12.6独立重复试验模型
独立重复试验与二项分布
独立重复试验与二项分布独立重复试验与二项分布独立重复试验在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验。
二项分布前提：在n次独立重复试验中，事件A发生的次数X。
符号含义：p：每次试验中事件A发生的概率。
k：在n次独立重复试验中事件A发生的次数。
公式：$C_k^n p^k(1-p)^{n-k}$结论：随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率。
明确该公式中各量表示的意义：n为重复试验的次数；p 为在一次试验中某事件A发生的概率；k是在n次独立重复试验中事件A发生的次数。
判断正误1) n次独立重复试验的每次试验结果可以有多种。
×2) n次独立重复试验的每次试验的条件可以略有不同。
×3) 二项分布与超几何分布是同一种分布。
×4) 两点分布是二项分布的特殊情形。
√已知随机变量X服从二项分布，X～B(6，3)，则P(X＝2)等于$\frac{15}{64}$。
任意抛掷三枚均匀硬币，恰有2枚正面朝上的概率为$\frac{3}{8}$。
设随机变量X～B(2，p)，若P(X≥1)＝$\frac{3}{4}$，则$p=\frac{1}{3}$。
探究点1：独立重复试验的概率甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是$\frac{2}{3}$和$\frac{3}{4}$，假设每次射击是否击中目标，相互之间没有影响。
1) 求甲射击3次，至少1次未击中目标的概率。
记“甲射击3次至少有1次未击中目标”为事件A，由题意，射击3次，相当于3次独立重复试验，故$P(A_1)=1-P(A_0)=1-(\frac{2}{3})^3=\frac{19}{27}$。
2) 求两人各射击2次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标1次的概率。
记“甲射击2次，恰有2次击中目标”为事件A。
“乙射击2次，恰有1次击中目标”为事件B，则$P(A_2)=C_2^2(\frac{2}{3})^2(\frac{1}{3})^0=\frac{4}{9}$，$P(B_1)=C_2^1(\frac{3}{4})^1(\frac{1}{4})^1=\frac{3}{8}$。
高二数学独立重复试验与二项分布2
3
（1）甲恰好击中目标2次的概率；
（2）乙至少击中目标2次的概率；
（3）乙恰好比甲多击中目标2次的概率；
练习
1.将一枚硬币连续抛掷5次,则正面向
上的次数X的分布为（ ）
A X～B ( 5，0.5 ) B X～B (0.5，5 )
C X～B ( 2，0.5 ) D X～B ( 5，1 )
2.随机变量X～B ( 3, 0.6 ) ,
Ｐ ( Ｘ=1 ) =（ ）
A 0.192
B 0.288
C 0.648
2、二项分布：
一般地，在n次独立重复试验中， 设事件A发生的次数为X，在每次试验 中事件A发生的概率为p，那么在n次独 立重复试验中，事件A恰好发生k次的 概率为
此时称随机变量X服从二项分布， 记作X~B(n,p),并称p为成功概率。
爪滚一千四百四十度外加虫喊麻袋转九周半的招数，接着又弄了一个，仙体豺爬望月翻三百六十度外加猛转十七周的高雅招式。最后甩起亮青色狮子一般的脖子一哼，酷酷地 从里面抖出一道玉光，他抓住玉光痴呆地一摇，一组绿莹莹、凉飕飕的功夫『紫兽吹神勋章腿』便显露出来，只见这个这件东西儿，一边蠕动，一边发出“嗡嗡”的神声……
独立重复试验 与二项分布(2)
复习引入
1、n次独立重复试验: 一般地,在相同条件下，重复做的n次试验称
为n次独立重复试验.
P(A1A2An)
1).每次试验是在同样的条件下进行的; 2).各次试验中的事件是相互独立的 3).每次试验都只有两种结果:发生与不发生 4).每次试验,某事件发生的概率是相同的.题为及格， 若他解一道题正确率为0.6，则他及格 概率 4.某人掷一粒骰子6次，有4次以上出 现5点或6点时为赢，则这人赢的可能 性有多大？
高二数学人选修课件独立重复试验与二项分布
1. 根据组合数公式计 算成功次数为2的组合 方式数量：C(10, 2)。
2. 计算成功和失败的 概率：p=0.05，1p=0.95。
3. 将上述结果代入二 项分布概率公式进行 计算，得到恰好抽到2 个次品的概率为： P(X=2) = C(10, 2) * 0.05^2 * 0.95^(102)。
生活中独立重复试验与二项分
其他领域应用举例
产品质量检验
在生产线上，为了保证产品质量，会 对每个产品进行多次独立的重复检验 。每次检验的结果为合格或不合格， 符合二项分布的特点。
市场营销调查
在市场营销中，为了了解消费者对某 种产品的接受程度，会进行多次独立 的重复调查。每次调查的结果为购买 或不购买，也符合二项分布的特点。
谢谢聆听
递推关系式应用举例
通过已知的初始条件$P(A_0)=q^n$和递推关系式，可以逐步求出 $P(A_1),P(A_2),ldots,P(A_n)$的值。
案例分析：射击比赛问题
问题描述
某射手进行射击比赛，每次射击的命中率为0.8，若命中则得10分，否则扣4分。设该射 手射击10次，求其总得分的数学期望和方差。
VS
二项分布的概率计算
二项分布描述了在n次独立重复试验中成 功k次的概率。其概率计算公式为C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中C(n, k)表示从 n个不同元素中取出k个元素的组合数，p 表示每次试验成功的概率。
案例分析：投掷硬币问题
问题描述
假设我们有一个均匀的硬币，正面朝上的概率为p，反面朝上的概率为1-p。现在我们 进行n次投掷，求正面朝上k次的概率。
概率模型建立
该射手每次射击得分是一个随机变量，取值为10或-4，且命中得10分的概率为0.8，未命 中扣4分的概率为0.2。因此，该射手10次射击的总得分也是一个随机变量，服从二项分 布。
独立重复试验教案
独立重复试验教案教学目的使学生了解独立重复试验的实际背景和能利用其法则进行实际计算．教学重点和难点独立重复试验的概念及其公式推导．(教学方法：讲练结合)教学过程1．独立重复试验的意义独立重复试验，又叫做贝努里试验，是在同样的条件下重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验，这种试验在概率论中占有相当重要的地位，因为随机现象的统计规律只有在大量独立重复试验中才能显示出来．在这种试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生；要么不发生．在一定条件下，种子要么发芽；要么不发芽．在产品抽样检查中，要么抽到合格品；要么抽不到合格品．所以在n次独立重复试验中某事件恰好发生k(k=0，1，2，…，n)次，另外(n－k)次就是某事件不发生．2．n次独立重复试验中事件恰好发生k次的概率公式．的展开式中x m的系数．因此，我们可将概率P n(m)的分布叫做二项式分布．3．举例(1)某批产品中有20%的次品，进行重复抽样检查，共取5个样品，求其中次品数等于0、1、2、3、4、5的概率．解：已知n=5 P=0.2，(2)一批产品中有30%的一等品，进行重复抽样检查，共取5个样品，求：(i)取出的5个样品中恰有2个一等品的概率是多少？(ii)取出的5个样品中至少有2个一等品概率是多少？=1－[P5(0)＋P5(1)]=1－0.52822=0.47178≈0.472(3)某厂大量生产的某种小零件，经抽查检验知道其次品率为0.3%，现把这种零件每100件装成一盒．试分别计算每盒中不含次品、恰好含1件次品、含2件次品、含3件次品、含4件次品的概率．并求一盒中至少含有3件次品的概率是多少？解：将100个零件装进盒内，可以看成是进行了100次检验零件的随机试验．在一盒中不含次品的概率同理，可算得P100(1)≈0.2228≈22%P100(2)≈0.0332≈3.3%P100(3)≈0.0033≈0.3%P100(4)≈0.0002≈0.02%．一盒中含有至少3件次品的概率为1－P100(0)－P100(1)－P100(2)≈1－0.74－0.22－0.033=0.007=0.7%．4．小结因为随机现象的统计规律一般是在大量独立重复试验中表现出来，因此利用独立重复试验公式解决应用问题具有一定的现实意义．5．布置作业(1)某一批黄豆种籽，如果每一粒发芽的概率为90%，播下5粒种籽，计算：(i)其中恰有3粒发芽的概率；(ii)其中恰有4粒发芽的概率；(iii)其中5粒都发芽的概率；(iv)其中恰有2粒未发芽的概率．(2)某仪表内装有m个同样的电子元件，其中任一个电子元件损坏时，这个仪表就不能工作．如果在某段时间内每个电子元件损坏的概率是P，计算在这段时间内，这个仪表不能工作的概率．(3)两个蓝球运动员在罚球线投球的命中率分别是0.7与0.6，每人投球3次，计算两人都恰好投进2球的概率，又计算两人都至少投进1球的概率．。
独立重复试验与二项分布 课件
1．n 次独立重复试验：一般地，在 相同 条件下重复做的 n 次试验称为 n 次独立重复试验．
2．在 n 次独立重复试验中，“在相同的条件下”等价于 各次试验的结果不会受其他试验的 影响 ，即 P(A1A2…An)＝
P(A1)P(A2)…P(An)．其中 Ai(i＝1,2，…，n)是第 i 次试验的结 果．
则 P(A)＝0.7，P(B)＝0.6，P(C)＝0.8. 所以从甲、乙、丙三台机床加工的零件中各取一件检验， 至少有一件一等品的概率为 P1＝1－P(－A )P(－B )P(－C )＝1－0.3×0.4×0.2＝0.976. (2)将甲、乙、丙三台机床加工的零件混合到一起，从中任 意地抽取一件检验，它是一等品的概率为 P2＝2×0.7＋40.6＋0.8＝0.7.
