2.2.3 一元二次不等式的解法(含答案)
【超级经典】一元二次不等式及其解法(含答案)
1 ， 2
由函数 y 4 x 4 x 1的图象为：
2
原不等式的的解集是 { } . 方法二：∵ 原不等式等价于： (2 x 1) 0 ,
2
1 2
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∴原不等式的的解集是 { } . （4）方法一：
2 2 因为 0 ，方程 x 4 x 5 0 无实数解，
函数 y x 4x 5 的简图为：
2
所以不等式 x 4 x 5 0 的解集是 .
2
所以原不等式的解集是 . 方法二：∵ x 4x 5 ( x 2) 1 1 0
2
函数 y x 5x 的简图为：
2
因而不等式 x 5x 0 的解集是 {x | 0 x 5} .
2
方法二： x 5x 0 x( x 5) 0
2
x 0 x 0 或 x 5 0 x 5 0
解得
x 0 x 0 或 ，即 0 x 5 或 x . x 5 x 5
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【经典例题】 类型一：解一元二次不等式 例 1. 解下列一元二次不等式 （1） x 5x 0 ；
2
（2） x 4 x 4 0 ；
2
（3） x 4 x 5 0
2
思路点拨: 转化为相应的函数，数形结合解决，或利用符号法则解答. 解析： （1）方法一： 因为 (5)2 4 1 0 25 0 所以方程 x 5x 0 的两个实数根为： x1 0 ， x2 5
高中数学《一元二次不等式的解法》习题(含解析)
解得 x 2 或 x 2 ，即不等式的解集为{x | x 2 或 x 2}；
（2）设 t x 0 ，则不等式 2x x 1 ，可化为 2t 2 t 1 0 ，
解得 t 1或 t 1 （舍去），即 2
x 1 ，解得 x 1 ，即不等式的解集为 { x | x 1} .
所以
是
的真子集，
所以
或 ，解得
或
所以 的取值范围是 17．解下列不等式：
或．
（1） x4 x2 2 0 ；
（2） 2x x 1 ． 【答案】（1）{x | x 2 或 x 2}；（2） { x | x 1} .
【解析】
（1）由题意，可得不等式 x4 x2 2 (x2 2)(x2 1) 0 ，解得 x2 2 ，
【解析】
3x2 x 2 0 ， 即 (x 1)(3x 2) 0 ，
即 1 x 2 ， 3
故 x 取值范围是 (1, 2) . 3
11．不等式
2x 1 x 1
3
的解集为_____________
【答案】 (4, 1)
【解析】
由题意，不等式
2x 1 x 1
3 ，即
2x 1 x 1
3
2x
1 3x x 1
x x
5 2
0}，则
A
B
(
)
A．{x |1 x 2} B．{x |1 x 2} C．{x | 2 x 4} D．{x|2＜x≤4}
【答案】D 【解析】
依题意 A 1, 4, B 2,5 ，故 A B 2, 4.
6．若不等式 ax2 x a 0 对一切实数 x 都成立，则实数 a 的取值范围为（ ）
当 m 1 0 时，即 m 1时，此时不等式 1 0 恒成立，满足题意； 当 m 1 0 时，即 m 1 时，则 [3(m 1)]2 4(m 1)(m) 0 ，即 (m 1)(13m 9) 0 ， 解得 9 m 1；
高中数学 第二章 等式与不等式 2.2 不等式 2.2.3 一元二次不等式的解法精品练习(含解析)新
2.2.3 一元二次不等式的解法必备知识基础练进阶训练第一层知识点一不含参数的一元二次不等式的解法1.不等式9x 2＋6x ＋1≤0的解集是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠－13 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－13≤x ≤13 C ．∅ D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝－13 2．解下列不等式： (1)2x 2＋7x ＋3>0；(2)－4x 2＋18x －814≥0；(3)－2x 2＋3x －2<0；(4)－12x 2＋3x －5>0.知识点二含参数的一元二次不等式的解法3.若0<m <1，则不等式(x －m )⎝⎛⎭⎪⎫x －1m <0的解集为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1m <x <m B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x >1m 或x <m C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >m 或x <1m D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪m <x <1m 4．当a >－1时，关于x 的不等式x 2＋(a －1)x －a >0的解集是________．5．已知A ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}，B ＝{x |x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0}，若A B ，则a 的取值X 围是________.知识点三三个“二次”间的关系及应用6.若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根为2，－1，则当a ＜0时，不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为( )A ．{x |x ＜－1或x ＞2}B ．{x |x ≤－1或x ≥2}C ．{x |－1＜x ＜2}D ．{x |－1≤x ≤2}7．若不等式2x 2＋mx ＋n ＞0的解集是{x |x ＞3或x ＜－2}，则m ，n 的值分别是( ) A ．2,12 B ．2，－2 C ．2，－12 D ．－2，－128．若不等式x 2＋mx ＋m2>0的解集为R ，则实数m 的取值X 围是( )A ．m >2B ．m <2C ．m <0或m >2D ．0<m <2关键能力综合练进阶训练第二层一、选择题1．不等式4x 2－12x ＋9≤0的解集是( ) A ．∅ B ．RC.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠32 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫322．不等式x 2－|x |－2＜0的解集是( ) A ．{x |－2＜x ＜2} B ．{x |x ＜－2或x ＞2} C ．{x |－1＜x ＜1} D ．{x |x ＜－1或x ＞1}3．已知不等式x 2－2x －3＜0的解集为A ，不等式x 2＋x －6＜0的解集为B ，不等式x 2＋ax ＋b ＜0的解集为A ∩B ，则a ＋b 等于( )A ．－3B ．1C ．－1D ．34．若不等式ax 2－x －c >0的解集为{x |－2<x <1}，则函数y ＝ax 2－x －c 的图像为( )5．(易错题)若不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则k 的取值X 围为( )A ．－3<k <0B ．－3≤k <0C ．－3≤k ≤0 D．－3<k ≤06．在R 上定义运算“⊙”：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)<0的实数x 的取值X 围为( )A ．0<x <2B ．－2<x <1C ．x <－2或x >1D ．－1<x <2 二、填空题7．不等式－1＜x 2＋2x －1≤2的解集是________．8．若关于x 的不等式ax 2－6x ＋a 2>0的解集为{x |1<x <m }，则a ＝________，m ＝________. 9．(探究题)关于x的不等式(mx －1)(x －2)>0，若此不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1m<x <2，则m 的取值X 围是________________．三、解答题10．已知y ＝ax 2＋x －a .(1)若函数y 有最大值178，某某数a 的值；(2)若不等式y ＞－2x 2－3x ＋1－2a 对一切实数x 恒成立，某某数a 的取值X 围．学科素养升级练进阶训练第三层1．(多选)对于给定的实数a ，关于实数x 的一元二次不等式a (x －a )(x ＋1)＞0的解集可能为( )A ．∅B ．(－1，a )C ．(a ，－1)D ．(－∞，－1)∪(a ，＋∞) 2．关于x的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2＞0，2x 2＋2k ＋5x ＋5k ＜0的整数解的集合为{－2}，则实数k的取值X 围是________．3．(学科素养—数学运算)已知不等式ax 2＋2ax ＋1≥0对任意x ∈R 恒成立，解关于x 的不等式x 2－x －a 2＋a <0.2．2.3 一元二次不等式的解法必备知识基础练1．解析：原不等式可化为(3x ＋1)2≤0， ∴3x ＋1＝0，∴x ＝－13.答案：D2．解析：(1)因为Δ＝72－4×2×3＝25>0，所以方程2x 2＋7x ＋3＝0有两个不等实根x 1＝－3，x 2＝－12.又二次函数y ＝2x 2＋7x ＋3的图像开口向上，所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >－12或x <－3. (2)原不等式可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －922≤0，所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝94.(3)原不等式可化为2x 2－3x ＋2>0，因为Δ＝9－4×2×2＝－7<0，所以方程2x 2－3x ＋2＝0无实根，又二次函数y ＝2x 2－3x ＋2的图像开口向上，所以原不等式的解集为R .(4)原不等式可化为x 2－6x ＋10<0，Δ＝(－6)2－40＝－4<0，所以方程x 2－6x ＋10＝0无实根，又二次函数y ＝x 2－6x ＋10的图像开口向上，所以原不等式的解集为∅.3．解析：∵0<m <1，∴1m>1>m ，故原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪m <x <1m，故选D. 答案：D4．解析：原不等式可化为(x ＋a )(x －1)>0， 方程(x ＋a )(x －1)＝0的两根为－a,1， ∵a >－1，∴－a <1，故不等式的解集为{x |x <－a 或x >1}． 答案：{x |x <－a 或x >1}5．解析：A ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}＝{x |1≤x ≤2}； 当a ≤1时，B ＝{x |a ≤x ≤1}，A B 不成立； 当a >1时，B ＝{x |1≤x ≤a }，若A B ，须a >2.答案：a >26．解析：由题意知，－b a ＝1，c a＝－2， ∴b ＝－a ，c ＝－2a ，又∵a ＜0，∴x 2－x －2≤0，∴－1≤x ≤2. 答案：D7．解析：由题意知－2,3是方程2x 2＋mx ＋n ＝0的两个根，所以－2＋3＝－m2，－2×3＝n2，∴m ＝－2，n ＝－12. 答案：D8．解析：由题意得Δ＝m 2－4×m2<0，即m 2－2m <0，解得0<m <2.答案：D关键能力综合练．1．解析：原不等式可化为(2x －3)2≤0，故x ＝32.故选D.答案：D2．解析：令t ＝|x |，则原不等式可化为t 2－t －2＜0， 即(t －2)(t ＋1)＜0.∵t ＝|x |≥0.∴t －2＜0.∴t ＜2. ∴|x |＜2，解得－2＜x ＜2. 答案：A3．解析：由题意得，A ＝{x |－1＜x ＜3}，B ＝{x |－3＜x ＜2}，所以A ∩B ＝{x |－1＜x ＜2}，由题意知，－1,2为方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根，由根与系数的关系可知，a ＝－1，b ＝－2，则a ＋b ＝－3.答案：A4．解析：因为不等式的解集为{x |－2<x <1}，所以a <0，排除C 、D ；又与坐标轴交点的横坐标为－2,1，故选B.答案：B5．解析：当k ＝0时，显然成立；当k ≠0时，即一元二次不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则⎩⎪⎨⎪⎧k <0，Δ＝k 2－4×2k ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－38<0，解得－3<k <0.综上，满足不等式2kx 2＋kx－38<0对一切实数x 都成立的k 的取值X 围是－3<k ≤0. 答案：D6．解析：根据给出的定义得，x ⊙(x －2)＝x (x －2)＋2x ＋(x －2)＝x 2＋x －2＝(x ＋2)(x －1)，又x ⊙(x －2)<0，则(x ＋2)(x －1)<0，故x 的取值X 围为－2<x <1.答案：B7．解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3≤0，x 2＋2x ＞0，∴－3≤x ＜－2或0＜x ≤1. 答案：{x |－3≤x ＜－2或0＜x ≤1}8．解析：可知1，m 是方程ax 2－6x ＋a 2＝0的两个根， 且a <0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋m ＝6a ，1×m ＝a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3m ＝－3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2m ＝2(舍去)．答案：－3 －39．解析：∵不等式(mx －1)(x －2)>0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1m<x <2， ∴方程(mx －1)(x －2)＝0的两个实数根为1m和2，且⎩⎪⎨⎪⎧m <0，1m<2，解得m <0，∴m 的取值X 围是m <0.答案：{m |m <0}10．解析：(1)显然a ＜0，且－4a 2－14a ＝178，解得a ＝－2或a ＝－18.(2)由y ＞－2x 2－3x ＋1－2a ，得 (a ＋2)x 2＋4x ＋a －1＞0.当a ＝－2时，不符合题意；当a ≠－2时，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2＞0，Δ＝16－4a ＋2a －1＜0，解得a ＞2.综上，a 的取值X 围为(2，＋∞)．学科素养升级练1．解析：对于a (x －a )(x ＋1)＞0，当a ＞0时，y ＝a (x －a )(x ＋1)开口向上，与x 轴的交点为a 和－1， 故不等式的解集为x ∈(－∞，－1)∪(a ，＋∞)； 当a ＜0时，y ＝a (x －a )(x ＋1)开口向下， 若a ＝－1，不等式解集为∅；若－1＜a ＜0，不等式的解集为(－1，a )；若a ＜－1，不等式的解集为(a ，－1)； 综上，ABCD 都成立． 答案：ABCD2．解析：由x 2－x －2＞0，解得x ＞2或x ＜－1，又由2x 2＋(2k ＋5)x ＋5k ＜0可得，(2x ＋5)(x ＋k )＜0，如图所示，由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧－k ＞－52，－2<－k ≤3，解得－3≤k ＜2.答案：[－3,2)3．解析：∵ax 2＋2ax ＋1≥0对任意x ∈R 恒成立． 当a ＝0时，1≥0，不等式恒成立；当a ≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝4a 2－4a ≤0，解得0<a ≤1.综上，0≤a ≤1.由x 2－x －a 2＋a <0，得(x －a )[(x ＋a －1)]<0. ∵0≤a ≤1，∴①当1－a >a ，即0≤a <12时，a <x <1－a ；②当1－a ＝a ，即a ＝12时，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122<0，不等式无解；③当1－a <a ，即12<a ≤1时，1－a <x <a .综上，当0≤a <12时，原不等式的解集为{x |a <x <1－a }；当a ＝12时，原不等式的解集为∅；当12<a ≤1时，原不等式的解集为{x |1－a <x <a }．。
2021_2022学年新教材高中数学课时过程性评价第二章等式与不等式2.2.3一元二次不等式的解法练
或
1 0<x<a
B．－1a <x<0 或 0<x<－1b
C．x<1b
或
1 x>a
D．－1a <x<－1b
【解析】选
C.因为
1 a>x
>b，所以
ax2>x>bx2(x≠0)，由
ax2>x
可得
x<0
或
1 x>a
，由 x>bx2
可得
x>0
或
1 x<b
，求交集可得，x<1b
或
1 x>a
.
3．(2020·泰安高一检测)某文具店购进一批新型台灯，每盏最低售价为 15 元，若按最 低售价销售，每天能卖出 30 盏；若售价每提高 1 元，日销售量将减少 2 盏，为了使 这批台灯每天获得 400 元以上(不含 400 元)的销售收入，则这批台灯的销售单价 x(单 位：元)的取值范围是( ) A．10<x<20 B．15≤x<20 C．15<x<20 D．10≤x<20 【解析】选 B.由题意，x[30－2(x－15)]>400， 则－2x2＋60x－400>0，即 x2－30x＋200<0， 所以(x－10)(x－20)<0，即 10<x<20， 因为每盏最低售价为 15 元，所以 15≤x<20.
