第2章 压力容器应力分析
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过程设备设计第二章【压力容器应力分析】21【回转薄壳应力分析】解析
由于不连续应力具有局部和自限两种特性，除了分析设计法必须做 详细的应力分析外，对于静载荷下的塑性材料的容器，在设计中一般 不作具体计算，而采取结构上作局部调整的方法，限制其应力水平。 这些方法包括在连接处采用挠性结构，采取局部的加强措施，减少外 界引起的附加应力，如焊接残余应力、支座的集中载荷、开孔接管的 应力集中等。但是对于承受低温或循环载荷的容器，或用脆性较大的 材料制造的容器，在设计中必须核算不连续应力。
A
Байду номын сангаас
母线
回转轴
R2
R1 O
O1
第一曲率半径
第二曲率半径
（1）回转薄壁壳体基本概念 a. 薄壁壳体的特征：平面应力问题 b. 回转壳体的几何特性： 轴对称 回转壳的中面是回转曲面，它是由一根平面曲线绕一根在 曲线平面内的定轴旋转而成，这一根曲线称为母线。 壳体任意一个截面上的载荷相对回转轴对称，沿回转轴方 向的载荷可以按照任意规律变化。
讨论
1、与厚平板连接的圆柱壳，在内压作用下，圆柱壳 中的最大应力是什么应力？其位置在哪儿？
2、不连续应力的大小和哪些因素有关？在压力容器 设计时，是否需要限制不连续应力？为防止因不 连续应力过大引起压力容器破坏，工程中应采取 什么措施？
第二曲率半径与回转轴 位置有关；
母线
问题1. 第一曲率半径与第二曲率半 径哪个大？
问题2. 第一曲率半径与第二曲率半 径有什么关系？
经向 轴向
回转轴
R1 O O1
A R2
第一曲率半径
第二曲率半径
无力矩理论与有力矩理论： 对于部分容器，在某些特定的壳体形
状，载荷和支撑条件下，其弯曲内力 与薄膜内力相比很小可以忽略不计， 此时，壳体的应力状况仅由法向力 Nφ Nθ决定，称为“无力矩理论”。 在壳体理论中，如果考虑横向剪力 Q和弯矩M，M，称为“有力矩理 论”。
A
Байду номын сангаас
母线
回转轴
R2
R1 O
O1
第一曲率半径
第二曲率半径
（1）回转薄壁壳体基本概念 a. 薄壁壳体的特征：平面应力问题 b. 回转壳体的几何特性： 轴对称 回转壳的中面是回转曲面，它是由一根平面曲线绕一根在 曲线平面内的定轴旋转而成，这一根曲线称为母线。 壳体任意一个截面上的载荷相对回转轴对称，沿回转轴方 向的载荷可以按照任意规律变化。
讨论
1、与厚平板连接的圆柱壳，在内压作用下，圆柱壳 中的最大应力是什么应力？其位置在哪儿？
2、不连续应力的大小和哪些因素有关？在压力容器 设计时，是否需要限制不连续应力？为防止因不 连续应力过大引起压力容器破坏，工程中应采取 什么措施？
第二曲率半径与回转轴 位置有关；
母线
问题1. 第一曲率半径与第二曲率半 径哪个大？
问题2. 第一曲率半径与第二曲率半 径有什么关系？
经向 轴向
回转轴
R1 O O1
A R2
第一曲率半径
第二曲率半径
无力矩理论与有力矩理论： 对于部分容器，在某些特定的壳体形
状，载荷和支撑条件下，其弯曲内力 与薄膜内力相比很小可以忽略不计， 此时，壳体的应力状况仅由法向力 Nφ Nθ决定，称为“无力矩理论”。 在壳体理论中，如果考虑横向剪力 Q和弯矩M，M，称为“有力矩理 论”。
第二章 压力容器应力分析2.5-2.6
长圆筒
短圆筒
刚性圆筒 L/Do和Do/t很小时，壳体的刚性很大，此时圆柱 壳体的失效形式已经不是失稳，而是压缩强度破 坏。
14
2.5.2 外压薄壁圆柱壳弹性失稳分析
过程设备设计
长圆筒和短圆筒失稳时临界压力计算方法： 一、受均布周向外压的长圆筒的临界压力
二、受均布周向外压的短圆筒的临界压力 三、临界长度 四、周向外压及轴向载荷联合作用下的失稳 五、形状缺陷对圆筒稳定性的影响
10
2.5.1 概述
过程设备设计
3. 影响Pcr的因素：
对于给定外直径Do和厚度t Pcr与圆柱壳端部约束之间距离和圆柱壳上两个刚性元件 之间距离L有关； Pcr随着壳体材料的弹性模量E、泊松比μ的增大而增加； 非弹性失稳的Pcr还与材料的屈服点有关。
11
2.5.2 外压薄壁圆柱壳弹性失稳分析
过程设备设计
c、圆环的挠曲微分 方程2-87式
M M O pRwo w
16
2.5.2 外压薄壁圆柱壳弹性失稳分析
过程设备设计
图2-39 圆环变形的几何关系
17
2.5.2 外压薄壁圆柱壳弹性失稳分析
pR3 RM pR w d 2w 1 c. 圆环的挠曲微分方程：2-87式 2 w d EJ EJ
对圆筒的初始不圆度严格限制
26
2.5.3 其他回转薄的的临界压力
过程设备设计
2.5.3 其他回转薄壳的的临界压力
半球壳 椭球壳 碟形壳 锥壳
27
2.5.3 其他回转薄壳的的临界压力
过程设备设计
1、半球壳
临界应力经典公式
pcr
3 1 2
0.3
2E
第2章 压力容器应力分析
郑州大学化工与能源学院
过程设备设计
2.2.5 回转薄壳的不连续分析
图2-12 组合壳
图2-13 连接边缘的变形
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2.2.5 回转薄壳的不连续分析
w1 w2
1 2
Q M 0 w1p w1 0 w1M 0 w2p wQ2 w2 0 Q M 1p 1Q 1M 2p 2 2
图2-11 储存液体的球壳
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2.2.4 无力矩理论的应用
三、无力矩理论的 应用条件 为保证回转薄壳处于薄膜状态，壳体形状、 加载方式及支承一般应满足如下条件： 1、几何形状、载荷、材料连续； 2、壳体的边界处不受横向剪力、弯矩和扭 矩作用。 3、壳体的边界处的约束沿经线的切线方向， 不得限制边界处的扭角与挠度。
第2章 压力容器应力分析
第2.2节
回转薄壳应力分析
过程设备设计
第2-2节 回转薄壳应力分析
压力容器的各种壳体，多属于回转薄壳。 壳体—以两个曲面为界，且曲面之间的距 离远比其他方向尺寸小得多的构件。 壳体的厚度—两曲面之间的距离，用“t或 δ”表示。 壳体的中面—与壳体内、外两个曲面等距 离的曲面。
