一类非线性泛函边值问题的可解性

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Banach空间中一类非线性积分方程的可解性

７
引理３
集．
设日是ｃｉＥ］中的等度连续子集，。∈ ［，，，ｏ “ ｝是ｃＪＥ］中的等度连续子［，，Ｅ］￣ｃＩ。也Ｊ — ［，
，
引理４
设是ｃ，Ｅ］中的等度连续的有界集，（ ∈ ｃＩＲ］且［，则）［，，
引理１（凸幂凝聚算子不动点定理）设是Ｂｎｃ间，ａａｈ空Ｄ是中的有界凸闭集， — Ａ：
幂凝聚算子，则在Ｄ中至少有一个不动点．引理２４【设Ｂ是Ｃ，Ｅ］中的等度连续的有界集，ＯＢ）＝ｍａｃＢ（）．［，则ｄ（ｘ￣ｔ）（
令，：［。Ｔ．，］考虑Ｂｎｃａａｈ空间中一类非线性积分方程解的存在性
ｒ
（）＝＋ＪＫ５厂５“ ）ｄ， ∈ ￡０（，（，（）ｓｔ
Ｊｔｏ
（）１
其中Ｋｔｓ（，）是，上的二元连续函数： ×，厂，×Ｅ—
Ｅ为非线性映射．
＿
ｘ “ Ｂａａｈ空间．记Ｃ，Ｅ］为定义在，［，取值于的全体连续函数按范数ｌｌＩｌｃ＝ｍａｌ（）ｌ构成的ｎｃｌｔｌ
ｃ，［，］中有界集的Ｋｒｔｗｋ非紧性测度用（）表示．ｕａｓｉｏ・有关Ｋｒｔｗｋ非紧性测度的定义及性质可参见ｕａｏｓｉ
第２第６期６卷
２１年６月００
商丘师范学院学报
ＪＵＮＬＯＨＡＧＩＥＣＥＳＣＬＥＥＯＲＡＦＳＮＱＵＴＡＨＲＯＬＧ

一类非线性微分方程耦合系统无穷边值问题解的存在性

一类非线性微分方程耦合系统无穷边值问题解的存在性张海燕;李耀红【摘要】在Banach空间中，利用Mönch不动点定理，结合一个新的比较结果，研究一类一阶非线性微分方程耦合系统无穷边值问题，其非线性项和边值条件均具有耦合性。

