2009年清华自主招生数学试题(理科文科)
清华大学自主招生完整版试题 数学 Word版含解析
一、选择题1.设复数z=cos 23π+isin 23π，则2111-1z z +-=（ ） (A)0 (B)1 (C)12 (D)322.设数列{}n a 为等差数列，p,q,k,l 为正整数，则“p+q>k+l ”是“p q k l a a a a +>+”的( )条件(A)充分不必要 (B)必要不充分 (C)充要 (D)既不充分也不必要 3.设A 、B 是抛物线y=2x 上两点，O 是坐标原点，若OA ⊥OB,则( )(A)|OA|·|OB|≥2 (B)|OA|+|OB|≥(C)直线AB 过抛物线y=2x 的焦点 (D)O 到直线AB 的距离小于等于14.设函数()f x 的定义域为(-1,1)，且满足：①()f x >0,x ∈(-1,0)；②()f x +()f y =()1x yf xy++，x 、y ∈(-1,1)，则()f x 为(A)奇函数 (B)偶函数 (C)减函数 (D)有界函数5.如图，已知直线y=kx+m 与曲线y=f (x)相切于两点，则F(x)=f (x)−kx 有（ ）(A)2个极大值点 (B)3个极大值点 (C)2个极小值点 (D)3个极小值点 6.△ABC 的三边分别为a 、b 、c ．若c=2，∠C=3π，且sinC+sin(B −A)−2sin2A=0,则有（ ）(A)b=2a (B)△ABC 的周长为△ABC 的面积为3(D)△ABC 的外接圆半径为7.设函数2()(3)x f x x e =-，则（ ）(A)()f x 有极小值，但无最小值 (B) ()f x 有极大值，但无最大值 (C)若方程()f x =b 恰有一个实根，则b>36e (D)若方程()f x =b 恰有三个不同实根，则0<b<36e 8.已知A={(x,y)∣222x y r +=}，B={(x,y)∣222()()x a y b r -+-=，已知A∩B={(11,x y ),(22,x y )}，则（ ）(A)0<22a b +<22r (B)1212()(y )0a x x b y -+-= (C)12x x +=a ，12y y +=b (D)22a b +=1122ax by +9.已知非负实数x,y,z 满足22244x y z +++2z=3，则5x+4y+3z 的最小值为（ ） (A)1 (B)2 (C)3 (D)410.设数列{n a }的前n 项和为n S ，若对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得n S =m a ，则（ ）（A ）{n a }可能为等差数列 （B ）{n a }可能为等比数列（C ）{n a }的任意一项均可写成{n a }的两项之差(D)对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得n a =m S11.运动会上，有6名选手参加100米比赛，观众甲猜测：4道或5道的选手得第一名；观众乙猜测：3道的选手不可能得第一名；观众丙猜测：1,2,6道选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4,5,6道的选手都不可能获得第一名．比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是（ ） (A)甲 (B)乙 (C)丙 (D)丁12.长方体ABCD −1111A B C D 中，AB=2，AD=A 1A =1，则A 到平面1A BD 的距离为（ ）(A)13 (B)23 (C)2(D)313.设不等式组||||22(1)x y y k x +≤⎧⎨+≤+⎩所表示的区域为D ，其面积为S ，则（ ）(A)若S=4，则k 的值唯一 (B)若S=12，则k 的值有2个(C)若D 为三角形，则0<k ≤23(D)若D 为五边形，则k>4 14.△ABC 的三边长是2,3,4，其外心为O ，则O A A B O B B C O C C A ⋅+⋅+⋅=（ ）(A)0 (B)−15 (C)−212(D)−29215.设随机事件A 与B 互相独立，且P(B)=0.5，P(A −B)=0.2，则（ ）(A)P(A)=0.4 (B)P(B −A)=0.3 (C)P(AB)=0.2 (D)P(A+B)=0.916.过△ABC 的重心作直线将△ABC 分成两部分，则这两部分的面积之比的（ ） (A)最小值为34 (B)最小值为45 (C)最大值为43 (D 最大值为5417.从正15边形的顶点中选出3个构成钝角三角形，则不同的选法有（ ）(A)105种 (B)225种 (C)315种 (D)420种18.已知存在实数r ，使得圆周222x y r +=上恰好有n 个整点，则n 可以等于（ ） (A)4 (B)6 (C)8 (D)12 19.设复数z 满足2|z|≤|z −1|，则（ ） (A)|z|的最大值为1 (B)|z|的最小值为13 (C)z 的虚部的最大值为23(D)z 的实部的最大值为1320.设m,n 是大于零的实数，a =(mcos α,msin α)，b =(ncos β,nsin β)，其中α,β∈[0,2π)α,β∈[0,2π)．定义向量12a =(2α2α),12b 2β2β)，记θ=α−β，则（ ）(A)12a ·12a =a (B)1122a b ⋅=2θ(C)112222||44a b mn θ-≥(D)112222||44a b mn θ+≥21.设数列{n a }满足：1a =6，13n n n a a n++=，则（ ） (A)∀n ∈N ∗,n a <3(1)n + (B)∀n ∈N ∗,n a ≠2015 (C)∃n ∈N ∗,n a 为完全平方数 (D)∃n ∈N ∗, n a 为完全立方数 22.在极坐标系中，下列方程表示的图形是椭圆的有（ ） （A ）ρ=1cos sin θθ+ （B ）ρ=12sin θ+ （C ）ρ=12cos θ- （D ）ρ=112sin θ+23.设函数2sin ()1xf x x x π=-+，则（ ）（A ）()f x ≤43(B)|()f x |≤5|x| (C)曲线y=()f x 存在对称轴 (D)曲线y=()f x 存在对称中心24.△ABC 的三边分别为a ,b,c ，若△ABC 为锐角三角形，则（ ） (A)sinA>cosB (B)tanA>cotB (C)222a b c +> (D)333a b c +>25.设函数()f x 的定义域是(−1,1)，若(0)f =(0)f '=1，则存在实数δ∈(0,1)，使得（ ） (A)()f x >0，x ∈(−δ,δ) (B)()f x 在(−δ,δ)上单调递增 (C)()f x >1，x ∈(0,δ) (D)()f x >1，x ∈(−δ,0)26.在直角坐标系中，已知A(−1,0)，B(1,0)．若对于y 轴上的任意n 个不同的点k P (k=1,2,…,n)，总存在两个不同的点i P ,j P ，使得|sin ∠A i P B −sin ∠A j P B|≤13，则n 的最小值为（ ）(A)3 (B)4 (C)5 (D)627.设非负实数x,y 满足2x+y=1，则的（ ）(A)最小值为45 (B)最小值为25 (C)最大值为1 (D)最大值为13+ 28.对于50个黑球和49个白球的任意排列（从左到右排成一行），则（ ）(A)存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多 (B)存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多(C)存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个 (D)存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个29.从1,2,3,4,5中挑出三个不同数字组成五位数，其中有两个数字各用两次，例如12231，则能得到的不同的五位数有（ ） (A)300个 (B)450个 (C)900个 (D)1800个30.设曲线L 的方程为42242(22)(2)y x y x x +++-=0，则（ ） (A)L 是轴对称图形 (B)L 是中心对称图形 (C)L ⊂{(x,y)∣22x y +≤1} (D)L ⊂{(x,y)∣−12≤y ≤12} ##Answer## 1.【解析】2111-1z z +-=211-zz z zz z +-=11-z z z z+-=22cos sin 1332221-cos sin 2sin 333i i i πππππ-+--=212sin 2sincos333i πππ-⋅-22cos()sin()33sin )22i i ππππ-+-+ =cos0sin 02sin [cos()sin()]366i i πππ+-+-77)sin()]66i ππ-+-1sin )662i i ππ+-=1，选B2.【简解】 ()p q k l a a a a +-+=[(p+q)-(k+l)]d ，与公差d 的符号有关，选D3.【解析】设A(211,x x ),B(222,x x ),OA OB ⋅=1212(1)x x x x +=0⇒211x x =-答案(A),||||OA OB ⋅=2，正确；答案(B),|OA|+|OB|≥2≥2,正确；答案(C),直线AB 的斜率为222121x x x x --=21x x +=111x x - 方程为y-21x =(111x x -)(x-1x ),焦点(0,14)不满足方程，错误；答案(D)，原点到直线AB ：(111x x -)x-y+1=0的距离≤1，正确。
2009年清华大学自主招生数学试卷(理综)〔精品解析版〕
，
得整系数多项式 f（x）＝x6﹣6x4+12x2﹣8，
∴f（
）＝
﹣6
+12
﹣8
3．有限条抛物线及其内部能否覆盖整个坐标平面？证明你的结论． 【解答】解：不能． 取一条直线，使它不平行于任一抛物线的对称轴， 根据抛物线的图象和性质知直线上的点不能被完全覆盖．如图：
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（因一条直线若被抛物线覆盖，它必须是抛物线对称轴） 故有限条抛物线及其内部不能覆盖整个坐标平面．
