专题1-分类讨论
2012年中考数学思想方法专题讲座——分类讨论
中考数学思想方法专题讲座——分类讨论在数学中，当被研究的问题存在多种情况，不能一概而论时，就需要按照可能出现的各种情况分类讨论，从而得出各种情况下的结论，这种处理问题的思维方法叫分类讨论思想，它不仅是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略．在研究问题时，要认真审题，思考全面，根据其数量差异或位置差异进行分类，注意分类应不重不漏，从而得到完美答案.一、分类讨论应遵循的原则： 1、分类应按同一标准进行； 2、分类讨论应逐级进行； 3、分类应当不重复，不遗漏。
二、分类讨论的主要因素：1、题设本身为分类定义；2、部分性质、公式在不同条件下有不同的结论；3、部分定义、定理、公式和法则本身有范围或条件限制；4、题目的条件或结论不唯一时；5、含参数（字母系数）时，须根据参数（字母系数）的不同取值范围进行讨论；6、推理过程中，未知量的值，图形的位置或形状不确定。
三、分类类讨论的步骤：1、确定分类对象；2、进行合理分类；3、逐类讨论，分级进行；4、归纳并作出结论。
四、分类讨论的几种类型：类型一、与数与式有关的分类讨论热点1.在实数中带有绝对值号，二次根式的化简中，应注意讨论绝对值号内的数、被开方数中的字母的正负性，()()a aaa a≥==-⎧⎪⎨⎪⎩例1. =+==||，则5，3||若2baba。
分析：因b b2=||，故原题可转化为绝对值的问题进行讨论。
解：∵3||=a；∴x= ，∵b b2=||=5；∴x= ，，8|53|||时，5，3当=+=+==baba，2|5-3|||时，5-，3当==+==baba，2|53-|||时，5，3-当=+=+==baba，8|5-3-|||时，5-，3-当==+==baba故应填。
小结:二次根式的化简往往可转化为与绝对值相关的问题。
而去绝对值时一般要根据绝对值的概念进行分类讨论。
【练习】 1. 化简：①︱x︳=②=2. 已知│x│= 4,│y│=12，且xy<0，则xy= ．【点评】由xy<0知x，y异与应分x>0，y<0，及x<0，y>0两类．3．若||3,||2,,( )a b a b a b==>+=且则A．5或－1 B．－5或1; C．5或1 D．－5或－14．在数轴上，到－2的点的距离为3的点表示的数是．热点2：与函数及图象有关的分类讨论一次函数的增减性(k有正负之分)：【例1】已知直线y＝kx＋3与坐标轴围成的三角形的面积为2，则k的值等于．【例2】若一次函数当自变量x的取值范围是-1≤x≤3时，函数y的范围为-2≤y≤6，•则此函数的解析式为．0,0,k y xk y xy kx b⎧⎪⎨⎪⎩=+时随的增大而增大时随的增大而减小热点3：不等式中的分类讨论在根据不等式的基本性质解不等式时，当遇到含字母系数的一元一次不等式时，要根据系数的正负性，决定不等号的方向变化，此时需要讨论其正负性；在分式的值大于零或小于零时计算分式中某字母的取值范围，也要讨论分子分母的正负性，以此建立不等式或不等式组求解．【例1】不等式mx >n (m 、n 是常数且m ≠0)的解是 ．思路分析：x 前的系数m 的正负性不确定，故要对其讨论，再依据不等式基本性质求x 的取值．【例2】已知分式4－x 2x －3的值为负数，则x 的取值范围是 ． 思路分析：欲求x 的取值范围，需要建立关于x 的不等式(组)，由“两数相除，异号得负”知4－x 与2x －3异号，因此得⎩⎪⎨⎪⎧ 4－x >02x －3<0或⎩⎪⎨⎪⎧ 4－x <02x －3>0.分别解这两个不等式组即可．【练习】1．关于x 的一元一次不等式(2m ＋3)x >2m ＋3的解是 ．解析：分2m ＋3>0和2m ＋3<0两种情况讨论．2．若分式2x ＋3x －1的值大于零，则x 的取值范围是 ． 3.解不等式 (a +1)x ＞a 2-1.热点4：涉及问题中待定参数的变化范围的分类讨论。
初中数学专题复习分类讨论(含答案)
专题复习二 分类讨论Ⅰ、专题精讲：在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查．这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略．分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解．提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的．正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏．分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行． Ⅱ、典型例题剖析【例1】（2005，南充，11分）如图3－2－1，一次函数与反比例函数的图象分别是直线AB 和双曲线．直线AB 与双曲线的一个交点为点C ，CD ⊥x 轴于点D ，OD ＝2OB ＝4OA ＝4．求一次函数和反比例函数的解析式． 解：由已知OD ＝2OB ＝4OA ＝4，得A （0，－1），B （－2，0），D （－4，0）． 设一次函数解析式为y ＝kx ＋b ． 点A ，B 在一次函数图象上， ∴⎩⎨⎧=+--=,02,1b k b 即⎪⎩⎪⎨⎧-=-=.1,21b k则一次函数解析式是 .121--=x y点C 在一次函数图象上，当4-=x 时，1=y ，即C （－4，1）． 设反比例函数解析式为my x=． 点C 在反比例函数图象上，则41-=m ，m ＝－4．故反比例函数解析式是：xy 4-=．点拨：解决本题的关键是确定A 、B 、C 、D 的坐标。