m＋1>0 Δ＝（－m）2－4（m＋1）（m－1）≤0
，
即m3m>2－－14≥0
m>－1 ，所以m≤－2 33或m≥2 33
，
解得
2 m≥3
3，
所以 m 的取值范围是32
一元二次不等式的解法6种常见考法归类(原卷版)
2.2.3 一元二次不等式的解法6种常见考法归类1、一元二次不等式的概念一般地，形如ax 2＋bx ＋c >0的不等式称为一元二次不等式，其中a ，b ，c 是常数，而且a ≠0.一元二次不等式中的不等号也可以是“<”“≥”“≤”等．注：一元二次不等式的二次项系数a 有a >0和a <0两种，注意aa <0时，我们通常将不等式两边同乘以－1，化为二次项系数大于0的一元二次不等式，但要注意不等号要改变方向，这样我们只需要研究二次项系数大于0的一元二次不等式．2、一元二次不等式的解法（1）用因式分解法解一元二次不等式一般地，如果x 1<x 2，则不等式(x －x 1)(x －x 2)<0的解集是(x 1，x 2)，不等式(x －x 1)(x －x 2)>0的解集是(－∞，x 1)∪(x 2，＋∞).①这种方法只有在一元二次不等式左边能够因式分解(一般用十字相乘法)时才能使用，简记为“小于零取中间，大于零取两边”．②因式分解法就是将一元二次不等式转化为两个一元一次不等式组来求解．依据是：ab >0当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b >0 或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，b <0 ；ab <0当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a <0，b >0 或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b <0.（2）用配方法解一元二次不等式一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)通过配方总是可以变为(x －h )2>k 或(x －h )2<k 的形式，然后根据k 的正负等知识，就可以得到不等式的解集．注：(1)因式分解法只适用于特殊类型的一元二次不等式，一般的一元二次不等式可以通过配方法求得解集．(2)用配方法解一元二次不等式的关键是熟练掌握二次三项式的配方技巧．3、二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系4、简单分式不等式的解法分式不等式的概念分母中含有未知数的不等式称为分式不等式．注：当分式不等式等价转化为整式不等式时，其分母不为零最容易被忽略，这一点一定要注意．5、求解可化成ax2＋bx＋c>0(a>0)形式的不等式为例，用框图表示其求解过程：6、一元二次不等式的解法：(1)图像法：一般地，当a＞0时，解形如ax2＋bx＋c＞0(≥0)或ax2＋bx＋c＜0(≤0)的一元二次不等式，一般可分为三步：∪确定对应方程ax2＋bx＋c＝0的解；∪画出对应函数y＝ax2＋bx＋c的图像简图；∪由图像得出不等式的解集．对于a＜0的一元二次不等式，可以直接采取类似a＞0时的解题步骤求解；也可以先把它化成二次项系数为正的一元二次不等式，再求解．(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解，当p ＜q 时，若(x －p)(x －q)＞0，则x ＞q 或x ＜p ；若(x －p)(x －q)＜0，则p ＜x ＜q.有口诀如下“大于取两边，小于取中间”．7、含参数一元二次不等式求解步骤(1)讨论二次项系数的符号，即相应二次函数图像的开口方向； (2)讨论判别式的符号，即相应二次函数图像与x 轴交点的个数； (3)当Δ>0时，讨论相应一元二次方程两根的大小；(4)最后按照系数中的参数取值范围，写出一元二次不等式的解集．8、三个“二次”之间的关系一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系，在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换．(1)若一元二次不等式的解集为区间的形式，则区间的端点值恰是对应一元二次方程的根，要注意解集的形式与二次项系数的联系．(2)若一元二次不等式的解集为R 或∪，则问题可转化为恒成立问题，此时可以根据二次函数图像与x 轴的交点情况确定判别式的符号，进而求出参数的范围．9、简单的分式不等式的解法对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零．对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．注：设A 、B 均为含x 的多项式 （1）00>⇔>A AB B （2）00<⇔<AAB B（3）000≥⎧≥⇔⎨≠⎩AB A B B （4）000≤⎧≤⇔⎨≠⎩AB AB B 10、解不等式应用题的四步骤(1)审：认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系． (2)设：引进数学符号，用不等式表示不等关系． (3)求：解不等式． (4)答：回答实际问题．特别提醒：确定答案时应注意变量具有的“实际含义”．考点一 解不含参数的一元二次不等式 考点二 含参数的一元二次不等式的解法 考点三 利用不等式的解集求参数考点四 简单的分式不等式的解法 考点五 一元二次不等式的恒成立有解问题 考点六 一元二次不等式的实际应用考点一 解不含参数的一元二次不等式1．（2023秋·安徽合肥·高二校考学业考试）不等式(1)(2)0x x -+>的解集为（ ） A ．{2x x <-或1}x >B ．{21}x x -<<C ．{12}x x <<D ．{1x x <或2}x >2．（2023秋·广东佛山·高一佛山市第二中学校考开学考试）解下列一元二次不等式： (1)23710x x -≤； (2)2104x x -+<； (3)2340x x -+>．3．（2023·上海·高一专题练习）解下列不等式： （1）22310x x -+-<； （2）()2160x -->；（3）2260340x x x x ⎧--≤⎨+-<⎩4．（2023秋·高一校考课时练习）解下列不等式： （1）22320x x --> （2）2350x x -+>（3）2620x x --+≥ （4）2414x x -≥-5．（2023春·福建福州·高二福建省福州延安中学校考学业考试）不等式24410x x -+<的解集为 A ．1(,]2-∞B ．11,,22⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．12⎧⎫⎨⎬⎩⎭D ．∅6．【多选】（2023秋·江苏淮安·高一校考阶段练习）下列四个不等式中，解集为∅的是（ ） A ．210x x -++≤ B ．22340x x -+<C ．2690x x ++≤D ．2440(0)x x a a a ⎛⎫-+-+>> ⎪⎝⎭考点二 含参数的一元二次不等式的解法7．（2023·全国·高一假期作业）若01a <<，解不等式()10a x x a ⎛-⎫ ⎪⎝⎭->．8．（2023·江苏·高一假期作业）解关于x 的不等式()()2231220x a x a --+->9．（2023秋·高一校考课时练习）解关于x 的不等式: ()22110ax a x a -+++<.10．（2023秋·北京·高一北京市第五十中学校考阶段练习）解不等式()2110ax a x -++>.11．（2023秋·北京西城·高一北京铁路二中校考期中）设a ∈R ，解关于x 的不等式：()2330ax a x -++≤．12．（2023秋·黑龙江鹤岗·高一鹤岗一中校考期中）已知222()(1)2(1)f x ax a x a =-+++，a ∈R ，求关于x 的不等式()0f x ≥的解集.考点三 利用不等式的解集求参数13．（2023秋·福建福州·高一福州三中校考阶段练习）已知不等式20x ax b ++<的解集是{}24x x -<<，则a b +=（ ）A ．-10B ．-6C ．0D ．214．（2023秋·福建泉州·高一校考阶段练习）若关于x 的不等式220x x a -+<的解集是{|2}x b x <<，则a b += （ ）A ．1-B ．152-C ．92-D ．9-15．【多选】（2023·黑龙江佳木斯·佳木斯一中校考模拟预测）已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为()(),23,-∞-⋃+∞，则下列选项中正确的是（ ）A ．a<0B ．不等式0bx c +>的解集是{}|6x x <-C ．0a b c ++>D ．不等式20cx bx a -+<的解集为11(,)(,)32-∞-⋃+∞16．（2023秋·河南南阳·高一校考阶段练习）关于x 的不等式20ax bx c ++<的解集为()3,1-，则不等式20bx ax c ++<的解集为（ ）A ．()1,2?B ．1,2C ．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭17．（2023秋·广西柳州·高一柳铁一中校联考阶段练习）已知关于x 的不等式mx n >的解集是{}<2x x ，则关于x 的不等式()()30mx n x +->的解集是（ ）A ．{|2x x <或3}x >B ．{}2<<3x xC ．{|2x x <-或3}x >D ．{}2<<3x x -18．（2023秋·江苏常州·高一江苏省前黄高级中学校考期中）已知函数()243f x ax x =++.(1)若关于x 的不等式()0f x >的解集是(),1b ，求,a b 的值. (2)若0a >，求关于x 的不等式()1f x ax >--的解集.19．（2023秋·湖南永州·高二统考阶段练习）若不等式20x x c +-≤的解集为[]2,1-，则c = .20．（2023·全国·高三专题练习）若不等式()210x a x a -++≤的解集是[]4,3-的子集，则a 的范围是（ ）A ．[－4，3]B ．[－4，2]C ．[－1，3]D ．[－2，2]21．【多选】（2023春·浙江温州·高二统考学业考试）关于x 的不等式22(12)20ax a x a +--<的解集中恰有3个正整数解，则a 的值可以为（ ）A ．1-B ．32C ．74D ．2考点四 简单的分式不等式的解法22．（2023秋·云南曲靖·高一校考阶段练习）不等式302x x +>+的解集是 ．23．（2023秋·陕西渭南·高二统考期末）不等式102xx-≥+的解集为 ． 24．（2023秋·河南商丘·高一统考期中）不等式3102x x +≤- 的解集是 ． 25．（2023·全国·高三对口高考）已知集合3442x P xx ⎧⎫+=≥⎨⎬-⎩⎭，则P = ． 26．（2023秋·陕西西安·高三西北工业大学附属中学校考阶段练习）解不等式： (1)2450x x -++>； (2)2221x ax a -≤-+； (3)132x x+≥-. 考点五 一元二次不等式的恒成立有解问题27．（2023秋·高一单元测试）设()()212=--+-∈y x a x a a R .(1)若不等式()2122--+-≥-x a x a 对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围;(2)解关于x 的不等式()2120--+-<x a x a .28．（2023春·江苏南京·高二南京市中华中学校考阶段练习）设()()212f x ax a x a =+-+-． (1)若不等式()2f x ≥-对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围； (2)解关于x 的不等式()()1R f x a a <-∈．29．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨三中校考阶段练习）已知函数()()()2124f x m x mx m m =+-+-∈R ．(1)若不等式()0f x <的解集为R ，求m 的取值范围； (2)解关于x 的不等式()f x m ≥．30．（2023秋·四川遂宁·高一射洪中学校考阶段练习）设2(1)2y ax a x a =+-+-． (1)若不等式2y ≥-对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围；(2)解关于x 的不等式()2(1)10R ax a x a +--<∈．31．（2023·高一课时练习）已知函数()()2322f x x a x a b =+-+++，a ，b ∈R .(1)若关于x 的不等式()0f x >的解集为{4x x <-或}2x >，求实数a ，b 的值； (2)若关于x 的不等式()f x b ≤在[]1,3x ∈上有解，求实数a 的取值范围；(3)若关于x 的不等式()12f x b <+的解集中恰有3个整数，求实数a 的取值范围．考点六 一元二次不等式的实际应用32．（2023秋·高一校考单元测试）某小型雨衣厂生产某种雨衣，售价P （单位：元/件）与月销售量x （单位：件）之间的关系为1602P x =-，生产x 件的成本（单位：元）50030R x =+.若每月获得的利润y （单位：元）不少于1300元，则该厂的月销售量x 的取值范围为（ ）A ．()20,45B ．[)20,45C ．(]20,45D ．[]20,4533．（2023·全国·高一假期作业）某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x （件）与单价P （元）之间的关系为1602P x =-，生产x 件所需成本为C （元），其中()50030C x =+元，若要求每天获利不少于1300元，则日销售量x 的取值范围是（ ）.A ．{}2030,N x x x +≤≤∈B ．{}2045,N x x x +≤≤∈C ．{}1530,N x x x +≤≤∈D ．{}1545,N x x x +≤≤∈34．（2023春·河南安阳·高二林州一中校考阶段练习）某地每年消耗木材约20万立方米，每立方米售价480元，为了减少木材消耗，决定按%t 征收木材税，这样，每年的木材消耗量减少52t 万立方米，为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于180万元，t 的取值范围是（ ）A ．[]1,3B ．[]2,4C ．[]3,5D ．[]4,635．（2023秋·四川绵阳·高一绵阳中学校考阶段练习）某种衬衫进货价为每件30元，若以40元一件出售，则每天能卖出40件；若每件提价1元，则每天卖出件数将减少一件，为使每天出售衬衫的净收入不低于525元，则每件衬衫的售价的取值范围是 ．(假设每件衬衫的售价是m )。
微专题05 一元二次不等式、分式不等式(解析版)
微专题05一元二次不等式、分式不等式【知识点总结】一、一元二次不等式一元二次不等式20(0)ax bx c a ++>≠，其中24b ac ∆=-，12,x x 是方程20(0)ax bx c a ++>≠的两个根，且12x x <（1）当0a >时，二次函数图象开口向上．（2）①若0∆>，解集为{}21|x x x x x ><或．②若0∆=，解集为|2b x x R x a ⎧⎫∈≠-⎨⎬⎩⎭且．③若0∆<，解集为R ．（2）当0a <时，二次函数图象开口向下．①若0∆>，解集为{}12|x x x x <<②若0∆≤，解集为∅二、分式不等式（1）()0()()0()f x f xg x g x >⇔⋅>（2）()0()()0()f x f xg x g x <⇔⋅<（3）()()0()0()0()f x g x f x g x g x ⋅≥⎧≥⇔⎨≠⎩（4）()()0()0()0()f x g x f x g x g x ⋅≤⎧≤⇔⎨≠⎩三、绝对值不等式（1）22()()[()][()]f xg x f x g x >⇔>（2）()()(()0)()()()()f x g x g x f x g x f x g x >>⇔><-或；()()(()0)()()()f x g x g x g x f x g x <>⇔-<<；（3）含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段法和图象法求解【方法技巧与总结】（1）已知关于x 的一元二次不等式02>++c bx ax 的解集为R ，则一定满足⎩⎨⎧<∆>00a ；（2）已知关于x 的一元二次不等式02>++c bx ax 的解集为φ，则一定满足⎩⎨⎧≤∆<00a ；（3）已知关于x 的一元二次不等式02<++c bx ax 的解集为R ，则一定满足⎩⎨⎧<∆<00a ；（4）已知关于x 的一元二次不等式02<++c bx ax 的解集为φ，则一定满足⎩⎨⎧≤∆>00a ．【题型归纳目录】题型一：一元二次不等式的解法题型二：分式不等式的解法题型三：绝对值不等式的解法题型四：高次不等式的解法题型五：一元二次不等式恒成立问题【典型例题】题型一：一元二次不等式的解法例1．（2022·全国·高一课时练习）不等式20x ax b --<的解集是{|23}x x <<，则210bx ax -->的解集是（）A ．{|23}x x <<B ．11{|}32x x <<C ．11{|}23x x -<<-D ．{|32}x x -<<-【答案】C【解析】因为不等式20x ax b --<的解集是{|23}x x <<，所以方程20x ax b --=的两根为122,3x x ==，所以由韦达定理得23a +=，23b ⨯=-，即,=5=-6a b ，所以2216510bx ax x x --=--->，解不等式得解集为11{|}23x x -<<-故选：C例2．（2022·福建·厦门一中高一期中）已知关于x 的不等式20ax bx c ++<的解集为{|1x x <-或4}x >，则下列说法正确的是（）A ．0a >B ．不等式20ax cxb ++>的解集为{|22x x <<+C ．0a b c ++<D ．不等式0ax b +>的解集为{}|3x x >【答案】B【解析】因为关于x 的不等式20ax bx c ++<的解集为{|1x x <-或4}x >，所以0a <，所以选项A 错误；由题得014,3,414a b b a c a a c a ⎧⎪<⎪⎪-+=-∴=-=-⎨⎪⎪-⨯=⎪⎩，所以20ax cx b ++>为2430,22x x x --<∴<<B 正确；设2()f x ax bx c =++，则(1)0f a b c =++>，所以选项C 错误；不等式0ax b +>为30,3ax a x ->∴<，所以选项D 错误．故选：B例3．（2022·江苏南京·高一期末）已知,b c ∈R ，关于x 的不等式20x bx c ++<的解集为()2,1-，则关于x 的不等式210cx bx ++>的解集为（）A ．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．()1,1,2∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭D ．()1,12∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】因为不等式20x bx c ++<的解集为()2,1-，所以2121-=-+⎧⎨=-⨯⎩b c 即12=⎧⎨=-⎩b c ，不等式210cx bx ++>等价于2210x x -++>，解得112x -<<．故选：A ．例4．（2022·全国·高一课时练习）已知不等式组22430680x x x x ⎧-+<⎨-+<⎩的解集是关于x 的不等式230x x a -+<解集的子集，则实数a 的取值范围是（）．A ．0a <B ．0a ≤C ．2a ≤D ．2a <【答案】B【解析】不等式组22430680x x x x ⎧-+<⎨-+<⎩解得1324x x <<⎧⎨<<⎩，所以不等式组的解集是{|23}x x <<，关于x 的不等式230x x a -+<解集包含{|23}x x <<，令2()3f x x x a =-+，∴940(2)20(3)0a f a f a ∆=->⎧⎪=-+⎨⎪=⎩，解得0a ，故选：B ．例5．（多选题）（2022·江苏·苏州中学高一阶段练习）关于x 的不等式20ax bx c ++<的解集为(,2)(3,)-∞-⋃+∞，则下列正确的是（）A ．0a <B ．关于x 的不等式0bx c +>的解集为(,6)-∞-C ．0a b c ++>D ．关于x 的不等式20cx bx a -+>的解集为121,,3⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】ACD【解析】A ．由已知可得0a <且2,3-是方程20ax bx c ++=的两根，A 正确，B ．由根与系数的关系可得：2323b ac a ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，解得,6b a c a =-=-，则不等式0bx c +>可化为：60ax a -->，即60x +>，所以6x >-，B 错误，C ．