大家拿到 考卷后 ，先看 是不是 本科考 试的试 卷，再 清点试 卷页码 是否齐 全，检 查试卷 有无破 损或漏 印、重 印、字 迹模糊 不清等 情况。 如果发 现问题 ，要及 时报告 监考老 师处理 。：1． 从前向 后，先 易后难 。通常 试题的 难易分 布是按 每一类 题型从 前向后 ，由易 到难。 因此， 解题顺 序 也宜按试 卷题号 从小到 大，从 前至后 依次解 答。当 然，有 时但也 不能机 械地按 部就班 。中间 有难题 出现时 ，可先 跳过去 ，到最 后攻它 或放弃 它。先 把容易 得到的 分数拿 到手， 不要“ 一条胡 同走到 黑”， 总的原 则是先 易后难 ，先选 择、填 空题， 后解答 题。2． 规范答 题，分 分计较 。 数学分 I 、II 卷， 第 I 卷 客观性 试题， 用计算 机阅读 ，一要 严格按 规定涂 卡，二 要认真 选择答 案。 第 II 卷为 主观性 试题， 一般情 况下， 除填空 题外， 大多解 答题一 题设若 干小题 ，通常 独立给 分。解 答时要 分步骤 （层次 ）解答 ，争取 步步得 分。 解题中 遇到困 难时， 能做几 步做几 步， 一分地争 取，也 可以跳 过某一 小
5．A，B 两人轮流向黑板上写正整数，规则是：若 a1，a2，…an 出现在黑板上，则形如
清华北大自主招生模拟试题(数学)
自主招生模拟试题--03一、选择题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)1.设A 是整数集的一个非空子集,对于A k ∈,如果A k ∉-1,且A k ∉+1,那么称k 是A 的一个“孤立元”．给定}8,7,6,5,4,3,2,1{=S ,由S 的三个元素构成的所有集合中,不含“孤立元”的集合个数为【 】． A.5 B.6 C.7 D.82.若函数1463)(23+++=x x x x f ,且1)(=a f ,19)(=b f ,则=+b a 【 】． A.2- B.0 C.1 D.23.如果一条直线与一个平面垂直,那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是【 】．A.12B.18C.24D.364.某化工厂打算投入一条新的生产线,但需要经环保部门审批同意方可投入生产．已知该生产线连续生产n 年的累计产量为)12)(1(21)(++=n n n n f 吨,但如果年产量超过150吨,将会给环境造成危害．为保护环境,环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限的年数为【 】．A.5B.6C.7D.8 5.若ABC ∆的内角A B C ,,所对的边,,a b c 成等比数列,则sin cot cos sin cot cos A C AB C B++的取值范围是【 】．A.(0,)+∞B.51(0,)2+ C.5151(,)22-+ D.51(,)2-+∞ 6.若设集合}10,,2,1{ =A ,则满足“每个子集至少有2个元素,且每个子集中任意两个元素之差的绝对值均大于1.”的A 的子集个数为【 】．A.55B.89C.109D.133 二、填空题(本大题共4小题,每小题3分,共12分) 7.函数424236131y x x x x x =--+--+的最大值为____________.8.若函数x x a y sin )3cos (2-=的最小值为3-,则实数a 的取值范围是____________.9.甲乙两人进行乒乓球比赛,约定每局胜者得1分,负者得0分,比赛进行到有一人比对方多2分或打满6 局时停止．设甲在每局中获胜的概率为23,乙在每局中获胜的概率为13,且各局胜负相互独立,则比赛停止时已打局数ξ的期望E ξ为____________.10.多面体上,位于同一条棱两端的顶点称为相邻的,如图,正方体的一个顶点A 在平面α内,其余顶点在α的同侧,正方体上与顶点A 相邻的三个顶点到α的距离分别为1,2和4,P 是正方体的其余四个顶点中的一个,则P 到平面α的距离可能是:①3； ②4； ③5； ④6； ⑤7以上结论正确的有______________.（写出所有正确结论的编号．．） 三、解答题(本大题共5小题,每小题14分,共70分)11.设b x ax x f ++=4)(2)0(<a ,方程0)(=x f 的两实根为21,x x ,方程x x f =)(的两实根为βα,. (1)若1||=-βα,求b a ,的关系式；(2)若b a ,均为负整数,且1||=-βα,求)(x f 的解析式； (3)若21<<<βα,求证:7)1)(1(21<++x x .12.已知正实数12,,n a a a …,的和为1,求证:222211212231112n n n n n a a a a a a a a a a a a --++++≥++++…. 13.设AB 是抛物线px y 22=)0(>p 的一条过焦点的弦,且AB 与x 轴不垂直,点P 是y 轴上异于坐标原点O 的一点,且满足B A P O ,,,四点共圆,设B A P ,,的纵坐标依次为210,,y y y ,求210y y y +的值.14.在直角坐标平面内,设x 轴,y 轴正方向上的单位向量分别是i ,j,该坐标平面内的点n A ,n B 满足以下两个条件:①1OA j = ,且1+n n A A ＝i ＋j ；②i OB 31=,且1+n n B B ＝2()33n i ⨯.(1)求n OA 及n OB 的坐标；(2)若四边形11++n n n n A B B A 的面积是n a ,求n a 的表达式；(3)是否存在正整数M ,对*N n ∈都有n a ＜M 成立？若存在,求M 的最小值；若不存在,说明理由． 15.设ABC ∆的内切圆半径为1,三边长a BC =,b CA =,c AB =.若a ,b ,c 都是整数,求证:ABC ∆为直角三角形.自主招生模拟试题答题纸ABCDA 1B 1C 1D 1第10题图α一、选择题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)题号 1 2 3 4 5 6 答案二、填空题(本大题共4小题,每小题3分,共12分)题号7 8 9 10 答案三、解答题(本大题共5小题,每小题14分,共70分)11.12.13.14.15.参考答案一、选择题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)1.设A 是整数集的一个非空子集,对于A k ∈,如果A k ∉-1,且A k ∉+1,那么称k 是A 的一个“孤立元”．给定}8,7,6,5,4,3,2,1{=S ,由S 的三个元素构成的所有集合中,不含“孤立元”的集合个数为【 】． A.5 B.6 C.7 D.8解析:依题可知,由S 的3个元素构成的所有集合中,不含“孤立元”,这三个元素一定是相连的三个数．故这样的集合共有6个．答案:62.若函数1463)(23+++=x x x x f ,且1)(=a f ,19)(=b f ,则=+b a 【 】． A.2- B.0 C.1 D.2()()()()()()()()()()()()()()()()()()3323333222223223614=13110,3131101,1311019,11123613=06380365=0f x x x x x xg y y y g y f a a a f b b b g a g b g a a b a a a a b a ab b a b b b b a =+++++++=+=++++==++++=⇒++∴+⇒+=-⎧+++⎪⇒+-+++++=⎨++-⎪⎩- 法一：设，则为奇函数且为单调递增函数，且=-9,=9,=-9=g -b-1,法二：易得()()()22260,380,0.D ab b a b a b ++>++>∴+<选。
09年清华自主招生考试试题
2009年各名校自主招生笔试试题2010年01月15日星期五 12:45清华大学2009年自主招生试题中英文综合(200分)1.语文部分(95分)甲文：白居易的粉丝(9分)1、请解释什么是“白居易现象”。
2、“文章已满行人耳，一度思卿一怆然。
”一句中的“文章”指的是什么？3、陈至呼为“白舍人行诗图”的根据是什么？4、作者写到“打开整部中国文学史上，与大众如此呼吸相通，生息相关，声气相连，心神相交的文人，还真是很少见有与他相匹敌者。
”作者似乎另有感慨，作者感慨的是什么哪乙文：4年前与奥巴马的邂逅(11分)(略)1、请具体说明文中“如同奥巴马所期待的那样”指的是什么？2、下文为奥巴马当选总统后的演讲，请说明文中“我”的作用和下文中安·尼克松·库伯的作用分别是什么？丙文：历史与记忆(13分)(略)1、文中“记忆能否擦拭掉历史的尘垢，恢复其本来面目？”显然有两种回答：能或不能。
请选择一种，并举例论证。
2、“在押往集中营的火车上，她设法递出了令人揪心的一封明信片。
她说，她不知道她的孩子在哭泣，在挨饿？他要死了吗？她希望有人去照料一下她的孩子啊！这份明信片现在就在博物馆里展出。
"作者举这个例子的目的是什么？3、如果《中国发展年鉴》要增加一个词条“城市记忆”，请你做一个解释。
(30字以内)丁文：传统油画过气了吗？(12分)(略)1、最后说这种诗意又是“东方式”的，怎么理解？2.式微一词出自哪？它的意思是什么？3、文中与架上油画意思相同的词还有哪些？(请写出两个)4、传统油画仍是绘画艺术中魅力犹存的主流样式。
在作者看来，原因是什么甲--丁文：作文1、下面的词都是与原文相关的词汇，选择其中的5个，做简单的解释。
(5分)IT 粉丝过气涂鸦小众化2、上面四篇文章是选自某一期报纸的某一版面，请你为这个版面拟一个称谓，并说明你的构想(800字左右)(45分)2.英语部分(80分)1、10个词汇题，给出一句话，将其中一个词划线，从A、B、C、D中选出与划线词意思相近的词。
2009年清华大学自主招生与保送考试试题(各科齐全)
2009年1月1-2日清华大学自主招生考试试题分两天1月1日上午9：00-12：00 中英文综合200分下午2：00-3：30 数学100分下午4：00-5：30 物理100分1月2日上午9：00-12：00 理科综合300分，数学物理化学各100分中英文综合题型分值第一部分英语基础（40分）单选词汇（1分×10）单元语法与词汇（1分×10）完形填空（1分×20）第二部分英语阅读（2分×20=40分）共8篇左右，每篇后2至3个单选题。
内容基本为美国文化政治第三部分中文（94分）4篇文章，后面分5大题：每篇的阅读理解题，第五大题为新词解释与作文第四部分中英文综合应用（26分）给一段文言文，翻译成中文（6分），用英文概括大意并评论（20分）第一部分英语基础（略）第二部分英语阅读（略）第三部分中文（全）白居易的粉丝李国文中国文学，一直有大众化和小众化的分野。
唐代的白居易，则是最能代表中国文学大众化的典型诗人。
白居易，生于公元772年（唐代宗大历七年），终于公元846年（唐武宗会昌六年），活了74岁。
经历顺宗、宪宗、穆宗、敬宗、文宗、武宗六朝。
