向量内积的坐标运算与度量公式
平面向量的内积
平面向量的内积平面向量的内积概念解释内积是向量的一种运算，也叫点积。
对于两个向量a和b，它们的内积可以表示为a·b，其中“·”表示内积符号。
在平面直角坐标系中，向量a和b的内积可以表示为a·b=|a||b|cosθ，其中|a|和|b|分别表示向量a和b的模长，θ表示两个向量之间的夹角。
性质1. 内积具有交换律：a·b=b·a2. 内积具有分配律：(c+a)·b=c·b+a·b3. 内积具有结合律：k(a·b)=(ka)·b=a·(kb)4. 如果两个向量的夹角为90度，则它们的内积为0。
5. 如果两个向量不共线，则它们的内积不为0。
6. 如果一个向量与自身做内积，则结果为该向量模长的平方。
应用1. 向量投影通过计算一个向量在另一个向量上的投影长度，可以得到这两个向量之间夹角的余弦值。
这在计算机图形学中非常常见。
2. 判断两条直线是否垂直如果两条直线所对应的向量垂直，则它们的内积为0。
3. 计算向量的模长通过向量的内积公式，可以计算出一个向量的模长。
4. 计算两个向量之间的夹角通过向量的内积公式，可以计算出两个向量之间的夹角。
5. 判断两条直线是否平行如果两条直线所对应的向量平行，则它们的内积为两个向量模长之积乘以它们之间夹角的余弦值。
6. 判断三角形是否直角三角形如果一个三角形中有一条边与另一条边垂直，则这两条边所对应的向量垂直，它们的内积为0。
如果这个三角形中有两条边所对应的向量垂直，则这个三角形是直角三角形。
总结平面向量内积是一种非常重要且常用的运算，它不仅可以用于计算向量投影、判断两条直线是否垂直或平行、计算夹角等问题，还可以用于解决几何问题和物理问题。
因此，在学习数学和物理时，掌握平面向量内积是非常重要和必要的。
向量数量积的坐标运算与度量公式
02
向量数量积的性质
向量数量积的交换律
总结词
向量数量积的交换律是指两个向量的数量积与其顺序无关。
详细描述
根据向量数量积的定义，向量$mathbf{A}$和$mathbf{B}$的数量积可以表示为$mathbf{A} cdot mathbf{B}$ 或$mathbf{B} cdot mathbf{A}$，其结果相同。这意味着交换向量的顺序不会改变数量积的值。
向量数量积的分配律
总结词
向量数量积的分配律是指数量积满足分 配性质。
VS
详细描述
根据向量数量积的分配律，对于任意两个 向量$mathbf{A}$和$mathbf{B}$以及标 量$k$，有$k(mathbf{A} cdot mathbf{B}) = (mathbf{A}k) cdot mathbf{B} = mathbf{A} cdot (mathbf{B}k)$。这意味 着数量积满足分配性质，可以与标量进行 分配运算。
分配律
$(overset{longrightarrow}{a} + overset{longrightarrow}{b}) cdot overset{longrightarrow}{c} = overset{longrightarrow}{a} cdot overset{longrightarrow}{c} + overset{longrightarrow}{b} cdot overset{longrightarrow}{c}$。
向量数量积的坐标表示
坐标表示
向量$overset{longrightarrow}{a} = (a_1, a_2, ..., a_n)$和 $overset{longrightarrow}{b} = (b_1, b_2, ..., b_n)$的数量积为$a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_nb_n$。
2.3.2、2.3.3向量积的运算公式及度量公式概述.
张喜林制2.3.2 向量数量积的运算律2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式考点知识清单1．向量数量积的运算律： (1)交换律： (2)分配律：(3)数乘向量结合律： 2．常用结论：=+2))(1(b a =-2))(2(b a=-⋅+)())(3(b a b a3．两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和，即若=a ),,(21a a ),,(21b b b =则=⋅b a 4．设).,(),,(2121b b b a a a == 如果,b a ⊥则 如果,02211=+b a b a 则对于任意实数k ，向量),(12b b k -与向量),(21b b 垂直．5．向量),,(),,(2121b b b a a a ==则=||a ,cos a <>=b6．若),,(),,(2211y x B y x A 则),,(1212y y x x AB --=所以=||AB要点核心解读1．向量数量积的运算律 a b b a ⋅=⋅)1(（交换律）； )()())(2(b a b a b a λλλ⋅=⋅=⋅（结合律）； c b c a c b a ⋅+⋅=⋅+))(3(（分配律）． 2．向量数量积的运算律的证明a b b a ⋅=⋅)1(（交换律）证明：,,cos ||||,cos ||||a b a b a b b a b a b a ⋅>=<>=<=⋅.a b b a ⋅=⋅∴)()()()2(b a b a b a λλλ⋅=⋅=⋅（结合律）证明：.,cos ||||)(><=⋅b a b a b a λλ①.,cos ||||)(><=⋅b a b a b a λλλ②当0>λ时，a λ与a 同向，),,(,b a b a >=<λ.,cos ||||)(><=⋅∴b a b a b a λλ当0=λ时，,00)0()(=⋅=⋅=⋅b b a b a λ,0,cos ||||>=<b a b a λ.,cos ||||)(><=⋅∴b a b a b a λλ,0时当<λb a 与λ反向，),,,(b a b a <->=πλ],cos[||||)()(><--=⋅∴b a b a b a πλλ],cos [||||><--=b a b a λ .,cos ||||><=b a b a综合以上可得.,cos ||||)(><=⋅b a b a b a λλ ③由②同理可证得：.,cos ||||)(><=b a b a b a λλ综合以上可得：.||||)()()(b a b a b a b a λλλλ=⋅=⋅=⋅.,cos ><b ac b c a c b a ⋅+⋅=⋅+))(3(（分配律）证明：作轴L 与向量c 的单位向量0c 平行． 如图2-3 -2 -1，作==a ,,b 则.b a +=设点0、A 、B 在轴L 上的射影为、O ,//B A 、跟据向量的数量积的定义有,00/c a c OA ⋅=⋅= ,00//c b c AB B A ⋅=⋅== ,)(00/c b a c OB OB ⋅+=⋅=但对轴上任意三点,//B A O 、、都有,0////B A A OB += 即,)(000c b c a c b a ⋅+⋅=⋅+ 上式两边同乘以|,|c 由c c c =0||得：.)(c b c a c b a ⋅+⋅=⋅+∴ 得证．3．关于向量数量积的运算律需要注意的几点(1)数量积是由向量的长度和夹角来确定的，它对于这两个向量是对称的，即与次序无关，因而有交换律．.a b b a ⋅=⋅(2)从力做功情况来看，若力增大几倍，则功也增大几倍，而当力反转方向时，功要变号，于是有).()(b a b a ⋅=⋅λλ(3)两个力在同一物体上所做的功等于合力所做的功，于是有分配律.)