【例2】（2005，武汉实验，12分）如图3－2－2所示，如图，在平面直角坐标系中，点O 1的坐标为（－4，0），以点O 1为圆心，8为半径的圆与x 轴交于A 、B 两点，过点A 作直线l 与x 轴负方向相交成60°角。
以点O 2（13，5）为圆心的圆与x 轴相切于点D. （1）求直线l 的解析式；（2）将⊙O 2以每秒1个单位的速度沿x 轴向左平移，同时直线l 沿x 轴向右平移，当⊙O 2第一次与⊙O 2相切时，直线l 也恰好与⊙O 2第一次相切，求直线l 平移的速度； （3）将⊙O 2沿x 轴向右平移，在平移的过程中与x 轴相切于点E ，EG 为⊙O 2的直径，过点A 作⊙O 2的切线，切⊙O 2于另一点F ，连结A O 2、FG ，那么FG·A O 2的值是否会发生变化？如果不变，说明理由并求其值；如果变化，求其变化范围。
分类讨论思想专题
（3）分式方程有非负数解（过三关）
①整式方程有解 ②最简公分母 0 ③解 0
（三）有关函数的分类
2．已知点 P(2 x,3x 6) ，且点 P 到两坐标轴的距离相等，则点 P 的坐标为 ( )
A． (6,6)
B． (3, 3)
C． (6, 6) 或 (3,3)
D． (6,6) 或 (3, 3)
数，再根据解集确定 m 的取值范围．
【解答】解：解不等式组
x m 0 13 2x 1
得：
m
x
6
，
所有整数解的和是 15，15 6 5 4 ，
x 6 ，5，4，因此不等式组的整数解为①6，5，4，
或②6，5，4，3，2，1，0， 1， 2 ， 3，
易忽略： 第二种情况 相反数
3 x 4或- 4 x 3 ；
闯关 游戏
【点评】本题考查了分式方程的增根，明确分式方程何时有增根及方程有解与无解的条 件是解题的关键．
18．已知关于 x 的分式方程 +
＝．
（1）若方程的增根为 x＝2，求 m 的值； （2）若方程有增根，求 m 的值； ▲（3）若方程无解，求 m 的值． （4）若方程解为非负数，求 m 的取值范围．
先根据底面周长得到底面半径，再根据圆柱的体积公式计算即可求解．
变式训练：长方形两边长分别为5和 4，如果绕边长旋转一周，
则所得几何体的体积是_________ ．
则该函数的最大值为
．
19.甲、乙两家草莓采摘园的草莓品质相同，销售价格也相同．“五一期间”，两家均推出了 优惠方案，甲采摘园的优惠方案是：游客进园需购买 60 元的门票，采摘的草莓六折优惠； 乙采摘园的优惠方案是：游客进园不需购买门票，采摘园的草莓超过一定数量后，超过部
八年级等腰三角形的分类讨论专题
专题一：等腰三角形中的分类讨论（一）角分类：顶角和底角+ 三角形内角和；外角1.已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1:4，求顶角的度数。
2.一个等腰三角形的一个内角比另一个内角的2倍少30o，求这个三角形的三个内角的度数。
3.如果一个等腰三角形的一个外角等于100°，则该等腰三角形的底角的度数是．（二）边分类：底边和腰+ 三角形三边关系4.等腰三角形的两边分别是8,6，这个等腰三角形的周长为5.等腰三角形的两边分别是8,3，这个等腰三角形的周长为6.在等腰三角形ABC中，AB的长是AC的2倍，三角形的周长是40，则AB的长等于_______________.（三）中线分类7.已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为9和12两部分，求腰长和底长。
8.等腰三角形的底边长为6cm，一腰上的中线把这个三角形的周长分为两部分，这两部分之差是3cm，求这个等腰三角形的腰长（四）高、垂直平分线分类9.已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为25°，求底角的度数10.在ΔABC中，AB=AC，AB的中垂线与AC所在直线相交所得的锐角为50°，则底角∠B=____________11.（2018·哈尔滨中考）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，点D在BC边上，连接AD，若△ABD为直角三角形，则∠ADC的度数12.（2019·白银中考）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值b 称为这个等腰三角形的“特征值”.若等腰三角形ABC中，∠A=80°，则它的特征值k=13.(2018·绍兴中考）数学课上，张老师举了下面的例题：例1等腰三角形ABC中，∠A=110°，求∠B的度数.（答案：35°）例2等腰三角形ABC中，∠A=40°，求∠B的度数.（答案：40°或70°或100°）张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题：等腰三角形ABC中，∠A=80°，求∠B的度数.(1)请你解答以上的变式题。
高中数学分类讨论专题
高中数学分类讨论专题
高中数学的分类讨论专题可以包括以下几个方面：