过程设备设计
第2章
压力容器应力分析
第2章 压力容器应力分析
第2.1节 载荷分析
过程设备设计
第2-1节 载荷分析
载荷：能够在压力容器上产生应力、 应变的 因素，如：压力、风载荷、地震载荷等。 2.1.1 载荷分类：压力载荷和非压力载荷。 1、压力载荷：它是压力容器承受的基本载荷。 一般采用表压。 压力容器中的压力载荷主要来源有： ①泵或压缩机； ②液体膨胀或汽化； ③饱和蒸汽压。 (另外，液体重量产生液体静压力) 压力容器上的压力，可能是内压、外压或两 者都有。
第二章压力容器应力分析
《过程设备设计基础》教案2—压力容器应力分析课程名称：过程设备设计基础专业：过程装备与控制工程任课教师：第2章 压力容器应力分析§2-1 回转薄壳应力分析一、回转薄壳的概念薄壳：（t/R ）≤0.1 R----中间面曲率半径 薄壁圆筒：（D 0/D i ）max ≤1.1~1.2 二、薄壁圆筒的应力图2-1、图2-2 材料力学的“截面法”三、回转薄壳的无力矩理论1、回转薄壳的几何要素（1）回转曲面、回转壳体、中间面、壳体厚度 * 对于薄壳，可用中间面表示壳体的几何特性。
tpD td pR tpD Dt D p i 22sin 24422====⨯⎰θπθϕϕσσαασπσπ（2）母线、经线、法线、纬线、平行圆（3）第一曲率半径R1、第二曲率半径R2、平行圆半径r（4）周向坐标和经向坐标2、无力矩理论和有力矩理论（1）轴对称问题轴对称几何形状----回转壳体载荷----气压或液压应力和变形----对称于回转轴（2）无力矩理论和有力矩理论a、外力（载荷）----主要指沿壳体表面连续分布的、垂直于壳体表面的压力，如气压、液压等。
P Z= P Z（φ）b、内力薄膜内力----Nφ、Nθ（沿壳体厚度均匀分布）弯曲内力---- Qφ、Mφ、Mθ（沿壳体厚度非均匀分布）c、无力矩理论和有力矩理论有力矩理论（弯曲理论）----考虑上述全部内力无力矩理论（薄膜理论）----略去弯曲内力，只考虑薄膜内力●在壳体很薄，形状和载荷连续的情况下，弯曲应力和薄膜应力相比很小，可以忽略，即可采用无力矩理论。
●无力矩理论是一种近似理论，采用无力矩理论可是壳地应力分析大为简化，薄壁容器的应力分析和计算均以无力矩理论为基础。
在无力矩状态下，应力沿厚度均匀分布，壳体材料强度可以得到合理的利用，是最理想的应力状态。
（3）无力矩理论的基本方程a、无力矩理论的基本假设小位移假设----壳体受载后，壳体中各点的位移远小于壁厚。
考虑变形后的平衡状态时壳用变形前的尺寸代替变形后的尺寸直法线假设----变形前垂直于中面的直线变形后仍为直线，且垂直于变形后的中面。
压力容器应力分析
εθ = [σθ − µ(σr +σz )]
dεθ 1+µ = (σr −σθ )L< 4 > dr rE dεθ 1 dσθ dσr = ( −µ )L<5 > dr E dr dr
1 E
d2σr dσ 综合<1>～<5>式求得 r ⋅ 2 +3 r = 0 dr dr B B σr = A− 2 σθ = A+ 2 解得 r r
∴
p
d1 l dl 又 R= 1 Q1 dϕ
δ
=
σϕ
2
sin
ϕ ⋅d +
σθ
d2 l
2
=
2
⋅d θ
dl2 R2 = dθ
∴
σϕ
R 1
+
σθ
R 2
=
δ
p
微元平衡方程
4.薄膜理论的应用 4.薄膜理论的应用
c = 2 σϕ = 两个基本方程： 两个基本方程： 区域平衡方程 2 ⋅sin ϕ 2 δ δ
pr
A点 点
R1=∞ R2=R
R1=R2=R
R1=∞ R2=R／cosα
2.两个基本假设 2.两个基本假设
直法线假设： 直法线假设：壳体在变形前垂直于中间面的直线段， 在变形后仍保持直线并垂直于变形后的中间面，且 直线长度不变。由此假设，沿厚度各点的法向位移 相同，变形前后壳体厚度不变。 。 互不挤压假设： 互不挤压假设：壳体各层纤维变形后均互不挤压， 由此假设壳壁的法向应力与壳体其它应力分量相比 是可以忽略的小量。
承受均匀压力的厚壁圆筒弹性应力分布
仅受内压时应力分布规律： （1）σz σθ 为正， σr 为负
压力容器应力分析
载荷
2.1.1 载荷
压力（包括内压、外压和液体静压力）
非压力载荷 载荷
重力载荷 风载荷 地震载荷 运输载荷 波动载荷 管系载荷 支座反力 吊装力
整体载荷 局部载荷
压力容器
应力、应变的变化
上述载荷中，有的是大小和/或方向随时间变化的交 变载荷，有的是大小和方向基本上不随时间变化的静载荷
压力容器交变载荷的典型实例：
分析载荷作用下压力容器的应力和变形， 是压力容器设计的重要理论基础。
●2.1 载荷分析
2.1.1 载荷 2.1.2 载荷工 况
●2.2 回转薄壳应力分析
●2.3 厚壁圆筒应力分析 ●2.4 平板应力分析 ●2.5 壳体的稳定性分析 ●2.6 典型局部应力
2.2.1 薄壳圆筒的应力 2.2.2 回转薄壳的无力矩理论 2.2.3 无力矩理论的基本方程 2.2.4 无力矩理论的应用 2.2.5 回转薄壳的不连续分析
a.正常操作工况：
容器正常操作时的载荷包括：设计压力、液体静压力、重力 载荷(包括隔热材料、衬里、内件、物料、平台、梯子、管 系及支承在容器上的其他设备重量)、风载荷和地震载荷及 其他操作时容器所承受的载荷。
b. 特殊载荷工况
特殊载荷工况包括压力试验、开停工及检修等工况。 制造完工的容器在制造厂进行压力试验时，载荷一般包括试 验压力、容器自身的重量。
有力矩理论或 弯曲理论 （静不定）
无力矩理论所讨论的问题都是围绕着中面进行的。 因壁很薄，沿壁厚方向的应力与其它应力相比很小， 其它应力不随厚度而变，因此中面上的应力和变形可 以代表薄壳的应力和变形。
二、无力矩理论与有力矩理论 平行圆
j
j
jq
Nq
q
qj
压力容器应力分析
第二章压力容器应力分析Str ess Analy si s o f Pr essur e V essel s容器设计的核心问题是研究容器在各种机械载荷与热载荷作用下，有效地限制变形和抵抗破坏的能力。