(2121b a b a b a a ⋅+⋅=⋅+(4)值得注意的是，平面向量的数量积不满足结合律，.a C b a c b ⋅⋅=⋅)()(是错误的，这是因为c b b a ⋅⋅与都是数量，所以c b a c b a ⋅⋅⋅⋅)()(与分别表示a 的共线向量和c 的共线向量，当然就不能相等．(5)由,)()(d b c b d a c a d c b a ⋅+⋅+⋅+⋅=+⋅+可得向量的三个运算公式：,||||)()(22b a b a b a -=-⋅+,||2||)(222b b a a b a +⋅+=+ .||2||)(222b b a a b a +⋅-=-4．向量内积的坐标运算建立正交基底}.,{21e e 已知),(),,(2121b b b a a a ==，则.)()(121111122112211e b a e e b a e b e b e a e a b a +⋅=+⋅+=⋅.2122e b a e +⋅⋅+22221e e b a e因为,0,112212211=⋅=⋅=⋅=⋅e e e e e e e e 所以我们得到数量积的坐标表达式：5．用向量的坐标表示两个向量垂直的条件 设),,(),,(2121b b b a a a == 则.02211=+⇔⊥b a b a b a 6．向量的长度、距离和夹角公式(1)如图2-3 -2 -2，已知,1a a （=),2a 则=⋅=⋅=),(),(||21212a a a a a a a .2221a a +因此①这就是根据向量的坐标求向量长度的计算公式， 这个公式用语言可以表述为：向量的长度等于它的坐标平方和的算术平方根．(2)如果),,(),,(2211y x B y x A 则),,(1212y y x x AB --=从而②AB 的长就是A 、B 两点之间的距离，因此②式也是求两点的距离公式．这与我们在解析几何初步中得到的两点距离公式完全一样．(3)设),,(),,(2121b b b a a a == 则两个向量夹角余弦的坐标表达式7．如何运用坐标来解决垂直问题(1)设两非零向量),,(),,(2211y x b y x a ==则⇔⊥b a .02121=+y y x x利用向量垂直的坐标的条件，可使向量垂直问题代数他，从而有利于问题的解决．例如：已知： <<<<==βαββαα0)sin ,(cos ),sin ,(cos b a ),π则b a +与b a -是否互相垂直？并说明理由．解：由已知),sin ,(cos ),sin ,(cos ββαα==b a 有=+b a ),sin sin ,cos (cos βαβα++),sin sin ,cos (cos βαβα--=-b a又++-+=-<+αβαβα(sin )cos )(cos cos (cos )).(b a b a ).sin β)sin (sin βα-.0sin sin cos cos 2222=-+-=βαβα所以).()(b a b a -⊥+(2)平面向量数量积的坐标形式，一定要注意a 与b 的数量积等于两个向量对应坐标乘积之和．在用坐标形式判断两个向量垂直时，要与判断两个向量平行的坐标条件相区别：.0//;012212121=-⇔=+⇔⊥y x y x b a y y x x b a8．利用数量积求两个向量的夹角一定要注意两个向量的数量积为正不能得到它们的夹角一定为锐角，同样，两个向量的数量积为负也不能得到它们的夹角一定为钝角．设a ，b 为非零向量，如果,0>⋅b a 那么a ，b 的夹角为锐角或a ，b 同向，反之也成立；如果,0<⋅b a 那么a ，b 的夹角为钝角或a ，b 反向，反之也成立，典例分类剖析考点1 判断向量运算的正误[例1] 给出下列命题：①设a 、b 、c 是非零向量，则c b a ⋅⋅)(与c 共线；②若=a λ,R b ∈<λλ 且),0=/λ则0;=⋅=b a b a ③与a ⊥b 是等价命题；④若,.c b c a =⋅则;b a =⑤若a 与b 共线，则.||a b a =⋅ |;|b ⑥若.0<⋅b a 则),(b a 是钝角．其中真命题为 （填序号）．[解析] 向量的加、减、数乘、数量积运算及运算律要理解透彻；注意有些命题在特殊情况下是否成立．①因为a ×b 是一个实数，不妨记作λ，故.)(λ=⋅⋅c b a ,//c c C λ=所以①正确．,0)(0=-⇔=-⇔=b a b a b a λλλλλ②因为,0=/λ所以,0=-b a 所以,b a =故②正确．③因为,c o s ||||,0θb a b a b a =⋅=⋅所以0||0||==b a 或或,0cos =θ所以0=a 或0=b 或.90 =θ又因为规定O 与任意向量垂直，所以.b a ⊥反之，.0cos 90,a b a b a ⇔=⇔>=⇔<⊥θ ,090cos ||||== b a b 故③正确．c b c a ⋅=⋅④不一定有.b a =例如,,C b c a ⊥⊥且,2b a =此时,0=⋅=⋅c b C a 但.b a =/故④错．⑤a 与b 共线b a 与⇒方向相同或方向相反0,>=⇒<b a 或.||||),(b a b a b a ±=⋅⇒=π故⑤错， ⑥因为,cos ||||,0θb a ab b a ⋅=<⋅所以,0cos <θ所以),,2(ππθ∈所以θ为钝角或平角，故⑥错．[答案] ①②③[点拨] 此例题为概念综合题，其中③是重要结论，注意深刻理解，灵活应用；⑤⑥的完整形式应用也较广泛，注意特殊情况1．已知a 、b 、c 是三个非零向量，则下列命题中真命题的个数为( )．;//||||||b a b a b a ⇔⋅=⋅①②a 、b 反向.||a b a -=⋅⇔|;|b |;|||b a b a b a -=+⇔⊥③④=a;c b c a b ⋅=⋅⇔⑤.000==⇔=⋅b a b a 或 1.A 2.B 3.C 4.D考点2 向量的混合运算[例2] (1)已知,2||,4||,120==>=⋅<b a b a则+a |=+⋅-+)()2(|b a b a b(2)若向量a 、b 、c 满足,0=++c b a 且,1||,3||==b a .4||=c 则=⋅+⋅+⋅a c c b b a [解析] （1）)()2(b a b a b a +⋅-++2222)(b a b b a a b a -⋅-⋅+++= 2222b b a a b b a a -⋅-++⋅+=222120cos 24164120cos 24216⨯-⨯⨯-++⨯⨯+= .1232+=(2)根据已知条件，可知a 与b 同向，c 与a+b 反向．解法一：由已知得.|,|||||b a c b a c --=+=可知向量a 与b 同向，而向量c 与它们反向，-=++=⋅+⋅+⋅∴3180cos 12180cos 40cos 3 o a c c b b a .13124-=-解法二： ),(2)(2222a c cb b ac b a c b a ⋅+⋅+⋅+++=++a c cb b a ⋅+⋅+⋅∴2)()(2222c b a c b a ++-++=2)413(0222++-=.13-=[答案] 2132)1( + 13)2(- [点拨] ①利用公式2||a a a =⋅和向量数量积的运算性质计算．②(2)问解法二是利用2222)(b b a a b a +⋅+=+推广到=++2)(C b a +++222C b a)(2a c c b b a ⋅+⋅+⋅予以解答的．2．已知,21||,5||,4||=+==b a b a 求：;)1(b a ⋅)2()2)(2(b a b a -⋅+的值，考点3 利用数量积及运算律求横[例3] 已知向量a 、b 满足,1||||==b a 且,3|23|=-b a 求|3|b a +的值．