1. 几何图形的性质：例如平面图形的性质研究，如线段、角、三角形、四边形的性质等。
2. 几何变换：研究平移、旋转、对称、相似变换等，以及其应用于几何图形的理论和实际问题。
3. 解析几何：研究平面和空间的坐标系，以及直线、圆、曲线的性质和方程，通过代数方法解决几何问题。
4. 数列和数列极限：研究等差数列、等比数列、等差数列等各类数列的性质和求和公式，以及数列极限的概念、性质和计算方法。
5. 函数及其性质：研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质，以及函数的图像、图像的变换和应用。
6. 三角函数：研究正弦、余弦、正切等三角函数的性质，以及三角恒等式、三角方程的求解等问题。
7. 解方程与方程组：研究一元二次方程、一元高次方程、一元不等式、二元一次方程组、二元二次方程组等的解法和应用。
8. 概率与统计：研究随机事件的概率、频数分布和统计指标的计算方法，以及概率和统计在实际问题中的应用。
以上是一些高中数学的分类讨论专题，不同学校和不同课程设置可能会有所不同，具体的内容可以根据学校的教材和教学大纲进行细化。
导数小专题-----单调性的分类讨论
导数小专题----单调性的分类讨论函数的单调性是求函数极值，最值（值域），恒成立问题，零点与交点个数问题的基础，所以掌握好单调性是解决函数问题的第一步，它往往出现在压轴题的第一问，为人人必得分。
那么求单调性最难的一点就是含参函数的分类讨论，这是难点、重点、考点。
这类问题的难点在于学生不知道怎么讨论，或者讨论问题不全面，某种情况没有讨论到，这里总结了含参函数单调性的分类讨论的固定套路，学会之后，不存在不知道怎么讨论或者漏讨论的情况。
以下为讨论单调性固定套路（能解决绝大多数讨论单调性问题）:第一步：求定义域，函数离开定义域的讨论都是毫无意义的，求定义域要考虑4种情况（1）偶次根式，根号下整体大于0（2）分式，分母不等于0（3）对数函数，真数大于0（4）()tan ，（）整体不等于ππk +≠2第二步：求函数导数，令0)(,=x f ，解出它的根21,x x注意：先通分再因式分解，因式分解的好处在于方便于我们解根和判断导数正负第三步：如果两根，要考虑4种情况；如果一根只需要考虑第一种情况；如果解不出来根，也判断不出导数正负，那我们要求该函数的二阶导数，通过二阶导的正负得一阶导的单调性，从而得到最值。
（1）某一根不存在（主要考虑根不在定义域里），得到参数取值范围（2）21x x =，得到参数取值范围 （3）21x x >，得到参数取值范围（4）21x x <得到参数取值范围第四步：判断21,x x 把定义域分得每个区域导数的正负，导数大于0，单调增，导数小于0，单调减。
判断导数正负有以下三种方法：（1）数轴穿根法：主要用于导数中只有单一的高次函数或单一的对数指数函数，用得最多（2）函数图像法：主要适用于导数中有高次函数和对数指数函数的混合相乘的式子（3）区域判断法：只需要判断每个因式的正负第五步：综述：把讨论情况单调性相同的合并在一起。
综述是很多人容易忽略的一步，没有这一步，是要扣分的【例题详解】例1.（2011，浙江高考改编）设函数ax x x a x f +-=22ln )(，求)(x f 单调区间解：该函数定义域为），（∞+0（第一步：对数真数大于0求定义域） 令0)2)((2)(2'=+--=+-=x a x a x a x x a x f ，解得2,21a x a x -== （第二步，令导数等于0，解出两根21,x x ）（1）当0>a 时，)(,0)(),,0('x f x f a x >∈单调增，)(,0)(),,('x f x f a x <+∞∈单调减（第三步，1x 存在，2x 不存在得到0>a ；第四步数轴穿根或图像判断正负）（2）当0<a 时，1x 不存在)(,0)(),2-,0('x f x f a x >∈单调增，)(,0)(),,2-('x f x f a x <+∞∈单调减 （第三步，2x 存在，1x 不存在得到0<a 第四步数轴穿根或图像判断正负）（3）当0=a 时，)(,02)(),,0('x f x x f x <-=+∞∈单调减（第三步，21x x =得到0=a 第四步很显然-2x<0恒成立）综上可知：当0>a 时)(),,0(x f a x ∈单调增，)(),,(x f a x +∞∈ 单调减;当0<a )(),2-,0(x f a x ∈时,单调增，)(),,2-(x f a x +∞∈单调减；当0=a 时，)(),,0(x f x +∞∈单调减（第五步综述一定要有）小结：这是一道比较简单的分类讨论单调性，按照我们的步奏，就不会存在漏解的情况。
初中数学分类讨论专题
初中数学分类讨论专题
1. 哎呀呀，初中数学的分类讨论可太有意思啦！就说解不等式的时候吧，比如x²-5x+6＞0，我们是不是得考虑各种情况来求解呀！这就像走迷宫，
得找对每条路才行呢！
2. 嘿，你知道吗？图形的分类讨论也超有趣！像判断等腰三角形的时候，到底是哪两条边相等呢？这可得仔细琢磨呀，就如同在玩找不同的游戏一样！
3. 哇塞，分类讨论在函数问题中也常常出现呢！假如已知一个函数图像，要确定解析式，那可得把不同情况都考虑进去呀，这难道不是像拼凑一幅神秘的拼图吗？
4. 哟呵，在几何证明中，分类讨论也是必不可少的！比如点的位置不确定时，那证明的思路可能完全不同哦，这就好比在选择不同的冒险路线！
5. 嘿呀，计算概率的时候也得分类讨论呢！比如说扔骰子出现不同情况的概率，是不是得一种一种算呀，这多像在收集各种宝贝呀！
