空间向量综合
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空间向量及其运算1.空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量. 注：⑴空间的一个平移就是一个向量 .⑵向量一般用有向线段表示■同向等长的有向线段表示同一或相等的向量⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示2.空间向量的运算定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下OB OA AB a b ; BA OA OB a b; OP a(R)运算律：⑴加法交换律：abb aD' ----------------- .C'⑵加法结合律：（a b） c a(b c)J /f /.⑶数乘分配律：（a b）a b，A'.a ---------- .B'i * 3•平行六面体：C4 1 1I平行四边形ABCD平移向量a到A BCD的轨迹所形成的几何体，D ----------------------------------- C叫做平行六面体，并记作：ABCD- A B CD •它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱一A B4.平面向量共线定理方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量.由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量.向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数入使b = ^a.要注意其中对向量a的非零要求.5，共线向量如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量.a平行于b记作a〃b .当我们说向量a、b共线（或a// b ）时，表示a、b的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线.6.共线向量定理：空间任意两个向量a、b （b丰0 ）, a// b的充要条件是存在实数入使a=Ab .推论：如果I为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，那么对于任意一点0,点P在直线|上的充要条件是存在实数t满足等式OP 0A t a•其中向量a叫做直线I的方向向量.空间直线的向量参数表示式：tOB ,OP 0A t a或OP 0A t（OB 0A）（1 t）OA一，1 ——一中点公式.OP -（0A OB）2uuu rr7.向量与平面平行：已知平面和向量a，作OA a , 如果直线OA平行于或在内，那么我们说向量a平行于平面，记作：a〃•通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量说明：空间任意的两向量都是共面的•r&共面向量定理：如果两个向量a,b不共线，P与向量r r r r ra,b共面的充要条件是存在实数x, y使p xa yb ■推论：空间一点P 位于平面MAB 内的充分必要条件是存在有序实数对x,y ,使uju uuur uuir uuu uuuu uur uuirMPxMA yMB ①或对空间任一点 O ，有OP OM xMA yMB ② uuu uuu uuu uuuu或 OP xOA yOB zOM ,(x y z 1)③上面①式叫做平面 MAB 的向量表达式*r9，空间向量基本定理：如果三个向量a,b,c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有r序实数组x, y,z ,使p xa yb zC.rr r若三向量a,b,c 不共面，我们把｛^bd ｝叫做空间的一个基底，a,b,C 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底 推论：设O,代B,C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数x,y,z ,uuu uuu uuu uuir 使 OP xOA yOB zOC +10 .空间向量的夹角及其表示： 则 AOB 叫做向量a, b, a 11.向量的模：设 ;若uuuOAa,，则称a 与b 互相垂直，记作： a b .2则有向线段 OA 的长度叫做向量a 的长度或模，记作:12.向量的数量积: 已知向量 iai .a,b ，则|a | |b | cos a,b 叫做a,b 的数量积，记作 ab ,即|a| |b| cos a,b . uuu r已知向量AB a 和轴 uumr 在I 上的射影B ，则ABuuu uuu r r| A B | | AB | cos a, e 13.空间向量数量积的性质： r r r r r(1) a e | a | cos a, e 14•空间向量数量积运算律： r r b) r 1，e 是1上与1同方向的单位向量，作点A 在1上的射影u A u ,作点B i 上或在e 上的正射影.可以证明A B 的长度 叫做向量 |a e|. uuuAB 在轴 r ■) b 0. (3) |a|(1) ( a) b (a r rr r (3)a (b C )aa (b). ( 2)ab b a (交换律).b ac (分配律)+空间向量的直角坐标及其运算1 •空间直角坐标系： (1) 若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为 1,这个基底叫单位正交基底，用｛i, j, k ｝表示；r r r (2) 在空间选定一点 O 和一个单位正交基底｛i, j,k ｝，以点O 为原点， 分别以i,j,k 的方向为正方向建立三条数轴： x 轴、y 轴、z 轴，它 们都叫坐标轴•我们称建立了一个空间直角坐标系 向量.通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为 2.空间直角坐标系中的坐标： 在空间直角坐标系 O xyz 中，对空间任一点 uuu r rxyz ，点0叫原点，向量 xOy 平面，yOz 平面，r r ri, j,k 都叫坐标zOx 平面；A ，存在唯一的有序实数组 A 在空间直角坐标系 O xyz 中的坐标，记作(x, y,z)，使r ruju 已知两非零向量 a,b ，在空间任取一点 O ,作OAr r rb 的夹角，记作 a,b ；且规定0 a,br uuua, OB ,显然有A(x, y,z) , x 叫横坐标, y 叫纵坐标，z 叫竖坐标.常见坐标系① 正方体：如图所示， 选择点D 为原点，DA 、 立空间直角坐标系 D 正方体 ABCD A'B'C'D'的棱长为a ，一般 DC 、DD'所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建 xyz ，则各点坐标为 亦可选A 点为原点•在长方体中建立空间直角坐标系与之类似 ② 正四面体：如图所示，正四面体 A BCD 的棱长为a ，一般选择 A 在 BCD 上的射影为原点，0C 、OD （或0B ）、OA 所在直线分别为x 轴、 y 轴、z 轴建立空间直角坐标系 0 xyz ，则各点坐标为 ③ 正四棱锥：如图所示，正四棱锥 P ABCD 的棱长为a ，一般选择点P 在平面ABCD 的射影为原点，0A （或0C ）、0B （或0D ）、0P 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系 0 xyz ，则各点 坐标为 ④ 正三棱柱：如图所示，正三棱柱 ABC A'B'C'的底面边长为a , 高为h ，一般选择AC 中点为原点，0C （或0A ）、0B 、0E （ E 为0 在A'C'上的射影）所在直线分别为 x 轴、 系0 xyz ，则各点坐标为 3.空间向量的直角坐标运算律：（i ） 若 a y 轴、z 轴建立空间直角坐标 (a i (a i aib (a i ,a 2,a 3，b (^,b 2,b 3)，bi,a 2 b 2,a 3 bi,a 2 b 2,a 3 d)， b s ), a i > a 2>a 3)( R)，a 2b 2 a//b a i b 2,a 3R)，a^ a ?b 2 a s bj 1zzC 1/B ID zC:A\ zl\1 \ i l -----Buuu （2）若 A （X i ,y i ,z i ） , B （X 2,y 2,Z 2），则 AB （x 2 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标r r 4 ■模长公式：若a ⑻忌怎）,b （以6,6）,x i , y 2 y i ,Z 2 Z i ) •A2a 2 a 32 , |b | \ b b 、t ^2 b 22b 32•5.夹角公式： cos ：a aib i a 2b 2 asd2 2b 2b3|a| |b|,a i 2 a 22 a 32、bi A(x i ,y i ,z i ) , Bgy zZ ), 6.两点间的距离公式：若UJU /L L U2I ----------------- 2 --------------------- 2 ------------------- 2 则 | AB| \AB J (X 2 X i ) (y 2 y i )亿 z)，或 d A,BX i )2(y 2 y i )2②乙)2空间向量应用一、直线的方向向量 把直线上任意两点的向量或与它平行的向量都称为直线的方向向量uuuA （x i , y i , z i ）与B （x 2, y 2, z 2）确定直线AB 的方向向量是 AB （x 2平面法向量 如果a ，那么向量a 叫做平面 的法向量••在空间直角坐标系中，由X i , y 2 y iZ 乙）.二、证明平行问题 1 •线线平行：证明两直线平行可用 a//b 冃 ba b 2,a 3t 3( R)或 a//ba ? a 32. 线面平行：直线I 的方向向量为3. 面面平行：平面 的法向量为 三、证明垂直问题 &，平面 n ，平面 的法向量为、n u 且1卄 的法向量为n 2，右 n // n 2 即 n 1 r即 a n 0 则 a//.uu n 2 则〃.i .线线垂直：证明两直线垂直可用 a b a i b i a z ba 3b 3 02. 线面垂直：直线I 的方向向量为3. 面面垂直：平面 四、求夹角 的法向量为 u ?,平面 n ，平面 的法向量为％且1的法向量为n 2，若 u 岛〃 n 即a n则arii n 2 即 n, n 2 0 则1.线线夹角：设a 佝,@,a 3)b (bbb) (0,90］为一面直线所成角，贝^： a b |a| |b| cos a,b ; cos a,b|a| |b| a 12.线面夹角：如图，已知PA 为平面 垂线PO ，连结OA 则 PAO 为斜线 uuu unr sin |sin(— OP,AP ) | 2=；cos | cos a,b |. b 3 a ； a 3 ,b 12 的一条斜线，n 为平面 的一个法向量，过P 作平面 的 所成的角，记为 易得 PA 和平面 | cos | cos r uuu r uunn, AP | | cos n, PA 3.面面夹角: ir uu n 、n 2分别是二面角两个半平面 uu uuu uuu OP, AP |r uuu |n PA| -4—tuu- |n ||PA| 的法向量，当法向量 当法向量 五、距离 设 ir n 、n 2同时指向二面角内或二面角外时，二面角 ir uu 厲、n 2 一个指向二面角内， 另一外指向二面角外时， Oir uumm .面角 的大小为的大小为 ir uumm 1.点点距离：设 A(X 1,y 1,w) , B(X 2,y 2,Z 2), d A,B .区 x 1) uuu uu tur ----------------------- -------------- 2~ | AB| x AB AB . (X 2 xj ® %) (z> 対2 %)2亿乙)2乙)2 2.点面距离： 过P 作平面 uuur uuu uuu uuu r | PO | | PA | sin | PA| | cos PA, n | | PA | n 为平面 的一个法向量， 所成的角，记为易得uuu r|PA n| |n|.设两条异面直线a 、b 的任一点，已知 PA 为平面 的一条斜线， 的垂线PO ,连结OA 则 PAO 为斜线PA 和平面 uuu rG UPA 甲|PA| |n| 3. 线线距离：求异面直线间的距离可以利用向量的正射影性质直接计算r 公垂线的方向向量为 n ,这时分别在a 、b 上任取A 、B 两点，则向量在n 上的正射影长就是两 条异面直线a 、b 的距离.即两异面直线间的距离等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线 r uurur uuu n | AB n | .直线a 、b 的距离d |AB 卓| LA B Bn|. |n||n|4.线面距离：一条直线和一个平面平行时， 这条直线上任意一点到这个平面的距离叫做这条直线 到这个平面的距离.直线到平面的距离可转化为求点到平面的距离 A 为平面 方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值 •公垂线夹在这两个平平面间的部分叫做两个平行平面的公垂线段•公垂线段的长度叫做两个平行平面间的距离。
第二章空间向量与立体几何综合填空20道
第二章空间向量与立体几何综合填空20道一、填空题1．如图，PA ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，1PA AC ==，2BC =，则二面角A PB C --的余弦值大小为________.2．已知P A 垂直于正方形ABCD 所在的平面，M ，N 分别是CD ，PC 的中点，并且P A ＝AD ＝1.在如图所示的空间直角坐标系中，则MN ＝________.3．如图，平行六面体1111ABCD A B C D -中，11AB AD AA ===,1160BAD DAA BAA ︒∠=∠=∠=,则1BD =__________．4．若(2,1,2),(6,3,2)a b →→=-=-，且()a b a λ→→→+⊥，则实数λ=______________. 5．已知正四面体ABCD 的棱长为1，点E 、F 分别是BC ，AD 的中点，则AE AF ⋅的值为_____．6．已知三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均为2，侧棱1AA ⊥底面ABC ，若,E F 分别是线段1BB ，11A C 的中点，则异面直线AE 与CF 所成角的余弦值是______.7．在直三棱柱111ABC A B C -中，13,3,32,2AC BC AB AA ====，则异面直线1A C 与1BC 所成角的余弦值为______________.8．如图，E 是棱长为2的正方体的棱1AA 的中点，F 为棱AB 上的一点，且190C EF ∠=︒，则线段AF 的长为________．9．已知()1,0,2a λ→=+，()6,21,2b μλ→=-，若//a b →→，且a →与b →反向，则λμ+=________．10．已知点P （2， 3，-1），则点P 关于坐标原点对称点的坐标为_____11．在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是线段1DC 上的动点，则M 点到直线1AD 距离的最小值为______12．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB =，1AD AA =，且1C D 与底面1111D C B A 所成角为60°，则直线1C D 与平面11CB D 所成的角的正弦值为______．13．已知直四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA =，底面ABCD 是直角梯形，A ∠为直角，//AB CD ，4AB =，2AD =，1DC =，则异面直线1BC 与DC 所成角的余弦值为______．14．三棱锥O ABC -中，OA 、OB 、OC 两两垂直，且OA OB OC ==.给出下列四个命题：①()()223OA OB OC OA ++=； ②()0BC CA CO ⋅-=；③()OA OB +和CA 的夹角为60； ④三棱锥O ABC -的体积为()16AB AC BC ⋅. 其中所有正确命题的序号为______________.15．如图，在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是对角线1BD 上的点，若直线DP 与底面ABCD 所成角的正切值等于322，则经过P ，A ，B ，C ，D 的球的表面积等于______．16．已知如图，P A 、PB 、PC 互相垂直，且长度相等，E 为AB 中点，则直线CE 与平面P AC 所成角的正弦值为______ ．17．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AC CC ⊥，AC BC ⊥，2AC BC ==，160C CB ∠=︒，13CC =，点D ，E 分别在棱1AA 和棱1CC 上，且1AD =，2CE =，则二面角1B B E D --的正切值_______18．如图，一张4A 纸的长、宽分别为22,2a a ．,,,A B C D 分别是其四条边的中点．现将其沿图中虚线掀折起，使得1234,,,P P P P 四点重合为一点P ，从而得到一个多面体．关于该多面体的下列命题，正确的是__________．（写出所有正确命题的序号）①该多面体是三棱锥；②平面BAD ⊥平面BCD ；③平面BAC ⊥平面ACD ；④该多面体外接球的表面积为25a π19．如图，在四面体D ABC -中，5AD BD AC BC ====，6AB DC ==.若M 为线段AB 上的动点（不包含端点），则二面角D MC B --的余弦值取值范围是__________．20．若直线a 的方向向量为a ，平面,αβ的法向量分别为,n m ，则下列命题为真命题的序号是___________．（1）若a n ⊥，则直线//a 平面α；（2）若//a n ，则直线a ⊥平面α；（3）若1cos ,2a n 〈〉=，则直线a 与平面α所成角的大小为6π； （4）若1cos ,2m n 〈〉=，则平面,αβ的夹角为3π．参考答案1．33【分析】以点C 为原点，CA 为x 轴，CB 为y 轴建立空间直角坐标系，由空间向量法求二面角．【详解】以点C 为原点，CA 为x 轴，CB 为y 轴建立空间直角坐标系，∵(100)A ，，、(02B ，，、(000)C ，，、(101)P ，， ∴(001)AP =，，，(121)PB =--，，，(02CB =，，， 设平面APB 的法向量为1111()n x y z =，，，设平面PBC 的法向量为2222()n x y z =，，， 则11110{20z x z =--=且222220{20x z =-+-=， ∴可取1(22n =，，，2(101)n =-，，，∴1212123cos 62n n n n n n ⋅===⋅⋅，. 二面角A PB C --3 3 22【分析】利用空间向量的模的求法即可求解.【详解】连接PD ，因为M ，N 分别为CD ，PC 的中点，所以MN ＝12PD ，又P (0，0，1)，D (0，1，0)，所以PD ==MN .故答案为：2 【点睛】本题考查了空间向量法求两点间的距离公式，考查了基本运算求解能力，属于基础题.3【分析】 用基底表示出1BD ，然后利用向量数量积的运算，求得1BD .【详解】因为111BD AD AB AD AA AB=-=+-， 所以2211()BD AD AA AB =+- 222111222AD AA AB AD AA AD AB AA AB =+++--1112cos602cos602cos602=+++⨯-⨯-⨯=，所以1||2BD BD ==【点睛】本小题主要考查空间向量法计算线段的长，属于基础题.4．919- 【分析】 利用已知条件求出a b λ→→+，然后()=0a b a λ→→→+⋅，求出λ即可.【详解】(2,1,2),(6,3,2)a b →→=-=-， ∴()=2+6,13,22a b λλλλ+--+,()a b a λ→→→+⊥,()=0a b a λ→→→∴+⋅,即()()()()2+6+1312220λλλ⨯--⨯-++⨯=2，解得：λ=919-. 故答案为：919-【点睛】本题考查空间向量的数量积的应用，向量的坐标运算，考查计算能力，属于基础题. 5．14【分析】 由正四面体的定义知，正四面体相对的棱互相垂直，从而可得出0AF BE ⋅=，进而得出14AE AF AB AF ⋅=⋅=. 【详解】 如图，四面体ABCD 是正四面体，∴四面体的每个面都是正三角形，且相对的棱相互垂直，且棱长为1，又点E 、F 分别是BC ，AD 的中点，∴12AF AD =，0AF BE ⋅= ∴()1cos34AE AF AB BE AF AB AF BE AF AB AF π⋅=+⋅=⋅+⋅==. 故答案为：14. 【点睛】本题考查了正四面体的定义，正四面体的相对的棱互相垂直，向量垂直的充要条件，向量加法的几何意义，向量数量积的运算及计算公式，考查了计算和推理能力，属于基础题．6．1 5【分析】以A为原点建立空间直角坐标系，求得向量,AE CF的坐标，然后由cos,AE CFAE CFAE CF⋅=⋅求解.【详解】建立如图所示空间直角坐标系：则())()()0,0,0,3,1,1,0,2,0,0,1,2A E C F，所以()()3,1,1,0,1,2AE CF==-，所以1cos,555AE CFAE CFAE CF⋅===⋅，故答案为：15【点睛】本题主要考查空间向量法求异面直线所成的角，还考查了运算求解的能力，属于基础题.7．413【分析】先由题意可得1CA CB CC 、、两两垂直，以C 点为坐标原点，以1CA CB CC 、、方向分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，求出直线1A C 与1BC 的方向向量，根据向量夹角余弦值即可得出结果. 【详解】因为3,3,32AC BC AB ===，所以角C 为直角，又直棱柱中，侧棱与底面垂直，所以1CA CB CC 、、两两垂直，以C 点为坐标原点，以1CA CB CC 、、方向分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则()0,0,0C ，()10,0,2C ，()13,0,2A ，()0,3,0B ，所以()13,0,2AC =--，()1 0,3,2BC =-， 设异面直线1A C 与1BC 所成角为θ，则111111224cos cos 139494AC BC AC BC AC BC θ•-⨯====+⨯+，.故答案为413.【点睛】本题主要考查异面直线所成的角，空间向量法求异面直线所成角，是一种常用的方法，属于常考题型. 8．12【分析】先建立空间直角坐标系，设AF t =，并确定点E 、F 、1C 的坐标和向量EF 、1EC 的坐标表示，再结合190C EF ∠=︒，建立方程210t -=，求线段AF 的长. 【详解】解：由题意：以点D 为原点，建立空间直角坐标系，如图，并设AF t =，则(2,0,1)E ，(2,,0)F t ，1(0,2,2)C ，则(0,,1)EF t =-，1(2,2,1)EC =- 因为190C EF ∠=︒，所以1EF EC ⊥，则10EF EC ⋅=， 所以210t -=，解得12t =所以线段AF 的长为12. 故答案为：12【点睛】本题考查利用空间向量垂直关系的坐标表示求长度，是基础题 9．52-【分析】根据题意可设b k a →→=，且k 0<，然后可得出()1621022k k λμλ⎧+=⎪-=⎨⎪=⎩，根据k 解出λ，μ即可得出λμ+的值.【详解】解：∵//a b →→，且a →与b →反向， ∴设b k a →→=，k 0<，∴()()6,21,21,0,2k μλλ-=+，∴()1621022k k λμλ⎧+=⎪-=⎨⎪=⎩，∵k 0<，∴解得3123k μλ=-⎧⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩，∴52λμ+=-. 故答案为：52-. 【点睛】本题考查空间向量的共线问题，考查运算能力，是基础题. 10．()2,3,1-- 【分析】点(a ，b ，)c 关于原点的对称点的坐标为(a -，b -，)c -． 【详解】解：点(2P ，3，1)-，则点P 关于坐标原点对称点的坐标为(2-，3-，1)． 故答案为：()2,3,1--． 【点睛】本题考查点的坐标的求法，考查对称的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题． 11．33a【分析】以A 为坐标原点，1,,AD AB AA 所在的直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，求出与两异面直线1AD 和1DC 都垂直的向量n ，再由AD 在n 方向上的投影，即为M 点到直线1AD 距离的最小值.以A 为坐标原点，1,,AD AB AA 所在的直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图：()0,0,0A ，(),0,0D a ，()1,,C a a a ，()1,0,D a a ， ()10,,DC a a =，()1,0,a a AD =，点M 点到直线1AD 距离的最小值为两异面直线1AD 和1DC 间的距离， 设他们的公垂线所在的向量为(),,n x y z =，由1100n DC ay az n AD ax az ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令1x =，则1y =，1z =-，所以1,1,1n，(),0,0AD a =，则两异面直线1AD 和1DC 间的距离为：333n AD a n⋅== 故答案为：33a【点睛】关键点点睛：M 点到直线1AD 距离的最小值即为两条异面直线1AD 和1DC 间的距离，也即是他们的公垂线段的长AD 在n 方向上的投影. 12．155先得出1160DC D ∠=，以D 为原点，建立如图所示空间直角坐标系，利用向量法可求出. 【详解】长方体1111ABCD A B C D -中，1DD ⊥平面面1111D C B A ，11DC D ∴∠即为1C D 与底面1111D C B A 所成角，1160DC D ∴∠=，111AB C D ==，13DD ∴=，以D 为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则()(()(1110,0,0,3,0,1,0,3,1,3,3D C C B D ，则()((1110,1,3,3,0,3,0,3DC CB CD ===-，设平面11CB D 的一个法向量为(),,n x y z =，则1100n CB n CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即33030x z y z +=-+=⎪⎩，令1x =，则3,1y z ==-，即()1,3,1n =--， 设直线1C D 与平面11CB D 所成的角为θ，则1112315sin cos ,525DC n DC n DC nθ⋅-=<>===⨯⋅.15. 