因为660a b c a a a a ++=--=->，C 正确，D ．不等式20cx bx a -+>可化为：260ax ax a -++>，即2610x x -->，解得12x >或13x <-，D 正确，故选：ACD ．例6．（多选题）（2022·全国·高一）若不等式20ax bx c ++>的解集为()1,2-，则下列说法正确的是（）A ．0a <B ．0a b c ++>C ．关于x 的不等式230bx cx a ++>解集为()3,1-D ．关于x 的不等式230bx cx a ++>解集为()(),31,-∞-⋃+∞【答案】ABD【解析】因为不等式20ax bx c ++>的解集为()1,2-，所以0,1,2b ca a a<-==-，故,2b a c a =-=-，此时20a b c a ++=->，所以A 正确，B 正确；22230230230bx cx a ax ax a x x ++>⇔--+>⇔+->，解得：3x <-或1x >．所以D 正确；C 错误．故选：ABD例7．（2022·全国·高一专题练习）关于x 的不等式22430(0)x ax a a -+-≥>的解集为[]12,x x ，则12123ax x x x ++的最小值是_____________．【答案】4【解析】关于x 的不等式22430(0)x ax a a -+-≥>可化为()()30(0)x a x a a --≤>所以不等式的解集为[],3a a ，所以12,3x a x a ==．所以122123314443a a x x a a x x a a ++=+=+≥=（当且仅当14a a=，即12a =时取“=”）．故答案为：4．例8．（2022·江苏·盐城市大丰区新丰中学高一期中）已知关于x 的一元二次不等式220bx x a -->的解集为{|}x x c ≠，且a ，b ，R c ∈，0b c +≠，则2210a b b c +++的最小值为_______．【答案】【解析】由题意，关于x 的一元二次不等式220bx x a -->的解集为{|}x x c ≠，可得0b >，且440ab ∆=+=，所以1ab =-且0b >，所以1a b=-，又由不等式220bx x a -->的解集为{|}x x c ≠，所以212c b b--==，令12t b c b b=+=+≥，则22222211()22a b b b t b b +=+=+-=-，所以2221088a b t t b c t t +++==+≥+t =时取等号．所以2210a b b c+++的最小值为故答案为：题型二：分式不等式的解法例9．（2022·河南·高一期中）不等式351x x x +>-的解集是______．【答案】()(),11,5-∞-⋃【解析】不等式351x x x +>-化为以下两个不等式组：21035x x x x -<⎧⎨+<-⎩或21035x x x x ->⎧⎨+>-⎩，解21035x x x x -<⎧⎨+<-⎩，即21450x x x <⎧⎨-->⎩，解得1x <-，解21035x x x x ->⎧⎨+>-⎩，即21450x x x >⎧⎨--<⎩，解得15x <<，所以原不等式的解集是()(),11,5-∞-⋃．故答案为：()(),11,5-∞-⋃例10．（2022·全国·高一专题练习）不等式3113x x+>--的解集是_______．【答案】()23-，【解析】由3113x x +>--可得31103x x ++>-，即2403x x +<-，即()()3240x x -+<解得23x -<<所以不等式3113x x+>--的解集是()23-，故答案为：()23-，例11．（2022·湖南·新邵县第二中学高一开学考试）不等式2131x x +>-的解是___________．【答案】(1,4)【解析】由题设，2143011x xx x +--=>--，∴(1)(4)0x x --<，可得14x <<，原不等式的解集为(1,4)．故答案为：(1,4)．例12．（2022·上海市延安中学高一期中）已知关于x 的不等式221037kx kx x x -+≤-+的解集为空集，则实数k 的取值范围是___________．【答案】[)0,4【解析】2231937024x x x ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭恒成立，∴不等式等价于210kx kx -+≤的解集是φ，当0k =时，10≤不成立，解集是φ，当0k ≠时，240k k k >⎧⎨∆=-<⎩，解得：04k <<，综上：04k ≤<．故答案为：[)0,4例13．（2022·湖北·武汉市钢城第四中学高一阶段练习）不等式301x x -≥+的解集是____________．【答案】()[),13,-∞-+∞【解析】原不等式等价于()()31010x x x ⎧-+≥⎨+≠⎩，解得：3x ≥或1x <-，故答案为：()[),13,-∞-+∞．例14．（2022·上海市奉贤区曙光中学高一阶段练习）设关于x 的不等式0ax b +>的解集为(,1)-∞，则关于x 的不等式06ax bx -≥-的解集为______；【答案】[)1,6-【解析】由于关于x 的不等式0ax b +>的解集是(,1)-∞，则1为关于0ax b +=的根，且0a <，0a b ∴+=，得=-b a ，不等式06ax b x -≥-即为06ax a x +≥-，即106x x +≤-，解该不等式得[)1,6x ∈-故答案为：[)1,6-例15．（2022·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高一开学考试）若不等式2510ax x ++≤的解集为1123x x ⎧⎫-≤≤-⎨⎬⎩⎭，则不等式13x ax -≤-的解集为______．【答案】{}3x x >【解析】∵不等式2510ax x ++≤的解集为11{|}23x x -≤≤-∴12-，13-是方程2510ax x ++=的两根，∴6a =，∴13x a x -≤-可化为303x -≤-∴3x >∴不等式13x ax -≤-的解集为{|3}x x >，故答案为：{|3}x x >．例16．（2022·上海·高一专题练习）关于x 的不等式212x ax -≤--的解集是523x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭，则a 的值为____．【答案】3【解析】由题知，22122x a x x x --≤-=---，整理得()3202x a x -+≤-，所以()()()3220x a x -+-≤，且2x ≠，因为不等式()()()3220x a x -+-≤，且2x ≠，的解集为523x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭，所以()53203a ⋅-+=，3a =．故答案为：3．题型三：绝对值不等式的解法例17．（2022·上海交大附中高一阶段练习）不等式组12511x x ⎧-≤⎪⎨≥⎪+⎩的解集为______________；【答案】(]1,3-；【解析】不等式12x -≤等价于212x -≤-≤，解之得：13x -≤≤，不等式511x ≥+等价于()5101x x -+≥+，解之得：14x -<≤，故不等式组12511x x ⎧-≤⎪⎨≥⎪+⎩的解集为：(]1,3-．故答案为：(]1,3-．例18．（2022·上海交大附中高一期中）已知集合102x A xx ⎧⎫-=≤⎨⎬+⎩⎭，{|}1||2B x x =-≤，则A B ＝___．【答案】(23]-，【解析】解不等式102x x -≤+即(1)(2)020x x x -+≤⎧⎨+≠⎩，解得21x -<≤，故10(2,1]2x A xx ⎧⎫-=≤=-⎨⎬+⎩⎭，解|1|2x -≤，即212x -≤-≤，解得13x -≤≤，故121{|||]3}[B x x =-≤=-，，则(23]A B ⋃=-，，故答案为：(23]-，．例19．（2022·上海浦东新·高一期中）不等式221x x ->+的解集是_________．【答案】1|33x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭【解析】当12x ≤-时，不等式221x x ->+转化为()()221x x -->-+，解得3x >-，此时132x -<≤-，当122x -<<时，不等式221x x ->+转化为()221x x -->+，解得13x <，此时1123x -<<，当2x ≥时，不等式221x x ->+转化为221x x ->+，解得3x <-，此时无解，综上：221x x ->+的解集是1|33x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭．故答案为：1|33x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭例20．（2022·全国·高一专题练习）设集合A ＝{x ||x ﹣a |＜1，x ∈R }，B ＝{x |1＜x ＜5，x ∈R }，若A 是B 的真子集，则a 的取值范围为___．【答案】2≤a ≤4【解析】由|x ﹣a |＜1，得﹣1＜x ﹣a ＜1，∴a ﹣1＜x ＜a +1，由A 是B 的真子集，得1115a a ->⎧⎨+<⎩，∴2＜a ＜4．又当a ＝2时，A ＝{x |1＜x ＜3}，a ＝4时，A ＝{x |3＜x ＜5}，均满足A 是B 的真子集，∴2≤a ≤4．故答案为：2≤a ≤4题型四：高次不等式的解法例21．（2022·全国·高一课时练习）不等式22132x x x +≥-+的解集为___________．【答案】[0,1)(2,4]⋃【解析】22132x x x +≥-+等价于221032+-≥-+x x x ，即224032x x x x -+≥-+，即(4)0(1)(2)x x x x -≤--，又等价于()()()()()1240120x x x x x x ⎧---≤⎪⎨--≠⎪⎩，利用数轴标根法解得01x ≤<或24x <≤，所以原不等式的解集为[0,1)(2,4]⋃，故答案为：[0,1)(2,4]⋃例22．（2022·天津·静海一中高一阶段练习）不等式()()222344032x x x x x +-+≤+-的解集为___________．【答案】3[,1){2}(3,)2--+∞【解析】由题得2320,3x x x +-≠∴≠且1x ≠-．由题得()()()()2222322320,023(3)(1)x x x x x x x x +-+-≥∴≥---+，所以()()223(1)2(3)0x x x x ++--≥，()()223(1)2(3)0x x x x ++--=零点为3,1,2,32--．当32x <-时，不等式不成立；当312x -≤<-时，不等式成立；当12x -≤<时，不等式不成立；当2x =时，不等式成立；当23x <≤时，不等式不成立；当3x >时，不等式成立．故不等式的解集为：3[,1){2}(3,)2--+∞故答案为：3[,1){2}(3,)2--+∞例23．（2022·上海·华师大二附中高一阶段练习）不等式201712xx x <≤-+的解集为________．【答案】(0,2][6,)⋃+∞【解析】20712xx x <⇒-+()()340x x x -->，根据数轴穿根法可解得03x <<或4x >，22228121100712712712x x x x x x x x x x -+≤⇒-≤⇒≥-+-+-+()()()()2234607120x x x x x x ⎧----≥⇒⎨-+≠⎩，解得2x ≤或34x <<或6x ≥，所以2034017122346x x xx x x x x ⎧<<≤⇒⎨-+≤<<≥⎩或或或，解得(0,2][6,)x ∈⋃+∞．故答案为：(0,2][6,)⋃+∞例24．（2022·上海·华师大二附中高一期末）不等式2411x x x --≥-的解集为______．【答案】[1,1)[3,)-+∞【解析】不等式2411x x x --≥-化为24101x x x ---≥-，22301x x x --≥-，(1)(3)(1)010x x x x +--≥⎧⎨-≠⎩，解得3x ≥或11x -≤<．故答案为：[1,1)[3,)-+∞．例25．（2022·上海·高一专题练习）不等式()()()()2321120x x x x ++--≤的解集为________【答案】(]{}[],211,2-∞--【解析】如下图所示：根据图象可知：当2x -≤或1x =-或12x ≤≤时，()()()()2321120x x x x ++--≤，所以不等式的解集为：(]{}[],211,2-∞--，故答案为：(]{}[],211,2-∞--．例26．（2022·浙江·诸暨中学高一期中）不等式()()2160x x x -+-<的解集为______．【答案】()(),31,2-∞-【解析】因为()()2160x x x -+-<，所以()()()1320x x x -+-<，解得3x <-或12x <<．所以不等式()()2160x x x -+-<的解集为：()(),31,2-∞-．故答案为：()(),31,2-∞-例27．（2022·上海·高一专题练习）不等式()()22221221x xx x x x ++>++的解集为_________．【答案】()()(),11,02,-∞--+∞．【解析】()()22221221xxx x x x ++>++等价于()()2120,x x x +->当1x =-时，不等式不成立，当1x ≠-时，不等式等价于()20x x ->，解得0x <或2x >且1x ≠-，故不等式的解集为()()(),11,02,-∞--+∞．故答案为：()()(),11,02,-∞--+∞．例28．（2022·上海市复兴高级中学高一期中）不等式()()()()2233021x x x x x --≥-+-的解集是______．【答案】23x x ⎧≤⎨⎩或}13x <≤【解析】不等式()()()()2233021x x x x x --≥-+-等价为()()()23310x x x ---≥且10x -≠，∴23x ≤或13x <≤，∴不等式()()()()2233021x x x x x --≥-+-的解集是23x x ⎧≤⎨⎩或}13x <≤故答案为：23x x ⎧≤⎨⎩或}13x <≤例29．（2022·贵州·遵义航天高级中学高一阶段练习）不等式()()232101xx x x -++≤-的解集为（）A ．[－1，2]B ．[－2，1]C ．[－2，1）∪（1，3]D ．[－1，1）∪（1，2]【答案】D【解析】由()()232101x x x x -++≤-可得，()()()12101x x x x --+≤-，∴()()21010x x x ⎧-+≤⎨-≠⎩，解得12x -≤≤且1x ≠，故原不等式的解集为[1,1)(1,2]-．故选：D ．题型五：一元二次不等式恒成立问题例30．（2022·江苏·高一专题练习）若正实数,x y 满足244x y xy ++=，且不等式()2222340x y a a xy +++-≥恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．532⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，B ．(]5,3,2⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭C ．532⎛⎤- ⎥⎝⎦，D ．(]5,3,2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】正实数x ，y 满足244x y xy ++=，可得244x y xy +=-，∴不等式()2222340x y a a xy +++-≥恒成立，即()24422340xy a a xy -++-≥恒成立，变形可得()222214234xy a a a +≥-+恒成立，即2221721a a xy a -+≥+恒成立，0x >，0y >，2x y ∴+≥2x y =时等号成立，4244xy x y ∴=++≥+220≥，≥≤舍)可得2xy ≥，要使2221721a a xy a -+≥+恒成立，只需22217221a a a -+≥+恒成立，化简可得22150a a +-≥，即()()3250a a +-≥，解得3a ≤-或52a ≥，故实数a 的取值范围是(]5,3,2⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭故选：B ．例31．（2022·全国·高一单元测试）在R 上定义运算():1x y x y ⊗⊗=-．若不等式()()1x a x a -⊗+<对任意实数x 都成立，则实数a 的取值范围为（）A ．1322a a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭B ．{}02a a <<C ．{}11a a -<<D ．3122a a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭【答案】A【解析】由()()1x a x a -⊗+<，得()()11x a x a ---<，即221a a x x --<-，令2t x x =-，此时只需2min 1a a t --<，又221124t x x x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，所以2114a a --<-，即24430a a --<，解得1322a -<<．故选：A ．例32．（2022·河南濮阳·高一期末（理））已知命题“R x ∀∈，214(2)04x a x +-+>”是假命题，则实数a 的取值范围为（）A ．(][),04,-∞+∞UB ．[]0,4C ．[)4,+∞D ．()0,4【答案】A【解析】若“R x ∀∈，214(2)04x a x +-+>”是真命题，即判别式()21Δ24404a =--⨯⨯<，解得：04a <<，所以命题“R x ∀∈，214(2)04x a x +-+>”是假命题，则实数a 的取值范围为：(][),04,-∞+∞U ．故选：A ．例33．（2022·浙江·金华市曙光学校高一阶段练习）“不等式20x x m -+>在R 上恒成立”的充要条件是（）A ．14m >B ．14m <C ．1m <D ．1m >【答案】A【解析】∵不等式20x x m -+>在R 上恒成立，∴24(10)m ∆--<＝，解得14m >，又∵14m >，∴140m ∆=-<，则不等式20x x m -+>在R 上恒成立，∴“14m >”是“不等式20x x m -+>在R 上恒成立”的充要条件，故选：A ．例34．（2022·四川·广安二中高一阶段练习（理））已知关于x 的不等式()()221110a x a x ----<的解集为R ，则实数a 的取值范围（）A ．3,15⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．3,15⎛⎤- ⎥⎝⎦C ．[)3,1,5⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭D ．()3,1,5⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】当1a =时，不等式为10-<，对x R ∀∈恒成立，所以满足条件当1a =-时，不等式为210x -<，解集为1,2∞⎛⎫- ⎪⎝⎭，不满足题意当210a ->时，对应的二次函数开口向上，()()221110a x a x ----<的解集一定不是R ，不满足题意当210a -<，11a -<<时，若不等式()()221110a x a x ----<的解集为R ，则()()221410a a ∆=-+-<，解得：315a -<<，综上，315a -<≤故选：B例35．（2022·全国·高一单元测试）已知12x ≤≤，20x ax ->恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．{}1a a ≥B ．{}1a a >C ．{}1a a ≤D ．{}1a a <【答案】D【解析】由12x ≤≤，20x ax ->恒成立，可得a x <在[]1,2上恒成立，即即1a <．故选：D ．例36．（2022·陕西安康·高一期中）若对任意的2[1,0],2420x x x m ∈--+++≥恒成立，则m 的取值范围是（）A ．[4,)+∞B ．[2,)+∞C ．(,4]-∞D ．(,2]-∞【答案】A【解析】因为对任意的2[1,0],2420x x x m ∈--+++≥恒成立，所以对任意的2[1,0],242x m x x ≥-∈--恒成立，因为当[1,0]x ∈-，()[]22142,4y x =--∈-，所以()2max2424m x x --≥=，[1,0]x ∈-，即m 的取值范围是[4,)+∞故选：A例37．（2022·广西·南宁市东盟中学高一期中）已知命题“21,2,2102x x ax ⎡⎤∃∈-+≤⎢⎥⎣⎦”为假命题，则实数a 的取值范围是（）A ．a -<<B ．a <C ．3a <D ．