高中数学苏教版必修四练习：模块综合检测(C)(含答案)

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2019-2020学年高中数学苏教版必修4模块综合测评 Word版含解析

模块综合测评(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在题中横线上) 1．sin 330°＝________.【解析】sin 330°＝sin(330°－360°)＝sin(－30°)＝－1 2.【答案】－1 22．已知角α的终边经过点P(4，－3)，则2sin α＋cos α的值等于________．【解析】据三角函数的定义，可知|OP|＝5，∴sin α＝－35，cos α＝45，∴2sin α＋cos α＝－65＋45＝－25.【答案】－253．化简：cos 4－sin22＋2＝________.【解析】原式＝2cos22－1＋1＋cos22＝3cos22＝－3cos 2【答案】－3cos 24.⎝⎛⎭⎪⎫cosπ12－sinπ12⎝⎛⎭⎪⎫cosπ12＋sinπ12＝________.【解析】原式＝cos2π12－sin2π12＝cosπ6＝32.【答案】325．已知a＝(2,1)，a＋b＝(1，k)，若a⊥b，则k＝________.【解析】∵a＝(2,1)，a＋b＝(1，k)∴b＝(－1，k－1)又a⊥b，∴a·b＝－2＋(k－1)＝0，∴k＝3.【答案】 36．过点A(－2,1)，且平行于向量a＝(3,1)的直线方程为________．【解析】直线斜率为k ＝13，故直线方程为y －1＝13(x ＋2)，即x －3y ＋5＝0. 【答案】 x －3y ＋5＝07．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤x≤π6的值域为________．【解析】 ∵0≤x ≤π6，∴π3≤2x ＋π3≤2π3 ∴y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，1.【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，18.如图1，在△ABC 中，E ，F 分别是边AC ，BC 的中点，D 是EF 的中点，设AC →＝a ，BC →＝b ，则AD →＝________.(用a ，b 表示)图1【解析】 ED →＝12EF →＝1212AB →＝14(CB →－CA →)＝14(－b ＋a )． AE →＝12AC →＝12a ，AD →＝AE →＋ED → ＝12a ＋14(－b ＋a )＝34a －14b . 【答案】 34a －14b9．若b ＝(1,1)，且a·b ＝2，(a －b )2＝3，则|a |＝________. 【解析】由(a －b )2＝3，得a 2－2a·b ＋b 2＝3，则a 2－2×2＋2＝3，故a 2＝5，|a |＝ 5. 【答案】510．函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的单调递减区间是________．【解析】由π2＋2k π＜2x －π6＜3π2＋2k π，k ∈Z 得 π3＋k π≤x ≤5π6＋k π，k ∈Z .【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3＋kπ，5π6＋kπ，k ∈Z11．平面向量a ＝(x ，－3)，b ＝(－2,1)，c ＝(1，y )，若a ⊥(b －c )，b∥(a ＋c )，则b 与c 的夹角为________．【解析】由题意知，b －c ＝(－3,1－y )， a ＋c ＝(x ＋1，y －3)．依题意，得错误!解得错误! ∴c ＝(1,2)，∴b·c ＝0，∴b ⊥c . 【答案】 90° 12．已知f (x )＝sin⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω＞0)，f⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝f⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，且f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3上有最小值，无最大值，则ω＝________.【解析】依题f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω＞0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，且f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3上有最小值，无最大值，∴f (x )图象关于直线x ＝π6＋π32对称，即关于直线x ＝π4对称，且π3－π6＜T ＝2πω，∴π4·ω＋π3＝3π2＋2k π，k ∈Z ，且0＜ω＜12，∴ω＝143. 【答案】 14313．如图2，平面内有三个向量OA →，OB →，OC →，其中OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°，且|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝23，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值为________．图2【解析】分别延长OA ，OB 至OA ′，OB ′，连接CA ′，CB ′构成如图的平行四边形：注意到|OA →|＝|OB →|＝1，设|OA ′|＝λ， |OB ′|＝μ.则∠BOC ＝∠OCA ′＝90°，于是μ＝|OB ′|＝|A ′C |＝|OC |tan 30°＝2，λ＝|OA ′|＝|OC|cos 30°＝4，故λ＋μ＝6.【答案】 614．(2016·南通高一检测)已知θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，sin θ＋cos θ＝22sin θcos θ，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3＝________.【解析】 ∵sin θ＋cos θ＝22sin θcos θ， ∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2sin 2θ，∴sin 2θ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4.又θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，∴θ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，2θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2θ＝θ＋π4， ∴θ＝π4，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π3＝12.【答案】 12二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分14分)已知tan α＝12，求错误!的值．【解】原式＝1＋2sin αcos αsin2α－cos2α＝sin2α＋cos2α＋2sin αcos αsin2α－cos2α＝错误!＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1，又∵tan α＝12，∴原式＝12＋112－1＝－3.16．(本小题满分14分)设e 1，e 2是正交单位向量，如果OA →＝2e 1＋m e 2，OB →＝n e 1－e 2，OC →＝5e 1－e 2，若A ，B ，C 三点在一条直线上，且m ＝2n ，求m ，n 的值．【解】以O 为原点，e 1，e 2的方向分别为x ，y 轴的正方向，建立平面直角坐标系xOy ，则OA →＝(2，m )，OB →＝(n ，－1)，OC →＝(5，－1)，所以AC →＝(3，－1－m )，BC →＝(5－n,0)，又因为A ，B ，C 三点在一条直线上，所以AC →∥BC →，所以3×0－(－1－m )·(5－n )＝0，与m ＝2n 构成方程组⎩⎨⎧mn －5m ＋n －5＝0，m ＝2n ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－12或⎩⎨⎧m ＝10，n ＝5.17．(本小题满分14分)已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，0＜β＜α＜π. (1)若|a －b |＝2，求证：a ⊥b ；(2)设c ＝(0,1)，若a ＋b ＝c ，求α，β的值．【解】 (1)证明：由题意得|a －b |2＝2，即(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝2. 又因为a 2＝b 2＝|a |2＝|b |2＝1，所以2－2a ·b ＝2，即a ·b ＝0，故a ⊥b .(2)因为a ＋b ＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0,1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧cos α＋cos β＝0，sin α＋sin β＝1，由此得，cos α＝cos(π－β)，由0＜β＜π，得0＜π－β＜π. 又0＜α＜π，故α＝π－β.代入sin α＋sinβ＝1，得sinα＝sinβ＝12，而α＞β，所以α＝5π6，β＝π6.18．(本小题满分16分)已知sin(2α＋β)＝3sin β，设tan α＝x ，tan β＝y ，记y ＝f (x )． (1)求证：tan(α＋β)＝2tan α. (2)求f (x )的解析式．【解】 (1)证明：由sin(2α＋β)＝3sin β，得sin 错误!＝3sin 错误!，即sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α＝3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α， ∴sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)sin α. ∴tan(α＋β)＝2tan α. (2)由(1)得tan α＋tan β1－tan αtan β＝2tan α，即x ＋y1－xy＝2x ，∴y ＝x 1＋2x2，即f (x )＝x1＋2x2.19．(本小题满分16分)(2015·湖北高考)某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)(2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动θ(θ＞0)个单位长度，得到y ＝g (x )的图象．若y ＝g (x )图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0，求θ的最小值．【解】 (1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6，数据补全如下表：且函数解析式为f (x )＝5sin ⎝ ⎭⎪⎫2x －6.(2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，则g (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2θ－π6. 因为函数y ＝sin x 图象的对称中心为(k π，0)，k ∈Z ，令2x ＋2θ－π6＝k π，解得x ＝kπ2＋π12－θ，k ∈Z . 由于函数y ＝g (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0成中心对称，所以令kπ2＋π12－θ＝5π12，解得θ＝kπ2－π3，k ∈Z . 由θ＞0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π6.20．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(ω＞0,0＜φ＜π2)的部分图象如图3所示．图3(1)求f (x )的解析式；(2)将函数y ＝f (x )的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12倍，再将所得函数图象向右平移π6个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )的单调递增区间；(3)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，5π12时，求函数y ＝fx ＋π12－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的最值．【解】 (1)由图得34T ＝116π－π3＝96π＝32π， ∴T ＝2π，∴ω＝2πT ＝1.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116π＝0，得A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫116π＋φ＝0，∴116π＋φ＝2k π，φ＝2k π－116π. ∵0＜φ＜π2，∴当k ＝1时，φ＝π6. 又由f (0)＝2，得：A sin φ＝2，A ＝4， ∴f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6.(2)将f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变得到y ＝4sin2x ＋π6，再将图象向右平移π6个单位得到g (x )＝4sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋π6＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，由2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )得： k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )，∴g (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤kπ－π6，kπ＋π3(k ∈Z )．(3)y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝4sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋π6－2×4sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋π6 ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－42sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin xcos π4＋cos xsin π4－42cos x ＝22sin x ＋22cos x －42cos x ＝22sin x －22cos x ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，512π，x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34π，π6，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，∴函数的最小值为－4，最大值为2.。