4 243
1 729
[点评] 解此类题首先判断随机变量 X 服从二项分布，即 X～B(n，p)，然后求出 P(X＝k)＝Cknpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)， 最后列出二项分布列．
二项分布的应用
甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零 件，已知甲、乙、丙三台机床加工的零件是一等品的概率分别 为 0.7、0.6、0.8，乙、丙两台机床加工的零件数相等，甲机床 加工的零件数是乙机床加工的零件数的 2 倍．
4．Cknpk(1－p)n－k 是[p＋(1－p)]n 的二项展开式中的第 k＋1 项．
独立重复试验概率的求法
某人射击 5 次，每次中靶的概率均为 0.9，求他至 少有 2 次中靶的概率．
[分析] 至少有 2 次中靶包括恰好有 2 次中靶，恰好有 3 次 中靶，恰好有 4 次中靶和恰好有 5 次中靶四种情况，这些事件 是彼此互斥的，而每次射击中靶的概率均相等，并且相互之间 没有影响，所以每次射击又是相互独立事件，因而射击 5 次是 进行 5 次独立重复试验．
独立重复试验与二项分布 课件
1
4
4
k k
11 4 7 4
7 4
k
11 4
k 2.
P2 (2)
C
2 10
( 1 )2 4
(3)8 4
0.28
例2.有译电员若干员,每人独立 破到译 译密 出码密的码概 的率 概均 率为 为013.9,若9,至要少达 要配备多少人?
(lg2=0.3010,lg3=0.4771)
袋中有12个球,其中白球4个，
则：C13P（1 P）2 C23P（2 1 P） C33P3 19 27
3P（1 P）2 3P（2 1 P） P3 19 27
P3 3P（1 P） 19 ， P 1
27
3
例2.甲、乙两个篮球运动员投篮 命中率为0.7及0.6,若每人各投3次, 试求甲至少胜乙2个进球的概率
P(甲胜3个球) （0.7）（3 1 0.6）3 0.021952
P( 3) P( 0) 1 3 3 3 3 5 5 25
例4.有10道单项选择题,每题有4个选支,某人随机选定 每题中其中一个答案,求答对多少题的概率最大?并求 出此种情况下概率的大小.
解：设“答对k题”的事件为A，用P1（0 k）表示其概率，由
P10 (k )
P10 (k 1)
可以发现
P(Bk ) C3k pkq3k，k＝0，1，2，3
一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数 为X，在每次试验中事件A发生的概率是P，那么在n次 独立重复试验中，这个事件恰好发生k次的概率
A
P( X k) Cnk pk (1 p)nk，k 0,1,2,, n
此时称随机变量X服从二项分布，记作X~B(n,p)， 并称p为成功概率。
独立重复试验与二项分布
2.2.3独立重复试验与二项分布学习目标 1.理解n次独立重复试验的模型(重点).2.理解二项分布(重、难点). 3.能利用独立重复试验的模型及二项分布解决一些简单的实际问题(难点).知识点1独立重复试验1.独立重复实验的定义一般地，在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复实验.2.独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率一般地，如果在1次实验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率P(X＝k)＝C k n p k(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n. 【预习评价】(1)有放回地抽样试验是独立重复试验吗？(2)在n次独立重复试验中，各次试验的结果相互有影响吗？提示(1)是.有放回地抽样试验是相同条件下重复做的n次试验，是独立重复试验.(2)在n次独立重复试验中，各次试验的结果相互之间无影响.因为每次试验是在相同条件下独立进行的，所以第i次试验的结果不受前i－1次结果的影响(其中i＝1，2，…，n).知识点2二项分布一般地，在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，P(X＝k)＝C k n p k(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n.此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率.【预习评价】(1)你能说明两点分布与二项分布之间的关系吗？提示两点分布是特殊的二项分布，即X～B(n，p)中，当n＝1时，二项分布便是两点分布，也就是说二项分布是两点分布的一般形式.(2)若随机变量X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，13，则P (X ＝2)＝( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫132×⎝ ⎛⎭⎪⎫233B.⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫133C.C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫133D.C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫132×⎝ ⎛⎭⎪⎫233题型一独立重复试验的判断【例1】判断下列试验是不是独立重复试验：(1)依次投掷四枚质地不同的硬币，3次正面向上；(2)某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了10次，其中6次击中；(3)口袋中装有5个白球，3个红球，2个黑球，依次从中抽取5个球，恰好抽出4个白球.规律方法独立重复试验的判断依据(1)要看该实验是不是在相同的条件下可以重复进行.(2)每次试验相互独立，互不影响.【训练1】下列事件：①运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”；②甲、乙两运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环”；③甲、乙两运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没射中目标”；④在相同的条件下，甲射击10次，5次击中目标.其中是独立重复试验的是()A.①B.②C.③D.④题型二独立重复试验的概率【例2】某单位6个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率是0.5(相互独立).(1)求至少3人同时上网的概率；(2)至少几人同时上网的概率小于0.3.规律方法解答独立重复试验中的概率问题要注意以下几点：(1)先要判断问题中所涉及的试验是否为n次独立重复试验；(2)要注意分析所研究的事件的含义，并根据题意划分为若干个互斥事件的并.(3)要善于分析规律，恰当应用排列、组合数简化运算.【训练2】甲、乙两队进行排球比赛，已知在一局比赛中甲队胜的概率为2 3，没有平局.(1)若进行三局两胜制比赛，先胜两局者为胜，甲获胜的概率是多少？(2)若进行五局三胜制比赛，甲获胜的概率为多少？【例3】某公司安装了3台报警器，它们彼此独立工作，且发生险情时每台报警器报警的概率均为0.9.求发生险情时，下列事件的概率：(1)3台都未报警；(2)恰有1台报警；(3)恰有2台报警.【迁移1】(变换所求)例3条件不变，求3台都报警的概率.【迁移2】(变换所求)例3条件不变，求至少有2台报警的概率.【迁移3】 (变换所求)例3条件不变，求至少有1台报警的概率.规律方法 利用二项分布来解决实际问题的关键(1)在实际问题中建立二项分布的模型，也就是看它是否为n 次独立重复试验. (2)随机变量是否为在这n 次独立重复试验中某事件发生的次数，满足这两点的随机变量才服从二项分布，否则就不服从二项分布.【训练3】 100件产品中有3件不合格品，每次取一件，有放回地抽取3次，求取得不合格品的件数X 的分布列.课堂达标1.若X ～B (5，0.1)，则P (X ≤2)等于( ) A.0.665 B.0.008 56 C.0.918 54D.0.991 442.一头猪服用某药品后被治愈的概率是90%，则服用这种药的5头猪中恰有3头被治愈的概率为( ) A.0.93B.1－(1－0.9)3C.C 35×0.93×0.12D.C 35×0.13×0.923.在4次独立重复试验中，事件出现的概率相同，若事件A 至少出现一次的概率为6581，则事件A 在一次试验中出现的概率为________.4.将一枚均匀的硬币抛掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为________.5.在等差数列{a n }中，a 4＝2，a 7＝－4.现从数列{a n }的前10项中随机取数，每次取出一个数，取后放回，连续抽取三次，假定每次取数互不影响，求在这三次取数中，取出的数恰好为两个正数和一个负数的概率.课堂小结1.独立重复试验要从三方面考虑：第一，每次试验是在相同条件下进行的；第二，各次试验中的事件是相互独立的；第三，每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生.2.如果一次试验中某事件发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率为P n (k )＝C k n p k (1－p )n －k .此概率公式恰为[(1－p )＋p ]n 展开式的第k ＋1项，故称该公式为二项分布公式.基础过关1.