北京市顺义二模文科数学北京市顺义区2012届高三第二次统练(文数)
北京市顺义区高三数学第二次统练 文(顺义二模)(含解析)
顺义区2013届高三第二次统练数学试卷（文史类）选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）． 1.已知集合{}{}32,13A x R x B x R x x =∈-<<=∈≤≥或，则A B =I （ ） A ．(3,1]- B ．(3,1)- C ．[1,2) D ．(,2)[3,)-∞+∞U 【答案】A解析因为{}13B x R x x =∈≤≥或，所以{}31A B x R x =∈-<≤I ,选A.2．复数321ii -=+（ ） A ．1522i + B ．1522i - C ．1522i -+ D ． 1522i --【答案】B 解析32(32)(1)15151(1)(1)222i i i i i i i i ----===-++-,选B. 3．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数a ，从{1,2,3}中随机选取一个数b ，则关于x 的方程2220x ax b ++=有两个不相等的实根的概率是（ ）A ．15 B ．25 C ．35 D ．45【答案】C解析a 有5种取法，b 有3种取法，所以共有15种结果。
要使方程有两个不相等的实根，则有22440a b ∆=->，即22,a b a b >>。
若1b =，则1a >，此时2,3,4,5a =。
若2b =，则2a >，此时3,4,5a =。
若3b =，则3a >，此时4,5a =。
所以共有9种。
所以关于x 的方程2220x ax b ++=有两个不相等的实根的概率是93155=，选C.4．执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（A ．10-B ．3-C ．4D ． 5【答案】A解析第一次运行，满足条件循环211,2s k =-==。
第二次运行，满足条件循环2120,3s k =⨯-==。
第三次运行，满足条件循环2033,4s k =⨯-=-=。
北京市顺义区2012届高三第二次统练(理数)
顺义区2012届高三第二次统练 高三数学（理科）试卷 2012.4本试卷共4页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后将答题卡交回.目要求的一项)1. 已知集合{}0,1,3M =,{}|3,N x x a a M ==∈,则集合M N =I A.{}0 B.{}0,1 C. {}0,3 D. {}1,32.已知i 为虚数单位，则复数(1)i i -所对应点的坐标为A. (1,1)-B. (1,1)C. (1,1)-D. (1,1)-- 3.已知p 、q 是简单命题，则“p q ∧是真命题”是“p ⌝是假命题”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4.如图给出的是计算111124620+++⋅⋅⋅+的值的一个程序框图，判断框内应填入的条件是A.20i <B.20i >C.10i <D.10i >5.已知直线l ：10x y --= 和圆C ：cos 1sin x y θθ=⎧⎨=+⎩（θ为参数，R θ∈）， 则直线l 与圆C 的位置关系为A. 直线与圆相交B. 直线与圆相切C. 直线与圆相离D.直线与圆相交但不过圆心 A. 直线与圆相切 B. 直线与圆相离6.甲乙两人从4门课程中各选修2门，则甲乙两人所选的课程中恰有1门相同的选法有 A.12 种 B.16 种 C.24 种 D.48 种7.一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A.60B.80C.100D.1208．已知椭圆:G 22221(0)x ya b a b +=>>的离心率为2，⊙M 过椭圆G 的一个顶点和一个焦点，圆心M 在此椭圆上，则满足条件的点M 的个数是A. 4B. 8C. 12D. 16二.填空题(本大题共6个小题,每小题5分,共30分,把答案填在答题卡上) 9.若1()nx x+展开式中第二项与第四项的系数相等，则n =________; 展开式中间一项的系数为_________.10.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意的*n N ∈都有21n n S a =-，则1a 的值为________，数列{}n a 的通项公式n a =_____________. 11.如图所示：圆O 的直径6AB =，C 为圆周上一点，030BAC ∠=，过C 作圆O 的切线l ，过A 作直线l 的垂线，垂足为D ，则CD 的长为_________.12.已知O 是坐标原点，点(2,1)A -，若点(,)M x y 为平面区域101010x y y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪++≤⎩，上的一个动点，则OA OM ⋅的最大值为 .13.已知A 、B 、P 是双曲线22221x y a b-=上不同的三点，且A 、B 两点关于原点O 对称，若直线,PA PB 的斜率乘积12PA PB k k ⋅=，则该双曲线的离心率e =___________. 俯视图左视图正（主）视图8232344A14.已知全集为,U P U Ø，定义集合P 的特征函数为1,,()0,.P U x P f x x P ∈⎧⎪=⎨∈⎪⎩ð，对于A U Ø， B U Ø，给出下列四个结论： ① 对x U ∀∈，有()()1UA A f x f x +=ð；② 对x U ∀∈，若A B Ø，则()()A B f x f x ≤； ③ 对x U ∀∈，有()()()A B A B f x f x f x =⋅I ； ④ 对x U ∀∈，有()()()ABA B f x f x f x =+．其中，正确结论的序号是_______________.三．解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证 明过程或演算步骤）. 15．（本小题共13分）已知向量(2cos ,1)2x m =u r ，(cos ,1)2xn =-r ，()x R ∈，设函数()f x m n =⋅u r r .(Ⅰ)求函数()f x 的值域；(Ⅱ)已知ABC V 的三个内角分别为A 、B 、C ， 若1(),3f A=3BC AC ==，求边长AB 的值. 16. （本小题共13分）如图：四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，090ACB ∠=，PA ⊥平面ABCD ，1PA BC ==，AB =，F 是BC 的中点.(Ⅰ) 求证：DA ⊥平面PAC ；(Ⅱ)试在线段PD 上确定一点G ，使CG ∥平面PAF ； （Ⅲ）求平面PAF 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值. 17．（本小题共13分）计算机考试分理论考试与实际操作考试两部分进行，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则计算机考试“合格”并颁发“合格证书”.甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为：45、34、23，在实际操作考试中“合ADCF PB格”的概率依次为：12、23、56，所有考试是否合格相互之间没有影响. （Ⅰ）假设甲、乙、丙3人同时进行理论与实际操作两项考试，谁获得“合格证书”的可能性大；（Ⅱ）求这3人进行理论与实际操作两项考试后，恰有2人获得“合格证书”的概率； （Ⅲ）用X 表示甲、乙、丙3人在理论考试中合格的人数，求X 的分布列和数学期望EX . 18．（本小题共14分）已知函数()ln ,f x x x =-2()a g x x x=+,(其中0a >).（Ⅰ）求曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程;（Ⅱ）若1x =是函数()()()h x f x g x =+的极值点，求实数a 的值; （Ⅲ）若对任意的[]12,1,x x e ∈，（e 为自然对数的底数， 2.718e ≈）都有12()()f x g x ≤，求实数a 的取值范围.19．（本小题共14分）已知动圆过点(2,0)M ，且被y 轴截得的线段长为4，记动圆圆心的轨迹为曲线C . （Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）过点M 的直线交曲线C 于A ，B 两点,若在x 轴上存在定点(,0)P a ，使PM 平分APB ∠，求P 点的坐标.20. （本小题共13分）对于定义域为A 的函数)(x f ，如果任意的A x x ∈21,，当21x x <时，都有()()21x f x f <，则称函数()x f 是A 上的严格增函数；函数()k f 是定义在*N 上，函数值也在*N 中的严格增函数，并且满足条件()()k k f f 3=. （Ⅰ）证明：)(3)3(k f k f =； （Ⅱ）求*))(3(1N k f k ∈-的值；（Ⅲ）是否存在p 个连续的自然数，使得它们的函数值依次也是连续的自然数；若存在，找出所有的p 值，若不存在，请说明理由.顺义区2012届高三第二次统练高三数学（理科）试卷参考答案及评分标准 2012.4二.填空题(本大题共6个小题,每小题5分,共30分)其它答案参考给分9．4,6；10.1，12n -；11,2；12．3；13．214 ．①、②、③； 三．解答题（本大题共6小题，共80分）15．（本小题共13分）解：(Ⅰ)2()2cos 1cos 2xf x m n x =⋅=-=u r r ，__________4分x R ∈Q ∴()cos f x x =的值域为[]1,1-. __________6分(Ⅱ) 1()cos 3f A A ==，由余弦定理2222cos BC AC AB AC AB A =+-⋅⋅__________8分∴21129233c c =+-⨯⨯⨯，即2230c c --=__________10分∴3AB c ==.__________13分 16. （本小题共13分）解：分别以,,AC AD AP 为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则1(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(1,,0),(0,0,1)2A CB D F P --.__________（建系正确，坐标写对给3分）(Ⅰ) 证明方法一：：Q 四边形是平行四边形，∴090ACB DAC ∠=∠=，Q PA ⊥平面ABCD ∴PA DA ⊥，又AC DA ⊥，AC PA A =I ，∴DA ⊥平面PAC . __________4分方法二：易证DA uu u r是平面平面PAC 的一个法向量，∴DA ⊥平面PAC .______4分ADCFPB(Ⅱ)方法一：设PD 的中点为G ，在平面PAD 内作GH PA ⊥于H ，则GH 平行且等于12AD ，连接FH ，则四边形FCGH 为平行四边形，_____6分∴GC ∥FH ，Q FH ⊂平面PAE ，CG ⊄平面PAE ，∴CG ∥平面PAE ，∴G 为PD 中点时，CG ∥平面PAE .__________8分方法二：设G 为PD 上一点，使CG ∥平面PAE ，令(0,,),(0PG PD λλλλ==-≤u u u r u u u r ，(1,,1)GC PC PG λλ=-=--+u u u r u u u r u u u r可求得平面PAE 法向量(1,2,0)m =u r，要CG ∥平面PAE ，∴0m GC ⋅=u r uu u r ，解得12λ=.∴G 为PD 中点时，CG ∥平面PAE .（Ⅲ）可求得平面PCD 法向量(1,1,1)n =r，__________10分||cos ,5||||m n m n m n ⋅<>==u r ru r r u r r∴.__________13分 17．（本小题共13分） 解：（Ⅰ）记“甲获得合格证书”为事件A ，“乙获得合格证书”为事件B ，“丙获得合格证书”为事件C则41236()52590P A =⨯==，32145()43290P B =⨯==，25550()36990P C =⨯==()()()P C P B P A >>，所以丙获得合格证书的可能性大. __________4分（Ⅱ）设3人考试后恰有2人获得“合格证书”为事件D∴()(,,)(,,)(,,)P D P A B C P A B C P A B C =++=2142153151152952952930⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=.__________8分（Ⅲ）0,1,2,3.X =，1111(0)54360P X ==⨯⨯=，4111311129(1)54354354360P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，43141213226(2)54354354360P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，43224(3)54360P X ==⨯⨯=.__________10分X 的分布列为：13360EX =；__________13分18．（本小题共14分）解：（Ⅰ）222()()()ln 2ln a a h x f x g x x x x x x x x=+=-++=+-定义域()0,+∞__________1分∴222'2212()2a x x a h x x x x--=--=，__________3分 法一：令'(1)0h =，解得21a =， 又0a >，∴1a =，__________4分经验证1a =符合条件. __________5分法二：令22'22()0x x a h x x--==，∴2220x x a --=，2181a ∆=+>∴1,214x ±=，Q 0x >，∴14x =为极值点，∴114x +==，解得21a =，又0a >，∴1a =， （Ⅱ）对任意的[]12,1,x x e ∈都有12()()f x g x ≤成立，等价于对任意的[]1,x e ∈都有max min ()()f x g x ≤成立，__________7分 当[]1,x e ∈，'11()10x f x x x-=-=≥，∴()f x 在[]1,e 上单调递增， max ()()1f x f e e ==-.__________8分Q 2'22()()()1a x a x a g x x x -+=-=，[]1,x e ∈，0a > ∴（1）若01a <≤，222'222()()()10a x a x a x a g x x x x--+=-==≥， 2()a g x x x=+在[]1,e 单调递增，∴2min ()(1)1g x g a ==+， ∴211a e +≥-1a ≤.__________10分（2）若1a e <<当1x a ≤<，则'2()()()0x a x a g x x -+=<当a x e ≤≤，则'2()()()0x a x a g x x-+=≥ ∴()g x 在[)1,a 递减，在[],a e 递增，min max ()()2()1g x g a a f x e ==≥=-， ∴12e a -≥，又1a e <<，∴()1,a e ∈__________12分（3）当a e ≥时'2()()()0x a x a g x x-+=≤， ∴()g x 在[]1,e 递减， 2min max ()()()1a g x g e e f x e e==+≥=-，∴2a e ≥-恒成立. __________13分综上所述)a ∈+∞.__________14分 19．（本小题共14分）（Ⅰ）解：设动圆圆心的坐标为),(y x .依题意，有 2222)2(2y x x +-=+，化简得 x y 42=. 所以动圆圆心的轨迹方程为x y 42=.__________5分（Ⅱ）解法1：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线AB 的方程为2x my =+. 将直线AB 的方程与曲线C 的方程联立，消去x 得：2480y my --=. 所以124y y m +=，128y y =-.__________7分若PM 平分APB ∠，则直线PA ，PB 的倾斜角互补，所以0=+PB PA k k.(,0)P a ，则有12120y yx a x a+=--.__________10分 将 112x my =+，222x my =+代入上式，整理得 1212122(2)()0(2)(2)my y a y y my a my a +-+=+-+-，所以 12122(2)()0my y a y y +-+=. 将 124y y m +=，128y y =-代入上式， 得 (2)0a m +⋅=对任意实数m 都成立，所以2-=a .故定点P 的坐标为(2,0)-.__________14分解法2：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，当过点(2,0)M 的直线斜率不存在，则AB l ：2x =，，,A B 两点关于x 轴对称，x 轴上任意一点(,0)P a (2)a ≠均满足PM 平分APB ∠,不合题意. __________6分 当过点(2,0)M 的斜率k 存在时(0)k ≠，设AB l ：(2)y k x =-，联立2(2)4y k x y x=-⎧⎨=⎩，消去y 得22224(1)40k x k x k -++=232160k ∆=+>，212244,k x x k ++=124x x =，__________7分 PM 平分APB ∠，则直线PA ，PB 的倾斜角互补，∴0=+PB PA k k .(,0)P a ，(2)a ≠,则有12120y yx a x a+=--.__________10分 将11(2)y k x =-22(2)y k x =-代入上式， 整理得122112(2)()(2)()0()()k x x a k x x a x a x a --+--=--,∴1221(2)()(2)()0k x x a k x x a --+--=整理得12122()(2)40x x x x a a -+++=，将212244,k x x k ++=124x x =代入化简得 2a =-,故定点P 的坐标为(2,0)-.__________14分20. （本小题共13分）解：（Ⅰ）证明：对()()k k f f N k 3*,=∈()()[]()k f k f f f 3=∴①_________2分 由已知()()k k f f 3=∴()()[]()k f k f f f 3=②， 由①、②()()k f k f 33=∴__________3分（Ⅱ）若(),11=f 由已知()()k k f f 3=得()31=f ，矛盾； 设(1)1f a =>，∴((1))()3f f f a ==，③ 由()k f 严格递增，即()().311=<⇒<a f f a ，∴*(1)1(1)3(1)f f f N⎧≠⎪<⎨⎪∈⎩，∴(1)2f =，__________6分 由③有((1))()3f f f a ==故((1))(2)3f f f ==∴(1)2f =，(2)3f =.()()()()(),923236,6133==⋅===f f f f f()()()()()()()().8118354,549327,276318,18339========f f f f f f f f ⋅⋅⋅⋅⋅⋅依此类推归纳猜出：*)(32)3(11N k f k k ∈⨯=--.__________8分 下面用数学归纳法证明： （1）当1=k 时，显然成立；（2）假设当)1(≥=l l k 时成立，即1132)3(--⨯=l l f ，那么当1+=l k 时，111(3)(33)3(3)32323l l l l l f f f ---=⨯==⨯⨯=⋅.猜想成立，由（1）、（2）所证可知，对*k N ∈1132)3(--⨯=k k f 成立. __________10分 （Ⅲ）存在,131+=-k p 当p 个连续自然数从11323--⨯→k k 时，函数值正好也是p 个连续自然数从k k k k f f 3)32(32)3(111=⨯→⨯=---.__________13分。