6. 哎呀，方程有时候也需要分类讨论呢！比如含绝对值的方程，得根据绝对值里面的正负情况来分别求解，这就像在解开一团乱麻！
7. 哇哦，角度的分类讨论可不能忽视呀！像三角形中锐角、直角、钝角的情况，都得考虑到呢，这多像在整理一个多彩的调色盘！
8. 嘿，动点问题更是分类讨论的典型啦！那个点动起来，情况可就复杂啦，就像在看一场刺激的赛车比赛！
9. 总之呀，初中数学的分类讨论专题真的超级重要呢！它能让我们的思维变得更加灵活，解题更加得心应手！就像是给我们的大脑加上了一对翅膀，能在数学的天空中自由翱翔！。
中考数学专题复习：分类讨论题
中考数学专题复习：分类讨论题中考数学专题复：分类讨论题直线型分类讨论直线型分类讨论问题主要是对线段、三角形等问题的讨论，特别是等腰三角形问题和三角形高的问题。
这些问题中，等腰三角形顶角度数和三角形高的长度是重要的考点。
例如，对于一个等腰三角形，如果其中一个角度数为50°，则需要分类讨论这个角是顶角还是底角。
如果这个角是顶角，则可以通过求解另外两个角的度数得到顶角的度数；如果这个角是底角，则可以通过计算底角的度数来得到顶角的度数。
因此，顶角可能是50°或80°。
同样地，在解决三角形高的问题时，也需要分类讨论。
例如，如果一个三角形的底边和斜边长度已知，需要求解这个三角形的高的长度，则需要分类讨论这个高是否在三角形内部。
如果高在三角形内部，则可以利用勾股定理和相似三角形的性质求解高的长度；如果高在三角形外部，则可以利用平移和相似三角形的性质求解高的长度。
圆形分类讨论圆形分类讨论主要是解决圆的有关问题。
由于圆是轴对称图形和中心对称图形，因此在解决圆的问题时，需要注意分类讨论，以避免漏解。
例如，对于一个直角三角形，如果以直角为圆心画圆，则这个圆与斜边只有一个公共点。
这个问题可以分类讨论，分别考虑圆与斜边相切和圆与斜边相交的情况，从而得到圆的半径的取值范围。
函数方程分类讨论函数方程分类讨论主要是解决复杂的函数方程和方程组的问题。
在解决这些问题时，需要注意分类讨论，以避免遗漏解或得到错误的解。
例如，对于一个函数方程，如果该方程在某个区间内有多个解，则需要分类讨论这些解的性质，例如它们是否为连续函数、是否为单调函数等等。
从而可以得到方程的解的取值范围。
总之，分类讨论是解决数学问题的重要方法之一，尤其适用于复杂的问题。
在进行分类讨论时，需要认真分析问题，将问题分成若干个互不重叠的情况，并对每种情况进行单独的讨论和求解。
本题涉及到函数的分类讨论和解析式的求解，同时也需要注意特殊点的情况。
模块一专题4 分类讨论思想
(4)由图形的不确定性引起的分类讨论：有的图形类型、位 置需要分类：如角的终边所在的象限；点、线、面的位置关系 等．
(5)由参数的变化引起的分类讨论：某些含有参数的问题， 如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结 果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法．
(6)由实际意义引起的讨论：此类问题在应用题中，特别是 在解决排列、组合中的计数问题时常用．
＝3.∴e＝ca＝
3 2.
若m＝－4，则曲线为双曲线，
a2＝1，b2＝4，c2＝5，e＝ca＝ 5.选D.
【答案】 D
(2)(2019·合肥市调研考试)已知双曲线M：
x2 a2
－
y2 b2
＝1(a>0，
b>0)的焦距为4，两条渐近线的夹角为60°，则双曲线M的标准方
程是( )
A.x32－y2＝1或x42－1y22 ＝1
(1)若m是2和8的等比中项，则圆锥曲线x2＋
y2 m
＝1的
离心率是( )
3 A. 2
B. 3
C.
23或
5 2
D. 23或 5
【审题】 圆锥曲线是椭圆还是双曲线？自需讨论．
【解析】 ∵m是2和8的等比中项， ∴m2＝2×8＝16，∴m＝±4.
若m＝4，则曲线为椭圆，焦点在y轴上，a2＝4，b2＝1，c2
A．若a3>0，则a2 015<0 B．若a4>0，则a2 014<0 C．若a3>0，则S2 015>0 D．若a4>0，则S2 014>0
【审题】 用a1，q表示an与Sn，对选项逐一判断，不要忽 视对q是否等于1的讨论．
【解析】 等比数列{an}的公比q≠0.对于A，若a3>0， a1q2>0，所以a1>0，所以a2 015＝a1q2 014>0，所以A不成立；对于 B，若a4>0，则a1q3>0，所以a1q>0，所以a2 014＝a1q2 013>0，所以B
初中数学专题复习分类讨论问题(含解答)
分类讨论问题一、内容提要： 分类讨论的主要因素： （1）根据本身就是分类定义；（2）有些性质、公式在不同条件下有不同的结论； （3）一些定义、定理、公式和法则有范围或条件限制； （4）题目的条件或结论不唯一时；（5）解含参数（字母系数）的题目时，必须根据参数（字母系数）的不同取值范围进行讨论；（6）推理过程中，遇到数量的大小不确定，图形的位置或形状不确定的。
四个步骤： （1）确定分类对象 （2）进行合理分类 （3）逐类讨论，分级进行 （4）归纳并作出结论 二、例题精选 1．按图形的性质分类例1 如图1，⊙O 是等边ΔABC 的外接圆，D 是 BC上异于B 、C 的一点。
若 BD与 DC 的度数之比是1∶3，⊙O 的半径为1，取点F ，使ΔDCF 为等腰三角形，且顶角为钝角，试指出这时DF 的长或其取值范围。
