竖曲线任意点标高计算方法
学习之竖曲线
隧道内竖曲线计算当正线相邻坡段坡度差≥1‰，应设置竖曲线，竖曲线形式为圆曲线。
竖曲线计算公式如下：L=Rsh×λ/2000（L为竖曲线全长的一半，单位：m）y=x2/2R（y为竖曲线高度，单位：m）其中：Rsh—竖曲线半径（m），10000～20000m；x—竖曲线始点至计算纵距之距离，单位m；λ—为相邻竖曲线的代数差。
在设计图中，竖曲线的位置的标高应表示为：括号内的标高为未考虑竖曲线影响的标高，括号外的标高为已考虑竖曲线影响的标高。
一、竖曲线要素的计算公式相邻坡段的坡度为i1和i2,代数差为ω=i2 -i1 ω为正时，是凹曲线；ω为负，是凸曲线。
1.二次抛物线基本方程：或ω：坡度差（%）；L：竖曲线长度；R：竖曲线半径2.竖曲线诸要素计算公式竖曲线长度或竖曲线半径R: （前提：ω很小）L=Rω竖曲线切线长：T=L/2=Rω/2竖曲线上任一点竖距h：竖曲线外距：例题4-3ω=-0.09 凸形；L=Rω=2000*0.09=180mT=L/2=90mE=T2/2R=2.03m起点桩号＝k5+030 - T =K4+940起始高程＝427.68 - 5%*90=423.18m=k5+000-k4+940=60m 桩号k5+000处：x1切线高程＝423.18+60*0.05=426.18m 2/2R=602/2*2000=0.90mh1=x1设计高程＝426.18 - 0.90=425.28m=k5+100-k4+940=160m 桩号k5+100处：x2切线高程＝423.18+160*0.05=431.18m 2/2R=1602/2*2000=6.40mh2=x2设计高程＝431.18 - 6.40=424.78m。
竖曲线运算步骤及公式讲解
1 / 2
竖曲线上高程计算
已知：①第一坡度：i 1(上坡为“＋”，下坡为“－”)
②第二坡度：i 2(上坡为“＋”，下坡为“－”)
③变坡点桩号：S Z
④变坡点高程：H Z
⑤竖曲线的切线长度：T
⑥待求点桩号：S
计算过程：
1、切线上任意点与竖曲线间的竖距h 通过推导可得：
==PQ h )()(2112li y l x R y y A A q p ---=-R
l 22= 2、竖曲线曲线长： L = R ω
3.竖曲线切线长： T= T A =T B ≈ L/2 =
2
ωR 4、竖曲线的外距： E =R T 22
5. 竖曲线上任意点至相应切线的距离：R
x y 22
= 式中：x —为竖曲任意点至竖曲线起点（终点）的距离, m ；
R —为竖曲线的半径，m 。
竖曲线计算的目的是确定设计纵坡上指定桩号的路基设计标高，其计算步骤
如下：
（1）计算竖曲线的基本要素：竖曲线长：L ；切线长：T ；外距：E 。
（2）计算竖曲线起终点的桩号： 竖曲线起点的桩号 = 变坡点的桩号－T
（3）计算竖曲线上任意点切线标高及改正值：
切线标高 = 变坡点的标高±（x T -）⨯i ；改正值：y=R
x 22 （4）计算竖曲线上任意点设计标高
某桩号在凹形竖曲线的设计标高 = 该桩号在切线上的设计标高 + y
某桩号在凸形竖曲线的设计标高 = 该桩号在切线上的设计标高－ y
-----精心整理，希望对您有所帮助!。
竖曲线高程计算
ω >0：凹型竖曲线
竖曲线的作用
（1）缓冲作用：以平缓曲线取代折线可消除汽车在变坡点的冲击。 （2）保证公路纵向的行车视距：