【点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”. 13．31717【分析】本题首先可结合题意绘出空间直角坐标系，然后根据空间直角坐标系得出()0,1,0DC =以及()12,3,2BC =--，最后根据111cos ,DC BC DC BC DC BC ⋅=⋅即可得出结果.【详解】因为四棱柱1111ABCD A B C D -使直四棱柱，A ∠为直角，//AB CD ，所以可以以D 为坐标原点，以DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0D ，()2,4,0B ，()0,1,0C ，()10,1,2C ， 故()0,1,0DC =，()12,3,2BC =--， 因为1DC =，222123217BC =++=，所以1113317cos ,17DC BC DC BC D BC C ⋅-===⋅故异面直线DC 与1BC 所成的角的余弦值为31717，故答案为：317. 【点睛】方法点睛：求空间中两条异面直线所成角的大小是立体几何中最为常见的基本题型之一．这类问题的求解一般有两条途径：其一是平移其中的一条直线或两条直线，将其转化为共面直线所成角，然后再构造三角形，通过解三角形来获得答案；其二是建立空间直角坐标系，借助空间向量的数量积公式求出两向量的夹角的大小，从而得出结果. 14．①②③ 【分析】设OA OB OC a ===，以点O 为坐标原点，OA 、OB 、OC 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积的坐标运算可判断①②③④的正误. 【详解】设OA OB OC a ===，由于OA 、OB 、OC 两两垂直，以点O 为坐标原点，OA 、OB 、OC 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系， 如下图所示：则()0,0,0O、(),0,0A a 、()0,,0B a 、()0,0,C a .对于①，(),,OA OB OC a a a ++=，所以，()()22233OA OB OCa OA ++==，①正确；对于②，(),0,0CA CO OA a -==，()0,,BC a a =-，则()0BC CA CO ⋅-=，②正确；对于③，(),,0OA OB a a +=，(),0,CA a a =-，()()221cos ,2OA OB CA a OA OB CA OA OB CA+⋅<+>===+⋅， 0,180OA OB CA ≤<+>≤，所以，()OA OB +和CA 的夹角为60，③正确；对于④，(),,0AB a a =-，(),0,AC a a =-，()0,,BC a a =-，则2AB AC a ⋅=，所以，()22316666a a AB AC BC BC a ⋅===，而三棱锥O ABC -的体积为3111326V OA OB OC a =⨯⋅⋅=，④错误. 故答案为：①②③. 【点睛】关键点点睛：在立体几何中计算空间向量的相关问题，可以选择合适的点与直线建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算即可. 15．33π 【分析】首先根据直线与平面所成角的定义在图形中作出直线DP 与底面ABCD 所成的角，结合其正切值确定点P 在1BD 上的位置，然后根据正方体的性质确定球心O 的位置，利用外接球的特征及勾股定理求出球的半径，最后用球的表面积公式求得表面积． 【详解】如图，连接DB ，11D B ，过P 作PQDB ⊥，垂足为Q ，易知平面11DBB D ⊥平面ABCD ，且平面11DBB D ⋂平面ABCD BD=， 所以PQ ⊥平面ABCD ，因此PDQ ∠就是直线DP 与底面ABCD 所成的角，则tan 2PQ PDQ DQ∠==． 设DQ x =，则2PQ x =，易知1BPQ BD D △∽△， 所以1PQ BQD D BD=，而BD =所以32422442x x-=，解得2x=，即2DQ=，3PQ=．连接AC，与BD相交于点E，连接11A C，与11D B相交于点1E，连接1EE，分析易知经过P，A，B，C、D的球的球心O一定在线段1EE上，连接OP，OA，过O作OM PQ⊥，垂足为M，设OE m=，球O的半径为R，则()222222R OA OE AE m==+=+，且R OP==()22222(3)OM PM m+=+-，因此()()2222222(3)m m+=+-，解得12m=，332R=，故球O的表面积2433S Rππ==．故答案为：33π【点睛】关键点睛：解答本题的关键是判断出经过P，A，B，C、D的球的球心O一定在线段1EE 上，然后求出求得半径.166【分析】建立空间直角坐标系，求出平面P AC 的法向量和向量CE ，利用空间向量的数量积求解即可． 【详解】P A 、PB 、PC 互相垂直，以P 为坐标原点，P A 、PB 、PC 分别为x ，y ，z 轴，设2PA =，则平面P AC 的法向量可以为()2,0,0n =，()1,0,1E ，()0,2,0C ，CE ()121=-，，， 直线CE 与平面P AC 所成角的正弦值为：CE 6626CEn n ⋅==⋅． 6 【点睛】本题考查直线与平面所成角的求法，考查空间向量数量积的应用，是基础题． 17221【分析】根据题意，先得到AC ⊥平面11BCC B ，所以向量AC 为平面11BCC B 的一个法向量；分别以CA ，CB 为x 轴，y 轴，以垂直于平面ABC 过点C 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系C xyz -，根据题意求出平面1B ED 的一个法向量，根据向量夹角公式求出二面角的夹角余弦值，进而可求出结果. 【详解】因为AC BC ⊥，1AC CC ⊥，1BCCC C =，且1,BC CC ⊂平面11BCC B ，所以AC ⊥平面11BCC B ，所以向量AC 为平面11BCC B 的一个法向量；分别以CA ，CB 为x 轴，y 轴，以垂直于平面ABC 过点C 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系C xyz -，因为2AC BC ==，160C CB ∠=︒，13CC =，所以()2,0,0A ，()0,0,0C ，()2,0,0B ，则12,2D ⎛ ⎝⎭，(E，170,2B ⎛ ⎝⎭，所以12,,2ED ⎛=- ⎝⎭，150,2EB ⎛= ⎝⎭，()2,0,0AC =-设平面1B ED 的一个法向量为(),,m x y z =，则 1m ED m EB ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩，即1120225022m ED x y z m EB y z⎧⋅=--=⎪⎪⎨⎪⋅=+=⎪⎩，解355x z y z ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，令5z =，则()3,m =，所以cos ,4AC mAC m AC m ⋅<>===， 由图像可得，二面角1B B E D --为锐角，记为θ，所以co cos s ,AC m θ>=<=，因此sin θ== 所以sin tan cos 3θθθ===.221. 【点睛】 本题主要考查求二面角的正切值，根据向量的方法求解即可，属于常考题型.18．①②③④【解析】 由题意得，该多面体是三棱锥，故①正确，又根据题意可得，2,3BD a AD CD AB BC a =====，分析可得，平面BAD ⊥平面BCD ，故②正确，同理平面BAC ⊥平面ACD 5a ，则该多面体外接球的表面积为25a π，故④正确,综合：答案为①②③④.19．99(,)1616- 【详解】以AB 的中点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则163(0,,(0,4,0),(,0,0)(33)22D C M a a --<<， 平面MBC 的一个法向量为1(0,0,1)n =，设平面DMC 的一个法向量为2(,,)n x y z =，则963(0,,),(,4,0)22DC MC a=-=-，则2296300240n DC y zn MCax y⎧⎧⋅=--=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=⎪⎩⎪-+=⎩，令4639,,63z x y===，所以平面DMC的一个法向量为2463(,63,9)n=，所以1222cos,166316636381144n na a==⨯⨯+++，因为33a-<<，所以29<a，所以2166316631441442569a⨯⨯+>+=，所以129cos,16n n<，即二面角的余弦值的取值范围是99(,)1616-.点睛：本题主要考查了空间几何体的结构特征和二面角的计算问题，空间向量是解决空间几何问题的锐利武器，利用空间向量求解空间角的关键在于“四破”：第一、破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二、破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三、破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四、破“应用公式关”.20．（2）（3）（4）【分析】根据直线的方向向量与平面的法向量之间的关系，逐一判断线面、面面关系即可得结论. 【详解】若a n⊥，则直线a与平面α平行或在平面α内，所以（1）是假命题；若//a n，则a也是平面α的法向量，所以直线a⊥平面α，所以（2）是真命题；直线与平面的夹角的正弦值等于直线与平面法向量所成的锐角的余弦值，所以（3）是真命题；两个平面的夹角与它们的法向量所成的不大于90°的角相等，所以（4）是真命题，故答案为：（2）（3）（4）.【点睛】本题考查了空间向量的应用问题，也考查了直线的方向向量与平面的法向量的应用问题，属于中档题.。
高中数学 3.2.5用空间向量解决综合问题课件 新人教A版
(2)如 图 所 示 ， 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 ， 则 C1(0,0,0)，B(0,3,2)，C(0,3,0)，A(2,3,0)，D(1,3,0)，
C→1B＝(0,3,2)，C→1D＝(1,3,0)． 设 n＝(x1，y1，z1)是平面 BDC1 的一个法
向量，
则n·C→1B＝0 n·C→1D＝0
D
A
G
B
X
C Y
且PA (1,0,1),EG (1 ,0, 1) 22
所以PA 2EG，即PA // EG
而EG 平面EDB,且PA 平面EDZB
所以，PA// 平面EDB
(2)求证：PB⊥平面EFD
P E
F
D
C Y
A
G
B
X
（2）证明：依题意得B(1,1,0),PB (1,1,1)
又DE (0, 1 , 1),故PB• DE 0 1 1 0
在有些立体几何的解答题中，建立空 间直角坐标系，以向量为工具，利用空间 向量的坐标和数量积解决直线，平面问题 的位置关系、角度、长度等问题越来越受 青睐，尤其是探索性问题，比用传统立体 几何方法简便快捷．
例5 (解题示范)(本题满分 12 分)(2009 年高考宁夏、海南 卷)如图，四棱锥 S－ABCD 的底面是正方形，每条侧棱 的长都是底面边长的 2倍，P 为侧棱 SD 上的点．
设C→E＝t C→S，
则B→E＝
B→C＋C→E＝
→ BC
＋
t
→ CS
＝
(－
22a， 22a(1－t)， 26at)．
而B→E·D→S＝0⇒t＝13.
即当 SE∶EC＝2∶1 时，B→E⊥D→S.
而 BE 不在平面 PAC 内，故 BE∥
空间向量的基本概念及其综合应用
空间向量的基本概念及其综合应用随着现代科技的飞速发展，空间向量的应用已经越来越广泛。
本文将介绍空间向量的基本概念以及其在各个领域的综合应用。
一、空间向量的基本概念1. 定义空间向量是指在三维空间中由起点和终点两个点确定的有向线段。
通俗地说，可以将其理解为箭头，箭头的起点和终点均在三维空间内。
2. 表示方法空间向量通常使用坐标表示法进行表述。
在三维直角坐标系中，每个向量可以表示为由三个实数 $(x,y,z)$ 组成的有序数组。
3. 运算法则空间向量的加、减、数量积、向量积等运算法则和二维向量（即平面向量）的运算法则一样。
其中，数量积得到的结果是一个实数，向量积得到的结果是一个向量。
二、空间向量的综合应用1. 三维建模在三维建模软件中，空间向量是非常重要的基本元素。
使用空间向量可以方便地表示各种形状的物体，并进行各种变换和操作，如平移、旋转、缩放等。
2. 物理学在物理学中，向量是描述物理量的重要工具。
例如，重力向量可以表示为指向中心的矢量。
还有一些物理量，如磁场和电场，也可以使用向量来表示。
3. 计算机图形学在计算机图形学中，向量也是非常基础的概念。
例如，在三维空间中，图形元素（如点、线、面等）的坐标通常使用向量来表示。
4. 空间解析几何在空间解析几何中，向量是非常重要的基本元素。
通过向量的运算，可以求出线段的长度、两直线的夹角等问题。
5. 机器学习在机器学习中，向量是非常重要的数据表示方式。
通过向量表示数据，可以方便地使用各种算法进行分类、回归等任务。
总结：本文简单介绍了空间向量的定义、表示方法和运算法则，并介绍了空间向量的综合应用，包括三维建模、物理学、计算机图形学、空间解析几何和机器学习等领域。
在实际应用中，空间向量是非常重要的基础工具，值得深入学习和掌握。
2022-2023学年人教版高二数学复习精练第一章 空间向量与立体几何-综合检测(培优版)(解析版)
第一章 空间向量与立体几何本卷满分150分，考试时间120分钟。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．下列四个结论正确的是 （ ）A ．任意向量,a b ，若0a b ⋅=，则0a =或0b =B ．若空间中点O ，A ，B ，C 满足1233OC OA OB =+，则A ，B ，C 三点共线C ．空间中任意向量,,a b c 都满足()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅ D ．已知向量()()1,1,,2,,4a x b x ==-，若25x <，则,a b 为钝角 【答案】B【解析】0a b ⋅=则0a =或0b =或0,0a b ≠≠，a b ⊥，故A 错误； 若空间中点O ，A ，B ，C 满足1233OC OA OB =+，即()()1233OC OA OB OC -=-， 所以1233AC CB =，化简得：2AC CB =，则A ，B ，C 三点共线，B 正确；设()()()1,1,1,2,2,1a b c ===。
则不满足()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅，C 错误；()()1,1,,2,,4a x b x ==-，则()()1,1,2,,42452a b x x x x x ⋅=⋅-=-++=-，令520x -<得：25x <，当1124xx ==-时，2x =-，此时,a b 反向， 要想,a b 为钝角，则25x <且2x ≠-，故D 错误. 故选：B2．直角梯形ABCD 中，,4,2,,AB DC AB CD AD BC AB E ===⊥∥是边AB 的中点，将三角形ADE 沿DE 折叠到1A DE 位置，使得二面角1A DE B --的大小为120，则异面直线1A D 与CE 所成角的余弦值为（ ）A ．14B C D ．34【答案】D建如图所示空间直角坐标系，得)11,0A -，()()()0,0,2,0,0,0,0,2,2D E C ，所以()()13,1,2,0,2,2A D EC =-=，所以11123cos ,48A D EC A D EC A D EC⋅+===. 故选：D3．如图，空间四边形OABC 中，OA a =，OB b =，OC c =，点M 在OA 上，且满足2OM MA =，点N 为BC 的中点，则MN =（ ）A ．121232a b c -+B ．211322a b c -++C ．111222a b c +-D ．221332a b c +-【答案】B【解析】1121132322MN MA AB BN OA OB OA BC OA OB OC OB =++=+-+=-++-211322OA OB OC =-++，又OA a =，OB b =，OC c =，∴211322MN a b c =-++,故选：B ．4．以下四组向量在同一平面的是（ ） A ．()1,1,0、()0,1,1、()1,0,1B ．()3,0,0、()1,1,2、()2,2,4C ．()1,2,3、()1,3,2、()2,3,1D ．()1,0,0、()0,0,2、()0,3,0【答案】B对于A 选项，设()()()1,1,00,1,11,0,1m n =+，所以，110n m m n =⎧⎪=⎨⎪+=⎩，无解；对于B 选项，因为()()()2,2,403,0,021,1,2=⋅+，故B 选项中的三个向量共面； 对于C 选项，设()()()1,2,31,3,22,3,1x y =+，所以，2133223x y x y x y +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，无解；对于D 选项，设()()()1,0,00,0,20,3,0a b =+，所以，013020b a =⎧⎪=⎨⎪=⎩，矛盾.故选：B.5．如图，OABC 是四面体，G 是ABC 的重心，1G 是OG 上一点，且14OG OG =，则（ ）A ．1111666OG OA OB OC =++B ．1OG =111121212OA OB OC ++ C ．1OG =111181818OA OB OC ++ D ．1OG =111888OA OB OC ++【答案】B【解析】连接AG 并延长交BC 于N ，连接ON ，由G 是ABC 的重心，可得23AG AN =，()12ON OB OC =+则()()2221112=3332333AG AN ON OA OB OC OA OB OC OA ⎡⎤=-=+-=+-⎢⎥⎣⎦ 则()1111112444333OG OG OA AG OA OB OC OA ⎛⎫==+=++- ⎪⎝⎭111121212OA OB OC =++故选：B6．设P ABC -是正三棱锥，G 是ABC 的重心，D 是PG 上的一点，且PD DG =，若PD x yPB z PA PC =++，则(),,x y z 为（ ）A ．512,,633⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．111,,666⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．111,,633⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．111,,363⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】因为三棱锥P ABC -是正三棱锥，G 是ABC 的重心， 所以1111112()()3333333AG AB AC PB PA PC PA PB PC PA =+=-+-=+-， 因为D 是PG 上的一点，且PD DG =， 所以12PD PG =， 因为PG PA AG =+， 所以111222PD PG PA AG ==+ 1111222333PA PB PC PA ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭11112663PA PB PC PA =++-111666PA PB PC =++, 因为PD x yPB z PA PC =++，所以16x y z ===，所以(),,x y z 为111,,666⎛⎫ ⎪⎝⎭，故选：B7．已知正方形ABCD 的边长为2，E ，F 分别为CD ，CB 的中点，分别沿AE ，AF 将三角形ADE ，ABF 折起，使得点B ，D 恰好重合，记为点P ，则AC 与平面PCE 所成角等于（ ）A ．6πB ．4π C ．3πD ．512π 【答案】A【解析】由题意得,PA PF PA PE ⊥⊥，因为正方形ABCD 的边长为2，E ，F 分别为CD ，CB 的中点， 所以1PE PF CE CF ====，所以222222EF CE CF PE PF =+==+， 所以PE PF ⊥所以P A ，PE ，PF 三线互相垂直，故以PE ，PF ，P A 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0P ，()1,0,0E ，()0,0,2A ，()0,1,0F ，设(),,C x y z ，则(,,2),(1,,),(,1,)AC x y z EC x y z FC x y z =-=-=-由AC =1EC =，1FC =，得222222222(2)8,(1)1,(1)1x y z x y z x y z ++-=-++=+-+=，解得222,,333C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则222,,,(1,0,0)333PC PE ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭设平面PCE 的法向量为(,,)n x y z =，则22203330n PC x y z n PE x ⎧⋅=+-=⎪⎨⎪⋅==⎩，令1z =，则()0,1,1n =， 因为228,,333AC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以AC 与平面PCE 所成角的正弦值1cos ,22n AC n AC n AC⋅===，因为AC 与平面PCE 所成角为锐角， 所以AC 与平面PCE 所成角为6π， 故选：A8．在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上､下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示的曲池，它的高为2，1AA ，1BB ，1CC ，1DD 均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2，对应的圆心角为90°，则图中异面直线1AB 与1CD 所成角的余弦值为（ ）A ．45B ．35C ．34D ．23【答案】A【解析】设上底面圆心为1O ，下底面圆心为O ，连接1,,OO OC OB 以O 为原点，分别以1,,OC OB OO 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系 则11(1,0,0),(0,2,0),(0,1,2),(2,0,2),C A B D 则11(1,0,2),(0,1,2)CD AB ==- 1111114cos ,55CD AB CD AB CD AB ⋅===⋅又异面直线所成角的范围为π(0,2⎤⎥⎦故异面直线1AB 与1CD 所成角的余弦值为45故选：A一、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB AD ==，12AA =，动点P 在体对角线1BD 上（含端点），则下列结论正确的有（ ）A ．当P 为1BD中点时，APC ∠为锐角B ．存在点P ，使得1BD ⊥平面APCC ．AP PC +的最小值D ．顶点B 到平面APC 【答案】ABD【解析】：如图，以点D 为原点建立空间直角坐标系， 设()101BP BD λλ=≤≤，则()()()()11,0,0,1,1,0,0,1,0,0,0,2A B C D ， 则()11,1,2BD =--，故()1,,2BP BD λλλλ==--， 则()()()0,1,0,,2,1,2AP AB BP λλλλλλ=+=+--=--，()()()1,0,0,,21,,2CP CB BP λλλλλλ=+=+--=--，对于A ，当P 为1BD 中点时，则11,,122AP ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，11,,122CP ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则11,,122PA ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，11,,122PC ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以1cos 03PA PC APC PA PC⋅∠==>⋅， 所以APC ∠为锐角，故A 正确； 当1BD ⊥平面APC ，因为,AP CP ⊂平面APC ，所以11,BD AP BD CP ⊥⊥， 则11140140BD AP BD CP λλλλλλ⎧⋅=+-+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，解得16λ=，故存在点P ，使得1BD ⊥平面APC ，故B 正确；对于C ，当11,BD AP BD CP ⊥⊥时，AP PC +取得最小值， 由B 得，此时16λ=， 则151,,663AP ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，511,,663CP ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以306AP CP ==即AP PC +C 错误； 对于D ，()()0,1,0,1,1,0AB AC =-， 设平面APC 的法向量(),,n x y z =， 则有()0120n AC x y n AP x z λλλ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+-+=⎪⎩，可取()2,2,21n λλλ-，则点B 到平面APC 的距离为cos ,12AB n AB AB n nλ⋅⋅==当0λ=时，点B 到平面APC 的距离为0，当01λ<≤时，==≤，当且仅当12λ=时，取等号，所以点B 到平面APC，故D 正确. 故选：ABD.10．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，M ，N 分别是CD ，11A B ，1DD ，BC 的中点，则下列说法正确的有（ ）A ．E ，F ，M ，N 四点共面B ．BD 与EF 所成的角为3πC ．在线段BD 上存在点P ，使1PC ⊥平面EFMD ．在线段1A B 上任取点Q ，三棱锥Q EFM -的体积不变 【答案】ABD【解析】以D 为原点，以DA ，DC ，1DD 所在直线分别为x 轴、 y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设2AB =，则()0,0,0D ，()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,0C ，()12,0,2A ，()10,2,2C ，()0,1,0E ，()2,1,2F ，()0,0,1M ，()1,2,0N ，设DE xDF yDM zDN =++，则()()()()0,1,02,1,20,0,11,2,0x y z =++，所以20,21,20,x z x z x y +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，解得1,32,32,3x y z ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩故1x y z ++=，即E ，F ，M ，N 四点共面，选项A 正确；因为()2,2,0DB =．