一类具有一般形式接触率的流行病模型的稳定性分析
一类具有一般非线性隔离函数及潜伏年龄SEIRS传染病模型稳定性分析
文章 编号 ： ０ ０５ ６ （０ ０ —４ ４０ １０ ．８ ２２ １）５０ ６ —７ １
一
类具 有一般 非线 性 隔离 函数及 潜伏 年龄 ＳＩ Ｅ ＲＳ传染病 模型 稳定性 分析
赵 君 平
（ 建 筑 科 技 大 学 理 学 院，陕西 西 安 ７ ０ ５ ） 西安 １０５
摘要 ：建立了一类具有一般非线性接触率 、非线性隔离 函数及染病年龄结构的 Ｓ ＩＳ传染病模型． ＥＲ 综合运用
一
征 ． 多传 染病 ，如艾滋 病 、狂犬病 、麻风病 等，具 许 有较 长 的潜伏 期（ 指从病 原体 侵人人 体起 ，至 出现临 床症 状 为止 的时 间） 疾病在 潜伏 期 内的传染 在疾 ，且
病 传播 过 程 中起 重要作 用 ．考 虑 到疾病 传播 途 径 的 复杂 性及 人类 社会 交 往模 式 的多样 性 ，很 难用 一个
数量依据 【． ３ ］
般饱 和接 触率 函数 的 ＳＲ 模 型 的全 局非 负解 的存 ＩＳ
在 唯一性 、无 病平 衡点 的全 局渐 近稳定 性 、地 方病 平衡 点 的指 数渐 近稳 定 性 ．文 献 【２研 究 一类 具 有 １】
染病 年龄结 构 Ｓ Ｉ Ｅ Ｒ模型 的渐近 性态 ． 众 所周 知 ，潜伏 期 的长 短 可影 响疾 病 的流行 特
病 年龄结 构 的 ＳＲ模 型全 局非 负解 的存 在性 及唯 一 Ｉ 性 ．接着 ，在文献 ［］ ６ 中，Ｍ． Ｋｉ 研究 了模 型地 方 ｍ 病 平 衡点 的指 数 渐近 稳定 性 ．ｃＭ． ｉｓ ａｅ 和 ． Ｋｒ — ｌ ａ ｂＺ ｔ
Ｍ． ｒ ｈ ｖ 在 文献 ［］ Ｍａｔ ｅ ｅ ｃ ７中建立并 定性 研究 了一类 具
类 ＨＩ 毒在 同性人 群 中传播 的 ＳＡ模 型．在文 Ｖ病 Ｉ
一类传染病模型的稳定性分析及其最优控制问题共3篇
一类传染病模型的稳定性分析及其最优控制问题共3篇一类传染病模型的稳定性分析及其最优控制问题1一类传染病模型的稳定性分析及其最优控制问题随着全球各地出现新型传染病的不断增多，防控传染病的研究成为了热点问题。
传染病模型是目前研究传染病防控的重要手段之一。
其中，SIR模型被广泛应用于传染病的研究中。
本文将从SIR模型的稳定性出发，进行一类传染病模型的稳定性分析及其最优控制问题的探讨。
首先，我们介绍一类传染病模型的基本形式。
该模型包括三个部分：易感人群（S）、感染人群（I）和恢复人群（R）。
我们假设人口总数为N，初始时刻t=0时，有s0个易感人群、i0个感染人群和r0个恢复人群。
在接下来的时间内，易感人群可能感染，成为感染人群；感染人群可能恢复，成为恢复人群。
因此，易感人群的人数变化率为-dSI/dt，感染人群的变化率为dSI/dt-dIR/dt，恢复人群的变化率为dIR/dt。
其中，d表示变化速率，I=I(t)、R=R(t)、S=S(t)。
我们可以得到以下方程：dS/dt=-βSI/NdI/dt= βSI/N-γIdR/dt= γI其中，β表示感染人群对易感人群传播病毒的速率；γ表示感染人群从感染状态到康复状态的速率。
当病毒传染率和治愈率确定后，模型的稳定性成为了一个重要的问题。
对于该模型的稳定性分析，我们引入李雅普诺夫函数法，采用线性稳定性分析，得到以下结果：当易感人群初始密度大于R0时，该模型为不稳定模型，传染病会持续地传播；当易感人群初始密度小于R0时，该模型为稳定模型，传染病将最终消失。
其中，R0=βN/γ表示病毒的基本再生数，即每个感染者能将该病毒传染给多少个易感者。
在了解该模型的稳定性后，我们进一步探讨如何最优地控制传染病的传播。
最优控制是指通过合理的控制策略来使系统达到最优状态的问题。
本问题中，最优控制即使得病毒传播最小的控制策略。
我们将控制方案分为两种：一是加强个人防护措施，减少感染率β；二是提高诊治能力，加快病人康复速度γ。
几类传染病模型的稳定性分析
摘 要传染病模型是生物数学研究的主要内容，运用传染病动力学知识，建立传染病数学模型，并进行数值模拟，得到传染病的传播规律，分析传染病爆发和流行的主要原因，从而找到预防传染病的最好方法。
本文的主要研究内容如下：首先，建立了一类具有CTL 免疫的乙肝病毒模型，研究分析了该模型的平衡点的动态稳定性，利用谱半径的方法求出基本再生数0R 。
当01R ≤时，通过构造Lyapunov 函数，利用Lassalle 不变性原理验证了系统无病平衡点的局部稳定性；当01R >时，研究分析了系统地方病平衡点的局部渐近稳定性。
再通过选取恰当的参数进行数值模拟验证了理论结果。
其次，研究了一类具有时滞和饱和发生率的乙肝病毒模型，考虑到感染细胞的恢复率，分析确定了疾病是否流行的阈值0R ，通过构造Lyapunov 函数，利用Lassalle 不变集原理证明了当01R <时，对于任意时滞，系统在无病平衡点处是全局渐近稳定的；当01R >时，分析了地方病平衡点的局部渐近稳定性。
再通过选取恰当的参数进行数值模拟验证了理论结果。
最后，研究了一类带有接种的非线性发生率的传染病模型，分析了该模型的平衡点的动态稳定性，得到了疾病流行与否的阈值0R 。
假设所有输入者都是易感者，当01R <时，通过构造Lyapunov 函数，验证了无病平衡点的全局渐近稳定性；当01R >时，利用Hurwitz 判据证明了地方病平衡点的局部渐近稳定性。
再通过选取恰当的参数进行数值模拟验证了理论结果。
关键词：传染病模型，HBV ，时滞，Lyapunov 函数，稳定性ABSTRACTInfectious disease model has been the main content of mathematical biologyresearch, based on the dynamic analysis and numerical simulation can show the process of development of infectious diseases, propagation reveal and prediction of infectious diseases, analysis of the causes of disease outbreaks and the key factors, so as to find the optimal strategy for the prevention and control of infectious disease. The main contents of this paper are as follows:Firstly, a kind of hepatitis B virus model with CTL immunity is established, andthe dynamic stability of the equilibrium point is analyzed, the threshold of disease prevalence is obtained, that is, the basic reproduction number 0R . When 01R ≤, by constructing Lyapunov function, it is proved that the disease -free equilibrium is globally asymptotically stable by using Lassalle invariance principle;When 01R >, the system has a unique endemic equilibrium and is locally asymptotically stable at the local equilibrium point. Then, the theoretical results are verified by numerical simulation with appropriate parameters.Secondly, a class of hepatitis B virus model with delay and saturation incidence isstudied. Considering the recovery rate of infected cells, the threshold of disease is determined 0R , by constructing Lyapunov function, The Hurwitz criterion is used to prove when 01R <, for any delay, the disease -free equilibrium is globally asymptotically stable, at this point the disease died out. When 01R >, the system has a unique endemic equilibrium and is locally asymptotically stable at the local equilibrium point. Then, the theoretical results are verified by numerical simulation with appropriate parameters.Finally, an epidemic model with nonlinear incidence rate is studied,the dynamicstability of the equilibrium point of the model is obtained, the threshold of disease is determined 0R .Assume that all inputs are susceptible, When 01R <, by constructing Lyapunov function, it is proved that the disease -free equilibrium is globally asymptotically stable; When 01R >, the system has a unique endemic equilibrium and is locally asymptotically stable at the local equilibrium point. The theoretical resultsKey words: Infectious disease model, HBV, delay, Lyapunov function, stability目录第一章引言 (1)1.1 研究背景 (1)1.2 国内外研究现状 (2)1.3 主要研究内容 (4)1.4 知识预备 (5)1.4.1 Hurwitz判据 (5)1.4.2 Lassalle不变性原理 (5)第二章一类具有CTL免疫的乙肝病毒模型的稳定性分析 (7)2.1模型的建立 (7)2.2平衡点和基本再生数 (8)2.3无病平衡点的局部和全局稳定性 (8)2.4地方病平衡点的局部渐近稳定性 (10)2.5数值模拟 (11)2.6 本章小结 (14)第三章具有时滞和饱和发生率的乙肝病毒模型的稳定性分析 (15)3.1模型的建立 (15)3.2平衡点和基本再生数 (16)3.3无病平衡点的局部和全局稳定性 (16)3.4地方病平衡点的局部稳定性 (19)3.5数值模拟 (21)3.6本章小结 (25)第四章带有接种的非线性发生率的传染病模型的稳定性分析 (26)4.1 模型的建立 (26)4.2模型的分析 (26)4.3 无病平衡点的稳定性 (27)I4.3.2 无病平衡点的局部以及全局稳定性 (27)4.4地方病平衡点的局部稳定性 (29)4.5数值模拟 (31)4.6本章小结 (32)结束语 (33)参考文献 (34)攻读硕士学位期间研究成果 (39)致谢II第一章引言1.1 研究背景传染病[1-3]，人类文明的产物，并对人类文明产生了巨大而深刻的影响，比起历史上一些大的战争、暴乱等，传染病的影响可能更甚。
一类SInR传染病模型的稳定性分析
一类R SI n 传染病模型的稳定性分析宋贽，惠淑荣*，陶桂洪（沈阳农业大学 理学院，沈阳 110866）摘要：近年来研究发现，染病者不同个体病毒水平差异很大，传染力也不同。