凸形：纵坡变化大时，盲区较大。 凹形：下穿式立体交叉的下线。 （3）将竖曲线与平曲线恰当的组合，有利于路面排水和改善行车的视 线诱导和舒适感。 凸形竖曲线主要控制因素：行车视距。 凹形竖曲线的主要控制因素：缓和冲击力。 竖曲线的线形：可采用圆曲线或二次抛物线。 《规范》规定采用二次抛物线作为竖曲线的线形。 特点：抛物线的纵轴保持直立，且与两相邻纵坡线相切。
其中： y——竖曲线上任一点竖距； 直坡段上，y=0。
x2 y
2R
x——竖曲线上任一点离开起（终）点距离；
以变坡点为分界计算： 上半支曲线 x = Lcz - QD 下半支曲线 x = ZD - Lcz 以竖曲线终点为分界计算： 全部曲线 x = Lcz - QD
[例4-3]：某山岭区一般二级公路，变坡点桩 号为k5+030.00，高程H1=427.68m， i1=+5%，i2=-4%，竖曲线半径R=2000m。
试计算竖曲线诸要素以及桩号为k5+000.00 和k5+100.00处的设计高程。
解：1．计算竖曲线要素 ω=i2- i1= - 0.04-0.05= - 0.09<0，为凸形。 曲线长 L = Rω=2000×0.09=180m
X-----计算点桩号与竖曲线起 点的桩号差
说明： 相邻坡段的坡度为i1和i2,代数差为ω=i2 -i1 ω为正时，是凹曲线；ω为负，是凸曲线。 2.竖曲线诸要素计算公式 竖曲线长度L或竖曲线半径R: （前提：ω
竖曲线的计算方法
竖曲线铁路线路的纵断面最理想的当然是平道，然而事实上是不可能的，为了适应地形的起伏，以减少工程量，纵断面必须用各种不同的坡面连接而成。
两相邻坡段的连续点谓之变坡点。
相邻坡段的坡度差是两相邻坡段的坡度代数差。
当相邻坡段的坡度差超过允许值时，为了保证行车平顺和安全，应在变坡点处用竖曲线连接起来。
允许不设竖曲线的坡度差允许值是根据车轮不脱轨、车钩不脱钩、列车不撞车和行车平稳等要求进行分析确定的。
一般情况下，竖曲线采用圆曲线，也可以采用抛物线，个别情况下，还可以采用连续短坡曲线。
竖曲线的计算一、圆曲线形竖曲线圆曲线形竖曲线的几何要素和各点设计标高，可按下列公式计算，如图。
R α x T TyRCα/2 BAi1i21、竖曲线的切线长度TT=R·tan(α/2)=R/2·tanα=R/2·△i‰=R/2000·△i(m) (5-1)式中 R-竖曲线半径(m)；α-竖曲线转角(度)；△i-相邻坡段的坡度代数差(‰)。
R=5000m时， T=2.5△i(m)R=10000m时，T=5.0△i(m)R=15000m时，T=7.5△i(m)R=20000m时，T=10.0△i(m)R=25000m时，T=12.5△i(m)2、竖曲线长度CC≈2T=R/1000·△i(m) (5-2)3、竖曲线纵距yy=x2/2R (m) (5-3)式中 x-竖曲线上计算点至竖曲线起(终)点的横距(m)。
当x=T时，变坡点的纵距Y即为竖曲线的外矢距E。
Y=E=T2/2R=1/2R(C/2)2=C2/8R (5-3.1)4、竖曲线上各点的设计标高H设h为计算点的坡度标高，则H=h±y (5-4)式中的y值，凹形取“+”，凸形取“-”。
【算例一】一凹形竖曲线i1=-4‰，i2=+2‰，△i=6‰，变坡点的里程为K235+165，标高为54.60m，R=15000m，计算竖曲线上各20m点的设计标高。
竖曲线高程计算讲义.