高中数学模块综合检测苏教版必修4

(时间：120分钟；满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，把答案填在题中横线上)1．cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π3＝__________. 解析：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π3＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫－6π＋π3＝cos π3＝12.答案：122．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin 2θ＜1，则θ所在的象限为__________．解析：∵⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin 2θ＜1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120，∴sin 2θ＞0，∴2k π＜2θ＜2k π＋π(k ∈Z)， ∴θ表示第一或第三象限的角．答案：第一或第三象限3．已知向量a 与b 的夹角为120°，且|a |＝|b |＝4，那么a ·b 的值为__________．解析：a ·b ＝|a ||b |cos θ＝4×4×cos120°＝16×(－12)＝－8.答案：－84．已知sin α＋cos α＝－52，则tan α＋1tan α的值为__________．解析：∵sin α＋cos α＝－52，∴1＋2sin αcos α＝54，∴sin αcos α＝18.∴tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α＝8. 答案：85．已知向量a 与b 的夹角为120°，且|a |＝1，|b |＝3，则|5a －b |＝__________.解析：|5a －b |2＝(5a －b )2＝25a 2＋b 2－10a ·b ＝25×12＋32－10×1×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝49，∴|5a －b |＝7.答案：76．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的图象如图所示，则y 的表达式为__________．解析：由T 2＝2π3－π6，求出周期T ＝π，ω＝2，然后可求得φ＝π6.答案：y ＝2sin(2x ＋π6)7．若a ⊥b ，c 与a 及c 与b 的夹角均为60°，|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3，则(a ＋2b －c )2＝__________.解析：由a ⊥b ，得a ·b ＝0，由题意，得a ·c ＝|a ||c |cos60°＝1×3×12＝32，b ·c ＝|b ||c |cos60°＝2×3×12＝3，所以(a ＋2b －c )2＝a 2＋4b 2＋c 2＋4a ·b －4b ·c －2a ·c ＝|a |2＋4|b |2＋|c |2＋4a ·b －4b ·c －2a ·c ＝1＋16＋9－4×3－2×32＝11.答案：118．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x (x ∈R)的单调递增区间是__________．解析：因为(π3－x )＋(π6＋x )＝π2，所以y ＝2sin(π3－x )－sin(π3－x )＝sin(π3－x )＝－sin(x －π3)．由2k π＋π2≤x －π3≤2k π＋32π(k ∈Z)，得2k π＋56π≤x ≤2k π＋116π(k∈Z)，故原函数的单调递增区间是[2k π＋56π，2k π＋116π](k ∈Z)．答案：[2k π＋56π，2k π＋116π](k ∈Z)9．若A ＋B ＝π3，tan A ＋tan B ＝233，则cos A cos B ＝________.解析：由sin A cos A ＋sin B cos B ＝A ＋B cos A cos B ＝sinπ3cos A cos B ＝233，可求得cos A cos B ＝34.答案：3410．已知定义在R 上的奇函数f (x )，满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，若方程f (x )＝m (m ＞0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝__________.答案：－811．已知|p |＝22，|q |＝3，p 、q 的夹角为π4，如图所示，若AB →＝5p ＋2q ，AC →＝p －3q ，D 为BC 的中点，则|AD →|为__________．解析：∵AD →＝12(AC →＋AB →)＝12(5p ＋2q ＋p －3q )＝12(6p －q )， ∴|AD →|＝ |AD ―→|2＝12p －q 2＝ 1236p 2－12p ·q ＋q 2 ＝12 22－12×22×3×cos π4＋32＝152.答案：15212．关于平面向量a ，b ，c ，下列是真命题的是__________． ①若a ·b ＝a ·c ，则b ＝c ；②若a ＝(1，k )，b ＝(－2,6)，a ∥b ，则k ＝－3；③非零向量a 和b 满足|a |＝|b |＝|a －b |，则a 与a ＋b 的夹角为60°； ④若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c .解析：由a ·b ＝a ·c 得a ·(b －c )＝0，有三种情形：a ＝0或b －c ＝0或a ⊥(b －c )，所以①错误；由a ∥b ，即1－2＝k6得k ＝－3，②正确；因为|a |＝|b |＝|a －b |，所以a ，b 的夹角为60°，从而a 与a ＋b 的夹角为30°，故③错误；若b ＝0，此时a 与c 不一定平行，故④错误．答案：②13．设f (x )是以5为周期的奇函数，且f (－3)＝1，tan α＝3，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1cos 2α－2的值为__________．解析：由1cos 2α－2＝sin 2α＋cos 2αcos 2α－2＝8，得 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1cos 2α－2＝f (8)＝f (5＋3)＝－f (－3)＝－1. 答案：－114．如果a ＝(cos α＋sin α，2010)，b ＝(cos α－sin α，1)，且a ∥b ，那么1cos2α＋tan2α＋1的值是__________．解析：由a ∥b ，得cos α＋sin α＝2010(cos α－sin α)， ∴cos α＋sin αcos α－sin α＝2010.∴1cos2α＋tan2α＝1cos2α＋sin2αcos2α＝1＋sin2αcos2α＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos αcos 2α－sin 2α＝ α＋cos α2α＋sin αα－sin α＝cos α＋sin αcos α－sin α＝2010.∴1cos2α＋tan2α＋1＝2010＋1＝2011. 答案：2011二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)已知向量a ，b 满足|a |＝|b |＝2，a 与b 的夹角为120°.求： (1)|a ＋b |及|a －b |；(2)向量a ＋b 与a －b 的夹角．解：(1)a ·b ＝|a ||b |cos θ＝2×2×cos120°＝－2，所以|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝22＋22＋2×(－2)＝4，所以|a ＋b |＝2，同理可求得|a －b |＝2 3.(2)因为(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝22－22＝0，所以(a ＋b )⊥(a －b )，所以a ＋b 与a －b 的夹角为90°.16．(本小题满分14分)已知a ＝(cos2α，sin α)，b ＝(1,2sin α－1)，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，a ·b ＝25，求52sin2α－4cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π42cos2α2的值．解：∵a ·b ＝(cos2α，sin α)·(1,2sin α－1)＝cos2α＋sin α·(2sin α－1)＝cos2α＋2sin 2α－sin α＝cos2α＋(1－cos2α)－sin α＝1－sin α＝25，∴sin α＝35.又∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴cos α＝－1－sin 2α＝－45，∴52sin2α－4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π42cos2α2＝102sin αcos α－4⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos α－22sin α1＋cos α＝102sin αcos α－22cos α＋22sin α1＋cos α＝102×35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45－22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＋22×351＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝102×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45－22×(－4)＋22×3 ＝－242＋82＋62＝－10 2.17．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝2a cos 2x ＋b sin x cos x ，且f (0)＝2，f (π3)＝12＋32. (1)求f (x )的最大值与最小值；(2)若α－β≠k π(k ∈Z)，且f (α)＝f (β)，求tan(α＋β)的值．解：(1)因为f (0)＝2a ＝2，所以a ＝1，因为f (π3)＝12a ＋34b ＝12＋32，所以b ＝2.所以f (x )＝2cos 2x ＋2sin x cos x ＝sin2x ＋cos2x ＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1，所以f (x )的最大值为2＋1，最小值为1－ 2.(2)若f (α)＝f (β)，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2β＋π4，所以2α＋π4＝2k π＋2β＋π4或2α＋π4＝2k π＋π－⎝⎛⎭⎪⎫2β＋π4，即α－β＝k π(舍去)或α＋β＝k π＋π4，k ∈Z ，所以tan(α＋β)＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫k π＋π4＝1. 18．(本小题满分16分)已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，|a －b |＝255.(1)求cos(α－β)；(2)若0＜α＜π2，－π2＜β＜0，且sin β＝－513，求sin α.解：(1)∵a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)， ∴a －b ＝(cos α－cos β，sin α－sin β)．又∵|a －b |＝255，∴α－cos β2＋α－sin β2＝255，∴2－2cos(α－β)＝45，∴cos(α－β)＝35.(2)∵0＜α＜π2，－π2＜β＜0,0＜α－β＜π，sin β＝－513，cos(α－β)＝35，∴sin(α－β)＝45，cos β＝1213.sin α＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β＝45×1213＋35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－513＝3365. 19．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2x2＋sin x ＋b .(1)当a ＝1时，求函数f (x )的单调增区间；(2)当a ＜0且x ∈[0，π]时，函数f (x )的值域是[3,4]，求a ＋b 的值．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝2cos 2x 2＋sin x ＋b ＝1＋cos x ＋sin x ＋b ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋b ＋1.由2k π－π2≤x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z)，得2k π－3π4≤x ≤2k π＋π4(k ∈Z)，所以当a ＝1时，f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－34π，2k π＋π4(k ∈Z)． (2)由(1)知f (x )＝2a sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋a ＋b ，因为x ∈[0，π]，所以π4≤x ＋π4≤5π4，又因为a ＜0时，x ＋π4＝π2时，f (x )有最小值，所以2a ＋a ＋b ＝3.当x ＋π4＝54π时，f (x )有最大值，所以－a ＋a ＋b ＝4，所以a ＝－2＋1，b ＝4，所以a ＋b ＝5－ 2.20．(本小题满分16分)(2010年高考山东卷)已知函数f (x )＝sin(π－ωx )cos ωx ＋cos 2ωx (ω＞0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π16上的最小值．解：(1)因为f (x )＝sin(π－ωx )cos ωx ＋cos 2ωx ，所以f (x )＝sin ωx cos ωx ＋1＋cos2ωx2＝12sin2ωx ＋12cos2ωx ＋12＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π4＋12.由于ω＞0，依题意得2π2ω＝π，所以ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋12，所以g (x )＝f (2x )＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π4＋12.当0≤x ≤π16时，π4≤4x ＋π4≤π2，所以22≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π4≤1. 因此1≤g (x )≤1＋22.故g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π16上的最小值为1.。

高中数学模块综合检测(C)(含解析)苏教版必修4(2021年整理)

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模块综合检测（C)(时间：120分钟满分：160分）一、填空题(本大题共14小题,每小题5分，共70分)1．若角600°的终边上有一点（－4，a），则a的值是________．2．若向量a＝（3,m)，b＝(2,－1），a·b＝0，则实数m的值为________．3．已知α、β为锐角,且a＝(sin α，cos β），b＝（cos α，sin β)，当a∥b时，α＋β＝________.4．设向量a＝（cos α，错误!)，若a的模长为错误!，则cos 2α＝________。

5．已知错误!＝2e1＋k e2,错误!＝e1＋3e2，错误!＝2e1－e2，若A、B、D三点共线，则k＝________。

6．tan 17°＋tan 28°＋tan 17°tan 28°＝________。

7．若向量a＝(1，1)，b＝(2，5），c＝（3，x)，满足条件(8a－b）·c＝30，则x＝________。

8．已知cos4α－sin4α＝错误!,α∈(0，错误!），则cos(2α＋错误!)＝________。

9．已知A,B，C是锐角△ABC的三个内角，向量p＝（sin A，1），q＝(1，－cos B），则p 与q的夹角是________．（填“锐角”、“直角"或“钝角”）10．已知函数f(x）＝（1＋cos 2x)sin2x，x∈R，则f（x）是最小正周期为________的________(填“奇”、“偶”或“非奇非偶”）函数．11．设0≤θ≤2π，向量错误!＝(cos θ，sin θ)，错误!＝（2＋sin θ,2－cos θ），则向量错误!的模长的最大值为________．12．若θ∈[0,错误!],且sin θ＝错误!，则tan 错误!＝________.13．若向量错误!＝（3，－1)，n＝(2，1)，且n·错误!＝7，那么n·错误!＝________。

苏教版高中数学必修4模块检测(含参考答案).docx

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作模块检测（苏教版必修4）建议用时实际用时满分实际得分150分钟160分一、填空题（每小题5分，共70分）1.函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期为．2．化简：sin 13cos 17sin 17cos 13︒︒+︒︒= ．3.已知(,3)x =a ，(3,1)=b ，且⊥a b ，则x = .4.已知tan 2α=，则sin 2cos cos sin αααα+-= ．5.若1sin cos 3αα+=，则sin 2α= . 6.已知扇形的半径为8 cm ，圆心角为45°，则扇形的面积是 cm 2．7.已知4sin 5θ=，且cos(π)0θ->，则πcos 3θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ = ． 8.要得到2πsin 23y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，需要将函数y = sin 2x 的图象 .9．若ππ0,022αβ<<<<，且72cos 10α=，tan β=34，则αβ+= ． 10.函数sin y x =的定义域是 .11.已知,a b 满足：3,2,+4===a b a b ，则-a b = .12.设02πθ<≤，已知两个向量1(cos ,sin ),OP θθ=uuu r 2(2sin ,2cos )OP θθ=+-uuu r ，则向量12P P uuu r长度的最大值是 .13.已知四边形ABCD 为平行四边形，(1,2),(0,A B -0),(1,7)C ，则D 点坐标为 . 14.给出下列四个命题： ①函数π2sin 23y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的一条对称轴是5π12x =； ②函数tan y x =的图象关于点π,02⎛⎫ ⎪⎝⎭对称； ③正弦函数在第一象限为增函数； ④若12ππsin 2sin 244x x ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则12πx x k -=，其中k ∈Z .以上正确的有 .（请把正确命题的序号填在横线上）二、解答题（共90分）15.（14分）（1）已知1cos 3α=，求cos(2π)sin(π)πsin tan(3π)2αααα-+⎛⎫++ ⎪⎝⎭··的值；（2）已知tan 2α=，求2sin sin cos ααα+的值．16.（14分）已知53cos(),sin 135αββ+=-=，,αβ均为锐角.（1）求cos(2)αβ+的值；（2）求sin α的值．17.（14分）已知(1,2),(3,2)==-a b .（1）当k 为何值时，k +a b 与3-a b 垂直？（2）当k 为何值时，k +a b 与3-a b 平行？平行时它们是同向还是反向？18．（16分）函数π()sin()0,0,2f x A x A ωαω⎛=+>>- ⎝π2α⎫<<⎪⎭的最小正周期是π，且当π6x =时()f x 取得最大值3．（1）求()f x 的解析式及单调增区间．（2）若0[02π)x ∈，，且03()2f x =，求0x ．（3）将函数()f x 的图象向右平移(0)m m >个单位长度后得到函数()y g x =的图象，且()y g x =是偶函数，求m 的最小值．19.（16分）已知(3sin ,cos ),(cos ,x m x x =+=a b cos )m x -+且()f x =g a b .（1）求函数()f x 的解析式；（2）当ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()f x 的最小值是-4，求此时函数()f x 的最大值，并求出相应的x 的值．20.（16分）某港口的水深y (米)是时间t（024t ≤≤，单位：小时）的函数，下表是每天时间t 与水深y 的关系：t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y 10 13 9.9 7 10 13 10.1 7 10 经过长期观测，()y f t =可近似的看成是函数y =sin A t b ω+.（1）根据以上数据，求出()y f t =的解析式.（2）若船舶航行时，水深至少要11.5米才是安全的，那么船舶在一天中的哪几段时间可以安全的进出该港？模块检测（苏教版必修4）答题纸得分：一、填空题1． 2． 3. 4. 5． 6． 7. 8. 9． 10． 11. 12. 13． 14．三、解答题15.16.17.18.19.20.模块检测（苏教版必修4）答案一、填空题1.πv 解析：∵ 函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∴ 2ω=，∴ 2π π2T ==．2.12 解析：1sin 13cos 17cos 13sin 17sin 302+==. 3.-1 解析：∵ (,3)x =a ，(3,1)=b ，且⊥a b ，∴ 330x =+=g a b .解得1x =-.4.-4 解析：由tan 2α=，得sin 2cos tan 2224cos sin 1tan 12αααααα+++===----．5.89- 解析：由1sin cos 3αα+=，得112sin cos 9αα+=，∴ 82sin cos 9αα=-，∴ 8sin 29α=-.6.8π 解析：∵ 在扇形中，半径8 cm r =，圆心角α=45°=π4，∴ 弧长π82π(cm)4l =⨯=，∴ 扇形的面积2112π88π(cm )22S lr ==⨯⨯=．7.34310-- 解析：∵ 4sin 5θ=，且cos(π)cos 0θθ-=>-，∴ 3cos 5θ=-．∴ πππ3143343cos cos cos sin sin 333525210θθθ--⎛⎫+==-⨯-⨯= ⎪⎝⎭-.8.向右平移π3个单位解析：将函数sin 2y x =的图象向右平移π3个单位，可得到πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，即2πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象. 9.π4 解析：由条件可得22sin 1cos 10αα=-=，∴ 1tan 7α=．∴ tan tan tan()11tan tan αβαβαβ++==-·.由0παβ<+<，得π4αβ+=. 10.[2π,2ππ],k k k +∈Z 解析：由题意得sin 0x ≥，∴ 2π2ππ,k x k k +∈Z ≤≤，故函数的定义域为[2π,k2ππ],k k +∈Z .11.10 解析：∵ 3,2==a b ，∴ 229,4==a b .又+4=a b ，∴ 22216++=g a b a b ，∴ 23=g a b ， ∴ 222210+-==-g a b a b a b ，∴ 10-=a b .12.32 解析：由向量的减法知1221(2sin cos 2cos sin )PP OP OP θθθθ=-=+---，uuu r uuu r uuu r， ∴ 2212(2sin cos )(2cos sin )PP θθθθ=+-+--uuu r2244(sin cos )(sin cos )44(sin cos )(sin cos )θθθθθθθθ=+-+-+-+++108cos θ=-.∵ 02πθ<≤，∴ 1cos 1θ-≤≤，则当cos 1θ=-时，向量12P P uuu r的长度有最大值是32.13.（0,9）解析：设(,)D x y ，则BA CD =uu r uu u r .又(1,2),(1,7)BA CD x y =-=--uu r uu u r ，∴ 11,7 2.x y -=-⎧⎨-=⎩解得0,9.x y =⎧⎨=⎩∴ (0,9)D . 14.①② 解析：把5π12x =代入函数π2sin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，得2y =，为最大值，故①正确．结合函数tan y x =的图象可得点π,02⎛⎫ ⎪⎝⎭是函数tan y x =的图象的一个对称中心，故②正确． ③正弦函数在第一象限为增函数，不正确，如39060>，都是第一象限角，但sin 390sin 60< ．若12ππsin 2sin 244x x ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则有12ππ22π244x k x -=+-，或12ππ22ππ244x k x ⎛⎫-=+-- ⎪⎝⎭，k ∈Z ， ∴ 12πx x k -=或123ππ+4x x k +=，k ∈Z ，故④不正确．二、解答题15.解：（1）cos(2π)sin(π)cos sin πcos tan sin tan(3π)2αααααααα-+=⎛⎫++ ⎪⎝⎭g g g g =cos α=13．（2）因为tan 2α=，所以2sin sin cos ααα+ =222sin sin cos sin cos ααααα++=22tan tan tan 1ααα++=222221++ =65. 16.解：（1）由题意知124sin(),cos 135αββ+==，∴ 5412356cos(2)cos[()]cos()cos sin()sin 13513565αβαββαββαββ+=++=++=-⨯-⨯=--．（2）1245363sin sin[()]sin()cos cos()sin =13513565ααββαββαββ⎛⎫=+=+-+=⨯--⨯ ⎪⎝⎭-．17.解：(1,2)+(3,2)(3,22)k k k k +==-+-a b ，3(1,2)3(3,2)(10,4)---=-a b =. （1）由()(3)k +⊥-a b a b ，得()(3)10(3)4(22)2380,k k k k +-=-+=-=-g a b a b 解得19k =.（2）由()(3)k +-a b a b ∥，得4(3)10(22)k k --=+,解得13k =-.此时1041,(10,4)333k ⎛⎫+=-=-- ⎪⎝⎭a b ，所以它们方向相反．18.解：（1）由题意知2π3,πA ω==.∴ 2ω=.∴ ππ3sin 2366f α⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.∴ ππ22π62k α⨯+=+()k ∈Z . 又ππ22α-<<，∴ π6α=.∴ π()3sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.由πππ2π22π262k x k -++≤≤()k ∈Z ，得ππππ36k x k -+≤≤()k ∈Z ，∴()f x 的单调增区间是πππ,π36k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z .（2）∵ 00π3()3sin 262f x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，即0π1sin 262x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴ 0ππ22π66x k +=+或0π5π22π()66x k k +=+∈Z .∴ 0πx k =或0ππ()3x k k =+∈Z .又0[02πx ∈，），∴ 0π4π0,π,,33x =. （3）由条件可得ππ()3sin 2()3sin 2266g x x m x m ⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.又()g x 是偶函数，∴ ()g x 的图象关于y 轴对称，∴ 当0x =时，()g x 取最大值或最小值，即π3sin 2+36m ⎛⎫-=± ⎪⎝⎭，∴ ππππ2π(),()6226k m k k m k -+=+∈=--∈Z Z . 又0m >，∴ m 的最小值是π3.19.解：（1）()(3sin ,cos )(cos ,cos )f x x m x x m x ==+-+g g a b ，即22()3sin cos cos f x x x x m =+-．（2）∵ 223sin 21cos 2π1()sin 22262x x f x m x m +⎛⎫=+-=++- ⎪⎝⎭，又ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， ∴ ππ5π2,666x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，∴ π1sin 2,162x ⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，∴ 211422m -+-=-， ∴ 24m =，∴ max 15()1422f x =+-=-，此时ππ262x +=，π6x =．20.解：（1）由题意知13713710,322b A +-====，周期为12，因此2ππ12,6T ωω===，故π()3sin 10(024)6f t t t =+≤≤.（2）要想船舶安全，必须深度()11.5f t ≥，即π3sin 1011.56t +≥，∴ π1sin 62t ≥，故ππ5π2π2π,666k t k k ++∈Z ≤≤.解得121512,k t k k ++∈Z ≤≤. 又024t ≤≤，当0k =时，15t ≤≤；当1k =时，13t ≤≤17，故船舶安全进出港的时间段为（1：00∼5：00），（13：00∼17：00）．。

