江苏省2009届高三数学第一轮复习训练——填空题(一)
09年高考数学卷江苏含详解
【答案】0.2
【解析】略
6.某校甲、乙两个班级各有 5 名编号为 1，2，3，4，5 的学生进行投篮练习，每人投 10 次，
投中的次数如下表：
学生
甲班
乙班
1号
6
6
则以上两组数据的方差中较小的一个为 s2 ★ .
【答案】
【解析】略
2 5
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
7.右图是一个算法的流程图，最后输出的W ★ .
参考公式：
样本数据 x1, x2 ,, xn 的方差 s2
1 n
n
i1
( xi
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分。请把答案填写在答题卡相应的位置
上.
1.若复数 z1 4 29i, z2 6 9i ，其中 i 是虚数单位，则复数 (z1 z2 )i 的实部为★. 【答案】 20
3号
7
6
f
(m)
4号
8
7
f
5号 7 9
开始
S 0 T 1 S T2 S
S 10
Y
W S T 输出W
结束
(n) ，则 m, n 的大小
T T 2
N
关系为 ★ .
【答案】 m n
【解析】略
11.已知集合 A x | log2 x 2， B (, a) ，若 A B 则实数 a 的取值范围是
【解析】略
2.已知向量 a 和向量 b 的夹角为 30 ，| a | 2,| b | 3 ，则向量 a 和向量 b 的数量积
aAb ★ .
【答案】3
【解析】 aAb 2 3 3 3。 2
3.函数 f (x) x3 15x2 33x 6 的单调减区间为 ★ . 【答案】 (1,11)
2009年高三一轮复习题及答案
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。
1．已知关于x的不等式250axx a-<-的解集为M,若5M∉,则实数a的取值范围是2．对于任意[]21,1,()(4)24k f x x k x k∈-=+--+函数的值恒大于零，则x的取值范围是 .4．已知函数2()f x x x=-，若2(1)(2)f m f--<，则实数m的取值范围是．5．若两个函数的图象经过若干次平依后能够重合，则称这两个函数为“同形”函数．给出下列四个函数：①()1sin cos,f x x x=+②()2f x x=，③()3s i nf x x=，④()4(s i n c o s),f x x x=+其中“同形”函数有．6．函数)23(log221+-=xxy的增区间是．7．已知命题P：“对x∀∈R，∃m∈R，使1420x x m+-+=”，若命题P是真命题，则实数m的取值范围是 .8．向量a = (1,2)，b = (x,1)，c = a + b，d = a - b，若c//d，则实数x的值等于．9设奇函数()f x满足：对x R∀∈有(1)()0f x f x++=，则(5)f=．10．已知区间3[,]4M m m=+，1[,]3N n n=-且M，N都是区间[0,1]的子集．若b a-把叫做区间[,]a b的“长度”，则M N的“长度”的最小值是．11．在ABC∆中,角A,B,C所对的边分别是,,a b c，若22b c+2a=,且ab=, 则∠C= ．12．已知O为ABC∆所在平面内一点，满足22OA BC+=22OB CA+=22OC AB+，则点O是ABC∆的心13．若()f n为21n+*()n N∈的各位数字之和，如2141197+=，19717++=，则(14)17f=，记1()()f n f n=，21()(())f n f f n=，…，1()(())k kf n f f n+=，*k N∈，则2008(8)f= . 14．直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点，如果函数f (x)的图象恰好通过k个格点，则称函数f (x)为k阶格点函数.下列函数：①xxf sin)(=；②3)1()(2+-=xxfπ；③xx f )31()(=；④.log )(6.0x x f =其中是一阶格点函数的有 （填上所有满足题意的序号）．二、解答题：本大题共6小题，共90分。
江苏省2009届高三数学填空题专项练习10份2009.3
江苏省2009届高三数学填空题专项练习一1．函数f (x )=2log (2)x -的单调递减区间是 ． 2．已知集合{}{}20,,|30,A m B n n n n Z ==-<∈，若A B ≠∅，则m 的值为 ．3. 复数(1)(12)z i i =-+的实部是 ．4．已知命题：“[1,2]x ∃∈，使x 2+2x +a ≥0”为真命题，则a 的取值范围是 ．5．若直线6x π=是函数sin cos y a x b x =+图像的一条对称轴，则直线0ax by c ++=的倾斜角为 ．6．今年“3·15”，某报社做了一次关于“手机垃圾短信”的调查，在A 、B 、C 、D 四个单位回收的问卷数依次成等差数列，共回收1000份，因报道需要，再从回收的问卷中按单位分层抽取容量为150的样本，若在B 单位抽30份，则在D 单位抽取的问卷是 份． 7．在可行域内任取一点，规则如流程图所示，则能输出数对 （x ，y ）的概率是 .8．给出下列四个结论：①若A 、B 、C 、D 是平面内四点，则必有AC BD BC AD +=+；②“0a b >>”是“222a bab +<”的充要条件； ③如果函数f (x )对任意的x R ∈都满足f (x )=-f (2+x )，则函数f (x )是周期函数；④已知S n 是等差数列{a n }(n ∈N ＋)的前n 项和，且S 6>S 7>S 5，则S 12>0；其中正确结论的序号是 ．（填上所有正确结论的序号）．9．有一道解三角形的题目，因纸张破损有一个条件模糊不清，具体如下：“在△ABC中，已知4a B π==， .求角A.”经推断，破损处的条件为三角形一边的长度，且答案提示6A π=.试在横线上将条件补充完整.10．已知a ，b 是非零向量，且,a b 的夹角为3π，则向量||||a b p a b =+的模为 ． 11．一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示，则该三棱锥的外接球的表面积为 ．12．若f (x )是R 上的增函数，且f (-1)=-4,f (2)=2，设(){}(){}|2,|4P x f x t Q x f x =+<<-＝， 342 俯视图主视图左视图若x P x Q ∈∈“”是“”的充分不必要条件，则实数t 的取值范围是 ． 13．已知函数()f x 的定义域为[)2,-+∞，部分对应值如下表，()'f x 为()f x 的导函数，函数()'y f x =的图像如图所示．若两正数,a b 满足()21f a b +<，则33b a ++的取值范围是 ． 14．数列a n {}满足：1112,1(2,3,4,)n n aa n a -==-=，则4a = ；若a n {}有一个形如sin()n a A n B ωϕ=++的通项公式，其中A , B , ω,ϕ均为实数，且0A >，0ω>，2πϕ<，则此通项公式可以为n a = （写出一个即可）.1、（－∞，2）；2、1或2 ；3、3 ；4、 a ≥-8 ；5、120°；6、60 ；7、8π；8、①③④ 9、b =；10、；11、29π；12、（3，＋∞）；13、37,53⎛⎫⎪⎝⎭；14、2，()2311sin[]332n k a n ππ+=-+（k ∈N ）（注意：答案不唯一，如写成21)332sin(3+-=ππn a n 即可）x -2 0 4 f (x )1-11江苏省2009届高三数学填空题专项练习二1．复数z=12i+,则|z|= ． 2．已知函数()()223f x x m x =+++是偶函数，则=m ． 3则这堆苹果中，质量小于克的苹果数约占苹果总数的 ％． 4．若点（1,1）到直线x cosα+y sinα＝2的距离为d ，则d 的最大值是 ．5．函数f (x )=2x 3－6x 2＋7的单调减区间是 ．6．若函数)10(log )(<<=a x x f a 在区间[,2]a a 上的最大值是最小值的3倍，则a = 7．在约束条件：x +2y ≤5,2x +y ≤4,x ≥0,y ≥0下，z =3x +4y 的最大值是 ． 8．若cos 2π2sin 4αα=-⎛⎫- ⎪⎝⎭cos sin αα+的值为 ． 9．设等差数列{}n a 的公差d 不为0，19a d =．若k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k = ．10．已知中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线为mx －y =0，若m 在集合｛1，2，3，4，5，6，7，8，9｝中任意取一个值，使得双曲线的离心率大于3的概率是 ．11．已知函数22(1),00,0(1),0x x y x x x ⎧->⎪==⎨⎪+<⎩，右图是计算函数值y 的流程图，在空白框中应该填上 ． 12．在直角坐标系xOy 中，,i j 分别是与x 轴，y 轴平行的单位向量，若直角三角形ABC 中，A B i j =+，2AC i m j =+，则实数m = ．13．已知两圆0822:,024102:222221=-+++=-+-+y x y x C y x y x C ，则以两圆公共弦为直径的圆的方程是 .14．已知m 、n 是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列命题： ①若m ∥β，n ∥β，m 、n ⊂α，则α∥β；②若α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝m，n⊂γ，则m⊥n；③若m⊥α，α⊥β，m∥n，则n∥β；④若n∥α，n∥β，α∩β＝m，那么m∥n；其中所有正确命题的序号是．12．－2 3．30 4．2＋ 2 5．[0，2] 67．11 8．129．410．7911．x=0 12．0或－2 13．5)1()2(22=-++yx14．②④1、幂函数()f x 的图象经过点，则()f x 的解析式是__．2、一个物体的运动方程为21y t t =-+其中y 的单位是：m ，t 的单位是：s ，那么物体在3s 末的瞬时速度是 m/s ．3、命题“存在x ∈Z 使x 2+2x +m ≤0”的否定是 ．4、设,a b R ∈，集合{1,,}{0,,}ba b a b a+=，则b a -= ． 5、2)2(lg 50lg 2lg 25lg ++= ． 6、设f(x)是奇函数，且当x>0时，f(x)=1x,则当x<0时，f(x)= ． 7、曲线e x y =在点2(2e )，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 .8、若1,0a b ><,且bba a-+=则b b a a --的值等于 ．9、已知函数()f x 是偶函数，并且对于定义域内任意的x ，满足()()12f x f x +=-， 若当23x <<时，()f x x =，则)5.2007(f =__________ ______． 10、函数2cos y x x =+在区间[0,]2π上的最大值是 ．11、已知f (x)=(x –a )(x –b )–2（其中a ＜b )，且α、β是方程f (x )=0的两根（α＜β)，则实数a 、b 、α、β的大小关系为 ．1、21x ； 2、5； 3、任意x ∈Z ，都有x 2+2x +m>0； 4、2； 5、2； 6、f (x )=1x； 7、122e ； 8、2-； 9、52-； 10、36+π； 11、βα<<<b a ；1．对于命题p ：R x ∈∃，使得x 2+ x +1 < 0．则p ⌝为：_________． 2．复数13i z =+，21i z =-，则复数12z z 在复平面内对应的点位于第_______象限． 3．“1x >”是“2x x >”的 条件．4．一个靶子上有10个同心圆，半径依次为1、2、……、10，击中由内至外的区域的成绩依次为10、9、……、1环，则不考虑技术因素，射击一次,在有成绩的情况下成绩为10环的概率为 .5．设x 、y 满足条件310x y y x y +⎧⎪-⎨⎪⎩≤≤≥，则22(1)z x y =++的最小值 ．6．如果执行下面的程序框图，那么输出的S =7．△ABC 中，︒=∠==30,1,3B AC AB ，则△ABC 的面积等于_________．8．给出下列命题：①变量 y 与x 之间的相关系数0.9568r =-，查表到相关系数的临界值为0.050.8016r =，则变量 y与x 之间具有线性关系；② 0,0a b >>则不等式3323a b ab +≥恒成立；③ 对于函数()22.f x x mx n =++若()()0.0,f a f b >>则函数在(),a b 内至多有一个零点； ④ ()2y f x =-与()2y f x =-的图象关于2x =对称． 其中所有正确命题的序号是__________．9．若∆ABC 内切圆半径为r ，三边长为a 、b 、c ，则∆ABC 的面积S ＝12r (a +b +c ) 类比到空间，若四面体内切球半径为R ，四个面的面积为S 1、S 2 、S 3 、S 4，则四面体的体积V ＝ ．10．0≠=，且关于x 的函数f(x)=x x ⋅++2331在R 上有极值，则与的夹角范围为_______．11．已知数列{}n a 为等差数列，且17134a a a π++=，则212tan()a a +=________． 12．函数2()ln(1)f x x x=+-的零点所在的区间是（n ,n ＋1），则正整数n =______． 13．四棱锥P ABCD -的顶点P 在底面ABCD 中的投影恰好是A ，其三视图如图：则四棱锥P ABCD -的表面积为 ．俯视图左视图主视图14．已知点P 是抛物线24y x =上的动点，点P 在y 轴上的射影是M ，点A 的坐标是（4，a ），则当||a >4时，||||PA PM +的最小值是 ．1． R x ∈∀，均有x 2+ x +1≥0 2．第一象限 3．充分而不必要条件 4． 0.01 5． 4 6． 2550 7． 4323或 8．①④ 9． 13 R(S 1＋S 2＋S 3＋S 4) 10． ],3(ππ，11．12．1 13．222S a = 14．1江苏省2009届高三数学填空题专项练习五1. 已知复数121,2z i z i =-=+，那么12z z ⋅的值是 ．2. 集合{}22,A x x x R =-≤∈，{}2|,12B y y x x ==--≤≤，则()R C AB = .3. 函数x y 2sin =向量平移后，所得函数的解析式是12cos +=x y ，则模最小的一个向量a = .4. 甲、乙两名射击运动员参加某大型运动会的预选赛，他们分别射击了5次，成绩如下表（单位：环）如果甲、乙两人中只有1人入选，则入选的最佳人选应是 . 5. 曲线在53123+-=x x y 在1=x 处的切线的方程为 . 6. 已知实数x ，y 满足22,052y x y x +=++那么的最小值为 . 7. 如图,是棱长为2的正四面体的左视图,则其主视图的面积为 .8. 设数列{}n a 的首项127,5a a =-=，且满足22()n n a a n N ++=+∈，则135a a a a++++= .9. 已知tan()3πα-=则22sin cos 3cos 2sin αααα=- .10.阅读下列程序: Read S ←1For I from 1 to 5 step 2 S ←S+I Print S End for End输出的结果是 .11. 设函数()()f x g x 、在R 上可导，且导函数''()()f x g x >，则当a x b <<时，下列不等式:(1)()()f x g x > (2)()()f x g x <(3)()()()()f x g b g x f b +<+ (4) ()()()()f x g a g x f a +>+ 正确的有 .12. 已知抛物线的顶点在原点,焦点在x 轴的正半轴上,F 为焦点,,,A B C 为抛物线上的三点,且满足0FA FB FC ++=,FA +FB +6FC =,则抛物线的方程为 .13. 已知实数x y 、满足221x y +≤，则|||1||24|x y y y x ++++--的取值范围是 . 14. 已知（0x ，0y ）是直线21x y k +=-与圆22223x y k k +=+-的交点，则00x y 的取值范围 为 .1.3i -2.(,0)(0,)-∞+∞ 3.(,1)4π-4.甲5.33160x y +-=1262,5,10 11.(3),(4)12.24y x = 13.5⎡⎤⎣⎦14.17⎡-+⎣江苏省2009届高三数学填空题专项练习六1、函数)1(log 12)(2---=x x x f 的定义域为 。
江苏省宿迁市2009届高三数学模拟试卷(一)2009.5.13