[解析] 通过数量积a ×b 来探求已知条件3|23|=-b a 与目标式|3|b a +之间的关系..1||||,1||||22==∴==b a b a又,9)23(,3|23|2=-∴=-b a b a,9||412||922=+⋅-∴b b a a 将,1||||22==b a 代入有,31=⋅b a而 ,1213169||6||9)3(222=+⨯+=+⋅+=+b b a a b a.32|3|=+∴b a[点拨] 解题过程中要注意模与数量积之间的转换．3．已知向量a 、b 、c 满足：.0a c b a ，（=++:)(:)c b b ⋅=⋅)(a c ),23(:3:1-当1||=a 时；求||b 及||c 的值．考点4 向量夹角问题[例4] 已知a ，b 是两个非零向量，且|,|||||b a b a +==求向量b 与b a -的夹角．[解析] 我们可以利用向量减法的平行四边形法则，画出以a 、b 为邻边的平行四边形．如图2-3 -2 -3所示，若,,b a ==则=,,b a D b a -=+由+==a b a ||||||,b 可知,60oABC =∠b 与D所成角是.150我们还可以利用数量积的运算，得出b 与a-b 的央角，为了巩固数量积的有关知识，我们采用第二种方法解题，由||||)(,cos b a b b a b b a b --⋅>=-<作为切入点，.)(|,||||,|||22b a b a b b a b +=∴=+=.||21||)(2||||2222b b a b b a a b -=⋅+⋅+=∴ 而.||23||||21)(2222b b b b a b b a b -=--=-⋅=-⋅ ①由+-⨯-=+⋅-=-22222||)21(2||)(2)(b b b b a a b a ,|31||22b b =而.||3||,||3)(||222b b a b b a b a =-∴=-=- ②,||||)(,cos b a b b a b b a b --⋅>=-<代入①②得⋅-=⋅->=-<23||3||||23,cos 2b b b b a b 又 ⋅=-∴>∈-<65),(],,0[,ππb a b b a b 4．已知.3||,4||==b a(1)若a 与b 的夹角为,600求+-⋅+a b a b a |),3()2(|;3||,2b a b -(2)若,61)2()32(=+⋅-b a b a 求a 与b 的夹角． 考点5 垂直问题[例5] 已知,4||,5||==b a 且a 与b 的夹角为,60问：当且仅当k 为何值时，向量b ka -与b a 2+垂直？[解析] 利用,0=⋅⇔⊥b a b a 得到关于k 的方程，通过解此方程得到k 的值．于是,4||,5||==b a且a 与b 的夹角为,60o.10214560cos ||||=⨯⨯==⋅∴ b a b a 又向量b ka -与b a 2+垂直，.0)2()(=+⋅-∴b a b ka 则有k ,0||2)12(||22=-⋅-+b b a k a 即,042)12(10252=⨯--+k k解得⋅=1514k [点拨] 非零向量a ，b 若满足,0=⋅b a 则,b a ⊥反之也成立．根据这一结论我们可以解决两类问题：(1)由垂直条件求参数的值；(2)利用题谩条件证明向量垂直或直线垂直．5．已知a 、b 都是非零向量，且b a 3+与b a 57-垂直，b a 4-与b a 27-垂直，求a 与b 的夹角． 考点6 向量线性运算与数量积的综合问题[例6] △ABC 三边的长分别为a 、b 、c ，以A 为圆心，r 为半径作圆，如图2 -3 -2 -4，PQ 为直径，试判断P 、Q 在什么位置时，C ⋅有最大值？[解析] 由三角形法则构造P B 及Q C 的数量积转化为实数范围内求最大值，,.Q ,B B CA QA C A AP P =+-=即,--=--=A A C---=⋅∴AC AB C B ().AP (.Q P ⋅+⋅-=B A AC AP AP .)()22.r AC AB AP AB AP AC -⋅=⋅+- =-+)(=⋅+-⋅r AC ..2..cos ||.||2r A AB +-.cos 2+-=r A bc ⋅当与同向时，⋅最大为.||.||ra AP =即当QP 与共线且同方向时，C BP ⋅有最大值+A bc cos .2r ar -[点拨] 利用||||b a b a ⋅≤⋅求最值，但必须先构造出..C B ⋅6．如图2 -3 -2 -5，在Rt△ABC 中，已知,a BC =若长为2a 的线段PQ 以点A 为中心，问：Q B P 与 的夹角θ为何值时，.CQ BP ⋅的值最大？并求出这个最大值，考点7 向量内积的坐标运算[例7] 已知),3,1(),1,2(-==b a 若存在向量c ，使得：.9,4-=⋅=⋅C b c a 试求向量c 的坐标． [解析] 设),,(y x c =则由4=⋅c a 可得;42=+y x 又由9-=⋅c b 可得.93-=+-y x于是有⎩⎨⎧-=+-=+,93,42y x y x 解得⎩⎨⎧-==⋅.2,3y x⋅-=∴)2,3(c[点拨] 已知两向量a 、b ，可以求出它们的数量积a ×b ，但是反过来，若已知向量a 及数量积a ×b ，却不能确定b ．需要像本例一样，已知两向量，及这两个向量与第三个向量的擞量积，则我们可利用数量积的坐标表示，通过解方程组的方法，确定第三个向量．7．巳知,1),4,2(),3,2(-=-==（c b a ),2-求.)()(),)((,2b a C b a b a b a b a +⋅+⋅-+⋅ 考点8 运用坐标运算处理垂直问题[例8] 在△ABC 中，),,1(),3,2(k ==且△ABC 的一个内角为直角，求k 的值． [解析] 题目没有明确哪一个角是直角，要对三个角分别进行讨论，当90=A 时，;32,0312,0.-=∴=⨯+⨯∴=⋅k k A A当90=B =--=-==)3,21(,0k A B ),3,1(--k,0)3(3)1(2=-⨯+-⨯∴k;311=∴k 当oC 90=时，,0)3(1,0C C =-+-∴=⋅k k B A⋅±=∴2133k 32-=∴k 或⋅±2133311或8．(1)已知点A(1，2)和B(4，一1)，问在y 轴上是否存在一点C ，使得.90=∠ACB 若不存在，请说明理由；若存在，求出点C 的坐标．(2)已知),2,4(=a 求与a 垂直的单位向量的坐标，考点9 运用坐标运算求向量的夹角[例9] 已知a 、b 是两个非零向量，同时满足==b a |||,|b a -求a 与b a +的夹角．[解析] 解法一：根据,|||||,|||22b a b a ==有又由|,|||b a b -=得,||.2||||222b b a a b +-=.||212a b a =⋅∴ 而,||3||2||||2222a b b a a b a =+⋅+=+.||3||a b a =+∴设a 与b a +的夹角为θ，则,23||3||||21||||.||)(cos 22=⋅+=++=a a a a b a a b a a θ .30,1800o o =∴≤≤θθ解法二：设向量),,(),,(2211y x b y x a ==.|,|||22222121y x y x b a +=+∴=由|,|||b a b -= 得),(2121212121y x y y x x +=+即⋅+=⋅)(212121y x b a 由),(3)(212)(2||2121212121212y x y x y x b a +=+⨯++=+ 得.3||211y x b a +=+设a 与b a +的夹角为θ，则⋅=+⋅⋅++++=+⋅+=233)(21)(||||)(cos 212121212121212y x y x y x y x b a a b a a t θ .30,1800 =∴≤≤θθ解法三：根据向量加法的几何意义，作图（如图2 -3 -2 -6)．