江西省2014届高三下学期4月联考测试数学(理)试题(word版)
2014年江西卷理科数学高考试卷(原卷 答案)
绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)理科数学本试卷共22题，共150分。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第I 卷（选择题）一、单选题1．z 是z 的共轭复数. 若2=+z z ，2)(=−i z z （i 为虚数单位），则=z （ ） A ．i +1 B ．i −−1 C ．i +−1 D ．i −1 2．函数的定义域为（ ） A ．B ．C ．D ．3．已知函数，，若，则（ ）A ．1B ．2C ．3D ．-14．在中，内角A,B,C 所对应的边分别为，若则的面积（ ）A ．3B ．C ．D ．5．一几何体的直观图如右图，下列给出的四个俯视图中正确的是（ ）A ．B ．C．D．6．某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查了52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是（）表1表2表3表4．成绩．视力．智商．阅读量7．阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（）A ．7B ．9C ．10D ．118．若()()122f x x f x dx =+⎰,则()1f x dx =⎰（ ）A ．1−B ．13−C ．13D ．19．在平面直角坐标系中，,A B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线240x y +−=相切，则圆C 面积的最小值为（ ）A ．45πB ．34π C ．(6π−D ．54π 10．如右图，在长方体1111ABCD A B C D −中，AB =11，AD =7，1AA =12，一质点从顶点A 射向点()4312E ，，，遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理），将1i −次到第i 次反射点之间的线段记为()2,3,4i L i =，1L AE =，将线段1234,,,L L L L 竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是（ ）A ．B ．C ．D ．11．对任意,x y R ∈,111x x y y −++−++的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．412．(2).（坐标系与参数方程选做题）若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段()101y x x =−≤≤的极坐标为（ ） A ．1,0cos sin 2πρθθθ=≤≤+B ．1,0cos sin 4πρθθθ=≤≤+第II 卷（非选择题）二、填空题13．10件产品中有7件正品，3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是________. 14．若曲线x y e −=上点P 处的切线平行于直线210x y ++=，则点P 的坐标是________. 15．已知单位向量1e 与2e 的夹角为α，且1cos 3α=，向量1232a e e =−与123b e e =−的夹角为β，则cos β= .16．过点(1,1)M 作斜率为12−的直线与椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>相交于,A B ，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率为 ．三、解答题17．已知函数()sin()cos(2)f x x a x θθ=+++，其中,(,)22a R ππθ∈∈−（1）当4a πθ==时，求()f x 在区间[0,]π上的最大值与最小值；（2）若()0,()12f f ππ==，求,a θ的值.18．（本小题满分12分） 已知首项都是1的两个数列（），满足.（1）令，求数列的通项公式； （2）若13n n b −=，求数列的前n 项和19． 已知函数.（1）当时，求的极值；（2）若在区间1(0,)3上单调递增，求b 的取值范围.20．(本小题满分12分) 如图，四棱锥中，为矩形，平面平面.求证：若问为何值时，四棱锥的体积最大？并求此时平面与平面21．如图，已知双曲线()222:10x C y a a−=>的右焦点为F ,点,A B 分别在C 的两条渐近线上，AF x ⊥轴，AB OB ⊥,//BF OA (O 为坐标原点）. （1）求双曲线C 的方程；（2）过C 上一点()()000,0P x y y ≠的直线002:1x xl y y a −=与直线AF 相交于点M ，与直线32x =相交于点N ，证明：点P 在C 上移动时，MFNF恒为定值，并求此定值.22．随机将()1,2,,2,2n n N n *⋅⋅⋅∈≥这2n 个连续正整数分成A,B 两组，每组n 个数，A 组最小数为1a ，最大数为2a ；B 组最小数为1b ，最大数为2b ，记2121,a a b b ξη=−=− （1）当3n =时，求ξ的分布列和数学期望；（2）令C 表示事件ξ与η的取值恰好相等，求事件C 发生的概率()p c ；（3）对（2）中的事件C,c 表示C 的对立事件，判断()p c 和()p c 的大小关系，并说明理由．2014年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)理科数学(参考答案)1．D【解析】试题分析：设,(,)z a bi a b R =+∈，则,z a bi =−由2=+z z 得：1a =，由2)(=−i z z 得：1b =−，所以1,z i =−选D. 2．C【解析】试题分析：由题意得：20,x x −>解得1,x >或0x <，所以选C. 3．A【解析】试题分析：因为((1))15f g ==，所以(1)0,=g 即选A.4．C【解析】试题分析：因为所以由余弦定理得：2222cos3c a b ab π=+−，即26,6ab ab ab −+=−=，因此的面积为1sin 3,222ab C =⨯=选C. 5．B【详解】解：几何体的俯视图，轮廓是矩形，几何体的上部的棱都是可见线段，所以C 、D 不正确；几何体的上部的棱与正视图方向垂直，所以A 不正确，故选B ． 6．D【详解】根据公式()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d −=++++分别计算得：A.2252(6221014):0.00916363220A K ⨯−⨯=≈⨯⨯⨯;2252(4201216): 1.76916363220B K ⨯−⨯=≈⨯⨯⨯;2252(824812): 1.316363220C K ⨯−⨯=≈⨯⨯⨯;2252(143062):23.4816363220D K ⨯−⨯=≈⨯⨯⨯选项D 的值最大，所以与性别有关联的可能性最大,故选D. 7．B 【解析】试题分析：i =1,s =0运行第一次，s =lg 13，s <−1不成立； i =3， 运行第二次，s =lg 13+lg 35=lg 15，s <−1不成立； i =5，运行第三次，s =lg 1+lg 5=lg 1，s <−1不成立；i =7，运行第四次，s =lg 17+lg 79=lg 19，s <−1不成立；i =9，运行第五次，s =lg 19+lg 911=lg 111，s <−1成立； 输出i 的值9，结束 故选B. 8．B 【解析】试题分析：设()12()2f x dx c f x x c =⇒=+⇒⎰()1311000111|2|2333f x dx x cx c c c =+=+=⇒=−⎰，故选B ． 9．A【详解】试题分析：设直线:240l x y +−=因为1||||2C l OC AB d −==，1c d −表示点C 到直线l 的距离，所以圆心C 的轨迹为以O 为焦点，l 为准线的抛物线，圆C的半径最小值为11225O l d −==，圆C面积的最小值为2455ππ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭．故本题的正确选项为A. 10．C 【解析】 试题分析：因为37411>，所以1A E 延长交11D C 于F ，过F 作FM 垂直DC 于.M 在矩形1AA FM 中分析反射情况：由于35105AM =>，第二次反射点为1E 在线段AM 上，此时153E M =,第三次反射点为2E 在线段FM 上，此时24E M =,第四次反射点为3E 在线段1A F 上,由图可知，选C.11．C 【详解】因为111x x y y −++−++(1)(1)(1)123x x y y ≥−−+−−+=+=，当且仅当01,11x y ≤≤−≤≤时取等号，所以111x x y y −++−++的最小值为3，故选C. 12．A试题分析：根据cos ,sin ,0,[0,2]x y ρθρθρθπ==>∈，()101y x x =−≤≤得：[0,1],sin 1cos ,(0cos 1,0sin 1,)y ρθρθρθρθ∈=−≤≤≤≤解得1,0cos sin 2πρθθθ=≤≤+，选A.13．12【解析】试题分析：从10件产品中任取4件，共有410C 种基本事件，恰好取到1件次品就是取到1件次品且取到3件正品，共有1337C C ，因此所求概率为13374101.2C C C = 14．(ln 2,2)−【解析】试题分析：设切点P (,)a b ，则由x y e −'=−得：2,2,ln 2,2a a a k e e a b e −−−=−=−==−==，所以点P 的坐标是(ln 2,2)−.15．3【解析】试题分析：因为22111942329,912318,929118,333a b a b =+−⨯⨯⨯==+−⨯⨯⨯=⋅=+−⨯⨯⨯=所以cos 3β==16．2【解析】试题分析：设A ()11,x y ，B ()22,x y ，则2211221x y a b +=①，2222221x y a b+=②，∵M 是线段AB 的中点，∴12121,122x x y y ++==，∵直线AB 的方程是()1112y x =−−+，∴()121212y y x x −=−−，∵过点M （1，1）作斜率为12−的直线与椭圆C ：22221x y a b+=（a ＞b ＞0）相交于A ，B 两点，M 是线段AB 的中点，∴①②两式相减可得22221212220x x y y a b−−+=，即2221202a c b a b ⎛⎫+−⋅=∴=∴= ⎪⎝⎭2c e a ∴==． 17．（1）最大值为,2最小值为-1. （2）1{.6a πθ=−=−试题解析：解（1）当4a πθ==时，()sin())sin cos sin()42224f x x x x x x x πππ=++=+=−因为[0,]x π∈，从而3[,]444x πππ−∈−故()f x 在[0,]π上的最大值为2最小值为-1. （2）由()0{2()1f f ππ==得2cos (12sin )0{2sin sin 1a a a θθθθ−=−−=，又(,)22ππθ∈−知cos 0,θ≠解得1{.6a πθ=−=−18．（1）2 1.n c n =−（2）(1)3 1.nn S n =−⋅+ 【解析】试题解析：（1）因为，所以1112,2n nn n n na a c cb b +++−=−=所以数列{}n c 是以首项11c =，公差2d =的等差数列，故2 1.n c n =−（2）由13n n b −=知1(21)3n n n n a c b n −==−于是数列前n 项和0111333(21)3n n S n −=⋅+⋅++−⋅1231333(21)3n n S n =⋅+⋅++−⋅相减得121212(333)(21)32(22)3n n n n S n n −−=+⋅++−−⋅=−−⋅所以(1)3 1.n n S n =−⋅+19．（1）()f x 在2x =−取极小值0，在0.x =取极大值4.（2）1(,].9−∞ 【解析】 试题解析：（1）当时，()f x '=由()0f x '=得2x =−或0.x =当(,2)x ∈−∞−时，()0,()f x f x <'单调递减，当(2,0)x ∈−时，()0,()f x f x >'单调递增，当1(0,)2x ∈时，()0,()f x f x <'单调递减，故()f x 在2x =−取极小值0，在0.x =取极大值4.（2）()f x '=因为当1(0,)3x ∈时0<依题意当1(0,)3x ∈时，有，从而53203b +−≤ 所以b 的取值范围为1(,].9−∞【解析】 试题解析：（1）证明：ABCD 为矩形，故AB ⊥AD ， 又平面PAD ⊥平面ABCD 平面PAD ⋂平面ABCD=AD所以AB ⊥平面PAD ，因为PD ⊂平面PAD ，故AB ⊥PD（2）解：过P 作AD 的垂线，垂足为O ，过O 作BC 的垂线，垂足为G ，连接PG. 故PO ⊥平面ABCD ，BC ⊥平面POG,BC ⊥PG 在直角三角形BPC 中，PG GC BG === 设,AB m =，则DP ==，故四棱锥P-ABCD 的体积为13V m ==因为=故当3m =时，即3AB =时，四棱锥的体积P-ABCD 最大.建立如图所示的空间直角坐标系， ()0,0,0,,,0,,,0,0,,0,0,333333O B C D P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫−⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 故设平面BPC 的法向量()1,,1,n x y =，则由1n PC ⊥,1n BC ⊥得0{ 333x y +−== 解得1,0,x y == ()11,0,1,n =同理可求出平面DPC 的法向量210,,1,2n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，从而平面BPC 与平面DPC 夹角θ的余弦值为12cos .5n n n n θ⋅===⋅11 / 1221．（1）221.3x y −=（2）MF NF =【详解】（1）设(c,0)F ，因为1b =，所以c =由题意可得，直线OB 方程为1y x a =−，直线BF 的方程为1()y x c a =−，联立解得(,)22c cB a −，而直线OA 的方程为1y x a =，则(,),c A c a∴3.AB k a= 又因为AB ⊥OB ，所以31()1a a ⨯−=−，解得23a =，故双曲线C 的方程为22 1.3x y −=（2）由（1）知a =l 的方程为0001(0)3x xy y y −=≠，即0033x x y y −=因为直线AF 的方程为2x =，所以直线l 与AF 的交点0023(2,)3x M y −， 直线l 与直线32x =的交点为003332(,)23x N y−，则220222004(23)9[(2)]MF x y x NF −=+−． 因为()00,P x y 是C 上一点，则2200 1.3x y −=，代入上式得222002222200004(23)4(23)49[(2)]39[1(2)]3MF x x x y x NFx −−===+−−+−，故所求定值为3MF NF =．7.2E ξ=（2）当2n =时，42()63P C ==，当3n ≥时22122(2)()n kk k nnC P C C −=+=∑ （3）当2n =时，()(),P C P C >当3n ≥时，()(),P C P C <【解析】试题解析：（1）当3n =时，ξ所有可能值为2,3,4,5.将6个正整数平均分成A,B 两组，不同的分组方法共有3620C =种，所以ξ的分布列为12 / 12133172345.5101052E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=（2）ξ和η恰好相等的所有可能值为1,,1,,2 2.n n n n −+− 又ξ和η恰好相等且等于1n −时，不同的分组方法有2种； ξ和η恰好相等且等于n 时，不同的分组方法有2种；ξ和η恰好相等且等于(1,2,,2),(3)n k k n n +=−≥时，不同的分组方法有22kk C 种；所以当2n =时，42()63P C == 当3n ≥时22122(2)()n kk k n nC P C C−=+=∑（3）由（2）当2n =时，1(),3P C =因此()(),P C P C > 而当3n ≥时，()(),P C P C <理由如下：()(),P C P C <等价于22214(2)n k nk n k C C −=+<∑①用数学归纳法来证明：1当3n =时，①式左边124(2)16,C =+=①式右边3620,C ==所以①式成立2假设(3)n m m =≥时①式成立，即22214(2)m k mk m k C C −=+<∑成立那么，当1n m =+时，①式左边122112222222114(2)4(2)44m m k k m m m kk m m m k k CC C C C +−−++++===+=++<+∑∑2(2)!4(22)!(1)(2)(22)!(41)!!(1)!(1)!(1)!(1)!m m m m m m m m m m m m ⨯−+−−=+=−−++ 2112222(1)(2)(22)!(4)2(1)(1)!(1)!(21)(21)m m m m m m m m m m C C m m m m +++++−+<=⋅<+++−=①式右边即当1n m =+时①式也成立综合12得，对于3n ≥的所有正整数，都有()()P C P C <成立。
2014年江西高考理科数学试卷(带详解)
