二重积分的 计算 及应用 习题课1

D2
3.D关于原点对称.
(1) f ( x, y) f ( x, y)时, I 0.
(2) f ( x, y) f ( x, y)时,
I 2 f ( x, y)dxdy 2 f ( x, y)dxdy.
D1
D2
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4.D关于y x对称.
f ( x, y)dxdy f ( y, x)dxdy
图示法 (从内到外: 面、线、点)
列不等式法
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2
典型例题
例1 计算
D
x y
2 2
d
.
其中
D
由
y
x,
y
1, x
x2
围成．
解 X-型: D : 1 y x, 1 x 2. x
D
x y
2
2d
2
dx
1
x 1 x
x y
2 2
dy
D
2
(
1
x2 y
)
x 1
x
dx
2( x3 x)dx 9 .
1
4
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3
例2 P182 题2(3) 计算二重积分
其中D 为圆周
所围成的闭区域.
提示: 利用极坐标
D
:
0
2
r
R cos
2
原式
y r R cos
o D Rx
2 R3
2 (1 sin3 )d
30
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4
例3. 计算积分
其中D 由
所围成 .
y y2 2x
习题课
第十章(1)
二重积分的 计算 及应用
一、二重积分计算 二、三重积分计算
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1
一、二重积分计算的基本方法
—— 累次积分法
1. 选择合适的坐标系
使积分域多为坐标面(线)围成;
被积函数用此坐标表示简洁或变量分离.
2. 选择易计算的积分序
积分域分块要少, 累次积分易算为妙 .
3. 掌握确定积分限的方法
只有当积分区域和被积函数的对称性相匹配时,才 能简化.
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二重积分计算的简化
设f ( x, y) C(D),计算I f ( x, y)dxdy.
D
1.D关于y轴对称.
(1) f ( x, y) f ( x, y), 即f ( x, y)关于x是奇函数时, I 0.
(2) f ( x, y) f ( x, y), 即f ( x, y)关于x是偶函数时,
I x2 d x d y x ye x2 y2 d x d y
D
D
y
1 ( x2 y2 )dxd y 0
2D
1
2
d
1
r
3
d
r
20
0
4
Hale Waihona Puke BaiduD o 1x
17
(2) 积分域如图: 添加辅助线 y x,将D 分为 D1, D2, 利用对称性 , 得
x ye x2 y2 dxd y
D1
D
D
5.D1, D2关于y x对称.
f ( x, y)dxdy f ( y, x)dxdy
D1
D2
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例7 计算二重积分 (1) D为圆域 (2) D由直线
I ( x2 x ye x2 y2 )dxdy ,其中: D 围成 .
解 (1) 利用对称性.
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证明:
a
dy
y em(a x) f ( x)dx
0
0
a
(a
0
x
)e
m(a x
y
)
f
( x)dx
提示: 左端积分区域如图, 交换积分顺序即可证得.
a D yx ox
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练习题
提示: 交换积分顺序
P182 题1（3）
B
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例6 计算 y x2 d . 其中 D : 1 x 1, 0 y 1.
所以先改变积分次序再计算.
y
1
x
I
1 dx
e xdy
x2
2
1 x(e ex )dx 1 2
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3e 1 e. 82
y x y x2
7
例5
更换积分次序I
2a
dx
2ax
f ( x, y)dy. (a 0)
0
2ax x2
解
D:
0 x 2a,
2ax x2 y
543
15
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5
二重积分计算的基本技巧
1. 交换积分顺序的方法
2. 利用对称性简化计算 3. 消去被积函数绝对值符号
分块积分法 利用对称性
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6
例4
计算积分 I
1
y y
12dy 1 e xdx
y
1
y
1 dy y e xdx.
y
4
2
2
解 由于 e xdx 不能用初等函数表示,
2ax ,
D2
将积分区域 D 分成 D1, D2
D1
D3
及 D3 三部分,
D1
:
y2 2a
x
a
0 y a;
a2 y2,
D2
: y2 2a
x
2a, a
y
2a;
D3 : a a2 y2 x 2a,
0 y a;
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8
D1
:
y2 2a
x
a
0 y a;
a2 y2,
D2
:
提示:如图所示 D D2 \ D1 ,
4 2
f ( x, y) x y 在 D2内有定义且
o 4
D1 D2
D
x
连续, 所以
6
D( x y)d D2 ( x y)d D1 ( x y)d
4
dy
6
12 y
y2 ( x y)d x
2
2
dy
4
4 y
y2 ( x y)d x
2
11
y2 2a
x
2a,
a
y
2a;
D3 : a a2 y2 x 2a, 0 y a;
故
a
a a2 y2
I
dy
0
y2
f ( x, y)dx
2a
2a 2a
a 2a
0
dy
y2 f ( x, y)dx
dy
0
a
f ( x, y)dx.
a2 y2
2a
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练习题
P182 题4
x ye x2 y2 dxd y
D2
1 x2 d x
x
dy 0 0
1
1
y
yx
o D2
D1
1
x
1 y x
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例8 计算二重积分
I ( x2 y2 2xy 2) dx d y, 其中D 为圆域
D
解 先去掉绝对值符号，如图
y x2d
D
( x2 y)d ( y x2 )d
D1 D2
D3
D3
D1
D2
1
dx
x2 ( x2 y)dy
1
dx
1
( y x2 )dy 11 .
1 0
1 x2
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利用对称性简化二重积分的计算
使用对称性时应注意
1.积分区域关于坐标轴的对称性. 2.被积函数在积分区域上关于两个坐标变量的奇偶性.
I 2 f ( x, y)dxdy, D1 {(x, y) D x 0}.
D1
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2.D关于x轴对称.
(1) f ( x, y) f ( x, y)时, I 0.
(2) f ( x, y) f ( x, y)时,
I 2 f ( x, y)dxdy, D2 {(x, y) D y 0}.