分析：题目中，没有确定DC 是等腰三角形的底还是腰，所以要分为不同的情况讨论，在不同状态下求DF 。
解：因为 BC为120°， BD 与 DC 的度数的比是1∶3，所以 DC 为90°， DCB AO连结OC、OD，则=①以CD为底边时，如图2，DF可变化，若∠F为直角，则DF=1，而本题∠F为钝角，有<DF<1。
②以CF为底边时，如图3，DF确定，DF＝DC=。
③以DF为底边时，如图4，DF可变化，若∠C=90°，则DF=2，所以∠C为钝角时，DF>2。
又DF<2，所以2<DF<2。
说明：题目中的已知条件只是用来确定DC的长度，而后面的分类讨论内容与圆没有关系，是对等腰三角形的边进行计算，分类讨论注意全面，不要遗漏。
例2、抛物线y=m x2-(3m+)x+4与x轴交于两点A，B，与y轴交于C点，若ΔABC是等腰三角形，求抛物线的解析式。
解：在y=mx2-(3m+)x+4中令x=0, 得到y=4，∴ c(0,4 )令y=0，则m x2-(3m+)x+4=0∵ m≠0, ∴ x1=3, x2=。
分类讨论专题(人教版)(含答案)
分类讨论专题（人教版）试卷简介:明确分类讨论的四种类型：定义法则、关键词不明确、位置不确定、对应关系不确定，做题过程中需注意画出符合题意的图形，并能够根据标准取舍。
一、单选题(共10道，每道10分)1.若是完全平方式,则m的值为( )A.5或7B.-5或-7C.7或-5D.5或-7答案：C解题思路：（1）考点：分类讨论，完全平方式（2）解题过程：∵是完全平方式∴解得：故选C试题难度：三颗星知识点：完全平方式2.若是完全平方式,则m的值为( )A.1或3B.-3或-5C.1或-3D.3或-5答案：C解题思路：（1）考点：分类讨论，完全平方式（2）解题过程：∵是完全平方式∴解得：m=1或-3故选C试题难度：三颗星知识点：完全平方式3.已知一等腰三角形的三边分别是3x-1,x+1,5,则x的值为( )A.1B.2C.4D.1或2或4答案：B解题思路：（1）考点：分类讨论，等腰三角形（2）解题过程：①当3x-1=x+1时，解得x=1，则等腰三角形的三边为：2，2，5，因为2+2=4<5，不能构成三角形，故舍去；②当3x-1=5时，解得x=2，则等腰三角形的三边为：5，3，5，能构成三角形，符合题意③当x+1=5时，解得x=4，则等腰三角形的三边为：11，5，5，因为5+5=10<11，不能构成三角形，故舍去；综上可得：x=2故选B试题难度：三颗星知识点：等腰三角形4.在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线与AC所在直线相交所成的锐角为40°,则△ABC的顶角为( )A.20°或160°B.30°或150°C.40°或140°D.50°或130°答案：D解题思路：（1）如图1：∵DE是AB的垂直平分线，∴∠DEA=90°，∵∠ADE=40°，∴∠DAE=50°；即∠BAC=50°；（2）如图2：∵DE是AB的垂直平分线，∴∠DEA=90°，∵∠ADE=40°，∴∠DAE=50°，∴∠BAC=130°；综上，△ABC的顶角为50°或130°．故选D试题难度：三颗星知识点：垂直平分线的性质5.已知C,D两点在线段AB的中垂线上,且∠ACB=50°,∠ADB=80°,则∠CAD的度数为( )A.15°或115°B.15°或125°C.30°或115°D.30°或125°答案：A解题思路：（1）如图1，当C，D两点在线段AB的同侧时，∵C，D两点在线段AB的垂直平分线上∴CA=CB，△CAB是等腰三角形∵CE⊥AB∴CE是∠ACB的角平分线∴∠ACE=∠BCE而∠ACB=50°∴∠ACE=25°同理可得：∠ADE=40°∵∠ADE=∠ACE+∠CAD∴∠CAD=∠ADE-∠ACE=40°-25°=15°（2）如图2，当C，D两点在线段AB的两侧同（1）可得：∠ACE=25°，∠ADE=40°∴∠CAD=180°-∠ADE-∠ACE=180°-40°-25°=115°综上，∠CAD的度数为15°或115°故选A试题难度：三颗星知识点：分类讨论6.如图,已知△ABC中,BC>AB>AC,∠ACB=40°,如果D,E是直线AB上的两点, 且AD=AC,BE=BC,则∠DCE的度数为( )A.20°或70°B.20°或60°或110°C.20°或70°或110°D.60°或70°或110°答案：C解题思路：（1）如图1，当点D，E在点A的同侧，且都在BA的延长线上时∵BE=BC∴∠BEC=（180°-∠ABC）÷2∵AD=AC∴∠ADC=（180°-∠DAC）÷2=∠BAC÷2∵∠BEC=∠ADC+∠DCE∴∠DCE=∠BEC-∠ADC∴∠DCE=（180°-∠ABC）÷2-∠BAC÷2=（180°-∠ABC-∠BAC）÷2=∠ACB÷2=40°÷2=20°（2）如图2，当点D ,E在点A的同侧，且点D在点D′的位置，E在E′的位置时∵BE′=BC∠ABC=∠BCE′+∠BE′C∴∠BE′C=∠ABC÷2∵AD′=AC∴∠AD′C=（180°-∠BAC）÷2∵∠AD′C=∠D′CE′+∠BE′C∴∠D′CE′=∠AD′C -∠BE′C∴∠D′CE′=（180°-∠BAC）÷2-∠ABC÷2=（180°-∠BAC -∠ABC）÷2=∠ACB÷2=40°÷2=20°（3）如图3，当点D，E在点A的两侧，且点E在E′的位置时∵BE′=BC∴∠BE′C=（180°-∠CBE′）÷2=∠ABC÷2∵AD=AC∴∠ADC=（180°-∠DAC）÷2=∠BAC÷2∵∠DCE′=180°-（∠BE′C+∠ADC）∴∠DCE′=180°-（∠ABC+∠BAC）÷2=180°-（180°-∠ACB）÷2=110°（4）如图4，当点D，E在点A的两侧，且点D在D′的位置时∵AD′=AC∴∠AD′C=（180°-∠BAC）÷2∵BE=BC∴∠BEC=（180°-∠ABC）÷2∴∠D′CE=180°-（∠BEC+∠AD′C）=180°-（180°-∠ABC）÷2-（180°-∠BAC）÷2=(∠BAC+∠ABC)÷2=（180°-∠ACB）÷2=（180°-40°）÷2=70°故∠DCE的度数为20°或70°或110°故选C试题难度：三颗星知识点：分类讨论7.等腰三角形一腰上的中线把周长分为15cm和27cm的两部分,则这个等腰三角形的底边长是( )A.6cmB.22cmC.6cm或22cmD.10cm或18cm答案：A解题思路：（1）考点：分类讨论，等腰三角形的性质（2）解题过程：如图，在等腰△ABC中，AB=AC，BD为△ABC的中线．①若AB+AD=15，BC+CD=27，则可得3AD=15，∴AD=CD=5，∴AB=AC=10，BC=27-5=22，此时三角形的三边长为10,10,22，不能构成三角形，不成立．②若AB+AD=27，BC+CD=15，则可得3AD=27，∴AD=CD=9，∴AB=AC=18，BC=15-9=6．此时三角形的三边长为18,18,6，能构成三角形，成立．即底边长为6cm．故选A试题难度：三颗星知识点：分类讨论8.如图,在△ABC中,AB=AC=10cm,BC=8cm,点D为AB的中点.点P在线段BC上以3cm/秒的速度由B点向C点运动.同时,点Q在线段CA上以相同速度由C点向A点运动.一个点到达终点后另一个点也停止运动.当△BPD与△CQP全等时,点P运动的时间为( )A. B.C.1D.1或答案：C解题思路：∵AB=AC，∴∠B=∠C，设点P，Q的运动时间为t，则BP=3t，CQ=3t，∵AB=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点，∴BD=×10=5cm，PC=（8-3t）cm，①当△BDP≌△CPQ时，BD=PC，BP=CQ，∴5=8-3t且3t=3t，解得t=1，②当△BDP≌△CQP时，∴BD=CQ，BP=PC，∴5=3t且3t=8-3t，解得t=且t=（舍去），综上所述，△BPD与△CQP全等时，点P运动的时间为1秒．故选C试题难度：三颗星知识点：动点问题9.如图,每个小方格都是边长为1的正方形,点A,B是方格纸的两个格点(即正方形的顶点),在这个4×4的方格纸中,找出格点C,使△ABC是等腰三角形,这样的点C共有( )个.A.4B.6C.8D.10答案：C解题思路：本题考查的是等腰三角形的存在性，借助两圆一线进行处理.如图，分别以A，B为圆心，以AB为半径作圆；作线段AB的垂直平分线；共与格点有8个交点故选C试题难度：三颗星知识点：等腰三角形10.在等边△ABC所在的平面内求一点P,使△PAB,△PBC,△PAC都是等腰三角形,具有这样性质的点P有( )A.1B.4C.7D.10答案：D解题思路：本题考查的是等腰三角形的存在性，借助两圆一线进行处理.如图，分别以A，B，C为圆心，以等边三角形边长为半径作圆；作三边的的垂直平分线；共有满足题意的P点10个.故选D试题难度：三颗星知识点：等腰三角形。
等腰平行四边形分类讨论专题
等腰平行四边形分类讨论专题
简介
这份文档将讨论等腰平行四边形的分类问题。
等腰平行四边形
是一种具有特定性质的四边形，它有两对平行边和两对相等的内角。
我们将通过分类讨论的方式，探讨不同类型的等腰平行四边形及其
特征。
分类一：矩形
矩形是一种特殊的等腰平行四边形。
它的两对内角都是直角（90度），且两对边都相等长。
矩形具有高度和宽度相等的特点，因此可以看作是正方形的一种特例。
分类二：正方形
正方形也是一种特殊的矩形，其中所有内角都是直角，且四边
长度相等。
正方形具有高度、宽度和边长都相等的特点，是最特殊
的等腰平行四边形。
分类三：菱形
菱形是一种特殊的等腰平行四边形，它的两对边长都相等，但内角并不一定是直角。
菱形有一个特殊的性质，就是对角线相互垂直，且互相平分。
分类四：一般等腰平行四边形
一般的等腰平行四边形指的是既不是矩形、正方形、也不是菱形的等腰平行四边形。
这种类型的四边形具有两对平行边和两对相等内角，但没有其他特殊性质。
结论
等腰平行四边形可以分为矩形、正方形、菱形和一般等腰平行四边形四种类型。
它们分别具有不同的特征和性质，我们可以通过观察它们的边长和内角来判断其所属类型。
专题：分类讨论
共5页 第 1 页专题：分类讨论一、 例题选讲（一）概念中的分类讨论 1．==+x x 则,512.若||3,||2,,( )a b a b a b ==>+=且则A ．5或-1B ．-5或1C ．5或1D ．-5或-1（二）含有参变量的分类讨论3. 如果x mx 29++是一个完全平方式，那么m 的值为（ ）A. ±3B. ±9C. ±6D. 6（三）运动变化中的分类讨论4．A 、B 两地相距450千米，甲、乙两车分别从A 、B 两地同时出发，相向而行．已知甲车速度为120千米/时，乙车速度为80千米/时，经过t 小时两车相距50千米，则t 的值是（ ）.A ．2或2．5B ．2或10C ．10或12．5D ．2或12．55.如图，如果正方形CDEF 旋转后能与正方形ABCD 重合，那么图形所在的平面上可以作为旋转中心的点共有 个。