在平面内任取一点O ．作B b a 0,,以==为邻边作平行四边形OACB.|,|||b a = 即|,|||=∴ 四边形OACB 为菱形，OC 平分,AOB ∠这时,,0b a BA b a C -=+=而|,|||||b a b a -==即 .||||||==∴ △AOB 为正三角形，则,60 =∠AOB 于是,30 =∠AOC即a 与b a +的夹角为.30[点拨] 基于平面向量的表示上的差异，也就是表示方法的不同，才产生了以上三种不同的解法．9．(1)已知),1,1(),432,2(=-=b a 求a 与b 的夹角．(2)已知),1,1(),2,1(==b a 且a 与b a λ+的夹角为锐角，求实数A 的取值范围，考点10 向量坐标运算的综合应用[例10] 已知),23,21(),1,3(=-=b a 且存在实数k 和t ，使得,)3(2b t a x -+=,tb ka y +-=且 ,y x ⊥试求t t k 2+的最小值．[解析] 由题意可得,2)1()3(||22=-+=a,1)23()21(||22=+=b ,0231213=⨯-⨯=⋅b a 故有.b a ⊥ 由,y x ⊥知,0)(])3([2=+-⋅-+tb ka b t a即,0)3()3(2232=⋅+-+-+-b a k k t t b t t ka.00)3(1)3(22232=⋅+-+⋅-+⋅-∴k k t t t t k∴ 可得 433t t k -=故 ,47)2(41)34(41222-+=-+=+t t t t t k 即当2-=t 时，t t k 2+有最小值为⋅-47 [点拨] 向量与函数知识相结合的综合问题，关键是正确应用向量数量积的坐标形式，将其转化为函数问题，然后利用函数的相关知识来解决，10．已知向量,sin 2(),1,sin 3x b x a ==（],32,6[),1ππ∈x 记函数,)(b a x f ⋅Λ求函数)(x f 的值域．学业水平测试1．若),5,3(),2,(-==b a λ且a 与b 的夹角为钝角，则A 的取值范围是( )．),310.(+∞A ),310[+∞⋅B )310,.(-∞C )310,.(-∞D2．已知A 、B 、C 是坐标平面上的三点，其坐标分别为、)2,1(A ),1,0()1,4(-C B 、则△ABC 的形状为( )．A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．以上均不对3．给定两个向量),1,2(),4,3(-==b a 且),()(b a xb a -⊥+则x 等于( )．23.A 223.B 323.C 423.D 4．已知),1,1(),2,3(--B A 若点)21,(-x P 在线段AB 的中垂线上，则=x 5．已知,,21),1,0(),0,1(mj i b j a j i +=-===给出下列命题：①若a 与b 的夹角为锐角，则;21<m ②当且仅当21=m 时，a 与b 互相垂直；③a 与b 不可能是方向相反的向量；④若|,|||b a =则.2-=m 其中正确的命题的序号是6．求与向量)1,2(),2,1(==b a 夹角相等的单位向量c 的坐标高考能力测试（测试时间：45分钟测试满分：100分）一、选择题（5分×8 =40分）1．（2007年湖北高考题）设b a a 在),3,4(=上的投影为,225b 在x 轴上的投影为2，且,14||≤b 则b 为( )． )14,2(⋅A )72,2.(-B )72,2.(-C )8,2(⋅D 2．（2009年辽宁高考题）平面向量a 与b 的夹角为,2,60（=a=+=|2|,1||),0b a b 则( )． 3.A 32.B 4.C 12.D3．与)4,3(=a 垂直的单位向量是( ）．)53,54.(A )53,54.(--B )53,54.(-C 或)53,54(- )53,54.(D 或)53,54(-- 4．若O 为△ABC 所在平面内一点，且满足+-OB O ().OC B (,0)2=-则△ABC 的形状为( )．A ．正三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形 D.A 、B 、C 均不正确5．（2011年辽宁理）若a ，b ，c 均为单位向量，且-=⋅a b a (,0,0)()≤-⋅c b c 则||c b a -+的最大值为( )．12.-A 1.B 2.C 2.D6．（2007年重庆高考题）已知向量),5,3(),6,4(==O 且,//,0⊥则向量=0( ))72,73.(-A )214,72.(-B )72,73.(-C )214,72.(-D 7．（2010年安徽高考题）设向量),21,21(),0,1(==b a 则下列结论中正确的是( )． ||||.b a A = 22.=⋅b a B b a C -.与b 垂直 b a D //. 8．（2009年陕西高考题）在△ABC 中，M 是BC 的中点，,1A =M 点P 在AM 上且满足⋅=PA PM AP 则,2)(PC PB +等于( )．94.-A 34.-B 34.C 94.D 二、填空题f5分x4 =20分）9．（2008年江西高考题）直角坐标平面上三点,3()2,1(B A 、),7,9()2C 、-若E 、F 为线段BC 的三等分点，则=⋅F E A A10．（2008年宁夏高考题）已知平面向量,4(),3,1(=-=b a b a +-λ),2与a 垂直，则=λ11．（2010年广东高考题）若向量===c b x a ),1,2,1(),,1,1(),1,1,1(满足条件,2)2()(-=⋅-b a c 则=x12．（2011年安徽理）已知向量a ，b 满足=-⋅+)()2(b a b a ,6-且,2||,1||==b a三、解答题（10分×4 =40分）13．(1)已知,120,,1||,1||ob a b a >=<==计算向量b a -2在向里b a +方向上的投影．(2)已知,4||,6||==b a a 与b 的夹角为,60 求).2(b a +)3(b a -的值．14．已知向量.),1,3(),1,2(),2,3(R t c b a ∈-==-=(1)求||tb a +的最小值及相应的t 值；(2)若tb a -与c 共线，求实数t 的值．15.如图2-3 -2 -7，四边形ABCD 是正方形，P 是对角线BD 上的一点，PECF 是矩形，用向量法证明： ;)1(EF PA =.)2(EF PA ⊥16．平面内有向量)1,2(),1,5(B ),7,1(===OP O OA 点X 为直线OP 上的一个动点．(1)当≡⋅X 取最小值时，求O 的坐标；(2)当点X 满足(I)的条件和结论时，求AXB ∠cos 的值，。
向量的坐标运算法则
向量的坐标运算法则向量是数学中的一个重要概念，可以用来描述物体的位置和运动。
在二维平面上，一个向量可以用两个数值（即x和y坐标）表示。
本文将介绍向量的坐标运算法则，包括坐标加法、坐标减法、数乘坐标、坐标点乘和坐标叉乘等方面。
1. 坐标加法定义：已知两个向量a和b，求向量c，使得c=a+b。
公式：c(x,y)=a(x,y)+b(x,y)坐标加法就是将两个向量的对应坐标相加，得到一个新的向量。
例如，如果向量a的坐标为(1，2)，向量b的坐标为(3，4)，则向量c 的坐标为(1+3，2+4)=(4，6)。
2. 坐标减法定义：已知两个向量a和b，求向量c，使得c=a-b。
公式：c(x,y)=a(x,y)-b(x,y)坐标减法是将两个向量的对应坐标相减，得到一个新的向量。