顺义区2012届高三第二次统练文科综合能力测试
顺义区2012届高三第二次统练文科综合能力测试本试卷分为两部分，第一部分为选择题；第二部分为非选择题，共300分。
考试时长150分钟。
考生务必将答案做在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，学生将答题卡上交。
第一部分 (选择题 共140分)本卷共35小题，每小题4分，共140分。
在每小题列出的四个选项中，选出最符合题目要求的一项。
2010年8月，“中国丹霞”被正式列入《世界遗产名录》。
图1为广东丹霞山地貌景观，是红色砂砾岩受到侵蚀、风化剥落、重力坍塌等综合作用形成的顶平、坡陡、麓缓的方山。
图2为地壳物质循环示意图。
读图并结合相关知识回答1、2题。
1. 形成丹霞山地貌景观的岩石属于图2中的A.甲B.乙C. 丙D.丁2. 形成丹霞山地貌景观的地质作用依次是A. 地壳抬升运动-风化作用、风力侵蚀、重力崩塌-变质作用B. 固结成岩-地壳抬升运动-风化作用、流水侵蚀、重力崩塌C. 地壳抬升运动-风化作用、流水侵蚀、重力崩塌-固结成岩D. 固结成岩-变质作用-风化作用、风力侵蚀、重力崩塌3.图1所示的区域A. 位于非季风区，气候干旱、降水少B. 分布在我国地势第三级阶梯上C. 河流汛期短，水位季节变化大D. 多山地丘陵，所以耕作制度一年一熟2009年11月，我国北方出现强降温和大范围雨雪天气，暴雪过程局部地区达到百年一遇。
读图3“2009年11月某日天气示意图”回答4、5题。
图1 图24.在此后的半个月，下列说法正确的是A．地球自转线速度北京比武汉大 B．正午太阳高度北京比武汉大C．武汉的正午太阳高度角逐渐增大 D．北京的白昼时间逐渐减少5.关于图示地区天气特点的叙述正确的是A．A地附近盛行上升气流，出现雨雪天气B．①地盛行西北风，且风力大于武汉C．①、②、③三地中最容易出现暴雪的是③D．②地将受冷锋影响，东海岸降雪量明显高于西海岸6.图4中甲是历次我国人口普查总人口数据，乙是我国人口年龄构成和人口流动数据，下列说法正确的是图4①0-14岁人口比例下降，人口总数减少，应大量吸纳海外移民②15-59岁人口比例上升，年龄结构趋于年轻，劳动力充足③60岁以上人口比例上升，老龄化进程加速，应完善养老体系④流动人口增加，应引导人口有序迁移和合理分布A．①② B．②③ C．②④ D．③④7.图5中甲图是我国某城市内部功能分区图，能正确表示ab间地租变化的曲线是乙图中的乙A ．① B.② C. ③ D. ④读图6，回答8、9题。
2012年高考文科数学北京卷及答案
数学试卷 第1页（共18页）数学试卷 第2页（共18页）数学试卷 第3页（共18页）绝密★启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（文科）本试卷共6页,150分.考试时长120分钟.考试生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1. 已知集合{320}A x x =∈+>R |,{|(1)(3)0}B x x x =∈+->R ,则A B =（ ）A . (,1)-∞-B . 2(1,)3-- C . 2(,3)3-D . (3,)+∞2. 在复平面内,复数10i3i+对应的点的坐标为 （ ）A . (1,3)B . (3,1)C .(1,3)-D . (3,1)-3. 设不等式组02,02x y ⎧⎨⎩≤≤≤≤表示的平面区域为D .在区域D 内随机取一个点,则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（ ）A . π4 B . π22-C .π6D .4π4- 4. 执行如图所示的程序框图,输出的S 值为 （ ）A . 2B . 4C . 8D . 16 5. 函数121()()2x f x x =-的零点个数为（ ）A . 0B . 1C . 2D . 3 6. 已知{}n a 为等比数列.下面结论中正确的是（ ）A . 1322a a a +≥B . 2221322a a a +≥C . 若13a a =,则12a a =D . 若31a a ＞,则42a a ＞7. 某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是（ ）A .28+ B .30+C .56+D .60+8. 某棵果树前n 年的总产量n S 与n 之间的关系如图所示.从目前记录的结果看,前m 年的年平均产量最高,m 的值为（ ）A . 5B . 7C . 9D . 11第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题,每小题5分,共30分.9. 直线y x =被圆22(2)4x y +-=截得的弦长为________. 10. 已知{}n a 为等差数列,n S 为其前n 项和.若112a =,23S a =,则2a =________；=n S ________.11. 在ABC △中,若3a =,b =,π3A ∠=,则C ∠的大小为________. 12. 已知函数()lg f x x =，若()1f ab =,则22()()f a f b +=________.13. 已知正方形ABCD 的边长为1,点E 是AB 边上的动点,则 DE CB 的值为________；DE DC 的最大值为________.14. 已知()(2)(3)f x m x m x m =-++,()22x g x =-.若x ∀∈R ,()0f x ＜或()0g x ＜,则m的取值范围是________.三、解答题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.15.（本小题共13分） 已知函数(sin cos )sin 2()sin x x xf x x-=.（Ⅰ）求()f x 的定义域及最小正周期； （Ⅱ）求()f x 的单调递减区间.16.（本小题共14分）俯视图侧（左）视图正（主）视图434姓名________________ 准考证号_____________--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效--------数学试卷 第4页（共18页）数学试卷 第5页（共18页） 数学试卷 第6页（共18页）如图1,在Rt ABC △中,90C ∠=,D ,E 分别为AC ,AB 的中点,点F 为线段CD 上的一点.将ADE △沿DE 折起到1A DE △的位置,使1A F CD ⊥,如图2.（Ⅰ）求证：DE ∥平面1ACB ； （Ⅱ）求证：1A F BE ⊥；（Ⅲ）线段1A B 上是否存在点Q ,使1A C ⊥平面DEQ ？说明理由.17.（本小题共13分）近年来,某市为了促进生活垃圾的分类处理,将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类,并分别设置了相应的垃圾箱.为调查居民生活垃圾分类投放情况,现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1 000吨生活垃圾,数据统计如下（单位：吨）：（Ⅰ）试估计厨余垃圾投放正确的概率； （Ⅱ）试估计生活垃圾投放错误的概率；（Ⅲ）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a ,b ,c ,其中0a >,600a b c ++=.当数据a ,b ,c 的方差2s 最大时,写出a ,b ,c 的值 （结论不要求证明）,并求此时2s 的值.（求：2222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++-,其中x 为数据1x ,2x ,,n x 的平均数）18.（本小题共13分）已知函数2()1(0)f x ax a =+>,3()g x x bx =+.（Ⅰ）若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点(1,)c 处具有公共切线,求a ,b 的值； （Ⅱ）当3a =,9b =-时,若函数()()f x g x +在区间[,2]k 上的最大值为28,求k 的取值范围.19.（本小题共14分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点为(2,0)A ,直线(1)y k x =-与椭圆C 交于不同的两点M,N . （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）当AMN ∆时,求k 的值.20.（本小题共13分）设A 是如下形式的2行3列的数表,满足性质P ：,,,,,[1,1]a b c d e f ∈-,且0a b c d e f +++++=.记()i r A 为A 的第i 行各数之和(1,2)i =,()j c A 为A 的第j 列各数之和(1,2,3)j =；记()k A 为1|()|r A ,2|()|r A ,1|()|c A ,2|()|c A ,3|()|c A 中的最小值.（Ⅰ）对如下数表A ,求()k A 的值；（Ⅱ）设数表A 形如其中10d -≤≤.求()k A 的最大值；（Ⅲ）对所有满足性质P 的2行3列的数表A ,求()k A 的最大值.D FDE BCA 1F CB 图2图1数学试卷 第7页（共18页）数学试卷 第8页（共18页） 数学试卷 第9页（共18页）2012年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（文科）答案解析{|1A B x x x x ⎧⎫=<-⎨⎬⎩⎭【提示】求出集合，然后直接求解AB 。
北京市顺义区2012届高三二模文科数学
n= n +2S =0，n =2，i =1i= i +1S = S +1n输出 S 开始结束是否顺义区2012届高三第二次统练高三数学（文科）试卷 2012．4本试卷共4页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后将答题卡交回． 题号 一 二三 总分 15 16 17 18 19 20 得分一. 选择题(本大题共8个小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项) 1． 已知集合{}0,1,3M =,{}|3,N x x a a M ==∈,则集合M N =I A ．{}0 B ．{}0,1 C ． {}0,3 D ． {}1,3 2．已知i 为虚数单位，则复数(1)i i -所对应的点坐标为A ． (1,1)-B ． (1,1)C ． (1,1)-D ． (1,1)-- 3．已知p 、q 是简单命题，则“p q ∧是真命题”是“p ⌝是假命题”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．下列函数中周期为π且图象关于直线3x π=对称的函数是A ．12sin()23y x π=+B ． 12sin()23y x π=-C ． 2sin(2)6y x π=+D ． 2sin(2)6y x π=-5．如图给出的是计算111124620+++⋅⋅⋅+的值的一个程 序框图，判断框内应填入的 条件是A ． 10i >B ． 10i <C ． 20i >D ． 20i < 6．已知向量a ，b 的夹角为3π，且||2a =，||1b =，则向量a 与向量2a b +的夹角等于A ．56πB ．2πC ．3πD ．6π7．一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 （ ）A ．60B ．80C ．100D ．120俯视图左视图正（主）视图82323448．已知全集为,U P U Ø，定义集合P 的特征函数为1,,()0,.P U x P f x x P ∈⎧⎪=⎨∈⎪⎩ð，对于A U Ø， B U Ø，给出下列四个结论：① 对x U ∀∈，有()()1UA Af x f x +=ð；② 对x U ∀∈，若A B Ø，则()()A B f x f x ≤； ③ 对x U ∀∈，有()()()A B A B f x f x f x =⋅I ； ④ 对x U ∀∈，有()()()ABA B f x f x f x =+．其中，正确结论的序号是A ． ①②④B ． ②③④C ． ②③D ． ①②③二．填空题(本大题共6个小题,每小题5分,共30分,把答案填在答题卡上) 9．已知点()3,4P -在角α的终边上，则sin α=_____________． 10．随机抽取100名学生，测得他们的身高(单位cm )按照区间[)[)[)[)[)[)155,160,160,165,165,170,170,175,175,180,180,185分组，得到样本身高的频率分布直方图（如图）．则频率分布 直方图中的x 值为__________；若将身高在[)[)[)170,175,175,180,180,185区间内的学生依次记为,,A B C 三组，用分层抽样的方法从这 三组中抽取6人，则从,,A B C 三组中依次抽 取的人数为______________．11．以双曲线2244x y -=的中心为顶点，右焦点为焦点的抛物线方程为_________．12．如果实数x 、y 满足条件101010x y y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪++≤⎩，则11y x --的最小值为___________；最大值为 ．13．函数11y x =-的图象与函数2cos 2y x π=(46)x -≤≤的图象所有交点的横坐标之和等于 ______ ． 14． 已知集合2012{|22}A x x a a a ==+⨯+⨯，其中{0,1,2}(0,1,2)i a i ∈=，且20a ≠，则集合A 中所有元素之和是_____________；从集合A 中任取两元素,m n ，则随机事件“||3m n -≥”的概率是_____________．三．解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）． 15．（本小题共13分）已知向量(2cos,1)2x m =，(cos ,1)2xn =-，()x R ∈，设函数()f x m n =⋅． (Ⅰ)求函数()f x 的值域；(Ⅱ)已知锐角ABC V 的三个内角分别为A 、B 、C ，若53(),()135f A f B ==，求()f C 的值．16． （本小题共13分）如图四棱锥P ABCD -中，底面A B C D 是平行四边形，090ACB ∠=，PA ⊥平面ABCD ，1PA BC ==，2AB =，F是BC 的中点．(Ⅰ)求证：DA ⊥平面PAC ；(Ⅱ)试在线段PD 上确定一点G ，使CG ∥平面PAF ，并求三棱锥A -CDG 的体积．17．（本小题共13分）设数列{}n a 是公比为正数的等比数列，13,a =3229a a =+ (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ)设3132333log log log log n n b a a a a =+++⋅⋅⋅+，求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．ADCFPB18．（本小题共14分）已知函数2()(1)2ln ,f x a x x =-+()2g x ax =,其中1a > （Ⅰ）求曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程; （Ⅱ）设函数()()()h x f x g x =-，求()h x 的单调区间． 19．（本小题共14分）已知椭圆:G 12222=+b y a x )0(>>b a 的离心率22e =，点(1,0)F 为椭圆的右焦点．（Ⅰ）求椭圆G 的方程；(Ⅱ)过右焦点F 作斜率为k 的直线l 与椭圆G 交于M 、N 两点，若在x 轴上存在着动点(,0)P m ，使得以,PM PN 为邻边的平行四边形是菱形，试求出m 的取值范围．20． （本小题共13分）对于定义域为A 的函数)(x f ，如果任意的A x x ∈21,，当21x x <时，都有()()21x f x f <，则称函数()x f 是A 上的严格增函数；函数()k f 是定义在*N 上，函数值也在*N 中的严格增函数，并且满足条件()()k k f f 3=．（Ⅰ）判断函数)(32)3(N x f xx∈⨯=是否是N 上的严格增函数； （Ⅱ）证明：)(3)3(k f k f =；（Ⅲ）是否存在正整数k ，使得2012)(=k f ，若存在求出k 值；若不存在请说明理由．。
2024年北京市顺义区高三二模数学答案
