积化和差和差化积公式练习

1．下列等式错误的是( )
A ．sin(A ＋
B )＋sin(A －B )＝2sin A cos B B ．sin(A ＋B )－sin(A －B )＝2cos A sin B
C ．cos(A ＋B )＋cos(A －B )＝2cos A cos B
D ．cos(A ＋B )－cos(A －B )＝2sin A cos B
2．sin15°sin75°＝( )
D ．1 3．sin105°＋sin15°等于( )
4．°°＝________.
1．sin70°cos20°－sin10°sin50°的值为( ) 2．cos72°－cos36°的值为( )
A ．3－2 3 C ．－1
2 D ．3＋23
3．在△ABC 中，若sin A sin B ＝cos 2C
2
，则△ABC 是( )
A ．等边三角形
B ．等腰三角形
C ．不等边三角形
D ．直角三角形
4．函数y ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫
x －π6cos x 的最大值为( )
C ．1
5．若cos(α＋β)cos(α－β)＝1
3
，则cos 2α－sin 2β等于
( )
A ．－23
B ．－1
3
6．函数y ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π3－sin x (x ∈[0，π
2])的值域是( )
A ．[－2,2]
7．cos 275°＋cos 215°＋cos75°·cos15°的值等于________．
8．已知α－β＝2π3，且cos α＋cos β＝1
3
，则cos(α＋β)等
于________．
9．函数y ＝cos ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x ＋2π3的最大值是______．
10．化简下列各式：
(1)
cos A ＋cos 120°＋B ＋cos 120°－B
sin B ＋sin 120°＋A －sin 120°－A
；
(2)sin A ＋2sin3A ＋sin5A sin3A ＋2sin5A ＋sin7A
.
11. 在△ABC 中，若B ＝30°，求cos A sin C 的取值范围．
12．已知f (x )＝－1
2＋sin 52x 2sin
x 2，x ∈(0，π)．
(1)将f (x )表示成cos x 的多项式；
(2)求f (x )的最小值．
答案
1解析：选D.由两角和与差的正、余弦公式展开左边可知A 、B 、C 正确．
2解析：选°sin75°＝－1
2
[cos(15°＋75°)－cos(15°－75°)]＝
－12(cos90°－cos60°)＝－12(0－12)＝14.
3解析：选°＋sin15°＝2sin 105°＋15°2cos 105°－15°2＝
2sin60°cos45°＝6
2
.
答案：2＋14＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪
⎫22＋12＝2＋14.＝12
(sin45°＋sin30°)
4解析：°°＝1
2
[sin°＋°)＋sin°－°)]
5解析：选°cos20°－sin10°sin50°＝12(sin90°＋sin50°)＋
1
2
(cos60°－cos40°)
＝12＋12sin50°＋14－12cos40°＝34
.
6解析：选 C.原式＝－2sin
72°＋36°2sin 72°－36°
2
＝－2sin54°·sin18°＝－2cos36°cos72°
＝－2·sin36°cos36°cos72°sin36°＝－sin72°cos72°
sin36°
＝－
sin144°2sin36°＝－1
2，故选C.
7解析：选B.由已知等式得12[cos(A －B )－cos(A ＋B )]＝12(1＋cos C )，
又A ＋B ＝π－C .所以cos(A －B )－cos(π－C )＝1＋cos C .
所以cos(A －B )＝1，又－π<A －B <π，所以A －B ＝0，所以A ＝B ，
故△ABC 为等腰三角形．故选B.
8解析：选＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x －π6cos x ＝12⎣⎢⎡
⎦
⎥⎤sin
x －π
6＋x ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6－x
＝12⎣⎢⎡
⎦⎥⎤sin 2x －
π6－12＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－14. ∴y max ＝12－14＝1
4
. 9解析：选(α＋β)cos(α－β)＝1
2(cos2α＋cos2β)
＝1
2[(2cos 2α－1)＋(1－2sin 2β)]
＝cos 2α－sin 2β， ∴cos 2
α－sin 2
β＝1
3
.
10解析：选＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3－sin x ＝2cos ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π6sin π
6
＝cos(x ＋π
6
)．
∵x ∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，
∴π6≤x ＋π6≤2π3
，
∴y ∈⎣⎢⎢
⎡⎦⎥⎥⎤－12
，32.
11解析：y ＝sin 215°＋cos 215°＋cos75°·cos15° ＝1＋12(cos90°＋cos60°)＝54. 答案：5
4
12解析：cos α＋cos β＝2cos α＋β
2
cos
α－β
2＝2cos
π
3
cos
α＋β
2
＝cos
α＋β2
＝1
3
，
∴cos(α＋β)＝2cos 2
α＋β
2－1＝2×19－1＝－7
9
. 答案：
－79
13解析：y ＝12⎣⎢⎡
⎦
⎥⎤cos 2x ＋π
＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3
＝12⎝
⎛
⎭⎪⎫－cos2x ＋cos π3＝14－12cos2x ，
因为－1≤c os2x ≤1，所以y max ＝34. 答案：3
4
14解：(1)原式＝cos A ＋2cos120°cos B sin B ＋2cos120°sin A ＝cos A －cos B
sin B －sin A
＝
2sin A ＋B 2sin
B －A 22cos A ＋B 2sin
B －A 2
＝tan A ＋B
2.
(2)原式＝
sin A ＋sin5A ＋2sin3A
sin3A ＋sin7A ＋2sin5A
＝2sin3A cos2A ＋2sin3A 2sin5A cos2A ＋2sin5A
＝2sin3A cos2A ＋12sin5A cos2A ＋1＝sin3A sin5A .
15解：由题意得
cos A sin C ＝1
2[sin(A ＋C )－sin(A －C )]
＝1
2[sin(π－B )－sin(A －C )]
＝14－1
2sin(A －C )．
∵－1≤sin(A －C )≤1， ∴－14≤14－12sin(A －C )≤34
，
∴cos A sin C 的取值范围是⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－14，34.
16解：(1)f (x )＝sin 5x 2－sin
x 2
2sin
x 2
＝
2cos 3x 2sin x
2sin
x
2
＝2cos 3x 2cos x 2
＝cos2x ＋cos x ＝2cos 2x ＋cos x －1. (2)∵f (x )＝2(cos x ＋14)2－9
8
，
且－1＜cos x ＜1.
∴当cos x ＝－14时，f (x )取最小值－9
8
.。