()2,0,2EF =，所以1cos ,28DB EF DB EF DB EF⋅===⋅， 所以BD 与EF 所成的角为3π，选项B 正确； 假设在线段BD 上存在点P ，符合题意.设()01DP DB λλ=≤≤，则()1112,22,2PC DC DP DC DB λλλ=-=-=--，若1PC ⊥平面EFM ，则10PC ME ⋅=，10PC MF ⋅=．因为()0,1,1ME =-，()2,1,1MF =，所以2220,42220,λλλ--=⎧⎨-+-+=⎩，此方程组无解，所以在线段BD 上不存在点P ，使1PC ⊥平面EFM ，选项C 错误； 因为()10,2,22A B ME =-=，所以1A B ME ∥，又1A B ⊄平面EFM ，ME ⊂平面EFM ，所以1A B ∥平面EFM ，故1A B 上的所有点到平面EFM 的距离均相等，即在线段1A B 上任取点Q ， 三棱锥Q EFM -的体积不变，选项D 正确． 故选：ABD11．关于空间向量，下列说法正确的是（ ）A ．直线l 的方向向量为()1,1,2a =-，直线m 的方向向量12,1,2b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则l m ⊥B ．直线l 的方向向量为()0,1,1a =--，平面α的法向量为()0,1,1b =，则l α∥C ．平面α，β的法向量分别为()1,1,2a =-，11,0,2b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则αβ∥D ．若对空间内任意一点O ，都有111236OP OA OB OC =++，则P ，A ，B ，C 四点共面【答案】AD【解析】对于A ，直线l 的方向向量为()1,1,2a =-，直线m 的方向向量12,1,2b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由2110a b ⋅=--=，则l m ⊥，故正确对于B ，直线l 的方向向量为()0,1,1a =--，平面α的法向量为()0,1,1b =， 所以a b =-，则l α⊥，故错误；对于C ，平面α，β的法向量分别为()1,1,2a =-，11,0,2b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以()11,0,1,1,21102⎛⎫⋅=⨯-=-+= ⎪⎝⎭a b ，a b ⊥，则αβ⊥，故错误；对于D ，111236OP OA OB OC =++，得1111236++=，则P ，A ，B ，C 四点共面，故正确.故选：AD.12．已知点P 为正方体1111ABCD A B C D -内及表面一点，若AP BD ⊥，则（ ） A ．若//DP 平面1AB C 时，则点P 位于正方体的表面 B ．若点P 位于正方体的表面，则三棱锥C APD -的体积不变 C ．存在点P ，使得BP ⊥平面11B CDD ．AP ，CD 的夹角π3π,24⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦【答案】AD【解析】：在正方体1111ABCD A B C D -中，AC BD ⊥，1AA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， 所以1AA BD ⊥，又1AC AA A =∩，1,AC AA ⊂平面11ACC A ， 所以BD ⊥平面11ACC A ，又AP BD ⊥，所以点P 在平面11ACC A 上（包括边界），又11//DA CB ，1DA ⊄平面1AB C ，1CB ⊂平面1AB C ，所以1//DA 平面1AB C ， 同理可得11//A C 平面1AB C ，1111AC A D A ⋂=，111,A C A D ⊂平面11AC D ， 所以平面11//AC D 平面1AB C ，因为//DP 平面1AB C ，D ∈平面11AC D ，所以DP ⊂平面11AC D ，又平面11AC D ⋂平面1111ACC A C A =，所以11P C A ∈，即P 位于正方体的表面，故A 正确； 对于B ，设P 到平面ADC 的距离为h ，则13C APD P ACD ADCV V Sh --==⋅显然当11P C A ∈和1P AA ∈（不包括1A 点）时h 不一样，则三棱锥C APD -的体积不一样，故B 错误；如图建立空间直角坐标系，令正方体的棱长为1，则()1,0,0A ，()0,1,0C ，()10,0,1D ，()11,1,1B ，()10,1,1C ，所以()11,1,1AC =-，()10,1,1CD =-，()11,0,1CB =，所以110AC CD ⋅=，110AC CB ⋅=，即11AC CD ⊥，11AC CB ⊥， 11CD CB C ⋂=，11,CD CB ⊂平面11B CD ，所以1AC ⊥平面11B CD ，若BP ⊥平面11B CD ，则1//BP AC ，显然在平面11ACC A 上（包括边界）不存在点P ，使得1//BP AC ，故C 错误；因为设(),,P x y z ，()1,,AP x y z =-，()1,1,0DB =，所以10AP DB x y ⋅=-+=，即1y x =-， 又()0,1,0CD =-，所以AP CD y ⋅=-，1CD =，(AP x =，设所以AP，CD的夹角为θ，则cos θ==当0y =时cos 0θ=，2πθ=，当0y ≠时cos θ=222z y⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭≥ 所以0<≤，所以cos 0θ≤<，因为[]0,θπ∈，所以3,24ππθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，综上可得3,24ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故D 正确；故选：AD三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知梯形ABCD 和矩形CDEF ．在平面图形中，112AB AD DE CD ====，CD AE ⊥．现将矩形CDEF 沿CD 进行如图所示的翻折，满足面ABCD 垂直于面CDEF ．设2EN NC =，EP PB μ=，若AP ∥面DBN ，则实数μ的值为______．【答案】3【解析】易得,CD DE CD DA ⊥⊥，又面ABCD ⊥面CDEF ，面ABCD面CDEF EF =，又AD ⊂面ABCD ，则AD ⊥面CDEF ，又DE ⊂面CDEF ，则AD DE ⊥，以D 为原点建立如图所示空间直角坐标系，则()()()()()0,0,0,1,1,0,1,0,0,0,0,10,2,0D B A E C ，又()2212410,,333333DN DE EN DE EC DE DC DE DE DC ⎛⎫=+=+=+-=+= ⎪⎝⎭，同理可得11,,111111DP DE EP DE EB DE DB μμμμμμμμμμ⎛⎫=+=+=+= ⎪++++++⎝⎭，设面DBN 的法向量为(),,n x y z =，则041033n DB x y n DN y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令1y =，则()1,1,4n =--，又11,,111AP AD DP μμμμ⎛⎫=+=- ⎪+++⎝⎭， 又AP ∥面DBN ，则140111AP n μμμμ⋅=+-=+++，解得3μ=. 故答案为：3.14．正四棱柱1111ABCD A B C D -中，14AA =，AB =N 为侧面11BCC B 上一动点（不含边界），且满足1D N CN ⊥.记直线1D N 与平面11BCC B 所成的角为θ，则tan θ的取值范围为_________.【答案】13,22⎫⎛⎫+∞⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析：建立如图所示空间直角坐标系：则()()10,0,4,0,3,0D C ，设(),3,N x z ，所以()()1,3,4,,0,D N x z CN x z =-=，因为1D N CN ⊥，所以22140D N CN x z z ⋅=+-=， 则224x z z =-+，因为0x <2043z z <-+<， 解得01z <<或34z <<，易知平面11BCC B 的一个法向量为()0,1,0n =， 所以11sin D N n D N nx θ⋅===⋅则cos ,tan θθ==所以tan θ=∈13,22⎫⎛⎫+∞⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故答案为：13,22⎫⎛⎫+∞⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.15．如图，锐二面角l αβ--的棱上有A ，B 两点，直线AC ，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB .已知4AB =，6AC BD ==，CD =则锐二面角l αβ--的平面角的余弦值是___________.【答案】23【解析】设锐二面角l αβ--的平面角为θ，AC CD B A BD =-++，则2222222=36+16+3672cos =40AC AB BD AC AB AC BD A C B D D B θ=++-⋅-⋅+⋅-，则2cos 3θ=.故答案为：2316．如图，棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P 为线段A 1B 上的动点(不含端点)，有下列结论：∴平面A 1D 1P ∴平面A 1AP ；∴多面体1D CDP -的体积为定值； ∴直线D 1P 与BC 所成的角可能为3π； ∴APD 1能是钝角三角形.其中结论正确的序号是___________(填上所有序号). 【答案】∴∴∴【解析】对于∴，正方体1111ABCD A B C D -中，111A D AA ⊥，11A D AB ⊥，1AA AB A =，11A D ∴⊥平面1A AP ，11A D ⊥平面11D A P ，∴平面11D A P ⊥平面1A AP ，故∴正确；对于∴，1111122CDD S=⨯⨯=，P 到平面1CDD 的距离1BC =， ∴三棱锥1D CDP -的体积：111111326D CDP P CDD V V --==⨯⨯=，为定值，故∴正确；对于∴，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，1(0D ，0，1)，(1,1,0)B ，(0C ，1，0)，设(1P ，a ，)b ，(01,01)a b <<<<，1(1D P =，a ，1)b -，(1,0,0)BC =-，1cos D P <，110||||1D P BC BC D P BC >==<，12=-，所以22(1)3a b +-=， 01a <<，01b <<，所以22(1)3a b +-<，所以假设不成立，故∴错误；对于∴，见上图，由题得1(1,0,0),(0,0,1)A D ,设(1,,1),(01)P y y y -<<， 所以1(0,,1),(1,,)PA y y PD y y =--+=--，所以21112(21)cos ,||||||||y y y yPA PD PA PD PA PD --<>==，当102y <<时，1cos ,0PA PD <><，即1APD ∠是钝角.此时APD 1是钝角三角形. 故∴正确. 故答案为：∴∴∴四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）如图，在圆锥PO 中，已知2,PO O =的直径2AB =，点C 是AB 的中点，点D 为AC 中点.(1)证明：AC ⊥平面POD ；(2)求二面角A PC B --的正弦值. 【答案】(1)证明见解析【解析】(1)连接OC ，如图所示：因为,OA OC D =为AC 的中点，所以AC OD ⊥. 又PO ⊥底面,O AC ⊂底面O ，所以AC PO ⊥.因为,OD PO 是平面POD 内的两条相交直线，所以AC ⊥平面POD (2)以O 为坐标原点，,,OB OC OP 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴， 建立空间直角坐标系，如图所示：则()()()()1,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,2A B C P -.()()()1,0,2,0,1,2,1,1,0AP CP BC ==-=-设平面APC 的一个法向量为()1111,,x n y z =，则有1100n AP n CP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即11112020x z y z +=⎧⎨-+=⎩， 令11z =，则112,2x y =-=，所以()12,2,1n =-设平面BPC 的一个法向量为()2222,,n x y z =，则有2200n BC n CP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2222020x y y z -+=⎧⎨-+=⎩，令22y =，则222,1x z ==，所以()22,2,1n = 所以1212121cos ,94n n n nn n ⋅===.所以12sin ,1n n =故二面角A PC B -- 18（12分）如图所示，1111ABCD A B C D -是棱长为1的正方体.(1)设11BAC △的重心为O ，求证：直线OD ⊥平面11BA C ；(2)设E ､F 分别是棱AD ､11D C 上的点，且1DED F a ==，M 为棱AB 的中点，若异面直线DM 与EF a 的值. 【答案】(1)证明见解析；． 【解析】【分析】 (1)设1111AC B D N =，连接1DB ，首先1DD ⊥平面1111D C B A ，11A C ⊂平面1111D C B A ，则111DD AC ⊥， 又1111B D A C ⊥，1111DD B D D =，111,DD B D ⊂平面11BDD B ，所以11A C ⊥平面11BDD B ，而1B D ⊂平面11BDD B ，所以111AC B D ⊥， 同理11A B B D ⊥，1111A C A B A =，111,A C A B ⊂平面11A BC ，所以1B D ⊥平面11A BC ， 连接BN 交1B D 于O ，因为11DA DB DC ==，所以O 是等边11A BC 的中心也是重心， 所以DO ⊥平面11A BC ，(2)如图，以1,,DA DC DD 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则(,0,0)E a ，1(1,,0)2M ，(0,,1)F a ，1(1,,0)2DM =，(,,1)EF a a =-，由题意cos ,1DM EF DM EF DM EF⋅<>===解得：a =． 19（12分）如图，在四棱锥P −ABCD 中，平面P AD ∴平面ABCD ，点E 为PC 的中点，AB ∴CD ，CD ∴AD ，CD ＝2AB ＝2，P A ＝AD ＝1，P A ∴AD ．(1)证明：BE ∴平面PCD ；(2)求二面角P −BD −E 的余弦值． 【答案】(1)证明见解析(2)13【解析】(1)证明：取PD 的中点F ，连接AF ，EF ，则//EF CD ，12EF CD =．又//AB CD ，12AB CD =，所以//EF AB ，EF AB =，所以四边形ABEF 为平行四边形，所以//AF BE ． 因为1PA AD ==，PF FD =，所以AF PD ⊥． 所以BE PD ⊥．．．．．．因为平面P AD ∴平面ABCD ，PA AD ⊥， 所以P A ∴平面ABCD ，所以PA AB ⊥，．．．．．．所以PB BC ==又点E 为PC 的中点，所以BE PC ⊥．．．．． 又PC PD D ⋂=，所以BE ∴平面PCD ． (2)以A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A （0，0，0），P （0，0，1），B （1，0，0），D （0，1，0），C （2，1，0），E （1，12，12）． ．．．．． 于是()()111,0,1,1,1,0,0,,22PB BD BE ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭设平面PBD 的法向量为()1111,,n x y z =，则110n PB n BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 得11110x z x y -=⎧⎨-+=⎩．取11x =．得()11,1,1n =…………设平面EBD 的法向量为()2222,n x y z =，则2200n BE n BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得2222110220y z x y ⎧+=⎪⎨⎪-+=⎩取21x =．得()21,1,1n =-．…………所以1212121cos ,3n n n n n n ⋅〈==〉， 所以二面角P −BD −E 的余弦值为13.20（12分）如图（1），在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AB BC⊥，且122BC CD AB ===，取AB 的中点O ，连结OD ，并将AOD △沿着OD 翻折，翻折后AC =,M N 分别是线段,ADAB 的中点，如图（2）.(1)求证：AC OM ⊥；(2)求平面OMN 与平面OBCD 夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析【解析】(1)连接OC ，//ABCD ，AB BC ⊥，122BC CD AB ===，O 为AB 中点， ∴四边形ODCB 为正方形，OC ∴=，翻折后，AC =((2222222OA OC AC ∴+=+==，OA OC ∴⊥；又OA OD ⊥，OC OD O =，,OC OD ⊂平面OCD ，OA ∴⊥平面OCD ，CD ⊂平面OCD ，OA CD ∴⊥，又CD OD ⊥，OA OD O =，,OA OD ⊂平面OAD ，CD平面OAD ，OM ⊂平面OAD ，CD OM ∴⊥；OA OD =，M 为AD 中点，OM AD ∴⊥，又CDAD D =，,CD AD ⊂平面ACD ，OM ∴⊥平面ACD ，AC ⊂平面ACD ，AC OM ∴⊥. (2)以O 为坐标原点，,,OD OB OA 正方向为,,x y z 轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则()0,0,0O ，()1,0,1M ，()0,1,1N ，()1,0,1OM ∴=，()0,1,1ON =；z 轴⊥平面OBCD ，∴平面OBCD 的一个法向量()0,0,1m =； 设平面OMN 的法向量(),,n x y z =，则00OM n x z ON n y z ⎧⋅=+=⎨⋅=+=⎩，令1x =，解得：1y =，1z =-，()1,1,1n ∴=-；1cos ,3m n m n m n⋅∴<>==⋅即平面OMN 与平面OBCD 21（12分）在四棱锥P ABCD -中，已知侧面PCD 为正三角形，底面ABCD 为直角梯形，AB CD ，90ADC ∠=︒，3AB AD ==，4CD =，点M ，N 分别在线段AB 和PD 上，且2AM DNMB NP==． (1)求证：//PM 平面ACN ；(2)设二面角P CD A --大小为θ，若cos 3θ=，求直线AC 和平面PAB 所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)5 【解析】(1)连接MD ，交AC 于点E ，连接NE ；2AM MB =，223AM AB ∴==，//AB CD ，12AM ME CD DE ∴==， 又2DN NP =，ME PN DE DN ∴=，//NE PM ∴， 又NE ⊂平面ACN ，PM ⊄平面ACN ，//PM ∴平面ACN .(2)取CD 中点F ，连接,PF MF ；作PO MF ⊥，垂足为O ；PCD 为正三角形，PF CD ∴⊥；2AM DF ==，//AM DF ，∴四边形AMFD 为平行四边形，//AD FM ∴， 又90ADC ∠=，CD FM ∴⊥，又PF FM F =，,PF FM ⊂平面PFM ， CD 平面PFM ；PO ⊂平面PFM ，CD PO ∴⊥，又PO FM ⊥，CD FM F =，,CD FM ⊂平面ABCD ，PO ∴⊥平面ABCD ； 作//OG CD ，交BC 于点G ，则OG FM ⊥，以O 为坐标原点，,,OM OG OP 正方向为,,x y z 轴，可建立如下图所示空间直角坐标系，PF CD ⊥，MF CD ⊥，PFO ∴∠即为二面角P CD A --的平面角，又PF =cos PFO ∠=cos 2OF PF PFO ∴=∠=，OP ∴=则(P ，()2,2,0C -，()1,2,0A -，()1,1,0B ，()3,4,0AC ∴=-，(AP =-，(1,BP =--， 设平面PAB 的法向量(),,n x y z =，则200AP n x y BP n x y ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=--+=⎪⎩，令1z =，解得：x =0y =，()22,0,1n ∴=；设直线AC 和平面PAB 所成角为θ，62sin cos ,535AC n AC n AC n θ⋅∴=<>===⨯⋅，故直线AC 和平面PAB 22．（12分） 如图，四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是矩形，DA ⊥平面PAB ，E 是DA 的中点．(1)若PB 的中点是M ，求证：//EM 平面PCD ；(2)若,2,⊥===PA PB PA AD AB PCE 与平面PAB 所成二面角的正弦值．【答案】(1)证明见解析【解析】(1)如图所示： 取PC 的中点F ，连接EM ，DF ，FM ，因为四边形ABCD 为矩形，E 是AD 的中点，所以1,//2DE BC DE BC =，1,//2=FM BC FM BC ，所以,//DE FM DE FM =， 所以四边形DEMF 是平行四边形，所以//EM DF ，又EM ⊄平面PCD ，DF ⊂平面PCD ，所以//EM 平面PCD .(2)由AD ⊥平面PAB ，PA PB ⊥，建立如图所示空间直角坐标系，则()()()0,0,0,0,2,1,2,0,2P E C ，所以 ()()0,2,1,2,0,2PE PC ==，设平面PCE 的一个法向量为 (),,n x y z =， 则00⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩P P n n E C ，即 20220y z x z +=⎧⎨+=⎩， 令 1z =，得11,,12n ⎫⎛=-- ⎪⎝⎭， 易知平面P AB 的一个法向量为 ()0,0,1m =， 则 12cos ,31⋅==⋅+n mn m n m ，设平面PCE 与平面PAB 所成二面角为()0,πθθ⎡⎤∈⎣⎦， 所以5sin ,3n m θ==.。
空间向量的综合应用
空间向量的综合应用 结 束
(3)在棱 PA 上是否存在点 M，使得 BM∥平面 PCD？若存在， AM 求 AP 的值；若不存在，说明理由． ―→ ―→ 解： 设 M 是棱 PA 上一点， 则存在 λ∈[0,1]， 使得 AM ＝λ AP ．
―→ 因此点 M(0,1－λ，λ)， BM ＝(－1，－λ，λ)． 因为 BM⊄平面 PCD， ―→ 所以要使 BM∥平面 PCD，当且仅当 BM · n＝0， 即(－1，－λ，λ)· (1，－2,2)＝0． 1 解得 λ＝ ．所以在棱 PA 上存在点 M 使得 BM∥平面 BCD， 4 AM 1 此时 AP ＝ ． 4
课 堂 ·考 点 突 破
课后· 三维演练
空间向量的综合应用 结 束
以 D 为原点，DA，DC，DE 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴， 建立空间直角坐标系 Dxyz，如图所示． 设 AD＝1， 则 D(0,0,0)， A(1， 0,0)， B(1,1,0)， F(1,0,1)， C(0,2,0)， ―→ ―→ E(0,0,1)，所以 DB ＝(1,1,0)， DF ＝(1,0,1)． ―→ 易知平面 CDE 的一个法向量 DA ＝(1,0,0)． 设平面 BDF 的法向量 n＝(x，y，z)， ―→ n· DB ＝0， 则 ―→ DF ＝0， n·
课 堂 ·考 点 突 破 课后· 三维演练
空间向量的综合应用 结 束
解： (1)因为平面 ADEF ⊥平面 ABCD，平面 ADEF∩ 平面 ABCD＝AD，CD⊥AD，CD⊂平面 ABCD， 所以 CD⊥平面 ADEF，又 DE⊂平面 ADEF，故 CD⊥ED. 而四边形 ADEF 为正方形，所以 AD⊥DE，又 AD⊥CD，所 以 AD，DE，DC 两两垂直．
高考数学空间向量的综合应用ppt课件
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第八章 立体几何与空间向量
5
设平面 PAD 的法向量为 n＝(x，y，z)，
则nn··AP→→AD＝＝00，，即－2x＋ x＋y＝y－0，3z＝0，令 x＝1，则 y＝－2，z＝－ 3，故 n＝(1，
－2，－ 3)为平面 PAD 的一个法向量．
所以点 E 到平面 PAD 的距离 d＝|n·|nP→|E|＝
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第八章 立体几何与空间向量
10
设平面 A1BD 的法向量为 n＝(x，y，z)， 由D→A1·n＝0 得 x＋z＝0，由D→B·n＝0 得 x＋y＝0， 取 x＝1，则 n＝(1，－1，－1)， 所以点 D1 到平面 A1BD 的距离是 d＝|D→D|n1·| n|＝ 23＝233.
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第八章 立体几何与空间向量
24
翻折与展开问题
(2021·江西红色七校第一次联考)如图 1.梯形 ABCD 中，AB∥CD，过 A，B 分别作 AE⊥CD，BF⊥CD，垂足分别为 E，F.AB＝AE＝2，CD＝5， DE＝1，将梯形 ABCD 沿 AE，BF 折起，得空间几何体 ADE-BCF，如图 2.
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第八章 立体几何与空间向量
21
所以 AD⊥AN，所以 AN⊥MN， 因为 AP＝AB，所以 AN⊥PB，MN∩PB＝N，所以 AN⊥平面 PBC，
因为 AN⊂平面 ADM，所以平面 ADM⊥平面 PBC.