2014·江西卷(理科数学)1.[2014·江西卷] z 是z 的共轭复数，若z ＋z ＝2，(z －z )i ＝2(i 为虚数单位)，则z ＝( ) A.1＋i B.－1－i C.－1＋i D.1－i 【测量目标】复数的基本运算【考查方式】给出共轭复数和复数的运算，求出z 【参考答案】D 【难易程度】容易【试题解析】 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i ，所以2a ＝2，－2b ＝2，得a ＝1，b ＝－1，故z ＝1－i. 2.[2014·江西卷] 函数f (x )＝ln(2x －x )的定义域为( )A.(0，1]B.[0，1]C.(－∞，0)∪(1，＋∞)D.(－∞，0]∪[1，＋∞) 【测量目标】定义域【考查方式】根据对数函数的性质，求其定义域 【参考答案】C 【难易程度】容易【试题解析】由2x －x >0，得x >1或x <0.3.[2014·江西卷] 已知函数f (x )＝||5x ，g (x )＝2ax －x (a ∈R ).若f [g (1)]＝1，则a ＝( ) A.1 B.2 C.3 D.－1 【测量目标】复合函数【考查方式】给出两个函数，求其复合函数 【参考答案】A 【难易程度】容易【试题解析】由g (1)＝a －1，由()1f g ⎡⎤⎣⎦＝1，得|1|5a －＝1，所以|a －1|＝0，故a ＝1.4.[2014·江西卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若22()c a b ＝－＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A.3 D.【测量目标】余弦定理，面积【考查方式】先利用余弦定理求角，求面积 【参考答案】C 【难易程度】容易【试题解析】由余弦定理得， 222cos =2a b c C ab+-＝262ab ab -＝12，所以ab ＝6，所以ABC S ＝1sin 2ab C ＝5.[2014·江西卷] 一几何体的直观图如图所示，下列给出的四个俯视图中正确的是( )第5题图LLJ73-77A B C D【测量目标】三视图【考查方式】给出实物图，判断俯视图【参考答案】B【难易程度】容易【试题解析】易知该几何体的俯视图为选项B中的图形.6.[2014·江西卷] 某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是()表1A.成绩B.视力C.智商【测量目标】卡方分布的应用【考查方式】直接给出表格，观察最大变量与性别的关系【参考答案】D【难易程度】中等【试题解析】根据表格我们可以得出()22 215262214105281636203216362032χ⨯⨯-⨯⨯==⨯⨯⨯⨯⨯⨯，()()2222521651612521671636203216362032χ⨯⨯-⨯⨯⨯==⨯⨯⨯⨯⨯⨯，()()222352248812521281636203216362032χ⨯⨯-⨯⨯⨯==⨯⨯⨯⨯⨯⨯，()()222452143026526861636203216362032χ⨯⨯-⨯⨯⨯==⨯⨯⨯⨯⨯⨯.分析判断24χ最大，所以选择D. 7.[2014·江西卷] 阅读如程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为()第7题图 LLJ78A.7B.9C.10D.11【测量目标】循环结构的程序框图【考查方式】给定带有循环结构的算法程序框图，分析每一次执行的结果并判断是否满足条件，最后得出答案. 【参考答案】B 【难易程度】中等【试题解析】当1i =时，10lglg 33S =+=->-1,123i =+=,3lg 3lg lg 55S =-+=->-1, 325i =+=,5lg 5lg lg 77S =-+=->-1，527i =+=,7lg 7lg lg 99S =-+=->-1 729i =+=,9lg 9lg lg1111S =-+=-<-1所以输出9i =.8.[2014·江西卷] 若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，则⎠⎛01f (x )d x ＝( )【测量目标】定积分【考查方式】给出函数的表达式，求积分 【参考答案】B 【难易程度】容易【试题解析】1()0f x dx ⎰＝()211200x f x dx ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦⎰⎰＝130112()03x f x dx x ⎡⎤⎛⎫+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎰＝112()03f x dx +⎰,得1()0f x dx ⎰＝13－. 9.[2014·江西卷] 在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y－4＝0相切，则圆C 面积的最小值为( )A.4π 5B.3π4C.(6π-D.5π4【测量目标】直线与圆的位置关系，面积和最值 【考查方式】已知直线与圆的位置关系，求圆的面积 【参考答案】A 【难易程度】中等【试题解析】由题意知，圆C 必过点O (0，0)，故要使圆C 的面积最小，则点O 到直线l 的距离为圆C 的直径，即2r 所以r 4=π5S10.[2014·江西卷] 如图所示，在长方体ABCD 1111A B C D 中，AB ＝11，AD ＝7，1AA ＝12.一质点从顶点A 射向点E (4，3，12)，遇长方体的面反射(反射服从光的反射原理)，将第i －1次到第i 次反射点之间的线段记为(234)i L i ＝，，，1L ＝AE ，将线段1234L L L L ，，，竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是( )第10题图LLJ79A B C D 第10题图 LLJ80-83【测量目标】投影，直线与面的关系【考查方式】利用光的反射原理求其长度并判断图形 【参考答案】C 【难易程度】中等【试题解析】由题意，1L ＝AE ＝13.易知点E 在底面ABCD 上的投影为F (4，3，0)，根据光的反射原理知，直线 AE 和从点E 射向点1E 的直线1E E 关于EF 对称，因此1E (8，6，0)，且21L L ＝＝13.此时，直线1EE 和从点1E 射出所得的直线12E E 关于过点1E (8，6，0)和底面ABCD 垂直的直线对称，得2E ' (12，9，12).因为12>11，9>7，所以这次射出的点应在面11CDD C 上，设为2E ，求得31213==3L E E ，321L L L <＝最后一次，从点2E 射出，落在平面1111A B C D 上，求得4326>3L L =,故选C. 11.[2014·江西卷] (1)(不等式选做题)对任意x ，y ∈R ，|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4【测量目标】不等式【考查方式】利用不等式的性质，求最值 【参考答案】C 【难易程度】容易【试题解析】易知|x －1|＋|x |≥1，当且仅当0≤x ≤1时等号成立；|y －1|＋|y ＋1|≥2, 当且仅当－1≤y ≤1时等号成立.故|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|≥3. [2014·江西卷] (2)(坐标系与参数方程选做题)若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程为( ) A.1cos sin ρθθ=+，π02θ剟 B.1cos sin ρθθ=+，π04θ剟 C.ρ=cos sin θθ+，π02θ剟 D.ρ=cos sin θθ+，π04θ剟 【测量目标】极坐标方程【考查方式】直接把直线方程转化成极坐标方程 【参考答案】A 【难易程度】容易【试题解析】依题意，方程y ＝1－x 的极坐标方程为()cos sin ρθθ+＝1，整理得1cos sin ρθθ=+.因为0≤x≤1，所以 01y剟，结合图形可知π02θ剟. 12.[2014·江西卷] 10件产品中有7件正品、3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是________. 【测量目标】超几何分布【考查方式】根据超几何分布的表达式就可以求出概率 【参考答案】12【难易程度】容易【试题解析】由超几何分布的概率公式可得P (恰好取到一件次品)＝1337410C 12C C = 13.[2014·江西卷] 若曲线y ＝ex－上点P 处的切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，则点P 的坐标是________.【测量目标】直线与曲线的位置关系【考查方式】根据直线与曲线的位置关系，求其点的坐标 【参考答案】(－ln 2，2) 【难易程度】容易【试题解析】设点P 的坐标为00()x y ，，exy '－＝－又切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，所以0ex －－＝－2，可得0ln 2x ＝－，此时y ＝2，所以点P 的坐标为(－ln 2，2).14.[2014·江西卷] 已知单位向量1e 与2e 的夹角为α，且1cos =3α，向量a ＝3122e e －与b ＝123e e －的夹角为β，则cos β＝________.【测量目标】平面向量的夹角【考查方式】根据平面向量求其夹角的余弦值【难易程度】容易【试题解析】cos = ||||aba b β22=15.[2014·江西卷] 过点M (1，1)作斜率为－12的直线与椭圆22:22=1(>>0)x y C a b a b+相交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于________. 【测量目标】直线与椭圆的位置关系，离心率【考查方式】利用交点，联立方程找出关系，求其离心率 【参考答案】=2e 【难易程度】中等【试题解析】设点A (11x y ，)，点B (22x y ，)，点M 是线段AB 的中点，所以12x x ＋＝2，12y y ＋＝2，且2211222222221,1x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式作差可得22122x x a -＝22122()y y b --，即12122()()x x x x a +-＝12122()()y y y y b +--，所以1212y y x x --=y 1－y 2x 1－x 2＝22b a -，即AB k ＝22b a -.由题意可知，直线AB 的斜率为12-，所以22b a-＝12-，即a .又222a b c ＝＋，所以c ＝b ，e =. 16. [2014·江西卷] 已知函数f (x )＝sin(x ＋θ)＋a cos(x ＋2θ)，其中a ∈R ，ππ,22θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭. (1)当a π4θ=时，求f (x )在区间[0，π]上的最大值与最小值； (2)若π2f ⎛⎫⎪⎝⎭＝0，(π)f ＝1，求a ，θ的值. 【难易程度】容易【测量目标】三角函数最值，参数【考查方式】先转化函数解析式，在利用给定的定义域求其最值，在求参数的值 【试题解析】(1)f (x )＝sin π4x ⎛⎫+⎪⎝⎭＋2cos π2x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=2(sin x ＋cos x )x＝2cos x－2sin x ＝sin π4x ⎛⎫-⎪⎝⎭.因为x ∈[0，π]，所以π4－x ∈3ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故f (x )在区间[0，π]上的最大值为2，最小值为－1.(2)由()π02π1f f ⎧⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩得2cos (12sin )02sin sin 1.a a a θθθθ-=⎧⎨--=⎩又ππ,22θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，知cos 0θ≠，所以12sin 0(2sin 1)sin 1.a a a θθθ-=⎧⎨--=⎩ 解得1π6a θ=-⎧⎪⎨=-⎪⎩.17.[2014·江西卷] 已知首项都是1的两个数列{}n a ，{}n b (*0n b n ≠∈N ，)满足1112n n n n n n a b a b b b ＋＋＋－＋＝0. (1)令nn na cb =，求数列{}n c 的通项公式； (2)若13n n b －＝，求数列{}n a 的前n 项和.n S 【难易程度】容易【测量目标】等差数列，错位相减【考查方式】先求出等差数列，再利用错位相减求和【试题解析】(1)因为1112n n n n n n a b a b b b ＋＋＋－＋＝0，*0)n b n ≠∈N ，(，所以11n n a b ++－nna b ＝2，即1n n c c ＋－＝2，所以数列{}n c 是以1c ＝1为首项，d ＝2为公差的等差数列，故21.n c n ＝－(2)由13n n b －＝，知1(21)3n n a n －＝－，于是数列{}n a 的前n 项和n S ＝0121133353(21)3n n ⨯⨯⨯⋯⨯－＋＋＋＋－，3n S ＝1211333(23)3(21)3n n n n ⨯⨯⨯⨯ －＋＋＋－＋－， 将两式相减得－2n S ＝1＋1212(333)(2n n ⨯ －＋＋＋－－1)32(22)3n n n ⨯⨯＝－－－，所以(1)31.n n S n ＝－＋18. [2014·江西卷] 已知函数f (x )＝()2x bx b ++∈R . (1)当b ＝4时，求f (x )的极值；(2)若f (x )在区间10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，求b 的取值范围. 【难易程度】中等【测量目标】极值，单调性、函数的导数【考查方式】先利用求导求极值，再利用单调性求参数的取值范围【试题解析】(1)当b＝4时，f′(x)，由f′(x)＝0，得x＝－2或x＝0.所以当x∈(－∞，－2)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(－2，0)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈10,2⎛⎫⎪⎝⎭时，()0f x'<，f(x)单调递减，故f(x)在x＝－2处取得极小值f(－2)＝0，在x＝0处取得极大值f(0)＝4.(2) f′(x)，易知当x∈10,3⎛⎫⎪⎝⎭时，，依题意当x∈10,3⎛⎫⎪⎝⎭时，有5x＋(3b－2)…0，从而53＋(3b－2)…0，得1.9b…所以b的取值范围为1,9⎛⎤-∞⎥⎝⎦.19.[2014·江西卷]如图，四棱锥P ABCD中，ABCD为矩形，平面P AD⊥平面ABCD.(1)求证：AB⊥PD.(2)若∠BPC＝90︒，PBPC＝2，问AB为何值时，四棱锥P ABCD的体积最大？并求此时平面BPC与平面DPC夹角的余弦值.第19题图LLJ84【难易程度】中等【测量目标】线面、面面、线线位置关系，夹角的余弦值，法向量的应用【考查方式】先由线面位置关系来证线线位置关系，在建立直角坐标系利用向量求夹角的余弦值【试题解析】(1)证明：因为ABCD为矩形，所以AB⊥AD.又平面P AD⊥平面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，所以AB⊥平面P AD，故AB⊥PD.(2)过P作AD的垂线，垂足为O，过O作BC的垂线，垂足为G，连接PG.故PO⊥平面ABCD，BC⊥平面POG，BC⊥PG.在Rt△BPC中，PG，GC，BG设AB ＝m，则OPP-ABCD的体积为1=3V m=因为=mABP-ABCD的体积最大.此时，建立如图所示的空间直角坐标系，各点的坐标分别为O(0，0，0)，B⎫⎪⎪⎝⎭，C⎫⎪⎪⎝⎭，D⎝⎛⎭⎫0，263，0，P⎛⎝⎭，故BP＝⎝⎭，BC＝(0，6，0)，CD⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭.设平面BPC的法向量1(,,1),n x y=则由1n PC⊥,1n BC⊥得y+=⎨⎪=⎩，解得1,0,x y ==1(1,0,1),n = 同理可求出平面DPC 的法向量21(0,,1),2n = ，从而平面BPC 与平面DPC 夹角θ的余弦值为1212cos ||||n n n n θ⋅==⋅第19题图LLJ84b20. [2014·江西卷] 如图，已知双曲线()22:210x C y a a -=>的右焦点F ,点,A B 分别在C 的两条渐近线上，AF OB ⊥，BF OA P (O 为坐标原点).(1)求双曲线C 的方程；(2)过C 上一点()()000,0P x y y ≠的直线0:021x y l y y a-=与直线AF 相交于点M ，与直线23=x 相交于点N ，证明点P 在C 上移动时，NFMF恒为定值，并求此定值第20题图 LLJ85【难易程度】较难【测量目标】双曲线方程和离心率、焦点，直线与曲线的位置关系【考查方式】先求出双曲线方程，再利用直线与曲线的位置关系求第二问【试题解析】(1)设(,0)F c ，因为1b =，所以c 直线OB 方程为1y x a =-，直线BF 的方程为1()y x c a =-，解得(,)22c c B a -,又直线OA 的方程为1y x a =，则3(,),.AB c A c k a a =又因为AB ⊥OB ，所以31()1a a-=-，解得23a =，故双曲线C 的方程为22 1.3x y -=(2)由(1)知a =l 的方程为0001(0)3x x y y y -=≠，即0033x x y y -=,因为直线AF 的方程为2x =，所以直线l 与AF 的交点0023(2,)3x M y -,直线l 与直线32x =的交点为003332(,)23x N y-,则220222004(23)9[(2)]x MF NF y x -=+-,因为是C 上一点，则2200 1.3x y -=，代入上式得222002222200004(23)4(23)49[(2)]39[1(2)]3x x MF x NF y x x --===+--+-，所求定值为MF NF =.21.[2014·江西卷] 随机将()1,2,,2,2n n n *⋅⋅⋅∈N …这2n 个连续正整数分成A ,B 两组，每组n 个数，A 组最小数为1a ，最大数为2a ；B 组最小数为1b ，最大数为2b ，记2112,a a b b ξη=-=- (1)当3n =时，求ξ的分布列和数学期望；(2)令C 表示事件ξ与η的取值恰好相等，求事件C 发生的概率()P C ；(3)对(2)中的事件C 的对立事件，判断()P C 和. 【难易程度】难【测量目标】分布列和数学期望，概率，数学归纳法【考查方式】先求出分布列和数学期望，在求出其概率，最后在利用数学归纳法【试题解析】(1)当3n =时，ξ所有可能值为2,3,4,5.将6个正整数平均分成A ,B 两组，不同的分组方法共有3620C =种，所以ξ的分布列为:133172345.5101052E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=(2)ξ和η恰好相等的所有可能值为1,,1,,2 2.n n n n -+- 又ξ和η恰好相等且等于1n -时，不同的分组方法有2种；ξ和η恰好相等且等于n 时，不同的分组方法有2种；ξ和η恰好相等42()63P C ==;当3n …时,()(),P C P C <理由如下：式左边124(2C )16,=+=①式右.那么，当1n m =+时，①(2)!4(22)!(1)(2)(22)!(41)!!(1)!(1)!(1)!(1)!m m m m m m m m m m m m ⨯-+--=+=--++①式右边.即当1n m =+时①式也成立,综合1 2 得，对于3n …的所有正整数，都有()()P C P C <成立.。
2014年江西高考理科数学试题及答案(精华整理版)
2014年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）理科数学（含参考答案）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，第I 卷第1至2页，第II 卷第3至第4页。
满分150分，考试时间120分钟。
考生注意：1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写答题卡上。
考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2.第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
第II 卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效。
3.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。
参考公式：x 2=))()()(()(2d b c a d c b a bc ad n ++++-；一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、z 是z 的共轭复数. 若2=+z z ，2)(=-i z z （i 为虚数单位），则=z （ ） A. i +1 B. i --1 C. i +-1 D. i -12、 函数)ln()(2x x x f -=的定义域为（ ）A.)1,0(B. ]1,0[C. ),1()0,(+∞-∞D. ),1[]0,(+∞-∞ 3、 已知函数||5)(x x f =，)()(2R a x ax x g ∈-=，若1)]1([=g f ，则=a （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 1- 4、在ABC ∆中，内角A,B,C 所对的边分别是,,,c b a ，若,3,6)(22π=+-=C b a c 则ABC ∆的面积是（ ）A.3B.239 C.233 D.33 5、一几何体的直观图如右图，下列给出的四个俯视图中正确的是（ ）6、 某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量之间的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是（ ）7、阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（ ）A.7B.9C.10D.118、若12()2(),f x x f x dx =+⎰则1()f x dx =⎰（ ）A.1-B.13-C.13D.19、在平面直角坐标系中，,A B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线240x y +-=相切，则圆C 面积的最小值为（ ）A.45πB.34πC.(6π-D.54π10.如右图，在长方体1111ABCD A B C D -中，AB =11，AD =7，1AA =12，一质点从顶点A 射向点()4312E ，，，遇长方体的面反射 （反射服从光的反射原理），将1i -次到第i 次反射点 之间的线段记为()2,3,4i L i =，1L AE =，将线段1234,,,L L L L 竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是（ ）第Ⅱ卷注意事项：第Ⅱ卷共2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试题卷上作答，答案无效。
