二重积分的 计算 及应用 习题课1
高数 【下】二重积分------习题课 南邮内部资料
y=y(x)
1 2π 3 = ∫ a (1 − cos t )3 ⋅ a(1 − cos t )dt 3 0 32 4 π 8 t a4 2π 4 8 t = ∫ 2 sin dt = a ∫0 sin udu(u = ) 3 2 3 0 2
20
∫ 1 π = ∫ 3
0
0 2 a
∫
0
y3 ( x)dx
1 1 y2 − 2
y2 − 2
应先积x
I = ∫ dy∫ 2 e
0 y
dx
O
y2 1 − 2 0 )e
2 0
1
y2 − 2
dy = ∫ e
− y 2 1 0
2
dy + ∫ y ⋅ de
y 2
2
1
=∫ e
0
1 −
y 2
2
0
dy + ye
−∫ e
0
1 −
dy = ye
在D2外部f(x,y)>0 外部 >
I3<I1<I2（也可用“≤”）。
12
2 例 设f (x, y)是有界闭域D : x + y ≤ a 上的 , 连续函数 则求极限lim 1 2 ∫∫ f (x, y)dxdy 。 a→0 π a D 解 利用积分中值定理 1 1 f ( x, y)dxdy = 2 ⋅ f (ξ ,η)σ 2 ∫∫ πa πa D 1 = 2 ⋅ f (ξ ,η)πa2 = f (ξ ,η) ((ξ ,η) ∈ D) πa 1 ∴lim 2 ∫∫ f ( x, y)dxdy= lim f (ξ ,η) = f (0,0) a→0 a→0 π a D
25
x y ∴∫∫ ( 2 + 2 )dσ a b D
高数二重积分习题加答案
高数二重积分习题加答案用二重积分求立体的表面积二重积分习题课例1 比较I 1 = ∫∫ ( x + y ) 2 dσ 与I 2 = ∫∫ ( x + y ) 3 dσ 的大小,D D其中D 由( x 2 ) 2 + ( y 1) 2 = 2 围成 .y由重积分的性质x+y1I1 I21212xx + y =1用二重积分求立体的表面积例2 将二重积分化成二次积分I = ∫∫ f ( x , y )d xdy ,D: x + y =1 , x C y = 1,x = 0 所围所围. ,1 yD先对y 积分y =1C xI =01∫ dx ∫011 xx 1f ( x , y )d yxy = x C1 C1用二重积分求立体的表面积先对x 积分1 yI =x =1C yD1∫∫ + ∫∫D1 D21 y=1∫ dy ∫01f ( x , y )d x +y +10D2x+∫dy ∫f ( x , y )d xx = y +1 C1用二重积分求立体的表面积例3 将二次积分换序I = D: x ≤ y ≤ 2ax x 2∫0 dx ∫xya2 ax x 2f ( x , y )dy .ax = a a2 y20≤ x≤ay 2 = 2ax x 2即y + ( x a) = a又Q x ≤ a,∴x a = a y2 2222a xI=ady∫y2 2a a yf ( x , y )d x用二重积分求立体的表面积例4 将I = ∫ d y ∫ 0 0 区域边界：区域边界：边界y 2R2 Ry y 2f ( x , y )d x 变为极坐标形式 .即r =2Rsinθπ 即θ = 2x = 2 Ry y 2x=0r =2Rsinθ2R∴ I = ∫ dθ ∫0π 2 02 Rsin θf ( rcos θ , rsin θ )rdr用二重积分求立体的表面积1 x2 例5 计算∫∫ 2 dσ , 其中D由y = x, y = , x = 2 x D y 解围成. 围成. 1 D : ≤ y ≤ x , 1 ≤ x ≤ 2. x∫∫ y2 dσ = ∫1 dx∫Dx22x 1 xx y2D2dyx = ∫ 1 y222 3 dx= ( x x)dx = 9. 1 1 4x∫用二重积分求立体的表面积例6 计算∫∫ y x dσ , 其中D : 1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1.2 D 先去掉绝对值符号，解先去掉绝对值符号，如图∫∫Dy x2 dσ2D3D12=D +D2 1∫∫ ( x1 1y)dσ + ∫∫ ( y x )dσD3D2= ∫ dx ∫ ( x y )dy + ∫ dx ∫ 2 ( y x2 0 1 xx211211 )dy = . 15用二重积分求立体的表面积例7 证明∫a dx∫a ( x y)证b xxn 21 b f ( y)dy = (b y)n 1 f ( y)dy. n 1∫an 2∫a dx∫a ( x y)b bf ( y)dyy by= xD= ∫ dy∫ ( x y)n 2 f ( y)dxaya=∫ba1 n 1 f ( y) ( x y) dy n 1 yboabx1 b (b y)n 1 f ( y)dy. = n 1 ∫a用二重积分求立体的表面积例8 计算解1∫0 dy∫yy1ysin x dx. x∫0 dy∫y1 01 x sin x sin x dx = ∫ dx∫2 dy 0 x x x= ∫ (1 x)sin xdx= 1 sin1.