获得该问题解的存在性定理，并给出一个应用实例。

%By applyingthe Mönch fixed theorem and using a new comparison result,we study existence of so⁃lutions of infinte boundary value problems for a class of nonlinear coupled differential equations systems in Banach spaces,where the system is coupled not only in the differential system but also through the boundary conditions. A new existence theorem is established.As an application,we give an example to demonstrate our result.【期刊名称】《淮北师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2015(000)002【总页数】5页(P1-5)【关键词】Banach空间;边值问题;不动点定理;比较结果【作者】张海燕;李耀红【作者单位】宿州学院数学与统计学院，安徽宿州 234000;宿州学院数学与统计学院，安徽宿州 234000【正文语种】中文【中图分类】O177.91令（E，‖·‖）是Banach空间，考虑E中一阶非线性微分方程耦合系统无穷边值问题：这里J=[0 ,+∞),f,g ∈C[J × E ×E,E],α,β ＞ 1.近年来，微分方程耦合系统受到广泛关注，获得许多有价值的结果.如在无穷区间上，文［1-4］获得了微分方程耦合系统解的存在性或多解性；在分数阶情形下，文［5-8］也获得许多微分方程耦合系统的可解性结论.但上述文献中微分方程系统的耦合性主要是指非线性项中变量的耦合，对边值条件的耦合性研究相对较少.注意到耦合边值条件在反扩散问题、热学问题、流体力学等应用科学领域有着广泛的应用.本文将利用Mönch不动点定理，结合一个新的比较结果，研究非线性微分方程耦合系统无穷边值问题（1），其非线性项和边值条件均具有耦合性.1 预备知识和引理记C［J，E］={u：J→E|u（t）连续}，C1［J，E］={u：J→E|u（t）连续且一阶可微}.令BC［J，E］={u∈C［J，E］| X=BC[J,E]×BC[J,E], 则易知 BC[J,E]和 X 分别在范数和‖(u,v)‖X=‖ u‖B+‖ v‖B 下为一Banach空间.定义算子T：X→X 如下其中若（u，v）∈X且满足（1），则称（u，v）为边值问题（1）的解.对Banach空间中的有界集C，用α（C）衷示Ku⁃ratowski非紧性测度［9］.另记Br={(u,v)∈ X |‖ (u,v‖X≤ r}(r ＞ 0).为方便下文，给出几个需要用到的引理.引理1 若f,g ∈C[J×E×E,E]，则(u,v)∈BC[J,E]⋂C1[J,E]×BC[J,E]⋂C1[J,E]是耦合系统（1）的解有且仅当(u,v)是T(u,v)=(u,v)在X中的不动点.证明若(u,v)是耦合系统（1）的解，则直接对耦合系统（1）前两式两边直接从0到t积分，可知令t➝∞，则有将边值条件u(∞)=αv(0),v(∞)=βu(0)代入式（6），直接解方程组计算可知将式（7）（8）代入式（5），易知 u(t)=T1(u,v),v(t)=T2(u,v)，即 (u,v)是T(u,v)=(u,v)的不动点.反之，若(u,v)是T(u,v)=(u,v)的不动点，则对等式两边求导，容易验证(u,v)满足系统（1）.命题得证.引理2［2］若m(t),γ(t)∈C[J,J],m(t)是有界函数，，且有其中M1≥0,M2,M3 ＞0，则引理 3［9］若 H 是 C[J0,E](J0=[0,b]⊂J)中的可数可测集，对任给x∈H，存在ρ(t)∈L[J0,J]，使得‖ x(t)‖≤ρ(t),t ∈J0，则有α(H(t))∈L[J0,J]，且引理4［10］若 B={un}⊂C[J,E](n=1,2,…)，存在ρ(t)∈L[J,J]，使得‖u ‖n(t)≤ρ(t)(t ∈J,n=1,2,…)，则有α(B(t))在J上可积，并且引理5［10］设下文（A1）成立，H是E中的有界集，则，其中αE(TiH)表示TiH(i=1,2)在E中的非紧性测度.注1 由（2）式及引理5易知，αE(TH)≤αE(T1H)+αE(T2H).引理6［11］（Mönch定理）设E是Banach空间，Ω ⊂E 是有界开集，θ∈Ω,A:E →E 是一个连续算子，且满足下列条件：（1）x ≠ λAx,∀λ ∈[0,1],x ∈ ∂Ω ；（2）由 H ⊂可数及 H ⊂({θ}⋃A(H))可推出H为相对紧集.则A在Q中至少有一个不动点.引理7［12］设D和F是E中的有界集，则α(D×F)=max{α(D),α(F)}，其中α和α 分别为E×E和E中的Kuratowski非紧性测度.2 主要定理为方便，先给出下列假设：（A1）f,g ∈C[J×E×E,E]，且存在ai(t),bi(t)∈L[J,J](i=1,2,3)，使得其中（A2）对∀t ∈J和H1,H2 ⊂Br，存在ci(t),di(t)∈ L[J,J](i=1,2)，使得这里定理1 若条件（A1）-（A2）成立，则耦合系统（1）在BC[J,E]⋂C1[J,E]×BC[J,E]⋂C1[J,E]中至少有一个解.证明由引理l知，只需证明算子T在X中至少有一个不动点.首先证明是X中的有界集.事实上，对任给的(u,v)∈Ω0，则相应地存在0≤λ0≤1，使得当t ∈J=[0,+∞)时，由式（3）（4）（9）及假设（A1）得令则m(t)∈C[J,E]且有界，于是结合式（10）（11）得故由引理2知因此，故Ω0 是 X 中的有界集.令 R ＞M，取则Ω 是X中的有界开集，且(θ,θ)∈Ω .由R的取法可知，对任何(u,v)∈∂Ω,(u,v)≠λT(u,v),∀λ ∈[0,1].即引理6的条件（1）满足.下面验证引理6 的条件（2）满足.设 H ⊂为可数集且由非紧性测度的性质，结合引理3-4，引理7及假设（A2），可知这里ρ(s)=c1(s)+c2(s),w(s)=d1(s)+d2(s).由H的定义及引理5有于是由引理l知，α(H(t))=0,t ∈J.即H 是Ω 中的相对紧集，于是引理6的条件（2）满足.又注意 f,g 的连续性，显然T是连续算子.故由引理6知，算子T 在Ω 内至少有一个不动点.从而耦合系统无穷边值问题（1）至少有一个解.证毕.例1 考虑一阶非线性微分方程耦合系统无穷边值问题：则耦合系统无穷边值问题（12）至少有一个解.证明令E={x=(x1,x2,…,xn,…)|xn ∈J,xn →0}，对x ∈E，令显然耦合系统（12）可转化为X中的系统其中而显然f,g ∈C[J×E×E,E].则可令显然，故条件（A1）满足.利用锥理论中常规方法容易知，存在，使得对任何t ∈J，有界集 H1,H2⊂E,α(f(t),H1,H2))＜c1(t)α(H1)+c2(t)α(H2),α(g(t,H1,H2))＜d1(t)α(H1)+d2(t)α(H2)，故条件（A2）满足.由定理1即知结论成立.参考文献：［1］CHEN Xu，ZHANG Xingqiu.Existence of positive solutions for singular impulsive differential equations with integral boundary conditions on an infinite interval in Banach spaces［J］.Electron J Qual Theory Differ Eq，2011（29）：1-18.［2］张海燕，张祖峰.Banach 空间中一阶非线性微分方程组无穷边值问题解的存在性［J］.华中师范大学学报（自然科学版），2011，45（4）：529-533. ［3］汤小松，王志伟，罗节英.Banach空间中一阶脉冲微分方程组的无穷边值问题解的存在性唯一性［J］.四川师范大学学报（自然科学版），2012，35（6）：802-808.［4］李耀红，张祖峰.无穷区间上一阶非线性脉冲微分方程组边值问题的多个正解［J］.华中师范大学学报（自然科学版），2014，48（2）：171-175.［5］LI Yaohong，WEI Zhongli.Positive solutions for a coupled systems of mixed higher-order nonlinear singular fraction⁃al differential equations ［J］.Fixed Point Theory，2014，15（1）：167-178.［6］申腾飞，宋文耀.一类分数阶微分方程系统边值问题正解的存在性［J］.常熟理工学院学报，2012，26（4）：28-34.［7］程玲玲，刘文斌.带有p-Laplace 算子分数阶微分方程耦合系统边值问题解的存在性［J］.湖北大学学报（自然科学版），2013（1）：48-51.［8］曹竞文，胡卫敏.两点分数阶微分方程耦合系统边值问题的解［J］.江汉大学学报（自然科学版），2014，42（3）：23-26.［9］GUO Dajun，LAKSHMIKANTHAM V，LIU Xinzhi.Nonlinear integral equations in abstract spaces［M］.Dordrecht：Kluwer Academic Publisher，1996.［10］刘振斌，刘立山.Banach 空间中一阶非线性微分方程组无穷边值问题解的存在性［J］.数学学报，2007，50（1）：97-104.［11］DEIMLING Klaus.Nonlinear functional analysis［M］.Berlin：Spring-Verlag，1985.［12］GUO Dajun，LAKSHMIKANTHAM V.Coupled fixed points of nonlinear operators with applications［J］.Nonlinear Analy⁃sis：TMA，1987，11（5）：623-632.。

