六数2苏灵甫

合集下载

2006年数二考研真题答案解析

2006年硕士研究生入学考试（数学二）试题及答案解析一、填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. （1）曲线4sin 52cos x xy x x+=- 的水平渐近线方程为 1.5y =【分析】直接利用曲线的水平渐近线的定义求解即可.【详解】4sin 14sin 1lim lim2cos 52cos 55x x xx x x x x x x →∞→∞++==--.故曲线的水平渐近线方程为 15y =.（2）设函数2301sin d ,0(),0x t t x f x xa x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩⎰ 在0x =处连续，则a =13. 【分析】本题为已知分段函数连续反求参数的问题.直接利用函数的连续性定义即可. 【详解】由题设知，函数()f x 在 0x =处连续，则lim ()(0)x f x f a →==，又因为 2203200sin d sin 1lim ()limlim 33xx x x t t x f x x x →→→===⎰. 所以13a =. （3）广义积分220d (1)x x x +∞=+⎰12.【分析】利用凑微分法和牛顿－莱布尼兹公式求解.【详解】2022222200d 1d(1+)111111lim lim lim (1)2(1)21+21+22b bb b b x x x x x xb +∞→∞→∞→∞==-=-+=++⎰⎰.（4）微分方程(1)y x y x-'=的通解是e (0).xy Cx x -=≠ 【分析】本方程为可分离变量型，先分离变量，然后两边积分即可【详解】原方程等价为d 11d y x y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，两边积分得1ln ln y x x C =-+，整理得e xy C x-=.（1e C C =）（5）设函数()y y x =由方程1e y y x =-确定，则0d d x yx== e.- 【分析】本题为隐函数求导，可通过方程两边对x 求导（注意y 是x 的函数），一阶微分形式不变性和隐函数存在定理求解.【详解】方法一：方程两边对x 求导，得e e y y y xy ''=--.又由原方程知，0,1x y==时.代入上式得d e d x x yy x=='==-.方法二：方程两边微分，得d e d e dyyy x xy =--，代入0,1x y ==，得0d e d x yx==-.方法三：令(,)1e y F x y y x =-+，则()0,10,10,10,1ee ,1e1y yx y x y x y x y FF x xy========∂∂===+=∂∂，故0,10,1d e d x y x x y F yxF xy=====∂∂=-=-∂∂.（6）设矩阵2112A ⎛⎫=⎪-⎝⎭，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2BA B E =+，则=B 2 .【分析】将矩阵方程改写为AXB XA B AXBC ===或或的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可.【详解】由题设，有()2B A E E -=于是有4B A E -=，而11211A E -==-，所以2B =.二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ∆为自变量x 在点0x 处的增量，d y y ∆与分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x ∆>，则(A)0d y y <<∆. (B) 0d y y <∆<.(C)d 0y y ∆<<.(D)d 0y y <∆< .[ Ａ ]【分析】题设条件有明显的几何意义，用图示法求解.【详解】由()0,()0f x f x '''>>知，函数()f x 单调增加，曲线()y f x =凹向，作函数()y f x =的图形如右图所示，显然当0x∆>时，00d ()d ()0y y f x x f x x ''∆>==∆>，故应选(Ａ).（8）设()f x 是奇函数，除0x =外处处连续，0x =是其第一类间断点，则()d x f t t ⎰是（A ）连续的奇函数.（B ）连续的偶函数（C ）在0x=间断的奇函数（D ）在0x=间断的偶函数. [ B ]【分析】由于题设条件含有抽象函数，本题最简便的方法是用赋值法求解，即取符合题设条件的特殊函数()f x 去计算0()()d xF x f t t =⎰，然后选择正确选项.【详解】取,0()1,0x x f x x ≠⎧=⎨=⎩. 则当0x≠时，()22200011()()d lim d lim 22xxF x f t t t t x x εεεε++→→===-=⎰⎰，而0(0)0lim ()x F F x →==，所以()F x 为连续的偶函数，则选项（Ｂ）正确，故选（Ｂ）.（9）设函数()g x 可微，1()()e ,(1)1,(1)2g x h x h g +''===，则(1)g 等于（A ）ln 31-.（B ）ln 3 1.--（C ）ln 2 1.--（D ）ln 2 1.-[ C ]【分析】题设条件1()()e g x h x +=两边对x 求导,再令1x =即可.【详解】1()()e g x h x +=两边对x 求导,得1()()e ()g x h x g x +''=.上式中令1x=，又(1)1,(1)2h g ''==，可得1(1)1(1)1(1)e (1)2e (1)ln 21g g h g g ++''===⇒=--，故选（C ）.（10）函数212e e e x x x y C C x -=++满足的一个微分方程是（A ）23e .x y y y x '''--=（B ）23e .x y y y '''--=（C ）23e .x y y y x '''+-=（D ）23e .x y y y '''+-= [ D ]【分析】本题考查二阶常系数线性非齐次微分方程解的结构及非齐次方程的特解与对应齐次微分方程特征根的关系.故先从所给解分析出对应齐次微分方程的特征方程的根，然后由特解形式判定非齐次项形式.【详解】由所给解的形式，可知原微分方程对应的齐次微分方程的特征根为121,2λλ==-.则对应的齐次微分方程的特征方程为2(1)(2)0,20λλλλ-+=+-=即.故对应的齐次微分方程为 20y y y '''+-=.又*e x y x =为原微分方程的一个特解，而1λ=为特征单根，故原非齐次线性微分方程右端的非齐次项应具有形式()e x f x C =（C 为常数）.所以综合比较四个选项，应选（D ）（11）设(,)f x y 为连续函数，则140d (cos ,sin )d f r r r r πθθθ⎰⎰等于（Ａ）2212d (,)d x xx f x y y -⎰⎰. （B ）2212d (,)d x x f x y y -⎰⎰.(C)2212d (,)d y yy f x y x -⎰⎰.(D)2212d (,)d y y f x y x -⎰⎰. [ Ｃ ]【分析】本题考查将坐标系下的累次积分转换为直角坐标系下的累次积分，首先由题设画出积分区域的图形，然后化为直角坐标系下累次积分即可.【详解】由题设可知积分区域D 如右图所示，显然是Y 型域，则原式2212d (,)d y yy f x y x -=⎰⎰.故选（Ｃ）. （12）设(,)(,)f x y x y ϕ与均为可微函数，且(,)0y x y ϕ'≠，已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点，下列选项正确的是(A) 若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '=. (B) 若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '≠. (C) 若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '=. (D) 若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '≠.[ Ｄ ]【分析】利用拉格朗日函数(,,)(,)(,)F x y f x y x y λλϕ=+在000(,,)x y λ（0λ是对应00,x y 的参数λ的值）取到极值的必要条件即可.【详解】作拉格朗日函数(,,)(,)(,)F x y f x y x y λλϕ=+，并记对应00,x y 的参数λ的值为0λ，则000000(,,)0(,,)0x y F x y F x y λλ⎧'=⎪⎨'=⎪⎩，即0000000000(,)(,)0(,)(,)0x x y y f x y x y f x y x y λϕλϕ⎧''+=⎪⎨''+=⎪⎩ . 