专题1.4.1、1.4.2 正弦函数、余弦函数的图象和性质(解析版)

第一章三角函数1.4.1、1.4.2 正弦函数、余弦函数的图象和性质一、选择题1．y=1+sin x，x∈[0，2π]的图象与直线y=2交点的个数是A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B【解析】作出y=1+sin x在[0，2π]上的图象，可知只有一个交点．故选B．2．已知点（π3，n）在余弦曲线上，则n=A．12B．22C．32D．1【答案】A【解析】由于点在余弦曲线y=cos x上，所以n=cos π132=．故选A．3．已知x∈[0，2π]，如果y=cos x是增函数，且y=sin x是减函数，那么A．π2x≤≤B．ππ2x≤≤C．3ππ2x≤≤D．3π2π2x≤≤【答案】C【解析】当x∈[0，2π]，如果y=cos x是增函数，则π≤x≤2π，若y=sin x是减函数，则π2≤x≤3π2，∴若同时满足条件，则3ππ2x≤≤，故选C．4．已知cosα=1，a∈[0，2π]，则角α为A．π2B．πC．0或2πD．2π【答案】C【解析】∵cosα=1，a∈[0，2π]，∴α=0或2π，故选C．5．在区间[0，2π]中，使y =sin x 与y =cos x 都单调递减的区间是A ．[0，π2] B ．[π2，π] C ．[π，32π] D ．[3π2，2π] 【答案】B【解析】在区间[0，2π]中，y =sin x 的减区间是[π2，3π2]，y =cos x 的减区间是[0，π]，∴y =sin x 和y =cos x 的公共减区间是[π2，3π2]∩[0，π]=[π2，π]．故选B ． 6．已知函数f （x ）=sin π23x ⎛⎫- ⎪⎝⎭（x ∈R ），下面结论错误的是A ．函数f （x ）的最小正周期为πB ．函数f （x ）在区间50π12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是增函数C ．函数f （x ）的图象关于直线x =0对称D ．函数π6f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭是奇函数【答案】C【解析】由周期公式可得：T =2π2=π，故A 正确；由2k ππ2-≤2x π3-≤2k ππ2+可解得函数的单调递增区间为：[k ππ12-，k 5ππ12+]，k ∈Z ，故B 正确；由于f （0）=sin （–π3）=–32，不是函数的最值，故C不正确；由于f （x +π6）=sin2x ，有sin （–2x ）=–sin2x ，故D 正确．故选C ．7．以下函数中，周期为2π的是A ．y =sin2x B ．y =sin2x C ．y =|sin2x | D ．y =|sin2x |【答案】C8．对于函数y =sin （x +π2），下列判断正确的是 A ．图象关于y 轴对称B．是非奇非偶函数C．是奇函数D．图象与y=sin（x–π2）的图象重合【答案】A【解析】由诱导公式得y=cos x，由于y=cos x为偶函数，故y=sin（x+π2）为偶函数，其图象关于y轴对称．故选A．9．函数f（x）=1+sin x的最小正周期是A．π2B．πC．3π2D．2π【答案】D10．函数y=5sin（25x+π6）的最小正周期是A．25πB．52πC．π3D．5π【答案】D【解析】函数y=5sin（25x+π6）的最小正周期是252225π=π⨯=5π．故选D．11．函数y=sin（–2x）的单调递增区间是A．[π2π2k+，3π2π2k+]（k∈Z）B．[π4+kπ，3π4+kπ]（k∈Z）C．[π+2kπ，3π+2kπ]（k∈Z）D．[–ππ4k+，ππ4k+]（k∈Z）【答案】B【解析】由y=sin（–2x）=–sin2x，则函数y=sin2x的减区间是函数y=sin（–2x）的增区间，由π2+2kπ≤2x≤3π2+2kπ（k∈Z），解得π4+kπ≤x≤3π4+kπ（k∈Z），故选B．12．函数y=x cos xA．是奇函数B．是偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．是非奇非偶函数【答案】A【解析】∵函数的定义域为R，且满足f（–x）=（–x）•cos（–x）=–x•cos x=–f（x），∴函数y=x cos x是奇函数．故选A．13．若函数y=sin（π+x），y=cos（2π–x）都是减函数，则x的集合是A．{x|2kπ≤x≤2kπ+π2，k∈Z} B．{x|kπ≤x≤2kπ+π2，k∈Z}C．{x|2kπ–π2≤x≤2kπ+π2，k∈Z} D．{x|2kπ+π2≤x≤2kπ+3π2，k∈Z}【答案】A【解析】∵y=sin（π+x）=–sin x，单调递减区间为[2kπ–π2，2kπ+π2]，k∈Z．y=cos（2π–x）=cos x，其单调递减区间为[2kπ，2kπ+π]，k∈Z，∴y=sin（π+x）与y=cos（2π–x）都是减函数时，x的集合为{x|π2π2π2k x k k≤≤+∈，Z}，故选A．14．若函数y=sin（2x+φ）的一条对称轴为π3x=，则它的一个单调区间为A．π2π33⎛⎫⎪⎝⎭，B．ππ36⎛⎫- ⎪⎝⎭，C．ππ43⎛⎫- ⎪⎝⎭，D．ππ22⎛⎫- ⎪⎝⎭，【答案】A 二、填空题15．函数y=2cos（–14x–π6）周期为___________．【答案】8π【解析】函数y=2cos（–14x–π6）=2cos（14x+π6）的周期为T=2π14=8π，故答案为：8π．16．函数π3sin3y kx⎛⎫=+⎪⎝⎭（k∈N*）的最小正周期T满足T∈（1，3），则正整数k的取值为___________．【答案】3，4，5，6【解析】π3sin 3y kx ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（k ∈N *）的最小正周期T =2πk ，∴1<2πk <3，∴2π3<k <2π，当k 为正整数时，k 的值为：3，4，5，6．