用二重积分求立体的表面积x2 y2 例9 设D为圆域x 2 + y 2 ≤ R 2 , 求∫∫ 2 + 2 dxdy . a b D y解2由对称性1 y dxdy = ∫∫ ( x 2 + y 2 )dxdy 2 D2ORx∫∫ x dxdy = ∫∫D Dx2 y2 1 1 1 ∴ ∫∫ 2 + 2 dxdy = 2 + 2 ∫∫ ( x 2 + y 2 )dxdy a b 2 a b D D R 2 1 1 1 2π 1 4 1 1 = 2 + 2 ∫ dθ ∫ r rdr = πR 2 + 2 . 0 4 b 2 a a b 0用二重积分求立体的表面积例10 求半球面z = 3a x y 与旋转抛物面2 2 2z x 2 + y 2 = 2az ( a 0 ) 所围成立体的表面积 .oxy用二重积分求立体的表面积S = S1 + S 2zz =3a 2 x 2 y 2 共同的D : 2 x + y 2 = 2azS1 S2x 2 + y 2 ≤ 2a 2 即z = 0oD2ayx用二重积分求立体的表面积S1 : z = 3a 2 x 2 y 23a z z dxdy dA1 = 1 + + dxdy = 2 2 2 3a x y x y 2 2x2 + y2 S2 : z = 2a 2a z z a2 + x2 + y2 dA2 = 1 + + dxdy = dxdy x y a2 2所求面积：所求面积：A = A1 + A2 = ∫∫D3a 3a x y2 2 2dxdy + ∫∫Da2 + x2 + y2 dxdy a用二重积分求立体的表面积= 3a ∫2π 0dθ ∫2a 02a 02a 1 2π rdr + ∫ dθ ∫ a 2 + r 2 rdr 0 a 0 3a 2 r 2 1= 6π a ∫2π rdr + a 3a 2 r 2 12a∫2a 0a 2 + r 2 rdr= 3π a ∫ +1 3a2 r 20 2ad (3a 2 r 2 )πa∫a 2 + r 2 d (a 2 + r 2 )4 2 2 2 = 6 3 + 6 π a . 3 3用二重积分求立体的表面积练习题交换下列二次积分的次序: 交换下列二次积分的次序1 2y 3 3 y1. ∫ dy ∫01 0f ( x , y )dx + ∫ dy ∫1f ( x , y )dx;2. ∫ dx ∫R 21+ 1 x 2 xf ( x , y )dy;计算下列二次积分：计算下列二次积分：二次积分3. ∫ey2dy ∫ e0yx2dx + ∫R R 2ey2dy ∫R2 y 2ex2dx;4.∫155 dx 1 dy ∫ . y ln x y用二重积分求立体的表面积练习题答案1.∫ dx ∫ x0 223 xf ( x , y )dy2 2 y y2 0 R22.∫ dy ∫01y2 0f ( x , y )dx + ∫ dy ∫1R r2f ( x , y )dx).3. I = ∫ π dθ ∫ e2 4 0πrdr =π8(1 e4. I = ∫ dx ∫15x 15 1 dy =∫ ln xdx = 4. 1 ln x y ln x用二重积分求立体的表面积设( x )为[0D关于直线y = x对称, 则若闭区域,1]上的正值连续函数, a ( x )∫∫ f b )( σ ) ∫∫ f ( y, x)dσ1 + (x, y dy = 证明：证明：∫∫ ( x ) D+ ( y ) d Dxdy = 2 (a + b) D为常数，其中a, b为常数，D = {( x , y ) 0 ≤ x , y ≤ 1}. y a ( x ) + b ( y ) 证设I = ∫∫ d xd y y= x 1 ( x) + ( y) Dy 由区域关于直线= x的对称性得a ( y ) + b ( x ) O I = ∫∫ d xd y ( y) + ( x) D1x1 所以, 所以2 I = ∫∫ (a + b )dxdy = a + b I = ( a + b ). 2 D。
二重积分的计算习题课
y= x
x x = ∫1 (− ) 1 dx y x
2
2
x
1
o
D
1
x=2
9 = ∫1 ( x − x)dx = . 4
2 3
2
x
型区域计算可以吗? 按Y-型区域计算可以吗 型区域计算可以吗
6
P155:15(2) P155:15(2)
∫∫
D
π 2 1 1− ρ 1 − x2 − y2 dxdy = ∫ 2 dθ ∫ ρ dρ 2 2 2 0 0 1+ x + y 1+ ρ
• 确定积分序
• 写出积分限
• 计算要简便 (充分利用对称性，几何意义和性质等 充分利用对称性， 充分利用对称性 几何意义和性质等)
2
P154:2(3) P154:2(3)
e x + y d σ , 其 中 D = {( x , y ) x + y ≤ 1 ∫∫
D
}.