顺义区2024届高三第二次质量监测数学试卷参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分. DCADB ，BCCAB二、填空题共5小题，每题5分.（11）()(],00,1−∞⋃ （12）（13）//a c ，且22a c >>即可（141+ （15）①④（有错不得分，对1个三分） 三、解答题 （16）（本小题满分13分）（I ）解：法一：()20cos cos 222f ϕϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=−−− ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=2cos cos 222ϕϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ……………………1分=1cos sin 22ϕϕ+−12= ……………………3分即可得tan 3ϕ=又2πϕ<，所以6πϕ= ……………………5分法二：()()()1cos 2222x f x x ϕϕ+−=+− ……………………2分 =1sin 262x πϕ⎛⎫−++ ⎪⎝⎭ ……………………3分所以()10sin 62f πϕ⎛⎫=−++ ⎪⎝⎭12=即得sin 06πϕ⎛⎫−= ⎪⎝⎭ ……………4分又2πϕ<，所以6πϕ= ……………………5分（II ）()()()1cos 2222x f x x ϕϕ+−=+−=1sin 262x πϕ⎛⎫−++ ⎪⎝⎭ 选择②，1sin 622f ππϕ⎛⎫⎛⎫=−+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()51sin 122f ππϕ⎛⎫=−+ ⎪⎝⎭因为5612f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()sin sin 2πϕπϕ⎛⎫−=− ⎪⎝⎭ ………………7分 因为()f x 的最小正周期22T ππ==，2πϕ< ………………8分所以由()sin sin 2πϕπϕ⎛⎫−=−⎪⎝⎭可得2πϕπϕπ−+−=所以4πϕ=，()1sin 2122f x x π⎛⎫=−+ ⎪⎝⎭ ……………10分或法二：因为5612f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()sin sin 2πϕπϕ⎛⎫−=− ⎪⎝⎭ ………………7分 所以cos sin ϕϕ=即tan 1ϕ= ………………8分因为2πϕ<所以4πϕ=，()1sin 2122f x x π⎛⎫=−+ ⎪⎝⎭ ……………10分选择③，()()()1cos 2sin 222x f x x ϕϕ+−=+−=1sin 262x πϕ⎛⎫−++ ⎪⎝⎭ ()y f x =的图像与直线12y =的一个交点的横坐标为24π即可得1242f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以sin 04πϕ⎛⎫−= ⎪⎝⎭ …………………8分 又2πϕ<，所以4πϕ=，()1sin 2122f x x π⎛⎫=−+ ⎪⎝⎭ …………………10分法一：令222,2122k x k k Z πππππ−+≤−≤+∈解得572424k x k ππππ−+≤≤+，即()f x 的单增区间为57,2424k k ππππ⎡⎤−++⎢⎥⎣⎦ (11)分又[]0,x m ∈时，()f x 单增 所以，[]0,m 是57,2424k k ππππ⎡⎤−++⎢⎥⎣⎦的一个子区间所以，50247024k m k ππππ⎧−+≤⎪⎪⎨⎪<≤+⎪⎩即可得752424k −<<，又k Z ∈ 所以0k = …………………12分故[]0,m 是57,2424ππ⎡⎤−⎢⎥⎣⎦的一个子区间，所以m 的最大值为724π. …………………13分 法二：因为()1sin 2122f x x π⎛⎫=−+ ⎪⎝⎭，[]0,x m ∈，所以22121212x m πππ−≤−≤− (11)分因为sin y x =在2,222k k ππππ⎡⎤−+⎢⎥⎣⎦上单增，所以222212122k m k ππππππ−≤−≤−≤+，即可得7024m k ππ≤≤+，752424k −<< 所以0k = …………………12分所以7024m π≤≤，可得m 的最大值为724π. …………………13分（17）（本小题14分） (I)法一：证明：连接BE因为AB BC =，E 为AC 中点，所以BE AC ⊥ ……………………1分 因为1BB 是直三棱柱的侧棱， 所以1BB ⊥平面ABC ……………………2分 因为AC ⊂平面ABC ，所以1BB AC ⊥因为1BE BB B ⋂=，所以AC ⊥平面BDE ……………………3分 因为DE ⊂平面BDE ，所以AC DE ⊥ ……………………4分 法二：证明：连接,AD CD因为1BB 是直三棱柱的侧棱， 所以1BB ⊥平面ABC ……………………1分 所以1BB ⊥AB ，1BB ⊥BC又AB BC =，所以ABD CBD ∆≅∆ ……………………2分 所以AD CD = ……………………3分 又因为E 为AC 中点，所以AC DE ⊥ ……………………4分 (II)解：（i ）因为2AB AC BC ===，所以ABC ∆为等边三角形 设AB 中点为O ，则OC OB ⊥因为1BB ⊥平面ABC ，设11A B 的中点为M ，则OM OB ⊥，OM OA ⊥以OC 所在的直线为x 轴，OB 所在的直线为y 轴，OM 所在的直线为z 轴，建立空间直角坐标系. ……………………5分则()0,0,0O ，()0,1,0A −，()0,1,0B，)C，()10,1,2A −，()10,1,2B，)C，因为,D E 为中点，所以()0,1,1D，1,02E ⎫−⎪⎪⎝⎭所以()10,2,1A D =−，131,222A E ⎛⎫=− ⎪ ⎪⎝⎭…………6分 因为OC OB ⊥，1OC BB ⊥，所以OC ⊥平面11A ABB所以()3,0,0OC =是平面11A ABB 的一个法向量. ……………………7分设(),,m x y z =是平面1A DE 的一个法向量，则10mA D ⋅=，10m A E ⋅=所以2012022y z x y z−=⎧+−=⎪⎩，令1y =，可得2,3z x ==所以7323m ⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭……………………9分 设平面1A DE 与平面11A ABB 的夹角为θ，则7cos 8OC m OC mθ⋅==所以平面1A DE 与平面11A ABB 的夹角的余弦值为78. ……………………11分 (ii)13BF BC = ……………………14分（18）（本小题满分13分）（I ）解：设甲选择方式一参加比赛得分为X()22311321228P X C ⎛⎫⎛⎫==−= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ……………………1分 ()311328P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭ ……………………2分设甲得分不低于2分为事件A ……………………3分则()()()23P A P X P X ==+==12……………………4分（II ）设乙选择方式二参加比赛得分为Y ，Y 的可能取值为0,2,4,6()102P Y ==，()112122P Y ⎛⎫==⨯− ⎪⎝⎭=14，()11141222P Y ⎛⎫==⨯⨯− ⎪⎝⎭=18，()1116222P Y ==⨯⨯=18……………………8分所以()4E Y = ……………………10分（III ）甲获胜的可能性更大. ……………………13分（19）（本小题满分15分）（I ）解：长轴长为2a =，所以a =……………………1分又焦点为()1,0F ，所以1c = ……………………2分所以2221b a c =−=所以，椭圆E 的方程为2212x y += ……………………4分（II ）设()()1122,,,A x y B x y ，直线AB 的方程为()11y k x =− 联立()122112y k x x y ⎧=−⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得()2222111124220k x k x k +−+−=所以211221412k x x k +=+ ……………………5分 又M 为AB 的中点，所以2121212M k x k =+，()1121112M M k y k x k −=−=+ ……………7分 因为121k k ⋅=−，即211k k =−，又N 为CD 的中点不妨用11k −代换1k ，可得2122N x k =+，1212N k y k =+ ……………………9分 讨论：（1）当M N x x =时，直线MN 的斜率不存在此时2121212M k x k =+=2122N x k =+，解得11k =±. 当1k =时，2121,,,3333M N ⎛⎫⎛⎫− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，此时MN 的方程为23x =所以，点()1,0F 到直线MN 的距离d 为13同理，当11k =−，13d = ……………………11分（2）当11k ≠±时，M N x x ≠，此时M N MN M N y y k x x −=−=121322k k − 所以直线MN 的方程为11222111322222k k y x k k k ⎛⎫−=− ⎪+−+⎝⎭化简可得()211132220k x k y k +−−= ……………………12分 法一：点()1,0F 到直线MN 的距离d ==又10k ≠，所以d =……………………13分因为211k ≠，所以2121448k k +>= ……………………14分 所以103d <<综上可知，103d <≤……………………15分 法二：直线MN 的方程为()211132220k x k y k +−−= ……………………12分 令0y =，可得23x =，综上可知，直线MN 恒过定点2,03⎛⎫⎪⎝⎭……………………14分 故点()1,0F 到直线MN 的距离d 的最大值为13，此时直线MN 的斜率不存在又直线MN 的斜率一定不为0 所以103d <≤……………………15分 （20）（本小题满分15分）(I)解：因为()cos xf x e a x =+，所以()001f e a a =+=+ ……………………1分又点()()0,0f 在切线2y x =+上，所以()02f = ……………………2分 所以12a +=即1a = ……………………4分 （II ）证明：欲证方程()2f x =仅有一个实根只需证明cos 20x e x +−=仅有一个零点 令()cos 2xg x e x =+−，则()sin xg x e x '=− ……………………6分令()()sin xh x g x e x '==−，则()cos xh x e x '=−讨论：（1）当0x >时，()0cos cos xh x e x e x '=−>−=1cos 0x −≥所以()h x 在()0,+∞上单调递增，所以()()01h x h >= 即()sin 10xg x e x '=−>>所以()g x 在()0,+∞上单调递增，()()00g x g >=，即此时无零点 …………………7分 （2）当0x =时，()00g =，即此时有一个零点 ……………………8分 （3）当0x <时，()cos 2xg x e x =+−0cos 2e x <+−1cos 0x =−+≤所以，当0x <时，()0g x < ，即此时无零点 ……………………9分 综上可得，()cos 2xg x e x =+−仅有一个零点，得证.（III ）当()0,x ∈+∞时，cos sin 2x e x k x +>+即cos sin 20x e x k x +−−>恒成立 令()cos sin 2xF x e x k x =+−−则()sin cos xF x e x k x '=−−由（II ）可知，()0,x ∈+∞时sin 1x e x −> ……………………11分 所以()sin cos 1cos xF x e x k x k x '=−−>−讨论：（1）当01k <≤时，因为1cos 1x −≤≤，所以cos k k x k −≤≤ 即11cos 1k k x k −≤−≤+所以()1cos 1F x k x k '>−≥−0≥ ……………………12分即当01k <≤时，()0F x '>，所以()cos sin 2xF x e x k x =+−−在()0,x ∈+∞时单增所以()()0F x F >=0恒成立，即满足条件cos sin 20x e x k x +−−> …………………13分 （2）当1k >时，由()sin cos xF x e x k x '=−−可知()01F k '=−0<又()F e k ππ'=+0>，所以存在()00,x π∈，使得()00F x '=所以，当()00,x x ∈时，()0F x '<，()F x 单调递减， 当()0,x x ∈+∞时，()0F x '>，()F x 单调递增所以()()000F x F <=即不能保证cos sin 20x e x k x +−−>恒成立 ……………14分 综上可知，正数k 的取值范围是01k <≤. ……………………15分（21）（本小题满分15分） (I)解：()(){}2,0,0,2A =时(){}1,1B =或者(){}1,1A =时()(){}2,0,0,2B =； ……………………4分（II ）证明：反证法：假设不存在.则对任意3M 的一个优划分()00,A B 一定有()()003X A Y B +>，且00003,A B A B M ⋂=∅⋃=令1010,A B B A ==，则()11,A B 也是3M 的一个优划分.一定有()()003X B Y A +> 故可得()()()()00006X A Y B X B Y A +++> 因为点集3M 满足0,,2i i i i x y x y ≤+≤，所以()()()()00001122336X A Y B X B Y A x y x y x y +++=+++++≤，矛盾故假设不成立，得证. ……………………9分 （III ）证明：不妨设1202n x x x ≤≤≤≤≤，则1102222n n x x x −≤−≤−≤≤−≤.若()12132n n x x x n ++++≤≥，则B 组任取其中一点即可满足； 若1212n n x x x ++++>，则存在正整数k 使得()1212112k k k n X A x x x x x x x ++=+++≤<++++，从而有()1211112k k k n x x x x k x +++<++++≤+，于是()1121k n x k ++>+，又因为()()()()1212222k k n k k n Y B y y y x x x ++++=++≤−+−++−()()()()112221k n n k x n k k +⎛⎫+≤−−≤−− ⎪ ⎪+⎝⎭()()()()21555512121.22122n n n n k n k ⎡⎤++++=−++≤−+=⎢⎥+⎢⎥⎣⎦也就是，取()()(){}111222,,,,,,,k k k A P x y P x y P x y = ()()(){}111222,,,,,,k k k k k k n n n B P x y P x y P x y ++++++=时，即有()12n X A +≤且()12n Y B +≤. 证毕 ……………………15分。
北京市顺义区高三数学第二次统练 文(顺义二模)(含解析)北师大版
北京市顺义区高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．（5分）（•顺义区二模）已知集合A={x∈R|﹣3＜x＜2}，B{x∈R|x≤1或x≥3}，则A∩B=（）A．（﹣3，1] B．（﹣3，1）C．[1，2）D．（﹣∞，2）∪[3，+∞）考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：由题意全集U=R，集合A={x|﹣3＜x＜2}，B={x|x≤1或x≥3}，根据交集的定义计算A∩B．解答：解：∵集合A={x|﹣3＜x＜2}，B={x|x≤1或x≥3}，∴集合A∩B={x|﹣3＜x≤1}，故选A．点评：此题主要考查不等式及集合的交集运算，集合间的交、并、补运算是高考中的常考内容，要认真掌握，并确保得分．2．（5分）（•顺义区二模）复数=（）A．B．C．D．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：直接利用复数的除法运算进行化简．解答：解：．故选B．点评：本题考查了复数的除法运算，复数的除法，采用分子分母同时乘以分母的共轭复数，是基础题．3．（5分）（•顺义区二模）从{1，2，3，4，5}中随机选取一个数a，从{1，2，3}中随机选取一个数b，则关于x的方程x2+2ax+b2=0有两个不相等的实根的概率是（）A．B．C．D．考点：古典概型及其概率计算公式．分析：根据题意，由分步计数原理可得a、b的情况数目，进而分析可得若方程x2+2ax+b2=0有实根，则△=（2a）2﹣4b2≥0，即a2≥b2，列举可得a2≥b2的情况数目，由等可能事件的概率公式，计算可得答案．解答：解：根据题意，a是从集合{1，2，3，4，5}中随机抽取的一个数，a有5种情况，b是从集合{1，2，3}中随机抽取的一个数，b有3种情况，则方程x2+2ax+b2=0有3×5=15种情况，若方程x2+2ax+b2=0有实根，则△=（2a）2﹣4b2＞0，即a＞b，此时有，，，，，，，，共9种情况；则方程x2+2ax+b2=0有实根的概率P==故选C点评：本题考查等可能事件的概率计算，解题的关键是根据一元二次方程有根的充要条件分析出方程x2+2ax+b2=0有实根的情况数目4．（5分）（•顺义区二模）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）A．﹣10 B．﹣3 C．4D．5考点：程序框图．分析：首先分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出变量S的值，模拟程序的运行，运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果．解答：解：按照程序框图依次执行为k=1，S=1；S=2×1﹣1=1，k=2；S=2×1﹣2=0，k=3；S=2×0﹣3=﹣3，k=4；S=2×（﹣3）﹣4=﹣10，k=4≥5，退出循环，输出S=﹣10．故选A．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，一般都可以反复的进行运算直到满足条件结束，本题中涉及到三个变量，注意每个变量的运行结果和执行情况．1 / 85．（5分）（•顺义区二模）已知数列{a n}中，a n=﹣4n+5，等比数列{b n}的公比q满足q=a n﹣a n﹣1（n≥2），且b1=a2，则|b1|+|b2|+…+|b n|=（）A．1﹣4n B．4n﹣1 C．D．考点：数列的求和．