因此，容器设计的理论基础就是对容器进行充分的应力和变形分析。
2．1载荷分析L oadin g An aly si s2.1.1 载荷 L oadin g（１）压力是压力容器承受的基本载荷（２）非压力载荷分整体载荷与局部载荷：整体载荷是作用于整台容器上的载荷，重力，风，地震，局部载荷是作用与容器局部区域上的载荷，管系载荷，支座反力，吊装力等．［１］重力载荷 Gravi ty［２］风载荷 Wi ndi ng［３］地震载荷 Earth qu ake［４］运输载荷 Tran sport［５］波动载荷 Un dul ate［６］管系载荷 pi pi ng（３）交变载荷2.1.2载荷工况 L oa d State(1) 正常操作工况(2) 特殊载荷工况压力试验 ,开停车及检修(3) 意外载荷工况突然停车,化学爆炸,2.2回转薄壳应力分析 Stress Analysis of Revolution Shells壳体：一种以两个曲面为界，且曲面之间距离远比其它方向尺寸小得多的构件。
壳体的中面：与壳体两曲面等距离的点所组成的曲面。
回转壳：其中面由一条平面曲线或直线绕同平面内的轴线回转而成的壳体。
壳体的厚度：二曲面之间的距离。
薄壳：厚度t/中面曲半径R 的比值101≤为薄壳，反之为厚壳。
在薄壳应力分析中，采用弹性力学薄壳理论。
几个假设：材料连续、均匀、各向同性，小变形，各层间不挤压。
受载后的变形是小变形： 壳壁各层纤维在变形后互不挤压：2.2.1薄壁圆筒的应力 Stress in Thin －ｗalled Cylinders薄壁圆筒在内压P 作用下，产生三个方向的应力 轴向应力Φσ, 周向应力θσ, 径向应力r σ 故任一点的应力状态为二向的..求解θσσ,Φ: 采用材料力学中，“截面法”保留右边，如下图（a ）根据力的平衡：内P 作用在封头上产生向右的轴向外力 24DiP π⋅在筒壁上向左的轴向内力为 Φ⋅⋅σπDt 对薄壳：D Di ≈ 故Φ=⋅σππDt DP 24得：tPD 4=Φσ取1单位长圆环，过y 轴，作上χ轴的平面，将圆环截成两半，取右半如上图（b ）。
第二章压力容器应力分析24
dw ?
dr
?
dd2rw2 ????
过程设备设计
（2-57）
17
2.4.2 圆平板对称弯曲微分方程
过程设备设计
通过圆板截面上弯矩与应力的关系，将弯矩Mr 和 M? 表
示成 ? 的形式。由式（2-57）可见，? r 和? ? 沿着厚度（即
?
dw ??
dr
，带入以上两式，
过程设备设计
应变与挠度关系 的几何方程
?r
?
?
z
d2 dr
w
2
??
?
?
z dw r dr
（2-55）
15
2.4.2 圆平板对称弯曲微分方程
过程设备设计
（3）物理方程
根据第3个假设，圆平板弯曲后，其上任意一点均处于两向应力 状态。由广义虎克定律可得圆板物理方程为
?r
?
类同于梁的平面假设:变形前原为平面的梁的横截面变形后仍 保持为平面，且仍然垂直于变形后的梁轴线。
③平行于中面的各层材料互不挤压，即板内垂直于板面的正应 力较小，可忽略不计。
8
过程设备设计
2.4.2 圆平板对称弯曲微分方程
分析模型
pz
t/2 t/2
z
a.
R
d?
r
r+dr
r
d?
o y
z
d?
Qr+
dQr dr
dr
P M?
Mr+
dMr dr
dr
r
Mr M?
t
Qr dr
c.
P M?
Qr+
dQr dr
dr
r
Mr
Mr+
压力容器应力分析[2]
![压力容器应力分析[2]](https://img.taocdn.com/s3/m/a9100343941ea76e59fa04a1.png)
物理方程
xE 1[x t (y t z t) ] t
yE 1[y t (x t z t) ] t
zE 1[z t (x t y t) ] t
几何方程与平衡方程与推导拉美公式时相同
热应力分布： 表2-2
（3） 结论分析
压力容器应力分析[2]
2.2 厚壁圆筒应力分析
热应力分布规律：
（1）σ与Δt成正比 （2）σ沿厚度方向变化，σtr在内外壁处均为0 （3）内压与温差同时作用时 内加热 内壁改善，外壁恶化
薄膜应力是只有拉（压）应力，没有弯曲正应力的一 种二向应力状态，因而薄膜应力又称为“无力矩理论”。
除了薄膜内力外，还考虑弯曲内力（因中面的曲率、 扭率改变而产生的横向力、弯矩和扭矩），对壳体进行应 力分析，这种理论称为“有力矩理论”。
无力矩理论适用的范围：
薄壁壳体 回转壳体曲面在几何上是轴对称的，器壁壁厚无突变，曲率 半径连续变化，材料均匀连续且各向同性 载荷分布是轴对称和连续的，薄膜理论不适用于有应力集中 处或存在边缘力和边缘弯矩的壳体边缘处
背景知识
1.工艺设计，确定设计参数如压力、温度、内径等；
2.结构设计，确定容器零部件的结构型式；
3.强度计算，根据设计参数确定合适的容器厚度。
➢ 设计方法：
常规设计强度判据：第一强度理论 σ1≤ [σ]
其中σ1为器壁3个主应力中最大值，若求σ1，必须对容器 的器壁进行应力分析，求出其与容器压力、内径和厚度 等参数的关系表达式。
2.1 回转薄壳应力分析
（2）周向应力σθ （hoop stress）
由3对截面截取小单元体：壳体的内外表面，两 个相邻的夹角为dθ的经线平面，两个相邻的和壳 体中面正交的锥面。
假设ab=cd=dl1 bc=ad=dl2
压力容器应力分析
21
N s j (t rdq )
Nq s q (t R1dj)
图2-5 微元体
22
图2-5 微元体
23
二、微元平衡方程（图2-5）
由图2.5c，经向内力在法线上的分量为：
N
sin
d
2
( N
dN
) sin
d
2
N s j (t rdq )
sin d d 22
r R2 sin
壳体无力矩理论在工程壳体结构分析中占有重要 地位。
20
2.4 无力矩理论的基本方程
一、壳体微元及其内力分量 微元体： a b c d
经线ab弧长： dl1 R1dj
截线bd长： dl2 rdq
微元体abdc的面积： dA R1rdjdq
压力载荷： p p(j)
微元截面上内力：
Nj Nq ）
a.压力载荷：均布于容器壳体; b.机械载荷：重力、支座反力、管道的推力等; c.热载荷.