2014江西理数(word版)含答案解析
2014年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）数学（理科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1． z 是z 的共轭复数． 若2=+z z ，2)(=-i z z (i 为虚数单位），则=z ( )A ．i +1B ． i --1C ． i +-1D ． i -1 【答案】D 【解析】()2,(,)12211Z Z Z a bi a b R a Z Z i Z b b Z i+==+∈∴=-=∴-=∴=-∴=-Q Q所以选D 。
2． 函数)ln()(2x x x f -=的定义域为( )A ．)1,0(B ． ]1,0[C ． ),1()0,(+∞-∞D ． ),1[]0,(+∞-∞ 【答案】C 【解析】2010x x x x ->∴><Q 或所以选C.3． 已知函数()5x f x =，)()(2R a x ax x g ∈-=，若1)]1([=g f ，则=a ( )A ．1B ． 2C ． 3D ． －1 【答案】A 【解析】()()()01510101f g x g a a ==∴=∴-=∴=Q所以选A 。
4．在ABC ∆中，内角A ,B ,C 所对应的边分别为,,,c b a ，若,3,6)(22π=+-=C b a c 则ABC ∆的面积( )A ．3B ．239C ．233 D ．33 【答案】C 【解析】()2222222222cos 2611cos 22c a b b a b c ab b a b c ab C ab ab b ab ab S ab C b =-+∴+-=-+-==∴-=∴=∴===Q Q g所以选C 。
5．一几何体的直观图如右图，下列给出的四个俯视图中正确的是( )A ．B ．C ．D ． 【答案】B【解析】俯视图为在底面上的投影，易知选：B6．某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量之间的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是( )表1 表2表3表4A ．成绩B ．视力C ．智商D ．阅读量【答案】D【解析】()22215262214105281636203216362032χ⨯⨯-⨯⨯==⨯⨯⨯⨯⨯⨯， ()()2222521651612521671636203216362032χ⨯⨯-⨯⨯⨯==⨯⨯⨯⨯⨯⨯，()()222352248812521281636203216362032χ⨯⨯-⨯⨯⨯==⨯⨯⨯⨯⨯⨯，()()222452143026526861636203216362032χ⨯⨯-⨯⨯⨯==⨯⨯⨯⨯⨯⨯。
2014年江西省高考数学试卷(理科)答案与解析
2014年江西省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）（2014•江西）是z的共轭复数，若z+=2，（z﹣）i=2（i为虚数单位），则z=﹣=2）==223．（5分）（2014•江西）已知函数f（x）=5|x|，g（x）=ax2﹣x（a∈R），若f[g（1）]=1，则4．（5分）（2014•江西）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c2=（a ﹣b）2+6，C=，则△ABC的面积是（）B5．（5分）（2014•江西）一几何体的直观图如图所示，下列给出的四个俯视图中正确的是（）B6．（5分）（2014•江西）某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查了52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是（）=7．（5分）（2014•江西）阅读如图程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（）S=0+lg+lg+lg++lg+lg+lg++lgS=lg+lg+lg=lg+lg++lg=lg8．（5分）（2014•江西）若f（x）=x2+2f（x）dx，则f（x）dx=（）f（（﹣，则：，=x（﹣（）﹣，则：，=x（+）=x）+9．（5分）（2014•江西）在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以ABπBπ2π=，）．10．（5分）（2014•江西）如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=11，AD=7，AA 1=12．一质点从顶点A 射向点E （4，3，12），遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理），将第i ﹣1次到第i 次反射点之间的线段记为l i （i=2，3，4），l 1=AE ，将线段l 1，l 2，l 3，l 4竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是（ ）．B ．．=|EF|=于是：向量与向量共线；=λ=；，，＞=，，=，二、选做题：请考生在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按所做的第一题记分，本题共5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．不等式选做题]坐标系与参数方程选做题12．（2014•江西）若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则=≤θ≤，≤θ≤≤θ≤≤θ≤．]三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）（2014•江西）10件产品中有7件正品，3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是．3=故答案为：14．（5分）（2014•江西）若曲线y=e﹣x上点P的切线平行于直线2x+y+1=0，则点P的坐标是（﹣ln2，2）．15．（5分）（2014•江西）已知单位向量与的夹角为α，且cosα=，向量=3﹣2与=3﹣的夹角为β，则cosβ=．单位向量与=不妨，==32（，﹣=）=故答案为：16．（5分）（2014•江西）过点M（1，1）作斜率为﹣的直线与椭圆C：+=1（a＞b＞0）相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于．的中点，斜率为﹣，则①②，（（）作斜率为﹣：+=1两式相减可得，即b=故答案为：五、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（12分）（2014•江西）已知函数f（x）=sin（x+θ）+acos（x+2θ），其中a∈R，θ∈（﹣，）（1）当a=，θ=时，求f（x）在区间[0，π]上的最大值与最小值；（2）若f（）=0，f（π）=1，求a，θ的值．）（﹣，，=））sinx+cosx sinx=﹣sinx+cosx （﹣∈，），）．，），由=﹣﹣，可得﹣﹣=1×，，．﹣18．（12分）（2014•江西）已知首项是1的两个数列{a n}，{b n}（b n≠0，n∈N*）满足a n b n+1﹣a n+1b n+2b n+1b n=0．（1）令c n=，求数列{c n}的通项公式；（2）若b n=3n﹣1，求数列{a n}的前n项和S n．，可得数列，，19．（12分）（2014•江西）已知函数f（x）=（x2+bx+b）（b∈R）（1）当b=4时，求f（x）的极值；（2）若f（x）在区间（0，）上单调递增，求b的取值范围．，得到，）恒成立．由单调性求出的范围得答案．）=x ．时，）上为减函数．））上单调递增，）恒成立．，对任意）恒成立．．．的取值范围是20．（12分）（2014•江西）如图，四棱锥P﹣ABCD中，ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD．（1）求证：AB⊥PD；（2）若∠BPC=90°，PB=，PC=2，问AB为何值时，四棱锥P﹣ABCD的体积最大？并求此时平面BPC与平面DPC夹角的余弦值．，，设，故当PB=，=BM=PO=，××=，（﹣（﹣，，，的法向量为=||=||=21．（13分）（2014•江西）如图，已知双曲线C：﹣y2=1（a＞0）的右焦点为F，点A，B分别在C的两条渐近线AF⊥x轴，AB⊥OB，BF∥OA（O为坐标原点）．（1）求双曲线C的方程；（2）过C上一点P（x0，y0）（y0≠0）的直线l：﹣y0y=1与直线AF相交于点M，与直线x=相交于点N．证明：当点P在C上移动时，恒为定值，并求此定值．，，﹣a=，﹣相交于点，（，是化简=可得其值为，﹣）•=，t=，，的方程为﹣的方程为：：x=）（，∴==22．（14分）（2014•江西）随机将1，2，…，2n（n∈N*，n≥2）这2n个连续正整数分成A、B两组，每组n个数，A组最小数为a1，最大数为a2；B组最小数为b1，最大数为b2；记ξ=a2﹣a1，η=b2﹣b1．（1）当n=3时，求ξ的分布列和数学期望；（2）C表示事件“ξ与η的取值恰好相等”，求事件C发生的概率P（C）；（3）对（2）中的事件C，表示C的对立事件，判断P（C）和P（）的大小关系，并说明理由．）的大小关系，即判断）和=，===××××=××=（）＜）＜×，此时）＞；）＞。
2014年高考理科数学江西卷(含详细答案)
数学试卷 第1页（共22页）数学试卷 第2页（共22页）绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）理科数学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至4页,满分150分,考试时间120分钟.考生注意：1.答题前,考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2.第一大题和第二大题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.第三大题和第四大题用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答.若在试题卷上作答,答案无效.3.考试结束,监考员将试题卷、答题卡一并收回. 参考公式：22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++第Ⅰ卷一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.z 是z 的共轭复数,若2z z +=,()i 2z z -=(i 为虚数单位),则z =( )A .1i +B .1i --C .1i -+D .1i - 2.函数2()ln()f x x x =-的定义域为( )A .(0,1)B .[0,1]C .(,0)(1,)-∞+∞ D .(,0][1,)-∞+∞3.已知函数||()5x f x =,2()()g x ax x a =-∈R .若[(1)]1f g =,则a =( )A .1B .2C .3D .1-4.在ABC △中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .若22()6c a b =-+,π3C =,则ABC △的面积是( ) A .3B .932C .332D .33 5.一几何体的直观图如右图,下列给出的四个俯视图中正确的是( )A .B .C .D .6.某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系,随机抽查52名中学生,得到统计数据如表1至表4,则与性别有关联的可能性最大的变量是( )A .成绩B .视力C .智商D .阅读量 7.阅读如下程序框图,运行相应的程序,则程序运行后输出的结果为( )A .7B .9C .10D .11 8.若120()2()d f x x f x x =+⎰,则10()d f x x =⎰( )A .1-B .13-C .13D .19.在平面直角坐标系中,A ,B 分别是x 轴和y 轴上的动点,若以AB 为直径的圆C 与直线240x y +-=相切,则圆C 面积的最小值为( )A .4π5B .3π4C .(625)π-D .5π410.如右图,在长方体1111ABCD A B C D -中,11AB =,7AD =,112AA =.一质点从顶点A 射向点(4,3,12)E ,遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理）,将第1i -次到第i 次反射点之间的线段记为(2,3,4)i L i =,1L AE =,将线段1L ,2L ,3L ,4L 竖直放置在同一水平线上,则大致的图形是( )A .B .C .D .姓名________________ 准考证号_____________--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页（共22页） 数学试卷 第4页（共22页）第Ⅱ卷二、选做题:请考生在下列两题中任选一题作答.若两题都做,则按所做的第一题评阅计分,本题共5分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 11(1).(不等式选做题)对任意,y x ∈R ,|1||||1||1|x x y y -++-++的最小值为 ( )A .1B .2C .3D .411(2).(坐标系与参数方程选做题)若以直角坐标系的原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,则线段1(01)y x x =-≤≤的极坐标方程为 ( )A .1cos sin ρθθ=+,π02θ≤≤B .1cos sin ρθθ=+,π04θ≤≤C .cos sin ρθθ=+,π02θ≤≤D .cos sin ρθθ=+,π04θ≤≤三、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分.12.10件产品中有7件正品、3件次品,从中任取4件,则恰好取到1件次品的概率是 .13.若曲线e x y -=上点P 处的切线平行于直线210x y ++=,则点P 的坐标是 .14.已知单位向量1e 与2e 的夹角为α,且1cos 3α=,向量1232=-e e a 与123=-e e b 的夹角为β,则cos β= . 15.过点(1,1)M 作斜率为12-的直线与椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=＞＞相交于A ,B 两点,若M 是线段AB 的中点,则椭圆C 的离心率等于 .四、解答题：本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分12分）已知函数()sin()cos(2)f x x a x θθ=+++,其中a ∈R ,ππ(,)22θ∈-. （Ⅰ）当2a =,π4θ=时,求()f x 在区间[0,π]上的最大值与最小值； （Ⅱ）若π()02f =,(π)1f =,求a ,θ的值.17.（本小题满分12分）已知首项都是1的两个数列*{},{}(0,)n n a b b n ≠∈N 满足11120n n n n n n a b a b b b +++-+=. （Ⅰ）令nn na cb =,求数列{}n c 的通项公式； （Ⅱ）若13n n b -=,求数列{}n a 的前n 项和n S .18.（本小题满分12分）已知函数2()()12()f x x bx b x b =++-∈R . （Ⅰ）当4b =时,求()f x 的极值；（Ⅱ）若()f x 在区间1(0,)3上单调递增,求b 的取值范围.19.（本小题满分12分）如图,四棱锥P ABCD -中,ABCD 为矩形,平面PAD ⊥平面ABCD .（Ⅰ）求证：AB PD ⊥；（Ⅱ）若90BPC ∠=,2PB =,2PC =,问AB 为何值时,四棱锥P ABCD -的体积最大？并求此时平面BPC 与平面DPC 夹角的余弦值. 20.（本小题满分13分）如图,已知双曲线C ：2221(0)x y a a-=>的右焦点为F ,点A ,B 分别在C 的两条渐近线上,AF x ⊥轴,AB OB ⊥,BF OA ∥(O 为坐标原点). （Ⅰ）求双曲线C 的方程；（Ⅱ）过C 上一点000(,)(0)P x y y ≠的直线l ：0021x x y y a -=与直线AF 相较于点M ,与直线32x =相交于点N .证明：当点P 在C 上移动时,||MFNF恒为定值,并求此定值.21.（本小题满分14分）随机将*1,2,,2(,2)n n n ∈≥N 这2n 个连续正整数分成A ,B 两组,每组n 个数.A 组最小数为1a ,最大数为2a ；B 组最小数为1b ,最大数为2b ,记21a a ξ=-,21b b η=-.（Ⅰ）当3n =时,求ξ的分布列和数学期望；（Ⅱ）令C 表示事件“ξ与η的取值恰好相等”,求事件C 发生的概率()P C ； （Ⅲ）对（Ⅱ）中的事件C ,C 表示C 的对立事件,判断()P C 和()P C 的大小关系,并说明理由.3 / 11,0)(1,)+∞，故选：【解析】()g x ax =1，故选：【提示】根据函数的表达式，直接代入即可得到结论数学试卷第7页（共22页）数学试卷第8页（共22页）第Ⅱ卷5/ 11数学试卷 第11页（共22页）数学试卷 第12页（共22页）22222211112222221111221122(32)(3)99232||3|912496e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e ---+=---+-+ 192311124961338223322++-+= 【提示】根据平面向量求其夹角的余弦值数学试卷 第15页（共22页）数学试卷 第16页（共22页）+(21)n +-++(23)n -13)n --++10n n b +=，PAD 平面ABCDABCD ，BC14633m m-，即63AB=时，四棱锥63BP⎛= (0,BC= CD⎛=-设平面BPC的法向量1(,n x y=，则由1n PC⊥，1n BC⊥得3⎧⎪⎨，1(1,0,1)n=，同理可求出平面DPC的法向量210,2n⎛=的余弦值为1212cos||||2n nn nθ⋅==⋅9/ 11数学试卷 第19页（共22页）数学试卷 第20页（共22页）1,22n -，.,2,,2),(-n nn≥时，3n时，(P3①.n1620，所以①式成立11/ 11。
2014年江西省高考理数(word精校版)