无论当时，无论后世，谈及这位诗人，离不开以下三点：一，他在诗坛领袖群伦，推动潮流的地位；二，他在朝野引起轰动，遐迩知名的程度；三，作为诗人，他在当时中国人之大多数心目中的无与伦比的尊崇，非同凡响的声望，他的粉丝，可以说是举国上下，遍地皆是，大江南北，无处不在，这也许是最值得大书而特书的中国文学的‚白居易现象‛。
他的朋友元稹为他的诗集《白氏长庆集》序中，这样写道：‚二十年间，禁省、观寺、邮候、墙壁之上无不书，王公、妾妇、马走之口无不道。
缮写模勒，炫卖于市井中，或持之以交酒茗者，处处皆是。
‛明人胡震享的《唐音癸签》一书中引《丰年录》：‚开成中，物价至贱，村路卖鱼肉者，俗人买以胡绡半尺，士大夫买以乐天诗。
‛白居易的一首诗，竟可以换来一条胖头鱼，一方五花肉，我估计当代诗人的作品，怕难以卖出这样的高价来。
清华北大自主招生模拟试题(数学)
自主招生模拟试题--04说明：第1--4题每题15分,第5--6题每题20分,试卷总分为100分. 1.求最小的正实数k ,使得111()9ab bc ca k a b c+++++≥对所有的正实数,,a b c 都成立.2.如图,已知O 分别与等边三角形ABC 的三边,,AB BC CA 相切于点,,D E F ,设劣弧DF 上的点P 到三边,,AB BC CA 的距离依次为123,,d d d ,求证:132d d d +=.3.设定义在[1,1]-上的函数221()||33f x x bx c =-++的最大值为M ,求M 的最小值.4.如图,O 是边长为1的正六边形ABCDEF 的中心,一条路径是指从点O 出发,沿着线段又回到点O ,求长度为2013的路径条数.5.已知非直角三角形ABC 的最小边长为5,且tan tan tan [tan ][tan ][tan ]A B C A B C ++≤++,其中符号[]x 表示不超过实数x 的最大整数,求ABC ∆的面积？6.已知函数()bf x ax c x=++(0)a >的图像在点(1,(1))f 处的切线方程为1y x =-. (1)将,b c 用a 表示出来；(2)若()ln f x x ≥在[1,)+∞上恒成立,求a 的取值范围； (3)求证:对所有正整数n ,都有1111ln(1)232(1)n n n n ++++>+++ .OFABCEDd 1d 3d 2F DOE ABCP自主招生模拟试题答题纸1. 2.d 1d 3d 2FDOEABCP4.OFA B CE D参考答案1.求最小的正实数k ,使得111()9ab bc ca k a b c+++++≥对所有的正实数,,a b c 都成立. 解:首先令1a b c ===,则有2k ≥. 其次,证明:1112()9ab bc ca a b c+++++≥对所有的正实数,,a b c 都成立. 由于3111133ab ab a b a b++≥⋅⋅⋅=,同理可得:113bc b c ++≥,113ca c a ++≥.以上三式相加即得:1112()9ab bc ca a b c+++++≥. 综上可知,所求k 的最小值为2.2.如图,已知O 分别与等边三角形ABC 的三边,,AB BC CA 相切于点,,D E F ,设劣弧DF 上的点P 到三边,,AB BC CA 的距离依次为123,,d d d ,求证:132d d d +=.证明:如图,以O 为原点,OA 所在直线为y 轴建立坐标系,不妨设O 的半径为1,则点P 坐标为(cos ,sin )θθ(30150)θ︒≤≤︒,则由题意可得:直线AC 的方程为:cos30cos3010x y ︒+︒-=； 直线AB 的方程为:cos150cos15010x y ︒+︒-=； 直线BC 的方程为:01=+y .由点到直线的距离公式可得:13|cos cos30sin cos301||cos cos150sin cos1501|d d θθθθ+=︒+︒-+︒+︒-222sin (15)2sin (75)2[sin(15)sin(75)]2222θθθθ=-︒+-︒=-︒--︒2sin 12cos 2sin )2cos 2)(sin15sin 15(cos 2d =+=+=+︒-︒=θθθθθ.故,132d d d +=成立.3.设定义在[1,1]-上的函数221()||33f x x bx c =-++的最大值为M ,求M 的最小值. 解:由题意可知对任意的[1,1]x ∈-都有()f x M ≤,则: 21(1)|1|f b c M -=--+≤,1(0)||f c M =≤,21(1)|1|f b c M -=-++≤.y xd 1d 3d 2F DOEABCP故4(1)2(0)(1)M f f f ≥-++21121|1|2|||1|33333b c c b c =--+++-++21121|121|233333b c c b c ≥--+-⋅-++=. 即,12M ≥.事实上,当30,2b c ==时,21()||2f x x =-+在[1,1]-上的最大值为12.所以,实数M 的最小值为12. 4.如图,O 是边长为1的正六边形ABCDEF 的中心,一条路径是指从点O 出发,沿着线段又回到点O ,求长度为2013的路径条数. 解:由题意设从点O 出发沿着线段又回到点O ,且长度为n 的路径条数为n a ,从点A 出发沿着线段到点O ,且长度为n 的路径条数为n b ,则有11162n n n n n a b b a b ---=⎧⎨=+⎩1226n n n a a a --⇒=+.又由于6,021==a a ,故可求得1((77)(17)(77)(17))14n n n a =-⋅+++⋅-. 从而可得长度为2013的路径条数2013201320131((77)(17)(77)(17))14a =-⋅+++⋅-. 5.已知非直角三角形ABC 的最小边长为5,且tan tan tan [tan ][tan ][tan ]A B C A B C ++≤++,其中符号[]x 表示不超过实数x 的最大整数,求ABC ∆的面积？解:由题意知对所有实数x ,都有[]x x ≤,故tan tan tan [tan ][tan ][tan ]A B C A B C ++≥++.结合题目条件可知tan tan tan [tan ][tan ][tan ]A B C A B C ++=++,其中tan ,tan ,tan A B C 均为整数.不妨设tan ,tan ,tan A x B y C z ===(,,x y z 均为非零整数,且x y z ≤≤),则由tan tan()C A B =-+可得xyz x y z =++,而,,A B C 中最多一个钝角,即,y z 必为正整数,03xyz x y z z <=++≤,故3xy ≤,从而1,1x y ==,或1,2x y ==,或1,3x y ==.当1,1x y ==时,由xyz x y z =++知无解； 当1,2x y ==时,由xyz x y z =++知3z =；当1,3x y ==时,由xyz x y z =++知2z =,这与x y z ≤≤不符.故,在ABC ∆中,tan 1,tan 2,tan 3A B C ===,且5BC =.过点B 作高BD ,则在Rt BCD ∆中可求得DBACOFA BCE D1021,1023==CD BD ,在Rt ABD ∆中可求得3102AD =,故210AC =,故ABC ∆的面积为15. 6.已知函数()bf x ax c x=++(0)a >的图像在点(1,(1))f 处的切线方程为1y x =-.(1)将,b c 用a 表示出来；(2)若()ln f x x ≥在[1,)+∞上恒成立,求a 的取值范围； (3)求证:对所有正整数n ,都有1111ln(1)232(1)nn n n ++++>+++ . 解:(1)求导得2'()bf x a x =-,再由题意得'(1)1(1)0f a b f a b c =-=⎧⎨=++=⎩,解得112b a c a=-⎧⎨=-⎩(0)a >. (2)由(1)可知1()12a f x ax a x-=++-(0)a >. 令1()()ln 12ln a g x f x x ax a x x -=-=++--,[1,)x ∈+∞,则21(1)()'()aa x x a g x x ---=.当102a <<时,11a a ->,若1(1,)a x a-∈,则'()0g x <,故()g x 在区间1(1,)aa -上单调递减.所以,当1(1,)ax a -∈时,()(1)0g x g <=,即()ln f x x <,不合题意. 当12a ≥时,11aa-≤,若1x ≥,则'()0g x ≥,故()g x 在区间(1,)+∞上单调递增.所以,当[1,)x ∈+∞时,()(1)0g x g ≥=,即()ln f x x ≥,符合题意.综上可知,实数a 的取值范围为1[,)2+∞.(3)由(2)的结论知:当12a ≥时,()ln f x x ≥在[1,)+∞上恒成立. 取12a =时有11()()ln 2f x x x x =-≥在[1,)+∞上恒成立,当1x >时,11()()ln 2f x x x x=->.依次令2341,,,,123n x n += 可得:212111ln ln 20()(1)121222=-<-=+；3132111ln ln 3ln 2()()2223223=-<-=+；4143111ln ln 4ln 3()()3234234=-<-=+；……111111lnln(1)ln ()()2121n n n n n n n n n n ++=+-<-=+++.将以上n 个等式相加,整理可得:1111ln(1)232(1)nn n n ++++>+++ .。
2009年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)(数学理)有答案
2009年普通高等学校招生全国统一考试数 学（理工农医类）（北京卷）本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I 卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页，共150分。
考试时间120分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷（选择题 共40分）注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将答题卡上的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔填写，用2B 铅笔将准考证号对应的信息点涂黑。
2．每小题选出答案后，将答题卡上对应题目的答案选中涂满涂黑，黑度以盖住框内字母为准，修改时用橡皮擦除干净。
在试卷上作答无效。