一类非线性四阶微分方程三点边值问题的可解性

则是ｃ［ｏ，１］中的一个非负函数锥，设
Ａ＝［ｍａｆ＇ｆ＇ｃ（，）ｄｄ “ 】一。，Ｂ＝［－『０ｆ／＊Ｇ（，）ｄｄ Ⅱ １一。，＝ｍｉｎ０（ｔ），
收稿日期：２０１３－０３－０１基金项目：国家自然科学基金资助项目（１０７７１２１２）
ｐ（ｔ）＝ｋＭ，对于０≤ ｔ ≤１，定义算子为：
ｕ≤ ￡ ≤ Ｊ
作者简介：施恂栋（１９８３．），男，江苏兴化人，硕士，研究方向为常微分边值问题
第１２卷第２期２０１３年６月
淮阴师范学院学报（自然科学版）
ＪＯＵＲＮＡＬＯＦＨＵＡＩＹＩＮＴＥＡＣＨＥＲＳＣＯＬＬＥＧＥ（ＮＡＴＵＲＡＬＳＣＩＥＮＣＥＥＤＩＴＩＯＮ）
摘要：考察了非线性四阶三点边值问题的解和正解的存在性．其中允许非线性项有一个负的下界．主要结论表明该问题可以具有正解，只要非线性项在某些有界集上所满足的条件是
适当的．
关键词：四阶三点边值问题；半正非线性；解和正解；存在性中图分类号：Ｏ１７５文献标识码：Ａ文章编号：１６７１．６８７６（２０ｌ３）ｏ２．００９５．０４
淮阴师范学院学报（自然科学版）
第ｌ２卷
（）（￡）＝ｌＩＧ（Ｍ，）ｇ（，ｘ（）一ｏ（））ｄｖｄｕ．

一类p-Laplacian方程的可解性

＞０，ｚＥＢ
【＝０．ＥＢ “ ，７３１７
其中，Ｂ是Ｒ（≥ ２中，）中心在原点的单位球，即
Ｂ一｛ｚＥＲ：Ｘｆ１；￡：０＋。）ｆ＜｝Ａ（）（，。一Ｒ是一个连续函数；（，，是定义在Ｂ×Ｒ＋×Ｒ＋，￡Ｓ硼）上的实函数。
０引
言
本文讨论问题（）正径向解，１的问题（）１的径
向形式为
ｒ（Ｈ（ｒ）＋ｕ（））
本文研究下列拟线性方程边值问题（）正１式
径向整体解的存在性与唯一性，即
ｆｉ｛Ｉｕ１Ｄｕ）ｄｖＡ（Ｄ）＋
ＹＵｉｄｎＺＧｕ－ｏｇ．ＨＯＮＧｉ－ｉｏＪｎｂａ
（ｈ￣ＩＳｉｎｅＣＳｆＭｔｅｔｃｎｍｐｉｃｅｃ，ＡｎｑｎａｈｅｓＣｏｌｇ，Ａｎｉｇ４０１，ＣＩｎ）ｎｉｇＴｅｃｒｌｅｅｑｎ２６１ｌａｉ
１局部解的存在性
下面讨论初始值问题（）即３，
ｒ＿（ｒ）（ｒＨｕ（））＋ｒｆｒｒ，＿（，）（
。㈣
文献［～８对椭圆方程边值进行了研究，１］这里所研究的问题（）１的特点是，中方程是拟线性其的，可能在ｌｕｘＩＤ（）一０的点处退化或奇异；中其非线性项ｆｘ，ｌ）比较一般的形式，研（，Ｄｕ１是且究问题（）１的方法不同于文献［￣６。Ｉ３

非线性常微分方程边值问题的有限解析法

非线性常微分方程边值问题的有限解析法本文讨论了非线性常微分方程边值问题的有限解析法，涵盖了它的基本概念、性质、原理和应用。

具体来说，本文回顾了非线性常微分方程的基本概念，包括概念的定义、特征性质、基本求解法以及典型应用等。

接着介绍了非线性常微分方程边值问题的研究内容，然后论述了有限解析法在处理非线性常微分方程边值问题中的重要作用，说明了该方法的几个主要步骤，以及其优缺点。

本文最后介绍了有限解析法在实际应用中的重要性，并且简要介绍了几个应用实例，如模式识别、控制理论和数值分析等。

非线性常微分方程是一种在非线性数学中的基本类型，它的应用遍布整个社会。

它可以用来描述许多现象，如流体动力学、拓扑动力学、结构动力学、电磁学、化学反应动力学和物理现象的变化等。

它的解可以表示为一类函数，可以用来描述物理系统的稳定性和可靠性，以及控制系统的行为。

在应用上，求解非线性常微分方程是有一定难度的，常见的数学方法有全局线性化，有限差分方法，格式化数值方法，变分法，非线性谱法，局部定性分析等。

其中，有限解析法在求解非线性常微分方程边值问题中具有重要作用。

有限解析法是一种可以寻找非线性微分方程边界值问题定式解的数值方法。

它是一种能够给出定式解的方法，可以从边界非线性微分方程中求解定式解，从而可以给出解析解。

其基本原理是通过将非线性常微分方程转变为一组线性方程组。

然后可以将其转化为标准的线性方程组求解。

有限解析法对应用也非常重要，它可以用来处理模式识别、控制理论和数值分析等一些比较典型的应用领域。

如在模式识别中，有限解析法可以用来识别动态非线性系统，有助于准确捕捉不同输入状态下系统的行为特性；在控制理论中，有限解析法可帮助我们理解系统中存在的非线性元件带来的特性，并可以更好地控制系统的行为；在数值分析中，有限解析法可以用来处理一些复杂的非线性微分方程，如常微分方程组，能够精确求解出解析解，具有较强的精度。