江苏省宿迁市2009届高三数学模拟试卷（一）（2009年5月13日）必做题部分一、填空题: 本大题共14小题，每小题5分，合计70分. 请把答案直接填写在答题纸相应位置上. 1．已知集合{|3,},{1,2,3,4}A x x x R B =>∈=，则()R A B =ð .2．已知复数1(1)az i =+-，若复数z 为纯虚数，则实数a 的值为 . 3．已知角α的终边经过点(2,1)P --，则cos()3πα+的值为 .4．已知数据a ，4，2，5，3的平均数为b ，其中a ，b 是方程2430x x -+=的两个根，则这组数据的标准差是 . 5．已知函数()f x 是以5为周期的奇函数，且(3)2f -=，则(2)f -= . 6．以下程序运行后结果是__________. 1i ← 8While i <2233i i S i i i ←+←⨯+←+End While Pr int S7．如图，一个正四面体的展开图是边长为ABC ，则该四面体的外接球 的表面积为 .8．已知||1,(1,==-a b，||+=a b ，则a 与b 的夹角为 .9．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11=a ，且3231=++n n S a （n 为正整数）则数列{}n a 的通项公式为 .10．命题：“存在实数x ，满足不等式2(1)10m x mx m +-+-≤”是假命题，则实数m 的取值范围是 .11．已知直线20ax by --=(,)a b R ∈与曲线3y x =过点(1,1)的切线垂直，则ba= . 12．如果椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上存在一点P ，使得点P 到左准线的距离等于它到右焦点的距离的两倍，那么椭圆的离心率的取值范围为 .（第7题）13．定义在D 上的函数)(x f ，如果满足对任意D x ∈，存在常数0M >，都有()M f x M -≤≤成立，则称()f x 是D 上的有界函数，其中M 称为函数()f x 的上界．若函数()124x x f x a =+⋅+在(,0]-∞上是以3为上界的有界函数，则实数a 的取值范围为 .14．已知数列}{n a 的通项公式是12-=n n a ，数列}{n b 的通项公式是31n b n =-，令集合},,,,{21 n a a a A =，},,,,{21 n b b b B =，*N n ∈．将集合B A 中的元素按从小到大的顺序排列构成的数列记为}{n c ．则数列}{n c 的前45项的和45S = .二、解答题: 本大题共6小题, 15-17每题14分，18-20每题16分，共计90分. 请在答题纸指定的区域内作答, 解答时应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. 15．已知四边形ABCD 的外接圆的半径R 为２，对角线AC的长为.（１）求角D 的大小；（２）求四边形ABCD 面积的最大值.16．某工厂生产甲，乙两种产品，已知生产甲产品１吨，需矿石3吨，煤１吨，生产乙产品１吨，需矿石１吨，煤３吨．工厂在生产这两种产品的计划中，要求消耗矿石不超过6吨，煤不超过10吨. （１）求甲产品生产的吨数不小于乙产品生产的吨数的概率；（２）当甲，乙两种产品生产的吨数均为整数时，求甲产品生产的吨数不小于乙产品生产的吨数的概率；17．如图，已知四棱锥P ABCD -的底面是菱形，60BCD ︒∠=，点E 是BC 边的中点，AC DE 与交于点O ，PO ABCD ⊥平面. （1）求证：PD BC ⊥；（2）在线段AP 上是否存在一点F ，使得BF ∥平面PDE ？若存在，求四棱锥F ABED -与四棱锥P ABCD -的体积之比；若不存在，试说明理由.ＡＢＥＣＤＰ Ｏ18.如图，ABC ∆的三个顶点坐标分别为(6,0)(2,0)(0,6)A B C -、、，D E 、分别是高CO 的两个三等分点，过D 作直线FG ∥AC ，分别交AB 和BC 于G F 、，连接EF ．（Ⅰ）求过E 、G 、F 三点的圆M 的方程；（Ⅱ）在线段AC 上是否存在点H ，使得过点H 存在和圆M 相切的直线，并且若过点H 存在两条切线时，则点H 和两切点,P Q 组成的90PHQ ∠≥？若存在，求出H 点对应轨迹的长度；若不存在，试说明理由.19．已知直角∆ABC 的三边长a b c ,,满足a ≤b ＜c ．（1）对于给定的正整数n 和正数c ，在a b ,之间插入1n -个数，使这1n +个数构成以a 为首项的等差数列{}n a ，求121n S a a a +=+++的最大值；（2）求证：若a b c ,,成等比数列，则a b c ,,中最多有一个是整数；（3）已知a b c ,,均为正整数，且a b c ,,成等差数列，将满足条件的三角形的面积从小到大排成一列，记第n 个为n b ，且123(1)n n n T b b b b =-+-++-，求满足不等式||32n n T >⋅的所有n 的值.20．如图，,A B 是函数2x y e =的图像上两点，分别过,A B 作x 轴的平行线与函数x y e =的图像交于,C D 两点.（１）求点A 与原点O 连成直线的斜率取值范围；（２）若直线AB 过原点O ，求证直线CD 也过原点O ；（３）当直线BC 与y 轴平行时，设B 点的横坐标为x ，四边形ABDC 的面积为()f x ，若方程2()30x f x e -=在区间[],1t t +上有实数解，求整数t 的值.21[选做题] 在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做2域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤. A.选修4—1：几何证明选讲如图，圆O 与圆1O 外切于点P ，一条外公切线分别切两圆于A B 、两点，AC 为圆O 的直径，T 为圆1O 上任一点，CT AC =.求证：CT 为圆1O 的切线，切点为T .B.选修4—2 矩阵与变换已知矩阵2003A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，点(1,1)M --，点(1,1)N . （1）求线段MN 在矩阵A 对应的变换作用下得到的线段M N ''的长度； （2）求矩阵A 的特征值与特征向量.C.选修4－4：坐标系与参数方程已知曲线C 的参数方程为2sin ,[0,2)cos x y ααπα=⎧∈⎨=⎩，曲线D 的极坐标方程为sin()4πρθ+=（1）将曲线C 的参数方程化为普通方程；（2）曲线C 与曲线D 有无公共点？试说明理由．D.选修4－5：不等式证明选讲 解不等式：|1||2|2x x --+≤22．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，通项公式为1n a n =，2211()2n nn S n f n S S n -=⎧=⎨-≥⎩， ，，（1）计算(1),(2),(3)f f f 的值；（2）比较()f n 与1的大小，并用数学归纳法证明你的结论.23．如图所示，某城市有南北街道和东西街道各1n +条，一邮递员从该城市西北角的邮局A 出发，送信到东南角B 地，要求所走路程最短. （1）求该邮递员途径C 地的概率()f n ； （2）求证：[]2122()3n f n +<<，（n ∈*N ）.ABC∙∙∙命题人：谢其宙 秦葆苓 魏良亚 葛卫国宿迁市2009届高三数学模拟试卷（一）参考答案及评分标准1．{1,2,3}； 2．2-；3．10；45．-2；6． 19；7．3π；8．23π；9．11()3n n a -=；10．m >；11．13或43 12．；13．[]5,1-；14．2627；15．解：（1）由2sin ACR D=，得sin 2AC D R ===，…………………………3分 又角D 为三角形的内角，所以3D π∠=或23D π∠=. ………………………………5分（2）若3D π∠= ，则23B π∠=. ……………………………………………6分设,,,AB a BC b CD c AD d ====，则有2222222cos 2cos a b ab B AC c d cd D AC ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩，即22221212a b ab c d cd ⎧++=⎪⎨+-=⎪⎩. ……………………………8分 又22222,2a b ab c d cd +≥+≥，所以有412ab cd ≤⎧⎨≤⎩，当且仅当2,a b c d ====10分11sin sin )22ABCD S ab B cd D ab cd =+=+≤ ………………………12分当23D π∠=时，3B π∠=同样可得ABCD S ≤，所以四边形ABCD 面积的最大值为……………………………………14分 16．解：设甲，乙两种产品各生产,x y 吨,由题意得3631000x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩ ………………………………3分（1）设甲产品生产的吨数不小于乙产品生产的吨数为事件A ，又甲产品生产的吨数不小于乙产品生产的吨数等价于x y ≥， 所以事件A 发生的概率()P A 为图中三角形OAD 的面积 与四边形OABC 的面积之比……………………5分由360y x x y =⎧⎨+-=⎩得32x y ==，于是相关点的坐标为(2,0)A ，(1,3)B ，10(0,)3C ，33(,)22D ， (8)OAD ∆面积为11332222S =⨯⨯=，四边形OABC 的面积21110142312233S =⨯⨯+⨯⨯=所以所求概率12392()14283S P A S ===………………………………10分（2）设甲，乙两种产品生产的吨数均为整数时，甲产品生产的吨数不小于乙产品生产的吨数为事件B ，则事件B 发生概率为含在OAD ∆内部与边界上的整数点与含在四边形OABC 内部与边界上的整数点的个数之比………………………………………………………………12分又含在四边形OABC 内部与边界上的整数点共有九个点， 含在OAD ∆内部与边界上的整数点共有四个点，所以所求概率4()9P B =． …………………………………………………14分 17．解：（1）在菱形ABCD 中，连接,DB 因为60BCD ︒∠=，故BCD ∆是等边三角形．因为E 是BC 边的中点，所以DE BC ⊥ ……………………………………２分由于PO ABCD ⊥平面，BC ABCD ⊂平面，所以PO BC ⊥，………………４分 而DEPO O =，所以BC ⊥平面PDE ，又由于PD ⊂平面PDE ，所以PD BC ⊥．………………６分 （2）在线段AP 上存在一点F ，使得BF ∥平面PDE ，……８分 取AD 中点M ,AP 中点F ,连接,MF BM ， 因为1,,2MD BE MD BC BE ==∥ 所以BM D E ∥又BM ⊄平面PDE ，D E ⊂平面PDE ，所以BM ∥平面PDE ， 同理可得MF ∥平面PDE又因为BM MF M =，所以平面FMB ∥平面PDEＡ ＢＥＣＤ ＰＯ FM因为BF ⊂平面BMF ，所以BF ∥平面PDE ：………12分因为F 为AP 中点,所以于是四棱锥F ABED -的高是四棱锥P ABCD -的高的一半， 又因为四棱锥F ABED -的底面积是四棱锥P ABCD -的底面积34， 所以四棱锥F ABED -与四棱锥P ABCD -的体积之比是38．………………14分 法二:事实上，过点B 作BG DE ∥交AC 于G ，过G 作GF OP ∥，交AP 于F ，连BF ， 因为BG DE ∥，BG ⊄平面PDE ，D E ⊂平面PDE ，所以BG ∥平面PDE ，因为GF OP ∥，GF ⊄平面PDE ，OP ⊂平面PDE ，所以GF ∥平面PDE ，…10分又因为BG GF G =，所以平面BGF ∥平面PDE因为BF ⊂平面BGF ，所以BF ∥平面PDE；…………12分 由（Ⅰ）知O 为等边BCD∆的中心，于是G 为等边ABD ∆ 的中心，所以AG GO OC ==，即G 为AO 中点，所以F 为 AP 中点，于是四棱锥F ABED -的高是四棱锥P ABCD -的高的一半，又因为四棱锥F ABED -的底面积是四棱锥P ABCD -的底面积34，所以四棱锥F ABED - 与四棱锥P ABCD -的体积之比是38．……………14分 18．解（1）由已知，直线GF 方程为：2y x =+ 直线BC 方程为36y x =-+由236y x y x =+⎧⎨=-+⎩可得13x y =⎧⎨=⎩，即(1,3)F …2分又(0,4)E ，所以直线EF 与DF 的斜率之积1(1)1GF EF k k ⋅=⨯-=-，所以EF GF ⊥，所以过E G F 、、三点的圆M 的圆即以EG 为直径的圆…………4分 由(2,0),(0,4)G E -知：圆心为(1,2)M -，半径r 所以圆M 的方程为22(1)(2)5x y ++-=，即2240x y x y ++-= …………………………………6分（2）假设在线段AC 上存在满足条件的点H ，则点H 在圆M 上，或在圆M 外，当点在圆M 外时，过点H 存在两条切线，由点H 和两切点,P Q 组成的90PHQ ∠≥得，直角HPM ∆的一个锐角45PHM ∠≥，于是HM ，即HM ≤8分因为H 点线段AC ：6(60)y x x =+-≤≤上，所以可设H 点坐标为(,6)(60)x x x +-≤≤，所以由222(1)(62)10HM x x =+++-≤，得x ≤≤60x -≤≤，……………………………10分 所以线段AC 上存在点H 满足条件．Ａ ＢＥ Ｃ Ｄ Ｐ Ｏ GF线段AC x ≤的点(,)x y 对应线段长为12H H =……………………………………12分 又因为圆心(1,2)M -到线AC 的距离为d ==所以直线AC 被圆M 截得的弦长为……………14分所以H …………………15分 19．解（1）{}n a 是等差数列，∴121n S a a a +=+++()(1)2a b n ++=……1分∵222a b c +=，解法一．设a b t +=，则圆222a b c +=的圆心(0,0)O 到直线0a b t +-=得距离c ≤，∴||t ，t ≤≤，但当且仅当a b ==时t =所以S 的最大值为1)S n c =+；…………………………………………4分 解法二．设cos ,sin ,(0)2a cbc πθθθ==<<，则a b +cos sin )4c c πθθθ++，∵02πθ<<，∴3444πππθ<+<，∴,,4242a b πππθθ+====时，S 取最大值1)2n c +； 解法三．因为222222()22()2a b a b ab a b c +=++≤+=，0a b +>，所以,a b +当且仅当a b ==等号成立，所以S 的最大值为1)S n c =+． （2）证：设公比为q 则2,b aq c aq ==由,,a b c 为直角三角形的三边长，知22224a a q a q +=，由于20a >，4210q q ∴--=， 2q =…………………………………6分 q ∴和2q 都是无理数，若,,a b c 中有两上或三个是整数，则b q a =，或cq b=，或2c q a =中至少有一个是有理数，与q ∴和2q 都是无理数矛盾，,,a b c ∴中至多有一个为正整数 ……………………………………………8分 （3）设,,a b c 的公差为()d d Z ∈，则222()(2)a a d a d ++=+3a d ∴=………9分∴三角形的三边长可设为3,4,5d d d ，面积21346()2d S d d d d Z =⨯⨯=∈26n b n ∴= 22222611234(1)n n T n ⎡⎤∴=⋅-⋅+-+--⎣⎦ ………………………10分 若n 为偶数则2222226[(12)(34)((1))]n T n n =-++-+++--+26(371121)33n n n =+++-=+ ………………………11分若n 为奇数，则22222226[(12)(43)(1)(2)]6n T n n n =-++--+----226(371123)633n n n n =+++--=-- ………………………………12分∴2||33n T n n =+，由||32nn S >，得 22nn n +>，即212nn n+> 令2()2nn nf n +=，则221(1)(1)(1)()22n nn n n nf n f n ++++++-=-2122n n n +-++= ………………………………………………13分当1,2n =时，(1)()0f n f n +-≥，即(3)(2)(1)f f f ≥> …………………14分 3n ≥时，(1)()0f n f n +-<，()f n 随n 的增大而减少 即()(1)(4)f n f n f <-<<又因为312(1)1,(2)1,(3)128f f f ==>=>， 20(4)116f =>，25(5)132f =<，所以5n >时，()(5)1f n f <<． ……………………………………16分 20．解：（1）设过原点O 且和函数2xy e =的图象 相切的切线的切点为00(,)P x y ，则：020x y e =，又22x y e '=，切线OP 的斜率0202x OP y k e x ==， 解002200122x x e e x x ==得，0222x OP k e e ==． 结合图象知，点A 与原点O 连成直线的斜率取值范围是(0)[2e -∞+∞，，）；………４分（2）由已知可设,,,A B C D 各点的坐标分别为11223142(,),(,),(,),(,)A x y B x y C x y D x y 则122212,,x x y e y e ==且3412,,x x y e y e ==∴312422,,x x x x e e e e ==∴13242,2,x x x x == ∵直线AB 过原点O ，∴2121y y x x =，∴212122y y x x =，于是2143y yx x =，即OC OD k k =， ∴直线CD 也过原点O ． ……………………………………8分 （3）当直线BC 与y 轴平行时，2314212,242x x x x x x x x ======，∴[]3142121()()()()2f x x x x x y y =-+--=233()(1)44x x x x x xe e e e -=-……………10分 于是方程2()30xf x e -=可化为3(1)302x x xx e e e --=，由于0x e >，且0x =不是该方程的解，所以原方程等价于210x e x--=，………11分令2()1x g x e x =--，则22()0x g x e x'=+>对一切(,0)(0,)x ∈-∞+∞成立，所以和()g x 在(,0)-∞和(0,)+∞都是增函数， …………………………………13分又因为2(1)30,(2)20g e g e =-<=->；321(3)0,(2)03g e g e ---=-<-=>， ………………………………………15分所以方程2()30xf x e -=有且只有两个实根，并且分别在区间[]1,2和[]3,2--上，所求整数t 的值为1和3-． …………………………………16分；附加题答案21A.