)x2，6x，__9__,(x，__3__)2;11 / 45---------------------------------------------------------------精品范文 -------------------------------------------------------------(2)x2,x，__14__,(x,__12__)2;(3)4x2，4x，__1__,(2x，__1__)2. 2(解下列方程:(1)x2，6x，5,0;(2)2x2，6x，2,0;(3)(1，x)2，2(1，x),4,0.解:(1)移项，得x2，6x,,5，配方得x2，6x，32,,5，32，(x，3)2,4，由此可得x，3,?2，即x1,,1，x2,,5. (2)移项，得2x2，6x,,2，二次项系数化为1，得x2，3x,,1，配方得x2，3x，(32)2,(x，32)2,54，由此可得x，32,?52，即x1,52,32，x2,,52,32.(3)去括号，整理得x2，4x,1,0，移项得x2，4x,1，配方得(x，2)2,5，x，2,?5，即x1,5,2，x2,,5,2.点拨精讲:解这些方程可以用配方法来完成，即配一个含有x的完全平方式(一、小组合作:小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果((5分钟)12 / 45---------------------------------------------------------------精品范文 -------------------------------------------------------------如图，在Rt?ABc中，?c,90?，Ac,8m，cB,6m，点P，Q同时由A，B两点出发分别沿Ac，Bc方向向点c匀速移动，它们的速度都是1m/s，几秒后?PcQ的面积为Rt?ABc面积的一半,解:设x秒后?PcQ的面积为Rt?ABc面积的一半(根据题意可列方程:12(8,x)(6,x),12×12×8×6，即x2,14x，24,0，(x,7)2,25，x,7,?5，?x1,12，x2,2，x1,12，x2,2都是原方程的根，但x1,12不合题意，舍去( 答:2秒后?PcQ的面积为Rt?ABc面积的一半(点拨精讲:设x秒后?PcQ的面积为Rt?ABc面积的一半，?PcQ也是直角三角形(根据已知条件列出等式(二、跟踪练习:学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路((8分钟)1(用配方法解下列关于x的方程:(1)2x2,4x,8,0; (2)x2,4x，2,0;(3)x2,12x,1,0;(4)2x2，2,5.解:(1)x1,1，5，x2,1,5;(2)x1,2，2，x2,2,2;13 / 45---------------------------------------------------------------精品范文 -------------------------------------------------------------(3)x1,14，174，x2,14,174;(4)x1,62，x2,,62.2(如果x2,4x，y2，6y，z，2，13,0，求(xy)z的值( 解:由已知方程得x2,4x，4，y2，6y，9，z，2,0，即(x,2)2，(y，3)2，z，2,0，?x,2，y,,3，z,,2.?(xy)z,[2×(,3)],2,136.学生总结本堂课的收获与困惑((2分钟)1(用配方法解一元二次方程的步骤(2(用配方法解一元二次方程的注意事项(学习至此，请使用本课时对应训练部分((10分钟)21(2.2 公式法1.理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念(2.会熟练应用公式法解一元二次方程(重点:求根公式的推导和公式法的应用(难点:一元二次方程求根公式的推导((2分钟)用配方法解方程:(1)x2，3x，2,0; (2)2x2,3x，5,0.解:(1)x1,,2，x2,,1; (2)无解(14 / 45---------------------------------------------------------------精品范文 -------------------------------------------------------------一、自学指导((8分钟)问题:如果这个一元二次方程是一般形式ax2，bx，c,0(a?0)，你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根,问题:已知ax2，bx，c,0(a?0)，试推导它的两个根x1,,b，b2,4ac2a，x2,,b,b2,4ac2a.分析:因为前面具体数字已做得很多，现在不妨把a，b，c也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去( 探究:一元二次方程ax2，bx，c,0(a?0)的根由方程的系数a，b，c而定，因此:(1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2，bx，c,0，当b2,4ac?0时，将a，b，c代入式子x,,b?b2,4ac2a就得到方程的根，当b2,4ac,0时，方程没有实数根((2)x,,b?b2,4ac2a叫做一元二次方程ax2，bx，c,0(a?0)的求根公式((3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法( (4)由求根公式可知，一元二次方程最多有__2个实数根，也可能有__1__个实根或者__没有__实根((5)一般地，式子b2,4ac叫做方程ax2，bx，c,0(a?0)的根的判别式，通常用希腊字母Δ表示，即Δ,b2,4ac.二、自学检测:学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视((5分钟)15 / 45---------------------------------------------------------------精品范文 ------------------------------------------------------------- 用公式法解下列方程，根据方程根的情况你有什么结论, (1)2x2,3x,0;(2)3x2,23x，1,0;(3)4x2，x，1,0.解:(1)x1,0，x2,32;有两个不相等的实数根;(2)x1,x2,33;有两个相等的实数根;(3)无实数根(点拨精讲:Δ,0时，有两个不相等的实数根;Δ,0时，有两个相等的实数根;Δ,0时，没有实数根(一、小组合作:小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果((8分钟)1(方程x2,4x，4,0的根的情况是( B )A(有两个不相等的实数根B(有两个相等的实数根c(有一个实数根D(没有实数根2(当m为何值时，方程(m，1)x2,(2m,3)x，m，1,0， (1)有两个不相等的实数根,(2)有两个相等的实数根,(3)没有实数根,解:(1)m,14; (2)m,14; (3)m,14.3.已知x2，2x,m,1没有实数根，求证:x2，mx,1,2m必有两个16 / 45---------------------------------------------------------------精品范文 ------------------------------------------------------------- 不相等的实数根.证明:?x2，2x,m，1,0没有实数根， ?4,4(1,m),0，?m,0.对于方程x2，mx,1,2m，即x2，mx，2m,1,0，Δ,m2,8m，4，?m,0，?Δ,0，?x2，mx,1,2m必有两个不相等的实数根( 二、跟踪练习:学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路((10分钟)1(利用判别式判定下列方程的根的情况: (1)2x2,3x,32,0;(2)16x2,24x，9,0;(3)x2,42x，9,0;(4)3x2，10x,2x2，8x. 解:(1)有两个不相等的实数根;(2)有两个相等的实数根;(3)无实数根;(4)有两个不相等的实数根(2(用公式法解下列方程:(1)x2，x,12,0; (2)x2,2x,14,0; (3)x2，4x，8,2x，11; (4)x(x,4),2,8x; (5)x2，2x,0; (6)x2，25x，10,0. 解:(1)x1,3，x2,,4;(2)x1,2，32，x2,2,32;(3)x1,1，x2,,3;17 / 45---------------------------------------------------------------精品范文 -------------------------------------------------------------(4)x1,,2，6，x2,,2,6;(5)x1,0，x2,,2;(6)无实数根(点拨精讲:(1)一元二次方程ax2，bx，c,0(a?0)的根是由一元二次方程的系数a，b，c确定的;(2)在解一元二次方程时，可先把方程化为一般形式，然后在b2,4ac?0的前提下，把a，b，c的值代入x,,b?b2,4ac2a(b2,4ac?0)中，可求得方程的两个根;(3)由求根公式可以知道一元二次方程最多有两个实数根( 学生总结本堂课的收获与困惑((2分钟)1.求根公式的推导过程(2.用公式法解一元二次方程的一般步骤:先确定a，b，c的值，再算出b2,4ac 的值、最后代入求根公式求解(3.用判别式判定一元二次方程根的情况(学习至此，请使用本课时对应训练部分((10分钟)21(2.3 因式分解法1.会用因式分解法(提公因式法、公式法)解某些简单的数字系数的一元二次方程(2.能根据具体的一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性(重点:用因式分解法解一元二次方程(18 / 45---------------------------------------------------------------精品范文 ------------------------------------------------------------- 难点:理解因式分解法解一元二次方程的基本思想((2分钟)将下列各题因式分解:(1)am，bm，cm,(__a，b，c__)m;(2)a2,b2,__(a，b)(a,b)__;(3)a2?2ab，b2,__(a?b)2__(一、自学指导((8分钟)问题:根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么经过xs物体离地的高度(单位:m)为10x,4.9x2.你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗,(精确到0.01s) 设物体经过xs落回地面，这时它离地面的高度为0，即10x,4.9x2,0， ?思考:除配方法或公式法以外，能否找到更简单的方法解方程?, 分析:方程?的右边为0，左边可以因式分解得:x(10,4.9x),0，于是得x,0或10,4.9x,0， ??x1,__0__，x2?2.04(上述解中，x2?2.04表示物体约在2.04s时落回地面，而x1,0表示物体被上抛离开地面的时刻，即0s时物体被抛出，此刻物体的高度是0m.