高等数学2.0导数
高等数学导数的四则运算法则
(e x ) e x .
例5 求函数 y loga x(a 0, a 1)的导数.
解 y lim loga ( x h) loga x
由导数的几何意义, 得切线斜率h为0
h
交流电路:电量对时间的导数为电流强度.
h 作变速直线运动的质点在某一时刻t的瞬时速度问题
log (1 ) 导数的实质: 增量比的极限;
y x
f ( x0 )
0 (x 0) y f ( x0 )x x
lim
x 0
y
lim [
x 0
f
(
x0
)x
x]
0
函数
f
( x)在点
x
连续
0
.
注意: 该定理的逆定理不成立 (连续函数未必可导).
举例
x2, x 0
f (x)
,
x, x 0
y
y x2
yx
在 x 0处不可导,
C C
lim
h0 h
0.
即 (C ) 0.
例2 设函数 f ( x) sin x,求(sin x)及(sin x) x . 4
解 (sin x) lim sin( x h) sin x
h0
h
lim
h0
cos( x
h) 2
sin h 2
h
cos
x.
2
即 (sin x) cos x.
h
h
lim f (0 h) f (0) lim h 1,
h0
h
h h 0
y y x
o
x
lim f (0 h) f (0) lim h 1.
h0
h
高等数学导数
高等数学导数
导数是高等数学中的一个重要概念，意思是表示函数的变化速率的概念，它是高等数学中的一个基本概念。
导数的定义是：当函数y=f（x）的自变量x经过一个微
小的变化时，函数y的变化量与自变量x变化量之比，记作f′（x）或y′，称为函数f（x）在x处的导数，记作d/dx[f （x）], 或f′（x）。
导数的性质可概括为：（1）函数的导数表示函数变化率
的变化，即函数变化速率；（2）函数的导数指示函数在某一
点处的变化状况，如曲线在某点的切线的斜率；（3）函数的
导数可以用来求函数的极值。
导数在微积分中具有重要的意义，它与微积分的基本概念——定积分密切相关，它使微积分中的许多定理更加清晰明了。
如果不考虑导数，微积分中的定理将是模糊的，将难以推导。
因此，导数是高等数学中非常重要的概念。
导数的应用也十分广泛，在物理、化学、经济学等多学科中都有其重要的作用。
它可以用来计算某一物体在受到力的作用时的速度变化，从而求得物体的运动轨迹；它也可以用来计算某一物体在受到力的作用时的加速度变化，从而求得物体的动量；它还可以用来计算某一物体在受到力的作用时的位置变
化，从而求得物体的位置；它在经济学中也可以用来分析某一经济指标的变化趋势。
总之，导数是高等数学中的一个重要概念，它的应用也十分广泛，具有重要的意义。
导数表大全高等数学
导数表大全高等数学导数是高等数学中一个重要的概念，它在实际问题中有广泛的应用。
在求解实际问题时，我们通常需要根据问题的特点寻找合适的导数公式，进而求解问题。
以下是一些常见的导数公式和应用:1. 基本导数公式：- y" = lim(Δx→0) [f(x+Δx) - f(x)] / Δx- y"" = lim(Δx→0) [f"(x+Δx) - f"(x)] / Δx(x 是导数的定义)2. 三角函数的导数公式：- sin x" = cos x- cos x" = - sin x- tan x" = cot x- cot x" = - tan x- csc x" = 1/sin x- 1/sin x" = csc x3. 指数函数的导数公式：- a^x" = a^x *ln(a) + C(C 是常数)4. 对数函数的导数公式：- (ln x)" = dxn/dx(x是自然对数的底数)- (log x)" = (ln x)" / x(x 是自然对数的底数)5. 反函数的导数公式：- f^{-1}(x)" = f"(f^{-1}(x)) / f"(x)(x 是函数的反函数)6. 二次函数的导数公式：- 二次函数 y = ax^2 + bx + c 的导数为:y" = 2ax + b(x 是二次函数的导数定义)7. 其他函数的导数公式：- 幂函数 y = x^a 的导数为:y" = ax^(a-1)- 递归函数 y = f(f(x)) 的导数为:y" = f"(x)(x 是递归函数的定义)- 对数函数的导数公式 (2)- 指数函数的导数公式 (2)在实际问题中，我们可以根据问题的特点选择合适的导数公式，进而求解问题。
导数表大全高等数学
导数表大全高等数学这里是高等数学的导数表大全，包括了常见的函数的导数公式以及一些常用的求导技巧和公式。
1. 常数函数的导数公式如果 $f(x) = C$ 是一个常数函数，那么它的导数就是 $f'(x) = 0$。
2. 幂函数的导数公式如果 $f(x) = x^n$ 是一个幂函数，那么它的导数就是 $f'(x) = n \cdot x^{n-1}$。
3. 指数函数的导数公式如果 $f(x) = a^x$ 是一个指数函数，那么它的导数就是 $f'(x) = a^x \cdot \ln a$。
4. 对数函数的导数公式如果 $f(x) = \log_a x$ 是一个对数函数，那么它的导数就是$f'(x) = \frac{1}{x \cdot \ln a}$。