选修4—1：几何证明选讲证明：设圆O 的半径为r ，圆1O 的半径为R （R r >）过点1O 作1O E AC ⊥，垂足为E ，则22221()()4O E AB R r R r Rr ==+--= ………………………………3分连接1O C ，则222222114(2)4OC O E CE Rr R r R r =+=+-=+ ………………5分 因为2222214CT AC r OT R === 所以22211OC CT OT =+，………………8分 所以三角形1OCT 为直角三角形， 1OT TC ⊥ ………………9分所以CT 为圆1O 的切线，切点为T …………………………………10分B.选修4—2 矩阵与变换 解(1)由30130414--⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，30130414⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，……………………………2分 所以(3,4),(3,4)M N ''--所以10M N ''== …………………………………4分 (2)3()(3)(4)004f λλλλλ-==--=- …………………………………6分 得矩阵A 特征值为123,4λλ==， …………………………………7分分别将123,4λλ==代入方程组(3)00,0(4)0,x y x y λλ-+=⎧⎨+-=⎩得矩阵A 属于特征值13λ=的特征向量为101α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，当属于特征值24λ=的特征向量为210α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦． …………………………10分C.选修4－4：坐标系与参数方程解：（1）由2sin ,[0,2)cos x y ααπα=⎧∈⎨=⎩得 21,[1,1]x y x +=∈- ----------4分 （2）由sin()4πρθ+=D 的普通方程为20x y ++=---6分2201x y x y ++=⎧⎨+=⎩得230x x --= -----------8分解得1[1,1]2x ±=∉- 故曲线C 与曲线D 无公共点 ----------10分 D.选修4－5：不等式证明选讲解：当1x ≥时，原不等式等价于(1)(2)2x x --+≤即32-≤--------2分所以1x ≥ ---------3分 当2x ≤-时，原不等式等价于(1)(2)2x x --++≤即32≤所以x ∈∅ ---------5分 当21x -≤≤时，原不等式等价于(1)(2)2x x ---+≤即32x ≥-所以312x -≤≤ ---------8分 由上可知原不等式的解集为3[,)2-+∞ ---------10分22解：（1）由已知213(1)122f S ==+=， 4111113(2)23412f S S =-=++=，62111119(3)345620f S S =-=+++=； …………………………3分 （2）由（Ⅰ）知(1)1,(2)1f f >>；下面用数学归纳法证明：当3n ≥时，()1f n <． …………………………………………4分 （１）由（Ⅰ）当3n =时，()1f n <；………………………………………5分 （２）假设(3)n k k =≥时，()1f n <，即 111()112f k k k k=+++<+，那么 11111(1)1222122f k k k k k k +=+++++++++ 11111111222122k k k k k k k⎛⎫=++++++- ⎪++++⎝⎭ 11111212222k k k k ⎛⎫⎛⎫<+-+- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭2(21)2(22)12(21)2(22)k k k k k k k k -+-+=++++11112(21)(22)k k k k =--<++，所以当1n k =+时，()1f n <也成立． ………………………………………8分 由（1）和（2）知，当3n ≥时，()1f n <． ……………………………………9分 所以当1n =，和2n =时，()1f n >；当3n ≥时，()1f n <．…………………10分23．解：（1）邮递员从该城市西北角的邮局A 到达东南角B 地，要求所走路程最短共有122n n C ++种不同的走法，其中途径C 地的走法有22n n C 种走法，所以邮递员途径C 地的概率[]2212222(1)!(2)!1()2(!)(22)!21nn n n C n n n f n C n n n ++++==⋅=++；………3分 （2）由2(1)(21)112()1212121n n f n n n n +++===++++，得[]212112()121n n f n n ++⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭，要证n ∈*N 时，[]2122()3n f n +<<，只要证n ∈*N 时，21121321n n +⎛⎫<+< ⎪+⎝⎭， ………………………4分因为n ∈*N 时，(21)n +∈*N ，且213n +≥，所以只要证n ∈*N ，且3n ≥时，1213nn ⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭． ………………………5分由于3n ≥时012012111112nn n n n nC C C C C n n n n ⎛⎫+=+++>+= ⎪⎝⎭，且 ………………………6分 012323111111nnn n n n nnC C C C C n n n n n ⎛⎫+=+++++ ⎪⎝⎭， 23(1)1(1)(2)1(1)21122!3!3!n n n n n n n n n n n ----⋅=+⋅+⋅++⋅， 21111(2)112122!3!!n n n n n n n n n n n n n n n n n----=+⋅⋅+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅⋅，1111111222!3!!122334(1)n n n <++++<++++⨯⨯⨯-，111111112133223341n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．………………9分所以[]2()3ng n <<成立，所以[]2122()3n f n +<<． ………………………10分。
江苏省南通市2009届高三第一次调研测试数学试题
（第4题）南通市2009届高三第一次调研测试数 学必做题部分*一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1． 命题“x ∃∈R ，sin 1x ≤”的否定是 ▲ ．2． 若集合A ={}3x x ≥，B ={}x x m <满足A ∪B =R ，A ∩B =∅，则实数m = ▲ ．3． 若22(1)(32)i a a a -+++是纯虚数，则实数a 的值是 ▲ ．4． 按如图所示的程序框图运行后，输出的结果是63，则判断框中的整数M 的值是 ▲ ．5． 若函数2()12xx k f x k -=+⋅（a 为常数）在定义域上奇函数，则k = ▲ ．6． 若直线4mx ny +=和圆O ：224x y +=没有公共点，则过点(,)m n 的直线与椭圆22154y x +=的交点个数为 ▲ ．7． 曲线C ：()sin e 2xf x x =++在x =0处的切线方程为 ▲ ．8． 下面是某小组学生在一次数学测验中的得分茎叶图，则该组男生的平均得分与女生的平均得分之差是 ▲ ．9． 已知集合{}(,)2||2A x y x y x y =∈Z ||≤，≤，，，集合{}22()(2)(2)4B x y x y x y =-+-∈Z ，≤，，，在集合A 中任取一个元素p ，则p ∈B 的概率是 ▲ ．10．设实数,x y 满足2025020x y x y y --⎧⎪+-⎨⎪-⎩≤，≥，≤，则y x u x y =-的取值范围是 ▲ ．11．已知a ，b 为不共线的向量，设条件M ：⊥-（）b a b ；条件N ：对一切x ∈R ，不等x --≥a b a b 恒成立．则M 是N 的 ▲ 条件．12．已知数列{a n }中，a 1=1，a 2=0，对任意正整数n ，m (n >m )满足22n m n m n m a a a a -+-=，则a 119= ▲ ．男生 女生9 8 7 6 53 0 3 3 6 6 6 2 0 0 1 5 6 5 3 6 2 8 77（第8题）B（第13题）13．已知正四面体（所有棱长都相等的三棱锥）的俯视图如右图所示，其中四边形ABCD 是边长为2cm 的正方形，则这个四面体的主视图的面积为 ▲ cm 2．14．约瑟夫规则：将1，2，3，…，n 按逆时针方向依次放置在一个单位圆上，然后从1开始，按逆时针方向，隔一个删除一个数，直至剩余一个数而终止，依次删除的数为1，3，5，7，…．当65n =时，剩余的一个数为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）△ABC 的外接圆半径为1，角A ，B ，C 的对边分别为a ，ｂ，ｃ．向量m =(4cos )a B ，,n =(cos )A b ，满足m //n .（1）求sin sin A B +的取值范围；（2）若实数x 满足abx =a +b ，试确定x 的取值范围.16．（本小题满分14分）在四棱锥P －ABCD 中，四边形ABCD 是梯形，AD ∥BC ，∠ABC =90°，平面PAD ⊥平面ABCD .（1）求证：PA ⊥平面ABCD ；（2）若平面PAB平面PCD l =，问：直线l 能否与平面ABCD 平行？请说明理由.17．（本小题满分15分）设a 为实数，已知函数3221()(1)3f x x ax a x =-+-.（1）当a =1时，求函数()f x 的极值．（2）若方程()f x =0有三个不等实数根，求a 的取值范围．18．（本小题满分15分）如图，椭圆22221y x a b+=(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，M 、N 是椭圆右准线上的两个动点，且120F M F N ⋅=.（1）设C 是以MN 为直径的圆，试判断原点O 与圆C （2）设椭圆的离心率为12，MN的最小值为.19．（本小题满分16分）下述数阵称为“森德拉姆筛”，记为S 第i 行第j 列的数记为A ij .1 4 7 10 13 …4 8 12 16 20 …7 12 17 22 27 …10 16 22 28 34 …P13 20 27 34 41 …… … … …（1）证明：存在常数*C ∈N ，对任意正整数i 、j ，ij A C +总是合数；（2）设 S 中主对角线上的数1，8，17，28，41，…组成数列{}n b . 试证不存在正整数k 和m(1)k m <<，使得1k m b b b ，，成等比数列； （3）对于（2）中的数列{}n b ，是否存在正整数p 和r (1150)r p <<<，使得1r p b b b ，，成等差数列．若存在，写出p r ，的一组解（不必写出推理过程）；若不存在，请说明理由20．（本小题满分16分）如果对任意一个三角形，只要它的三边长a ，b ，c 都在函数f (x )的定义域内，就有f (a )，f (b )，f (c )也是某个三角形的三边长，则称f (x )为“保三角形函数”.（1） 判断下列函数是不是“保三角形函数”，并证明你的结论： ① f (x )＝ x ； ② g (x )＝sin x (x ∈(0，π)).（2）若函数h (x )＝ln x (x ∈［M ，＋∞))是保三角形函数，求M 的最小值.附加题部分21. （选做题）本大题包括A ，B ，C ，D 共4小题，请从这4题中选做2小题. 每小题10分，共20分．请在答题卡上准确填涂题目标记. 解答时应写出文字说明、证明过程或 演算步骤．A. 选修4－1：几何证明选讲如图，PA 切⊙O 于点A ，D 为PA 的中点，过点D 引 割线交⊙O 于B 、C 两点．求证: DPB DCP ∠=∠．B. 选修4－2：矩阵与变换已知在一个二阶矩阵M 的变换作用下, 点(12)A ，变成了点(45)A'，，点(31)B -，变成了点(51)B'，，求矩阵M .C. 选修4－4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知圆C 的圆心坐标为C (2，3π)，半径R ，求圆C 的极坐标方程.D. 选修4－5：不等式选讲已知1a b c ++=，求证：22213a b c ++≥.22. 必做题, 本小题10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．投掷A ，B ，C 三个纪念币，正面向上的概率如下表所示(01)<<a .将这三个纪念币同时投掷一次, 设ξ表示出现正面向上的个数. （1）求ξ的分布列及数学期望；（2）在概率()P i ξ=(i =0，1，2，3)中, 若(1)P ξ=的值最大, 求a 的取值范围.23．必做题, 本小题10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．已知*001a b n n >>>∈N ，，，．用数学归纳法证明：()22nn n a b a b ++≥.南通市2009届高三第一次调研测试数学参考答案及评分标准必做题部分一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 【填空题答案】1．x ∀∈R ，1sin >x ; 2．3; 3．1； 4．5； 5．1±； 6．2； 7．y =2x +3； 8．1.5； 9．625； 10．83,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦； 11．充要； 12．－1； 13． 14．2．二、解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）纪念币A B C概 率 12a a△ABC 的外接圆半径为1，角A ，B ，C 的对边分别为a ，ｂ，ｃ．向量m =(4cos )a B ，,n =(cos )A b ，满足m //n .（1）求sin sin A B +的取值范围；（2）若实数x 满足abx =a +b ，试确定x 的取值范围.【解】(1)因为m //n ， 所以4cos cos a B A b=，4cos cos .ab A B =即………………………2分因为三角形ABC 的外接圆半径为1, 由正弦定理，得4sin sin ab A B =. 于是cos cos sin sin 0cos()0A B A B A B -=+=，即.因为π0π,2A B A B <+<+=所以. 故三角形ABC 为直角三角形. ………………………5分πsin sin sin cos )4A B A A A +=+=+, 因为ππ3π444A <+<，πsin()14A <+≤,故1sin sin A B <+ ………………………7分(2)2(sin sin )sin cos 4sin sin 2sin cos A B a b A Ax ab A B A A+++=== .………………………9分设sin cos (1t A A t =+<，则22sin cos 1A A t =-，…………………… 11分21t x t =-，因为2222(1)(1)t x t -+'=- ＜0，故21t x t =-在（1]上单调递减函数. 所以21tt-.所以实数x 的取值范围是)+∞. …………………… 14分16．（本小题满分14分）在四棱锥P －ABCD 中，四边形ABCD 是梯形，AD ∥BC ，∠ABC =90°，平面PAD ⊥平面ABCD . （1）求证：PA ⊥平面ABCD ； （2）若平面PAB平面PCD l =，问：直线l 能否与平面ABCD 请说明理由.（1）【证明】因为∠ABC =90°，AD ∥BC ，所以AD ⊥AB . 而平面PAB ⊥平面ABCD ，且平面PAB平面ABCD =AB ,所以AD ⊥平面PAB , 所以AD ⊥PA . ………………3分 同理可得AB ⊥PA . ………………5分 由于AB 、AD ⊂平面ABCD ，且ABAD=C ,所以PA ⊥平面ABCD .………………………7分（2）【解】（方法一）不平行.………………………9分证明：假定直线l ∥平面ABCD , 由于l ⊂平面PCD ，且平面PCD平面ABCD=CD , 所以l ∥CD. (11)分同理可得l ∥AB , 所以AB ∥CD .…………………… 13分这与AB 和CD 是直角梯形ABCD 的两腰相矛盾,故假设错误，所以直线l 与平面ABCD 不平行. ……………………14分（方法二）因为梯形ABCD 中AD ∥BC , 所以直线AB 与直线CD 相交，设ABCD =T . ……………………11分由T ∈CD ，CD ⊂平面PCD 得T ∈平面PCD .同理T ∈平面PAB .…………………… 13分即T 为平面PCD 与平面PAB 的公共点，于是PT 为平面PCD 与平面PAB 的交线.所以直线l 与平面ABCD 不平行.…………………… 14分17．（本小题满分15分）设a 为实数，已知函数3221()(1)3f x x ax a x =-+-.（1）当a =1时，求函数()f x 的极值．（2）若方程()f x =0有三个不等实数根，求a 的取值范围． 