2014年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）数学（理科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1． z 是z 的共轭复数． 若2=+z z ，2)(=-i z z (i 为虚数单位），则=z ( )A ．i +1B ． i --1C ． i +-1D ． i -1 2． 函数)ln()(2x x x f -=的定义域为( )A ．)1,0(B ． ]1,0[C ． ),1()0,(+∞-∞D ． ),1[]0,(+∞-∞ 3． 已知函数()5x f x =，)()(2R a x ax x g ∈-=，若1)]1([=g f ，则=a ( )A ．1B ． 2C ． 3D ． －1 4．在ABC ∆中，内角A ,B ,C 所对应的边分别为,,,c b a ，若,3,6)(22π=+-=C b a c 则ABC ∆的面积( )A ．3B ．239 C ．233 D ．33 5．一几何体的直观图如右图，下列给出的四个俯视图中正确的是( )A ．B ．C ．D ．6．某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量之间的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是( )表1 表2表3 表4A ．成绩B ．视力C ．智商D ．阅读量左(7．阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为( )A ．7B ．9C ．10D ．11 8．若12()2(),f x x f x dx =+⎰则1()f x dx =⎰( )A ．1-B ．13-C ．13D ．1 9．在平面直角坐标系中，,A B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线240x y +-=相切，则圆C 面积的最小值为( )A ．45πB ．34π C．(6π- D ．54π10．如右图，在长方体1111ABCD A B C D -中，AB =11，AD =7，1AA =12，一质点从顶点A 射向点()4312E ，，，遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理），将第1i -次到第i 次反射点之间的线段记为()2,3,4i L i =，1L AE =，将线段1234,,,L L L L 竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是( )A ．B ．C ．D ．二．选做题：请考生在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按所做的第一题评阅计分，本题共5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．11(1)．（不等式选做题）对任意,x y R ∈,111x x y y -++-++的最小值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 11(2)．（坐标系与参数方程选做题）若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段1(01)y x x =-≤≤的极坐标方程为( )A ．1=,0cos sin 2πρθθθ+≤≤ B ．1=,0cos sin 4πρθθθ+≤≤C ．=cos sin ,02πρθθθ+≤≤D ．=cos sin ,04πρθθθ+≤≤三．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．12． 10件产品中有7件正品、3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是________． 13． 若曲线xy e -=上点P 处的切线平行于直线210x y ++=，则点P 的坐标是________． 14． 已知单位向量1e 与2e 的夹角为α，且1c o s 3α=，向量1232a e e =-与123b e e =-的夹角为β，则cos β=1L 1 L 2 L 3 L 4 L 3 L 4 L 1 L 2 L 3 L 1 L 2 L 1 L 2 L 4 L 3L 415．过点(1,1)M 作斜率为12-的直线与椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>相交于,A B ，若M 是线段AB的中点，则椭圆C 的离心率为三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16． (本小题满分12分)已知函数()sin()cos(2)f x x a x θθ=+++，其中,(,)22a R ππθ∈∈- (1)当4a πθ==时，求()f x 在区间[0,]π上的最大值与最小值；(2)若()0,()12f f ππ==，求,a θ的值．17．（本小题满分12分）已知首项都是1的两个数列{a n },{b n }( b n ≠ 0，n ∈N +)，满足11120n n n n n n a b a b b b +++-+=． (1)令nn na cb =，求数列{}n c 的通项公式； (2)若13n n b -=，求数列{a n }的前n 项和S n ． 18．（本小题满分12分）已知函数2()()f x x bx b b R =++∈． (1)当4b =时，求()f x 的极值；(2)若()f x 在区间1(0,)3上单调递增，求b 的取值范围．19． (本小题满分12分)如图，四棱锥ABCD P -中，ABCD 为矩形，平面⊥PAD 平面ABCD ．(1)求证：;PD AB ⊥(2)若,2,2,90===∠PC PB BPC 问AB 为何值时，四棱锥ABCD P -的体积最大？并求此时平面BPC 与平面DPC 夹角的余弦值．PABCD20．（本小题满分13分）如图，已知双曲线222:1(0)x C y a a-=>的右焦点F ,点B A ,分别在C 的两条渐近线上，x AF ⊥轴，BF OB AB ,⊥∥OA (O 为坐标原点）． (1) 求双曲线C 的方程；(2)过C 上一点)0)((00,0≠y y x P 的直线1:020=-y y a xx l 与直线AF 相交于点M ，与直线23=x 相交于点N ，证明：当点P 在C 上移动时，NFMF 恒为定值，并求此定值．21．（本小题满分14分）随机将()1,2,,2,2n n N n *⋅⋅⋅∈≥这2n 个连续正整数分成A ,B 两组，每组n 个数，A 组最小数为1a ，最大数为2a ；B 组最小数为1b ，最大数为2b ，记2121,a a b b ξη=-=-， (1)当3n =时，求ξ的分布列和数学期望”；(2)令C 表示事件“ξ与η的取值恰好相等，求事件C 发生的概率()p c ；(3)对(2)中的事件C ,c 表示C 的对立事件，判断()p c 和()p c 的大小关系，并说明理由．。
2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学(江西卷带解析) 答案解析
2014年全国普通高等学校招生统一考试理科（江西卷）数学答案解析1、【答案】D【解析】试题分析：设，则由得：，由得：，所以选D.考点：共轭复数2、【答案】C【解析】试题分析：由题意得：解得或，所以选C.考点：函数定义域3、【答案】A【解析】试题分析：因为，所以即选A.考点：求函数值4、【答案】C试题分析：因为所以由余弦定理得：，即，因此的面积为选C.考点：余弦定理5、【答案】B【解析】试题分析：俯视图为几何体在底面上的投影，应为B中图形.考点：三视图6、【答案】D【解析】试题分析：根据公式分别计算得：A.， B. C. D. ，选项D 的值最大，所以与性别有关联的可能性最大为D.考点：关联判断7、【答案】B试题分析：第一次循环：第二次循环：第三次循环：第四次循环：第五次循环：结束循环，输出选B.考点：循环结构流程图8、【答案】B【解析】试题分析：设，则因此考点：定积分9、【答案】A【解析】试题分析：设直线：.因为，所以圆心C的轨迹为以O为焦点，为准线的抛物线.圆C半径最小值为，圆面积的最小值为选A.考点：抛物线定义10、【答案】C【解析】试题分析：因为，所以延长交于，过作垂直于在矩形中分析反射情况：由于，第二次反射点为在线段上，此时,第三次反射点为在线段上，此时,第四次反射点为在线段上,由图可知，选C.考点：空间想象能力11、【答案】C【解析】试题分析：因为，当且仅当时取等号，所以的最小值为，选C.考点：含绝对值不等式性质12、【答案】A试题分析：根据，得：解得，选A.考点：极坐标13、【答案】【解析】试题分析：从10件产品中任取4件，共有种基本事件，恰好取到1件次品就是取到1件次品且取到3件正品，共有，因此所求概率为考点：古典概型概率14、【答案】【解析】试题分析：设切点，则由得：，所以点的坐标是.考点：利用导数求切点.15、【答案】试题分析：因为所以考点：向量数量积及夹角16、【答案】【解析】试题分析：设，则由两式相减变形得：即，从而考点：点差法，椭圆离心率17、【答案】（1）最大值为最小值为-1. （2）【解析】试题分析：（1）求三角函数最值，首先将其化为基本三角函数形式：当时，，再结合基本三角函数性质求最值：因为，从而，故在上的最大值为最小值为-1.（2）两个独立条件求两个未知数，联立方程组求解即可. 由得，又知解得试题解析：解（1）当时，因为，从而故在上的最大值为最小值为-1.（2）由得，又知解得考点：三角函数性质18、【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）已知数列，因此对变形为所以数列是以首项，公差的等差数列，故（2）由知，是等差乘等比型，所以求和用错位相减法.,相减得所以试题解析：（1）因为，所以所以数列是以首项，公差的等差数列，故（2）由知于是数列前n项和相减得所以考点：等差数列定义，错位相减求和19、【答案】（1）在取极小值，在取极大值4.（2）【解析】试题分析：（1）求函数极值，首先明确其定义域：，然后求导数：当时，再在定义域下求导函数的零点：或根据导数符号变化规律，确定极值：当时，单调递减，当时，单调递增，当时，单调递减，故在取极小值，在取极大值4.（2）已知函数单调性，求参数取值范围，一般转化为对应导数恒非负，再利用变量分离求最值. 由题意得对恒成立，即对恒成立，即，，即试题解析：（1）当时，由得或当时，单调递减，当时，单调递增，当时，单调递减，故在取极小值，在取极大值4.（2）因为当时,依题意当时，有，从而所以b的取值范围为考点：利用导数求极值，利用导数求参数取值范围20、【答案】（1）详见解析，（2）时，四棱锥的体积P-ABCD最大. 平面BPC与平面DPC夹角的余弦值为【解析】试题分析：（1）先将面面垂直转化为线面垂直：ABCD为矩形，故AB AD，又平面PAD 平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，所以AB平面PAD，再根据线面垂直证线线垂直：因为PD平面PAD，所以AB PD（2）求四棱锥体积，关键要作出高.这可利用面面垂直性质定理：过P作AD的垂线，垂足为O，又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，所以PO平面ABCD，下面用表示高及底面积：设，则，故四棱锥P-ABCD的体积为故当时，即时，四棱锥的体积P-ABCD最大.求二面角的余弦值，可利用空间向量求解，根据题意可建立空间坐标系，分别求出平面BPC 的法向量及平面DPC的法向量，再利用向量数量积求夹角余弦值即可.试题解析：（1）证明：ABCD为矩形，故AB AD，又平面PAD平面ABCD平面PAD平面ABCD=AD所以AB平面PAD，因为PD平面PAD，故AB PD（2）解：过P作AD的垂线，垂足为O，过O作BC的垂线，垂足为G，连接PG.故PO平面ABCD，BC平面POG,BC PG在直角三角形BPC中，设，则，故四棱锥P-ABCD的体积为因为故当时，即时，四棱锥的体积P-ABCD最大.建立如图所示的空间直角坐标系，故设平面BPC的法向量，则由,得解得同理可求出平面DPC的法向量，从而平面BPC与平面DPC夹角的余弦值为考点：面面垂直性质定理，四棱锥体积，利用空间向量求二面角21、【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）求双曲线的方程就是要确定a的值，用a,c表示条件：轴，∥，即可得：直线OB方程为，直线BF的方程为，解得又直线OA的方程为，则又因为AB OB，所以，解得，故双曲线C的方程为（2）本题证明实质为计算的值.分别用坐标表示直线与AF的交点及直线与直线的交点为，并利用化简.：.试题解析：（1）设，因为，所以直线OB方程为，直线BF的方程为，解得又直线OA的方程为，则又因为AB OB，所以，解得，故双曲线C的方程为（2）由（1）知，则直线的方程为，即因为直线AF的方程为，所以直线与AF的交点直线与直线的交点为则因为是C上一点，则，代入上式得，所求定值为考点：双曲线方程，直线的交点P（2）当时，，当时（3）当时，当时，【解析】试题分析：（1）当时，将6个正整数平均分成A,B两组，不同的分组方法共有种，所有可能值为2,3,4,5.对应组数分别为4,6,6,4，对应概率为，，，，（2）和恰好相等的所有可能值为当和恰好相等且等于时，不同的分组方法有2种；当和恰好相等且等于时，不同的分组方法有2种；当和恰好相等且等于时，不同的分组方法有2种；当和恰好相等且等于时，不同的分组方法有2种；以此类推：和恰好相等且等于时，不同的分组方法有2种；所以当时，当时（3）先归纳：当时，因此当时，即证当时，这可用数学归纳法证明. 当时，，利用阶乘作差可得大小.试题解析：（1）当时，所有可能值为2,3,4,5.将6个正整数平均分成A,B两组，不同的分组方法共有种，所以的分布列为2 3 4 5（2）和恰好相等的所有可能值为又和恰好相等且等于时，不同的分组方法有2种；和恰好相等且等于时，不同的分组方法有2种；和恰好相等且等于时，不同的分组方法有2种；所以当时，当时（3）由（2）当时，因此而当时，理由如下：等价于①用数学归纳法来证明：当时，①式左边①式右边所以①式成立假设时①式成立，即成立那么，当时，①式左边=①式右边即当时①式也成立综合得，对于的所有正整数，都有成立考点：概率分布及数学期望，概率，组合性质，数学归纳法。
2014年高考真题——理科数学(江西卷)解析版1 Word版含答案
2014年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）数学（理科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. z 是z 的共轭复数. 若2=+z z ，（2)(=-i z z （i 为虚数单位），则=z （ ）A. i +1B. i --1C. i +-1D. i -1 【答案】D 【解析】()2,(,)12211Z Z Z a bi a b R a Z Z i Z b b Z i+==+∈∴=-=∴-=∴=-∴=-Q Q所以选D 。
2. 函数)ln()(2x x x f -=的定义域为（ ）A.)1,0(B. ]1,0[C. ),1()0,(+∞-∞YD. ),1[]0,(+∞-∞Y 【答案】C 【解析】2010x x x x ->∴><Q 或所以选C.3. 已知函数||5)(x x f =，)()(2R a x ax x g ∈-=，若1)]1([=g f ，则=a （ ）A. 1B. 2C. 3D. -1 【答案】A 【解析】()()()01510101f g x g a a ==∴=∴-=∴=Q所以选A 。
4.在ABC∆中，内角A,B,C所对应的边分别为,,,cba，若,3,6)(22π=+-=Cbac则ABC∆的面积（）A.3B.239C.233D.33【答案】C【解析】()2222222222cos2611333cos22c a b ba b c ab ba b c ab C abab b ababS ab C b=-+∴+-=-+-==∴-=∴=∴===QQg g所以选C。
5.一几何体的直观图如右图，下列给出的四个俯视图中正确的是（）【答案】B【解析】俯视图为在底面上的投影，易知选：B6.某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量之间的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4，泽宇性别有关联的可能性最大的变量是（）A.成绩B.视力C.智商D.阅读量【答案】D【解析】根据独立性检验相关分析知，阅读量与性别相关数据较大，选D7.阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（）A.7B.9C.10D.11 【答案】B【解析】1357910lg lg lg lg lg lg 135791111S =+++++=<-Q ，9i ∴=，选B 8.若12()2(),f x x f x dx =+⎰则10()f x dx =⎰（ ）A.1-B.13- C.13D.1 【答案】B 【解析】设()1m f x dx=⎰，则2()2f x x m=+，()111123011()2()2233f x dx x f x dx dx x mx m m =+=+=+=⎰⎰⎰，所以13m =-.9.在平面直角坐标系中，,A B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线240x y +-=相切，则圆C 面积的最小值为（ ）A.45π B.34π C.(65)π- D.54π 【答案】A【解析】原点O 到直线240x y +-=的距离为d ，则54=d ，点C 到直线240x y +-=的距离是圆的半径r ，由题意知C 是AB 的中点，又以斜边为直径的圆过三个顶点，则在直角AOB ∆中三角形中，圆C 过原点O ，即||OC r =，圆C 的轨迹为抛物线，O 为焦点，l 为准线，所以522min ==d r ，542min ππ==r S ，所以选A 。
江西省九所重点中学2014届高三联合考试数学(理)试题 扫描版含答案