已知随机变量ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，13，则P (ξ＝2)等于( ) A.316 B.4243 C.13243 D.802432.3位同学参加测试，假设每位同学能通过测试的概率都是13，且各人能否通过测试是相互独立的，则至少有1位同学能通过测试的概率为( ) A.827B.49C.23D.19273.投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才算通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( ) A.0.648B.0.432C.0.36D.0.3124.某射手射击1次，击中目标的概率为0.9，他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响，有下列结论：①他第三次击中目标的概率为0.9；②他恰好击中目标3次的概率为0.93×0.1；③他至少击中目标1次的概率为1－0.14.其中正确结论的序号为________.5.某市公租房的房源位于A ，B ，C 三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，该市的4位申请人中恰有2人申请A 片区房源的概率为________.6.一个学生通过某种英语听力测试的概率是12，他连续测试n 次，要保证他至少有一次通过的概率大于0.9，求n 的最小值.7.在一次抗洪抢险中，准备用射击的办法引爆从上游漂流而下的一个巨大汽油罐，已知只有5发子弹，第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆，每次射击是相互独立的，且命中的概率都是23. (1)求油罐被引爆的概率；(2)若引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为X ，求X 不小于4的概率.能力提升8.箱子里有5个黄球，4个白球，每次随机取出1个球，若取出黄球，则放回箱中重新取球，若取出白球，则停止取球，那么在4次取球之后停止取球的概率为( ) A.35×14B.⎝ ⎛⎭⎪⎫593×49 C.C 14×⎝ ⎛⎭⎪⎫593×49 D.C 14×⎝ ⎛⎭⎪⎫493×59 9.口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球，每次有放回地摸取一个球，定义数列{a n }，a n ＝⎩⎨⎧－1，第n 次摸取红球，1，第n 次摸取白球，如果S n 为数列{a n }的前n 项和，那么S 7＝3的概率为( ) A.C 57×⎝ ⎛⎭⎪⎫132×⎝ ⎛⎭⎪⎫235B.C 27×⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫135C.C 57×⎝ ⎛⎭⎪⎫132×⎝ ⎛⎭⎪⎫135D.C 27×⎝ ⎛⎭⎪⎫132×⎝ ⎛⎭⎪⎫23210.位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12，质点P移动五次后位于点(2，3)的概率是________(用数字作答).11.甲、乙两人投篮命中的概率分别为p，q，他们各投两次，若p＝12，且甲比乙投中次数多的概率恰好等于736，则q的值为________.12.一名学生每天骑自行车上学，从家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是1 3.(1)求这名学生在途中遇到红灯的次数ξ的分布列；(2)求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口数η的分布列；(3)这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率.13.(选做题)实力相当的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，规定5局3胜制(即5局内谁先赢3局就算胜出并停止比赛).(1)试分别求甲打完3局、4局、5局才能取胜的概率；(2)求按比赛规则甲获胜的概率.。
独立重复试验
例3：有10道单项选择题，每题有4个 选择项，某人随机选定每题中的一个 答案, (1)问答对5道题的概率是多少?
(2)答对多少题的概率最大？并求出 此种情况下概率的大小？
例3：有10道单项选择题，每题有4个选择项，某人随 机选定每题中的一个答案，求答对多少题的概率最大？ 并求出此种情况下概率的大小？ P 解：设“答对k道题”为事件A，用 表示其概率， 10 k k 1 11k 由 k 1 k 3 10k 3 k 1 1
相互独立事件同时发生的概率
独立重复试验
2007.05.17
复习回顾：
不可能同时发生的两个事件。 1、互斥事件： 对立事件：必有一个发生的互斥事件。 事件A（或B）是否发生对事件B 相互独立事件： （或A）发生的概率没有影响。 2、互斥事件有一个发生的概率公式：
P A B P A P B
原题:某射手连续射击4次，每次击中目标 的概率都是0.9，求恰好有三次命中的概率.
C 0.9 1 0.9
3 4 3 1
变式:某射手连续射击n次，每次击中 目标的概率都是p，求恰好有k次命 中的概率.
C P 1 P
k n k
nk
二、独立重复试验概率的计算
一般地,在n次独立重复试验中，如果事 件A在其中1次试验中发生的概率是P，那 么在n次独立重复试验中这个事件恰好发 生k次的概率
=0.432
课堂小结: 1.对n次独立重复试验的理解 2.公式 P n (k ) C P (1 P)
k n页
广式点心的主要特点是用料精博，品种繁多，款式新颖，口味清新多样，制作精细，咸甜兼备，能适应四季节令和各方人士的需要。各款点 心都讲究色泽和谐，造型各异，相映成趣，令人百食不厌。[1]
二项分布与n次独立重复试验的模型-精品
二项分布与n次独立重复试验的模型【知识点的知识】1、二项分布:一般地，在〃次独立重复的试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为P，则P（X=k）〃力攵=（）,1,2,…〃，此时称随机变量X服从二项分布，记作X~B（72,p）,并记（1・〃）nk=h（k,n,〃）.2、独立重复试验：（1）独立重复试验的意义：做〃次试验，如果它们是完全同样的一个试验的重复，且它们相互独立，那么这类试验叫做独立重复试验.（2）一般地，在〃次独立重复试验中，设事件4发生的次数为X,在每件试验中事件A发生的概率为P，那么在〃次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为。
（X=A）=C: p k（1-p）n'k,k=0,1,2,…小此时称随机变量X服从二项分布，记作X〜8（小p）, 并称p为成功概率.（3）独立重复试验：若〃次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果，则称这〃次试验是独立的.（4）独立重复试验概率公式的特点：P〃（k）=c5/'（I・p）"勺是〃次独立重复试验中某事件A恰好发生Z次的概率.其中，〃是重复试验的次数，〃是一次试验中某事件A发生的概率，左是在〃次独立重复试验中事件A恰好发生的次数，需要弄清公式中小〃，左的意义，才能正确运用公式.【典型例题分析】典例1：如果C〜8（100,2），当P（C=攵）取得最大值时-，攵=50.2解：•・・C〜B（100,—2当P(g=k)= c|)k呜)1。
工端口g)叫由组合数知，当女=50时取到最大值.故答案为：50.典例2：一个盒子里有2个黑球和机个白球(”22,且加EN*),现举行摸奖活动：从盒中取球，每次取2个，记录颜色后放回.若取出2球的颜色相同则为中奖，否则不中.(I)求每次中奖的概率〃(用〃z表示)；(II)若m=3,求三次摸奖恰有一次中奖的概率；(III)记三次摸奖恰有一次中奖的概率为/(p),当〃z为何值时，/(p)取得最大值？解：(I)・・♦取出2球的颜色相同则为中奖，2 2・・・每次中奖的概率〃=T~^=1-m+2；C JR+2m+3m+2(11)若加=3,每次中奖的概率p=2,5・・•三次摸奖恰有一次中奖的概率为心•■1,(1-春)2=黑；J5 5 125(III)三次摸奖恰有一次中奖的概率为/(p)=C；p(l-p)2=3p3・6p2+3p(OVpVl),:.f(〃)=3(p-1)(3p-1),・•・/(〃)在(0,—)上单调递增，在(1,1)上单调递减,3 32・・〃=《时，/(p)取得最大值，即〃=$%&=23 m2+3m+23・・・加=2,即机=2时，f(p)取得最大值.【解题方法点拨】独立重复试验是相互独立事件的特例(概率公式也是如此)，就像对立事件是互斥事件的特例一样，只要有“恰好”字样的用独立重复试验的概率公式计算更简单，就像有“至少”或“至多”字样的题用对立事件的概率公式计算更简单一样.。
人教版数学选修配套课件独立重复试验与二项分布详解演示文稿
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独立重复试验与二项分布 课件
因为P(A1)＝140＝25，P(A2)＝150＝12，
所以P＝15，
P(B2)＝P(A1－A 2＋－A 1A2)＝P(A1－A 2)＋P(－A 1A2) ＝P(A1)P(－A 2)＋P(－A 1)P(A2) ＝P(A1)(1－P(A2))＋(1－P(A1))P(A2) ＝25×1－12＋1－25×12＝12. 故所求概率为P(C)＝P(B1＋B2)＝P(B1)＋P(B2)＝15＋12＝170. (2)顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验， 由(1)知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为15，
解：至少有一个连续 2 天预报都准确，即为恰有一个连续 2 天预报都准确或 3 天预报都准确，概率为 2×0.82×0.2＋0.83＝ 0.768.所以至少有一个连续 2 天预报都准确的概率为 0.768.