例如，如果向量a的坐标为(5，7)，向量b的坐标为(3，5)，则向量c的坐标为(5-3，7-5)=(2，2)。
3. 数乘坐标定义：已知向量a和实数k，求向量b，使得b=k*a。
公式：b(x,y)=k*a(x,y)数乘坐标是将一个向量的每个坐标乘以一个实数，得到一个新的向量。
例如，如果向量a的坐标为(4，5)，实数k为3，则向量b的坐标为(4*3，5*3)=(12，15)。
4. 坐标点乘定义：已知两个向量a和b，求实数c，使得c=a*b。
公式：c=a*b坐标点乘也称为内积或标量积，它是将两个向量的对应坐标相乘，并求和得到一个实数。
例如，如果向量a的坐标为(3，4)，向量b的坐标为(5，6)，则它们的内积为(3*5+4*6)=57。
内积是一个重要的概念，它可以用来表示两个向量的夹角以及向量的长度。
5. 坐标叉乘定义：已知两个向量a和b，求向量c，使得c=a×b。
公式：c(x,y)=a(x,y)×b(x,y)坐标叉乘也称为外积或向量积，它是通过两个向量的对应坐标之间乘积得到一个新的向量。
例如，如果向量a的坐标为(1，2)，向量b的坐标为(3，4)，则它们的外积为(1*4-2*3)=-2。
向量数量积的坐标运算与度量公式课件
度量公式的应用实例
1 2
计算向量之间的距离
给定向量的坐标，可以通过度量公式计算出两 个向量之间的距离。
计算点到直线的距离
给定点的坐标和直线的方程，可以通过度量公 式计算出点到直线的距离。
3
判断向量是否平行
给定两个向量的坐标，可以通过度量公式判断 它们是否平行。
度量公式的扩展应用
判断三点共线
给定三个点的坐标，可以通过度量公式判断它们 是否共线。
对于任意向量$\mathbf{a}$和$\mathbf{b}$，有$(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) = (\mathbf{b} \cdot \mathbf{a})$
用坐标计算向量数量积
对于给定向量$\mathbf{a} = (a_1,a_2,\ldots,a_n)$和$\mathbf{b} = (b_1,b_2,\ldots,b_n)$
向量数量积的坐标运算与度量公式 课件
xx年xx月xx日
目 录
• 向量数量积的基础知识 • 向量数量积的坐标运算 • 度量公式的应用 • 向量数量积与度量公式的综合应用 • 总结与展望
01
向量数量积的基础知识
向量的定义与性质
向量的定义
向量是一个既有大小又有方向的量，它可以用一个带有箭头的线段表示。
向量的性质
向量具有方向性、模和零向量等基本性质。
向量的表示与坐标化
向量的表示
一个向量可以用一个有序数对表示，称为向量的坐标表示。
向量的坐标化
将一个向量表示成一组坐标，可以通过将向量起点移到坐标原点实现。
向量数量积的概念与性质
向量数量积的性质
结合律：`(a+b)·c=a·c+b·c`
向量内积的坐标运算
向量内积的结果是一个标量，而不是向量。
向量内积的性质
交换律
$mathbf{A} cdot mathbf{B} = mathbf{B} cdot mathbf{A}$。
分配律
$(mathbf{A} + mathbf{C}) cdot mathbf{B} = mathbf{A} cdot mathbf{B} + mathbf{C} cdot mathbf{B}$。
零向量没有固定的大小和方向，其坐 标表示为$(0,0)$。
在二维平面直角坐标系中，零向量可 以表示为起点与终点的坐标相同的有 向线段，例如从点$(1,2)$到点$(1,2)$ 的有向线段。
03
CHAPTER
向量内积的坐标运算
向量内积的坐标运算公式
向量内积的坐标运算公式
假设向量$mathbf{A} = (a_1, a_2, ..., a_n)$和$mathbf{B} = (b_1, b_2, ..., b_n)$，则$mathbf{A} cdot mathbf{B} = a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_nb_n$。
物理量。
向量内积在数学中的应用
向量模的计算
向量模是向量的长度，可以通过向量内积来 计算。
向量的投影
向量投影是向量内积的一个重要应用，可以用来计 算一个向量在另一个向量上的投影长度和方向。
线性代数
向量内积在线性代数中有着广泛的应用，如 矩阵的乘法、特征值和特征向量的计算等。
向量内积在其他领域的应用
注意事项二
向量的内积运算满足交换律和分配律。即$mathbf{A} cdot mathbf{B} = mathbf{B} cdot mathbf{A}$，并且对于任意标量k，有$k(mathbf{A} cdot mathbf{B}) = (mathbf{A}k) cdot mathbf{B} = mathbf{A} cdot (mathbf{B}k)$。
7向量内积的坐标运算与公式
7向量内积的坐标运算与公式在向量代数中，内积是一种向量运算，也称为点积、数量积或标量积。
它是两个向量之间的一种运算，用于计算它们的夹角以及它们在其中一个方向上的投影。
一、7向量内积的定义给定两个7维的向量A=(a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7)和B=(b1,b2,b3,b4,b5,b6,b7)，它们的内积表示为A·B，计算如下：A·B=a1b1+a2b2+a3b3+a4b4+a5b5+a6b6+a7b7内积也可以用向量的范数表示，范数是一个向量的长度（或大小）的度量。
对于向量A和B，它们的内积等于它们的范数的乘积与夹角的余弦值的乘积：A·B = ，A，，B，cosθ其中，A，和，B，表示A和B的范数，θ表示A和B之间的夹角。
二、坐标运算坐标运算是一种将向量的内积转化为矩阵运算的方法，通过将向量转化为矩阵的列向量，可以将内积计算转化为矩阵乘法运算。
为了进行矩阵乘法运算，需要将向量转换为列矩阵。
下面以两个7维向量A和B为例进行坐标运算。
将向量A和B表示为列矩阵，即：A=[a1][a2][a3][a4][a5][a6][a7]B=[b1][b2][b3][b4][b5][b6][b7]则A·B=[a1b1+a2b2+a3b3+a4b4+a5b5+a6b6+a7b7]矩阵乘法运算的规则是：对于一个m行n列的矩阵A和一个n行p列的矩阵B，它们的乘积C是一个m行p列的矩阵。
那么，如果将向量A和B表示为列矩阵，可以使用矩阵乘法的规则进行运算，即：A·B=[a1b1+a2b2+a3b3+a4b4+a5b5+a6b6+a7b7]三、内积公式在向量代数中，有一些常见的内积公式，可以用来简化内积的计算。
1.向量A·B等于向量B·A的值，即A·B=B·A。
2.向量A·A的大小等于向量A的范数的平方，即A·A=，A，^23.如果向量A和B是垂直的（夹角为90度），那么它们的内积为0，即A·B=0。
教案运用平面向量的坐标求内积
平面向量内积的坐标表示教案章节一：向量内积的概念介绍教学目标：1. 了解向量内积的定义和几何意义。
2. 掌握向量内积的计算公式。
教学内容：1. 向量内积的定义：两个向量a和b的内积定义为a·b = |a||b|cosθ，其中θ为a和b之间的夹角。
2. 向量内积的几何意义：向量内积可以表示为两个向量的数量积，即向量a和b的模长的乘积与它们之间夹角的余弦值的乘积。
3. 向量内积的计算公式：在坐标系中，向量a和b可以表示为a = (a1, a2)和b = (b1, b2)，则它们的内积为a·b = a1b1 + a2b2。
教学活动：1. 引入向量内积的概念，通过图形和实际例子解释向量内积的定义和几何意义。
2. 引导学生理解向量内积的计算公式，并给出具体的计算例子。
作业：1. 练习计算两个向量的内积，包括坐标表示和数量积的计算。