本文就非线性常微分方程边值问题的有限解析法作了全面的综述，说明了这种方法的特点、原理及应用，并指出它在处理非线性问题中的重要性。

一类p-Laplacian方程边值问题正解的存在性

１４
甘肃科学学报
ｎｓｌｉ不动点定理乜变分方法［和一些新的三ｏｅｓｉｋＪ；３函数不动点定理［等．在证明过程中，４但］由于要用到
解的凹性，假定非线性项厂非负，给ＰＬｐａ都这 — ａｌ—
是（）。ｚ的反函数，ｐ＋口一１且÷ ，
（（（））＋厂（）￡）（￡）＝００＜ｔ１，＜
“ （）一（）＝０，Ｏ１
（）１
（）２
至少有２个正解的存在性，中其
ｐ
（）一ＩＸ，ｚｌｚＰ＞１ｇｚ，（）一Ｉｚｌｚ
第ｚ２卷肃科学学报
ＪｕｎｌｆｎｕＳｉｎｅｏｒａｏＧａｓｃｅｃｓ
Ｖｏ．２ＮＯ２【２．
ＪｎＺ１ｕ．００
一
类ＰＬｐａｉｎ方程边值问题正解的存在性 — ａｌｃａ
ｆ（（））， “ ￡）一００＜ｔ１（￡）＋（（），＜
Ｉ（一（一０ｏ１，，））
ｗｈｒｐ）Ｉ一Ｘｐ１Ｂｓｎｈｉｅｏｎｄｘｔｅｒｏｅ，ｕｆｉｎｏｄｔｎｒｔｅｅｅ（一Ｉ，＞．ｙｕｉｇｔｅｆｄｐｉｔｎｅｈｏｙｉｃｎｓｓｆｃｔｃｎｉｏｓｆｈｚ’ ｘｉｎｉｅｉｏ
，∈ Ｃ［， ∞ ）（（０＋，一∞ ，。）．＋。）
ｃａｉｎ方程的实际应用带来了一定的局限性．为解决

一类椭圆型方程边值问题的可解性

‘
２。
安庆师范学院学报（目然科学版）
２１年０１
『＝一△
，）
∈
／、１
Ｉｕ：０
∈ａ
的解，根据文献［］，４知问题（）２存在唯一解ｕ∈Ｃ（，由引理２，非负。力）再知ｕ记算子Ｌ＝一则 △，Ｌ＝（ △）是线性紧正算子，Ｖ１ＥＣ（，～一对．）引入算子Ｔ＝一，，０ｗ）由为紧正算子，）非负连续性知，Ｂ— 为紧正算子。现证明满足引理１的条件，不然，若则存在｛｝∈［，］｛０１，Ｗ｝
证明设 “ 为问题（）的两个解，，１则
｛△ ＝一
Ｌ＝０ｕ
）
∈２。ｆ
∈ ａ』
（；～＝）３｛）
Ｌ＝０
∈
∈ ａ２』
（４）
将上两个方程两边乘上（）然后在上积分，用Ｇｅｎ第一公式得ｕ一，并利ｒｅ
将以上二等式相减得ＩＩｕＤｄ — ｖｘ＝ｆ（，），）ｄ。ＤＩ一（）ｘ）一
从，关于ｓｓ）单调递减知，ｆ
２渐近线性问题的可解性研究
Ｄｕ＝Ｄ，ｖ结合１加＝ｌ＝０得１－即问题（）的解唯一。１，ｉｍ，１ｍ，＇，１
ｃ满足．１ｌ
＋∞（一＋∞）＝ｎ且
＝
，）
＝可
：
。
由件ｏ是可ｏｌ＝矛，由理，一不条（）高，ｕ０１盾而引ｌ有个动Ｈ知于＝但，从

monge—ampére方程边值问题的多解

monge—ampére方程边值问题的多解monge—ampére方程是一个非线性椭圆型偏微分方程，它在几何学、物理学和数学中都有广泛的应用。

对于给定的边界条件，monge—ampére方程的解并不唯一，这是一个非常有趣和重要的问题。

monge—ampére方程的一般形式为：det(D^2u) = f(x, u, Du)其中，u是未知函数，D^2u是它的Hessian矩阵，f是已知的函数，x是自变量，Du是u的梯度。