一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1在复平面内，复数(12)z i i =+对应的点位于 （ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】B2．已知向量a 、b 不共线，c k =a +b (k ∈R ),d =a -b ,如果c //d ，那么 （ ） A ．1k =且c 与d 同向 B ．1k =且c 与d 反向 C ．1k =-且c 与d 同向 D ．1k =-且c 与d 反向 【答案】D3．为了得到函数3lg10x y +=的图像，只需把函数lg y x =的图像上所有的点 （ ） A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 【答案】C4．若正四棱柱1111ABCD A BC D -的底面边长为1，1AB 与面ABCD 成60°角，则11AC 到底面ABCD 的距离为 （ ）A ．3B ．1C D 【答案】D 5．“2()6k k Z παπ=+∈”是“1cos 22α=”的 （ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A6．若5(1,a a b =+为有理数），则a b += （ ） A ．45 B ．55 C ．70 D ．80 【答案】C7．用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为 （ ） A ．324 B ．328 C ．360 D ．648 【答案】B8．点P 在直线:1l y x =-上，若存在过P 的直线交抛物线2y x =于,A B 两点，且|||PA AB =，则称点P 为“点”，那么下列结论中正确的是 （ ）A ．直线l 上的所有点都是“点”B ．直线l 上仅有有限个点是“点”C ．直线l 上的所有点都不是“点”D ．直线l 上有无穷多个点（点不是所有的点）是“点”【答案】A2009年普通高等学校招生全国统一考试 数 学（理工农医类）（北京卷）第Ⅱ卷（共110分）注意事项：1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。
一道2009年清华大学自主招生数学试题的背景
质 数 问题 非 常古 老 ， 中 的猜 想 很 多 也 很 有 之
名， 比如哥 德 巴赫 （ ｌｂ ｃ ，６ ０～ １ ６ ）猜 想 Ｇｏｄ ａｈ １ ９ ７４ 等 ． 裔 数学 家 陶哲 轩 （ ｒｎ ｅＴ ｏ １ ７ ］华 Ｔｅｅ ｃ ａ ，９ ５～）
８１ ，４的素数 等 差数 列分 别 只有 一 个 ， 们 分别 是 它 ３ ５ ７ ３ ７ １ ； ，ｌ １ ； ，７ ３ ， 存 在 公 差 为 ， ， ； ， ， １ ３ １ ， ９ ３ １ ，１ 不
Ｐ∑ｎ ｎ＋３ ｃ ＋ ∑ ａ ｂ
２（ 一 ａ） ～ ６） Ｐ — ｆ 户 （ （ ）
由推论 易得 文 ［ ］的结论 ， ３ 还可 得 ： 差 为 ２ 公 ， ４ ８ １ ，ｏ ２ ，４ ３ ，ｏ ５ ， ，４ ２ 。８ ３ ， ８ ４ ，Ｏ的 素 数 等 差 数 列 分
别 只有一 个 （ 首 项 与项 数均 是 ３ ； 存 在 公 差 且 ）不
为 １ ， ２ ２ ，２ ４ ，６的素 数 等差数 列． ６ ２ ， ６ ３ ，４ ４
～
２ ｐ。＋ ｐ（ ｐ２— ８ ２ Ｒｒ一 ２ 。 ｒ ）＋ １ Ｒｒ ２ ｐ
２ ｒＰ
一
１ ６的 素数 等差 数列 ．
笔 者在 文［ ］中证 得 了 ４ 定 理 １ 首项 不 是 ３的素 数等 差数 列 的公 差
一
堡 一１
．
是 ６的倍 数 ．
所 以 有
２ Ｒ
一 一
Ｄ 十
公差 为 ８的等差数 列 ， 并证 明你 的结论 ．
解 设 这个 等差 数 列为 ａ ａ ８ ａ＋ １ ． ，＋ ， ６
若 ０— ３ （ ｎ ｎ∈ Ｎ ， ） 因为 ａ为质 数 ， 以 ａ一 所 ３ 得 这个 等 差数 列为 ３ ｌ ，９ 符 合题 意 ， ，ｌ １ ，
清华大学自主招生考试面试试题集锦
理科： 1、你最崇拜的一个科学家？为什么？ 2、班级里你最崇拜的一个同学？为什么？ 3、你最喜欢的一个数学公式？为什么？ 4、父亲和母亲哪一个对你的影响比较大？为什么？ 5、公理和定理有什么不同？ 6、“神六”发射的过程中，哪些现象能用物理原理解释？ 7、火箭喷射过程中有什么化学反应？ 8、台风过境哪些地区受到的影响最大？为什么？ 9、杭州到上海的距离，光速需要多少时间？ 10、如果你家里连续几天没人，怎么样才能让花盆里的花不被干死？ 11、为什么三角形的面积是底乘以高除以2？ 12、（面对一浙江考生）从北京到达浙江，光要行驶多长时间？ 13、在电视上，新闻节目主持人和远方记者通话，为何有时会出现远方记者“反应迟钝”、“慢一拍”的情形？ 文科： 1、你怎样理解鲁迅精神的？ 2、鲁迅笔名是怎么来的？ 3、你怎样理解巴金精神的？ 4、巴金的笔名是怎么来的？（部分笔试试题） 【数学】 1、对定义域为R的f(x)，有f(a,b)＝a·f(b)+b·f（a），且|f(x)|≤1，求证：f(x)恒为零。
2、对于空间四边形ABCD，求AC＋BD的最大值。
【物理】 1、德布罗意波是由著名物理学家德布罗意提出的，它告诉了一个物体质量、速度及其德布罗意波长的关系。
已知：电子ME＝9.1×10－31kg，h ＝6.63×10－34，e＝1.6×10－16，现一个点子经过150V加速后，求：（1）求其德布罗意波长，（2）此电子发出的波在何波段？ 【英语】 作文：以“你理想中的父母与孩子关系”写一篇150字左右的作文。
注：所有题目均为受访学生回忆文字，可能表述有差异。
■自主招生申请材料有哪些？ 随着自主招生工作的推进，各校对学生申请材料的重视程度增加。
一般，自主招生申请材料除了申请表以外，需附上获奖证书复印件，由学生所在中学提供的申报大学保送生和自主招生中学推荐表（请校长或主管校长签名并盖章），学生高中三年历次期中和期末考试的原始成绩单，高三阶段提供每一次年级统一考试等的学生各种获奖证明。
清华自主招生试题整理(舒展)
清华自主招生试题整理(2006--2012)2012年清华等五校自主招生试题--通用基础测试一、选择题1.若P 为ABC ∆内部任一点(不包括边界),且()(2)0PB PA PB PA PC -+-=,则ABC ∆必为( )A.直角三角形B.等边三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形 2.圆锥的轴截面SAB 是边长为2的等边三角形,O 为底面中心,M 为SO 的中点,动点P 在圆锥底面内(包括圆周).若MA MP ⊥,则P 点形成的轨迹的长度为( ) A.7 B.72C.3D.323.若以体积为54的正四面体的四个面的中心为顶点做一个四面体,则所作四面体的体积为( ) A.1B.2C.3D.44.某种型号的计算器上有一个特殊的按键,在计算器上显示正整数n 时按下这个按键,会等可能的将其替换为0,1,2,,1n - 中的任意一个数.如果初始时显示2011,反复按这个按键使得最终显示0,那么这个过程中,9,99,999都出现的概率是( ) A.4110 B.5110 C.6110 D.71105.已知,R αβ∈,直线1sin sin sin cos x y αβαβ+=++与1cos sin cos cos x y αβαβ+=++的交点在直线y x =-上,则cos sin c in s s o ααββ+++=( )A.0B.1C.1-D.2 6.设lg lg lg 111()121418x x xf x =+++++,则1()()f x f x +=( ) A.1 B.2 C.3 D.47.已知1cos 45θ=,则44sin cos θθ+=( )A.45B.35C.1D.45-8.若正四棱柱ABCD A B C D ''''-内接于一球,且1,'2AB AA ==,则点,A C 间的球面距离为( ) A.π4B.π2C.24π D.22π 9.若将满足,||3,||3x y x y <<<,且使得关于t 的方程33421()(3)0x y t x y t x y-+++=-没有实数根的点(,)x y 所成的集合记为M ,则由点集M 所确定的区域的面积为( ) A.814 B.834 C.815D.83510.已知椭圆22143x y +=的左,右焦点分别为12,F F ,过椭圆的右焦点作一条直线交椭圆于点,P Q ,则1F PQ∆的内切圆面积的最大值是( ) A.2516π B.925π C.1625π D.916π 二、解答题11.设2()(,)f x x bx c b c =++∈R .若||2x ≥时,()0f x ≥,且()f x 在区间(2,3]上的最大值为1,求22b c +的最大值和最小值.12.已知椭圆C :22221x y a b+=(0a b >>),其离心率为45,两准线之间的距离为252.(1)求,a b 之值；(2)设点A 坐标为(6,0),B 为椭圆C 上的动点,以A 为直角顶点,作等腰直角ABP ∆(字母,,A B P 按顺时针方向排列),求P 点的轨迹方程.13.已知数列{}n a 中的相邻两项212,k k a a -是关于x 的方程2(32)320k x k x k -++⋅=的两个根. (1)求数列{}n a 的前2n 项和2n S .(2)记1|sin |()(3)2sin n f n n =+,(2)(3)(4)()123456212(1)(1)(1)(1)f f f f n n n nT a a a a a a a a -----=++++ ,求证:15624n T ≤≤. 14.已知椭圆22221x y a b +=过定点(1,0)A ,且焦点在x 轴上,椭圆与曲线y x =的交点为,B C .现有以A 为焦点,过,B C 且开口向左的抛物线,其顶点坐标为(,0)M m ,当椭圆离心率满足2213e <<时,求实数m 的取值范围.15.已知从“神八”飞船带回的某种植物种子每粒成功发芽的概率都为13,某植物研究所进行该种子的发芽实验,每次实验种一料种子,每次实验结果相互独立.假定某次实验种子发芽则称该次实验是成功的,如果种子没有发芽,则称该次实验是失败的.若该研究所共进行四次实验,设ξ表示四次实验结束时实验成功的次数与失败的次数之差的绝对值 (1)求随机变量ξ的数学期望E ξ；(2)记“关于x 的不等式210x x ξξ-+>的解集是实数集R ”为事件A ,求事件A 发生的概率()P A .2012年清华大学保送生考试试题一、填空题1.若复数z 为虚数,且||1z =,Re ((12))1z i ⋅-=,则z =____________.2.