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：先由a n=﹣4n+5及q=a n﹣a n﹣1求出q，再由b1=a2，求出b1，从而得到b n，进而得到|b n|，根据等比数列前n项和公式即可求得|b1|+|b2|+…+|b n|．解答：解：q=a n﹣a n﹣1=（﹣4n+5）﹣[﹣4（n﹣1）+5]=﹣4，b1=a2=﹣4×2+5=﹣3，所以=﹣3•（﹣4）n﹣1，|b n|=|﹣3•（﹣4）n﹣1|=3•4n﹣1，所以|b1|+|b2|+…+|b n|=3+3•4+3•42+…+3•4n﹣1=3•=4n﹣1，故选B．点评：本题考查等差、等比数列通项公式及等比数列的前n项和公式，考查学生的运算能力，属中档题．6．（5分）（•顺义区二模）设变量x，y 满足约束条件则23x﹣y的取值范围是（）A．B．C．D．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组表示的平面区域；作出目标函数对应的直线；结合图象根据截距的大小进行判断，先设出目标函数z=3x﹣y的取值范围，最后根据指数函数的性质即可得出23x﹣y的取值范围．解答：解：∵变量x，y 满足约束条件，设目标函数为：z=3x﹣y，直线4x﹣y+1=0与x+2y﹣2=0交于点A（0，1），直线2x+y﹣4=0与x+2y﹣2=0交于点C（2，0），直线4x﹣y+1=0与2x+y﹣4=0交于点B（，3），分析可知z在点B处取得最小值，z min =3×﹣1=﹣，z在点C处取得最大值，z max=3×2﹣0=6，∴﹣≤3x﹣y≤6，∴≤23x﹣y≤64．故选C．点评：本题考查画不等式组表示的平面区域、考查数形结合求函数的最值．解题的关键是准确理解目标函数的几何意义．7．（5分）（•顺义区二模）已知正三角形ABC的边长为1，点P是AB边上的动点，点Q是AC 边上的动点，且，则的最大值为（）A．B．C．D．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：利用向量的运算法则和数量积即可化为关于λ的二次函数，利用二次函数的单调性即可得出最大值．解答：解：如图所示，===﹣+（λ﹣1）+=（λ﹣λ2+1）×1×1×cos60°﹣λ+λ﹣1==，（0≤λ≤1）．当时，则的最大值为．故选D．点评：熟练掌握向量的运算法则和数量积的运算性质、二次函数的单调性是解题的关键．8．（5分）（•顺义区二模）设m，n∈R，若直线l：mx+ny﹣1=0与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，且坐标原点O到直线l 的距离为，则△AOB的面积S的最小值为（）A．B．2C．3D．4考点：点到直线的距离公式；三角形的面积公式．专题：计算题．分析：由距离公式可得，面积为S=•=，由基本不等式可得答案．解答：解：由坐标原点O到直线l 的距离为，可得=，化简可得，令x=0，可得y=，令y=0，可得x=，故△AOB的面积S=•=≥=3，当且仅当|m|=|n|=时，取等号，故选C点评：本题考查点到直线的距离公式，涉及基本不等式的应用和三角形的面积，属基础题．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）（•顺义区二模）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c ，且，则sinC= ，△ABC的面积S= ．考点：正弦定理；三角形的面积公式；同角三角函数间的基本关系．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用同角三角函数的基本关系求得sinA，利用正弦定理求得a的值，再由余弦定理求出c，再由正弦定理求得sinC 的值．从而求得△ABC的面积S=的值．解答：解：△ABC中，由cosA=，可得sinA=．由正弦定理可得，即，解得a=．再由余弦定理可得 a2=b2+c2﹣2bc•cosA，即=25+c2﹣10c•，解得 c=．再由正弦定理可得，即，解得 sinC=．故△ABC的面积S===，故答案为，．点评：本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，同角三角函数的基本关系，属于中档题．10．（5分）（•顺义区二模）已知函数f（x）=10x（x＞0），若f（a+b）=100，则f（ab）的最大值为10 ．考点：基本不等式．专题：计算题．分析：由f（a+b）=10a+b=100可求a+b，然后由基本不等式可得，可求ab的最大值，进而可求f（ab）的最大值解答：解：∵f（x）=10x，∴f（a+b）=10a+b=100∴a+b=2由基本不等式可得，=1当且仅当a=b=1时取等号此时，f（ab）=f（1）=10故答案为：10点评：本题主要考查了基本不等式在求解最值中的简单应用，属于基础试题3 / 811．（5分）（•顺义区二模）以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名工人1天加工的零件数，则甲组工人1天每人加工零件的平均数为20 ；若分别从甲、乙两组中随机选取一名工人，则这两名工人加工零件的总数超过了38的概率为．考点：茎叶图．专题：图表型．分析：先利用平均数和方差的定义求出甲组工人1天加工零件的平均数即可．再求出所有的基本事件共有4×4个，满足这两名工人加工零件的总数超过了38的基本事件有7个，根据古典概型概率计算公式求得结果．解答：解：甲组工人1天每人加工零件的平均数为=20，所有的基本事件共有4×4=16个，满足这两名工人加工零件的总数超过了38的基本事件有：（18，21），（19，21），（21，19），（18，21），（22，17），（22，19），（22，21），共有7个，故这两名工人加工零件的总数超过了38的概率为．故答案为：20，．点评：本题主要考查古典概型及其概率计算公式的应用，茎叶图的应用，属于基础题．12．（5分）（•顺义区二模）一个几何体的三视图如图所示，若该几何体的表面积为92m2，则h= 4 m．考点：由三视图求面积、体积．分析：由题可知，图形是一个的底面是直角梯形的四棱柱，利用表面积，求出h即可．解答：解：由题可知，三视图复原的几何体是一个底面是直角梯形的四棱柱，几何体的表面积是：两个底面积与侧面积的和，所以：=92，解得h=4．故答案为：4．点评：本题考查三视图与几何体的关系，几何体的表面积的求法，考查空间想象能力与计算能力．13．（5分）（•顺义区二模）已知双曲线的离心率为，顶点与椭圆的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为；渐近线方程为=0 ．考点：双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由椭圆的标准方程+=1可求得其焦点坐标为（±，0），依题意可求得a=，再由双曲线﹣=1的离心率为，可求得c，继而可求得该双曲线的方程，从而可得其焦点坐标与渐近线方程．解答：解：∵椭圆的标准方程为+=1，∴其焦点坐标为（±，0），∵双曲线﹣=1的顶点与椭圆+=1的焦点相同，∴a2=3，又双曲线﹣=1的离心率为，∴e2===，∴c2=8，又c2=a2+b2，∴b2=8﹣3=5，∴双曲线的标准方程为﹣=1．∴双曲线的焦点坐标为（±2，0），渐近线方程为：y=±x=±x，整理得：x±3y=0．故答案为：（±2，0），x±3y=0．点评：本题考查椭圆与双曲线的简单性质，求得双曲线的标准方程是关键，考查理解与运算能力，属于中档题．14．（5分）（•顺义区二模）设函数，则满足f（x）≤2的x的取值范围是[0，4] ．考点：函数单调性的判断与证明．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由f（x）=，可知，对x≥2与x＜2分类讨论，即可求得满足f（x）≤2的x的取值范围．解答：解：∵f（x）=，∵f（x）≤2，∴当x≥2时，有log2x≤2，解得2≤x≤4；同理，当x＜2时，2﹣x≤2，解得0≤x＜2．综上所述，满足f（x）≤2的x的取值范围是0≤x≤4．故答案为：[0，4．]点评：本题考查函数单调性的判断与证明，考查解不等式的能力，考查集合的运算，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，满分80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（13分）（•顺义区二模）已知函数．（I ）求的值；（II）求函数f（x）的最小正周期及单调递减区间．考点：二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；正弦函数的单调性．专题：三角函数的图像与性质．分析：（I）把x=直接代入函数的解析式，化简求得f （）的值．（II）由cosx≠0，得x≠kπ+，（k∈z ）．化简函数的解析式为sin（2x+），从而求得f（x）的最小正周期．再由2kπ+≤2x+≤2kπ+，x≠kπ+，k∈z，求得x的范围，即可求得函数的减区间．解答：解：（I）由函数的解析式可得=+=0+=．…（4分）（II）∵cosx≠0，得x≠kπ+，（k∈z ）故f（x ）的定义域为{x|x≠kπ+，（k∈z ）}．因为=sinx （cosx﹣sinx）+=sin2x﹣sin2x+=sin2x ﹣+=sin2x+cos2x=sin（2x+），所以f（x）的最小正周期为 T==π．由2kπ+≤2x+≤2kπ+，x≠kπ+，k∈z，得kπ+≤x≤kπ+，x≠kπ+，k∈z，所以，f（x）的单调递减区间为（kπ+，kπ+），（kπ+，kπ+），k∈z．…（13分）点评：本题主要考查二倍角公式、两角和差的正弦公式、正弦函数的单调性，属于中档题．16．（13分）（•顺义区二模）已知S n为等差数列{a n}的前n项和，且S5=30，a1+a6=14．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和公式．考点：等差数列与等比数列的综合．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）利用S n为等差数列{a n}的前n项和，且S5=30，a1+a6=14，求出数列的首项与公差，即可求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）利用等差数列的通项公式，判断数列是等比数列，利用等比数列的前n项和公式求解即可．解答：解（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，因为S5=30，a1+a6=14所以解得a1=2，d=2，所以a n=a1+（n﹣1）d=2+（n﹣1）×2=2n…（7分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可知a n=2n ，令则，又，（n∈N*）所以{b n}是以4为首项，4为公比的等比数列，设数列{b n}的前n项和为T n则T n=b1+b2+b3+…+b n=4+42+43+ (4)==…（13分）点评：本题考查等差数列与等比数列的综合应用，数列的通项公式与前n项和的求法，考查计算能力．5 / 817．（14分）（•顺义区二模）如图，四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥平面PAD．AB∥CD，PD=AD，F是DC 上的点且为△PAD中AD边上的高．（Ⅰ）求证：AB∥平面PDC；（Ⅱ）求证：PH⊥BC；（Ⅲ）线段PB上是否存在点E，使EF⊥平面PAB？说明理由．考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）由已知AB∥CD，利用线面平行的判定定理即可证明；（Ⅱ）利用AB⊥平面PAD，得到平面PAD⊥平面ABCD．再利用面面垂直的性质定理即可证明；（Ⅲ）线段PB上存在点E，使EF⊥平面PAB．分别取PA、PB的中点G、E，利用三角形的中位线定理和平行四边形的判定定理和性质定理即可得到EF∥DG，l利用线面垂直的判定定理和性质定理即可证明GD⊥平面PAB．从而得到EF⊥平面PAB．解答：（Ⅰ）证明：∵AB∥CD，且AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，∴AB∥平面PDC．（Ⅱ）证明：∵AB⊥平面PAD，AB⊂平面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD．∵PH⊥AD，∴PH⊥平面ABCD，∴PH⊥BC．（Ⅲ）解：线段PB上存在点E，使EF⊥平面PAB．证明如下：如图，分别取PA、PB的中点G、E，则，由，∴．∴EFGD为平行四边形，故EF∥GD，∵AB⊥平面PAD，∴AB⊥GD．∵G为PA的中点，且PD=AD．∴GD⊥PA．∵PA∩AB=A，∴GD⊥平面PAB．∴EF⊥平面PAB．点评：熟练掌握线面平行的判定定理、面面垂直的性质定理、三角形的中位线定理和平行四边形的判定定理和性质定理、线面垂直的判定定理和性质定理是解题的关键．18．（13分）（•顺义区二模）已知函数，其中a 为正实数，是f（x）的一个极值点．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）当时，求函数f（x）在[b，+∞）上的最小值．考点：函数在某点取得极值的条件；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）依题意，x=是函数y=f（x）的一个极值点，由f′（）=0即可求得a的值；（Ⅱ）由（Ⅰ）知f′（x）=，令f′（x）=0，可求得极值点，通过对f（x）与f′（x）的变化情况列表，可求得f（x）的单调区间，再对b 分＜b ＜与b≥两类讨论即可求得函数f（x）在[b，+∞）上的最小值．解答：解：f′（x）=，（Ⅰ）因为x=是函数y=f（x）的一个极值点，所以f′（）=0，因此，a﹣a+1=0，解得a=，经检验，当a=时，x=是y=f（x）的一个极值点，故所求a 的值为．…（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，f′（x）=，令f′（x）=0，得x1=，x2=，f（x）与f′（x）的变化情况如下：x（﹣∞，）（，）（，+∞）f′（x）+ 0 ﹣0 +f（x）所以，f（x ）的单调递增区间是（﹣∞，），（，+∞）．单调递减区间是（，）．当＜b ＜时，f（x）在[b ，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，所以f（x）在[b，+∞）上的最小值为f （）=，当b≥时，f（x）在[b，+∞）上单调递增，所以f（x）在[b，+∞）上的最小值为f（b）==．…（13分）点评：本题考查函数在某点取得极值的条件，考查利用导数求闭区间上函数的最值，突出分类讨论思想与方程思想的考查，属于中档题．19．（14分）（•顺义区二模）已知椭圆的离心率为，F1，F2为椭圆G的两个焦点，点P在椭圆G上，且△PF1F2的周长为．（Ⅰ）求椭圆G的方程（Ⅱ）设直线l与椭圆G相交于A、B 两点，若（O为坐标原点），求证：直线l 与圆相切．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：综合题；分类讨论；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）由已知得，且2a+2c=4+4，联立方程组解出即得a，c，再由b2=a2﹣c2求得b值；（Ⅱ）由题意可知，直线l不过坐标原点，设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）（y1＞y2），分情况讨论：（ⅰ）当直线l⊥x轴时，直线l的方程为x=m（m≠0）且﹣2＜m＜2，联立直线方程与椭圆方程易求A，B 坐标，由得x1x2+y1+y2=0，可求m，从而易判断直线与圆垂直；（ⅱ）当直线l不垂直于x轴时，设直线l的方程为y=kx+m，代入椭圆方程消掉y得x的二次方程，由韦达定理及x1x2+y1+y2=0可得k，m的方程①，根据点到直线的距离公式可表示圆心O到l的距离d，结合①式可求得d值，其恰好等于半径r；解答：（Ⅰ）解：由已知得，且2a+2c=4+4，解得a=2，c=2，又b2=a2﹣c2=4，所以椭圆G 的方程为；（Ⅱ）证明：由题意可知，直线l不过坐标原点，设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）（y1＞y2），（ⅰ）当直线l⊥x轴时，直线l的方程为x=m（m≠0）且﹣2＜m＜2，则x1=m ，，x2=m ，，∵，∴x1x2+y1+y2=0，∴，解得，故直线l 的方程为，因此，点O（0，0）到直线l的距离为d=，又圆的圆心为O（0，0），半径r==d，所以直线l 与圆相切；（ⅱ）当直线l不垂直于x轴时，设直线l的方程为y=kx+m，由得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0，∴，，y1y2=（kx1+m）（kx2+m）==，∵，∴x1x2+y1y2=0，故+=0，即3m2﹣8k2﹣8=0，3m2=8k2+8，①又圆的圆心为O（0，0），半径r=，圆心O到直线l的距离为d=，7 / 8∴==②，将①式带入②式得=，所以d==r，因此，直线l 与圆相切．点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、椭圆方程的求解，考查分类讨论思想，考查学生对问题的阅读理解能力及转化能力，弦长公式、点到直线距离公式、韦达定理是解决问题的基础知识，要熟练掌握．20．（13分）（•顺义区二模）已知函数f（x）=2ae x+1，g（x）=lnx﹣lna+1﹣ln2，其中a为常数，e=2.718…，函数y=f（x）的图象与坐标轴交点处的切线为l1，函数y=g（x）的图象与直线y=1交点处的切线为l2，且l1∥l2．（Ⅰ）若对任意的x∈[1，5]，不等式成立，求实数m的取值范围．（Ⅱ）对于函数y=f（x）和y=g（x）公共定义域内的任意实数x．我们把|f（x0）﹣g（x0）|的值称为两函数在x0处的偏差．求证：函数y=f（x）和y=g（x）在其公共定义域的所有偏差都大于2．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；其他不等式的解法．专题：新定义．分析：（Ⅰ）分别求得切点处的导数值，可得方程，进而可得a值，不等式可化为m＜x ﹣，令h（x）=x ﹣，求导数可得函数h（x）在[1，5]上是减函数，从而可得m＜h（5）即可；（Ⅱ）可得a=，进而可得|f（x）﹣g（x）|=|e x﹣lnx|，通过构造函数q（x）=e x﹣x﹣1，可得e x﹣1＞x …①，构造m（x）=lnx﹣x+1，可得lnx+1＜x…②，由①②得e x﹣1＞lnx+1，即e x﹣lnx＞2，还可得e x＞lnx，综合可得结论．解答：解：（Ⅰ）函数y=f（x）的图象与坐标轴的交点为（0，2a+1），又f′（x）=2ae x，∴f′（0）=2a，函数y=g（x）的图象与直线y=1的交点为（2a，1），又g′（x）=，g′（2a）=由题意可知，2a=，即a2=又a＞0，所以a=…（3分）不等式可化为m＜x ﹣f（x）+即m＜x ﹣，令h（x）=x ﹣，则h′（x）=1﹣（）e x，∵x＞0，∴≥，又x＞0时，e x＞1，∴（）e x＞1，故h′（x）＜0∴h（x）在（0，+∞）上是减函数即h（x）在[1，5]上是减函数因此，在对任意的x∈[1，5]，不等式成立，只需m＜h（5）=5﹣，所以实数m的取值范围是（﹣∞，5﹣）…（8分）（Ⅱ）证明：y=f（x）和y=g（x）公共定义域为（0，+∞），由（Ⅰ）可知a=，∴|f（x）﹣g（x）|=|e x﹣lnx|令q（x）=e x﹣x﹣1，则q′（x）=e x﹣1＞0，∴q（x）在（0，+∞）上是增函数故q（x）＞q（0）=0，即e x﹣1＞x …①令m（x）=lnx﹣x+1，则m′（x）=，当x＞1时，m′（x）＜0；当0＜x＜1时，m′（x）＞0，∴m（x）有最大值m（1）=0，因此lnx+1＜x…②由①②得e x﹣1＞lnx+1，即e x﹣lnx＞2又由①得e x＞x+1＞x由②得lnx＜x﹣1＜x，∴e x＞lnx∴|f（x）﹣g（x）|=e x﹣lnx＞2故函数y=f（x）和y=g（x）在其公共定义域的所有偏差都大于2…（13分）点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，以及切线的方程，涉及新定义，属中档题．。