9 2a <【答案】B【解析】由题知，命题“21,2,2102x x ax ⎡⎤∃∈-+≤⎢⎥⎣⎦”为假命题，则21,2,2102x x ax ⎡⎤∀∈-+>⎢⎥⎣⎦为真命题，即11,2,22x x a x ⎡⎤∀∈+>⎢⎥⎣⎦恒成立．又12x x +≥12x x =≥2x =等号成立，所以a <故选：B例38．（2022·全国·高一课时练习）已知命题p ：“15x ∃≤≤，250x ax -->”为真命题，则实数a 的取值范围是（）A ．4a <B ．4a <-C ．4a >D ．4a >-【答案】A【解析】由题意，当15x ≤≤时，不等式250x ax -->有解，等价于“15x ∀≤≤，250x ax --≤恒成立”为真时对应a 取值集合的补集若15x ∀≤≤，250x ax --≤恒成立为真命题，需满足，25550a --≤且150a --≤，解得4a ≥．因此p 命题成立时a 的范围时4a <故选：A ．【过关测试】一、单选题1．（2022·江西·丰城九中高一期末）已知集合{}2870A x x x =-+<，{}14B x x =<<，则“x A ∈”是“x B ∈”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由题意得{}17A x x =<<，所以AB ．所以“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件．故选：B2．（2022·全国·高一）若关于x 的不等式()2330x m x m -++<的解集中恰有3个整数，则实数m 的取值范围为（）A ．(]6,7B ．[)1,0-C ．[)(]1,06,7-⋃D ．[]1,7-【答案】C【解析】不等式()2330x m x m -++<，即()()30x x m --<，当3m >时，不等式解集为()3,m ，此时要使解集中恰有3个整数，这3个整数只能是4，5，6，故67m <≤；当3m =时，不等式解集为∅，此时不符合题意；当3m <时，不等式解集为(),3m ，此时要使解集中恰有3个整数，这3个整数只能是0，1，2，故10m -≤<；故实数m 的取值范围为[)(]1,06,7-⋃．故选：C3．（2022·江苏·高一专题练习）若存在正实数y ，使得54y xx y xy-=+，则实数x 的最大值为（）A ．15B ．54C ．1D ．4【答案】A 【解析】115454y x x y x y xy x y-=+⇔-=+，因为0y >，所以144y y +≥，所以154x x-≥，当0x >时，154x x-≥⇔25410x x +-≤，解得105x <≤，当0x <时，154x x-≥⇔25410x x +-≥，解得1x <-，故x 的最大值为15．故选：A4．（2022·江苏·高一）已知关于x 的不等式ax b >的解集是{|2}x x <，则关于x 的不等式()()10ax b x +->的解集是（）A ．()()12-∞⋃+∞，，B ．()12，C ．()()21-∞-⋃+∞，，D ．()21-，【答案】D【解析】关于x 的不等式ax b >的解集为{|2}x x <，0a ∴<，20a b -=，()()10ax b x ∴+->可化为()()210a x x +->，21x ∴-<<，∴关于x 的不等式()()10ax b x +->的解集是()21-，．故选：D ．5．（2022·全国·高一课时练习）关于x 的不等式22(11)m x mx m x +<+++对R x ∈恒成立，则实数m 的取值范围是（）A ．(0)∞-，B ．30,(4)⎛⎫∞+∞⎪- ⎝⎭，C ．(]0-∞，D ．(]40,3∞∞⎛⎫-⋃+ ⎪⎝⎭，【答案】C【解析】因为不等式22(11)m x mx m x +<+++对R x ∈恒成立，所以210mx mx m ++-<对R x ∈恒成立，所以，当0m =时，10-<对R x ∈恒成立．当0m ≠时，由题意，得20Δ410m m mm <⎧⎨=--<⎩，即20340m m m <⎧⎨->⎩，解得0m <，综上，m 的取值范围为(]0-∞，．故选：C6．（2022·江苏·高一）已知不等式20ax bx c ++>的解集为{}|21x x -<<，则不等式20cx bx a -+<的解集为（）A ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()2,1-【答案】A【解析】关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为{}|21x x -<<0a ∴<，且2-和1是方程20ax bx c ++=的两个根，则4200a b c a b c -+=⎧⎨++=⎩b a ∴=，2c a =-，关于x 的不等式20cx bx a -+<，即220ax ax a --+<，2210x x ∴+-<，解得112x -<<，故不等式的解集为11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，故选：A7．（2022·北京师大附中高一期末）关于x 的不等式21x x a x +≥-对任意x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．[]1,3-B ．(],3-∞C ．(],1-∞D ．(][),13,-∞⋃+∞【答案】B【解析】当0x =时，不等式为01≥-恒成立，a R ∴∈；当0x ≠时，不等式可化为：11a x x≤++，0x >，12x x ∴+≥（当且仅当1x x=，即1x =±时取等号），3a ∴≤；综上所述：实数a 的取值范围为(],3-∞．故选：B ．8．（2022·广西·桂林中学高一期中）已知0ax b ->的解集为(,2)-∞，关于x 的不等式2056ax bx x +≥--的解集为（）A ．(,2](1,6)-∞--B ．(,2](6,)-∞-+∞C ．[2,1)(1,6)---D ．[2,1)(6,)--+∞【答案】A【解析】因0ax b ->的解集为(,2)-∞，则0a <，且2ba=，即有2,0b a a =<，因此，不等式2056ax bx x +≥--化为：22056ax a x x +≥--，即22056x x x +≤--，于是有：220560x x x +≤⎧⎨-->⎩或220560x x x +≥⎧⎨--<⎩，解220560x x x +≤⎧⎨-->⎩得2x -≤，解220560x x x +≥⎧⎨--<⎩得16x -<<，所以所求不等式的解集为：(,2](1,6)-∞--．故选：A 二、多选题9．（2022·湖北黄石·高一阶段练习）下列结论错误的是（）A ．不存在实数a 使得关于x 的不等式210ax x ++≥的解集为∅B ．不等式20ax bx c ++≤在R 上恒成立的必要条件是0a <且240b ac ∆=-≤C ．若函数()20y ax bx c a =++≠对应的方程没有实根，则不等式20ax bx c ++>的解集为RD ．不等式11x>的解集为1x <【答案】CD【解析】对于选项A ，当0a ≥时，210ax x ++≥的解集不为∅，而当0a <时，要使不等式210ax x ++≥的解集为∅，只需140a ∆=-<，即14a >，因0a <，故不存在实数a 使得关于x 的不等式210ax x ++≥的解集为∅，因此A 正确；对于选项B ，当0a <且240b ac ∆=-≤时，20ax bx c ++≤在R 上恒成立，故不等式20ax bx c ++≤在R 上恒成立的必要条件是0a <且240b ac ∆=-≤，因此B 正确；对于选项C ，因函数()20y ax bx c a =++≠对应的方程没有实根，但a 正负不确定，故20ax bx c ++>或20ax bx c ++<恒成立，因此不等式20ax bx c ++>的解集不一定为R ，故C错；对于选项D ，由11x>，得10x x ->，即()10x x ->，解得01x <<，故D 错．故选：CD ．10．（2022·黑龙江·尚志市尚志中学高一阶段练习）设p ：实数x 满足1021x x -≤-，则p 成立的一个必要不充分条件是（）A ．11 2x ≤≤B ．112x <≤C ．01x ≤≤D ．01x <≤【答案】ACD【解析】由题设，若p 成立，(1)(21)0210x x x --≤⎧⎨-≠⎩，解得112x <≤，∴p 成立的一个必要不充分条件，只需1(,1]2在某个范围内，但不相等即可．故选：ACD ．11．（2022·江苏南京·高一阶段练习）定义区间(),m n 的长度为n m -，若满足()()2012x ax x -<--的x 构成的区间的长度之和为3，则实数a 的可能取值是（）A ．14B ．13C ．3D ．4【答案】CD【解析】若14a =，()()()1111220,1,21222x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭<⇒∈- ⎪--⎝⎭故区间长度之和为1+1=2，不符合题意；若13a =，()()()01,212x x x x x ⎛+ ⎛⎝⎭⎝⎭<⇒∈ --⎝⎭故区间长度之和为符合题意；若3a =，(()()())0212x x x x x +<⇒∈--故区间长度之和为123=，符合题意；若()()()()()224,02,112x x a x x x -+=<⇒∈---故区间长度为3，符合题意．故选：CD ．12．（2022·全国·高一专题练习）下列条件中，为“关于x 的不等式210mx mx -+>对R x ∀∈恒成立”的充分不必要条件的有（）A ．04m ≤<B ．02m <<C ．14m <<D ．16m -<<【答案】BC【解析】因为关于x 的不等式210mx mx -+>对R x ∀∈恒成立，当0m =时，原不等式即为10>恒成立；当0m >时，不等式210mx mx -+>对R x ∀∈恒成立，可得∆<0，即240m m -<，解得：04m <<．当0m <时，21y mx mx =-+的图象开口向下，原不等式不恒成立，综上：m 的取值范围为：[)0,4．所以“关于x 的不等式210mx mx -+>对R x ∀∈恒成立”的充分不必要条件的有02m <<或14m <<．故选：BC ．三、填空题13．（2022·广东·梅州市梅江区梅州中学高一阶段练习）二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图象如图所示，则不等式（ax +b ）（cx -b ）<0的解集是________．【答案】3,32⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】由图像知：1和2是关于x 的方程ax 2＋bx ＋c =0（a ≠0）的两个根，所以0a >，12,12b c a a+=-⋅=，所以3,2b a c a =-=．不等式（ax +b ）（cx -b ）<0可化为()()3230ax a ax a -+<，即()()23230x x a-+<，解得：332x -<<．所以不等式（ax +b ）（cx -b ）<0的解集是3,32⎛⎫- ⎪⎝⎭．故答案为：3,32⎛⎫- ⎪⎝⎭14．（2022·江苏·南京市金陵中学河西分校高一阶段练习）若对任意R x ∈，2222224x ax bx c x x +≤++≤-+恒成立，则ab 的最大值为_________．【答案】12【解析】令1x =，则44a b c ≤++≤，故4a b c ++=，对任意R x ∈，222x ax bx c +≤++，则2(2)20ax b x c +-+-≥恒成立，∴222(2)4(2)(2)4(2)(2)0b ac a c a c a c ∆=---=+---=-+≤∴2c a =+，此时22b a =-，∴2111(22)2(1)2(222ab a a a a a =-=-=--+≤，当15,1,22a b c ===时取等号，此时()()2222333224310222x x ax bx c x x x -+-++=-+=-≥成立，∴ab 的最大值为12．故答案为：12．15．（2022·江苏·扬州大学附属中学高一期中）不等式20ax bx c ++≤的解集为R ，则2222b a c +的最大值为____________．【解析】当0a =时，即不等式0bx c +≤的解集为R ，则0b =，0c ≤，要使得2222b a c +有意义，此时0c <，则22202b a c =+；当0a ≠时，若不等式20ax bx c ++≤的解集为R ，则20Δ40a b ac <⎧⎨=-≤⎩，即204a b ac <⎧⎨≤⎩，所以，22222422b ac a c a c ≤++，因为24b ac ≤，则0ac ≥，当0c =时，则0b =，此时22202b a c =+；当0c <时，则0ac >，令0c t a =>，则22244412122ac t a c t t t ==≤+++当且仅当242b ac c a a c ⎧=⎪⎨=⎪⎩时，等号成立．综上所述，2222b a c +16．（2022·上海·格致中学高一期末）已知关于x 的不等式()226300x ax a a -+-≥>的解集为[]12,x x ，则12123a x x x x ++的最小值是___________．【答案】【解析】因为关于x 的不等式()226300x ax a a -+-≥>的解集为[]12,x x ，所以12,x x 是方程()226300x ax a a -+-=>的实数根，所以112226,3x x x x a a ==+，因为0a >，所以1212316a x x a x x a ++=+≥16a a =，即a =时等号成立，所以12123a x x x x ++的最小值是故答案为：。
新教材高中数学第二章等式与不等式2.3一元二次不等式的解法课件新人教B版必修第一册 课件
分式不等式的解法 其中f(x)、g(x)为关于x的整式,且g(x)≠0.
分式不等式
f (x)
g(x)>0
f (x)
g(x)<0
f (x) g(x)
>a(a≠0)
同解不等式
f (x) g(x)
0,或
0
f (x) g(x)
0, 0
f(x)g(x)>0
f (x) g(x)
0,或
0
f (x) g(x)
2
2.(
)若不等式ax2+2ax-(a+2)≥0的解集是⌀,求实数a的取值范围.
思路点拨:
ax2+2ax-(a+2)≥0的解集是⌀,即ax2+2ax-(a+2)<0在R上恒成立,对a进行分类讨论
求解.
解析 不等式ax2+2ax-(a+2)≥0的解集是⌀,
等价于不等式ax2+2ax-(a+2)<0在R上恒成立.
1 x 4
2.在问题1中出现了分母中含有未知数的不等式,称为分式不等式.请归纳如何解 这个不等式.
提示:移项,通分,得 3x 1 ≤0.
4(x 1)
因为x>0,所以x+1>0,
所以3x-1≤0,即0<x≤1 .
3
所以该不等式的解集为
0,
1 3
.
1.解分式不等式的思路:先转化为整式不等式,再求解.
②求出各因式对应方程的实数根,并在数轴上标出; ③自最右端上方起,用曲线自右向左依次由各根穿过数轴,遇奇次重根穿过,遇偶 次重根穿而不过(即“奇过偶不过”); ④记数轴上方为正,下方为负,根据不等式的符号写出解集.
不等式的解法含答案
2.2不等式的解法考点1 一元二次不等式的解法解一元二次不等式的一般步骤是：(1)化为标准形式；(2)确定判别式Δ的符号；(3)若Δ≥0，则求出该不等式对应的二次方程的根，若Δ＜0，则对应的二次方程无根；(4)结合二次函数的图象得出不等式的解集．特别地，若一元二次不等式的左边的二次三项式能分解因式，则可立即写出不等式的解集．考点2 含参数的一元二次不等式的解法解含参数的一元二次不等式的一般步骤：(1)二次项若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．(2)判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系．(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．考点3 不等式恒成立问题不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a ＝0时，b ＝0，c ＞0；当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0，Δ＜0；不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a ＝0时，b ＝0，c ＜0；当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧ a ＜0，Δ＜0.考点4 分式不等式、高次不等式的解法分式不等式不能两边直接同时乘以分母，而是移项后转化为分子分母的乘积与0的大小关系。
注意分母不为0的讨论()0()()0()f x f x g x g x >⇔>，()0()()0()f x f xg x g x <⇔< ()()0()0()0()f x g x f x g x g x ≥⎧≥⇔⎨≠⎩，()()0()0()0()f x g x f x g x g x ≤⎧≤⇔⎨≠⎩解高次不等式时，使用数轴穿根法。
其步骤是：（1）将的最高次项的系数化为正数，（2）将()f x 分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式之积，（3）在数轴上上从小到大依次标根，从右上方依次穿根，奇次根穿过，偶次根不穿。
考点5 含绝对值不等式的解法含绝对值不等式通过化归，去掉绝对值号，变成不含绝对值符号不等式。
一元二次不等式(含答案)
一元二次不等式1.一元一次不等式解法任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为ax＞b(a≠0)的形式.当a＞0时，解集为；当a＜0时，解集为.2.一元二次不等式及其解法(1)我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为__________不等式.(2)使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的________.(3)一元二次不等式的解：函数与不等式Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有两相异实根x1，x2(x1＜x2)有两相等实根x1＝x2＝－b2a无实根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集①②Rax2＋bx＋c＜(a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}∅③3.分式不等式解法(1)化分式不等式为标准型.方法：移项，通分，右边化为0，左边化为f（x）g（x）的形式.(2)将分式不等式转化为整式不等式求解，如：f（x）g（x）＞0⇔f(x)g(x)＞0；f（x）g（x）＜0⇔f(x)g(x)＜0；f（x）g（x）≥0⇔x）g（x）≥0，（x）≠0；f（x）g（x）≤0⇔x）g（x）≤0，（x）≠0.已知集合A＝{x|x2－2x－3≥0}，B＝{x|－2≤x＜2}，则A∩B＝()A.[－2，－1]B.[－1，2)C.[－1，1]D.[1，2)解：∵A＝{x|x≥3或x≤－1}，B＝{x|－2≤x＜2}，∴A∩B＝{x|－2≤x≤－1}＝[－2，－1].故选A.设f(x)＝x2＋bx＋1且f(－1)＝f(3)，则f(x)>0的解集为()A.{x|x∈R}B.{x|x≠1，x∈R}C.{x|x≥1}D.{x|x≤1}解：f(－1)＝1－b＋1＝2－b，f(3)＝9＋3b＋1＝10＋3b，由f(－1)＝f(3)，得2－b＝10＋3b，解出b＝－2，代入原函数，f(x)>0即x2－2x＋1>0，x的取值范围是x≠1.故选B.已知－12<1x<2，则x的取值范围是()A.－2<x <0或0<x <12B.－12<x <2C.x <－12或x >2D.x <－2或x >12解：当x >0时，x >12；当x <0时，x <－2.所以x 的取值范围是x <－2或x >12，故选D.不等式1－2xx ＋1＞0的解集是.解：不等式1－2x x ＋1>0等价于(1－2x )(x ＋1)＞0x ＋1)＜0，所以－1＜x ＜12.|－1＜x ＜12，x ∈若一元二次不等式2kx 2＋kx －38＜0对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为________.解：显然k ≠0.若k ＞0，则只须(2x 2＋x )max ＜38k ，解得k ∈∅；若k ＜0，则只须38k ＜(2x 2＋x )min ，解得k ∈(－3，0).故k 的取值范围是(－3，0).故填(－3，0).类型一一元一次不等式的解法已知关于x 的不等式(a ＋b )x ＋2a －3b ＜0求关于x 的不等式(a －3b )x ＋b －2a ＞0的解集.解：由(a ＋b )x ＜3b －2a ∞a ＋b ＞0，且3b －2a a ＋b＝－13，从而a ＝2b ，则a ＋b ＝3b ＞0，即b ＞0，将a ＝2b 代入(a －3b )x ＋b －2a ＞0，得－bx －3b ＞0，x ＜－3，故所求解集为(－∞，－3).点拨：一般地，一元一次不等式都可以化为ax ＞b (a ≠0)的形式.挖掘隐含条件a ＋b ＞0且3b －2a a ＋b ＝－13是解本题的关键.