如果疾病传播与传染力相关，其差异可以帮助解释疾病传播中某些费解现象，并且正是由于这种差异，一小部分染病者个体可能是疾病传播的主要因素，因此，本文建立一个R SI n 传染病模型来研究传染力不同对疾病的影响，应用现代数学中的微分方程理论和非线性动力学的方法，得到了疾病传播的基本再生数，并进行了模拟仿真。
关键词：R SI n 传染病模型；全局稳定性；基本再生数；阈值Stability Analysis for an R SI n Epidemic ModelSONG Zhi , HUI Shu-rong * , TAO Gui-hong(College of Science, Shenyang Agricultural University, Shenyang 110866, China)Abstract: Recent studies in infected individuals show that viral levels vary widely between individuals. If infections are correlated with infectiousness, these variations explain puzzling results from infections transmission studies and suggest that a small subset of infected people may be responsible for a disproportionate number of infections, therefore, we use a R SI n model to study the impact of variations in infectiousness, applying ordinary equation theory and nonlinear dynamics methods, we derive the reproductive number, and carry out numerical simulations. Key words: R SI n epidemic model; Global Stability; Reproductive number; ThresholdConventional epidemic models mostly assume that all susceptibles, infectives are equivalent, without distinction, In fact, this assumption establishes only when time is short, closed environment, for studies on pathogenesis of infectious diseases for a long time, large scale does not apply, more recent research models become more like actual, is divided into two main areas: considered as susceptible of different types of individual health, growth, environment, and so different, possibility of contact with infected patients were infected with the disease is different, you can further immune susceptible divided into n, according to their degree of susceptibility of different groups of susceptible,denoted ),,2,1(,n i S i ,that n S IR model [1]; Similarly, considered infected individuals due to their immune system, such as in vivo characteristics and differences of the environment, ability to spread基金项目：沈阳农业大学青年教师科研基金资助项目（20081021）作者简介：宋贽（1982-）,女,沈阳农业大学助教,硕士,从事微分方程定性和分支理论的研究。
一类具有脉冲出生的传染病模型的稳定性分析的开题报告
一类具有脉冲出生的传染病模型的稳定性分析的开题报告背景：传染病模型是传染病疫情爆发和流行预测的重要工具。
常见的传染病模型包括SIR模型、SEIR模型等。
这些模型通常假设新生个体是连续流动进入人群中，即通过一种连续出生的方式进入系统，因此这些模型不适用于处理一些特殊的传染病，比如一些短暂爆发的传染病，如天花，非典等。
这些短暂爆发的传染病往往具有脉冲出生的特性，均在短时间内集中出现，因此一个新的模型建立和分析模型的稳定性势在必行。
目的:本研究旨在探究一类具有脉冲出生的传染病模型的稳定性特性，并运用数学方法和计算机模拟技术，分析这类模型在不同参数条件下的稳定性和行为规律。
方法：本研究将采用微分方程理论来建立脉冲出生的传染病模型，并分析该模型的平衡点分布、Hopf分岔、边界平衡点分歧等稳定性特性。
此外，利用数值计算方法，通过Matlab等数学软件对该模型进行模拟计算，对比理论分析与实际计算，从而研究该模型的稳定性特性。
预期结果：通过对一类具有脉冲出生的传染病模型的分析，我们可以得到该模型在不同参数条件下的平衡状态和稳定性特征，并能够准确预测传染病流行的趋势。
本研究可以为社会公共卫生部门提供决策参考，有助于制定防治传染病的措施和战略。
实施计划：1、研究相关文献，了解已有的传染病模型的研究进展；2、结合传染病的实际情况建立脉冲出生的传染病模型；3、使用微分方程理论对模型进行定性分析，预测模型的平衡状态和稳定性特征；4、利用Matlab等数学软件对模型进行数值计算，验证理论分析；5、分析和讨论模型的稳定性特性以及实际传染病数据的拟合程度；6、撰写论文，并进行答辩。
一类SIR流行病数学模型稳定性的讨论_曹晓军
第32卷 第2期 吉首大学学报(自然科学版)Vol .32 No .2 2011年3月Jou rnal of Jishou University (Natural Science Edition )M ar .2011 文章编号:1007-2985(2011)02-0019-03一类SIR 流行病数学模型稳定性的讨论＊曹晓军(张家界航空工业职业技术学院,湖南张家界 427000)摘 要:介绍了一类SI R 流行病数学模型,并对其平衡点的局部和全局稳定性进行了讨论.关键词:传染病;传染病平衡点;局部稳定性;全局稳定性中图分类号:O 172 文献标志码:A1 SIR 模型设总人口为N ,易感者类及其数量为S ,感染者类及数量为I ,移出者类及数量为R .假设疾病流行时,人口出生率子数和自然死亡率系数相等,其值为b ,排除其他病死亡,设新生儿都是易感者,疾病发生率为双线性βS I ,恢复率系数为γ,且染病者移出后不被再传染.其数学模型为S ′=bN -βS I -bs ,I ′=βS I -γI -bI ,R ′=γI -bR ,(1)且N =S +I +R ,简称为SI R 模型.用框图表示疾病的传播规律如图1所示.图1 疾病的传播规律的方框图将(1)式中3个方程2边相加,则N ′=S ′+I ′+R ′=bN -bS -bI -bR =0,即N =S +I +R =K ,其中K 为常数.(1)式前2个方程不含R ,所以只需讨论(1)式的前2个方程组成的方程组:S ′=bK -βS I -bS ,I ′=βS I -γI -bI .(2)显然(2)式的无病平衡点(I =0时),S =K ,R =0,即E 0=(K ,0,0).当I ≠0时,可获得地方病平衡点E 1=(S 1,I 1,R 1).由(2)式的第2个方程I ′=(βS -γ-b )I =0可得S 1=γ+b β,代入(2)式的第1个方程得I 1=bK -bS 1βS 1=b [βK -(b +γ)]β(b +γ).由(1)式的第3个方程可得R =γb I 1=γ[βK -(b +γ)]b +γ.由现实意义,系统(1)式满足以下初始条件S (0)>0,I (0)≥0,R (0)≥0,从生物学角度出发,只在R 3+0={(S ,I ,R )|S >0,I ≥0,R >0}上考虑.故集合D ={(S ,I ,R )|S >0,I ≥0,R >0,S +I +R ≤K }是(1)式的不变集.＊收稿日期:2011-02-10基金项目:作者简介:曹晓军(1971-),男,湖南资兴人,张家界航空工业职业技术学院讲师,硕士,主要从事微分方程教学研究.2 平衡点的稳定性令R 0=βKb +γ,则有:(1)R 0≤1时,方程组(1)式有唯一的非负平衡点E 0;(2)R 0>1时,方程组(1)式有2个非负平衡点E 0和E 1,其中E 0=(K ,0,0),E 1=(b +γβ,b [βK -(b +γ)]β(b +γ),γ[βK -(b +γ)]b +γ).定理1 当R 0<1时,则平衡点E 0是局部渐近稳定的.证明 方程组(1)式在E 0=(K ,0,0)处的线性近似系统为S ′=-bS -βK I ,I ′=βK I -γI -bI ,R ′=γI -bR ,A =-b-βK0βI -γ-b00γ-b,即特征方程为|λE -A |=λ+bβK 00λ-βK (γ+b )0-λλ+b=0.因此在E 0处变分系统的特征方程为(λ+b )(λ-βK +γ+b )(λ+b )-0,显然λ1=-b ,λ2=βK -(γ+b ),λ3=-b .根据条件R 0<1,即βK <γ+b .上述3个特征根均为负植,所以平衡点E 0是局部渐近稳定的.定理2 若R 0>1,则平衡点E 0是不稳定点,且平衡点E 1是局部渐近稳定的.证明 由于R 0>1,即λ2>1,亦即(1)在平衡点E 0处的变分系统的特征方程根有一正实数,所以E 0是不稳定的,下面分析平衡点E 1的局部稳定性.由(1)式得平衡点E 1处的线性化系统为S ′=-bS -βS I 1-βS 1I ,I ′=βK I 1,R ′=γI -bR ,A =-b -βI 1-βS 10βI 1000γ-b,由此可得E 1处变分系统的特征方程为λ+b +βI 1βS 10-βI 1γ-λλ+b=0,即(λ+b )[λ(λ+b +βI 1)+β2S 1I 1]=0,而(λ+b )=0的根是负实数.再分析[λ(λ+b +βI 1)+β2S 1I 1]=0的根.假设该方程的某个根λ=u +vi 的实部是非负的,即u >0,把u +vi 代入该方程,则得u 2-v 2+2uv i +(b +βI 1)u +(b +βI 1)vi +β2S 1I 1=0,即:(b +βI 1+2u )v =0,u 2-v 2+(b +βI 1)u +β2S 1I 1=0.下面分2种情况讨论之:(1)如果v ≠0,则b +βI 1+2u =0,u =-b -βI 12<0,这与假设矛盾,故假设不成立;(2)如果v =0,则u 2+(b +βI 1)u +β2S 1I 1=0,可得它的2个根u 1,u 2应满足u 1+u 2=-(b +βI 1),且u 1·u 2=β2S 1I 1,即u 1,u 2均为负数,这与假设矛盾,假设不成立.因此λ(λ+b +βI 1)+β2S 1I 1=0的根具有负实部.综合所知,平衡点E 1处的变分系统的特征方程根都具有负实部,所以平衡点E 1是局部渐近稳定的.定理3 若R 0<1,则无病平衡点E 0是全局渐近稳定的.证明 考虑系统(1)式的子系统:S ′=bN -bS -βS I ,I ′=βS I -γI -bI ,(3)令bN =bK ,当I =0时,S =K ,E 0(K ,0).令x =S -K ,则有x ′=S ′,x +K =S ,于是(3)式可化为x ′=-bx -βx I -βK I ,I ′=βx I +(βK -γ-b )I .(4)20吉首大学学报(自然科学版)第32卷令v =12x 2+KI ,则由(4)式可得v ′=x ·x ′+KI ′=x (-bx -βx I -βK I )+K [βx I +(βK -γ-b )I ]=-bx 2-K (γ+b )(1-R 0)I ≤-bx 2≤0.由于集合D ={(S ,I ,R )|S >0,I ≥0,R >0,S +I +R ≤K }是(1)式的不变集,当R 0<1时,根据Lassale 不变原理知(3)式的无病平衡点E 0(K ,0)是全局渐近稳定的.