1
0 ≤ x ≤1 解: X-型 D1： 型 x − 1 ≤ y ≤ 1 − x
12
6. (10分)计算二重积分 ∫∫ r 2 sin θ 1 − r 2 sin 2θ drdθ ,
D
π 其中D = ( r ,θ ) 0 ≤ r ≤ sec θ , 0 ≤ θ ≤ . 4
(10数学二 数学二) 数学二
7. (10分)计算二重积分 ∫∫ ( x + y )3 dxdy , 其中D由曲线x = 1 + y 2
二重积分复习课
1.∫∫ f ( x, y)d xdy = 极点在区域D的外部 D 极坐标系下计算 极点在区域D的边界上 极点在区域D的内部 y x =ψ ( y) y = ϕ ( x) y ρ = ρ2(θ) ρ = ρ(θ ) ρ = ρ(θ) d ρ=ρ (θ)
二重积分习题课(简)
1
错误点：大多同学都做错了， 错误点：大多同学都做错了，可能是正切函数的导数 不清楚了。 不清楚了。
11
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第三次作业共有2 第三次作业共有2题 P13） 多元函数微分法 习题课二 （习题册第一本 P13） 填空 1. f ( x, y )在 ( x0 , y0 ) 处有极值，则 D 处有极值， (A) f x ( x0 , y0 ) = 0, f y ( x0 , y0 ) = 0 ) 内唯一驻点, (B) ( x0 , y0 ) 是D内唯一驻点,则必为最大值点;且 ) 内唯一驻点 则必为最大值点;
1 2 1 2 −0 ≤ x + y < × 2ε = ε 2 2 x2 + y2 xy
即
( x , y ) →(0,0)
lim
f ( x, y ) = 0 = f (0, 0).
处连续。 因此函数 f ( x, y ) 在点 (0, 0) 处连续。 错误作法： 取极限， 错误作法： 有的同学令 y = kx 取极限，得到
∆y →0
= lim
∆y ∆y
∆y →0
g (0, 0),
存在， 因为 f x (0, 0) 和 f y (0, 0) 存在，并且
∆x → 0
lim
∆x ∆x
不存在， 不存在，所以 g (0, 0) = 0.
错误：多数同学做得不好，从偏导数的形式得不到 错误：多数同学做得不好，
g (0, 0) = 0
x →0, y = kx →0
lim
f ( x, y ) = 0 = f (0, 0) 从而得到结论。 从而得到结论。
3
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第二节：（ ：（习题册第一本 P4） （2）第二节：（习题册第一本 P4）四 四、设 f ( x, y ) = x − y g ( x, y ), 其中 g ( x, y ) 在点 (0, 0) 的邻域内连续。 应满足什么条件， 的邻域内连续。问：g ( x, y ) 应满足什么条件，使
二重积分的计算法
01
解
02
积分区域如图
01
积分区域如图
解
01
单击此处添加大标题内容
解
原式
例4. 计算
其中D 是直线 y＝1, x＝2, 及
y＝x 所围的闭区域.
解法1. 将D看作X–型区域, 则
解法2. 将D看作Y–型区域, 则
例5. 计算
其中D 是抛物线
所围成的闭区域.
解: 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分,
及直线
则
例6. 计算
其中D 是直线
所围成的闭区域.
解: 由被积函数可知,
因此取D 为X – 型域 :
先对 x 积分不行,
说明: 有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺序.
解: 由被积函数可知,
例7．求I=
取D 为X – 型域 :
因此取D 为Y – 型域 :
先对 y 积分不行,
例8．求I=
若D为Y –型区域
则
当被积函数
单击此处添加小标题
添加标题
10%
说明: (1) 若积分区域既是X–型区域又是Y –型区域 ,
为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序.
则有
(2) 若积分域较复杂,可将它分成若干
X-型域或Y-型域 ,
则
X型区域的特点： 穿过区域且平行于y 轴的
Y型区域的特点： 直线与区域边界相交不多于两个交点. 直线与区域边界相交不多于两个交点. 计算中的技巧（问题）： 、先画积分区域草图； 、有无奇偶对称性: 穿过区域且平行于x 轴的
第二节
二重积分的计算法 与直系下二次积分互化
由曲顶柱体体积的计算可知, 且在D上连续时, 若D为 X – 型区域
二重积分的计算及应用习题课1精品文档
2a,x
D2
将积分 D分 区成 D 域 1,D2
D1
D3
及D3三部 , 分
D1
: y2 2a
xa
a2 y2,
y2
0 ya;
D 2:2ax2a,ay2a;
D3:a a2y2 x2a,
0ya;
2019/10/2
8
D1
y2 :
2a
xa
0 ya;
a2 y2,
D 2:2 ya 2x2a,ay2a;
(2) f(x,y)f(x,y)时 ,
I2f(x,y)dxdy2f(x,y)dxdy.
