高中数学快速提升成绩题型训练——三个二次问题(二次函数、不等式、方程)

三个二次问题（二次函数、不等式、方程）1.1、解关于x 的不等式：(1) x 2－(a ＋1)x ＋a ＜0，(2) 0222>++mx x ．2、 设集合A={x |x 2＋3k 2≥2k (2x －1)}，B={x |x 2－(2x －1)k ＋k 2≥0}，且A ⊆B ，试求k 的取值范围．3．不等式(m 2－2m －3)x 2－(m －3)x －1＜0的解集为R ，求实数m 的取值范围． 4．已知二次函数y ＝x 2＋px ＋q ，当y ＜0时，有－21＜x ＜31，解关于x 的不等式qx 2＋px＋1＞0．5．6. 设()()f x ax bx c a =++≠20，若()f 01≤，()f 11≤，()f －11≤, 试证明：对于任意-≤≤11x ，有()f x ≤54.7.（经典题型，非常值得训练） 设二次函数()()02>++=a c bx ax x f ，方程()f x x -=0的两个根x x 12,满足ax x 1021<<<. 当()1,0x x ∈时，证明()1x x f x <<.8. 已知关于x 的二次方程x 2+2mx +2m +1=0.(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m 的范围.(2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m 的范围.9. 已知二次函数f (x )=ax 2+bx +c 和一次函数g (x )=－bx ，其中a 、b 、c 满足a >b >c ,a +b +c =0,(a ,b ,c ∈R ).(1)求证：两函数的图象交于不同的两点A 、B ； (2)求线段AB 在x 轴上的射影A 1B 1的长的取值范围. 10.已知实数t 满足关系式33loglog ayat aa= (a >0且a ≠1)(1)令t=a x,求y =f (x )的表达式；(2)若x ∈(0,2]时，y 有最小值8，求a 和x 的值.11.如果二次函数y =mx 2+(m －3)x +1的图象与x 轴的交点至少有一个在原点的右侧，试求m 的取值范围.12.二次函数f (x )=px 2+qx +r 中实数p 、q 、r 满足mr m q m p ++++12=0,其中m >0,求证：(1)pf (1+m m )<0;(2)方程f (x )=0在(0，1)内恒有解.13.一个小服装厂生产某种风衣，月销售量x (件)与售价P (元/件)之间的关系为P =160－2x ,生产x 件的成本R =500+30x 元.(1)该厂的月产量多大时，月获得的利润不少于1300元？(2)当月产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少元？14. 已知a 、b 、c 是实数，函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c ，g(x)＝ax ＋b ，当－1≤x ≤1时，|f(x)|≤1．(1)证明：|c|≤1；(2)证明：当－1≤x ≤1时，|g(x)|≤2；15. 设二次函数()()f x ax bx c a =++>20，方程()f x x -=0的两个根x x 12,满足0112<<<x x a. 且函数()f x 的图像关于直线x x =0对称，证明：x x 012<.16. 已知二次函数)0,,(1)(2>∈++=a R b a bx ax x f ，设方程x x f =)(的两个实数根为1x 和2x .（1）如果4221<<<x x ，设函数)(x f 的对称轴为0x x =，求证：10->x ； （2）如果21<x ，212=-x x ，求b 的取值范围.17. 设0232=++++=c b a .c bx ax )x (f 若,00>)(f ，01>)(f ,求证：(Ⅰ) a ＞0且－2＜ba ＜－1；(Ⅱ)方程0=)x (f 在（0，1）内有两个实根.18. 已知二次函数的图象如图所示：（1）试判断 及 的符号；（2）若|OA|＝|OB|，试证明。

19. 为何值时，关于 的方程 的两根：（1）为正数根；（2）为异号根且负根绝对值大于正根；（3）都大于1；（4）一根大于2，一根小于2；（5）两根在0，2之间。