2
X-----计算点桩号与竖曲线起 点的桩号差
说明：
相邻坡段的坡度为i1和i2,代数差为ω=i2
-i1 ω为正时，是凹曲线；ω为负，是凸曲线。 2.竖曲线诸要素计算公式 竖曲线长度L或竖曲线半径R: （前提：ω 很小） L=Rω 竖曲线切线长：T=L/2=Rω/2 竖曲线上任一点竖距h：
公路工程竖曲线高程计算
福永项目部
1.竖曲线的作用及线性
竖曲线的作用
（1）缓冲作用：以平缓曲线取代折线可消除汽车在变坡点的冲击。 （2）保证公路纵向的行车视距：
凸形：纵坡变化大时，盲区较大。
凹形：下穿式立体交叉的下线。 （3）将竖曲线与平曲线恰当的组合，有利于路面排水和改善行车的视 线诱导和舒适感。
1．竖曲线的基本方程式： （1）包含抛物线底（顶）部；
y
1 2 x 2R
式中：R——抛物线顶点处的曲率半径
A
B
（2）不含抛物线底（顶）部。
1 2 y x i1 x 2R
式中：R——抛物线顶点处的曲率半径 ； i1——竖曲线顶（底）点处切线 的坡度。
B
A
4.3.4 逐桩设计高程计算
凸形竖曲线主要控制因素：行车视距。 凹形竖曲线的主要控制因素：缓和冲击力。
竖曲线的线形：可采用圆曲线或二次抛物线。
《规范》规定采用二次抛物线作为竖曲线的线形。
特点：抛物线的纵轴保持直立，且与两相邻纵坡线相切。
竖曲线在变坡点两侧一般是不对称的，但两切线保持相等。
4.3.2 竖曲线要素的计算公式
竖曲线上任意点设计标高计算
计算切线高程：H1=H0-(T-X)i1 式中：H0----变坡点标高，m。 H1----计算点切线高程，m。 I1----纵坡度 利用该式子可以计算直坡段上任意点的设计标高。
竖曲线高程计算(一)
竖曲线高程计算(一)竖曲线高程计算是公路设计中非常重要的一项内容，它是为了保证公路线形的曲线顺畅、道路通行安全而进行的。
下面我们从什么是竖曲线、竖曲线的类型以及竖曲线高程计算三个方面来详细分析。
一、什么是竖曲线？竖曲线是指公路等交通线路在垂直平面内的曲线。
它作为一种设计工具，用于限制公路等交通线路在纵向上的变化范围。
其目的是确保驾驶员的视野，依据车速、坡度等要素结合速度限制，使得道路平顺进行。
二、竖曲线的类型竖曲线一般可分为如下几种类型：1. 圆形竖曲线圆形竖曲线是公路中通行量较少的场合，无速限缓降的交叉路口、出入口等场合，选用比较丰富的中央绿化带、广场等项目，可以考虑使用这种类型的竖曲线进行设计。
2. 抛物线竖曲线抛物线岛是在桥梁、隧道等通行能力较强，不允许设置任何形式上的减速装置，同时也考虑到竖曲线要求较为平稳的时候，设计中一般可使用此类型的竖曲线来进行平稳过渡。
3. 非对称竖曲线非对称竖曲线一般用于既有的公路改建、升级等工程中，一些关键节点，如路段附近、涵洞等位置，应用非对称竖曲线进行设计，在改善道路的通行能力和顺畅程度的同时充分保证通行的安全性。
三、竖曲线高程计算竖曲线高程计算是竖曲线设计中非常重要的一个环节，它确定了竖曲线起始点和终止点之间的曲线长、坡度等参数，对竖曲线的设计起到关键的作用。
在竖曲线高程计算过程中，需要考虑的要素包括：速度限制、曲线半径、曲率半径的平均值以及曲线起始点的坐标及竖曲线终止点的坐标。
通过这些要素的计算和分析，得出竖曲线高程的设计参数。
总之，竖曲线的设计是公路建设中非常重要的一环，正确的竖曲线设计能够有效地保证公路的安全性、通行能力以及用户体验。
在进行竖曲线设计时，需要严格遵守相关的规范标准，并运用科学的方法进行计算和设计，以达到最佳的结果。
竖曲线各点标高计算
பைடு நூலகம் 计算：
复核：