求二项分布的分布列 [例2] (湖南高考节选)某商场举行有奖促销活动，顾客 购买一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有4个红 球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随 机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等 奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖． (1)求顾客抽奖1次能获奖的概率； (2)若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一 等奖的次数为X，求X的分布列．
问题 3：用 Bk 表示投中 k 次这件事，试求 P(B2)和 P(B3)． 提示：P(B2)＝3×0.2×0.82，P(B3)＝0.83. 问题 4：由以上结果你能得出什么结论？ 提示：P(Bk)＝Ck30.8k0.23－k，k＝0,1,2,3.
[导入新知]
二项分布 在 n 次独立重复试验中，用 X 表示事件 A 发生的次 数，设每次试验中事件 A 发生的概率为 p，则 P(X＝k)＝ _C_kn_p_k_(1_－__p_)_n_－_k (k＝0,1,2，…，n)．此时称随机变量 X 服 从二项分布，记作 X～B(n，p) ，并称 p 为 成功概率 ．
独立重复试验与二项分布(上课用)课件
二项分布的偏态和峰态描述了概率分布的不对称性和 尖锐程度。
偏态（Skewness）和峰态（Kurtosis）是描述概率分 布形态的两个重要统计量。偏态用于衡量概率分布的 不对称性，峰态则用于描述概率分布的尖锐程度。在 二项分布中，偏态和峰态的计算公式分别为 Skewness=(3(p-0.5))/(np) 和 Kurtosis=3(p0.5)^2/(n*p*(1-p))。通过计算偏态和峰态，可以进 一步了解二项分布的概率分布特征。
独立重复试验与二项 分布课件
目 录
• 独立重复试验 • 二项分布 • 独立重复试验与二项分布的关系 • 实例分析 • 总结与思考
CHAPTER 01
独立重复试验
பைடு நூலகம்
定义与特点
定义
独立重复试验是指在每次试验中 ，事件发生的概率都不受其他试 验结果影响，每次试验都是独立 的。
特点
每次试验都有两个可能的结果， 互不影响，多次独立重复同一试 验。
风险评估
通过二项分布，我们可以评估一系列独立事 件的风险，从而制定有效的风险管理策略。 例如，在金融领域，二项分布被用于评估股 票价格涨跌的概率。
对未来的展望
扩展应用领域
随着科技的发展和研究的深入，独立重复试 验和二项分布在各个领域的应用将更加广泛 。例如，在人工智能、大数据分析、生物信 息学等领域，二项分布的应用前景非常广阔 。
在二项分布中，期望（E）和方差（Var）是两个重要的统计量，用于描述随机事件发生的概率。期望值是随机变量取值的平 均数，而方差则描述了随机变量取值分散的程度。在二项分布中，期望和方差的计算公式分别为 E=np 和 Var=np(1-p)，其 中 n 是试验次数，p 是事件发生的概率。
独立重复试验与二项分布 课件
求服从二项分布的分布列 [典例] (本小题满分 12 分)甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜 3 局者获得比赛的 胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是21外，其余每局比赛甲队获胜的概 率都是23.假设各局比赛结果相互独立． (1)分别求甲队以 3∶0，3∶1,3∶2 胜利的概率； (2)若比赛结果为 3∶0 或 3∶1，则胜利方得 3 分，对方得 0 分；若比赛结果为 3∶2， 则胜利方得 2 分，对方得 1 分．求乙队得分 X 的分布列．
[解析] (1)记“甲队以 3∶0 胜利”为事件 A1，“甲队以 3∶1 胜利”为事件 A2，“甲 队以 3∶2 胜利”为事件 A3， 由题意，各局比赛结果相互独立，
故 P(A1)＝233＝287，1 分 P(A2)＝C232321－32×23＝287，
3分
P(A3)＝C242321－322×21＝247. 所以，甲队以 3∶0 胜利、以 3∶1 胜利的概率都为287，以 3∶2 胜利的概率为247.5 分
P(X＝3)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝2)＝237，10 分
故 X 的分布列为
X0 1 2 3
P
16 274 27 Nhomakorabea4 27
3 27
12 分
[规范与警示] (1) 甲以 3∶2 胜利极易写成 C24232·1－232·23＝1861，或 C242321－322
＝287. (2)求解 X＝0,1,2,3 对应的概率，利用 P(X＝0)＝P(A1＋A2)等可减少计算量，避免 失分． (3)解答此类问题步骤要规范，语言叙述要准确，在写分布列时表格要完整.
解答此类题目首先分析随机变量是否满足独立重复试验的条件，若满足，再利用 P(X＝k)＝Cknpk·(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)计算即可．
12.6独立重复试验模型
某所气象预报站的预报准确率为80 80％ 试计算( 例 2 、 某所气象预报站的预报准确率为 80 ％ , 试计算 ( 保 留两位有效数字) 留两位有效数字): (1)5次预报中恰有4次准确的概率; (1)5次预报中恰有4次准确的概率; 次预报中恰有 (2)5次预报中至少有4次准确的概率. (2)5次预报中至少有4次准确的概率. 次预报中至少有 解： 这个问题为一个5次独立重复试验 其中“预报1次， 这个问题为一个 次独立重复试验,其中“预报 次 次独立重复试验 其中 结果准确”为事件 ， 结果准确”为事件A，p=0.8，1-p=0.2 ， 次预报中4次准确的概率为 （1）5次预报中 次准确的概率为： ） 次预报中 次准确的概率为：
k n−k
Pn(k) = C p (1− p)
实验总次数
n
k n
0,1,2,…,n） （其中k＝0,1,2,…,n）
事件 A 发生的次数
P （k)为二项式[（1-p）+p]展开式的第k +1 项。 n
四.例题分析
Pn (k) = C P (1− P)
k n
k
n−k
在人寿保险事业中, 例1、在人寿保险事业中,很重视某一年龄段的投保人 的死亡率,假如每个投保人能活到65岁的概率为0.6 65岁的概率为 的死亡率,假如每个投保人能活到65岁的概率为0.6 试问3个投保人中: 试问3个投保人中:
1、n次独立重复试验 独立重复试验
一般的,在同样的条件下,某一试验被重复地进行,各次 一般的,在同样的条件下,某一试验被重复地进行, 试验之间相互独立,且在这种试验中, 试验之间相互独立,且在这种试验中,每一次试验只有两 种结果,即某一事件要么发生(A),要么不发生(A),并且 种结果,即某一事件要么发生(A),要么不发生( 即某一事件要么发生(A) 要么不发生(A) 要么发生(A) 发生 不发生(A), (A) 任何一次试验中发生的概率都是一样 概率都是一样的 任何一次试验中发生的概率都是一样的,则称这种试验 次独立重复试验( 次独立重复试验. 重伯努利试验) . 为n次独立重复试验(或n重伯努利试验).