点拨精讲:(1)对于一元二次方程，先将方程右边化为0，然后对方19 / 45---------------------------------------------------------------精品范文 ------------------------------------------------------------- 程左边进行因式分解，使方程化为两个一次式的乘积的形式，再使这两个一次因式分别等于零，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法( (2)如果a•b,0，那么a,0或b,0，这是因式分解法的根据(如:如果(x，1)(x,1),0，那么__x，1,0或__x,1,0__，即__x,,1__或__x,1(二、自学检测:学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视((5分钟)1(说出下列方程的根:(1)x(x,8),0; (2)(3x，1)(2x,5),0.解:(1)x1,0，x2,8; (2)x1,,13，x2,52.2(用因式分解法解下列方程:(1)x2,4x,0;(2)4x2,49,0;(3)5x2,20x，20,0.解:(1)x1,0，x2,4;(2)x1,72，x2,,72;(3)x1,x2,2.一、小组合作:小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果((8分钟)1(用因式分解法解下列方程:(1)5x2,4x,0; (2)3x(2x，1),4x，2;(3)(x，5)2,3x，15.解:(1)x1,0，x2,45;20 / 45---------------------------------------------------------------精品范文 -------------------------------------------------------------(2)x1,23，x2,,12;(3)x1,,5，x2,,2.点拨精讲:用因式分解法解一元二次方程的要点是方程的一边是0，另一边可以分解因式(2(用因式分解法解下列方程:(1)4x2,144,0;(2)(2x,1)2,(3,x)2;(3)5x2,2x,14,x2,2x，34;(4)3x2,12x,,12.解:(1)x1,6，x2,,6;(2)x1,43，x2,,2;(3)x1,12，x2,,12;(4)x1,x2,2.点拨精讲:注意本例中的方程可以试用多种方法( 二、跟踪练习:学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路((10分钟)1(用因式分解法解下列方程:(1)x2，x,0;(2)x2,23x,0;(3)3x2,6x,,3;(4)4x2,121,0;(5)(x,4)2,(5,2x)2.解:(1)x1,0，x2,,1;(2)x1,0，x2,23;21 / 45---------------------------------------------------------------精品范文 -------------------------------------------------------------(3)x1,x2,1;(4)x1,112，x2,,112;(5)x1,3，x2,1.点拨精讲:因式分解法解一元二次方程的一般步骤: (1)将方程右边化为__0__;(2)将方程左边分解成两个一次式的__乘积__;(3)令每个因式分别为__0__，得到两个一元一次方程; (4)解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解( 2(把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求小圆形场地的半径(解:设小圆形场地的半径为xm.则可列方程2πx2,π(x，5)2.解得x1,5，52，x2,5,52(舍去)(答:小圆形场地的半径为(5，52)m.学生总结本堂课的收获与困惑((2分钟)1(用因式分解法解方程的根据由ab,0得a,0或b,0，即“二次降为一次”( 2(正确的因式分解是解题的关键(学习至此，请使用本课时对应训练部分((10分钟)21(2.4 一元二次方程的根与系数的关系1.理解并掌握根与系数的关系:x1，x2,,ba，x1x2,ca.22 / 45---------------------------------------------------------------精品范文 -------------------------------------------------------------2.会用根的判别式及根与系数的关系解题(重点:一元二次方程的根与系数的关系及运用( 难点:一元二次方程的根与系数的关系及运用(一、自学指导((10分钟)自学1:完成下表:方程x1x2x1，x2x1x2x2,5x，6,02356x2，3x,10,02,5,3,10问题:你发现什么规律,?用语言叙述你发现的规律;答:两根之和为一次项系数的相反数;两根之积为常数项( ?x2，px，q,0的两根x1，x2用式子表示你发现的规律. 答:x1，x2,,p，x1x2,q.自学2:完成下表:方程x1x2x1，x2x1x22x2,3x,2,02,1232,13x2,4x，1,01314323 / 45---------------------------------------------------------------精品范文 -------------------------------------------------------------13问题:上面发现的结论在这里成立吗,(不成立) 请完善规律:?用语言叙述发现的规律;答:两根之和为一次项系数与二次项系数之比的相反数，两根之积为常数项与二次项系数之比(?ax2，bx，c,0的两根x1，x2用式子表示你发现的规律( 答:x1，x2,,ba，x1x2,ca.自学3:利用求根公式推导根与系数的关系((韦达定理) ax2，bx，c,0的两根x1,__,b，b2,4ac2a__，x2,__,b,b2,4ac2a__(x1，x2,,ba，x1x2,ca.二、自学检测:学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视((5分钟)根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程的两根之和与两根之积((1)x2,3x,1,0; (2)2x2，3x,5,0;(3)13x2,2x,0.解:(1)x1，x2,3，x1x2,,1;(2)x1，x2,,32，x1x2,,52;(3)x1，x2,6，x1x2,0.24 / 45---------------------------------------------------------------精品范文 -------------------------------------------------------------一、小组合作:小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果((10分钟)1(不解方程，求下列方程的两根之和与两根之积((1)x2,6x,15,0;(2)3x2，7x,9,0;(3)5x,1,4x2.解:(1)x1，x2,6，x1x2,,15;(2)x1，x2,,73，x1x2,,3;(3)x1，x2,54，x1x2,14.点拨精讲:先将方程化为一般形式，找对a，b，c. 2(已知方程2x2，kx,9,0的一个根是,3，求另一根及k的值( 解:另一根为32，k,3.点拨精讲:本题有两种解法，一种是根据根的定义，将x,,3代入方程先求k，再求另一个根;一种是利用根与系数的关系解答( 3(已知α，β是方程x2,3x,5,0的两根，不解方程，求下列代数式的值((1)1α，1β; (2)α2，β2; (3)α,β.解:(1),35;(2)19;(3)29或,29.二、跟踪练习:学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路((8分钟)1(不解方程，求下列方程的两根和与两根积:(1)x2,3x,15;(2)5x2,1,4x2;(3)x2,3x，2,10;(4)4x2,144,0.25 / 45---------------------------------------------------------------精品范文 ------------------------------------------------------------- 解:(1)x1，x2,3，x1x2,,15;(2)x1，x2,0，x1x2,,1;(3)x1，x2,3，x1x2,,8;(4)x1，x2,0，x1x2,,36.2(两根均为负数的一元二次方程是( c )A(7x2,12x，5,0B(6x2,13x,5,0c(4x2，21x，5,0D(x2，15x,8,0点拨精讲:两根均为负数的一元二次方程根与系数的关系满足两根之和为负数，两根之积为正数(学生总结本堂课的收获与困惑((2分钟)不解方程，根据一元二次方程根与系数的关系和已知条件结合，可求得一些代数式的值;求得方程的另一根和方程中的待定系数的值( 1(先化成一般形式，再确定a，b，c.2(当且仅当b2,4ac?0时，才能应用根与系数的关系(3(要注意比的符号:x1，x2,,ba(比前面有负号)，x1x2,ca(比前面没有负号)( 学习至此，请使用本课时对应训练部分((10分钟)21(3 实际问题与一元二次方程(1)1(会根据具体问题(按一定传播速度传播的问题、数字问题等)中的数量关系列一元二次方程并求解(26 / 45---------------------------------------------------------------精品范文 ------------------------------------------------------------- 2(能根据问题的实际意义，检验所得结果是否合理( 3(进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键(重点:列一元二次方程解决实际问题(难点:找出实际问题中的等量关系(一、自学指导((12分钟)问题1:有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人,分析:?设每轮传染中平均一个人传染了x个人，那么患流感的这一个人在第一轮中传染了__x__人，第一轮后共有__(x，1)__人患了流感; ?第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了__x__人，第二轮后共有__(x，1)(x，1)__人患了流感( 则列方程:__(x，1)2,121__，解得__x,10或x,,12(舍)__，即平均一个人传染了__10__个人(再思考:如果按照这样的传染速度，三轮后有多少人患流感, 问题2:一个两位数，它的两个数字之和为6，把这两个数字交换位置后所得的两位数与原两位数的积是1008，求原来的两位数( 分析:设原来的两位数的个位数字为__x__，则十位数字为__(6,27 / 45---------------------------------------------------------------精品范文 ------------------------------------------------------------- x)__，则原两位数为__10(6,x)，x，新两位数为__10x，(6,x)__(依题意可列方程:[10(6,x)，x][10x，(6,x)],1008__，解得x1,__2__，x2,__4__，?原来的两位数为24或42. 二、自学检测:学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视((5分钟)某初中毕业班的每一个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送了2550张相片，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为( ) A(x(x，1),2550B(x(x,1),2550c(2x(x，1),2550D(x(x,1),2550×2分析:由题意，每一个同学都将向全班其他同学各送一张相片，则每人送出(x,1)张相片，全班共送出x(x,1)张相片，可列方程为x(x,1),2550.