解关于x 的不等式：(m 2－4)x ＜m ＋2.解：(1)当m 2－4＝0即m ＝－2或m ＝2时，①当m ＝－2时，原不等式的解集为∅，不符合②当m ＝2时，原不等式的解集为R ,符合(2)当m 2－4＞0即m ＜－2或m ＞2时，x ＜1m －2.(3)当m 2－4＜0即－2＜m ＜2时，x ＞1m －2.类型二一元二次不等式的解法解下列不等式：(1)x 2－7x ＋12＞0;(2)－x 2－2x ＋3≥0；(3)x 2－2x ＋1＜0;(4)x 2－2x ＋2＞0.解：(1){x |x ＜3或x ＞4}.(2){x |－3≤x ≤1}.(3)∅.(4)因为Δ＜0，可得原不等式的解集为R .已知函数f (x )x ＋1，x ＜0，－1，x ≥0，则不等式x ＋(x ＋1)f (x ＋1)≤1的解集是()A.{x |－1≤x ≤2－1}B.{x |x ≤1}C.{x |x ≤2－1}D.{x |－2－1≤x ≤2－1}解：由题意得不等式x ＋(x ＋1)f (x ＋1)≤1等价于①＋1＜0，＋（x ＋1）[－（x ＋1）＋1]≤1＋1≥0，＋（x ＋1）[（x ＋1）－1]≤1，解不等式组①得x＜－1；解不等式组②得－1≤x≤2－1.故原不等式的解集是{x|x≤2－1}.故选C.类型三二次不等式、二次函数及二次方程的关系已知关于x的不等式x2－bx＋c≤0的解集是{x|－5≤x≤1}，求实数b，c的值.解：∵不等式x2－bx＋c≤0的解集是{x|－5≤x≤1}，∴x1＝－5，x2＝1是x2－bx＋c＝0的两个实数根，5＋1＝b，5×1＝c，＝－4，＝－5.已知不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|2＜x＜3}，求不等式cx2－bx＋a＞0的解集.解：∵不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|2＜x＜3}，∴a＜0，且2和3是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，由根与系数的关系得－ba＝2＋3，2×3，.＝－5a，＝6a，＜0.代入不等式cx2－bx＋a＞0，得6ax2＋5ax＋a>0(a＜0).即6x2＋5x＋1＜|－12＜x类型四含有参数的一元二次不等式解关于x的不等式：mx2－(m＋1)x＋1＜0.解：(1)m＝0时，不等式为－(x－1)＜0，得x－1＞0，不等式的解集为{x|x＞1}；(2)当m≠0时，不等式为x－1)＜0.①当m＜0x－1)＞0，∵1m＜1|x＜1m或x＞②当m＞0x－1)＜0.(Ⅰ)若1m＜1即m＞1|1m＜x＜(Ⅱ)若1m＞1即0＜m＜1|1＜x(Ⅲ)若1m＝1即m＝1时，不等式的解集为∅.点拨：当x2的系数是参数时，首先对它是否为零进行讨论，确定其是一次不等式还是二次不等式，即对m≠0与m＝0进行讨论，这是第一层次；第二层次：x2的系数正负(不等号方向)的不确定性，对m＜0与m＞0进行讨论；第三层次：1m与1大小的不确定性，对m＜1、m＞1与m＝1进行讨论.解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a∈R).解：不等式整理为ax2＋(a－2)x－2≥0，当a＝0时，解集为(－∞，－1].当a≠0时，ax2＋(a－2)x－2＝0的两根为－1，2a，所以当a＞0时，解集为(－∞，－1]∪2a，＋当－2＜a＜0时，解集为2a，－1；当a＝－2时，解集为{x|x＝－1}；当a＜－2时，解集为－1，2a.类型五分式不等式的解法(1)解不等式x －12x ＋1≤1.解：x －12x ＋1≤1⇔x －12x ＋1－1≤0⇔－x －22x ＋1≤0⇔x ＋22x ＋1≥0.x ＋22x ＋1≥0⇔x ＋2）（2x ＋1）≥0，x ＋1≠0.得{xx ＞－12或x ≤－2}.※(2)不等式x －2x 2＋3x ＋2＞0的解集是.解：x －2x 2＋3x ＋2＞0⇔x －2（x ＋2）（x ＋1）＞0⇔(x －2)(x ＋2)(x ＋1)＞0，数轴标根得{x |－2＜x ＜－1或x ＞2}，故填{x|－2＜x ＜－1或x ＞2}.点拨：分式不等式可以先转化为简单的高次不等式，再利用数轴标根法写出不等式的解集，如果该不等式有等号，则要注意分式的分母不能为零.※用“数轴标根法”解不等式的步骤：(1)移项：使得右端为0(注意：一定要保证x 的最高次幂的项的系数为正数).(2)求根：就是求出不等式所对应的方程的所有根..(3)标根：在数轴上按从左到右(由小到大)依次标出各根(不需标出准确位置，只需标出相对位置即可).(4)画穿根线：从数轴“最右根”的右上方向左下方画线，穿过此根，再往左上方穿过“次右根”，一上一下依次穿过各根,“奇穿偶不穿”来记忆.(5)写出不等式的解集：若不等号为“＞”，则取数轴上方穿根线以内的范围；若不等号为“＜”，则取数轴下方穿根线以内的范围；若不等式中含有“＝”号，写解集时要考虑分母不能为零.(1)若集合A ＝{x |－1≤2x ＋1≤3}，B |x －2x≤A ∩B ＝()A.{x |－1≤x ＜0}B.{x |0＜x ≤1}C.{x |0≤x ≤2}D.{x |0≤x ≤1}解：易知A ＝{x |－1≤x ≤1}，B （x －2）≤0，≠0的解集，求出B ＝{x |0＜x ≤2}，所以A ∩B＝{x |0＜x ≤1}.故选B.(2)不等式x －12x ＋1≤0的解集为()－12，1 B.－12，1[1，＋∞)－∞，－12∪[1，＋∞)解：x －12x ＋1≤0x －1）（2x ＋1）≤0，x ＋1≠0得－12<x ≤1.故选A.类型六和一元二次不等式有关的恒成立问题(1)若不等式x 2＋ax ＋1≥0对于一切x ，12成立，则a 的最小值为()A.0B.－2C.－52D.－3解：不等式可化为ax ≥－x 2－1，由于x ，12，∴a ≥∵f (x )＝x ＋1x ，12上是减函数，x max＝－52.∴a ≥－52.(2)已知对于任意的a ∈[－1，1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值总大于0，则x 的取值范围是()A.1＜x ＜3B.x ＜1或x ＞3C.1＜x ＜2D.x ＜1或x ＞2解：记g (a )＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4，a ∈[－1，1]（1）＞0，（－1）＞02－3x ＋2＞0，2－5x ＋6＞0⇒x ＜1或x ＞3，故选B.点拨：对于参数变化的情形，大多利用参变量转换法，即参数转换为变量；变量转换为参数，把关于x 的二次不等式转换为关于a 的一次不等式，化繁为简，然后再利用一次函数的单调性，求出x 的取值范围.对于满足|a |≤2的所有实数a ，求使不等式x 2＋ax ＋1＞2x ＋a 成立的x 的取值范围.解：原不等式转化为(x －1)a ＋x 2－2x ＋1＞0，设f (a )＝(x －1)a ＋x 2－2x ＋1，则f (a )在[－2，2]上恒大于0，故有：2）＞0，2）＞02－4x ＋3＞0，2－1＞0＞3或x ＜1，＞1或x ＜－1.∴x ＜－1或x ＞3.类型七二次方程根的讨论若方程2ax 2－x －1＝0在(0，1)内有且仅有一解，则a 的取值范围是()A.a <－1B.a >1C.－1<a <1D.0≤a <1解法一：令f (x )＝2ax 2－x －1，则f (0)·f (1)＜0，即－1×(2a －2)＜0，解得a ＞1.解法二：当a ＝0时，x ＝－1，不合题意，故排除C ，D ；当a ＝－2时，方程可化为4x 2＋x ＋1＝0，而Δ＝1－16＜0，无实根，故a ＝－2不适合，排除A.故选B.。
2、2、3不等式的解法-一元二次不等式的解法(一)-21-22学年高一上学期人教中职数学基础模块上册
设每间客房的日租金增加 x 个2元，即客房的日租金 为(30＋2 x)元，这时将有300－2 x 房间租出．
(300－2 x)(30＋2 x)≥10 000， －20 x2＋600 x－300 x＋9 000≥10 000， x2－15 x＋50≤0， (x－5)(x－10)≤0，
本不等式等价于不等式组：
(2) 分解因式变为(x＋x1)(x＋x2)＞0或(x＋x1)(x＋x2) ＜0的形式．
2.2.3一元二次不等式的解法(一) 2.2：不等式的解法
课前测试
1．解一元二次方程： （1）x2－15x+50 =0；（2） x2-x-12=0．
2．解一元一次不等式组：
（1）xx>>37 （2）xx>>-31 （3）xx<<-23 （4）xx<<-14
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导入新课
问题 一家旅社有客房300间，每间客房的日租金为 30元，每天都客满，如果一间客房的日租金每增加2 元，则客房每天出租会减少10间．不考虑其他因素， 旅社将每间客房的日租金提高到多少元时，可以保 证每天客房的总租金不少于10 000元．
2．解一元二次不等式．
例1 解下列不等式：
(1) x2－x－12＞0
(2) x2－x－12＜0．
解 因为D＝(－1)2－4×1×(－12)＝49＞0，
方程 x2－x－12＝0 的解是 x1＝－3，x2＝4， 则 x2－x－12＝(x＋3)(x－4)＞0．
同解于一元一次不等式组：
(Ⅰ) 或 (Ⅱ) 不等式组(Ⅰ)的解集是{x | x＞4}； 不等式组(Ⅱ)的解集是{x | x＜－3}． 故原不等式的解集为{ x | x＜－3或 x＞4}．
高中数学_2.2.3一元二次不等式的解法教学设计学情分析教材分析课后反思
【教学设计】2.2.3 一元二次不等式的解法本节课的内容是高中数学B版必修一第二章第二节“2.2.3一元二次不等式的解法”的第1课时。
新课标指出，学生是教学的主体，教师的教要应本着从学生的认知规律出发，以学生活动为主线，在原有知识的基础上，建构新的知识体系。
我将以此为基础从下面这几个方面加以说明。
一、课标要求二、教材分析（包括教材处理、教材的地位和作用、教学的重点和难点）1、教材处理：本节涉及的一元二次不等式概念的引入、解题方法的得出和应用方法三个方面的内容。
把教材中的引例生成情境，这样更能体现一元二次不等式来自实践，容易激发学生的学习兴趣。
2、教材的地位和作用：本节课是学生在已掌握了一元二次方程的解集、不等式的性质和不等式的解集基础上，进一步研究一元二次不等式的解法和应用，它一方面可以进一步对不等式的解法的理解与认识，同时也为今后进一步“3个二次”的关系打下坚实的基础。
因此，本节课的内容十分重要，它对知识起到了承上启下的作用。
此外，《一元二次不等式的解法》是等式与不等式这一章中的一个重要内容，它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，而且方法得出的过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。
3、教学的重点和难点：关键在于重难点如何确定、难点如何突破。
教学重点：1.等比数列前n项和公式的推导;2.等比数列前n项和公式的应用【重点的确定】通过对已学解一元二次方程的回顾，进一步体会一元二次不等式的解法的形式，并把它们用于对问题的发现与解决中去。
因此它是本节课的重点内容。
教学难点：等比数列前n项和公式的推导。
【难点的确定】从学生的思维特点看，很容易把本节内容与一元二次方程的解法进行类比，这是积极因素，应因势利导．不利因素是：本节一元二次不等式的解法与一元二次方程有着本质的不同，这对学生的思维是一个突破，另外，对于二次项系数正负情况，学生往往容易忽视，尤其是在后面使用的过程中容易出错．因此它是本节课的难点内容。
一元二次不等式及其解法专题讲解及练习(含答案)
一元二次不等式及其解法． 一元二次不等式的解法(1)将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式ax 2＋bx ＋c >0 (a >0)或ax 2＋bx ＋c <0 (a >0)．(2)求出相应的一元二次方程的根.(3)利用二次函数的图象与x 轴的交点确定一元二次不等式的解集． 2． 一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如下表：题型一 一元二次不等式的解法例1 已知不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }．(1)求a ，b 的值；(2)解不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0.解 (1)因为不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }，所以x 1＝1与x 2＝b 是方程ax 2－3x ＋2＝0的两个实数根，b >1且a >0.由根与系数的关系，得⎩⎨⎧1＋b ＝3a，1×b ＝2a. 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.(2)不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0，即x 2－(2＋c )x ＋2c <0，即(x －2)(x －c )<0. 当c >2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为{x |2<x <c }； 当c <2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为{x |c <x <2}；当c ＝2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为∅.所以，当c >2时，不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0的解集为{x |2<x <c }； 当c <2时，不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0的解集为{x |c <x <2}； 当c ＝2时，不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0的解集为∅.(1)不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <3}，则不等式ax 2－bx ＋c >0的解集为________．(2)解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (a ∈R )． (1)答案 {x |－3<x <－2}解析 令f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，则f (－x )＝ax 2－bx ＋c ，结合图象，可得ax 2－bx ＋c >0的解集为{x |－3<x <－2}．(2)解 原不等式可化为ax 2＋(a －2)x －2≥0⇒(ax －2)(x ＋1)≥0. ①当a ＝0时，原不等式化为x ＋1≤0⇒x ≤－1.②当a >0时，原不等式化为⎝⎛⎭⎫x －2a (x ＋1)≥0⇒x ≥2a 或x ≤－1. ③当a <0时，原不等式化为⎝⎛⎭⎫x －2a (x ＋1)≤0. 当2a >－1，即a <－2时，原不等式等价于－1≤x ≤2a ； 当2a ＝－1，即a ＝－2时，原不等式等价于x ＝－1； 当2a <－1，即a >－2，原不等式等价于2a ≤x ≤－1. 综上所述，当a <－2时，原不等式的解集为⎣⎡⎦⎤－1，2a ； 当a ＝－2时，原不等式的解集为{－1}； 当－2<a <0时，原不等式的解集为⎣⎡⎦⎤2a ，－1； 当a ＝0时，原不等式的解集为(－∞，－1]；当a >0时，原不等式的解集为(－∞，－1]∪⎣⎡⎭⎫2a ，＋∞.练习题1． 不等式x 2<1的解集为________．答案 {x |－1<x <1}解析 x 2<1，则－1<x <1，∴不等式的解集为{x |－1<x <1}． 2． 函数y ＝x 2＋x －12的定义域是____________．答案 (－∞，－4]∪[3，＋∞)解析 由x 2＋x －12≥0得(x －3)(x ＋4)≥0，∴x ≤－4或x ≥3. 3． 已知不等式x 2－2x ＋k 2－1>0对一切实数x 恒成立，则实数k 的取值范围为__________．答案 (－∞，－2)∪(2，＋∞)解析 由题意，知Δ＝4－4×1×(k 2－1)<0，即k 2>2，∴k >2或k <－ 2. 4． (2012·重庆)不等式x －12x ＋1≤0的解集为( )A.⎝⎛⎦⎤－12，1B.⎣⎡⎦⎤－12，1C.⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪[1，＋∞)D.⎝⎛⎦⎤－∞，－12∪[1，＋∞) 解析 x －12x ＋1≤0等价于不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x －1≤0，2x ＋1>0，①或⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，2x ＋1<0.②解①得－12<x ≤1，解②得x ∈∅，∴原不等式的解集为⎝⎛⎦⎤－12，1. 5．若不等式ax 2＋bx －2<0的解集为{x |－2<x <14}，则ab 等于( )A ．－28B ．－26C ．28D ．26答案 C 解析 由已知得⎩⎨⎧－2＋14＝－ba－2×14＝－2a，∴a ＝4，b ＝7，∴ab ＝28.5． 不等式x －3x ＋2<0的解集为解析 不等式x －3x ＋2<0可转化为(x ＋2)(x －3)<0，解得－2<x <3.6． 已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是⎣⎡⎦⎤－12，－13，则不等式x 2－bx －a <0的解集是 解析 由题意知－12，－13是方程ax 2－bx －1＝0的根，所以由根与系数的关系得－12＋⎝⎛⎭⎫－13＝b a ，－12×⎝⎛⎭⎫－13＝－1a.解得a ＝－6，b ＝5，不等式x 2－bx －a <0即为x 2－5x ＋6<0，解集为(2,3)．7． 若集合A ＝{x |ax 2－ax ＋1<0}＝∅，则实数a 的值的集合是解析 由题意知a ＝0时，满足条件．a ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧a >0Δ＝a 2－4a ≤0得0<a ≤4，所以0≤a ≤4. 8． 已知关于x 的不等式ax －1x ＋1<0的解集是(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫－12，＋∞，则a ＝________. 答案 －2解析 由于不等式ax －1x ＋1<0的解集是(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫－12，＋∞，故－12应是ax －1＝0的根，∴a ＝－2.9． (江西)不等式x 2－9x －2>0的解集是________．答案 {x |－3<x <2或x >3}解析 利用“穿根法”求解．不等式可化为(x －3)(x ＋3)x －2>0，即(x －3)(x ＋3)(x －2)>0，利用数轴穿根法可知，不等式的解集为{x |－3<x <2或x >3}． 10． 若关于x 的不等式ax 2－6x ＋a 2<0的解集是(1，m )，则m ＝________.答案 2解析 根据不等式与方程之间的关系知1为方程ax 2－6x ＋a 2＝0的一个根，即a 2＋a －6＝0，解得a ＝2或a ＝－3，当a ＝2时，不等式ax 2－6x ＋a 2<0的解集是(1,2)，符合要求；当a ＝－3时，不等式ax 2－6x ＋a 2<0的解集是(－∞，－3)∪(1，＋∞)，不符合要求，舍去．故m ＝2.11． 求不等式12x 2－ax >a 2 (a ∈R )的解集．解 原不等式可化为(3x －a )(4x ＋a )>0. 当a >0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－a 4或x >a 3；当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠0}； 当a <0时，不等式的解集为{x |x <a 3或x >－a4}．。
一元二次不等式解法
3. 若0<a<1,则不等式(x－a)(x －
)<0的解集是_______.
四、精炼方法 小结:解一元二次不等式ax2+bx+c>0的步骤：
记忆口诀： (前提a>0). 大于取两边，小于取中间
① 将二次项系数化为“+”（a>0);
② 计算ax 2 +bx + c = 0 判别式;并求其根 ③
2 y = ax +bx + c = 0的图象 画出
④ 由图象写出解集.
五、思维提升
例2.已知一元二次不等式ax2+bx+6>0的 解集为{x∣-2<x<3} ，求a，b的值。
解:由题意得,a<0, 且方程ax2+bx+6=0的两根分别为-2和3,
a < 0 b ∴ - = 1 a 6 = -6 a
解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0.