在数列{}n a 中,11a =,12n n a a +=+.若数列11{}n n a a +的前n 项和为1837,则n =____________.3.现有6人会英语,4人会日语,2人都会(共12人),从其中选出3人做翻译,要求两种语言都有人做翻译,则符合条件的选法种数为____________.4.有一人进行投篮训练,投篮5次,失误一次扣1分,进一次得1分,连进2次得3分,连进3次得5分.若投篮的命中率为25,则投篮3次恰好得2分的概率为____________. 5.不定方程1111x y z++=()x y z ≤≤的解(,,)x y z 的组数为____________. 6.某几何体的三视图如右图所示,用,,αβγ分别表示主视图、左视图、俯视图,设,,S S S αβγ是实际几何体中能看到的面积,则,,S S S αβγ从小到大的顺序为____________.二、解答题 7.抛物线212y x =与直线l :4y x =+所围成区域中有一个矩形ABCD ,且点,A B 在抛物线上,点D 在直线l 上,其中点B 在y 轴右侧,且||2AB t =(0)t >.(1)当AB 与x 轴平行时,求矩形ABCD 面积()S t 的函数关系式； (2)当边CD 在直线l 上时,求矩形ABCD 面积的最大值. 8.已知函数3()2cos (sin 2)sin 32f x x x x =⋅+-,且[0,2]x π∈. (1)求函数()f x 的最大值和最小值； (2)求方程()3f x =的解.9.已知函数1()ln x e f x x-=,且数列{}n a 满足:11a =,1()n n a f a +=.(1)求证:10xxx e e ⋅-+≥恒成立； (2)求函数()f x 的单调区间；(3)求证:数列{}n a 单调递减,且0n a >恒成立.10.在OAB ∆内(含边界),其中O 为坐标原点,点A ,B 分别在在x 轴,y 轴的正半轴上,且2OA OB ==. (1)用方程或不等式表示OAB ∆围成的区域；(2)求证:在OAB ∆内的任意11个点,总可以分成两组,一组中各点的横坐标之和不大于6,另一组中各点的纵坐标之和不大于6.443俯视图左视图主视图γβα2011年清华等五校自主招生试题1.设*n N ∈,15n ≥.集合A ,B 都是{1,2,,}I n =⋅⋅⋅的真子集,A B =∅ ,A B I = .证明：集合A 或B 中,必有两个不同的数,它们的和为完全平方数.2.设函数2()(0)f x ax bx x a =++>,且方程()f x x =的两实数根是1x 和2x ,且10x >,211x x a->,又10t x <<.试比较()f t 与1x 的大小.3.求函数2(){|1|,|5|}f x max x x =+-的最小值,并求出相应的x 的值.4.已知()f x 是定义在R 上的不恒为0的函数,且对于任意的,a b R ∈,有()()()f a b a f b b f a ⋅=⋅+⋅. (1)求(0),(1)f f 的值；(2)判定函数()f x 的奇偶性,并证明你的结论； (3)若(2)2f =,(2)n n f u n-=,求数列{}n u 的前n 项和n S .5.已知关于x 的方程222(1)(1)ax a x +=-,1a >.证明方程的正跟比1小,负根比1-大.6.设a ,b 是两个正数,且a b <.当[,]x a b ∈时,246y x x =-+的最小值为a ,最大值为b ,求a ,b 值.7.某生产队想筑一面积为1442m 的长方形围栏,围栏一边靠墙.现有铁丝网50m ,筑成这样的围栏最少要多少铁丝网？已有的墙最多利用多长？最少利用多长？8.在正方形ABCD 中,过顶点D 作对角线CA 的平行线DE ,若CE CA =,且直线CE 交边DA 于点F .求证:AE AF =.9.设边长为,,a b c 的ABC ∆的重心为G ,外心为O ,外接圆半径为r ,||OG d =,求证:222229a b c r d ++=-. 10.设圆满足：①截y 轴所得弦长为2；②被x 轴分成两段弧,其弧长比为3:1,在满足上述条件的圆中,求圆心到直线:20l x y -=的距离最小的圆的方程.11.以A 为圆心,以2cos (0)2πθθ<<为半径的圆外有一点B . 已知2sin AB θ=,设过B 且与圆A 外切于点C 的圆的圆心为M .(1)当θ取某个值时,说明点M 的轨迹P 是什么曲线？(2)点M 是轨迹P 上的动点,点N 是圆A 上的动点,记MN 的最小值为()f θ.求()f θ的取值范围. 12.设数列{}n a 的前n 项和为n S ,点*(,)()nS n n N n∈均在函数32y x =-的图像上. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设13n n n b a a +=⋅,n T 数列{}n b 的前n 项和,求最小正整数m ,使得20n mT <对所有*n N ∈都成立.13.已知函数()24f x x =-+,12()()()n nS f f f n n n=++⋅⋅⋅+.若不等式11n n n n a a S S ++<恒成立,求实数a 的取值范围.2010年清华等五校自主招生试题--通用基础测试一、选择题 1.设复数2()1a i w i+=+,其中a 为实数,若w 的实部为2,则w 的虚部为( ) (A)32- (B)12- (C)12 (D)322.设向量,a b 满足||||1a b == ,a b m ⋅= ,则||a tb + ()t R ∈的最小值为( )(A)2 (B)21m + (C)1 (D)21m - 3.无试题 4.无试题5.在ABC ∆中,若三边长,,a b c 满足3a c b +=,则tantan 22A C=( ) (A)15 (B)14 (C)12 (D)236.如图,ABC ∆的两条高线,AD BE 交于H ,其外接圆圆心为O ,过O 作OF 垂直BC 于F ,OH 与AF 相交于点G ,则OFG ∆与GAH ∆面积之比为( )（A ）1:4 (B)1:3 (C)2:5 (D)1:27.设()e (0)ax f x a =>.过点(,0)P a 且平行于y 轴的直线与曲线:()C y f x =的交点为Q ,曲线C 过点Q 的切线交x 轴于点R ,则PQR ∆的面积的最小值是( )(A)1 (B)2e2(C)e 2 (D)2e 48.设双曲线2212:(2,0)4x y C k a k a -=>>,椭圆2222:14x y C a+=.若2C 的短轴长与1C 的实轴长的比值等于2C 的离心率,则1C 在2C 的一条准线上截得线段的长为( )(A)22k + (B)2 (C)44k + (D)49.欲将正六边形的各边和各条对角线都染为n 种颜色之一,使得以正六边形的任何三个顶点作为顶点的三角形有三种不同颜色的边,并且不同的三角形使用不同的三色组合,则n 的最小值为( )(A)6 (B)7 (C)8 (D)910.设定点A B C D 、、、是以O 点为中心的正四面体的顶点,用σ表示空间以直线OA 为轴满足条件()B C σ=的旋转,用τ表示空间关于OCD 所在平面的镜面反射,设l 为过AB 中点与CD 中点的直线,用ω表示空间以l 为轴的180°旋转.设στ 表示变换的复合,先作τ,再作σ.则ω可以表示为( )(A)στστσ (B)στστστ (C)τστστ (D)στσστσ 二、解答题11.在ABC ∆中,已知22sin cos212A BC ++=,外接圆半径2R =. (1)求角C 的大小； (2)求ABC ∆面积的最大值.12.设A B C D 、、、为抛物线24x y =上不同的四点,,A D 关于该抛物线的对称轴对称,BC 平行于该抛物线在点D 处的切线l .设D 到直线AB ,直线AC 的距离分别为12,d d ,已知122d d AD +=.(1)判断ABC ∆是锐角三角形、直角三角形、钝角三角形中的哪一种三角形,并说明理由； (2)若ABC ∆的面积为240,求点A 的坐标及直线BC 的方程. 13.(1)正四棱锥的体积23V =,求正四棱锥的表面积的最小值； (2)一般地,设正n 棱锥的体积V 为定值,试给出不依赖于n 的一个充分必要条件,使得正n 棱锥的表面积取得最小值.14.假定亲本总体中三种基因型式：,,AA Aa aa 的比例为:2:u v w (0,0,0,21)u v w u v w >>>++=且数量充分多,参与交配的亲本是该总体中随机的两个. (1)求子一代中,三种基因型式的比例；(2)子二代的三种基因型式的比例与子一代的三种基因型式的比例相同吗？并说明理由. 15.设函数()1x m f x x +=+,且存在函数()s t at b ϕ==+1(,0)2t a >≠满足2121()t s f t s-+=. (1)证明：存在函数()(0),t s cs d s ψ==+>满足2121()s t f s t+-=； (2)设113,(),1,2,.n n x x f x n +=== 证明:1123n n x --≤. 2009年清华大学保送生暨自主招生北京冬令营1.有限条抛物线(线和线的内部)能够覆盖整个平面吗？证明你的结论.2.请找出一个含有323+的整系数多项式.3.求0.4 1.2|22|i i e e ++的模.4.现有一数字游戏:有1到100的数,两个人轮流写.设已经写下的数为123,,,,n a a a a .若一个数x 能表示 成112233n n x x a x a x a x a =++++ (123,,,,n x x x x 为非负整数),则这个数不能够再被写.(如若3,5已被写,则83151=⨯+⨯不能再写,133152=⨯+⨯,93350=⨯+⨯也不能再被写).现在甲和乙玩这个游戏,已知5,6已经被写,现在轮到甲写,问:谁有必胜策略？5.一条跑马比赛最多只能有八匹马参加,假设同一匹马参加每一场比赛的表现都是一样的.问：可以有不多 于50场比赛,完全将64匹马的实力顺序排序吗？6.现有100个集装箱,每个集装箱装2个物品.现在将集装箱的物品全部拆卸,并且所有物品被打乱顺序.问:最坏情况下,需要多少个集装箱再次把所有物品装好？7.现有一游戏：图上有若干个点和若干条线,甲提供若干个硬币,乙可以任意将这些硬币全部摆放在点上, 并且指定一个目标定点P .现定义操作:从一个至少有两个硬币的点取走2个硬币,在它一个相邻的点上放 回一个硬币.在指定的图下,甲最少提供多少个硬币,可以保证经过若干次操作,一定能使目标顶点P 至少 有一枚硬币？(1)图是一个包含5个点的线段；(2)图是一个包含7个点的圈.2009年清华大学自主招生数学试题(理科)1.设5151+-的整数部分为a ,小数部分为b .