5. 三角函数的导数公式正弦函数的导数公式：$\frac{d}{dx} \sin x = \cos x$余弦函数的导数公式：$\frac{d}{dx} \cos x = -\sin x$正切函数的导数公式：$\frac{d}{dx} \tan x = \sec^2 x$余切函数的导数公式：$\frac{d}{dx} \cot x = -\csc^2 x$6. 反三角函数的导数公式反正弦函数的导数公式：$\frac{d}{dx} \arcsin x =\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$反余弦函数的导数公式：$\frac{d}{dx} \arccos x = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$反正切函数的导数公式：$\frac{d}{dx} \arctan x =\frac{1}{1+x^2}$反余切函数的导数公式：$\frac{d}{dx} \text{arccot} x = -\frac{1}{1+x^2}$7. 复合函数的导数公式如果 $f(x)$ 和 $g(x)$ 都是可导函数，那么复合函数 $h(x) = f(g(x))$ 的导数就是 $h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$。
高等数学第二章导数知识总结
高等数学第二章知识总结在这一章里需要掌握的是求一阶导数的多种方法和求高阶导数的计算公式。
微分和导数的关系求导数与求微分方法相同,只不过在求微分时要在后面加上dx.函数在某点处的导数就是函数在该点处的变化率. 导数有很多种表现形式.一.(1)单侧导数即左右导数.函数可导的充要条件是:左右导数存在且相等. (2)可导与连续的关系:可导必然连续,连续不一定可导.注:函数的导数就是函数在某点处因变量与自变量比值的极限.◆求导数的方法有:(1)利用导数的定义.（简单一点就是△y/△x的极限）(2)利用导数的几何意义解决几何及物理,化学的实际问题.(3)利用初等函数的求导公式.(在书P59)(4)利用反函数求导法.(反函数的导数就是原函数导数的倒数.)(5)利用复合函数求导法.(由外到内,逐层求导)(6)利用隐函数求导法(7)利用参数方程确定函数的求导法.(8)利用分段函数求导法.(9)利用函数连续,可导的定义,研究讨论函数的连续性与可导性.二.高阶导数高阶导数可细分为:一阶导数,二阶导数,三阶导数……N阶导数等等.(一阶导数的导数是二阶导数) 应该掌握的是高阶导数的运算.方法有两种:(1)直接法.(2)间接法.间接法适用于阶数较高的运算.其规律性较强.常用的高阶导数公式在书P63上.注意查看.■计算uv相乘形式的高阶导数时，首先要判断u，ｖ从一阶到ｎ阶的结果，再运用莱布尼兹公式求出结果。
三.隐函数和由参数方程确定的函数的导数什么是隐函数?如果变量x,y的函数关系可以用一个二元方程表示,且对在给定范围内的每一个x,通过方程有确定的y与之对应,即Y是X的函数,这种函数就叫做隐函数F(x,y)=0从二元方程中解出y的值,就是隐函数的显化.有些隐函数不易显化,甚至不能显化.隐函数的求导方法:（例题在书P66 例40，41）(1)把y看做是复合函数的中间变量,把y看作y(x)即可。
再在方程两边分别对X求导.(2)从求导后的方程中求出y’.(3)在隐函数的求导结果中允许含有y,但是求某一以知点的导数时不仅要代X的值,还要代Y的值. 对数求导法:先两边取对数,再关于X求导.例题在书P68，例44(遇到指数形式的函数时就采用此类方法)对参数方程确定的函数求导方法很简单,就是用y’/x’.四.函数的微分.可微就可导,可导就可微.求函数的微分就是对函数求导,主要就是在所求结果后面加上dx.微分的几何意义是某点处的切线纵坐标的增量.常用的微分公式在书P76.五.微分的应用.1.微分在近似计算,误差估计中的应用.在书P80 P81.。
《高等数学》第2章导数与微分
2.2.2 反函数的求导法则
定理 如果函数x = f ( y )在区间I y内单调、可导且 f ′( y ) ≠ 0,
内可导, 且有 : 1 dy 1 ( x)] = [f 或 = . f ′( y ) dx dx dy
−1
则它的反函数 y = f −1 ( x)在区间I x = {x | x = f ( x), y ∈ I y } ′
0
引例2 求平面曲线切线的斜率. 导数的几何意义 引例 解析： 解析：
曲线C = f ( x)上一点M ( x0 , y0 ), 其中y0 = f ( x0 ).求曲线C 在点M处的切线斜率. , y ), MN的斜率为 在曲线C上另取一点N ( x 则割线MN的斜率为 : y = f (x ) ∆y f ( x) − f ( x0 ) k MN = tan ϕ = = y ∆x x − x0 N 则上 当点N沿曲线C趋向于点M即x → x0 , M 式极限即为切线斜率 : ∆y f ( x 0 + ∆x ) − f ( x 0 ) α ϕ k = tan α = lim = lim . ∆x →0 ∆x → 0 o x ∆x ∆x
f −′( x0 ) = ∆x → 0 lim
−
+
在闭区间 [a , b ]上可导 .