消去0λ，得00000000(,)(,)(,)(,)0x y y x f x y x y f xy xy ϕϕ''''-=, 整理得000000001(,)(,)(,)(,)x y x y f x y f x y x y x y ϕϕ'''='.（因为(,)0y x y ϕ'≠），若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '≠.故选（Ｄ）.（13）设12,,,s ααα 均为n 维列向量，A 为m n ⨯矩阵，下列选项正确的是(A) 若12,,,s ααα 线性相关，则12,,,s A A A ααα 线性相关. (B)若12,,,s ααα 线性相关，则12,,,s A A A ααα 线性无关.(C) 若12,,,s ααα 线性无关，则12,,,s A A A ααα 线性相关.(D) 若12,,,s ααα 线性无关，则12,,,s A A A ααα 线性无关.[ A ] 【分析】本题考查向量组的线性相关性问题，利用定义或性质进行判定. 【详解】记12(,,,)s B ααα= ，则12(,,,)s A A A AB ααα= .所以，若向量组12,,,s ααα 线性相关，则()r B s<，从而()()r A B r B s ≤<，向量组12,,,s A A A ααα 也线性相关，故应选(Ａ).（14）设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得B ，再将B 的第1列的1-倍加到第2列得C ，记110010001P ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则（Ａ）1CP AP -=.（Ｂ）1CPAP -=.（Ｃ）T CP AP =.（Ｄ）T CPAP =.［Ｂ］【分析】利用矩阵的初等变换与初等矩阵的关系以及初等矩阵的性质可得. 【详解】由题设可得1101101101010,010010010001001001001B AC B A --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，而1110010001P --⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则有1C PAP -=.故应选（Ｂ）.三、解答题：15－23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分10分）试确定,,A B C 的值，使得23e (1)1()x Bx Cx Ax o x ++=++，其中3()o x是当0x →时比3x 高阶的无穷小.【分析】题设方程右边为关于x 的多项式，要联想到e x的泰勒级数展开式，比较x 的同次项系数，可得,,A B C 的值.【详解】将e x的泰勒级数展开式233e 1()26xx x x o x =++++代入题设等式得 233231()[1]1()26x x x o x Bx Cx Ax o x ⎡⎤++++++=++⎢⎥⎣⎦整理得233111(1)()1()226BB x BC x C o x Ax o x ⎛⎫⎛⎫+++++++++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭比较两边同次幂系数得11021026B A B C B C ⎧⎪+=⎪⎪++=⎨⎪⎪++=⎪⎩，解得 132316A B C ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩. （16）（本题满分10分）求arcsin e d e xx x ⎰.【分析】题设积分中含反三角函数，利用分部积分法.【详解】2arcsin e e d arcsin e de e arcsin e e d e 1e x x x x x x xx x x x --=-=-+⋅-⎰⎰⎰－21e arcsin e d 1ex x xx -=-+-⎰.令21e x t=-，则221ln(1),d d 21t x t x t t=-=--，所以2211111d d d 12111e xx t t t t t ⎛⎫==- ⎪--+⎝⎭-⎰⎰⎰ 221111e 1ln ln 2121e 1x x t C t ---=+=+-+.（17）（本题满分10分）设区域{}22(,)1,0Dx y x y x =+≤≥，计算二重积分221d d .1Dxyx y x y +++⎰⎰ 【分析】由于积分区域D 关于x 轴对称，故可先利用二重积分的对称性结论简化所求积分，又积分区域为圆域的一部分，则将其化为极坐标系下累次积分即可.【详解】积分区域D 如右图所示.因为区域D 关于x 轴对称，函数221(,)1f x y x y=++是变量y 的偶函数，函数22(,)1xyg x y x y =++是变量y 的奇函数.则112222220011ln 2d d 2d d 2d d 1112DD r x y x y r xyx y r ππθ===+++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰22d d 01Dxyx y x y =++⎰⎰，故22222211ln 2d d d d d d 1112D D Dxy xy x y x y x y x y x y x y π+=+=++++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰. （18）（本题满分12分）设数列{}n x 满足110,sin (1,2,)n n x x x n π+<<==（Ⅰ）证明lim n n x →∞存在，并求该极限；（Ⅱ）计算211lim n x n n n x x +→∞⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【分析】一般利用单调增加有上界或单调减少有下界数列必有极限的准则来证明数列极限的存在. （Ⅱ）的计算需利用（Ⅰ）的结果.【详解】（Ⅰ）因为10x π<<，则210sin 1x x π<=≤<.可推得10sin 1,1,2,n n x x n π+<=≤<= ，则数列{}n x 有界.于是1sin 1n nn nx x x x +=<，（因当0sin x x x ><时，），则有1n n x x +<，可见数列{}n x 单调减少，故由单调减少有下界数列必有极限知极限lim n n x →∞存在.设lim nn x l →∞=，在1sin n n x x +=两边令n →∞，得 sin l l =，解得0l =，即lim 0n n x →∞=.（Ⅱ）因22111sin lim lim nn x x n n n n n n x x x x +→∞→∞⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由（Ⅰ）知该极限为1∞型，令n tx =，则,0n t →∞→，而222sin 111111sin 1000sin sin sin lim lim 11lim 11tt t t t t t t t t t t t t t t -⋅-→→→⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥=+-=+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，又33233000()1sin sin 13!lim 1lim lim 6t t t t t o t tt t t t t t t →→→-+--⎛⎫-===- ⎪⎝⎭. （利用了sinx 的麦克劳林展开式）故2211116sin lim lim e nn x x n n n n n n x x x x -+→∞→∞⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （19）（本题满分10分）证明：当0a b π<<<时，sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++.【分析】利用“参数变易法”构造辅助函数，再利用函数的单调性证明. 【详解】令()sin 2cos sin 2cos ,0f x x x x x a a a a a x b πππ=++---<≤≤<，则()sin cos 2sin cos sin f x x x x x x x x ππ'=+-+=-+，且()0f π'=.又()cos sin cos sin 0f x x x x x x x ''=--=-<，（0,s i n 0x x x π<<>时），故当0a x b π<≤≤<时，()f x '单调减少，即()()0f x f π''>=，则()f x 单调增加，于是()()0f b f a >=，即sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++.