高二数学独立重复试验
n次独立重复试验的模型及二项分布
第八节 n 次独立重复试验与二项分布[备考方向要明了]考什 么怎 么 考1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念．2.理解n 次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题.相互独立事件、n 次独立重复试验的概率求法是每年高考的热点，特别是相互独立事件、n 次独立重复试验及二项分布的综合更是高考命题的重中之重，如2012年山东T19等.[归纳·知识整合]1．条件概率及其性质条件概率的定义条件概率的性质设A 、B 为两个事件，且P (A )>0，称P (B |A )＝P ABP A为在事件A 发生条件下，事件B 发生的条件概率(1)0≤P (B |A )≤1(2)如果B 和C 是两个互斥事件，则P (B ∪C |A )＝P (B |A )＋P (C |A )2.事件的相互独立性(1)定义：设A 、B 为两个事件，如果P (AB )＝P (A )·P (B )，则称事件A 与事件B 相互独立．(2)性质：①若事件A 与B 相互独立，则P (B |A )＝P (B )，P (A |B )＝P (A )，P (AB )＝P (A )P (B )． ②如果事件A 与B 相互独立，那么A 与B ，A 与B ，A 与B 也相互独立． [探究] 1.“相互独立”和“事件互斥”有何不同？提示：两事件互斥是指两事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响，两个事件相互独立不一定互斥．3．独立重复试验与二项分布独立重复试验 二项分布定义在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验 在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率是p ，此时称随机变量X 服从二项分布，记作X ～B (n ，p )，并称p 为成功概率计算公式 A i (i ＝1,2，…，n )表示第i次试验结果，则P (A 1A 2A 3…A n )＝P (A 1)P (A 2)…P (A n )在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为P (X ＝k )＝C k n p k(1－p )n －k(k ＝0，1,2，…，n )[探究] 2.二项分布的计算公式和二项式定理的公式有何联系？ 提示：如果把p 看成a,1－p 看成b ，则C k n p k(1－p )n －k就是二项式定理中的通项．[自测·牛刀小试]1．若事件E 与F 相互独立，且P (E )＝P (F )＝14，则P (EF )的值等于( )A ．0 B.116C.14D.12解析：选B EF 代表E 与F 同时发生， 故P (EF )＝P (E )·P (F )＝116.2．已知P (B |A )＝12，P (AB )＝38，则P (A )等于( )A.316B.1316C.34D.14解析：选C 由P (AB )＝P (A )P (B |A )可得P (A )＝34.3．有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.9，在两批种子中各取一粒，则恰有一粒种子能发芽的概率是( )A ．0.26B ．0.08C ．0.18D ．0.72解析：选A P ＝0.8×0.1＋0.2×0.9＝0.26.4．掷一枚不均匀的硬币，正面朝上的概率为23，若将此硬币掷4次，则正面朝上3次的概率是________．解析：设正面朝上X 次，则X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，23， P (X ＝3)＝C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫233⎝ ⎛⎭⎪⎫131＝3281. 答案：32815．某人一周晚上值班2次，在已知他周日一定值班的条件下，则他在周六晚上值班的概率为________．解析：设事件A 为“周日值班”，事件B 为“周六值班”， 则P (A )＝C 16C 27，P (AB )＝1C 27，故P (B |A )＝P AB P A ＝16.答案：16条件概率[例1] (1)甲、乙两地都位于长江下游，根据天气预报的记录知，一年中下雨天甲市占20%，乙市占18%，两市同时下雨占12%.则甲市为雨天，乙市也为雨天的概率为( )A ．0.6B ．0.7C ．0.8D ．0.66(2)市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是80%，则从市场上买到一个是甲厂生产的合格灯泡的概率是________．[自主解答] (1)甲市为雨天记为事件A ，乙市为雨天记为事件B ，则P (A )＝0.2，P (B )＝0.18，P (AB )＝0.12，故P (B |A )＝P AB P A ＝0.120.2＝0.6.(2)记A ＝“甲厂产品”，B ＝“合格产品”，则P (A )＝0.7，P (B |A )＝0.95.故P (AB )＝P (A )·P (B |A )＝0.7×0.95＝0.665.[答案] (1)A (2)0.665在本例2中条件改为“甲厂产品的合格率是95%，其中60%为一级品”，求甲厂产品中任选一件为一级品的概率．解：设甲厂产品合格为事件A ，一级品为事件B ，则甲厂产品中任一件为一级品为AB ， 所以P (AB )＝P (A )P (B |A )＝95%×60%＝0.57.———————————————————条件概率的求法(1)定义法：先求P (A )和P (AB )，再由P (B |A )＝P ABP A求P (B |A )；(2)基本事件法：借古典概型概率公式，先求事件A 包含的基本事件数n (A )，再求事件AB 所包含的基本事件数n (AB )，得P (B |A )＝n ABn A.1．在5道题中有3道理科题和2道文科题．如果不放回地依次抽取2道题，求： (1)第1次抽到理科题的概率；(2)第1次和第2次都抽到理科题的概率；(3)在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率．解：设第1次抽到理科题为事件A ，第2次抽到理科题为事件B ，则第1次和第2次都抽到理科题为事件AB .(1)从5道题中不放回地依次抽取2道的事件数为n (Ω)＝A 25＝20；根据分步乘法计数原理，n (A )＝A 13×A 14＝12； 于是P (A )＝n A n Ω ＝1220＝35.(2)因为n (AB )＝A 23＝6，所以P (AB )＝n AB n Ω ＝620＝310.(3)法一：由(1)(2)可得，在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率 P (B |A )＝P AB P A ＝31035＝12.法二：因为n (AB )＝6，n (A )＝12，所以P (B |A )＝n AB n A ＝612＝12.相互独立事件的概率[例2] 某果园要用三辆汽车将一批水果从所在城市E 运至销售城市F ，已知从城市E 到城市F 有两条公路．统计表明：汽车走公路Ⅰ堵车的概率为110，不堵车的概率为910；走公路Ⅱ堵车的概率为35，不堵车的概率为25，若甲、乙两辆汽车走公路Ⅰ，第三辆汽车丙由于其他原因走公路Ⅱ运送水果，且三辆汽车是否堵车相互之间没有影响．(1)求甲、乙两辆汽车中恰有一辆堵车的概率； (2)求三辆汽车中至少有两辆堵车的概率．[自主解答] 记“汽车甲走公路Ⅰ堵车”为事件A ， “汽车乙走公路Ⅰ堵车”为事件B . “汽车丙走公路Ⅱ堵车”为事件C .(1)甲、乙两辆汽车中恰有一辆堵车的概率为P 1＝P (A ·B )＋P (A ·B )＝110×910＋910×110＝950.(2)甲、乙、丙三辆汽车中至少有两辆堵车的概率为P 2＝P (A ·B ·C )＋P (A ·B ·C )＋P (A ·B ·C )＋P (A ·B ·C )＝110×110×25＋110×910×35＋910×110×35＋110×110×35＝59500. ——————————————————— 求相互独立事件同时发生的概率的方法(1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解；(2)正面计算较繁或难以入手时，可从其对立事件入手计算．2．红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A 、B 、C 进行围棋比赛，甲对A 、乙对B 、丙对C 各一盘，已知甲胜A 、乙胜B 、丙胜C 的概率分别为0.6,0.5,0.5.假设各盘比赛结果相互独立．(1)求红队至少两名队员获胜的概率； (2)求红队队员获胜总盘数为1的概率．解：(1)设甲胜A 为事件D ，乙胜B 为事件E ，丙胜C 为事件F ，则D ，E ，F 分别表示事件甲不胜A 、事件乙不胜B 、事件丙不胜C .因为P (D )＝0.6，P (E )＝0.5，P (F )＝0.5，由对立事件的概率公式知P (D )＝0.4，P (E )＝0.5，P (F )＝0.5.红队至少两人获胜的事件有：DE F ，D E F ，D EF ，DEF . 由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立， 因此红队至少两人获胜的概率为P ＝P (DE F )＋P (D E F )＋P (D EF )＋P (DEF )＝0.6×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.55. (2)由题意知ξ可能的取值为0,1,2,3.又由(1)知D ] E ]F 、D E F 、D E －F －是两两互斥事件，且各盘比赛的结果相互独立．P (ξ＝1)＝P (D E F )＋P (D E F )＋P (D E －F －)＝0.4×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.35. 即红队队员获胜1盘的概率为0.35.独立重复试验与二项分布[例3] 甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲、乙、丙三台机床加工的零件是一等品的概率分别为0.7、0.6、0.8，乙、丙两台机床加工的零件数相等，甲机床加工的零件数是乙机床加工的零件数的二倍．(1)从甲、乙、丙三台机床加工的零件中各取一件检验，求至少有一件一等品的概率； (2)将甲、乙、丙三台机床加工的零件混合到一起，从中任意地抽取一件检验，求它是一等品的概率；(3)将甲、乙、丙三台机床加工的零件混合到一起，从中任意地抽取4件检验，其中一等品的个数记为X ，求X 的分布列．