若函数 f ( x )在开区间 (a , b )内可导 , 且 f +′(a )及 f −′(b )都存在 , 则 f ( x )
求导步骤
(1)
求增量 ∆y = f ( x + ∆x) − f ( x)；
(2)
作比值
能力目标
通过导数与微分的学习，进一步培养学生 通过导数与微分的学习， 对比分析的思考能力. 对比分析的思考能力.
高等数学二高阶偏导数及泰勒公式
高等数学二高阶偏导数及泰勒公式一、高阶偏导数对于函数f(x,y)的一阶偏导数来说，我们可以通过对x或y求导得到，分别记作∂f/∂x和∂f/∂y。
同样，我们可以对一阶偏导数再进行求导，得到二阶偏导数，记作∂^2f/∂x^2、∂^2f/∂x∂y和∂^2f/∂y^2，其中∂^2f/∂x^2表示先对x求导，再对x求导的结果，∂^2f/∂x∂y表示先对x求导，再对y 求导的结果。
类似地，我们可以继续进行求导的过程，得到高阶偏导数，如三阶偏导数、四阶偏导数等。
对于常用的高阶偏导数，我们可以通过迭代的方式求得。
例如，对于三阶偏导数∂^3f/∂x^3，我们可以先对x求一阶导数，再对x求一阶导数，再对x求一阶导数，即∂^3f/∂x^3=(∂/∂x)^3f(x)。
同样，我们也可以得到一些特殊的高阶偏导数，如混合偏导数∂^3f/∂x^2∂y，表示先对x求两阶导数，再对y求一阶导数。
高阶偏导数在数学物理学、工程数学等领域中有广泛的应用。
通过求取高阶偏导数，我们可以获得函数在其中一点的更精确的变化率信息，进而可以研究函数的特性、求解极值问题等。
二、泰勒公式泰勒公式是一种用多项式逼近函数的方法，通过将函数在其中一点的函数值和各阶导数的值带入多项式中得到。
泰勒公式主要有两种形式，即拉格朗日余项和佩亚诺余项。
1.拉格朗日余项形式设函数f(x)具有n+1阶导数，且在区间[a,b]上具有n+1阶连续导数，则对于该区间上的任意点x，存在一点ξ(x)在a和x之间，使得f(x)可以用泰勒公式表示为：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+...+f^n(a)(x-a)^n/n!+R_n(x)其中R_n(x)为拉格朗日余项，具体形式为R_n(x)=f^(n+1)(ξ(x))(x-a)^(n+1)/(n+1)!，其中f^(n+1)(ξ(x))为函数f(x)在点ξ(x)处的(n+1)阶导数。
最全高等数学导数和积分公式汇总表
高等数学导数及积分公式汇总表一、导数公式 1．幂函数 0='c1)(-='n n nu u 2．指数函数 a a a u u ln )(=' e e e u u ln )(=' 3．对数函数 au a u ln 1)(log =' uu 1)(ln ='4．三角函数 u u cos )(sin =' u u sin )(cos -=' u u 2sec )(tan ='u u 2csc )(cot -='u u u tan sec )(sec =' u u u cot csc )(csc -='5．反三角函数 211)(arcsin uu -='211)(arccos u u --=' 211)(arctan u u +='211)cot (u u arc +-='6．其他 1='u211)(u u -='uu 21)(='23211)(uu-='22)(22a u u a u ±='±二、积分公式 1．幂函数 C du =⎰0 C udu un n n+=++⎰1112．指数函数 C e du e uu +=⎰ C du a aa uu +=⎰ln3．有关对数 C u udu +=⎰ln4．三角函数 C u udu +-=⎰cos sinC u udu +=⎰sin cosC u udu +=⎰tan sec 2C u udu +-=⎰cot csc 2C u udu u +=⎰sec tan sec C u udu u +-=⎰csc cot csc C u udu +-=⎰cos ln tan C u udu +=⎰sin ln cotC u u udu ++=⎰tan sec ln secC u u udu +-=⎰cot csc ln csc5．反三角函数C a u u a u du +±+=⎰±22ln 22C a u ua du +=⎰-arcsin 22C ua ua au a du +=-+-⎰ln2122Ca ua u a du +=⎰+arctan 122 6．其他 C u u du +-=⎰12C u du u +=⎰2332C u du u+=⎰2121Cu u udu +-=⎰-2222C u u udu ++=⎰+22111ln 2C u u u udu +-=⎰ln ln三、定义域 ))(10(∞+-∞∈≠>=，，，x a a a y x)010(log >≠>=x a a x y a ，，四、对数公式b Nb a a N log log log =mn m a n a log )(log =2lg 1lg 2lg 1lg log 21lg 21lg 2121q q k k q q k k k k q q --==五、三角公式 αααcos sin 22sin =ααα22sin cos 2cos -=αα2cos 1cos 22+=αα2cos 1sin 22-=六、因式分解3223333)(y xy y x x y x ±+±=±。
高等数学导数公式大全
cos x
(4) 把 tan x 当作中间变量， y ' (etan x ) ' etan x (tan x) ' sec2 xetan x
(5) 把 - x 当作中间变量， y ' (2-x ) ' 2-x ln 2(-x) ' -2-x ln 2
求导方法小结：
先将要求导的函数分解成基本初等函数,或 常数与基本初等函数的和、差、积、商.