故答案为：3，4，5，6． 17．若x ∈[0，2π），且–22≤cos x ≤12，则x 的取值范围是___________．学-科网 【答案】π3π34x ≤≤或5π5π43x ≤≤【解析】由题意知x ∈[0，2π），且–22≤cos x ≤12，由余弦曲线可得π3π34x ≤≤或5π5π43x ≤≤．故答案为：π3π34x ≤≤或5π5π43x ≤≤． 18．函数y =2sin （x –π3）（x ∈[0，π]）的值域为___________． 【答案】32⎡⎤-⎣⎦，【解析】∵x ∈[0，π]，∴x –ππ2π333⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，，∴sin π3⎛⎫- ⎪⎝⎭≤sin π3x ⎛⎫- ⎪⎝⎭≤sin π2，即–32≤sin π3x ⎛⎫- ⎪⎝⎭≤1，∴–3≤2sin π3x ⎛⎫- ⎪⎝⎭≤2，即–3≤y ≤2．故答案为32⎡⎤-⎣⎦，． 19．比较sin2，sin3与sin4的大小___________．【答案】sin4<sin3<sin2【解析】sin2≈sin104°，sin3≈sin171°，sin4≈sin228°=–sin48°，根据正弦函数在（90°，180°）区间上单调减，得到sin104°>sin171°>0>–sin48°，故sin4<sin3<sin2，故答案为：sin4<sin3<sin2． 20．比较大小：πsin 18⎛⎫- ⎪⎝⎭___________πsin 10⎛⎫- ⎪⎝⎭．【答案】> 【解析】∵0>–π18>–π10>–π2，且正弦函数在[–π2，π2]单调增，∴sin （–π18）>πsin 10⎛⎫- ⎪⎝⎭，故答案为：>． 21．函数()π2sin 36f x x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭的单调递增区间是___________． 【答案】2225ππππ3939k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，，Z【解析】∵函数()π2sin 36f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭=–2sin （3x –π6），令π2+2k π≤3x –π6≤3π2+2k π，k ∈Z ，得2π9+2π3k ≤x ≤5π9+2π3k ，k ∈Z ，故答案为：2225ππππ3939k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，，Z ．22．函数f （x ）=2sin （x –π4）最靠近坐标原点的对称中心为___________． 【答案】π04⎛⎫⎪⎝⎭， 【解析】令x –π4=k π，得x =k ππ4+，∴当k =0时，x =π4，当k =1时，x =5π4，∴满足要求的对称中心为：π04⎛⎫ ⎪⎝⎭，，故答案为：π04⎛⎫⎪⎝⎭，． 三、解答题 23．求函数y =3sin （π6–2x ）（–124π<x <512π）的单调区间和值域．24．求函数y =3sin （2x +π6）+1的周期、单调区间及最大、最小值． 【解析】∵函数y =3sin （2x +π6）+1，∴2ππ2T ==． 由πππ2π22π262k x k -+≤+≤+，得ππππ36k x k k -+≤≤+∈Z ，．∴函数y =3sin （2x +π6）+1的单调增区间为ππππ36k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z ，，．由ππ3π2π22π262k x k +≤+≤+，得π2πππ63k x k k +≤≤+∈Z ，． ∴函数y =3sin （2x +π6）+1的单调减区间为π2πππ63k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ，，．函数的最大值为4，取得最大值的x 的集合为：{x |x =ππ6k k +∈Z ，}． 函数的最小值为–2，取得最小值的x 的集合为：{x |x =2ππ3k k +∈Z ，}． 25．求y =2sin sin 2xx -值域．【解析】由题意，2sin sin 2x y x =-=2+4sin 2x -，因为sin x ∈[–1，1]，所以sin x –2∈[–3，–1]， 所以4sin 2x -∈443⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，，所以2+422sin 23x ⎡⎤∈-⎢⎥-⎣⎦，， 所以2sin sin 2xy x =-值域为223⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，．26．求函数3sin 1sin 2x y x +=+的值域．【解析】由()3sin 2553sin 2sin 2x y x x +-==-++．因为sin x ∈[–1，1]，所以sin x +2∈[1，3]， 所以55[5]sin 23x ∈+，，所以53sin 2x -+423⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， ∴函数的值域为423⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，．27．求函数y =1–sin2x 的单调区间．28．求函数y =22sin cos 1x x +-的定义域．【解析】为使函数有意义，需满足2sin 2x +cos x –1≥0， 即2cos 2x –cos x –1≤0解得–12≤cos x ≤1． 由余弦函数的图象或单位圆，可得函数的定义域为{x |2k π–2π3≤x ≤2k π+2π3，k ∈Z }．。