（20）（本题满分12分）设函数()f u 在(0,)+∞内具有二阶导数，且()22z fx y =+满足等式22220z zx y∂∂+=∂∂. （I ）验证()()0f u f u u'''+=；（II ）若(1)0,(1)1f f '==，求函数()f u 的表达式.【分析】利用复合函数偏导数计算方法求出2222,z z x y ∂∂∂∂代入22220z zx y∂∂+=∂∂即可得（I ）.按常规方法解（II ）即可.【详解】（I ）设22ux y =+，则2222(),()z x z yf u f u x y x y x y ∂∂''==∂∂++.2222222222222()()x x y x y z x xf u f u x x yx y x y+-+∂'''=⋅⋅+⋅∂+++()22322222()()x y f u f u x y x y '''=⋅+⋅++，()2223222222()()z y x f u f u y x yxy∂'''=⋅+⋅∂++.将2222,z z x y ∂∂∂∂代入22220z zx y∂∂+=∂∂得()()0f u f u u'''+=. （II ）令()f u p '=，则d d 0p p u p u p u'+=⇒=-，两边积分得1l n l n l n p u C =-+，即1C p u=，亦即1()C f u u'=.由(1)1f '=可得 11C =.所以有 1()f u u'=，两边积分得 2()l n f u uC=+，由(1)0f =可得 20C =，故 ()ln f u u =.（21）（本题满分12分）已知曲线L 的方程221,(0)4x t t y t t⎧=+≥⎨=-⎩（I ）讨论L 的凹凸性；（II ）过点(1,0)-引L 的切线，求切点00(,)x y ，并写出切线的方程；（III ）求此切线与L （对应于0x x ≤的部分）及x 轴所围成的平面图形的面积.【分析】（I ）利用曲线凹凸的定义来判定；（II ）先写出切线方程，然后利用 (1,0)-在切线上；（III ）利用定积分计算平面图形的面积.【详解】（I ）因为d d d d 422d 2,421d d d d 2d yx y y t t t t x t t x t t t-==-⇒===-2223d d d 12110,(0)d d d d 2d y y t x x t x t tt t ⎛⎫⎛⎫=⋅=-⋅=-<> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故曲线L 当0t≥时是凸的.（II ）由（I ）知，切线方程为201(1)y x t ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，设2001x t =+，20004y t t =-，则220000241(2)t t t t ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，即23200004(2)(2)t t t t -=-+整理得 20000020(1)(2)01,2(t t t t t +-=⇒-+=⇒=-舍去）.将01t =代入参数方程，得切点为（2，3），故切线方程为 231(2)1y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，即1y x =+.（III ）由题设可知，所求平面图形如下图所示，其中各点坐标为(1,0),(2,0),(2,3),(1,0)A B C D -，设L 的方程()xg y =，则()30()(1)d S g y y y =--⎡⎤⎣⎦⎰ 由参数方程可得24t y =±-，即()2241x y=±-+. 由于（2，3）在L 上，则()2()241924x g y y y y ==--+=---.于是 ()30944(1)d S y y y y ⎡⎤=-----⎣⎦⎰ 3300(102)d 44d y y y y =---⎰⎰()()32332008710433y yy =-+-=. （22）（本题满分9分）已知非齐次线性方程组 1234123412341435131x x x x x x x x ax x x bx +++=-⎧⎪++-=-⎨⎪+++=⎩有3个线性无关的解.（Ⅰ）证明方程组系数矩阵A 的秩()2r A =；（Ⅱ）求,a b 的值及方程组的通解.【分析】（I ）根据系数矩阵的秩与基础解系的关系证明；（II ）利用初等变换求矩阵A 的秩确定参数,a b ，然后解方程组.【详解】（I ）设123,,ααα是方程组Ax β=的3个线性无关的解，其中111114351,1131A a b β-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.则有1213()0,()0A A αααα-=-=. 则 1213,αααα--是对应齐次线性方程组0Ax =的解，且线性无关.（否则，易推出123,,ααα线性相关，矛盾）. 所以()2n r A -≥，即4()2()2r A r A -≥⇒≤.又矩阵A 中有一个2阶子式111043=-≠，所以()2r A ≤. 因此 ()2r A =.（II ）因为11111111111143510115011513013004245A a b a a b a a b a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-→--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭.又()2r A =，则42024503a a b a b -==⎧⎧⇒⎨⎨+-==-⎩⎩. 对原方程组的增广矩阵A 施行初等行变换，111111024243511011532133100000A --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，故原方程组与下面的方程组同解.134********x x x x x x =-++⎧⎨=--⎩. 选34,x x 为自由变量，则134234334424253x x x x x x x x x x =-++⎧⎪=--⎪⎨=⎪⎪=⎩. 故所求通解为12242153100010x k k -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，12,k k 为任意常数. （23）（本题满分9分）设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量()()T T 121,2,1,0,1,1αα=--=-是线性方程组0Ax =的两个解.(Ⅰ) 求A 的特征值与特征向量；(Ⅱ) 求正交矩阵Q 和对角矩阵Λ,使得T Q AQ =Λ.【分析】由矩阵A 的各行元素之和均为3及矩阵乘法可得矩阵A 的一个特征值和对应的特征向量；由齐次线性方程组0Ax =有非零解可知A 必有零特征值，其非零解是0特征值所对应的特征向量.将A 的线性无关的特征向量正交化可得正交矩阵Q .【详解】 (Ⅰ) 因为矩阵A 的各行元素之和均为3，所以1311331131A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则由特征值和特征向量的定义知，3λ=是矩阵A 的特征值，T (1,1,1)α=是对应的特征向量.对应3λ=的全部特征向量为k α，其中k 为不为零的常数.又由题设知120,0A A αα==，即11220,0A A αααα=⋅=⋅，而且12,αα线性无关，所以0λ=是矩阵A 的二重特征值，12,αα是其对应的特征向量，对应0λ=的全部特征向量为 1122k k αα+，其中12,k k 为不全为零的常数.(Ⅱ) 因为A 是实对称矩阵，所以α与12,αα正交，所以只需将12,αα正交. 取 11βα=，()()21221111012,3120,61112αββαβββ⎛⎫- ⎪-⎛⎫⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪=-=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭. 再将12,,αββ单位化，得121231211136212,,036111236ββαηηηαββ⎛⎫⎛⎫-⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪====== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令 []123,,Q ηηη=，则1T Q Q -=，由A 是实对称矩阵必可相似对角化，得T 300Q A Q ⎡⎤⎢⎥==Λ⎢⎥⎢⎥⎣⎦.。