红区为数据校核区判定竖曲线类型黄区为竖曲线各点标高计算所求桩号在转坡点之前平距lm竖距hm切线标高所求桩号1376013650136601367013680136901370013710137201373013740137501376011006057840设计标高84451004098459660948593209165902088858760864585408445所求桩号在转坡点之后平距lm竖距hm切线标高所求桩号13760137701378013790138001381013820138301384013850138601387011006057840设计标高844583208205810080057920784577807725768076457620备注黄区只输入转坡点桩号
竖曲线各点标高计算
所求桩号在转坡点之前 平距 l (m) 竖距 h (m) 切线标高 所求桩号 13760 13650 13660 13670 13680 13690 13700 13710 13720 13730 13740 13750 13760 110 0.605 7.840 设计标高 8.445 10.040 9.845 9.660 9.485 9.320 9.165 9.020 8.885 8.760 8.645 8.540 8.445 所求桩号在转坡点之后 平距 l (m) 竖距 h (m) 切线标高 所求桩号 13760 13770 13780 13790 13800 13810 13820 13830 13840 13850 13860 13870 110 0.605 7.840 设计标高 8.445 8.320 8.205 8.100 8.005 7.920 7.845 7.780 7.725 7.680 7.645 7.620 备 注 ① 黄区只 输入转坡点 桩号。 ② 红区只 输入前坡所 有的桩号。 ③ 绿区只 输入后坡所 有的桩号。
竖曲线各点标高计算
编制：黑豆-言西
③ 绿区只
竖曲线标高计算程序
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编制：黑豆-言西
竖曲线各点标高计算
所求桩号在转坡点之前 平距 l (m) 竖距 h (m) 切线标高 所求桩号 9640 9460 9480 9500 9520 9540 9544 9550 9557.4 9560 9580 9600 9610 9620 9635 9640 192.825 2.066 566.701 设计标高 568.767 568.787 568.607 568.472 568.380 568.334 568.330 568.327 568.329 568.331 568.374 568.460 568.520 568.591 568.719 568.767 所求桩号在转坡点之后 平距 l (m) 竖距 h (m) 切线标高 所求桩号 9640 9660 9680 9700 9720 9740 9749.992 9760 9770 9780 9793.6 9800 9810 9820 9832.825 192.825 2.066 566.701 设计标高 568.767 567.734 566.746 565.803 564.903 564.049 563.638 563.238 562.850 562.473 561.977 561.751 561.407 561.074 560.664 备 注 ① 黄区只 输入转坡点 桩号。 ② 红区只 输入前坡所 有的桩号。 ③ 绿区只 输入后坡所 有的桩号。
竖曲要素计算
转坡点桩号 转坡点高程 相邻坡段 前坡坡度 i1 相邻坡段 后坡坡度 i2 竖曲线半径R 9640 566.701 -0.01154 0.03131 9000 转坡角 w W>0,为凸；W＜0,为凹 曲线长 L(m) 切线长 T(m) 外 距 E(m) 竖曲线起点桩号 竖曲线终点桩号 -0.0429 385.650 192.825 2.066 9447.175 9832.825 备 注 已知数据输 入区。 ② 红区为 数据校核区 判定竖曲线类型 ① 黄区为
竖曲线高程计算公式