教案章节二：向量内积的性质教学目标：1. 掌握向量内积的基本性质。
2. 学会运用向量内积的性质解决问题。
教学内容：1. 向量内积的交换律：a·b = b·a。
2. 向量内积的分配律：a·(b+c) = a·b + a·c。
3. 向量内积的数乘性质：λa·b = (λa)·b = λ(a·b)。
4. 向量内积的非负性：a·b ≥0，且当a和b夹角为0度时，a·b取最大值|a||b|。
教学活动：1. 引导学生通过实例验证向量内积的交换律、分配律和数乘性质。
2. 讲解向量内积的非负性，并解释其几何意义。
作业：1. 运用向量内积的性质计算一些具体的向量内积。
教案章节三：向量内积的应用教学目标：1. 学会运用向量内积解决实际问题。
2. 掌握向量内积在几何和物理中的应用。
教学内容：1. 向量内积在几何中的应用：计算向量的夹角、判断平行或垂直关系等。
2. 向量内积在物理中的应用：力的合成与分解、动能和势能的计算等。
向量内积的坐标运算与距离公式
向量内积的坐标运算与距离公式向量的内积，也叫点积或数量积，是一个很重要的概念，常用于几何学、物理学和工程学等领域的问题求解中。
本文将详细介绍向量内积的坐标运算和距离公式。
一、向量的内积向量的内积定义如下：对于二维向量A=(x1,y1)和B=(x2,y2)，它们的内积表示为A·B=x1*x2+y1*y2对于三维向量A=(x1,y1,z1)和B=(x2,y2,z2)，它们的内积表示为A·B=x1*x2+y1*y2+z1*z2更一般地，对于n维向量A = (x1, x2, ..., xn)和B = (y1,y2, ..., yn)，它们的内积表示为A·B = x1*y1 + x2*y2 + ... +xn*yn。
内积有以下重要的性质：1.交换律：A·B=B·A2.分配律：A·(B+C)=A·B+A·C3.结合律：(kA)·B=A·(kB)=k(A·B)，其中k是一个常数二、向量内积的坐标运算当我们给出向量的坐标时，可以通过坐标运算来计算向量的内积。
设A=(x1,y1)和B=(x2,y2)是二维向量，它们的内积可以表示为A·B=x1*x2+y1*y2例如，当A=(2,3)和B=(4,1)时，它们的内积为A·B=2*4+3*1=11设A=(x1,y1,z1)和B=(x2,y2,z2)是三维向量，它们的内积可以表示为A·B=x1*x2+y1*y2+z1*z2例如，当A=(1,2,3)和B=(4,5,6)时，它们的内积为A·B=1*4+2*5+3*6=32三、向量的距离公式向量的距离公式是用来计算两个向量之间的距离的公式。
对于二维向量A=(x1,y1)和B=(x2,y2)，它们之间的距离表示为d=√((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)。
例如，当A=(2,3)和B=(4,1)时，它们之间的距离为d=√((4-2)^2+(1-3)^2)=√8=2√2对于三维向量A=(x1,y1,z1)和B=(x2,y2,z2)，它们之间的距离表示为d=√((x2-x1)^2+(y2-y1)^2+(z2-z1)^2)。
向量内积的坐标运算与度量公式
$mathbf{u} cdot mathbf{u} geq 0$，当且仅当$mathbf{u} = mathbf{0}$时取等号。
交换律
$mathbf{u} cdot mathbf{v} = mathbf{v} cdot mathbf{u}$。
向量内积的性质
向量内积的几何意义
两个非零向量的夹角余弦值等于它们的点积除以它们的模长乘积，即$costheta = frac{mathbf{u} cdot mathbf{v}}{|mathbf{u}| |mathbf{v}|}$。
度量公式的几何意义
长度
对于任意向量$mathbf{a}$，其模长（或长度）定义为$|mathbf{a}| = sqrt{mathbf{a} cdot mathbf{a}}$，表示向量$mathbf{a}$的长度或大小。
角度
两个非零向量的夹角余弦值定义为$costheta = frac{mathbf{a} cdot mathbf{b}}{|mathbf{a}| times |mathbf{b}|}$，其中$theta$表示两向量的夹角。
欧几里得度量公式
对于任意两个向量$mathbf{a}$和$mathbf{b}$，其切比雪夫度量公式为$d(mathbf{a},mathbf{b}) = max{|a_i - b_i|}$，其中$i$表示向量的第$i$个分量。
切比雪夫度量公式
对于任意两个向量$mathbf{a}$和$mathbf{b}$，其曼哈顿度量公式为$d(mathbf{a},mathbf{b}) = |mathbf{a}^Tmathbf{a} - mathbf{b}^Tmathbf{b}|$。
定义
对于任意两个向量$mathbf{a} = (a_1, a_2, ldots, a_n)$和$mathbf{b} = (b_1, b_2, ldots, b_n)$，其内积定义为$mathbf{a} cdot mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + ldots + a_nb_n$。
内积的概念及内积公式
内积的概念及内积公式内积这个概念在数学中可是个很有趣的家伙呢！咱先来说说啥是内积。
简单来讲，内积就是两个向量之间的一种运算，通过它能得到一个数值。
想象一下，有两个向量，就像两个小伙伴，它们之间的内积就像是在计算这两个小伙伴相互作用的某种“力量”。
比如说，在二维平面上，有向量 A = (a1, a2) ，向量 B = (b1, b2) ，那它们的内积公式就是 A·B = a1*b1 + a2*b2 。
这就好比两个小伙伴 A 和 B ，各自有自己的“本事”（坐标值），通过这个公式就能算出它们一起合作能产生的“效果”（内积的值）。
我给您讲讲我曾经遇到的一件事，来帮助您更好地理解内积。
有一次，我在课堂上讲内积，有个学生就特别迷糊，一直问我：“老师，这内积到底有啥用啊？”我想了想，就跟他说：“你看啊，假如你要把一个箱子从这儿搬到那儿，你用力的方向和你移动的距离，这两个结合起来，就可以用内积来算你做了多少功。
”然后我在黑板上画了个简单的图，标上力的大小和方向，还有移动的距离，用内积公式一算，这孩子恍然大悟：“哦！原来是这样啊！”内积的应用可广泛啦！在物理学中，计算功就是一个典型的例子。
力和位移都是向量，它们的内积就能算出力对物体做功的多少。
再比如，在信号处理中，内积可以用来衡量两个信号的相似程度。
如果两个信号的内积值大，就说明它们比较相似；内积值小，就说明差异较大。
在数学里，内积还有很多有趣的性质。
比如，内积满足交换律，也就是 A·B = B·A ，这就像两个小伙伴，不管谁先谁后，相互作用的“力量”是一样的。
还有正定性，就是自己和自己的内积总是大于等于零的，而且只有当自己是零向量的时候，内积才等于零。
这就好像一个人，如果自己有真本事（不是零向量），那自己的价值（内积）肯定是正的。
内积还和向量的长度以及夹角有关系呢！两个非零向量的内积除以它们的长度的乘积，就得到了它们夹角的余弦值。
向量内积的坐标运算与距离公式(优秀版)word资料