[自主解答] (1)设从甲、乙、丙三台机床加工的零件中任取一件是一等品分别为事件A ，B ，C ，则P (A )＝0.7，P (B )＝0.6，P (C )＝0.8.所以从甲、乙、丙三台机床加工的零件中各取一件检验，至少有一件一等品的概率为P 1＝1－P (A )P (B )P (C )＝1－0.3×0.4×0.2＝0.976.(2)将甲、乙、丙三台机床加工的零件混合到一起，从中任意地抽取一件检验，它是一等品的概率为P 2＝2×0.7＋0.6＋0.84＝0.7.(3)依题意抽取的4件样品中一等品的个数X 的可能取值为0,1,2,3,4，则P (X ＝4)＝C 04×0.74＝0.2401， P (X ＝3)＝C 14×0.3×0.73＝0.4116， P (X ＝2)＝C 24×0.32×0.72＝0.2646， P (X ＝1)＝C 34×0.33×0.7＝0.0756， P (X ＝0)＝C 44×0.34＝0.0081.∴X 的分布列为：X 4 3 2 1 0 P0.24010.41160.26460.07560.0081———————————————————二项分布满足的条件(1)每次试验中，事件发生的概率是相同的． (2)各次试验中的事件是相互独立的．(3)每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生． (4)随机变量是这n 次独立重复试验中事件发生的次数．3．如图，一圆形靶分成A ，B ，C 三部分，其面积之比为1∶1∶2.某同学向该靶投掷3枚飞镖，每次1枚．假设他每次投掷必定会中靶，且投中靶内各点是随机的．(1)求该同学在一次投掷中投中A 区域的概率；(2)设X 表示该同学在3次投掷中投中A 区域的次数，求X 的分布列；(3)若该同学投中A ，B ，C 三个区域分别可得3分，2分，1分，求他投掷3次恰好得4分的概率．解：(1)设该同学在一次投掷中投中A 区域的概率为P (A )，依题意，P (A )＝14.(2)依题意识，X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，14，从而X 的分布列为： X 0 1 2 3 P27642764964164(3)设B i 表示事件“第i 次击中目标时，击中B 区域”，C i 表示事件“第i 次击中目标时，击中C 区域”，i ＝1,2,3.依题意知P ＝P (B 1C 2C 3)＋P (C 1B 2C 3)＋P (C 1C 2B 3)＝3×14×12×12＝316.1个技巧——抓住关键词求解相互独立事件的概率在应用相互独立事件的概率公式时，要找准关键字句，对含有“至多有一个发生”，“至少有一个发生”，“恰有一个发生”的情况，要结合对立事件的概率求解．1个明确——明确常见词语的含义解题过程中要明确事件中“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词的意义．已知两个事件A ，B ，则(1)A ，B 中至少有一个发生的事件为A ∪B ； (2)A ，B 都发生的事件为AB ； (3)A ，B 都不发生的事件为A B ； (4)A ，B 恰有一个发生的事件为A B ∪A B ； (5)A ，B 至多一个发生的事件为A B ∪A B ∪A B .易误警示——独立事件概率求法中的易误点[典例] (2012·珠海模拟)某射手每次射击击中目标的概率是23，且各次射击的结果互不影响．(1)假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率；(2)假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标，另外2次未击中目标的概率； (3)假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分，记ξ为射手射击3次后的总的分数，求ξ的分布列．[解] (1)设X 为射手在5次射击中目标的次数，则X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，23.在5次射击中，恰有2次击中目标的概率为P (X ＝2)＝C 25×⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝⎛⎭⎪⎫1－233＝40243. (2)设“第i 次射击击中目标”为事件A i (i ＝1,2,3,4,5)；“射手在5次射击中，有3次连续击中目标，另外2次未击中目标”为事件A ，则P (A )＝P (A 1A 2A 3A 4 A 5)＋P (A 1A 2A 3A 4A 5)＋P (A 1 A 2A 3A 4A 5)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫233×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫233×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132×⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝881. (3)由题意可知，ξ的所有可能取值为0,1,2,3,6，P (ξ＝0)＝P (A 1A 2A 3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝127；P (ξ＝1)＝P (A 1A 2 A 3)＋P (A 1A 2A 3)＋P (A 1A 2A 3)＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋13×23×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132×23＝29. P (ξ＝2)＝P (A 1A 2A 3)＝23×13×23＝427，P (ξ＝3)＝P (A 1A 2A 3)＋P (A 1A 2A 3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232×13＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝827，P (ξ＝6)＝P (A 1A 2A 3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝827，所以ξ的分布列为：ξ0 1 2 3 6 P12729427827827[易误辨析]1．本题第(2)问因不明独立事件与独立重复试验的区别，误认为是n 次独立重复试验，可导致求得P ＝C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫233×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝80243这一错误结果；2．本题第(2)问中因忽视连续三次击中目标，另外两次未击中导致分类不准确； 3．正确区分相互独立事件与n 次独立重复试验是解决这类问题的关键． [变式训练]某中学在运动会期间举行定点投篮比赛，规定每人投篮4次，投中一球得2分，没有投中得0分，假设每次投篮投中与否是相互独立的．已知小明每次投篮投中的概率都是13.(1)求小明在投篮过程中直到第三次才投中的概率； (2)求小明在4次投篮后的总得分ξ的分布列．解：(1)设小明第i 次投篮投中为事件A i ，则小明在投篮过程中直到第三次才投中的概率为P ＝P (A 1)·P (A 2)·P (A 3)＝23×23×13＝427.(2)由题意知ξ的可能取值为0,2,4,6,8，则P (ξ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫234＝1681；P (ξ＝2)＝C 14×⎝ ⎛⎭⎪⎫13×⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝3281；P (ξ＝4)＝C 24×⎝ ⎛⎭⎪⎫132×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝827；P (ξ＝6)＝C 34×⎝ ⎛⎭⎪⎫133×⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝881；P (ξ＝8)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫134＝181. 所以ξ的分布列为：ξ0 2 4 6 8 P16813281827881181一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．甲、乙两人同时报考某一所大学，甲被录取的概率为0.6，乙被录取的概率为0.7，两人是否被录取互不影响，则其中至少有一人被录取的概率为( )A ．0.12B ．0.42C ．0.46D ．0.88解析：选D 由题意知，甲、乙都不被录取的概率为(1－0.6)·(1－0.7)＝0.12.故至少有一人被录取的概率为1－0.12＝0.88.2．(2013·济南模拟)位于直角坐标原点的一个质点P 按下列规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向向左或向右，并且向左移动的概率为13，向右移动的概率为23，则质点P 移动五次后位于点(1,0)的概率是( )A.4243 B.8243 C.40243D.80243解析：选D 依题意得，质点P 移动五次后位于点(1,0)，则这五次移动中必有某两次向左移动，另三次向右移动，因此所求的概率等于C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫132·⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝80243.3．(2013·荆州质检)已知随机变量ξ服从二项分布ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，13，即P (ξ＝2)等于( )A.316B.1243C.13243D.80243解析：选D 已知ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，13，P (ξ＝k )＝C k n p k q n －k，当ξ＝2，n ＝6，p ＝13时，有P (ξ＝2)＝C 26⎝ ⎛⎭⎪⎫132⎝ ⎛⎭⎪⎫1－136－2＝80243.4．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )＝( )A.18 B.14 C.25D.12解析：选B P (A )＝C 23＋C 22C 25＝410＝25，P (A ∩B )＝C 22C 25＝110.