1竖曲线上点的高程计算公式1. 字母所代表的意义：R ：曲线半径i 1：ZY ～JD 方向的坡度 i 2：JD ～YZ 方向的坡度 T ：曲线的切线长 E ：外失距x ：竖曲线上的点到直圆或圆直的距离 y ：竖曲线上点的高程修正值2. 计算公式：212i i RT -=R T E 22=Rx y 22= 超高计算公式1. 字母所代表的意义：i 0：路拱坡度 i b ：超高坡度 L s ：缓和曲线长2b 1：所求点～路中线距离x 0：从直缓开始，到路左右坡度一致的距离，即图中C---C x ：所求点～直缓或缓直的距离 h b ：超高值X0LC=LS×i bb 1HY(YH)ZH(HZ)超高计算公式1相对于路中线超高值行车道外侧边缘行车道内侧边缘X0=2×i0/(i0＋ib)×LsX≤x0hb＝b1×(i0+ib)×X/Ls-b1×i0hb＝－（b1＋bx）×i0X≥x0hb＝－（b1＋bx）×X/LS×ib行车道外侧边缘行车道内侧边缘hb＝(-i0+(i0+ib)×X/Ls)×bhb＝(-i0-(ib-i0)×X/Ls)×bi0:路拱坡度ib:超高坡度L s :缓和曲线长b:到路中线距离X:所求点到ZH(HZ)距离超高计算公式22. 计算公式（公式1）：（绕中线旋转）()b si i L i x +=00021）当x ≤x 0时 行车道外侧边缘：()0101i b L xi i b h s b b -+=行车道内侧边缘：()01i b b h x b +-=2）当x≥x0时行车道外侧边缘：()11i bLxiibhsbb-+=行车道内侧边缘：()bsxbiLxbbh+-=13. 计算公式（公式2）：行车道外侧边缘：()1bLxiiihsbb⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-=行车道内侧边缘：()1bLxiiihsbb⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=3。
竖曲线运算步骤及公式讲解
竖曲线上高程计算
已知：①第一坡度：i 1(上坡为“＋”，下坡为“－”)
②第二坡度：i 2(上坡为“＋”，下坡为“－”)
③变坡点桩号：S Z
④变坡点高程：H Z
⑤竖曲线的切线长度：T
⑥待求点桩号：S
计算过程：
1、切线上任意点与竖曲线间的竖距h 通过推导可得：
==PQ h )()(2112li y l x R y y A A q p ---=-R
l 22= 2、竖曲线曲线长： L = R ω
3.竖曲线切线长： T= T A =T B ≈ L/2 =
2ωR
4、竖曲线的外距： E =R
T 22
5. 竖曲线上任意点至相应切线的距离：R
x y 22= 式中：x —为竖曲任意点至竖曲线起点（终点）的距离, m ；
R —为竖曲线的半径，m 。
竖曲线计算的目的是确定设计纵坡上指定桩号的路基设计标高，其计算步骤如下：
（1）计算竖曲线的基本要素：竖曲线长：L ；切线长：T ；外距：E 。
（2）计算竖曲线起终点的桩号： 竖曲线起点的桩号 = 变坡点的桩号－T
（3）计算竖曲线上任意点切线标高及改正值：
切线标高 = 变坡点的标高±（x T -）⨯i ；改正值：y=R
x 22 （4）计算竖曲线上任意点设计标高
某桩号在凹形竖曲线的设计标高 = 该桩号在切线上的设计标高 + y 某桩号在凸形竖曲线的设计标高 = 该桩号在切线上的设计标高－ y。
竖曲线的形式及高程计算
一、设置竖曲线的要求铁路线路所包含的坡度除平坡外，有上坡、下坡。
所谓坡度，即铁路线路的高程变化率，用千分率表示，就是每1000m水平距离高程上升或下降的数值，通常用符号“+、-、0”依次表示上坡、下坡或平坡。
在进行纵断面设计时，相邻两坡段的交点叫变坡点，两变坡点之间的水平距离叫坡段长度。
《铁路线路设计规范》规定：工、Ⅱ级铁路相邻坡段坡度的代数差大于3％0和Ⅲ级铁路相邻坡段坡度的代数差大于4‰时，需用竖曲线连接。