解：上式两边对x求导，则有y '＝(1) ' (xey ) ',即
y ' ey x (ey ) ey x ey y '
(1- xey ) y ' ey
y
'
ey 1- xey
隐函数的求导步骤： （1）方程两边对x求导，求导过程中把y视为中间变量，
得到一个含有y '的等式; （2）从所得等式中解出y '.
2) y sin( x - 2);
3) y ln cos x;
4) y etan x ;
5) y 2-x
解：(1)函数可以分解为y u3(x),u(x) 3x2 1, y ' [u3(x)]' 3u2 (x) u(x) ' 3(3x2 1)2 (3x2 1) '
3(3x2 1)2 6x 18x(3x2 1)2
v( u(
x) x)
u( x)v( x) - u( x)v( x)
[u( x)]2
.
推论 1 (cu(x)) = cu(x) (c 为常数).
推论 2
1 u( x)
-
u( x) u2 ( x)
.
乘法法则的推广：
高等数学第二章导数与微分(4)
(arcsin x) 1 1 x2
(arctan
x
)
1
1 x
2
(arccos x) 1 1 x2
(arc
cot
x)
1
1 x2
2.函数的和、差、积、商的求导法则
设u u(x),v v(x)可导，则
（1）(u v) u v, （2）(cu) cu ( C 是常数)
（3）(uv)
由y f 1(x)的严格单调性可知 y 0,
于是有
y x
1 x
,
y
y 0 (x 0),
y f 1(x)连续, 又知 f ( y) 0
[ f 1(x)] lim y lim 1 1 x0 x y0 x f ( y)
即[ f 1(x)] 1 .
y
f ( y)
4
例7 求函数 y arcsin x 的导数.
19
例20 双曲函数与反双曲函数的导数
ex ex
ex ex
sinh x
,cosh x
2
2
(sinh x) e x e x cosh x 2
(sinh x) cosh x (cosh x) sinh x
tanh x sinh x cosh x
(tanh
x)
1 cosh2
x
20
arcsinh x ln( x 1 x2 )
利用上述公式及法则, 初等函数求导问题可完全解决.
结论:初等函数的导数仍为初等函数.
16
例16 解
求函数 y x a2 x2 a2 arcsin x 的导数 .