我们考虑一个特定的边值问题，即给定边界条件：u|∂Ω = g其中，Ω是一个有界开集，∂Ω是Ω的边界，g是已知的函数。

首先，我们需要定义monge—ampére方程的解。

对于给定的边界条件，如果存在一个函数u满足monge—ampére方程和边界条件，那么u就是该边值问题的解。

然而，monge—ampére方程边值问题的解并不唯一。

这是由于monge—ampére方程是一个非线性方程，它的解取决于边界条件和方程中的非线性项。

当边界条件和非线性项变化时，方程的解也会发生变化。

为了说明这一点，我们考虑一个简单的例子。

假设我们有一个二维的边值问题，即Ω是一个矩形区域，边界条件为u|∂Ω = 0。

我们可以选择不同的非线性项f来求解方程。

当f为常数时，方程的解是唯一的，即u(x, y) = 0。

然而，当f为非常数时，方程的解就不再唯一。

例如，当f(x, y) = x^2 + y^2时，方程的解可以是u(x, y) = x^2 + y^2。

这个例子表明，monge—ampére方程边值问题的解取决于边界条件和非线性项的选择。

不同的边界条件和非线性项会导致不同的解。

此外，monge—ampére方程边值问题的多解现象也与方程的性质有关。

monge—ampére方程是一个非线性椭圆型方程，它具有一些特殊的性质，如凸性和可解性。

一类半线性椭圆方程边值问题的可解性

２１６月０２年第１８卷第２期
安庆师范学院学报（然科学版）自
ＪｕｎｌｆｎｉｇＴａｈｒｏｌｇ（ａｕａＳｉｎｅＥｉｏ）ｏｒａｑｎｅｃｅｓＣｌｅＮｔｒｌｃｃｄｔｎｏＡｅｅｉ
Ｊ．Ｏ２ｕｎ２ｌ
４‘
安庆师范学院学报（自然科学版）
２１年０２
引理１上、调和函数的极值原理）（下
设 “∈Ｃ（Ｉ￣）在中△ ２）Ｃ（， ≤０ ≥０，（）假设有界，
则ｉ “ （ｐ＝ｓ）成立ｎ：ｉｓ。ｆｕＭ
性，作为定理的应用，最后给出了一个例子。
关键词：不动点理论；、上下解方法；边值问题中图分类号：０７１５文献标识码：Ａ文章编号：１００７—４６（０２０２０２１）２—００００３— ３
０引言
文献［］１研究了问题
给定条件：Ａ）（）为力上连续正函数，（）为Ｒ上连续正函数。（ｋｘ，ｓ
（）Ａ２
１主要定理
—
＝ｏ，）［∞上增（）在０）单。０Ａ在０）单。｝（。上减（ｓ，Ａ，。
一一
定义１称ｕ为问题（）的上、，２下解，果，如满足：１， ∈ Ｃ（Ｉ（）（） ≤ ， ∈１；（）力）ｃ１；２２２
ｉｕ：０．
∈ａ
的解，中Ａ＝（其一△）Ｂ，Ｄ— ｃｏ）Ｂ：（）加 ∈ Ｄ，＝ＡＢ：（，ｗ），ｗ。因为（一△）：Ｃ力）一ｃ）是全连续的］Ｂ为连续算子，以Ａ：（（，所Ｄ— ｃ）：（Ｄ— Ｃ（）是全连续的。下面证明Ａ是Ｄ到Ｄ的算子。实上，１＝Ａ则成立：事若１，ｗ，

一类非线性三阶边值问题的可解性

若（满足相反的一组不等式，则称（为边值问题（￡）￡）Ｅ—Ｂ１的一个上解。）Ｉｌ（ｌｘｔ，Ｘ∈Ｘ。）Ｖ本文取讨论的空问为Ｘ＝ｃ［１ｏ］中取范数：ｘ＝ｍｘ一＜，，在ｌｌＩｌａｏｔ＜
一
收稿日：０４０－３作者简介：冯育强（９５１月生）期２０ — ７１．１７年０，男，博士，副教授．究方向：非线性分析，凸分析研
７ｖ ∈ｆ７。由推论１）ｒ，０ｒ，１之１可知三阶边值问题
ｆｔ￡ｆｔ（）ｆｔ（）（（）（￡（￡，，），），）
（）０１ ×｛ｔ ∈【】 ∈Ｘ：（（，，￡）￡）
＠）（）日）
时，边值问题（ —Ｂ１有解（，满足（Ｅ）ｔ）￡）（（。ｔ）￡）注１当，关于第二变元非减时．厂必满足（。日）推论１）１如果存在ｃ＞０，使得０ｆｔ）ｆｔ）ｆｔ）（０，（ｚ，（ｃ，ｃｔ）０１× ，， ∈［】Ｖ（ｚ，ｆｃ０１，，则（Ｅ—Ｂ）１有一非负解ｕ ∈Ｘ满足ＩＩｃＩＩ；此外，若，ｔ）【１上不恒为０（０在０】，，，
负解。
３若存在ｃ，使得一ｃｆｔｃｆｔ）ｆｔ））＞０（一）（ｚ（ｃ，，，ｃｔ）０１× 一，，，， ∈【】【ｃｃＶ（ｚ，】则（Ｅ一口）１有一解 ∈Ｘ满足ＩＩｃＩ；此外，若．≠ ）［１上不恒为０ ≠０厂，在０】（０，，则。￣－１设，ｔ＝，＝Ｉ－］Ｔ（，）（）＋ｃｓｏ，注意到０＜ｆ０＝１，，７＝ ‘ ｖ一１（）（）（）Ｖｒ＜ｒ２３