竖曲线的形状主要分为圆曲线形和抛物线形两种。
《新建客货共线铁路设计暂行规定》规定：纵断面宜设计为较长的坡段，相邻坡段的连接宜设计为较小的坡度差。
旅客列车设计行车速度为200 km／h的路段，最小坡段长度不宜小于600m，困难条件下最小坡段长度不应小于400m，且最小坡段长度不得连续使用2个以上。
旅客列车设计行车速度为160km／h的路段，最小坡段长度不宜小于400m，且最小坡段长度不宜连续使用2个以上。
竖曲线不得与缓和曲线、相邻竖曲线重叠设置，也不得设在明桥面和正线道岔内。
二、竖曲线的计算方法1.圆曲线形竖曲线计算《铁路线路设计规范》规定：Ⅰ、Ⅱ级铁路竖曲线半径为10000m Tv=5 X △i ，Ⅲ级铁路竖曲线半径为5000m。
Tv=2.5 X △i(1)竖曲线的切线长Tv=Rv ×tan a/2 = Rv/2 ×tan a= Rv/2000 × △i △i=△i2-△i1 的绝对值Tv－竖曲线的切线长(m)；Rv--竖曲线半径，a----竖曲线转角，△i－相邻坡段坡度的代数差(‰)。
(2)竖曲线的曲线长C≈2T。
(3)竖曲线的纵距竖曲线的纵距即竖曲线上任意点与切线上相邻点的标高差，用y表示，即y=x2/2Rv式中Y－竖曲线的纵距(m)；x－竖曲线上任意点距竖曲线始点或终点的距离(m)；(4)竖曲线标高H=Hp±y 式中H－竖曲线标高(m)；Hp－计算点坡度线标高，【例题】某一级铁路，有一圆曲线形竖曲线(如图3－20所示)，竖曲线中点里程为K24+400，标高为65.7 m，上坡i1=+2‰，下坡i2=-4‰，试计算竖曲线上每20 m点的标高。
竖曲线高程计算公式
竖曲线上点的高程计算公式1. 字母所代表的意义：R ：曲线半径i 1：ZY ～JD 方向的坡度 i 2：JD ～YZ 方向的坡度 T ：曲线的切线长 E ：外失距x ：竖曲线上的点到直圆或圆直的距离 y ：竖曲线上点的高程修正值2. 计算公式：212i i RT -=R T E 22=Rx y 22= 超高计算公式1. 字母所代表的意义：i 0：路拱坡度 i b ：超高坡度 L s ：缓和曲线长b 1：所求点～路中线距离x 0：从直缓开始，到路左右坡度一致的距离，即图中C---C x ：所求点～直缓或缓直的距离 h b ：超高值X0LC=LS1×i bb 1HY(YH)ZH(HZ)超高计算公式1相对于路中线超高值行车道外侧边缘行车道内侧边缘X0=2×i0/(i0＋ib)×LsX≤x0hb＝b1×(i0+ib)×X/Ls-b1×i0hb＝－（b1＋bx）×i0X≥x0hb＝－（b1＋bx）×X/LS×ib行车道外侧边缘行车道内侧边缘hb＝(-i0+(i0+ib)×X/Ls)×bhb＝(-i0-(ib-i0)×X/Ls)×bi0:路拱坡度ib:超高坡度L s :缓和曲线长b:到路中线距离X:所求点到ZH(HZ)距离超高计算公式22. 计算公式（公式1）：（绕中线旋转）()b si i L i x +=0002 1）当x ≤x 0时行车道外侧边缘：()0101i b L xi i b h sbb -+=行车道内侧边缘：()01i b b h x b +-=2）当x≥x0时行车道外侧边缘：()11i bLxiibhsbb-+=行车道内侧边缘：()bsxbiLxbbh+-=13. 计算公式（公式2）：行车道外侧边缘：()1bLxiiihsbb⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-=行车道内侧边缘：()1bLxiiihsbb⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=。
竖曲线任意点标高计算方法