(1)求,a b ； (2)求222ab a b ++； (3)求2lim()n n b b b →∞+++ .2.(1)已知,x y 为实数,且1x y +=,求证:对于任意正整数n 都有222112n n n x y -+≥.(2)已知,,a b c 为正实数,求证:3a b cxy z++≥,其中,,x y z 为,,a b c 的一种排列. 3.请写出所有三个数均为质数,且公差为8的等差数列,并证明你的结论.4.已知椭圆22221x y a b+=,过椭圆左顶点(,0)A a -的直线L 与椭圆交于Q ,与y 轴交于R ,过原点与L 平行的直线与椭圆交于P ,求证:AQ ,2OP ,AR 成等比数列.5.已知sin cos 1t t +=,设cos sin s t i t =+,求2()1n f s s s s =+++ .6.随机挑选一个三位数m , (1)求m 含有因子5的概率； (2)求m 中恰有两个数码相等的概率.7.四面体ABCD 中,AB CD =,AC BD =,AD BC =, (1)求证:四面体每个面的三角形为锐角三角形；(2)设三个面与底面BCD 所成的角分别为,,αβγ,求证:cos cos cos 1αβγ++=. 8.证明:当,p q 均为奇数时,曲线222y x px q =-+与x 轴的交点横坐标为无理数.9.设1221,,,n a a a + 均为整数,性质P 为:对1221,,,n a a a + 中任意2n 个数,存在一种分法可将其分为两组,每组n 个数,使得两组所有元素的和相等,求证:1221,,,n a a a + 全部相等当且仅当1221,,,n a a a + 具有性质P .2009年清华大学自主招生数学试题(文科)1.已知数列{}n a 满足(1)n S na n n =+-, (1)求证:{}n a 是等差数列； (2)求(,)nn S a n所在的直线方程. 2.把12名职员(其中三名为男性)被平均分配到三个部门, (1)求此三名男性被分别分到不同部门的概率； (2)求此三名男性被分到同一部门的概率；(3)若有一男性被分到指定部门,求其他两人被分到其他不同部门的概率. 3.一元三次函数()f x 的三次项数为3a,()90f x x +<的解集为(1,2). (1)若()70f x a +=,求()f x 的解析式； (2)若()f x 在R 上单调增,求a 的范围. 4.已知22PM PN -=,(2,0)M -,(2,0)N ,(1)求点P 的轨迹W ； (2)直线(2)y k x =-与W 交于点A ,B ,求OAB S ∆. 5.设12nx x x a n++=, 12231()()()()()()n n n S x a x a x a x a x a x a -=--+--++-- .(1)求证:30S ≤. (2)求4S 的最值,并给出此时1x ,2x ,3x ,4x 满足的条件. (3)若50S <,求1x ,2x ,3x ,4x ,5x 不符合时的条件.2008年清华大学自主招生试题1.已知,,a b c 都是有理数,a b c ++也是有理数,证明:,,a b c 都是有理数.2.(1)一个四面体,证明:至少存在一个顶点,从其出发的三条棱组成一个三角形； (2)四面体一个顶点处的三个角分别是,,arctan 223ππ,求3π的面和arctan2的面所成的二面角.3.求正整数区间[],()m n m n <中,不能被3整除的整数之和.4.已知sin cos 1sin 2ααα+=+,求α的取值范围.5.若20lim ()(0)1,(2)()x f x f f x f x x →==-=,求()f x .6.证明:以原点为中心的面积大于4的矩形中,至少还有两个格点.2007年清华大学自主招生试题1.求函数()xe f x x=的单调区间及极值.2.设正三角形1T 的边长为a ,1n T +是n T 的中点三角形,n A 为n T 除去1n T +后剩下的三个三角形内切圆面积之和.求1lim nk n k A →∞=∑.3.已知某音响设备由五个部件组成,A 电视机,B 影碟机,C 线路,D 左声道和E 右声道,其中每个部件工作的概率如下图所示.能听到声音,当且仅当A 与B 中有一工作,C 工作,D 与E 中有一工作；且若D 和E 同时工作则有立体声效果.求:(1)能听到立体声效果的概率； (2)听不到声音的概率. 4.(1)求三直线60x y +=,12y x =,0y =所围成三角形内的整点个数； (2)求满足21260y x y x x y <⎧⎪⎪>⎨⎪+=⎪⎩的整数解个数.5.已知正三角形ABC ∆的顶点,B C 在双曲线1(0)xy x =>的一支上,且点A 的坐标为(1,1)A --. (1)求证:点,B C 关于直线y x =对称； (2)求ABC ∆的周长.6.对于集合2M R ⊆,称M 为开集,当且仅当0P M ∀∈,0r ∃>,使得20{}P R PP r M ∈<⊆.判断集合{(,)4250}x y x y +->与{(,)0,0}x y x y ≥>是否为开集,并证明你的结论. 2006年清华大学自主招生试题1.求最小正整数n ,使得11()223nI i =+为纯虚数,并求出I .2.已知a b 、为非负数,44,1M a b a b =++=,求M 的最值.3.已知sin sin cos θαθ、、为等差数列,sin sin cos θβθ、、为等比数列,求1cos2cos22αβ-的值. 4.求由正整数组成的集合S ,使S 中的元素之和等于元素之积.5.随机取多少个整数,才能有0.9以上的概率使得这些数中至少有一个偶数.6.抛物线2y x =上点P (非原点)的切线分别交,x y 轴于,Q R ,求PQ PR.7.已知函数()f x 满足:对任意的实数,a b 都有()()()f a b a f b b f a ⋅=⋅+⋅,且|()|1f x ≤,求证:()f x 恒为零.(可用以下结论:若lim ()0,()x g x f x M →∞=≤,M 为一常数,那么lim(()())0x f x g x →∞⋅=.)。
2009年清华大学北大自主招生试题
清华大学考试科目笔试1月1日-2日理科：语文、数学、英语、物理和化学。
文科：语文、数学、英语、历史和政治。
面试：2009年1月中旬。
笔试成绩占70％，面试成绩占30％。
●“中英文综合题”——《汉书艺文志》》：“小说家者流，盖出于稗官，街谈巷语，道听途说者之所造也。
”要求考生先用现代汉语把这段古文翻译出来，再用英语概括其大义，并评论其观点。
●从“酷”“粉丝”“小众化”“媒体”等十个流行名词中选择5个，来解释其含义。
●名词解释：社会主义核心体系、恒生指数、独孤求败、文曲星、欧佩克、路透社等40个。
●将杜甫的《旅夜书怀》翻译成英文：细草微风岸，危樯独夜舟。
星垂平野阔，月涌大江流。
名岂文章著？官应老病休！飘飘何所似？天地一沙鸥！●作文：给出四段文章，内容分别为“历史与现实”、“传统油画是否过时”、“四年前一次与奥巴马在机场的相遇”等，彼此关系不大，但要求考生如果用这四篇文章组成报纸的一个副刊版面，给版面取一个名字，并阐述理由，要求不少于800字。
【文综】名词解释涵盖文史政经文科综合考试的第一部分是对40个名词进行解释，涵盖面非常广，包括历史、政治、经济、文学等各个方面，需要很大的阅读面和知识面。
第二部分是诗歌翻译，先把一首英文诗歌翻译成汉语;再把杜甫的《旅夜书怀》翻译成外语。
第三部分是评论题目，给出了选自《论语》、《孟子》和《荀子》中的多段语录，要求考生以“权威与个人”为题，不限文体和篇幅，分析这些论点，并写一篇文章阐述观点。
这个题目是国外某重点大学聘用终身国学大师所考的题目。
孟芊说，根据协议，参与命题的这所大学的教师将参与最终阅卷。
【理综】题目涉诺奖得主研究领域在理科综合试题中，理科卷分为数、理、化三部分。
其中化学题还涉及2002年诺贝尔化学奖获得者研究领域，在物理题中有道题问考生“如何在太空站这种失重环境下测量宇航员的质量”。
一方面考题重视考查学生的研究探索能力、解决实际问题的能力;另一方面也重视考生对理、化学科本身的理解。
[高考]2009、2010清华北大自主招生试题
![[高考]2009、2010清华北大自主招生试题](https://img.taocdn.com/s3/m/bb933beeba4cf7ec4afe04a1b0717fd5360cb29a.png)
2009北京大学自主招生语数外物化试题(理科)时间：2009-11-06 作者：来源：网络资源一数学1 圆内接四边形ABCD，AB=1，BC=2，CD=3，DA=4。
求圆半径。
2 已知一无穷等差数列中有3项：13，25，41。
求证：2009为数列中一项。
3 是否存在实数x使tanx+（根3）与cotx+（根3）为有理数？4 已知对任意x均有acosx+bcos2x>=-1恒成立，求a+b的最大值5 某次考试共有333名学生做对了1000道题。
做对3道及以下为不及格，6道及以上为优秀。
问不及格和优秀的人数哪个多？二英语1 单选20道，四级难度，20分。
2 阅读两篇，四级难度，10道，40分。
第一篇是关于“ideal body”的，第二篇是关于“materialism”的。
3 英译汉3句，比较简单，20分4 汉译英4句，仍然简单，20分三. 语文1 基础（1）写两个成语，然后曲解，6分。
（2）改病句：1我们都有一个家，名字叫中国。
2素胚勾勒出青花笔锋浓转淡。
6分（3）对联：博雅塔前人博雅（博雅塔为北大一风景），8分2 翻译古文一篇300字左右的文不加点的文言文,要求翻译全文(20分)书杜袭喻繁钦语后[1]·（清）林纾吴人之归，有绮其衣者[2]，衣数十袭[3]，届时而易之。
而特居于盗乡，盗涎而妇弗觉[4]，犹日炫其华绣于丛莽之下[5]，盗遂杀而取之。
盗不足论，而吾甚怪此妇知绮其衣，而不知所以置其身。
夫使托身于荐绅之家[6]，健者门焉，严扃深居，盗乌得取？唯其濒盗居而复炫其装[7]，此其所以死耳。
天下有才之士，不犹吴妇之绮其衣乎？托非其人，则与盗邻，盗贪利而耆杀[8]，故炫能于乱邦，匪有全者。
杜袭喻繁钦曰：“子若见能不已[9]，非吾徒也。
”钦卒用其言，以免于刘表之祸[10]。
呜呼！袭可谓善藏矣，钦亦可谓善听矣。
不尔，吾未见其不为吴妇也。
3 大阅读，20分阅读理解是一篇选自鲁迅《野草》的文章,要求指出很多意像的象征意义求乞者我顺着剥落的高墙走路，踏着松的灰土。
2009年清华大学自主招生数学试卷及参考答案(理科)