【解】(1)依题有321()3f x x x =-，故()()222f 'x x x x x =-=-.………………………2分由………………………5分得()f x 在0x =时取得极大值()00f =，()f x 在2x =时取得极小值()423f =-.…………7分(2) 因为()[][]222(1)(1)(1)f 'x x ax a x a x a =-+-=---+，………………………9分所以方程()0f 'x =的两根为a －1和a +1，显然，函数()f x 在x = a －1取得极大值，在x =a +1是取得极小值. ……………………11分因为方程()f x =0有三个不等实根，所以(1)0,(1)0,f a f a ->⎧⎨+<⎩ 即221(2)(1)0,31(2)(1)0,3a a aa ⎧+->⎪⎨⎪-+<⎩ 解得22a -<<且1a ≠±.故a 的取值范围是(2,1)(1,1)(1,2)---.…………………… 15分18．（本小题满分15分）如图，椭圆22221y x a b+=(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，M 、N 是椭圆右准线上的两个动点，且120F M F N ⋅=.（1）设C 是以MN 为直径的圆，试判断原点O 与圆C （2）设椭圆的离心率为12，MN 的最小值为.【解】（1）设椭圆22221y x a b+=的焦距为2c (c >0)， 则其右准线方程为x ＝2a c ，且F 1(－c , 0), F 2(c , 0). 分设M ()()2212,,a a y N y c c，，则1F M ＝()()22122,,a a c y F N c y c c+=-，，()()2212,,a a OM y ON y c c==，.………………………4分因为120F M F N ⋅=，所以()()22120a a c c y y c c +-+=，即()22212ay y c c+=.于是()222120aOM ON y y c c⋅=+=>，故∠MON 为锐角.所以原点O 在圆C外. ………………………7分 （2）因为椭圆的离心率为12，所以a =2c ， ………………………8分于是M()()124,4,c y N c y ，，且()22221215.ay y c c c=-=- ………………………9分MN 2＝(y 1－y 2)2＝y 12+y 22－2y 1y 22221212122460y y y y y y c =++=≥. …………………… 12分当且仅当 y 1＝－y 2或y 2＝－y 1时取“=”号， …………………… 13分所以(MN )min = 215c ＝215，于是c =1, 从而a ＝2，b ＝3， 故所求的椭圆方程是22143y x +=. …………………… 15分19．（本小题满分16分）下述数阵称为“森德拉姆筛”，记为S ．其特点是每行每列都是等差数列，第i 行第j 列的数记为A ij .1 4 7 10 13 … 4 8 12 16 20 … 7 12 17 22 27 … 10 16 22 28 34 … 13 20 27 34 41 …… … … …（1）证明：存在常数*C ∈N ，对任意正整数i 、j ，ij A C +总是合数；（2）设 S 中主对角线上的数1，8，17，28，41，…组成数列{}n b . 试证不存在正整数k 和m(1)k m <<，使得1k m b b b ，，成等比数列； （3）对于（2）中的数列{}n b ，是否存在正整数p 和r (1150)r p <<<，使得1r p b b b ，，成等差数列．若存在，写出p r ，的一组解（不必写出推理过程）；若不存在，请说明理由．（1）【证明】因为第一行数组成的数列{A 1j }(j=1,2，…)是以1为首项，公差为3的等差数列，所以A 1 j ＝1+(j －1)×3＝3 j －2，第二行数组成的数列{A 2j }(j ＝1,2，…)是以4为首项，公差为4的等差数列， 所以A 2j＝4+(j －1)×4＝4j ． ………………………2分所以A 2 j －A 1 j ＝4 j －(3 j －2)＝j ＋2，所以第j 列数组成的数列{ A ij }(i ＝1,2，…)是以3 j －2为首项，公差为 j ＋2的等差数列，所以A ij ＝3 j －2＋(i －1) ×(j ＋2) ＝ij ＋2i ＋2j －4＝(i＋3)(j＋2)8． ……………5分故A ij ＋8=(i ＋3) (j ＋2)是合数．所以当C ＝8时，对任意正整数i 、j ，ij A C +总是合数 ………………………6分（2）【证明】(反证法)假设存在k 、m ，1k m <<，使得1k m b b b ，，成等比数列，即21m k b b b =， ………………………7分∵b n ＝A nn ＝(n+2)2－4∴2221[(2)8][(2)8]m k ⨯+-=+- 得8]8)2[()2(222=-+-+k m ，即8]8)2()2][(8)2()2[(22=++-+-+++k m k m ， (10)分又∵1k m <<，且k 、m ∈N ，∴k ≥2、m ≥3，2(2)(2)8516813m k +++-≥+-=∴22880(2)(2)81(2)(2)813m k m k <+-++=≤<+++-，这与2(2)(2)8m k +-++∈Z 矛盾，所以不存在正整数k 和m (1)k m <<，使得1k m b b b ，，成等比数列．……………………12分（3）【解】假设存在满足条件的p r ，，那么222(44)1(44)r r p p +-=++-，即2(5)(1)(5)(1)r r p p +-=+-.…………………… 14分不妨令512(1)5r p r p +=-⎧⎨-=+⎩，， 得1319.r p =⎧⎨=⎩，所以存在1319r p ==，使得1r pb b b ，，成等差数列． …………………… 16分（注：第（3）问中数组()r p ，不唯一，例如(85,121)也可以）20．（本小题满分16分）如果对任意一个三角形，只要它的三边长a ，b ，c 都在函数f (x )的定义域内，就有f (a )，f (b )，f (c )也是某个三角形的三边长，则称f (x )为“保三角形函数”.（1）判断下列函数是不是“保三角形函数”，并证明你的结论：① f (x )＝ x ； ② g (x )＝sin x (x ∈(0，π)).（2）若函数h (x )＝ln x (x ∈［M ，＋∞))是保三角形函数，求M 的最小值.（1）【答】f (x )＝ x 是保三角形函数，g (x )＝sin x (x ∈(0，π))不是保三角形函数. 【证明】① f (x )＝ x 是保三角形函数.对任意一个三角形的三边长a ，b ，c ，则a ＋b ＞c ，b ＋c ＞a ，c ＋a ＞b ，f (a )＝ a ，f (b )＝ b ，f (c )＝ c .因为(a ＋b )2＝a ＋2ab ＋b ＞c ＋2ab ＞(c )2，所以a ＋b ＞c . 同理可以证明：b ＋c ＞a ，c ＋a ＞b .所以f (a )、f (b )、f (c )也是某个三角形的三边长，故 f (x )＝ x 是保三角形函数. ………………4分②g (x )＝sin x (x ∈(0，π))不是保三角形函数. 取()π5π5π0π266∈，，，，显然这三个数能作为一个三角形的三条边的长. 而sin π2＝1，sin 5π6＝12，不能作为一个三角形的三边长.所以g (x )＝sin x (x ∈(0，π))不是保三角形函数. ………………………8分(2)【解】M 的最小值为2. …………………… 10分(i)首先证明当M ≥2时，函数h (x )＝ln x (x ∈［M ，＋∞))是保三角形函数. 对任意一个三角形三边长a ，b ，c ∈［M ，＋∞)，且a ＋b ＞c ，b ＋c ＞a ，c ＋a ＞b ， 则h (a )＝ln a ，h (b )＝ln b ，h (c )＝ln c .因为a ≥2，b ≥2，a ＋b ＞c ，所以(a －1)(b －1)≥1，所以ab ≥a ＋b ＞c ，所以ln ab ＞ln c ，即ln a ＋ln b ＞ln c .同理可证明ln b ＋ln c ＞ln a ，ln c ＋ln a ＞ln b . 所以ln a ，ln b ，ln c 是一个三角形的三边长.故函数h (x )＝ln x (x ∈［M ，＋∞)，M ≥2)，是保三角形函数. …………………… 13分(ii)其次证明当0<M ＜2时，h (x )＝ln x (x ∈［M ，＋∞))不是保三角形函数. 当0<M ＜2时，取三个数M ，M ，M 2∈［M ，＋∞)，因为0＜M ＜2，所以M ＋M ＝2M ＞M 2，所以M ，M ，M 2是某个三角形的三条边长， 而ln M ＋ln M ＝2ln M ＝ln M 2，所以ln M ，ln M ，ln M 2不能为某个三角形的三边长，所以h (x )＝ln x 不是保三角形函数. 所以，当M ＜2时，h (x )＝ln x (x ∈［M ，＋∞))不是保三角形函数. 综上所述：M 的最小值为2. …………………… 16分P附加题部分21. （选做题）本大题包括A，B，C，D共4小题，请从这4题中选做2小题. 每小题10分，共20分．请在答题卡上准确填涂题目标记. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．E.选修4－1：几何证明选讲如图，PA切⊙O于点A，D为PA的中点，过点D引割线交⊙O于B、C两点．求证: DPB DCP∠=∠．【证明】因为PA与圆相切于A，所以2DA DB DC=⋅，………………………2分因为D为PA中点，所以DP=DA，所以DP2=DB·DC，即PD DBDC PD=．………………………5分因为B D∠=∠，所以B∆∽PDC∆，………………………8分所以D∠=．…………………… 10分F.选修4－2：矩阵与变换已知在一个二阶矩阵M的变换作用下, 点(12)A，变成了点(45)A'，，点(31)B-，变成了点(51)B'，，求矩阵M.【解】设a bc d⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M，………………………2分则由1425a bc d⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，3511a bc d⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦， (5)分得2425353 1.a bc da bc d+=⎧⎪+=⎪⎨-=⎪⎪-=⎩，，，………………………8分所以2112.a b c d =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩，，， 因此2112⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M . …………………… 10分G. 选修4－4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知圆C 的圆心坐标为C (2，3π)，半径R，求圆C 的极坐标方程. 解法一：设P (ρ，θ)是圆上的任意一点，则PC =R. ……………………4分由余弦定理，得ρ2+22－2×2×ρcos(θ－3π)=5. ……………………8分 化简，得ρ2－4ρcos(θ－3π)＋1=0，此即为所求的圆C 的方程. ……………………10分解法二：将圆心C (2，3π)化成直角坐标为(1，半径R， (2)分 故圆C 的方程为(x －1)2＋(y－2=5. ……………………4分再将C 化成极坐标方程，得(ρcos θ－1)2+(ρcos θ－2=5. ……………………6分化简，得ρ2－4ρcos(θ－3π)＋1=0 ，此即为所求的圆C 的方程. ……………………10分H. 选修4－5：不等式选讲已知1a b c ++=，求证：22213a b c ++≥.【证明】因为2222()(222)a b c a b c ab bc ac ++=++-++………………………3分2222()2()a b c a b c ++-++≥………………………7分所以22223()()1a b c a b c ++++=≥.故22213a b c ++≥.…………………… 10分22. 必做题, 本小题10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．投掷A ，B ，C 三个纪念币，正面向上的概率如下表所示(01)<<a .将这三个纪念币同时投掷一次, 设ξ表示出现正面向上的个数. （1）求ξ的分布列及数学期望；（2）在概率()P i ξ=(i =0，1，2，3)中, 若(1)P ξ=的值最大, 求a 的取值范围. 【解】(1)()P ξ是ξ个正面向上,3ξ-个背面向上的概率.其中ξ的可能取值为0，1，2，3.()0022121122(0)C 1C (1)(1)P a a ξ==--=-, ()1020121212111222(1)C C (1)C 1C (1)(1)P a a a a ξ==⋅-+--=-, ()1102221212111222(2)C C (1)C 1C (2)P a a aa a ξ==⋅-+-=-,21221212(3)C C 2a P a ξ==⋅=. ………………………4分所以ξ的分布列为ξ的数学期望为22221112222410(1)1(1)2(2)32a a E a a a a ξ+=⨯-+⨯-+⨯-+⨯=. ………………………5分(2) ()221(1)(0)1(1)(1)2P P a a a a ξξ⎡⎤=-==---=-⎣⎦, 纪念币A B C概 率 12a a22112(1)(2)(1)(2)22a P P a a a ξξ-⎡⎤=-==---=⎣⎦, 222112(1)(3)(1)22a P P a a ξξ-⎡⎤=-==--=⎣⎦. 由2(1)0,120,21202a a aa ⎧⎪-⎪-⎪⎨⎪⎪-⎪⎩≥≥≥和01a <<，得102a <≤,即a 的取值范围是(10,2⎤⎥⎦. …………………… 10分 23．必做题, 本小题10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．已知*001a b n n >>>∈N ，，，．用数学归纳法证明：()22nn na b a b ++≥. 【证明】（1）当n =2时，左边－右边＝()()22220222a ba b a b ++--=≥，不等式成立.………………………2分（2）假设当n =k （*,1k k ∈>N ）时，不等式成立，即()22kk k a b a b ++≥. ………………4分因为*001a b k k >>>∈N ，，，， 所以11()()()()0k k k k k k a b a b ab a b a b +++-+=--≥，于是11k k k k a b a b ab ++++≥.……………6分。
2009~2011年江苏高考数学试卷及答案
2009年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ参考公式：样本数据12,,,n x x x 的方差221111(),n n i ii i s x x x x n n ===-=∑∑其中一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。
请把答案填写在答题卡相应的位置上. 1.若复数12429,69z i z i =+=+，其中i 是虚数单位，则复数12()z z i -的实部为★.【答案】20- 【解析】略2.已知向量a 和向量b 的夹角为30 ，||2,||3==a b ，则向量a 和向量b 的数量积=a b ★ . 【答案】3【解析】32332=⋅⋅= a b 。
3.函数32()15336f x x x x =--+的单调减区间为 ★ .【答案】(1,11)-【解析】2()330333(11)(1)f x x x x x '=--=-+，由(11)(1)0x x -+<得单调减区间为(1,11)-。
4.函数s i n ()(y A x A ωϕωϕ=+为常数，0,0)A ω>>在闭区间[,0]π-上的图象如图所示，则ω=★ . 【答案】3【解析】32T π=，23T π=，所以3ω=，5.现有5根竹竿，它们的长度（单位：m ）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m 的概率为 ★ . 【答案】0.2 【解析】略6.某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表： 学生 1号 2号 3号 4号 5号 甲班 6 7 7 8 7 乙班6767911 π-23π-3π-O xy则以上两组数据的方差中较小的一个为2s= ★ .【答案】25【解析】略7.右图是一个算法的流程图，最后输出的W= ★ .【答案】22 【解析】略8.在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为 ★ . 【答案】1：8 【解析】略9.在平面直角坐标系xoy 中，点P 在曲线3:103C y x x =-+上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为 ★ . 【答案】(2,15)-【解析】略10.已知512a -=，函数()xf x a =，若实数,m n 满足()()f m f n >，则,m n 的大小关系为 ★ . 【答案】m n <【解析】略 11.已知集合{}2|log 2A x x =≤，(,)B a =-∞，若A B ⊆则实数a 的取值范围是(,)c +∞，其中c =★ .【答案】4 【解析】由2log 2x ≤得04x <≤，(0,4]A =；由A B ⊆知4a >，所以c =4。
2009年江苏高考数学试卷及答案
13.【答案】
【分析】用 表示交点T，得出M坐标，代入椭圆方程即可转化解得离心率.