【苏教版】高中数学必修四：模块综合检测卷(含答案解析)

模块综合检测卷(测试时间：120分钟评价分值：150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2013·湖北卷)已知点A (－1，1)，B (1，2)，C (－2，－1)，D (3，4)则向量AB →在CD →方向上的投影为( )A.322 B.3152 C ．－322 D ．－3152解析：∵AB →＝(2，1)，CD →＝(5，5)，∴AB →·CD →＝(2，1)·(5，5)＝15，|CD →|＝52＋52＝5 2.所以向量AB →在CD →方向上的投影为|AB →|cos<AB →，CD →>＝AB →·CD →|CD →|＝1552＝322，故选A.答案：A2．(2013·浙江卷)已知α∈R，sin α＋2cos α＝102，则tan 2α＝( ) A.43 B.34 C ．－34 D ．－43解析：由已知可求得tan α＝－3或13，∴tan 2α＝－34，故选C.答案：C3．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫其中A >0，|φ|<π2的图象如图所示，则f (0)＝( )A ．1 B.12 C.22 D.32解析：由图象知A ＝1，T ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12－π3＝π，∴ω＝2.把⎝⎛⎭⎪⎫7π12，－1代入函数式中，可得φ＝π3，f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，故f (0)＝sin π3＝32.答案：D4．若O 、A 、B 是平面上不共线的任意三点，则以下各式中成立的是 ( ) A.AB →＝OA →＋OB → B.AB →＝OB →－OA →C.AB →＝－OB →＋OA →D.AB →＝－OB →－OA → 解析：根据向量的表示可知选B. 答案：B5．(2014·安徽卷)设函数f (x )(x ∈R)满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ．当0≤x <π时，f (x )＝0，则f ⎝⎛⎭⎪⎫23π6＝( )A.12B.32 C ．0 D ．－12解析：根据已知条件判断出f (x )是以2π为周期的周期函数，然后进行求解． ∵f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ， ∴f (x ＋2π)＝f (x ＋π)－sin x .∴f (x ＋2π)＝f (x )＋sin x －sin x ＝f (x )． ∴f (x )是以2π为周期的周期函数．又f ⎝⎛⎭⎪⎫23π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π－π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，f ⎝⎛⎭⎪⎫－π6＋π＝f ⎝⎛⎭⎪⎫－π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6， ∴f ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6－12. ∵当0≤x <π时，f (x )＝0， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＝0.∴f ⎝⎛⎭⎪⎫23π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝12.故选A.答案：A6．为了得到函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋π6，x ∈R 的图象，只需把函数y ＝2sin x ，x ∈R 的图象上所有的点( )A ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的13(纵坐标不变)B ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)C ．向右平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的13(纵坐标不变)D ．向右平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)解析：f (x )＝2sin x 向左平移π6得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝g (x )，把g (x )图象横坐标伸长到原来的3倍得g ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＋π6. 答案：B7．若向量a ＝(1，2)，b ＝(1，－1)，则2a ＋b 与a －b 的夹角等于( ) A ．－π4 B.π6 C.π4 D.3π4解析：2a ＋b ＝(3，3)，a －b ＝(0，3)，则(2a ＋b )·(a －b )＝3×0＋3×3＝9， |2a ＋b |＝32，|a －b |＝3.设2a ＋b 与a －b 的夹角为θ，且θ∈[0，π]，则cos θ＝932×3＝22，得θ＝π4，故选C.答案：C 8．函数f (x )＝sin x －12，x ∈(0，2π)的定义域是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π6 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π3解析：如下图所示，∵sin x ≥12，∴π6≤x ≤5π6.答案：B9.(2013·湖南卷)已知a ，b 是单位向量，a·b ＝0.若向量c 满足|c －a －b |＝1，则|c |的取值范围是( )A ．[2－1，2＋1]B ．[2－1，2＋2]C ．[1，2＋1]D ．[1，2＋2]解析：因为a ·b ＝0，即a ⊥b ，又|a |＝|b |＝1，所以|a ＋b |＝2，不妨让a ，b 固定，设u ＝a ＋b ，则|c －u |＝1，即c 的终点在以u 对应点为圆心，半径为1的圆上．则当c 与u 方向相同时，|c |max ＝2＋1，当c 与u 方向相反时，|c |min ＝2－1，所以|c |的取值范围是[2－1，2＋1]．故选A.答案：A10．已知在△ABC 中，向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12, 则△ABC 为( )A ．三边均不相等的三角形B ．直角三角形C ．等腰非等边三角形D ．等边三角形解析：如图，设AB→||AB →＝AE →，AC →||AC →＝AF →，则原式化为：（AE →＋AF →)·BC →＝0，即AD →·BC →＝0，∴AD →⊥BC →.∵四边形AEDF 是菱形， ∴∠EAD ＝∠DAC . ∵AE →·AF →＝||AE→||AF →cos ∠BAC ＝12， ∴cos ∠BAC ＝12.∴∠BAC ＝60°，∴∠BAD ＝∠DAC ＝30°. △ABH ≌△ACH ⇒AB ＝AC ，∵∠BAC ＝60°， ∴△ABC 是等边三角形．答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 11．(2014·天津卷)已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BC ＝3BE ，DC ＝λDF .若AE →·AF →＝1，则λ的值为________．解析：根据条件把向量AF →，AE →用向量AB →，AD →表示出来，然后根据向量数量积公式求解．AE →·AF →＝(AB →＋BE →)·(AD →＋DF →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋13BC →·⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋1λDC →＝AB →·AD →＋1λAB →·DC →＋13BC →·AD →＋13λBC →·DC →＝2×2×cos 120°＋1λ×2×2＋13×2×2＋13λ×2×2×cos 120°＝－2＋4λ＋43－23λ＝103λ－23，又∵AE →·AF →＝1，∴103λ－23＝1.∴λ＝2.答案：212．(2013·上海卷)若cos x cos y ＋sin x sin y ＝12，sin 2x ＋sin 2y ＝23，则sin(x ＋y )＝________．解析：cos(x －y )＝12，sin 2x ＋sin 2y ＝2sin(x ＋y )·cos(x －y )＝23，故sin(x ＋y )＝23.答案：2313．(2013·新课标全国卷Ⅰ)设当x ＝θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝_____________________________________.解析：先利用三角恒等变换求得函数的最大值，再利用方程思想求解．y ＝sin x －2cos x ＝5⎝⎛⎭⎪⎫15sin x －25cos x ，设15＝cos α，25＝sin α，则y ＝5(sin x cos α－cos x sin α)＝5sin(x －α)． ∵x ∈R ，∴x －α∈R. ∴y max ＝ 5.又∵x ＝θ时，f (x )取得最大值，∴f (θ)＝sin θ－2cos θ＝ 5. 又sin 2θ＋cos 2θ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝15，cos θ＝－25，即cos θ＝－255.答案：－25514．已知函数f (x )＝sin ωx ，g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2，有下列命题： ①当ω＝2时，f (x )g (x )的最小正周期是π2；②当ω＝1时，f (x )＋g (x )的最大值为98；③当ω＝2时，将函数f (x )的图象向左平移π2个单位长度可以得到函数g (x )的图象．其中正确命题的序号是______________(把你认为正确的命题的序号都填上)．解析：①ω＝2时，f (x )g (x )＝sin 2x ·cos 2x ＝12sin 4x ，周期T ＝2π4＝π2.故①正确．②ω＝1时，f (x )＋g (x )＝sin x ＋cos 2x ＝sin x ＋1－2sin 2x ＝－2⎝⎛⎭⎪⎫sin x －142＋98，故当sin x ＝14时，f (x )＋g (x )取最大值98.故②正确．③当ω＝2时，将函数f (x )的图象向左平移π2得到sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－sin 2x ，故③不正确．答案：①②三、解答题(本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本题满分14分)在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE →＝1，求AB 的长．解析：∵E 为CD 的中点，∴BE →＝BC →＋CE →＝AD →－12DC →＝AD →－12AB →.∵AC →·BE →＝1，AC →＝AD →＋AB →，∴AC →·BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →－12AB →·(AD →＋AB →)＝|AD →|2－12|AB →|2＋12AB →·AD→＝1，即1－12|AB →|2＋12|AB →|cos 60°＝1，∴－12|AB →|2＋14|AB →|＝0，解得|AB →|＝12.16.(本小题满分12分)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝13. (1)求tan α的值；(2)求2sin 2α－sin(π－α)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α的值．解析：(1)∵tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝13， ∴tan α＝－12.(2)原式＝2sin 2α－sin αcos α＋cos 2α＝2sin 2α－sin αcos α＋cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan 2α－tan α＋1tan 2α＋1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－122－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋1＝85. 17．(本小题满分14分)(2014·广东卷)已知函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，x ∈R ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＝32. (1)求A 的值；(2)若f (θ)＋f (－θ)＝32，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－θ.解析：(1)∵f ⎝⎛⎭⎪⎫5π12＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋π4＝A sin 2π3＝A sin π3＝32A ＝32，∴A ＝ 3.(2)由(1)知f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，故f (θ)＋f (－θ)＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＋3sin ⎝⎛⎭⎪⎫－θ＋π4＝32，∴3⎣⎢⎡⎦⎥⎤22（sin θ＋cos θ）＋22（cos θ－sin θ）＝32.∴6cos θ＝32.∴cos θ＝64.又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin θ＝1－cos 2θ＝104.∴f ⎝⎛⎭⎪⎫3π4－θ＝3sin(π－θ)＝3sin θ＝304. 18．(本题满分14分)(2013·安徽卷)已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)讨论f (x )在区间[0，2]上的单调性．解析：(1)f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4＝22cos ωx (sin ωx ＋cos ωx )＝2(sin 2ωx ＋cos 2ωx ＋1)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π4＋2⇒2π2ω＝π⇒ω＝1.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋2，ω＝1.(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4，令2x ＋π4＝π2解得x ＝π8，∴y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π8上单调递增；在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，π2上单调递减． 19.(本题满分14分)(2013·上海卷)(6分＋8分)已知函数f (x )＝2sin(ωx )，其中常数ω>0.(1)若y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，2π3上单调递增，求ω的取值范围；(2)令ω＝2，将函数y ＝f (x )的图象向左平移π6个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，区间[a ，b ](a ，b ∈R 且a <b )满足：y ＝g (x )在[a ，b ]上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的[a ，b ]中，求b －a 的最小值．解析：(1)因为ω>0，根据题意有⎩⎪⎨⎪⎧－π4ω≥－π2，2π3ω≤π2⇒0<ω≤34.(2)f (x )＝2sin 2x ，g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋1.g (x )＝0⇒sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝－12⇒x ＝k π－π4或x ＝k π－712π，k ∈Z ，即g (x )的零点相离间隔依次为π3和2π3，故若y ＝g (x )在[a ，b ]上至少含有30个零点，则b －a 的最小值为14×2π3＋15×π3＝43π3.20．(本小题满分14分)已知向量m ＝(sin x ，－cos x )，n ＝(cos θ，－sin θ)，其中0<θ<π.函数f (x )＝m·n 在x ＝π处取得最小值．(1)求θ的值；(2)设A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，若sin B ＝2sin A ，f (C )＝12，求A .解析：(1)∵f (x )＝m ·n ＝sin x cos θ＋cos x sin θ＝ sin(x ＋θ)，且函数f (x )在x ＝π处取得最小值， ∴sin(π＋θ)＝－1, 即sin θ＝1. 又0<θ<π，∴θ＝π2.∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝cos x .(2)∵f (C )＝12，∴cos C ＝12.∵0<C <π，∴C ＝π3.∵A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝2π3－A .代入sin B ＝2sin A 中， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－A ＝2sin A .∴sin 2π3cos A －cos 2π3 sin A ＝2sin A .∴tan A ＝33. ∵0<A <π，∴A ＝π6.。