故选B.一、小组合作:小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果((8分钟)1(某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，求每个支干长出多少小分支, 解:设每个支干长出x个小分支，则有1，x，x2,91，28 / 45---------------------------------------------------------------精品范文 ------------------------------------------------------------- 即x2，x,90,0，解得x1,9，x2,,10(舍去)，故每个支干长出9个小分支(点拨精讲:本例与传染问题的区别(2(一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4，设个位数字为x，则列方程为:__x2，(x，4)2,10(x，4)，x,4__(二、跟踪练习:学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路((7分钟)1(两个正数的差是2，它们的平方和是52，则这两个数是( c ) A(2和4 B(6和8 c(4和6 D(8和10 2(教材P21第2题、第3题学生总结本堂课的收获与困惑((3分钟)1(列一元二次方程解应用题的一般步骤:(1)“审”:即审题，读懂题意弄清题中的已知量和未知量; (2)“设”:即设__未知数__，设未知数的方法有直接设和间接设未知数两种;(3)“列”:即根据题中__等量__关系列方程;(4)“解”:即求出所列方程的__根__;(5)“检验”:即验证根是否符合题意;(6)“答”:即回答题目中要解决的问题(2.对于数字问题应注意数字的位置(29 / 45---------------------------------------------------------------精品范文 ------------------------------------------------------------- 学习至此，请使用本课时对应训练部分((10分钟)21(3 实际问题与一元二次方程(2)1.会根据具体问题(增长率、降低率问题和利润率问题)中的数量关系列一元二次方程并求解(2(能根据问题的实际意义，检验所得结果是否合理( 3(进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键(重点:如何解决增长率与降低率问题(难点:理解增长率与降低率问题的公式a(1?x)n,b，其中a是原有量，x为增长(或降低)率，n为增长(或降低)的次数，b为增长(或降低)后的量(一、自学指导((10分钟)自学:两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大,(精确到0.01) 绝对量:甲种药品成本的年平均下降额为(5000,3000)?2,1000(元)，乙种药品成本的年平均下降额为(6000,3600)?2,1200(元)，显然，乙种药品成本的年平均下降额较大( 相对量:从上面的绝对量的大小能否说明相对量的大小呢,也就是能30 / 45---------------------------------------------------------------精品范文 ------------------------------------------------------------- 否说明乙种药品成本的年平均下降率大呢,下面我们通过计算来说明这个问题( 分析:?设甲种药品成本的年平均下降率为x，则一年后甲种药品成本为__5000(1,x)__元，两年后甲种药品成本为__5000(1,x)2__元( 依题意，得__5000(1,x)2,3000__(解得__x1?0.23，x2?1.77__(根据实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为__0.23__( ?设乙种药品成本的年平均下降率为y.则，列方程:__6000(1,y)2,3600__(解得__y1?0.23，y2?1.77(舍)__(答:两种药品成本的年平均下降率__相同__(点拨精讲:经过计算，成本下降额较大的药品，它的成本下降率不一定较大，应比较降前及降后的价格(二、自学检测:学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视((8分钟)某商店10月份的营业额为5000元，12月份上升到7200元，平均每月增长百分率是多少,【分析】如果设平均每月增长的百分率为x，则11月份的营业额为__5000(1，x)__元，12月份的营业额为__5000(1，x)(1，x)__元，即__5000(1，x)2__元( 由此就可列方程:__5000(1，x)2,7200__(31 / 45---------------------------------------------------------------精品范文 ------------------------------------------------------------- 点拨精讲:此例是增长率问题，如题目无特别说明，一般都指平均增长率，增长率是增长数与基准数的比(增长率,增长数?基准数设基准数为a，增长率为x，则一月(或一年)后产量为a(1，x);二月(或二年)后产量为a(1，x)2;n月(或n年)后产量为a(1，x)n;如果已知n月(n年)后产量为m，则有下面等式:m,a(1，x)n. 解这类问题一般多采用上面的等量关系列方程(一、小组合作:小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果((8分钟)某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用于购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金和利息共1320元，求这种存款方式的年利率((利息税20%)。
3 正方形的判定 一等奖创新教学设计
3 正方形的判定一等奖创新教学设计《正方形》教学设计一、教材分析《正方形的判定》是北师大版数学教材九年级（上册）第一章的第三节内容。
本节课是在学行四边形、菱形和矩形知识的基础上，对正方形判定方法的探索，是所学特殊四边形知识的综合运用。
教材通过“将一张长方形纸对折两次，然后剪下一个角，打开，怎样剪才能剪出一个正方形？”的剪纸实验为引入引导学生探索正方形的判定方法；通过例题，结合正方形的判定和矩形的性质进行正方形的证明；最后探索正方形的中点四边形，是正方形的判定的再应用。
这一节课既是前面所学知识的延续，又是对平行四边形、菱形、矩形的判定进行综合的不可缺少的重要环节。
二、学情分析在之前的学习中，学生已经借助折纸、画图、测量、猜想、证明等活动探索学行四边形、菱形、矩形的性质和判定，在本节第一课时学习了正方形的定义和性质。
特别地，在《菱形的判定》一课中已经做过剪纸实验：“对折两次，任意剪一个角”得菱形。
在相关知识的学习中，学生经历了“探索——发现——猜想——证明”的过程，初步体会了提出猜想后还应予以证明的意义，感受到了合情推理与演绎推理之间相互依赖和相互补充的辩证关系，因此学生已经具有一定的推理证明的能力。
八年级时学生还学习了三角形中位线定理，为本节课探究正方形的中点四边形作了铺垫。
因此学生已经具备知识基础和实验操作经验。
值得注意的是，结合小学阶段的学习，学生对正方形的认识主要在特征性质：四边相等，四个角相等，但是对正方形的判定相对陌生。
因此，本节课的教学设计将重点放在正方形判定的探索上，设计教学引入环节：先以学生熟悉的剪菱形的方法作为引入，在菱形的基础上剪矩形，偶然发现正方形，自然得出正方形的判定方法——既是菱形又是矩形的四边形是正方形。
通过对生活中常用的正方形的折法分析，利用学习的新知解释了生活中常见的问题，使学生体会到学习数学的作用和意义。
通过学生自主探究、在旧知的基础上发现新结论的过程，有效突破了本节重难点，提升了学生的成就感与学好数学的信心。
【人教版】九年级数学上册全册导学案
第二十一章一元二次方程21．1一元二次方程1.了解一元二次方程的概念，应用一元二次方程概念解决一些简单问题．2＋bx＋c＝0(a≠0)及有关概念．2．掌握一元二次方程的一般形式ax3．会进行简单的一元二次方程的试解；理解方程解的概念．重点：一元二次方程的概念及其一般形式；一元二次方程解的探索．难点：由实际问题列出一元二次方程；准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一次项和系数及常数项．一、自学指导．(10分钟)问题1：如图，有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为3600 2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？cm分析：设切去的正方形的边长为xcm，则盒底的长为__(100－2x)cm__，宽为__(50－2－75x＋350＝0__．①2x)cm__．列方程__(100－2x)·(50－2x)＝3600__，化简整理，得__x 问题2：要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？分析：全部比赛的场数为__437＝28__．设应邀请x个队参赛，每个队要与其他__(x－1)__个队各赛1场，所以全部比赛共x（x－1）x（x－1）＝28__，化简整理，得__x2－x－56＝0__．②2__场．列方程__2探究：(1)方程①②中未知数的个数各是多少？__1个__．(2)它们最高次数分别是几次？__2次__．归纳：方程①②的共同特点是：这些方程的两边都是__整式__，只含有__一个__未知数(一元)，并且未知数的最高次数是__2__的方程．1．一元二次方程的定义等号两边都是__整式__，只含有__一__个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是__2__(二次)的方程，叫做一元二次方程．2．一元二次方程的一般形式一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：2＋bx＋c＝0(a≠0)．ax2__是二次项，__a__是二次项系数，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中__ax__bx__是一次项，__b__是一次项系数，__c__是常数项．点拨精讲：二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号．二次项系数a≠0是一个重要条件，不能漏掉．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(6分钟)1．判断下列方程，哪些是一元二次方程？3－2x2＋5＝0；(2)x2＝1；(1)x2－2x－1＝x2－2x＋3(3)5x；452＝3(x＋1)；(4)2(x1)2－2x＝x2＋1;(6)ax2＋bx＋c＝0.(5)x解：(2)(3)(4)．点拨精讲：有些含字母系数的方程，尽管分母中含有字母，但只要分母中不含有未知数，这样的方程仍然是整式方程．2．将方程3x(x－1)＝5(x＋2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．解：去括号，得3x2－3x＝5x＋10.