y x 2
a2
2
x2
a2 2
2
高等数学导数公式大全
高等数学导数公式大全高等数学的导数公式是高校数学课程知识的核心，也是高等教育课程中比较重要的基本知识。
数学导数是解决数学问题的基础,是数学应用实践问题最重要的组成部分。
它有着十分重要的意义，不仅在数学中具有广泛的用处，还可以应用到物理，政治、社会等其它领域，在处理各类技术、管理及经济问题有重要的作用。
数学导数公式大全包括常用的一阶、二阶、高阶导数计算公式，以及关于函数发展式的公式、曲线的导数的计算公式、微分公式、有界函数微分性质的公式等。
常用的数学导数公式分别如下：一阶导数：在函数f(x)的每一点处的导数的定义为：$f'(x)=lim_{h->0}.[f(x+h)-f(x)/h]$。
二阶导数：在函数f(x)的每一点处的2阶导数的定义为：$$f''(x)=lim_{h->0}.[f'(x+h)-f'(x)/h]$$。
高阶导数：在函数f(x)的每一点处，高阶导数的定义为：$$f^{(n)}(x)=lim_{h->0}.[f^{(n-1)}(x+h)-f^{(n-1)}(x)/h]$$。
函数发展式：在实值函数f(x)的每一点处，它的发展式为：$$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+{\frac{f''(x_0)}{2!}}(x-x_0)^2+..+{\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}}(x-x_0)^n+o(x-x_0)^n$$。
曲线的导数：在函数f(x)的每一点处，曲线的切线垂直于在该点的切线，切线的斜率称为曲线的导数，可用下面的公式表示：$\frac{dy}{dx}=f'(x)$。
微分公式：在函数f(x)的每一点处，它的微分公式为：$\int f'(x)dx =f(x)$。
有界函数微分性质：在函数f(x)的每一点处，它的有界函数微分性质的定义是：有界函数的微分性质是：若函数f(x)在闭区间[a,b]上是有界的，则可以得到它的微分$$\int_a^b f'(x)dx = f(b)-f(a)$$。
高等数学中的导数及其应用
高等数学中的导数及其应用导数是高等数学中的重要概念，它是描述函数变化率的工具。
本篇文章将介绍导数的定义、性质以及它在数学和实际生活中的应用。
一、导数的定义和性质导数描述了函数在某一点上的变化率。
设函数y=f(x)，若函数在点x处有定义并且存在极限lim(x→x₀) [f(x)-f(x₀)]/(x-x₀)，则称该极限为函数f(x)在点x₀处的导数，记作f'(x₀)，也可表示为dy/dx|x=x₀。
导数也可以通过求导公式来计算，例如多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等都有特定的求导法则。
函数的导数具有一些重要的性质。
首先，常数函数的导数为零。
其次，导数满足加法性、乘法性和链式法则。
加法性指的是导数的和等于各导数的和，乘法性指的是导数的乘积等于某一函数的导数与另一函数的值的乘积。
链式法则是导数运算中常用的规则，它描述了复合函数的导数与原函数的导数之间的关系。
二、导数的应用导数在数学和实际生活中具有广泛的应用。
下面我们将介绍其中的一些应用。
1. 函数的极值函数的导数可以用来确定函数的极值。
对于给定函数f(x)，如果在某一点x₀处导数为零或者不存在，那么该点上可能存在极值。
通过分析函数的导数和二阶导数可以判断该极值是极大值还是极小值。
这在优化问题、经济学等领域中具有重要意义。
2. 曲线的切线和法线导数也可以用来求解曲线的切线和法线。
对于二维平面上的曲线，曲线在某一点处的切线斜率为该点处函数的导数。
在求出切线斜率后，可以通过给定点和切线斜率的方程，求解出切线方程。
法线则是与切线垂直的线，其斜率为切线斜率的负倒数。
3. 变化率和速度导数可以用来描述函数的变化率。
在实际生活中，我们经常需要计算某一物理量的变化率，例如速度。
假设物体的位置随时间变化，那么位置函数关于时间的导数即为速度函数。
通过求解速度函数，我们可以得知物体在某一时刻的速度情况。
4. 函数的凹凸性和拐点函数的导数还可以用来判断函数的凹凸性和拐点。
高等数学教材导数定义章节
高等数学教材导数定义章节在高等数学教材中，导数定义是一个重要的章节。
导数作为微积分的基础概念之一，对于理解和应用微分学具有至关重要的作用。
本文将探讨导数的定义以及其在数学和实际问题中的应用。
1. 导数的定义在高等数学中，导数可以通俗地理解为函数的变化率。
对于一个函数f(x)，它的导数表示了函数在某一点的瞬时变化率。
导数的符号通常用f'(x)或者dy/dx来表示。