2016苏教版高中数学必修4模块综合检测版

模块缘合检测（时间:120分钟，满分：160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分、将答案填在题中的横线上）1、若角a的终边过点（sin 30。

，一cos 30。

）,则sin a等于____ 、解析：sin a -错误•=・cos 30°=•错误！、答案：一错误！2、（cos 15°+sin 15°）（cos 15°—sin 15°）= _______ x解析:（cos 15° + sin 15°）（cos 15° • sin 15°）=cos215°・ sin215° = cos 30° =错误！.答案：错误！3、设a与”就是两个不共线的向量，且向量a+肋与一（b-2a）共线，则实线2的值等于 __________解析:由・（「2a） = 2a-b与a+"共线，故人二•错误！、答案：一错误！4、已知tan错误!=错误!，伽错误!=错误!，则伽（a+/?）的值为__________ 、解析：tan （«+/?） =tan［（a-错误！）+ （错误！+“）］二错误！二1、答案：15、计算：错误! = ________ 、解析：错误！二错误！二错误！二错误!、答案:错误！6、（2012•隹卷）当函数）=sinx—羽cosx （0WxV2?r）取得最大值时，x=_________ 、解析:j = sin x -错误! cos x二2（错误! sin x -错误! cosx）二2sin（x •错误！）的最大值为2,又00<2冗,故当x・错误！二错误！，即x二错误!时，y取得最大值、答案:弘7、已知sin （n—a） =—2sin错误！，则sin acos a等于_______ 、解析:由sin （TT - a ） = - 2sin（错谋! + a）,可得sin a = • 2cos a t贝IJ tan a 二• 2，那么sin acos a -错误！［来源：］tan a 2二二・ g1 + tan2a答案:一错误！8、设函数y=3sln错误！的图象关于点Pg.0)成中心对称，若M岸错误！，则x0=_______ 、解析:因为图象的对称中心就是与X轴的交点，所以由3sin(2x0 +错误!)二0,如曰・错误！，0］,得X。

(苏教版)数学高中必修4配套练习+章节检测卷 (全书完整版)