二年级上册数学教案-4.6用2-6的乘法口诀求商丨苏教版

二年级上册数学教案4.6 用26的乘法口诀求商丨苏教版教案：二年级上册数学教案4.6 用26的乘法口诀求商丨苏教版一、教学内容本节课的教学内容来自苏教版二年级上册数学教材，第47页至第49页。

内容包括：1. 学习26的乘法口诀；2. 运用26的乘法口诀求商；3. 熟练掌握乘法口诀求商的方法。

二、教学目标1. 让学生掌握26的乘法口诀。

2. 培养学生运用乘法口诀求商的能力。

3. 培养学生合作学习、积极思考的习惯。

三、教学难点与重点1. 教学难点：如何引导学生运用乘法口诀求商。

2. 教学重点：让学生熟练掌握乘法口诀求商的方法。

四、教具与学具准备1. 教具：黑板、粉笔、课件。

2. 学具：课本、练习本、文具。

五、教学过程1. 实践情景引入：教师出示一个情景：小明有2个苹果，小红的苹果数量是小明的3倍，问小红有多少个苹果？2. 例题讲解：教师引导学生用乘法口诀求解，2乘以3等于6，所以小红有6个苹果。

3. 随堂练习：教师出示几个类似的题目，让学生独立完成。

如：5乘以4等于多少？3乘以5等于多少？4. 小组合作：教师将学生分成小组，每组选择一道题目，用乘法口诀求解，并把答案写在练习本上。

5. 全班交流：各小组汇报答案，教师点评并纠正错误。

六、板书设计1. 乘法口诀表格：2 3 4 5 66 9 12 15 182. 求商的方法：a. 读题，确定要求解的问题。

b. 找出乘法口诀中的答案。

c. 将答案写在练习本上。

七、作业设计1. 题目：用26的乘法口诀求商。

a. 妈妈有2个苹果，你的苹果数量是妈妈的3倍，你有多少个苹果？b. 老师有5个篮球，每个同学可以分到2个篮球，一共可以分给几个同学？2. 答案：a. 2乘以3等于6，所以你有6个苹果。

b. 5乘以2等于10，所以可以分给10个同学。

八、课后反思及拓展延伸1. 课后反思：本节课学生掌握了26的乘法口诀，并能运用口诀求解实际问题。

但在小组合作环节，部分学生对乘法口诀的记忆还不够熟练，需要在课后加强练习。

高二数学第6章知识点归纳总结

高二数学第6章知识点归纳总结高二数学的第6章主要涉及复数的运算、幂次运算和虚数。

下面将对这些知识点进行详细的归纳总结。

1. 复数及其表示法复数是由实部和虚部组成的数，可以表示为a+bi的形式，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位，满足i^2=-1。

复数可以用平面直角坐标系表示，实部在实轴上，虚部在虚轴上。

复数的共轭是指实部相等、虚部互为相反数的两个复数，可以用求实部取负或者虚部取负的方法得到。

2. 复数的运算复数的加法和减法都是将实部和虚部分别相加或相减。

复数的乘法可以使用分配律展开计算，然后利用i^2=-1简化。

复数的除法可以将分子和分母同乘以分母的共轭，然后利用复数的乘法求解。

需要注意的是，复数的运算结果仍然是复数。

3. 幂次运算复数的幂次运算可以通过展开求解，然后利用i^2=-1简化。

实际计算中，可以利用欧拉公式e^(iθ)=cosθ+isinθ简化计算。

对于复数的幂次根，可以先将复数转化为三角形式，然后利用求根公式求解。

4. 虚数单位i的性质虚数单位i的一些性质有：i^0=1，i^1=i，i^2=-1，i^3=-i，i^4=1，以此类推。

利用这些性质，可以简化复数运算和幂次运算中的计算过程。

5. 复数的模、辐角及其性质复数的模表示复数到原点的距离，可以用勾股定理计算。

复数的辐角表示复数与实轴正方向之间的夹角，可以用三角函数计算。

复数可以转化为三角形式，即z=|z|(cosθ+isinθ)，其中|z|为复数的模，θ为复数的辐角。

复数的模和辐角有一些性质，如模的乘法和辐角的加法。

综上所述，高二数学的第6章主要掌握了复数的运算、幂次运算和虚数的相关知识。

通过对复数的表示法、运算性质以及模、辐角的计算，可以更好地理解和应用复数的概念。

同时，在实际问题中，可以利用复数的性质来简化计算过程。

对于复数的幂次运算和根的求解，可以通过展开、使用欧拉公式和求根公式来解决。

掌握这些知识，能够更好地理解数学中的抽象概念，提升解题能力。

小学数学新北师版六年级上册《分数混合运算二》资料陈省身

小学数学北师版六年级上册《分数混合运算（二）》资料陈省身陈省身先生1911年10年28日出生于浙江嘉兴。

1930年起先后获南开大学学士学位，清华大学硕士学位和德国汉堡大学博士学位，后赴巴黎从事研究工作。

1937年起先后在清华大学、西南联合大学、美国普林斯顿高等研究院、中国中央研究院数学研究所、美国芝加哥大学与加州大学伯克利分校任职教授等职，1981年创办美国国家数学研究所并任所长，1985年创办南开数学研究所并任所长。

他在微积分和拓扑学、特别是在整体微分几何研究中的开创性贡献对数学乃至物理学等学科的发展产生了巨大影响。

他被公认为二十世纪最伟大的数学家之一。

陈省身先生是美国科学院院士，中国、法国、意大利、俄罗斯、英国等国科学院或皇家学会外籍院士与会员。

先后获美国国家科学奖章、以色列沃尔夫奖、中国国际科技合作奖及首届邵逸夫数学科学奖等多项荣誉。

2002年被推选为在北京召开的国际数学家大会名誉主席。

2004年11月2日，经国际天文学联合会下属的小天体命名委员会讨论通过，将中国国家天文台施密特CCD小行星项目组所发现的永久编号为1998CS2号的小行星命名为“陈省身星”，以表彰他的贡献。

陈省身获得了许多科学荣誉职位：美国国家科学院院士(1961年)[继物理学家吴健雄之后当选为第二位华裔美国国家科学院院士，这是美国科学界的最高荣誉职位]，第三世界科学院创始成员(1983年)，英国皇家学会国外会员(1985年)，意大利国家科学院外籍院士(1988年)，法国科学院外籍院士(1989年)。