导数的定义可以通过极限的概念来表达，即：f'(x) = lim(delta x->0) (f(x+delta x) - f(x)) / delta x其中，delta x表示自变量x的一个无穷小的增量。
导数的概念可以应用于各种类型的函数，包括多项式函数、三角函数、指数函数等。
2. 导数的性质导数具有一些基本的性质，这些性质对于导数的计算和应用都非常重要。
以下是几个常见的性质：a) 常数函数的导数为0：如果f(x)是一个常数函数，那么它的导数f'(x)等于0。
b) 常见函数导数的求法：例如，多项式函数的导数可以通过对各项求导再相加的方式求得；三角函数的导数有一些特殊的规律，比如sin(x)的导数等于cos(x)。
c) 导数的乘积法则和链式法则：对于复杂的函数，可以利用乘积法则和链式法则来求导数，这些法则可以极大地简化导数的计算。
3. 导数的应用导数在数学和实际问题中有广泛的应用。
以下是几个常见的应用场景：a) 切线和切线方程：导数可以用来求函数曲线上某一点的切线方程。
由于导数表示函数在某一点的变化率，因此切线的斜率就是这个点的导数值。
结合点斜式方程，可以求得切线的方程。
b) 函数的极值和拐点：导数可以帮助我们确定函数的极大值、极小值和拐点。
通过求导数并找出零点，可以确定函数的临界点，并进一步判断其性质。
c) 函数的图像和曲线的变化趋势：导数还可以帮助我们分析函数的图像和曲线的变化趋势。
通过导数的正负性和值的大小，可以判断函数在不同区间的增减性、凹凸性以及渐近线等性质。
高等数学导数16个基本公式
高等数学导数16个基本公式在高等数学中，导数是一个非常重要的概念，它描述了一个函数在某一点的变化率。
掌握导数的基本公式对于解题至关重要。
在本文中，我们将重点介绍高等数学中的16个导数的基本公式，以帮助读者更好地理解和运用导数的概念。
1. 导数的定义导数描述了函数在某一点的斜率，即函数在该点的瞬时变化率。
若函数f(f)在f0处可导，则其导数定义为:$$ f'(x_0)=\\lim_{{\\Delta x\\to 0}}\\frac{f(x_0+\\Delta x)-f(x_0)}{\\Delta x} $$其中f′(f0)表示f(f)在f0处的导数。
2. 常数函数导数对于常数函数f，其导数为0，即(f)′=0。
3. 幂函数导数对于幂函数f=f f，其中f为常数，则有(f f)′=ff f−1。
4. 指数函数导数对于指数函数f=f f，其中f为常数，则有$(a^x)'=a^x\\ln(a)$。
5. 对数函数导数对于对数函数$y=\\log_ax$，其中f为常数，则有$(\\log_ax)'=\\frac{1}{x\\ln(a)}$。
6. 三角函数导数•$\\sin'(x)=\\cos(x)$•$\\cos'(x)=-\\sin(x)$•$\\tan'(x)=\\sec^2(x)$•$\\csc'(x)=-\\csc(x)\\cot(x)$•$\\sec'(x)=\\sec(x)\\tan(x)$•$\\cot'(x)=-\\csc^2(x)$7. 反三角函数导数•$\\arcsin'(x)=\\frac{1}{\\sqrt{1-x^2}}$•$\\arccos'(x)=-\\frac{1}{\\sqrt{1-x^2}}$•$\\arctan'(x)=\\frac{1}{1+x^2}$8. 和差积商导数法则•$(u\\pm v)'=u' \\pm v'$•(ff)′=f′f+ff′•$\\left(\\frac{u}{v}\\right)'=\\frac{u'v-uv'}{v^2}$9. 链式法则如果函数f=f(f(f))为复合函数，则有$y'=f'(g(x))\\cdot g'(x)$。
高等数学 第2章 第一节 导数的概念
曲线y f ( x)在点x0 , f ( x0 )处的切线方程为：
y f ( x0 ) f '( x0 )( x x0 )
当f ' ( x0 ) 0时，在该点处的法线方 程为：
y
f (x0 )
f
'(
1 x0
)
(
x
x0
)
8
四.可导与连续的关系
f ( x)在x0点可导 f ( x)在x0点连续。 f ( x)在x0点可导 f ( x)在x0点连续。
解 当 x 1 时， 1 n 1 x 3n n 2 , f ( x) lim n 1 x 3n 1, n
当 x 1 时， f ( x) limn 1 x 3n limn 2 1,
n
n
当 x 1 时， x 3 n x 3n n 1 x 3n n 2 x 3n n 2 x 3 ,
ex ex.
12
例5 求函数 y ln x 的导数
解： x (0,)
当x 0时, Ln(1+x)~x
(ln x)' lim ln(x x) ln x
x 0
x
ln(1 lim
x ) x
lim
x x
1
x0
x
x0 x x
即 : 对x 0, (ln x)' 1 x
例6 设 f x x sin x, 求 f 0.