移项，合并同类项，得3x2－8x－10＝0.其中二次项系数是3，一次项系数是－8，常数项是－10.点拨精讲：将一元二次方程化成一般形式时，通常要将首项化负为正，化分为整．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)2－8m＋17)x2＋2mx＋1＝0，无论m取何值，该方程都是一1．求证：关于x的方程(m元二次方程．证明：m2－8m＋17＝(m－4)2＋1，∵(m－4)2≥0，∴(m－4)2＋1>0，即(m－4)2＋1≠0.∴无论m取何值，该方程都是一元二次方程．点拨精讲：要证明无论m取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明m2－8m＋17≠0 即可．2＋10x＋12＝0的根？2．下面哪些数是方程2x－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4.解：将上面的这些数代入后，只有－2和－3满足等式，所以x＝－2或x＝－3是一元二次方程2x2＋10x＋12＝0的两根．点拨精讲：要判定一个数是否是方程的根，只要把这个数代入等式，看等式两边是否相等即可．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(9分钟) 1．判断下列方程是否为一元二次方程．2＝0;(2)2(x2－1)＝3y；(1)1－x2－3x－1＝0;(4)1 (3)2x2－x 2x＝0；2＝(x－3)2;(6)9x2＝5－4x.(5)(x＋3)解：(1)是；(2)不是；(3)是；(4)不是；(5)不是；(6)是．2＋4x－5＝0的一个根，求a的值．2．若x＝2是方程ax解：∵x＝2是方程ax2＋4x－5＝0的一个根，∴4a＋8－5＝0，解得a＝－34 .3．根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式：(1)4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x；2，面积是100，求长方形的长x.(2)一个长方形的长比宽多解：(1)4x2＝25，4x2－25＝0；(2)x(x－2)＝100，x2－2x－100＝0.困惑．(2分钟)学生总结本堂课的收获与1．一元二次方程的概念以及怎样利用概念判断一元二次方程．2＋bx＋c＝0(a≠0)，特别a≠0.强调2．一元二次方程的一般形式ax3．要会判断一个数是否是一元二次方程的根．)学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟21．2解一元二次方程21．2.1配方法(1)1.使学生会用直接开平方法解一元二次方程．2.渗透转化思想，掌握一些转化的技能．重点：运用开平方法解形如(x＋m) 2＝n(n≥0)的方程；领会降次——转化的数学思想．难点：通过根据平方根的意义解形如x2＝n(n≥0)的方程，知识迁移到根据平方根的意义解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程．一、自学指导．(10分钟)2，小李用这桶油漆恰好刷完10个同样的问题1：一桶某种油漆可刷的面积为1500dm？正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗2__dm2，根据一桶油漆可刷的设正方体的棱长为xdm，则一个正方体的表面积为__6x面积列出方程：2＝1500__，__1036x由此可得__x2＝25__，根据平方根的意义，得x＝__±5__，即x1＝__5__，x2＝__－5__．值，所以正方体的棱长为__5__dm.可以验证__5__和－5都是方程的根，但棱长不能为负探究：对照问题1解方程的过程，你认为应该怎样解方程(2x－1)2＝5及方程x2＋6x＋9 ＝4?方程(2x－1) 2＝5左边是一个整式的平方，右边是一个非负数，根据平方根的意义，可将方程变形为__2x－1＝±5__，即将方程变为__2x－1＝5和__2x－1＝－5__两个一元一1＋51－5次方程，从而得到方程(2x－1)1＝__，x2＝__2＝5的两个解为x__．22在解上述方程的过程中，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样问题就容易解决了．方程x2＋6x＋9＝4的左边是完全平方式，这个方程可以化成(x＋__3__)2＝4，进行降次，得到__x＋3＝±2__，方程的根为x1＝__－1__，x2＝__－5__.：在解一元二次方程时通常通过“降次”把它转化为两个一元一次方程．如果方程归纳能化成x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝p(p≥0)的形式，那么可得x＝±p或mx＋n＝±p.)，教师巡视．(6分钟：学生自主完成，小组内展示，点评二、自学检测解下列方程：2＝8；(2)2(x－8)2＝50；(1)2y2＋4＝0;(4)4x2－4x＋1＝0.(3)(2x－1)解：(1)2y2＝8，(2)2(x－8)2＝50，y2＝4，(x－8)2＝25，y＝±2，x－8＝±5，∴y1＝2，y2＝－2；x－8＝5或x－8＝－5，∴x1＝13，x2＝3；2＋4＝0，(4)4x2－4x＋1＝0，(3)(2x－1)(2x－1)2＝－4<0，(2x－1)2＝0，∴原方程无解；2x－1＝0，∴x1＝x2＝1 . 2点拨精讲：观察以上各个方程能否化成x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝p(p≥0)的形式，若能，则可运用直接开平方法解．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)1．用直接开平方法解下列方程：2＝7;(2)y2＋2y＋1＝24；(1)(3x＋1)2－24n＋16＝11.(3)9n－1±74±11解：(1)；(2)－1±26；(3).33点拨精讲：运用开平方法解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的方程时，最容易出错的是漏掉负根．2＋(a2＋1)x－3＝0的一个根是1，求a的值．2．已知关于x的方程x解：±1.二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(9分钟)用直接开平方法解下列方程：2－6＝0;(2)x2－4x＋4＝5；(1)3(x－1)2＋6x＋1＝4;(4)36x2－1＝0；(3)9x2＝81;(6)(x＋5)2＝25；(5)4x2＋2x＋1＝4.(7)x解：(1)x1＝1＋2，x2＝1－2；(2)x1＝2＋5，x2＝2－5；1(3)x1＝－1，x2＝3；(4)x1＝16，x2＝－16；(5)x1＝92，x2＝－92；(6)x1＝0，x2＝－10；(7)x1＝1，x2＝－3.困惑．(2分钟)学生总结本堂课的收获与1．用直接开平方法解一元二次方程．2．理解“降次”思想．2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝p(p≥0)中，为什么p≥0?3．理解x)部分．(10分钟学习至此，请使用本课时对应训练21．2.1配方法(2)1．会用配方法解数字系数的一元二次方程．2．掌握配方法和推导过程，能使用配方法解一元二次方程．重点：掌握配方法解一元二次方程．难点：把一元二次方程转化为形如(x－a)2＝b的过程．(2分钟)1．填空：2－8x＋__16__＝(x－__4__)2；(1)x2＋12x＋__4__＝(3x＋__2__)2；(2)9x2＋px＋__(pp(3)x)__)222－mx＋9是一个完全平方式，那么m的值是__±12__．2．若4x一、自学指导．(10分钟)2，场地的长和宽分别是多问题6m，并且面积为16m1：要使一块矩形场地的长比宽多少米？2，得到方程__x(x＋6)设场地的宽为xm，则长为__(x＋6)__m，根据矩形面积为16m＝16__，整理得到__x2＋6x－16＝0__．探究：怎样解方程x2＋6x－16＝0?过的方程x对比这个方程与前面讨论2＋6x＋9＝4，可以发现方程x2＋6x＋9＝4的左边是含有x的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程；而方程x2＋6x－16＝0不具有上述形式，直接降次有困难，能设法把这个方程化为具有上述形式的方程吗？解：移项，得x2＋6x＝16，62__，使左边配成x2＋bx＋(b两边都加上__9__即__(2的形式，得))222__x__＋6__x__＋9＝16＋__9__，左边写成平方形式，得2＝25__，__(x＋3)开平方，得__x＋3＝±5__，(降次)即__x＋3＝5__或__x＋3＝－5__，解一次方程，得x1＝__2__，x2＝__－8__．：通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法，叫做配方法；配方的目的是归纳为了降次，把一元二次方程转化为两个一元一次方程．2：解下列方程：问题22－1＝5；(2)4(x －1)－9＝0；(1)3x 2＋16x ＋16＝9.(3)4x 解：(1)x ＝±2；(2)x 1＝－1 2 ，x 2＝ 5 2 ；(3)x 1＝－7 2 ，x 2＝－1 2. 归纳：利用配方法解方程时应该遵循的步骤：2＋bx ＋c ＝0；(1)把方程化为一般形式ax(2)把方程的常数项通过移项移到方程的右边； (3)方程两边同时除以二次项系数a ；(4)方程两边同时加上一次项系数一半的平方；(5)此时方程的左边是一个完全平方式，然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两 个一元一次方程来解．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(8分钟) 1．填空：2＋6x ＋__9__＝(x ＋__3__)2；(1)x(2)x2－x ＋__1 12；4__＝(x －__2__)2＋4x ＋__1__＝(2x ＋__1__)2.(3)4x 2．解下列方程：2＋6x ＋5＝0;(2)2x 2＋6x ＋2＝0；(1)x(3)(1＋x)2＋2(1＋x)－4＝0. 解：(1)移项，得x2＋6x ＝－5， 配方得x2＋6x ＋32＝－5＋32，(x ＋3)2＝4， 由此可得x ＋3＝±2，即x 1＝－1，x 2＝－5.2＋6x ＝－2，(2)移项，得2x二次项系数化为1，得x2＋3x ＝－1， 配方得x 2＋3x ＋(32＝(x ＋32＝5))，224由此可得x ＋ 3 2 ＝±5 ，即x 1＝ 2 5 － 2 3 2，x 2＝－ 5 －2 3 2 .2＋4x －1＝0，(3)去括号，整理得x2移项得x ＋4x ＝1，配方得(x ＋2)2＝5，x＋2＝±5，即x1＝5－2，x2＝－5－2.点拨精讲：解这些方程可以用配方法来完成，即配一个含有x的完全平方式．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(5分钟)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8m，CB＝6m，点P，Q同时由A，B两点出发分别沿AC，BC方向向点C匀速移动，它们的速度都是1m/s，几秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半？解：设x秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半．根据题意可列方程：12(8－x)(6－x)＝1313836，22即x2－14x＋24＝0，2＝25，(x－7)x－7＝±5，∴x1＝12，x2＝2，x1＝12，x2＝2都是原方程的根，但x1＝12不合题意，舍去．答：2秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半．