2012年北京市各区二模试题分类解析【数学文】(3)：导数及其应用.pdf
三、导数及其应用（选修2-2） 1.（2012年西城二模 文18）已知函数，其中．（Ⅰ）当时，求曲线在原点处的切线方程；（Ⅱ）求的单调区间． 解：（Ⅰ）当时，，． ……2分 由 ， 得曲线在原点处的切线方程是．……4分 （Ⅱ）． ………6分 ① 当时，． 所以在单调递增，在单调递减． …7分 当，． ② 当时，令，得，，与的情况如下： 故的单调减区间是，；单调增区间是．……10分 ③ 当时，与的情况如下： 所以的单调增区间是；单调减区间是，． ……13分 综上，时在单调递减；在单调递增. 时，在单调递增，在单调递减；时在单调递增；在单调递减． 2.（2012年朝阳二模文18）设函数.（Ⅰ）已知曲线在点处的切线的斜率为，求的；（Ⅱ）讨论函数的单调性； （Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，求证：对于定义域内的一个，都有． 解：（Ⅰ）的定义域为 …1分 . ……2分 根据题意，，所以，即，解得 ………4分 （Ⅱ）（1）当时，因为，所以，， 所以，函数在上单调递减. ………6分 （2）当时， 若，则，，函数在上单调递减； 若，则，，函数在上单调递 综上，当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递减在上单调递增………9分 （Ⅲ）由（Ⅰ）可知设，即. . …10分 当变化时，，的变化情况如下表： －0＋极小值是在上的唯一极值点，且是极小值点，从而也是的最小值点. 可见 ……13分 所以，即，所以对于定义域内的每一个，都有. ……14分 ，两函数图象的交点在x轴上，且在该点处切线相同．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求证：当x>1时，f(x) 0可得x >2或x <1，由f ′ (x) < 0可得1< x <2． ∴ 函数f ( x ) 的单调递增区间为 (0 ，1) 和 (2，+ ∞ )， 单调递减区间为 (1 , 2 )． …9分 (Ⅲ) 由(Ⅱ)可知函数f (x)在(0，1)单调递增，在(1，2)单调递减，在(2，+∞)单调递增． 且当x=1或x=2时，f ′ (x)=0． …10分 ∴ f (x) 的极大值为 ………11分 f (x)的极小值为 ……12分 则 ………14分 .（Ⅰ）若，求在处的切线方程；（Ⅱ）若在上是增函数，求实数的取值范围. 解：（Ⅰ）由，，， ……1分 所以. ……3分 又， 所以所求切线方程为即. ……5分 （Ⅱ）由已知，得. 因为函数在上是增函数， 所以恒成立，即不等式 恒成立. ………9分 整理得. 令 …11分 的变化情况如下表： +极小值 由此得的取值范围是. ……13分 6.（2012年海淀二模文18）已知函数（，）.（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）当时，若对任意，有成立，求实数的最小值. 解：. 令，解得或. …2分 （Ⅰ）当时，，随着的变化如下表 极小值极大值函数的单调递增区间是，函数的单调递减区间是，. 当时，，随着的变化如下表 极小值极大值函数的单调递增区间是，函数的单调递减区间是，. （Ⅱ）当时，由（Ⅰ）得是上的增函数，是上的减函数. 又当时，. 所以 在上的最小值为，最大值为. 所以 对任意，. 所以 对任意，使恒成立的实数的最小值为.。
【恒心】【好卷速递】北京市顺义区2012届高三第二次统练(数学文)
顺义区2012届高三第二次统练高三数学（文科）试卷 2012.4本试卷共4页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后将答题卡交回.一. 选择题(本大题共8个小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项) 1. 已知集合{}0,1,3M =,{}|3,N x x a a M ==∈,则集合M N =I A.{}0 B.{}0,1 C. {}0,3 D. {}1,3 2.已知i 为虚数单位，则复数(1)i i -所对应的点坐标为 A. (1,1)- B. (1,1) C. (1,1)- D. (1,1)-- 3.已知p 、q 是简单命题，则“p q ∧是真命题”是“p ⌝是假命题”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4.下列函数中周期为π且图象关于直线3x π=对称的函数是A.12sin()23y x π=+B. 12sin()23y x π=-C. 2sin(2)6y x π=+ D. 2sin(2)6y x π=-5.如图给出的是计算111124620+++⋅⋅⋅+的值的一个程 序框图，判断框内应填入的 条件是A. 10i >B. 10i <C. 20i >D. 20i <6.已知向量a ，b 的夹角为3π，且||2a = ，||1b = ，则向量a 与向量2a b + 的夹角等于A.56π B.2π C.3π D.6π 7.一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A.60 B.80C.100D.1208.已知全集为,U P U Ø，定义集合P的特征函数为1,,()0,.P U x P f x x P ∈⎧⎪=⎨∈⎪⎩ð，对于A U Ø， B U Ø，给出下列四个结论：① 对x U ∀∈，有()()1UA A f x f x +=ð；② 对x U ∀∈，若A B Ø，则()()A B f x f x ≤； ③ 对x U ∀∈，有()()()A B A B f x f x f x =⋅I ； ④ 对x U ∀∈，有()()()A B A B f x f x f x =+ ．其中，正确结论的序号是A. ①②④B. ②③④C. ②③D. ①②③二.填空题(本大题共6个小题,每小题5分,共30分,把答案填在答题卡上) 9.已知点()3,4P -在角α的终边上，则sin α=_____________. 10.随机抽取100名学生，测得他们的身高(单位cm )按照区间[)[)[)[)[)[)155,160,160,165,165,170,170,175,175,180,180,185分组，得到样本身高的频率分布直方图（如图）.则频率分布 直方图中的x 值为__________；若将身高在[)[)[)170,175,175,180,180,185区间内的学生依次记为,,A B C 三组，用分层抽样的方法从这 三组中抽取6人，则从,,A B C 三组中依次抽 取的人数为______________.俯视图左视图正（主）视图823234411.以双曲线2244x y -=的中心为顶点，右焦点为焦点的抛物线方程为_________.12.如果实数x 、y 满足条件101010x y y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪++≤⎩，则11y x --的最小值为___________；最大值为 . 13.函数11y x =-的图象与函数2cos 2y x π=(46)x -≤≤的图象所有交点的横坐标之和等于 ______ .14. 已知集合2012{|22}A x x a a a ==+⨯+⨯，其中{0,1,2}(0,1,2)i a i ∈=，且20a ≠，则集合A 中所有元素之和是_____________；从集合A 中任取两元素,m n ，则随机事件“||3m n -≥”的概率是_____________.三．解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）. 15．（本小题共13分）已知向量(2cos ,1)2x m =u r ，(cos ,1)2xn =-r ，()x R ∈，设函数()f x m n =⋅u r r .(Ⅰ)求函数()f x 的值域；(Ⅱ)已知锐角ABC V 的三个内角分别为A 、B 、C ， 若53(),()135f A f B ==，求()f C 的值. 16. （本小题共13分）如图四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，090ACB ∠=，PA ⊥平面ABCD ，1PA BC ==，AB ，F 是BC 的中点.(Ⅰ)求证：DA ⊥平面PAC ； (Ⅱ)试在线段PD 上确定一点G ，使CG ∥平面PAF ，并求三棱锥A -CDG 的体积. 17．（本小题共13分） 设数列{}n a 是公比为正数的等比数列，13,a =3229a a =+(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ)设3132333log log log log n n b a a a a =+++⋅⋅⋅+，求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S . ADCFPB18．（本小题共14分）已知函数2()(1)2ln ,f x a x x =-+()2g x ax =,其中1a > （Ⅰ）求曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程; （Ⅱ）设函数()()()h x f x g x =-，求()h x 的单调区间. 19．（本小题共14分）已知椭圆:G 12222=+b y a x )0(>>b a 的离心率2e =，点(1,0)F 为椭圆的右焦点.（Ⅰ）求椭圆G 的方程；(Ⅱ)过右焦点F 作斜率为k 的直线l 与椭圆G 交于M 、N 两点，若在x 轴上存在着动点(,0)P m ，使得以,PM PN 为邻边的平行四边形是菱形，试求出m 的取值范围.20. （本小题共13分）对于定义域为A 的函数)(x f ，如果任意的A x x ∈21,，当21x x <时，都有()()21x f x f <，则称函数()x f 是A 上的严格增函数；函数()k f 是定义在*N 上，函数值也在*N 中的严格增函数，并且满足条件()()k k f f 3=.（Ⅰ）判断函数)(32)3(N x f x x ∈⨯=是否是N 上的严格增函数；（Ⅱ）证明：)(3)3(k f k f =；（Ⅲ）是否存在正整数k ，使得2012)(=k f ，若存在求出k 值；若不存在请说明理由.顺义区2012届高三第二次统练高三数学（文科）试卷参考答案及评分标准二.填空题(本大题共6个小题,每小题5分,共30分)其它答案参考给分9.45；10．0.06，3,2,1 ； ；11.2y =；12．12，2；13．6； 14.99，3655；三．解答题（本大题共6小题，共80分） 15．（本小题共13分）解：(Ⅰ)2()2cos1cos 2x f x m n x =⋅=-=u r r ，__________4分 x R ∈Q ∴()cos f x x =的值域为[]1,1-.__________6分(Ⅱ) Q 5()cos 13f A A ==，3()cos 5f B B ==__________8分 Q A 、B 、C 均为锐角∴12sin ,13A =4sin 5B =__________10分∴33()cos cos()cos cos sin sin 65f C C A B A B A B ==-+=-+=.__________13分16. （本小题共13分）解：(Ⅰ)证明：Q 四边形是平行四边形，∴090ACB DAC ∠=∠=，Q PA ⊥平面ABCD ∴PA DA ⊥，又AC DA ⊥，AC PA A =I ，∴DA ⊥平面PAC . __________4分(Ⅱ)设PD 的中点为G ，在平面PAD 内作GH PA ⊥于H ，则GH 平行且等于12AD ，连接FH ，则四边形FCGH 为平行四边形，__________8分∴GC ∥FH ，Q FH ⊂平面PAE ，CG ⊄平面PAE ，∴CG ∥平面PAE ，∴G 为PD 中点时，CG ∥平面PAE .__________10分设S 为AD 的中点，连结GS ，则GS 平行且等于1122PA =，Q PA ⊥平面ABCD ，∴GS ⊥平面ABCD ，∴11312A CDG G ACD ACD V V S GS --===V .__________13分A DC FPB17．（本小题共13分）解：(Ⅰ)设等比数列{}n a 的公比为q ，(0)q >，Q 13a =，由3229a a =+，∴2369q q =+，解得3,1q q ==-（舍去）_______2分 ∴*3,()n n a n N =∈__________5分(Ⅱ) Q 3132333(1)log log log log 1232n n n n b a a a a n +=+++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+=___8分 ∴1112()1n b n n =-+，__________8分__________10分 ∴1111122(1)22311n nS n n n =-+-+⋅⋅⋅+-=++.__________13分 18．（本小题共14分）解：（Ⅰ）当1x =时，(1)1f a =-，'2()2(1)f x a x x=-+∴'(1)2f a =，∴(1)2(1)y a a x --=-所求切线方程为210ax y a ---=__________5分 （Ⅱ）2()()()(1)22ln h x f x g x a x ax x =-=--+∴[]'2(1)(1)12()2(1)2x a x h x a x a x x---=--+=，__________6分 根1211,1x x a ==-，（1a >）__________8分 当111a >-，即12a <<时， 在()10,1,(,)1a +∞-上'()0f x >，在1(1,)1a -上'()0f x < ∴()f x 在()10,1,(,)1a +∞-上单调递增，在1(1,)1a -上单调递减；__________10分 当111a ≤-，即2a ≥时， 在1(0,),(1,)1a +∞-上'()0f x >，在1(,1)1a -上'()0f x < ∴()f x 在()10,1,(,)1a +∞-上单调递增，在1(1,)1a -上单调递减. __________14分19．（本小题共14分） 解：（Ⅰ）由已知1C =，c e a ==∴222,1a b ==， ∴所求椭圆:G 的方程为2212x y +=.__________4分(Ⅱ) 由已知直线l 的斜率k 存在且0k ≠设l ：(1)y k x =-，∴22(1)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得：2222(12)4220k x k x k +-+-=__________5分28(1)0k ∆=+>设11(,)M x y ，22(,)N x y ∴22121222422,1212k k x x x x k k -+==++， ∴121212(1)(1)(2)y y k x k x k x x +=-+-=+-__________7分Q 11(,)PM x m y =-uuu r ，22(,)PN x m y =-uuu r1212(2,)PM PN x x m y y +=+-+uuu r uu u r ，2121(,)MN x x y y =--uuu r因为在x 轴上存在动点(,0)P m ，使得以PM ，PN 为邻边的平行四边形是菱形， 由于对角线互相垂直∴()0PM PN MN +=u u u u r u u u r u u u r__________9分 ∴12122121(2,)(,)0x x m y y x x y y +-+⋅--=即12122121(2,)(,())0x x m y y x x k x x +-+⋅--=121212()(2,)(1,)0x x x x m y y k -+-+⋅=，Q 12x x ≠∴1212(2,)(1,)0x x m y y k +-+⋅= ∴1212(2,(2))(1,)0x x m k x x k +-+-⋅= ∴212122(2)0x x m k x x +-++-=，__________11分2222244(2)201212k k k m k k -+-=++，化简得22012k m k =>+Q 0k ≠∴211122m k =<+ ∴102m <<.__________14分 20. （本小题共13分） 解：（Ⅰ）是N 上的严格增函数.此因由于x N ∈，∴3xN ∈，设12,x x N ∈，且12x x <，注意到3x y =递增∴1212(3)(3)2(33)0x x x x f f -=-<，∴12(3)(3)x x f f < ∴)(32)3(N x f x x ∈⨯=是N 上的严格增函数. __________3分（Ⅱ）证明：对()()k k f f N k 3*,=∈()()[]()k f k f f f 3=∴①由已知()()k k f f 3=∴()()[]()k f k f f f 3=②由①，②()()k f k f 33=∴__________6分 （Ⅲ）若(),11=f 由已知()()k k f f 3=得()31=f ，矛盾； 设(1)1f a =>，∴((1))()3f f f a ==，③ 由()k f 严格递增，即()().311=<⇒<a f f a ，∴*(1)1(1)3(1)f f f N ⎧≠⎪<⎨⎪∈⎩，∴(1)2f =，__________9分 由③有((1))()3f f f a ==故((1))(2)3f f f ==∴(1)2f =，(2)3f =.()()()()(),923236,6133==⋅===f f f f f()()()()()()()().8118354,549327,276318,18339========f f f f f f f f依此类推可知*)(32)3(11N k f k k ∈⨯=--.__________11分且存在,131+=-k p 当自变量从11323--⨯→k k 时，函数值正好从k k k k f f 3)32(32)3(111=⨯→⨯=---；又因为2187)1458(2012)(1458)729(=<=<=f k f f ， Q 函数值21872012175-=个，∴变量14581751283-=.所以存在2012)1283(,1283==f k .__________13分。