解：①当 a＝ 0 时，不等式的解集为 {x|x>1}； 1 ②当 a≠ 0 时，不等式化为 ax－ (x－ 1)<0. a 1 (ⅰ )当 a<0 时，原不等式等价于 x－ (x－ 1)>0，不等式的 a 1 解集为 { x|x>1 或 x< }； a 1 1 (ⅱ )当 0<a<1 时， 1< ，不等式的解集为 { x|1<x< }； a a 1 1 (ⅲ )当 a>1 时， <1，不等式的解集为 { x| <x<1}； a a (ⅳ )当 a＝ 1 时，不等式的解集为 ；
△=0
y
△<0
y
【新教材】2021版高中数学人教B版必修第一册学案：2.2.3 一元二次不等式的解法 (含解析)
2.2.3 一元二次不等式的解法素养目标·定方向课程标准学法解读1．会借助因式分解或配方法求解一元二次不等式．2．理解一元二次方程与一元二次不等式的关系.在一元二次不等式求解中，应辨明一元二次方程的根与一元二次不等式的解集关系，归纳总结出用一元二次方程解一元二次不等式的程序.必备知识·探新知基础知识1．一元二次不等式的概念一般地，形如ax 2＋bx ＋c >0的不等式称为一元二次不等式，其中a ，b ，c 是常数，而且a ≠0.一元二次不等式中的不等号也可以是“<”“≥”“≤”等．思考1：不等式x 2＋2x >0是一元二次不等式吗？提示：不是，一元二次不等式一定为整式不等式． 2．一元二次不等式的解法 (1)因式分解法如果x 1<x 2，则不等式__(x －x 1)(x －x 2)<0__的解集是(x 1，x 2)；不等式__(x －x 1)(x －x 2)>0__的解集是(－∞，x 1)∪(x 2，＋∞)．(2)配方法：一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)通过配方总是可以变为__(x －h )2>k 或(x －h )2<k __的形式，再由k 值情况，可得原不等式的解集，如下表：k >0k ＝0k <0 (x －h )2>k转化为|x －h |>k ，解集为(－∞，h －k )∪(h ＋k ，＋∞)(－∞，h )∪(h ，＋∞)R(x －h )2<k 转化为|x －h |<k ，解集为(h －k ，h ＋k )∅ ∅提示：用配方法解一元二次不等式的关键是熟练掌握二次三项式的配方技巧．基础自测1．不等式6－x －2x 2<0的解集是( D ) A ．{x |－32<x <2}B ．{x |－2<x <32}C ．{x |x <－32或x >2}D ．{x |x >32或x <－2}解析：不等式变形为2x 2＋x －6>0，即(2x －3)(x ＋2)>0，∴不等式的解集为{x |x <－2或x >32}．故选D ． 2．不等式3x ＋11－4x ≥0的解集是( B )A ．{x |－13≤x ≤14}B ．{x |－13≤x <14}C ．{x |x >14或x ≤－13}D ．{x |x ≥14或x ≤－13}解析：原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧(3x ＋1)(4x －1)≤0，1－4x ≠0，解得－13≤x <14，故其解集为{x |－13≤x <14}．故选B ．3．①x 2＋x ＋1<0，②－x 2－4x ＋5≤0，③x ＋y 2＋1>0，④mx 2－5x ＋1>0，⑤－x 3＋5x ≥0，⑥(a 2＋1)x 2＋bx ＋c >0(m ，n ∈R )．其中关于x 的不等式是一元二次不等式的是__①②⑥__.(请把正确的序号都填上)解析：①②是；③不是；④不一定是，因为当m ＝0时，它是一元一次不等式；⑤不是，因为未知数的最高次数是3；⑥是，尽管x 2的系数含有字母，但a 2＋1≠0，所以⑥与④不同，故答案为①②⑥.4．不等式组0≤x 2－2x －3<5的解集为__(－2，－1]∪[3,4)__. 解析：由x 2－2x －3≥0得x ≤－1或x ≥3； 由x 2－2x －3<5得－2<x <4.∴－2<x ≤－1或3≤x <4. ∴原不等式的解集为(－2，－1]∪[3,4)．5．已知x ＝1是不等式k 2x 2－6kx ＋8<0的解，则k 的取值范围是__(2,4)__.解析：x ＝1是不等式k 2x 2－6kx ＋8<0的解，把x ＝1代入不等式，得k 2－6k ＋8<0，解得2<k <4.关键能力·攻重难类型 解不含参数的一元二次不等式 ┃┃典例剖析__■典例1 解下列不等式：(1)x 2＋x ＋1>0； (2)(3x －1)(x ＋1)>4.思路探究：(1)用配方法解不等式即可；(2)利用因式分解法求解． 解析：(1)由题意，可得x 2＋x ＋1＝(x ＋12)2＋34>0，所以不等式的解集为R .(2)由不等式(3x －1)(x ＋1)>4，可化为3x 2＋2x －5>0，即(x －1)(x ＋53)>0，所以不等式的解集为{x |x <－53或x >1}．归纳提升：一元二次不等式的解题策略1．因式分解法：不等式的左端能够进行因式分解的可用此法，它只能适应于解决一类特殊的不等式．2．配方法：一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)通过配方总可以化为(x －h )2>k 或(x －h )2<k 的形式，然后根据k 值的正负即可求得不等式的解集．┃┃对点训练__■ 1．解下列不等式：(1)2x 2＋5x －3<0；(2)4x 2－12x ＋9>0. 解析：(1)原不等式可化为(2x －1)(x ＋3)<0， ∴原不等式的解集为(－3，12)．(2)原不等式可化为x 2－3x ＋94>0，因为x 2－3x ＋94＝(x －32)2，所以原不等式可化为(x －32)2>0，所以只要x ≠32，不等式即成立，所以原不等式的解集为(－∞，32)∪(32，＋∞)．类型 分式不等式的解法 ┃┃典例剖析__■典例2 解下列不等式：(1)2x －13x ＋1≥0；(2)2－x x ＋3>1. 思路探究：(1)解分式不等式的关键是把分式不等式等价转化为整式不等式求解，特别注意不能直接去分母．(2)当分式不等式的右边不为0时，要先移项、通分、合并同类项，再进行等价转化．解析：(1)∵2x －13x ＋1≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧(2x －1)(3x ＋1)≥0，3x ＋1≠0，∴⎩⎨⎧x ≤－13或x ≥12，x ≠－13，即x <－13或x ≥12.∴原不等式的解集为{x |x <－13或x ≥12}．(2)原不等式可化为(2－x )－(x ＋3)x ＋3>0，即2x ＋1x ＋3<0， ∴(2x ＋1)(x ＋3)<0，∴－3<x <－12.∴原不等式的解集为{x |－3<x <－12}．归纳提升：解分式不等式的关注点(1)根据是实数运算的符号法则，分式不等式经过同解变形可化为四种类型，解题思路如下：①f (x )g (x )>0⇔f (x )g (x )>0； ②f (x )g (x )<0⇔f (x )g (x )<0； ③f (x )g (x )≥0⇔f (x )g (x )≥0且g (x )≠0⇔f (x )g (x )>0或f (x )＝0； ④f (x )g (x )≤0⇔f (x )g (x )≤0且g (x )≠0⇔f (x )g (x )<0或f (x )＝0. (2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先两边同时乘以分母的平方去分母，再移项，因式分解，转化为用上述方法求解．┃┃对点训练__■2．(1)已知集合A ＝{x |x －2x ≤0}，B ＝{0,1,2,3}，则A ∩B ＝( A )A ．{1,2}B ．{0,1,2}C ．{1}D ．{1,2,3}(2)若关于x 的不等式ax －b >0的解集为(1，＋∞)，则关于x 的不等式ax ＋bx －3>0的解集为__(－∞，－1)∪(3，＋∞)__.解析：(1)由已知得A ＝{x |0<x ≤2}， 又B ＝{0,1,2,3}，∴A ∩B ＝{1,2}．(2)由ax －b >0的解集为(1，＋∞)可得ba ＝1，且a >0，∴ax ＋b x －3>0可化为(x ＋b a)x －3>0. 解得x <－1或x >3.类型 —元二次不等式与一元二次方程之间的关系 ┃┃典例剖析__■典例3 不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集为{x |－1<x <2}，则不等式2x 2＋bx ＋a >0的解集为( A )A ．{x |x <－1或x >12}B ．{x |－1<x <12}C ．{x |－2<x <1}D ．{x |x <－2或x >1}思路探究：解答本题需从一元二次不等式的解集与不等式对应的一元二次方程根的情况的关系着手．解析：方法一：由题设条件知－1,2是方程ax 2＋bx ＋2＝0的两个实根． 由一元二次方程根与系数的关系，知⎩⎨⎧－1＋2＝－b a，－1×2＝2a，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1.则2x 2＋x －1>0的解集是{x |x <－1或x >12}．方法二：由题设条件知－1,2是方程ax 2＋bx ＋2＝0的两个实根． 分别把x ＝－1，x ＝2代入方程ax 2＋bx ＋2＝0中，得⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＋2＝0，4a ＋2b ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1.则2x 2＋x －1>0的解集是{x |x <－1或x >12}．归纳提升：已知一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0或ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)的解集，则可知a 的符号和ax 2＋bx ＋c ＝0的两实根，由根与系数的关系可知a ，b ，c 之间的关系．例如，若不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |d <x <e }(d <e )，则说明a <0，x 1＝d ，x 2＝e 分别为方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，即d ＋e ＝－b a ，d ·e ＝ca ；若解集为{x |x <d 或x >e }(d <e )，则说明a >0，x 1＝d ，x 2＝e 分别为方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，即d ＋e ＝－b a ，d ·e ＝ca.┃┃对点训练__■3．关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝( A ) A ．52B ．72C ．154D ．152解析：方法一：x 2－2ax －8a 2<0可化为(x ＋2a )(x －4a )<0.∵a >0且解集为(x 1，x 2)，则x 1＝－2a ，x 2＝4a ，∴x 2－x 1＝6a ＝15，故a ＝52.方法二：由条件知x 1，x 2为方程x 2－2ax －8a 2＝0的两根，则x 1＋x 2＝2a ，x 1x 2＝－8a 2，故(x 2－x 1)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(2a )2－4×(－8a 2)＝36a 2＝152，结合a >0得a ＝52.易混易错警示 忽略二次项系数为负 ┃┃典例剖析__■典例4 求一元二次不等式－x 2＋5x －4>0的解集．错因探究：解一元二次不等式时易忽略二次项系数的符号，特别是当二次项系数为负数，利用因式分解法解不等式时，容易写错解集．解析：原不等式等价于x 2－5x ＋4<0，即等价于(x －1)(x －4)<0，所以原不等式的解集为{x |1<x <4}．误区警示：若一元二次不等式的二次项系数为负数，通常先把二次项系数化为正数，再求解．将二次项系数化为正数时，可以将不等式两边同乘以－1，也可以移项，具体解题时，一定要注意不等号的方向．二次项系数含参数时，要严格分系数为正、系数为0、系数为负三种情况进行讨论，缺一不可，若认为当系数为0时，为一元一次不等式，故不讨论，这是不可以的．因为只要题中没有明确说明为一元二次不等式，就必须讨论这种情况．学科核心素养 用分类讨论思想解含参不等式 ┃┃典例剖析__■对于含参数的一元二次不等式，若二次项系数为常数，则可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏．典例5 解关于x 的不等式x 2－(a ＋a 2)x ＋a 3>0(a ∈R )．思路探究：本题考查含参数的一元二次不等式的求解，可通过分解因式、分类讨论求解． 解析：原不等式可化为(x －a )(x －a 2)>0.当a <0时，a <a 2，原不等式的解集为{x |x <a 或x >a 2}； 当a ＝0时，a 2＝a ，原不等式的解集为{x |x ≠0，x ∈R }； 当0<a <1时，a 2<a ，原不等式的解集为{x |x <a 2或x >a }； 当a ＝1时，a 2＝a ，原不等式的解集为{x |x ≠1，x ∈R }； 当a >1时，a <a 2，原不等式的解集为{x |x <a 或x >a 2}．综上所述，当a <0或a >1时，原不等式的解集为{x |x <a 或x >a 2}； 当0<a <1时，原不等式的解集为{x |x <a 2或x >a }； 当a ＝1时，原不等式的解集为{x |x ≠1，x ∈R }； 当a ＝0时，原不等式的解集为{x |x ≠0，x ∈R }．课堂检测·固双基1．不等式3x 2－2x ＋1>0的解集为( D ) A ．{x |－1<x <13}B ．{x |13<x <1}C ．∅D ．R解析：由3x 2－2x ＋1>0得x 2－23x ＋13>0，所以(x －13)2>－29显然成立，所以原不等式的解集为R .2．不等式x －1x ＋2<0的解集为( C )A ．{x |x >1}B ．{x |x <－2}C ．{x |－2<x <1}D ．{x |x >1或x <－2}解析：原不等式等价于(x －1)(x ＋2)<0，解得－2<x <1.3．不等式4－x 2≥0的解集是__[－2,2]__.解析：根据题意，4－x 2≥0⇔x 2≤4⇔|x |≤2⇔－2≤x ≤2，即不等式4－x 2≥0的解集是[－2,2]．4．不等式1－x2＋x≥0的解集为__(－2,1]__.解析：由1－x 2＋x ≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧(1－x )(2＋x )≥0，2＋x ≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)(2＋x )≤0，2＋x ≠0，解得－2<x ≤1，所以不等式的解集是(－2,1]． 5．解下列不等式． (1)x 2－4x ＋3≤0； (2)x ＋22x －3≥0. 解析：(1)x 2－4x ＋3≤0，即(x －3)(x －1)≤0， 解得1≤x ≤3.所以不等式的解集为{x |1≤x ≤3}．(2)x ＋22x －3≥0等价于⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋2)(2x －3)≥0，2x －3≠0，解得x ≤－2或x >32，故不等式的解集为{x |x ≤－2或x >32}．。
第二章 2.2 2.2.3 一元二次不等式的解法
2.2.3一元二次不等式的解法课标要求素养要求1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的概念.2.掌握求一元二次不等式解集的两种方法：因式分解法和配方法；会解简单的分式不等式. 通过从实际情景中抽象出一元二次不等式的过程及用因式分解或配方法求一元二次不等式的解集，提升数学抽象、数学运算素养.教材知识探究某杂志以每本2元的价格发行时，发行量为10万册.经过调查，若价格每提高0.2元，发行量就减少5 000册.要使杂志社的销售收入大于22.4万元，每本杂志的价格应定在怎样的范围内？提示设每本杂志价格提高x元，则发行量减少2.5x万册，杂志社的销售收入为(2＋x)(10－2.5x)万元.根据题意，得(2＋x)(10－2.5x)>22.4，即5x2－10x＋4.8<0，可化为25x2－50x＋24＜0，配方得(x－1)2＜1 25，∴|x－1|＜15，∴0.8＜x＜1.2.1.一元二次不等式的概念一般地，形如ax2＋bx＋c＞0的不等式称为一元二次不等式，其中a，b，c是常数，而且a≠0.一元二次不等式中的不等号也可以是“＜”“≥”“≤”等. 2.求一元二次不等式的解集的方法(1)因式分解法如何判断二次三项式能否分解因式一般地，如果x1＜x2，则不等式(x－x1)(x－x2)＜0的解集是(x1，x2)，不等式(x－x1)(x－x2)＞0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞).(2)配方法一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)通过配方总是可以变为(x－h)2＞k或(x－h)2＜k的形式，然后根据k的正负等知识，就可以得到原不等式的解集.教材拓展补遗[微判断]1.不等式ax2＋x－1<0是一元二次不等式.(×)提示只有当a≠0时，ax2＋x－1<0才是一元二次不等式.2.不等式x2－5y<0是一元二次不等式.(×)提示x2－5y<0含有两个未知数，故不是一元二次不等式.3.不等式x2－2x＋3>0的解集为R.(√)[微训练]1.不等式(x＋2)(x－3)>0的解集是________.答案{x|x>3或x<－2}2.不等式x2<2的解集是________.答案{x|－2<x<2}[微思考]1.a2b＋2ab2＋9>0(ab≠0)可看作一元二次不等式吗？提示可以，把b看作常数，则是关于a的一元二次不等式；把a看作常数，则是关于b的一元二次不等式.2.举例说明某些一元二次不等式的解集为.提示例如x2＋x＋1≤0的解集为.题型一 因式分解法求一元二次不等式的解集 【例1】 求下列一元二次不等式的解集. (1)x 2－10x －600＞0； (2)－3x 2＋2x ＋1≥0.解 (1)因为x 2－10x －600＝(x ＋20)(x －30)，所以原不等式等价于(x ＋20)(x －30)＞0，因此所求解集为(－∞，－20)∪(30，＋∞). (2)原不等式可化为3x 2－2x －1≤0 ①， 又3x 2－2x －1＝(x －1)(3x ＋1)＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13(x －1)，所以①等价于⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13(x －1)≤0，因此所求解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，1.规律方法 基本步骤(1)把二次项系数化为正数，另一端为零；(2)二次三项式分解因式为a (x －x 1)(x －x 2)(a ＞0)的形式； (3)直接写出解集.【训练1】 求下列一元二次不等式的解集. (1)x 2－x －1＜0；(2)(x ＋3)2＋3(x ＋3)－4≥0.解 (1)令x 2－x －1＝0，Δ＝(－1)2－4×1×(－1)＝5， 由求根公式得x 1，2＝1±52，则x 2－x －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1－52⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1＋52， ∴原不等式等价于⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1－52⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1＋52＜0， ∴所求解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52，1＋52.(2)令y ＝x ＋3，则原不等式可化为y 2＋3y －4≥0 ①，又y 2＋3y －4＝(y －1)(y ＋4)， ∴①等价于(y －1)(y ＋4)≥0， ∴y ≤－4或y ≥1， 即x ＋3≤－4或x ＋3≥1， ∴x ≤－7或x ≥－2.因此所求解集为(－∞，－7]∪[－2，＋∞). 题型二 配方法求一元二次不等式的解集 【例2】 求下列不等式的解集. (1)4(2x 2－2x ＋1)>x (4－x )； (2)－3x 2＋6x ≤2.解 (1)由原不等式得8x 2－8x ＋4＞4x －x 2. ∴原不等式可化为9x 2－12x ＋4＞0. ① 由于9x 2－12x ＋4＝(3x －2)2＝9⎝ ⎛⎭⎪⎫x －232，∴①可化为9⎝ ⎛⎭⎪⎫x －232＞0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －232＞0，∴所求解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，23∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞.(2)原不等式可化为3x 2－6x ＋2≥0 ①， 而3x 2－6x ＋2＝3(x －1)2－1，∴①等价于3(x －1)2－1≥0，即(x －1)2≥13， 即|x －1|≥33，∴x －1≤－33或x －1≥33， 即x ≤3－33或x ≥3＋33.因此，原不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，3－33∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3＋33，＋∞. 规律方法 配方法求一元二次不等式的解集，关键是把原不等式化为(x －h )2＞k 或(x －h )2＜k 的形式，再求解集. 【训练2】 求下列不等式的解集.(1)4x 2－4x ＋1≤0； (2)－x 2＋6x －10＜0.解 (1)4x 2－4x ＋1＝(2x －1)2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122，∴原不等式可化为4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122≤0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122≤0，∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫12.(2)原不等式可化为x 2－6x ＋10＞0 ①，由于x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1，∴①等价于(x －3)2＞－1，∴原不等式的解集为R . 题型三 解含参数的一元二次不等式【例3】 解关于x 的不等式(a ∈R )： 引起讨论a 的因素是什么 (1)2x 2＋ax ＋2>0； (2)x 2－(a ＋a 2)x ＋a 3>0.解 (1)Δ＝a 2－16，下面分情况讨论：①当Δ<0，即－4<a <4时，方程2x 2＋ax ＋2＝0无实根，所以原不等式的解集为R .