点拨精讲：设x秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半，△PCQ也是直角三角形．根据已知条件列出等式．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(8分钟)1．用配方法解下列关于x的方程：2－4x－8＝0；(2)x2－4x＋2＝0；(1)2x12(3)x－2x－1＝0;(4)2x 2＋2＝5.解：(1)x1＝1＋5，x2＝1－5；(2)x1＝2＋2，x2＝2－2；14 (3)x1＝＋171，x2＝－4417；4(4)x1＝6，x2＝－262.2－4x＋y2＋6y＋z＋2＋13＝0，求(xy)z的值．2．如果x解：由已知方程得x2－4x＋4＋y2＋6y＋9＋z＋2＝0，即(x－2)2＋(y＋3)2＋z＋2＝0，∴x＝2，y＝－3，z＝－2.∴(xy) z＝[23(－3)] －2 1 ＝.36学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)1．用配方法解一元二次方程的步骤．2．用配方法解一元二次方程的注意事项．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)21．2.2公式法1.理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念．2.会熟练应用公式法解一元二次方程．重点：求根公式的推导和公式法的应用．难点：一元二次方程求根公式的推导．(2分钟)用配方法解方程：2＋3x＋2＝0；(2)2x2－3x＋5＝0.(1)x解：(1)x1＝－2，x2＝－1；(2)无解．一、自学指导．(8分钟)问题：如果这个一元二次方程是一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根？问题：已知ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，试推导它的两个根x2＋bx＋c＝0(a≠0)，试推导它的两个根x1＝－b＋b2－4ac2－4ac，x2＝2a－b－b2－4ac2a.分析：因为前面具体数字已做得很多，现在不妨把a，b，c也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．探究：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根由方程的系数a，b，c而定，因此：2＋bx＋c＝0，当b2－4ac≥0时，(1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax－b±b2－4ac将a，b，c代入式子x＝就得到方程的根，当b2－4ac＜0时，方程没有实数根．2a(2)x ＝－b±b2－4ac2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式．2a(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法．(4)由求根公式可知，一元二次方程最多有__2个实数根，也可能有__1__个实根或者__ 没有__实根．2－4ac叫做方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式，通常用希腊字母(5)一般地，式子b2－4ac.Δ表示，即Δ＝b二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5分钟)用公式法解下列方程，根据方程根的情况你有什么结论？2－3x＝0；(2)3x2－23x＋1＝0；(1)2x2＋x＋1＝0.(3)4x3解：(1)x1＝0，x2＝；有两个不相等的实数根；2(2)x1＝x2＝3；有两个相等的实数根；3(3)无实数根．点拨精讲：Δ＞0时，有两个不相等的实数根；Δ＝0时，有两个相等的实数根；Δ＜0 时，没有实数根．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)2－4x＋4＝0的根的情况是(B)1．方程xA．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．有一个实数根D．没有实数根2．当m为何值时，方程(m＋1)x 2－(2m－3)x＋m＋1＝0，(1)有两个不相等的实数根？(2)有两个相等的实数根？(3)没有实数根？解：(1)m＜14；(2)m＝11；(3)m＞.442＋2x＝m－1没有实数根，求证：x2＋mx＝1－2m必有两个不相等的实数根.3.已知x证明：∵x2＋2x－m＋1＝0没有实数根，∴4－4(1－m)＜0，∴m＜0.对于方程x2＋mx＝1－2m，即x2＋mx＋2m－1＝0，2－8m＋4，∵m＜0，∴Δ＞0，Δ＝m∴x2＋mx＝1－2m必有两个不相等的实数根．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(10分钟) 1．利用判别式判定下列方程的根的情况：2－3x－3＝0;(2)16x (1)2x2 2－24x＋9＝0；2－42x＋9＝0;(4)3x2＋10x＝2x2＋8x.(3)x解：(1)有两个不相等的实数根；(2)有两个相等的实数根；(3)无实数根；(4)有两个不相等的实数根．2．用公式法解下列方程：2＋x－12＝0;(2)x2－2x－1(1)x4 2＋4x＋8＝2x＋11;(4)x(x－4)＝2－8x；(3)x2＋2x＝0;(6)x2＋25x＋10＝0.(5)x解：(1)x1＝3，x2＝－4；(2)x1＝2＋3，x2＝22－3；2(3)x1＝1，x2＝－3；(4)x1＝－2＋6，x2＝－2－6；(5)x1＝0，x2＝－2;(6)无实数根．点拨精讲：(1)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根是由一元二次方程的系数a，b，c 确定的；2－4ac≥0的前提下，把，可先把方程化为一般形式，然后在b(2)在解一元二次方程时－b±b2－4ac2－4ac≥0)中，可求得方程的两个根；x＝(ba，b，c的值代入2a(3)由求根公式可以知道一元二次方程最多有两个实数根．困惑．(2分钟)学生总结本堂课的收获与1.求根公式的推导过程．2－4ac的值、2.用公式法解一元二次方程的一般步骤：先确定．a，b，c的值，再算．出b最后代．入求根公式求解．3.用判别式判定一元二次方程根的情况．)学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟21．2.3因式分解法1.会用因式分解法(提公因式法、公式法)解某些简单的数字系数的一元二次方程．2.能根据具体的一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性．重点：用因式分解法解一元二次方程．难点：理解因式分解法解一元二次方程的基本思想．(2分钟)将下列各题因式分解：(1)am＋bm＋cm＝(__a＋b＋c__)m；2－b2＝__(a＋b)(a－b)__；(2)a2±2ab＋b2＝__(a±b)2__．(3)a一、自学指导．(8分钟)问题：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么经过x2s物体离地的高度(单位：m)为10x－4.9x.你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗？(精确到0.01s)设物体经过xs落回地面，这时它离地面的高度为0，即10x－4.9x2＝0，①思考：除配方法或公式法以外，能否找到更简单的方法解方程①？分析：方程①的右边为0，左边可以因式分解得：x(10－4.9x)＝0，于是得x＝0或10－4.9x＝0，②∴x1＝__0__，x2≈2.04．上述解中，x2≈2.04表示物体约在2.04s时落回地面，而x1＝0表示物体被上抛离开地面的时刻，即0s时物体被抛出，此刻物体的高度是0m.点拨精讲：(1)对于一元二次方程，先将方程右边化为0，然后对方程左边进行因式分，从而实现降次，解，使方程化为两个一次式的乘积的形式，再使这两个一次因式分别等于零这种解法叫做因式分解法．(2)如果a·b＝0，那么a＝0或b＝0，这是因式分解法的根据．如：如果(x＋1)(x－1)＝0，那么__x＋1＝0或__x－1＝0__，即__x＝－1__或__x＝1．：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5分钟)二、自学检测1．说出下列方程的根：(1)x(x－8)＝0；(2)(3x＋1)(2x－5)＝0.解：(1)x1＝0，x2＝8；(2)x1＝－15，x2＝2. 32．用因式分解法解下列方程：2－4x＝0;(2)4x2－49＝0；(1)x2－20x＋20＝0.(3)5x7解：(1)x1＝0，x2＝4;(2)x1＝，x2＝－2 72 ；(3)x1＝x2＝2.一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)1．用因式分解法解下列方程：2－4x＝0；(2)3x(2x＋1)＝4x＋2；(1)5x2＝3x＋15.(3)(x5)4解：(1)x1＝0，x2＝5；2(2)x1＝，x2＝－3 12 ；(3)x1＝－5，x2＝－2.点拨精讲：用因式分解法解一元二次方程的要点是方程的一边是0，另一边可以分解因式．2．用因式分解法解下列方程：2－144＝0；(1)4x2＝(3－x)2；(2)(2x－1)＝x；(3)5x442－12x＝－12.(4)3x解：(1)x1＝6，x2＝－6；4，x2＝－2；(2)x1＝31(3)x1＝，x2＝－2 12 ；(4)x1＝x2＝2.点拨精讲：注意本例中的方程可以试用多种方法．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(10分钟)1．用因式分解法解下列方程：2＋x＝0;(2)x2－23x＝0；(1)x22－6x＝－3;(4)4x－121＝0；(3)3x2＝(5－2x)2.(5)(x4)解：(1)x1＝0，x2＝－1；(2)x1＝0，x2＝23；(3)x1＝x2＝1；112，x2＝－(4)x1＝11 2 ；(5)x1＝3，x2＝1.点拨精讲：因式分解法解一元二次方程的一般步骤：(1)将方程右边化为__0__；(2)将方程左边分解成两个一次式的__乘积__；(3)令每个因式分别为__0__，得到两个一元一次方程；(4)解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．2．把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求小圆形场地的半径．解：设小圆形场地的半径为xm.则可列方程2πx2＝π(x＋5)2.解得x1＝5＋52，x2＝5－52(舍去)．答：小圆形场地的半径为(5＋52)m.学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)1．用因式分解法解方程的根据由ab＝0得a＝0或b＝0，即“二次降为一次”．2．正确的因式分解是解题的关键．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)21．2.4一元二次方程的根与系数的关系1.理解并掌握根与系数的关系：x1＋x2＝－b c，x1x2＝. aa2.会用根的判别式及根与系数的关系解题．重点：一元二次方程的根与系数的关系及运用．难点：一元二次方程的根与系数的关系及运用．一、自学指导．(10分钟)自学1：完成下表：方程x1x2x1＋x2x1x22－5x＋6＝02356x2＋3x－10＝02－5－3－10x问题：你发现什么规律？①用语言叙述你发现的规律；答：两根之和为一次项系数的相反数；两根之积为常数项．