因此(1)式的第3个方程的极限lim t ※∞R ′=γI -bR =0,即lim t ※∞R =0.综上所述,无病平衡点E 0(K ,0,0)是全局渐近稳定的.定理4 若R 0>1,则平衡点E 1是全局渐近稳定的.证明 考虑(3)式,令x =S -S 1,则S =x -S 1,S ′=x ′.(3)式化为x ′=bN -b (x +S 1)-β(x +S 1)I .又在E 1处有bN =bS 1+βS 1I 1,于是(3)式化为x ′=-bx -βS 1(I -I 1)-βx I ,I ′=βx I .(5)又令v =12x 2+S 1[I -I 1-I 1ln I I 1],则由(5)式可知v ′=x ·x ′+S 1[I ′-I 1II ′]=-bx 2-βx 2I ≤-bx 2≤0.因此(3)式的地方病平衡点是全局渐近稳定的.即当R 0>1时,对(1)式的任意解(S (t ),I (t ),R (t ))有lim t ※+∞S =S 1,lim t ※+∞I =I 1,所以(1)式的第3个方程的极限方程为lim t ※+∞R ′=γI 1-bR =0,经计算可得R 1=γb I 1=γ[βK -(b +γ)]β+γ.综合上述,地方病平衡点E 1(b +γβ,b [βK -(b +γ)]β(b +γ),γ[βK -(b +γ)b +γ)全局渐近稳定.参考文献:[1] 陈军杰.几个具有隔离项的传染病模型的局部稳定性和全局稳定性[J ].生物数学学报,2004,19(1):57-64.[2] 蒋长安,何建平.流行病数学模型初探[J ].陕西师范大学学报,2003(15):75-78.[3] 靳 祯,马知恩.具有连续和脉冲预防接种的SI RS 传染病模型[J ].华北工学院学报,2003,24(4):235-243.[4] 徐文雄,张太雷.具有隔离仓室流行病传播数学模型的全局稳定性[J ].西安交通大学学报,2005,39:210-213.Stability of a Class of SIR Epidemic Mathematical ModelCAO Xiao -jun(Zhang jiajie Aer onautica l V ocatio nal -T echnical College ,Zhang jiajie 427000,Huna n China )A bstract :A class of SIR epidemic m athem atical m odel is intro duced ,and the local and global stability of its equilibrium point are discussed .Key words :epidemic ;epidemic equilibrium point ;lo cal stability ;g lobal stability(责任编辑 向阳洁)21第2期 曹晓军:一类SIR 流行病数学模型稳定性的讨论。
一类具有饱和发生率的SEIR模型的稳定性
一类具有饱和发生率的SEIR模型的稳定性杨彩虹;胡志兴【摘要】讨论了一类具有垂直传染与饱和发生率的 SEIR 模型的稳定性，考虑了接种免疫对传染病传播的影响。
通过计算得到模型的基本再生数 R0，证明了当R0≤1时，无病平衡点是局部渐近稳定和全局渐近稳定的。
利用 Hurwitz 判据和第二加性复合矩阵证明了当 R0＞1时，地方病平衡点是局部渐近稳定的，且在一定条件下是全局渐近稳定的。
【期刊名称】《河南科技大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2017(038)001【总页数】6页(P78-83)【关键词】垂直传染;饱和发生率;SEIR;稳定性【作者】杨彩虹;胡志兴【作者单位】北京科技大学数理学院，北京 100083;北京科技大学数理学院，北京 100083【正文语种】中文【中图分类】O175传染病严重威胁人类健康，所以对传染病模型的研究越来越得到人们的重视，而且近20年来的研究也取得了显著成果。
比较简单的传染病模型有易感者-患病者(susceptible-infectious，SI)模型、易感者-患病者-康复者(susceptible-infectious-recovered，SIR)模型和易感者-潜伏者-患病者-康复者(susceptible-exposed-infectious-recovered，SEIR)模型等仓室模型。
文献[1-2]对具有饱和感染率、饱和治愈率以及垂直感染的SIR传染病模型进行了研究,这类模型将人口种群分为易感者S、患病者I和康复者R，简称SIR模型，研究发现：系统会出现后向分支和hopf分支，并分析了此类传染病的传播过程和预防治疗方向。
然而现实生活中有些传染病是具有潜伏期的，一般将携带病毒但没有发病的人群记为潜伏者E，对这类传染病可建立SEIR仓室模型。
文献[3]分别对SIR模型和SEIR模型进行了讨论，发现虽然SEIR模型比SIR模型复杂，但研究方法和结果有许多相似之处，而且当具有线性治愈率时，系统仅存在无病平衡点和一个地方病平衡点，当然也存在众多差异。
一类手足口病SEIQR传染病模型的稳定性分析
摘 要 ： 研 究 了一 类具 有 隔 离且 潜伏 期及 感 染期 均 有传 染性 的手 足 口病 Ｓ Ｉ Ｅ ＱＲ传 染病模 型． 到 得
了该 模 型 的 无 病 平 衡 点 和 地 方 病 平 衡 点 局 部 稳 定 的 条 件 ， 造 Ｌ ａ ｕ ｏ 构 ｙ ｐ ｎ ｖ函 数 证 明 了 无 病 平 衡 点 的
近几 年在我 国多个地 区 出现 的手足 口病 ＨＦ ＭＤ（ ｎ ， ｏ ｔ ｎ ｕｈＤ ｓ ｓ ， ＭＤ）是 由肠 道病 毒 引起 的 Ｈａ ｄ Ｆ ｏ ｄＭｏ ｔ ｉ ａｅ ＨＦ ａ ｅ ，
传 染病 ， 通过人 群 间的密切接 触传染 ， 多发生于 ５岁 以下 孩童 ， 可引 起手 、 、 足 口等部 位 的疱疹 ， 数患儿 可引起 少 心肌炎 、 菌性 脑膜 炎等并 发症 ， 无 个别 重患 儿病 情发 展 快 ， 致死 亡． 导 因此 ， 伏期 和染 病期 均 有传 染 的 流行病 潜
Ｓ ａ ｉ ｔ ａｙ ｉ ｏ ｌｓ ｆＳ Ｉ ｐｄ ｍｉ ｏ ｅ ｆ ｒ ｔ ｂ ｌ ｙ Ａｎ ｌｓ ｆａＣ ａ ｓｏ Ｅ ＱＲ Ｅ ｉ ｅ ｃＭ ｄ ｌ ｏ ｉ ｓ
Ｈａ ｎｄ， ｏ ｎｄ Ｍ ｏ ｔ ｓ ａ ｅ Ｆｏ ｔａ ｕ ｈ Ｄｉｅ ｓ ｓ
Ｍ ＥＮＧ ｎ ｙ ｕ， ＡＮＧ ｎ Ｚ Ｘｉ ～ ｏ ＸＩ Ｈｏ ｇ， ＨＵ －ｉ ， ＨＡＮＧ ａ — ｉｇ Ｙｕｊｅ Ｚ Ｘｉｏ ｂ ｎ
（ ｃ ｏ ｌ ｆ Ｓ ｉ ｃｓ Ｌ ｎ ｈ ｕＵ ｉｅ ｓ ｙ ｏ ｃｅ ｃ ｎ ｅｈ ｏｏ ｙ， ａ ｚ ｏ ３ ０ ０ Ｃ ｉａ Ｓ ｈ ｏ ｏ ｃｅ ｅ ， ａ ｚ ｏ ｎ ｖ ｒｉ ｆ Ｓ ｉ ｅ ｄ Ｔ ｃ ｎ ｌｇ Ｌ ｎ ｈ ｕ ７ ０ ５ ， ｈ ｎ ） ｎ ｔ ｎ ａ
一类SI流行病模型正常数平衡解的稳定性
则 Ｘ一④ Ｘ Ｘｊ ，＿
算子 为
≤寺［ ＋ ｚ ｚ 一（一 ）
～
系 统 （ ） 平 衡 态 问 题 在 处 的线 性 化 ３的
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＜
注 意 到 是 在 ｘ 中的特征 值 当且 仅 当对 某 个 ≥ １ 是矩 阵 的特征 值 ， 中 ， 其
一
其 中 为不依 赖 于 的正 常数 ．
上 面 的讨 论 说 明存 在一 个 不依 赖 于 ｉ 的 正 常数 使 得 Ｒ ＜ 一 ， １ 因 此 ， ｅ Ｖ≥ ． 对
∈ Ｑ，
∈ Ｑ，
令 ０ ｌ ２ ３ … 是 算 子 一△在 齐 一 ＜ ＜ ＜ 次 Ｎｅ ｍａ ｎ 边 界 条 件 下 的 全 体 特 征 值 ， ｕ ｎ
（） ３
Ｅ（ 是 在 Ｈ Ｑ） 的特征 子 空 间． Ｘ ） （ 中 令
收 稿 日期 ： ０ １ ０ － ０ ２ １ － ７２
摘
要 ： 文研 究一 类扩 散 项 的 Ｓ 流 行 病 模 型唯 一 的 正 常数 平衡 解 的 稳 定 性 ． 本 Ｉ
一类具有饱和发生率和时滞的SEIQR传染病模型稳定性分析
一类具有饱和发生率和时滞的SEIQR传染病模型稳定性分析李冬梅;张煜;Yue WU;董在飞【摘要】考虑了隔离和接种对疾病的控制影响,建立了一类具有饱和发生率的时滞SEIQR传染病模型,给出了模型无病平衡点和地方病平衡点存在条件及模型的持久性,借助持久性构造了Liapunov函数,证明了无病平衡点和地方病平衡点的全局稳定性,利用数值模拟验证了模型动力学性质.%Considering the effect of isolation and vaccination on control of disease,a SEIQR epidemic model with saturated incidence and time delay is established.Then,the existence condition of the disease-free equilibrium and endemic equilibrium and the permanence of model are obtained.The global stability of the disease-free equilibrium and endemic equilibrium are proved by constructing an appropriate Liapunov function,numerical simulations are presented to verify the properties of the models dynamics.【期刊名称】《哈尔滨理工大学学报》【年(卷),期】2017(022)002【总页数】5页(P78-82)【关键词】时滞;隔离;持久性,稳定性【作者】李冬梅;张煜;Yue WU;董在飞【作者单位】哈尔滨理工大学应用科学学院,黑龙江哈尔滨150080;哈尔滨理工大学应用科学学院,黑龙江哈尔滨150080;Schlumberger Western Geco,Katy Tx,77494;哈尔滨理工大学应用科学学院,黑龙江哈尔滨150080【正文语种】中文传染疾病爆发初期，或者易感者数量较多时，染病者多以双线性βSI、标准发生率βSI/N传播疾病[1-3]。
一类具有时滞的传染病模型Hopf分支及稳定性分析
第35卷第1期2021年2月南华大学学报(自然科学版)Journal of University of South China(Science and Technology)Vol.35No.1Feb.2021收稿日期:2020-08-24基金项目:湖南省自然科学基金项目(2020JJ4516);湖南省教育厅重点项目(17A181)作者简介:张露露(1996 ),女,硕士研究生,主要从事微分方程方面的研究㊂E-mail:2234472312@㊂∗通信作者:廖茂新(1969 ),男,教授,博士,主要从事微分方程方面的研究㊂E-mail:841139745@DOI :10.19431/ki.1673-0062.2021.01.012一类具有时滞的传染病模型Hopf 分支及稳定性分析张露露,廖茂新∗,邓兴颖(南华大学数理学院,湖南衡阳421000)摘㊀要:研究了一类具有非线性传染率的传染病模型,确定了模型的基本再生数R 0,分析了模型无病平衡点和地方病平衡点的稳定性,以时滞为参数,得到了在地方病平衡点处Hopf 分支存在的条件㊁最后数值模拟以验证结果㊂关键词:Hopf 分支;时滞;平衡点;稳定性中图分类号:O175文献标志码:A文章编号:1673-0062(2021)01-0071-06Hopf Bifurcation and Stability Analysis of Epidemic Modelwith Time DelayZHANG Lulu ,LIAO Maoxin ∗,DENG Xingying(School of Mathematics and Physics,University of South China,Hengyang,Hunan 421001,China)Abstract :It studied an epidemic model with nonlinear infection rate was,determined the basic reproductive number of regenerations