14.【答案】
【分析】将各数按照绝对值从小到大排列，各数减1，观察即可得解.
15.【分析】由 和 垂直， ，
即 ， ；
，最大值为32，所以 的最大值为 。
由 得 ，即 ，
所以 ∥ .
16.【分析】证明：（1）因为 分别是 的中点，所以 ，又 ， ，所以 ∥ ；
综上
(3) 时， 得 ，
当 时， ；
当 时， 得
1） 时，
2） ；
设 ，当 、 分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？
记(2)中最大的综合满意度为 ，试问能否适当选取 、 的值，使得 和 同时成立，但等号不同时成立？试说明理由。
求 和 关于 、 的表达式；当 时，求证： = ；
设 ，当 、 分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？
按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为 元，如果他卖出该产品的单价为 元，则他的满意度为 ；如果他买进该产品的单价为 元，则他的满意度为 .如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为 和 ，则他对这两种交易的综合满意度为 .
现假设甲生产A、B两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A、B两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A、B的单价分别为 元和 元，甲买进A和卖出B的综合满意度为 ，乙卖出A和买进B的综合满意度为
上面命题中，真命题的序号________（写出所有真命题的序号）.
13．如图，在平面直角坐标系 中， 为椭圆 的四个顶点， 为其右焦点，直线 和直线 相交于点T，线段 和椭圆的交点 恰为线段 的中点，则该椭圆的离心率为________.
普通高等学校招生全国高三数学统一考试模拟试卷(江苏卷)
2009年普通高等学校招生全国统一考试模拟试卷（江苏卷）数学试卷 命题人:骆继斌本试卷分第I 卷（填空题）和第II 卷（解答题）两部分．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的 准考证号、姓名，并将条形码粘贴在指定位置上．2.选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或炭素笔书写，字体工整，笔迹清楚．3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．4.保持卡面清洁，不折叠，不破损．5.作选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑． 参考公式: 样本数据1x ,2x ,,n x 的标准差s =其中x 为样本平均数柱体体积公式V Sh =其中S 为底面积，h 为高一、填空题：本大题共1小题，每小题5分，共70分．1.如果复数i a a a a z )23(222+-+-+=为纯虚数，那么实数a 的值为 ▲ 2.设向量a 和b 的长度分别为4和3，夹角为60°，则|a +b |的值为 ▲ 3.已知等比数列{}n a 中，n T 表示前n 项的积，若5T ＝1，则3a = ▲ 4.程序框图如下：如果上述程序运行的结果为S ＝132，那么判断框中应填入 ▲锥体体积公式13V Sh =其中S 为底面积，h 为高球的表面积、体积公式24S R π=，343V R π= 其中R 为球的半径5.一个几何体的三视图如下图所示，其中正视图中△ABC 是边长为2的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的侧视图的面积为 ▲正视图 俯视图 俯视图 6. 已知2,0,02{(,)},{(,)}x y x y x y x x y M x y Ω+<≥≥≤≤==，若向区域Ω内随机 投入一点P ，则P 点落入区域M 内的概率为 ▲ 7.函数()f x 由下表定义：若05a =，1()n n a f a +=，0,1,2,n =，则2009a = ▲8.设函数sin(2)(0)2y x πϕϕ=+<<的单调递增区间是5[,]()1212k k k Z ππππ-++∈，则ϕ的值为___▲___9.已知点P 和点Q 分别是函数1ln 2y x =和函数2x y e =图像上关于直线y x =对称的两点, 则线段PQ 长度的最小值为________▲______ 10．若不等式121x a x+>-+对于一切非零实数x 均成立，则实数a 的取值范是 ▲ ．11.用一个垂直于圆锥面的一条母线的平面截圆锥面得到一个椭圆,已知圆锥面的轴截面的中心角为6π,则椭圆的离心率为_________ 12.设函数,))((为奇函数R x x f ∈=+=+=)5(),2()()2(,21)1(f f x f x f f 则 ▲ 13.已知关于x 的不等式a x <-|13|有唯一的整数解,则方程1|)12|1(=--xa x 实数根的个数为▲14.已知点Q b a p 与点),(（1，0）在直线0132=+-y x 的两侧，则下列说法正确的是▲x2 53 1 4()f x12345CD QDB图（1）PCANM①0132>+-b a ②0≠a 时，ab有最小值，无最大值 ③M b a R M >+∈∃+22,使恒成立 ④且0>a 1≠a ,时0>b , 则1-a b 的取值范围为（-),32()31,∞+⋃-∞ 二、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．15．（本小题满分14分）已知函数x x x f 2sin 21)12(cos )(2++=π． （1）求)(x f 的最小正周期；（2）已知A 是ABC 的内角，()1f A =，求sin 2cos3tan 4A A A ++的值．16．（本小题满分14分）先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为,a b ． （1）求直线50ax by ++=与圆221x y +=相切的概率；（2）将,,5a b 的值分别作为三条线段的长，试列举出这三条线段能围成等腰三角形的所有情形并 求其概率．17.（本小题满分14分）如图（1）是一正方体的表面展开图，MN 和PB 是两条面对角线，请在图（2）的正方体中将MN 和PB 画出来，并就这个正方体解决下面问题。
2009年江苏高考数学试卷及答案
现假设甲生产A、B两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A、B两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A、B的单价分别为 元和 元，甲买进A与卖出B的综合满意度为 ，乙卖出A与买进B的综合满意度为
解：因为 所以
故曲线C的普通方程为： .
D.选修4 - 5：不等式选讲
设 ≥ ＞0,求证： ≥ .
[解析]本小题主要考查比较法证明不等式的常见方法，考查代数式的变形能力。满分10分。
证明：
因为 ≥ ＞0,所以 ≥0， ＞0，从而 ≥0，
即 ≥ .
[必做题]第22题、第23题，每题10分，共计20分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
9.在平面直角坐标系 中，点P在曲线 上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为________.
10.已知 ，函数 ，若实数 满足 ，则 的大小关系为_______
.
11.已知集合 ， ，若 则实数 的取值范围是 ，其中 ________.
12.设 和 为不重合的两个平面，给出下列命题：（1）若 内的两条相交直线分别平行于 内的两条直线，则 平行于 ；（2）若 外一条直线 与 内的一条直线平行，则 和 平行；（3）设 和 相交于直线 ，若 内有一条直线垂直于 ，则 和 垂直；（4）直线 与 垂直的充分必要条件是 与 内的两条直线垂直.
18．（本小题满分16分）
在平面直角坐标系 中，已知圆 和圆
da2009年高考数学(江苏卷)
参考答案
一、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法．每小题5分，共计70分．
1． 2．33． 4．35．0.26．0.4
7．228．1∶89． 10． 11．4
12．（1）（2）13． 14．
二、解答题
15．本小题主要考查向量的基本概念，同时考查同角三角函数的基本关系式、二倍角的正弦、两角和的正弦与余弦公式，考查运算和证明的基本能力．满分14分．
解：（1）因为 ，所以 ，即 ．
由 知 ．因此， 的取值范围为 ．
（2）记 的最小值为 ，我们有
（i）当 时， ，由①②知 ，此时 ．
（ii）当 时， ．若 ，则由①知 ；若 ，则 ，由②知 ．此时 ．
综上得
（3）（i）当 时，解集为 ；
（ii）当 时，解集为
（iii）当 时，解集为 ．
数学Ⅱ（附加题）参考答案
（ii）当 时，满足 的 有 个，故共有 组有序数组 满足条件．
由（i）（ii）可得 ，
从而 ．
（2）证明：我们只需证明：对于随机选取的 ，方程 无实数根的概率 ．若方程 无实数根，则 ，即 ．由 知 ．因此，满足 的有序数组 的组数小于 ，从而，方程 无实数根的概率 ，所以 ．
（1）解：因为 与 垂直，所以
，
因此 ．
（2）解：由 ，得
．
又当 时，等号成立，所以 的最大值为 ．
（3）证明：由 得 ，所以 ∥ ．
16．本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查空间想象能力、推理论证能力．满分14分．
证明：（1）由 分别是 的中点知 ，
因为 ， ，
所以 平面 ．
（2）由三棱柱 为直三棱柱知，
2009年高三期末考试数学试题及答案
2009届江苏省东台中学高三第一学期期末数学考试试题卷一、填空题：1.设集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈==Z n n x x M ,3sin π，则满足条件M P =⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-23,23 的集合P 的个数是___个2.若cos 2πsin 4αα=⎛⎫- ⎪⎝⎭cos sin αα+= 3．已知O 为直角坐标系原点，P 、Q 的坐标满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤+-≤-+010*******x y x y x ，则POQ ∠cos 的最小值为__________4.设A ，B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且P A P B =，若直线PA 的方程为10x y -+=，则直线PB 的方程是_____________________5.已知函数)(x f 在1=x 处的导数为1，则xf x f x 2)1()1(lim 0-+→=___________6.若两个函数的图象经过若干次平依后能够重合，则称这两个函数为“同形”函数，给出下列三个函数：()1sin cos ,f x x x =+ ()2f x x =，()3sin f x x =则___________________为“同形”函数7.椭圆122=+by ax 与直线x y -=1交于A 、B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为ba则,23=________ 8.一次研究性课堂上，老师给出函数)(||1)(R x x xx f ∈+=，三位同学甲、乙、丙在研究此函数时分别给出命题：甲：函数f (x )的值域为（－1，1）； 乙：若x 1≠x 2，则一定有f (x 1)≠f (x 2)；丙：若规定||1)()),(()(),()(11x n x x f x f f x f x f x f n n n +===-则对任意*∈N n 恒成立.你认为上述三个命题中正确的个数有__________个9.过定点P （1,2）的直线在x y 轴与轴正半轴上的截距分别为a b 、,则422a b +的最小值为10.若直线2y a =与函数|1|(0xy a a =->且1)a ≠的图象有两个公共点，则a 的取值范围是11.“已知数列{}n a 为等差数列，它的前n 项和为n S ，若存在正整数(),m n m n ≠，使得m n S S =，则0m n S +=。
2009年普通高等学校招生全国统一考试数学(江苏卷)全解全析
绝密★启用前2009年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共4页，包含填空题（第1题——第14题）、解答题（第15题——第20题）．本卷满分160分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本卷和答题卡一并交回．2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符．4.请在答题卡上按照晤顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．5.如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．6.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．参考公式：样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差()2211ni i s x x n ==-∑，其中11ni i x x n ==∑．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的位置上.1． 若复数z 1=4+29i ，z 2=6+9i ，其中i 是虚数单位，则复数(z 1−z 2)i 的实部为 ▲ ． 2． 已知向量a 和向量b 的夹角为30︒，|a |=2，|b |=3，则向量a和向量b 的数量积a ·b = ▲ ．3． 函数f (x )=x 3−15x 2−33x +6的单调减区间为 ▲ ． 4． 函数y =A sin(ωx +φ)（A ，ω，φ为常数，A >0，ω>0）2π3-在闭区间[−π,0]上的图象如图所示，则ω= ▲ ．5． 现有5根竹竿，它们的长度（单位：m ）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m 的概率为 ▲ ．6． 某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表：则以上两组数据的方差中较小的一个2s 为 ▲ ． 7． 右图是一个算法的流程图，最后输出的W = ▲ ．8．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4．类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为 ▲ ．9． 在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：y =x 3−10x +3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为 ▲ ． 10． 已知a =f (x )=a x ，若实数m ，n 满足f (m )>f (n )，则m ，n 的大小关系为 ▲． 11． 已知集合A ={x |log 2x ≤2}，B =(−∞,a )，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是(c ,+∞)，其中c =▲ ． 12． 设α 和β为不重合的两个平面，给出下列命题：（1）若α 内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α 平行于β； （2）若α 外一条直线l 与α 内的一条直线平行，则l 和α 平行；（3）设α 和β相交于直线l ，若α 内有一条直线垂直于l ，则α 和β垂直； （4）直线l 与α 垂直的充分必要条件是l 与α 内的两条直线垂直． 上面命题中，真命题的序号 ▲ ．（写出所有真命题的序号）． 13． 如图，在平面直角坐标系xOy 中，A 1,A 2,B 1,B 2为椭圆22221(0)y x a b a b +=>>的四个顶点，F 为其右焦点，直线A 1B2与直线B 1F 相交于点T ，线段OT 与椭圆的交点M 恰为线段O T 的中点，则该椭圆的离心率为 ▲ ．14． 设{a n }是公比为q 的等比数列，|q |>1，令b n =a n +1（n =1，2，…）若数列{b n }有连续四项在集合{−53,−23,19,37,82}中，则6q = ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤．15． （本小题满分14分）设向量a =(4cos α ,sin α )，b =(sin β,4cos β)，c =(cos β,−sin β)， （1）若a 与b −2c 垂直，求tan(α +β)的值； （2）求+b c 的最大值；（3）若tan α tan β=16，求证：a ∥b ．16． （本小题满分14分）如图，在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，E ，F 分别是A 1B ，A 1C 的中点，点D 在B 1C 1上，A 1D ⊥B 1C ． 求证：（1）EF ∥平面ABC ； （2）平面A 1FD ⊥平面BB 1C 1C ．ABC A1B 1C 1 EF D第16题图17． （本小题满分14分）设{a n }是公差不为零的等差数列，S n 为其前n 项和，满足22225234a a a a +=+，S 7=7． （1）求数列{a n }的通项公式及前n 项和S n ； （2）试求所有的正整数m ，使得12m m m a a a ++为数列{S n }中的项．18． （本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1∶(x +3)2+(y −1)2=4和圆C 2∶(x −4)2+(y −5)2=4．（1）若直线l 过点A (4,0)，且被圆C 1截得的弦长为l 的方程；（2）设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂的直线l 1和l 2，它们分别与圆C 1和圆C 2相交，且直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P 的坐标．