20. 证明关于 的不等式 与 ，当为任意实数时，至少有一个桓成立。

21. 已知关于 的方程 两根为 ，试求的极值。

22. 若不等式2282001x x m x m x -+<--对一切x 恒成立，求实数m 的范围.23. 设不等式ax 2+bx+c>0的解集是{x|a<x<β}(0<a<β),求不等式cx 2+bx+a<0的解集.答案1.解：(1)原不等式可化为：,0)1)((<--x a x 若a ＞1时，解为1＜x ＜a ，若a ＞1时， 解为a ＜x ＜1，若a =1时，解为φ(2)△=162-m ．①当时或即440162>-<>-m m m ，△＞0．方程0222=++mx x 有二实数根：.416,4162221-+-=---=m m x m m x∴原不等式的解集为.416416|22⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-+->---<m m x m m x x 或 ①当m =±4 时，△=0，两根为.421m x x -==若,4=m 则其根为－1，∴原不等式的解集为{}1,|-≠∈x R x x 且． 若,4-=m 则其根为1，∴原不等式的解集为{}1,|≠∈x R x x 且． ②当－4＜4<m 时，方程无实数根．∴原不等式的解集为R ．2．解：}0)]1()][13([|{≥+---=k x k x x A ，比较,1,13的大小+-k k因为),1(2)1()13(-=+--k k k(1)当k ＞1时，3k －1＞k ＋1，A={x |x ≥3k －1或x 1+≤k }. (2)当k =1时，x R ∈.(3)当k ＜1时，3k －1＜k ＋1，A={}131|+≤+≥k x k x x 或.B 中的不等式不能分解因式，故考虑判断式k k k k 4)(4422-=+-=∆， (1)当k =0时，R x ∈<∆,0. (2)当k ＞0时，△＜0，x R ∈. (3)当k ＜0时，k k x k k x -+≥--≤>∆或,0.故：当0≥k 时，由B=R ，显然有A B ⊆，当k ＜0时，为使A B ⊆，需要⇒⎪⎩⎪⎨⎧-+≥+--≤-kk k kk k 113k 1-≥，于是k 1-≥时，B A ⊆. 综上所述，k 的取值范围是：.010<≤-≥k k 或3..解： (１)当m 2－2m －3＝0，即m ＝3或m ＝－1时，①若m ＝3，原不等式解集为R②若m ＝－1，原不等式化为4x －1＜0 ∴原不等式解集为｛x ｜x ＜41＝，不合题设条件.(２)若m 2－2m －3≠0，依题意有⎪⎩⎪⎨⎧<--+-=∆<--0)32(4)3(032222m m m m m 即⎪⎩⎪⎨⎧<<-<<-35131m m ∴－51＜m ＜3综上，当－51＜m ≤3时，不等式(m 2－2m －3)x 2－(m －3)x －1＜0的解集为R .4..解： 由已知得x 1＝－21，x 2＝31是方程x 2＋px ＋q =0的根，∴－p =－21＋31 q =－21×31∴p ＝61，q ＝－61，∴不等式qx 2＋px ＋1＞0即－61x 2＋61x ＋1＞0 ∴x 2－x －6＜0，∴－2＜x ＜3.即不等式qx 2＋px ＋1＞0的解集为｛x ｜－2＜x ＜3｝.5.．解：由不等式012>++p qx x p的解集为{}42|<<x x ，得2和4是方程012=++p qx x p的两个实数根，且01<p．(如图)∴.04242012<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅-=+<p p pq P解得.223,22=-=q P6. 解：∵ ()()()c f c b a f c b a f =++=+-=-0,1,1,∴ ()()()()0)),1()1((21),0211(21f c f f b f f f a =--=--+=,∴ ()()()()()222102121x f x x f x x f x f -+⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=.∴ 当01≤≤-x 时， ()()()()222222222221101221(1)22221551().244x x x x fx f f f xx x x x x x x x x x x x x +-≤⋅+-⋅+⋅-⎛⎫⎛⎫+-+-≤++-=-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=--+=-++≤当10-≤≤x 时，()()()()222102121xf x x f x x f x f -⋅+-⋅-++⋅≤2222221(1)2222x x x x x x x x xx ⎛⎫⎛⎫+-+-+≤++-=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭221551().244x x x =-++=--+≤7. 证明：由题意可知))(()(21x x x x a x x f --=-.ax x x 1021<<<<,∴ 0))((21>--x x x x a ,∴ 当()x x ∈01,时，x x f >)(.又)1)(())(()(211211+--=-+--=-ax ax x x x x x x x x a x x f , ,011,0221>->+-<-ax ax ax x x 且∴ 1)(x x f <,综上可知，所给问题获证.yxo248. 解：(1)条件说明抛物线f (x )=x 2+2mx +2m +1与x 轴的交点分别在区间(－1，0)和(1，2)内，画出示意图，得⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧->-<∈-<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+=<+=>=-<+=65,21,21056)2(,024)1(,02)1(,012)0(m m R m m m fm f f m f∴2165-<<-m .(2)据抛物线与x 轴交点落在区间(0，1)内，列不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-<≥∆>>10,0,0)1(,0)0(m f f⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<--≤+≥->->⇒.01,2121,21,21m m m m m 或(这里0<－m <1是因为对称轴x =－m 应在区间(0，1)内通过)9. (1)证明：由⎩⎨⎧-=++=bxy cbx ax y 2消去y 得ax 2+2bx +c =0Δ=4b 2－4ac =4(－a －c )2－4ac =4(a 2+ac +c 2)=4［(a +43)22+c c 2］∵a +b +c =0,a >b >c ,∴a >0,c <0 ∴43c 2>0,∴Δ>0,即两函数的图象交于不同的两点.