(2)存在符合条件的 λ. 以 A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 A-xyz，
12×1＋0×（－2）＋－ 23×（－ 12＋（－2）2＋（－ 3）2
3） ＝
2023北京重点校高二(上)期末数学汇编：空间向量与立体几何章节综合
2023北京重点校高二（上）期末数学汇编空间向量与立体几何章节综合一、单选题1．（2023秋·北京东城·高二统考期末）已知向量()8,2,1a =−，()4,1,b k =−，且//a b ，那么实数k 的值为（ ）A ．12B ．12−C ．2−D ．22．（2023秋·北京西城·高二统考期末）在空间直角坐标系O xyz −中，点()()1,3,0,0,3,1A B −，则（ ） A ．直线AB坐标平面xOy B ．直线AB ⊥坐标平面xOy C ．直线AB 坐标平面xOz D ．直线AB ⊥坐标平面xOz3．（2023秋·北京西城·高二北京师大附中校考期末）布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖，在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1），把三片这样的达·芬奇方砖形成图2的组合，这个组合表达了图3所示的几何体．若图3中每个正方体的棱长为1，则点A 到平面QGC 的距离是（ ）A ．14B ．12C 2D 4．（2023秋·北京西城·高二北京师大附中校考期末）已知向量(1,2,1),(3,,)a b x y =−=，且a b ，那么xy =（ ）A ．18−B ．9C ．9−D ．185．（2023秋·北京西城·高二北京师大附中校考期末）如图，在正方体1111ABCD A B C D −中，E 是棱CD 上的动点．则下列结论不正确的是（ ）A ．1//D E 平面11AB BAB ．11EB AD ⊥C ．直线AE 与11BD 所成角的范围为(,)42ππ D ．二面角11E A B A −−的大小为4π 6．（2023秋·北京朝阳·高二统考期末）如图，在四面体OABC 中，G 是BC 的中点，设OA a =，OB b =，OC c =，则=AG （ ）A ．1122a b c −−B ．1122a b c −++C ．12a b c −++D ．12a b c −− 7．（2023秋·北京海淀·高二统考期末）在平行六面体1111ABCD A B C D −中，点M 满足2AM AC =．若11111,,A B a A D b A A c ===，则下列向量中与1B M 相等的是（ ）A ．1122a b c −+B ．1122a b c ++C ．1122−++a b cD ．1122a b c −−+ 8．（2023秋·北京海淀·高二统考期末）已知直线l 经过点(1,1,2),(0,1,0)A B ，平面α的一个法向量为(2,0,4)n =−−，则（ ）A ．l α∥B ．l α⊥C ．l ⊂αD ．l 与α相交，但不垂直9．（2023秋·北京丰台·高二北京市第十二中学校考期末）在空间直角坐标系中，已知三点(0,0,0),(1,2,1),(1,1,0)O A B −，若点C 在平面OAB 内，则点C 的坐标可能是（ ）A ．(1,1,3)−−B ．(3,0,1)C ．(1,1,2)D ．(1,1,2)−10．（2023秋·北京·高二北京八中校考期末）下列利用方向向量､法向量判断线､面位置关系的结论中，正确的是（ ）A ．两条不重合直线12,l l 的方向向量分别是()()2,3,1,2,3,1a b =−=，则12l l ∥B ．直线l 的方向向量为()1,1,2a =−，平面α的法向量为()6,4,1u =−，则l α⊥C ．两个不同的平面,αβ的法向量分别是()()2,2,1,3,4,2u v =−=−，则αβ⊥D ．直线l 的方向向量()0,3,0a =，平面α的法向量是()0,5,0u =−，则l α∥11．（2023秋·北京丰台·高二统考期末）已知m ，n 是实数，若()2,23,2a m =−，()4,2,32b n =−，且a b ∥，则m n +=（ ）A ．4−B ．0C ．2D ．412．（2023秋·北京·高二清华附中校考期末）如图，在正方体1111ABCD A B C D −中，E 为棱11B C 的中点．动点P 沿着棱DC 从点D 向点C 移动，对于下列四个结论：①存在点P ，使得1PA PE =；②存在点P ，使得1BD ⊥平面1PA E ；③1PA E △的面积越来越小；④四面体11A PB E 的体积不变．其中，所有正确的结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．413．（2023秋·北京石景山·高二统考期末）如图，在三棱锥−P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，,1,2AB AC AB AC PA ⊥===，以A 为原点建立空间直角坐标系，如图所示，n 为平面PBC 的一个法向量，则n 的坐标可能是（ ）A ．111,,224⎛⎫−− ⎪⎝⎭B ．111,,224⎛⎫−− ⎪⎝⎭C ．111,,242⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．111,,224⎛⎫ ⎪⎝⎭二、填空题 14．（2023秋·北京东城·高二统考期末）已知空间向量()1,1,0a =−，(),1,1m b =−，若a b ⊥，则实数m =_____．15．（2023秋·北京朝阳·高二统考期末）已知平面α的法向量为(1,2,2)n =−，直线l 的方向向量为(2,,4)u m =−，且l α⊥，则实数m =_________．16．（2023秋·北京丰台·高二统考期末）棱长为2的正方体1111ABCD A B C D −中，点P 满足1BP xBA yBC zBB =++，其中x ，y ，[]0,1z ∈，给出下列四个结论：①当0x =，1z =时，1BPD △可能是等腰三角形；②当0x =，1y =时，三棱锥1P BDD −的体积恒为43；③当1z =，且1x y +=时，1BPD △④当1z =，且12x y +=时，1BPD ∠可能为直角．其中所有正确结论的序号是________．17．（2023秋·北京顺义·高二统考期末）如图，在四面体O ABC −中，OA a =，OB b =，OC c =，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，若OE xa yb zc =++，其中x ，y ，z ∈R ，则x =___________，y =___________，z =___________．三、解答题18．（2023秋·北京东城·高二统考期末）在四棱雉P ABCD −中，底面ABCD 是正方形，Q 为棱PD 的中点，PA AD ⊥，2PA AB ==，再从下列两个条件中任选一个作为已知，求解下列问题.条件①：平面PAD ⊥平面ABCD ；条件②：PA AB ⊥.(1)求证：PA ⊥平面ABCD ；(2)求平面ACQ 与平面ABCD 夹角的余弦值；(3)求点B 到平面ACQ 的距离.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.19．（2023秋·北京西城·高二统考期末）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D −中，1AA ⊥平面1，，ABCD AB CD AD CD ==∥，12，AA AB E ==为线段1AA 的中点，再从下列两个条件中选择一个作为已知.条件①：AD BE ⊥；条件②：BC(1)求直线CE 与11B D 所成角的余弦值；(2)求点1C 到平面BCE 的距离；(3)已知点M 在线段1CC 上，直线EM 与平面11BCC B CM 的长. 20．（2023秋·北京西城·高二统考期末）如图，在四棱锥P ABCD −中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，E 为线段AB 的中点，2PA AB ==.(1)求证：BC PE ⊥；(2)求平面PAB 与平面PBD 夹角的余弦值.21．（2023秋·北京西城·高二北京师大附中校考期末）如图，在三棱柱111ABC A B C 中，1AA ⊥平面ABC ，ABC 是边长为2的正三角形，13,,AA D E =分别为,AB BC 的中点．(1)求证：CD ⊥平面11AA B B ．(2)求二面角1B AE B −−的余弦值．22．（2023秋·北京西城·高二北京师大附中校考期末）如图.在正方体1111ABCD A B C D −中，E 为1DD 的中点．(1)求证：1//BD 平面ACE ；(2)求直线AD 与平面ACE 所成角的正弦值．23．（2023秋·北京朝阳·高二统考期末）如图，在四棱锥P ABCD −中，平面PAB ⊥平面ABCD ，//AD BC ，π2ABC ∠=，3PA PB ==，1BC =，2AB =，3AD =，点O 是AB 的中点．(1)求证：PO CD ⊥；(2)求二面角A PO D −−的余弦值；(3)在棱PC 上是否存在点M ，使得//BM 平面POD ?若存在，求CM CP的值；若不存在，说明理由． 24．（2023秋·北京海淀·高二统考期末）如图，在四棱锥P ABCD −中，四边形ABCD 是平行四边形，点F 为PD 的中点．(1)已知点G 为线段BC 的中点，求证：CF ∥平面PAG ；(2)若2PA AB ==，直线PC 与平面ABCD 所成的角为30︒，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择几个作为已知，使四棱锥P ABCD −唯一确定，求：（ⅰ）直线CD 到平面ABF 的距离；（ⅱ）二面角B AF C −−的余弦值．条件①：PA ⊥平面ABCD ； 条件②：AD =条件③：平面PAB ⊥平面PAD ．25．（2023秋·北京密云·高二统考期末）如图所示，在多面体ABCDEF 中，梯形ADEF 与正方形ABCD 所在平面互相垂直，AF DE ∥，DE AD ⊥，122AF AD DE ===.(1)求证：BF ∥平面CDE ；(2)求证：EF ⊥平面CDF ；(3)若点H 在线段DE 上，且1EH =，求异面直线AH 与BE 所成角的余弦值.26．（2023秋·北京平谷·高二统考期末）如图，在正方体1111ABCD A B C D −中，正方体的棱长为2，E 为1BB 的中点．(1)求证：1AB AD ⊥；(2)求直线1AA 与平面1AD E 所成角的正弦值；(3)求1BC 到平面1AD E 的距离．27．（2023秋·北京·高二北京八中校考期末）如图，在三棱柱PAD QBC −中，侧面ABCD 为正方形，4AB =，,PA PD AB AP DC DP =⊥⊥，点M 在线段PB 上， //PD 平面MAC .(1)求证：M 为PB 的中点；(2)求二面角B PD A −−的大小；(3)在线段AC 上是否存在点N ，使得直线MN 与平面BDP 所成的角为30，若存在，求出AN AC 的值；若不存在，请说明理由.28．（2023秋·北京·高二北京八中校考期末）如图，在三棱锥−P ABC 中，PA ⊥底面,90ABC BAC ∠=. 点,,D E N 分别为棱,,PA PC BC 的中点，M 是线段AD 的中点，4,2PA AC AB ===.(1)求证：MN 平面BDE ；(2)求直线AC 与平面EMN 的夹角的正弦值；(3)求点A 到平面EMN 的距离.29．（2023秋·北京怀柔·高二统考期末）如图，四棱锥P ABCD −中，平面PAD ⊥平面ABCD ，底面ABCD为直角梯形，2DAB ADC π∠=∠=，PA AD ⊥，3AB =，2CD AD ==，PA =(1)求证：//CD 平面PAB ；(2)求平面PAB 与平面PCD 所成角的大小.30．（2023秋·北京大兴·高二统考期末）如图，在长方体1111ABCD A B C D −中，11,2AB AD AA ===，E 是棱1DD 的中点．(1)求证：1C D ∥平面1AB E ；(2)求平面1AB E 与平面1111D C B A 夹角的余弦值；(3)求点1C 到平面1AB E 的距离．参考答案1．B【分析】根据平行关系可知b a λ=，由向量坐标运算可构造方程求得结果.【详解】//a b ，()b a λλ∴=∈R ，4812k λλλ−=⎧⎪∴=−⎨⎪=⎩，解得：12k =−. 故选：B.2．C【分析】求出AB 及三个坐标平面的法向量，根据AB 与法向量的关系判断．【详解】(1,0,1)AB =−−，坐标平面xOy 的一个法向量是(0,0,1)，坐标平面xOz 的一个法向量是(0,1,0)，坐标平面yOz 的一个法向量是(1,0,0)，这三个法向量与AB 都不平行，但(0,1,0)0AB ⋅=，点,A B 均不在坐标平面xOz 上，因此AB 与坐标平面xOz 平行，故选：C ．3．C【分析】建立空间直角坐标系，求平面QGC 的法向量，用点到平面的距离公式计算即可.【详解】建立空间直角坐标系如图所示：则(0,2,0)C ，()1,0,2Q ，(0,0,2)G ，(1,1,0)A ，(1,2,2)QC =−−，(1,0,0),(1,1,0)QG AC =−=−，设平面QGC的法向量为(,,)n x y z =，则00n QC n QG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即0220x x y z −=⎧⎨−+−=⎩，则平面QGC 的一个法向量为(0,1,1)n =， 则点A 到平面QGC 的距离22n AC d n ⋅==. 故选：C4．D【分析】a b，则R λ∃∈，使得a b λ=，据此计算即可.【详解】依题意，由a b 可知，R λ∃∈，使得a b λ=，于是1321x y，解得1363xy 于是18xy =. 故选：D. 5．C【分析】由平面11//CDD C 平面11A B BA ，1D E ⊂平面11CDD C ，即可判断A ；建立空间直角坐标系计算11EB AD ⋅即可判断选项B ；求11|cos(,)|AE B D 的范围即可判断选项C ；先找出二面角的平面角为1DA A ∠即可判断选项D ，进而可得正确选项．【详解】对于选项A ：因为平面11//CDD C 平面11A B BA ，1D E ⊂平面11CDD C ， 所以1//D E 平面11A B BA ，故选项A 正确；如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则(1,0,0)A ，(0,,0),01E m m ≤≤，1(1,1,1)B ，1(0,0,1)D ，1(1,0,1)A ，对于选项B ：1(1,1,1)EB m =−，1(1,0,1)AD =−，因为11(1,1,1)(1,0,1)1010EB AD m ⋅=−⋅−=−++=，所以11EB AD ⊥，即11EB AD ⊥， 故选项B 正确；对于选项C ：(1,,0)AE m =−，11(1,1,0)B D =−−，设直线AE 与11B D 所成角为θ，则11cos |cos ,|AE B D θ=〈〉=，当0m =时最大等于2，此时θ最小为4π，当1m =时cos θ最小等于0，此时θ最大为2π，所以,42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 即直线AE 与11B D 所成角的范围为,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故选项C 不正确；对于选项D ：二面角11E A B A −−即二面角11D A B A −−， 因为111DA A B ⊥，111AA A B ⊥，1DA ⊂平面11EAB ，1AA ⊂平面11AA B ， 所以1DA A ∠即为二面角11E A B A −−的平面角， 在正方形11ADD A 中，14DA A π∠=，所以二面角11E A B A −−的大小为4π， 故选项D 正确， 故选：C. 6．B【分析】根据三角形法则先求得向量AB 、AC ，进而求得AG ． 【详解】解：AC OC OA c a =−=−，AB OB OA b a =−=−， ()()111122222AG AC AB a b c a b c ∴=+=−++=−++． 故选：B ． 7．C【分析】结合图形，由空间向量的线性运算可得.【详解】由点M 满足2AM AC =，所以M 为AC 中点， 因为四边形ABCD 为平行四边形，所以M 为BD 中点, 所以111()()222BM BD BA BC a b ==+=−+， 所以11111()222B M B B BM c a b a b c =+=+−+=−++.故选：C 8．B【分析】根据平面α的法向量与直线l 的方向向量的关系即可求解. 【详解】因为直线l 经过点(1,1,2),(0,1,0)A B ，所以(1,0,2)AB =−−，又因为平面α的一个法向量为(2,0,4)n =−−， 且2n AB =，所以平面α的一个法向量与直线l 的方向向量平行， 则l α⊥， 故选：B . 9．B【分析】根据向量的运算可得(1,2,1)OA =，(1,1,0)OB =−，由OA ，OB 不共线，结合向量基本定理可得(,2,)OC OA OB λμλμλμλ=+=+−，求得C 点坐标为(,2,)λμλμλ+−，代入验算即可得解.【详解】由(1,2,1)OA =，(1,1,0)OB =−， 显然OA ，OB 不共线，根据向量基本定理可得(,2,)OC OA OB λμλμλμλ=+=+−， 故C 点坐标为(,2,)λμλμλ+−， 经验算只有B 选项符合条件， 此时1,2λμ==， 故选：B 10．C【分析】根据空间位置关系的向量判断方法对四个选项一一判断即可.【详解】对于A ：因为()()2,3,1,2,3,1a b =−=，所以//a b 不成立，所以12l l ∥不成立.故A 错误； 对于B ：因为()1,1,2a =−，()6,4,1u =−,所以()()1614210a u ⋅=⨯+−⨯+⨯−=， 所以a u ⊥，所以//l α或l ⊂α.故B 错误；对于C ：因为()()2,2,1,3,4,2u v =−=−，,所以()()2324120u v ⋅=⨯−+⨯+−⨯=， 所以v u ⊥，所以αβ⊥.故C 正确；对于D ：因为()0,3,0a =，()0,5,0u =−,所以35a u =−，所以l α⊥.故D 错误； 故选：C 11．D【分析】根据空间向量共线，即可代入坐标运算求解.【详解】由a b ∥得存在实数λ，使得b a λ=，故()()4,2,322,23,2n m λ−=−，进而()4=22=23322m n λλλ⎧⎪−⎨⎪−=⎩，解得2m n ==，所以4m n +=，故选：D 12．C【分析】设正方体棱长为2,DP m =，求出221,PA PE ，由221PA PE =解得()02m m ≤≤，确定①正确，考虑到P 到平面11A B E 的距离不变，从而易判断④，以1,,DA DC DD 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，可证明1BD 不可能与1A E 垂直，故②不正确；设(0,,0)P m ，(02)m ≤≤，由空间向量法求得P 到1A E 的距离，由距离的变化规律判断③正确. 【详解】设正方体棱长为2,DP m =，由1AA ⊥平面,ABCD AP ⊂平面ABCD 得1AA AP ⊥，同理PC EC ⊥，所以22222118,PA AA AD DP m =++=+222222114(2)15(2)PE PC CC C E m m =++=+−+=+−，由2285(2)m m +=+−得14m =，存在P 使得1PA PE =，①正确， 正方体中，//CD 平面1111,A B C D P CD ∈，所以P 到平面1111D C B A 的距离不变，即P 到平面11A B E 的距离不变，而11A B E △面积不变，因此三棱雉11P A B E −，即四面体11A PB E 的体积不变，④正确; 以1,,DA DC DD 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如下图，正方体棱长为2，则11(2,0,2),(1,2,2),(2,2,0),(0,0,2)A E B D ， 1(1,2,0),A E =−1(2,2,2)BD =−−，1120A E BD ⋅=−≠，所以1BD 不可能与1A E 垂直，故1BD ⊥平面1PA E 也不可能成立，故②错误；设(0,,0),(02)P m m ≤≤，221(1,2,2),1(2)4495,PE m PE m m m A E =−=+−+=−+=，所以1(1,21,2,0)cos ,PE A E ==设P 到直线1A E 的距离为d ，则1||sin ,d PE PE A E m ==由二次函数性质知02m ≤≤时，2(4)20y m =−+递减，所以d 递减，又1A E 不变，所以1A PE 的面积为112A E d 递减，③正确， 综上：①③④正确 故选:C.【点睛】立体几何中存在性或探究性问题涉及到的点具有运动性和不确定性属于动态几何问题,用纯几何的方法来解决对空间想像能力、作图能力和逻辑推理能力的要求很高，若用向量方法处理,尤其是通过建立空间直角坐标系求解问题则思路简洁明了,本题中用向量法解决点P 到直线1A E 的距离问题避免了抽象复杂找距离过程，而且将距离的变化情况转化为函数的单调性问题解决更简单明了. 13．D【分析】先求出()()1,1,0,1,0,2BC PC =−=−，根据法向量求解公式列方程即可求解． 【详解】依题意得，()()()0,1,0,1,0,0,0,0,2B C P ，则()()1,1,0,1,0,2BC PC =−=− 设(),,n x y z =，则020n BC x y n PC x z ⎧⋅=−=⎪⎨⋅=−=⎪⎩，取12x =则11,24y z ==，所以111,,224n ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 故选：D 14．1【分析】根据空间向量数量积的坐标表示公式进行求解即可. 【详解】因为a b ⊥，所以0101a b m m ⋅=⇒−=⇒=， 故答案为：1 15．4−【分析】根据直线与平面垂直可得直线l 的方向向量与平面α的法向量平行，利用两向量平行的充要条件即可求解.【详解】因为平面α的法向量为(1,2,2)n =−，直线l 的方向向量为(2,,4)u m =−，且l α⊥，所以//n u ，则存在实数λ使得u n λ=，也即(2,,4)(,2,2)m λλλ−=−，解得：2λ=−，4m =−， 故答案为：4−. 16．①②③【分析】建立空间直角坐标系，利用空间两点间距离公式、空间向量夹角公式逐一判断即可. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，1(0,0,0),(2,2,0),(2,2,2),(2,2,2)B D D P x y z ，①：当0x =，1z=时，(0,2,2)Py ，11BP BD D P==，若212BP BD y y =⇒=⇒=[]0,1y ∈，不成立；若112BP PD y ===，所以本结论成立； ②：当0x =，1y =时，(0,2,2)P z ，设平面1BDD 的法向量为(,,)m a b c =，1(2,2,0),(2,2,2)BD BD ==，(0,2,2)BP z =，因此有110220(1,1,0)22200m BD m BD a b m a b c m BD m BD ⎧⎧⊥⋅=+=⎧⎪⎪⇒⇒⇒=−⎨⎨⎨++=⊥⋅=⎩⎪⎪⎩⎩， 2cos ,2m BP m BP m BPBP⋅〈〉==⋅⋅，所以点P 到平面1BDD 的距离为：2cos ,22BP m BP BP BP⋅〈〉=⋅=⋅，显然1111222BDD SDD BD =⋅⋅=⨯三棱锥1P BDD −的体积恒为1433=，所以本结论正确；③当1z =，且1x y +=时，(2,2,2)P x y ，11BP BD D P =，由余弦定理可知：22221cos PBD ∠==于是有1sin PBD ∠=112BPD S===当12x =时，1BPD △的面积的最小值为 ④：当1z =，且12x y +=时，(2,2,2)PB x y =−−−，1(22,22,0)PD x y =−−，假设1BPD ∠为直角，所以1102(22)2(22)0(1)PB PD PB PD x x y y ⊥⇒⋅=⇒−−−−=，由1122x y y x +=⇒=−，代入(1)中，化简得：28410x x −−=，解得x =，当x =时，0y ，不符合题意，而0x =<，不符合题意，所以假设不成，因此本结论不正确， 故答案为：①②③【点睛】关键点睛：建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式是解题的关键. 17．12##0.514##0.25 14##0.25 【分析】根据空间向量的线性运算可得()111222OE OA OB OC =+⨯+，从而可求解.【详解】因为D 为BC 的中点，E 为AD 的中点， 所以()()11112222OE OA OD OA OB OC =+=+⨯+ 111111244244OA OB OC a b c =++=++. 因为OE xa yb zc =++，所以111,,244x y z ===.故答案为:111,,244.18．(1)证明见解析；【分析】（1）条件①利用面面垂直的性质定理可证得；条件②利用线面垂直的判定定理可证得； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求面面夹角； （3）利用空间向量求点到面的距离.【详解】（1）条件①：平面PAD ⊥平面ABCD 证明：因为平面PAD ⊥平面ABCD ，PA AD ⊥，PA ⊂平面PAD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，所以PA ⊥平面ABCD . 条件②：PA AB ⊥证明：因为PA AD ⊥，PA AB ⊥,AB AD ⊂平面ABCD ，AB AD A ⋂=， 所以PA ⊥平面ABCD .（2）由（1）知PA ⊥平面ABCD ，AB AD ⊥，,,AB AD AP 两两垂直，以A 为原点，,,AB AD AP 分别所在的直线为,,x y z 轴，建立如图空间直角坐标系，则()002P ,,，()0,0,0A ，()0,1,1Q ，()2,2,0C ， 所以()2,2,0AC =，()0,1,1AQ =由（1）知平面ABCD 的法向量()0,0,2AP =， 设平面ACQ 的法向量为(),,n x y z =，则2200n AC x y n AQ y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，即00x y y z +=⎧⎨+=⎩，令1y =，则()1,1,1n =−−，设平面ACQ 与平面ABCD 夹角的为θ，则cos cos ,2AP n AP n AP nθ⋅−====⨯⋅所以平面ACQ 与平面ABCD（3）由已知得()2,0,0B ，()2,0,0AB =， 所以点B 到平面ACQ的距离为23AB n n−⋅==19．(3)CM 的长为12或32.【分析】选①或②，都能得到，DA AB ⊥，后如图以A 为原点建立空间直角坐标系.则可利用向量方法求线线角，点面距离，面面角解决问题.【详解】（1）若选择①，因1AA ⊥平面ABCD ，DA ⊂平面ABCD ，则1DA AA ⊥， 又AD BE ⊥，1AA ⊂平面11ABB A ，EB ⊂平面11ABB A ，1∩AA EB E =，则DA ⊥ 平面11ABB A ，又AB ⊂平面11ABB A ，则DA AB ⊥； 若选择②，做CF AD ∥，交AB 于F ，又ABCD ，则四边形DCF A 是平行四边形，则1CD CF AD AF ====，又2AB =，则1FB =.则在CFB 中，222CF FB BC +=，得CF AB ⊥，又CF AD ∥，则AD AB ⊥. 故11，，DA AA DA AB AA AB ⊥⊥⊥，则如图建立以A 为原点的空间直角坐标系. 则()()()()11110001102022,,，,,，,,，,,C E D B ，得()()11111120,,，,,CE B D =−−=−，则直线CE 与11B D 所成角的余弦值为：1111CE B D CE B D ⋅==⋅ （2）因()()()()1020110001112,,，,,，,,，,,B C E C ，则()()()1110111002,,，,,，,,CB CE CC =−=−−=.设平面BCE 的法向量为()111,,x n y z =，则111110000x y z n CE x y n CB ⎧−−+=⋅=⎧⎪⇒⎨⎨−+=⋅=⎩⎪⎩，取()1,1,2n =，则求点1C 到平面BCE的距离14CC n d n⋅===（3）因点M 在线段1CC 上，则设()11,,M t ，其中[]0,2t ∈.又()0,0,1E ，则()111,,EM t =−.又()()11,1,00,0,2CB CC =−=，， 设平面11BCC B 法向量为()222,,m x y z =，则222100200x y m CB z m CC ⎧−+=⎧⋅=⎪⇒⎨⎨=⋅=⎪⎩⎩， 取()1,1,0m =，则直线EM 与平面11BCC B 所成角的正弦值为：132EM m t EM m⋅==⇒=⋅或32t =. 得线段CM的长为12或32.20．