19． （本小题满分16分）按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为a 元，如果他卖出该产品的单价为m 元，则他的满意度为m m a +；如果他买进该产品的单价为n 元，则他的满意度为n n a+．如果一个人对两种交易（卖出或买进）的满意度分别为h 1和h 2，现假设甲生产A ，B 两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A ，B 两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A ，B 的单价分别为m A 元和m B 元，甲买进A 与卖出B 的综合满意度为h 甲，乙卖出A 与买进B 的综合满意度为h 乙．（1）求h 甲和h 乙关于m A ，m B 的表达式；当35A B m m =时，求证：h 甲=h 乙；（2）设35A B m m =，当m A ，m B 分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？（3）记（2）中最大的综合满意度为h 0，试问能否适当选取m A ，m B 的值，使得0h h 甲≥和0h h 乙≥同时成立，但等号不同时成立？试说明理由．20． （本小题满分16分）设a 为实数，函数f (x )=2x 2+(x −a )|x −a |． （1）若f (0)≥1，求a 的取值范围； （2）求f (x )的最小值；（3）设函数h (x )=f (x )，x ∈(a ,+∞)，直接写出（不需给出演算步骤）不等式h (x )≥1的解集．2009年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）全解全析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的位置上.1．若复数z1=4+29i，z2=6+9i，其中i是虚数单位，则复数(z1−z2)i的实部为▲．【答案】−20．【解析】z1−z2=−2+20i，故(z1−z2)i=−20−2i．【说明】考查复数的四则运算．2．已知向量a和向量b的夹角为30︒，|a|=2，|b|=3，则向量a和向量b的数量积a·b= ▲．【答案】3．【解析】cos 23θ===a b a b．【说明】考查向量的数量积（代数）运算．3．函数f (x)=x3−15x2−33x+6的单调减区间为▲．【答案】(1,11)-．【解析】2()330333(11)(1)f x x x x x=--=-+'，由(11)(1)0x x-+<得单调减区间为(1,11)-．【说明】考查函数的单调性，考查导数在研究函数性质中的应用．4．函数y=A sin(ωx+φ)（A，ω，φ为常数，A>0，ω>0）2π3-在闭区间[−π,0]上的图象如图所示，则ω= ▲．【答案】3．【解析】如图，2π3T=，所以3ω=．【说明】考查三角函数的图象和性质，考查周期性的概念．5．现有5根竹竿，它们的长度（单位：m）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m的概率为▲．【答案】0.2【解析】随机抽取2根竹竿的取法有10种，而长度恰好相差0.3m的取法有2种，所以概率为0.2．【说明】考查古典概型．6．某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表：则以上两组数据的方差中较小的一个2s为▲．【答案】25．【解析】第一组数据7x =甲，212(10010)55S =++++=甲；第二组数据7x =乙，245S =乙．【说明】考查总体特征数的估计．实际上，根据数据的分布，知甲班的数据较为集中（甲班极差为2，众数为7，乙班极差为3，众数为6，7）． 7． 右图是一个算法的流程图，最后输出的W = ▲ ． 【答案】22．W =22．【说明】本题考查算法初步，考查流程图（循环结构）．值得注意的是，本题的循环结构并非是教材中所熟悉的当型或直到型，因此该流程图是一个非结构化的流程图，对学生的识图能力要求较高．8． 在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4．类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为 ▲ ． 【答案】1：8 【解析】由题意知，面积比是边长比的平方，由类比推理知：体积比是棱长比的立方．【说明】本题考查合情推理之类比推理．9． 在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：y =x 3−10x +3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为 ▲ ． 【答案】(2,15)-．【解析】设点P 的横坐标为x 0，由2310y x '=-知203102x -=，又点P 在第二象限，02x =-，所以(2,15)P -．【说明】本题考查导数的几何意义——曲线切线的斜率．10． 已知a =f (x )=a x ，若实数m ，n 满足f (m )>f (n )，则m ，n 的大小关系为 ▲．【答案】m n <【解析】由01<<知01a <<，函数()x f x a =是减函数，由()()f m f n >知m n <．【说明】本题考查函数的单调性，指数函数的性质等概念．11． 已知集合A ={x |log 2x ≤2}，B =(−∞,a )，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是(c ,+∞)，其中c =▲ ． 【答案】4【解析】由log 2x ≤2得0<x ≤4，(0,4]A =；由A B ⊆知4a >，所以c =4． 【说明】本题考查对数函数的性质，集合间的基本关系（子集）等概念． 12． 设α 和β为不重合的两个平面，给出下列命题：（1）若α 内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α 平行于β； （2）若α 外一条直线l 与α 内的一条直线平行，则l 和α 平行；（3）设α 和β相交于直线l ，若α 内有一条直线垂直于l ，则α 和β垂直； （4）直线l 与α 垂直的充分必要条件是l 与α 内的两条直线垂直． 上面命题中，真命题的序号 ▲ ．（写出所有真命题的序号）． 【答案】（1）（2）【解析】由线面平行的判定定理知，（2）正确；相应地（1）可转化为一个平面内有两相交直线分别平行于另一个平面，所以这两个平面平行．【说明】本题考查空间点、线、面的位置关系．具体考查线面、面面平行、垂直间的关系与转化． 13． 如图，在平面直角坐标系xOy 中，A 1,A 2,B 1,B 2为椭圆22221(0)y x a b a b +=>>的四个顶点，F 为其右焦点，直线A 1B2与直线B 1F 相交于点T ，线段OT 与椭圆的交点M 恰为线段O T 的中点，则该椭圆的离心率为 ▲ ．【答案】5【解析】直线12A B 的方程为1yx a b+=-，直线1B F 的方程为1y x c b +=-，两方程联立方程组得T 2(,)ac ab bc a c a c+--，则点M (,)2()ac ab bc a c a c +--，由点M 在椭圆上，代入整理得：223100a ac c --=，23100e e --=，又 0e >，所以离心率为5． 【说明】本题考查椭圆的概念、标准方程与几何性质．14． 设{a n }是公比为q 的等比数列，|q |>1，令b n =a n +1（n =1，2，…）若数列{b n }有连续四项在集合{−53,−23,19,37,82}中，则6q = ▲ ． 【答案】9-【解析】由条件知数列{a n }中连续四项在集合{}54,24,18,36,81--中，由||1q >，所以{a n }中连续四项可能为（1）24-，36，54-，81，32q =-，69q =-；（2）18，24-，36，54-，不合；其它情形都不符合．【说明】本题考查等比数列的概念与通项公式．在本题中，如果将集合中的各数均除以3，得到集合{}232323,2,23,32,3-⨯-⨯⨯，再从其中选出四个数进行适当地排列，这样的解法更利于看清问题本质．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤．15． （本小题满分14分）设向量a =(4cos α ,sin α )，b =(sin β,4cos β)，c =(cos β,−sin β)， （1）若a 与b −2c 垂直，求tan(α +β)的值； （2）求+b c 的最大值；（3）若tan α tan β=16，求证：a ∥b ． 【解析】（1）∵a ⊥b −2c ，∴(2)20⋅-=⋅-⋅=a b c a b a c ．即4sin()8cos()0αβαβ+-+=，∴tan()2αβ+=． （2）(sin cos ,4cos 4sin )ββββ+=+-b c ，()()222sin cos 16cos sin ββββ+=++-b c 1730sin cos ββ=-1715sin 2β=-，∴当sin2β=−1时，2+b c 最大值为32，所以+b c的最大值为（3）∵tan tan 16αβ=，∴sin sin 16cos cos αβαβ=，即4cos 4cos sin sin 0αβαβ⋅-=， 所以a ∥b ．16． （本小题满分14分）如图，在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，E ，F 分别是A 1B ，A 1C 的中点，点D 在B 1C 1上，A 1D ⊥B 1C ． 求证：（1）EF ∥平面ABC ； （2）平面A 1FD ⊥平面BB 1C 1C ．【解析】（1）因为E ，F 分别是A 1B ，A 1C 的中点，所以EF ∥BC ，又EF ⊄平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴EF ∥平面ABC ； （2）在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，1111BB A BC ⊥面，∵A 1D ⊂平面A 1B 1C 1，∴11BB AD ⊥． 又11AD BC ⊥，BB 1 B 1C =B 1，∴111AD BC C ⊥面B ． 又11AD AFD ⊂面，所以平面A 1FD ⊥平面BB 1C 1C ．17． （本小题满分14分）设{a n }是公差不为零的等差数列，S n 为其前n 项和，满足22225234a a a a +=+，S 7=7． （1）求数列{a n }的通项公式及前n 项和S n ； （2）试求所有的正整数m ，使得12m m m a a a ++为数列{S n }中的项． 【解析】（1）设公差为d ，则22225243a a a a -=-，由性质得43433()()d a a d a a -+=+，因为0d ≠，所以430a a +=，即1250a d +=，又由77S =得176772a d ⨯+=，解得15a =-，2d =所以{}n a 的通项公式为27n a n =-，前n 项和26n S n n =-． （2）12(27)(25)(23)m m m m m a a a m ++--=-，令23m t -=，12(4)(2)m m m t t a aa t++--=86t t =+-， 因为t 是奇数，所以t 可取的值为1±，当1t =，2m =时，863t t +-=，2573⨯-=，是数列{}n a 中的项；1t =-，1m =时，8615t t +-=-，数列{}n a 中的最小项是5-，不符合．所以满足条件的正整数2m =． 18． （本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1∶AB CA1B 1C1 EF D第16题图(x +3)2+(y −1)2=4和圆C 2∶(x −4)2+(y −5)2=4．（1）若直线l 过点A (4,0)，且被圆C 1截得的弦长为l 的方程；（2）设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂的直线l 1和l 2，它们分别与圆C 1和圆C 2相交，且直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P 的坐标．【解析】(1) 0y =或7(4)24y x =--，（2）法一）设点P (,)a b ，1l ：()y b k x a -=-，则2l ：1()y b x a k-=--由截得的弦长相等可得1C 到1l 与2C 到2l 的距离相等，即11|4()5()|a b k k ----+=，即 |31||45|k ka b k a kb ---+=--++，整理得：222222(3)2(3)(1)(1)(5)2(4)(5)(4)a k ab k bb k a b k a +++-+-=-+--+- 因为有无数组解，所以对应项系数相等，解得：32a =-，132b =；或52a =，12b =-．所以满足条件的点P 坐标为313(,)22-或51(,)22-．法二）依题意点P 在线段1C 2C 的中垂线上，且与1C 、2C 构成等腰直角三角形，设点P (,)a b ， 则713()42b a -=--，又120PC PC ⋅=，即22670a b a b +---=，解得：32a =-，132b =；或52a =，12b =-． 满足条件的点P 坐标为313(,)22-或51(,)22-．19． （本小题满分16分）按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为a 元，如果他卖出该产品的单价为m 元，则他的满意度为m m a +；如果他买进该产品的单价为n 元，则他的满意度为n n a+．如果一个人对两种交易（卖出或买进）的满意度分别为h 1和h 2，现假设甲生产A ，B 两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A ，B 两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A ，B 的单价分别为m A 元和m B 元，甲买进A 与卖出B 的综合满意度为h 甲，乙卖出A 与买进B 的综合满意度为h 乙．（1）求h 甲和h 乙关于m A ，m B 的表达式；当35A B m m =时，求证：h 甲=h 乙；（2）设35A B m m =，当m A ，m B 分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？（3）记（2）中最大的综合满意度为h 0，试问能否适当选取m A ，m B 的值，使得0h h 甲≥和0h h 乙≥同时成立，但等号不同时成立？试说明理由．【解析】h =甲h =乙当35A B m m =时，h =甲，h =乙h 甲=h 乙．当35A B m m =时，h =甲，而520B m ≤≤， 所以当20B m =时，甲、乙两人的综合满意度均最大，此时12A m =．（3≥即31024120A B A B m m m m ≥++ ①且3406120A B A B m m m m ≥++ ②， 由①及520B m ≤≤得：24120310B A B m m m +≥-，又241202008[12,48]310310B B B m m m +=+∈--， 只有当12A m =，20B m =时，不等式①成立． 由②及312A m ≤≤得：4012036A B A m m m +≥-，又4012040200[20,80]36336A A A m m m +=+∈--， 只有当20B m =，12A m =时，不等式②成立．综上，不存在满足条件的A m 、B m 的值．20． （本小题满分16分）设a 为实数，函数f (x )=2x 2+(x −a )|x −a |． （1）若f (0)≥1，求a 的取值范围； （2）求f (x )的最小值；（3）设函数h (x )=f (x )，x ∈(a ,+∞)，直接写出（不需给出演算步骤）不等式h (x )≥1的解集． 【解析】（1）若(0)1f ≥，即||1a a -≥，则{21a a <≥，所以1a ≤-． （2）当x a ≥时，22()32,f x x ax a =-+22min(),02,0()2(),0,033f a a a a f x a a f a a ≥≥⎧⎧⎪⎪==⎨⎨<<⎪⎪⎩⎩ 当x a ≤时，22()2,f x x ax a =+-{{2min 2(),02,0()(),02,0f a a a a f x f a a a a -≥-≥==<<综上22min2,0()2,03a a f x a a -≥⎧⎪=⎨<⎪⎩． （3）x a ≥时，()1h x ≥得223210x ax a -+-≥，222412(1)128a a a ∆=--=-，①当a a ≤≥时，0∆≤，不等式的解集为(,)a +∞；②当a <<0,∆>得(0x x x a ⎧⎪≥⎨>⎪⎩，i a <<时，不等式的解集为(,)a +∞；ii ）a ≤≤)+∞；iii ）a <<时，不等式的解集为3([)3a a +-+∞.。
2009年江苏高考数学试卷带详解