1994年当选为首批中国科学院外籍院士。

获得奖项1970年，获得美国数学协会的肖夫内奖。

1976年，获美国福特总统颁发的美国国家科学奖章，这是美国在科学、数学、工程方面的最高奖；陈省身和吴健雄是最早获得该项荣誉的华人科学家。

1983年，美国数学会“全体成就”的斯蒂尔奖（Steele）。

1984年获以色列总统贺索颁发的沃尔夫数学奖，这是世界数学领域的最高奖项之一；陈省身是获得沃尔夫奖荣誉的第一位华裔数学家、第二位华裔科学家。

六数苏灵甫

六年级数学学科导学案编写人：苏灵甫初审人：审核人：执行审核人：课题：圆锥的认识及体积班级：小组：姓名：【学习目标】1、认识圆锥的特征。

2、理解并掌握圆锥体积公式的推导过程，并能正确计算。

重点、难点：1、圆锥体积的计算及公式推导。

2、理解同底等高圆柱体积与圆锥体积的关系。

学法指导：用5分钟的时间完成已学知识回顾部分，用结合课24本，独学15分钟完成预习指导部分。

不懂得地方用红色笔做上标记。

【预习指导】一、已学知识回顾1、圆柱的特征：圆柱上下两个底面是形，侧面展开是形或形，长方形的长等于，宽等于圆柱的，所以：圆柱的侧面积＝。

2、圆柱上下两个底面之间的距离叫做圆柱的，圆柱有高。

3、求圆柱的体积。

（1）一个圆柱的底面积是3厘米，高是4厘米。

（2）一个圆柱的底面半径是4米，高是2米。

（3）一个圆柱的底面直径是5分米，高是2分米。

二、预习指导（独立完成可别忘记了检查，有疑惑的地方和对子间讨论哦）（一）教材助读：认真看课本24页，总结一个圆锥的特征。

圆锥有个底面，是形，侧面是一个，有个顶点。

圆锥顶点到底面圆心的距离叫做圆锥的，圆锥有条高。

（二）认真研读课本25--26页。

1、拿出手中的等底等高的圆柱、圆锥容器。

2、用倒沙子的方法试一试，你发现了什么？。

3、通过试验你得到了什么结论？。

V圆锥＝。

自我检测补充习题第15--16页【课内探究】一、填空。

1、一个圆柱和圆锥等底等高。

（1）如果圆柱的体积是24立方厘米，圆锥的体积是立方厘米。

（2) 如果圆锥的体积是24立方厘米，圆柱的体积是立方厘米。

（3）一个圆柱和圆锥的体积和是24立方厘米，圆柱的体积是，圆锥的体积是。

（4）如果一个圆柱的体积比圆锥多24立方厘米，圆柱的体积是，圆锥的体积是。

2、一个圆柱底面半径是3厘米，高是6厘米，把它削成一个最大的圆锥，圆柱的体积是，圆锥的体积是。

3、一个圆锥底面积是8平方厘米，体积是24立方厘米，它的高是。

二、解决问题。

1、一个圆柱的底面周长是25.12厘米，高是24厘米，把它削成一个最大的圆锥，削去的体积是多少？2、把一个棱长是6厘米的正方体，加工成一个最大的圆柱体，体积是多少？3、把一个棱长是6厘米的正方体，加工成一个最大圆锥体，体积是多少？4、把3块底面半径是4厘米，高12厘米圆锥体钢块，做成一个底面半径是6厘米的圆柱体，圆柱的高是多少？5、一个圆锥沙堆，底面周长是12.56米，高是6米，把它铺在宽为1.5米，厚为30厘米的公路上，能铺多长？【当堂检测】练习与测试第12--13页。

苏教版六年级上册数学第六单元《“求一个数是另一个数的百分之几”的简单问题(例5)》说课稿

苏教版六年级上册数学第六单元《“求一个数是另一个数的百分之几”的简单问题（例5）》说课稿一. 教材分析苏教版六年级上册数学第六单元《“求一个数是另一个数的百分之几”的简单问题（例5）》是在学生已经掌握了百分数的意义、百分数的计算方法等知识的基础上进行学习的。

本节课主要让学生学会如何求一个数是另一个数的百分之几，以及如何解决相关的实际问题。

教材通过例5以及相应的练习，帮助学生巩固求百分比的方法，并能够灵活运用到生活实际中。

二. 学情分析六年级的学生已经具备了一定的数学基础，对百分数的概念和计算方法有一定的了解。

但是，对于如何求一个数是另一个数的百分之几，部分学生可能会感到困惑。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习需求，针对学生的实际情况进行教学设计。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解求一个数是另一个数的百分之几的意义，掌握求百分比的方法，并能解决相关的实际问题。

2.过程与方法目标：通过小组合作、讨论交流等方式，培养学生解决问题的能力，提高学生的数学思维水平。

3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的自主学习能力，使学生感受到数学在生活中的应用。

四. 说教学重难点1.教学重点：求一个数是另一个数的百分之几的方法。

2.教学难点：如何将求百分比的方法灵活运用到实际问题中。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用启发式教学法、情境教学法、小组合作法等，引导学生主动探究、积极思考。

2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型等辅助教学，提高教学效果。

六. 说教学过程1.导入新课：通过一个生活中的实际问题，引发学生对求一个数是另一个数的百分之几的兴趣。

2.探究新知：引导学生通过小组合作、讨论交流的方式，探索求百分比的方法，并总结规律。

3.巩固新知：通过PPT展示不同类型的实际问题，让学生独立解决，巩固求百分比的方法。

4.拓展应用：出示一些综合性的实际问题，让学生运用所学知识解决，提高学生的解决问题的能力。

6.1.3演绎推理_课件-湘教版数学选修2-2

注意：①三段论推理的根据，用集合的观点来讲就是：若集合M中所有元素都具有性质P，S是M的子集，那么S中所有元素都具有性质P.
②演绎推理是一个必然性推理，演绎推理的前提与结论之间有蕴涵关系，因而，只要大前提、小前提都是真实的，推理的情势是正确的，那么结论必是真实的．但错误的前提可能导致错误的结论．
2．若a，b是正实数，且a≠b，试比较aabb与abba的大小．解根据同底数幂的运算法则，可考虑用比值比较法， aaabbbba＝aa－b·bb－a＝aba－b. 当a>b>0时，ab>1，a－b>0，则aba－b>1，于是aabb>abba；
当b>a>0时，0<ab<1，a－b<0，则aba－b>1，于是aabb>abba. 综上所述，对于不相等的正数a，b都有aabb>abba.
∴在Rt△VBC中，V1D2＝V1B2＋V1C2，在Rt△VAD中，V1H2＝V1A2＋V1D2， ∴V1H2＝V1A2＋V1B2＋V1C2，即h12＝a12＋b12＋c12. 结论中的三条侧棱两两垂直，可等价变为三个侧面两两垂直．
误区警示三段论推理的周密性不容忽视
【例4】“因为过不共线的三点有且仅有一个平面(大前提)，而A、B、C为空间三点(小前提)，所以过A、B、C三点只能确定一个平面(结论)．” 上述推理的结论正确吗？为什么？ [错解] 符合三段论推理情势证明，故命题正确．错解分析只有在大前提、小前提、推理过程都正确的情况下，结论才一定正确，否则，结论不一定正确．
2．三段论常用格式为：①M是P，② S是M ，③S是P；其中 ①是大前提，它提供了一个一般性原理；②是小前提，它指出了一个特殊对象；③是结论，它根据一般原理，对特殊情况作出的判断．

苏教版六年级上册数学第6单元《6-2百分数的意义练习课》说课稿

苏教版六年级上册数学第6单元《6-2百分数的意义练习课》说课稿一. 教材分析苏教版六年级上册数学第6单元《6-2百分数的意义练习课》这一节课，是在学生已经掌握了百分数的定义、性质和用途的基础上进行的一节练习课。

教材通过大量的实例，使学生进一步理解百分数的意义，提高学生运用百分数解决实际问题的能力。

二. 学情分析六年级的学生已经具备了一定的数学基础，对百分数的概念有了初步的认识。

但是，学生在应用百分数解决实际问题时，还存在一定的困难。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的认知水平，引导学生通过实例深入理解百分数的意义，提高学生的数学应用能力。