for the model,and analyzed the stability of the model disease-free balance point and the local disease balance point.The conditions forHopf bifurcation at the local disease balance point are obtained on the parameter of time delay,numerical simulation to verify the results.key words :Hopf bifurcation;delay;the balance point;stability0㊀引㊀言传染病是一类由病原体或寄生虫引起的一类疾病,部分传染病会长期伴随人类共存,而有些传染病会在有效的防治措施下逐渐消亡㊂[1]在人们与传染病的长期抗争过程中,研究者们逐渐发现,在人体受到感染后,感染初期并不会表现出任何的症状,在一定时间之后,某些症状才回逐步表现出来㊂[2-8]也就是说,在传染病的传播过程中,某时刻种群的变化除受当前状态影响外,也会收到此前时刻的某些因素的影响[9]㊂但在研究初期,研究者们一般未考虑到时间滞后的因素㊂我们在传㊀㊀㊀南华大学学报(自然科学版)2021年2月染病模型中将时滯因素考虑进来,可以更加精准的反应传染病的实际传播机理及传播形态,以帮助我们提出㊁制定更加有效的控制传播范围的措施[10-16]㊂在前人的基础上,本文研究了一类具有时滯和非线性传染率的传染病模型,研究了平衡点的稳定性,及Hopf 分支的存在㊂在传染病模型中引入时滯,用于模拟传染病的潜伏期,利用基本再生数R 0判断疾病在一段时间时间发展后是仍然流行或是最终消亡;发现了在一定的条件下,时滯的引入会导致系统出现周期解,地方病平衡点E ∗处出现Hopf 分支㊂本文在文献[10]的基础上,将传染率kSI1+αI 2改为kS 2I 并引入时滞,得到以下模型:Sᶄ(t )=b -dS (t )-kS 2(t -τ)I (t -τ)+rR (t )Iᶄ(t )=kS 2(t -τ)I (t -τ)-(d +u )I (t )Rᶄ(t )=uI (t )-(d +r )R (t )ìîíïïïï(1)式中:S (t ),I (t ),R (t )分别表示在t 时刻易感染人群㊁已感染人群和恢复人群的数量;k 是比例常数,b 为人口的新增率,d 为人口的自然死亡率,u 是已感染人群的自然恢复率,r 是恢复人群失去免疫力后重新成为易感染人群的比率㊂考虑到生物学意义,系统(1)的初始条件ϕ={ϕ1,ϕ2,ϕ3}满足C +={ϕɪC ([-τ,0]),R 3+},其中R 3+={(S ,I ,R )ɪR 3:S ȡ0,I ȡ0,R ȡ0},ϕi (0)>0,i =1,2,3㊂1㊀稳定性分析及Hopf 分支存在的条件经计算可得系统(1)总有一个无病平衡点E 0=(bd,0,0),当R 0>1时,系统(1)有一正平衡点E ∗=(S ∗,I ∗,R ∗),其中S ∗=d +u k,I ∗=(d +r )(b -dS ∗)d 2+dr +du,R ∗=u d +r I ∗㊂系统(1)总存在一个无病平衡点E 0=(b d,0,0),接下来算基本再生数,由系统(1)可知新增染病者矩阵F 与移出染病者矩阵V 分别为F =[kS 2ˑ(t -τ)]I (t -τ),V =(d +u )I (t ),且F ,V 在无病平衡点E 0处的Jacobi 矩阵分别为F (E 0)=b d,V (E 0)=d +u ,可到基本再生数为R 0=ρ(FV -1)E 0=kS 2(t )d +uE 0=kb 2d 2(d +u )(2)对系统(1)首先分析其在平衡点E 0处的稳定性㊂求得系统(1)的线性化矩阵为A =-d -2kI (t )S (t )e -λτ-kS 2(t )e -λτr2kI (t )S (t )e -λτ-(d +u )+kS 2(t )e -λτu-(d +r )()(3)特征矩阵为B =λI -A =λ+d +2kI (t )S (t )e -λτkS 2(t )e -λτ-r -2kI (t )S (t )e -λτλ+(d +u )-kS 2(t )e -λτ-uλ+(d +r )()(4)㊀㊀定理1:当R 0<1时,无病平衡点E 0是局部渐近稳定的;当R 0>1时,无病平衡点E 0是不稳定的㊂证明:在无病平衡点E 0=(bd,0,0)处的特征方程为B 0=λ+d kS 2(t )e -λτ-r 0λ+(d +u )-kS 2(t )e -λτ-u +fλ+d +r()=(λ+d )[λ+(d +u )-kS 2(t )e -λτ](λ+d +r )=f (λ)27第35卷第1期张露露等:一类具有时滞的传染病模型Hopf分支及稳定性分析令f(λ)=0,得到λ1=-d,λ2=-(d+r)为特征方程的两负根,且有λ3满足λ=kS20e-λτ-d-u(5)令g(λ)=λ-kS20e-λτ+d+u,当R0<1时,假设g(λ)有具有非负实部的根Re(g(λ))=Re(λ)+d+u-e-Re(λ)τkS20cos[Im(λ)τ]=0㊀㊀(6)即Re(λ)=-(d+u)+e-Re(λ)τkS20cos[Im(λ)τ]ɤkS20-(d+u)=(d+u)(R0-1)㊂㊀㊀由于R0<1,则Re(λ)<0,则g(λ)=0的所有根具有负实部,则R0<1时,无病平衡点E0是局部渐进稳定的㊂当R0>1时,g(0)=d+u-kS20=(d+u)(1-R0)<0,又有gᶄ(λ)=1+kS20τe-λτ>0,可知Re(λ)单调递增且有g(0)<0,则必存在一正实数λ0>0,使得g(λ0)=0,因此R0>1时,无病平衡点E0不稳定㊂证毕㊂引理2:当R0>1,τ=0时,正平衡点局部渐进稳定㊂证明:系统在正平衡点E∗处的特征方程为f1(λ)=(λ+d){λ2+(2d+r+u)λ+(d+u)(d+r)+e-λτ[(2kS(t)I(t)-kS2(t))λ+2k(d+r+u)S(t)I(t)-k(d+r)S2(t)]}=(λ+d){λ2+p0λ+p1+e-λτ[(b0-a0)λ-a0p3+b0p4]}其中:p0=2d+r+u,p1=(d+u)(d+r),p3=d+r,p4= d+r+u,a0=kS2(t),b0=2kI(t)S(t)㊂f1(λ)=0,易得λ=-d是方程负实根,其它根由以下方程确定g1(λ)=λ2+p0λ+p1+e-λτ[(b0-a0)λ-a0p3+b0p4](7)当τ=0时方程变为g1(λ)=λ2+p0λ+p1+(b0-a0)λ-a0p3+b0p4㊂利用Routh-Hurwotz准则p0+b0-a0=(2d+r+u)+2kˑ(d+r)(b-dS∗)d2+dr+du㊃S∗-kˑd+uk=(d+r)+2kˑ(d+r)(b-dS∗)d2+dr+du㊃S∗则只需要b-dS∗>0(R0>1)时,p0+b0-a0>0㊂p1-a0p3+b0p4=(d+u)(d+r)+2kˑ(d+r)(b-dS∗)d2+dr+du㊃S∗㊃(d+r+u)-k㊃d+u k㊃(d+r)=2k㊃(d+r)(b-dS∗)d2+dr+du㊃S∗ˑ(d+r+u)只需要b-dS∗>0(R0>1)时,p1-a0p3+b0p4>0㊂由Routh-Hurwotz准则知,方程根具有负实部,因此当τ=0,(R0>1)时,地方病平衡点E∗局部渐进稳定㊂证毕㊂引理3:当p1-a0p3+b0p4>0且p1+a0p3-b0p4<0时,方程具有一对纯虚根ʃiθ(θ>0)㊂证明:当τ>0时,g1(λ)=λ2+p0λ+p1+e-λτ[(b0-a0)λ-a0p3+b0p4],将λ=iθ代入式中,并分离虚实部,得-θ2+p1=(a0p3-b0p4)cosθτ+(a0θ-b0θ)sinθτ-p0θ=(a0p3-b0p4)sinθτ-(a0θ-b0θ)cosθτ(8)ìîíïïïïïï两式平方相加得(-θ2+p1)2+(-p0θ)2=(a0p3-b0p4)2+(a0θ-b0θ)2,化简得θ4+[p20-2p1-(a0-b0)2]θ2+[p21-(a0p3-b0p4)2]=0(9)解得:θ2=-[p20-2p1-(a0-b0)2]+[p20-2p1-(a0-b0)2]2-4㊃[p21-(a0p3-b0p4)2]2(10)要使θ2>0,则要p21-(a0p3-b0p4)2<0㊂证毕㊂由式(8),可得37㊀㊀㊀南华大学学报(自然科学版)2021年2月τk =1θarcsin (-θ2+p 1)(a 0θ-b 0θ)-p 0θ(a 0p 3-b 0p 4)(a 0p 3-b 0p 4)2+(a 0θ-b 0θ)2+2k πθ,k =0,1,2, (11)引理4:d(Re λ)d τλ=i θ,τ=τk>0,其中τk 为式(11)㊂证明:由题意,证明d(Re λ)d τλ=i θ>0即可㊂令g 1(λ)=λ2+p 0λ+p 1+e -λτ(q 1λ+q 2)(12)其中q 1=b 0-a 0,q 2=b 0p 4-a 0p 3㊂式子(12)左右两边关于τ求导2λd λd τ+p 0d λd τ-τe -λτ(q 1λ+q 2)d λd τ-λe -λτ(q 1λ+q 2)+q 1e -λτd λd τ=0(13)可得d λd τ=λe -λτ(q 1λ+q 2)2λ+p 0+e -λτ[q 1-τ(q 1λ+q 2)](14)计算再有d λd τ()-1=2λ+p 0λe -λτ(q 1λ+q 2)+q 1λ(q 1λ+q 2)-τλ=2λ+p 0-λ(λ2+p 0λ+p 1)+q 1λ(q 1λ+q 2)-τλ(15)则有sign{dRe λd τλ=i θ}=sign {Red λd τ()-1λ=i θ}=sign {Re 2λ+p 0-λ(λ2+p 0λ+p 1)λ=i θ+Req 1λ(q 1λ+q 2)λ=i θ}=sign {Re -2θ-i p 0(i θ)2+i θp 0+p 1-i q 1i θq 1+q 2()}=sign {Re(2θ-i p 0)[(θ2-p 1)+i θp 0](θ2-p 1)2+(θp 0)2-i q 1(q 2-i θq 1)q 22+(θq 1)2()}=sign {2θ2-2p 1+p 20(θ2-p 1)2+(θp 0)2-q 21q 22+(θq 1)2}=sign{(2θ2-2p 1+p 20)[q 22+(θq 1)2]-q 21[(θ2-p 1)2+(θp 0)2][(θ2-p 1)2+(θp 0)2][q 22+(θq 1)2]}=sign{2θ2q 22+θ4q 21-2p 1q 22+p 20q 22[(θ2-p 1)2+(θp 0)2][q 22+(θq 1)2]}=sign{q 22(2θ2+p 20-2p 1)+θ4q 21[(θ2-p 1)2+(θp 0)2][q 22+(θq 1)2]}=sign {q 22[2θ2+(d +r )2+(d +u )2]+θ4q 21[(θ2-p 1)2+(θp 0)2][q 22+(θq 1)2]}=1>0证毕㊂㊀㊀由引理2㊁引理3㊁引理4,结合Hopf 分支理论与文献[4,11,16]可得到如下结论:定理2:当p 1-a 0p 3+b 0p 4>0,p 1+a 0p 3-b 0p 4<0,且当R 0>1时,如果τɪ[0,τ0)时,τ0=min(τj ),那么系统(1)的平衡点是局部渐进稳定;如果τ>τ0,那么系统(1)的平衡点是不稳定的,且当τ=τj 时,系统(1)的平衡点经历Hopf 分支㊂2㊀数值模拟前文讨论了时滞对无病平衡点及正平衡点的影响,接下来将通过数值模拟来直观的展示出时滞对系统解的影响㊂取参数b =1,d =0.8,u =0.2,r =0.4,k =4,则系统(1)为47第35卷第1期张露露等:一类具有时滞的传染病模型Hopf 分支及稳定性分析Sᶄ(t )=1-0.8S (t )-4S 2(t -τ)I (t -τ)+㊀㊀㊀0.4R (t )Iᶄ(t )=4S 2(t -τ)I (t -τ)-I (t )Rᶄ(t )=0.2I (t )-1.2R (t )ìîíïïïï(16)此时R 0=254>1,τ=1.3<τ0,系统存在唯一地方病平衡点,且地方病平衡点E ∗是局部渐近稳定的,此时疾病发展为地方病(见图1)㊂在同样参数条件下,选择τ=2.0>τ0时,此时地方病平衡点不再稳定(见图2)㊂图1㊀当τ=1.3<τ0时,模型(16)的正平衡解是渐进稳定的Fig.1㊀The positive equilibrium of (16)was asympomatic stable when τ=1.3<τ图2㊀当τ=2.0>τ0时,模型(16)的正平衡解是不稳定的Fig.2㊀The positive equilibrium of (16)wasn t stable when τ=2.0>τ057㊀㊀㊀南华大学学报(自然科学版)2021年2月3㊀结㊀论本文讨论了一个具有非线性发生率的具有时滞的流行病模型的稳定性,确定了基本再生数R0,由霍尔维兹定理判断了非负平衡点的局部稳定性㊂对于任意时滞,当R0<1时,无病平衡点全局渐进稳定的,即随着时间的推移,疾病最终消亡;R0 >1,时滞不为零时,在一定条件下,E∗不再稳定,系统出现周期解地方病平衡点出现Hopf分支㊂参考文献:[1]LIU Q,JIANG D Q,SHI N Z,et al.Asymptotic behavior of a stochastic delayed SEIR epidemic model with nonlinear incidence[J].Physica A:Statistical mechanics and its ap-plications,2016,462:870-882.[2]李林.经济系统中几个微分方程模型[J].中国科学院研究生院学报,2013,20(3):273-278. 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一类具有时滞和标准发生率的SIR流行病模型的稳定性分析的开题报告