（苏教版）高中数学必修4配套练习+章节检测卷汇总第1章三角函数1.1 任意角、弧度1.1.1 任意角A级基础巩固1．下列命题中正确的是()A．终边与始边都相同的角一定相等B．始边相同而终边不同的角一定不相等C．小于90°的角一定是锐角D．大于或等于0°且小于90°的角一定是锐角答案：B2．已知下列各角：①787°；②－957°；③－289°；④1 711°.其中在第一象限的角是()A．①②B．②③C．①③D．②④答案：C3．若角α的终边经过点M(0，－3)，则角α()A．是第三象限角B．是第四象限角C．即是第三象限角，又是第四象限角D．不是任何象限的角解析：因为点M(0，－3)在y轴负半轴上，所以角α的终边不在任何象限．答案：D4．已知α是第三象限角，则－α所在的象限是()A．四B．三C．二D．一解析：因为α是第三象限角，所以k·360°＋180°<α<k·360°＋270°，k∈Z.则－k·360°－270°<－α<－k·360°－180°，k∈Z.所以－α是第二象限角．答案：C5．终边与坐标轴重合的角α的集合是()A．{α|α＝k·360°，k∈Z}B．{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}C．{α|α＝k·180°，k∈Z}D．{α|α＝k·90°，k∈Z}解析：终边在坐标轴上的角为90°或90°的倍数角，所以终边与坐标轴重合的角的集合为{α|α＝k·90°，k∈Z}．答案：D6．时针走过了2小时40分钟，则分针转过的角度是______．答案：－960°7．50°角的始边与x轴的非负半轴重合，把其终边按顺时针方向旋转3周，所得的角是________．解析：顺时针方向旋转3周转了－(3×360°)＝－1 080°.又50°＋(－1 080°)＝－1 030°，故所得的角为－1 030°.答案：－1 030°8．若α为锐角，则角－α＋k·360°(k∈Z)是第________象限角．解析：α为锐角，则角α是第一象限角，所以角－α是第四象限角，又因为－α＋k·360°(k∈Z)与－α的终边相同，所以－α＋k·360°(k∈Z)是第四象限角．答案：四9．在0°～360°间，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角：(1)－120°；(2)660°；(3)－950°08′.解：(1)因为－120°＝240°－360°，所以与－120°角终边相同的角是240°角，它是第三象限的角；(2)因为660°＝300°＋360°，所以与660°终边相同的角是300°角，它是第四象限的角；(3)因为－950°08′＝129°52′－3×360°，所以与－950°08′角终边相同的角是129°52′角，它是第二象限的角．10．已知锐角α的10倍与它本身的终边相同，求角α.解：与角α终边相同的角连同角α在内的角的集合可表示{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．因为锐角α的10倍的终边与其终边相同，所以10α＝α＋k·360°，k∈Z.解得：α＝k·40°，k∈Z.又α为锐角，所以α＝40°或80°.B级能力提升11．下面说法正确的个数为()(1)第二象限角大于第一象限角；(2)三角形的内角是第一象限角或第二象限角；(3)钝角是第二象限角．A．0 B．1 C．2 D．3解析：第二象限角如120°比第一象限角390°要小，故(1)错；三角形的内角可能为直角，直角既不是第一象限角，也不是第二象限角，故(2)错；(3)中钝角是第二象限角是对的．所以正确的只有1个．答案：B12．集合A＝{α|α＝k·90°－36°，k∈Z}，B＝{β|－180°<β< 180°}，则A∩B等于()A．{－36°，54°} B．{－126°，144°}C．{－126°，－36°，54°，144°} D．{－126°，54°} 解析：令k＝－1，0，1，2，则A，B的公共元素有－126°，－36°，54°，144°.答案：C13．在0°～360°范围内，与角－60°的终边在同一条直线上的角为________．解析：根据终边相同角定义知，与－60°终边相同角可表示为β＝－60°＋k·360°(k∈Z)，当k＝1时β＝300°与－60°终边相同，终边在其反向延长线上且在0°～360°范围内角为120°.答案：120°，300°14.如图所示，写出阴影部分(包括边界)的角的集合，并指出－950°12′是否是该集合中的角．解：题图阴影部分(包括边界)的角的范围是k·360°≤α≤k·360°＋125°，k∈Z，所求集合为{α|k·360°≤α≤k·360°＋125°，k∈Z}，因为－950°12′＝－3×360°＋129°48′，所以－950°12′不是该集合中的角．15．已知角的集合M＝{α|α＝30°＋k·90°，k∈Z}，回答下列问题：(1)集合M中大于－360°且小于360°的角是哪几个？(2)写出集合M中的第二象限角β的一般表达式．解：(1)令－360°<30°＋k·90°<360°，则－133<k<113，又因为k∈Z，所以k＝－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，所以集合M中大于－360°且小于360°的角共有8个，分别是－330°，－240°，－150°，－60°，30°，120°，210°，300°.(2)集合M中的第二象限角与120°角的终边相同，所以β＝120°＋k·360°，k∈Z.第1章三角函数1.1 任意角、弧度1.1.2 弧度制A 级基础巩固一、选择题1．α＝－5 rad ，则α的终边在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：－5＝－2π＋(2π－5)，因为0<2π－5<π2，所以α＝－5在第一象限．答案：A2．下列说法中，错误的是( )A ．半圆所对的圆心角是π radB ．周角的大小等于2πC ．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径D ．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度解析：根据弧度的定义及角度与弧度的换算知A 、B 、C 均正确，D 错误．答案：D3．一条弦长等于圆的半径，则这条弦所对的圆心角的弧度数是( )A ．1 B.π6 C.π3D ．π 解析：因为弦长等于圆的半径，如图所示，则△ABC 为正三角形，所以弦所对的圆心角为π3.答案：C4．在半径为10的圆中，240°的圆心角所对弧长为( )A.403πB.203πC.2003πD.4003π 解析：240°＝240180π＝43π，所以弧长l ＝|α|·r ＝43π·10＝403π. 答案：A5．把－11π4表示成θ＋2k π(k ∈Z)的形式，使|θ|最小的θ值是( )A ．－3π4B ．－π4 C.π4 D.3π4解析：令－11π4＝θ＋2k π(k ∈Z)，则θ＝－11π4－2k π(k ∈Z)，取k ≤0的值，k ＝－1时，θ＝－3π4，|θ|＝3π4； k ＝－2时，θ＝5π4，|θ|＝5π4>3π4； k ＝0时，θ＝－11π4，|θ|＝11π4>3π4. 答案：A6．若有一角和π3rad 角终边相同，则此角的集合可以表示为______________________________．答案：⎩⎨⎧α⎪⎪⎪⎭⎬⎫α＝k ·2π＋π3，k ∈Z 7.π12rad ＝________度，________rad ＝－300°. 解析：π12＝180°12＝15°，－300°＝－300×π180＝－5π3. 答案：15 －5π3 8．已知扇形的圆心角为60°，半径为3，则扇形的面积是________．解析：因为60°＝π3rad ，则扇形的面积S ＝12×π3·32＝32π. 答案：32π 9．(1)1°的圆心角所对弧长为1米，则此圆半径为______米；(2)1 rad 的圆心角所对弧长为1米，则此圆半径为______米．解析：(1)因为|α|＝1°＝π180，l ＝1，所以r ＝l |α|＝1π180＝180π. (2)因为l ＝1，|α|＝1，所以r ＝l |α|＝1. 答案：(1)180π(2)1 10．已知扇形的圆心角所对的弦长为2，圆心角为2弧度．(1)求这个圆心角所对的弧长； (2)求这个扇形的面积．解：(1)如图所示，过O 作OD ⊥AB 于点D ，则D 为AB 的中点，所以AD ＝12AB ＝1， ∠AOD ＝12∠AOB ＝1 rad ，所以扇形的半径OA ＝1sin 1. 由弧长公式l ＝|α|r ，得l ＝2×1sin 1＝2sin 1. (2)由扇形面积公式S ＝12lr ，得 S ＝12×2sin 1·1sin 1＝1sin 21. B 级能力提升11．集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π＋π4，k ∈Z ，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π2＋π4，k ∈Z ，则有( ) A ．M ＝NB ．M NC ．M ND ．M ∩N ＝∅解析：因为集合M 是表示终边在第一、第三象限的角平分线上的角的集合．集合N 是表示终边在第一、第三象限或第二、第四象限的角平分线上的角的集合，所以MN . 答案：C12．在直径为10 cm的轮上有一长为6 cm的弦，P为弦的中点，轮子以每秒5弧度的角速度旋转，则经过5秒钟后P转过的弧长为________．解析：P到圆心O的距离OP＝52－32＝4(cm)，又点P转过的角的弧度数α＝5×5＝25(rad)．所以弧长为α·OP＝25×4＝100(cm)．答案：100 cm13．已知α＝2 000°.(1)把α写成2kπ＋β(k∈Z，β∈[0，2π))的形式；(2)求θ，使得θ与α的终边相同，且θ∈(4π，6π)．解：(1)α＝2 000°＝5×360°＋200°＝10π＋10 9π.(2)θ与α的终边相同，故θ＝2kπ＋109π，k∈Z，又θ∈(4π，6π)，所以k＝2时，θ＝4π＋109π＝46π9.14．已知扇形的周长为40 cm，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？解：设扇形的圆心角为θ，半径为r，弧长为l，面积为S，则l＋2r＝40.所以l＝40－2r.所以S＝12lr＝12×(40－2r)r＝20r－r2＝－(r－10)2＋100.所以当半径r＝10 cm时，扇形的面积最大，这个最大值为100cm2，这时θ＝lr＝40－2×1010＝2 rad.15．已知半径为10的圆O中，弦AB的长为10.求α(∠AOB)所在的扇形的弧长l及弧所在的弓形的面积S.解：由⊙O 的半径r ＝10＝AB ，知△AOB 是等边三角形，所以α＝∠AOB ＝60°＝π3.所以弧长l ＝a ·r ＝π3·10＝10π3.所以S 扇形＝12lr ＝12×10π3·10＝50π3.而S △AOB ＝12×AB ·53＝12×10×53＝5032，所以S ＝S 扇形－S △AOB ＝50⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－32.第1章三角函数 1.2 任意角的三角函数 1.2.1 任意角的三角函数A 级基础巩固一、选择题1．若－π2<α<0，则点Q (cos α，sin α)位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：因为－π2<α<0，则cos α>0，sin α<0.答案：D2．已知角α的终边过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，则cos α＝( )A.12B.32C.33 D ．±12解析：因为点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12是单位圆上一点，则cos α＝x ＝32. 答案：B3．若α是第四象限角，则sin α和tan α的大小的关系是( ) A ．sin α>tan α B ．sin α<tan α C ．sin α≥tan αD ．不确定解析：画出三角函数线即可判断出来，如图所示，sin α＝MP ，tan α＝AT ，又|MP |<|AT |，故sin α>tan α. 答案：A4．若sin θ·cos θ>0，则角θ是( ) A ．第一或第二象限角 B ．第一或第三象限角 C ．第一或第四象限角 D ．第二或第四象限角解析：因为sin θ·cos θ>0，所以sin θ与cos θ同号，由三角函数值在各象限内的符号知θ为第一或第三象限角．答案：B5．函数y ＝11＋sin x的定义域为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠3π2＋2k π，k ∈ZB.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠π2＋2k π，k ∈Z C.{}x |x ≠2k π，k ∈ZD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠－3π2＋2k π，k ∈Z 解析：因为1＋sin x ≠0，所以sin x ≠－1. 又sin 3π2＝－1，所以x ≠3π2＋2k π，k ∈Z.答案：A6．若α的终边过点P (2sin 30°，－2cos 30°)，则sin α的值为________．答案：－327．若420°角的终边所在直线上有一点(－4，a )，则a 的值为________．解析：由三角函数定义知，tan 420°＝－a4，又tan 420°＝tan(360°＋60°)＝tan 60°＝3，所以－a4＝ 3.所以a ＝－4 3.答案：－438．已知θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，在单位圆中角θ的正弦线、余弦线、正切线分别是MP ，OM ，AT ，则它们从大到小的顺序为________．解析：作图如下，因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，所以θ>π4，根据三角函数线的定义可知AT >MP >OM . 答案：AT >MP >OM9．函数y ＝sin x ＋－cos x 的定义域是_________________．解析：因为⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，－cos x ≥0，所以⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，cos x ≤0，即角x 的终边落在第二象限内和两个半轴上．所以2k π＋π2≤x ≤2k π＋π，k ∈Z.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋π(k ∈Z) 10．已知角α的终边落在射线y ＝2x (x ≥0)上，求sin α，cos α的值．解：在射线y ＝2x (x ≥0)上任取一点P (a ，2a )(a >0)．则r ＝|OP |＝a 2＋4a 2＝5a ，所以sin α＝y r ＝2a 5a ＝255，cos α＝x r ＝a5a ＝55.B 级能力提升11．若α是第三象限角，则|sin α|sin α－cos α|cos α|＝( )A ．0B ．1C ．2D ．－2 解析：因为α是第三象限角，所以sin α<0，cos α<0，所以|sin α|sin α－cos α|cos α|＝－1－(－1)＝0.答案：A12．已知角α的终边过点(－3cos θ，4cos θ)，其中θ∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，则cos α＝________．解析：因为θ∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，所以cos θ<0.所以点(－3cos θ，4cos θ)到原点的距离r ＝－5cos θ，所以cos α＝－3cos θ－5cos θ＝35.答案：3513．在(0，2π)内，满足tan 2α＝－tan α的α的取值范围是______．解析：由tan 2α＝－tan α，知tan α≤0，在单位圆中作出角α的正切线，如图所示，知π2＜α≤π或3π2＜α＜2π.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π∪⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π14．已知P (－2，y )是角α终边上一点，且sin α＝－55，求cos α与tan α的值．解：因为点P 到原点的距离为r ＝4＋y 2，所以sin α＝y 4＋y2＝－55，所以y 2＋4＝5y 2，所以y 2＝1. 又易知y <0，所以y ＝－1.所以r ＝ 5.所以cos α＝－25＝－255，tan α＝－1－2＝12.15．已知角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，求sin α，cos α，tan α的值．解：因为角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，所以在角α的终边上任取一点P (4t ，－3t )(t ≠0)，则x ＝4t ，y ＝－3t ，r ＝x 2＋y 2＝（4t ）2＋（－3t ）2＝5|t |，当t >0时，r ＝5t ，sin α＝y r ＝－3t 5t ＝－35，cos α＝x r ＝4t 5t ＝45，tan α＝y x ＝－3t4t ＝－34；当t <0时，r ＝－5t ，sin α＝y r ＝－3t －5t ＝35，cos α＝x r ＝4t －5t ＝－45，tan α＝y x ＝－3t4t ＝－34.第1章三角函数 1.2 任意角的三角函数 1.2.2 同角三角函数关系A 级基础巩固一、选择题1．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且sin α＝35，则tan α＝( )A.34 B ．－34 C.43 D ．－43解析：由sin α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π得cos α＝－1－sin 2α＝－45，所以tan α＝sin αcos α＝－34.答案：B2．sin 2α＋cos 4α＋sin 2α cos 2α的化简结果是( ) A.14 B.12 C.32D ．1 解析：sin 2α＋cos 4α＋sin 2αcos 2α＝sin 2α＋cos 2α(cos 2α＋sin 2α)＝sin 2α＋cos 2α＝1.答案： D3．已知tan α＝13，且0≤α≤π，则sin α·cos α的值为( )A ．±310 B.310 C.310 D ．±310解析：sin α·cos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2α＋1＝310.答案：B4．若α∈[0，2π)，且有1－cos 2α＋1－sin 2α＝sin α－cos α，则角α的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，32π 解析：因为1－cos 2α＋1－sin 2α＝sin α－cos α，所以sin α≥0，且cos α≤0.又α∈[0，2π)，所以α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π.答案：B5．若sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2mm ＋5，则m 的值为( )A ．0B ．8C ．0或8D ．3<m <9解析：由sin 2θ＋cos 2θ＝1得⎝⎛⎭⎪⎫m －3m ＋52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4－2m m ＋52＝1，解得m ＝0或8. 答案：C6．化简sin α1＋sin α－sin α1－sin α的结果为________．解析：sin α1＋sin α－sin α1－sin α＝sin α（1－sin α）－sin α（1＋sin α）（1＋sin α）（1－sin α）＝－2sin 2α1－sin 2α＝－2sin 2αcos 2α＝－2tan 2α. 答案：－2tan 2α7．若4sin α－2cos α5cos α＋3sin α＝10，则tan α的值为________．解析：因为4sin α－2cos α5cos α＋3sin α＝10，所以4sin α－2cos α＝50cos α＋30sin α. 所以26sin α＝－52cos α，即sin α＝－2cos α. 所以tan α＝－2. 答案：－28．若A 为△ABC 的一个内角，且sin A ＋cos A ＝23，则△ABC的形状为________三角形．解析：因为sin A ＋cos A ＝23，则(sin A ＋cos A )2＝49.所以sin A cos A ＝－518<0，则A 为钝角．故△ABC 为钝角三角形．答案：钝角9．cos α＋2sin α＝－5，则tan α＝________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧cos α＋2sin α＝－5，sin 2α＋cos 2α＝1⇒⎩⎨⎧sin α＝－25，cos α＝－15.所以tan α＝sin αcos α＝2.答案：210．化简下列各式： (1)1＋sin θ1－sin θ＋1－sin θ1＋sin θ；(2)⎝⎛⎭⎪⎪⎫1－sin x1＋sin x－1＋sin x 1－sin x ·⎝⎛⎭⎪⎪⎫1－cos x1＋cos x－1＋cos x 1－cos x .解：(1)原式＝（1＋sin θ）21－sin 2θ＋（1－sin θ）21－sin 2θ＝1＋sin θ|cos θ|＋1－sin θ|cos θ|＝2|cos θ|. (2)原式＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1－sin 2x（1＋sin x ）2－1－sin 2x （1－sin x ）2·⎣⎢⎢⎡1－cos 2x（1＋cos x ）2－⎦⎥⎥⎤1－cos 2x （1－cos x ）2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|cos x |1＋sin x －|cos x |1－sin x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫|sin x |1＋cos x －|sin x |1－cos x ＝－2sin x ·|cos x |cos 2x ·－2cos x ·|sin x |sin 2x ＝4|sin x ·cos x |sin x ·cos x⎝ ⎛⎭⎪⎫x ≠n π2，n ∈Z ，所以当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫n π，n π＋π2时，原式＝4；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫n π＋π2，（n ＋1）π时，原式＝－4. B 级能力提升11．若θ是△ABC 的一个内角，且sin θcos θ＝－18，则sin θ－cos θ的值为( )A ．－32 B.32 C ．－52 D.52解析：由题意知θ∈(0，π)，则sin θ－cos θ>0，所以sin θ－cos θ＝（sin θ－cos θ）2＝1－2sin θcos θ＝52. 答案：D12．已知α是锐角，且tan α是方程4x 2＋x －3＝0的根，则sin α＝( )A.45B.35C.25D.15解析：因为方程4x 2＋x －3＝0的根为x ＝34或x ＝－1，又因为tan α是方程4x 2＋x －3＝0的根且α为锐角，所以tan α＝34.所以cos α＝43sin α.代入sin 2α＋cos 2α＝1，得sin 2α＋169sin 2α＝1.所以sin 2α＝925(α为锐角)，所以sin α＝35.答案：B 13．使 1－cos α1＋cos α＝cos α－1sin α成立的α的范围是________．解析： 1－cos α1＋cos α＝（1－cos α）2sin 2α＝1－cos α|sin α|＝cos α－1sin α，所以sin α<0.故2k π－π<α<2k π，k ∈Z. 答案：{α|2k π－π<α<2k π，k ∈Z}14．化简：tan α＋tan αsin αtan α＋sin α·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1cos α·sin α1＋sin α. 解：原式＝tan α（1＋sin α）tan α＋sin α·cos α＋1cos α·sin α1＋sin α＝sin αcos αsin αcos α＋sin α·1＋cos αcos α·sin α＝11＋cos α·1＋cos αcos α·sin α＝sin αcos α＝tan α.15．已知3sin α－2cos α＝0，求1sin αcos α的值．解：由3sin α－2cos α＝0，得tan α＝23.1sin αcos α＝sin 2α＋cos 2αsin αcos α＝tan 2α＋1tan α＝136.第1章三角函数 1.2 任意角的三角函数1.2.3 诱导公式A 级基础巩固一、选择题1．若sin (π＋α)＝－12，则sin (4π－α)的值是( )A.12 B ．－12 C ．－32 D.32 解析：因为sin(π＋α)＝－12＝－sin α，所以sin α＝12，sin(4π－α)＝－sin α＝－12.答案：B2．下列各式不正确的是( ) A ．sin(α＋180°)＝－sin α B ．cos(－α＋β)＝－cos(α－β) C ．sin(－α－360°)＝－sin α D ．cos(－α－β)＝cos(α＋β)解析：cos(－α＋β)＝cos[－(α－β)]＝cos(α－β)，故B 项错误．答案：B3．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝15，则cos α＝( )A ．－25B ．－15 C.15 D.25解析：因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫52π＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α，所以cos α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫52π＋α＝15. 答案：C4．设tan (5π＋α)＝m ，则sin （α＋3π）＋cos （π＋α）sin （－α）－cos （π＋α）的值等于( )A.m ＋1m －1B.m －1m ＋1 C ．－1D ．1解析：因为tan(5π＋α)＝tan[4π＋(π＋α)]＝tan α. 所以tan α＝m .所以原式＝sin （π＋α）－cos α－sin α＋cos α＝－sin α－cos α－sin α＋cos α＝tan α＋1tan α－1＝m ＋1m －1. 答案：A5．若sin (π＋α)＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－m ，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＋2sin (2π－α)的值为( )A ．－23mB.23m C ．－32mD.32m 解析：因为sin(π＋α)＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－m ，所以－sin α－sin α＝－m ，则sin α＝m2.则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＋2sin(2π－α)＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－32m .答案：C6．已知sin (π＋α)＝45，且α是第四象限角，则cos(α－2π)＝________．解析：由sin(π＋α)＝－sin α，得sin α＝－45.故cos(α－2π)＝cos α＝1－sin 2α＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－452＝35.答案：357．已知tan α＝43，且α为第一象限角，则sin (π＋α)＋cos (π－α)＝________．解析：因为tan α＝43，α为第一象限角，所以sin α＝45，cos α＝35.所以sin(π＋α)＋cos(π－α)＝－sin α－cos α＝－75.答案：－758．在△ABC 中，若cos(A ＋B )>0，sin C ＝13，则tan C 等于_______．解析：在△ABC 中，因为cos(A ＋B )>0，所以0<A ＋B <π2，又C ＝π－(A ＋B )，所以角C 是钝角．所以cos C ＝－1－sin 2C ＝－223.所以tan C ＝sin C cos C ＝13－223＝－24.答案：－24. 9．计算下列各式的值：(1)cos π5＋cos 2π5＋cos 3π5＋cos 4π5；(2)sin 420°cos 330°＋sin(－690°)cos(－660°)．解：(1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π5＋cos 4π5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π5＋cos 3π5＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos π5＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π5＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos 2π5＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－2π5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π5－cos π5＋⎝⎛⎭⎪⎫cos 2π5－cos 2π5＝0.(2)原式＝sin(360°＋60°)cos(360°－30°)＋sin(－2×360°＋30°)cos(－2×360°＋60°)＝sin 60°cos 30°＋sin 30°cos 60°＝32×32＋12×12＝1. 10．已知cos α＝－45，且α为第三象限角．(1)求sin α的值；(2)求f (α)＝tan （π－α）·sin （π－α）·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos （π＋α）的值．解：(1)因为cos α＝－45，且α为第三象限角，所以sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－452＝－35.(2)f (α)＝－tan α·sin α·cos α－cos α＝tan αsin α＝sin αcos α·sin α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－352－45＝－920. B 级能力提升11．若cos 165°＝a ，则tan 195°＝( ) A.1－a 2 B ．