(2)解：设方程ax 2+bx +c =0的两根为x 1和x 2,则x 1+x 2=－ab 2,x 1x 2=ac .|A 1B 1|2=(x 1－x 2)2=(x 1+x 2)2－4x 1x 2]43)21[(4]1)[(44)(4444)2(2222222++=++=---=-=--=ac ac a c a acc a aacb ac a b∵a >b >c ,a +b +c =0,a >0,c <0 ∴a >－a －c >c ,解得ac ∈(－2,－21)∵]1)[(4)(2++=ac acacf 的对称轴方程是21-=a c .ac ∈(－2,－21)时，为减函数∴|A 1B 1|2∈(3,12),故|A 1B 1|∈(32,3).10. .解：(1）由log a33logayat t=得log a t －3=log t y －3log t a由t =a x知x =log a t ，代入上式得x －3=xxya3log-,∴log a y =x 2－3x +3，即y =a 332+-x x (x ≠0).(2)令u =x 2－3x +3=(x －23)2+43 (x ≠0),则y =a u①若0＜a ＜1,要使y =a u 有最小值8， 则u =(x －23)2+43在(0，2]上应有最大值，但u 在(0，2]上不存在最大值.②若a >1,要使y =a u 有最小值8，则u =(x －23)2+43,x ∈(0,2]应有最小值∴当x =23时，u mi n =43,y mi n =43a由43a =8得a =16.∴所求a =16,x =23.11.解：∵f (0)=1>0(1)当m ＜0时，二次函数图象与x 轴有两个交点且分别在y 轴两侧，符合题意.(2）当m >0时，则⎪⎩⎪⎨⎧>-≥∆030mm 解得0＜m ≤1综上所述，m 的取值范围是{m |m ≤1且m ≠0}.12.证明：(1)])1()1([)1(2r m m q m m p p m m pf ++++=+])2()1()1()2([]2)1([]1)1([22222+++-+=+-+=++++=m m m m m m p m p m pm pm mr m qm pm pm)2()1(122++-=m m pm,由于f (x )是二次函数，故p ≠0,又m >0,所以，pf (1+m m )＜0.(2)由题意，得f (0)=r ,f (1)=p +q +r①当p ＜0时，由(1）知f (1+m m )＜0若r >0,则f (0)>0,又f (1+m m )＜0,所以f (x )=0在(0，1+m m )内有解;若r ≤0,则f (1)=p +q +r =p +(m +1)=(－mr m p -+2)+r =mr m p -+2>0,又f (1+m m )＜0,所以f (x )=0在(1+m m ,1)内有解.②当p ＜0时同理可证.13..解：(1）设该厂的月获利为y ,依题意得y =(160－2x )x －(500+30x )=－2x 2+130x －500由y ≥1300知－2x 2+130x －500≥1300∴x 2－65x +900≤0，∴(x －20)(x －45)≤0，解得20≤x ≤45 ∴当月产量在20~45件之间时，月获利不少于1300元. (2）由(1）知y =－2x 2+130x －500=－2(x －265)2+1612.5∵x 为正整数，∴x =32或33时，y 取得最大值为1612元， ∴当月产量为32件或33件时，可获得最大利润1612元.14. 解 (1)|c|＝|f(0)|≤1(因为0∈[－1，1])．所以当－1≤x ≤1时，15. 解：由题意 ()c x b ax x x f +-+=-)1(2.它的对称轴方程为ab x 21--=由方程()f x x -=0的两个根x x 12,满足0112<<<x x a, 可得,121021a x ab x <<--<<且ab x x a b 212121---=---,∴ab a ab x x ab 211212121---<---=---，即 1x a b<-， 而ab x 20-=故 x x 012<.16. 解：设1)1()()(2+-+=-=x b ax x x f x g ，则0)(=x g 的二根为1x 和2x .（1） 由0>a 及4221<<<x x ，可得 ⎩⎨⎧><0)4(0)2(g g ，即 ⎩⎨⎧>-+<-+034160124b a b a ，即 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+⋅--<-⋅+,043224,043233a a b a a b两式相加得12<a b，所以，10->x ; （2）由aa b x x 4)1()(2221--=-, 可得 1)1(122+-=+b a .又0121>=ax x ，所以21,x x 同号.∴21<x ，212=-x x 等价于⎪⎩⎪⎨⎧+-=+<<<1)1(1220221b a x x 或⎪⎩⎪⎨⎧+-=+<<-<1)1(1202212b a x x , 即 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+>>1)1(120)0(0)2(2b a g g 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+>>-1)1(120)0(0)2(2b a g g解之得 41<b 或47>b .17. 证明：（I ）因为(0)0,(1)0f f >>，所以0,320c a b c >++>. 由条件0a b c ++=，消去b ，得0a c >>；由条件0a b c ++=，消去c ，得0a b +<，20a b +>. 故21ba-<<-.（II ）抛物线2()32f x ax bx c =++的顶点坐标为23(,)33b ac b aa--，在21b a-<<-的两边乘以13-，得12333b a<-<.又因为(0)0,(1)0,f f >>而22()0,33b a c acf aa+--=-<所以方程()0f x =在区间(0,)3b a-与(,1)3b a-内分别有一实根。