2009年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应的位置．．．．．．．．上．.1.若复数 12429i,69i z z =+=+其中i 是虚数单位，则复数12()i z z -的实部为 . 【测量目标】复数的运算.【考查方式】给出两个复数，根据复数的减法，乘法运算求目标复数的实部. 【难易程度】容易 【参考答案】20-【试题解析】12220i z z -=-+，12()i z z -= (220i)i=2i 20-+--，所以实部为20-.2.已知向量a 和向量b 的夹角为°30,||2,||3==a b ，则向量a 和向量b 的数量积=g a b .【测量目标】向量的运算.【考查方式】直接给出两个向量的模长和两向量的夹角，求向量的数量积. 【难易程度】容易 【参考答案】3【试题解析】3233==gg g a b . 3.函数32()15336f x x x x =--+的单调减区间为 . 【测量目标】利用导数判断函数的单调性.【考查方式】直接给出函数解析式，利用导数求其单调区间. 【难易程度】容易 【参考答案】(1,11)- 【试题解析】2()330333(11)(1)f x x x x x '=--=-+，由(11)(1)0x x -+<得单调减区间为(1,11)-.4.函数sin()(,,y A x A ωϕωϕ=+为常数，0,0)A ω>>在闭区间[π,0]-上的图象如图所示，则ω= .第4题图【测量目标】函数sin()y A x ωϕ=+的图象的性质. 【考查方式】观察函数图象，得到周期. 【难易程度】容易 【参考答案】33π2T =，2π3T =，所以3ω= . 5.现有5根竹竿，它们的长度（单位：m ）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m 的概率为 . 【测量目标】随机事件的概率.【考查方式】给出等可能事件，直接求概率. 【难易程度】中等 【参考答案】0.2【试题解析】从5根竹竿中一次随机抽取2根的可能的事件总数为10，它们的长度恰好相差0.3m 的事件数为2，分别是：2.5和2.8，2.6和2.9，所求概率为0.2.6.某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表：学生 1号 2号 3号 4号 5号 甲班 6 7 7 8 7 乙班67679则以上两组数据的方差中较小的一个为s = . 【测量目标】平均数，方差.【考查方式】将统计的案例放入实际生活中，根据表格中的数据计算平均数和方差. 【难易程度】中等 【参考答案】25【试题解析】甲班的方差较小，数据的平均值为7，故方差222222(67)00(87)0255s -+++-+== 7.右图是一个算法的流程图，最后输出的W = .第7题图【测量目标】循环结构的程序框图.【考查方式】看懂程序框图，进行运算得到答案. 【难易程度】中等 【参考答案】22【试题解析】第一次循环:S =1, T =3第二次循环：S=8，T =5，第三次可以输出W=17+5=22 8.在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为 .【测量目标】归纳推理中的类比推理.【考查方式】给出一个例子，通过类比，求体积比. 【难易程度】中等 【参考答案】1:8【试题解析】平面上面积比和边长比成平方，空间中面积比和棱长比成立方，所以体积比为1:8.9.在平面直角坐标系xoy 中，点P 在曲线3:103C y x x =-+上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为 .【测量目标】导数的几何意义.【考查方式】给出解析式，利用导数的几何意义，根据该点的切线的斜率，求点坐标. 【难易程度】中等 【参考答案】(2,15)-【试题解析】231022y x x '=-=⇒=±，又点P 在第二象限内，2x ∴=-点P 的坐标为(2,15)-.10.已知512a -=，函数()xf x a =，若实数,m n 满足()()f m f n >，则,m n 的大小关系为 .【测量目标】指数函数的单调性.【考查方式】已知指数函数的底数，根据指数函数的单调性，判断自变量的大小.【难易程度】中等 【参考答案】m<n【试题解析】考查指数函数的单调性.51(0,1)2a -=∈，函数()x f x a =在R 上递减.由()()f m f n >得：m<n 11.已知集合{}2|log 2=A x x „，(,)=-∞B a 若A B ⊂则实数a 的取值范围是(,)+∞c ，其中c = .【测量目标】集合间的关系，对数不等式.【考查方式】描述法表示集合，求出对数不等式，根据集合间的关系，求参数的范围. 【难易程度】中等 【参考答案】4【试题解析】由2log 2x „得04<x „，(0,4]=A ；由A B ⊂知4>a ，所以=c 4. 12.设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；②若α外一条直线l 与α内的一条直线平行，则l 和α平行；③设α和β相交于直线l ，若α内有一条直线垂直于l ，则α和β垂直；④直线l 与α垂直的充分必要条件是l 与α内的两条直线垂直.上面命题中，真命题．．．的序号 （写出所有真命题的序号）. 【测量目标】命题的基本关系，立体几何中的直线、平面的垂直与平行判定的相关定理. 【考查方式】通过两个不重合的平面，确定命题的真假. 【参考答案】①② 【难易程度】较难【试题解析】对于①，根据面面的平行定理，平面内两条相交直线，互相平行于另一平面的两条直线，则两条直线平行;对于②，根据线面平行的判断依据，显然成立.对于③，当一条直线垂直两平面的相交直线，显然不一定使得，两平面垂直，所以为假命题；. 对于④，只满足充分条件，不满足必要条件，为假命题. 故真命题为①②.13．如图，在平面直角坐标系xoy 中，1212,,,A A B B 为椭圆22221(0)+=>>x y a b a b的四个顶点，F 为其右焦点，直线12A B 与直线1B F 相交于点T ，线段OT 与椭圆的交点M 恰为线段OT 的中点，则该椭圆的离心率为 .第13题图【测量目标】直线与椭圆的位置关系，椭圆的基本性质，直线方程.【考查方式】根据直线和椭圆的位置关系，利用椭圆的基本性质，求椭圆的离心率值. 【难易程度】中等 【参考答案】275-【试题解析】直线12A B 的方程为：1+=-x ya b； 直线1B F 的方程为：1+=-x y c b.（步骤1） 二者联立解得：2()(,)+=--ac b a c T a c a c，（步骤2） 则()(,)2()+=--ac b a c M a c a c 在椭圆22221(0)+=>>x y a b a b上， 2222222()1,1030,1030,()4()c a c c ac a e e a c a c ++=+-=+-=--（步骤3） 解得： 275=-e （步骤4）14．设{}n a 是公比为q 的等比数列，||1>q ，令1(1,2,)=+=L n n b a n ，若数列{}n b 有连续四项在集合{}53,23,19,37,82--中，则6=q . 【测量目标】等比数列的通项【考查方式】给出构造的新数列，根据列举表示出的集合，利用通项求公比进而求值. 【难易程度】中等 【参考答案】9- 【试题解析】{}n a 有连续四项在集合{}53,23,19,37,82--，四项24,36,54,81--成等比数列，公比为3,69.2=-=-q q 二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15．（本小题满分14分）设向量(4cos ,sin ),(sin ,4cos ),(cos ,4sin )a b c ααββββ===-（1）若a 与2b c -垂直，求tan()αβ+的值； （2）求||b c +的最大值;（3）若tan tan 16αβ=g ，求证：a ∥b .【测量目标】向量的运算，同角三角函数的基本关系式、二倍角的正弦、两角和的正弦与余弦公式.【考查方式】给出以三角函数表示的坐标向量，根据向量的线性运算求正切值；求两向量和的模长最大值；在通过已经得到的关系和条件证明向量的平行. 【难易程度】中等【试题解析】（1）由a 与2b c -垂直，(2)20-=-=g g g a b c a b a c ，（步骤1） 即4sin()8cos()0αβαβ+-+=，tan()2αβ+=；（步骤2） （2）(sin cos ,4cos 4sin )ββββ+=+-b c （步骤3）222||sin 2sin cos cos ββββ+=+++b c 2216cos 32cos sin 16sin ββββ-+1730sin cos ββ=-1715sin 2β=-，最大值为32，（步骤4） 所以||+b c 的最大值为42.（步骤5）（3）由tan tan 16αβ=得sin sin 16cos cos αβαβ=，（步骤6） 即4cos 4cos sin sin 0αβαβ-=g （步骤7） 所以a ∥b .（步骤8） 16．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，E,F 分别是11A B,A C 的中点，点D 在11B C 上，11A D B C ⊥求证：（1）EF ∥ABC 平面 （2）111A FD BB C C ⊥平面平面第16题图【测量目标】线面平行的判定，线面垂直，面面垂直的判定.【考查方式】直三棱柱中点，线位置关系，利用线线，线面，面面之间的位置关系和定理进行证明.【难易程度】容易【试题解析】（1）因为E,F 分别是11A B,A C 的中点，所以EF BC P ，（步骤1） 又EF ABC ⊄面，BC ABC ⊂面， 所以EF P ABC 平面；（步骤2） （2）因为直三棱柱111ABC A B C -，所以1111BB A B C ⊥面，11BB A D ⊥，（步骤3） 又11A D B C ⊥，所以111A D BB C C ⊥面，（步骤4）又11A D A FD ⊂面，所以111A FD BB C C ⊥平面平面（步骤5） 17．（本小题满分14分）设{}n a 是公差不为零的等差数列，n S 为其前n 项和，满足2222234577a a a a ,S +=+=（1）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ； （2）试求所有的正整数m ，使得12m m m a a a ++为数列{}n a 中的项.【测量目标】等差数列的性质，通项，前n 项和.【考查方式】给出数列项数之间的关系，求出通项及前n 项和；求满足条件的等差数列的项. 【难易程度】中等【试题解析】(1)以430a a +=，即1250a d +=，（步骤1） 又由77S =得176772a d ⨯+=，（步骤2） 解得15a =-，2d =（步骤3）所以{}n a 的通项公式为27n a n =-，前n 项和26n S n n =-.（步骤4）（2）12272523m m m a a (m )(m )a (m )++--=-，令23m t -=， 1242m m m a a (t )(t )a t ++--=86t t=+-，（步骤6） 因为t 是奇数，所以t 可取的值为1±， 当1t =，2m =时，863t t+-=，2573⨯-=，是数列{}n a 中的项；（步骤7） 1t =-，1m =时，8615t t+-=-，数列{}n a 中的最小项是5-，不符合. （步骤8）所以满足条件的正整数2m =.（步骤9） 18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xoy中，已知圆221:(3)(1)4C x y++-=和圆222:(4)(5)4C x y-+-=（1）若直线l过点(4,0)A，且被圆1C截得的弦长为23，求直线l的方程；（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线12l l和，它们分别与圆1C和圆2C相交，且直线1l被圆1C截得的弦长与直线2l被圆2C截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标.第18题图【测量目标】直线与圆的方程、点到直线的距离公式，直线与圆的位置关系.【考查方式】根据直线和圆的位置关系，以及圆的方程，求直线方程给出两垂直直线与两圆的位置关系，求满足条件的点坐标.【难易程度】较难【试题解析】(1)设直线l的方程为：(4)y k x=-，即40kx y k--=，（步骤1）由垂径定理，得：圆心1C到直线l的距离22234()12d=-=，（步骤2）结合点到直线距离公式，得231411k kk---=+（步骤3）化简得：272470,0,24k k k k+===-或（步骤4）求直线l的方程为：0y=或7(4)24y x=--.（步骤5）(2) 设点P坐标为(,)m n，直线1l、2l的方程分别为：1(),()y n k x m y n x mk-=--=--即110,+0kx y n km x y n mk k-+-=--+=（步骤6）因为直线1l被圆1C截得的弦长与直线2l被圆2C截得的弦长相等，两圆半径相等.由垂径定理，得：圆心1C到直线1l与2C直线2l的距离相等.故有： 2241531111n mk n km k kk k --++--+-=++，（步骤7）化简得：(2)3,m n k m n --=--(8)5m n k m n -+=+-或（步骤8） 关于k 的方程有无穷多解，有：2080,3050m n m n m n m n ⎧--=-+=⎧⎨⎨--=+-=⎩⎩或 （步骤9） 解之得：点P 坐标为313(,)22-或51(,)22-.（步骤10） 19.(本小题满分16分)按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为a 元，如果他卖出该产品的单价为m 元，则他的满意度为m m a +；如果他买进该产品的单价为n 元，则他的满意度为nn a+.如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为1h 和2h ，则他对这两种交易的综合满意12h h 现假设甲生产A 、B 两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A 、B 两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A 、B 的单价分别为A m 元和B m 元，甲买进A 与卖出B 的综合满意度为h 甲，乙卖出A 与买进B 的综合满意度为h 乙 (1)求h 甲和h 乙关于A m 、B m 的表达式；当35A B m m =时，求证：h 甲=h 乙； (2)设35A B m m =，当A m 、B m 分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？(3)记（2）中最大的综合满意度为0h ，试问能否适当选取A m 、B m 的值，使得0h h 甲…和0h h 乙…同时成立，但等号不同时成立？试说明理由.【测量目标】基本不等式的实际应用.【考查方式】给出实际例子，列出不等式，根据不等式性质，进行证明；利用基本不等式求恰当值.根据所有条件证明同时取到问题. 【难易程度】较难 【试题解析】(1)=,=,125320A B A BA B A B m m m m h h m m m m ++++g g 甲乙([3,12],[5,20])A B m m ∈∈（步骤1）当35A B m m =时，h =甲h =乙（步骤2）显然=h h 乙甲（步骤3） (2)当35A B m m =时，h ==甲（步骤4）由111[5,20][,]205B B m m ∈∈得，（步骤5） 故当1120B m =即20,12B A m m ==时，（步骤6） （3）（方法一）由（2）知：0h =由05h h =甲得：12552A B A Bm m m m ++g „，（步骤7） 令35,,A B x y m m ==则1,[,1]4x y ∈，即：5(14)(1)2x y ++„.（步骤8）同理，由=h h 乙甲…得：5(1)(14)2x y ++„（步骤9） 另一方面，1,[,1]4x y ∈，51414[2,5],11[,2]2x y x y ++∈++∈、、（步骤10） 55(14)(1),(1)(14),22x y x y ++++厖（步骤11）当且仅当14x y ==，即A B m m =时，取等号. （步骤12）所以不能否适当选取,A B m m 的值，使得h h 甲0…和h h 乙0…同时成立，但等号不同时成立. （步骤13）方法二：由（2）知023h =，因为h h =甲乙4,9=（步骤7）所以，当23h 甲…,23h 乙…时,有2==3h h 甲乙（步骤8） 因此，不能取到,A B m m 的值，使得h h 甲0…和h h 乙0…同时成立，但等号不同时成立. （步骤9） 20．(本小题满分16分)设a 为实数，函数2()2()||f x x x a x a =+--. (1) 若(0)1f …，求a 的取值范围； (2) 求()f x 的最小值；(3)设函数()(),(,)h x f x x a =∈+∞，直接写出．．．．(不需给出演算步骤)不等式()1h x …的解集. 【测量目标】分段函数，解不等式，函数的值域，函数的最值.【考查方式】直接给出含参数的函数解析式，根据函数值的大小，求参数的取值范围;根据分段函数，分段讨论，得到函数的最值；定义新函数，解不等式. 【难易程度】较难 【试题解析】（1）若(0)1f …，则||1a a -…（步骤1）2011a a a <⎧⇒⇒-⎨⎩„…（步骤2）（2）当x a …时，22()32,f x x ax a =-+22min(),02,0()2(),0,033f a a a a f x a a f a a ⎧⎧⎪⎪==⎨⎨<<⎪⎪⎩⎩厖（步骤3）当x a „时，22()2,f x x ax a =+-2min2(),02,0()(),02,0f a a a a f x f a a a a ⎧--⎧⎪==⎨⎨<<⎪⎩⎩厖（步骤4）综上22min2,0()2,03a a f x a a ⎧-⎪=⎨<⎪⎩…（步骤5）(3) (,)x a ∈+∞时，()1h x …得223210x ax a -+-…，（步骤6） 222412(1)128a a a ∆=--=-（步骤7）当66a a -或剠时，0,(,)x a ∆∈+∞„；（步骤8） 当66a -<<时，0,∆>得223232()()033a a a a x x x a⎧--+-⎪--⎨⎪>⎩…（步骤9） 1）26(,)22a ∈时，(,)x a ∈+∞ 2）22[,]a ∈-时，232[,)a a x +-∈+∞ 3）62(,]2a ∈--时，223232(,][,)a a a a x a --+-∈+∞U （步骤10）数学Ⅱ（附加题）参考公式:2222(1)(21)1+2+3++.6n n n n ++=…21.[选做题]在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分.请在答题卡．．．指定区域．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.选修4-1：几何证明选讲如图，在四边形ABCD 中，ABC BAD △≌△. 求证：AB CD P .第21题【测量目标】四边形、全等三角形.【考查方式】观察平面图形，根据全等三角形的性质进行证明. 【难易程度】容易 【试题解析】证明：由ABC BAD △≌△得ACB BDA ∠=∠，故A B C D 、、、四点共圆，从而CBA CDB ∠=∠.再由ABC BAD △≌△得CAB DBA ∠=∠.因此DBA CDB ∠=∠，所以AB CD P .B. 选修4-2：矩阵与变换 求矩阵3221⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A 的逆矩阵. 【测量目标】矩阵初步. 