由条件概率计算公式，得P (B |A )＝P A ∩B P A ＝110410＝14.5．将一枚硬币连掷5次，如果出现k 次正面向上的概率等于出现k ＋1次正面向上的概率，那么k 的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C 由C k 5⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ⎝ ⎛⎭⎪⎫125－k ＝C k ＋15⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ＋1·⎝ ⎛⎭⎪⎫155－k －1，即C k 5＝C k ＋15，故k ＋(k ＋1)＝5，即k ＝2.6．某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为1625，则该队员每次罚球的命中率为( ) A.35 B.15 C.45D.25解析：选A 设该队员每次罚球的命中率为p (其中0<p <1)，则依题意有1－p 2＝1625，p 2＝925.又0<p <1，因此有p ＝35. 二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为________．解析：设种子发芽为事件A ，种子成长为幼苗为事件B (发芽，又成活为幼苗)出芽后的幼苗成活率为：P (B |A )＝0.8，P (A )＝0.9.根据条件概率公式P (AB )＝P (B |A )·P (A )＝0.9×0.8＝0.72，即这粒种子能成长为幼苗的概率为0.72.答案：0.728．某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18、19、20层停靠．若该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为13，用ξ表示这5位乘客在第20层下电梯的人数，则P (ξ＝4)＝________.解析：考察一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，这是5次独立重复试验，故ξ～B ⎝⎛⎭⎪⎫5，13，即有P (ξ＝k )＝C k 5⎝ ⎛⎭⎪⎫13k ×⎝ ⎛⎭⎪⎫235－k，k ＝0,1,2,3,4,5. 故P (ξ＝4)＝C 45⎝ ⎛⎭⎪⎫134×⎝ ⎛⎭⎪⎫231＝10243.答案：102439．有一批书共100本，其中文科书40本，理科书60本，按装潢可分精装、平装两种，精装书70本，某人从这100本书中任取一书，恰是文科书，放回后再任取1本，恰是精装书，这一事件的概率是________．解析：设“任取一书是文科书”的事件为A ，“任取一书是精装书”的事件为B ，则A 、B 是相互独立的事件，所求概率为P (AB )．据题意可知P (A )＝40100＝25，P (B )＝70100＝710，故P (AB )＝P (A )·P (B )＝25×710＝725.答案：725三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10．在一次数学考试中，第21题和第22题为选做题．规定每位考生必须且只须在其中选做一题．设4名考生选做每一道题的概率均为12.(1)求其中甲、乙两名学生选做同一道题的概率；(2)设这4名考生中选做第22题的学生个数为ξ，求ξ的概率分布．解：(1)设事件A 表示“甲选做第21题”，事件B 表示“乙选做第21题”，则甲、乙两名学生选做同一道题的事件为“AB ＋A － B －”，且事件A 、B 相互独立．故P (AB ＋A B )＝P (A )P (B )＋P (A )P (B )＝12×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×⎝⎛⎭⎪⎫1－12＝12.(2)随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3,4，且ξ～B ⎝⎛⎭⎪⎫4，12则P (ξ＝k )＝C k 4⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－124－k ＝C k 4⎝ ⎛⎭⎪⎫124(k ＝0,1,2,3,4)．故变量ξ的分布列为：ξ0 1 2 3 4 P11614381411611．下图是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量(单位：吨)的频率分布直方图．(1)求直方图中x 的值；(2)若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民(看作有放回的抽样)，求月均用水量在3至4吨的居民数X 的分布列．解：(1)依题意及频率分布直方图知，0.02＋0.1＋x ＋0.37＋0.39＝1，解得x ＝0.12. (2)由题意知，X ～B (3,0.1) 因此P (X ＝0)＝C 03×0.93＝0.729，P (X ＝1)＝C 13×0.1×0.92＝0.243， P (X ＝2)＝C 23×0.12×0.9＝0.027， P (X ＝3)＝C 33×0.13＝0.001.故随机变量X 的分布列为：X 0 1 2 3 P0.7290.2430.0270.00112．“石头、剪刀、布”是一种广泛流传于我国民间的古老游戏，其规则是：用三种不同的手势分别表示石头、剪刀、布；两个玩家同时出示各自手势1次记为1次游戏，“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”；双方出示的手势相同时，不分胜负．现假设玩家甲、乙双方在游戏时出示三种手势是等可能的．(1)求出在1次游戏中玩家甲胜玩家乙的概率；(2)若玩家甲、乙双方共进行了3次游戏，其中玩家甲胜玩家乙的次数记作随机变量X ，求X 的分布列．解：(1)玩家甲、乙双方在1次游戏中出示手势的所有可能结果是：(石头、石头)；(石头，剪刀)；(石头，布)；(剪刀，石头)；(剪刀，剪刀)；(剪刀，布)；(布，石头)；(布，剪刀)；(布，布)．共有9个基本事件，玩家甲胜玩家乙的基本事件分别是：(石头，剪刀)；(剪刀，布)；(布，石头)，共有3个．所以在1次游戏中玩家甲胜玩家乙的概率P ＝13.(2)X 的可能取值分别为0,1,2,3.X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，13，则 P (X ＝0)＝C 03·⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝827， P (X ＝1)＝C 13·⎝ ⎛⎭⎪⎫131·⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝1227， P (X ＝2)＝C 23·⎝ ⎛⎭⎪⎫132·⎝ ⎛⎭⎪⎫231＝627， P (X ＝3)＝C 33·⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝127. X 的分布列如下：X 0 1 2 3 P82712276271271．如图所示的电路，有a ，b ，c 三个开关，每个开关开或关的概率都是12，且是相互独立的，则灯泡甲亮的概率为( ) A.18 B.14 C.12D.116解析：选A 理解事件之间的关系，设“a 闭合”为事件A ，“b 闭合”为事件B ，“c 闭合”为事件C ，则灯亮应为事件A ·C ·B ，且A ，C ，B 之间彼此独立，且P (A )＝P (B )＝P (C )＝12.所以P (A ·B ·C )＝P (A )·P (B )·P (C )＝18.2．将一枚硬币抛掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为________． 解析：由题意知，正面可以出现6次，5次，4次，所求概率P ＝C 66⎝ ⎛⎭⎪⎫126＋C 56⎝ ⎛⎭⎪⎫126＋C 46⎝ ⎛⎭⎪⎫126＝1＋6＋1564＝1132. 答案：11323．某公司是否对某一项目投资，由甲、乙、丙三位决策人投票决定，他们三人都有“同意”、“中立”、“反对”三类票各一张，投票时，每人必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为13，他们的投票相互没有影响，规定：若投票结果中至少有两张“同意”票，则决定对该项目投资；否则，放弃对该项目的投资．(1)求该公司决定对该项目投资的概率；(2)求该公司放弃对该项目投资且投票结果中最多有一张“中立”票的概率． 解：(1)该公司决定对该项目投资的概率为P ＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫132 ·23＋C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝727. (2)该公司放弃对该项目投资且投票结果中最多有一张“中立”票，有以下四种情形：“同意”票张数 “中立”票张数 “反对”票张数 事件A 0 0 3 事件B 1 0 2 事件C 1 1 1 事件D12P (A )＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝127，P (B )＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝19， P (C )＝C 13C 12⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝29，P (D )＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝19. ∵A 、B 、C 、D 互斥，∴P (A ＋B ＋C ＋D )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＋P (D )＝1327.。
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二.基本概念
问题:某射手射击1 问题:某射手射击1次,击中目标的概率为0.9,现他连续 击中目标的概率为0.9,现他连续 0.9, 射击4次,且各次射击是否击中相互之间没有影响,求： 射击4 且各次射击是否击中相互之间没有影响, 他只有第2次击中的概率； （1）他只有第2次击中的概率； 恰击中一次的概率； （2）恰击中一次的概率； 至少击中一次的概率。 （3）至少击中一次的概率。 此射击问题的特殊之处: 此射击问题的特殊之处: 事件“射击”的命中率始终不变； 事件“射击”的命中率始终不变； 此事件“射击”可以不断重复进行； 此事件“射击”可以不断重复进行； 各次“射击”之间相互独立. 各次“射击”之间相互独立.