2009年清华大学自主招生数学试卷（理科）一、解答题（共9小题，满分0分）1．设的整数部分为a，小数部分为b，（1）求a，b；（2）求；（3）求．2．已知不等式对任意x、y的正实数恒成立，求正数a的最小值．3．请写出所有三个数均为质数，且公差为8的等差数列．4．已知椭圆，过椭圆左顶点A（﹣a，0）的直线L与椭圆交于Q，与y轴交于R，过原点与L平行的直线与椭圆交于P，求证：AQ，，AR成等比数列．5．已知sin t+cos t＝1，设s＝cos t+i sin t，求f（s）＝1+s+s2+…s n．6．随机挑选一个三位数I，（1）求I含有因子5的概率；（2）求I中恰有两个数码相等的概率．7．证明：若是第四象限角，则﹣＝2tanα．8．记．若函数，用分段函数形式写出函数f（x）的解析式，并求f（x）＜2的解集．9．设a1，a2，…，a2n+1均为整数，性质P为：对a1，a2，…，a2n+1中任意2n个数，存在一种分法可将其分为两组，每组n个数，使得两组所有元素的和相等求证：a1，a2，…，a2n+1全部相等当且仅当a1，a2，…，a2n+1具有性质P．2009年清华大学自主招生数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、解答题（共9小题，满分0分）1．设的整数部分为a，小数部分为b，（1）求a，b；（2）求；（3）求．【解答】解：（1）因为2＜＜3，而设m＝＝则得到2＜2m﹣3＜3，求出2.5＜m＜3则a＝2，b＝m﹣2＝；（2）把a＝2，b＝m﹣2＝代入得：＝4++＝5；（3）数列b，b2，b3，…，b n为首项为b，公比为b的等比数列，因为b为小数部分，所以0＜b＜1则前n项和为，则＝＝02．已知不等式对任意x、y的正实数恒成立，求正数a的最小值．【解答】解：因为，要使原不等式恒成立，则只需≥9，即所以正数a的最小值是4．3．请写出所有三个数均为质数，且公差为8的等差数列．【解答】解：根据题意，已知公差为8，有8＝3×2+2，设第一个数为m，则这三个数依次为m、m+3×2+2、m+3×5+1，则这三个数中就有其中一个能被3整除，而被3整除的质数只有3，故其中一个数为3，且其是第一个数，又有公差为8，则这三个数为3，11，19；所以是3，11，19．4．已知椭圆，过椭圆左顶点A（﹣a，0）的直线L与椭圆交于Q，与y轴交于R，过原点与L平行的直线与椭圆交于P，求证：AQ，，AR成等比数列．【解答】解：设过左顶点A的直线L解析式为：y﹣0＝k（x+a）即y＝kx+ka，与y轴交点R坐标为（0，ka）；AR＝；联立得到AQ＝2；则过原点的直线为y＝kx，与椭圆的交点为P，联立得：所以P（，k），OP＝．得：2OP2＝AQ•AR故AQ，，AR成等比数列．5．已知sin t+cos t＝1，设s＝cos t+i sin t，求f（s）＝1+s+s2+…s n．【解答】解：sin t+cos t＝1∴（sin t+cos t）2＝1+2sin t•cos t＝1∴2sin t•cos t＝sin2t＝0则cos t＝0，sin t＝1或cos t＝1，sin t＝0，当cos t＝0，sin t＝1时，s＝cos t+i sin t＝i则f（s）＝1+s+s2+…s n＝当cos t＝1，sin t＝0时，s＝cos t+i sin t＝1则f（s）＝1+s+s2+…s n＝n+16．随机挑选一个三位数I，（1）求I含有因子5的概率；（2）求I中恰有两个数码相等的概率．【解答】解：（1）由题意知本题是一个古典概型，∵试验包含的所有事件是三位数一共有999﹣100+1＝900个，满足条件的事件是I中含有因子5即I是5的倍数，其中5的倍数有C91C101C21＝180个∴概率P＝＝0.2（2）可以从构造一个三位数的角度来考虑，即任选三个数码构成三位数，那么就有900个三位数其中按照相同的数码是否是0分情况：如果相同的数码是0，那么只能是十位和各位为0，因此有9个（100，200，…900）如果相同的数码不是0，那么百位、十位、个位都可以．在此基础上再分情况：三位数是否含0如果三位数中没有0，则先选择1个数码作为重复的数码（9种）再从剩下的8个数字选择1个数码（8种），排列形成三位数就有9×3×8＝2160不能放在百位，因此重复的数码只能是百位、十位或者百位、个位两种放法，先选择一个数码作为重复的数码（9种），放在数位上（2种），接下来把0填入，所以形成三位数就有9×2＝18种因此符合条件的三位数就有9+216+18＝243∴概率P＝＝0.277．证明：若是第四象限角，则﹣＝2tanα．【解答】解：＝＝（1+sin a）^2/[1﹣（sin a）^2]＝因为A是第四象限的角所以cos＞0又因为sinα＜﹣1所以1+sin a＞0所以＝同理＝所以﹣＝﹣＝2＝2tanα原式得证．8．记．若函数，用分段函数形式写出函数f（x）的解析式，并求f（x）＜2的解集．【解答】解：＝得x＝4．又函数在（0，+∞）内递减，y2＝log2x在（0，+∞）内递增，所以当0＜x＜4时，；当x≥4时，．所以．f（x）＜2等价于：①或②．解得：0＜x＜4或x＞4，故f（x）＜2的解集为（0，4）∪（4，+∞）．9．设a1，a2，…，a2n+1均为整数，性质P为：对a1，a2，…，a2n+1中任意2n个数，存在一种分法可将其分为两组，每组n个数，使得两组所有元素的和相等求证：a1，a2，…，a2n+1全部相等当且仅当a1，a2，…，a2n+1具有性质P．【解答】证明：①当a1，a2，…，a2n+1全部相等时，从中任意2n个数，将其分为两组，每组n个数，两组所有元素的和相等，故性质P成立．②下面证明：当a1，a2，…，a2n+1具有性质P时，a1，a2，…，a2n+1全部相等．反证法：假设a1，a2，…，a2n+1不全部相等，则其中至少有一个整数和其它的整数不同，不妨设此数为a1，若a1在取出的2n个数中，将其分为两组，每组n个数，则a1在的那个组所有元素的和与另一个组所有元素的和不相等，这与性质P矛盾，故假设不成立，所以，当a1，a2，…，a2n+1具有性质P时，a1，a2，…，a2n+1全部相等．综合①②可得，a1，a2，…，a2n+1全部相等当且仅当a1，a2，…，a2n+1具有性质P．。
2009年清华大学自主招生试题及其解答
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。打乱顺序后，最坏的顺序为：
交流知识
共享智慧
文 武 光 华
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显然，除了最后的
两件货物装在同一个集装箱中，其它每件货物都独装一个
集装箱。 综上所述，至少需要 199 个集装箱，才能保证能将所有货物装箱。 5、甲、乙两人轮流向黑板上写正整数，规则是：若a 、a 、a 、 … … 、a 出现在黑板 上，则形如∑ a x 的数都不能写，其中x 为任意非负整数。不得不写 1 的人算输。初始状 态黑板上写着 5、6，如果甲先写，问甲、乙两人谁有必胜策略？ 解答：我们将所有正整数数按模 5 的余数分类： （1）5k型的正整数，均不可写； （2）5k + 1型的正整数均不可写：当k = 0时，1 不可写；当k ≥ 1时，5k + 1 = 5(k − 1) + 6不可写； （3）5k + 2型的正整数只可写2、7：当k ≥ 2时，5k + 2 = 5(k − 2) + 6 × 2不可写； （4）5k + 3型的正整数只可写3、8、13：当k ≥ 3时，5k + 3 = 5(k − 3) + 6 × 3，不 可写； （5）5k + 4型的正整数只可写4、9、14、19 ：当k ≥ 4时，5k + 4 = 5(k − 4) + 6 × 4， 不可写。 于是知，初始时，黑板上只可写2、3、4、7、8、9、13、14、19这九个数。 甲先取 19。将剩下的八个数两两配对： ① 2，3 、② 4，7 、③ 8，9 、④ 13，14 。 易见，（1）这四组数中，排在前面的一组数取到，则后面的数都不可取了；（2）这四组数 中，每组中的一个数可取，则另一个数一定可取。于是，无论乙取那一个数，甲都取同组中 另一个数。最终乙将无数可取，所以甲有必胜策略。 6、问 64 匹马能否通过 50 场比赛，比出任意两匹马之间的优劣？（每场比赛至多 8 匹 马参赛） 解答：能比出。我们如下安排比赛： （1）将 64 匹马，分成八组，每组 8 匹马。每组马比赛一场，即可在本组内排出优劣。 如此，经过 8 场比赛，则八组马在组内都可排出优劣顺序。 （2）将八组马两两合并成四队，每队两组共 16 匹马。注意到每队 16 匹马中最好的 4 匹，必然在原先两组的前四名中，因此取原先两组的前四名共 8 匹马比赛，其前四名必然 为本队的前四名。将这 4 匹马从原来的组中除去，再取两组的前 4 匹马，共 8 匹马进行比 赛，其前四名必然为本队的五至八名。最后将本队剩下的 8 匹马比赛一次，则可以将本队 的 16 匹马排出优劣顺序。四个队，共进行 3×4=12 次比赛，则四队马在队内都可排出优劣 顺序。 （3）将四队马两两合并成两班，每班两队共 32 匹马。注意到每班 32 匹马中最好的 4 匹，必然在原先两对的前四名中，因此取原先两队的前四名共 8 匹马比赛，其前四名必然 为本班的前四名。将这 4 匹马从原来的队中除去，再取两队的前 4 匹马，共 8 匹马进行比 赛，其前四名必然为本班的五至八名。依次类推，六场比赛后，还剩下 8 匹马，最后将这 8 匹马比赛一次，则可以将本班的 32 匹马排出优劣顺序。两个班，共进行 7×2=14 次比赛， 则两班马在班内都可排出优劣顺序。 （4）最后将两个班合并为一个群，本群即为全部的 64 匹马。注意到群内 64 匹马中最 好的 4 匹，必然在原先两班的前四名中，因此取原先两班的前四名共 8 匹马比赛，其前四 名必然为本群的前四名。将这 4 匹马从原来的班中除去，再取两班的前 4 匹马，共 8 匹马 进行比赛，其前四名必然为本群的五至八名。依次类推，比赛 14 场后，还剩下 8 匹马，最 后将这 8 匹马比赛一次，则可以将本群的 64 匹马排出优劣顺序。 依照上面的比赛安排，共进行 8+12+14+15=49 场比赛，即可以将 64 匹马排出优劣顺序。
2009清华文 高校自主招生数学试题及解答