【难易程度】容易【考查方式】给出二乘二矩阵，根据矩阵的的基础知识求逆矩阵. 【试题解析】设矩阵A 的逆矩阵为x y z w ⎡⎤⎢⎥⎣⎦则3210,2101x y z w ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦（步骤1） 即3232102201x z y w x z y w ++⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦故321320,2021x z y w x z y w +=+=⎧⎧⎨⎨+=+=⎩⎩（步骤2） 解得：1,2,2,x z w =-==-，（步骤3）从而A 的逆矩阵为11223--⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A .（步骤4）C. 选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C的参数方程为13()x y t t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数，0t >）.求曲线C 的普通方程.【测量目标】坐标系和参数方程.【考查方式】给出曲线的参数方程，求出参数值，得到一般方程. 【难易程度】容易【试题解析】因为212x t t=+-所以212,3yx t t +=+=（步骤1） 故曲线C 的普通方程为：2360x y -+=.（步骤2） D. 选修4 - 5：不等式选讲0a b >…,求证:23223232a b a b ab ++….【测量目标】不等式比较大小.【考查方式】给出不等式，利用不等式比较大小直接进行证明. 【难易程度】中等 【试题解析】证明：2322222232(32)3()2()(32)()a b a b ab a a b b b a a b a b +-+=-+-=--.（步骤1）因为0a b >…,所以220,320a b a b -->…（步骤2），从而22(32)()0a b a b --….（步骤3） 即23223232a b a b ab ++….[必做题]第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22.（本题满分10分）在平面直角坐标系xoy 中，抛物线C 的顶点在原点，经过点A （2，2），其焦点F 在x 轴上.第22题图（1）求抛物线C 的标准方程；（2）求过点F ，且与直线OA 垂直的直线的方程；（3）设过点(,0)(0)M m m >的直线交抛物线C 于D 、E 两点，ME =2DM ，记D 和E 两点间的距离为()f m ，求()f m 关于m 的表达式.【测量目标】两点距离公式，抛物线方程，直线方程，直线和抛物线的位置关系.【考查方式】已知一点过抛物线，求抛物线的标准方程;进而求出过抛物线焦点的直线方程；根据直线与抛物线的位置关系，利用两点间的距离公式，求表达式. 【难易程度】较难【试题解析】（1）由题意知，可设抛物线C 的标准方程22y px =。
09届高三数学试题及答案
江苏省白丁高级中学09届高三年级第一次模拟测试数学试卷 2008-9(考试时间：120分钟 总分160分)一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．） 1、 函数1π2sin()23y x =+的最小正周期 T= ▲ ． 2、命题“∃x∈R，x 2－2x+l≤0”的否定形式为 ▲ ．3、若集合A ＝}032{2≤--x x x ，B ＝}{a x x >，且φ=⋂B A ，则实数a 的取值范围是 ▲4、若0.52a =，πlog 3b =，22πlog sin5c =，则,,a b c 的大小关系为 ▲ 5、已知△ABC 两内角A 、B 的对边边长分别为a 、b ，且cos cos a A b B =，则ABC ∆的形状是 ▲ ．6、 在半径为1的圆周上按顺序均匀分布着A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6六个点．则122323343445455656616112A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅＝ ▲ 7、若不等式142x x a +--≥0在x ∈[1，2]上恒成立，则a 的取值范围为 ▲ ．8、设a (,3)x =，(2,1)b =-，若a ，b 的夹角为钝角，则x 的取值范围是 ▲ 9、若cos 2π2sin 4αα=-⎛⎫- ⎪⎝⎭cos sin αα+= ▲ . 10、已知函数()log a f x x =在（0，＋∞）上单调递增，则(2)f - ▲ (1)f a +（填写“<”，“＝”，“>”之一）11、如图，在ABC △中，4AB =，3AC =，D 是边BC则AD BC ⋅= ▲ ．CAB12.已知函数22()log (3)f x x ax a =-+，对于任意x≥2，当△x ＞0时，恒有()()f x x f x +∆>， 则实数a 的取值范围是 ▲ ．13、若21()ln(2)2f x x b x =-++∞在(-1,+)上是减函数，则b 的取值范围是 ▲14、有下列命题： ①在△ABC 中，“cos2A <cos2B ”是”B A >”的充要条件 ②函数y=4cos2x 的图象可由y=4sin2x 的图象按向量(,0)4a π=平移得到；③函数y=4cos(2x+θ)的图象关于点(π6,0)对称的—个必要不充分条件是θ=k 2π+π6(k∈Z );④函数y=6+sin 2x 2－sinx的最小值为210—4．其中正确命题的序号是 ▲ ．(把你认为正确的所有命题的序号都填上)高三数学试卷答卷一、填空题：（用黑色墨水签字笔填写）1、 2、3、 4、5、 6、7、 8、9、 10、11、 12、13、 14、二、解答题：(本大题6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤)15.（本小题满分14分）已知｜｜=3,｜｜=4, 与的夹角为150°，求：(1)( -3)·(2+);(2)｜3-4｜16、（本小题满分14分）在ABC ∆中， ,,A B C ∠∠∠所对边分别为c b a ,,. 已知(sin ,sin cos ),m C B A =(,2)n b c =,且0m n =. （1）求A ∠大小.（2）若,2,32==c a 求ABC ∆的面积S 的大小.17、（本小题满分15分）已知,a b 为非零向量，给出3个语句：①(3)(75)a b a b +⊥-；②(4)(72)a b a b -⊥-；③ 向量,a b 夹角为60o .（1）以其中某两个语句为条件、余下一个作结论构造两个．．命题； （2）判断．．（1）中你所构造命题的真假，并加以证明．．.18、（本小题满分15分)如图所示的等腰梯形是一个简易水槽的横断面，已知水槽的最大流量与横断面的面积成正比，比例系数为k (0k >).（1）试将水槽的最大流量表示成关于θ函数()f θ； （2）求当θ多大时，水槽的最大流量最大.19、（本小题满分16分） 已知向量(1tan ,1)a x =-，(1sin 2cos2,0)b x x =++，记()f x a b =． （1）求()f x 的解析式并指出它的定义域和值域；（2）若π()8f α+=π(0,)2α∈，求()f α．θaaa20、（本小题满分16分）已知3x =是函数()()2ln 110f x a x x x =++-的一个极值点。
历年江苏卷数学 2009年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学试题及详细解答
绝密★启用前2009年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ试题参考公式：样本数据12,,,n x x x L 的方差221111(),n n i i i i s x x x x n n ===-=∑∑其中一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。
请把答案填写在答题卡相应的位置．．．．．．．．上．. 1.若复数12429,69,z i z i =+=+其中i 是虚数单位，则复数12()z z i -的实部为 ▲ 。
【解析】考查复数的减法、乘法运算，以及实部的概念。
-202.已知向量a r 和向量b r 的夹角为30o，||2,||3a b ==r r ，则向量a r 和向量b r 的数量积a b ⋅r r = ▲。
【解析】 考查数量积的运算。
3233a b ⋅=⋅⋅=r r3.函数32()15336f x x x x =--+的单调减区间为 ▲ . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m【解析】 考查利用导数判断函数的单调性。
2()330333(11)(1)f x x x x x '=--=-+，由(11)(1)0x x -+<得单调减区间为(1,11)-。
亦可填写闭区间或半开半闭区间。
注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共4页，包含填空题（第1题——第14题）、解答题（第15题——第20题）。
本卷满分160分，考试时间为120分钟。
考试结束后，请将本卷和答题卡一并交回。
2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。
3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。
4.请在答题卡上按照晤顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效。
作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔。
请注意字体工整，笔迹清楚。
5.如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。
江苏省高三数学第一轮复习训练——填空题(一)
江苏省2009届高三数学第一轮复习训练——填空题(一)1．已知集合}01211|{2<--=x x x A ，集合}),13(2|{Z n n x x B ∈+==，则B A ⋂等于2．为了得到函数y=cos(2x +4π)的图象，可以将函数y=sin （2x +2π）的图象向 平移 个单位长度3．函数y ＝cos 3x ＋sin 2x －cosx 的最大值等于4．设ax x f x 21)13(log )(3++=是偶函数，则a 的值为 5．已知函数f (x )＝32x 3＋32x ，则f (1101)＋f (2101)＋……＋f (100101)＝________________. 6．曲线)4cos()4sin(2ππ-+=x x y 和直线21=y 在y 轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P 1，P 2，P 3，…，则|P 2P 4|等于7．正弦曲线y=sin x 上一点P ，正弦曲线的以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是8．已知命题p ：函数)2(log 25.0a x x y ++=的值域为R.命题q ：函数x a y )25(--=是R 上的减函数.若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，则实数a 的取值范围是9．已知函数y=f(x)（x ∈R ）满足f(x+1)=f(x —1)，且x ∈[—1，1]时，f(x)=x 2，则y=f(x)与y=log 5x 的图象的交点个数为10．若ABC ∆的内角满足,0sin tan ,0cos sin <->+A A A A 则角A 的取值范围是______11．定义运算b a *为:()(),⎩⎨⎧>≤=*b a b b a a b a 例如，121=*,则函数f (x )=x x cos sin *的值域为 ．12、点P 是曲线2ln y x x =-上任意一点，则点P 到直线2y x =-的最小距离为13．函数)(x f 是R 上的单调函数且对任意的实数都有1)()()(-+=+b f a f b a f .,5)4(=f 则不等式3)23(2<--m m f 的解集为14．已知函数)(|2|)(2R x b ax x x f ∈+-=．给下列命题：①)(x f 必是偶函数；②当)2()0(f f =时，)(x f 的图像必关于直线x ＝1对称；③若02≤-b a ，则)(x f 在区间[a ，＋∞)上是增函数；④)(x f 有最大值||2b a -．其中正确的序号是________．参考答案1．已知集合}01211|{2<--=x x x A ，集合}),13(2|{Z n n x x B ∈+==，则B A ⋂等于{2，8}2．为了得到函数y=cos(2x +4π)的图象，可以将函数y=sin （2x +2π）的图象向 左 平 移 4π 个单位长度 3．函数y ＝cos 3x ＋sin 2x －cosx 的最大值等于3227 4．设ax x f x 21)13(log )(3++=是偶函数，则a 的值为 21- 5．已知函数f (x )＝32x 3＋32x ，则f (1101)＋f (2101)＋……＋f (100101)＝________50________. 6．曲线)4cos()4sin(2ππ-+=x x y 和直线21=y 在y 轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P 1，P 2，P 3，…，则|P 2P 4|等于 π7．正弦曲线y=sin x 上一点P ，正弦曲线的以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是 ),43[]4,0[πππ⋃ 8．已知命题p ：函数)2(log 25.0a x x y ++=的值域为R.命题q ：函数x a y )25(--=是R 上的减函数.若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，则实数a 的取值范围是 1<a <29．已知函数y=f(x)（x ∈R ）满足f(x+1)=f(x —1)，且x ∈[—1，1]时，f(x)=x 2，则y=f(x)与y=log 5x 的图象的交点个数为 410．若ABC ∆的内角满足,0sin tan ,0cos sin <->+A A A A 则角A 的取值范围是⎪⎭⎫⎝⎛43,2ππ 11．定义运算b a *为:()(),⎩⎨⎧>≤=*b a b b a a b a 例如，121=*,则函数f (x )=x x cos sin *的值域为 [-1，]2 ．12、点P 是曲线2ln y x x =-上任意一点，则点P 到直线2y x =-13．函数)(x f 是R 上的单调函数且对任意的实数都有1)()()(-+=+b f a f b a f .,5)4(=f 则不等式3)23(2<--m m f 的解集为(－1,34) 14．已知函数)(|2|)(2R x b ax x x f ∈+-=．给下列命题：①)(x f 必是偶函数；②当)2()0(f f =时，)(x f 的图像必关于直线x ＝1对称；③若02≤-b a ，则)(x f 在区间[a ，＋∞)上是增函数；④)(x f 有最大值||2b a -．其中正确的序号是___③_____．。
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1．已知集合 ，集合 ，则 等于
2．为了得到函数y=cos(2x+ )的图象，可以将函数y=sin（2x+ ）的图象向平移个单位长度
3．函数y＝cos3x＋sin2x－cosx的最大值等于
4．设 是偶函数，则 的值为
5．已知函数f(x)＝ ，则f( )＋f( )＋……＋f( )＝________________.
移 个单位长度
3．函数y＝cos3x＋sin2x－cosx的最大值等于
4．设 是偶函数，则 的值为
5．已知函数f(x)＝ ，则f( )＋f( )＋……＋f( )＝________50________.
6．曲线 和直线 在y轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P1，P2，P3，…，则|P2P4|等于
7．正弦曲线y=sinx上一点P，正弦曲线的以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是
6．曲线 和直线 在y轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P1，P2，P3，…，则|P2P4|等于
7．正弦曲线y=sinx上一点P，正弦曲线的以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是
8．已知命题p：函数 的值域为R.命题q：函数
是R上的减函数.若p或q为真命题，p且q为假命题，则实数a的取值范围是
8．已知命题p：函数 的值域为R.命题q：函数
是R上的减函数.若p或q为真命题，p且q为假命题，则实数a的取值范围是1<a<2
9．已知函数y=f(x)（x∈R）满足f(x+1)=f(x—1)，且x∈[—1，1]时，f(x)=x2，则y=f(x)与y=log5x的图象的交点个数为4
10．若 的内角满足 则角 的取值范围是
13．函数 是R上的单调函知函数 ．给下列命题：① 必是偶函数；②当 时， 的图像必关于直线x＝1对称；③若 ，则 在区间[a，＋∞ 上是增函数；④ 有最大值 ．其中正确的序号是________．
参考答案
1．已知集合 ，集合 ，则 等于{2，8}
2．为了得到函数y=cos(2x+ )的图象，可以将函数y=sin（2x+ ）的图象向左平
9．已知函数y=f(x)（x∈R）满足f(x+1)=f(x—1)，且x∈[—1，1]时，f(x)=x2，则y=f(x)与y=log5x的图象的交点个数为
10．若 的内角满足 则角 的取值范围是______
11．定义运算 为: 例如， ,则函数f(x)= 的值域为．
12、点P是曲线 上任意一点，则点P到直线 的最小距离为
11．定义运算 为: 例如， ,则函数f(x)= 的值域为 ．
12、点P是曲线 上任意一点，则点P到直线 的最小距离为
13．函数 是R上的单调函数且对任意的实数都有 . 则不等式 的解集为(－1, )
14．已知函数 ．给下列命题：① 必是偶函数；②当 时， 的图像必关于直线x＝1对称；③若 ，则 在区间[a，＋∞ 上是增函数；④ 有最大值 ．其中正确的序号是___③_____．