一、选择题：CDDAB AACCB二、填空题：11.9 12.y =sin 44x ππ⎛⎫-⎪⎝⎭ 13. 3 14. 3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭三、选做题：①cos =2ρθ ②(),8-∞ 四、解答题：16.解：⑴在ABC ∆中， 2222211cos 222a b c a b C ab ab +-+-=== \∠3ACB π=………4分⑵由正弦定理知2sin 233sin 3c a πθπθπ⎛⎫⋅- ⎪⎛⎫⎝⎭==- ⎪⎝⎭ ………6分 \()212cos 3f a a πθθ⎛⎫=+-⋅+ ⎪⎝⎭24sin 12cos 3333πππθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2221cos 221333ππθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦52222cos 23333ππθθ⎤⎛⎫⎛⎫=-+++ ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦545sin 2336πθ⎛⎫=-+⎪⎝⎭……10分 由于20,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故仅当3πθ=时，()f θ取得最大值3. ………12分17.解：⑴3次传球，传球的方法共有33327⨯⨯=种，3次传球结束时，球恰好回到甲手中的传球方法为236A =种，故所求概率为29………5分 ⑵易知ξ的所有可能取值为0,1,2 ………6分 ()()()86641610;1;22727279P P P ξξξ++=======， ………9分 \ξ的分布列为………10分因此，8161220122727927E ξ=⨯+⨯+⨯=.………12分18. 解：设菱形对角线交于点O ，易知PO AC ⊥且3PO = 又1PB OB ==.由勾股定理知，PO BD ⊥ 又,AC BD ABCD ACBD O ?面,\PO ⊥平面ABCD (3)建立如图空间直角坐标系，()()(0,0,0,0,0,3,1,0,0O P B ()()0,,A C ，()1,0,0D -，⎪⎭⎫ ⎝⎛1,0,32M ， ⎪⎭⎫⎝⎛-1,0,32N ………5 ⑴显然，()AP =，平面MNC 的法向量(m =，由AP ∥n ，知⊥AP 平面MNC ………8分⑵设面NPC 的法向量为(),,n x y z = 由0,0n NPn CP ??取1z =，得()3,3,1n =- ………10分39cos ,m n m n m n×\==所以平面NPC 与平面MNC ………12分 19. 解：⑴由132n n n a a ++=⨯得1112220n n n n a a a ++-=-==-=，∴对一切*,2nn n N a ∈=，可知{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列. ………5分 （通过归纳猜想，使用数学归纳法证明的，亦应给分）（2）由（1）知1212112121n n n n nn a b a ++===+--- ………6分 证一：111111212112()21(21)(21)(21)(21)2121n n n n n n n n n +++++-=<=--------11114()2121n n n b +\<+--- ………10分121111144()44212121n n n b b b n n n ++\++鬃?<+-=+-<+---……12分 证二：∵12-n ≥12-n （仅当1=n 时等号成立），故此，122-n ≤221-n ……10分从而，n b b b +++ 21≤2212112-+++++n n 2214--+=n n ＜4+n ……12分20.解：⑴设(,)P x y ，由题意知0y >1y =+，得24x y =故所求点P 的轨迹方程为24x y =（y ＞0） ………5分⑵设()11,A x y 、()22,B x y ，将25y mx m =++代入24x y =得248200x mx m ---=∴12124,820x x m x x m +==-- ………7分而以线段AB 为直径的圆的方程为()()22121212120x y x x x x x y y y y y +-++-++=，即 ()()222221212121212120416x x x y x x x x x x x x x y ⎡⎤+-++-+-+=⎣⎦， 得 ()22224441041250x y mx m m y m m +--+++++=， ………10分整理成关于m 的方程 ()()22241431050m y m x y x y y -+--++-+=由于以上关于m 的方程有无数解，故2210301050y x y x y y -=--=+-+=且且， 由以上方程构成的方程组有唯一解2,1x y ==.由此可知，以线段AB 为直径的圆必经过定点()2,1. ………13分21.解：（1）易知211'()f x x x =-，11(2)ln 2,'(2)24f f \=+= \所求的切线方程为11(ln 2)(2)24y x -+=-，即44l n 20x y -+= ……4分 （2）易知2()2ln g x ax x x =-+，21221'()22(0)ax x g x ax x x x-+=-+=> ()g x 有两个不同的极值点\2()2210p x ax x =-+=在(0,)+ 有两个不同的根1212,()x x x x <则0D >且12120,0x x x x +>> 解得102a <<……6分 ()g x 在1(0,)x 递增，12(,)x x 递减，2(,)x + 递增\()g x 的极小值22222()2ln M g x ax x x ==-+又222212210(1,)2ax x x a+-+==? 且\222222211()2ln ln (1)22M M x x x x x x x ==--+=--> 则2221'()0x M x x -=<，\2()M x 在(1,)+ 递减\23()(1)2M x M <=-，故23M <- ……9分 （3）先证明：当(,)x p q Î时，()()'()f x f p f x x p->-即证：211ln ln 1x p x x p x p x +--->- 只需证：221ln ln 10p p x p x x p++----> 事实上，设221()ln ln 1()p p u x x p p x q x x p+=+----<< 易得3(2)()'()0x x p u x x --=>，()u x \在(,)p q 内递增 ()()0u x u p \>= 即原式成立 ……12分同理可以证明当(,)x p q Î时，()()'()f x f q f x x q->-综上当(,)x p q Î时，()()()()f x f p f x f q x p x q-->--. ……14分。
2014年江西省高考数学试卷(理科)(含解析版)
2014 年江西省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10 小题，每小题 5 分，共 50 分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（ 5 分）是 z 的共轭复数，若 z+ =2，（z﹣）i=2（ i 为虚数单位），则 z=（）A．1+i B．﹣ 1﹣i C．﹣ 1+i D．1﹣i2．（5 分）函数 f（ x）=ln（x2﹣x）的定义域为（）A．（0，1）B．[ 0，1]C．（﹣∞， 0）∪（ 1，+∞）D．（﹣∞， 0] ∪ [ 1，+∞）3．（5 分）已知函数 f（ x）=5 x|，g（x）=ax2﹣ x（a∈R），若 f[ g（1）] =1，则 a=|（）A．1B．2C．3D．﹣ 1，，的对边分别为，，，若22+6，4．（ 5 分）在△ ABC中，内角A B C a b c c =（a﹣b）C= ，则△ ABC的面积为（）A．3B．C．D．35．（5 分）一几何体的直观图如图所示，下列给出的四个俯视图中正确的是（）A．B．C．D．6．（5 分）某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这 4 个变量的关系，随机抽查了52 名中学生，得到统计数据如表 1 至表 4，则与性别有关联的可能性最大的变量是（）表 1成绩不及格及格总计性别男61420女102232总计163652表 2视力好差总计性别男41620女122032总计163652表 3智商偏高正常总计性别男81220女82432总计163652表 4阅读量丰富不丰富总计性别男14620女23032总计163652 A．成绩B．视力C．智商D．阅读量7．（ 5 分）阅读如图程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（）A．7B．9C．10D．11．（分）若2+2f（ x） dx，则f（x）dx=（）8 5f（x） =xA．﹣ 1B．﹣C．D．19．（5 分）在平面直角坐标系中，A， B 分别是 x 轴和 y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆 C 与直线 2x+y﹣ 4=0 相切，则圆 C 面积的最小值为（）A．πB．πC．（6﹣2）πD．π10．（ 5 分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1 C1D1中， AB=11， AD=7，AA1=12．一质点从顶点 A 射向点 E（4，3，12），遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理），将第 i﹣1 次到第 i 次反射点之间的线段记为l i（ i=2， 3， 4），l1=AE，将线段 l1，l2，l3，l4竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是（）A．B．3C．D．二、选做题：请考生在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按所做的第一题记分，本题共 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．不等式选做题11．（ 5 分）对任意 x，y∈R，| x﹣ 1|+| x|+| y﹣1|+| y+1| 的最小值为（）A．1B．2C．3D．4坐标系与参数方程选做题12．若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段 y=1﹣x（ 0≤ x≤ 1）的极坐标方程为（）A．ρ=，0≤θ≤B．ρ=，0≤θ≤C．ρ =cos+sinθ θ，0≤θ≤D．ρ =cos+sinθ θ，0≤θ≤三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13．（ 5 分） 10 件产品中有 7 件正品， 3 件次品，从中任取 4 件，则恰好取到1件次品的概率是．14．（ 5 分）若曲线﹣x上点 P 的切线平行于直线2x+y+1=0，则点 P 的坐标y=e是．15．（ 5 分）已知单位向量与的夹角为α，且 cos α=，向量 =3 ﹣2与=3﹣的夹角为β，则 cos β=．16．（5 分）过点 M（1，1）作斜率为﹣的直线与椭圆C：+ =1（a＞b＞0）相交于 A，B 两点，若 M 是线段 AB 的中点，则椭圆 C 的离心率等于．五、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（12 分）已知函数 f（x）=sin（x+θ）+acos（x+2θ），其中 a∈ R，θ∈（﹣，）（1）当 a= ，θ= 时，求 f（ x）在区间 [ 0，π]上的最大值与最小值；（2）若 f （）=0， f（π）=1，求 a，θ的值．18．（ 12 分）已知首项是1 的两个数列 { a n} ， { b n } （b n≠0，n∈N*）满足 a n b n+1﹣a n+1b n+2b n+1b n =0．（1）令 c n= ，求数列 { c n } 的通项公式；（2）若 b n=3n﹣1，求数列 { a n} 的前 n 项和 S n．19．（ 12 分）已知函数 f （x）=（x2+bx+b）（b∈R）（1）当 b=4 时，求 f（ x）的极值；（2）若 f （x）在区间（ 0，）上单调递增，求 b 的取值范围．20．（ 12 分）如图，四棱锥P﹣ABCD中， ABCD为矩形，平面 PAD⊥平面 ABCD．（1）求证： AB⊥PD；（2）若∠ BPC=90°，PB= ，PC=2，问 AB 为何值时，四棱锥 P﹣ABCD的体积最大？并求此时平面 BPC与平面 DPC夹角的余弦值．21．（ 13 分）如图，已知双曲线C：﹣y2=1（a＞0）的右焦点为F，点 A，B 分别在 C 的两条渐近线 AF⊥x 轴， AB⊥OB，BF∥OA（O 为坐标原点）．（ 1）求双曲线 C 的方程；（ 2）过 C 上一点 P（ x0，y0）（y0≠0）的直线 l：﹣y0y=1与直线AF相交于点 M ，与直线 x=相交于点N．证明：当点P在C上移动时，恒为定值，并求此定值．22．（ 14 分）随机将 1，2，，2n（n∈N*， n≥ 2）这 2n 个连续正整数分成A、B 两组，每组 n 个数， A 组最小数为 a1，最大数为 a2；B 组最小数为 b1，最大数为 b ；记ξ=a﹣ a ，η=b﹣ b ．22121（1）当 n=3 时，求ξ的分布列和数学期望；（2） C 表示事件“ξ与η的取值恰好相等”，求事件 C 发生的概率 P（C）；（3）对（ 2）中的事件 C，表示 C 的对立事件，判断 P（C）和 P（）的大小关系，并说明理由．2014 年江西省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10 小题，每小题 5 分，共 50 分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（ 5 分）是 z 的共轭复数，若 z+ =2，（z﹣）i=2（ i 为虚数单位），则 z=（）A．1+i B．﹣ 1﹣i C．﹣ 1+i D．1﹣i【考点】 A5：复数的运算．【专题】 11：计算题； 5N：数系的扩充和复数．【分析】由题，先求出 z﹣ =﹣2i，再与 z+ =2 联立即可解出 z 得出正确选项．【解答】解：由于，（ z﹣） i=2，可得 z﹣ =﹣2i ①又 z+ =2 ②由①②解得 z=1﹣i故选： D．【点评】本题考查复数的乘除运算，属于基本计算题2．（5 分）函数 f（ x）=ln（x2﹣x）的定义域为（）A．（0，1）B．[ 0，1]C．（﹣∞， 0）∪（ 1，+∞）D．（﹣∞， 0] ∪ [ 1，+∞）【考点】 33：函数的定义域及其求法．【专题】 51：函数的性质及应用．【分析】根据函数成立的条件，即可求出函数的定义域．【解答】解：要使函数有意义，则x2﹣ x＞0，即 x＞1 或 x＜0，故函数的定义域为（﹣∞，0）∪（ 1， +∞），故选： C．【点评】本题主要考查函数定义域的求法，比较基础．3．（5 分）已知函数 f（ x）=5|x|，g（x）=ax2﹣ x（a∈R），若 f[ g（1）] =1，则 a=（）A．1B．2C．3D．﹣ 1【考点】 3T：函数的值．【专题】 51：函数的性质及应用．【分析】根据函数的表达式，直接代入即可得到结论．【解答】解：∵ g（x）=ax2﹣x（ a∈ R），∴g（1）=a﹣1，若 f[ g（1）] =1，则 f（ a﹣ 1） =1，即 5|a﹣1| =1，则 | a﹣1| =0，解得 a=1，故选： A．【点评】本题主要考查函数值的计算，利用条件直接代入解方程即可，比较基础．4．（ 5 分）在△ ABC中，内角A ，，的对边分别为，，，若22+6，BC a b c c =（a﹣b）C=，则△ ABC的面积为（）A．3B．C．D．3【考点】 HR：余弦定理．【专题】 58：解三角形．【分析】根据条件进行化简，结合三角形的面积公式进行求解即可．【解答】解：∵ c2=（a﹣b）2 +6，∴c2=a2﹣ 2ab+b2+6，即 a2+b2﹣c2=2ab﹣6，∵C= ，10∴ cos ===，解得 ab=6，则三角形的面积S= absinC==，故选： C．【点评】本题主要考查三角形的面积的计算，根据余弦定理求出ab=6 是解决本题的关键．5．（5 分）一几何体的直观图如图所示，下列给出的四个俯视图中正确的是（）A．B．C．D．【考点】 L7：简单空间图形的三视图．【专题】 5F：空间位置关系与距离．【分析】通过几何体结合三视图的画图方法，判断选项即可．【解答】解：几何体的俯视图，轮廓是矩形，几何体的上部的棱都是可见线段，所以 C、D 不正确；几何体的上部的棱与正视图方向垂直，所以 A 不正确，故选： B．【点评】本题考查三视图的画法，几何体的结构特征是解题的关键．6．（5 分）某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这 4 个变量的关系，随机抽查了52 名中学生，得到统计数据如表 1 至表 4，则与性别有关联的可能性最大的变量是（）表 111成绩不及格及格总计性别男61420女102232总计163652表 2视力好差总计性别男41620女122032总计163652表 3智商偏高正常总计性别男81220女82432总计163652表 4阅读量丰富不丰富总计性别男14620女23032总计163652 A．成绩B．视力C．智商D．阅读量【考点】 BL：独立性检验．【专题】 12：应用题； 5I：概率与统计．12【分析】根据表中数据，利用公式，求出X2，即可得出结论．【解答】解：表 1： X2=≈；0.009表 2：X2≈；= 1.769表 3：X2≈；= 1.3表 4：X2≈，=23.48∴阅读量与性别有关联的可能性最大，故选： D．【点评】本题考查独立性检验的应用，考查学生的计算能力，属于中档题．7．（ 5 分）阅读如图程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（）A．7B．9C．10D．11【考点】 EF：程序框图．【专题】 11：计算题； 27：图表型； 4B：试验法； 5K：算法和程序框图．【分析】模拟程序的运行，由程序框图得出该算法的功能以及S＞1 时，终止循环；再根据 S 的值求出终止循环时的i 值即可．【解答】解：模拟执行程序，可得i=1，S=0S=lg3，不满足条件 1＜S，执行循环体， i=3，S=lg3+lg=lg5，不满足条件 1＜S，执行循环体， i=5，S=lg5+lg=lg7，不满足条件 1＜S，执行循环体， i=7，S=lg5+lg=lg9，13不满足条件 1＜S，执行循环体， i=9，S=lg9+lg =lg11，满足条件 1＜S，跳出循环，输出 i 的值为 9．故选： B．【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键，属于基础题．．（分）若2+2f（ x） dx，则f（x）dx=（）8 5f（x） =xA．﹣ 1B．﹣C．D．1【考点】 67：定积分、微积分基本定理．【专题】 53：导数的综合应用．【分析】把定积分项看成常数对两侧积分，化简求解即可．【解答】解：令f（ x）dx=t，对 f （ x）=x2+2 f （x） dx，两边积分可得：t= +2tdx= +2t，解得 t=f（x）dx=﹣，故选： B．【点评】本题考查定积分以及微积分基本定理的应用，是基础题．9．（5 分）在平面直角坐标系中，A， B 分别是 x 轴和 y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆 C 与直线 2x+y﹣ 4=0 相切，则圆 C 面积的最小值为（）A．πB．πC．（6﹣2）πD．π【考点】 J9：直线与圆的位置关系．【专题】 5B：直线与圆．【分析】如图，设AB 的中点为 C，坐标原点为 O，圆半径为 r ，由已知得 | OC| =| CE| =r，过点 O 作直线 2x+y﹣ 4=0 的垂直线段 OF，交 AB 于 D，交直线2x+y﹣ 4=0 于 F，则当 D 恰为 AB 中点时，圆 C 的半径最小，即面积最小．14【解答】解：如图，设 AB 的中点为 C，坐标原点为 O，圆半径为 r，由已知得 | OC| =| CE| =r，过点 O 作直线 2x+y﹣4=0 的垂直线段 OF，交 AB 于 D，交直线 2x+y﹣ 4=0 于 F，则当 D 恰为 OF 中点时，圆 C 的半径最小，即面积最小此时圆的直径为O（0，0）到直线 2x+y﹣4=0 的距离为：d==，此时 r=∴圆 C 的面积的最小值为： S π×（）2=．min=故选： A．【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系，考查圆的面积的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．10．（ 5 分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1 C1D1中， AB=11， AD=7，AA1=12．一质点从顶点 A 射向点 E（4，3，12），遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理），将第 i﹣1 次到第 i 次反射点之间的线段记为l i（ i=2， 3， 4），l1=AE，将线段 l1，l2，l3，l4竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是（）15A．B．C．D．【考点】 JH：空间中的点的坐标； MK：点、线、面间的距离计算．【专题】 5H：空间向量及应用．【分析】根据平面反射定理，列出反射线与入射线的关系，得到入射线与反射平面的交点，再利用两点间的距离公式，求出距离，即可求解．【解答】解：根据题意有：A的坐标为：（ 0， 0， 0），B 的坐标为（ 11，0，0），C 的坐标为（ 11，7，0），D的坐标为（ 0， 7，0）；A1的坐标为：（ 0，0，12），B1的坐标为（ 11，0，12），C1的坐标为（ 11，7，12），16D1的坐标为（ 0，7，12）；E 的坐标为（ 4， 3， 12）（ 1） l1长度计算所以： l1．