三. 说教学目标1.知识与技能：通过练习，使学生进一步理解百分数的意义，掌握百分数的应用。

2.过程与方法：通过观察、分析、归纳等方法，让学生在实际问题中运用百分数，提高解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣，培养学生合作、探究的学习精神。

四. 说教学重难点1.教学重点：进一步理解百分数的意义，掌握百分数的应用。

2.教学难点：在实际问题中灵活运用百分数，解决生活中的问题。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用启发式教学法、案例教学法、小组合作学习法等。

2.教学手段：利用多媒体课件、教学卡片、实物模型等辅助教学。

六. 说教学过程1.导入新课：通过一个生活中的实例，引出百分数的概念，激发学生的学习兴趣。

2.教学讲解：讲解百分数的意义，引导学生通过实例理解百分数的应用。

3.练习巩固：设计一系列的练习题，让学生在实际问题中运用百分数，巩固所学知识。

4.课堂小结：引导学生总结本节课所学内容，巩固知识点。

5.课后作业：布置一些相关的练习题，让学生课后巩固所学知识。

七. 说板书设计板书设计要简洁明了，突出百分数的意义和应用。

可以设计如下板书：百分数的意义应用•表示两数之间的倍数关系 * 解决实际问题•只能表示两数的倍数关系 *•不能表示具体数量 *八. 说教学评价教学评价可以从以下几个方面进行：1.学生对百分数知识的掌握程度。

苏教版高中数学选择性必修第二册-第6章-章末复习课【教学课件】

例2 如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD， AB∥CD，AB＝AD＝2，CD＝4，M为CE的中点.
(1)求证：BM∥平面ADEF；
证明 ∵平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD， AD⊥ED，ED⊂平面ADEF， ∴ED⊥平面ABCD. 以 D 为原点，D→A，D→C，D→E分别为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系. 则D(0,0,0)，A(2,0,0)， B(2,2,0)，C(0,4,0)，E(0,0,2)，F(2,0,2). ∵M为EC的中点， ∴M(0,2,1)，
所以E→F＝(0，－1，－1)，E→G＝(1，－1，－1). 设平面EFG的法向量是n＝(x，y，z)，则nn··EE→→FG＝＝00，，即yx＋－zy＝－0z＝，0. 令 y＝1，得 z＝－1，x＝0，
即n＝(0,1，－1). 显然P→A＝(3,0,0)是平面 PBC 的一个法向量.
又 n·P→A＝0，所以 n⊥P→A，
解如图所示，以AD的中点O为原点，以OD，OC所在直线为x轴、y轴，过O作OM⊥平面ACD交AB于M，以直线OM为z轴建立空间直角坐标系，
则 A－12，0，0，B 32－1，0，21，C0， 23，0，D12，0，0， ∴A→C ＝12， 23，0，
→ AB
＝
23，0，12，D→C＝－12，
所以m为平面PAC的一个法向量.
设
n ＝ (x ， y ， z) 为平面
EAC
的
一
个
法
向
量
，
则
n·C→A＝0， n·C→E＝0，
即
x＋y＝0， x－y＋az＝0，
取x＝a，可得n＝(a，－a，－2)，依题意得，

有效培养数学结构化思维的路径探究——基于“锚定代数关系显妙手”的解读

2022年第36期教育教学6SCIENCE FANS 结构化思维是指人们在认识世界的过程中，从结构的角度出发，利用整体和部分的关系，有序地思考，从而更清晰地表达、更有效地解决问题的思维方式[1]。

其中的“结构”是指事物内部各个组成部分之间的组建形式。

苏步青数学教育奖获得者、江苏省中学数学特级教师卜以楼老师开设的公益讲座“锚定代数关系显妙手”，能够为教师在教学实践中应用结构化思维指明方向。

1 “锚定代数关系显妙手”讲座情景再现“锚定代数关系显妙手”讲座以独特的教师“提问—解答—再提问—再解答”的方式展开，从代数问题出发，引导教师思考代数、函数和方程这三者的密切联系。

按照对题型的分析，可将讲座分为四个部分。

【讲座片段一】已知a +b =105，求a 2-b 2+205b +314的值。

（方法一）厉老师：根据a +b =105，采用整体代入法。

原式=(a +b )(a -b )+205b +314=105(a -b )+ 205b +314=105(a +b )+314=814。

（方法二）厉老师：如果是选择填空题的话，我会选择运用特殊值法，这样可能比较快。

如可以取b =0，a =105，直接往这个式子里面一代，即当b =0时，a =105，原式=500+314=814。

诸老师：你为什么认为取这个特殊值就能代表a +b =105之间的关系呢？代进去计算出来的值就是满足一切的呢？厉老师：因为a 、b 的取值范围是任意实数，那肯定要符合二者之间的关系。

刘老师：相当于用了它的一个特例去解题，诸老师这么问的原因是什么？就是特例得到的答案一定是全部吗？这可能是个问题，因为我们知道学生非常喜欢用特殊值法，就是这个答案是不是唯一的还不太清楚。

（方法三）诸老师：其实这里面我觉得我们静态地看是一个代数式a +b =105，静态地去求一个代数式的值。

我个人的理解是，看待一些代数式的结构，也可以动态地来看。

那么动态地来看，其实就是后面的这个代数式的值相当于一个函数，我们令这个代数式为y 是一个函数，如果把上面那个a 用b 来表示，那么就是关于a 的一个函数，再代入求值。

苏教版六年级上册数学思维数学-第6课拜师学艺(百分数)(课件)

第十课源自师学艺百分数百分数
聪明兔和阿力终于找到食神，成功拜师。拜食神为师后，要先从采购员做起。
百分数
不甘寂寞的聪明兔很快就和当地水果店老板称兄道弟起来。水果店的老板告诉它，水果店最近卖了两批水果，卖得的钱都是2400元，与原价相比，第一批赚了20％，第二批赔了20％，老板请它猜一猜，水果店是赚了还是赔了？
百分数
百分数
对于这个问题，你想如何进行研究呢？请把你的想法简单地写一写：
要是你还没有什么头绪的话，不妨再看看下面的提示：
百分数
1．阿力拉着聪明兔来到超市准备买20听可乐。
百分数
2．回到师傅那里，阿力发现师傅正在卸货，他连忙跑过去把一个装满油的油桶卸了下来。这个油桶连桶重33千克，当阿力倒出30％的油装进小桶后，剩下的油连桶重24千克，这个油桶重多少千克？
3．食神让聪明兔去杂货铺买酱油，当它走了全程的70％后，发现超过中点40米，食神住处到杂货铺有多远？
百分数
4．食神让他们练习抻面，阿力在抻面的过程中，先切去了 30％后，聪明兔又帮他接上70厘米，结果比原来的面条长了40％。面条原来长多少厘米？
百分数
5．食神让阿力学习配菜，阿力从篮子里第一次取出30％的黄瓜，第二次比第一次多取出4根，篮子里还剩6根。篮子里原来有多少根黄瓜？