D 1
D 2
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15
4.D 关y于 x对.称
f(x ,y)d x d yf(y,x )d x d y
D
D
5 .D 1,D 2 关 y 于 x 对 . 称
f(x,y)d x d yf(y,x)d x d y
D1 D2
o 1x
作辅助线 yx将D 分成 D1, D2 两部分
2D 2(xy)dxdy2Ddxdy
2(
21)
3
2
说明: 若不利用对称性，需分块积分以去掉绝对值符号.
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19
练习题
P182 题1（2）
A
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20
练习题
P182 题6
2019/10/2
其它情形依此类推.
2019/10/2
27
P182 题1(1) 设有空间闭区域
1 { x ,y , ( x ) |x 2 y 2 z 2 R 2 ,z 0 }
2 { ( x ,y , x ) |x 2 y 2 z 2 R 2 , x 0 ,y 0 , z 0 }
二重积分计算例题及过程
二重积分计算例题及过程
下面是关于二重积分的计算的例题及过程：
一、二重积分的定义及其表达式：
二重积分是指将二维区域分割成小的子区域，把函数的积分在每个子区域上做一次，然后再把这些子区域的积分结果相加，而且每个子区域的积分面积要不断减小，从而得到总积分值作为结果。
双重积分的表达式：
$$\iint f (x, y) \, dA = \iint f (x, y) \, dx dy$$
二、计算例题：
计算二重积分
$$\iint_D(x+2y) \,dxdy$$
其中,D为：$$D=[0,1] \ times [1,2]$$
三、计算过程：
（1）根据题目给出的二重积分表达式将函数分解成x和y的乘积：$$\iint_D(x+2y) \,dxdy=\int_0^1\int_1^2(x+2y)dxdy$$
（2）计算X的积分：
$$\int_0^1\int_1^2xdxdy=\int_0^1[\frac{1}{2}x^2]_1^2dy=2y-
\frac{1}{2}y^2|_1^2=2(2)-2(\frac{1}{2})=3$$
（3）计算Y的积分：
$$\int_0^1\int_1^22ydy=\int_0^1[y^2]_1^2dy=2y^2|_1^2=2(4)-(1^2)=7$$ （4）将X和Y的积分相加：$$3+7=10$$
（5）最终得出求此双重积分的结果为：$$\int_D(x+2y) \,dxdy=10$$。
二重积分习题及答案1
去掉绝对值符号.
解 采用直角坐标
1
( x y )dxdy 4 dx
1x2 ( x y)dy 8
D
0
0
3
【注】在利用对称性计算二重积分时，要同时考虑被积
函数的奇偶性和积分区域的对称性，不能只注意积分区域
关于坐标轴的对称性，而忽视了被积函数应具有相应的奇
偶性.
6
证明
b
dx
x
(xΒιβλιοθήκη y)n23 d4sin r 2 rdr
15(
3).
D
6
2sin
2
sin cos
8
计算 ( x2 y2 )dxdy，其 D 为由圆
D
x2 y2 2 y， x2 y2 4 y及直线 x 3 y 0，
y 3x 0 所围成的平面闭区域.
解
y
3x
0
2
3
x2 y2 4 y r 4sin
x
3y
0
1
6
x2 y2 2 y r 2sin
( x2 y2 )dxdy
1
yx
D1
D2
o
1x
2D2 (x y)dxdy 2D dxdy
2 ( 2 1)
3
2
说明: 若不用对称性, 需分块积分以去掉绝对值符号.
5 计算 ( x y )dxdy, D : x2 y2 1
D
分析 积分区域D关于x、y轴均对称, 被积函数
f ( x, y) x y 关于x,y均是偶函数，利用对称性
D
式，其中积分区域
D {( x, y) | 1 x y 1 x2 , 0 x 1}.