=| AE| ==13（ 2） l2长度计算将平面 A1 B1C1D1沿 Z 轴正向平移 AA1个单位，得到平面A2B2C2D2；显然有：A2的坐标为：（ 0，0，24），B2的坐标为（ 11，0，24），C2的坐标为（ 11，7，24），D2的坐标为（ 0，7，24）；显然平面 A2B2C2D2和平面 ABCD关于平面 A1B1C1D1对称．设 AE 与的延长线与平面 A2B2C2D2相交于： E2（x E2，y E2， 24）根据相似三角形易知：x E2=2x E=2× 4=8，y E2=2y E=2× 3=6，即： E2（8，6，24）根据坐标可知， E2在长方形 A2B2C2D2内．根据反射原理， E2在平面 ABCD上的投影即为AE反射光与平面 ABCD的交点．所以 F 的坐标为（ 8， 6， 0）．因此： l2=| EF| ==13．（ 3） l3长度计算设 G 的坐标为：（x G， y G，z G）如果 G 落在平面 BCC1B1；这个时候有： x G=11， y G≤7，z G≤12根据反射原理有： AE∥ FG于是：向量与向量共线；即有：=λ因为：=（ 4， 3， 12）；=（x G﹣ 8， y G﹣6，z G﹣ 0） =（ 3，y G﹣6，z G）即有：（4，3，12）=λ（3，y G﹣6，z G）17解得： y G= ，z G=9；故 G 的坐标为：（11，，9）因为：＞7，故 G 点不在平面 BCC上，1B1所以： G 点只能在平面DCCD 上；1 1因此有： y G=7；x G≤ 11，z G≤ 12此时：=（ x G﹣8，y G﹣ 6，z G﹣0）=（x G﹣ 8，1，z G）即有：（4，3，12）=λ（x G﹣8，1，z G）解得： x G=，z G=4；满足： x G≤ 11，z G≤ 12故 G 的坐标为：（，7，4）所以： l3=| FG| ==（ 4） l4长度计算设 G点在平面 A1 1 1 1 的投影为G’，坐标为（，7，12）B C D因为光线经过反射后，还会在原来的平面内；即： AEFGH共面故 EG的反射线 GH 只能与平面 A1B1C1 D1相交，且交点 H 只能在 A1G'；易知： l4＞| GG’| =12﹣4=8＞l3．根据以上解析，可知l1，l2， l3， l4要满足以下关系：l1=l2；且 l4＞l3对比 ABCD选项，可知，只有 C 选项满足以上条件．故选： C．18【点评】本题主要考察的空间中点坐标的概念，两点间的距离公式，解法灵活，属于难题．二、选做题：请考生在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按所做的第一题记分，本题共 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．不等式选做题11．（ 5 分）对任意 x，y∈R，| x﹣ 1|+| x|+| y﹣1|+| y+1| 的最小值为（）A．1B．2C．3D．4【考点】 5A：函数最值的应用； R4：绝对值三角不等式．【专题】 59：不等式的解法及应用．【分析】把表达式分成 2 组，利用绝对值三角不等式求解即可得到最小值．【解答】解：对任意 x，y∈R，| x﹣ 1|+| x|+| y﹣1|+| y+1|=| x﹣1|+| ﹣x|+| 1﹣y|+| y+1|≥| x﹣1﹣x|+| 1﹣ y+y+1| =3，当且仅当 x∈ [ 0，1] ，y∈[ ﹣1，1] 成立．故选： C．【点评】本题考查绝对值三角不等式的应用，考查利用分段函数或特殊值求解不等式的最值的方法．坐标系与参数方程选做题12．若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段 y=1﹣x（ 0≤ x≤ 1）的极坐标方程为（）19A．ρ=，0≤θ≤B．ρ=，0≤θ≤C．ρ =cos+sinθ θ，0≤θ≤D．ρ =cos+sinθ θ，0≤θ≤【考点】 Q4：简单曲线的极坐标方程．【专题】 5S：坐标系和参数方程．【分析】根据直角坐标和极坐标的互化公式x=ρcos，θy=ρsin，θ把方程y=1﹣x （0≤x≤1）化为极坐标方程．【解答】解：根据直角坐标和极坐标的互化公式x=ρcos，θy=ρsin，θy=1﹣x（0≤x≤1），可得ρcos+θρsin θ，=1即ρ=．由 0≤x≤ 1，可得线段 y=1﹣ x（0≤x≤1）在第一象限，故极角θ∈[ 0，] ，故选： A．【点评】本题主要考查把直角坐标方程化为极坐标方程的方法，注意极角θ的范围，属于基础题．三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13．（ 5 分） 10 件产品中有 7 件正品， 3 件次品，从中任取 4 件，则恰好取到1件次品的概率是．【考点】 C6：等可能事件和等可能事件的概率．【专题】 11：计算题．【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从 10 件中取 4 件有 C104种结果，满足条件的事件是恰好有 1 件次品有 C73种结果，得到概率．【解答】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从10 件中取 4 件有 C104种结果，满足条件的事件是恰好有 1 件次品有 C种结果，20∴恰好有一件次品的概率是P==故答案为：【点评】本题考查等可能事件的概率，本题解题的关键是利用组合数写出试验发生包含的事件数和满足条件的事件数，本题是一个基础题．﹣x14．（ 5 分）若曲线 y=e上点P的切线平行于直线2x+y+1=0，则点P的坐标是（﹣ ln2， 2）．【考点】 6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】 11：计算题； 52：导数的概念及应用．【分析】先设 P（ x，y），对函数求导，由在在点P 处的切线与直线2x+y+1=0 平行，求出 x，最后求出 y．【解答】解：设 P（ x， y），则 y=e﹣x，∵y′=﹣e﹣x，在点 P 处的切线与直线 2x+y+1=0 平行，∴﹣ e﹣x=﹣ 2，解得 x=﹣ln2，∴ y=e﹣x=2，故 P（﹣ ln2，2）．故答案为：（﹣ln2，2）．【点评】本题考查了导数的几何意义，即点P 处的切线的斜率是该点出的导数值，以及切点在曲线上和切线上的应用．15．（ 5 分）已知单位向量与的夹角为α，且cosα=，向量=3﹣2与=3 ﹣的夹角为β，则cosβ=．【考点】 9S：数量积表示两个向量的夹角．【专题】 5A：平面向量及应用．【分析】转化向量为平面直角坐标系中的向量，通过向量的数量积求出所求向量的夹角．21【解答】解：单位向量与的夹角为α，且cosα=，不妨=（ 1，0），=，=3 ﹣2 =（），=3﹣=（），∴ cosβ===．故答案为：．【点评】本题考查向量的数量积，两个向量的夹角的求法，考查计算能力．16．（5 分）过点 M（1，1）作斜率为﹣的直线与椭圆C：+ =1（a＞b＞0）相交于 A，B 两点，若 M 是线段 AB 的中点，则椭圆 C 的离心率等于．【考点】 K4：椭圆的性质．【专题】 5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用点差法，结合M 是线段 AB 的中点，斜率为﹣，即可求出椭圆C 的离心率．【解答】解：设 A（ x1，y1），B（x2， y2），则①，②，∵ M 是线段 AB 的中点，∴=1，=1，∵直线 AB 的方程是 y=﹣（x﹣1）+1，∴ y1﹣y2=﹣（x1﹣x2），∵过点 M （1，1）作斜率为﹣的直线与椭圆C：+=1（ a＞ b＞ 0）相交于22A，B 两点， M 是线段 AB 的中点，∴①②两式相减可得，即，∴a= b，∴=b，∴e= = ．故答案为：．【点评】本题考查椭圆的离心率，考查学生的计算能力，正确运用点差法是关键．五、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（12 分）已知函数 f（x）=sin（x+θ）+acos（x+2θ），其中 a∈ R，θ∈（﹣，）（1）当 a= ，θ= 时，求 f（ x）在区间 [ 0，π]上的最大值与最小值；（2）若 f （）=0， f（π）=1，求 a，θ的值．【考点】 GP：两角和与差的三角函数；H4：正弦函数的定义域和值域．【专题】 56：三角函数的求值．【分析】（1）由条件利用两角和差的正弦公式、余弦公式化简函数的解析式为f （x）=﹣sin（x﹣），再根据 x∈[ 0，π] ，利用正弦函数的定义域和值域求得函数的最值．（ 2）由条件可得θ∈（﹣，），cosθ﹣asin2θ=0①，﹣sinθ﹣acos2θ=1②，由这两个式子求出 a 和θ的值．【解答】解：（1）当 a=，θ= 时，f（x）=sin（x+θ）+acos（x+2θ）=sin（ x+）+cos（x+）=sinx+ cosx﹣sinx=﹣sinx+cosx23=sin（﹣ x） =﹣ sin（x﹣）．∵ x∈[ 0，π] ，∴ x﹣∈[ ﹣，] ，∴ sin（x﹣）∈[﹣，1]，∴﹣ sin（ x﹣）∈ [ ﹣1，] ，故 f（ x）在区间 [ 0，π]上的最小值为﹣ 1，最大值为．（ 2）∵ f（ x）=sin（x+θ）+acos（x+2θ），a∈R，θ∈（﹣，），f（）=0，f（π）=1，∴cosθ﹣asin2 θ=0①，﹣ sin θ﹣acos2θ=1②，由①求得 sin θ=，由②可得 cos2θ==﹣﹣．再根据 cos2θ=1﹣2sin2θ，可得﹣﹣=1﹣2×，求得 a=﹣1，∴ sin θ=﹣，θ=﹣．综上可得，所求的a=﹣ 1，θ=﹣．【点评】本题主要考查两角和差的正弦公式、余弦公式，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．18．（ 12 分）已知首项是1 的两个数列 { a n} ， { b n } （b n≠0，n∈N*）满足a nb n+1﹣a n+1b n+2b n+1b n =0．（1）令 c n= ，求数列 { c n } 的通项公式；（2）若 b n=3n﹣1，求数列 { a n} 的前 n 项和 S n．【考点】 8E：数列的求和； 8H：数列递推式．【专题】 15：综合题； 54：等差数列与等比数列．【分析】（1）由 a n n+1﹣a n+1n+2b n+1 n ， n，可得数列n } 是以 1 为首项，b b b =0c ={ c2 为公差的等差数列，即可求数列{ c n} 的通项公式；24（ 2）用错位相减法来求和．【解答】解：（1）∵ a n n+1﹣a n+1n+2b n+1 n ， n，b b b =0c =∴c n﹣c n+1+2=0，∴c n+1﹣ c n=2，∵首项是 1 的两个数列 { a n} ，{ b n } ，∴数列 { c n} 是以 1 为首项， 2 为公差的等差数列，∴c n=2n﹣1；（ 2）∵ b n=3n﹣1，c n=，∴a n=（ 2n﹣1）?3n﹣1，∴S n=1×30+3×31+ +（ 2n﹣1）× 3n﹣1，∴3S n=1×3+3×32+ +（2n﹣ 1）× 3n，∴﹣ 2S n=1+2?（31+ +3n﹣1）﹣（ 2n﹣1）?3n，∴S n=（ n﹣ 1） 3n+1．【点评】本题为等差等比数列的综合应用，用好错位相减法是解决问题的关键，属中档题．19．（ 12 分）已知函数 f （x）=（x2+bx+b）（b∈R）（1）当 b=4 时，求 f（ x）的极值；（2）若 f （x）在区间（ 0，）上单调递增，求 b 的取值范围．【考点】 6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．【专题】 53：导数的综合应用．【分析】（1）把 b=4 代入函数解析式，求出函数的导函数，由导函数的零点对定义域分段，由导函数在各区间段内的符号判断原函数的单调性，从而求得极值；（ 2）求出原函数的导函数，由导函数在区间（0，）上大于等于0恒成立，得25到对任意 x∈（ 0，）恒成立．由单调性求出的范围得答案．【解答】解：（ 1）当 b=4 时，f（ x）=（x2+4x+4）=（x），则=．由 f ′（x） =0，得 x=﹣ 2 或 x=0．当x＜﹣2 时，f ′（x）＜0，f（x）在（﹣∞，﹣2）上为减函数．当﹣ 2＜x＜ 0 时， f ′（x）＞ 0， f（x）在（﹣ 2，0）上为增函数．当 0＜x＜时， f ′（x）＜ 0， f（x）在（ 0，）上为减函数．∴当 x=﹣ 2 时， f （x）取极小值为 0．当 x=0 时， f（x）取极大值为 4；（ 2）由 f （x）=（x2+bx+b），得：=．由 f（ x）在区间（ 0，）上单调递增，得 f ′（x）≥ 0 对任意 x∈（ 0，）恒成立．即﹣ 5x2﹣3bx+2x≥0 对任意 x∈（ 0，）恒成立．∴对任意 x∈（ 0，）恒成立．∵．∴．∴ b 的取值范围是．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数的极值，考查了数学转化思想方法，是中档题．2620．（ 12 分）如图，四棱锥P﹣ABCD中， ABCD为矩形，平面 PAD⊥平面 ABCD．（1）求证： AB⊥PD；（2）若∠ BPC=90°，PB= ，PC=2，问 AB 为何值时，四棱锥 P﹣ABCD的体积最大？并求此时平面 BPC与平面 DPC夹角的余弦值．【考点】 MJ：二面角的平面角及求法．【专题】 5G：空间角； 5H：空间向量及应用．【分析】（1）要证 AD⊥PD，可以证明 AB⊥面 PAD，再利用面面垂直以及线面垂直的性质，即可证明AB⊥PD．（ 2）过 P 做 PO⊥ AD 得到 PO⊥平面 ABCD，作 OM⊥BC，连接 PM，由边长关系得到 BC=，PM=，设AB=x，则V P﹣ABCD=，故当时，V P﹣ABCD取最大值，建立空间直角坐标系O﹣AMP，利用向量方法即可得到夹角的余弦值．【解答】解：（1）∵在四棱锥 P﹣ ABCD中， ABCD为矩形，∴AB⊥AD，又∵平面 PAD⊥平面 ABCD，平面 PAD∩平面 ABCD=AD，∴AB⊥面 PAD，∴ AB⊥ PD．（2）过 P 做 PO⊥ AD，∴ PO⊥平面 ABCD，作 OM⊥BC，连接 PM∴PM⊥ BC，∵∠ BPC=90°， PB= ， PC=2，∴ BC= ， PM== =，BM== ，设 AB=x，∴ OM=x∴ PO=，=x×==，∴ V P﹣ABCD× ×27当，即 x=，V ﹣ABCD，P=建立空间直角坐标系 O﹣ AMP，如图所示，则 P（0，0，），D（﹣，0， 0），C（﹣，，0），M（0，，0），B（，，0）面 PBC的法向量为=（ 0， 1， 1），面 DPC的法向量为=（ 1， 0，﹣ 2）∴ cosθ==﹣=﹣．由图可知二面角为锐角，即cos【点评】本题考查线面位置关系、线线位置关系、线面角的度量，考查分析解决问题、空间想象、转化、计算的能力与方程思想．21．（ 13 分）如图，已知双曲线C：﹣y2=1（a＞0）的右焦点为F，点 A，B 分别在 C 的两条渐近线 AF⊥x 轴， AB⊥OB，BF∥OA（O 为坐标原点）．（ 1）求双曲线 C 的方程；（ 2）过 C 上一点 P（ x0，y0）（y0≠0）的直线 l：﹣y0与直线AF 相交于y=1点 M ，与直线 x=相交于点N．证明：当点P在C上移动时，恒为定值，并求此定值．28【考点】 KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】 5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）依题意知， A（ c，），设B（t，﹣），利用AB⊥OB，BF∥ OA，可求得 a=，从而可得双曲线 C 的方程；（ 2）易求 A（2，），l的方程为：﹣y0y=1，直线l：﹣y0y=1与直线AF 相交于点 M，与直线 x=相交于点N，可求得M（2，），N（，），于是化简=可得其值为，于是原结论得证．【解答】（1）解：依题意知， A（c，），设B（t，﹣），∵AB⊥OB，BF∥OA，∴? =﹣1，=，整理得： t=，a=，∴双曲线 C 的方程为﹣y2=1；（ 2）证明：由（ 1）知 A（2，），l的方程为：﹣y0y=1，又 F（ 2，0），直线 l：﹣y0y=1与直线AF相交于点M，与直线x=相交于点N．29于是可得 M（2，），N（，），∴==== =．【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，着重考查直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，推理论证能力、运算求解能力、函数与方程思想，属于难题．22．（ 14 分）随机将 1，2，，2n（n∈N*， n≥ 2）这 2n 个连续正整数分成A、B 两组，每组 n 个数， A 组最小数为 a1，最大数为 a2；B 组最小数为 b1，最大数为 b2；记ξ=a2﹣ a1，η=b2﹣ b1．（1）当 n=3 时，求ξ的分布列和数学期望；（2） C 表示事件“ξ与η的取值恰好相等”，求事件 C 发生的概率 P（C）；（3）对（ 2）中的事件 C，表示 C 的对立事件，判断 P（C）和 P（）的大小关系，并说明理由．【考点】 CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．【专题】 5I：概率与统计．【分析】（1）当 n=3 时，ξ的取值可能为 2，3，4，5，求出随机变量ξ的分布列，代入数学期望公式可得其数学期望Eξ．（2）根据 C 表示事件“ξ与η的取值恰好相等”，利用分类加法原理，可得事件 C 发生的概率 P（C）的表达式；（3）判断 P（ C）和 P（）的大小关系，即判断 P（ C）和的大小关系，根据30（2）的公式，可得答案．【解答】解：（1）当 n=3 时，ξ的取值可能为 2，3，4，5其中 P（ξ=2）= = ，P（ξ =3）= =，P（ξ =4）= =，P（ξ =5）= =，故随机变量ξ的分布列为：ξ2345Pξ的数学期望 E（ξ） =2×+3×+4×+5×=；（2）∵ C 表示事件“ξ与η的取值恰好相等”，∴ P（ C） =2×（ 3）当 n=2 时， P（C）=2×=，此时P（）＜；即 P（）＜P（C）；当 n≥3 时， P（ C） =2×＜，此时P（）＞；即 P（）＞P（C）；【点评】本题考查离散型随机变量的分布列，求离散型随机变量的分布列和期望是近年来理科高考必出的一个问题，题目做起来不难，运算量也不大，只要注意解题格式就问题不大．31。
2014年高考理科数学江西卷-答案
【考点】直线与曲线的位置关系
14.【答案】
【解析】
故答案为： .
【提示】根据平面向量求其夹角的余弦值.
【考点】平面向量的夹角
15.【答案】
【解析】设点A ，点B ，点M是线段AB的中点，所以 ， ，且 两式作差可得 ，即 ，所以 ，
【提示】给定带有循环结构的算法程序框图，分析每一次执行的结果并判断是否满足条件，最后得出答案.
【考点】循环结构的程序框图
8.【答案】B
【解析】 ，
得 .故选：B.
【提示】利用给出函数的表达式求积分.
【考点】定积分
9.【答案】A
【解析】由题意知，圆C必过点 ，故要使圆C的面积最小，则点O到直线l的距离为圆C的直径，即 ，所以 ，所以 .故选：A.
因为直线AF的方程为 ，所以直线 与AF的交点 ，直线 与直线 的交点为 ，则 ，因为 是C上一点，则 ，代入上式得 ，所求定值为 .
【提示】（Ⅰ）设 .由题意得， .用 、 表示点B、和A，求得 .又因为 ，解得 ，从而求得双曲线方程.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知直线 的方程为 ，直线 与AF的交点 ，直线 与直线 的交点为 ，可得 的关系式.又 是C上一点，则 ，带入即可化简求值，进而求证结论.
即 .由题意可知，直线AB的斜率为 ，所以 ，即 .又 所以 ， .故答案为： .
【提示】利用点差法，点M是线段AB的中点，斜率为 ，即可求出椭圆C的离心率.
【考点】直线与椭圆的位置关系，离心率
四、解答题
16.【答案】（Ⅰ）最大值
最小值
（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ） .
因为 ，所以 ，故f（x)在区间 上的最大值为 ，最小值为 .