（四）几何图形不确定的分类讨论6．直角三角形的两边为3，4，则第三边为7.已知等腰三角形的一条边长等于6，另一条边长等于4，则此等腰三角形的周长是（ ）.A ．16B ．14C ．16或14D ．16或12（五）实际应用中进行的分类讨论 例4. 某水果批发市场香蕉的价格如下表：共5页 第 2 页张强两次共购买香蕉50千克（第二次多于第一次），共付出264元，请问张强第一次、第二次分别购买香蕉多少千克？※小结归纳:用分类讨论思想解决问题的一般步骤是： 1、先明确需讨论的对象；2、正确选择分类的标准，进行合理分类；（统一标准，不重不漏）3、逐类讨论解决；4、归纳并作出结论。
二、能力训练1． 若点P 在x 轴上，与点M(2,0)的距离为2，则点P 的坐标为 2.已知，等腰三角形的一条边长等于6，另一条边长等于3，则此等腰三角形的周长是（ ）A ．9B ．12C ．15D ．12或153．若等腰三角形中有一个角等于50 ，则这个等腰三角形的顶角的度数为（ ）A ．50B ．80C ．65 或50D ．50 或804. 已知x y ==412，||，则xy的值等于 。
分类讨论专题
2、已知△ABC周长为20cm，AB=AC， 其中一边边长是另一边边长的2倍， BC长多少？
三、分类讨论常见题目：
（三）线段与多边形
3、一个多边形去掉1个角后的内角和 是1440o，原来这个多边形的边数 是多少？
三、分类讨论常见题目：
（四）购物问题 1、富城书店推出售书优惠方案：①一次性购 书不超过100元，不享受优惠；②一次性购 书超过100元，但不超过200元，一律打九折； ③一次性购书超过200元，一律打八折。如 果小明一次性购书 付款162元，那么小明所 购书的价格为多少。
一、什么是分类讨论？
在数学中，如果一个命题的条件 或结论不唯一确定，有多种可能 情况，难以统一解答，就需要按 可能出现的各种情况分门别类的 加以讨论，最后综合归纳出问题 的正确答案，这种解题方法叫做 分类讨论。
二、分类讨论的问题中有三个重 要的注意事项：
1. 什么样的题会出现分类讨论思想--往往是在 题目中的基本步骤中出现了“条件不确定，无 法进行下一步”(如几何中，画图的不确定；代 数中，出现字母系数等)。 2. 分类讨论需要注意什么----关键是“不重、 不漏”，特别要注意分类标准的统一性。 3. 分类讨论中最容易错的是什么--总是有双重 易错点“讨论有重漏，讨论之后不检验是否合 题意”。
（五）行程问题
A、B两地相距480千米，一列慢车 从A地开出，每小时行60千米；一 列快车从B地开出，每小时行65千 米。慢车先开出1小时，两车相向 而行，慢车开出多少小时后，两车 相距100千米？
三、分类讨论常见题目：
（六）结果是否符合题意。
三人分糖，每人都得整数块，乙比丙 多得13块，甲所得的糖果数是乙的2倍， 已知糖果总数是一个小于50的质数， 且它的各位数字之和为11，试求甲、 乙、丙各分得几块糖？
分类讨论专题说课稿模板
分类讨论专题说课稿模板尊敬的评委老师，亲爱的同事们，大家好。
今天我将就“分类讨论”这一数学教学方法进行专题说课。
分类讨论是数学中一种重要的解题策略，它要求我们根据不同的条件将问题划分为不同的类别，然后逐一解决。
下面我将从教学目标、教学内容、教学方法、教学过程和教学反思五个方面进行详细阐述。
一、教学目标1. 知识与技能：使学生理解分类讨论的概念，掌握分类讨论的基本方法和步骤。
2. 过程与方法：通过实际问题的解决，培养学生的逻辑推理能力和问题解决能力。
3. 情感态度与价值观：激发学生对数学学习的兴趣，培养学生严谨的科学态度。
二、教学内容本次说课的内容是高中数学中的“分类讨论”专题，包括但不限于：- 分类讨论的定义和重要性。
- 分类讨论的一般步骤：确定分类标准、进行分类、逐类讨论、综合结论。
- 常见分类讨论问题类型：如不等式问题、函数问题等。
三、教学方法1. 启发式教学：通过提问引导学生思考，激发学生的探究欲望。
2. 案例教学：选取典型问题，通过具体案例分析，帮助学生理解分类讨论的应用。
3. 合作学习：鼓励学生分组讨论，共同解决复杂问题，培养团队协作能力。
四、教学过程1. 导入新课：通过一个简单的分类讨论问题引入主题，激发学生兴趣。
2. 讲解新知：系统介绍分类讨论的概念、方法和步骤。
3. 案例分析：选取几个典型问题，引导学生进行分类讨论，分析问题解决过程。
4. 实践操作：让学生独立或小组合作解决一些练习题，巩固所学知识。
5. 总结反馈：对学生的学习情况进行总结，提出改进建议。
五、教学反思在教学过程中，我将注意以下几点：- 观察学生的反应，及时调整教学策略。
- 鼓励学生提问，对疑问进行耐心解答。
- 反思教学方法是否有效，学生是否真正理解了分类讨论的方法。
最后，希望通过本次说课，能够使大家对分类讨论有更深入的理解，并在今后的教学中更好地运用这一方法。
谢谢大家。
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例1：当m k 、为何值时，方程组⎩⎨⎧+-=+=4
)12(x k y m kx y ：
（1）有唯一一组解；（2）无解；（3）有无数组解.