②当Δ＝0，即a ＝±4时，若a ＝－4，则原不等式等价于(x －1)2>0，故x ≠1；若a ＝4，则原不等式等价于(x ＋1)2>0，故x ≠－1；③当Δ>0，即a >4或a <－4时，方程2x 2＋ax ＋2＝0的两个根为 x 1＝14(－a －a 2－16)，x 2＝14(－a ＋a 2－16). 此时原不等式等价于(x －x 1)(x －x 2)>0， ∴x <x 1或x >x 2.综上，当－4<a <4时，原不等式的解集为R ； 当a ＝－4时，原不等式的解集为{x |x ∈R ，且x ≠1}； 当a >4或a <－4时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <14()－a －a 2－16或x >14()－a ＋a 2－16；当a ＝4时，原不等式的解集为{x |x ∈R ，且x ≠－1}. (2)将不等式x 2－(a ＋a 2)x ＋a 3>0变形为(x －a )(x －a 2)>0. 当a <0时，有a <a 2，所以x <a 或x >a 2；当a＝0时，a＝a2＝0，所以x≠0；当0<a<1时，有a>a2，所以x<a2或x>a；当a＝1时，a＝a2＝1，所以x≠1；当a>1时，有a<a2，所以x<a或x>a2.综上，当a<0时，原不等式的解集为{x|x<a或x>a2}；当a＝0时，原不等式的解集为{x|x≠0}；当0<a<1时，原不等式的解集为{x|x<a2或x>a}；当a＝1时，原不等式的解集为{x|x≠1}；当a>1时，原不等式的解集为{x|x<a或x>a2}.规律方法求含参数的一元二次不等式的解集，讨论参数可以从以下三个方面考虑：①二次项系数与零的关系；②二次三项式的Δ与零的关系；③两根的大小. 【训练3】解关于x的不等式x2＋2x＋1－a2≤0(a∈R).解原不等式等价于(x＋1＋a)(x＋1－a)≤0.(1)当－1－a<－1＋a，即a>0时，－1－a≤x≤－1＋a；(2)当－1－a＝－1＋a，即a＝0时，不等式即为(x＋1)2≤0，∴x＝－1；(3)当－1－a>－1＋a，即a<0时，－1＋a≤x≤－1－a.综上，当a>0时，原不等式的解集为{x|－1－a≤x≤－1＋a}；当a＝0时，原不等式的解集为{x|x＝－1}；当a<0时，原不等式的解集为{x|－1＋a≤x≤－1－a}.题型四简单的高次不等式与分式不等式【例4】求下列不等式的解集：(1)(x＋3)(x2－4)≤0；(2)5x＋5≤1.解(1)不等式(x＋3)(x2－4)≤0可化为(x＋3)(x＋2)(x－2)≤0，令(x＋3)(x＋2)(x－2)＝0，得x＝－3或x＝－2或x＝2.利用数轴，可得不等式的解集为(－∞，－3]∪[－2，2].(2)由题意知x ＋5≠0，因此(x ＋5)2>0，原不等式两边同时乘以(x ＋5)2可得5(x ＋5)≤(x ＋5)2且x ＋5≠0， 即x (x ＋5)≥0且x ≠－5，因此所求不等式的解集为(－∞，－5)∪[0，＋∞).规律方法 1.高次不等式：①换元法求解，②移项后一端是0，另一端分解因式，用“标根引线法”求解(注意偶项因式的根要“穿而不过”).2.分式不等式：去分母(一般不等式两边同乘以分母的平方)，化为整式不等式求解或移项，通分化为f （x ）g （x ）>(≥或≤或<)0，再化为整式不等式组求解. 【训练4】 求下列不等式的解集. (1)x 4－3x 2＋2≤0； (2)1－x x ＋2≥2. 解 (1)令t ＝x 2≥0，则原不等式可化为t 2－3t ＋2≤0，解得1≤t ≤2，即1≤x 2≤2，∴1≤x ≤2或－2≤x ≤－1，故原不等式的解集为[－2，－1]∪[1，2]. (2)由题意知x ＋2≠0，因此(x ＋2)2>0，原不等式两边同时乘以(x ＋2)2可得(1－x )(x ＋2)≥2(x ＋2)2且x ＋2≠0，即3(x ＋2)·(x ＋1)≤0且x ≠－2，因此原不等式的解集为(－2，－1].一、素养落地1.(1)通过从实际情景中抽象出一元二次不等式的过程提升数学抽象素养. (2)通过解一元二次不等式培养数学运算素养.2.配方法是解一元二次不等式的基本方法，而因式分解法较为简单. 二、素养训练1.若0＜t ＜1，则不等式(x －t )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1t ＜0的解集为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1t <x <tB.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＞1t 或x ＜tC.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＜1t 或x ＞tD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪t ＜x ＜1t 解析 ∵0＜t ＜1，∴1t ＞1，∴t ＜1t . ∴(x －t )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1t ＜0t ＜x ＜1t .答案 D2.设实数a ∈(1，2)，则关于x 的一元二次不等式x 2－(a 2＋3a ＋2)x ＋3a (a 2＋2)<0的解集为( ) A.(3a ，a 2＋2) B.(a 2＋2，3a ) C.(3，4)D.(3，6)解析 由x 2－(a 2＋3a ＋2)x ＋3a (a 2＋2)<0，得(x －3a )·(x －a 2－2)<0，∵a ∈(1，2)，∴3a >a 2＋2，∴关于x 的一元二次不等式x 2－(a 2＋3a ＋2)x ＋3a (a 2＋2)<0的解集为(a 2＋2，3a ).故选B. 答案 B3.设集合A ＝{x |(x －1)2＜3x ＋7，x ∈R }，则集合A ∩Z 中有________个元素. 解析 由(x －1)2＜3x ＋7，解得－1＜x ＜6，即A ＝{x |－1＜x ＜6}，则A ∩Z ＝{0，1，2，3，4，5}. 故A ∩Z 共有6个元素. 答案 64.已知x ＝1在不等式k 2x 2－6kx ＋8≥0的解集内，则k 的取值范围是______________.解析 x ＝1在不等式k 2x 2－6kx ＋8≥0的解集内，把x ＝1代入不等式得k 2－6k ＋8≥0，解得k ≥4或k ≤2. 答案 {k |k ≥4或k ≤2} 5.解不等式x 2－3|x |＋2≤0. 解 x 2－3|x |＋2≤0|x |2－3|x |＋2≤0(|x |－1)·(|x |－2)≤01≤|x |≤2.当x ≥0时，1≤x ≤2； 当x <0时，－2≤x ≤－1.∴原不等式的解集为{x |－2≤x ≤－1或1≤x ≤2}.基础达标一、选择题1.不等式9x 2＋6x ＋1≤0的解集是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx ≠－13B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x －13≤x ≤13 C.D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx ＝－13 解析 原不等式可化为(3x ＋1)2≤0， ∴3x ＋1＝0，∴x ＝－13. 答案 D2.若集合A ＝{x |(2x ＋1)(x －3)<0}，B ＝{x |x ∈N *，x ≤5}，则A ∩B 等于( ) A.{1，2，3} B.{1，2}C.{4，5}D.{1，2，3，4，5}解析 由(2x ＋1)(x －3)<0， 得－12<x <3，又x ∈N *且x ≤5，则x ＝1，2.故A ∩B ＝{1，2}. 答案 B3.设函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6，x ＜0，则不等式f (x )＞f (1)的解集是( )A.(－3，1)∪(3，＋∞)B.(－3，1)∪(2，＋∞)C.(－1，1)∪(3，＋∞)D.(－∞，－3)∪(1，3) 解析 f (1)＝12－4×1＋6＝3，故当x ≥0时，x 2－4x ＋6＞3，解得x ＞3或0≤x ＜1； 当x ＜0时，x ＋6＞3，解得－3＜x ＜0. 所以f (x )＞f (1)的解集是(－3，1)∪(3，＋∞). 答案 A4.不等式x 2－2x －2x 2＋x ＋1＜2的解集为( )A.{x |x ≠－2}B.RC.D.{x |x ＜－2或x ＞2}解析 因为x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34＞0，故原不等式x 2－2x －2＜2x 2＋2x ＋2x 2＋4x ＋4＞0(x ＋2)2＞0，∴x ≠－2.∴不等式的解集为{x |x ≠－2}. 答案 A5.在R 上定义运算“⊙”：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)<0的实数x 的取值范围为( ) A.{x |0<x <2} B.{x |－2<x <1} C.{x |x <－2或x >1}D.{x |－1<x <2}解析 根据给出的定义得，x ⊙(x －2)＝x (x －2)＋2x ＋(x －2)＝x 2＋x －2＝(x ＋2)(x －1)，又x ⊙(x －2)<0，则(x ＋2)(x －1)<0，解得－2＜x ＜1， 故所求实数x 的取值范围是{x |－2<x <1}. 答案 B 二、填空题6.不等式－x 2＋5x >6的解集是________. 解析 不等式－x 2＋5x >6变形为x 2－5x ＋6<0， 因式分解为(x －2)(x －3)<0，解得2<x <3. ∴不等式－x 2＋5x >6的解集为{x |2<x <3}. 答案 {x |2<x <3}7.不等式x －1x ＋1≥2的解集是________.解析 由题意知x ＋1≠0，因此(x ＋1)2>0，原不等式两边同时乘以(x ＋1)2可得(x －1)(x ＋1)≥2(x ＋1)2且x ＋1≠0，即(x ＋1)(x ＋3)≤0且x ≠－1，因此原不等式的解集为[－3，－1). 答案 [－3，－1)8.若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根为2，－1，则当a ＜0时，不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为________.解析 由题意ax 2＋bx ＋c ＝a (x －2)(x ＋1)，故原不等式可化为a (x －2)(x ＋1)≥0，又∵a ＜0，∴(x －2)(x ＋1)≤0，所求解集为[－1，2].答案 [－1，2]三、解答题9.求下列不等式的解集.(1)－6x 4－x 2＋2≤0；(2)－x 3＋2x 2－x ≥0.解 (1)令t ＝x 2≥0，则原不等式可化为6t 2＋t －2≥0，等价于⎝ ⎛⎭⎪⎫t －12⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋23≥0， ∴t ≥12或t ≤－23(舍)，即x 2≥12，|x |≥22，∴原不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－22∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，＋∞. (2)原不等式可化为x (x －1)2≤0，∴x ≤0或x ＝1.不等式的解集为(－∞，0]∪{1}.10.已知关于x 的不等式(mx －1)(x －2)>0，若此不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1m <x <2，求m 的取值范围.解 ∵不等式(mx －1)(x －2)>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1m <x <2， 显然1m ＜2，m ≠0.∴(mx －1)(x －2)＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1m (x －2)， 原不等式可化为m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1m (x －2)＞0.① 当m ＞0时，①等价于⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1m (x －2)＞0， 其解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1m ∪(2，＋∞)不合题意. 当m ＜0时，①等价于⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1m (x －2)＜0，其解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ，2符合题意. 综上，m 的取值范围为(－∞，0).能力提升11.关于x 的一元二次方程kx 2＋(k －1)x ＋k ＝0有两个正实数根，求实数k 的取值范围.解由题意，实数k 满足⎩⎪⎨⎪⎧k ≠0，（k －1）2－4k 2≥0，－k －1k >0， 即⎩⎨⎧k ≠0，3k 2＋2k －1≤0，（k －1）k ＜0，解得0＜k ≤13. 故实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13. 12.解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1＜0(a ∈R ).解 若a ＝0，原不等式等价于－x ＋1＜0，解得x ＞1.若a ＜0，则原不等式等价于⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)＞0， 解得x ＜1a 或x ＞1.若a ＞0，原不等式等价于⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)＜0. ①当a ＝1时，1a ＝1，解⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)＜0得，解集为；②当a ＞1时，1a ＜1，解⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)＜0得1a ＜x ＜1； ③当0＜a ＜1时，1a ＞1，解⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)＜0得1＜x ＜1a . 综上所述：当a ＜0，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＜1a 或x ＞1； 当a ＝0时，解集为{}x |x ＞1；当0＜a ＜1时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1＜x ＜1a ； 当a ＝1时，解集为； 当a ＞1时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1a ＜x ＜1.。
一元二次不等式(含答案)
一元二次不等式1.一元一次不等式解法任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为ax ＞b (a ≠0)的形式. 当a ＞0时，解集为 ；当a ＜0时，解集为 . 2.一元二次不等式及其解法(1)我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为__________不等式.(2)使某个一元二次不等式成立的x 的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的________.(3)一元二次不等式的解：函数与不等式 Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数 y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的图象一元二次方程 ax 2＋bx ＋c ＝0 (a ＞0)的根 有两相异实根 x 1，x 2(x 1＜x 2)有两相等实根 x 1＝x 2＝－b2a无实根ax 2＋bx ＋c ＞0 (a ＞0)的解集 ① ② Rax 2＋bx ＋c ＜0 (a ＞0)的解集{x |x 1＜x ＜x 2}∅③3.分式不等式解法(1)化分式不等式为标准型.方法：移项，通分，右边化为0，左边化为f （x ）g （x ）的形式.(2)将分式不等式转化为整式不等式求解，如：f （x ）g （x ）＞0 ⇔ f (x )g (x )＞0； f （x ）g （x ）＜0 ⇔ f (x )g (x )＜0； f （x ）g （x ）≥0 ⇔ ⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）g （x ）≥0，g （x ）≠0； f （x ）g （x ）≤0 ⇔ ⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）g （x ）≤0，g （x ）≠0.已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≥0}，B ＝{x |－2≤x ＜2}，则A ∩B ＝( ) A.[－2，－1]B.[－1，2)C.[－1，1]D.[1，2)解：∵A ＝{x |x ≥3或x ≤－1}，B ＝{x |－2≤x ＜2}，∴A ∩B ＝{x |－2≤x ≤－1}＝[－2，－1].故选A . 设f (x )＝x 2＋bx ＋1且f (－1)＝f (3)，则f (x )>0的解集为( )A.{x |x ∈R }B.{x |x ≠1，x ∈R }C.{x |x ≥1}D.{x |x ≤1}解：f (－1)＝1－b ＋1＝2－b ，f (3)＝9＋3b ＋1＝10＋3b ，由f (－1)＝f (3)，得2－b ＝10＋3b ， 解出b ＝－2，代入原函数，f (x )>0即x 2－2x ＋1>0，x 的取值范围是x ≠1.故选B.已知－12<1x <2，则x 的取值范围是( )A.－2<x <0或0<x <12B.－12<x <2C.x <－12或x >2D.x <－2或x >12解：当x >0时，x >12；当x <0时，x <－2.所以x 的取值范围是x <－2或x >12，故选D.不等式1－2xx ＋1＞0的解集是 .解：不等式1－2x x ＋1>0等价于(1－2x )(x ＋1)＞0，也就是⎝⎛⎭⎫x －12(x ＋1)＜0，所以－1＜x ＜12. 故填⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1＜x ＜12，x ∈R .若一元二次不等式2kx 2＋kx －38＜0对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为________.解：显然k ≠0.若k ＞0，则只须(2x 2＋x )max ＜38k ，解得k ∈∅；若k ＜0，则只须38k ＜(2x 2＋x )min ，解得k ∈(－3，0).故k 的取值范围是(－3，0).故填(－3，0).类型一 一元一次不等式的解法已知关于x 的不等式(a ＋b )x ＋2a －3b ＜0的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，－13，求关于x 的不等式(a －3b )x ＋b －2a ＞0的解集.解：由(a ＋b )x ＜3b －2a 的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，－13，得a ＋b ＞0，且3b －2a a ＋b ＝－13， 从而a ＝2b ，则a ＋b ＝3b ＞0，即b ＞0，将a ＝2b 代入(a －3b )x ＋b －2a ＞0， 得－bx －3b ＞0，x ＜－3，故所求解集为(－∞，－3).点拨：一般地，一元一次不等式都可以化为ax ＞b (a ≠0)的形式.挖掘隐含条件a ＋b ＞0且3b －2a a ＋b ＝－13是解本题的关键.解关于x 的不等式：(m 2－4)x ＜m ＋2.解：(1)当m 2－4＝0即m ＝－2或m ＝2时，①当m ＝－2时，原不等式的解集为∅，不符合 ②当m ＝2时，原不等式的解集为R ,符合(2)当m 2－4＞0即m ＜－2或m ＞2时，x ＜1m －2.(3)当m 2－4＜0即－2＜m ＜2时，x ＞1m －2.类型二 一元二次不等式的解法解下列不等式：(1)x 2－7x ＋12＞0; (2)－x 2－2x ＋3≥0；(3)x 2－2x ＋1＜0; (4)x 2－2x ＋2＞0.解：(1){x |x ＜3或x ＞4}.(2){x |－3≤x ≤1}.(3)∅.(4)因为Δ＜0，可得原不等式的解集为R .已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x ＜0，x －1，x ≥0， 则不等式x ＋(x ＋1)f (x ＋1)≤1的解集是( )A.{x |－1≤x ≤2－1}B.{x |x ≤1}C.{x |x ≤2－1}D.{x |－2－1≤x ≤2－1} 解：由题意得不等式x ＋(x ＋1)f (x ＋1)≤1等价于①⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＜0，x ＋（x ＋1）[－（x ＋1）＋1]≤1 或②⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，x ＋（x ＋1）[（x ＋1）－1]≤1，解不等式组①得x ＜－1；解不等式组②得－1≤x ≤2－1.故原不等式的解集是{x |x ≤2－1}.故选C.类型三 二次不等式、二次函数及二次方程的关系已知关于x 的不等式x 2－bx ＋c ≤0的解集是{x |－5≤x ≤1}，求实数b ，c 的值.解：∵不等式x 2－bx ＋c ≤0的解集是{x |－5≤x ≤1}，∴x 1＝－5，x 2＝1是x 2－bx ＋c ＝0的两个实数根，∴由韦达定理知⎩⎪⎨⎪⎧－5＋1＝b ，－5×1＝c ，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4，c ＝－5. 已知不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为{x |2＜x ＜3}，求不等式cx 2－bx ＋a ＞0的解集.解：∵不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为{x |2＜x ＜3}，∴a ＜0，且2和3是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧－ba ＝2＋3，c a ＝2×3，a ＜0.即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－5a ，c ＝6a ，a ＜0.代入不等式cx 2－bx ＋a ＞0，得6ax 2＋5ax ＋a >0(a ＜0).即6x 2＋5x ＋1＜0，∴所求不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－12＜x ＜－13.类型四 含有参数的一元二次不等式解关于x 的不等式：mx 2－(m ＋1)x ＋1＜0.解：(1)m ＝0时，不等式为－(x －1)＜0，得x －1＞0，不等式的解集为{x |x ＞1}； (2)当m ≠0时，不等式为m ⎝⎛⎭⎫x －1m (x －1)＜0.