向量内积的坐标运算与距离公式（优秀版）word资料7.4.2 向量内积的坐标运算与距离公式【教学目标】1. 掌握向量内积的坐标表示，并应用向量内积的知识解决有关长度、角度和垂直的问题．2. 能够根据平面向量的坐标，判断向量是否垂直．3. 通过学习向量的坐标表示，使学生进一步了解数形结合思想，认识事物之间的相互联系，培养学生辩证思维能力．【教学重点】向量内积的坐标表达式，向量垂直的充要条件，向量长度的计算公式的应用．【教学难点】向量内积的坐标表达式的推导，即a·b＝| a | | b | cos‹a，b›与a·b＝a1b1＋a2b2两个式子的内在联系．【教学方法】本节课采用启发式教学和讲练结合的教学方法．向量内积的坐标表达式，是向量运算内容与形式的统一．无论是向量的线性运算还是向量的内积运算，最终归结为直角坐标运算．教学中教师要引导学生抓住这条线索，不断使学生的平面向量知识系统化、条理化，从而有利于学生知识体系的形成．8.1 向量的坐标表示及其运算教学目标知识目标：了解基本单位向量、位置向量、向量的正交分解等概念；理解向量的坐标表示方法及其运算法则；掌握向量模的求法，知道模的几何意义；理解并掌握两个非零向量平行的充要条件，巩固加深充要条件的证明方式能力目标：会用两向量的坐标形式的和、差及实数与向量的积等运算解决相关问题；会用平行的充要条件解决点共线问题情感目标：感知数学中的运动、变化、相互联系与相互转化的规律，加深对辩证唯物主义观点的体验；发展从数学的角度分析和解决问题的能力，以及通过积极参与数学学习和问题解决的过程，增强学习的主体意识，形成数学的应用意识，养成严谨、慎密的思维习惯. 教学重、难点重点：如何写向量的坐标以及向量坐标形式的运算及其应用 难点：向量坐标形式的运算及其应用一、新课引入：上海市莘庄中学的健美操队四名队员A 、B 、C 、D 在一个长10米，宽8米的矩形表演区域EFGH 内进行健美操表演.（1）若在某时刻1t ，四名队员A 、B 、C 、D 保持如图1所示的平行四边形队形.队员A 位于点F 处，队员B 在边FG 上距F 点3米处，队员D 位于距EF 边2米距FG 边5米处.你能确定此时队员C 的位置吗？EFGHGF E 图2图18m 10m DCBADCB A 10m8m[说明] 此时队员C 在位于距EF 边5米距FG 边5米处.这个图形比较特殊，学生很快就会得到答案，这时教师引入第二个问题.（2）若在某时刻2t A 位于距EF 边2米距FG 边1米处，队员B 在距EF 边6米距FG 边3米处，队员D 位于距EF 边4米距FG 边5米处.你能确定此时队员C 的位置吗？[说明] 不要求学生写出结果，只引导学生思考.这个图形更为一般一些，学生解决的可能不是很顺，这时，教师就可以说，这一节我们就来学习一个新的内容：向量的坐标表示及其运算，学习了这个内容之后，同学们只要花上两分钟或者只要一分钟的时间就可以解决这个问题了，引起学生学习的兴趣与探究的欲望.二、新课讲授 1、向量的正交分解（1）基本单位向量：我们称在平面直角坐标系中，方向与x 轴和y 轴正方向分别相同的的两个单位向量叫做基本单位向量，分别记为,i j 。
向量内积的坐标运算与度量公式
向量内积的坐标运算与度量公式向量内积是向量运算中的一种重要概念，它能够衡量两个向量之间的相似度和夹角关系，同时也具有一些重要的性质和应用。
本文将详细介绍向量内积的坐标运算和度量公式，包括内积的定义、性质、计算方法以及一些重要的应用。
一、向量内积的定义向量内积是指两个向量之间的一种数学运算，也称为点积、数量积或内积，用符号"·"表示。
给定两个n维向量A=(A₁,A₂,...,Aₙ)和B=(B₁,B₂,...,Bₙ)，它们的内积定义为：A·B=A₁B₁+A₂B₂+...+AₙBₙ二、向量内积的性质1.交换律A·B=B·A2.分配律(A+B)·C=A·C+B·C3.结合律k(A·B)=(kA)·B=A·(kB)，其中k为标量4.内积为零的充要条件若A·B=0，则A与B垂直或其中至少有一个为零向量。
5.内积与夹角的关系A·B = ，A，，B，cosθ，其中，A，和，B，为向量A和B的模，θ为夹角。
三、向量内积的计算方法1.坐标乘法法设向量A=(A₁,A₂,...,Aₙ)和B=(B₁,B₂,...,Bₙ)，则有：A·B=A₁B₁+A₂B₂+...+AₙBₙ2.基向量法设A=α₁i+α₂j+...+αₙeₙ和B=β₁i+β₂j+...+βₙeₙ，其中α₁、α₂、..、αₙ和β₁、β₂、..、βₙ为向量A和B的坐标。
则有：A·B=(α₁i+α₂j+...+αₙeₙ)·(β₁i+β₂j+...+βₙeₙ)=α₁β₁+(α₂β₂+...+αₙβₙ)四、向量内积的度量公式1.模的平方公式对任意n维向量A=(A₁,A₂,...,Aₙ)，有：A，²=A·A=A₁²+A₂²+...+Aₙ²2.角的余弦公式设向量A=(A₁,A₂,...,Aₙ)和B=(B₁,B₂,...,Bₙ)，则有：cosθ = A·B / (，A，，B，)3.柯西不等式对任意n维向量A=(A₁,A₂,...,Aₙ)和B=(B₁,B₂,...,Bₙ)，有：A·B，≤，A，，B4.三角不等式对任意n维向量A=(A₁,A₂,...,Aₙ)和B=(B₁,B₂,...,Bₙ)，有：A+B，≤，A，+，B五、向量内积的应用向量内积在许多领域有广泛的应用，包括几何、物理、计算机图形学等等。
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2． ab ； 入
3． | a | 与 a·a有何关系？
回忆旧知识． 师：对平面向量的内积的
研究不能仅仅停留在几何角度，
还要寻求其坐标表示．引出探
究问题．
已知 e1，e2 是直角坐标平面上的基
学生讨论并回答，教师再
问题为复习向量
向量，a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，你能 提出的下列问题：
A→B＝(x2－x1，y2－y1)． 因为| a |＝ a12＋a22，所以
使刚刚学过的知
教师提出问题．
识及时得到应用．
学生讨论解答．
教师总结得出这就是根据
|A→B|＝ (x2－x1)2＋(y2－y1)2， 这就是根据两点的坐标求两点之间 的距离公式．
两点的坐标求两点之间的距离 公式．
例 1 设 a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，
例 2 已知 A(2，－4)，B(－2，3)， 求|A→B|．
解 因为 A(2，－4)，B(－2，3)，
巩固公式，形成
所以
新
A→B＝(－2，3) －(2，－4)
教师点拨，学生解答． 技能． 教师针对学生的回答进行
课
＝(－4，7)，
向量积的坐标运算及度量公式
D(3，5).
（1）求证：四边形ABCD是直角梯形；
（2）求∠DAB的大小.
(1) 证明： AB = (1 – (-1), 1 – 3) y
D
= (2, -2),
A
C
DC = (4 – 3, 4 – 5) = (1, -1),
BC = (4 – 1,4 – 1) = (3, 3).
B x
∵ AB = 2DC, ∴ AB//DC.
y AC (2 1,5 2) (3,3) C(-2,5)
AB AC 1 (3) 1 3 0
AB AC
三角形ABC 是直角三角形.
B(2,3) A(1,2)
练习A.2.3.
x 0
课堂练习：
B 1.若a 2， 3，b x, 2x,且a b 4 ,则x等于____ 3
2
(2)a a a 或 a a a；
a b a b 0; cos a b .
ab
二.探究新知:
1.平面向量的数量积能否用坐标表示？
2.已知两个非零向量a a1, a2 ,b b1,b2 ,
怎样用a和b的坐标表示a b呢？ 3.怎样用向量的坐标表示两个平面向量垂直 的条件？ 4.能否根据所学知识推导出向量的长度、距
A. 3 B. 1 C. 1 D.-3
D 3
3
2.设a 1, 2,b 1, m,若a与b的夹角为钝角，则m的取值范围是 ___
A. m 1 B. m 1 C. m 1 D. m 1
2
2
2
2
A 3.在ABC中，C=90 ，AB k,1, AC 2,3,则k的值是_____
答案：（1）b (3 , 4)或b ( 3 , 4).