－1－a 2aC.1－a 2aD.1＋a 2a解析：cos 165°＝cos(180°－15°)＝－cos 15°＝a ，故cos 15°＝－a (a <0)，得sin 15°＝1－a 2， tan 195°＝tan(180°＋15°)＝tan 15°＝1－a 2－a .答案：B12．设φ(x )＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＋cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＋tan(19π－x )，则φ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝________．解析：因为φ(x )＝cos 2x ＋sin 2x －tan x ＝1－tan x ，所以φ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝1－tan π3＝1－ 3.答案：1－313．已知sin(α＋π)＝45，且sin αcos α<0，求2sin （α－π）＋3tan （3π－α）4cos （α－3π）的值．解：因为sin(α＋π)＝45，所以sin α＝－45.又因为sin αcos α<0.所以cos α>0，cos α＝1－sin 2α＝35，所以tan α＝－43.所以原式＝－2sin α－3tan α－4cos α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－434×35＝－73.14．已知sin(α＋β)＝1，求证：tan(2α＋β)＋tan β＝0. 证明：因为sin(α＋β)＝1，所以α＋β＝2k π＋π2(k ∈Z)．所以α＝2k π＋π2－β(k ∈Z)．tan(2α＋β)＋tan β＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋π2－β＋β＋tan β＝tan(4k π＋π－2β＋β)＋tan β＝tan(4k π＋π－β)＋tan β＝tan(π－β)＋tan β＝－tan β＋tan β＝0.所以tan(2α＋β)＋tan β＝0得证．15．已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，且α为第三象限角，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α·tan 2（2π－α）·tan （π－α）cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α的值．解：因为5x 2－7x －6＝0的两根为x ＝2或x ＝－35，所以sin α＝－35.又因为α为第三象限角，所以cos α＝－1－sin 2α＝－45，所以tan α＝34.所以原式＝（－cos α）·（－cos α）·tan 2α·（－tan α）sin α·（－sin α）＝tan α＝34.第1章三角函数 1.3 三角函数的图象和性质 1.3.2 三角函数的图象与性质第1课时正弦、余弦函数的图象与性质A 级基础巩固一、选择题1．y ＝sin x －|sin x |的值域是( ) A ．[－1，0] B ．[0，1] C ．[－1，1]D ．[－2，0]解析：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，0≤sin x ≤1，2sin x ，－1≤sin x <0，函数的值域为[－2，0]．答案：D2．函数y ＝cos x 与函数y ＝－cos x 的图象( ) A ．关于直线x ＝1对称 B ．关于原点对称 C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称解析：作出函数y ＝cos x 与函数y ＝－cos x 的简图(图略)，易知它们关于x 轴对称．答案：C3．下列函数中，既为偶函数又在(0，π)上单调递增的是( ) A ．y ＝cos|x |B ．y ＝cos|－x |C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2 D ．y ＝－sin x2解析：y ＝cos|x |在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上是减函数，排除A ； y ＝cos|－x |＝cos|x |，排除B ；y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝－cos x 是偶函数，且在(0，π)上单调递增，C 符合题意；y ＝－sin x2在(0，π)上是单调递减的，排除D.答案：C4．函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，x ∈[－π，0]的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－5π6 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，－π6 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，0 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，0 解析：令2k π－π2≤x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得2k π－π6≤x ≤2k π＋56π，k ∈Z ，又－π≤x ≤0，所以－π6≤x ≤0.答案：D5．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象( )A ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称B ．关于直线x ＝π4对称C ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称 D ．关于直线x ＝π3对称解析：令2x ＋π3＝π2＋k π，k ∈Z ，则x ＝π12＋k π2，k ∈Z ，排除B ，D ；令2x ＋π3＝k π，k ∈Z ，则x ＝－π6＋k π2，k ∈Z ，当k ＝1时，对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0. 答案：A 6．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6≤x ≤π6的值域是________________．解析：因为－π6≤x ≤π6，所以0≤2x ＋π3≤23π.所以0≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1.所以y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的值域为[0，2]．答案：[0，2]7．若函数f (x )＝sin x ＋φ3(φ∈[0，2π])是偶函数，则φ＝________.解析：因为f (x )是偶函数，所以0＋φ3＝π2＋k π(k ∈Z)．所以φ＝32π＋3k π(k ∈Z)．又φ∈[0，2π]，所以φ＝32π.答案：32π8．将cos 150°，sin 470°，cos 760°按从小到大排列为_______．解析：cos 150°<0，sin 470°＝sin 110°＝cos 20°>0，cos 760°＝cos 40°>0且cos 20°>cos 40°，所以cos 150°<cos 760°<sin 470°. 答案：cos 150°<cos 760°<sin 470°9．用五点法作函数y ＝－2cos x ＋3(0≤x ≤2π)的简图．解：列表：x 0 π2 π 3π2 2π －2cos x －2 0 2 0 －2 －2cos x ＋31353110．已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 2.求f (x )的单调递增区间．解：f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 2＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3，由2k π－π≤x 2－π3≤2k π，k ∈Z ，得4k π－4π3≤x ≤4k π＋2π3，k ∈Z. 所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π－4π3，4k π＋2π3(k ∈Z)．B 级能力提升11．方程lg x ＝sin x 的解的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：作出y ＝lg x 与y ＝sin x 的图象，如下图所示，由图知有三个交点，所以方程有三个解．答案：D12．函数y ＝|sin x |（1－sin x ）1－sin x 的奇偶性为( )A ．奇函数B ．即是奇函数又是偶函数C ．偶函数D ．非奇非偶函数解析：由题意知，1－sin x ≠0，即sin x ≠1，所以函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠2k π＋π2，k ∈Z ，由于定义域关于原点不对称，所以该函数是非奇非偶函数．答案：D13．若函数f (x )＝sin ωx (0<ω<2)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，则ω等于________．解析：根据题意知f (x )在x ＝π3处取得最大值1，所以sin ωπ3＝1，所以ωπ3＝2k π＋π2，k ∈Z ，即ω＝6k ＋32，k ∈Z.又0<ω<2，所以ω＝32.答案：3214．若cos 2θ＋2sin θ＋m 2－3<0恒成立，求实数m 的取值范围．解：由已知得：m 2<sin 2θ－2sin θ＋2＝(sin θ－1)2＋1，因为－1≤sin θ≤1，所以－2≤sin θ－1≤0. 所以0≤(sin θ－1)2≤4.所以1≤(sin θ－1)2＋1≤5. 所以m 2<1.所以－1<m <1. 所以m 的取值范围是(－1，1)．15．设函数f (x )＝a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋b . (1)若a >0，若f (x )的单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4时，f (x )的值域为[1，3]，求a ，b 的值．解：(1)由于a >0，令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z.所以f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12，k ∈Z. (2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4时，π3≤2x ＋π3≤5π6，则12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1，当a >0时，由f (x )的值域为[1，3]，所以⎩⎨⎧a ＋b ＝3，12a ＋b ＝1，解之得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－1.当a <0时，依题意得⎩⎨⎧a ＋b ＝1，12a ＋b ＝3，解之得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝5.综上知⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝5.第1章三角函数 1.3 三角函数的图象和性质 1.3.2 三角函数的图象与性质第2课时正切函数的图象与性质A 级基础巩固1．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4的定义域是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠π4 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠－π4 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π4，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋3π4，k ∈Z 解析：x －π4≠k π＋π2⇒x ≠k π＋3π4，k ∈Z.答案：D2．f (x )＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的单调区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2，k ∈Z B ．(k π，(k ＋1)π)，k ∈ZC.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－3π4，k π＋π4，k ∈Z D.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π4，k π＋3π4，k ∈Z 解析：令－π2＋k π<x ＋π4<π2＋k π，k ∈Z ，解得－3π4＋k π<x <π4＋k π，k ∈Z.所以函数f (x )的减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－3π4，k π＋π4，k ∈Z.答案：C3．在下列给出的函数中，以π为周期且在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2内是增函数的是( )A ．y ＝sin x2B ． y ＝cos 2xC ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4D ．y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4解析：由函数周期为π可排除A.x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，2x ∈(0，π)，2x ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，54π，此时B 、C 中函数均不是增函数，D 中在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上递增，且周期为π.答案：D 4．若直线x ＝kx2(－1≤k ≤1)与函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象不相交，则k ＝( )A.14 B ．－34C.14或－34 D ．－14或34解析：由题意得2×k π2＋π4＝π2＋m π，m ∈Z. 则k ＝14＋m ，m ∈Z.由于－1≤k ≤1，所以k ＝14或－34.答案：C5．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6图象的对称中心为( )A ．(0，0)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π18，0，k ∈Z D. ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π6－π18，0，k ∈Z 解析：由函数y ＝tan x 的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0，k ∈Z ，令3x ＋π6＝k π2，k ∈Z ，则x ＝k π6－π18(k ∈Z)．所以y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π6图象的对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫k π6－π18，0，k ∈Z.答案：D6．函数y ＝lg(3－tan x )的定义域为____________________．解析：因为3－tan x >0，所以tan x < 3. 又因为tan x ＝3时，x ＝π3＋k π(k ∈Z)，根据正切函数图象，得k π－π2<x <k π＋π3(k ∈Z)，所以函数的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪k π－π2<x <k π＋π3，k ∈Z.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪k π－π2<x <k π＋π3，k ∈Z 7．若函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3ax －π3(a ≠0)的最小正周期为π2，则a ＝______．解析：因为π|3a |＝π2，所以|a |＝23.所以a ＝±23.答案：±238．函数y ＝sin x ＋tan x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π3的最大值是________．解析：因为函数y 1＝sin x 与y 2＝tan x 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π3上都是递增函数，所以y ＝sin x ＋tan x 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π3上是单调递增函数，y max ＝sin π3＋tan π3＝332.答案：3329．求函数y ＝tan 2x 的定义域、值域和周期，并作出它在区间[－π，π]内的图象．解：定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪⎪x ≠π4＋k π2，k ∈Z ；值域为R.最小正周期T ＝π2.对应图象如图所示：10．求函数y ＝12tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋π4的定义域，单调区间及对称中心．解：由5x ＋π4≠k π＋π2，得x ≠k π5＋π20，k ∈Z.函数定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π5＋π20，k ∈Z. 由k π－π2<5x ＋π4<k π＋π2，得k π5－3π20<x <k π5＋π20，k ∈Z.函数的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π5－3π20，k π5＋π20，k ∈Z ，由5x ＋π4＝k π2，得x ＝k π10－π20，k ∈Z ，函数图象的对称中心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π10－π20，0，k ∈Z. B 级能力提升11．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象的相邻两支截直线y ＝π4所得线段长为π4，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值是( )A.π4B ．0C ．1D ．2 解析：因为y ＝tan ωx 的周期T ＝πω，所以y ＝π4与y ＝tan ωx 的图象相邻两交点间的距离为πω.故πω＝π4，ω＝4，所以f (x )＝tan 4x . 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫4×π4＝tan π＝0.答案：B12．已知函数y ＝tan ωx 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内是减函数，则( )A ．0<ω≤1B ．－1≤ω<0C ．ω≥1D ．ω≤－1解析：由题意可知ω<0，又⎝⎛⎭⎪⎫π2 ω，－π2 ω⊆⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2. 故－1≤ω<0. 答案：B13．f (x )＝a sin x ＋b tan x ＋1，满足f (5)＝7，则f (－5)＝________．解析：因为f (5)＝a sin 5＋b tan 5＋1＝7，所以a sin 5＋b tan 5＝6.所以f (－5)＝a sin(－5)＋b tan(－5)＋1＝－(a sin 5＋b tan 5)＋1＝－5.答案：－514．当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3时，若使a －2tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的值总大于零，求a的取值范围．解：因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3，所以0≤2x －π3≤π3.又因为y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3内单调递增，所以0≤tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3≤ 3.所以0≤2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤2 3.由题意知a －2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3>0恒成立，即a >2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3恒成立．所以a >2 3.所以实数a 的取值范围是(23，＋∞)．15．已知函数f (x )＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫kx －π3的最小正周期T 满足1<T <32，求正整数k 的值，并指出f (x )的奇偶性、单调区间．解：因为1<T <32，所以1<πk <32，即2π3<k <π.因为k ∈N *，所以k ＝3.则f (x )＝2tan ⎝⎛⎭⎪⎫3x －π3，由3x －π3≠π2＋k π(k ∈Z)，得x ≠5π18＋k π3(k ∈Z)，定义域不关于原点对称．所以f (x )＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π3是非奇非偶函数．由－π2＋k π<3x －π3<π2＋k π(k ∈Z)，得－π18＋k π3<x <5π18＋k π3(k ∈Z)．所以f (x )＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π3的增区间为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18＋k π3，5π18＋k π3，k ∈Z.第1章三角函数 1.3 三角函数的图象和性质 1.3.3 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象A 级基础巩固一、选择题1．函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2x ＋π4的振幅和周期分别为( ) A ．3，4 B ．3，π2 C.π2，4 D.π2，3解析：由于函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2x ＋π4，所以振幅是3，周期是T＝2ππ2＝4.答案：A2．(2015·山东卷)要得到函数y＝sin⎝⎛⎭⎪⎫4x－π3的图象，只需将函数y＝sin 4x的图象()A．向左平移π12个单位长度B．向右平移π12个单位长度C．向左平移π3个单位长度D．向右平移π3个单位长度解析：由y＝sin⎝⎛⎭⎪⎫4x－π3＝sin 4⎝⎛⎭⎪⎫x－π12得，只需将y＝sin 4x的图象向右平移π12个单位长度．答案：B3．函数y＝sin⎝⎛⎭⎪⎫2x－π3在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π的简图是()答案：A4．函数y＝2sin⎝⎛⎭⎪⎫2x＋π3图象的一条对称轴方程为() A．x＝－π6B．x＝－512πC．x＝π2D．x＝π6答案：B5．将函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度后，所得的图象都关于y 轴对称，则φ的最小值分别为( )A.π6B.π3C.2π3D.π12解析：函数f (x )的图象向左平移φ个单位长度得到函数g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2φ＋π6的图象，于是2φ＋π6＝π2＋k π，k ∈Z ，所以φ＝k π2＋π6，k ∈Z ，取k ＝0，得φ的最小值为π6.答案：A6．函数y ＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －π6的频率是________，图象最高点的坐标是________．解析：由于T ＝8π，则频率f ＝1T ＝18π，当14x －π6＝2k π＋π2(k ∈Z)，即x ＝8k π＋8π3 (k ∈Z)时，函数取得最大值6.答案：18π⎝ ⎛⎭⎪⎫8k π＋8π3，6(k ∈Z)7．把函数y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标都缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把图象向左平移π4个单位长度，则所得图象的解析式为________________．解析：由题意y ＝sin x 的图象――――――――――――→各点横坐标缩小为原来的一半，纵坐标不变y ＝sin2x 的图象y ＝sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图象，则y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos 2x . 答案：y ＝cos 2x8．已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π<φ≤π)的图象如图所示，则φ＝________．解析：由题意得T2＝2π－34π，所以T ＝52π，ω＝45.由x ＝34时，y ＝－1，得－1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫35π＋φ，又－2π5<35π＋φ<85π，所以35π＋φ＝32π.所以φ＝910π.答案：910π 9．已知函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4.(1)用“五点法”画函数的图象；(2)说出此图象是由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换得到的．解：(1)列表：12x －π4 0 π2 π 3π2 2π x π2 3π2 5π2 7π2 9π2 y3－3数一个周期内的图象，如图所示，再将这部分图象左右平移4k π(k ∈Z)个单位长度．得函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4的图象． (2)法一：①把y ＝sin x 图象上所有的点向右平移π4个单位长度，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4的图象；②把y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4的图象；③将y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，就得到y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4的图象．法二：①把y ＝sin x 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin 12x 的图象；②把y ＝sin 12x 图象上所有的点向右平移π2个单位长度，得到y ＝sin 12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4的图象； ③将y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，就得到y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4的图象． 10．设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π<φ<0)，已知它的一条对称轴是直线x ＝π8.(1)求φ；(2)求函数f (x )的单调递减区间．解：(1)函数的一条对称轴是直线x ＝π8，2×π8＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，因为－π<φ<0，所以φ＝－3π4.(2)由(1)知，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π4，由π2＋2k π≤2x －3π4≤3π2＋2k π，k ∈Z ，得5π8＋k π≤x ≤9π8＋k π，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π8＋k π，9π8＋k π(k ∈Z)．B 级能力提升11．将函数f (x )＝sin ωx (其中ω>0)的图象向右平移π4个单位长度，所得图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，0，则ω的最小值是( ) A.13 B ．1 C.53D ．2解析：函数f (x )＝sin ωx (其中ω>0)的图象向右平移π4个单位长度，得到函数f (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4(其中ω>0)．将⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，0代入得sin ωπ2＝0，所以ωπ2＝k π(k ∈Z)，故得ω的最小值是2. 答案：D12．(2014·福建卷)将函数y ＝sin x 的图象向左平移π2个单位长度，得到函数y ＝f (x )的图象，则下列说法正确的是( )A ．y ＝f (x )是奇函数B ．y ＝f (x )的周期为πC ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π2对称D ．y ＝f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0对称解析：由题意知，f (x )＝cos x ，所以它是偶函数，A 错误；它的周期为2π，B 错误；它的对称轴是直线x ＝k π，k ∈Z ，C 错误；它的对称中心是点⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0，k ∈Z ，D 正确．答案：D13.函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2<φ<π2的部分图象如图所示，则函数的解析式为f (x )＝__________．。