②x2＋px＋q＝0的两根x1，x2用式子表示你发现的规律. 答：x1＋x2＝－p，x1x2＝q.自学2：完成下表：方程x1x2x1＋x2x1x22－3x－2＝02－12x2 32－12－4x＋1＝013x3 14313问题：上面发现的结论在这里成立吗？(不成立)请完善规律：①用语言叙述发现的规律；答：两根之和为一次项系数与二次项系数之比的相反数，两根之积为常数项与二次项系数之比．②ax1，x2用式子表示你发现的规律．2＋bx＋c＝0的两根x答：x1＋x2＝－b c，x1x2＝a. a自学3：利用求根公式推导根与系数的关系．(韦达定理)－b＋b－b－b2－4ac2－4ac 2＋bx＋c＝0的两根x1＝____，x2＝__ax__．2a2ax1＋x2＝－b c，x1x2＝. aa二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5分钟)根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程的两根之和与两根之积．2－3x－1＝0；(2)2x2＋3x－5＝0；(1)x12－2x＝0.(3)3x解：(1)x1＋x2＝3，x1x2＝－1；(2)x1＋x2＝－32，x1x2＝－52；(3)x1＋x2＝6，x1x2＝0.一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(10分钟)1．不解方程，求下列方程的两根之和与两根之积．2－6x－15＝0;(2)3x2＋7x－9＝0；(1)x2(3)5x－1＝4x.解：(1)x1＋x2＝6，x1x2＝－15；(2)x1＋x2＝－73，x1x2＝－3；5(3)x1＋x2＝，x1x2＝4 14 .点拨精讲：先将方程化为一般形式，找对a，b，c.2＋kx－9＝0的一个根是－3，求另一根及k的值．2．已知方程2x解：另一根为3，k＝3.2点拨精讲：本题有两种解法，一种是根据根的定义，将x＝－3代入方程先求k，再求另一个根；一种是利用根与系数的关系解答．2－3x－5＝0的两根，不解方程，求下列代数式的值．3．已知α，β是方程x1 (1)＋α122；(2)α；(3)α－β.＋ββ解：(1)－35；(2)19；(3)29或－29.二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(8分钟) 1．不解方程，求下列方程的两根和与两根积：2－3x＝15;(2)5x2－1＝4x2；(1)x2－3x＋2＝10;(4)4x2－144＝0.(3)x解：(1)x1＋x2＝3，x1x2＝－15；(2)x1＋x2＝0，x1x2＝－1；(3)x1＋x2＝3，x1x2＝－8；(4)x1＋x2＝0，x1x2＝－36.2．两根均为负数的一元二次方程是(C)2－12x＋5＝0B．6x2－13x－5＝0A．7xC．4x 2＋21x＋5＝0D．x2＋15x－8＝0点拨精讲：两根均为负数的一元二次方程根与系数的关系满足两根之和为负数，两根之积为正数．学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)不解方程，根据一元二次方程根与系数的关系和已知条件结合，可求得一些代数式的值；求得方程的另一根和方程中的待定系数的值．1．先化成一般形式，再确定a，b，c.2－4ac≥0时，才能应用根与系数的关系．2．当且仅当b3．要注意比的符号：x1＋x2＝－ba(比前面有负号)，x1x2＝ca(比前面没有负号)．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)21．3实际问题与一元二次方程(1)1．会根据具体问题(按一定传播速度传播的问题、数字问题等)中的数量关系列一元二次方程并求解．2．能根据问题的实际意义，检验所得结果是否合理．3．进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键．重点：列一元二次方程解决实际问题．难点：找出实际问题中的等量关系．一、自学指导．(12分钟)问题1：有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？分析：①设每轮传染中平均一个人传染了x个人，那么患流感的这一个人在第一轮中传染了__x__人，第一轮后共有__(x＋1)__人患了流感；②第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了__x__人，第二轮后共有__(x＋1)(x＋1)__ 人患了流感．则列方程：2＝121__，__(x＋1)解得__x＝10或x＝－12(舍)__，即平均一个人传染了__10__个人．再思考：如果按照这样的传染速度，三轮后有多少人患流感？问题2：一个两位数，它的两个数字之和为6，把这两个数字交换位置后所得的两位数与原两位数的积是1008，求原来的两位数．分析：设原来的两位数的个位数字为__x__，则十位数字为__(6－x)__，则原两位数为__10(6－x)＋x，新两位数为__10x＋(6－x)__．依题意可列方程：[10(6－x)＋x][10x＋(6－x)] ＝1008__，解得x1＝__2__，x2＝__4__，∴原来的两位数为24或42.二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5分钟)某初中毕业班的每一个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送了2550张相片，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为()A．x(x＋1)＝2550B．x(x－1)＝2550C．2x(x＋1)＝2550D．x(x－1)＝255032分析：由题意，每一个同学都将向全班其他同学各送一张相片，则每人送出(x－1)张相片，全班共送出x(x－1)张相片，可列方程为x(x－1)＝2550.故选B.一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)1．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，求每个支干长出多少小分支？解：设每个支干长出x个小分支，则有1＋x＋x2＝91，即x2＋x－90＝0，解得x1＝9，x2＝－10(舍去)，故每个支干长出9个小分支．点拨精讲：本例与传染问题的区别．2．一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4，设个位数字为x，则列方程为：__x2＋(x＋4)2＝10(x＋4)＋x－4__．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(7分钟)1．两个正数的差是2，它们的平方和是52，则这两个数是(C)A．2和4B．6和8C．4和6D．8和102．教材P21第2题、第3题学生总结本堂课的收获与困惑．(3分钟)1．列一元二次方程解应用题的一般步骤：(1)“审”：即审题，读懂题意弄清题中的已知量和未知量；(2)“设”：即设__未知数__，设未知数的方法有直接设和间接设未知数两种；(3)“列”：即根据题中__等量__关系列方程；(4)“解”：即求出所列方程的__根__；(5)“检验”：即验证根是否符合题意；(6)“答”：即回答题目中要解决的问题．2.对于数字问题应注意数字的位置．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)21．3实际问题与一元二次方程(2)1.会根据具体问题(增长率、降低率问题和利润率问题)中的数量关系列一元二次方程并求解．义，检验所得结果是否合理．2．能根据问题的实际意和关键．3．进一步掌握列方程解应用题的步骤重点：如何解决增长率与降低率问题．难点：理解增长率与降低率问题的公式a(1±x)n＝b，其中a是原有量，x为增长(或降低) 率，n为增长(或降低)的次数，b为增长(或降低)后的量．一、自学指导．(10分钟)自学：两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000 元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？(精确到0.01)绝对量：甲种药品成本的年平均下降额为(5000－3000)÷2＝1000(元)，乙种药品成本的，乙种药品成本的年平均下降额较大．年平均下降额为(6000－3600)÷2＝1200(元)，显然相对量：从上面的绝对量的大小能否说明相对量的大小呢？也就是能否说明乙种药品成本的年平均下降率大呢？下面我们通过计算来说明这个问题．分析：①设甲种药品成本的年平均下降率为x，则一年后甲种药品成本为__5000(1－x)__元，2__元．两年后甲种药品成本为__5000(1－x)依题意，得__5000(1－x)2＝3000__．解得__x1≈0.23，x2≈1.77__．根据实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为__0.23__．②设乙种药品成本的年平均下降率为y.则，列方程：__6000(1－y)2＝3600__．解得__y1≈0.23，y2≈1.77(舍)__．答：两种药品成本的年平均下降率__相同__．点拨精讲：经过计算，成本下降额较大的药品，它的成本下降率不一定较大，应比较降前及降后的价格．)，教师巡视．(8分钟二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评某商店10月份的营业额为5000元，12月份上升到7200元，平均每月增长百分率是多少？【分析】如果设平均每月增长的百分率为x，则11月份的营业额为__5000(1＋x)__元，212月份的营业额为__5000(1＋x)(1＋x)__元，即__5000(1＋x)__元．由此就可列方程：__5000(1＋x) 2＝7200__．点拨精讲：此例是增长率问题，如题目无特别说明，一般都指平均增长率，增长率是增长数与基准数的比．增长率＝增长数∶基准数设基准数为a，增长率为x，则一月(或一年)后产量为a(1＋x)；2二月(或二年)后产量为a(1＋x)；n；n月(或n年)后产量为a(1＋x)如果已知n月(n年)后产量为M，则有下面等式：M＝a(1＋x) n.解这类问题一般多采用上面的等量关系列方程．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用于购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金和利息共1320 元，求这种存款方式的年利率．(利息税20%)分析：设这种存款方式的年利率为x，第一次存2000元取1000元，剩下的本金和利息是1000＋2000x·80%；第二次存，本金就变为1000＋2000x·80%，其他依此类推．解：设这种存款方式的年利率为x，则1000＋2000x·80%＋(1000＋2000x·80%)x·80%＝1320，整理，得1280x2＋800x＋1600x＝320，即8x2＋15x－2＝0，解得x1＝－2(不符，舍去)，x2＝0.125＝12.5%.答：所求的年利率是12.5%.二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(6分钟)青山村种的水稻2011年平均每公顷产7200kg，2013年平均每公顷产8460kg，求水稻每公顷产量的年平均增长率．解：设年平均增长率为x，则有7200(1＋x)2＝8460，解得x1＝0.08，x2＝－2.08(舍)．即年平均增长率为8%.答：水稻每公顷产量的年平均增长率为8%.点拨精讲：传播或传染以及增长率问题的方程适合用直接开平方法来解．学生总结本堂课的收获与困惑．(3分钟)1.列一元二次方程解应用题的步骤：审、设、找、列、解、答．最后要检验根是否符合实际意义．2.若平均增长(降低)率为x，增长(或降低)前的基数是a，增长(或降低)n次后的量是b，则有：a(1±x)n＝b(常见n＝2)．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)21．3实际问题与一元二次方程(3)1.能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型．并能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理．2.列一元二次方程解有关特殊图形问题的应用题．重点：根据面积与面积之间的等量关系建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题．难点：根据面积与面积之间的等量关系建立一元二次方程的数学模型．。