2012年北京市高考文科数学试卷真题及参考答案(文科)
2012年普通高等学校招生全国统一考试数学〔文〕〔卷〕本试卷共5页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷〔选择题共40分〕一、本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合{}320A x x =∈+>R ，()(){}130B x x x =∈+->R ，则A B =〔 〕.A.(),1-∞-B.21,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭C.2,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D.()3,+∞ 2.在复平面内，复数10i3i+对应的点的坐标为〔〕. A.()1,3 B.()3,1C.()1,3- D.()3,1- 3. 设不等式组0202x y⎧⎨⎩，表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是〔〕. A.π4B.π22- C.π6D.4π4- 4. 执行如图所示的程序框图，输出的S 值为〔〕.A.2B.4C.8D.165. 函数121()2xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点个数为〔〕.A.0B.1C.2D.36. 已知{}n a 为等比数列. 下面结论中正确的是〔〕.A.1322a a a +B.2221322a a a +C.若13a a =，则12a a =D.若31a a >，则42a a > 7. 某三棱锥的三视图如图所所示，该三棱锥的表面积是〔〕.A.2865+3065+ C.565+60125+8. 某棵果树前n 年的总产量n S 与n 之间的关系如图所示.从目前记录的结果看，前m 年的年平均产量最高，m 的值为〔〕.A.5B.7C.9D.11第II 卷〔共110分〕二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.09.直线y x =被圆()2224x y +-=截得的弦长为. 10. 已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若112a =，23S a =，则2a =； n S =.11.在△ABC 中，若3a =，3b =π3A ∠=，则C ∠的大小为. 12.已知函数()lg f x x =，若()1f ab =，则()()22f a f b +=.13.已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE CB ⋅的值为；DE DC ⋅的最大值为.14.已知()()()23f x m x m x m =-++，()22xg x =-，若x ∀∈R ，()0f x <或()0g x <，则m的取值范围是.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15.〔本小题共13分〕已知函数()sin cos sin 2()sin x x x f x x-=.〔1〕求()f x 的定义域与最小正周期； 〔2〕求()f x 的单调递减区间.16.〔本小题共14分〕如图1，在Rt △ABC 中，90C ∠=，D ，E 分别是AC ，AB 的中点，点F 为线段CD 上的一点. 将△ADE 沿DE折起到△1A DE 的位置，使1A F CD ⊥. 如图2. 〔1〕求证：DE ∥平面1A CB ； 〔2〕求证：1A F BE ⊥；〔3〕线段1A B 上是否存在点Q ，使1A C ⊥平面DEQ ？说明理由.17.〔本小题共13分〕近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物与其他垃圾 三类分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类“厨余垃圾〞箱 “可回收物〞箱 “其他垃圾〞箱 厨余垃圾 400100 100 可回收物 30 240 30 其他垃圾20 20 60〔1〕试估计厨余垃圾投放正确的概率； 〔2〕试估计生活垃圾投放错误的概率； 〔3〕假设厨余垃圾在“厨余垃圾〞箱、“可回收物〞箱、“其他垃圾〞箱的投放量分别为a ，b ，c ，其中0a >，600a b c ++=，当数据a ，b ，c 的方差2s 最大时，写出a ，b ，c 的图1图2值〔结论不要求证明〕. 并求此时2s 的值.〔求：()()()2222121n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-+⋅⋅⋅+-⎣⎦， 其中x 为数据1x ，2x ，…，n x 的平均数〕.18.〔本小题共13分〕已知函数()2()10f x ax a =+>，3()g x x bx =+.〔1〕若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点()1,c 处具有公共切线，求a ，b 的值； 〔2〕当3a =，9b =-时，求函数()()f x g x +在区间[],2k 上的最大值为28.求k 的取值范围.19.〔本小题共14分〕已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的一个顶点为()2,0A ，离心率为2. 直线()1y k x =-与椭圆C 交于不同的两点M ，N .〔1〕求椭圆C 的方程； 〔2〕当△AMN的面积为3时，求k 的值. .20.〔本小题共13分〕设A 是如下形式的2行3列的数表，满足性质P ：a ，b ，c ，d ，e ，f []1,1∈-，且0a b c d e f +++++=.记()i r A 为A 的第i 行各数之和〔1,2i =〕，()j c A 为A 的第j 列各数之和〔1,2,3j =〕；记()k A 为1()r A ，2()r A ，1()c A ，2()c A ，3()c A 中的最小值.〔1〕对如下数表A ，求()k A 的值；〔2〕设数表形如其中10d -. 求()k A 的最大值；〔3〕对所有满足性质P 的2行3列的数表A ，求()k A 的最大值.。
北京市顺义区高三数学第二次统练 文(顺义二模)(含解析)北师大版
2013年北京市顺义区高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）2．（5分）（2013•顺义区二模）复数=（）．解：3．（5分）（2013•顺义区二模）从{1，2，3，4，5}中随机选取一个数a，从{1，2，3}中随机选取一个数b，22．此时有，，，，，，P==4．（5分）（2013•顺义区二模）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）5．（5分）（2013•顺义区二模）已知数列{a n}中，a n=﹣4n+5，等比数列{b n}的公比q满足q=a n﹣a n﹣1（n≥2），．所以=3•6．（5分）（2013•顺义区二模）设变量x，y满足约束条件则23x﹣y的取值范围是（）．满足约束条件=3×﹣﹣∴﹣≤27．（5分）（2013•顺义区二模）已知正三角形ABC的边长为1，点P是AB边上的动点，点Q是AC边上的动点，且，则的最大值为（）．﹣+时，则的最大值为8．（5分）（2013•顺义区二模）设m，n∈R，若直线l：mx+ny﹣1=0与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，由距离公式可得•=的距离为，可得=化简可得，，令x=•=≥|m|=|n|=时，取等号，二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）（2013•顺义区二模）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则sinC= ，△ABC的面积S= ．S=cosA=sinA=．﹣10c•sinC==，10．（5分）（2013•顺义区二模）已知函数f（x）=10x（x＞0），若f（a+b）=100，则f（ab）的最大值为10 ．，然后由基本不等式可得，由基本不等式可得，11．（5分）（2013•顺义区二模）以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名工人1天加工的零件数，则甲组工人1天每人加工零件的平均数为20 ；若分别从甲、乙两组中随机选取一名工人，则这两名工人加工零件的总数超过了38的概率为．天每人加工零件的平均数为．12．（5分）（2013•顺义区二模）一个几何体的三视图如图所示，若该几何体的表面积为92m2，则h= 4 m．所以：=9213．（5分）（2013•顺义区二模）已知双曲线的离心率为，顶点与椭圆的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为；渐近线方程为=0 ．由椭圆的标准方程+，，=1的离心率为解：∵椭圆的标准方程为+∴其焦点坐标为（±，∵双曲线﹣=1+=1又双曲线﹣=1==，∴双曲线的标准方程为=1∴双曲线的焦点坐标为（±2，，渐近线方程为：y=±x=±整理得：x±3y=0．（±2x±3y=0．14．（5分）（2013•顺义区二模）设函数，则满足f（x）≤2的x的取值范围是[0，4] ．=，可知，对，三、解答题（本大题共6小题，满分80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（13分）（2013•顺义区二模）已知函数．（I）求的值；（II）求函数f（x）的最小正周期及单调递减区间．直接代入函数的解析式，化简求得）的值．，2x+≤2x+≤2k，x≠k++=0+．…（++（=x+ sin2x﹣=sin2x+2x+）T=≤2x+≤2k，x≠k+≤x≤k+，+++16．（13分）（2013•顺义区二模）已知S n为等差数列{a n}的前n项和，且S5=30，a1+a6=14．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和公式．（Ⅱ）利用等差数列的通项公式，判断数列所以，…（17．（14分）（2013•顺义区二模）如图，四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥平面PAD．AB∥CD，PD=AD，F是DC上的点且为△PAD中AD边上的高．（Ⅰ）求证：AB∥平面PDC；（Ⅱ）求证：PH⊥BC；（Ⅲ）线段PB上是否存在点E，使EF⊥平面PAB？说明理由．．18．（13分）（2013•顺义区二模）已知函数，其中a为正实数，是f（x）的一个极值点．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）当时，求函数f（x）在[b，+∞）上的最小值．是函数）分与两类讨论即可，x=）因此，a，a=是的值为===（﹣∞，）（，）（）的单调递增区间是（﹣∞，（．单调递减区间是（）＜＜）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，（b≥=19．（14分）（2013•顺义区二模）已知椭圆的离心率为，F1，F2为椭圆G的两个焦点，点P在椭圆G上，且△PF1F2的周长为．（Ⅰ）求椭圆G的方程（Ⅱ）设直线l与椭圆G相交于A、B两点，若（O为坐标原点），求证：直线l与圆相切．（Ⅰ）由已知得，2a+2c=4+4＜，联立直线方坐标，由（Ⅰ）解：由已知得，2a+2c=4+4，，的方程为；，，，，∴x，解得的方程为d=又圆r=与圆，=，∴x+又圆r===，相切．20．（13分）（2013•顺义区二模）已知函数f（x）=2ae x+1，g（x）=lnx﹣lna+1﹣ln2，其中a为常数，e=2.718…，函数y=f（x）的图象与坐标轴交点处的切线为l1，函数y=g（x）的图象与直线y=1交点处的切线为l2，且l1∥l2．（Ⅰ）若对任意的x∈[1，5]，不等式成立，求实数m的取值范围．（Ⅱ）对于函数y=f（x）和y=g（x）公共定义域内的任意实数x．我们把|f（x0）﹣g（x0）|的值称为两函数在x0处的偏差．求证：函数y=f（x）和y=g（x）在其公共定义域的所有偏差都大于2．﹣﹣a=，进而可得=，即…（不等式f+﹣（≥，，∴（，不等式成立，a=，。
北京顺义区高三数学第二次统练测试(文)新人教版
顺义区2010届高三第二次统练数学试卷（文科）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。
考试时间120分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
2．答题前考生务必用黑色字迹的签字笔在答题卡上填写姓名、准考证号，然后再用2B 铅笔将与准考证号对应的信息点涂黑。
3．答题卡上第Ⅰ卷必须用2B 铅笔作答，将选中项涂满涂黑，黑度以盖住框内字母为准，修改时用橡皮擦除干净。
第Ⅱ卷必须用黑色字迹的签字笔按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．已知集合{}2|1A x x =<，集合{}2|log 0B x x =<，则A B =I ( )A.()0,1B.()1,0-C.()1,1-D. (),1-∞ 2. 已知复数12z i =+，则1z= ( ) A. 1233i -+ B. 1233i - C.1255i - D. 1255i -+3. 已知等比数列{}n a 中，212a =，314a =，164k a =，则k = ( )A. 5B. 6C. 7D. 84.已知向量(3cos ,2)a α=r ，(3,4sin )b α=r ，且a b r rP ，则锐角α等于（ ）A.6π B.4π C.3π D.512π5.“1m =”是“直线0x y m ++=与圆221x y +=相交”的 （ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.阅读下面的程序框图，执行相应的程序，则输出的结果是 （ ）A. 4B. 5C. 6D. 77. 以双曲线2214x y -=的中心为顶点，左焦点为焦点的抛物线方程是（ ）n=n+1s=s+(-1)n ⋅nn=1, s=0n ≤ 10 ?输出 S 开始结束是否A. 2y =-B. 2y =-C.2y =-D.2y =-8.在圆2250x y y +-=内，过点35(,)22作n 条弦（n N +∈），它们的长构成等差数列{}n a ，若1a 为过该点最短的弦，n a 为过该点最长的弦，且公差11(,)53d ∈，则n 的值为 （ ）A. 4B. 5C. 6D. 7第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.二.填空题(本大题共6个小题,每小题5分,共30分,把答案填在题中横线上) 9. 在总体为N 的一批零件中，抽取一个容量为40的样本，若每个零件被抽取的可能性为25%，则N 的值为_________.10.已知向量a =r(1b =-r，则a r 与2b r 的夹角为_________.11.已知x 、y 满足约束条件011x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2z xy =+的最小值为______________.12.函数2,0()4cos ,02x x f x x x π⎧<⎪=⎨≤<⎪⎩，则不等式()2f x >的解集是____________.13.如图所示，墙上挂有一长为2π宽为2的矩形木板ABCD ，它的阴影部分是由sin y x =，5,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的图象和直线1y =围成的图形，某人向此板投飞镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每一点的可能性相同，则他击中阴影部分的概率是______________. 14．某同学在研究函数()||1xf x x =+ ()x R ∈时，分别给出下面几个结论：（1）函数()f x 是奇函数（2）函数()f x 的值域为(1,1)- （3）函数()f x 在R 上是增函数（4）函数()()g x f x b =-（b 为常数，b R ∈）必有一个零点其中正确结论的序号为___________（把所有正确结论的序号都填上）三．解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（本小题共12分） 已知函数()sin cos f x x x =+，x R ∈． （Ⅰ）求()4f π的值；（Ⅱ）如果函数()()()g x f x f x =-，求函数()g x 的最小正周期和最大值.16．（本小题共13分）甲、乙两位同学参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取5次，绘制成茎叶图如下Ⅰ.从甲、乙两人的成绩中各随机抽取一个，用列举法计算甲的成绩比乙高的概率；Ⅱ.现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由.17．（本小题共14分）一个直三棱柱的直观图及三视图如图所示，（其中D 为11A B 的中点）Ⅰ.求证：1C D ⊥平面11ABB AⅡ.当点F 在棱1BB 上的什么位置时，有1AB ⊥平面1C DF ， 请证明你的结论Ⅲ.对（2）中确定的点F ，求三棱锥11B C DF -的体积．