苏教版高中数学必修4模块综合测评

高中数学学习材料（灿若寒星精心整理制作）模块综合测评(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在题中横线上)1.sin 330°＝________.【解析】 sin 330°＝sin(330°－360°)＝sin(－30°)＝－12. 【答案】－122.已知角α的终边经过点P (4，－3)，则2sin α＋cos α的值等于________．【解析】据三角函数的定义，可知|OP |＝5，∴sin α＝－35，cos α＝45，∴2sin α＋cos α＝－65＋45＝－25.【答案】－253.化简：cos 4－sin 22＋2＝________. 【解析】原式＝2cos 22－1＋1＋cos 22 ＝3cos 22 ＝－3cos 2 【答案】－3cos 24.⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π12－sin π12⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π12＋sin π12＝________.【解析】原式＝cos 2π12－sin 2π12＝cos π6＝32. 【答案】 325.已知a ＝(2，1)，a ＋b ＝(1，k )，若a ⊥b ，则k ＝________. 【解析】 ∵a ＝(2，1)，a ＋b ＝(1，k ) ∴b ＝(－1，k －1)又a ⊥b ，∴a·b ＝－2＋(k －1)＝0， ∴k ＝3. 【答案】 36.过点A (－2，1)，且平行于向量a ＝(3，1)的直线方程为________. 【解析】直线斜率为k ＝13，故直线方程为y －1＝13(x ＋2)，即x －3y ＋5＝0.【答案】 x －3y ＋5＝07.函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤x ≤π6的值域为________.【解析】 ∵0≤x ≤π6，∴π3≤2x ＋π3≤2π3 ∴y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，1.【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，18.如图1，在△ABC 中，E ，F 分别是边AC ，BC 的中点，D 是EF 的中点，设AC →＝a ，BC →＝b ，则AD →＝________.(用a ，b 表示)图1【解析】 ED →＝12EF →＝1212AB →＝14(CB →－CA →)＝14(－b ＋a ).AE →＝12AC →＝12a ，AD →＝AE →＋ED →＝12a ＋14(－b ＋a )＝34a －14b . 【答案】 34a －14b9.若b ＝(1，1)，且a·b ＝2，(a －b )2＝3，则|a |＝________. 【解析】由(a －b )2＝3，得a 2－2a·b ＋b 2＝3，则a 2－2×2＋2＝3，故a 2＝5，|a |＝ 5. 【答案】510.函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的单调递减区间是________.【解析】由π2＋2k π＜2x －π6＜3π2＋2k π，k ∈Z 得 π3＋k π≤x ≤5π6＋k π，k ∈Z . 【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3＋k π，5π6＋k π，k ∈Z 11.平面向量a ＝(x ，－3)，b ＝(－2，1)，c ＝(1，y )，若a ⊥(b －c )，b ∥(a ＋c )，则b 与c 的夹角为________.【导学号：48582154】【解析】由题意知，b －c ＝(－3，1－y )， a ＋c ＝(x ＋1，y －3).依题意，得⎩⎨⎧ －3x －3(1－y )＝0，x ＋1＋2(y －3)＝0，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2.∴c ＝(1，2)，∴b·c ＝0，∴b ⊥c . 【答案】 90°12.已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω＞0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，且f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3上有最小值，无最大值，则ω＝________.【解析】依题f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω＞0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，且f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3上有最小值，无最大值，∴f (x )图象关于直线x ＝π6＋π32对称，即关于直线x ＝π4对称，且π3－π6＜T ＝2πω，∴π4·ω＋π3＝3π2＋2k π，k ∈Z ，且0＜ω＜12，∴ω＝143.【答案】 14313.如图2，平面内有三个向量OA →，OB →，OC →，其中OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°，且|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝23，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值为________.图2【解析】分别延长OA ，OB 至OA ′，OB ′，连接CA ′，CB ′构成如图的平行四边形：注意到|OA →|＝|OB →|＝1，设|OA ′|＝λ， |OB ′|＝μ.则∠BOC ＝∠OCA ′＝90°，于是μ＝|OB ′|＝|A ′C |＝|OC |tan 30°＝2，λ＝|OA ′|＝|OC |cos 30°＝4，故λ＋μ＝6.【答案】 614.已知θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，sin θ＋cos θ＝22sin θcos θ，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3＝________. 【解析】 ∵sin θ＋cos θ＝22sin θcos θ， ∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2sin 2θ，∴sin 2θ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4.又θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，∴θ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，2θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2θ＝θ＋π4， ∴θ＝π4，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π3＝12.【答案】 12二、解答题(本大题共6小题，共90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分14分)已知tan α＝12，求1＋2sin (π－α)cos (－2π－α)sin 2(－α)－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－α的值.【解】原式＝1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝(sin α＋cos α)2(sin α－cos α)(sin α＋cos α) ＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1，又∵tan α＝12，∴原式＝12＋112－1＝－3.16.(本小题满分14分)设e 1，e 2是正交单位向量，如果OA →＝2e 1＋m e 2，OB →＝n e 1－e 2，OC →＝5e 1－e 2，若A ，B ，C 三点在一条直线上，且m ＝2n ，求m ，n 的值.【解】以O 为原点，e 1，e 2的方向分别为x ，y 轴的正方向，建立平面直角坐标系xOy ，则OA →＝(2，m )，OB →＝(n ，－1)，OC →＝(5，－1)，所以AC →＝(3，－1－m )，BC →＝(5－n ，0)，又因为A ，B ，C 三点在一条直线上，所以AC →∥BC →，所以3×0－(－1－m )·(5－n )＝0，与m ＝2n 构成方程组⎩⎨⎧mn －5m ＋n －5＝0，m ＝2n ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－12或⎩⎨⎧m ＝10，n ＝5.17.(本小题满分14分)已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，0＜β＜α＜π. (1)若|a －b |＝2，求证：a ⊥b ；(2)设c ＝(0，1)，若a ＋b ＝c ，求α，β的值. 【解】 (1)证明：由题意得|a －b |2＝2，即(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝2. 又因为a 2＝b 2＝|a |2＝|b |2＝1，所以2－2a ·b ＝2，即a ·b ＝0，故a ⊥b .(2)因为a ＋b ＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0，1)，所以⎩⎨⎧cos α＋cos β＝0，sin α＋sin β＝1，由此得，cos α＝cos(π－β)，由0＜β＜π，得0＜π－β＜π.又0＜α＜π，故α＝π－β.代入sin α＋sin β＝1，得sin α＝sin β＝12，而α＞β，所以α＝5π6，β＝π6.18.(本小题满分16分)已知sin(2α＋β)＝3sin β，设tan α＝x ，tan β＝y ，记y ＝f (x ).(1)求证：tan(α＋β)＝2tan α. (2)求f (x )的解析式.【解】 (1)证明：由sin(2α＋β)＝3sin β，得sin [](α＋β)＋α＝3sin [](α＋β)－α，即sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α＝3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α， ∴sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)sin α. ∴tan(α＋β)＝2tan α. (2)由(1)得tan α＋tan β1－tan αtan β＝2tan α，即x ＋y1－xy＝2x ，∴y ＝x 1＋2x 2，即f (x )＝x1＋2x 2. 19.(本小题满分16分)某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： ωx ＋φ 0 π2 π 3π2 2π x π3 5π6 A sin(ωx ＋φ)5－5(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f (x )的解析式；(2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动θ(θ＞0)个单位长度，得到y ＝g (x )的图象.若y ＝g (x )图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0，求θ的最小值.【解】 (1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6，数据补全如下表：ωx ＋φ 0 π2 π 3π2 2π x π12 π3 7π12 5π6 1312π A sin(ωx ＋φ)5－5且函数解析式为f (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6. (2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，则g (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2θ－π6.因为函数y ＝sin x 图象的对称中心为(k π，0)，k ∈Z ，令2x ＋2θ－π6＝k π，解得x ＝k π2＋π12－θ，k ∈Z . 由于函数y ＝g (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0成中心对称，所以令k π2＋π12－θ＝5π12，解得θ＝k π2－π3，k ∈Z . 由θ＞0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π6.20.(本小题满分16分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(ω＞0，0＜φ＜π2)的部分图象如图3所示.图3(1)求f (x )的解析式；(2)将函数y ＝f (x )的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12倍，再将所得函数图象向右平移π6个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )的单调递增区间；(3)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，5π12时，求函数y ＝fx ＋π12－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的最值. 【导学号：48582155】【解】 (1)由图得34T ＝116π－π3＝96π＝32π， ∴T ＝2π，∴ω＝2πT ＝1.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116π＝0，得A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫116π＋φ＝0，∴116π＋φ＝2k π，φ＝2k π－116π. ∵0＜φ＜π2，∴当k ＝1时，φ＝π6.又由f (0)＝2，得：A sin φ＝2，A ＝4， ∴f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6.(2)将f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变得到y ＝4sin2x ＋π6，再将图象向右平移π6个单位得到g (x )＝4sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋π6＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，由2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )得： k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )，∴g (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z ).(3)y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝4sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋π6－2×4sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋π6 ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－42sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos π4＋cos x sin π4－42cos x ＝22sin x ＋22cos x －42cos x ＝22sin x －22cos x ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，512π，x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34π，π6，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，∴函数的最小值为－4，最大值为2.。

高中数学模块综合检测(C)(含解析)新人教A版必修4(2021年整理)