一类半线性椭圆型方程边值问题的可解性

论探讨了半线性椭圆型方程边值问题的可解性．
关键词：椭圆型方程；不动点；零解；有界正解；算子中图分类号：０７．文献标识码：Ａ１５２５ｄｉ０９９．ｓ．０ — ８１００２１ｏ：１．６￣ｉｎ１７９３．１．．４３ｓ０２００
１引言及预备知识
最近几年，在生物学、生态学、燃烧理论、人口动态方面出现的很多现象能够用半线性椭圆型方程描
述，许多数学工作者对拟线性椭圆型方程（）组特别是非线性的具有一定奇异的椭圆型方程（）组的解（弱解）的存在性与不存在性、唯一性、多解性、正则性、部分正则性以及解的其它性态进行了研究“ ．文献
证明设Ｘ：ｃ一）（，Ｘ中所有非负，且在Ｏ上为零的函数构成正锥Ｂ，且Ｂ为Ｘ的闭凸集．作算ｆ２ｆ２子：Ｂ，Ｂ使得 “ Ｂ，Ｔ＝上（）＋Ｌ（，）其中：Ｕ一） ∈ ｕ『ａｘｕ－ｘｆ，＝（△ 为紧正算子．从而：Ｂ为Ｂ
常数ｃ０＞，使得对于任意（，）Ｑ× ，有０（，）．ｘｕ∈ Ｒｆｘｃ
，．、
…
的可解性．其中：ＱＣＲ为有界光滑域；ａ）（）（ ∈ｃ－，且ａｘ０ｆｘｕ关于各变元连续．假设存在６（）：（，）
２主要结果及证明
第３卷第２Ｏ期
２０正０１
高师理科学刊
ＪｕｎｌｏｃｅｃｆＴａｈｒＣｏｌｇｎＵｎｖｒｉｙｏｒａｆＳｉｎｅｏｅｃｅｓｌｅｅａｄｉｅｓｔ

一类非线性泛函积分方程单调可积解的存在性

第３７卷
第３期
曲阜师范大学学报
ＪｕａｏＱｆＮｒｌＵｉｒｔｏｒｌｆｕｕｏｍａｎｎｖｓｙｅｉ
Ｖｏ．７Ｎｏ．１３３
２１０１年７月
Ｊｌ０１ｕｙ２１
一
类非线性泛函积分方程单调可积解的存在性
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在Ｌ［，］中，ｌ１０文献［］给出了函数（）的一简易公式４Ｘ
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方程单调可积解的存在性，推广了有关文献的结果．
关键词：积分方程；弱非紧性测度；弱序列连续；ａｔｏｏ条件Ｃｒｈｄｒａｅｙ
中图分类号：１５５Ｏ７．
文献标识码：Ａ
文章编号：０１３７２１）３０１１０－３（０１０－１５０
１引言
张峰①，毕玉洁②，赵增勤①
（曲阜师范大学数学科学学院，７１５曲阜市； ① ２３６， ②青岛华夏职业教育中心中专部，６０，２５０山东省青岛市）６