4
(2) 应力分析的方法 解析法或数值法:
即以弹性、塑性等板壳理论为基础的精确 数学解或有限元法等数值解。 实验应力分析法：
包括电测法和光弹性法。对于复杂几何形 状或受载条件的实际容器，它是一种有效的应 力分析方法，也是验证解析解或数值计算结果 的重要途径。
母线
回转轴
R1 O O1
A R2
第一曲率半径
第二曲率半径
16
K1 O'
R1 R2
平行圆
K2
A'
A x
j
θr
z
B
yξ
经线 O
K1
K2 x
j
r
z
R1
R
过程设备设计第二章【压力容器应力分析】2.2【厚壁圆筒应力分析】
仅受外压 pi=0 任意半径 r 内壁处 r=Ri 处
2 po K 2 1 Ri 2 K 2 1 r
外壁处 r=Ro
po
K 2 1 po 2 K 1
r
pi
pi
0
2 pi 2 K 1
0
2 Ro 1 2 2 K 1 r
2 ln K r K r 1 Et t 径向热应力 r 2 21 ln K K 1 Et 1 2 ln K r 2 t 轴向热应力 z 2 21 ln K K 1
2.3 厚壁圆筒应力分析
2.3 厚壁圆筒应力分析
一、压力载荷引起的弹性应力 1、轴向（经向）应力 对两端封闭的圆筒，横截面在变形后仍保持平面。所以，
假设轴向应力沿壁厚方向均匀分布，得：
Ri2 pi R02 p0 pi Ri2 p0 R02 z 2 2 2 R0 Ri R0 Ri2
＝ A （2-25）
t
筒体内外壁的温差， t t i t 0
R0 Ri
R0 r
K ——筒体的外半径与内半径之比 K
Kr——筒体的外半径与任意半径之比， K r
厚壁圆筒各处的热应力见表2-2， Et 表中 Pt 21
厚壁圆筒中热应力分布如图2-20所示。
2.3 厚壁圆筒应力分析
表2-2 厚壁圆筒中的热应力
（2－33）
2.3 厚壁圆筒应力分析
边界条件为：当 r Ri 时， r pi ； 当 r R0 时， r p0 。
2 pi Ri2 p0 R0 A 2 R0 Ri2
由此得积分常数A和B为：
压力容器应力分析
2.2 回转薄壳应力分析 2.2.2 回转薄壳的无力矩理论（续） 回转薄壳的无力矩理论（
K1
O'
R1
K1 K2
x r
R1
R2
z
K2
θ
A'
A x y
R2
ϕ z
r O B
ϕ
ξ
平行圆
经线
a.
b.
图2-3 回转薄壳的几何要素
同一点的第一与第二主曲率半径都在该点的法线上。 同一点的第一与第二主曲率半径都在该点的法线上。 曲率半径的符号判别：曲率半径指向回转轴时，其值为正，反之为负。 曲率半径的符号判别：曲率半径指向回转轴时，其值为正，反之为负。 r 与 R1 、 R2 的 关 系 ： ϕ r=R2sin
●2.1 载荷分析
2.1.1 载荷 2.1.2 载荷工 况 2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.2.4 2.2.5 薄壳圆筒的应力 回转薄壳的无力矩理论 无力矩理论的基本方程 无力矩理论的应用 回转薄壳的不连续分析
●2.2 回转薄壳应力分析
●2.3 厚壁圆筒应力分析 ●2.4 平板应力分析 ●2.5 壳体的稳定性分析 ●2.6 典型局部应力
无力矩理论所讨论的问题都是围绕着中面 进行的 无力矩理论所讨论的问题都是围绕着 中面进行的 。 中面 进行的。 因壁很薄，沿壁厚方向的应力与其它应力相比很小， 因壁很薄，沿壁厚方向的应力与其它应力相比很小， 其它应力不随厚度而变，因此中面上的应力和变形可 其它应力不随厚度而变，因此中面上的应力和变形可 以代表薄壳的应力和变形。
σθ
（2-3） ）
■微元平衡方程，又称拉普拉斯方程。 微元平衡方程，又称拉普拉斯方程 拉普拉斯方程。
2.2 回转薄壳应力分析 2.2.3 无力矩理论的基本方程 三、区域平衡方程（图2-6） 区域平衡方程（
2 压力容器应力分析2
19
圆平板：若板很厚，可假设连接处没有位移和转角， 圆平板：若板很厚，可假设连接处没有位移和转角，即
w1p = w1Q0 = w1M 0 = 0
ϕ 1p = ϕ 1Q = ϕ 1M = 0
0 0
圆柱壳：边缘力和边缘力矩引起的变形可按式（ 圆柱壳：边缘力和边缘力矩引起的变形可按式（2-23）计算。 ）计算。 内压p引起的变形为 内压 引起的变形为
0 0 0 0
有力矩理论
（静不定） 静不定）
边缘力 Q0 和 边缘力矩 M 0
边缘内力 （ N ϕ , N θ , M ϕ , M θ , Qϕ ）
应 力 σ ϕQ 0 , M 0 , σ θQ 0 , M
0
以图2-13（c）和(d)所示左半部分圆筒为对象， （ ） 所示左半部分圆筒为对象， 以图 所示左半部分圆筒为对象 径向位移w以向外为负，转角以逆时针为正。 径向位移 以向外为负，转角以逆时针为正。 以向外为负
4
(2-19)
浙江大学承压设备研究室
11
2、求微分方程的解 齐次方程(2-19)通解为： 通解为： 齐次方程 通解为
w = e βx (C1 cos βx + C 2 sin βx) + e − βx (C 3 cos βx + C 4 sin βx) (2-20)
式中C 为积分常数，由圆柱壳两端边界条件确定。 式中 1、C2、C3和C4为积分常数，由圆柱壳两端边界条件确定。 当圆柱壳足够长时，随着 的增加 的增加， 当圆柱壳足够长时，随着x的增加，弯曲变形逐渐衰减以至消 项为零，亦即要求C 失，因此式(2-20)中含有 e β x 项为零，亦即要求 1＝C2＝0， 因此式 中含有 ， 于是式(2-20)可写成： 可写成： 于是式 可写成
02_压力容器应力分析_无力矩理论基本方程.pdf
（ P25，图2-3 ）
2.2 回转薄壳应力分析 2.2.1 引言
纬线：以法线作母线绕回转轴回 转一周所形成的圆锥法截面与中 间面的交线，称为纬线。其圆锥 法截面也称为纬线平面。 第二曲率半径R2 ：过经线上一点 B作一个垂直于过B点经线的平面， 该平面与中间面相交所得交线， 称此交线在B点的曲率半径为第二 曲率半径R2 。由微分几何知，第 二曲率半径的曲率中心K2 一定落 在旋转轴上。 平行圆：垂直于回转轴的平面与 中间面的交线，其轨迹与纬线相 同。平行圆半径为 r。