九年级数学上册 1.3.2 正方形的性质与判定教案 北师大版(2021-2022学年)
1。
3.２正方形的性质与判定教学目标：1.掌握正方形的判定定理,并能综合运用特殊四边形的性质和判定解决问题.2。
发现决定中点四边形形状的因素,熟练运用特殊四边形的判定及性质对中点四边形进行判断,并能对自己的猜想进行证明，进一步发展学生演绎推理的能力.3．经历“探索—发现—猜想—证明"的过程,掌握正方形的判定定理，发现决定中点四边形形状的因素,并能综合运用特殊四边形的性质和判定解决问题．4。
通过师生互动、合作交流以及多媒体软件的使用，进一步发展学生合作交流的能力和数学表达能力,并使学生发现数学中蕴涵的美,激发学生学习的自觉性、积极性，提高学习数学的兴趣.教学重点与难点:重点:形成判定正方形的基本思路难点：综合应用菱形、矩形、正方形的性质定理和判定定理探索中点四边形形状课前准备:多媒体课件.教学过程：一、创设情境导入新课活动内容:回答下列问题。
问题1:我们学习了平行四边形、矩形、菱形、正方形，那么请思考一下，它们之间有什么关系?你能用一个图直观地表示它们之间的关系吗？与同伴交流.问题2:如图,将一张长方形纸对折两次，然后剪下一个角,打开．怎样剪才能剪出一个正方形?问题3:议一议：满足什么条件的矩形是正方形?满足什么条件的菱形是正方形?与同伴交流一下。
处理方式:问题1由学生尝试画出平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系图，目的是让学生理清它们之间的联系和区别.对于问题２先让学生折纸,然后用剪刀剪出一个正方形,并引导学生思考怎样判定一个图形是正方形。
这也为新课的学习做好铺垫．ﻬ设计意图:（1)以问题串的形式引入新课,让学生明确本节课所要解决的问题。
(2）让学生回忆平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系,正方形性质和判定的探索过程及其得出的结论，目的是启发引导学生体会探索结论和证明结论的相互关系,即合情推理与演绎推理的相互依赖和相互补充的辨证关系。
二、探究学习,感悟新知探索正方形的判定条件:学生活动:四人一组进行讨论研究，老师巡回其间,进行引导、质疑、解惑,通过分析与讨论，师生共同总结出判定一个四边形是正方形的基本方法。
正方形的判定与性质(一)导学案
第一章特殊平行四边形3. 正方形的性质与判定（一）一、教学目标：1、在对平行四边形、矩形、菱形的认识基础上探索正方形的性质，体验数学发现的过程，并得出正确的结论．2、进一步了解平行四边形、矩形、菱形、正方形及梯形之间的相互关系，并形成文本信息与图形信息相互转化的能力．3、在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展合情推理能力，进一步培养自己的说理习惯与能力．4、培养学生勇于探索、团结协作交流的精神。
激发学生学习的积极性与主动性。
三、教学过程设计本节课设计了七个教学环节：第一环节：课前准备；第二环节：情境引入；第三环节：合作学习；第四环节：性质应用；第五环节：练习提高；第六环节：课堂小结；第七环节：布置作业。
第一环节：课前准备活动内容：搜集身边的矩形（提前布置）。
以合作小组为单位，开展调查活动：各尽所能收集生活中应用的各种矩形图形。
准备好数学常用的度量工具：直尺、量角器、圆规。
活动的注意事项：学生搜集的方式、以及展示结果的形式不限，可以上网搜集图片，可以是照片，也可以搜集实物，或者学生自己喜欢的其它形式。
这样可以在极大程度上保护、鼓励学生参与的积极性和热情，并且可以极大程度上凝聚学生间的合作精神。
附部分学生作品：学生搜集的图片或实物（部分）：第二环节：情境引入活动内容：展示学生的成果，包括图片以及实物等各种学生能得到的“图形”。
并让学生利用适当的度量工具，对搜集到的图形素材进行度量或者对素材进行适当的操作，并记录、整理数据。
活动目的：培养学生从具体数学对象中获得必要的数学要素（数据）以及对素材进行适当的操作的能力。
培养学生对于数据进行整理、解析的能力。
培养学生从数据中发现、推导结论的能力。
（通过对测量数据的分析、发现其中的相同与不同，便可较为自然的引导到本节课。
）同时也可以最大程度的满足不同认知能力、信息搜集能力学生的不同认知需求（比如：实物的同学可以利用手头的测量工具得数据，而善于利用电脑的同学则可以将其搜集到的图片放入合适的软件（如几何画板）中，利用软件的便利来获得数据。
北师大版九年级数学上册1.3 正方形的判定导学案
第2课时 正方形的判定学习目标：1、 知道正方形的判定方法，会运用平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定条件进行有关的论证和计算。
2、 经历探究正方形判定条件的过程，发展学生初步的综合推理能力，主动探究的学习习惯，逐步掌握说理的基本方法。
3、 理解特殊的平行四边形之间的内在联系，培养学生辩证看问题的观点。
学习重点：掌握正方形的判定条件。
学习难点：合理恰当地利用正方形的判定定理解决问题。
【预习案】预习检测1、下列说法中错误的是（ ）A 、对角线相等的菱形是正方形B 、有一组邻边相等的矩形是正方形C 、四条边都相等的四边形是正方法D 、有一个角为直角的菱形是正方形2、已知四边形两对角线：①互相垂直；②相等；③互相平分。
具备条件____ 可得平行四边形；具备条件_______可得矩形；具备条件_______ 可得是菱形；具备条件________可得正方形。
（填序号）3.我们学习了平行四边形、矩形、菱形、正方形，那么思考一下，它们之间有怎样的包含关系？请画出来。
【探究案】探究点1：用菱形证明正方形.1.已知四边形ABCD 是菱形，当满足条件_________时，它成为正方形(填上你认为正确的一个条件即可). 证明：探究点2：用矩形证明正方形.2.已知四边形ABCD 是矩形，当满足条件_________时，它成为正方形(填上你认为正确的一个条件即可). 证明：探究点3：用平行四边形证明正方形3.在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD 平分∠ACB ，DE ⊥BC ，DF ⊥AC ，垂足分别是E ，F 。
求证：（1）四边形CFDE 是平行四边形。
F ED CB A 矩形 正方形正方形菱形（2）四边形CFDE是矩形或菱形（任选一项）。
（3）四边形CFDE是正方形。
【训练案】1．如下图E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，且∠EAF=45°，试说明 EF=BE+DF。
2.画一个正方形，使它的对角线长为30，并说明画法的依据。
【北师大版】九年级数学上册导学案：1.3正方形的性质与判定
1.3 正方形性质与判定第1课时正方形性质1. 在对平行四边形.矩形.菱形认识基础上探索正方形性质，并能运用正方形性质进行证明与计算.（重难点）2. 进一步了解平行四边形.矩形.菱形及正方形之间相互关系，并形成文本信息与图形信息相互转化能力.阅读教材P20〜21,完成下列问题：（一）知识探究1. 有________ 相等并且有一个角是 _____________________ W做正方形.2. 正方形既是_________ 是 ________ ，它既具有_________ 性质，又有________ 性质.3. 正方形________ 目等，都是________ , ________ 目等.4. 正方形对角线___________________________ .（二）自学反馈正方形性质：1. 边：________ E相等且 _______ .2. 角：四个角都是________ .3. 对角线：两条对角线互相________ 且________ ，并且每一条对角线平分________ .4. 正方形既是_________ 图形，又是________ 图形，正方形有________ 对称轴.活动1小组讨论例如图，在正方形ABCD中, E为CD上一点，F为BC边延长线上一点，且CE= CF.BE与DF之间有怎样关系？请说明理由.解：BE= DF,且BE!DF.理由如下:如图，延长BE交DF于点M.T四边形ABC兎正方形，二BC= DC / BCE= 90° （正方形四条边都相等，四个角都是直角）.•••/ DC十180°—/ BCE= 180°—90°= 90° .•••/ BCE=Z DCF.又T CE= BCE^A DCF.•B E= DF,DC= 90°,^Z CD印/ F= 90:丄 CB曰/ F= 90° .•/BM= 90°.• BE! DF.顷换本题是通过证明厶BCE^A DCF来得到BE与DF之间关系, 证明三角形全等是解决这一类型问题常用做法.活动2跟踪训练1. 菱形，矩形，正方形都具有性质是（）A.对角线相等且互相平分B. 对角线相等且互相垂直平分C.对角线互相平分D. 四条边相等，四个角相等2. 正方形面积为36，则对角线长为（）A.6B.6C.9D.93. 如图，菱形ABC［中，/ B= 60°, AB= 4,则以AC为边长正方形ACEF周长为（）A. 14B.15C.16D.174. _________ 如图，延长正方形ABC［边BC至E,使CE= AC连接AE交CD于F, 则/ AFC= ° .5. 如图，正方形ABCD寸角线AC.BD交于点Q / OCF=Z OBE求证:OE= OF.活动3课堂小结边：正方形的四条边都相等且对边平行.角：正方形的四个角都是直角.正方形对角线：正方形的两条对角线互相垂直平分且相等, 的性质每一条对角线平分一组对角.对称：既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有四条对称轴，其对角线交点为对称中心.【预习导学】（一）知识探究1. 一组邻边直角平行四边形2.矩形菱形矩形菱形3. 四个角直角四条边4.相等且互相垂直平分（二）自学反馈1. 四条边对边平行2.直角3.垂直平分相等一组对角4. 中心对称轴对称四条【合作探究】活动2跟踪训练1. C2.B3.C4.112.55. 证明：T四边形ABCD是正方形，二ACL BD, OB= OC.:丄 AOB=Z BOC= 90° .又T/ OB匡/ OCF 二△ OBE^A OCF.「. OE =OF.第2课时正方形判定1. 掌握正方形判定定理，并能综合运用特殊四边形性质和判定解决问题.（重难点）2. 发现决定中点四边形形状因素，熟练运用特殊四边形判定及性质对中点四边形进行判断.阅读教材P22〜24,完成下列问题：（一）知识探究1. 对角线相等________ 正方形.2. 对角线垂直________ 正方形.3. 有一个是直角_________ 正方形.（二）自学反馈1.已知四边形ABCD K/ A=Z B=Z C= 90。
2016九年级数学上1.3正方形的性质与判定导学案(北师大版)
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正方形的性质:
1.边:都相等且;
2.角：四个角都是;
3.对角线： 两条对角线相互且,而且每一条对角线均分；
4.正方形既是图形，又是图形，正方形有对称轴.