(1)证明见解析 【分析】（1）根据线面垂直的性质定理可得PA BC ⊥,再根据底面是正方形可证明线面垂直，即可得BC PE ⊥；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求得平面PAB 与平面PBD 的法向量，即可求得二面角的余弦值【详解】（1）由PA ⊥平面ABCD ，根据线面垂直的性质定理可知，PA BC ⊥ 又因为底面ABCD 为正方形，所以AB BC ⊥，又因为PA BA A =，且P A,BA 含于平面P AB,所以BC ⊥平面PAB ；E 为线段AB 的中点，PE ⊂平面PAB ，所以，BC PE⊥（2）根据题意可知，以A 点为坐标原点，分别以AB 、AD 、AP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如下图所示：则(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,0,2)A B D P ； 则(2,0,2),(0,2,2)PB PD =−=−， 设平面PBD 的一个法向量为(,,)n x y z =，得·220·220n PB x z n PD y z ⎧=−=⎪⎨=−=⎪⎩，令1z =可得，1,1x y ==，即(1,1,1)n =；易知，(0,2,0)AD =是平面PAB 的一个法向量， 设平面PAB 与平面PBD 的夹角为θ，则2cos cos ,33n AD n AD n ADθ====⨯所以，平面PAB 与平面PBD 21．(1)证明见解析【分析】（1）证明CD AB ⊥，1AA CD ⊥，进而根据判定定理即可证明；（2）取11A B 的中点为F ，连接DF ，证明DF AB ⊥，CD AB CD DF ⊥⊥，，进而建立如图所示的空间直角坐标系D -xyz ，利用坐标法求解即可；【详解】（1）解：在三棱柱111ABC A B C 中，因为1AA ⊥平面ABC ，CD ⊂平面ABC ， 所以1AA CD ⊥．又ABC 为等边三角形，D 为AB 的中点， 所以CD AB ⊥． 因为11,,ABAA A AB AA =⊂平面11AA B B ，所以CD ⊥平面11AA B B ．（2）解：取11A B 的中点为F ，连接DF ，因为在三棱柱111ABC A B C 中，四边形11AA B B 为平行四边形，,D F 分别为11,AB A B 的中点， 所以1//DF AA ，因为1AA ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ， 所以1AA AB ⊥所以DF AB ⊥．由（1）知CD AB CD DF ⊥⊥，， 故建立如图所示的空间直角坐标系D -xyz ，由题意得111(1,0,0),(1,0,0),(1,3,0),(1,3,0),,2A B C A B E ⎛−−− ⎝⎭所以，133,0,,(2,3,0)22AE AB ⎛⎫=−=− ⎪ ⎪⎝⎭． 设平面1AB E 的法向量(,,)n x y z =，则1302230n AE x z n AB xy ⎧⋅=−=⎪⎨⎪⋅=−+=⎩，令1x =，则2,3y z ==21,,3n ⎛= ⎝．由题意可知，平面BAE 的一个法向量1(0,3,0).AA = 因为111cos ,23AA n AA n AA n⋅===⋅⨯由已知可得二面角1B AE B −−为锐角， 所以二面角1B AE B −− 22．(1)证明见详解 【分析】（1）连连接BD 与AC 交于点O ，根据中位线定理可知1//OE BD ，然后根据线面平行的判定定理可得.（2）建立空间直角坐标系，计算AD ，平面ACE 的一个法向量，然后根据空间向量的夹角公式计算即可. 【详解】（1）如图所示：，连接BD 与AC 交于点O ， 因为O ，E 为中点，所以1//OE BD ,又OE ⊂平面ACE ，1BD ⊄平面ACE ， 所以1//BD 平面ACE ；（2）建立如图所示的空间直角坐标系令2AB =，所以()()()()0,0,0,0,2,0,2,2,,0,0,2,1A D C E()()()0,2,0,2,2,0,0,2,1AD AC AE ===设平面ACE 的一个法向量为(),,n x y z =所以2200200x y n AC y z n AE ⎧+=⎧⋅=⇒⎨⎨+=⋅=⎩⎩，令1,1,2y x z =−==所以()1,1,2n =−，所以直线AD 与平面ACE 所成角的正弦值21n AD n AD⋅=⋅ 23．(1)证明过程见解析；； (3)存在，14CM CP =. 【分析】（1）根据等腰三角形的性质，结合面面垂直的性质、线面垂直的性质进行证明即可； （2）根据（1）的结论建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可； （3）根据线面平行的性质，结合空间向量数量积的运算性质进行求解即可. 【详解】（1）因为PA PB =，点O 是AB 的中点，所以PO AB ⊥，因为平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =， 所以PO ⊥平面ABCD ，而CD ⊂平面ABCD ， 所以PO CD ⊥；（2）设E 为CD 的中点，连接OE ， 因为//AD BC ，π2ABC ∠=，所以OE AB ⊥，由（1）可知：PO ⊥平面ABCD ，而,AB OE ⊂平面ABCD ，所以,PO OE PO AB ⊥⊥，因此建立如图所示的空间直角坐标系，(0,0,0),(1,0,0),(1,3,0),(1,1,0),(1,0,0),P O A D C B −−，因为平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，OE AB ⊥， 所以OE ⊥平面PAO ，因此平面APO 的法向量为(0,1,0)OE =， 设平面DPO 的法向量为(,,)n x y z =，(0,0,22),(1,3,0)OP OD ==−，于是有00(3,1,0)300n OP n x y z n OD ⎧⎧⋅==⎪⎪⇒⇒=⎨⎨−++=⎪⋅=⎪⎩⎩，二面角A PO D −−的余弦值为：22OE n OE n⋅=⋅ （3）假设在棱PC 上存在点M ，使得//BM 平面POD ，且([0,1])CM CP λλ=∈，可得：(1,1)M λλ−−，因此(,1)BM λλ=−−，由（2）可知平面DPO 的法向量为(3,1,0)n =，因为//BM 平面POD ，所以10310[0,1]4BM n BM n λλλ⊥⇒⋅=⇒−+−=⇒=∈，因此假设成立，14CM CP =. 24．(1)证明过程见详解(2)（ⅰ；（ⅱ 【分析】(1) 取AD 的中点E ，连接EF ，EC ，AG ，PG ，利用中位线证明//EF 平面PAG ，再利用平行四边形对边平行证明//CE 平面PAG ，然后利用面面平行的判定得到平面//PAG 平面EFC ，最后由面面平行得到证明即可； (2)选择条件①和③（ⅰ）设点D 到平面ABF 的距离为h ，利用等体积法即可求解；（ⅱ）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，分别求出两个平面的法向量，进而求解即可. 【详解】（1）取AD 的中点E ，连接EF ，EC ，AG ，PG ； 因为,E F 分别为,PD AD 的中点，所以//EF PA ，PA ⊂平面PAG ，EF ⊄平面PAG ，所以//EF 平面PAG ，又因为,G E 分别为,BC AD 的中点，四边形ABCD 为平行四边形， 所以//AE GC 且AE GC =，则四边形AGCE 为平行四边形，所以//CE GA ，GA ⊂平面PAG ，CE ⊄平面PAG ，所以//CE 平面PAG ， 因为CEEF E =，,CE EF ⊂平面EFC ，所以平面//PAG 平面EFC ，因为FC ⊂平面EFC ，所以//FC 平面PAG .（2）选择条件①和③（ⅰ）因为PA ⊥平面ABCD ，所以∠即为直线PC 与平面ABCD 所成的角，由题意可知：30∠=︒PCA ，又2PA AB ==，所以AC =因为平面PAD ⊥平面PAB ，且平面PAD ⋂平面PAB PA =，因为PA ⊥平面ABCD ， 所以AB PA ⊥，所以AB ⊥平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，所以AB AD ⊥,则四边形ABCD 为矩形，因为2,AB AC ==，所以AD == 设点D 到平面ABF 的距离为h ，由AB ⊥平面PAD 可知：AB AF ⊥，在Rt PAD △中，PD ==因为F 为PD 的中点，所以12AF PD ==，所以11222ABFSAB AF =⋅=⨯11222ABDS AB AD =⋅=⨯⨯= 因为//DC AB ，AB ⊂平面ABF ，DC ⊄平面ABF ，所以//DC 平面ABF ， 所以点D 到平面ABF 的距离也就是直线CD 到平面ABF 的距离.因为D ABF F ABD V V −−=，即111332ABFABDSh SAP ⋅=⋅，也即11133h =⨯，所以h =故直线CD 到平面ABF.（ⅱ）由（ⅰ）可知：AB ，AP ，AD 两两垂直，分别以AB ，AP ，AD 所在直线为x 轴，z 轴，y 轴建立如图所示空间直角坐标系，则(0,0,0)A ，(2,0,0)B，F，C ，则(2,0,0)AB =，(0,AF =，AC =，设平面ABF 的法向量为111(,,)m x y z =，平面AFC 的法向量为222(,,)n x y z =，则有·0·0m AF m AB ⎧=⎪⎨=⎪⎩，也即111020z x +==⎪⎩，令12z =，则(0,m =；则有·0·0n AF n AC ⎧=⎪⎨=⎪⎩，也即2222020z x +=+=⎪⎩，令12z =，则(2,2,2)n =−，则cos ,2m n m n m n<>==+由图可知：二面角B AF C −−为锐二面角， 所以二面角B AFC −− 25．(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）首先根据面面平行的判定证明平面ABF ∥平面CDE ，再根据面面平行的性质即可得到答案. （2）首先取ED 的中点G ，连接FG ，易证EF FD ⊥，CD EF ⊥，再利用线面垂直的判定即可证明EF ⊥平面CDF .（3）首先以D 为原点，,,DA DC DE 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，再利用空间向量法求解即可. 【详解】（1）因为AF ⊄平面CDE ；DE ⊂平面CDE ；AF DE ∥， 所以AF ∥平面CDE .因为AB ⊄平面CDE ；CD ⊂平面CDE ；AB CD ∥， 所以AB ∥平面CDE .又因为AF ⊂平面ABF ，AB ⊂平面ABF ，AF AB A ⋂=， 所以平面ABF ∥平面CDE ；又因为BF ⊂平面ABF ，所以BF ∥平面CDE . （2）取ED 的中点G ，连接FG ，如图所示：因为四边形ADEF 为梯形，且DE AD ⊥，122AF AD DE ===， 所以四边形ADGF 为正方形，FG ED ⊥，2FG EG ==.所以EF FD = 即222EF FD ED +=，EF FD ⊥.又因为平面ADEF ⊥平面ABCD AD =，且CD ⊂平面ABCD ，CD AD ⊥， 所以CD ⊥平面ADEF .又因为EF ⊂平面ADEF ，所以CD EF ⊥.因为EF CD ⊥，EF FD ⊥，CD FD D ⋂=，,CD FD ⊂平面CDF ， 所以EF ⊥平面CDF .（3）以D 为原点，,,DA DC DE 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，()2,0,0A ，()0,0,3H ，()2,2,0B ，()0,0,4E ，()2,0,3AH =−，()2,2,4BE =−−，设异面直线AH 与BE 所成角为θ，则cos 4AH BE AH BEθ⋅===⋅.所以异面直线AH 与BE .26．(1)证明见解析 (2)23(3)23【分析】（1）以A 为原点，1,,AD AB AA 所在的直线分别为,,z x y 轴建立空间直角坐标系，向量法即可证出；（2）求出平面1AD E 的一个法向量，再根据线面角的向量公式即可求出； （3）根据点到平面的距离向量公式即可求出．【详解】（1）以A 为原点，1,,AD AB AA 所在的直线分别为,,x y z 轴如图建立空间直角坐标系，则()()()10,0,0,B 0,2,0,2,0,2A D ,()()1=0,2,0=2,0,2AB AD ， 1=2002200AB AD ⋅⨯+⨯+⨯= 1AB AD ∴⊥（2）因为正方体的棱长为2，()()()()110,0,0,0,0,2,2,0,2,0,2,1A A D E ∴()10,0,2AA =，()12,0,2AD =，()0,2,1AE =，设平面1AD E 的一个法向量为(),,n x y z =，则122020n AD x z n AE y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令2z =，则2,1x y =−=−，∴()2,1,2n =−−， 设直线1AA 与平面1AD E 所成角为θ，则11sin ||||n AA n AA θ⋅=⋅|＝＝23，故直线1AA 与平面1AD E 所成角的正弦值为23． （3）∵()2,2,0C ，∴()12,0,2BC =由（2）知，平面1AD E 所的法向量为()2,1,2n =−−，10BC n ∴⋅=∴1//BC 平面1AD E ，所以1BC 到平面1AD E 的距离可以转化为点B 到平面1AD E 的距离，()=0,2,0AB ，2||34n AB d n ⋅===+27．(1)详见解析； (2)60； (3)存在，38AN AC =或78AN AC =. 【分析】（1）设AB CD O =，根据线面平行的性质可得//PD OM ，进而即得；（2）取AD 的中点G ，根据线面垂直的判定定理可得PG ⊥平面ABCD ，然后利用坐标法利用面面角的向量求法即得；（3）设AN AC λ=，利用线面角的向量求法结合条件即得. 【详解】（1）设AC BD O ⋂=，连接OM ，因为侧面ABCD 为正方形， 所以O 为BD 的中点，因为//PD 平面MAC ，PD ⊂平面PBD ，平面PBD 平面MAC OM =， 所以//PD OM ，又O 为BD 的中点， 所以M 为PB 的中点；（2）因为//,AB DC DC DP ⊥， 所以AB DP ⊥，又,,AB AP AP DP P AP ⊥=⊂平面ADP ，DP ⊂平面ADP ，所以AB ⊥平面ADP ，取AD 的中点G ，则PG AD ⊥，由AB ⊥平面ADP ，PG ⊂平面ADP ，可得AB ⊥PG ， 又,ABAD A AB =⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以PG ⊥平面ABCD ，如图以G 为原点建立空间直角坐标系，则()()(()()2,0,0,2,0,0,,2,4,0,2,4,0,D A P C B M ⎛−−− ⎝⎭， 所以()(4,4,0,2,0,BD PD =−=， 设平面PBD 的法向量为(),,m x y z =，则44020m BD x y m PD x ⎧⋅=−=⎪⎨⋅==⎪⎩，令1x =，则(1,1,2m =， 又平面ADP 的法向量可取()0,1,0n =， 所以11cos ,122m n m n m n ⋅===⋅⨯， 所以二面角B PD A −−的大小为60；（3）假设在线段AC 上存在点N ，使得直线MN 与平面BDP 所成的角为30， 设AN AC λ=，因为()()()2,0,0,2,4,0,4,4,0A C AC −=，所以()4,4,0AN λλ=，()42,4,0N λλ−，又2M ⎛− ⎝⎭， 所以41,42,2MN λλ⎛=−−− ⎝⎭，又平面PBD 的一个法向量为(1,1,2m =，所以1cos ,2m MN m MN m MN⋅===⋅，整理可得26440210λλ−+=，解得38λ=或78λ=，所以在线段AC 上存在点N ，使得直线MN 与平面BDP 所成的角为30， AN AC 的值为38或78.28．(1)证明见解析 【分析】（1）由线线平行证MF 平面BDE 、NF 平面BDE ，即可依次证平面MNF 平面BDE 、MN 平面BDE ；（2）以A 为原点建立如图所示空间直角坐标系A xyz −，由向量法求线面角；（3）由向量法求MA 与平面EMN 的夹角α的正弦值，则点A 到平面EMN 的距离为sin MA α. 【详解】（1）证明：取AB 中点F ，连接MF 、NF ，∵M 是线段AD 的中点，∴MF BD ∥，∵BD ⊂平面BDE ，MF ⊄平面BDE ，∴MF 平面BDE . ∵点,,D E N 分别为棱,,PA PC BC 的中点，∴NF AC DE ，∵DE ⊂平面BDE ，NF ⊄平面BDE ，∴NF 平面BDE . ∵MFNF F =，∴MF NF 、平面MNF ，∴平面MNF 平面BDE ，∵MN ⊂平面MNF ，∴MN平面BDE .（2）∵PA ⊥底面,90ABC BAC ∠=，以A 为原点建立如图所示空间直角坐标系A xyz −， 则有()()()()()()0,0,0,2,0,0,0,4,0,0,0,1,1,2,0,0,2,2A B C M N E ，()()()1,2,1,0,2,1,0,4,0MN ME AC =−==，设平面EMN 的法向量为(),,n x y z =，则2020n MN x y z n ME y z ⎧⋅=+−=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令1y =，则有4,1,2n，设AC 与平面EMN 所成角为θ，则直线AC 与平面EMN 的夹角的正弦值为421sin cos ,21214n AC θn ACn AC . （3）由（2）得，0,0,1MA，设MA 与平面EMN 所成角为α，则点A 到平面EMN 的距离为2221sin cos ,12121n MA MA αMA n MAn.29．(1)证明见解析(2)π6【分析】（1）由题意可得//AB CD ，然后根据线面平行的判定定理即可得到结果；（2）以点A 为坐标原点，分别以,,AB AD AP 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，结合法向量即可求得二面角的大小.【详解】（1）因为在四棱锥P ABCD −中，2DAB ADC π∠=∠=， 所以//AB CD ， 因为AB ⊂平面PAB ，CD ⊄平面PAB ，所以//CD 平面PAB（2）因为平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD ⋂平面ABCD AD =， 又因为PA AD ⊥，所以PA ⊥平面ABCD ，以点A 为坐标原点，分别以,,AB AD AP 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系A xyz −，则()(()()()0,0,0,,3,0,0,0,2,0,2,2,0A P B D C ， 设平面PCD 的法向量为(),,n x y z =由200200x n CD y n PD ⎧−=⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨−=⎪⋅=⎪⎩⎩，解得0x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，令1z =，则y 所以()0,3,1n =又因为AD ⊥平面PAB ，平面PAB 的一个法向量()0,1,0m = 设平面PAB 与平面PCD 所成角为θ， 则3cos cos ,2m nm n m n θ⋅=<>==⋅显然二面角为锐角，所以cos θ，即π6θ= 所以平面PAB 与平面PCD 所成角为π6. .30．(1)答案见解析.【分析】对于（1），证明11C D B A 即可.对于（2），（3），利用向量法可得答案.【详解】（1）证明：由题，四边形11B C CB 为矩形，四边形ABCD 是正方形，则1111，BC BC AD BC BC AD ==，故四边形11ADC B 是平行四边形，得11C D B A ，又1C D ⊄平面1AB E ，1B A ⊂平面1AB E ，则1C D ∥平面1AB E .（2）如图，建立以A 为原点的空间直角坐标系. 则()()()()()()11000100010102012011,,，,,,,,，,,，,,，,,A B D B D E ，得()()1102011,,，,,AB AE ==，设平面1AB E 法向量为(),,n x y z =， 则1200n AB x z n AE y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取()211,,n =−. 又平面1111D C B A 法向量()0,0,1m =，且由图可知，平面1AB E 与平面1111D C B A 夹角θ为锐角，则16cos m nθm n ⋅−===⋅ （3）由图可得，()11,1,2C ，则()1112,,AC =，又由（2）解析可知 平面1AB E 法向量为()211,,n =−，则点1C 到平面1AB E 的距离11AC nd n ⋅===.。
空间向量与立体几何综合练习题
空间向量与立体几何综合练习题一、选择题【共10道小题】1、在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，PA⊥平面ABC，PA=8，则P到BC的距离是…（）A. B.4 C.3 D.2参考答案与解析：解析：如图，取BC中点D，连结AD，则AD⊥BC.∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AD.在Rt△ABD中，AD=4,在Rt△PAD中，PD==4.答案：B主要考察知识点：空间向量2、空间四点A、B、C、D每两点的连线长都等于a,动点P在线段AB上，动点Q在线段CD上，则点P与Q的最小距离为（）A. B. a C. a D. a参考答案与解析：解析：当P、Q为中点时，PQ为AB和CD的公垂线，此时最短，求出得PQ= a.答案：B主要考察知识点：空间向量3、已知A、B、C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，下列条件中能确定点M与点A、B、C一定共面的是（）A. B.C. D.参考答案与解析：思路分析：对空间任一点O和不共线的三点A、B、C，则满足向量关系式：（其中x＋y＋z=1）的四点P、A、B、C共面.答案：D主要考察知识点：向量、向量的运算4、已知a=（λ+1,0,2λ),b=(6,2μ-1,2),若a∥b,则λ与μ的值分别为…（）A. B.5，2 C. D.-5，-2参考答案与解析：思路分析：a∥b，则存有m∈R，使得a=mb.又a=(λ+1,0,2λ),b=(6,2μ-1,2),则有可得答案：A主要考察知识点：向量与向量运算的坐标表示5、在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M和N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值是（）A. B. C. D.参考答案与解析：思路分析：建立空间直角坐标系D1—A1C1D（图略），则易知=（0，，-1），=（1，0，），代入向量的夹角公式，可求得cos〈，〉=.答案：B主要考察知识点：空间向量6、已知ABCD是四面体，O为△BCD内一点，则是O为△BCD的重心的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件参考答案与解析：C主要考察知识点：空间向量7、若向量a=(1,λ,2),b=(2,-1,2),a、b夹角的余弦值为，则λ等于( )A.2B.-2C.-2或D.2或参考答案与解析：C主要考察知识点：空间向量8、在以下命题中，不准确的个数为( )①|a|-|b|=|a+b|是a、b共线的充要条件;②若a∥b，则存有唯一的实数λ，使a=λb;③对空间任意一点O和不共线的三点A、B、C，若，则P、A、B、C四点共面;④若{a,b,c}为空间的一个基底，则{a+b,b+c,c+a}构成空间的另一个基底;⑤|(a b)c|=|a||b||c|.A.2B.3C.4D.5参考答案与解析：C主要考察知识点：空间向量9、已知A(-1,0,1),B(0,0,1),C(2,2,2),D(0,0,3),则sin〈〉等于A.-B.C.D.-参考答案与解析：答案：C解析：=(1,0,0),=(-2,-2,1),cos〈,〉=,所以〈,〉∈(,π).所以sin〈,〉=主要考察知识点：空间向量10、在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,PA⊥平面ABC,PA=8,则P到BC的距离是A.5B.45C.35D.25参考答案与解析：答案：B解析：取BC的中点D,连结AD,则AD⊥BC.因为PA⊥平面ABC,所以PA⊥AD.在Rt△ABD中,AD=4,在Rt△PAD中,PD=.主要考察知识点：空间向量二、填空题【共4道小题】1、已知a=（cosα,1,sinα),b=(sinα,1,cosα),则向量a+b与a-b的夹角是_____________________.参考答案与解析：思路分析：由a+b=(cosα+sinα,2,sinα+cosα),a-b=(cosα-sinα,0,sinα-cosα),∴(a-b)·(a+b)=0.则〈a-b,a+b〉=90°.答案：90°主要考察知识点：向量与向量运算的坐标表示2、在长方体ABCD—A1B1C1D1中，B1C和C1D与底面所成的角分别为60°和45°，则异面直线B1C和C1D所成角的余弦值为_________.参考答案与解析：主要考察知识点：空间向量3、已知a=(3,1,5),b=(1,2,-3),向量c与z轴垂直，且满足c·a=9,c·b=-4,则c=______.参考答案与解析：答案：(,0)解析：令c=(x,y,z),则解得∴c=().主要考察知识点：空间向量4、如图所示,正方体ABCD—A1B1C1D1中,E是C1C的中点,则BE与平面B1BD所成角的余弦值为___________.参考答案与解析：答案：解析：如图所示建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为2,则B(2,2,0)、B1(2,2,2)、E(0,2,1),=(-2,-2,0),=(0,0,2),=(-2,0,1).设平面B1BD的法向量为n=(x,y,z),因为n⊥,n⊥,所以所以令y=1,则n=(-1,1,0),cos〈n,〉=设BE与平面B1BD所成角为θ,则cos=sin〈n,〉=,即与平面B1BD所成角的余弦值为.主要考察知识点：空间向量三、解答题【共3道小题】1、棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1,E、F、G分别是DD1、BD、BB1的中点.(1)求证：EF⊥CF；(2)求与所成角的余弦值；(3)求CE的长.参考答案与解析：(1)证明：建立如图所示的空间直角坐标系O—xyz,则D(0,0,0)、E(0,0,)、C(0,1,0)、F(,,0)、G(1,1,)，∴=(,,-),=(,-,0),=(1,0,),=(0,-1,).∵·=×+×(-)+(-)×0=0,∴⊥,即EF⊥CF.(2)解析：∵·=×1+×0+(-)×()=,||==,||==,∴cos〈,〉===.(3)解析：||=.主要考察知识点：向量与向量运算的坐标表示,空间向量2、设a1=2i-j+k,a2=i+3j-2k,a3=-2i+j-3k,a4=3i+2j+5k,试问是否存有实数λ、μ、υ，使a4=λa1+μa2+υa3成立？如果存有，求出λ、μ、υ;如果不存有，请给出证明.参考答案与解析：解：假设a4=λa1+μa2+υa3成立,∵a1=(2,-1,1),a2=(1,3,-2),a3=(-2,1,-3),a4=(3,2,5),∴(2λ+μ-2υ,-λ+3μ+υ,λ-2μ-3υ)=(3,2,5).∴解之得故有a4=-2a1+a2-3a3.综上知，存有且λ=-2,μ=1,υ=-3.主要考察知识点：空间向量3、已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1，AB=1，AA1=2，点E为CC1中点，点F为BD1中点.(1)证明EF为BD1与CC1的公垂线；(2)求D1到平面BDE的距离.参考答案与解析：(1)证明：建立如图的坐标系, 得B(0, 1, 0), D1(1, 0, 2), F(,, 1), C1(0, 0, 2), E(0, 0, 1).∴,,.∴,,即EF⊥CC1, EF⊥BD1.故EF是CC1与BD1的公垂线.(2)解：同(1)B(0, 1, 0), D(1, 0, 0), E(0, 0, 1).设平面BDE的法向量n=(x, y, z), 则,.∴(x, y, z)(1, -1, 0)=0, (x, y, z)(-1, 0, 1)=0,即∴∴点D1到平面BDE的距离. 主要考察知识点：空间向量。
高中数学选择性必修一专题1 4 空间向量的综合应用 (解析版)
2020-2021年高二数学选择性必修一尖子生同步培优题典1.4空间向量的综合应用（解析版）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：本卷共18小题，8道单选题，3道多选题，3道填空题，4道解答题。