解
在极坐标系下
二重积分求体积的例题
二重积分求体积的例题
摘要：
一、二重积分的概念与性质
1.二重积分的定义
2.二重积分的性质
二、二重积分求体积的方法
1.直接积分法
2.替换变量法
3.极坐标变换法
三、二重积分求体积的例题解析
1.例题一
2.例题二
3.例题三
正文：
二重积分是数学中的一种积分方法，用于求解空间内某一区域的体积。
它具有丰富的性质和灵活的计算方法，是数学分析中的重要内容。
首先，我们来了解二重积分的概念与性质。
二重积分是指在三个变量（x，y，z）的笛卡尔坐标系中，对两个变量（x，y）进行积分，而第三个变量（z）作为被积函数的参数。
二重积分具有以下性质：交换律、结合律、分配律、链式法则等。
接下来，我们学习二重积分求体积的方法。
常用的方法有直接积分法、替
换变量法和极坐标变换法。
直接积分法适用于被积函数较简单的二重积分；替换变量法通过引入新变量，将复杂被积函数转化为简单形式；极坐标变换法则是将笛卡尔坐标系中的积分问题转化为极坐标系中的积分问题，从而简化计算过程。
最后，我们通过例题来解析二重积分求体积的方法。
例题一：求解空间上半球体的体积；例题二：求解空间中四棱锥的体积；例题三：求解空间中曲面的体积。
这些例题涵盖了不同类型的二重积分求体积问题，有助于我们巩固所学知识并提高解题能力。
总之，二重积分是一种强大的数学工具，通过掌握其概念、性质和计算方法，我们可以解决空间体积计算中的一系列问题。
二重积分的计算方法例题及解析
二重积分的计算方法例题及解析一、利用直角坐标计算二重积分1. 例题- 计算∬_D(x + y)dσ，其中D是由直线y = x，y = x^2所围成的闭区域。
2. 解析- （1）首先确定积分区域D的范围：- 联立方程<=ft{begin{array}{l}y = x y = x^2end{array}right.，- 解得<=ft{begin{array}{l}x = 0 y = 0end{array}right.和<=ft{begin{array}{l}x = 1 y = 1end{array}right.。
- 所以在x的范围是0≤slant x≤slant1，对于每一个x，y的范围是x^2≤slant y≤slant x。
- （2）然后将二重积分化为累次积分：- ∬_D(x + y)dσ=∫_0^1dx∫_x^2^x(x + y)dy。
- （3）先计算内层积分：- ∫_x^2^x(x + y)dy=∫_x^2^xxdy+∫_x^2^xydy。
- ∫_x^2^xxdy=x<=ft(y)<=ft.rve rt_x^2^x=x(x - x^2)=x^2-x^3。
- ∫_x^2^xydy=(1)/(2)y^2<=ft.rvert_x^2^x=(1)/(2)(x^2-x^4)。
- 所以∫_x^2^x(x + y)dy=x^2-x^3+(1)/(2)(x^2-x^4)=(3)/(2)x^2-x^3-(1)/(2)x^4。
- （4）再计算外层积分：- ∫_0^1((3)/(2)x^2-x^3-(1)/(2)x^4)dx=(3)/(2)×(1)/(3)x^3-(1)/(4)x^4-(1)/(2)×(1)/(5)x^5<=ft.rvert_0^1。
- =(1)/(2)-(1)/(4)-(1)/(10)=(10 - 5 - 2)/(20)=(3)/(20)。
二重积分习题课(课堂PPT)
积分域分块要少 • 确定积分序
累次积分好算为妙
图示法
• 写出积分限
( 先找两端点，后积一条线 )
不等式
充分利用对称性 • 计算要简便
应用换元公式
4
二重积分的对称性
设函数 f (x, y) 在闭区域D上连续, 区域D关于x 轴对称
y
(上下对称) D 位于 x 轴上方的部分为D1 ,在 D 上
I
1
dx
0
1 f (x) f ( y) dy . 等于（A2）
x
2
1
分析: 交换积分顺序后, x , y互换
y
yx
1y
1x
Ox 1 x
I 0 d y 0 f (x) f ( y) d x 0 d x 0 f (x) f ( y) dy
2I
11
d x f (x) f (y)dy
1
dx
y
D
3x ,
x
1
所围成.
y
解: 令 f (x, y) x ln(y 1 y2 )
4 y 4 x2
D D1 D2 (如图所示)
(-1,0) D1 (1,0)
显然,在 D1 上 f (x, y) f (x, y)
在 D2 上
f (x, y) f (x, y)
I x ln(y 1 y2 )dxdy D1
v
A f (u,v)dudv
.
则.
D
f (x, y) xy A
A f (u,v)dudv
D
o
D (uv A)dudv
.
1
u2
du (uv A)dv
0
0
二重积分习题课
，积分上下限或者为常数或者是后积分变量的函数。
1 1x
【例1】 设
f(x,y)dxdydx f(x,y)d ，y则改变其 00
D
积分次序后为
。
1x
1
(a) dy f(x,y)dx
0
0
1 1x
(b) dy f(x,y)dx 00
11
(c) dy f(x,y)dx 00
1 1y
(d) dy f(x,y)dx 00
[解] （a）显然是错的，因为后积分的上、下限不能含有变 量；（b）也是错的，因为先积分的上、下限或者为常数或者 后积分变量的函数，而（b）违背了；（c）也是错的，原因 是改变积分次序不会改变积分域，由排除法可知（d）该入选。
二 极坐标系中积分限的确定
积，又因 f(,)0.