2.2 回转薄壳应力分析 2.2.2 无力矩理论基本方程
将上述各式代入(2-2)式中，略去高阶无穷小，并
注意到：
d d sin , 2 2
r R2 sin
最终可得到，
p R1 R2 t
(2 3)
(2-3) 式称为微元平衡方程，亦称Laplace方程。
2.2 回转薄壳应力分析 2.2.2 无力矩理论基本方程
2.1 概述
解析方法：即以弹性、塑性等板壳理论为基础 的精确数学解；实验方法：采用电测法、光弹性法 等；数值方法：基于应力分析理论基础上的有限元
法、差分法等。本章的应力分析是采用解析方法。
2.1 概述
（3）压力容器的结构特点 基本上是由球形、圆筒形壳体和椭球形、锥形、 平板等封头组成，因此化工容器多数是旋转壳体，由 旋转曲面组成，在垂直于对称轴的截面上的投影都是 正圆形。 （4）本章讨论的对象 承受压力：中低内压力(0.1MPa～10MPa)；壁厚： 薄壁(径比K≤1.2)；结构：回转壳体。 可称为：中低(内)压薄壁容器应力分析
2.2 回转薄壳应力分析 2.2.1 引言
平面曲线上任意一点的曲率半径，是用来描述 该点处曲线弯曲变化的程度，即表明曲线偏离直线 的程度，曲率半径的倒数为曲率。
第二章压力容器应力分析2.1-2.2
第二章 压力容器应力分析
CHAPTER Ⅱ STRESS ANALYSIS OF PRESSURE VESSELS
1
压力容器 载荷
过程设备设计
应力、应变 强度、刚度
校核
2
本章主要内容
2.1 载荷分析 2.1.1 载荷 2.1.2 载荷工况
2.2 回转薄壳应力分析 2.2.1 薄壁圆筒的应力 2.2.2 回转薄壳的无力矩理论 2.2.3 无力矩理论的基本方程 2.2.4 无力矩理论的应用 2.2.5 回转薄壳的不连续分析
经线平面与中面的交线。 垂直于回转轴的平面与中面的交线称为平行圆。
35
2.2 回转薄壳应力分析
过程设备设计
法线：
过中面上的点且垂直于中面的直线称为中面在该点 的法线。法线必与回转轴相交。
第一主曲率 半径R1：
经线上点的曲率半径。
第二主曲率 半径R2：
垂直于经线的平面与中面交线上点的曲率 半径。
等于考察点B到该点法线与回转轴交点K2之 间长度（K2B）
30
2.2 回转薄壳应力分析
过程设备设计
B点受力分析
B点
内压P
轴向：经向应力或轴向应力σφ 圆周的切线方向：周向应力或环向应力σθ 壁厚方向：径向应力σr
σθ 、σφ ＞＞σr 三向应力状态
二向应力状态
31
2.2 回转薄壳应力分析
截面法
s
j
t
y
s
q
过程设备设计
Di
p
p
x
s
j
s
q
(a)
(b)
图2-2 薄壁圆筒在压力作用下的力平衡
过程设备设计
6
2.1 载荷分析
CHAPTER Ⅱ STRESS ANALYSIS OF PRESSURE VESSELS
1
压力容器 载荷
过程设备设计
应力、应变 强度、刚度
校核
2
本章主要内容
2.1 载荷分析 2.1.1 载荷 2.1.2 载荷工况
2.2 回转薄壳应力分析 2.2.1 薄壁圆筒的应力 2.2.2 回转薄壳的无力矩理论 2.2.3 无力矩理论的基本方程 2.2.4 无力矩理论的应用 2.2.5 回转薄壳的不连续分析
经线平面与中面的交线。 垂直于回转轴的平面与中面的交线称为平行圆。
35
2.2 回转薄壳应力分析
过程设备设计
法线：
过中面上的点且垂直于中面的直线称为中面在该点 的法线。法线必与回转轴相交。
第一主曲率 半径R1：
经线上点的曲率半径。
第二主曲率 半径R2：
垂直于经线的平面与中面交线上点的曲率 半径。
等于考察点B到该点法线与回转轴交点K2之 间长度（K2B）
30
2.2 回转薄壳应力分析
过程设备设计
B点受力分析
B点
内压P
轴向：经向应力或轴向应力σφ 圆周的切线方向：周向应力或环向应力σθ 壁厚方向：径向应力σr
σθ 、σφ ＞＞σr 三向应力状态
二向应力状态
31
2.2 回转薄壳应力分析
截面法
s
j
t
y
s
q
过程设备设计
Di
p
p
x
s
j
s
q
(a)
(b)
图2-2 薄壁圆筒在压力作用下的力平衡
过程设备设计
6
2.1 载荷分析
2、压力容器应力分析
线与平行圆走同一个圆；
r——平行圆半径； R1（经线在B点的曲率半径）——第一曲率半径； R2（与经线在B点处的切线相垂直的平面截交回转曲面得一平面曲线，该
平面曲线在B点的曲率半径）——第二曲率半径，R2=r/sinφ 考虑 壁厚，含纬线的正交圆锥面能截出真实壁厚，含 平行圆的横截面不能截出真实壁厚。
24
b. 球形壳体
压力容器应力分析
任一点M：p=ρgR(1-cosφ)
注：充满液体
25
经推导得：
gR 2
6t
(1 2 cos2 ) 1 cos
gR 2
6t
(5 6 cos 2 cos2 ) 1 cos
gR 2
6t
(5 2 cos2 ) 1 cos
t
gx
, 则
(0 gx)R
t
注：容器上方是封闭的
23
p0
t
R
σφ
σφ
径向朝外的p0相互抵消，产生σθ而与σφ无关，朝下的p0由筒底承担， 筒底将力又传给支座和基础，朝上的p0与σφ相平衡：
2πRtσφ=πR2p0
则
p0R 2t
若容器上方是开口的，或无气体压力（p0=0）时，σφ=0
薄壁圆筒 厚壁圆筒
Do/Di≤1.1 Do/Di>1.1
压力容器应力分析 t——壳体厚度 R——中间面曲率半径
Do——圆筒外径 Di——圆筒内径
3
2.1.1 薄壁圆筒的应力
压力容器应力分析
σφ ——经向应力（轴向应力）；σθ——环向应力（周向应力）σr— —径向应力，很小、忽略
4
压力容器应力分析
r——平行圆半径； R1（经线在B点的曲率半径）——第一曲率半径； R2（与经线在B点处的切线相垂直的平面截交回转曲面得一平面曲线，该