一类具有时滞和标准发生率的SIR流行病模型的稳定性分析的开题报告标题：一类具有时滞和标准发生率的SIR流行病模型的稳定性分析摘要：本文研究了一类具有时滞和标准发生率的SIR流行病模型的稳定性分析。
该模型考虑了病毒在潜伏期结束后才能感染他人的传播机制，并且使用标准发生率描述感染概率。
通过构建矩阵型Lyapunov-Krasovskii函数，我们证明了系统在全局意义下的稳定性。
特别地，我们证明了无病平衡点的稳定性以及当时滞存在时系统的稳定性。
此外，我们还进行了数值模拟，验证了理论结果的可行性。
关键词：SIR模型；时滞；标准发生率；稳定性；Lyapunov-Krasovskii函数内容：1. 引言随着全球化的不断深入，疾病传播变得越来越常见和复杂。
对疾病传播的建模和控制成为了重要的研究领域。
其中，SIR（易感者-感染者-康复者）模型是流行病学中常用的模型之一。
该模型描述了人口的感染和康复过程，可以提供给决策者制定有效的公共卫生政策。
然而，由于疫情的不可预测性，SIR模型的稳定性分析变得非常重要。
2. 模型描述考虑一类具有时滞和标准发生率的SIR流行病模型。
该模型的传播机制假设病毒在潜伏期结束后才能感染他人。
易感者（S）感染病毒后成为感染者（I），随后康复并具备免疫能力成为移动免疫者（R）。
模型的动力学可以用以下方程式描述：dS(t)/dt = -βIS(t-τ)/(1+αI(t-tau))dI(t)/dt = [βIS(t-τ)/(1+αI(t-tau))] - γI(t)dR(t)/dt = γI(t)其中，β表示感染率，γ表示康复率，τ表示潜伏期长度，α表示标准发生率。
在此基础上，我们引入了一个与时滞有关的函数q(t)来描述减少的接触率，即：q(t) = exp(-d(t-θ))，当 t >= θ时，q(t) = 13. 稳定性分析为了分析该模型的稳定性，我们构建了一个矩阵形式的Lyapunov-Krasovskii函数，该函数的导数等于一定量的负数。
一类SIS流行病传播数学模型全局渐近稳定性
令 D= 0, d + A= L, 系统( 1) 和 ( 2) 化为文[ 6] 中的模型 S Û = r - dS I = Û 推论 成立 : bIS , 1 + aI ( 7) ( 8)
Q
S r d
r x- d dx + I , x
ad ( A + d + D) 2 ( R 0 - 1) - ( A+ d ) b( A+ d + ar ) ad ( A+ d + D) 2 ( R 0 - 1) b( A+ d + ar)
,
显然 V 定正, 且沿系统 ( 1) 和( 2) V 对 t 的全导数 r Sd V= Û S+ Û I = S Û dS - r ( r - dS - bIS + D I) + dS 1 + aI bIS - ( A+ d + D) I = 1 + aI ( dS - r ) 2 br - [ A+ d + D]IdS d( 1 + aI ) r ( - 1) D I = dS
*
5
讨论
4 临界情形数值模拟结果
考虑临界情形 R 0 = 1, 将系统 ( 1) 和 ( 2) 离散 化, 做数值模拟分析 . 选取 r = 0. 02, b = 0. 05, a = 5, A= 0. 01, d = 0. 03, D = 0. 02, 取 9 组初值进行数值计算, 计算机 模拟结果如图 1 所示 .
bIS - ( d + A+ D) I , 1 + aI 可见 , 在临界情况下, 无病平衡点很有可能是 渐近稳定的.
则 5 ( BP ) 5( BQ) r D ab + =- 2 - 2< 0. 5S 5I S I S ( 1 + aI ) 2 利用 Dulac 判定定理可知系统( 1) 和( 2) 在第一象限 内无闭轨线 , 故结合定理 2. 2 可知 : 当 R 0 > 1 时 , 地 方病平衡点 E 全局渐近稳定 .
具有时滞和一般接触率的扩散病毒模型的稳定性
第３７卷第３期２０２３年５月兰州文理学院学报(自然科学版)J o u r n a l o fL a n z h o uU n i v e r s i t y ofA r t s a n dS c i e n c e (N a t u r a l S c i e n c e s )V o l ．３７N o ．３M a y ２０２３收稿日期:２０２２Ｇ０３Ｇ０６基金项目:福建省教育科学 十四五 规划课题(F J J K B K ２１Ｇ１００);泉州科技高层次人才创新创业项目(２０１８C ０９４R );福建省教育厅中青年教育科研项目(J A T ２１０６１６,J A T ２００９８０)作者简介:陈清婉(１９８６Ｇ),女,福建南安人,讲师,研究方向:非线性偏微分方程㊁生物数学．E Ｇm a i l :l w q８４８１５＠１６３．c o m．㊀㊀文章编号:２０９５Ｇ６９９１(２０２３)０３Ｇ０００８Ｇ０６具有时滞和一般接触率的扩散病毒模型的稳定性陈清婉,柳文清(闽南科技学院通识教育学院,福建泉州３６２３００)摘要:研究了具有时滞和一般接触率的扩散病毒模型,研究了无病平衡点和感染平衡点的稳定性,结论表明:当基本再生数R ０ɤ１时,无病平衡点是全局渐近稳定的,此时病毒趋于灭绝．当基本再生数R ０＞１时,感染平衡点是全局渐近稳定的,病毒蔓延．最后,利用数值模拟验证所得结论．关键词:时滞;一般接触率;扩散;稳定性中图分类号:O １７５．１３㊀㊀㊀文献标志码:AS t a b i l i t y o fD i f f u s i v eV i r u sM o d e lw i t hT i m eD e l a y a n dG e n e r a l C o n t a c tR a t eC H E N Q i n g Ｇw a n ,L I U W e n Ｇq i n g(S c h o o l o fG e n e r a l E d u c a t i o n ,M i n n a nS c i e n c e a n dT e c h n o l o g y C o l l e g e ,Q u a n z h o u３６２３００,F u ji a n ,C h i n a )A b s t r a c t :T h e d i f f u s i o nv i r u sm o d e lw i t ht i m ed e l a y an d g e n e r a l c o n t a c t r a t e i ss t u d i e d ,a n d t h e s t a b i l i t y t h e d i s e a s e Ｇf r e e e q u i l i b r i u m p o i n t a n d i n f e c t i o n e q u i l i b r i u m p o i n t a r e s t u d i e d ．T h e r e s u l t s s h o wt h a t t h ed i s e a s e Ｇf r e ee q u i l i b r i u m p o i n t i s g l o b a l l y a s y m p t o t i c a l l y st a b l ea n dt h e v i r u s t e n d s t o b e e x t i n c tw h e n t h e b a s i c r e p r o d u c t i v e n u m b e r R ０＜１,t h e i n f e c t i o n e qu i l i b r i u m i s g l o b a l l y a s y m p t o t i c a l l y s t a b l e a n d t h e v i r u s s p r e a d sw h e n t h e b a s i c r e pr o d u c t i v e n u m b e r R ０＞１．F i n a l l y ,t h e r e s u l t s a r e v e r i f i e db y n u m e r i c a l s i m u l a t i o n ．K e y wo r d s :t i m e d e l a y ;g e n e r a l c o n t a c t r a t e ;d i f f u s i o n ;s t a b i l i t y 0㊀引言当今世界,越来越多的人受到艾滋病㊁禽流感㊁霍乱㊁埃博拉等疾病的困扰．为了探索这些疾病的机制,科学家提出了许多描述疾病传播的数学模型,如传染病模型(S I ㊁S I R ㊁S E I )[１Ｇ４]和宿主病毒模型(H B V ㊁H C V ㊁H I V )[５Ｇ９]．考虑到病毒进入宿主传播或者染病细胞分解成游离病毒时都有一定的延迟,从而得到具有时滞的病毒传播模型[１０Ｇ１３]．另一方面,考虑到细胞和病毒在宿主体内或空气中的自由扩散运动,可得到具有时空效应的反应扩散病毒模型[１４Ｇ１７]．基于以上考虑,本文建立具有扩散和时滞的病毒模型u t ＝d １Δu ＋１－u －f (u ,v ),㊀㊀(x ,t )ɪΩˑ(０,T );w t ＝d ２Δw ＋e －σ１τf (u τ,v τ)－ρ１w ,㊀㊀(x ,t )ɪΩˑ(０,T);v t ＝d ３Δv ＋ρ２e －σ２τw τ－ρ３v ,㊀㊀(x ,t )ɪΩˑ(０,T );∂u ∂n ＝∂w ∂n ＝∂v∂n ＝０,㊀㊀x ɪ∂Ωˑ(０,T );u (x ,s )＝φ１(x ,s ),w (x ,s )＝㊀㊀φ２(x ,s ),v (x ,s )＝φ３(x ,s ),㊀㊀(x ,s )ɪΩˑ(－τ,０)．ìîíïïïïïïïïïïïïïïïïïï(１)类似于文献[１８],对模型中的系数做了无量纲简化．其中u ,w ,v 分别表示未感染细胞密度㊁感染细胞密度和游离病毒密度．u τ＝u (x ,t －τ),v τ＝v (x ,t －τ),w τ＝w (x ,t －τ),其他参数均为正常数;初值φ１(x ,s ),φ２(x ,s ),φ３(x ,s )非负连续不恒为０;d i ＞０,i ＝１,２,３,表示扩散率;f (u ,v )表示病毒感染函数,可微并且满足如下条件:f (０,v )＝f (u ,０)＝０;㊀㊀f (u ,v )＞０,当u ,㊀㊀v ＞０;㊀㊀当v ȡ０,存在η＞０,u ,㊀㊀㊀使得f (u ,v )＜ηu ∂f ∂u ＞０,u ȡ０,v ＞０;㊀㊀∂f ∂v ȡ０,㊀㊀v ∂f ∂v ɤf (u ,v ),u ,v ȡ０．ìîíïïïïïïïïïïïïïïïï(２)容易验证当f (u ,v )分别为βu v １＋b v ,βu v １＋a u ＋b v,βu v １＋a u ＋b v ＋c u v (a ,b ,c ,β＞０)时均满足条件(２),文献[１５Ｇ１７]分别讨论了这三种形式只有病毒扩散的情形．本文在这些研究的基础上进一步讨论具有一般接触率的问题．定义基本再生数为R ０＝ρ２e －(σ１＋σ２)τρ１ρ３∂f (１,０)∂v ．仿照文献[１８],当R ０＜１时,模型(１)存在唯一的无病平衡点E ０＝(１,０,０);当R ０＞１时,模型(１)存在唯一的地方病平衡点E ∗＝(u ∗,w ∗,v ∗)．