活动1小组议论
例1如图，在正方形ABcD中，E为cD上一点，F为Bc边延伸线上一点， 且cE=cF.BE与DF之间有如何的关系？请说明原因.
均分∠AcD交BD于点E,则DE=______.
8.如图，正方形ABcD的对角线Ac、BD交于点o，∠ocF
＝∠oBE.求证:oE=oF.
9．如图正方形ABcD的边长为4，E、F分别为Dc、Bc
中点．
（1）求证：△ADE≌△ABF．
（2）求△AEF的面积．
讲堂小结
正方形的性质
教课至此，敬请使用《名校讲堂》有关课时部分.
解：BE=DF,且BE⊥DF.原因以下：
（1）∵四边形ABcD是正方形，
∴Bc=Dc,∠BcE=90°（正方形的四条边都相等，四个角都是直角）.
∴∠DcF=180°-∠BcE=180°-90°=90°.
∴∠BcE=∠DcF.
又∵cE=cF，
∴△BcE≌△DcF.
∴BE=DF.
(1)如图，延伸BE交DE于点.
分
c．对角线相互均分D．四条边相等，四个角相等
2.正方形面积为36，则对角线的长为（）
A.6B.c.9D.
3.如图，菱形ABcD中，∠B=60°，AB=4，则以Ac为边
长的正方形AcEF的周长为（
A．14B．15c．16D．17
）
4.如图，正方形ABcD内有两条订交线段N、EF，点、N、
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第2课时正方形的判定
【知识与技能】
1.掌握正方形的概念、性质和判定，并会用它们进行有关的论证和计算.
2.理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别.
【过程与方法】
经历探索正方形有关性质、判定重要条件的过程.在观察中寻求新知，在探索中发展推理能力，逐步掌握说理的基本方法.
【情感态度】
通过正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系的教学对学生进行辩证唯物主义教育，提高学生的逻辑思维能力.
【教学重点】
正方形的判定方法.
【教学难点】
正方形的判定方法.
一、情境导入，初步认识
宁宁在商场看中了一块方形纱巾，但不知是否是正方形，只见销售员阿姨拉起纱巾的一组对角能完全重合，看宁宁还在犹豫，又拉起纱巾的另一组对角，只见另一组对角也能完全重合，认为是正方形，把纱巾给了宁宁.你认为手上的纱巾一定是正方形吗？
【教学说明】采用情境引入，使学生主动的联想、想象、积极地发散思维，也体现了数学建模思想.
二、思考探究，获取新知
1.引导学生把实际问题转化为数学问题.“对折两次，能够完全重合”实际上告诉了我们什么？小组讨论说一说.
2.汇报讨论结果，统一结果.对折两次可以得出四边相等，也可以得出对角线垂直平分，即纱巾的两条对角线是对称轴，即只能保证纱巾是菱形.
【教学说明】学生自己动手用纸代替纱巾折一折，鼓励学生说出自己的结论
和想法.
思考：由矩形变为正方形还需要哪些条件？由菱形变为正方形还需要哪些条件？
【教学说明】引导学生独立思考，得到正方形所需要的条件.
【归纳结论】对角线相等的菱形是正方形；对角线垂直的矩形是正方形；有一个角是直角的菱形叫做正方形.
三、运用新知，深化理解
1.见教材P23例2 .
2.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（D）
A.当AB=BC时，它是菱形
B.当AC⊥BD时，它是菱形
C.当∠ABC=90°时，它是矩形
D.当AC=BD时，它是正方形
解析：A、正确，一组邻边相等的平行四边形是菱形；B、正确，对角线互相垂直的平行四边形是菱形；C、正确，有一个角为90°的平行四边形是矩形；
D、不正确，对角线相等的平行四边形是矩形而不是正方形.故选D.
3.用两个全等的直角三角形拼下列图形：（1）平行四边形（不包含菱形、矩形、正方形）；（2）矩形；（3）菱形；（4）正方形；（5）等腰三角形，一定可以拼成的图形是（A）
A.（1）（2）（5）
B.（2）（3）（5）
C.（1）（4）（5）
D.（1）（2）（3）
解析：两个全等的直角三角形直角边重合拼成的四边形一定是平行四边形；直角边重合拼成的三角形一定是等腰三角形；斜边重合拼成的四边形一定是矩形.
【教学说明】本题考查学生的动手能力，有些题只要学生动手就能很快解决，注意题目的要求有“一定”二字.
4.已知：如图，D是△ABC的BC边上的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足
分别是E、F.且BF=CE
（1）求证：△ABC是等腰三角形；
（2）当∠A=90°时，试判断四边形AFDE是怎样的四边形，证明你的结论.
分析：先利用HL判定Rt△BDF≌Rt△CDE，从而得到∠B=∠C，即△ABC 是等腰三角形；
由已知可证明它是矩形，因为有一组邻边相等即可得到四边形AFDE是正方形.
（1）证明：∵DE⊥AC，DF⊥AB，
∴∠BFD=∠CED=90°，
又∵BD=CD，BF=CE，
∴Rt△BDF≌Rt△CDE，
∴∠B=∠C.
故△ABC是等腰三角形；
（2）解：四边形AFDE是正方形.
证明：∵∠A=90°，DE⊥AC，DF⊥AB，
∴四边形AFDE是矩形，
又∵Rt△BDF≌Rt△CDE，
∴DF=DE，
∴矩形AFDE是正方形.
5.如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形.
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若∠AED=2∠EAD，求证：四边形ABCD是正方形.
分析：（1）根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形.由题意易得△AOE≌
△COE，∴∠AOE=∠COE=90°，∴BE⊥AC，∴四边形ABCD是菱形；
（2）根据有一个角是90°的菱形是正方形.由题意易得∠ADO=∠DAE+∠DEA=15°+30°=45°，∵四边形ABCD是菱形，∴∠BAD=2∠DAO=90°，∴四边形ABCD是正方形.
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO.
∵△ACE是等边三角形，
∴EO⊥AC（三线合一）
∴四边形ABCD是菱形.
（2）从上易得：△AOE是直角三角形，
∴∠AED+∠EAO=90°
∵△ACE是等边三角形，
∴∠EAO=60°，
∴∠AED=30°
∵∠AED=2∠EAD
∴∠EAD=15°，
∴∠DAO=∠EAO-∠EAD=45°
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BAD=2∠DAO=90°
∴平行四边形ABCD是正方形.
【教学说明】学生先独立完成，然后将不会的问题各小组交流讨论得出结果.既达到巩固新知识的目的又能让学生意识到数学知识的应用是非常容易的.养成学以致用的好习惯.
四、师生互动，课堂小结
1.师生共同回顾正方形有哪些判定定理？
2.通过本节课的学习你还有哪些疑惑？请与同伴交流.
1.布置作业：教材“习题1.8”中第3 、4题.
2.完成课堂点睛中本课时“课时作业”部分.
前边已经学习了平行四边形、矩形、菱形的判定方法，正方形的判定是平行四边形、矩形、菱形的判定的综合.可以通过本节的学习总结、归纳前面所学内容，理清学习中存在的一些模糊概念，有助于我们发展演绎推理能力.。