平面曲线在B点的曲率半径）——第二曲率半径，R2=r/sinφ 考虑 壁厚，含纬线的正交圆锥面能截出真实壁厚，含 平行圆的横截面不能截出真实壁厚。
24
b. 球形壳体
压力容器应力分析
任一点M：p=ρgR(1-cosφ)
注：充满液体
25
经推导得：
gR 2
6t
(1 2 cos2 ) 1 cos
gR 2
6t
(5 6 cos 2 cos2 ) 1 cos
gR 2
6t
(5 2 cos2 ) 1 cos
t
gx
, 则
(0 gx)R
t
注：容器上方是封闭的
23
p0
t
R
σφ
σφ
径向朝外的p0相互抵消，产生σθ而与σφ无关，朝下的p0由筒底承担， 筒底将力又传给支座和基础，朝上的p0与σφ相平衡：
2πRtσφ=πR2p0
则
p0R 2t
若容器上方是开口的，或无气体压力（p0=0）时，σφ=0
薄壁圆筒 厚壁圆筒
Do/Di≤1.1 Do/Di>1.1
压力容器应力分析 t——壳体厚度 R——中间面曲率半径
Do——圆筒外径 Di——圆筒内径
3
2.1.1 薄壁圆筒的应力
压力容器应力分析
σφ ——经向应力（轴向应力）；σθ——环向应力（周向应力）σr— —径向应力，很小、忽略
4
压力容器应力分析
压力容器应力分析
由于总体结构不连续，组合壳在连接处附近的局 部区域出现衰减很快的应力增大现象，称为“不连续 效应”或“边缘效应”。由此引起的局部应力称为 “不连续应力”或“边缘应力”。
影响因素：结构、厚度、载荷、温度和材料
2.不连续应力的基本分析方法
薄膜解： 一次应力 外载荷 有矩解： 二次应力 边缘力和边缘弯矩
3.不连续应力的特点
Δσ是以Pa为假想载荷，按弹性规律确定的应力值。
c. 内压Pi作用下产生的应力
合成应力： b和c项的叠加
例题：一自增强厚壁圆筒，承受内压p＝250MPa．圆筒内
外直径Di＝300mm，Do＝500mm，材料为Ni-Cr-Mo高强度 钢，σs＝750MPa， σb＝900MPa，试求：(1)按Mises屈 服条件，计算当Rc＝200mm时的自增强压力pf；(2)在内 压p作用后Rc处的环向合成应力。
(
d )
dr
d
dr
(r )d rd
rd
r
d
dr
1 r
(
r
) 2
物理方程（应力与应变）
r
1 E
[ r
(
z )]
1 E
[
( r
z )]
r
1 E
( r
预应力：内层 残余压应力
+ 外层 残余拉应力
工作压力下引起的应力
合成应力
（均化了沿壁厚的应力分布）
自增强压力计算（通常按Mises屈服条件确定）
pa
s
3
(1
影响因素：结构、厚度、载荷、温度和材料
2.不连续应力的基本分析方法
薄膜解： 一次应力 外载荷 有矩解： 二次应力 边缘力和边缘弯矩
3.不连续应力的特点
Δσ是以Pa为假想载荷，按弹性规律确定的应力值。
c. 内压Pi作用下产生的应力
合成应力： b和c项的叠加
例题：一自增强厚壁圆筒，承受内压p＝250MPa．圆筒内
外直径Di＝300mm，Do＝500mm，材料为Ni-Cr-Mo高强度 钢，σs＝750MPa， σb＝900MPa，试求：(1)按Mises屈 服条件，计算当Rc＝200mm时的自增强压力pf；(2)在内 压p作用后Rc处的环向合成应力。
(
d )
dr
d
dr
(r )d rd
rd
r
d
dr
1 r
(
r
) 2
物理方程（应力与应变）
r
1 E
[ r
(
z )]
1 E
[
( r
z )]
r
1 E
( r
预应力：内层 残余压应力
+ 外层 残余拉应力
工作压力下引起的应力
合成应力
（均化了沿壁厚的应力分布）
自增强压力计算（通常按Mises屈服条件确定）
pa
s
3
(1
2压力容器应力分析1
23
讨论
1、材料种类对回转薄壳无力矩理论有没有影响？ 2、在微元截取时，能否用两个相邻的垂直于轴线的横 截面代替教材中与经线垂直、同壳体正交的圆锥面？ 3、薄壁回转壳体在均匀内压作用下，中面上任意点的 变形有什么特征？ 4、为什么圆柱和球可以采用材料力学中的截面法求应 力，而一般壳体却不能？
24
2.1 回转薄壳应力分析 2.1.4 无力矩理论的应用 ◇分析几种工程中典型回转薄壳的薄膜应力： 球形薄壳 承受气体内压的回转薄壳 薄壁圆筒 锥形壳体 椭球形壳体 储存液体的回转薄壳 圆筒形壳体 球形壳体
图2-9 椭球壳中的应力随长轴与短轴之比的变化规律
33
2.1 回转薄壳应力分析 2.1.4 无力矩理论的应用 从式（2-10）可以看出：
①椭球壳上各点的应力是不等的，它与各点的坐标有关。
在壳体顶点处（x＝0，y＝b） 2 a2 pa R1＝R2＝ ， s s j q b 2bt ②椭球壳应力与内压p、壁厚t有关，与长轴与短轴 之比a／b有关 a＝b时，椭球壳 a／b 球壳，最大应力为圆筒壳中 sq 的一半， ，如图2-9所示。
6
c.意外载荷工况
紧急状况下容器的快速启动或突然停车、容器内发 生化学爆炸、容器周围的设备发生燃烧或爆炸等意 外情况下，容器会受到爆炸载荷、热冲击等意外载 荷的作用。
7
2.2 回转薄壳应力分析 概念 壳体： 以两个曲面为界，且曲面之间的距离远比其它方向
尺寸小得多的构件。
壳体中面： 与壳体两个曲面等距离的点所组成的曲面。
微元体：
abcd
经线ab弧长：
截线bd长：
dl1 R1dj
dl2 rdq
微元体abdc的面积：
压力载荷：
dA R1rdjdq
讨论
1、材料种类对回转薄壳无力矩理论有没有影响？ 2、在微元截取时，能否用两个相邻的垂直于轴线的横 截面代替教材中与经线垂直、同壳体正交的圆锥面？ 3、薄壁回转壳体在均匀内压作用下，中面上任意点的 变形有什么特征？ 4、为什么圆柱和球可以采用材料力学中的截面法求应 力，而一般壳体却不能？
24
2.1 回转薄壳应力分析 2.1.4 无力矩理论的应用 ◇分析几种工程中典型回转薄壳的薄膜应力： 球形薄壳 承受气体内压的回转薄壳 薄壁圆筒 锥形壳体 椭球形壳体 储存液体的回转薄壳 圆筒形壳体 球形壳体
图2-9 椭球壳中的应力随长轴与短轴之比的变化规律
33