故 f(x,y)d0 (P0,)
与假设矛盾，即知在D内有f(x,y) 0. 2. 累次积分型的命题的证明 证题思路：累次积 化 分 为 重积 分 化 为 另一次序的累次 证题过程中，常用到重积分对积分域的可加性，对积分变量的 无关性。
再 以 过 x z y 向 ( (x (y X 过 , z y [O [面 a ) , ， b Y (]投 D 作 )x x y ]D )zy 作 影 z/作 )作 r Y /Z X /轴 / 轴 轴 Y /Z X 用 轴 轴 射 轴 极 的 的 的 D 的 的 线 的 坐 r的 得 直 直 直 标 D D 直 直 x y 穿 直 y x , y z ,变 z 得 入 得 得 线 r 得 线 得 线 1(线 线 越 线 )[和 化 入 点 入 入 y 穿 ,入 z x 穿 y 入 穿 1 z 1 1 x 1 (1 (1 (x (z ]穿 (z y 穿 x 穿 x ))y ,和 出 ,和 ,z r 范 点 y 点 2 点 z)越 点 越 点 )越 (和 ) 和 和 )越 越 越 出 点 出 y 围 x z2 2 出 ((出 y 出 z x zzy x 2 )2 )2 ()((x 点 点 xy ,,z ,y 点 z )点 点 )) 再(r过 ,) (D r)作 /Z /轴的直 得 线 入 z1(穿 r,点 )和 越出 z2(r,点 )
二重积分的计算及应用习题课1
20
练习题
P182 题6
2020/1/29
21
2020/1/29
22
二、三重积分计算的基本方法 —— 累次积分法
1. 选择合适的坐标系 使积分域多为坐标面(线)围成; 被积函数用此坐标表示简洁或变量分离.
2. 选择易计算的积分序 积分域分块要少, 累次积分易算为妙 .
3. 掌握确定积分限的方法 图示法 列不等式法 (从内到外: 面、线、点)
1 {( x, y, x) | x2 y2 z2 R2, z 0}
2 {(x, y, x) | x2 y2 z2 R2, x 0, y 0, z 0}
C 则有（ ）
(A) xdv 4 xdv (B) ydv 4 ydv
故
a
a a2 y2
I
dy
0
y2
f ( x, y)dx
2a
2a
2a
a
2a
0
dy
y2 f ( x, y)dx
dy
0
a
f ( x, y)dx.
a2 y2
2a
2020/1/29
9
练习题
P182 题4
证明:
a
dy
y em(a x) f ( x)dx
0
a2 y2,
D2
:
y2 2a
x
2a,
a
y
2a;
D3 : a a2 y2 x 2a,
0 y a;
2020/1/29
8
D1
:
y2 2a
x
a
二重积分的例题及解析
二重积分的例题及解析二重积分是微积分中的重要概念，用于求解平面上的面积、质量、质心等物理量。
下面将介绍一些常见的二重积分例题，并进行解析。
例题1：计算二重积分D (x+y) dA，其中D为由直线y=x和y=2x以及y=4所围成的区域。
解析：首先，我们需要确定积分的上下限。
由于D区域被直线y=x和y=2x以及y=4所围成，因此x的取值范围为2到4，而y的取值范围为x到4。
因此，我们可以将积分式写为：D (x+y) dA = ∫2^4 ∫x^4 (x+y) dy dx接下来，我们对y进行积分，得到：∫2^4 (xy + y^2/2) |x^4 dx对于这个积分式，我们先计算内层的积分：∫(xy + y^2/2) |x^4 = x(x^4) + (x^4)^2/2 - x(x^2/2) -(x^2/2)^2/2= x^5 + x^8/2 - x^3/2 - x^4/8接下来，我们对x进行积分，得到：∫2^4 (x^5 + x^8/2 - x^3/2 - x^4/8) dx= 1/6 x^6 + 1/16 x^9 - 1/8 x^4 - 1/32 x^5 |2^4= (1/6 * 4^6 + 1/16 * 4^9 - 1/8 * 4^4 - 1/32 * 4^5) - (1/6 * 2^6 + 1/16 * 2^9 - 1/8 * 2^4 - 1/32 * 2^5)= 138.75因此，二重积分D (x+y) dA的结果为138.75。
例题2：计算二重积分D (x^2 + y^2) dA，其中D为单位圆盘x^2 + y^2 ≤ 1。
解析：由于D为单位圆盘，即x^2 + y^2 ≤ 1，我们可以将积分式写为：D (x^2 + y^2) dA = D r^2 dA其中，r为点(x, y)到原点的距离，即r = √(x^2 + y^2)。
因此，我们可以将积分式转化为极坐标形式：D r^2 dA = D r^3 dr dθ由于D为单位圆盘，θ的取值范围为0到2π，r的取值范围为0到1。
高等数学 二重积分习题课
典型例题
1
2y
3
3 y
【例9】改变 0 dy0 f ( x, y)dx 1 dy0 f ( x, y)dx的积分次序。
步骤：原不等式-区域图-新不等式-新积分限
解 设 D1 : 0 x 2 y, 0 y 1; D2 : 0 x 3 y, 1 y 3
[ f ( x, y) g( x, y)]d f (x, y)d g( x, y)d
D
D
D