一、曲线要素的计算1、转坡角ω=（i1－i2）（上坡取正、下坡取负）2、竖曲线曲线长L = ω×R （ R为曲线半径）3、切线长T = L ÷24、外矢距 E = T2÷2R二、任意点起始桩号、切线标高、改正值的计算1、竖曲线起点桩号 = 变坡点里程－切线长竖曲线终点桩号 = 变坡点里程＋切线长2、切线标高 = 变坡点标高（不考虑竖曲线标高）－（变坡点里程－待求点里程）× i1（所求点位于变坡点后乘i2）3、改正值 = （待求点里程－起点里程）2÷（2R）（所求点位于变坡点前）= （待求点里程－终点里程）2÷（2R）（所求点位于变坡点后）4、待求点设计标高 = （切线点标高－改正值）三、例：某高速公路变坡点里程为DK555+550，高程为，前为上坡i1＝‰，后为上坡i2＝‰，设计曲线半径R=30000m，试算竖曲线曲线要素及桩号为DK555+450及DK555+680处的设计标高1、计算曲线要素转坡角ω=（i1－i2）=（－）‰＝竖曲线曲线长L = ω×R = ×30000 =(m)切线长 T = L ÷2 = ÷2 =(m)外矢距 E = T2÷ 2R = ÷（2×30000）=(m)2、竖曲线起、始桩号计算起点桩号：（DK555+550）－ = DK555+终点桩号：（DK555+550）＋ = DK555+3、DK555＋450、DK555＋680的切线标高和改正值计算DK555+450切线标高 = （DK555+550-DK555+450)׉=(m)DK555+450改正值 =（DK555+450-DK555+2÷（30000×2）=(m)DK555+680切线标高 = （DK555+680-DK555+550)׉=(m)DK555+680改正值 =（DK555+680-DK555+2÷（30000×2）=(m)4、DK555＋450、DK555＋680设计标高计算DK555+450设计标高 = - =(m)DK555+680设计标高 = =(m)。
竖曲线设计原理及高程计算（新人必看）
竖曲线设计原理及高程计算（新人必看）竖曲线设计纵断面上相邻两条纵坡线相交的转折处，为了行车平顺用一段曲线来缓和，这条连接两纵坡线的曲线叫竖曲线。
竖曲线的形状，通常采用平曲线或二次抛物线两种。
在设计和计算上为方便一般采用二次抛物线形式。
纵断面上相邻两条纵坡线相交形成转坡点，其相交角用转坡角表示。
当竖曲线转坡点在曲线上方时为凸形竖曲线，反之为凹形竖曲线。
一、竖曲线如图所示，设相邻两纵坡坡度分别为i1 和i2，则相邻两坡度的代数差即转坡角为ω= i1-i2，其中i1、i2为本身之值，当上坡时取正值，下坡时取负值。
当 i1- i2为正值时，则为凸形竖曲线。
当 i1 - i2 为负值时，则为凹形竖曲线。
（一）竖曲线基本方程式我国采用的是二次抛物线形作为竖曲线的常用形式。
其基本方程为：若取抛物线参数P为竖曲线的半径 R，则有：（二）竖曲线要素计算公式1、切线上任意点与竖曲线间的竖距h通过推导可得：2、竖曲线曲线长： L = Rω3、竖曲线切线长：4、竖曲线的外距：5、竖曲线上任意点至相应切线的距离：式中：x —为竖曲任意点至竖曲线起点（终点）的距离, m；R—为竖曲线的半径，m。
二、竖曲线的最小半径(一)竖曲线最小半径的确定1.凸形竖曲线极限最小半径确定考虑因素（1）缓和冲击汽车行驶在竖曲线上时，产生径向离心力，使汽车在凸形竖曲线上重量减小，所以确定竖曲线半径时，对离心力要加以控制。
（2）经行时间不宜过短当竖曲线两端直线坡段的坡度差很小时，即使竖曲线半径较大，竖曲线长度也有可能较短，此时汽车在竖曲线段倏忽而过，冲击增大，乘客不适；从视觉上考虑也会感到线形突然转折。
因此，汽车在凸形竖曲线上行驶的时间不能太短，通常控制汽车在凸形竖曲线上行驶时间不得小于3秒钟。
（3）满足视距的要求汽车行驶在凸形竖曲线上，如果竖曲线半径太小，会阻挡司机的视线。
为了行车安全，对凸形竖曲线的最小半径和最小长度应加以限制。
2.凹形竖曲线极限最小半径确定考虑因素（1）缓和冲击：在凹形竖曲线上行驶重量增大；半径越小，离心力越大；当重量变化程度达到一定时，就会影响到旅客的舒适性，同时也会影响到汽车的悬挂系统。