f (x0 x)
y f ( x0 x) f ( x0 );
（2）比值
y f ( x0 x) f ( x0 )
x
x
f (x0)
P0
•
O
x0
•P
P1
•
P2•
高等数学教材 导数
高等数学教材导数尊敬的读者，欢迎阅读本高等数学教材的章节之一——导数。
本章节将为您详细介绍导数的概念、性质以及多种求导方法，帮助您全面理解和掌握这一重要的数学工具。
1. 导数的概念导数是微积分学中的重要概念之一，它表示函数在某一点处的变化率。
简单来说，导数描述了函数曲线在某一点处的切线斜率。
2. 导数的求法求导是计算导数的过程，常见的求导方法包括：2.1 函数的极限定义2.2 基本初等函数的导数法则2.3 常用函数的导数法则2.4 链式法则和反函数求导2.5 隐函数求导及参数方程求导3. 导数的性质导数有多种重要的性质，包括但不限于：3.1 可导函数与连续函数的关系3.2 导数的四则运算法则3.3 复合函数与反函数的导数关系3.4 高阶导数的定义及性质4. 应用举例导数在数学和实际问题中有广泛的应用，下面我们以几个例子来说明其在不同领域中的应用：4.1 最优化问题中的应用4.2 物理学中的速度、加速度和力的分析4.3 生物学中的生长模型和种群增长问题4.4 经济学中的边际利润、边际成本和需求弹性5. 常见误区及解析在学习导数过程中，有时会遇到一些常见的误区。
下面我们列举其中的几个，并提供相应的解析，帮助读者更好地理解导数的概念：5.1 导数与函数图像的关系5.2 导数的存在性问题5.3 导数运算规则的灵活运用6. 总结通过本章的学习，我们详细介绍了导数的概念、求导方法、性质以及应用举例，并解析了一些常见的误区。
希望读者能够在这些知识的帮助下，真正掌握导数的概念和求导方法，进一步提高数学分析和问题解决的能力。
最后，感谢您的阅读！希望本章的内容能够对您的学习和研究有所帮助。
如有任何疑问，欢迎随时与我们联系。
祝愿您在高等数学的学习中取得优异的成绩！。
高等数学导数的定义
高等数学导数的定义
导数（Derivative），也叫导函数值。
又名微商，是微积分中的重要基础概念。
当函数y=f（x）的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记作f’（x0）或df（x0）/dx。
导数是函数的局部性质。
一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。
如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。
导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。
例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。
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（函数的可导性与连续性的关系）
三.导数存在的必要条件
解： o y x 若函数 y = f(x) 在 x0 处可导，则必连续 。 证：
定理 函数 f (x) 在点 x0可导的 必要条件是它在点 x0 连续.
解： 显然 f(x) 在 x = 0 处连续，但不可导。 o
y x
这表明，在点 (0, 0) 处有垂直于 x 轴的切线 x = 0。
例10
设 y=
e – x,
x>0
在 x = 0 可导,
由可导性：
求 a, b 之值.
解 f (x) 在 x = 0 处可导,
f (x) 在 x = 0 处连续, f (0) = a . 故 从而 1 + bx, x≤0 f (x ) = e – x, x>0 f (0) = 1
b = –1, 此时函数为 1 x , x ≤ 0 f (x ) = e – x, x>0
七.取对数求导法
例24 解：方程两边取自然对数，得 注意：y 是 x 的函数. 方程两边对 x 求导数，得
然后, 对方程两边关于 x 求导：
用同样的方法可求出 y = xx 的导数 y = xx(lnx+1)。
或
一般地，形如 y = f(x)g(x) 的函数的导数，都可以 采用此种方法求导。 幂指函数
例1
解
如果 f (x) 在区间 I 上的任意阶的高阶导数均存 在且连续, 则称函数 f (x) 是无穷次连续可导的, 记为
…………………………
85
注意, 当 k = n 时
例2
解
综上所述：
例3
多项式 的高阶导数.
例4
求 y = ex 的各阶导数.
解
解
………………
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例5
求 y = ax 的各阶导数.
3. 指数函数
例2
4. 对数函数
例3 解
求y .
故
例4
5. 三角函数 (1)
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(2) 其它三角函数的导数
（仿照正弦函数的推导方法）
二. 导数的四则运算法则
若函数 u(x) , v(x) 均可导, 则
这些公式一般运用后面所讲的方法进行推导.
推广至有限个可导函数的情形:
例25
解 运用取对数求导法
整理得
两边关于 x 求导：
例26
故
解
运用取对数求导法
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例27
设
求
求导方法小结
按定义求导
提示: 分别用对数求导法求 答案:
基本初等函数的导数 导数的四则运算法则 复合函数求导法
反函数的导数 隐函数的求导法 参数方程求导法 取对数求导法
第二章 一元函数的导数与微分
例1：求 y = x2 在 x = 2 处的导数。 解：用 (2) 式计算。
定义
2. 导函数
若 x(a, b), 函数 f (x) 皆可导, 则说 f (x) 在
求导数举例
例2、求函数 y = C （C 为常数）的导数。 解： 即： 解： 常数的导数等于零。
(a, b) 内可导. 这时 f (x) 是关于 x 的一个新函数, 称之为 f (x) 在 (a, b) 内的导函数. 通常我们仍称之 为 f (x) 在 (a, b) 内的导数：
即 类似可得
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解：
由引例 2 知函数 y = f(x) 在点 x0 处的导数 f (x0) 就 是曲线 y = f(x) 在点 M(x0, y0) 处的切线的斜率，即： y 由直线的点斜式方程可知， 曲线 y = f(x) 在点 M(x0, y0) 处的 切线方程为： 即 曲线 y = f(x) 在点 M(x0, y0) 处的法线方程为： o L N T M x
第二章 一元函数的导数与微分
第二节 求导法则
一.基本初等函数的导数 二. 导数的四则运算法则 三.反函数的导数 四.复合函数的导数 五. 隐函数的求导法则 六.参数方程求导法则 七.取对数求导法
一.基本初等函数的导数 1. y = C x R ( C为常数 )
2. 幂函数
例1
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存在, 则称 a 为 f (x) 在点 x0 处的左导数. 记为 存在, 则称 a 为 f (x) 在点 x0 处的右导数. 记为
定理
定义
若 f (x) 在 (a, b) 内可导, 且 存在,
则称 f (x )在 [a, b] 上可导, f (x) 称为 f (x) 在 [a, b] 上 的导函数, 简称为导数. 函数在点 x0 I 处的导数:
2. (填空题) (1) 设 解: 提示:
则 各项均含因子 (x–2 )
(2) 已知 时 提示:
任意阶可导, 且
则当
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3. 试从 解：
导出
第二章 一元函数的导数与微分
第四节 函数的微分
同样可求 一. 函数的微分 二. 微分的运算法则 三.微分在近似计算中的应用 四. 微分在误差估计中的应用 五. 导数在经济学中的应用
参数方程求导法则：
在有些问题中，变量 x, y 之间的函数关系是通过如下的参数 方程 表示出来的。 求
例23
解
椭圆上任意一点x处的切线的斜率为
故 又 从而, 所求切线方程为： y = b .