俯视图侧视图主视图21112D C 1B 1A 1BCA18．（本小题共14分）已知函数()ln (1)f x x a x =+- （a 为常数，a R ∈） Ⅰ若1x =时，函数()f x 取得极大值，求实数a 的值；Ⅱ.若不等式'()2f x x ≥-在函数定义域上恒成立，（其中'()f x 为()f x 的导函数）求a 的取值范围.19. （本小题共14分）已知：椭圆2222:1x y C a b += ()0a b >> 过()0,1点，离心率2e =；直线:l y kx m =+()0m >与圆O :221x y +=相切,并与椭圆C 交于不同的两点A 、B ,（O 为坐标原点）.Ⅰ.求椭圆C 的方程及m 与k 的关系式()m f k =；Ⅱ.设,OA OB <>u u r u u u r θ=，且满足||OA =uuu r ||OB =uu u r ，cos θ=求直线l 的方程；Ⅲ.在Ⅱ.的条件下，求三角形AOB 的面积.20．（本小题共13分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)n n P S a 在直线(2)220m x my m -+--=上，其中m 为常数，且0m >.Ⅰ.求证：{}n a 是等比数列，并求其通项n a ；Ⅱ若数列{}n a 的公比()q f m =，数列{}n b 满足11b a =，1()n n b f b -=, (n N +∈， 2n ≥）， 求证：1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求n b ; Ⅲ.设数列{}n c 满足1n n n c b b +=，n T 为数列{}n c 的前n 项和，且存在实数T 满足n T T ≥，()n N +∈求T 的最大值.高三数学试题（文科）参考答案及评分标准9．160 ；10.3π; 11. 3- ；12.(,0,3π⎡⎫-∞⎪⎢⎣⎭U ；13．12；14．()()()1,2,3;（注：14题少解给2分，有错解不给分）三．解答题（本大题共6小题，共80分） 15. （本小题共12分）解：（Ⅰ）()sincos444f πππ=+==_______4分 （Ⅱ）()()()(sin cos )[sin()cos()]g x f x f x x x x x =-=+-+- (sin cos )(sin cos )x x x x =+-+_______6分22cos sin cos 2x x x =-= _______8分x R ∈22T ππ==，()g x 的最小正周期为π．_______10分 1cos 21x ∴-≤≤，因此，函数()g x 的最大值是1．_______12分16．（本小题共13分）解： Ⅰ.由茎叶图知甲乙两同学的成绩分别为： 甲：82 81 79 88 80乙：85 77 83 80 85 ______2分 记从甲、乙两人的成绩中各随机抽取一个为(,)x y ， 用列举法表示如下：(82,85)(82,77)(82,83)(82,80)(82,85)(81,85)(81,77)(81,83)(81,80)(81,85)(79,85)(79,77)(79,83)(79,80)(79,85) (88,85)(88,77)(88,83)(88,80)(88,85)(80,85)(80,77)(80,83)(80,80)(80,85) ______4分∴甲的成绩比乙高的概率为1125______7分 Ⅱ.本小题的结论唯一但理由不唯一，只要考生从统计学的角度给出其合理解答即可得分. （1）派乙参赛比较合适， ______9分 . 理由如下： 甲的平均分82x =甲，乙的平均分82x =乙，甲乙平均分相同；又甲的标准差的平方（即方差）210S =甲，乙的标准差的平方（即方差）29.6S =乙， 22S S >乙甲______11分 甲乙平均分相同，但乙的成绩比甲稳定，∴派乙去比较合适；______13分（2）派乙去比较合适，理由如下：从统计学的角度看，甲获得85分以上（含85分）的概率115P = 乙获得85分以上（含85分）的概率225P =， 甲的平均分82x =甲，乙的平均分82x =乙，平均分相同； ∴派乙去比较合适.若学生或从得82分以上(含82分)去分析：甲获得82分以上（含82分）的概率125P =, 乙获得82分以上（含82分）的概率235P =，甲的平均分82x =甲，乙的平均分82x =乙，平均分相同；∴派乙去比较合适.（同样给此问的分）. 17．（本小题共14分）证明：由三视图知该多面体为底面为直角三角形的直三棱柱111ABC A B C -，1112AC B π∠=，棱1AA ⊥平面11A B C，1AA ，俯视图侧视图主视图21112D C 1B 1A 1BCA11111AC B C ==，11A B =______2分Ⅰ. Q D 为11A B 的中点，∴111C D A B ⊥，Q 1AA ⊥平面111A B C1C D ⊂平面111A B C ，∴11C D AA ⊥，1111AA A B A =I ，∴1C D ⊥平面11ABB A ______5分Ⅱ. 当点F 在棱1BB 上的中点时，有1AB ⊥平面1C DF ______7分证明：连结DF ，1A B ，∴1||DF A B ，Q 111AA A B ==，∴四边形11ABB A 为正方形，∴11AB A B ⊥，∴1AB DF ⊥，由Ⅰ知11C D A B ⊥，1DF C D D =I ∴1AB ⊥平面1C DF ______10分Ⅲ.设1AB DF G =I ，1B G 为三棱锥11B C DF -的高，112B G =，______12分可求得 14C DF S =V ，体积24V =.______14分18.（本小题共14分）解：Q ()ln (1)f x x a x =+-∴定义域()0,+∞，1'()f x a x=+______2分 ⅠQ ()f x 在1x =处取得极值，∴'(1)0f =∴1a =-______4分()ln (1)f x x x =-- 11'()1x f x x x-=-=-，令'()0f x >，解得01x << ∴()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，满足在1x =处取得极大值，∴1a =-.______7分Ⅱ. 方法1：若不等式'()2f x x ≥-在函数定义域上恒成立______9分 即12a x x +≥-在()0,+∞上恒成立，12a x x -≤+在()0,+∞上恒成立Q12x x +≥“=”当且仅当2x =时取到，______12分 （不验证“=”成立扣1分）∴a ≥-.______14分方法2：令1()2g x x x =+ ，222121'()2x g x x x -=-+=，易知()g x 在⎛ ⎝⎭递减，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭递增；∴()g x有最小值（即极小值）为(2g =，∴a -≤∴a ≥-.19．（本小题共14分）解：Ⅰ.Q 椭圆2222:1x y C a b+=，过()0,1点，∴1b =，______1分c e a ===∴22a =，______2分∴椭圆C 方程为：2212x y +=；______3分 Q 直线:l y kx m =+()0m >与圆221x y +=相切，∴1=，m ，即()m f k = ______5分 Ⅱ.方法1：2212y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得222(21)4220k x kmx m +++-=， 280k =>V ，∴0k ≠ ______6分设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则122421km x x k -+=+，21222221m x x k -⋅=+，2||||cos 3OA OB OA OB θ⋅=⋅==uu r uu u r uu r uu u r又211221212212(,)(,)213k OA OB x y x y x x y y k +⋅==+=⋅⋅⋅==+uu r uu u r ______8分 21k =，1k =±；∴()m f k ===直线l的方程为：y x =y x =- ______10分Ⅲ.由Ⅱ.知1k =±；m =消去y得2320x ±+=，12x x +=1223x x =由弦长公式：4||3AB =，∴121||23AOB S AB =⋅⋅=V ______14分 方法2：Q ||OA =u u r∴(A ∴直线AB过(点Q ＜,OA OB u u r u u u r＞θ=，且cos θ=∴sin θ=tan 2OB k θ==± ∴OB l ：2y x =±，与2212x y +=联立解得：x =，y =或x =，y =即1(33B -，2(33B -，由两点得AB的方程为：y x =± 由前面解知：||OA 为三角形的底边，||B y 为三角形的高，||3B y =，112||||2233AOB B S OA y ===V uuu r 20．（本小题共13分）解：解：Ⅰ.Q 点(,)n n P S a 在直线 (2)220m x my m -+--=上，∴(2)220n n m S ma m -+--= * ______1分当1n =时，11a S =，∴11(2)220m a ma m -+--=，∴1(2)2a m m +=+∴11a =， ______2分当2n ≥时，由*式知11(2)220n n m S ma m ---+--=**，两式相减得1(2)2n n m a ma -+= Q 0m >∴122n n a ma m -=+ ，∴ 11122()()22n n n m m a a m m --==++， 又当1n =时也适合，∴{}n a 是等比数列，通项12()2n n m a m -=+；____5分 Ⅱ.由Ⅰ知2()2m q f m m ==+， ∴1112()2n n n n b b f b b ---==+ ，∴11112n n b b -=+ 即11112n n b b --=，又111b =也适合，∴1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭成等差数列，______7分其通项112n n b +=， ∴21n b n =+ ______9分 Ⅲ. Q {}n c 满足140(1)(2)n n n c b b n n +=⋅=>++n T 为数列{}n c 的前n 项和，∴n T 递增；______11分∴1123n T T C ≥==，要满足n T T ≥对任意n N +∈都成立， ∴23T ≤ . ∴T 的最大值为23. ______13分。
北京市顺义区高考数学二模试卷(文科)
高考数学二模试卷（文科）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知全集U={0，1，2}，集合A={x|x2-x=0}，则∁U A=（）A. {2}B. {0，1}C. {0，2}D. {1，2}2.某程序的框图如图所示，执行该程序，若输入的x值为7，则输出的y值为（）A. -2B. -1C.D. 23.若实数x，y满足则2x+y的最小值是（）A. -2B. -1C. 0D. 44.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）A. 12B. 2C.D.5.在△ABC中，a=7，c=3，．sin C的值为（）A. B. C. D.6.当c＞1时，使不等式log a c＞log3c成立的正数a（a≠1）的值为（）A. B. C. 2 D. 47.“a≥4或a≤0”是“函数f（x）=ax2+ax+1存在零点”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件8.已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若对于∀（x1，y1）∈M，∃（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，则称集合M是“互垂点集”．给出下列四个集合：；M2={（x，y）|y=ln x}；；M4={（x，y）|y=sin x+1}．其中是“互垂点集”集合的为（）A. M1B. M2C. M3D. M4二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.=______．10.已知向量，满足||=1，||=2，且，则与的夹角为______．11.为了解中学生寒假从图书馆借书的情况，一个调研小组在2019年寒假某日随机选取了100名在市级图书馆借书的中学生，如表记录了他们的在馆停留时间，分为（0，15]，（15，30]，（30，45]（45，60]和60以上（单位：分钟）五段统计．现在需要从（15，30]，（30，45]（45，60]（单位：分钟）这三段时间中按分层抽样抽取停留时长（单位：分钟）频数频率（0，15]20.02（15，30]a0.05（30，45]b0.10（45，60]250.2560以上580.58合计100 1.0012.（）的两条切线，则两条切线所成的锐角______．13.把函数图象上的所有点向左平移a（a＞0）个单位长度后，得到函数y=sin2x的图象，则a的最小值为______．14.已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点和双曲线的右焦点F2重合，则抛物线的标准方程为______；P为抛物线和双曲线的一个公共点，P到双曲线左焦点F1的距离为______．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.已知{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，且b2=2，b5=16，a1=2b1，a3=b4．（Ⅰ）求{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=a n+b n，求数列{c n}的前n项和．16.已知函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间[]上的最大值和最小值．17.国际上常用恩格尔系数（食品支出总额占个人消费支出总额的比重）反映一个国家或家庭生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高．联合国根据恩格尔系数的大小，对世界各国的生活质量有一个划分标准如下：恩格尔系数（%）生活质量大于等于60 贫穷[50，60）温饱[40，50）小康[30，40）相对富裕[20，30）富裕小于20 极其富裕下表记录了我国在改革开放后某市A，B，C，D，E五个家庭在五个年份的恩格尔系数．年份家庭恩格尔系数（%）A B C D E1978年57.7 52.5 62.3 61.0 58.8 1988年54.2 48.3 51.9 55.4 52.6 1998年44.7 41.6 43.5 49.0 47.4 2008年37.9 36.5 29.2 41.3 42.7 2018年28.6 27.7 19.8 35.7 34.2（Ⅰ）从以上五个年份中随机选取一个年份，在该年份五个家庭的生活质量都相同的概率为__（将结果直接填写在答题卡的相应位置上）；（Ⅱ）从以上五个家庭中随机选出两个家庭，求这两个家庭中至少有一个家庭在2008年和2018年均达到“相对富裕”或更高生活质量的概率；（Ⅲ）如果将“贫穷”，“温饱”，“小康”，“相对富裕”，“富裕”，“极其富裕”六种生活质量分别对应数值：0，1，2，3，4，5．请写出A，B，C，D，E 五个家庭在以上五个年份中生活质量方差最大的家庭和方差最小的家庭（结论不要求证明）．18.如图，AE⊥平面ABC，CD∥AE，AC=BC=AE=2CD=2，，M为棱BE上一点，平面CDM与棱AB交于点N．（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACDE；（Ⅱ）求证：CD∥MN；（Ⅲ）当四边形CDMN为矩形时，求四棱锥B-CDMN的体积．19.设函数．（Ⅰ）若点（1，1）在曲线y=f（x）上，求在该点处曲线的切线方程；（Ⅱ）若f（x）≥2恒成立，求a的取值范围．20.已知椭圆C：的右焦点为，过F的直线l与C交于A，B两点．当l与x轴垂直时，线段AB长度为1．O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C的方程（Ⅱ）若对任意的直线l，点M（m，0）总满足∠OMA=∠OMB，求实数m的值．（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求△MAB面积的最大值．答案和解析1.【答案】A【解析】解：全集U={0，1，2}，集合A={x|x2-x=0}={0，1}．则∁U A={2}故选：A．由题意求出集合A，然后直接写出它的补集即可．本题考查集合的基本运算，补集的求法，考查计算能力．2.【答案】C【解析】解：若输入的x值为7，则x≤0否，x=7-2=5，x≤0否，x=5-2=3，x≤0否，x=3-2=1，x≤0否，x=1-2=-1x≤0是，y=2-1=，故选：C．根据程序框图进行模拟运算即可．本题主要考查程序框图的识别和应用，利用模拟运算法是解决本题的关键．比较基础．3.【答案】B【解析】解：画出，可行域，得在直线x-y+2=0与直线x+y=0的交点A（-1，1）处，目标函数z=2x+y的最小值为-1．故选：B．本题主要考查线性规划问题，由线性约束条件画出可行域，然后求出目标函数的最小值．本题考查不等式组所表示的平面区域和简单的线性规划问题．在线性规划问题中目标函数取得最值的点一定是区域的顶点和边界，在边界上的值也等于在这个边界上的顶点的值，故在解答选择题或者填空题时，只要能把区域的顶点求出，直接把顶点坐标代入进行检验即可．4.【答案】D【解析】解：由几何体的三视图得该几何体是直三棱柱，其中底面是等腰直角三角形，两条直角边长都为1，高为1，∴该几何体的表面积：S=2×（×1×1）+2×（1×1）+1×=3+．故选：D．由几何体的三视图得该几何体是直三棱柱，其中底面是等腰直角三角形，两条直角边长都为1，高为1，由此能求出该几何体的表面积．本题考查由几何体的三视图求几何体的表面积，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意空间想象能力的培养．5.【答案】B【解析】解：根据题意，△ABC中，a=7，c=3，，有=，则sin C===；故选：B．根据题意，由正弦定理可得=，变形可得sin C=，代入数据计算可得答案．