本文主要证明平衡点的局部稳定性和全局稳定性．局部稳定性通过特征值分析得到,全局稳定性通过构造L y a pn o v 函数加以证明．1㊀边界平衡点的稳定性引理１㊀当R ０＜１时,E ０＝(１,０,０)是局部渐近稳定的;当R ０＞１时,E ０＝(１,０,０)是不稳定的．证明㊀记Ω上的算子ＧΔ在齐次N e u m a n n 边界条件下的特征值序列为０＝μ０＜μ１＜ ,通过计算,不难得出模型(１)在平衡点E ０的特征值方程为(λ＋d １u i ＋１)[λ２＋(d ２u i ＋d ３u i ＋ρ３＋ρ１)λ＋(d ２u i ＋ρ１)(d ３u i ＋ρ３)－ρ２e －(σ１＋σ２)τe －２λτ∂f (１,０)∂v]＝０．上述方程有一负特征根,其余特征根由f １(λ)＝λ２＋(d ２u i ＋d ３u i ＋ρ３＋ρ１)λ＋(d ２u i ＋ρ１)(d ３u i ＋ρ３)－ρ２e －(σ１＋σ２)τe －２λτ∂f (１,０)∂v(３)决定．当R ０＞１且i ＝０时f １(０)|i ＝０＝ρ１ρ３－ρ２e －(σ１＋σ２)τ∂f (１,０)∂v＝ρ１ρ３(１－R ０)＜０,这说明特征值有一正根,故E ０不稳定．当R ０＜１,τ＝０时,f １(λ)＝λ２＋(d ２u i ＋d ３u i ＋ρ３＋ρ１)λ＋(d ２u i ＋ρ１)(d ３u i ＋ρ３)－ρ２∂f (１,０)∂v．由于(d ２u i ＋ρ１)(d ３u i ＋ρ３)－ρ２∂f (１,０)∂vȡρ１d ３u i ＋ρ１ρ３(１－R ０)＞０．此时,特征方程有两负根,则R ０＜１,τ＝０时,E ０局部渐近稳定．对于R ０＜１,τ＞０,假设i ω(ωɪR ,ω＞０)是(３)的根,代入计算分离实部虚部可得－w ２＋(d ２u i ＋ρ１)(d ３u i ＋ρ３)＝－∂f (１,０)∂vρ２e －(σ１＋σ２)τc o s w t ,(d ２u i ＋d ３u i ＋ρ３＋ρ１)w ＝－∂f (１,０)∂vρ２e －(σ１＋σ２)τs i n w t ．平方求和可得w ４＋[(d ２u i ＋d ３u i ＋ρ３＋ρ１)２－２(d ２u i ＋ρ１)(d ３u i ＋ρ３)]w ２＋(d ２u i ＋ρ１＋r )２(d ３u i ＋ρ３)２＋∂f (１,０)∂v ρ２e －(σ１＋σ２)τéëêêùûúú２．当R ０＜１时,w ４＋[(d ２u i ＋d ３u i ＋ρ３＋ρ１)２－９第３期陈清婉等:具有时滞和一般接触率的扩散病毒模型的稳定性２(d ２u i ＋ρ１)(d ３u i ＋ρ３)]w ２＋(d ２u i ＋ρ１)２(d ３u i ＋ρ３)２－∂f (１,０)∂v ρ２e －(σ１＋σ２)τéëêêùûúú２＞０,故由R o u t h ＧH u r w i t z 准则可知,E ０是局部渐近稳定,在此基础上进一步证明全局稳定性．定理１㊀当R ０ɤ１时,E ０＝(１,０,０)是全局渐近稳定的．证明㊀定义L y a pu n o v 函数为L (t )＝ʏΩw ＋ρ１e σ２t v ρ２＋L １(x ,t )æèçöø÷d x ,L １(x ,t )＝ρ１ʏt t －τw (x ,θ)d θ＋ʏt t －τf (u (x ,θ),v (x ,θ))d θ．L (t )对t 求导,利用格林公式可得∂L ∂t＝ʏΩ(d ２Δw ＋ρ１e σ２td ３Δv ρ２－ρ１ρ３e σ２t v ρ２＋e －σ１t f (u ,v ))d x ɤeσ２t ʏΩ－ρ１ρ３v ρ２＋e －(σ１＋σ２)t f (u ,v )æèçöø÷d x ．由于u t ɤ１－u ,所以有l i m t ң¥u (x ,t )ɤ１,由假设(２)可知∂f ∂uȡ０,从而有f (u ,v )ɤf (１,v ),f (u ,v )v æèçöø÷ᶄv u ＝１＝v f v (１,v )－fv ２＜０．因此ρ１ρ３v ρ２＋e －(σ１＋σ２)t f (u ,v )＝ρ１ρ３v ρ２ρ２ρ１ρ３e －(σ１＋σ２)t f (u ,v )v －１æèçöø÷ɤρ１ρ３v ρ２ρ２ρ１ρ３e －(σ１＋σ２)tf (１,v )v －１æèçöø÷ɤρ１ρ３v ρ２ρ２ρ１ρ３e －(σ１＋σ２)t l i m v ң０f (１,v )v －１æèçöø÷＝ρ１ρ３v ρ２(R ０－１)ɤ０．易知,当且仅当(u ,w ,v )＝(１,０,０)时,∂L∂t＝０．从而由L a s a u e 不变原理可得E ０是全局渐近稳定的．2㊀正平衡点的稳定性引理２㊀当R ０＞１时,E ∗是局部渐近稳定的．证明㊀记δ１＝∂f (E ∗)∂u ,δ２＝ρ２e －(σ１＋σ２)τρ１ρ３ ∂f (E ∗)∂v ．通过计算不难得出模型(１)在平衡点E ∗的特征值方程为f ２(λ)＝λ３＋p ２λ２＋p １λ＋p ０＋e －λτ(q１λ＋q ０)＝０．(４)这里p ２＝d １μi ＋１＋δ１＋d ２μi ＋ρ１＋d ３μi ＋ρ３;p １＝(d １μi ＋１＋δ１)(d ２μi ＋ρ１＋d ３μi ＋ρ３)＋(d ２μi ＋ρ１)(d ３μi ＋ρ３);p ０＝(d １μi ＋１＋δ１)(d ２μi ＋ρ１)(d ３μi ＋ρ３);q １＝－ρ１ρ３δ２;q ０＝q １(１＋d １μi )．当R ０＞１,τ＝０时,特征方程为λ３＋p ２λ２＋(p １＋q １)λ＋p ０＋q ０＝０,p １＋q １＞ρ１ρ３(１－δ２)＝ρ１ρ３１－v ∗f (u ∗,v ∗)∂f (E ∗)∂v æèçöø÷＞０．由条件(２)可知,v ∗f(u ∗,v ∗)∂f (E ∗)∂v ɤ１,则p １＋q １＞０．同理p ０＋q ０＞(１＋d １μi )ρ１ρ３(１－δ２)＞０．由R o u t h ＧH u r w i t z 准则可知,E ∗是局部渐近稳定．当R ０＞１,τ＞０时,假设i ω(ωɪR ,ω＞０)是(４)的根,代入计算,分离实部虚部可得z ３＋(p ２２－２p １)z ２＋(p １２－２p ０p ２－q１２)z ＋p ０２－q ０２＝０,z ＝ω２．计算可得p ２２－２p １＝(d １μi ＋１＋δ１)２＋(d ２μi ＋ρ１＋r )２＋(d ３μi ＋ρ３)２＞０,p １２－２p ０p ２－q１２＝(d １μi ＋１＋δ１)２(d ２μi ＋ρ１＋r )２＋０１㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀兰州文理学院学报(自然科学版)㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀第３７卷(d １μi ＋１＋δ１)２(d ３μi ＋ρ３)２＋(d ２μi ＋ρ１＋r )２(d ３μi ＋ρ３)２－q １２＞[(ρ１＋r )ρ３(１＋δ１)－(ρ１＋r )ρ３δ２] [(ρ１＋r )ρ３(１＋δ１)＋(ρ１＋r )ρ３δ２]＞０,p ０２－q ０２＝(p ０＋q ０)(p ０－q０)＞０．故由R o u t h ＧH u r w i t z 准则可知,E ∗是局部渐近稳定的,在此基础上进一步证明全局稳定性．定理２㊀当R ０＞１,且满足条件v v ∗－f (u ,v )f (u ∗,v ∗)æèçöø÷f (u ,v )f (u ∗,v ∗)－１æèçöø÷ȡ０(５)时,E ∗是全局渐近稳定的．证明㊀定义L y a pu n o v 函数为L (t )＝ʏΩ{e －(σ１＋σ２)τu －u ∗－ʏuu ∗f (u ∗,v ∗)f (ξ,v∗)d ξéëêêùûúú＋f (u ∗,v ∗)ʏt t －τg f (u (x ,ξ),v (x ,ξ))f (u ∗,v ∗)æèçöø÷d ξ＋ρ１w ∗e －σ２τʏtt －τg w (x ,ξ)w ∗æèçöø÷d ξ}d x ．函数g (y )＝y －１－l n y ,当且仅当y ＝１时,g (y )取最小,为０．容易验证L (t )ȡ０,求导可得∂L∂t＝ʏΩ{e －(σ１＋σ２)τ１－f (u ∗,v ∗)f(u ,v ∗)æèçöø÷(１－u －f (u ,v )＋d １Δu )＋ρ１ρ２１－v ∗v æèçöø÷(ρ２e －σ２τw τ－ρ３v ＋d ３Δv )＋e －σ２τ(１－w ∗w)(e －σ１τ－ρ１w ＋d ２Δw )＋e －σ２τ[g f (u (x ,t ),v (x ,t ))f (u ,v ∗)æèçöø÷－g f (u (x ,t ),v (x ,t ))f(u ∗,v ∗)æèçöø÷]＋ρ１w ∗[g (w w ∗)－g (w τw ∗)]}d x ＝ʏΩ{e －(σ１＋σ２)τ１－f (u ∗,v ∗)f (u ,v ∗)æèçöø÷d １Δu ＋e －σ１τ(１－w ∗w )d ２Δw ＋ρ１ρ２(１－v ∗v )d ３Δv ＋e －(σ１＋σ２)τu ∗１－f (u ∗,v ∗)f(u ,v ∗)æèçöø÷(１－u u ∗)＋e－(σ１＋σ２)τf (u ∗,w ∗)１－f (u ∗,v ∗)f (u ,v ∗)æèçöø÷ １－f (u ,v )f(u ∗,v ∗)æèçöø÷＋e －(σ１＋σ２)τf (u ∗,w ∗)f (u τ,v τ)f (u ∗,v ∗)－w w ∗æèçöø÷＋e －(σ１＋σ２)τf (u ∗,w ∗)(w τw ∗－v v ∗)(１－v v∗)＋e －(σ１＋σ２)τf (u ∗,w ∗)[g f (u (x ,t ),v (x ,t ))f (u ,v ∗)æèçöø÷－g f (u (x ,t ),v (x ,t ))f (u ∗,v ∗)æèçöø÷]＋e －(σ１＋σ２)τf (u ∗,w ∗)g w w ∗æèçöø÷－g w τw ∗æèçöø÷éëêêùûúú}d x ．结合格林公式可得ʏΩΔu １－f (u ∗,w ∗)f (u ,w ∗)æèçöø÷d x ＝f (u ∗,w ∗)w ∗ʏΩÑu Ñ１＋βw ∗u d x ＝－f (u ∗,w ∗)(１＋βw ∗)w ∗ʏΩ|Ñu |２u ２d x ,ʏΩΔv (１－v ∗v )d x ＝－ʏΩ|Ñv |２v ２d x ,ʏΩΔw (１－w ∗w)d x ＝－ʏΩ|Ñw |２w ２d x ．注意到e －σ１τf (u ∗,v ∗)＝ρ１w ∗,ρ２e －σ２τw ∗－ρ３v ∗＝０,从而有∂L ∂tɤʏΩ{e－(σ１＋σ２)τu ∗１－f (u ∗,w ∗)f (u ,w ∗)æèçöø÷１－u u ∗æèçöø÷＋e －(σ１＋σ２)τf (u ∗,v ∗) {g f (u (x ,t ),v (x ,t ))f (u ,v∗)æèçöø÷－g f (u ∗,v ∗)f (u ,v ∗)æèçöø÷－g f (u τ,v τ)w ∗f (u ∗,v ∗)w æèçöø÷－g w τv ∗v w ∗æèçöø÷－－g v v ∗æèçöø÷}}dx ,由条件(２)可知１－f (u ∗,w ∗)f (u ,w ∗)æèçöø÷１－u u ∗æèçöø÷ɤ０．由条件(５)可知g f (u (x ,t ),v (x ,t ))f (u ∗,v∗)æèçöø÷－g v v ∗æèçöø÷ɤ０．１１第３期陈清婉等:具有时滞和一般接触率的扩散病毒模型的稳定性从而∂L∂tɤ０．易知,当且仅当(u ,w ,v )＝(u ∗,w ∗,v ∗)时,∂L∂t ＝０．由L a s a u e 不变原理可得全局渐近稳定性．3㊀数值模拟本节利用M a t l a b 软件对本文结果进行数值模拟,采用紧致差分格式．令f (u ,v )＝u v１＋a u ＋b v ＋a b u v．选取参数ρ１＝１,ρ２＝e ,ρ３＝１,a ＝０．５,b ＝０．４,σ１＝σ２＝５,τ＝０．１．计算可得R ０＝２/３＜１．由定理可知E ２＝(u ∗,v ∗)全局渐近稳定,如图１所示．ρ１＝１,ρ２＝２e ,ρ３＝１,a ＝０．５,b ＝０．４,σ１＝σ２＝５,τ＝０．１．计算可得R ０＝２＞１．由定理可知E ２＝(u ∗,v ∗)全局渐近稳定,如图２所示．图１㊀无病平衡点的稳定性图２㊀地方平衡点的稳定性4㊀结语本文研究了具有时滞和一般接触率的扩散病毒模型．研究了无病平衡点和感染平衡点的稳定性,阈值对于病毒的蔓延和灭绝起决定性的作用．结论表明:当感染细胞和游离病毒死亡率较高和感染细胞转化游离病毒转化较低且时滞比较大时会使病毒趋于灭绝．反之,病毒蔓延,这与实际情况是吻合的．参考文献:[１]R A J A S E K A RSP ,P I T C HA I MA N I M．