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模块综合检测（C)（时间：120分钟满分：150分)一、选择题（本大题共12小题,每小题5分，共60分)1．若角600°的终边上有一点(－4，a)，则a的值是（）A．4错误! B．－4错误!C。

错误! D．－错误!2．若向量a＝（3,m），b＝（2，－1)，a·b＝0,则实数m的值为（)A．－32B。

错误! C．2 D．63．设向量a＝（cos α，错误!)，若a的模长为错误!，则cos 2α等于( )A．－错误! B．－错误! C.错误! D。

错误!4．平面向量a与b的夹角为60°，a＝（2,0)，|b｜＝1，则|a＋2b|等于( )A.错误! B．2错误! C．4 D．125．tan 17°＋tan 28°＋tan 17°tan 28°等于（)A．－错误! B.错误! C．－1 D．16．若向量a＝(1，1），b＝（2,5），c＝(3，x）,满足条件(8a－b)·c＝30，则x等于（）A．6 B．5 C．4 D．37．要得到函数y＝sin x的图象，只需将函数y＝cos(x－错误!）的图象（）A．向右平移错误!个单位B．向右平移错误!个单位C．向左平移π3个单位D．向左平移错误!个单位8．设函数f(x）＝sin(2x＋π3），则下列结论正确的是( ）A．f（x)的图象关于直线x＝错误!对称B．f(x)的图象关于点（错误!，0）对称C．把f（x)的图象向左平移错误!个单位，得到一个偶函数的图象D．f(x)的最小正周期为π，且在[0，错误!]上为增函数9．已知A，B，C是锐角△ABC的三个内角，向量p＝（sin A,1)，q＝(1，－cos B），则p与q 的夹角是（)A．锐角 B．钝角C．直角 D．不确定10．已知函数f(x)＝（1＋cos 2x）sin2x，x∈R，则f（x）是（)A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为错误!的奇函数C．最小正周期为π的偶函数D．最小正周期为错误!的偶函数11．设0≤θ≤2π，向量错误!＝（cos θ，sin θ），错误!＝(2＋sin θ，2－cos θ），则向量错误!的模长的最大值为( )A。

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模块综合检测(C)(时间：120分钟满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分) 1．若角600°的终边上有一点(－4，a )，则a 的值是________．2．若向量a ＝(3，m )，b ＝(2，－1)，a ·b ＝0，则实数m 的值为________．3．已知α、β为锐角，且a ＝(sin α，cos β)，b ＝(cos α，sin β)，当a ∥b 时，α＋β＝________. 4．设向量a ＝(cos α，12)，若a 的模长为22，则cos2α＝________.5．已知AB →＝2e 1＋ke 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，若A 、B 、D 三点共线，则k ＝________. 6．tan17°＋tan28°＋tan17°tan28°＝________.7．若向量a ＝(1,1)，b ＝(2,5)，c ＝(3，x )，满足条件(8a －b )·c ＝30，则x ＝________. 8．已知cos 4α－sin 4α＝23，α∈(0，π2)，则cos(2α＋π3)＝________.9．已知A ，B ，C 是锐角△ABC 的三个内角，向量p ＝(sin A ，1)，q ＝(1，－cos B )，则p 与q 的夹角是________．(填“锐角”、“直角”或“钝角”)10．已知函数f (x )＝(1＋cos2x )sin 2x ，x ∈R ，则f (x )是最小正周期为________的________(填“奇”、“偶”或“非奇非偶”)函数．11．设0≤θ≤2π，向量OP 1→＝(cos θ，sin θ)，OP 2→＝(2＋sin θ，2－cos θ)，则向量P 1P 2→的模长的最大值为________．12．若θ∈[0，π2]，且sin θ＝45，则tan θ2＝________.13．若向量AB →＝(3，－1)，n ＝(2,1)，且n ·AC →＝7，那么n ·BC →＝________.14．若将函数y ＝tan(ωx ＋π4)(ω>0)的图象向右平移π6个单位长度后，与函数y ＝tan(ωx ＋π6)的图象重合，则ω的最小值为________．二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(14分)已知向量a ＝(sin θ，1)，b ＝(1，cos θ)，－π2<θ<π2.(1)若a ⊥b ，求θ； (2)求|a ＋b |的最大值．16．(14分)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0,0≤φ≤π)为偶函数，其图象上相邻的两个最高点之间的距离为2π. (1)求f (x )的解析式；(2)若α∈(－π3，π2)，f (α＋π3)＝13，求sin(2α＋5π3)的值．17．(14分)设函数f (x )＝a ·b ，其中向量a ＝(2cos x,1)，b ＝(cos x ，3sin2x )，x ∈R. (1)若函数f (x )＝1－3，且x ∈[－π3，π3]，求x ；(2)求函数y ＝f (x )的单调增区间，并在给出的坐标系中画出y ＝f (x )在[0，π]上的图象．18．(16分)已知x ∈R ，向量OA →＝(a cos 2x,1)，OB →＝(2，3a sin2x －a )，f (x )＝OA →·OB →，a ≠0. (1)求函数f (x )的解析式，并求当a >0时，f (x )的单调增区间；(2)当x ∈[0，π2]时，f (x )的最大值为5，求a 的值．19．(16分)已知函数f (x )＝3sin 2(x ＋π4)－cos 2x －1＋32(x ∈R)．(1)求函数f (x )的最小值和最小正周期；(2)若A 为锐角，且向量m ＝(1,5)与向量n ＝(1，f (π4－A ))垂直，求cos2A 的值．20．(16分)已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos x ，sin x )，c ＝(sin x ＋2sin α，cos x ＋2cos α)，其中0<α<x <π.(1)若α＝π4，求函数f (x )＝b ·c 的最小值及相应x 的值；(2)若a 与b 的夹角为π3，且a ⊥c ，求tan2α的值．模块综合检测(C)1．－4 3解析 ∵600°＝360°＋240°，是第三象限角． ∴a <0.∵tan600°＝tan240°＝tan60°＝a－4＝3，∴a ＝－4 3. 2．6解析 a ·b ＝6－m ＝0，∴m ＝6. 3.π2解析 ∵a ∥b ，∴sin αsin β－cos αcos β＝0即cos(α＋β)＝0. ∵0<α＋β<π.∴α＋β＝π2.4．－12解析 ∵|a |＝cos 2α＋14＝22，∴cos 2α＝14.∴cos 2α＝2cos 2α－1＝－12.5．－8解析若A 、B 、D 三点共线，则AB →∥BD →，设AB →＝λBD →.∵BD →＝CD →－CB →＝e 1－4e 2， ∴2e 1＋ke 2＝λ(e 1－4e 2)＝λe 1－4λe 2. ∴错误!∴k ＝－8. 6．1解析 tan 17°＋tan 28°＋tan 17°tan 28° ＝tan(17°＋28°)(1－tan17°tan28°)＋tan17°tan28° ＝1－tan17°tan28°＋tan17°tan28°＝1. 7．4解析 ∵a ＝(1,1)，b ＝(2,5)， ∴8a －b ＝(6,3)，∵(8a －b )·c ＝(6,3)·(3，x )＝18＋3x ＝30， ∴x ＝4. 8.13－156解析 ∵cos 4α－sin 4α＝(cos 2α＋sin 2α)(cos 2α－sin 2α) ＝cos2α＝23.又2α∈(0，π)．∴sin2α＝53. ∴cos(2α＋π3)＝12cos2α－32sin2α＝13－156.9．锐角解析 ∵△ABC 是锐角三角形，∴A ＋B >π2.∴π2>A >π2－B >0. ∵函数y ＝sin x ，x ∈(0，π2)是递增函数，∴sin A >sin(π2－B )．即sin A >cos B .∴p ·q ＝sin A －cos B >0. ∴p 与q 所成的角是锐角． 10.π2偶解析 f (x )＝(1＋cos2x )1－cos2x2＝12(1－cos 22x )＝12－12×1＋cos4x 2 ＝14－14cos4x ， ∴T ＝2π4＝π2，f (－x )＝f (x )，为偶函数．11．3 2解析 |P 1P 2→|＝(2＋sin θ－cos θ)2＋(2－cos θ－sin θ)2 ＝10－8cos θ≤18＝3 2. 12.12解析 ∵sin θ＝2sin θ2cos θ2＝2sin θ2cosθ2sin 2θ2＋cos2θ2＝2tanθ21＋tan 2θ2＝45.∴2tan 2θ2－5tan θ2＋2＝0，∴tan θ2＝12或tan θ2＝2.∵θ∈[0，π2]，∴θ2∈[0，π4]．∴tan θ2∈[0,1]，∴tan θ2＝12.13．2解析 n ·BC →＝n ·(AC →－AB →)＝n ·AC →－n ·AB → ＝7－(2,1)·(3，－1)＝7－5＝2. 14.12解析由题意知tan[ω(x －π6)＋π4]＝tan(ωx ＋π6)，即tan(ωx ＋π4－πω6)＝tan(ωx ＋π6)．∴π4－π6ω＝k π＋π6，得ω＝－6k ＋12，则ωmin ＝12(ω>0)．15．解 (1)若a ⊥b ，则sin θ＋cos θ＝0. 由此得tan θ＝－1(－π2<θ<π2)，∴θ＝－π4.(2)由a ＝(sin θ，1)，b ＝(1，cos θ)得 a ＋b ＝(sin θ＋1,1＋cos θ)， |a ＋b |＝(sin θ＋1)2＋(1＋cos θ)2 ＝3＋2(sin θ＋cos θ)＝3＋22sin(θ＋π4)，当sin(θ＋π4)＝1时，|a ＋b |取得最大值，即当θ＝π4时，|a ＋b |的最大值为2＋1.16．解 (1)∵图象上相邻的两个最高点之间的距离为2π，∴T ＝2π，则ω＝2πT ＝1.∴f (x )＝sin(x ＋φ)．∵f (x )是偶函数，∴φ＝k π＋π2(k ∈Z)．又0≤φ≤π，∴φ＝π2，∴f (x )＝cos x .(2)由已知得cos(α＋π3)＝13.∵α∈(－π3，π2)．∴α＋π3∈(0，5π6)．∴sin(α＋π3)＝223.∴sin(2α＋5π3)＝－sin(2α＋2π3)＝－2sin(α＋π3)cos(α＋π3)＝－429.17．解 (1)依题设得f (x )＝2cos 2x ＋3sin2x ＝1＋cos2x ＋3sin2x ＝2sin(2x ＋π6)＋1.由2sin(2x ＋π6)＋1＝1－3得sin(2x ＋π6)＝－32.∵－π3≤x ≤π3，∴－π2≤2x ＋π6≤5π6，∴2x ＋π6＝－π3，即x ＝－π4.(2)－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π(k ∈Z)，即－π3＋k π≤x ≤π6＋k π(k ∈Z)得函数单调增区间为[－π3＋k π，π6＋k π](k ∈Z).18．解 (1)f (x )＝2a cos 2x ＋3a sin2x －a ＝3a sin2x ＋a cos2x ＝2a sin(2x ＋π6)．当a >0时，由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z)，得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z)．故函数f (x )的单调增区间为[k π－π3，k π＋π6](k ∈Z)．(2)由(1)知f (x )＝2a sin(2x ＋π6)．当x ∈[0，π2]时，2x ＋π6∈[π6，7π6]．若a >0，当2x ＋π6＝π2时，f (x )max ＝2a ＝5，则a ＝52；若a <0，当2x ＋π6＝7π6时，f (x )max ＝－a ＝5，则a ＝－5. 所以a ＝52或－5.19．解 (1)f (x )＝3sin 2(x ＋π4)－cos 2x －1＋32＝3[22(sin x ＋cos x )]2－cos 2x －1＋32＝3sin x cos x －cos 2x －12＝32sin2x －1＋cos2x 2－12＝sin(2x －π6)－1，所以f (x )的最小正周期为π，最小值为－2. (2)由m ＝(1,5)与n ＝(1，f (π4－A ))垂直，得5f (π4－A )＋1＝0，∴5sin[2(π4－A )－π6]－4＝0，即sin(2A －π3)＝－45.∵A ∈(0，π2)，∴2A －π3∈(－π3，2π3)，∵sin(2A －π3)＝－45<0，∴2A －π3∈(－π3，0)，∴cos(2A －π3)＝35.∴cos2A ＝cos[(2A －π3)＋π3]＝35×12＋45×32＝43＋310. 20．解 (1)∵b ＝(cos x ，sin x )，c ＝(sin x ＋2sin α，cos x ＋2cos α)，α＝π4，∴f (x )＝b ·c ＝cos x sin x ＋2cos x sin α＋sin x cos x ＋2sin x cos α＝2sin x cos x ＋2(sin x ＋ cos x )．令t ＝sin x ＋cos x (0<x <π)，则2sin x cos x ＝t 2－1，且－1<t ≤ 2.则y ＝g (t )＝t 2＋2t －1＝(t ＋22)2－32，－1<t ≤ 2. ∴t ＝－22时，y 取得最小值，且y min ＝－32，此时sin x ＋cos x ＝－22. 由于0<x <π，故x ＝11π12.所以函数f (x )的最小值为－32，相应x 的值为11π12.(2)∵a 与b 的夹角为π3，∴cos π3＝a ·b |a |·|b |＝cos αcos x ＋sin αsin x ＝cos(x －α)．∵0<α<x <π，∴0<x －α<π.∴x －α＝π3.∵a ⊥c ，∴cos α(sin x ＋2sin α)＋sin α(cos x ＋2cos α)＝0. ∴sin(x ＋α)＋2sin2α＝0，sin(2α＋π3)＋2sin2α＝0.∴52sin2α＋32cos2α＝0.∴tan2α＝－35.。