2. 可加性： D D1 D2
f (x, y)d f ( x, y)d f ( x, y)d
D
D1
D2
3. 区域 D的面积： d
tan d
d
4 tan d
0
2
d
1
ln | cos
|4 0
1 2
2
2 1
3 ln 2 4
【例4】 计算二重积分 R2 x2 y2 dxdy . 其中D是圆周
D
x 2 y2 Rx 所围成的闭区域。
解:在极坐标系下，由于
y
D : 0 R cos ,
则在上至少存在一点的奇函数设函数在闭区域上连续dxdxdydydxdy计算二重积分其中分析首先应画出区域的图形注意到既是型区域又是型区域而无论型区域均需要把分割成两个型区域或两个型区域的和的形式
第九章 重积分习题课(一)
二重积分
一、二重积分的概念
1．定义 ：
n
D
f (x,
y)d lim 0 i1
1,
x2 y2 4 及直线 y 0 , y x所围成的第一象限内的闭区域.
重积分习题课
重积分典型例题一、二重积分的概念、性质1、二重积分的概念：d 01(,)lim(,)niiii Df x y f λσξησ→==∆∑⎰⎰其中：D ：平面有界闭区域，λ：D 中最大的小区域的直径（直径：小区域上任意两点间距离的最大值者），i σ∆：D 中第i 个小区域的面积2、几何意义：当(,)0f x y ≥时，d (,)Df x y σ⎰⎰表示以曲面(,)z f x y =为曲顶，D 为底的曲顶柱体的体积。
所以d 1Dσ⎰⎰表示区域D 的面积。
3、性质（与定积分类似）：:线性性、对积分区域的可加性、比较性质、估值性质、二重积分中值定理（03年）二、二重积分的计算1、在直角坐标系下计算二重积分（1） 若D 为X 型积分区域：12,()()a x b y x y y x ≤≤≤≤，则21()()(,)(,)by x ay x Df x y dxdy dx f x y dy =⎰⎰⎰⎰（2）若D 为Y 型积分区域：12,()()c y d x y x x y ≤≤≤≤，则21()()(,)(,)dx y cx yf x y dxdy dy f x y dx =⎰⎰（X －型或者Y －型区域之和，如图，则123(,)(,)(,)(,)D D D f x y d x d y f x y d x d y f x y d x d y f x y d x=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰（4）被积函数含有绝对值符号时，应将积分区域分割成几个子域，使被积函数在每个子域保持同一符号，以消除被积函数中的绝对值符号。
（5）对称性的应用1(,)2(,),(,)0(,)DD f x y dxdy f x y dxdy f x y y D x f x y y ⎧=⎪⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰关于为偶函数区域关于轴对称， 关于为奇函数1(,)2(,),(,)0(,)DD f x y dxdy f x y dxdy f x y x D y f x y x ⎧=⎪⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰关于为偶函数区域关于轴对称， 关于为奇函数 （6）积分顺序的合理选择：不仅涉及到计算繁简问题，而且又是能否进行计算的问题。
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I 2 f ( x, y)dxdy, D1 {(x, y) D x 0}.
D1
2020/6/19
14
2.D关于x轴对称.
(1) f ( x, y) f ( x, y)时, I 0.
(2) f ( x, y) f ( x, y)时,
I 2 f ( x, y)dxdy, D2 {(x, y) D y 0}.
D
解 先去掉绝对值符号，如图
y x2d
D
( x2 y)d ( y x2 )d
D1 D2
D3
D3
D1
D2
1
dx
x2 ( x2 y)dy
1
dx
1
( y x2 )dy 11 .
1 0
1 x2
15
2020/6/19
12
利用对称性简化二重积分的计算
使用对称性时应注意
1.积分区域关于坐标轴的对称性. 2.被积函数在积分区域上关于两个坐标变量的奇偶性.
y2 2a
x
2a,
a
y
2a;
D3 : a a2 y2 x 2a, 0 y a;
故
a
a a2 y2
I
dy
0
y2
f ( x, y)dx
2a
2a 2a
a 2a
0
dy
y2 f ( x, y)dx
dy
0
a
f ( x, y)dx.
a2 y2
2a
2020/6/19
9
练习题
P182 题4
2ax ,
D2
将积分区域 D 分成 D1, D2
D1
D3
及 D3 三部分,
D1
:
y2 2a
x
a
0 y a;
a2 y2,
D2
: y2 2a
x
2a, a
y
2a;
D3 : a a2 y2 x 2a,
0 y a;
2020/6/19
8
D1
:
y2 2a
x
a
0 y a;
a2 y2,
D2
:
D2
3.D关于原点对称.