2014年江西省高考数学试卷(理科)教师版
2014年江西省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）（2014•江西）是z的共轭复数，若z+=2，（z﹣）i=2（i为虚数单位），则z=（）A．1+i B．﹣1﹣i C．﹣1+i D．1﹣i【分析】由题，先求出z﹣=﹣2i，再与z+=2联立即可解出z得出正确选项．【解答】解：由于，（z﹣）i=2，可得z﹣=﹣2i ①又z+=2 ②由①②解得z=1﹣i故选：D．2．（5分）（2014•江西）函数f（x）=ln（x2﹣x）的定义域为（）A．（0，1）B．[0，1]C．（﹣∞，0）∪（1，+∞）D．（﹣∞，0]∪[1，+∞）【分析】根据函数成立的条件，即可求出函数的定义域．【解答】解：要使函数有意义，则x2﹣x＞0，即x＞1或x＜0，故函数的定义域为（﹣∞，0）∪（1，+∞），故选：C．3．（5分）（2014•江西）已知函数f（x）=5|x|，g（x）=ax2﹣x（a∈R），若f[g（1）]=1，则a=（）A．1B．2C．3D．﹣1【分析】根据函数的表达式，直接代入即可得到结论．【解答】解：∵g（x）=ax2﹣x（a∈R），∴g（1）=a﹣1，若f[g（1）]=1，则f（a﹣1）=1，即5|a﹣1|=1，则|a﹣1|=0，解得a=1，故选：A．4．（5分）（2014•江西）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c2=（a﹣b）2+6，C=，则△ABC的面积为（）A．3B．C．D．3【分析】根据条件进行化简，结合三角形的面积公式进行求解即可．【解答】解：∵c2=（a﹣b）2+6，∴c2=a2﹣2ab+b2+6，即a2+b2﹣c2=2ab﹣6，∵C=，∴cos===，解得ab=6，则三角形的面积S=absinC==，故选：C．5．（5分）（2014•江西）一几何体的直观图如图所示，下列给出的四个俯视图中正确的是（）A．B．C．D．【分析】通过几何体结合三视图的画图方法，判断选项即可．【解答】解：几何体的俯视图，轮廓是矩形，几何体的上部的棱都是可见线段，所以C、D不正确；几何体的上部的棱与正视图方向垂直，所以A不正确，故选：B．6．（5分）（2014•江西）某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查了52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是（）表1表2表3表4A．成绩B．视力C．智商D．阅读量【分析】根据表中数据，利用公式，求出X2，即可得出结论．【解答】解：表1：X2=≈0.009；表2：X2=≈1.769；表3：X2=≈1.3；表4：X2=≈23.48，∴阅读量与性别有关联的可能性最大，故选：D．7．（5分）（2014•江西）阅读如图程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（）A．7B．9C．10D．11【分析】模拟程序的运行，由程序框图得出该算法的功能以及S＞1时，终止循环；再根据S的值求出终止循环时的i值即可．【解答】解：模拟执行程序，可得i=1，S=0S=lg3，不满足条件1＜S，执行循环体，i=3，S=lg3+lg=lg5，不满足条件1＜S，执行循环体，i=5，S=lg5+lg=lg7，不满足条件1＜S，执行循环体，i=7，S=lg5+lg=lg9，不满足条件1＜S，执行循环体，i=9，S=lg9+lg=lg11，满足条件1＜S，跳出循环，输出i的值为9．故选：B．8．（5分）（2014•江西）若f（x）=x2+2f（x）dx，则f（x）dx=（）A．﹣1B．﹣C．D．1【分析】把定积分项看成常数对两侧积分，化简求解即可．【解答】解：令f（x）dx=t，对f（x）=x2+2f（x）dx，两边积分可得：t=+2tdx=+2t，解得t=f（x）dx=﹣，故选：B．9．（5分）（2014•江西）在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x+y﹣4=0相切，则圆C面积的最小值为（）A．πB．πC．（6﹣2）πD．π【分析】如图，设AB的中点为C，坐标原点为O，圆半径为r，由已知得|OC|=|CE|=r，过点O作直线2x+y﹣4=0的垂直线段OF，交AB于D，交直线2x+y﹣4=0于F，则当D恰为AB中点时，圆C的半径最小，即面积最小．【解答】解：如图，设AB的中点为C，坐标原点为O，圆半径为r，由已知得|OC|=|CE|=r，过点O作直线2x+y﹣4=0的垂直线段OF，交AB于D，交直线2x+y﹣4=0于F，则当D恰为OF中点时，圆C的半径最小，即面积最小此时圆的直径为O（0，0）到直线2x+y﹣4=0的距离为：d==，此时r=∴圆C的面积的最小值为：S min=π×（）2=．故选：A．10．（5分）（2014•江西）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=11，AD=7，AA1=12．一质点从顶点A射向点E（4，3，12），遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理），将第i﹣1次到第i次反射点之间的线段记为l i（i=2，3，4），l1=AE，将线段l1，l2，l3，l4竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是（）A．B．C．D．【分析】根据平面反射定理，列出反射线与入射线的关系，得到入射线与反射平面的交点，再利用两点间的距离公式，求出距离，即可求解．【解答】解：根据题意有：A的坐标为：（0，0，0），B的坐标为（11，0，0），C的坐标为（11，7，0），D 的坐标为（0，7，0）；A1的坐标为：（0，0，12），B1的坐标为（11，0，12），C1的坐标为（11，7，12），D1的坐标为（0，7，12）；E的坐标为（4，3，12）（1）l1长度计算所以：l1=|AE|==13．（2）l2长度计算将平面A1B1C1D1沿Z轴正向平移AA1个单位，得到平面A2B2C2D2；显然有：A2的坐标为：（0，0，24），B2的坐标为（11，0，24），C2的坐标为（11，7，24），D2的坐标为（0，7，24）；显然平面A2B2C2D2和平面ABCD关于平面A1B1C1D1对称．设AE与的延长线与平面A2B2C2D2相交于：E2（x E2，y E2，24）根据相似三角形易知：x E2=2x E=2×4=8，y E2=2y E=2×3=6，即：E2（8，6，24）根据坐标可知，E2在长方形A2B2C2D2内．根据反射原理，E2在平面ABCD上的投影即为AE反射光与平面ABCD的交点．所以F的坐标为（8，6，0）．因此：l2=|EF|==13．（3）l3长度计算设G的坐标为：（x G，y G，z G）如果G落在平面BCC1B1；这个时候有：x G=11，y G≤7，z G≤12根据反射原理有：AE∥FG于是：向量与向量共线；即有：=λ因为：=（4，3，12）；=（x G﹣8，y G﹣6，z G﹣0）=（3，y G﹣6，z G）即有：（4，3，12）=λ（3，y G﹣6，z G）解得：y G=，z G=9；故G的坐标为：（11，，9）因为：＞7，故G点不在平面BCC1B1上，所以：G点只能在平面DCC1D1上；因此有：y G=7；x G≤11，z G≤12此时：=（x G﹣8，y G﹣6，z G﹣0）=（x G﹣8，1，z G）即有：（4，3，12）=λ（x G﹣8，1，z G）解得：x G=，z G=4；满足：x G≤11，z G≤12故G的坐标为：（，7，4）所以：l3=|FG|==（4）l4长度计算设G点在平面A1B1C1D1的投影为G’，坐标为（，7，12）因为光线经过反射后，还会在原来的平面内；即：AEFGH共面故EG的反射线GH只能与平面A1B1C1D1相交，且交点H只能在A1G'；易知：l4＞|GG’|=12﹣4=8＞l3．根据以上解析，可知l1，l2，l3，l4要满足以下关系：l1=l2；且l4＞l3对比ABCD选项，可知，只有C选项满足以上条件．故选：C．二、选做题：请考生在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按所做的第一题记分，本题共5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．不等式选做题11．（5分）（2014•江西）对任意x，y∈R，|x﹣1|+|x|+|y﹣1|+|y+1|的最小值为（）A．1B．2C．3D．4【分析】把表达式分成2组，利用绝对值三角不等式求解即可得到最小值．【解答】解：对任意x，y∈R，|x﹣1|+|x|+|y﹣1|+|y+1|=|x﹣1|+|﹣x|+|1﹣y|+|y+1|≥|x﹣1﹣x|+|1﹣y+y+1|=3，当且仅当x∈[0，1]，y∈[﹣1，1]成立．故选：C．坐标系与参数方程选做题12．（2014•江西）若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y=1﹣x（0≤x≤1）的极坐标方程为（）A．ρ=，0≤θ≤B．ρ=，0≤θ≤C．ρ=cosθ+sinθ，0≤θ≤D．ρ=cosθ+sinθ，0≤θ≤【分析】根据直角坐标和极坐标的互化公式x=ρcosθ，y=ρsinθ，把方程y=1﹣x （0≤x≤1）化为极坐标方程．【解答】解：根据直角坐标和极坐标的互化公式x=ρcosθ，y=ρsinθ，y=1﹣x（0≤x≤1），可得ρcosθ+ρsinθ=1，即ρ=．由0≤x≤1，可得线段y=1﹣x（0≤x≤1）在第一象限，故极角θ∈[0，]，故选：A．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）（2014•江西）10件产品中有7件正品，3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是．【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从10件中取4件有C104种结果，满足条件的事件是恰好有1件次品有C73种结果，得到概率．【解答】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从10件中取4件有C104种结果，满足条件的事件是恰好有1件次品有C种结果，∴恰好有一件次品的概率是P==故答案为：14．（5分）（2014•江西）若曲线y=e﹣x上点P的切线平行于直线2x+y+1=0，则点P的坐标是（﹣ln2，2）．【分析】先设P（x，y），对函数求导，由在在点P处的切线与直线2x+y+1=0平行，求出x，最后求出y．【解答】解：设P（x，y），则y=e﹣x，∵y′=﹣e﹣x，在点P处的切线与直线2x+y+1=0平行，∴﹣e﹣x=﹣2，解得x=﹣ln2，∴y=e﹣x=2，故P（﹣ln2，2）．故答案为：（﹣ln2，2）．15．（5分）（2014•江西）已知单位向量与的夹角为α，且cosα=，向量=3﹣2与=3﹣的夹角为β，则cosβ=．【分析】转化向量为平面直角坐标系中的向量，通过向量的数量积求出所求向量的夹角．【解答】解：单位向量与的夹角为α，且cosα=，不妨=（1，0），=，，=3﹣2=（，），=3﹣=（，），∴cosβ===．故答案为：．16．（5分）（2014•江西）过点M（1，1）作斜率为﹣的直线与椭圆C：+=1（a＞b＞0）相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于．【分析】利用点差法，结合M是线段AB的中点，斜率为﹣，即可求出椭圆C 的离心率．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则①，②，∵M是线段AB的中点，∴=1，=1，∵直线AB的方程是y=﹣（x﹣1）+1，∴y1﹣y2=﹣（x1﹣x2），∵过点M（1，1）作斜率为﹣的直线与椭圆C：+=1（a＞b＞0）相交于A，B两点，M是线段AB的中点，∴①②两式相减可得，即，∴a=b，∴=b，∴e==．故答案为：．五、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（12分）（2014•江西）已知函数f（x）=sin（x+θ）+acos（x+2θ），其中a∈R，θ∈（﹣，）（1）当a=，θ=时，求f（x）在区间[0，π]上的最大值与最小值；（2）若f（）=0，f（π）=1，求a，θ的值．【分析】（1）由条件利用两角和差的正弦公式、余弦公式化简函数的解析式为f （x）=﹣sin（x﹣），再根据x∈[0，π]，利用正弦函数的定义域和值域求得函数的最值．（2）由条件可得θ∈（﹣，），cosθ﹣asin2θ=0 ①，﹣sinθ﹣acos2θ=1 ②，由这两个式子求出a和θ的值．【解答】解：（1）当a=，θ=时，f（x）=sin（x+θ）+acos（x+2θ）=sin（x+）+cos（x+）=sinx+cosx﹣sinx=﹣sinx+cosx=sin（﹣x）=﹣sin（x﹣）．∵x∈[0，π]，∴x﹣∈[﹣，]，∴sin（x﹣）∈[﹣，1]，∴﹣sin（x﹣）∈[﹣1，]，故f（x）在区间[0，π]上的最小值为﹣1，最大值为．（2）∵f（x）=sin（x+θ）+acos（x+2θ），a∈R，θ∈（﹣，），f（）=0，f（π）=1，∴cosθ﹣asin2θ=0 ①，﹣sinθ﹣acos2θ=1 ②，由①求得sinθ=，由②可得cos2θ==﹣﹣．再根据cos2θ=1﹣2sin2θ，可得﹣﹣=1﹣2×，求得a=﹣1，∴sinθ=﹣，θ=﹣．综上可得，所求的a=﹣1，θ=﹣．18．（12分）（2014•江西）已知首项是1的两个数列{a n}，{b n}（b n≠0，n∈N*）满足a n b n+1﹣a n+1b n+2b n+1b n=0．（1）令c n=，求数列{c n}的通项公式；（2）若b n=3n﹣1，求数列{a n}的前n项和S n．【分析】（1）由a n b n+1﹣a n+1b n+2b n+1b n=0，c n=，可得数列{c n}是以1为首项，2为公差的等差数列，即可求数列{c n}的通项公式；（2）用错位相减法来求和．【解答】解：（1）∵a n b n+1﹣a n+1b n+2b n+1b n=0，c n=，+2=0，∴c n﹣c n+1﹣c n=2，∴c n+1∵首项是1的两个数列{a n}，{b n}，∴数列{c n}是以1为首项，2为公差的等差数列，∴c n=2n﹣1；（2）∵b n=3n﹣1，c n=，∴a n=（2n﹣1）•3n﹣1，∴S n=1×30+3×31+…+（2n﹣1）×3n﹣1，∴3S n=1×3+3×32+…+（2n﹣1）×3n，∴﹣2S n=1+2•（31+…+3n﹣1）﹣（2n﹣1）•3n，∴S n=（n﹣1）3n+1．19．（12分）（2014•江西）已知函数f（x）=（x2+bx+b）（b∈R）（1）当b=4时，求f（x）的极值；（2）若f（x）在区间（0，）上单调递增，求b的取值范围．【分析】（1）把b=4代入函数解析式，求出函数的导函数，由导函数的零点对定义域分段，由导函数在各区间段内的符判断原函数的单调性，从而求得极值；（2）求出原函数的导函数，由导函数在区间（0，）上大于等于0恒成立，得到对任意x∈（0，）恒成立．由单调性求出的范围得答案．【解答】解：（1）当b=4时，f（x）=（x2+4x+4）=（x），则=．由f′（x）=0，得x=﹣2或x=0．当x＜﹣2时，f′（x）＜0，f（x）在（﹣∞，﹣2）上为减函数．当﹣2＜x＜0时，f′（x）＞0，f（x）在（﹣2，0）上为增函数．当0＜x＜时，f′（x）＜0，f（x）在（0，）上为减函数．∴当x=﹣2时，f（x）取极小值为0．当x=0时，f（x）取极大值为4；（2）由f（x）=（x2+bx+b），得：=．由f（x）在区间（0，）上单调递增，得f′（x）≥0对任意x∈（0，）恒成立．即﹣5x2﹣3bx+2x≥0对任意x∈（0，）恒成立．∴对任意x∈（0，）恒成立．∵＞．∴．∴b的取值范围是，．20．（12分）（2014•江西）如图，四棱锥P﹣ABCD中，ABCD为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD．（1）求证：AB⊥PD；（2）若∠BPC=90°，PB=，PC=2，问AB为何值时，四棱锥P﹣ABCD的体积最大？并求此时平面BPC与平面DPC夹角的余弦值．【分析】（1）要证AD⊥PD，可以证明AB⊥面PAD，再利用面面垂直以及线面垂直的性质，即可证明AB⊥PD．（2）过P做PO⊥AD得到PO⊥平面ABCD，作OM⊥BC，连接PM，由边长关系=，故当时，得到BC=，PM=，设AB=x，则V P﹣ABCDV P﹣ABCD取最大值，建立空间直角坐标系O﹣AMP，利用向量方法即可得到夹角的余弦值．【解答】解：（1）∵在四棱锥P﹣ABCD中，ABCD为矩形，∴AB⊥AD，又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，∴AB⊥面PAD，∴AB⊥PD．（2）过P做PO⊥AD，∴PO⊥平面ABCD，作OM⊥BC，连接PM∴PM⊥BC，∵∠BPC=90°，PB=，PC=2，∴BC=，PM===，BM==，设AB=x ，∴OM=x ∴PO=，∴V P ﹣ABCD = ×x × × = = ， 当，即x= ，V P ﹣ABCD =，建立空间直角坐标系O ﹣AMP ，如图所示，则P （0，0， ），D （﹣ ，0，0），C （﹣ ， ，0），M （0，，0），B（ ，，0） 面PBC 的法向量为 =（0，1，1），面DPC 的法向量为=（1，0，﹣2） ∴cosθ==﹣ =﹣ ．由图可知二面角为锐角，即cos21．（13分）（2014•江西）如图，已知双曲线C ：﹣y2=1（a ＞0）的右焦点为F ，点A ，B 分别在C 的两条渐近线AF ⊥x 轴，AB ⊥OB ，BF ∥OA （O 为坐标原点）．（1）求双曲线C 的方程；（2）过C 上一点P （x 0，y 0）（y 0≠0）的直线l ： ﹣y 0y=1与直线AF 相交于点M ，与直线x= 相交于点N ．证明：当点P 在C 上移动时，丨 丨丨 丨恒为定值，并求此定值．【分析】（1）依题意知，A （c ， ），设B （t ，﹣），利用AB ⊥OB ，BF ∥OA ，可求得a= ，从而可得双曲线C 的方程；（2）易求A （2， ），l 的方程为： ﹣y 0y=1，直线l ：﹣y 0y=1与直线AF 相交于点M ，与直线x= 相交于点N ，可求得M （2， ），N （ ，），于是化简丨 丨丨 丨=可得其值为，于是原结论得证．【解答】（1）解：依题意知，A （c ， ），设B （t ，﹣），∵AB ⊥OB ，BF ∥OA ，∴• =﹣1， =，整理得：t=，a= ，∴双曲线C 的方程为﹣y 2=1；（2）证明：由（1）知A （2， ），l 的方程为：﹣y 0y=1，又F （2，0），直线l ： ﹣y 0y=1与直线AF 相交于点M ，与直线x=相交于点N ．于是可得M （2， ），N （ ，），∴丨 丨丨 丨=====．22．（14分）（2014•江西）随机将1，2，…，2n（n∈N*，n≥2）这2n个连续正整数分成A、B两组，每组n个数，A组最小数为a1，最大数为a2；B组最小数为b1，最大数为b2；记ξ=a2﹣a1，η=b2﹣b1．（1）当n=3时，求ξ的分布列和数学期望；（2）C表示事件“ξ与η的取值恰好相等”，求事件C发生的概率P（C）；（3）对（2）中的事件C，表示C的对立事件，判断P（C）和P（）的大小关系，并说明理由．【分析】（1）当n=3时，ξ的取值可能为2，3，4，5，求出随机变量ξ的分布列，代入数学期望公式可得其数学期望Eξ．（2）根据C表示事件“ξ与η的取值恰好相等”，利用分类加法原理，可得事件C 发生的概率P（C）的表达式；（3）判断P（C）和P（）的大小关系，即判断P（C）和的大小关系，根据（2）的公式，可得答案．【解答】解：（1）当n=3时，ξ的取值可能为2，3，4，5其中P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，P（ξ=4）==，P（ξ=5）==，故随机变量ξ的分布列为：ξ的数学期望E（ξ）=2×+3×+4×+5×=；（2）∵C表示事件“ξ与η的取值恰好相等”，∴P（C）=2×（3）当n=2时，P（C）=2×=＞，此时P（）＜；即P（）＜P（C）；当n≥3时，P（C）=2×＜，此时P（）＞；即P（）＞P（C）；。