一、单项选择题（本题共8小题，每小题满分5分）1．（2020·全国课时练习）如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的棱长均为2，则异面直线1A B 与1B C 所成角的余弦值是( )A 3B ．12C ．14D ．0【答案】C【解析】【分析】建立空间直角坐标系，结合空间向量的结论求解异面直线所成角的余弦值即可.【详解】以AC 的中点O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则：()10,1,2A -,()3,0,0B ，)13,0,2B ，()0,1,0C ， 向量()13,1,2A B =-,()13,1,2B C =--， 11cos ,A B B C <>1111A B B C A B B C ⋅=⨯2222=⨯14=. 本题选择C 选项.【点睛】本题主要考查异面直线所成的角的求解，空间向量的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2．（2020·全国课时练习）如图所示，在正四面体ABCD中，E为棱AD的中点，则CE与平面BCD的夹角的正弦值为( )A 3B．23C．12D3【答案】B【解析】【分析】首先利用正四面体的线与线的位置关系，求出点A在下底面的投影，进一步求出E在下底面的射影位置，最后利用所求出的线段长，通过解直角三角形求得结果.【详解】在正四面体A BCD-中，设棱长为a，E为棱AD的中点，如下图所示过A做AO⊥平面BCD，则O为平面BCD的中心，延长DO交BC于G，过E做EF GD⊥，连接FC，所以ECF∠就是所求的CE与平面BCD的夹角．所以222GD CD CG =-，求得32GD a =， 所以33DO a =，利用222AO AD OD =-，解得63AO a =， 所以66EF a =，32CE a =， 在Rt EFC 中，2sin 3EF ECF CE ∠==，故选B.【点睛】本题主要考查直线与平面所成的角，勾股定理的应用及相关的运算问题，具体的解题步骤与求异面直线所成的角类似，有如下的环节：（1）作--作出斜线与射影所成的角；（2）证--论证所作（或找到的）角就是要求的角；（3）算--常用解三角形的方法（通常是解由垂线段、斜线段、斜线段的射影所组成的直角三角形）求出角；（4）答--回答求解问题． 3．（2020·全国课时练习）已知空间直角坐标系O xyz -中，()1,2,3OA =，()2,1,2OB =，()1,1,2OP =，点Q 在直线OP 上运动，则当QA QB ⋅取得最小值时，点Q 的坐标为（ ） A ．131,,243⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．133,,224⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．448,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．447,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】【分析】设(,,)Q x y z ，根据点Q 在直线OP 上，求得(,,2)Q λλλ，再结合向量的数量积和二次函数的性质，求得43λ=时，QA QB ⋅取得最小值，即可求解. 【详解】设(,,)Q x y z ，由点Q 在直线OP 上，可得存在实数λ使得OQ OP λ=，即(,,)(1,1,2)x y z λ=，可得(,,2)Q λλλ,所以(1,2,32),(2,1,22)QA QB λλλλλλ=---=---,则2(1)(2)(2)(1)(32)(22)2(385)QA QB λλλλλλλλ⋅=--+--+--=-+， 根据二次函数的性质，可得当43λ=时，取得最小值23-，此时448(,,)333Q . 故选：C.【点睛】本题主要考查了空间向量的共线定理，空间向量的数量积的运算，其中解答中根据向量的数量积的运算公式，得出关于λ的二次函数是解答的关键，着重考查运算与求解能力.4．（2020·全国课时练习）圆锥的轴截面SAB 是边长为2的等边三角形，O 为底面的中心，M 为SO 的中点，动点P 在圆锥底面内（包括圆周）若,AM MP ⊥则点P 形成的轨迹的长度为( ) A ．76 B ．75 C ．72 D ．74【答案】C【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，设出动点的坐标，利用向量的坐标公式求出向量坐标，利用向量垂直的充要条件列出方程求出动点P 的轨迹方程，得到P 的轨迹是底面圆的弦，利用勾股定理求出弦长． 【详解】建立空间直角坐标系．设A （0，﹣1，0），B （0，1，0），S （0，03，M （0，03，P （x ，y ，0）．于是有AM =（0，1，32），MP =（x ，y ，32-）． 由于AM ⊥MP ，所以（0，1，32）•（x ，y ，32-0， 即y 34=，此为P 点形成的轨迹方程，其在底面圆盘内的长度为2371()4-=． 故选C ．【点睛】本题考查通过建立坐标系，将求轨迹问题转化为求轨迹方程、考查向量的数量积公式、向量垂直的充要条件、圆的弦长的求法．属中档题5．（2020·全国高二课时练习）如图所示，在四面体P ABC -中，PC ⊥平面ABC ，AB BC CA PC ===，那么二面角B AP C --的余弦值为（ ）A ．22B ．33C 7D ．57【答案】C【解析】【分析】本题首先可作BD AP ⊥于点D 以及作CE AP ⊥于点E ，然后通过BC BD DE EC =++求出14EC BD ⋅=-，最后根据cos ,EC BD BD EC EC BD ⋅〈〉=⋅以及二面角B AP C --为锐二面角即可得出结果.【详解】如图所示，作BD AP ⊥于点D ，作CE AP ⊥于点E ，设1AB =，则易得22CE =，22EP =，2PA PB ==可以求得144BD =，24ED =.因为BC BD DE EC =++，所以2222222BC BD DE EC BD DE DE EC EC BD =+++⋅+⋅+⋅， 则14EC BD ⋅=-，7cos ,7EC BD BD EC EC BD ⋅〈〉==-⋅， 因为二面角B AP C --为锐二面角，所以二面角B AP C --的余弦值为77， 故答案为：C .【点睛】本题考查二面角的余弦值的求法，考查向量的数量积公式的灵活应用，考查向量加法法则的几何应用，考查数形结合思想，考查推理能力与计算能力，是中档题.6．（2020·全国高二课时练习）如图所示，M ，N 是直角梯形ABCD 两腰的中点，DE AB ⊥于点E ，现将△ADE 沿DE 折起，使二面角A DE B --为45︒，此时点A 在平面BCDE 内的射影恰为点B ，则M ，N 的连线与AE 所成的角的大小为（ ）A ．45︒B ．90︒C ．135︒D ．180︒【答案】B【解析】【分析】 首先根据题意，建立空间直角坐标系，设出边长，求得点的坐标，进而求得向量的坐标，利用向量数量积等于零，得到两向量的夹角为90︒，进而得到异面直线所成角的大小.【详解】建立空间直角坐标系，如图所示：由题意知ABE △为等腰直角三角形.设1CD =，则1BE =，1AB =，2AE =设2BC DE a ==，则(0,0,0)E ，(1,0,1)A ，(1,,0)N a ，(0,2,0)D a ，11,,22M a ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以11,0,22MN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，(1,0,1)AE =--， 所以11,0,(1,0,1)022MN AE ⎛⎫⋅=-⋅--= ⎪⎝⎭.故AE MN ⊥，从而MN 与AE 所成的角为90︒.故选：B.【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有利用空间向量求异面直线所成角，属于简单题目.7．（2020·全国高二课时练习）已知空间中三点(0,1,0)A ，(2,2,0)B ，(1,3,1)C -，则（ ） A ．AB 与AC 是共线向量 B ．AB 的单位向量是255⎫⎪⎪⎝⎭C ．AB 与BC 55D ．平面ABC 的一个法向量是(1,2,5)-【答案】D【解析】【分析】根据向量的相关性质判断.【详解】对于A 项，(2,1,0)AB =，(1,2,1)AC =-，所以AB AC λ≠，则AB 与AC 不是共线向量，所以A 项错误；对于B 项，因为(2,1,0)AB =，所以AB 的单位向量为255,,055⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以B 项错误； 对于C 项，向量(2,1,0)AB =，(3,1,1)BC =-，所以55cos ,11AB BC AB BC AB BC ⋅==-⋅，所以C 项错误； 对于D 项，设平面ABC 的法向量是(,,)n x y z =，因为(2,1,0)AB =，(1,2,1)AC =-，所以00n AB n AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，则2020x y x y z +=⎧⎨-++=⎩，令1x =，则平面ABC 的一个法向量为(1,2,5)n =-，所以D 项正确.故选:D.【点睛】本题考查共线向量的判断，单位向量的求法，夹角的求法，平面法向量的求法，属于空间向量综合题.8．（2020·浙江余杭·高三学业考试）如图，在圆锥SO 中，A ，B 是O 上的动点，BB '是O 的直径，M ，N 是SB 的两个三等分点，()0AOB θθπ∠=<<，记二面角N OA B --，M AB B '--的平面角分别为α，β，若αβ≤，则θ的最大值是（ ）A ．56πB ．23πC ．2πD ．4π 【答案】B【解析】【分析】设底面圆的半径为r ,OS a =,以'B B 所在直线为x 轴,以垂直于'B B 所在直线为y 轴,以OS 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系,写出各个点的坐标.利用法向量求得二面角N OA B --与M AB B '--夹角的余弦值.结合αβ≤即可求得θ的取值范围,即可得θ的最大值.【详解】设底面圆的半径为r ,OS a =,以'B B 所在直线为x 轴,以垂直于'B B 所在直线为y 轴,以OS 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系,如下图所示:则由()0AOB θθπ∠=<<可得()()()0,0,0,,0,0,0,0,O B r S a ,()()cos ,sin ,0,',0,0A r r B r θθ-M ,N 是SB 的两个三等分点 则22,0,,,0,3333r a r a M N ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以()2cos ,sin ,0,,0,33r a OA r r ON θθ⎛⎫== ⎪⎝⎭ 设平面NOA 的法向量为()111,,m x y z =则00m OA m ON ⎧⋅=⎨⋅=⎩,代入可得()()()111111,,cos ,sin ,002,,,0,033x y z r r r a x y z θθ⎧⋅=⎪⎨⎛⎫⋅= ⎪⎪⎝⎭⎩化简可得1111cos sin 02033x r y r x r az θθ+=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 令11x =,解得11cos 2,sin r y z a θθ=-=- 所以cos 21,,sin r m a θθ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭平面OAB 的法向量为()0,0,1n =由图可知, 二面角N OA B --的平面角α为锐二面角,所以二面角N OA B --的平面角α满足cos 1m nm n α⋅==⋅+设二面角M AB B '--的法向量为()222,,k x y z =()2'cos ,sin ,0,cos ,sin ,33r a B A r r r AM r r θθθθ⎛⎫=+=-- ⎪⎝⎭ 则'00k B A k AM ⎧⋅=⎨⋅=⎩代入可得()()()222222,,cos ,sin ,002,,cos ,sin ,033x y z r r r r a x y z r r θθθθ⎧⋅+=⎪⎨⎛⎫⋅--= ⎪⎪⎝⎭⎩化简可得2222222cos sin 02cos sin 033x r x r y r x r az x r y r θθθθ++=⎧⎪⎨--+=⎪⎩ 令21x =,解得221cos 2,sin r y z a θθ--==- 所以1cos 21,,sin r k a θθ--⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 平面AB B '的法向量为()0,0,1h =由图可知, 二面角M AB B '--的平面角β为锐二面角,所以二面角M AB B '--的平面角β满足 cos 1k hk h β⋅==⋅⎛+由二面角的范围可知0αβπ≤≤≤结合余弦函数的图像与性质可知cos cos αβ≥即≥化简可得1cos 2θ≤-,且0θπ<< 所以203πθ<≤ 所以θ的最大值是23π 故选:B【点睛】本题考查了空间直角坐标系在求二面角中的综合应用,根据题意建立合适的空间直角坐标系,求得平面的法向量,即可求解.本题含参数较多,化简较为复杂,属于难题.二、多选题（3道小题，每小题满分5分，答漏得3分，答错得0分）9．（2020·全国单元测试）如图，一个结晶体的形状为平行六面体1111ABCD A B C D -，其中，以顶点A 为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（ ）A ．()()2212AA AB ADAC ++=B ．()10AC AB AD ⋅-= C ．向量1B C 与1AA 的夹角是60° D ．1BD 与AC 6【答案】AB 【解析】 【分析】直接用空间向量的基本定理，向量的运算对每一个选项进行逐一判断. 【详解】以顶点A 为端点的三条棱长都相等, 它们彼此的夹角都是60°， 可设棱长为1,则11111cos602AA AB AA AD AD AB ⋅=⋅=⋅=⨯⨯︒=()22221111=+2+2+2AA AB AD AA AB AD AA AB AB AD AA AD ++++⋅⋅⋅11113262=+++⨯⨯=而()()()22222222ACAB AD AB AD AB AD =+=++⋅121122362⎛⎫=++⨯=⨯= ⎪⎝⎭， 所以A 正确.()()()11AC AB AD AA AB AD AB AD ⋅-⋅=++-2211AA AB AA AD AB AB AD AD AB AD =⋅-⋅+-⋅+⋅- =0,所以B 正确.向量11B C A D=,显然1AA D △ 为等边三角形，则160AA D ∠=︒.所以向量1A D 与1AA 的夹角是120︒ ,向量1B C 与1AA 的夹角是120︒,则C 不正确 又11=AD AA BD AB +-，AC AB AD =+ 则()211||=2AD AA A B B D =+-，()2||=3AC AB AD =+()()111AD AA AB BD AC AB AD ⋅=+-=+⋅所以11116cos ===6||||23BD AC BD AC BD AC ⋅⋅⨯，，所以D 不正确.故选：AB 【点睛】本题考查空间向量的运算，用向量求夹角等，属于中档题.10．（2020·全国单元测试）（多选题）正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，,,E F G 分别为11,,BC CC BB 的中点．则（ ）A ．直线1D D 与直线AF 垂直B ．直线1A G 与平面AEF 平行C ．平面AEF 截正方体所得的截面面积为98D ．点C 和点G 到平面AEF 的距离相等 【答案】BC 【解析】 【分析】找到AF 在平面11ADD A 内的射影，由三垂线定理可知AF 与1DD 不垂直，故A 错误；易证：平面1//A MG 平面AEF ，由面面平行的性质可得1//AG 平面AEF ，故B 正确；通过延展平面AEF 可得截面四边形1AEFD ，经过计算可知，C 正确；通过反证法，假设成立，推出矛盾，从而证明D 不正确. 【详解】取1DD 的中点N ，连接AN ，则AN 为直线AF 在平面11ADD A 内的射影，AN 与1DD 不垂直，从而AF 与1DD 也不垂直，选项A 错误；取11B C 的中点为M ，连接1,A M GM ，则1//,//A M AE GM EF ，易证：平面1//A MG 平面AEF ，从而1//AG 平面AEF ，选项B 正确； 连接1AD ，1D F ，易知四边形1AEFD 为平面AEF 截正方体所得的截面四边形（如图所示），且15D H AH ==，12A D =，所以1221232(5)()222∆=⨯⨯-=AD H S ， 而113948∆==AEFD AD H S S ，从而选项C 正确； 假设点C 与点G 到平面AEF 的距离相等，即平面AEF 将CG 平分，则平面AEF 必过CG 的中点，连接CG 交EF 于点O ，易知O 不是CG 的中点，故假设不成立，从而选项D 错误. 故选：BC 【点睛】本题以正方体为载体，考查了空间中线线、线面的位置关系、点到面的距离、截面面积等立体几何基本知识，考查了运算求解能力和空间想象能力，属于中档题目.11．（2020·山东高三其他）在长方体1111ABCD A B C D -中，23AB =12AD AA ==，,,P Q R 分别是11,,AB BB AC 上的动点，下列结论正确的是（ ） A ．对于任意给定的点P ，存在点Q 使得1D P CQ ⊥ B ．对于任意给定的点Q ，存在点R 使得1D R CQ ⊥ C ．当1AR A C ⊥时，1AR D R ⊥D ．当113AC A R =时，1//D R 平面1BDC 【答案】ABD 【解析】 【分析】如图所示建立空间直角坐标系，计算142D P CQ b ⋅=-，()12222D R CQ b λλ⋅=--，134AR D R ⋅=-，10D R n ⋅=，得到答案.【详解】如图所示，建立空间直角坐标系，设()2,,0P a ，0,23a ⎡⎤∈⎣⎦，()2,23,Q b ，[]0,2b ∈，设11A R AC λ=，得到()22,23,22R λλλ--，[]0,1λ∈. ()12,,2P a D -=，()2,0,CQ b =，142D P CQ b ⋅=-，当2b =时，1D P CQ ⊥，A 正确；()122,23,2D R λλλ=--，()12222D R CQ b λλ⋅=--，取22bλ=+时，1D R CQ ⊥，B 正确；1AR A C ⊥，则()()12,23,222,23,2212440AR AC λλλλλλ⋅=--⋅--=-+-+=， 14λ=，此时11333313,,,,02222224AR D R ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅-=-≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，C 错误； 113AC A R =，则4234,,333R ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，14232,,333D R ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，设平面1BDC 的法向量为(),,n x y z =，则100n BD n DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，解得()3,1,3n =-，故10D R n ⋅=，故1//D R 平面1BDC ，D 正确. 故选：ABD .【点睛】本题考查了空间中的线线垂直，线面平行，意在考查学生的计算能力和空间想象能力，推断能力.三、填空题（3道小题，每小题满分5分）12．（2018·上海市控江中学）写出直线210x y ++=的一个法向量n =______．【答案】()21，【解析】 【分析】化直线方程为斜截式，求出直线的斜率，得到直线的一个方向向量，进而可求得直线的一个法向量，得到答案． 【详解】由题意，化直线210x y ++=的方程为斜截式21y x =--，可得直线的斜率为-2，所以直线的一个方向向量为12-（，），所以直线的一个法向量为21（,）． 故答案为21（，） 【点睛】本题主要考查了直线的方向向量和法向量的意义、数量积的运算是解题的关键，是基础题． 13．（2020·全国高二课时练习）如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为BC 的中点，点P 在线段1D E 上，点P 到直线1CC 的距离的最小值为________.25【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，找到1D E 、1CC 法向量，用异面直线1D E 与1CC 的距离公式求得即可. 【详解】点P 到直线1CC 距离的最小值就是异面直线1D E 与1CC 的距离，以点D 为原点，DA ，DC ，1DD 所在直线的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系，则1(0,0,2)D ，(1,2,0)E ，(0,2,0)C ，1(0,2,2)C ，1(1,2,2)D E ∴=-，1(0,0,2)CC =，设1n D E ⊥，1n CC ⊥，(,,)n x y z =， 则12D x y E =+20z -=，120n CC z ⋅==，0z ∴=，取1y =-，则2x =，∴(2,1,0)n ∴=-，又(1,0,0)CE ∴=，异面直线1D E 与1CC 的距离22|||2100|255||2(1)0n CE d n ⋅⨯++===+-+即点P 到直线1CC 距离的最小值为255. 故答案为：255【点睛】求异面直线之间的距离，关键是建立空间直角坐标系，找到法向量，正确运用公式. 14．（2017·浙江余姚中学高二月考）如图，棱长为3的正方体的顶点A 在平面α上，三条棱,,AB AC AD 都在平面α的同侧，若顶点,B C 到平面α的距离分别为2，2，则顶点D 到平面α的距离是______.5【解析】 【分析】求点到平面的距离，建立空间直角坐标系，由顶点,B C 到平面α的距离分别为2，2，利用空间点到平面距离公式，求出平面α的法向量，即可求出结论. 【详解】如图，以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则(0,0,0),(3,0,0),(0,3,0),(3,3,0),(3,3,3)O C B A D ， 所以(3,0,0),(0,3,0),(0,0,3)BA CA AD ===， 设平面α的一个法向量为(,,)n x y z =， 则点B 到平面α距离为1222|||3|2||BA n x d n x y z ⋅===++，①点C 到平面α距离为1222|||3|2||CA n y d n x y z⋅===++，②由①②可得5||||,||||2y x z x ==， 所以D 到平面α的距离为22253|||||3|253||||2x AD n z n x y z x ⋅===++. 故答案为:5.【点睛】本题考查点到平面的距离，利用空间直角坐标系解题时，正确建立空间坐标系是关键，属于较难题.四、解答题（4道小题，每小题满分10分）15．（2020·安徽高三其他（理））如图1，在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AB AD ⊥，2AD CD AB ==，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，若沿着EF 折叠使得2AD AE =如图2所示，连结BC ．（1）求证：平面CDEF ⊥平面ABFE ； （2）求二面角C -BF -D 的余弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）2121. 【解析】 【分析】（1）本小题先根据勾股定理判断线线垂直，再证明线面垂直，最后证明面面垂直.（2）本小题根据题意建立空间直角坐标系，再求二面角两个面的法向量，最后根据夹角公式求解即可. 【详解】 （1）E ，F 分别为AD ，BC 的中点，////EF AB CD ∴AB AD ⊥．EF AE ∴⊥，EF DE ⊥2AD =，AE DE =∴222AE DE AD +=DE EF ∴⊥DE ∴⊥平面ABFE DE ⊂平面CDEF∴平面CDEF ⊥平面ABFE ．（2）由（1）知，AE ，DE ，EF 两两垂直， 如图建立空间直角坐标系，令1AE =则()0,0,1D ，()1,0,0A ，()1,1,0B ，30,,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()0.2,1C ．()1,1,1DB =-，30,,12DF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，11,,02FB ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，10,,12FC ⎛⎫= ⎪⎝⎭设平面BDF 的法向量为(),,m x y z =，则0m DB m DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即0320x y z y z +-=⎧⎨-=⎩，令2y =，则3z =，1x =，∴平面BDF 的一个法向量为()1,2,3m =． 设平面BCF 的法向量为(),,n x y z =，则0n FB n FC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2020x y y z -=⎧⎨+=⎩，令1z =-，则2y =，1x =，∴平面BCF 的一个法向量为()1,2,1n =-． ∴221cos ,21146m n m n m n⋅===⋅⋅ ∵二面角C BF D --为锐二面角设为θ， ∴21cos 21θ=． 【点睛】本题考查通过线线垂直证明面面垂直和借空间向量求二面角的余弦值，是较难题.16．（2020·湖南月考）已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，且60ABC ∠=︒，PA ⊥平面ABCD ，E 、M 分别是BC 、PD 上的中点，直线EM 与平面PAD 所成角的正弦值为155，点F 在PC 上移动. （1）证明：无论点F 在PC 上如何移动，平面AEF ⊥平面PAD ； （2）若点F 为PC 的中点，求二面角C AF E --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）155. 【解析】 【分析】（1）本小题先证明ABC 是正三角形，从而证明AE AD ⊥，再证明PA AE ⊥，接着证明AE ⊥平面PAD ，最后平面AEF ⊥平面PAD .（2）本小题先建立空间直角坐标系，再明确AME ∠就是直线EM 与平面PAD 所成的角，求得2AM =、2AP =，并标点，接着求平面AEF 的一个法向量()0,2,1n =-，平面ACF 的一个法向量()3,3,0BD =-，最后求出二面角C AF E --的余弦值为155. 【详解】（1）因为底面ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒，所以ABC 是正三角形， 又E 是BC 的中点，所以AE BC ⊥，又//AD BC ，所以AE AD ⊥. 因为PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，所以PA AE ⊥， 又PA AD A ⋂=，所以AE ⊥平面PAD ， 又AE ⊂平面AEF ，所以平面AEF ⊥平面PAD .（2）由（1）得，AE ，AD ，AP 两两垂直，以AE ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图.因为AEF ⊥平面PAD .，所以AME ∠就是直线EM 与平面PAD 所成的角， 在Rt AME △中，由15sin AME ∠=6tan AE AME AM ∠==， 由已知2AB =，则3AE =2AM =所以222PD AM AD AP ==+，即()222222AP =+， 从而2AP =，则()0,0,0A ，()3,1,0B -，()3,1,0C ，()0,2,0D ，()002P ,,，()3,0,0E ，31,,122⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭F ， 所以()3,0,0AE =，31,,122⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭AF ， 设(),,n x y z =是平面AEF 的一个法向量，则30,310.22n AE x n AF x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩取1z =，得()0,2,1n =-.又BD ⊥平面ACF ，∴()3,3,0=-BD 是平面ACF 的一个法向量， 所以()()03231015cos ,5523n BDn BD n BD ⨯-+-⨯+⨯⋅===-⨯， 由图可知C AF E --为锐二面角，所以二面角C AF E --的余弦值为155. 【点睛】 本题考查利用线面垂直证明面面垂直，利用空间向量求二面角的余弦值，是偏难题.17．（2020·甘肃城关·兰州一中高三三模（理））已知，图中直棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，其中124AA AC BD ===.