向量积的坐标运算公式
向量积的坐标运算公式向量积是向量的一种运算方式，也称为叉乘或叉积。
它是两个向量相乘得到的结果，结果是一个新的向量。
向量积的坐标运算公式可以用来计算向量积的坐标分量，进而求解向量积的值。
向量积的坐标运算公式可以表示为：设有两个向量 A = (A1, A2, A3) 和 B = (B1, B2, B3)，则它们的向量积 C = A × B 的坐标分量可以通过以下公式计算：C1 = A2B3 - A3B2C2 = A3B1 - A1B3C3 = A1B2 - A2B1其中，A × B 表示向量 A 和向量 B 的向量积，C = (C1, C2, C3) 表示向量积的坐标分量。
向量积的坐标运算公式的推导过程可以通过几何方法或代数方法来进行。
在几何方法中，可以利用向量的长度和方向来推导向量积的坐标运算公式。
在代数方法中，可以利用向量的坐标分量和向量的性质来推导向量积的坐标运算公式。
向量积的坐标运算公式有一些重要的性质，包括交换律、分配律和零向量性质。
交换律表示向量积的结果与乘法顺序无关，即 A × B = -B × A。
分配律表示向量积对向量的线性运算具有分配律，即(A + B) × C = A × C + B × C。
零向量性质表示向量积的结果与零向量的关系，即A × 0 = 0。
向量积的坐标运算公式在物理学和工程学中有着广泛的应用。
例如，在力学中，可以通过向量积的坐标运算公式计算力矩和角动量；在电磁学中，可以通过向量积的坐标运算公式计算电磁场的旋度；在计算机图形学中，可以通过向量积的坐标运算公式计算三维空间中的法向量和切线向量。
向量积的坐标运算公式还可以用于求解平面和直线的交点、判断向量的平行性和垂直性、求解三角形的面积等问题。
例如，可以利用向量积的坐标运算公式判断两条直线是否相交，如果两条直线的向量积为零向量，则表示两条直线平行；如果两条直线的向量积的模长为零，则表示两条直线重合。
向量积坐标表示公式
向量积坐标表示公式
向量积，又称叉积，是两个向量的乘积，结果是一个向量。
向量积的坐标表示公式如下：
设有两个三维向量a=(a1,a2,a3)和b=(b1,b2,b3)，则它们的向量积c=(c1,c2,c3)可以表示为：
c1 = a2b3 - a3b2
c2 = a3b1 - a1b3
c3 = a1b2 - a2b1
其中，c1、c2、c3就是向量积c在x、y、z方向上的分量。
以上是向量积的坐标表示公式。
为了更好地理解，我们可以举一个简单的例子。
假设有两个向量a=(1,2,3)和b=(4,5,6)，则它们的向量积c=(c1,c2,c3)可以计算如下：
c1 = 2*6 - 3*5 = -3
c2 = 3*4 - 1*6 = 6
c3 = 1*5 - 2*4 = -3
因此，向量a和向量b的向量积为c=(-3,6,-3)。
这个结果就是向量积的坐标表示。
需要注意的是，向量积的结果是一个向量，它的方向垂直于原来的两个向量，并且大小等于这两个向量围成的平行四边形的面积。
内积计算公式
内积计算公式内积计算公式是线性代数和几何学中用来计算两个向量之间的内积，也称为数量积。
内积是一个数学概念，可以用来衡量向量的模式或方向的相似性，以及计算向量的投影量。
它的式子可以用来求解给定的两个向量的内积。
内积的计算公式如下：内积公式：ab=|a||b|cosθ其中，a，b是两个向量，|a|表示a向量的模，|b|表示b向量的模，θ表示两个向量之间的夹角。
当θ=90°时，内积为零，即ab=0，表明两个向量的方向是相反的，平行时内积为最大。
内积可以用来求解向量的投影量。
当两个向量a，b相反时，投影量为0；当两个向量a，b相同时，投影量就是a向量的模长。
内积还可以用来衡量向量的模式或方向的相似性。
当两个向量的模长都不为0且夹角取值越小，内积就越大，即说明两个向量的方向越接近。
这里，我们看到内积计算公式是一个重要的数学概念，它可以被应用到各个领域，如统计学，物理学，机器学习等。
例如，在机器学习中，内积是一种常用的距离度量方法，它可以用来表示两个向量之间的距离。
此外，它还可以在几何学中用来计算三维空间中的向量内积，以及平面计算中的向量内积。
使用内积计算公式可以帮助我们更好地理解和分析向量之间的关系，进而进行更加有效的应用。
内积也是一种常用的线性代数工具，可以帮助研究人员在研究过程中计算和分析向量之间的关系。
内积计算公式在线性代数和几何学中依然是有着普遍应用的方法，可以广泛地用于解决各种问题，以及求极值问题。
此外，内积计算公式也可以在一些统计学和机器学习工具中用于度量两个向量之间的相关程度。
总的来说，内积计算公式是一个有用的工具，可以用来计算向量之间的内积，以及求解向量的投影量和衡量向量之间的关系。
它是线性代数和几何学中的重要概念，并且可以用来解决各种数学问题。
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（2）已知a =（4，2），求与a 垂直的单位向量.
AC 1 ,k ，求k 的值. AB 2 , 3 ， Rt ABC （3） 中，
复习导入： 1. 如何用向量的长度、夹角表示内积？ 2. 如何用内积、长度来表示夹角？ 3.
a b
的充要条件?
4. 如何用向量的内积表示向量的长度?
小练习:单位向量i 、j 分别与x 轴、y 轴方向相同，求
1 ① i i _____ 0 ③ j i ______
解：
0 ② i j _____ 1 ④ j j _____
i i i i cos i, i
1 1 cos 0
1
新课讲授：
a a x2 y2 x2 y2
推广2：设A（x1，y1），B（x2，y2）
AB x x , y y 2 1 2 1
则 AB x x y y 2 2
2 1 2 1
两点间距离公式
推广3： 若向量a=(x1, y1)，b=(x2, y2)，则 a b x 1x 2 y 1y 2 cos a, b 2 2 2 2 ab x x 1 y 1 2 y 2
2. 向量垂直的充要条件
已知两个向量a=(x1, y1)，b=(x2, y2) ，那么
a⊥b x1x2+y1y2=0 a b a b 0 ab x 1x 2 y 1y 2 a b x x y y 0 1 2 1 2
例1.设a = (3, 1)，b = (1, 2)，求ab，|a|，|b|， 和<a, b>
向量内积的坐标表示 与度量公式
教学目标
一. 二. 三. 掌握向量内积的坐标运算及其应用。 掌握向量的长度、两点间的距离和夹角公式。 掌握用向 向量数量积的坐标表示以及由此推得的
长度、距离夹角公式和垂直条件的坐标 表示。
教学难点: 向量的长度、距离、夹角、垂直条件的坐标
1.向量内积的坐标运算 若向量a=(x1, y1)，b=(x2, y2)，则
两个向量的内积等于它们对应坐标的乘积的和，即
a b x x y y 1 2 1 2
推广1： 设 a ( x ,y ), 则 a x2 y2
a a a 长度公式 a
表示的灵活运用
复习导入：
向量的内积：
向量的夹角：
a b ab 0
a ,b a b ab cos a b cos a,b a b
(判断两向量垂直的依据) (计算向量的长度)
a
2 a a a
证明： A B =(1, 1),
C B A
A C =(－3, 3)
所以
A B A C =－3+3=0，
即AB⊥AC， △ABC是直角三角形.
小结：
1. 向量内积的坐标表示 2. 向量长度的坐标表示 3. 两点间距离公式 4. 向量夹角的坐标表示 5. 两向量垂直的充要条件
练习：
b 1 ,2 且 a // b ，求 a . （1）已知 a 3 ，
解： ab = (3, 1) (1, 2)=3+2=5.
|a|= |b|=
a a 3 (1 ) 1 0
2 2
b b 1 (2 ) 5 ab 5 2 cos <a, b>= |a ||b | 1 05 2
2 2
所以 <a, b>=45°
例2.已知A(1, 2)，B(2, 3)，C(2, 5)， 求证：△ABC是直角三角形