高三下学期4月联考试卷(数学理)
江西省 联 合 考 试 高三数学试卷（理）（.4）命题人：吉安一中 曾志松 赣州一中 彭小明 审核 胡泊一、选择题（每小题5分，共60分）1.已知集合{}R y R x y x y x M ∈∈=+=,,0|),(，{}R y R x y x y x N ∈∈=+=,,0|),(22，则有（ ）A.M N M =B.N N M =C.M N M =D.φ=N M 2.若复数)2)(1(i bi ++是纯虚数(i 是虚数单位，b 是实数)，则b 等于（ ） A.3 B.1- C.21-D.2 3.做了一次关于“手机垃圾短信”的调查，在A 、B 、C 、D 四个单位回收的问卷数依次成等差数列，再从回收的问卷中按单位分层抽取容量为100的样本，若在B 单位抽取20份问卷，则在D 单位抽取的问卷份数是（ ）A.30份B.35份C. 40份D.65份 4.如图，已知四边形ABCD 在映射)2,1(),(:y x y x f +→作用下的象集为四边形1111D C B A ，若四边形1111D C B A 的面积是12，则四边形ABCD 的面积是（ ） A. 9 B.6 C. 36 D.125. “⎪⎩⎪⎨⎧=+≠--=)1(2)1(11)(2x a x x x x f 是定义在),0(+∞上的连续函数”是“直线0)(2=+-y x a a 和直线0=-ay x 互相垂直”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 6. 设)2,1(-=OA ，)1,(-=a OB ，)0,(b OC -=，0,0>>b a ,O 为坐标原点，若A 、B 、C 三点共线，则ba 21+的最小值是（ ） A. 2B. 4C. 6D. 87.若三个数c a ,1,成等差数列，且22,1,c a 又成等比数列，则nn ca c a )(lim 22++∞→等于（ ） A. 0 B. 1 C. 0或1 D. 不存在8.用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有一个偶数夹在两个奇数之间的五位数的个数是（ ）抚州一中 赣州一中 吉安一中 九江一中 萍乡中学 新余一中 宜春中学 上饶县中A. 12B.28C.36D.489.设直线l 与球O 有且只有一个公共点P ，从直线l 出发的两个半平面,αβ截球O 的两个截面圆的半径分别为1和3,二面角l αβ--的平面角为 150, 则球O 的表面积为（ ）A.π4B.π16C.π28D.π11210.已知定义域为R 的函数)(x f 对任意实数x 、y 满足y x f y x f y x f cos )(2)()(=-++，且1)2(,0)0(==πf f .给出下列结论：①21)4(=πf ②)(x f 为奇函数 ③)(x f 为周期函数 ④),0()(π在x f 内单调递减其中正确的结论序号是（ ）A. ②③ B .②④ C. ①③ D. ①④11.如图，已知椭圆的左、右准线分别为、，且分别交轴于、两点，从上一点发出一条光线经过椭圆的左焦点被轴反射后与交于点，若，且，则椭圆的离心率等于（ ） A.B. C. D.12．函数()f x 定义域为D ，若满足①()f x 在D 内是单调函数②存在D b a ⊆],[使()f x 在[],a b 上的值域为,22a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，那么就称)(x f y =为“成功函数”，若函数)1,0)((log )(≠>+=a a t a x f x a 是“成功函数”，则t 的取值范围为（ ） A.()+∞,0B.⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-41, C. ⎥⎦⎤ ⎝⎛41,0D. ⎪⎭⎫ ⎝⎛41,0二、填空题（每小题4分，共16分）13.在n xx )1(2-的展开式中，常数项为15，则n 的值为14.空间一条直线1l 与一个正四棱柱的各个面所成的角都为α，而另一条直线2l 与这个正四棱柱的各条棱所成的角都为β，则=+βα22sin sin15.设实数b a 、满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-+≥+-104230123a b a b a ,则2249b a +的最大值是22221(0)x y a b a b+=>>1l 2l x C D 1l A F x 2l B AF BF ⊥75ABD ∠=︒62-31-62-31-16.设函数)1lg()(2--+=a ax x x f ，给出下列四个命题：A.)(x f 有最小值；B.当0=a 时，)(x f 的值域是R ；C.当0>a 时，)(x f 在区间[)+∞,2上有反函数；D.若)(x f 在区间[)+∞,2上单调递增，则实数a 的取值范围是4-≥a . 其中正确的命题是三、解答题（共74分） 17.（本小题满分12分） 已知函数2()sin2cos 24x x f x =+ （1）求函数()f x 的最小正周期；（2）在ABC ∆中，角A B C 、、的分别是a b c 、、，若2cos a c b C （－）cosB ＝，求()f A 的取值范围.18．（本小题满分12分）某次国际象棋友谊赛在中国队和乌克兰队之间举行，比赛采用积分制，比赛规则规定赢一局得2分，平一局得1分，输一局得0分，根据以往战况，每局中国队赢的概率为21，乌克兰队赢的概率为31，且每局比赛输赢互不影响.若中国队第n 局的得分记为n a ，令12n n S a a a =++⋅⋅⋅+.（1）求43=S 的概率；（2）若规定：当其中一方的积分达到或超过4分时，比赛不再继续，否则，继续进行.设随机变量ξ表示此次比赛共进行的局数，求ξ的分布列及数学期望.19.（本小题满分12分）如图，斜三棱柱111C B A ABC -，已知侧面C C BB 11与底面ABC 垂直且 90=∠BCA ，601=∠BC B ，21==BB BC ，若二面角C B B A --1为 30， （1）证明⊥AC 平面C C BB 11； （2）求1AB 与平面C C BB 11所成角的正切值；（3）在平面B B AA 11内找一点P ，使三棱锥C BB P 1-为正三棱锥，并求点P 到平面C BB 1距离. 20．（本小题满分12分）已知0>a ，)1ln(12)(2+++-=x x ax x f ，l 是曲线)(x f y =在点))0(,0(f P 处的切线． （１）求切线l 的方程； （2）若切线l 与曲线)(x f y =有且只有一个公共点，求a 的值．ABC111A C B21.（本小题满分12分）如图,过抛物线y x 42=的对称轴上任一点P ),0(m )0(>m 作直线与抛物线交于B A ,两点，点Q 是点P 关于原点的对称点.(1)设点P 分有向线段AB 所成的比为λ，证明)(QB QA QP λ-⊥； (2)设直线AB 的方程是0122=+-y x ,过B A ,两点的圆C 与 抛物线在点A 处有共同的切线，求圆C 的方程. 22．（本小题满分14分） 设数列}{n a ，}{n b 满足211=a ，n n a n na )1(21+=+且221)1ln(n n n a a b ++=，*N n ∈． （１）求数列}{n a 的通项公式； （２）对一切*N n ∈，证明nn n b a a <+22成立；（３）记数列}{2n a ,}{n b 的前n 项和分别为n A 、n B ，证明：42<-n n A B ．高三数学答案（理科）及评分标准一、选择题：（每题5分，共60分）13． 6 14． 1 15． 25 16． B 、C三、解答题（本大题共6题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17题．（ 12分）解析：(1) ()2sin(122cos1)4x f x x =++-sin cos 122x x =++sin(1)24x π=++()4f x T π∴=的最小正周期为 . （5分）(2) ()2cos cos a c B b C -=由得()2sin sin cos sin cos A C B B C -=()2sin cos sin sin A B B C A ∴=+= （8分） sin 0A ≠ 1cos 2B ∴=＝>3B π=， 23A C π∴+=()1)24f A A π=++又，203A π∴<<，742412A πππ∴<+<， （10分）又∵7sinsin 412ππ<，sin(12)24A π<≤+，()21f A ∴<≤. （12分） 18题．（ 12分）解：（1）43=S ，即前3局中国队1胜2平或2胜1负。
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江西省高中2014届下学期毕业班4月联考诊断测试
数 学（理科类） 2014.4.10
本试卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）。
第一部分1至2页，第二部分3至4页，共150分。
考试时间120分钟。
第一部分 （选择题 共50分）
注意事项：
用2B 铅笔把答题卡上对应题的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其它答案，不能答在草稿纸、试题卷上。
一、本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项，只有一项是符合题目要求的。
1. 复数2
)21(i +（其中i 为虚数单位）的虚部为
A.i 4
B.i 4-
C.4
D.-4 2. 函数)2lg(2x x y -∙+=
的定义域为
A.)0,2(-
B.)2,0(
C.)2,2(-
D.[)2,2- 3. “α是第二象限角”是“0tan sin ＜αα”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分
C.充分条件
D.既不充分也不必要 4. 设dx x )21(20
-=
⎰
α，则二项式62)(x
a
x +的常数项是
A.-240
B.240
C.-160
D.160 5. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A.
323 B.322
C.320
D.3
14
6. 已知定义域在R 上的函数)(x f 图像关于直线2-=x 对称且当2-≥x 时，43)(-=x
x f , 若函数)(x f 在区间),1(k k -上有零点，则符合条件的k 的值是
A.-8
B.-7
C.-6
D.-5 7. 阅读下列程序框图，运行相应程序，则输出的S 值为
A.81-
B.81
C.161
D.321 8. 若X 是一个集合，集合υ是一个以X 的某些子集为元素的集合，且满足： （1）υ∈X ，空集∅∈υ；
（2）υ中任意多个元素的并集属于υ； （3）υ中任意多个元素的交集属于υ；
称υ是集合X 上的一个拓扑.已知集合{}c b a X ,,=，对于下列给出的四个集合υ：
9. 如图正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，点E 在线段1BB 和线段11B A 上移动,θ=∠EAB ，)2
,
0(π
θ∈，过直线AD AE ,的平面ADFE 将正方体
分为两部分，记棱BC 所在部分的体积为)(θV ，则函数)(θV V =，
)2
,0(π
θ∈的大致图像是
10.已知椭圆)0(1:
2
2
22＞＞b a b
y
a x C =+的左右焦点分别为21,F F ，点P 为椭圆上不同于左右顶点的任意一点，△21PF F 的重心为G ，内心为I ，且有21F F IG λ=（λ为实数），斜率
为1的直线l 经过点1F ，且与圆12
2
=+y x 相切，则椭圆的方程为
A.16822=+y x
B.14622=+y x
C.17922=+y x
D.18
1022=+y x
第二部分 （非选择题 共100分）
注意事项：
必须用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚。
答在试题卷上无效。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
11. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若
19
153
5=-S S ，则公差为______. 12. 若不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≥+-≤-+0
010
1y y x y x 表示的平面区域内的点都不在圆)0()21(222＞r r y x =-+外，
则r 的最小值为______.
13. 观察不等式4
3
)30(cos sin )30(cos sin 22=︒++︒++ααααα；
21
)45(cos sin 2)45(cos sin 22=︒++︒++ααααα；
4
1
)60(cos sin 3)60(cos sin 22=︒++︒++ααααα；
0)90(cos sin 2)90(cos sin 2
2=︒++︒++ααααα.
可猜想得出结论：4
3
2)75(cos sin _____)75(cos sin 22-=
︒++︒++ααααα.
14. 已知2
0π
α≤＜，设函数x x f x
x sin 120142012
2014)(1+++=+（[]αα,-∈x ）的最大值为P ，最小值为Q ,则=+Q P ______.
三、选做题：请在下列两题中任选一题作答，本题5分.
15、（1）（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系xoy 中，已知曲线C 的参数方程是
⎩⎨
⎧-==1
sin cos θθ
y x ，若以O 为极点，x 轴正半轴为极轴，则曲线的极坐标可写为______. （2）（不等式选做题）已知R x ∈,则不等式4123＜--+x x 的解集为______. 四、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.（本题满分12分）南昌市个体户自主产业给予小额贷款补贴，每户贷款额为2万元，贷款期限有6个月、12个月、18个月、24个月、36个月五种，这五种贷款期限政府分别需要补助200元、300元、300元、400元、400元。
从2013年起享受此政策的个体户中抽取了100
以上表各种贷款期限的频率作为2014年个体户选择各种贷款期限的概率.
（1）某小区2014年共有3户准备享受此政策，计算其中恰好有两户选择贷款期限为12个月的概率；
（2）设给某享受此政策的个体户补贴为ξ元，写出ξ的分布列，若预计2014年全市有3.6万户享受此政策，估计2014年该市共要补贴多少万元.
17.（本题满分12分）已知△ABC 的三内角为C B A ,,,)3,1(-=m .)sin ,(cos A A n =.
且
3sin cos 2sin 12
2-=-+B B B
. （1）求角A ；
（2）若AC 边的长为15，求△ABC 的面积S .
18.（本题满分12分）如图四棱锥ABCD P -的底面是一等腰梯形，其中BC AD //，其中
63==BC AD ,22==DC AB ,又平面⊥PAD 平面ABCD ，5==PD PA ,点O 是线段
AD 的中点，经过直线OB 且与直线PA 平行的平面OBM 与直线PC 相交于点M .
（1）确定实数t ,使得t =；
（2）求平面⊥PAD 与平面OBM 夹角的余弦值.
19.（本题满分12分）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12322-=a S ,12
3
33-=a S . （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）在n a 于1+n a 之间插入n 个数，使这2+n 个数组成公差为n d 的等差数列，记数列⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧n d 1的前n 项和为n T ，求使得27
40
3558
1
≤⨯+-n n n T 成立的正整数n 的最大值.
20.（本题满分13分）已知椭圆1C 的焦点)0,1(1-F ,)0,1(2F 是双曲线2C 的顶点，且椭圆1C 与双曲线2C 的一个交点为)3
3,332(
M . （1）求椭圆1C 及双曲线2C 的标准方程；
（2）若点P 是双曲线右支上的动点，点Q 是y 轴上的动点，且满足Q F P F 21⊥,判断直线
PQ 是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.
21.（本题满分14分）已知函数b x a e x f x
-+-=)2()(（e 为自然对数的底数，R b a ∈,）. （1）讨论函数)(x f 的单调性；
（2）若对R x ∈，0)(≥x f 恒成立，求证:2
2
)1()1)(1(++++e e e b a ＜.
第11 页共11 页。