2.1 回转薄壳应力分析 2.1.4 无力矩理论的应用 从式（2-10）可以看出：
①椭球壳上各点的应力是不等的，它与各点的坐标有关。
在壳体顶点处（x＝0，y＝b） 2 a2 pa R1＝R2＝ ， s s j q b 2bt ②椭球壳应力与内压p、壁厚t有关，与长轴与短轴 之比a／b有关 a＝b时，椭球壳 a／b 球壳，最大应力为圆筒壳中 sq 的一半， ，如图2-9所示。
6
c.意外载荷工况
紧急状况下容器的快速启动或突然停车、容器内发 生化学爆炸、容器周围的设备发生燃烧或爆炸等意 外情况下，容器会受到爆炸载荷、热冲击等意外载 荷的作用。
7
2.2 回转薄壳应力分析 概念 壳体： 以两个曲面为界，且曲面之间的距离远比其它方向
尺寸小得多的构件。
壳体中面： 与壳体两个曲面等距离的点所组成的曲面。
微元体：
abcd
经线ab弧长：
截线bd长：
dl1 R1dj
dl2 rdq
微元体abdc的面积：
压力载荷：
dA R1rdjdq
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2.2.4 无力矩理论的应用
3、锥形薄壳:
R1=∞ R2= xtgα =r/cosα
pxtg pr 2t 2t cos pR2 pxtg pr t t t cos
(2 9)
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2.2.2 回转薄壳的无力矩理论
二、无力矩理论与有力矩理论 像所有承载的弹性体一样，在承载壳体内部， 由于变形，其内部各点均会发生相对位移，因而产 生相互作用力，即内力。 如图2-4所 示，在一般情 况下，壳体中 面上存在以下 十个内力分量：
图2-4 壳体中的内力分量
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一是壳体内外壁表面； 二是两个相邻的经线 表面； 三是两个相邻的与经 线垂直、同壳体正交的 圆锥面。
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2.2.3 无力矩理论的基本方程
二、微元平衡方程 作微元体法线方向的力平衡,得:
tR2 sin d d ＋ σ tR1 d d sin
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2.2.3 无力矩理论的基本方程
内力和外力相平衡，有：
V 2 prdr 2 rm t cos
0
rm
—壳体的区域平衡方程式。
p R1 R2 t V 2 rm prdr 2 r t cos m 0
第2.2节 回转薄壳应力分析
第2.2.3节
无力矩理论的基本方程
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2.2.3 无力矩理论的基本方程
一、壳体微元及其内力分量 在受压壳体上任一点取一微元体abcd ，如图 2-5（a）所示。
图 2-5 微元体的力平衡
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2.2.3 无力矩理论的基本方程
微元体abcd ，它由下列三对截面构成：
4 2 2 2 1
y ''
a
4
x a b a 4b
2 2
2
3
2
(2 10)
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2.2.4 无力矩理论的应用
图2-9 椭球壳中的应力随长轴与短轴之比的变化规律
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2.2.4 无力矩理论的应用
第2.2节 回转薄壳应力分析
第2.2.2节
回转薄壳的无力矩理论
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2.2.2 回转薄壳的无力矩理论
一、回转薄壳的几何要素
图2-3 回转薄壳的几何要素
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2.2.2 回转薄壳的无力矩理论
回转薄壳—中面由一条平面曲线或直线绕 同平面内的轴线旋转3600而成的薄壳。 母线—绕轴线回转形成中面的平面曲线或直 线。如图中的OA线。 极点—中面与回转轴的交点。 经线平面—通过回转轴的平面。 经线—经线平面与中面的交线。如OA′。
结论 ： ①椭球壳上各点的应力是不等的； ②应力的大小与p、t、a/b及位臵有关； ③ςφ 恒为正值， ςθ 随a/b之比可能为正、 零、负值。 ④工程上常用标准椭圆形封头（a/b=2）。
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2.2.4 无力矩理论的应用
二、储存液体的回转薄壳 1、圆筒形壳体：
p p0 gx
无力矩理论所讨论的问题都是围绕着中面 进行的，中面上的应力和变形可以代表薄壳的 应力和变形。 本书中就以中面代替回转壳体。 无力矩应力状态，只是可能的应力状态之一。 无力矩状态时，应力沿壁厚均匀分布，壳体材 料强度可以合理利用，是最理想的应力状态， 在工程分析中占有非常重要的作用。
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2.2.4 无力矩理论的应用
4、椭球形壳体： x2 y2 2 1 2 a b
1 y R
1
32 ' 2
x a x a b 2 R2 sin b 1 4 2 2 2 2 pR2 p a x a b 2t 2t b 1 4 2 2 2 2 p a x a b a4 2 4 2 2 2 2t b a x a b
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第2.2节 回转薄壳应力分析
第2.2.5节
回转薄壳的不连续分析