2 P =C10(0.03) (1− 0.03) 2 8
某人投篮的命中率为2/3,他连续投5 2/3,他连续投 则至多投中4 4、某人投篮的命中率为2/3,他连续投5次,则至多投中4 5 次的概率为1−C5 2 5 3
乙两人各进行3次射击, 5、甲、乙两人各进行3次射击,甲每次击中目标的概率 1/2,乙每次击中目标的概率为2/3,求 乙每次击中目标的概率为2/3, 为1/2,乙每次击中目标的概率为2/3,求:
三、探究
分别记在第1,2,3,4次射 分别记在第1,2,3,4次射 1,2,3,4 击中, 击中,这个射手击中目标 为事件A 为事件A1,A2,A3,A4, 那么射击4 那么射击4次，击中3 击中3 次共有下面四种情况： 次共有下面四种情况： 某射手射击1 某射手射击1 某射手射击1 次 击中目标的概率是 某射手射击1次,，击中目标的概率 0.9，他射击4次恰好击中3 是0.9，他射击4次恰好击中3次的概率 0.9,他射击 次恰好击中3 他射击4 0.9,他射击4次恰好击中3次的概率是 是多少？ 是多少?？ 多少? 多少
判断下列试验是不是独立重复试验,为什么？ 判断下列试验是不是独立重复试验,为什么？
⑴从某品种小麦种子中抽取100粒做发芽试验. 是
⑵从100件产品中,有放回地抽取10件,检查每件是一级 品、二级品,还是三级品？ 不是 ？ ⑶从100件产品中无放回地抽取5件,检查每件是合格品 还是次品？ 不是 ？ ⑷某射手在相同的条件下射击n次,对每次射击考察中几 环. 不是 ⑸某人射击,击中目标的概率是稳定的,他连续射击了10 是 次 ⑹口袋内装有5个白球、3个黑球、2个红球,依次从中抽 取5个球. 不是
4 P (4) = C5 × 0.84 × 0.2 ≈ 0.41 5
次预报中至少有4次准确的概率为 （2）5次预报中至少有 次准确的概率为： ） 次预报中至少有 次准确的概率为：
4 5 P (4) + P (5) = C5 × 0.84 × 0.2 + C5 × 0.85 5 5 ≈ 0.410 + 0.328 ≈ 0.74
n
射击n次相当于n次独立重复试验, ∵射击n次相当于n次独立重复试验,
n
1 lg 3n 1 n 由题意 令 − 0.75 ≥ 0.75,∴( ) ≤ ,∴n ≥ 4 ≈ 4.82 , 1 3 4 4 lg 4
五.课堂练习
1),重复进行10次试验 重复进行10次试验, 1、每次试验的成功率为P(0＜P＜1),重复进行10次试验, 每次试验的成功率为P(0＜ P(0 其中前七次未成功后三次成功的概率（ 其中前七次未成功后三次成功的概率（ C ）
2 3
六、归纳小结
1、独立重复试验定义: 独立重复试验定义: 定义 在同样的条件下,重复地, 在同样的条件下,重复地,各次之间相互独立地进 行的一种试验 . 独立重复试验的基本特征 基本特征: 2、独立重复试验的基本特征: 每次试验是在同样条件下进行,实验是一系列的, ⑴每次试验是在同样条件下进行,实验是一系列的,并非 一次而是多次. 一次而是多次. ⑵各次试验中的事件是相互独立的 每次试验都只有两种结果, ⑶每次试验都只有两种结果,即某事件要么发生要么不 发生,并且任何一次试验中发生的概率都是一样的. 发生,并且任何一次试验中发生的概率都是一样的.
3、公式: 公式: 如果在一次试验中某事件发生的概率是P,那么在n 如果在一次试验中某事件发生的概率是P,那么在n P,那么在 次独立重复试验中,这个事件恰好发生k 次独立重复试验中,这个事件恰好发生k次的概率计算 公式: 公式:
P (k) = C p (1− p) n
k n k
n−k
或P (k ) = C p q n
1、n次独立重复试验的概率公式
一般的, 一般的,在n次独立重复试验中,如果事件A在其中1次 中 如果事件A在其中1 试验中发生的概率是P,那么在 试验中发生的概率是 P,那么在n次独立重复试验中这个 P, 那么在n 事件恰好发生k次的概率为: 事件恰好发生k次的概率为:
事件 A 发生的概率
事件A 事件 发生的概率
1、n次独立重复试验 独立重复试验
一般的,在同样的条件下,某一试验被重复地进行,各次 一般的,在同样的条件下,某一试验被重复地进行, 试验之间相互独立,且在这种试验中, 试验之间相互独立,且在这种试验中,每一次试验只有两 种结果,即某一事件要么发生(A),要么不发生(A),并且 种结果,即某一事件要么发生(A),要么不发生( 即某一事件要么发生(A) 要么不发生(A) 要么发生(A) 发生 不发生(A), (A) 任何一次试验中发生的概率都是一样 概率都是一样的 任何一次试验中发生的概率都是一样的,则称这种试验 次独立重复试验( 次独立重复试验. 重伯努利试验) . 为n次独立重复试验(或n重伯努利试验).
独立重复试验的特点 2、独立重复试验的特点
每次试验是在同样条件下进行,试验是一系列 同样条件下进行 一系列的 1、每次试验是在同样条件下进行,试验是一系列的,并 非一次而是多次. 而是多次 非一次而是多次. 相互独立的 各次试验中的事件是相互独立 2、各次试验中的事件是相互独立的. 每次试验都只有两种结果 即某事件要么发生要么 只有两种结果, 要么发生 3、每次试验都只有两种结果,即某事件要么发生要么 不发生,并且任何一次试验中发生的概率都是一样的. 不发生,并且任何一次试验中发生的概率都是一样的.
k n−k
Pn(k) = C p (1− p)
实验总次数
n
k n
0,1,2,…,n） （其中k＝0,1,2,…,n）
事件 A 发生的次数
P （k)为二项式[（1-p）+p]展开式的第k +1 项。 n
四.例题分析
Pn (k) = C P (1− P)
k n
k
n−k
在人寿保险事业中, 例1、在人寿保险事业中,很重视某一年龄段的投保人 的死亡率,假如每个投保人能活到65岁的概率为0.6 65岁的概率为 的死亡率,假如每个投保人能活到65岁的概率为0.6 试问3个投保人中: 试问3个投保人中:
（1）P3 （3）=C 3 0.6 3 0.4 0 = 0.216 3
2 （2）P3 （2）=C3 0.62 0.41 = 0.432
（3）P3 （1）=C1 0.610.42 = 0.288 3
0 （4）P3 （0）=C3 0.60 0.43 = 0.064
k Pn (k) = CnPk (1− P)n−k
每一种情况的概率均为: 0.93 • (1− 0.9)4−3.
因为四种情况彼此互斥, 因为四种情况彼此互斥,故 四次射击击中3 四次射击击中3次的概率为 3 C4 • 0.93 • (1− 0.9)4−3 = 4×0.93 ×0.1 ≈ 0.29
A • A2 • A • A4 A • A2 • A • A4 1 3 1 3 3 A2 • A • A4 1 3 1 3
k n k
n−k
(q =1− p)
七、作业
①课堂作业:课本P226 A组T2,B组T1 ②课外作业:完成学案P129-P130当堂训练和课 后巩固 每一发奋努力的背后,必有加倍的赏赐！ 每一发奋努力的背后,必有加倍的赏赐！
A.C
3 10
P (1 − P ) B .C
3 7
3 10
P (1 − P ) C
3 3
.P
3
(1 − P ) D
7
.P
7
(1 − P )
3
抛一枚硬币5 2、抛一枚硬币5次,有2次正面向上的概率为 C ( )
2 1 5 5 2
100件产品中有 件不合格,有放回地连续抽取10 件产品中有3 10次 3、100件产品中有3件不合格,有放回地连续抽取10次, 每次一件,10件产品中恰有2 ,10件产品中恰有 每次一件,10件产品中恰有2件不合格的概率为
（1）全部活到65岁的概率；（2）有2个活到65岁的概率； 全部活到65岁的概率；（2 65岁的概率；（ 个活到65岁的概率； 65岁的概率 （3）有1个活到65岁的概率 （4）都活不到65岁的概率。 个活到65岁的概率 都活不到65岁的概率。 65 65岁的概率
解、设A = 1 “个投保人能活到65岁”，则A = “一个投保人活不到65岁“ P（A）=0.6，P（A ）=1-0.6=0.4
3.相互独立事件同时发生的概率 3.相互独立事件同时发生的概率
P( A• B) = P( A) • P(B)
一般地,如果事件A 一般地,如果事件A1，A2，…，An相互独立,那么这n个事件同时 ， 相互独立,那么这n 发生的概率, 发生的概率,等于每个事件发生的概率的积
即 P(A1·A2·····An)=P(A1)·P(A2)·····P(An)． A A P(A P(A
（1）甲恰好击中目标两次的概率； 甲恰好击中目标两次的概率； （2）乙至少击中目标2次的概率； 乙至少击中目标2次的概率； （3）乙恰好比甲多击中目标2次的概率。 乙恰好比甲多击中目标2次的概率。
1 2 1 3 (1) 1 解： P = C ( ) ( ) = 2 2 8 20 2 2 2 1 3 2 3 (2) P2 = C 3 ( ) + C 3 ( ) = 3 3 3 27 1 1 1 2 2 2 1 0 1 3 3 2 3 1 1 3 (3) P3 = C3 ( ) C3 ( ) + C3 ( ) C3 ( ) = + = 3 3 2 3 2 18 9 6