E r go d i cs t a Ｇt i o n a r y di s t r i b u t i o n a n d e x t i n c t i o n o f a s t o c h a s t i c S I R Se p i d e m i cm o d e l w i t h l o gi s t i c g r o w t h a n dn o n l i n Ｇe a r i n c i d e n c e [J ]．A p p l i e d M a t h e m a t i c s a n dC o m pu t a Ｇt i o n ,２０１７,４６９(１):５１０Ｇ５１７．[２]C H E N Q i n g m e i ．A n e wi d e ao nd e n s i t y fu n c t i o na n d c o v a r i a n c em a t r i xa n a l y s i so fas t o c h a s t i cS E I Se pi Ｇd e m i c m o d e lw i t h d e g e n e r a t ed i f f u s i o n [J ]．A p p l i e d M a t h e m a t i c sL e t t e r s ,２０２０,１０３:１０６２００．[３]L I U Q u n ,J I A N G D a q i n g．T h r e s h o l db e h a v i o ri na s t o c h a s t i cS I R e p i d e m i c m o d e l w i t h L o g i s t i c b i r t h [J ]．P h y s i c aA ＧS t a t i s t i c a lM e c h a n i c s a n dI t sA p pl i c a Ｇt i o n s ,２０２０,５４０:１２３４８８．[４]陈清婉,柳文清．具有交叉扩散和B ＧD 反应函数的病毒模型的稳定性分析[J ]．北华大学学报(自然科学版),２０１８,１９(１):１３Ｇ１７．２１㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀兰州文理学院学报(自然科学版)㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀第３７卷[５]N OWA K M A,B A N G HAM C R M．P o p u l a t i o nd yＧn a m i c s o f i mm u n e r e s p o n s e s t o p e r s i s t e n t v i r u s e s[J]．S c i e n c e,１９９６(２７２):７４Ｇ７９．[６]E B E R T D,Z S C HO K K EＧR OH R I N G E R C D,C A R IＧU S H J．D o s ee f f e c t sa n dd e n s i t yＧd e p e n d e n tr e g u l aＧt i o no ft w o m i c r o p a r a s i t e so f D a p h n i a m a g n a[J]．O e c o l o g i a,２０００,１２２(２):２００Ｇ２０９．[７]M C L E A N AR,B O S T O C KCJ．S c r a p i e i n f e c t i o n s i n iＧt i a t e da t v a r y i n g d o s e s;a n a n a l y s i s o f１１７t i t r a t i o n e xＧp e r i m e n t s[J]．P h i l o s o p h i c a l T r a n s a c t i o n s o f t h eR o y a l S o c i e t y BB i o l o g i c a l S c i e n c e s,２０００,３５５(１４００):１０４３Ｇ１０５０．[８]柳文清,陈清婉．具有治疗和时滞的扩散病毒模型的稳定性[J]．生物数学学报,２０２０,３５(２):２５３Ｇ２５８．[９]S O N GX,N E UMA N N A．G l o b a l s t a b i l i t y a n d p e r i o dＧi co fV i r a ld y n a m i c s[J]．M a t h e m a t i c a lA n a l y s i sa n d A p p l i c a t i o n,２００７,３２９(１):２８１Ｇ２９７．[１０]HA N Y,Y A N GZC．S t a b i l i t y a n d p e r s i s t e n c e f o r a nH I VＧ１i n f e c t i o nm o d e lw i t h t i m ed e l a y a n dn o n l i n e a r i n f e c t i o nr a t e[J]．J o u r n a lo fS o u t h w e s tU n i v e r s i t y,２０１３,３５(３):８４Ｇ９０．[１１]M I C HA E L Y L,S HU H Y．G l o b a l d y n a m i c so f a n i nＧh o s t v i r a lm o d e lw i t hi n t r a c e l l u l a rd e l a y[J]．B u l lM a t hB i o l,２０１０,７２(６):１４９２Ｇ１５０５．[１２]MO N I C AC,P I T C HA I MA N IM．A n a l y s i s o f s t a b i l iＧt y a n dH o p f b i f u r c a t i o n f o rH I VＧ１d y n a m i c sw i t hP I a n d t h r e e i n t r a c e l l u l a r d e l a y s[J]．N o n l i n e a rA n a l y s i sR e a lW o r l dA p p l i c a t i o n s,２０１６(２７):５５Ｇ６９．[１３]Z HU H Y．I n p a c t o f d e l a y s i n c e l l i n f e c t i o n a n d v i r u s p r o d u c t i o n o n H I VＧ１d y n a m i c s[J]．M a t h e m a t i c a l M e d i c i n e a n dB i o l o g y,２００８,２５(２):９９Ｇ１１２．[１４]柳文清,陈清婉．具斑块迁移的病毒模型的稳定性分析[J]．纯粹数学与应用数学,２０１９,３５(１):１０９Ｇ１１４．[１５]Z HA N G Y i y i,X U Z h i t i n g．D y n a m i c so fad i f f u s i v eH B V m o d e lw i t hd e l a y e dB e d d i n g t o nＧD e A n g e l i sr eＧs p o n s e[J]．N o n l i n e a rA n a l y s i sR e a lW o r l d A p p l i c aＧt i o n s,２０１４(１５):１１８Ｇ１３９．[１６]HA T T A FK,Y O U S F IN．G l o b a l d y n a m i c so f ad eＧl a y r e a c t i o nＧd i f f u s i o n m o d e l f o rv i r a l i n f e c t i o n w i t h s p e c i f i c f u n c t i o n a lr e s p o n s e[J]．C o m p u t a t i o n a la n dA p p l i e d M a t h e m a t i c s,２０１５,３４:８０７Ｇ８１８．[１７]WA N GX i n c h a n g,T A N GX i a o s o n g,WA N GZ h i w e i, e t a l．G l o b a ld y n a m i c so fad i f f u s i v ev i r a l i n f e c t i o nm o d e lw i t h g e n e r a l i n c i d e n c ef u n c t i o na n dd i s t r i b uＧt e dd e l a y s[J]．R i c e r c h ed iM a t e m a t i c a,２０２０,６９(２):６８３Ｇ７０２．[１８]D I E KMA N N O,H E E S T E R B E E KJA,M E T ZJA．O n t h ed e f i n i t i o na n dt h ec o m p u t a t i o no f t h eb a s i c r e p r o d u c t i o n r a t i o R０i n m o d e l s f o r i n f e c t i o u sd i s e aＧs e si n h e t e r o g e n e o u s p o p u l a t i o n s[J]．J o u r n a l o f M a t h e m a t i c a l B i o l o g y,１９９０,２８(４):３６５Ｇ３８２．[责任编辑:赵慧霞]３１第３期陈清婉等:具有时滞和一般接触率的扩散病毒模型的稳定性。
毒品滥用流行病模型的稳定性分析
毒品滥用流行病模型的稳定性分析毒品滥用一直是全球范围内的严重社会问题，它不仅对个人的身体健康和心理健康造成严重危害，还给家庭、社会和国家带来了巨大的不良影响。
为了更好地了解毒品滥用的流行病学特征和稳定性，许多研究者使用数学模型进行研究。
本文将对毒品滥用流行病模型的稳定性进行分析，以期对相关学术研究和社会干预提供一定的参考价值。
毒品滥用具有流行性传播的特点，因此可以采用流行病学模型来进行研究。
流行病学模型是一种数学模型，通过数学方程描述和预测传染病在人群中的传播规律。
研究者常常使用SIR模型（易感者-感染者-康复者模型）或SEIR模型（易感者-暴露者-感染者-康复者模型）等来描述毒品滥用在人群中的传播过程。
这些模型通常包括一些基本的参数，如接触率、感染率、康复率等，通过调整这些参数，可以模拟出不同的传播情景。
在分析毒品滥用流行病模型的稳定性时，首先需要了解模型的基本特征。
毒品滥用的流行病模型通常包括易感者、潜在暴露者、滥用者和戒断者等不同的人群。
通过研究人群中不同人群的转变关系和相互作用规律，可以建立相应的微分方程组。
通常来说，模型的稳定性可以通过线性稳定性分析和非线性稳定性分析进行研究。
线性稳定性分析是通过对模型的特征值进行计算来判断系统的稳定性。
在毒品滥用流行病模型中，可以通过计算基本再生数（基本再生数即感染者平均每个周期新增感染者数量的期望）来评估模型的稳定性。
基本再生数大于1意味着疾病在人群中会持续传播，而基本再生数小于1则意味着疾病会最终消失。
通过线性稳定性分析，可以有效地评估模型的动态变化和长期趋势。
毒品滥用流行病模型通常是非线性的，并且存在许多不确定因素，如个体行为特征、社会环境因素等，这些因素的影响会增加模型的复杂性。
非线性稳定性分析也是十分重要的。
非线性稳定性分析可以通过动力学分析和数值模拟来进行。
通过动力学分析，可以研究模型中的平衡点、周期解和混沌现象等，从而更好地理解模型的稳定性。
具有一般接触率的SIR模型的全局稳定性分析
具有一般接触率的SIR模型的全局稳定性分析
樊志良;张菊平
【期刊名称】《中北大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2007(028)001
【摘要】建立了具有一般接触率的 SIR(Susceptible-Infected-Removed) 传染病模型.结合具有常数移民和指数出生的一般情形对所建传染病模型进行了分析研究,给出了基本再生数R0,当R0≤1 时,无病平衡点全局渐近稳定;当 R0＞1 时,无病平衡点不稳定并且地方病全局渐近稳定.