2009清华一、解答题1.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n S =na+n(n-1)⑴求证：数列{}n a 是等差数列⑵求(n a ,n S n)所在的直线方程2.12名职员(其中3名为男性)被平均分配到3个部门⑴求此3名男性被分别分到不同部门的概率⑵求此3名男性被分到同一部门的概率⑶若有一男性被分到指定部门，求其他2人被分到其他不同部门的概率3.三次函数f(x)的三次项系数为3a ，()f x '+9x<0的解集为(1,2)⑴若()f x '+7a=0有实数解,求()f x '的解析式⑵若f(x)在R 上单调增，求a 的范围,M(-2,0),N(2,0)⑴求点P 的轨迹W⑵直线y=k(x-2)与W 交于点A、B，求OAB S ∆（其中O 为原点）5.设a=12...n x x x n+++,n∈N *,n S =12()().....()n x a x a x a ---⑴求证3S ≤0⑵求4S 的最大值，并给出此时1234,,,x x x x 满足的条件⑶若5S <0,求12345,,,,x x x x x 不符合时的条件##Answer##1.⑴略；⑵y=22x a +2.【简解】⑴333396334441284C C C A C C C =1655⑵44954441284C C C C C =155⑶133326334441284C C C C C C C =161653.【简解】设()f x =323a x bx ++cx+d,()f x '=2ax +2bx+c()f x '+9x=2ax +(2b+9)x+c=a(x-1)(x-2)b=-932a +,c=2a,(a>0)⑴()f x '+7a=2ax -(9+3a)x+9a=0有解，△≥0故()f x '=2ax -(9+3a)x+2a(0<a≤3)⑵()f x '=2ax -(9+3a)x+2a≥0成立00a >⎧⎨∆≤⎩4.【简解】⑴W 为以M、N 为焦点，以为实轴长的双曲线右支⑵W 的方程为22x y -=2（x>0）将y=k(x-2)代入W 方程得到2222(1)442k x k x k -+--=0△=8(1+2k )>0,12x x +=2241k k ->0,2122421k x x k +=-,k>1或k<-1221)1k k +-点O 到直线的距离OAB S ∆=12|AB|d=2|1k k -5.【简解】⑴3S =-2213(2)9x x x --≤0⑵4S =1256[3x 1-(x 2+x 3+x 4)][3x 2-(x 1+x 3+x 4)][3x 3-(x 1+x 2+x 4)][3x 4-(x 1+x 3+x 2)]≤1256412342134321442313333()4x x x x x x x x x x x x x x x x ---+---+---+---=0，等号成立当且仅当3x 1-(x 2+x 3+x 4)=3x 2-(x 1+x 3+x 4)=3x 3-(x 1+x 2+x 4)=3x 4-(x 1+x 3+x 2)即x 1=x 2=x 3=x 4，故4S 的最大值为0⑶同理不符合5S <0，只能5S =0，x 1=x 2=x 3=x 4=x 5。
2009年清华自主招生数学试题(理科文科)
1．设5151+-的整数部分为a ，小数部分为b()1求,a b ；()2求222ab a b ++；()3求()2lim n n b b b →∞++2．()1,x y 为实数，且1x y +=，求证：对于任意正整数n ，222112n n n x y -+≥()2,,a b c 为正实数，求证：3a b c xyz++≥，其中,,x y z 为,,a b c 的一种排列3．请写出所有三个数均为质数，且公差为8的等差数列，并证明你的结论4．已知椭圆22221x y ab+=，过椭圆左顶点(),0A a -的直线L 与椭圆交于Q ，与y 轴交于R ，过原点与L 平行的直线与椭圆交于P 求证：AQ ，2OP ，A R 成等比数列5．已知sin cos 1t t +=，设cos sin s t i t =+，求2()1n f s s s s =+++6．随机挑选一个三位数I()1求I 含有因子5的概率；()2求I 中恰有两个数码相等的概率7．四面体A B C D 中，A B C D =，A C B D =，A D B C =()1求证：四面体每个面的三角形为锐角三角形；()2设三个面与底面BC D 所成的角分别为,,αβγ，求证：cos cos cos 1αβγ++=8．证明当,p q 均为奇数时，曲线222y x px q =-+与x 轴的交点横坐标为无理数9．设1221,,,n a a a + 均为整数，性质P 为： 对1221,,,n a a a + 中任意2n 个数，存在一种分法可将其分为两组，每组n 个数，使得两组所有元素的和相等 求证：1221,,,n a a a + 全部相等当且仅当1221,,,n a a a + 具有性质P1．求值：265522iie e ππ++2．请写出一个整系数多项式()f x ，使得323+是其一个根3．有限条抛物线及其内部能否覆盖整个坐标平面？证明你的结论。
2009年清华回忆整理
2009年清华大学自主招生试题中英文综合（200分）1.语文部分（95分）甲文：白居易的粉丝（9分）1、请解释什么是“白居易现象”。
2、“文章已满行人耳，一度思卿一怆然。
”一句中的“文章”指的是什么？3、陈至呼为“白舍人行诗图”的根据是什么？4、作者写到“打开整部中国文学史上，与大众如此呼吸相通，生息相关，声气相连，心神相交的文人，还真是很少见有与他相匹敌者。
”作者似乎另有感慨，作者感慨的是什么哪乙文：4年前与奥巴马的邂逅（11分）（略）1、请具体说明文中“如同奥巴马所期待的那样”指的是什么？2、下文为奥巴马当选总统后的演讲，请说明文中“我”的作用和下文中安·尼克松·库伯的作用分别是什么？丙文：历史与记忆（13分）（略）1、文中“记忆能否擦拭掉历史的尘垢，恢复其本来面目？”显然有两种回答：能或不能。
请选择一种，并举例论证。
2、“在押往集中营的火车上，她设法递出了令人揪心的一封明信片。
她说，她不知道她的孩子在哭泣，在挨饿？他要死了吗？她希望有人去照料一下她的孩子啊！这份明信片现在就在博物馆里展出。
"作者举这个例子的目的是什么？3、如果《中国发展年鉴》要增加一个词条“城市记忆”，请你做一个解释。
（30字以内）丁文：传统油画过气了吗？（12分）（略）1、最后说这种诗意又是“东方式”的，怎么理解？2.式微一词出自哪？它的意思是什么？3、文中与架上油画意思相同的词还有哪些？（请写出两个）4、传统油画仍是绘画艺术中魅力犹存的主流样式。
在作者看来，原因是什么甲--丁文：作文1、下面的词都是与原文相关的词汇，选择其中的5个，做简单的解释。
（5分）IT 粉丝过气涂鸦小众化2、上面四篇文章是选自某一期报纸的某一版面，请你为这个版面拟一个称谓，并说明你的构想（800字左右）（45分）2.英语部分（80分）1、10个词汇题，给出一句话，将其中一个词划线，从A、B、C、D中选出与划线词意思相近的词。
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1．设5151
+-的整数部分为a ，小数部分为b ()1求,a b ；()2求222ab a b ++
；()3求()2lim n n b b b →∞++
2．()1,x y 为实数，且1x y +=，求证：对于任意正整数n ，22211
2n n n x y -+≥
()2,,a b c 为正实数，求证：3a b c x y z
++≥，其中,,x y z 为,,a b c 的一种排列
3．请写出所有三个数均为质数，且公差为8的等差数列，并证明你的结论
4．已知椭圆22
221x y a b
+=，过椭圆左顶点(),0A a -的直线L 与椭圆交于Q ，与y 轴交于R ，过原点与L 平行的直线与椭圆交于P
求证：AQ ，2OP ，AR 成等比数列
5．已知sin cos 1t t +=，设cos sin s t i t =+，求2()1n f s s s s =+++
6．随机挑选一个三位数I ()1求I 含有因子5的概率；()2求I 中恰有两个数码相等的概率
7．四面体ABCD 中，AB CD =，AC BD =，AD BC =
()1求证：四面体每个面的三角形为锐角三角形；
()2设三个面与底面BCD 所成的角分别为,,αβγ，求证：cos cos cos 1αβγ++=
8．证明当,p q 均为奇数时，曲线222y x px q =-+与x 轴的交点横坐标为无理数
9．设1221,,,n a a a +均为整数，性质P 为： 对1221,,,n a a a +中任意2n 个数，存在一种分法可将其分为两组，每组n 个数，使得两组所有元素的和相等 求证：1221,,,n a a a +全部相等当且仅当1221,,,n a a a +具有性质P
1．求值：265522i i e
e ππ++
2．请写出一个整系数多项式()f x ，使得323+是其一个根
3．有限条抛物线及其内部能否覆盖整个坐标平面？证明你的结论。
4．现有100个集装箱，每个集装箱装两件货物。
在取出来的过程中货物的顺序被打乱了，现在按一定的规则将货物依次放入集装箱中。
集装箱体积都是1，且每个集装箱最多放两件货物，若装了一个货物后装不下第二个，那么就将这个集装箱密封，把这个货物装到下个集装箱中。
问在最坏情况下需要多少个集装箱。
5．A ，B 两人轮流向黑板上写正整数，规则是：若12,,
n a a a 出现在黑板上，则形如 i i i a x ∑的数都不能写，不得不写1的人算输。
初始状态黑板上写着5，6
问先写的人还是后写的人有必胜策略？
6．64匹马能否通过50场比赛比出任意两匹马之间的优劣？（每场比赛至多8匹马参赛）
7．A ，B 两人玩一个游戏，A 提供若干硬币，B 可以任意将这些硬币全部摆放在顶点上，并确定一个目标顶点u 。
规则是：A 可以选择一个上面至少有两枚硬币的顶点v ，并选择一个与它相邻的顶点w ，将v 上的两枚硬币取走，并放回一枚硬币在w 上。
A 若在有限步内根据规则在u 上放上一个硬币则获胜。
已知B 不想让A 赢且他很聪明，试问在这两种情况下A 各需要至少几个硬币才能保证自己能赢。
1．已知数列{}n a ，且()1n S na n n =+-
()1求证：{}n a 是等差数列；()2求,n
n S a n ⎛⎫ ⎪⎝⎭
所在的直线方程
2．12名职员（其中3名为男性）被平均分配到3个部门
()1求此3名男性被分别分到不同部门的概率；
()2求此3名男性被分到同一部门的概率；
()3若有一男性被分到指定部门，求其他2人被分到其他不同部门的概率
3．一元三次函数()f x 的三次项数为3
a ，()90f x x +<的解集为()1,2 ()1若()70f x a +=，求()f x 的解析式；()2若()f x 在
上单调增，求a 的范围
4．已知22PM PN -=，()2,0M -，()2,0N ，
求点P 的轨迹W ；直线()2y k x =-与W 交于点A 、B ，求S OAB （O 为原点）
5．设()12n x x x a n n
++=∈ ()()()()()()12231n n n S x a x a x a x a x a x a -=--+--++-- ()1求证：30S ≤
()2求4S 的最值，并给出此时1x ，2x ，3x ，4x 满足的条件
()3若50S <，求1x ，2x ，3x ，4x ，5x 不符合时的条件。