①当m ＜0，不等式为⎝⎛⎭⎫x －1m (x －1)＞0， ∵1m ＜1，∴不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜1m 或x ＞1. ②当m ＞0，不等式为⎝⎛⎭⎫x －1m (x －1)＜0. (Ⅰ)若1m ＜1即m ＞1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1m ＜x ＜1；(Ⅱ)若1m ＞1即0＜m ＜1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1＜x ＜1m ；(Ⅲ)若1m＝1即m ＝1时，不等式的解集为∅.点拨：当x 2的系数是参数时，首先对它是否为零进行讨论，确定其是一次不等式还是二次不等式，即对m ≠0与m ＝0进行讨论，这是第一层次；第二层次：x 2的系数正负(不等号方向)的不确定性，对m ＜0与m ＞0进行讨论；第三层次：1m与1大小的不确定性，对m ＜1、m ＞1与m ＝1进行讨论.解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (a ∈R ).解：不等式整理为ax 2＋(a －2)x －2≥0，当a ＝0时，解集为(－∞，－1].当a ≠0时，ax 2＋(a －2)x －2＝0的两根为－1，2a ，所以当a ＞0时，解集为(－∞，－1]∪⎣⎡⎭⎫2a ，＋∞； 当－2＜a ＜0时，解集为⎣⎡⎦⎤2a ，－1；当a ＝－2时，解集为{x |x ＝－1}；当a ＜－2时，解集为⎣⎡⎦⎤－1，2a . 类型五 分式不等式的解法(1)解不等式x －12x ＋1≤1.解：x －12x ＋1≤1 ⇔ x －12x ＋1－1≤0 ⇔ －x －22x ＋1≤0 ⇔ x ＋22x ＋1≥0.x ＋22x ＋1≥0 ⇔ ⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋2）（2x ＋1）≥0，2x ＋1≠0.得{xx ＞－12或x ≤－2}.※(2)不等式x －2x 2＋3x ＋2＞0的解集是 .解：x －2x 2＋3x ＋2＞0⇔x －2（x ＋2）（x ＋1）＞0⇔(x －2)(x ＋2)(x ＋1)＞0，数轴标根得{x |－2＜x ＜－1或x ＞2}，故填{x|－2＜x ＜－1或x ＞2}.点拨：分式不等式可以先转化为简单的高次不等式，再利用数轴标根法写出不等式的解集，如果该不等式有等号，则要注意分式的分母不能为零.※用“数轴标根法”解不等式的步骤：(1)移项：使得右端为0(注意：一定要保证x 的最高次幂的项的系数为正数).(2)求根：就是求出不等式所对应的方程的所有根..(3)标根：在数轴上按从左到右(由小到大)依次标出各根(不需标出准确位置，只需标出相对位置即可).(4)画穿根线：从数轴“最右根”的右上方向左下方画线，穿过此根，再往左上方穿过“次右根”，一上一下依次穿过各根,“奇穿偶不穿”来记忆.(5)写出不等式的解集：若不等号为“＞”，则取数轴上方穿根线以内的范围；若不等号为“＜”，则取数轴下方穿根线以内的范围；若不等式中含有“＝”号，写解集时要考虑分母不能为零.(1)若集合A ＝{x |－1≤2x ＋1≤3}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x －2x ≤0，则A ∩B ＝( )A.{x |－1≤x ＜0}B.{x |0＜x ≤1}C.{x |0≤x ≤2}D.{x |0≤x ≤1}解：易知A ＝{x |－1≤x ≤1}，B 集合就是不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x （x －2）≤0，x ≠0 的解集，求出B ＝{}x |0＜x ≤2，所以A ∩B＝{x |0＜x ≤1}.故选B.(2)不等式x －12x ＋1≤0的解集为( )A.⎝⎛⎦⎤－12，1B.⎣⎡⎦⎤－12，1C.⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪[1，＋∞)D.⎝⎛⎦⎤－∞，－12∪[1，＋∞) 解：x －12x ＋1≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧（x －1）（2x ＋1）≤0，2x ＋1≠0得－12<x ≤1.故选A.类型六 和一元二次不等式有关的恒成立问题(1)若不等式x 2＋ax ＋1≥0对于一切x ∈⎝⎛⎦⎤0，12成立，则a 的最小值为( ) A.0 B.－2 C.－52D.－3解：不等式可化为ax ≥－x 2－1，由于x ∈⎝⎛⎦⎤0，12，∴a ≥－⎝⎛⎭⎫x ＋1x .∵f (x )＝x ＋1x 在⎝⎛⎦⎤0，12上是减函数， ∴⎝⎛⎭⎫－x －1x max＝－52.∴a ≥－52.(2)已知对于任意的a ∈[－1，1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值总大于0，则x 的取值范围是( ) A.1＜x ＜3B.x ＜1或x ＞3C.1＜x ＜2D.x ＜1或x ＞2解：记g (a )＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4，a ∈[－1，1]，只须⎩⎪⎨⎪⎧g （1）＞0，g （－1）＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ＋2＞0，x 2－5x ＋6＞0⇒x ＜1或x ＞3，故选B.点拨：对于参数变化的情形，大多利用参变量转换法，即参数转换为变量；变量转换为参数，把关于x 的二次不等式转换为关于a 的一次不等式，化繁为简，然后再利用一次函数的单调性，求出x 的取值范围.对于满足|a |≤2的所有实数a ，求使不等式x 2＋ax ＋1＞2x ＋a 成立的x 的取值范围.解：原不等式转化为(x －1)a ＋x 2－2x ＋1＞0，设f (a )＝(x －1)a ＋x 2－2x ＋1，则f (a )在[－2，2]上恒大于0，故有：⎩⎪⎨⎪⎧f （－2）＞0，f （2）＞0 即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3＞0，x 2－1＞0 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞3或x ＜1，x ＞1或x ＜－1.∴x ＜－1或x ＞3. 类型七 二次方程根的讨论若方程2ax 2－x －1＝0在(0，1)内有且仅有一解，则a 的取值范围是( ) A.a <－1B.a >1C.－1<a <1D.0≤a <1解法一：令f(x)＝2ax2－x－1，则f(0)·f(1)＜0，即－1×(2a－2)＜0，解得a＞1.解法二：当a＝0时，x＝－1，不合题意，故排除C，D；当a＝－2时，方程可化为4x2＋x＋1＝0，而Δ＝1－16＜0，无实根，故a＝－2不适合，排除A.故选B.。
一元二次不等式与简单的分式不等式的解法
一元二次不等式与简单分式不等式的解法知识梳理1．一元一次不等式的解法一元一次不等式ax＞b(a≠0)的解集为(1)当a＞0时，解集为{x|x＞b a}.(2)当a＜0时，解集为{x|x＜b a}.2. 一元二次不等式的解法判别式Δ＝b2－4acΔ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0) 图象一元二次方程的根有两相异实根x1＝－b－Δ2a，x2＝－b＋Δ2a有两相等实根x1＝x2＝－b2a无实根ax2＋bx＋c＞{x|x＜x1或x{x|x≠－b2a，x R0(a＞0)的解集＞x2} ∈R}ax2＋bx＋c<0(a＞0){x|x1＜x＜x2} ∅∅口诀：大于取两边，小于取中间．3．分式不等式的解法(1)f(x)g(x)＞0f(x)·g(x)＞0，f(x)g(x)＜0f(x)·g(x)＜0；(2)f(x)g(x)≥0⎩⎪⎨⎪⎧f(x)·g(x) ≥0，g(x)≠0，，f(x)g(x)≤0⎩⎪⎨⎪⎧f(x)·g(x) ≤0，g(x)≠0，；(3)f(x)g(x)＞mf(x)g(x)－m＞0f(x)－m·g(x)g(x)＞0．4．简单高次不等式解法对于简单高次不等式一般用序轴标根法求解，步骤是先求出各表达式为零时的根，再作图求解．作图口诀：“自右向左，自上向下，奇穿偶不穿”，其中“奇穿偶不穿”含义为，若对应根对应根为奇数个，则穿过该点，如果为偶数个，则作图时不穿过该点．例如解不等式x (x－1)2(x－2)3＞0，在作图时，由于0,2这两个根分别是1个、3个，有奇数个根，因此作图时应穿过；而1这个根有2个，也就是有偶数个，因此作图时不穿过，如下图所示：由图知不等式x (x －1)2(x －2)3＞0解集为{x |x ＜0或x ＞2}．5．几点注意事项(1)对于不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(或＞0)，若二次项含有字母参数时，不一定是二次不等式，要分a ＝0和a ≠0讨论．(2)解分式不等式f (x )g (x )＞m 时，不要直接在不等式两边同乘以分母，因为此时g (x )正负不确定．正确做法是移项将右边化为0，即化为f (x )g (x )－m ＞0，然后通分求解． 典例剖析题型一 一元二次不等式解法例1 解下列不等式(1)－3x 2－2x ＋8≥0；(2) x 2－3x ＋2≥0；解析 (1)原不等式可化为3x 2＋2x －8≤0，即(3x －4)(x ＋2)≤0.解得－2≤x ≤43， 所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －2≤x ≤43. (2) 原不等式可化为(x －1)(x －2)≥0，解得x ≤1或x ≥2． 所以原不等式的解集为{x | x ≤1或x ≥2}．变式训练 解不等式0＜x 2－x －2≤4解析 原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －2＞0，x 2－x －2≤4⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －2＞0，x 2－x －6≤0 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧ (x －2)(x ＋1)＞0，(x －3)(x ＋2)≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x ＞2或x ＜－1，－2≤x ≤3.借助于数轴，如图所示，原不等式的解集为{}x |－2≤x ＜－1或2＜x ≤3.解题要点 求解一元二次不等式时，一般先通过变形，将不等式右边化为0，左边x 2前系数化为正，求出根或因式分解后借助口诀“大于取两边，小于取中间”写出解集．题型二 分式不等式解法例2 不等式x －3x －1≤0的解集为________． 答案 {x |1<x ≤3}解析 原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧ (x －3)(x －1)≤0，x ≠1，∴1<x ≤3.变式训练 函数f (x )＝ 1－x x ＋2的定义域为________． 答案 (－2,1]解析 1－x x ＋2≥0⇔x －1x ＋2≤0 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧ (x －1)(x ＋2)≤0，x ＋2≠0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ －2≤x ≤1，x ≠－2⇔－2<x ≤1.解题要点 求解分式不等式时，需要将各个因式x 前系数化为正，然后也可以借助口诀“大于取两边，小于取中间”写出解集．但应注意等号问题，分母不可为0．题型三 一元二次不等式与一元二次方程根之间关系问题 例3 关于x 的不等式x 2＋(a ＋1)x ＋ab >0的解集是{x |x <－1或x >4}，则a ＋b ＝________．答案 －3解析 由题意知，－1，4为方程x 2＋(a ＋1)x ＋ab ＝0的两根，∴ a ＋1＝－3，ab ＝－4.∴ a ＝－4，b ＝1.∴ a ＋b ＝－3.变式训练 已知f (x )＝ax 2－x －c ，不等式f (x )＞0的解集为{x |－2＜x ＜1}，则a ＝________，c ＝________．答案 －1，－2 解析 由根与系数的关系知1a ＝－2＋1，－c a＝－2，得a ＝－1，c ＝－2.解题要点 解决这类习题关键是理解三个二次之间的关系，一元二次函数与x 轴交点的横坐标即为对应一元二次方程的根，利用一元二次方程的根，结合函数图象就可以求出对应一元二次不等式．因此反过来，由一元二次不等式的解集，可以得到对应的一元二次方程的根，结合根与系数关系即可求出参数值． 题型四 一元二次不等式恒成立问题例4 若不等式mx 2－2x －1<0恒成立，则m 的取值范围是________．答案 (－∞，－1)解析 由⎩⎪⎨⎪⎧m <0（－2）2－4m （－1）<0，解得m <－1.变式训练 已知不等式x 2－2x ＋k 2－1>0对一切实数x 恒成立，则实数k 的取值范围为______________．答案 (－∞，－2)∪(2，＋∞)解析 由题意，知Δ＝4－4×1×(k 2－1)<0，即k 2>2，∴k >2或k <－ 2.解题要点 一元二次不等式恒成立的条件(1)不等式ax 2＋bx ＋c >0对任意实数x恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝b ＝0，c >0，或⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0.(2)不等式ax 2＋bx ＋c <0对任意实数x恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝b ＝0，c <0，或⎩⎪⎨⎪⎧ a <0，Δ<0.题型五 含参数一元二次不等式解法例5 解关于x 的不等式x 2－2ax －3a 2＞0(a ∈R ，a ≠0) 解析 由x 2－2ax －3a 2＞0知(x －3a )(x ＋a )＞0.由于a ≠0故分a ＞0与a ＜0讨论．当a ＜0时，x ＜3a 或x ＞－a ；当a ＞0时，x ＜－a 或x ＞3a .综上，a ＜0时，解集为{}x |x ＜3a 或x ＞－a ；a ＞0时，解集为{}x |x ＞3a 或x ＜－a .解题要点 对含参数一元二次不等式主要分三种讨论： 讨论二次项系数、讨论Δ，讨论两根的大小，具体如下：(1)当二次项系数含有参数应讨论是系数等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式．(2)当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系．(3)当确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．当堂练习1．（2015江苏）不等式2x 2－x ＜4的解集为________．答案 {x |－1＜x ＜2}解析 ∵2x 2－x ＜4＝22，∴x 2－x ＜2，即x 2－x －2＜0，解得－1<x <2.2．不等式x －2x 2－1<0的解集为________． 答案 {x |x <－1或1<x <2}解析 (x －2)(x 2－1)<0，(x ＋1)(x －1)(x －2)<0，数轴标根可得，x <－1或1<x <2．3. 不等式x －1x ＋2<0的解集为________． 答案 (－2,1)解析 原不等式化为(x －1)(x ＋2)<0，解得－2<x <1，∴原不等式的解集为(－2,1)．4．已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，－13，则不等式x 2－bx －a ＜0的解集是________．答案 (2,3)解析 由题意知－12，－13是方程ax 2－bx －1＝0的根，所以由根与系数的关系得－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝b a ，－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1a ，解得a ＝－6，b ＝5，不等式x 2－bx －a ＜0即为x 2－5x ＋6＜0，解集为(2,3).5．若关于x 的不等式12x 2＋(2－m )x <0的解集是{x |0<x <2}，则实数m ＝________.答案 3解析 由题知x ＝0或x ＝2是方程12x 2＋(2－m )x ＝0的根，可得m ＝3.课后作业一、 填空题1．不等式x －12x ＋1≤0的解集为________． 答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1 解析 不等式x －12x ＋1≤0⇒⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)(2x ＋1)≤0，2x ＋1≠0⇒－12<x ≤1. 2．不等式(x －1)x ＋2≥0的解集为________．答案 {x |x ≥1或x ＝－2}解析 由(x －1)x ＋2≥0，可知⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2>0，x －1≥0或x ＋2＝0，解得x ≥1或x ＝－2.3．若0＜m ＜1，则不等式(x －m )(x －1m)＜0的解集为________． 答案 {x |m ＜x ＜1m }解析 当0<m <1时，m <1m. 4．已知不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集为{x |－1<x <2}，则不等式2x 2＋bx ＋a <0的解集为________．答案 {x |－1<x <12} 解析 由题意知x ＝－1，x ＝2是方程ax 2＋bx ＋2＝0的根．由韦达定理⎩⎪⎨⎪⎧ －1＋2＝－b a ，(－1)×2＝2a ⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝1.∴不等式2x 2＋bx ＋a <0，即2x 2＋x －1<0.可知x ＝－1，x ＝12是对应方程的根，∴不等式2x 2＋bx ＋a <0的解集为{x |－1<x <12}. 5．若不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集是(－4,1)，则不等式b (x 2－1)＋a (x ＋3)＋c ＞0的解集为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，1 解析 由不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为(－4,1)知a ＜0，－4和1是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，所以－4＋1＝－b a ，－4×1＝c a ，即b ＝3a ，c ＝－4a .故所求解的不等式为3a (x 2－1)＋a (x ＋3)－4a ＞0，即3x 2＋x －4＜0，解得－43＜x ＜1.。
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【课堂例题】
例1.解下列关于x 的不等式：
(1)2220x ax a --<; (2)2
0x mx m --≤.
例2.(1)已知某厂第一季度产值为1000万元，如果想让第三季度的产值不少于1800万元，那么每个季度的平均增长率至少为多少？(精确到0.01)
(2)能否用100m 的绳子围成一个面积大于2600m 的矩形？
例3.某服装公司生产衬衫，每件定价80元，在某城市销售8万件，该公司设立代理商来销售衬衫，代理费为销售金额的%r ，为此每件衬衫的价格要提高到801%
r -元才能保证公司利润，由于提价将少销售0.62r 万件，如果代理费每年不少于16万，求r 的取值范围.
(选用)例4.距离码头南偏东60︒
的400千米处有一个台风中心.已知台风以每小时40千米的速度向正北方向移动，距台风中心350千米及内部都受台风影响.问从现在起多少小时后，码头将受台风影响，持续时间大约多久？
【基础训练】
1.若不等式210ax bx +->的解集为(3,4)，则a = ，b = .
2.某厂计划全年完成产值6000万元，前三个季度已完成4300万元，如果10月份的产值是500万元，设在最后两个月里，月平均增长率为x ，现要超额完成全年任务，那么可得关于x 的不等式： .
3.已知(,)P a b 为正比例函数2y x =的图像上的点，且P 与(2,1)B -之间的距离不超过3，则a 的取值范围是 .
4.若关于x 的不等式250++>ax x c 的解集为11
(,)32
，则a = ，c = . 5.设1a 、1b 、1c 、2a 、2b 、2c 均为非零实数，不等式21110++>a x b x c 和22220++>a x b x c 的解集分别为集合M 和N ，那么“2
12121c c b b a a ==”是“=M N ”的（ ） （A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件
（C ）充要条件 （D ）既非充分又非必要条件
6.制作一个高为20cm 的长方形容器，底面矩形的长比宽多10cm ，并且
容积不少于3
4000cm .问：底面矩形的宽至少应为多少？
7.汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离
才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析事故的一个
重要因素.
在某个限速为40/km h 的弯道上，甲乙辆车发生了碰撞，事后勘察
发现甲车的刹车距略超过12m ，乙车的刹车距略超过10m ，
又知甲、乙两种车型的刹车距离()s m 与汽车车速(/)x km h 之间的关系为 20.10.01s x x =+甲，20.050.005s x x =+乙
问：甲、乙辆车有无超速现象？
【巩固提高】
8.如果不等式2
0ax bx c ++<的解集为(1,2)-，求不等式 2(1)(1)2a x b x c ax ++-+>的解集.
9.某商品每件成本为80元，售价为100元，每天售出100件.若售价降低
x 成(1成即10%)，售出商品的数量就增加85
x 成，若要求该商品一天的 营业额至少为10260元，且又不能亏本，求x 的取值范围.
(选做)10.在距离码头南偏东45︒
方向600km 处的热带风暴中心正以 20/km h 的速度向正北方向移动，距风暴中心450km 以内的地区都将 受到影响.从现在起多长时间后，该码头将受到热带风暴的影响，
影响时间大约为多长？(精确到0.1h )
【温故知新】 11.已知2
2310x x +-=的两根为,αβ，利用韦达定理可知22αβ+= .
【课堂例题答案】
例1.(1)当0a >时，解集为(,2)a a -；
当0a =时，解集为∅；
当0a <时，解集为(2,)a a -.
(2)当4m <-或0m >时，解集为；当4m =-或0时，{}2
m ；当40m -<<时，解集为∅. 例2.(1)35%；(2)边长在(20,30)内都可.
例3.1001031
r ≤≤. 例4.154小时后受影响，持续52
小时. 【习题答案】 1.17;1212
-
. 2.2500[1(1)(1)]1700x x ++++>
3.[
4.6;1;--
5.D
6.10cm
7.甲未超速；乙超速.
8.(,0)(3,)-∞+∞ 9.1[,2]2(对于“不亏本”的理解不同，也可写为1[,2)2)
10.约13.7小时后受影响，持续约15小时. 11.134。