非线性泛函分析中的变分问题与解的存在性

非线性泛函分析中的变分问题与解的存在性在非线性泛函分析中，变分问题是一类重要的数学问题，研究的是在一定条件下，求解泛函的极值问题。

变分问题是一类典型的优化问题，通过对泛函的变分，可以得到问题的解。

本文将介绍非线性泛函分析中的变分问题，并探讨其解的存在性。

一、变分问题的定义与例子在非线性泛函分析中，变分问题是指通过对泛函进行变分，求得其在某个函数空间中的极值问题。

一个典型的变分问题可以定义如下：设函数空间X为所有满足一定条件的函数的集合，泛函J:X→R为函数到实数的映射。

对于任意的u∈X，若存在v∈X使得对于任意的ε>0，存在δ>0，使得当∥h∥<δ时，有f(u+h)-f(u)≥ε，那么称v为泛函J在点u处的变分。

当泛函J的变分存在时，我们希望求得v使得泛函J取得最小值。

举例来说，假设我们的函数空间X是连续函数的空间C[0,1]，泛函J定义为J(u)=∫[0,1]((u'(x))^2-u(x))dx。

那么我们的变分问题就是求解泛函J的最小值。

二、解的存在性理论解的存在性是非线性泛函分析中一个重要而困难的问题。

由于非线性泛函的特殊性质，解的存在性通常要比线性问题要复杂得多。

对于变分问题，在一定的条件下，可以通过一些方法证明解的存在性。

1. 现成结果法：对于一些形式特殊的泛函，已经得到了一些现成的结果，可以直接应用。

2. 变分原理法：通过构造一些数学方法或原理，推导出解的存在性。

3. 博弈论方法：借助博弈论的解存在性理论，可以得到一些非线性泛函的解存在性结果。

4. 紧算子法：通过考察相关算子的性质，利用紧算子的一些性质来证明解的存在性。

三、解的存在性实例下面以一个实例来说明非线性泛函分析中的变分问题与解的存在性。

考虑一个非线性问题，求解如下变分问题：求函数u∈C[0,1]，使得J(u)=∫[0,1]((u'(x))^2+u^2(x))dx达到最小值。

为了证明解的存在性，我们可以通过变分原理法来求解。

数学的非线性泛函分析研究

数学的非线性泛函分析研究数学的非线性泛函分析是数学中的一个重要分支，它研究的对象是非线性泛函，对于理解非线性现象和复杂系统具有重要意义。

本文将介绍数学的非线性泛函分析的基本概念、研究方法以及应用领域。

一、非线性泛函的基本概念在数学中，泛函是定义在函数空间上的一种函数。

非线性泛函则是不满足线性性质的泛函。

非线性泛函通常具有更复杂的性质和行为，研究它们需要借助于非线性泛函分析的方法和工具。

非线性泛函的性质十分丰富多样，包括泛函的连续性、可微性、收敛性等。

非线性泛函的微分性质对于研究非线性偏微分方程、最优控制问题等具有重要作用。

二、非线性泛函分析的研究方法非线性泛函分析是一门数学理论，它借助于函数分析、拓扑学、微分几何等学科的方法，研究非线性泛函的性质和行为。

在非线性泛函分析中，常用的方法包括变分法、不动点定理、紧算子理论等。

变分法是研究泛函的最常用方法，通过极值原理和变分原理，可以求得非线性泛函的临界点和解。

不动点定理是非线性泛函分析中的重要工具，它可以构造非线性泛函的不动点从而求解非线性方程的解。

紧算子理论是研究紧算子和紧算子的性质的数学理论，它在非线性泛函分析中有广泛的应用。

三、非线性泛函分析的应用领域非线性泛函分析在数学和物理学中有广泛的应用。

在数学中，非线性泛函分析被广泛应用于非线性偏微分方程、最优控制、拓扑学等领域的研究中。

在物理学中，非线性泛函分析被应用于量子力学、电磁场理论、相对论等领域。

非线性泛函的理论和方法为物理学家提供了重要的工具，帮助他们理解和描述复杂的物理现象。

总结：数学的非线性泛函分析是一门重要的数学理论，它研究的是非线性泛函的性质和行为。

非线性泛函的研究需要借助于函数分析、拓扑学、微分几何等学科的方法和工具。

非线性泛函分析在数学和物理学等领域有广泛的应用，为研究复杂问题提供了重要的数学工具和理论基础。

（注：本文所述非线性泛函分析的基本概念、研究方法和应用领域仅作简要介绍，具体内容涉及的理论和技术较为复杂，需要进一步深入学习和研究。

数学专业的非线性泛函分析

数学专业的非线性泛函分析在数学领域中，非线性泛函分析是一门重要的学科，它研究的是非线性泛函的性质与行为。

本文将介绍非线性泛函分析的基本概念、应用领域以及研究方法。

一、基本概念1.1 泛函与非线性泛函在数学中，泛函是一个将函数映射到实数的映射。

这意味着泛函是一种能够将一个函数作为输入，并输出一个实数的操作。

而非线性泛函则是指那些不满足线性特性的泛函，即不符合齐次性和可加性。

1.2 函数空间函数空间是一组函数的集合，它通常具有一定的结构和性质。

在非线性泛函分析中，我们常常研究的是某个特定函数空间上的非线性泛函的性质和行为，如Sobolev空间和Banach空间等。

1.3 变分原理变分原理是非线性泛函分析的重要工具之一。

它通过对泛函的微小变分来研究函数的极值问题。

变分原理在物理学、工程学和经济学等领域中有着广泛的应用，并且在非线性泛函分析中有着深入的理论基础。

二、应用领域2.1 偏微分方程非线性泛函分析在偏微分方程中有着广泛的应用。

通过研究非线性泛函的性质，可以得到偏微分方程的解的存在性、唯一性和稳定性等性质。

这对于解决现实生活中的许多实际问题具有重要意义。

2.2 最优控制理论最优控制理论是一门研究如何选择控制函数，使得系统在给定约束条件下的性能达到最优的学科。

非线性泛函分析在最优控制理论中起到了重要的作用，可以通过研究非线性泛函的极值来求解最优控制问题。

2.3 图像处理与计算机视觉图像处理与计算机视觉是目前计算机科学中的热门领域，而非线性泛函分析在图像处理与计算机视觉中也发挥着重要作用。

通过研究非线性泛函的特性，可以实现图像去噪、图像恢复和图像分割等重要任务。

三、研究方法3.1 鞍点理论鞍点理论是非线性泛函分析中的重要工具之一，它用于研究泛函的临界点和鞍点的性质。

通过鞍点理论，我们可以得到泛函的极值并求解相关的方程和不等式。

3.2 无穷维分析方法由于非线性泛函通常涉及无穷维空间中的函数，因此无穷维分析方法在非线性泛函分析中是必不可少的。

非线性泛函分析与优化理论

非线性泛函分析与优化理论引言：非线性泛函分析与优化理论是数学中的一个重要分支，它在物理学、经济学、工程学等领域中有着广泛的应用。

通过研究非线性函数的性质和优化方法，我们可以解决许多实际问题。

本文将介绍非线性泛函分析与优化理论的基本概念、方法和应用。

一、非线性泛函分析基础概念1.1 泛函在函数空间中，函数本身也可以被视为一个变量。

泛函就是从函数空间中的每个函数到实数域的一个映射。

泛函既可以是线性的，也可以是非线性的。