又点,,,E F P Q 分别在棱1111,,,AA BB CC DD 上运动，且满足：BF DQ =，1CP BF DQ AE -=-=.（1）求证：,,,E F P Q 四点共面，并证明EF ∥平面PQB .（2）是否存在点P 使得二面角B PQ E --的余弦值为55？如果存在，求出CP 的长；如果不存在，请说明理由.【答案】（1）见解析（2）不存在点P 使之成立.见解析【解析】【分析】(1) 在线段,CP DQ 上分别取点,M N ,使得1QN PM ==,进而得到MN PQ 与EF MN 即可.(2) 以O 为原点,分别以,OA OB ,及过O 且与1AA 平行的直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系,再求解平面BPQ 的法向量与平面EFPQ 的法向量,再设BF a =,[]1,3a ∈,再根据二面角的计算方法分析是否存在[]1,3a ∈5即可. 【详解】解：（1）证法1：在线段,CP DQ 上分别取点,M N ,使得1QN PM ==,易知四边形MNQP 是平行四边形,所以MN PQ ,联结,,FM MN NE , 则AE ND =,且AE ND所以四边形ADNE 为矩形,故AD NE ,同理,FM BC AD且NE MF AD ==,故四边形FMNE 是平行四边形,所以EFMN ,所以EF PQ 故,,,E F P Q 四点共面又EF PQ ,EF ⊄平面BPQ ,PQ ⊂平面BPQ ,所以EF 平面PQB .证法2：因为直棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形,∴AC BD ⊥,1AA ⊥底面ABCD ,设,AC BD 交点为O ,以O 为原点,分别以,OA OB ,及过O 且与1AA 平行的直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系.则有()2,0,0A ,()0,1,0B ,()2,0,0C -,()0,1,0D -,设BF a =,[]1,3a ∈,则()2,0,1E a -,()0,1,F a ,()2,0,1P a -+,()0,1,Q a -,()2,1,1EF =-,()2,1,1QP =-,所以EF PQ ,故,,,E F P Q 四点共面.又EF PQ ,EF ⊄平面BPQ ,PQ ⊂平面BPQ ,所以EF 平面PQB .（2）平面EFPQ 中向量()2,1,1EF =-,()2,1,1EQ =--,设平面EFPQ 的一个法向量为()111,,x y z ,则1111112020x y z x y z -++=⎧⎨--+=⎩,可得其一个法向量为()11,0,2n =. 平面BPQ 中,()2,1,1BP a =--+,()0,2,BQ a =-,设平面BPQ 的一个法向量为()222,,n x y z =,则()2222221020x y a z y az ⎧--++=⎨-+=⎩,所以取其一个法向量()22,2,4n a a =+. 若()1212225cos ,5216n n n n a a ⋅==⋅+++则()2210548a a a +=++, 即有24230a a --=,[]1,3a ∈,解得[]2321,3a =±,故不存在点P 使之成立.【点睛】本题主要考查了根据线线平行证明共面的方法,同时也考查了建立空间直角坐标系确定是否存在满足条件的点的问题.需要根据题意建立合适直角坐标系,再利用空间向量求解二面角的方法,分析是否有参数满足条件等.属于难题.18．（2020·全国高三其他（理））某人设计了一个工作台，如图所示，工作台的下半部分是个正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，其底面边长为4，高为1，工作台的上半部分是一个底面半径为2的圆柱体的四分之一．（1）当圆弧E2F2（包括端点）上的点P与B1的最短距离为2时，证明：DB1⊥平面D2EF．（2）若D1D2＝3．当点P在圆弧E2E2（包括端点）上移动时，求二面角P﹣A1C1﹣B1的正切值的取值范围．【答案】（1）见解析，（2）32623[,]27+-- 【解析】【分析】 （1）以D 为原点，以2,,DA DC DD 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系D xyz -，可得1120,0DB EF DB ED ⋅=⋅=，从而可证DB 1⊥平面D 2EF ； （2）设(,,4)P a b ，则222,0,0a b a b +=≥≥，所以[2,2]a b +∈，求出平面11PA C 的法向量4(1,1,)3a b n --=，而平面111A B C 的一个法向量(0,0,1)m =，设二面角111P AC B --的大小为θ，则先求出cos θ，从而可得32tan 4a b θ=+-，再由[2,2]a b +∈可得tan θ的范围. 【详解】（1）证明：作PH ⊥平面1111D C B A 于H ，则H 在圆弧EF 上，因为2211PB PH HB =+，所以当1HB 取最小值时，1PB 最小，由圆的对称性可知，1HB 的最小值为42232-=，所以221142PH PB HB =-=如图，以D 为原点，以2,,DA DC DD 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系D xyz -，则21(0,0,0),(0,0,142),(2,0,1),2,1),(4,4,1)D D E F B +，12(4,4,1),(2,2,0),(2,0,42)DB EF ED ==-=-,因为112424200,420420DB EF DB ED ⋅=-++=⋅=-+=，所以112,DB EF DB ED ⊥⊥,因为EF ⊂平面2D EF ，2ED ⊂平面2D EF ，2ED EF E =, 所以DB 1⊥平面D 2EF ，（2）解：若D 1D 2＝3，由（1）知()()()1114,0,1,0,4,1,4,4,1A C B ,设(,,4)P a b ，因为222,0,0a b a b +=≥≥， 设2,2,[0,]2a b πθθθ==∈ 所以2sin()[2,2]4a b πθ+=+∈，111(4,4,0),(4,,3)AC A P a b =-=-，设平面11PA C 的法向量为111(,,)n x y z =，则11111111440(4)30n AC x y n A P a x by z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩， 令11x =，则4(1,1,)3a b n --=， 取平面111A B C 的一个法向量(0,0,1)m =，设二面角111P AC B --的大小为θ，θ显然是钝角， 则243cos cos ,42()3a b m n m n a b m n θ+-⋅=-=-=+-+， 220,sin 0,sin 1co 242()s 3a b θπθθθ≤≤∴>+-+=-=则3tan []427a b θ=∈--+-，所以二面角111P AC B --的正切值的取值范围为3[]27--， 【点睛】此题考查了利用空间向量证明线面垂直，求二面角，考查了空间想象能力和推理计算能力，属于较难题.。
空间向量知识点归纳总结归纳
空间向量知识点归纳总结知识要点。
1.空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。
（2）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。
2.空间向量的运算。
定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。
OB OA AB a b =+=+u u u r u u u r u u u r v r ;BA OA OB a b =-=-u u u r u u u r u u u r r r ;()OP a R λλ=∈u u u r r运算律：⑴加法交换律：a b b a ϖϖϖρ+=+⑵加法结合律：)()(c b a c b a ϖϖϖϖρϖ++=++⑶数乘分配律：b a b a ϖϖϖϖλλλ+=+)( 3.共线向量。
（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a ρ平行于b ρ，记作b a ρϖ//。
当我们说向量a ρ、b ρ共线（或a ρ//b ρ）时，表示a ρ、b ρ的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线。
（2）共线向量定理：空间任意两个向量a ρ、b ρ（b ρ≠0ρ），a ρ//b ρ存在实数λ，使a ρ＝λb ρ。
4.共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。
说明：空间任意的两向量都是共面的。
（2）共面向量定理：如果两个向量,a b r r 不共线，p r与向量,a b r r 共面的条件是存在实数,x y 使p xa yb =+r r r。
5.空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c r r r 不共面，那么对空间任一向量p r，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++r r r r。
若三向量,,a b c r r r不共面，我们把{,,}a b c r r r 叫做空间的一个基底，,,a b c r r r 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。
2021空间向量综合讲义(最新最全)
空间向量综合讲义1、空间向量基本知识2、空间向量求夹角（直线与直线、直线与平面、平面与平面）3、空间向量证明三点共线（共面）4、空间向量求点到平面的距离5、空间向量证明垂直、平行6、向量解决探索性问题一、空间向量基本知识一、空间向量及其加减运算1.空间向量在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模.空间向量也可用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，若向量a 的起点是A ，终点是B ，则向量a 也可以记作AB ，其模记为a 或AB .2.零向量与单位向量规定长度为0的向量叫做零向量，记作0.当有向线段的起点A 与终点B 重合时，0AB =.模为1的向量称为单位向量.3.相等向量与相反向量方向相同且模相等的向量称为相等向量.在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量.空间任意两个向量都可以平移到同一个平面，成为同一平面内的两个向量.与向量a 长度相等而方向相反的向量，称为a 的相反向量，记为a -. 4.空间向量的加法和减法运算（1）OC OA OB a b =+=+，BA OA OB a b =-=-.如图8-152所示.（2）空间向量的加法运算满足交换律及结合律 a b b a +=+，()()a b c a b c ++=++二、空间向量的数乘运算1．数乘运算实数λ与空间向量a 的乘积a λ称为向量的数乘运算.当0λ>时，a λ与向量a 方向相同；当0λ<时，向量a λ与向量a 方向相反. a λ的长度是a 的长度的λ倍.2.空间向量的数乘运算满足分配律及结合律()a b a b λλλ+=+，()()a a λμλμ=.3.共线向量与平行向量如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，a 平行于b ，记作//a b .4.共线向量定理对空间中任意两个向量a ，b ()0b ≠，//a b 的充要条件是存在实数λ，使a b λ=. 5.直线的方向向量如图8-153所示，l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a 的直线.对空间任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，使OP OA ta =+①，其中向量a 叫做直线l 的方向向量，在l 上取AB a =，则式①可化为()()1OP OA t AB OA t OB OA t OA tOB =+=+-=-+②①和②都称为空间直线的向量表达式，当12t =，即点P 是线段AB 的中点时，()12OP OA OB =+，此式叫做线段AB 的中点公式. 6.共面向量如图8-154所示，已知平面α与向量a ，作OA a =，如果直线OA 平行于平面α或在平面α内，则说明向量a 平行于平面α.平行于同一平面的向量，叫做共面向量.7.共面向量定理如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(),x y ，使p xa yb =+.图 8-154推论：（1）空间一点P 位于平面ABC 内的充要条件是存在有序实数对(),x y ，使AP xAB yAC =+；或对空间任意一点O ，有OP OA xAB yAC -=+，该式称为空间平面ABC 的向量表达式.（2）已知空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，满足向量关系式OP xOA yOB zOC =++（其中1x y z ++=）的点P 与点A ，B ，C 共面；反之也成立. 三、空间向量的数量积运算 1.两向量夹角已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA a =，OB b =，则AOB ∠叫做向量a ，b 的夹角，记作,a b ，通常规定0,a b π≤≤，如果,2a b π=，那么向量a ，b 互相垂直，记作a b ⊥.2.数量积定义已知两个非零向量a ，b ，则cos ,a b a b 叫做a ，b 的数量积，记作a b ⋅，即cos ,a b a b a b ⋅=.零向量与任何向量的数量积为0，特别地，2a a a ⋅=.3.空间向量的数量积满足的运算律： ()()a b a b λλ⋅=⋅，a b b a ⋅=⋅（交换律）； ()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅（分配律）. 四、空间向量的坐标运算及应用（1）设()123,,a a a a =，()123,,b b b b =，则()112233,,a b a b a b a b +=+++；()112233,,a b a b a b a b -=---；()123,,a a a a λλλλ=； 112233a b a b a b a b ⋅=++；()112233//0,,a b b a b a b a b λλλ≠⇒===； 1122330a b a b a b a b ⊥⇒++=.（2）设()111,,A x y z ，()222,,B x y z ，则()212121,,AB OB OA x x y y z z =-=---.这就是说，一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示该向量的有向线段的终点的坐标减起点的坐标. （3）两个向量的夹角及两点间的距离公式. ①已知()123,,a a a a =，()123,,b b b b =，则221a a a ==+2222123b b b b b ==++；112233a b a b a b a b ⋅=++； 112233222222123123cos ,a b a b a b a b a a a b b b ++=++++；②已知()111,,A x y z ，()222,,B x y z ，则()()()222121212AB x x y y z z =-+-+-,或者(),d A B AB =.其中(),d A B 表示A 与B 两点间的距离，这就是空间两点的距离公式.（4）向量a 在向量b 上的射影为cos ,a b a a b b⋅=.（5）设()0n n ≠是平面M 的一个法向量，AB ，CD 是M 内的两条相交直线，则0n AB ⋅=，由此可求出一个法向量n （向量AB 及CD 已知）.（6）利用空间向量证明线面平行：设n 是平面的一个法向量，l 为直线l 的方向向量，证明0l n ⋅=，（如图8-155所示）.已知直线l （l α⊄），平面α的法向量n ，若0l n ⋅=，则//l α.（7）利用空间向量证明两条异面直线垂直：在两条异面直线中各取一个方向向量a ，b ，只要证明a b ⊥，即0a b ⋅=.（8）利用空间向量证明线面垂直：即证平面的一个法向量与直线的方向向量共线.（9）证明面面平行、面面垂直，最终都要转化为证明法向量互相平行、法向量互相垂直.（10）空间角公式.①异面直线所成角公式：设a ，b 分别为异面直线1l ，2l 上的方向向量，θ为异面直线所成角的大小，则cos cos ,a b a b a bθ⋅==.②线面角公式：设l 为平面α的斜线，a 为l 的方向向量，n 为平面α的法向量，θ为图 8-155l 与α所成角的大小，则sin cos ,a n a n a nθ⋅==.③二面角公式：设1n ，2n 分别为平面α，β的法向量，二面角的大小为θ，则12,n n θ=或12,n n π-（需要根据具体情况判断相等或互补），其中1212cos n n n n θ⋅=.（11）点A 到平面α的距离为d ，B α∈，n 为平面α的法向量，则AB n d n⋅=.空间向量及其运算思路提示空间向量的运算包括空间向量的加法、减法、数乘、数量积的几何意义及坐标运算，可以类比平面向量的运算法则.一、空间向量的加法、减法、数乘运算例8.41 如图8-156所示，已知空间四边形OABC ，点,M N 分别为OA ，BC 的中点，且OA a =，OB b =，OC c =，用a ，b ，c 表示MN ，则MN = .变式1 如图8-157所示，已知空间四边形OABC ，其对角线为OB ，AC ，M 和N 分别是对边OA 和BC 的中点，点G 在线段MN 上，且2MG GN =，现用基向量OA ，OB ，OC 表示向量OG ，设OG xOA yOB zOC =++，则,,x y z 的值分别是（ ）.A 111,,333x y z ===.B 111,,336x y z ===.C111,,363x y z ===.D 111,,633x y z ===变式2 如图8-158所示，在四面体O ABC -中，OA a =，OB b =，OC c =，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE = （用a ，b ，c 表示）.变式 3 在空间四边形ABCD 中，连接对角线,AC BD ，若BCD ∆是正三角形，且E 为其重心，则1322AB BC DE AD +--的化简结果为 .变式 4 如图8-159所示，在平行六面体1111ABCD A BC D -中，M 为11AC 与11B D 的交点，若AB a =，AD b =，1AA c =，则下列向量中与BM 相等的向量是（ ）.A 1122a b c -++ .B 1122a b c ++.C 1122a b c --+ .D 1122a b c -+二、空间共线向量定理的应用空间共线向量定理：()//0a b b a b λ≠⇔=. 利用此定理可解决立体几何中的平行问题.例8.42 已知3240m a b c =--≠，()182n x a b yc =+++，且,,a b c 不共面，若//m n ，求,x y 的值.二、空间向量的数量积运算121212cos ,a b a b a b x x y y z z ⋅==++；求模长时，可根据221a a x ==+求空间向量夹角时，可先求其余弦值cos ,a b a b a b⋅=.要判断空间两向量垂直时，可以求两向量的数量积是否为0，即0a b a b ⋅=⇔⊥.,a b 为锐角0a b ⇒⋅>；,a b 为钝角0a b ⇒⋅<.由此，通常通过计算a b ⋅的值来判断两向量夹角是锐角还是钝角.例8.43 已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点,E F 分别是,BC AD 的中点，AE ⋅AF 的值为（ ）..A 2a.B 21.2B a 21.4C a 2D变式1 如图8-161所示，已知平行六面体1111ABCD A BC D -中，1160A AD A AB DAB ∠=∠=∠=︒，且11A A AB AD ===，则1AC = .变式2 如图8-162所示，设,,,A B C D 是空间不共面的4个点，且满足0AB AC ⋅=，0AD AC ⋅=，0AD AB ⋅=，则BCD ∆的形状是（ ）..A 钝角三角形 .B 直角三角形 .C 锐角三角形 .D 无法确定例8.44 如图8-163所示，在45︒的二面角l αβ--的棱上有两点,A B ，点,C D 分别在,αβ内，且AC AB ⊥，45ABD ∠=︒，1AC BD AB ===，则CD 的长度为 .变式1 已知二面角l αβ--为60︒，动点,P Q 分别在面,αβ内，P 到βQ 到α的距离为,P Q 两点之间距离的最小值为（ ）..2BC .4D变式2 在直角坐标系中，设()3,2A ，()2,3B --，沿y 轴把坐标平面折成120︒的二面角后，AB 的长为（ ）.BCD例8.45 如图8-164所示，设动点P 在棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -的对角线1BD 上，记11D PD Bλ=.当APC ∠为钝角时，求λ的取值范围.变式1 已知正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1，点P 在线段1BD 上，当APC ∠最大时，三棱锥P ABC -的体积为（ ）.1.24A 1.18B 1.9C 1.12D例8.46 如图8-166所示，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为正三角形，底面ABCD 为正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，M 为底面ABCD 内的一个动点，且满足MP MC =，则点M 在正方形ABCD 内的轨迹为（ ）.变式1 到两互相垂直的异面直线距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是（ ）..A 直线 .B 椭圆 .C 抛物线 .D 双曲线变式2 空间点到平面的距离定义如下：过空间一点作平面的垂线，这个点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离，已知平面α，β，γ两两互相垂直，点A α∈，点A 到β，γ的距离都是3，点P 是α上的动点，满足P 到β的距离是点P 到点A 距离的2倍，则点P 的轨迹上的点到γ的距离的最小值是（ ）..3A .3B - .6C D1.(2017·黄冈模拟)已知向量a ＝(2m ＋1，3，m －1)，b ＝(2，m ，－m )，且a ∥b ，则实数m 的值等于( ) A.32B.－2C.0D.32或－2解析 ∵a ∥b ，∴2m ＋12＝3m ＝m －1－m，解得m ＝－2.答案 B2.(2017·海南模拟)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为棱AA 1和BB 1的中点，则sin 〈CM →，D 1N →〉的值为( ) A.19B.459C.259D.23解析 如图，设正方体棱长为2，则易得CM →＝(2，－2，1)，D 1N →＝(2，2，－1)，∴cos 〈CM →，D 1N →〉＝CM →·D 1N →|CM →||D 1N →|＝－19，∴sin 〈CM →，D 1N →〉＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－192＝459. 答案 B3.空间四边形ABCD 的各边和对角线均相等，E 是BC 的中点，那么( ) A.AE→·BC →＜AE →·CD → B.AE→·BC →＝AE →·CD → C.AE→·BC →＞AE →·CD → D.AE→·BC →与AE →·CD →的大小不能比较 解析 取BD 的中点F ，连接EF ，则EF 綉12CD ，因为〈AE →，EF →〉＝〈AE →，CD →〉＞90°，因为AE →·BC →＝0，∴AE →·CD →＜0，所以AE →·BC →＞AE →·CD →. 答案 C4.已知向量a ＝(1，1，0)，b ＝(－1，0，2)，且k a ＋b 与2a －b 互相垂直，则k 的值是( ) A.－1B.43C.53D.75解析 由题意得，k a ＋b ＝(k －1，k ，2)，2a －b ＝(3，2，－2).所以(k a ＋b )·(2a －b )＝3(k －1)＋2k －2×2＝5k －7＝0，解得k ＝75. 答案 D5.已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则AE→·AF →的值为( )A.a 2B.12a 2C.14a 2D.34a 2解析 如图，设AB→＝a ，AC →＝b ，AD →＝c ，则|a |＝|b |＝|c |＝a ，且a ，b ，c 三向量两两夹角为60°. AE →＝12(a ＋b )，AF →＝12c ， ∴AE→·AF →＝12(a ＋b )·12c ＝14(a ·c ＋b ·c )＝14(a 2cos 60°＋a 2cos 60°)＝14a 2. 答案 C 二、填空题6.已知2a ＋b ＝(0，－5，10)，c ＝(1，－2，－2)，a ·c ＝4，|b |＝12，则以b ，c 为方向向量的两直线的夹角为________.解析 由题意得，(2a ＋b )·c ＝0＋10－20＝－10. 即2a ·c ＋b·c ＝－10，又∵a·c ＝4，∴b·c ＝－18， ∴cos 〈b ，c 〉＝b·c|b |·|c |＝－1812×1＋4＋4＝－12，∴〈b ，c 〉＝120°，∴两直线的夹角为60°. 答案 60°7.正四面体ABCD 的棱长为2，E ，F 分别为BC ，AD 中点，则EF 的长为________. 解析 |EF→|2＝(EC →＋CD →＋DF →)2＝EC→2＋CD →2＋DF →2＋2(EC →·CD →＋EC →·DF →＋CD →·DF →) ＝12＋22＋12＋2(1×2×cos 120°＋0＋2×1×cos 120°) ＝2，∴|EF →|＝2，∴EF 的长为 2. 答案28.(2017·南昌调研)已知空间四边形OABC ，其对角线为OB ，AC ，M ，N 分别是OA ，BC 的中点，点G 在线段MN 上，且MG→＝2GN →，现用基底{OA →，OB →，OC →}表示向量OG →，有OG →＝xOA →＋yOB→＋zOC →，则x ，y ，z 的值分别为________.解析 ∵OG →＝OM →＋MG →＝12OA →＋23MN →＝12OA →＋23(ON →－OM →)＝12OA →＋23⎣⎢⎡⎦⎥⎤12（OB →＋OC →）－12OA →＝16OA →＋13OB →＋13OC →， ∴x ＝16，y ＝13，z ＝13. 答案 16，13，13 三、解答题9.已知空间中三点A (－2，0，2)，B (－1，1，2)，C (－3，0，4)，设a ＝AB →，b ＝AC →.(1)若|c |＝3，且c ∥BC→，求向量c .(2)求向量a 与向量b 的夹角的余弦值.解 (1)∵c ∥BC→，BC →＝(－3，0，4)－(－1，1，2)＝(－2，－1，2)，∴c ＝mBC→＝m (－2，－1，2)＝(－2m ，－m ，2m )，∴|c |＝（－2m ）2＋（－m ）2＋（2m ）2＝3|m |＝3， ∴m ＝±1.∴c ＝(－2，－1，2)或(2，1，－2).(2)∵a ＝(1，1，0)，b ＝(－1，0，2)，∴a·b ＝(1，1，0)·(－1，0，2)＝－1， 又∵|a |＝12＋12＋02＝2，|b |＝（－1）2＋02＋22＝5， ∴cos 〈a ，b 〉＝a·b|a |·|b |＝－110＝－1010，即向量a 与向量b 的夹角的余弦值为－1010.10.如图，在棱长为a 的正方体OABC －O 1A 1B 1C 1中，E ，F 分别是棱AB ，BC 上的动点，且AE ＝BF ＝x ，其中0≤x ≤a ，以O 为原点建立空间直角坐标系Oxyz .(1)写出点E ，F 的坐标； (2)求证：A 1F ⊥C 1E ；(3)若A 1，E ，F ，C 1四点共面，求证：A 1F →＝12A 1C 1→＋A 1E →. (1)解 E (a ，x ，0)，F (a －x ，a ，0). (2)证明 ∵A 1(a ，0，a )，C 1(0，a ，a )， ∴A 1F →＝(－x ，a ，－a )，C 1E →＝(a ，x －a ，－a )， ∴A 1F →·C 1E →＝－ax ＋a (x －a )＋a 2＝0， ∴A 1F →⊥C 1E →，∴A 1F ⊥C 1E .(3)证明 ∵A 1，E ，F ，C 1四点共面， ∴A 1E →，A 1C 1→，A 1F →共面.选A 1E →与A 1C 1→为在平面A 1C 1E 上的一组基向量，则存在唯一实数对(λ1，λ2)，使A 1F →＝λ1A 1C 1→＋λ2A 1E →，即(－x ，a ，－a )＝λ1(－a ，a ，0)＋λ2(0，x ，－a ) ＝(－aλ1，a λ1＋xλ2，－aλ2)，∴⎩⎨⎧－x ＝－aλ1，a ＝aλ1＋xλ2，－a ＝－aλ2，解得λ1＝12，λ2＝1.于是A 1F →＝12A 1C 1→＋A 1E →.11.