福建省厦门六中2009学年高三上期中考试文科

福建省厦门六中2009学年上学期高三期中考试数学 (文科) 试卷满分：150分考试时间：120分钟命题人：杜幼兰命题时间：2009年10月参考公式：球的表面积公式：24πS R =（其中R 表示球的半径）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1 设集合{}{}|1|22A x x B x x =>-=-<<，，则A B =A {}1x x >-|B {}|2x x >-Ｃ{}|21x x -<<-Ｄ{}|12x x -<<2．直线210x y -+=关于直线1x =对称的直线方程是Ａ 210x y +-= Ｂ 210x y +-= Ｃ 230x y +-=Ｄ 230x y +-=3 等比数列{}n a 中，44a =，则62a a 等于Ａ 4Ｂ 8Ｃ 16Ｄ 324 “双曲线的方程为116922=-y x ”是“双曲线的离心率为53”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知直线n m ,和平面βα,满足n m ⊥，α⊥m ，βα⊥，则.A n β⊥ β//.n B 或β⊂n α⊥n C . D α//.n 或α⊂n6．为得到函数πcos 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin y x =的图像 A ．向左平移π6个长度单位B ．向右平移π6个长度单位A 1PC ．向左平移5π6个长度单位 D ．向右平移5π6个长度单位 7．设0x 是方程ln 4x x +=的解，则0x 属于区间A. （0，1）B. （1，2）C. （2，3）D.（3，4） 8．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是A ．32π B．24π C ．20π D ．16π 9 若cos 2π2sin 4αα=-⎛⎫- ⎪⎝⎭，则cos sin αα+的值为 A12 BC 12- D 2-10．曲线313y x x =+在点413⎛⎫⎪⎝⎭，处的切线与坐标轴围成的三角形面积为 A19 Ｂ29Ｃ13Ｄ2311．若不等式组502x y y a x -+0⎧⎪⎨⎪⎩≥，≥，≤≤表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是A 5a <Ｂ 7a ≥C 5a <或7a ≥Ｄ 57a <≤12．函数2441()431x x f x x x x -⎧=⎨-+>⎩， ≤，的图象和函数2()log g x x =的图象的交点个数是A 1B 2C 3D 4第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13.已知||3u =，||4v =，以u 与v 同向，则u v ⋅= ． 14.设函数))(2()(a x x x f +-=为偶函数，则a =15.经过圆0222=++y x x 的圆心C ，且与直线0x y +=垂直的直线方程是 16．如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为1，高为8，一质点自A 点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周．．到达1A 点的最短路线的长为直观图俯视图C三、解答题：（本大题共6小题，，共74分。

复数与一类不定方程通解的关系

复数与一类不定方程通解的关系
苏剑林
【期刊名称】《新高考（高二数学）》
【年(卷),期】2015(000)003
【摘要】四元数源于把复数的｜（a＋bi）（c＋di）｜=｜n＋b｜·｜c＋di｜这一独特的性质进行高维推广．为什么偏爱这一性质？读者或许已经初步知道一些用到复数的这一性质的例子，有几何方面的，也有物理方面的，这一性质为处理模长相关问题带来了方便．本文介绍它在求三元二次齐次不定方程的整数通解中的应用，这一例子同样展示了复数这一性质的神奇，让我们不得不认同当初哈密顿为了将其推广到高维而不惜耗费十年光阴的努力．
【总页数】1页(P27)
【作者】苏剑林
【作者单位】
【正文语种】中文
【相关文献】
1.破解"勾股弦公式"千古构造之谜——用代数法巧妙求出不定方程X2+Y2=Z2之通解
2.复数对应的点的平移与复数对应的向量平移--一类复数问题的错误解法剖析
3.破解“勾股弦公式”千古构造之谜——用代数法巧妙求出不定方程
X~2+Y~2=Z~2之通解4.破解“勾股弦公式”千古构造之谜——用代数法巧妙求出不定方程X^2＋Y^2=Z^2之通解5.看似崎岖最寻常成如艰辛却容易——数列中一类不定方程通解探秘
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