【总页数】4页(P18-21)
【作者】樊志良;张菊平
【作者单位】中北大学,理学院,山西,太原,030051;中北大学,理学院,山西,太
原,030051
【正文语种】中文
【中图分类】O29
【相关文献】
1.具有Logistic出生率和饱和接触率SIR模型的全局分析 [J], 胡新利
2.具有饱和接触率和垂直感染的SIR模型全局分析 [J], 胡新利;孙法国;王彩霞
3.具有非线性发生率的SIR模型的全局吸引性 [J], 王建军;张晋珠
4.具有饱和治愈率的时滞SIR模型的稳定性分析 [J], 周根娇;许艳;张艳
5.具有饱和治愈率的时滞SIR模型的稳定性分析 [J], 周根娇;许艳;张艳
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将模型 （ ） ３ １ 的 个方程相加可得出总人 口数 Ｎ（ 满 足方程 ｔ ）
Ⅳ ） 一 （ ＝ Ⅳ一ａｅ一５ １ ｆ ｌ ２ （ ２）
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第 ３期
一类具 有一 般形式接触率的流行病模 型的稳定性 分析
・ ５・ ５
Ｄ（ ＞０，Ｄ ０ Ｎ） （ Ⅳ）
（ ３）
由模 型 （ ）可简 化为 １
｛ － ｃＮ）ｚ Ｎ—ｄ Ｓ ＝Ａ ｐ （ ｓ ／ Ｓ Ｅ ＝ｆ Ｎ）Ｉ Ｅ ｌ Ｄ（ Ｓ 一５
１ 平衡点 的存在性
为 了便于讨论 ， 记 ＝ ｌ ， ＝ ５ ，Ｄ（ ） （ ／ 。南基本假设知 ＋ ＋ ＋ ２ Ⅳ ＝Ｃ Ｎ）Ｎ
收 稿 日期 ：２ ０— １２ ０ ８０ ＂ １
作者简介：杜君花 （ ９５ ，女 ，黑龙汀齐齐哈尔人 ，讲师，研究生 ．主要研究方向：基础数学， Ｅ ｍａ ：ｄｊｎｕ １７＠１６ｃｎ。 １７一） － ｉ ｕｕｈ ａ９５ ２ ． ｌ ｌ ｏ
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第 ２ 卷第 ３ ４ 期
２０ 年 ５ ０８ 月
齐 齐 哈 尔 大 学 学 报
Ｊ ｒａ ｆＱｉｉａ ｉｅｒｉ ｏｕ ｎ ｌ ｑｈ ｒＵｎｖ ｓｔ ｏ ｙ
Ｖｏ． ４Ｎｏ３ １ ． ． ２
Ｍａ ，０ ｙ２ ０８
一
类具 有 一 般形 式 接 触 率 的 流 行病 模 型 的稳定 性 分 析
பைடு நூலகம்
（） ７
． ｆ ＝ 一 ・ Ｊ 一 — ： — — — —— — 一
（） ５
＼ ，
（ ６）
其 中 ，（ －ｄｃ—ｓ ｌ ｌ ＋ ￡＞０ ５ ） ｏ ｄ＝ ｄ＋ ２ ２ 。
Ｆ Ｎ） ￣ Ｄ Ｎ） ｄｃ＋ ） 翮 ［ 一 ） － ｄ ＋ ｃ ｆＸ（ （ ＝一 （ Ａ （ ￡ 一 ｏ （ ｄｃ ｅ 】 ５ ｄ ￣ Ｎ） ｏ ｏ Ｔ ｌ
．
传染病在流行期间 ，易感者被感染上病毒后不会立即发病 ，而是先成为潜伏者 ，潜伏期过后才进入染 病者 ，而且这种感染是永久的 ，染病者不会病愈 ， 例如 ＡＤ ＩＳ等。研究这类疾病流行规律的数学模型称为
ＳＩ Ｅ 流行病模型。关于传染病模型已有许多研究结 ” 文献［ 对具有一般形式的接触率但不考虑潜伏期的 。 ２ 】 流行病模型进行了研究。本文研究 了具有一般形式的接触率的 Ｓ Ｉ 型，并且考虑了潜伏期及染病期因病 Ｅ模
间内潜伏者转化为染病者的 比例 ；
ｓ， 均 是正 常数 。
为感染者所具有的传染力 ； （ 表示接触率 ； Ｃ Ｎ） 假设 Ａ，ｄ，５ ，５ ， ． ， ，
模型 （ ） Ｉ 的基本假设 ：
１ ＣＮ 在Ｎ＞ 上是一个非负不减的连续函数， （ ＝ ， ） （） ０ 且ｃ０ ０ 在Ｎ 上连续可微，ｃ（） ） ０ ０； Ⅳ
ｌ ｓ 一 ＝ Ｅ Ｉ
（ ４）
今 Ｒ ：— （ ／ ） ￣ Ａ ｄ Ｃ
—
、
５ｏ ｃ
。
定理 １ 模型 （ ） ４ 总有无病平衡点Ｐ （ ／ ，０ ；当Ｒ ＞１ ， ￣ ｄ０ ） Ａ ， ｏ 时 模型 （ ） ４ 除存在无病平衡点Ｐ 外 ， 。 还
存在地方病平衡点 Ｐ （ Ｅ ， 。 ， Ｉ） 证 明 Ｆ式 （ ） ｝ １ ２ 求得模型 （ ） ４ 的平衡点应满足下列关系式
显然 Ｎ Ａ一 ） ，由比较原理可知３ ０，当 ｆ Ｔ＞ ＞Ｔ时 ，Ｎ（ ／ ｔ ） ｄ。因此从模 型 （ ）出发的解将最 １ 终进入或停 留在 Ｄ ｃ ，其 中
Ｄ ：｛ ， ∈Ｒ３０ Ｓ＋Ｅ＋１ Ａ／ ，， １ ０ （ Ｅ，） ｌ ｄＳＥ， ｝
Ｊ是模型 （ ） ９ １ 的正 向最大不变 。
死亡率 ，模型建立为
ｆ ＝ ｆ （ Ｓ／ ｄ Ａ— ＣＮ）Ｉ Ｎ－ Ｓ ｌ
１Ｅ＝ ＣＮＳＩ （＋ ＋ ） Ｉ ｆ （ ） Ｎ一 ｌｅＥ ｌ Ｉ
＝ｅ Ｅ一（ ｄ＋５ ） ２Ｉ
，、 １
¨
ｌ ｆ＝ ｆ Ｅ ｆ ｆ Ⅳ（ （ ＋ （ ＋ （ ） ） ） ）
式 中：ｓ ｔ，Ｅ ｔ，Ｉｔ ，Ｎ（ 分别表示 ｆ （ ） （ ） （ ） ｔ ） 时刻易感者 ，潜伏者 ，染病者和总人 口的数量 ；Ａ表示单位时 间内总人 口的输入 ；ｄ 表示 自然死亡率 ；５ ，５ 分别表示处于潜伏期和染病期 的病人死亡率； 为单位时 ． ，
－
、 ： ：
—
— — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — 一
Ａ（ ａ ［ －ｄ ｃ－ｅ ｉ ｆ ） ｏ ｔ ］ ， ： ｃＡ ， ＝ ｅ －Ｎ 万ｏ －Ｎ ｄ） ， 万 （ （ Ａ ｄ） （ （ Ⅳ） ［ ） 】’ Ⅳ） 一 ＋ （ 一 一 （ ） 一 一 （ ） 一 一 Ｆ（ （ Ⅳ ＝０ Ⅳ） 一 ）
杜君花 ２ ，刘晓宇
（． １ 哈尔滨理工大学 应用科学学 院，哈尔滨 １０ ８ ；２ 齐齐哈尔大学 理学 院，黑龙江 齐齐哈尔 １ １０ ５００ ． ６０ ６）
摘要 ：研究 了具有一般形式 的接触率 的 Ｓ Ｉ Ｅ 模型 ，给 ｄ Ｔｚ ＇ ｇ病平衡点和地方病平 衡点存在 的条件 ，得到了疾病流 ｌ 行 的阈值 ，证明了无病平衡点和地方病平衡点是全局渐近稳定的。 关键词 ：流行病 ；阈值 ；Ｌ ａ ｕ ｏ ｉｐ ｎ ｖ函数 ；全局稳定性 中图分类号 ：Ｏ ７ ． １ ５１ 文献标识码 ：Ａ 文章编号 ：１０ — ８ Ｘ ２０ ）３ ０５ — ４ ０ ７ ９４ （０ ８０ － ０ ４ ０