在空间四边形ABCD 中，AB →·CD →＋AC →·DB →＋AD →·BC →＝( ) A.－1B.0C.1D.不确定解析 如图，令AB→＝a ，AC →＝b ，AD →＝c ，则AB →·CD →＋AC →·DB →＋AD →·BC →＝a ·(c －b )＋b ·(a －c )＋c ·(b －a ) ＝a ·c －a ·b ＋b ·a －b ·c ＋c ·b －c ·a ＝0. 答案 B12.若{a ，b ，c }是空间的一个基底，且向量p ＝x a ＋y b ＋z c ，则(x ，y ，z )叫向量p 在基底{a ，b ，c }下的坐标.已知{a ，b ，c }是空间的一个基底，{a ＋b ，a －b ，c }是空间的另一个基底，一向量p 在基底{a ，b ，c }下的坐标为(4，2，3)，则向量p 在基底{a ＋b ，a －b ，c }下的坐标是( ) A.(4，0，3) B.(3，1，3) C.(1，2，3)D.(2，1，3)解析 设p 在基底{a ＋b ，a －b ，c }下的坐标为x ，y ，z .则 p ＝x (a ＋b )＋y (a －b )＋z c ＝(x ＋y )a ＋(x －y )b ＋z c ，① 因为p 在{a ，b ，c }下的坐标为(4，2，3)， ∴p ＝4a ＋2b ＋3c ，②由①②得⎩⎨⎧x ＋y ＝4，x －y ＝2，z ＝3，∴⎩⎨⎧x ＝3，y ＝1，z ＝3，即p 在{a ＋b ，a －b ，c }下的坐标为(3，1，3). 答案 B13.(2017·郑州调研)已知O 点为空间直角坐标系的原点，向量OA→＝(1，2，3)，OB →＝(2，1，2)，OP →＝(1，1，2)，且点Q 在直线OP 上运动，当QA →·QB →取得最小值时，OQ →的坐标是__________.解析 ∵点Q 在直线OP 上，∴设点Q (λ，λ，2λ)， 则QA→＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，QB →＝(2－λ，1－λ，2－2λ)， QA →·QB →＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(3－2λ)(2－2λ)＝6λ2－16λ＋10＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－432－23.即当λ＝43时，QA→·QB →取得最小值－23.此时OQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，83. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，83二、利用空间向量求夹角两异面直线所成角的求法(1)定义法：过空间中任一点，分别作两异面直线的平行线，则这两条相交直线所成的锐角或直角等于两异面直一、求直线与直线的夹角线所成的角．定义法求解的实质就是将空间中两异面直线所成的角转化为平面三角形的内角进行求解．(2)向量法：设异面直线a ，b 的方向向量分别为a ，b ，则异面直线a ，b 所成角的余弦值等于|cos 〈a ，b 〉|.(1)异面直线所成角的求法从两异面直线上分别取与之共线的两向量n 1，n 2，如图①，cos θ＝例1：在长方体1111ABCD A BC D -中，12AB BC AA ==，则直线1AC 与1B C 所成角的余弦值为 ．【解析】在长方体1111ABCD A BC D -中，12AB BC AA ==，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，设122AB BC AA ===，则(2,0,0)A ，1(0,2,1)C ，1(2,2,1)B ，(0,2,0)C ，1(2,2,1)AC =-，1(2,0,1)BC =--．|n 1·n 2||n 1|·|n 2|设直线1AC 与1B C 所成角为θ，则1111||35cos 5||||95AC B C AC B C θ⋅===⋅⋅，直线1AC 与1B C 所成角的余弦值为55． 2、已知直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，∠ABC ＝120°，AB ＝2，BC ＝CC 1＝1，则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为________．【解析】 如图，在平面ABC 内过点B 作BD ⊥AB ，交AC 于点D ，则∠CBD ＝30°.因为BB 1⊥平面ABC ，故以B 为坐标原点，分别以射线BD ，BA ，BB 1为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴建立空间直角坐标系， 则B (0，0，0)，A (0，2，0)，B 1(0，0，1)，C 1(cos 30°，－sin 30°，1)，即C 1⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，1.所以AB 1→＝(0，－2，1)，BC 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，1.所以cos 〈AB 1→，BC 1→〉＝AB 1→·BC 1→|AB 1→||BC 1→|＝0×32＋（－2）×⎝⎛⎭⎫－12＋1×10＋（－2）2＋12× ⎝⎛⎭⎫322＋⎝⎛⎭⎫－122＋12＝105.所以异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为105. 14.如图所示，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于1，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，CD 的中点，计算： (1)EF→·BA →；(2)EG 的长； (3)异面直线AG 与CE 所成角的余弦值. 解 设AB→＝a ，AC →＝b ，AD →＝c .则|a |＝|b |＝|c |＝1，〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°， (1)EF→＝12BD →＝12c －12a ，BA →＝－a ，DC →＝b －c ， EF →·BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12c －12a ·(－a )＝12a 2－12a·c ＝14，(2)EG →＝EB →＋BC →＋CG →＝12a ＋b －a ＋12c －12b ＝－12a ＋12b ＋12c ，|EG→|2＝14a 2＋14b 2＋14c 2－12a·b ＋12b·c －12c·a ＝12， 则|EG→|＝22.(3)AG→＝12b ＋12c ，CE →＝CA →＋AE →＝－b ＋12a ， cos 〈AG →，CE →〉＝AG →·CE →|AG →||CE →|＝－23，由于异面直线所成角的范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2，所以异面直线AG 与CE 所成角的余弦值为23.向量法求直线和平面所成的角设θ为直线l 与平面α所成的角，φ为直线l 的方向向量v 与平面α的法向量n 之间的夹角，则有φ＝π2－θ(如图1)或φ＝π2＋θ(如图2)，所以有sin θ＝|cos φ|＝|cos 〈v ，n 〉|＝|v ·n ||v ||n |.特别地，φ＝0时，θ＝π2，l ⊥α；φ＝π2时，θ＝0，l ⊂α或l ∥α.(2)线面角的求法设n 是平面α的法向量，AB→是直线l 的方向向量，如图②，则直线l 与平面α所成的角满二、求直线与平面的夹角足sin θ＝|AB →·n ||AB →|·|n |例2：正三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长相等，则1AC 与平面11BB C C 的夹角的余弦值为 ． 【答案】104【解析】设11AB BB ==，以B 为原点，建立空间直角坐标系坐标系如图，则1(0,1,1)C ，31,,022A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，131,,122AC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，又平面11BB C C 的一个法向量(1,0,0)=n ，设1AC 与平面11BB C C 的夹角为θ， 则111||6sin |cos ,|4||||AC AC AC θ⋅=<>==⋅n n n ，故210cos 1sin 4θθ=-=． 2、(2018·高考全国卷Ⅰ)如图，四边形ABCD 为正方形，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，以DF 为折痕把△DFC 折起，使点C 到达点P 的位置，且PF ⊥BF .(1)证明：平面PEF ⊥平面ABFD ； (2)求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值．【解】 (1)证明：由已知可得，BF ⊥PF ，BF ⊥EF ，所以BF ⊥平面PEF . 又BF ⊂平面ABFD ， 所以平面PEF ⊥平面ABFD .(2)作PH ⊥EF ，垂足为H .由(1)得，PH ⊥平面ABFD .以H 为坐标原点，HF →的方向为y 轴正方向，|BF →|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系H xyz .由(1)可得，DE ⊥PE .又DP ＝2，DE ＝1，所以PE＝ 3.又PF ＝1，EF ＝2，故PE ⊥PF .可得PH ＝32，EH ＝32. 则H (0，0，0)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，32，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－32，0，DP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，32，HP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，32为平面ABFD 的法向量．设DP 与平面ABFD 所成角为θ，则sin θ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪HP →·DP →|HP →||DP →|＝343＝34. 所以DP 与平面ABFD 所成角的正弦值为34.向量法求二面角设二面角αl β的平面角为θ(0≤θ≤π)，n 1，n 2分别为平面α，β的法向量，向量n 1，n 2的夹角为ω，则有θ＋ω＝π(如图1)或θ＝ω(如图2)，其中cos ω＝n 1·n 2|n 1||n 2|.三、求平面与平面的夹角① 如图①，AB 、CD 分别是二面角α－l －β的两个面内与l 垂直的异面直线，则二面角α－l －β的平面角θ满足cos θ＝AB CD AB CD••② ②设n 1，n 2分别是二面角α－l －β的两个面α，β的法向量，在图②中二面角α－l －β的平面角θ满足cos θ＝1212n n n n •-•③ ③在图③中二面角α－l －β的平面角θ满足cos θ＝1212n n n n ••2求直线与平面所成角的方法（１）先作出该角，再利用求角余弦公式来求。
空间向量知识点归纳总结（经典）
空间向量知识点归纳总结（经典）空间向量与⽴体⼏何知识点归纳总结⼀.知识要点。
1.空间向量的概念：在空间，我们把具有⼤⼩和⽅向的量叫做向量。
注：（1）向量⼀般⽤有向线段表⽰+同向等长的有向线段表⽰同⼀或相等的向量（2）向量具有平移不变性2.空间向量的运算。
定义：与平⾯向量运算⼀样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）运算律：⑴加法交换律：abba⑵加法结合律：（a b） c a （b c）⑶数乘分配律：（a b） a b运算法则：三⾓形法则、平⾏四边形法则、平⾏六⾯体法则3.共线向量。
（1）如果表⽰空间向量的有向线段所在的直线平⾏或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平⾏向量，a平⾏于b，记作a // b。
（2）共线向量定理：空间任意两个向量a、b （b⼯0 ）, a//b存在实数⼊使a = 7b （3）三点共线：A、B、C三点共线<=>AB AC-------------------- 9- 4 *<=> OC xOA yOB（其中（ y 1）- a（4）与a共线的单位向量为4.共⾯向量（1）定义：⼀般地，能平移到同⼀平⾯内的向量叫做共⾯向量。
说明：空间任意的两向量都是共⾯的。
（2）共⾯向量定理：如果两个向量a,b不共线，p与向量a,b共⾯的条件是存在实数r r rx, y 使p xa yb。
------ ------------- ---- p- ------- *■（3）四点共⾯：若A、B、c、P四点共⾯<=>AP xAB yAC--------- --------------------- ----------------------- ?-------------------<=>OP xOA yOB zOC（其中x y z 1） r r r r5.空间向量基本定理：如果三个向量a,b,c不共⾯，那么对空间任⼀向量p，存r r ,r rMBgo UBAvbraMBmA uOA JmB ⼭ora rb ra在⼀个唯⼀的有序实数组x, y, z，使p xa yb zc。
1.5 专题研究 空间向量应用的综合问题
∴－ 23＝－|cos〈n1，n2〉|＝－|n|n11·||nn22| |＝－
6 （t－1）2＋（3－t）2＋4·
， 6
∴t＝1 或 3，∴B2P＝1.
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探究1
(1)在建立空标系，这样才会容易求得解题时需要的坐标.
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∴以点 O 为坐标原点，OC，OH，OE 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴，建 立空间直角坐标系.
∵AB＝1，BE＝2， ∴A(－1，1，0)，B(－1，0，0)，C(1，0，0)，G(2，0， 3)，
则nn11· ·PA→→A2C2＝2＝0，0，∴2－x12＋x1（ －12－y1＋t）2zz11＝＝00.，
不妨设 z1＝2，则 x1＝t－1，y1＝3－t，∴n1＝(t－1，3－t，2). 设平面 A2C2D2 的法向量为 n2＝(x2，y2，z2)，
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则nn22· ·AA→→22CD22＝＝00，，∴－－22xy22－＋2z2y＝2＋0.2z2＝0，
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(2)求图 2 中的二面角 B－CG－A 的大小.
【解析】 (2)如图，分别取 BC，AC 的中点为 O，H，连接 OE，OH，则 OH∥AB， ∴OH⊥BC.
∵四边形 BFGC 为菱形，且∠FBC＝60°， ∴OE⊥BC. 又∵AB⊥平面 BCGE，OE⊂平面 BCGE， ∴AB⊥OE. ∵BC⊂平面 ABC，AB⊂平面 ABC，AB∩BC＝B， ∴OE⊥平面 ABC，
∴A→C＝(2，4，0)，A→P＝(0，0，2)，D→E＝(2，－1，0).
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∵A→C·D→E＝2×2＋4×(－1)＋0×0＝0，A→P·D→E＝0×2＋0×(－1)＋2×0＝
高中数学(理)空间向量知识点归纳总结及综合练习
空间向量知识点归纳总结知识要点。
1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。
（2）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。
2. 空间向量的运算。
3. 共线向量。
（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a 平行于b ，记作b a//。
（2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b 存在实数λ，使a＝λb 。
4. 共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。
说明：空间任意的两向量都是共面的。
（2）共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的条件是存在实数,x y 使p xa yb =+。
5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++。
若三向量,,a b c 不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。
推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数,,x y z ，使OP xOA yOB zOC =++。
6. 空间向量的直角坐标系：（1）空间直角坐标系中的坐标：（2）空间向量的直角坐标运算律：①若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =，则112233(,,)a b a b a b a b +=+++，112233(,,)a b a b a b a b -=---，123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈， 112233a b a b a b a b ⋅=++， 112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ⇔===∈， 1122330a b a b a b a b ⊥⇔++=。
空间向量的知识点归纳的总结(经典)
空间向量与立体几何知识点归纳总结一．知识要点。
1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
注：（1同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。
（2）向量具有平移不变性2. 空间向量的运算。
定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。
OB OA AB a b =+=+;BA OA OB a b =-=-;()OP a R λλ=∈运算律：⑴加法交换律：a b b a +=+⑵加法结合律：)()(c b a c b a++=++⑶数乘分配律：b a b aλλλ+=+)(运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则 3. 共线向量。
（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a平行于b ，记作b a //。
（2）共线向量定理：空间任意两个向量a、b（b ≠0 ），a //b 存在实数λ，使a ＝λb 。
（3）三点共线：A 、B 、C 三点共线<=>λ=<=>)1(=++=y x OB y OA x OC 其中（4）与a共线的单位向量为±4. 共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。
说明：空间任意的两向量都是共面的。
（2）共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的条件是存在实数,x y 使p xa yb =+。
（3）四点共面：若A 、B 、C 、P 四点共面<=>AC y AB x AP +=<=>)1(=++++=z y x OC z OB y OA x OP 其中5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++。
若三向量,,a b c 不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。
空间向量知识点归纳总结经典
适用标准文案空间向量与立体几何知识点概括总结一．知识重点。
1.空间向量的观点：在空间，我们把拥有大小和方向的量叫做向量。
注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。
（2）向量拥有平移不变性2.空间向量的运算。
定义：与平面向量运算同样，空间向量的加法、减法与数乘运算以下（如图）。
OB OA AB a b ;BAOA OB a b ;OPa(R)运算律：⑴加法互换律：a b b a⑵加法联合律： (a b)c a(b c)⑶数乘分派律： (a b)a b运算法例：三角形法例、平行四边形法例、平行六面体法例3.共线向量。
（1）假如表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量， a 平行于b，记作a // b。
（2）共线向量定理：空间随意两个向量 a 、b（b≠0）， a // b 存在实数λ，使a ＝λ b 。
（3）三点共线： A、B、C三点共线 <=> AB AC<=>OC xOA yOB(此中x y 1)a（4）与a共线的单位向量为a4.共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。
说明：空间随意的两向量都是共面的。
（2）共面向量定理：假如两个向量a, b 不共线，p与向量 a, b 共面的条件是存在实数x, y 使 p xa yb 。
（3）四点共面：若A、B、C、P 四点共面 <=> AP xAB y AC出色文档适用标准文案5.空间向量基本定理：假如三个向量 a, b, c 不共面，那么对空间任一直量p，存在一个独一的有序实数组 x, y, z ，使p xa yb zc 。
若三向量 ab,,c不共面，我们把{ a, b, c}叫做空间的一个基底，a, b, c叫做基向量，空间随意三个不共面的向量都能够组成空间的一个基底。
推论：设 O, A, B,C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在独一的三个有序实数x, y, z ，使OP xOA yOB zOC 。
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1. （2010龙岩质检）已知四棱锥P—ABCD的直观图（如图1）
及左视图（如图2），底面ABCD是边长为2的正方形，平面PAB⊥平面ABCD，PA＝PB。
（Ⅰ）求证：AD⊥PB；
（Ⅱ）求异面直线PD与AB所成角的余弦值；
（Ⅲ）求平面PAB与平面PCD所成锐二面角
的大小2.如图所示的几何体中，PB⊥面,
ABC//
PQ AB，1
PQ PB
==，1
2
AB BC
==，o
90
ABC
∠=，,
M PB N PC
∈∈。
（I）求QC与面ABC所成的正弦值；
（II）若QC⊥面AMN，求线段MN的长度
3.已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠ABC＝90°，P A⊥
平面ABCD，AB＝BC＝2AD，若平面PCD与平面P AB
所成二面角的余弦值为
6
3，求
P A
AD的值．
4.如图，已知四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PG⊥平面ABCD，
垂足为G，G在AD上，且AG＝
1
3GD，BG⊥GC，GB＝GC＝2，E是BC的中点，
四面体P－BCG的体积为
8
3.(1)求异面直线GE与PC所成的角的余弦值；
(2)求点D到平面PBG的距离；
(3)若F点是棱PC上一点，且DF⊥GC，求
PF
FC的值．
1.
（Ⅱ）过O 作AD 的平行线为x 轴，OB 、OP 分别为y 、z 轴，建立空间直角坐标系，则
3.解：以点A 为坐标原点，以直线AB ，AD ，AP 分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设AD ＝1，P A ＝a ，则P (0,0，a )，D (0,1,0)，∴＝(0,1，－a )，设平面PCD 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则
·m ＝y －
za ＝0，
·m ＝2x ＋y ＝0，不妨设z ＝2，则y ＝2a ，x ＝－a ，即m ＝(－a,2a,2)．
∵P A ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，∴AD ⊥P A ， 又∵AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，∴AD ⊥AB ，又P A ∩AB ＝A ， ∴AD ⊥平面P AB ，故AD 是平面P AB 的一个法向量，且
＝(0,1,0)，
∴＝
2a 4＋5a 2
，
又∵平面PCD 与平面P AB 所成二面角的余弦值为
63，∴2a 4＋5a
2＝63，解得
a ＝2，∴P A AD ＝2. 2.
4.解析： (1)由已知V P －BGC ＝13S △BCG ·PG ＝13·12BG ·CG ·PG ＝8
3
，∴PG ＝4，
如图所示，以G 点为原点建立空间直角坐标系O －xyz ， 则B (2,0,0)，C (0,2,0)，P (0,0,4)，
故E (1,1,0)，GE →＝(1,1,0)，PC →
＝(0,2，－4)，
cos 〈GE →，PC →〉＝GE →·PC →
|G E →|·|P C →|
＝22×20
＝1010，∴异面直线GE 与PC 所成的角的余弦值为1010
. (2)平面PBG 的单位法向量n 0＝(0，±1,0)， ∵GD →＝34A D →＝34BC →
，B (2,0,0)，C (0,2,0)
∴GD →＝()
－32，32，0，∴点D 到平面PBG 的距离为|GD →·n 0|＝32
.
(3)设F (0，y ，z )，则DF →＝OF →－OD →＝(0，y ，z )－()－32，32，0＝()
32，y －3
2，z ，GC →＝(0,2,0)． ∵DF →⊥GC →，∴DF →·GC →＝0，∴()32，y －32，z ·(0,2,0)＝2()
y －32＝0，
∴y ＝32
.
在平面PGC 内过F 点作FM ⊥GC ，M 为垂足，
则GM ＝32，MC ＝1
2
，
∴
PF FC ＝GM MC
＝3.
2.
4.解析： (1)由已知V P －BGC ＝13S △BCG ·PG ＝13·12BG ·CG ·PG ＝8
3
，∴PG ＝4，
如图所示，以G 点为原点建立空间直角坐标系O －xyz ， 则B (2,0,0)，C (0,2,0)，P (0,0,4)，
故E (1,1,0)，GE →＝(1,1,0)，PC →
＝(0,2，－4)，
cos 〈GE →，PC →〉＝GE →·PC →
|G E →|·|P C →|
＝22×20
＝1010，∴异面直线GE 与PC 所成的角的余弦值为1010
. (2)平面PBG 的单位法向量n 0＝(0，±1,0)， ∵GD →＝34A D →＝34BC →
，B (2,0,0)，C (0,2,0)
∴GD →＝()
－32，32，0，∴点D 到平面PBG 的距离为|GD →·n 0|＝32
.
(3)设F (0，y ，z )，则DF →＝OF →－OD →＝(0，y ，z )－()－32，32，0＝()
32，y －3
2，z ，GC →＝(0,2,0)． ∵DF →⊥GC →，∴DF →·GC →＝0，∴()32，y －32，z ·(0,2,0)＝2()
y －32＝0，
∴y ＝32
.
在平面PGC 内过F 点作FM ⊥GC ，M 为垂足，
则GM ＝32，MC ＝1
2
，
∴
PF FC ＝GM MC ＝3. 1.
（Ⅱ）过O 作AD 的平行线为x 轴，
OB 、OP 分别为y 、z 轴，建立空间直角坐标系，则
3.解：以点A 为坐标原点，以直线AB ，AD ，AP 分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设AD ＝1，P A ＝a ，则P (0,0，a )，D (0,1,0)，∴＝(0,1，－a )，设平面PCD 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则
·m ＝y －
za ＝0，
·m ＝2x ＋y ＝0，不妨设z ＝2，则y ＝2a ，x ＝－a ，即m ＝(－a,2a,2)．
∵P A ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，∴AD ⊥P A ， 又∵AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，∴AD ⊥AB ，又P A ∩AB ＝A ， ∴AD ⊥平面P AB ，故AD 是平面P AB 的一个法向量，且
＝(0,1,0)，
∴＝
2a 4＋5a 2
，
又∵平面PCD 与平面P AB 所成二面角的余弦值为
63，∴2a 4＋5a
2＝63，解得a
＝
2，∴P A AD ＝2.。