竖曲线高程计算
解：1．计算竖曲线要素 ω=i2- i1= - 0.04-0.05= - 0.09<0，为凸形。 曲线长 L = Rω=2000×0.09=180m
其中： y——竖曲线上任一点竖距； 直坡段上，y=0。
x2 y
2R
x——竖曲线上任一点离开起（终）点距离；
以变坡点为分界计算： 上半支曲线 x = Lcz - QD 下半支曲线 x = ZD - Lcz 以竖曲线终点为分界计算： 全部曲线 x = Lcz - QD
[例4-3]：某山岭区一般二级公路，变坡点桩 号为k5+030.00，高程H1=427.68m， i1=+5%，i2=-4%，竖曲线半径R=2000m。
B
A
4.3.4 逐桩设计高程计算
（1）纵断面设计成果
变坡点桩号 BPD 变坡点设计高程 H 竖曲线半径 R
（2）竖曲线要素的计算公式
变坡角ω= i2- i1
曲线长：L=Rω
切线长：T=L/2= Rω/2
外距：
T2
E
2R
竖曲线上任意点：
y x2 2R
竖曲线起点桩号: QD=BPD - T 竖曲线终点桩号: ZD=BPD + T
竖曲线在变坡点两侧一般是不对称的，但两切线保持相等。
4.3.2 竖曲线要素的计算公式
1．竖曲线的基本方程式： （1）包含抛物线底（顶）部；
y 1 x2 2R
式中：R——抛物线顶点处的曲率半径
A
B
（2）不含抛物线底（顶）部。
y
1 2R
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竖曲线任意点标高计算
方法
Document serial number【KK89K-LLS98YT-SS8CB-SSUT-SST108】
竖曲线任意点标高计算方法一、曲线要素的计算
1、转坡角ω=（i
1－i
2
）（上坡取正、下坡取负）
2、竖曲线曲线长L = ω× R （ R为曲线半径）
3、切线长T = L ÷ 2
4、外矢距 E = T2÷ 2R
二、任意点起始桩号、切线标高、改正值的计算
1、竖曲线起点桩号 = 变坡点里程－切线长
竖曲线终点桩号 = 变坡点里程＋切线长
2、切线标高 = 变坡点标高（不考虑竖曲线标高）－（变坡点里程－
待求点里程）× i
1（所求点位于变坡点后乘i
2
）
3、改正值 = （待求点里程－起点里程）2÷（2R）（所求点位于变
坡点前） = （待求点里程－终点里程）2÷（2R）（所求点位于变坡点后）
4、待求点设计标高 = （切线点标高－改正值）
三、例：
某高速公路变坡点里程为DK555+550，高程为，前为上坡i
1
＝‰，后为上
坡i
2
＝‰，设计曲线半径R=30000m，试算竖曲线曲线要素及桩号为DK555+450及DK555+680处的设计标高？
1、计算曲线要素
转坡角ω=（i
1－i
2
）=（－）‰＝
竖曲线曲线长 L = ω× R = ×30000 =(m)
切线长 T = L ÷ 2 = ÷2 =(m)
外矢距 E = T2÷ 2R = ÷（2×30000）=(m)
2、竖曲线起、始桩号计算
起点桩号：（DK555+550）－ = DK555+
终点桩号：（DK555+550）＋ = DK555+
3、DK555＋450、DK555＋680的切线标高和改正值计算
DK555+450切线标高 = （DK555+550-DK555+450)׉=(m)
DK555+450改正值 =（DK555+450-DK555+2÷（30000×2）=(m) DK555+680切线标高 = （DK555+680-DK555+550)׉=(m)
DK555+680改正值 =（DK555+680-DK555+2÷（30000×2）=(m) 4、DK555＋450、DK555＋680设计标高计算
DK555+450设计标高 = - =(m)
DK555+680设计标高 = =(m)。