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2.2.5 回转薄壳的不连续分析
一、不连续效应与不连续分析的基本方法 1、不连续效应 由于总体结构不连续，组合壳体在连接处 附近的局部区域出现应力值很大但衰减很快现 象称为“不连续效应”或“边缘效应”。 由此引起的局部应力称为“不连续应力” 或“边缘应力”。 分析组合壳体不连续应力的方法，在工程 上称为“不连续分析”。
图2-11 储存液体的球壳
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2.2.4 无力矩理论的应用
三、无力矩理论的 应用条件 为保证回转薄壳处于薄膜状态，壳体形状、 加载方式及支承一般应满足如下条件： 1、几何形状、载荷、材料连续； 2、壳体的边界处不受横向剪力、弯矩和扭 矩作用。 3、壳体的边界处的约束沿经线的切线方向， 不得限制边界处的扭角与挠度。
—无力矩理论的两个基本方程
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第2.2节 回转薄壳应力分析
第2.2.4节
无力矩理论的应用
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2.2.4 无力矩理论的应用
一、承受气体内压的回转薄壳 微元平衡方程和区域平衡方程的简化：
V 2 prdr r p
0 2 m
rm
prm V pR2 2rmt cos 2t cos 2t
= pR1 R 2 sin d d
等式两边同除以
p R1 R2 t
tR1R2 sin d d , 得:
—微元平衡方程(拉普拉斯方程)。
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2.2.3 无力矩理论的基本方程
三、区域平衡方程 在回转壳体上，用一个与壳体正交的圆锥面截取， 并取截面以下部分容器作分离体。
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第2-2节 回转薄壳应力分析
本节讨论薄壳的应力分析。
在薄壳应力分析中，假设：
①壳体材料连续、均匀、各向同性；
②受载后的变形是弹性小变形； ③壳壁各层纤维在变形后互不挤压。
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第2.2节 回转薄壳应力分析
第2.2.1节
薄壁圆筒的应力 (略，自学)
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2.2.2 回转薄壳的无力矩理论
曲面的第二曲率半径（R2）—壳体中面上 所考察点B到该点法线与回转轴交点K2之间的长 度（K2B）。
注：同一点的第一与第二主曲率半径都在 该点的法线上。
平行圆半径（r）—
r与R2的关系： r=R2sinφ
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p R1 R2 t
p0 gxR
t
2 Rt R 2 p0
图2-10 储存液体的圆筒体
p0 R 2t
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2.2.4 无力矩理论的应用
问题：如果将支座上移，在支 座上下壳体上应力又如 何变化？
p R1 R2 t p 0 gx R
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第2-1节 载荷分析
2、非压力载荷： 它可分为整体载荷和局部载荷。 ①重力载荷；②风载荷；③地震载荷；④运输 载荷；⑤波浪载荷；⑥管系载荷。 在上述载荷中，有静载荷和动载荷之分。 静载荷是压力容器设计的基本载荷。
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第2-1节 载荷分析
2.2.2 回转薄壳的无力矩理论
薄膜内力（薄膜力）： 法向力：Nφ、Nθ 剪 力：Nφθ、Nθφ 弯曲内力： 横 向 力： Qφ、 Qθ 弯矩与转矩： Mφ、 Mθ、 Mφθ、Mθφ 一般情况下，薄壳内薄膜内力和弯曲内力同 时存在。
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2.2.2 回转薄壳的无力矩理论
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2.2.2 回转薄壳的无力矩理论
平行圆—垂直于回转轴的平面与中面的交
线。 中面的法线—过中面上的点且垂直于中面 的直线称为中面在该点的法线。法线必与回转 轴相交。 两个角度—θ、φ（它是确定中面上任意 一点B的两个坐标）。 曲面的第一曲率半径（R1 ）—经线在考察 点B的曲率半径（K1B）。
力矩理论的分类： 在壳体理论中，若同时考虑薄膜内力和弯 曲内力，这种理论称为有力矩理论或弯曲理论。 若弯曲内力很小，这样在考察薄壳平衡时， 就可省略弯曲内力对平衡的影响，于是得到无 力矩状态。省略弯曲内力的壳体理论，称为无 力矩理论或薄膜理论。
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2.2.2 回转薄壳的无力矩理论
0 0 0 0
——变形协调方程
郑州大学化工与能源学院
过程设备设计
2.2.5 回转薄壳的不连续分析
2、不连续分析的基本方法 组合壳体的不连续应力可以根据一般壳体 理论计算，但较复杂。工程上采用简便的方法， 把壳体应力分解为两个部分。 一是：薄膜解或主要解。在外载荷作用下 产生的应力，求得的应力称为一次（薄膜）应 力；其特点：内力与外力满足平衡关系，应力 随外载荷的增大而增大，当它超过材料屈服限 时就能导致材料的破坏或大面积屈服。
第2章 压力容器应力分析
第2.2节
回转薄壳应力分析
过程设备设计
第2-2节 回转薄壳应力分析