(1) f ( x, y) f ( x, y)时, I 0.
(2) f ( x, y) f ( x, y)时,
I 2 f ( x, y)dxdy 2 f ( x, y)dxdy.
D1
D2
2020/6/19
15
4.D关于y x对称.
f ( x, y)dxdy f ( y, x)dxdy
x ye x2 y2 dxd y
D2
1 x2 d x
x
dy 0 0
1
1
y
yx
o D2
D1
1
x
1 y x
2020/6/19
18
例8 计算二重积分
I ( x2 y2 2xy 2) dx d y, 其中D 为圆域
提示:如图所示 D D2 \ D1 ,
4 2
f ( x, y) x y 在 D2内有定义且
o 4
D1 D2
D
x
连续, 所以
6
D( x y)d D2 ( x y)d D1 ( x y)d
4
dy
6
12 y
y2 ( x y)d x
2
2
dy
4
4 y
y2 ( x y)d x
2
11
习题课
第十章(1)
二重积分的 计算 及应用
一、二重积分计算 二、三重积分计算
2020/6/19
1
一、二重积分计算的基本方法
—— 累次积分法
1. 选择合适的坐标系
使积分域多为坐标面(线)围成;
被积函数用此坐标表示简洁或变量分离.
2. 选择易计算的积分序
积分域分块要少, 累次积分易算为妙 .
3. 掌握确定积分限的方法
图示法 (从内到外: 面、线、点)
列不等式法
2020/6/19
2
典型例题
例1 计算
D
x y
2 2
d
.
其中
D
由
y
x,
y
1, x
x2
围成．
解 X-型: D : 1 y x, 1 x 2. x
D
x y
2
2d
2
dx
1
x 1 x
x y
2 2
dy
D
2
(
1
x2 y
)
x 1
x
dx
2( x3 x)dx 9 .
证明:
a
dy
y em(a x) f ( x)dx
0
0
a
(a
0
x
)e
m(a x
y
)
f
( x)dx
提示: 左端积分区域如图, 交换积分顺序即可证得.a D 源自x ox2020/6/19
10
练习题
提示: 交换积分顺序
P182 题1（3）
B
2020/6/19
11
例6 计算 y x2 d . 其中 D : 1 x 1, 0 y 1.
所以先改变积分次序再计算.
y
1
x
I
1 dx
e xdy
x2
2
1 x(e ex )dx 1 2
2020/6/19
3e 1 e. 82
y x y x2
7
例5
更换积分次序I
2a
dx
2ax
f ( x, y)dy. (a 0)
0
2ax x2
解
D:
0 x 2a,
2ax x2 y
1
4
2020/6/19
3
例2 P182 题2(3) 计算二重积分
其中D 为圆周
所围成的闭区域.
提示: 利用极坐标
D
:
0
2
r
R cos
2
原式
y r R cos
o D Rx
2 R3
2 (1 sin3 )d
30
2020/6/19
4
例3. 计算积分
其中D 由
所围成 .
y y2 2x
I x2 d x d y x ye x2 y2 d x d y
D
D
y
1 ( x2 y2 )dxd y 0
2D
1
2
d
1
r
3
d
r
20
0
4
D o 1x
17
(2) 积分域如图: 添加辅助线 y x,将D 分为 D1, D2, 利用对称性 , 得
x ye x2 y2 dxd y
D1
D
D
5.D1, D2关于y x对称.
f ( x, y)dxdy f ( y, x)dxdy
D1
D2
2020/6/19
16
例7 计算二重积分 (1) D为圆域 (2) D由直线
I ( x2 x ye x2 y2 )dxdy ,其中: D 围成 .
解 (1) 利用对称性.
2020/6/19
543
15
2020/6/19
5
二重积分计算的基本技巧
1. 交换积分顺序的方法
2. 利用对称性简化计算 3. 消去被积函数绝对值符号
分块积分法 利用对称性
2020/6/19
6
例4
计算积分 I
1
y y
12dy 1 e xdx
y
1
y
1 dy y e xdx.
y
4
2
2
解 由于 e xdx 不能用初等函数表示,
只有当积分区域和被积函数的对称性相匹配时,才 能简化.
2020/6/19
13
二重积分计算的简化
设f ( x, y) C(D),计算I f ( x, y)dxdy.
D
1.D关于y轴对称.
(1) f ( x, y) f ( x, y), 即f ( x, y)关于x是奇函数时, I 0.
(2) f ( x, y) f ( x, y), 即f ( x, y)关于x是偶函数时,