二年级上册数学【说课稿】-4.6 用2-6乘法口诀求商丨苏教版

二年级上册数学说课稿-4.6 用2-6乘法口诀求商丨苏教版一、教学目标1.知道2-6乘法口诀并能口算。

2.理解商的概念，掌握用2-6乘法口诀求商的方法。

3.练习口算，培养快速计算的习惯。

二、教学重点1.2-6乘法口诀。

2.求商的方法。

三、教学难点1.理解商的概念。

2.掌握用2-6乘法口诀求商的方法。

四、教学内容及方法1. 教学内容•2-6乘法口诀。

•用2-6乘法口诀求商。

2. 教学方法•导入：通过介绍生活中常见的计算问题，引导学生认识到口算的重要性。

•呈现：播放视频、图片等媒体资料，展示2-6乘法口诀，并讲解各个口诀的含义。

•演示：通过举例，讲解如何用2-6乘法口诀求商，并让学生跟随老师一起口算。

•练习：布置一些口算题目，让学生在限定时间内口算出结果。

•回顾：让学生互相交流，回顾学习到的知识点，并且针对不懂的地方进行解决。

1. 导入（5分钟）老师可以提出一些简单的口算问题，比如：“小李爸爸买了6瓶牛奶，每瓶是3元，他要交多少钱？”然后让学生口算，并询问学生的答案。

引导学生认识到口算在生活中的重要性。

2. 呈现（10分钟）播放2-6乘法口诀的视频，并通过口诀来教授各个乘法公式的含义。

2乘法口诀：一二三四五六七八九十，十乘十等于一百。

3乘法口诀：一二三四五六七八九十，三三得九捆在一起。

4乘法口诀：一二三四五六七八九十，四四个撇向左。

5乘法口诀：一二三四五六七八九十，五十三十两头顶。

6乘法口诀：一二三四五六七八九十，六六顶端好看又好玩。

3. 演示（15分钟）老师以例题的形式，演示如何用2-6乘法口诀求商，并让学生跟着口算出结果。

举例1：73除以3•用3乘法口诀，可以知道3×2=6，3×3=9，因此商至少为2。

•用7×3=21，减去73，得到52。

•用3乘法口诀，可以知道3×6=18，3×7=21，因此商为6余1。

因此，73÷3=24余1。

4. 练习（20分钟）老师可以布置一些口算题目，让学生在限定时间内口算出结果。

贵州省毕节地区2024高三冲刺(高考数学)统编版能力评测(巩固卷)完整试卷

贵州省毕节地区2024高三冲刺（高考数学）统编版能力评测(巩固卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知集合，，则中所有元素的和为（）A．B．C．D．0第(2)题设，则（）A．B．C．D．第(3)题已知为单位向量，且，则的最小值为（）A．2B．C．4D．6第(4)题算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一，算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠，例如，在百位档拨一颗下珠，十位档拨一颗上珠和两颗下珠，则表示数字，若在个、十、百、千位档中，先随机选择一档拨一颗上珠，再随机选择两个档位各拨一颗下珠，则所拨数字大于的概率为（）A．B．C．D．第(5)题十九世纪下半叶集合论的创立奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征．仿照“康托三分集”我们可以构造一个“四分集”，其操作过程如下：将闭区间均分为四段，去掉其中的区间段记为第一次操作；再将剩下的三个区间，分别均分为四段，并各自去掉第二个区间段，记为第二次操作；···如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为四段，同样各自去掉第二个区间段．操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“四分集”．若使去掉的各区间长度之和不小于，则需要操作的次数n的最小值为（参考数据：）（）A．11B．10C．9D．8第(6)题命题：“，的否定是（）A．，B．C．，D．，第(7)题如图所示是毕达哥拉斯的生长程序：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形边上再连接正方形，如此继续.设初始正方形的边长为，依次构造出的小正方形（含初始正方形）的边长构成数列，若的前n项和为，令，其中表示x，y中的较大值.若恒成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．已知集合，，则（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知，均为正数，且，则（）A．B．C．D．第(2)题设数列的前n 项和为，且，若，则下列结论正确的有（）A．B ．当时，取得最小值C ．当时，n 的最小值为7D．当时，取得最小值第(3)题已知数列中，，，则关于数列的说法正确的是（）A．B ．数列为递增数列C．D ．数列的前n项和小于三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题设为不等式组所表示的平面区域，为不等式组所表示的平面区域，其中，在内随机取一点，记点在内的概率为．（）若，则__________．（）的最大值是__________．第(2)题的二项展开式中的系数为________．第(3)题已知双曲线C ：，左、右焦点分别为，过点作一直线与双曲线C 的右半支交于P 、Q 两点，使得∠F 1PQ=90°，则△F 1PQ 的内切圆的半径r =________．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知，(1)不等式对任意恒成立，求的取值范围；(2)当有两个极值点时，求证：.第(2)题已知函数．(1)当时，，求的取值范围；(2)是否存在，使得？说明理由．第(3)题已知函数．（1）若，求；（2）求的值域．已知抛物线C：上的一点M（，4）到C的焦点F的距离为5.(1)求p的值；(2)若，点A，B在抛物线C上，且，N为垂足，当|MN|最大时，求直线AB的方程.第(5)题如图，点、，点在轴正半轴上，过线段的等分点作与垂直的射线，在上的动点使取得最大值的位置记作.是否存在一条圆锥曲线，对任意的正整数，点都在这条曲线上？说明理由.。

巧连神数69课详解

巧连神数69课详解
（原创版）
目录
1.引言：介绍巧连神数及其课程
2.课程内容：详解巧连神数的基本概念和方法
3.课程设置：介绍 69 课的具体安排和特点
4.学习效果：分析巧连神数课程的学习成果
5.结论：总结巧连神数 69 课详解的价值和意义
正文
巧连神数是一种传统的中国数学技巧，旨在通过独特的方法解决一些看似复杂的数学问题。

为了帮助更多的人掌握这一技巧，现在有一门名为“巧连神数 69 课详解”的课程，为广大学习者提供了一个深入了解和掌握巧连神数的平台。

这门课程内容丰富，涵盖了巧连神数的基本概念和方法。

从最基础的巧连神数概念入手，逐步引导学习者理解和运用各种巧连神数技巧。

课程以实例为基础，让学习者在实际操作中掌握巧连神数的应用，使他们能够熟练运用这些技巧解决实际问题。

课程设置方面，69 课详解分为基础课程和进阶课程。

基础课程主要讲解巧连神数的基本概念和方法，适合初学者；进阶课程则对巧连神数的高级技巧进行深入讲解，以满足不同层次学习者的需求。

此外，课程还设置了丰富的课后练习和作业，帮助学习者巩固所学内容。

通过学习这门课程，学习者可以掌握巧连神数的基本概念和方法，并能运用这些技巧解决实际问题。

同时，学习者还可以提高自己的逻辑思维能力和数学素养，为以后的学习和工作打下坚实基础。

总之，巧连神数 69 课详解是一门极具价值的课程，无论对于数学爱
好者还是专业学习者，都具有很大的参考价值和实用意义。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

六年级数学学科导学案
编写人：苏灵甫初审人：苏灵甫审核人：执行审核人：
课题：圆柱的体积
班级：小组：姓名：
【学习目标】
1、使学生理解圆柱体积的推导过程，理解并掌握圆柱体积的计算方法，并能正确计算圆柱的体积。

2、能运用圆柱体积的计算方法，解决有关实际问题发展学生的实践能力。

、
3、进一步丰富对圆柱的认识，提高空间观念。

重点、难点：1、圆柱的体积的计算方法。

2、圆柱体积公式的推导过程。

3、弄清圆柱体，弄清圆柱与长方体的关系。

学法指导：用5分钟的时间完成已学知识回顾部分，用结合课本19--20，独学15分钟完成预习指导部分。

不懂得地方用红色笔做上标记。

【预习指导】
一、已学知识回顾
1、一个圆柱形通风管，直径是10分米，长15分米，做这样10节需要多少铁皮？
2、一个圆柱形无盖水桶，底面半径是20厘米，高50厘米，做这样水桶需要多少铁皮?
3、一个圆柱形油桶，底面直径是40厘米，高1米，做这样的油桶需要多少铁皮？
二、预习指导
自学课本19页，将一个圆柱底面平均分成若干个扇形，将圆柱竖切，将切开每一部分拼在一起，得到一个近似的长方体。

那么：长方体的底面积等于圆柱的。

高等于。

长方体的体积圆柱的体积。

长方体体积＝底面积×高。

那么圆柱体的体积＝。

那么用V表示圆柱的体积，用S表示圆柱的底面积，用h表示圆柱的高，
则：圆柱的体积用字母表示为。

总结：求圆柱的体积必须具备哪些条件？。

自我检测
补充习题P11页
【课内探究】
1、一个圆柱形木料，底面半径是20厘米，长1米，求它的体积是多少？
2、一个底面直径为12分米，长14分米的圆柱，求这个圆柱的体积是多少？
3、一个圆柱底面周长是6.28米，高是2米，求它的体积是多少？
4、一个圆柱形木料长40厘米，把它截成3段，表面积增加180平方厘米，求原来木料的体积?
5、一个长方形的底面积是188.4平方厘米，宽是10厘米，沿着长方形的长卷成一个圆柱，求这个圆柱的体积是多少？
6、一个圆柱形木料底面直径是20厘米，沿着底面直径劈开表面积增加200平方厘米，求圆柱的体积？
【当堂检测】
练习与测试P10页。