练：1.关于y x 、方程组⎩
⎨⎧=-=+1293y x y ax 无解，则a 的值为（ ） A.-6 B.6 C.9 D.30 2.为何值时，关于y x 、方程组⎩⎨
⎧+-=+=2)13(x k y b kx y ：
（1）有唯一一组解；（2）无解；（3）有无数组解.
例2：m 为正整数，已知关于y x 、的二元一次方程组⎩⎨
⎧=-=+023102y x y mx 有整数解，求2m 的值.
练：1.关于y x 、的二元一次方程组⎩⎨
⎧=+=-266634my x y x 有整数解，求整数m 的值.
2.m 为正整数，若关于y x 、的二元一次方程组⎩⎨
⎧=+=-6
2y mx y x 有非负整数解，求方程组的解.
3.方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+6
12y x y x 的解为 .
例1：解不等式：（1）0)2)(3(<-+x x ； （2）
03215≥++x x ；
（3）32-≥x ax ； （4）35≤+x ； （6）()0)2(<-+x x x .
例2：（1）若关于x 的不等式组⎩⎨
⎧+<->3
22m x m x 无解，则m 满足_____________。
（2）若关于x 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>+<--x x a x x 4
22)2(3有解，则a 满足______________。
（3）若关于x 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>-<+x x m m x 3
2的解集是2-<x ，则m 满足_____________。
（4）已知关于x 的不等式组⎩⎨⎧<+≥-0
23032x a x a 恰有3个整数解，则a 满足______________。
（5）目前使用手机，有两种付款方式，第一种先付入网费，根据手机使用年限，平均每月 分摊8元，然后每月必须缴50元的占号费，除此之外，打市话1分钟付费0.4元；第二种方式将储值卡插入手机，不必付入网费和占号费，打市话1分钟0.6元．若每月通话时间为x 分钟，使用第一种和第二种付款方式的电话费分别为1y 和2y ，请算一算，哪种对用户合算．
1.等腰三角形的两边长为4和8，则其周长为 .
2.等腰三角形的一个角是另一个的4倍，则其顶角为 .
3.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为25°，则其顶角为 .
4.等腰三角形底边长为5cm ，一腰上的中线把其周长分成两部分的差为3cm ，则腰长为 .
5.BD 、CE 是△ABC 的高，直线BD 、CE 相交所成的角中有一个50°，则∠A= .
【同步训练】
1.若b a 、均为正整数，且1022=+>b a b a ，
，则b 的值为 . 2.方程1)2()1(22=-++y x 的整数解有 组. 方程1132=+++--y x y x 的整数解的个数是 .
3.不解方程组，判定下列方程组解的情况：
①⎩⎨⎧=-=-96332y x y x ②⎩⎨⎧=-=-32432y x y x
③⎩⎨⎧=-=+153153y x y x 4.a 取什么值时，方程组⎩⎨⎧+-=--+=+2
29691322a a y x a a y x 的解是正数？
5.a 取哪些正整数值，方程组⎩⎨
⎧=--=+a
y x a y x 24352的解x 和y 都是正整数？
6.要使方程组⎩
⎨⎧=-=+12y x k ky x 的解都是整数， k 应取哪些整数值？
7.比较231a a -+和2
25a a +-的大小
8.某中学全体师生租乘同类型客车若干辆外出春游，如果每辆车坐22人，就会余下1人；如果开走一辆空车，那么所有师生刚好平均分乘余下的汽车，已知每辆车的容量不多于32人，那么师生有多少人？
9.已知z y x 、、为3个非负数，且满足2523=-+=++z y x z y x ，，若S=z y x -+2， 则S 的最大值与最小值的和为 .
平面直角坐标系中的分类讨论 1.如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点．△ABC 的边BC 在x 轴上，A 、C 两点的坐标分别为A （0，m ）、C （n ，0），B （-5，0），且012-3)3-(2=+m n ，点P 从B 出发，以每秒2个单位的速度沿射线BO 匀速运动，设点P 运动时间为t 秒．
（1）求A 、C 两点的坐标；
（2）连接PA ，用含t 的代数式表示△POA 的面积；
（3）在（2）条件下，是否存在点P ，使△POA 与△AOC 面积相等？若存在，请求出t 的值并直接写出P 点坐标；若不存在，请说明理由．
2.如图1，在平面直角坐标系中，A （a ，0），C （b ，2），且满足(a +2)2
+2-b ＝0，过C 作CB ⊥x 轴于B ．
（1）求三角形ABC 的面积．
（2）若过B 作BD ∥AC 交y 轴于D ，且AE ，DE 分别平分∠CAB ，∠ODB ，如图2， 求∠AED 的度数．
（3）在y 轴上是否存在点P ，使得三角形ABC 和三角形ACP 的面积相等？若存在， 求出P 点坐标；若不存在，请说明理由．。