1.2 非线性泛函非线性泛函是指泛函中包含非线性的部分。

与线性泛函不同，非线性泛函的性质更为复杂，难以直接求解。

非线性泛函的研究需要借助于泛函分析的方法和工具。

1.3 函数空间函数空间是指由一组满足特定条件的函数构成的空间。

函数空间的选择取决于问题的需求和性质。

常见的函数空间包括连续函数空间、可微函数空间和Lp空间等。

二、非线性泛函分析方法2.1 极值问题在非线性泛函分析中，求解函数的极值问题是一个重要的研究方向。

通过寻找使得泛函取得极值的函数，可以得到问题的最优解。

常用的方法包括变分法、最优控制理论和固定点理论等。

2.2 变分法变分法是一种通过对变分问题进行变分运算，得到极值条件的方法。

通过对泛函进行变分运算，我们可以得到欧拉-拉格朗日方程，从而求得极值点。

变分法广泛应用于力学、物理学和优化问题中。

2.3 固定点理论固定点理论是非线性泛函分析的重要工具之一。

通过构造适当的映射和空间，我们可以利用不动点定理来解决非线性泛函方程的求解问题。

固定点理论在拓扑学和优化理论中有着广泛的应用。

三、非线性优化理论3.1 优化问题优化问题是非线性泛函分析的核心内容之一。

优化问题旨在寻找使得目标函数取得最优值的变量。

常见的优化问题包括最小化问题和最大化问题。

3.2 优化算法解决优化问题的一种主要方法是使用优化算法。

常见的优化算法包括梯度下降法、牛顿法和拟牛顿法等。

这些算法通过迭代的方式逐步优化目标函数，直到满足指定条件。

非线性泛函分析

非线性泛函分析非线性泛函分析是一种数学方法，它对非线性问题进行分析、研究和解决。

它在物理学、数学和工程学中都有重要的应用。

本文将讨论非线性泛函分析的基本概念、应用以及未来发展方向，以便读者对非线性泛函分析有更深入的了解。

首先，简要介绍一下非线性泛函分析的基本概念。

非线性泛函分析是指用数学方法求解非线性方程组的方法，特别是求解不可积、参数不定和多变量函数的变分不等式问题。

它是以牛顿-拉夫逊泛函分析方法为基础，并应用了外推、变分不等式，变分迭代等技术。

其精髓是把原有的复杂非线性多变量问题转变为简单的极小化问题，从而用数学方法求解。

其次，讨论非线性泛函分析的应用。

在实际应用中，非线性泛函分析主要用于机器学习、算法极限优化、计算物理和工程设计等领域中。

比如在机器学习中，非线性泛函分析可以有效求解复杂的非线性分类问题，从而提高机器学习算法的准确率和可信度。

在极限优化领域，它可以用来有效求解较复杂的函数最优值问题。

在计算物理和工程设计领域，非线性泛函分析可以求解多变量、参数不定函数问题，并为计算物理和工程设计提供定量的有效支持。

最后，谈一下非线性泛函分析在未来的发展方向。

在未来的发展中，非线性泛函分析将继续为机器学习、极限优化、计算机视觉、模式识别等领域提供重要的技术支持，并且还预计有更多的新的应用领域将出现，例如数据挖掘、嵌入式系统等。

此外，在发展中，将会更加注重模型的简化和计算效率，尤其是机器学习算法的可扩展性，从而实现更高效的非线性泛函分析。

总之，非线性泛函分析是一种研究和解决非线性问题的重要数学方法。

它在机器学习、极限优化、计算物理和工程设计中都起着重要的作用。

未来，它将继续发挥重要作用，并拓展到更多的新的领域，比如数据挖掘等。

两类泛函微分方程的有界解

两类泛函微分方程的有界解两类泛函微分方程的有界解引言：泛函微分方程是描述函数与其变分之间关系的方程。

在实际问题中，由于变分的波动性质，泛函微分方程的解往往具有无界特性，即在某些条件下函数会呈现出不受限制的增长或衰减。

然而，在某些情况下，我们可以找到一些特殊的泛函微分方程，它们的解具有有界性质。

本文将重点讨论这两类泛函微分方程的有界解。

一、线性泛函微分方程的有界解线性泛函微分方程的形式为：$$\mathcal{F}[x(t),x'(t),x''(t),\ldots]=0$$其中，$x(t)$是未知函数，$x'(t)$是其一阶导数，$x''(t)$是其二阶导数等。

常见的线性泛函微分方程包括常微分方程和偏微分方程。

在一些特殊情况下，线性泛函微分方程的解具有有界性质。

例如，在一些约束条件下，函数的增长受限制，解的取值范围被限定在一个有限区间内。

另外，在一些无穷远点上，解可收敛于某个有限值，表现出趋于平稳的特性。

二、非线性泛函微分方程的有界解非线性泛函微分方程的形式为：$$\mathcal{F}[x(t),x'(t),x''(t),\ldots]=0$$非线性泛函微分方程的解空间更加广阔，往往存在多种解，其中一些解具有无界性质，即在某些条件下函数的增长或衰减无限制。

然而，也存在一些非线性泛函微分方程的解具有有界性质。

例如，当非线性泛函微分方程满足一些特定条件时，其解在某个区间内有界。

这些条件可以是方程中的系数约束，也可以是初值条件的限制等。

除此之外，非线性泛函微分方程的解也可能在某些无穷远点上具有有界特性。

结论：通过以上分析，我们可以看出，在某些特殊的线性和非线性泛函微分方程中，存在一些有界解。

这些有界解在一定条件下呈现出在某个区间内有限范围的性质，或者在某些无穷远点上收敛于有限值的特性。

这种有界解的存在对于实际问题的研究具有重要意义，可以帮助我们理解和分析物理、生物等领域中复杂的现象和机制。

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弟２ｏ卷笫Ｉ期
２００２３月
海南大学学报自然科学版
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收稿日期：２０ —１ —００１２６基金项目：海南省自然科学基金资助项目．批准号：００１１２作者简介：洪世煌（９２，，西都昌人，南大学理工学院副教授，士１６一）男江海硕
（，， ” ＪＪＥ）（在
上绝对连续，几乎所有ｆＪ，）足（）且满足 “ 函边值条件 ” ２．对 ∈ （满１，泛（）常微分方程的边值问题无疑是一个有点 “ 老 ” 问题，而它至今仍然颇为数学界所感古的然兴趣，因在于迄今未形成一套系统的方法，以对付出现于边值问题中的各种情况．于边原足鉴值条件（）高度一般性，ｙ￣２的Ｗｈｌｎ首先就线性情况进行了研究，来已为许多作者所研究（ｘ后见
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海南大学学报自然科学版
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洪世煌
（南大学理工学院，海南海口５０￣）海７２
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