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七.取对数求导法 方法:
在条件允许的情况下, 对 y = f (x) 两边 同时取对数：
3.导数的几何意义
特别当 a = e 时，y = ln x 的导数为
过切点 M(x0, y0)且与 切线垂直的直线叫做曲线 y = f(x) 在点M 处的法线。
4.左、右导数 定义
设函数 f (x) 在 [x0 , x0+ ) 内有定义, 若
定义
设函数 f (x) 在 (x0 – , x0] 内有定义, 若
例3、求函数 y = xn (nN) 在 x = x0 处的导数。 记作： 或 把上述结果中的 x0 换为 x，得 即：
显然，函数 y = f(x) 在 x0 处的导数 f (x0) 就是导 函数 f (x) 在 x0 处的函数值，即：
对于幂函数 y = xa （a 为常数），有 解： 例如，
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五.隐函数的求导法则 方法：
如果由方程 F(x, y) = 0 确定隐函数 y = f (x) 可导, 则将 y = f (x) 代入方程中, 得到
例21
求由方程 所确定的隐函数的导数 y, 并求
(x0)
解
方程两边关于 x 求导：
F ( x, f (x ) ) 0
对上式两边关于 x 求导：
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第二章 一元函数的导数与微分
第一节 导数的概念
一.导数产生的背景 二.导数的概念 三.导数存在的必要条件 四. 函数的增量与导数的关系
一.导数产生的背景
1. 物理背景 2. 几何背景
1.物理背景
例1
求物体在时刻 t 的瞬时速度 vt , 就是 令 t0 的极限过程：
非匀速运动物体的速度问题
在证明这些公式时, 用到下列表达式：
1. 证明
例5
解
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2. 证明 证
例6
设 u C ( C为常数 ) , v = v(x) 可导, 则
例7
设
例8
解
由和的求导公式
例9
解
3. 证明
故
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例10
例11
设函数 v(x) 可导, 且 v(x) 0, 证明
解 证
令 u(x) =1, 由商的导数公式, 得
在真空中, 当时间由t 变到t+t 时, 自由
落体所经过的路程为
物体由 t 到 t + t 一段的平均速度是 从物理学看, 当t0 时, 应该有 这是否也说明了一个什么问题?
2. 数学背景 — 平面曲线的切线问题
定义 平面曲线 y = f (x) 的切线：
曲线在点 A(x0, y0) 处的切线 AT 为过曲线上 点 A 的任意一条割线 AA’ 当点 A’(x0+x, y0+ y) 沿曲线趋近于点 A 时的极限位置.
故 由原方程可得： F(0, y) = 0y e0 + ey = 0
然后, 从这个式子中解出 y , 就得到隐函数的导数.
从而
故
例22 求椭圆
六.参数方程求导法则
1. 参数方程的概念 选择一个适当的参数 t 后, y = f (x) 可表示为
解
对方程两边关于 x 求导得：
故所求切线的方程为： 整理后, 切线方程为： 的形式, 此式称为函数 y = f (x) 的参数方程.
例13
解 它是 x = sin y 上单调、连续、可导,
而
于是
又 x = sin y 在 且导数不为0, 故
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例14
故 它是 x = cos y ,
解
例15
解
类似可得 又 故
四.复合函数的导数
定理
该定理可推广到任意有限次复合的情形. 例如,
则在各函数可导且 f [ (h(x))] 在 U(x) 有定义时, 有
第三节 高阶导数
一. 高阶导数的概念 二. 高阶导数的运算法则 三. 隐函数及参数方程确定的函数的高阶导数
一. 高阶导数的概念