本题考查正弦定理的应用，关键是掌握正弦定理的形式，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：∵c＞1时，使不等式log a c＞log3c成立，∴＞，∴＞，∴b＞a＞1时，不等式成立，故a可以取2，故选：C．由对数不等式的解法得：由log a c＞log b c，可得＞，即b＞a＞1时，不等式成立，问题得以解决本题考查了对数不等式的解法，属简单题．7.【答案】B【解析】【分析】函数零点的判定方法得当a=0时，无根，当a≠0时，=a2-4a≥0，解得a＜0或a≥4，运用充分必要条件的定义判断即可.本题考查了函数零点的判定方法，充分必要条件的定义，属于容易题，运算量小．【解答】解：∵函数f（x）=ax2+ax+1存在零点，即f（x）=ax2+ax+1=0有实数根，当a=0时，无根，当a≠0时，=a2-4a≥0，解得a＜0或a≥4，∴根据充分必要条件的定义可判断：“a≥4或a≤0”是“函数f（x）=ax2+ax+1存在零点”的必要不充分条件故选：B．函数零点的判定方法得当a=0时，无根，当a≠0时，=a2-4a≥0，解得a＜0或a≥4，运用充分必要条件的定义判断即可本题考查了函数零点的判定方法，充分必要条件的定义，属于容易题，运算量小．8.【答案】D【解析】解：设A（x1，y1），B（x1，y1）∵x1x2+y1y2=0，∴即OA⊥OB．由题可知，在一个点集中，若对于∀A（x1，y1）∈M，∃B（x2，y2）∈M，使得OA⊥OB 成立，则这个集合就是“互垂点集”．对于集合M1，取A（0，1），要使OA⊥OB，则点B必须在x轴上，而集合M1中没有点会在x轴上，所以M1不是“互垂点集”，同理可判定M2，M3也不是“互垂点集”，即排除A，B，C．故选：D．根据x1x2+y1y2=0确定A（x1，y1）与B（x2，y2）两点的位置关系：OA⊥OB．下面只要判断四个集合所表示的点集是否满足：对于∀A（x1，y1）∈M，∃B（x2，y2）∈M，使得OA⊥OB成立即可．此题考查了平面向量数量积的运用，利用了排除法，理解：若对于∀A（x1，y1）∈M，∃B（x2，y2）∈M，使得OA⊥OB成立，则这个集合就是“互垂点集”是解本题的关键．9.【答案】1+i【解析】解：=1+i故答案为：1+i．将复数的分子、分母同时乘以1+i，然后利用平方差公式将分母展开即得到结果．本题考查进行复数的除法运算就是将复数的分子、分母同时乘以分母的共轭复数，然后利用多项式的乘法法则展开即可，属于基础题．10.【答案】60°【解析】解：由||=1，||=2，•（）=0，∴-•=0，即12-1×2×cosθ=0，解得cosθ=；又θ∈[0°，180°]，∴与的夹角θ是60°．故答案为：60°．根据平面向量的数量积运算，求出cosθ的值，即可求出夹角θ的大小．本题考查了平面向量数量积的运算问题，是基础题．11.【答案】4【解析】解：由图表可知学生在馆停留时间落在（15，30]，（30，45]（45，60]的频率之比为：0.05：0.10：0.25=1：2：5，从（15，30]，（30，45]（45，60]（单位：分钟）这三段时间中按分层抽样抽取16人做调查，则从（30，45]这段时长中抽取的人数是：=4，故答案为：4由落在（15，30]，（30，45]（45，60]的频率之比为：0.05：0.10：0.25=1：2：5，再结合频率之比运算可得解本题考查了分层抽样方法，属简单题12.【答案】600【解析】解：如图：OA，OB为圆的两条切线，在Rt△OAC中，CA=3，CO=6，∴∠COA=30°，同理∠COB=30°，故∠AOB=60°．故答案为：60°．结合图象可得．本题考查了圆的切线方程，属基础题．13.【答案】【解析】解：把函数图象上的所有点向左平移a（a＞0）个单位长度后，可得y=sin（2x+2a-）的图象；再根据得到函数y=sin2x的图象，则有2a-=0，解得a=，即a的最小值为，故答案为：．由题意利用函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．本题主要考查函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．14.【答案】y2=8x7【解析】解：抛物线y2=2px（p＞0）的焦点和双曲线的右焦点F2重合，可得，就是p=4，所以抛物线方程为：y2=8x；由，解得x=3，所以P（3，2），P到双曲线左焦点F1的距离为：=7．故答案为：y2=8x；7．求出双曲线的焦点坐标，得到抛物线的焦点坐标，即可求出抛物线方程；求出两条曲线的焦点坐标，利用双曲线定义求解P到双曲线左焦点F1的距离．本题考查双曲线的简单性质以及抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查．15.【答案】解：（Ⅰ）设{b n}的公比为q．因为b2=2，b5=16，所以，所以q=2.，------------------------------------------（2分）所以．------------------------------------------（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以b1=1，b4=8．设等差数列{a n}的公差为d．因为a1=2b1，a3=b4所以a1=2，a3=a1+2d=8所以d=3．------------------------------------------（6分）所以a n=3n-1．------------------------------------------（8分）因此．--------------------------------------（9分）从而数列{c n}的前n项和=------------------------------------------（12分）=．------------------------------------------（13分）【解析】（Ⅰ）设{b n}的公比为q．利用已知条件求出公比，然后求解通项公式．（Ⅱ）设等差数列{a n}的公差为d．转化求解数列的通项公式a n=3n-1，然后利用拆项法求解数列的和即可．本题考查等差数列以及等比数列的应用，数列的通项公式以及数列求和的方法的应用，考查计算能力．16.【答案】解：（Ⅰ）====，所以f（x）的最小正周期为．（Ⅱ）因为，所以．于是，当，即时，f（x）取得最大值；当，即时，f（x）取得最小值-2．【解析】（Ⅰ）利用三角恒等变换，化简f（x）的解析式，再利用正弦函数的周期性，求出它的最小正周期．（Ⅱ）利用正弦函数的定义域和值域，求出f（x）在区间[]上的最大值和最小值．本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性、定义域和值域，属于基础题．17.【答案】【解析】解：（Ⅰ）从以上五个年份中随机选取一个年份，基本事件总数n=5，在该年份五个家庭的生活质量都相同包含的基本整个数m=1，∴在该年份五个家庭的生活质量都相同的概率p=．故答案为：．（4分）（Ⅱ）在2008年和2018年均达到“相对富裕”或更高生活质量的有A，B，C三个家庭，从五个家庭中随机选出两个家庭的所有选法为：AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE，共10种，其中至少有一个家庭达到“相对富裕”或更高生活质量的有9种．记至少有一个家庭在2008年和2018年均达到“相对富裕”或更高生活质量为事件M，则这两个家庭中至少有一个家庭在2008年和2018年均达到“相对富裕”或更高生活质量的概率．（11分）（Ⅲ）如果将“贫穷”，“温饱”，“小康”，“相对富裕”，“富裕”，“极其富裕”六种生活质量分别对应数值：0，1，2，3，4，5．家庭1978年1988年1998年2008年2018年A11234B12234C01245D01223E11223（Ⅰ）从以上五个年份中随机选取一个年份，基本事件总数n=5，在该年份五个家庭的生活质量都相同包含的基本整个数m=1，由此能求出在该年份五个家庭的生活质量都相同的概率．（Ⅱ）在2008年和2018年均达到“相对富裕”或更高生活质量的有A，B，C三个家庭，从五个家庭中随机选出两个家庭，利用列举法能求出这两个家庭中至少有一个家庭在2008年和2018年均达到“相对富裕”或更高生活质量的概率．（Ⅲ）生活质量方差最大的家庭是C，方差最小的家庭是E．本题考查概率、方差的求法，考查列举法、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18.【答案】（Ⅰ）证明：∵AC=BC=2，，∴AC2+BC2=AB2，∴BC⊥AC，∵AE⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴AE⊥BC，∵AE∩AC=A，∴BC⊥平面ACDE；（Ⅱ）证明：∵CD∥AE，AE⊂平面ABE，CD⊄平面ABE，∴CD∥平面ABE，∵CD⊂平面CDM，平面CDM∩平面ABE=MN，∴CD∥MN；（Ⅲ）解：∵CD∥MN，CD∥AE，∴MN∥AE，当四边形CDMN为矩形时，，∴MN为△ABE的中位线，∵AE⊥平面ABC，∴AE⊥CN，AE⊥AB，∴MN⊥CN，MN⊥AB，此时四边形CDMN为矩形，又BN⊥CN，MN∩CN=N，∴BN⊥平面CDMN．∴．【解析】（Ⅰ）由已知结合勾股定理证明BC⊥AC，再由AE⊥平面ABC得AE⊥BC，利用线面垂直的判定可得BC⊥平面ACDE；（Ⅱ）由CD∥AE，利用线面平行的判定可得CD∥平面ABE，再由平面与平面平行的性质得CD∥MN；（Ⅲ））由CD∥MN，CD∥AE，得MN∥AE，然后证明BN⊥平面CDMN，结合已知由棱锥体积公式求四棱锥B-CDMN的体积．本题考查直线与平面平行、直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积的求法，是中档题．19.【答案】解：（I）因为点（1，1）在曲线y=f（x）上，所以a=1，．---------------------------------------（1分）又，---------------------------------------（3分）所以．---------------------------------------（4分）在该点处曲线的切线方程为即x+2y-3=0---------------------------------------（5分）（II）定义域为（0，+∞），-------------------------------（6分）讨论：（1）当a≤0时，f'（x）＜0此时f（x）在（0，+∞）上单调递减，又f（1）=a≤0，不满足f（x）≥2-------------（8分）（2）当a＞0时，令f'（x）=0可得列表可得xf'（x）-0+f（x）单调递减单调递增所以f（x）在上单调递减，在上单调递增----------------------（10分）所以=，所以令解得a≥2所以a的取值范围为a≥2．---------------------------------------（13分）或法二：定义域为（0，+∞），f（x）≥2恒成立即恒成立，又所以恒成立．令，x∈（0，+∞）则，由g'（x）＞0⇒0＜x＜1，所以g（x）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）上单调递减，g（x）max=g（1）=2所以a≥2【解析】（Ⅰ）利用导数的几何意义计算出切线的斜率，然后根据点斜式求出切线方程；（Ⅱ）有两种思路：一是利用分类讨论的方法计算出f（x）的最小值，建立不等式求解；二是利用分离参数法得到恒成立，再借助最值求解．本题考查导数的几何意义及其应用、函数的最值处理不等式恒成立问题，属于中档题目．20.【答案】解：（I）椭圆C：的右焦点为所以a2-b2=3，当l与x轴垂直时，线段AB长度为1，所以，，代入椭圆方程可得，联立方程组可得解得a2=4，b2=1．所以椭圆C的方程为，或法二：设左焦点为F1，则依题意可知：△F1AF2为直角三角形所以，.2a=|F1A|+|F2A|=4即a=2，又所以a2=4，b2=1，所以椭圆C的方程为（II）当l与x轴垂直时，∠OMA=∠OMB，此时m∈R．当l与x轴不垂直时，因为∠OMA=∠OMB所以k AM+k BM=0，设A（x1，y1）B（x2，y2），直线l的斜率为k（k≠0），则直线l的方程为又，所以又，所以可得即，联立方程组消去y得所以，，代入上式可得．（III）最大值为，此时l斜率为．=可设此时直线方程为，联立方程组消去x可得，所以，所以==，当且仅当时取等号，此时，即直线斜率为【解析】本题考查椭圆的方程和性质的运用，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理，三角形的面积，基本不等式，考查运算能力，属于较难题．（Ⅰ）根据题意可得c=，再根据，，可得a2=4，b2=1，即可求出椭圆方程（Ⅱ）当l与x轴垂直时，∠OMA=∠OMB，此时m∈R，当l与x轴不垂直时，根据OMA=∠OMB可得k AM+k BM=0，根据韦达定理和斜率公式即可求出（Ⅲ）根据三角形的面积公式和弦长公式和基本不等式即可求出。
北京市顺义区2012届高三第一次统练数学(文科)试题
顺义区2012届高三第一次统练高三数学（文科）试卷 2012.1一. 选择题(本大题共8个小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项) 1. 已知全集U R =，集合{}|11M x x =-≤≤，{}|0N x x =≥，()U M C N =I( )A.[)1,0-B.[]1,0-C.[]0,1D.[)1,-+∞ 2.已知i 为虚数单位，则(21)i i += ( ) A. 2i + B. 2i - C. 2i -+ D. 2i -- 3.下列函数中，既是偶函数，又在区间()0,+∞上单调递减的函数为A.1()f x x -=B.()cos f x x =C.1()()2xf x = D.2()log f x x = ( )4. 执行右边的程序框图，若4p =，则输出的S 值为 ( )A.34B.78C.1516D.31325.已知||1a =r ，||2b =r ，()1a b a ⋅-=r r r，则a r 与b r 的夹角是( ) A.2π B.3π C.4π D. 6π 6“1k =”是“直线0x y k +-=与圆221x y +=相交”的 ( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.一个几何体的三视图如图所示，则其表面积等于 （ ） A ．521+ B.522+ C.32 D. 618.已知关于x 的二次函数2()41f x ax bx =-+，其中,a b 满足6000a b a b +-≤⎧⎪>⎨⎪>⎩则函数()y f x =在区间[)1,+∞上是增函数的概率为（ ） A 34 B 23 C 12 D 13二.填空题(本大题共6个小题,每小题5分,共30分,把答案填在题中横线上)9.设12log 3a =，ln3b =，12c -=，则这三个数由大到小的顺序为_________.(用“>”连结各数) 10.已知sin α=，则cos2α=_____________. 11.抛物线24y x =的焦点F 的坐标为__________,点F 到双曲线221x y -=的渐近线的距离为______________.12.在ABC V 中，a ，b ，c 分别为三个内角A ，B ，C所对的边，且222b c a +-=，则2cos cos cos()B C B C --的值为_____________. 13.已知数列{}n a 中，112a =，234a =，当2n ≥时，有1123n n n a a a +-=-，*()n N ∈成立.则4a =_________,通项公式n a =__________.14.已知函数()y f x =是R 上的偶函数，对x R ∀∈都有(4)()(2)f x f x f +=+成立.当1x ,[]20,2x ∈，且12x x ≠时，都有1212()()0f x f x x x -<-,给出下列命题：(1)(2)0f =；(2)直线4x =-是函数()y f x =图象的一条对称轴； （3）函数()y f x =在[]4,4-上有四个零点； （4）(2012)(0)f f =其中正确命题的序号为__________（把所有正确命题的序号都填上）.三．解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题共13分）已知函数2()2sin cos f x x x x =+（x R ∈）(Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期;(Ⅱ)求()f x 的最大值，并指出取最大值时的x 值. 16．（本小题共13分）在某次测验中，有5位同学的平均成绩为80分，用n x 表示编号 为n (1,2,3,4,5)n =的同学所得成绩，且前4位同学的成绩如下：(Ⅰ)求第5位同学的成绩5x 及这5位同学成绩的标准差； (注：标准差S =其中x 为1x ，2x n x ⋅⋅⋅的平均数) （Ⅱ）从这5位同学中，随机地选3名同学，求恰有2位同学的成绩在80(含80)分以上的概率.17．（本小题共13分）如图：已知在空间四边形ABCD 中，AB AC DB DC ===，E 为BC 的中点. （Ⅰ）求证：平面ADE ⊥平面ABC ；（Ⅱ）若5AB =，6BC =，4AD =,求几何体ABCD 的体积；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若G 为ABD V 的重心，试问在线段BC 上是否存在点F ，使GF∥平面ADE ？若存在，请指出点F 在BC 上的位置，若不存在，请说明理由.18．（本小题共13分）已知函数()(1)kxf x x e =+,(k 为常数，0k ≠). （Ⅰ）当1k =时，求函数()f x 的极值； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间.19．（本小题共14分）已知椭圆G ：22221x y a b += （0a b >>）的离心率12e =，且经过点3(1,)2P .（Ⅰ）求椭圆G 的方程；(Ⅱ)设直线1:2l y x m =+与椭圆G 交于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点T ，当m 变化时，求TAB V 面积的最大值.20．（本小题共14分）已知数列{}n a 各项均为正数，前n 项和n S 满足211322n n n S a a =+-，（*n N ∈），数列{}n b 满足:点列(,)n n A n b 在直线210x y -+= （Ⅰ）分别求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记n T 为数列{}n c 的前n 项和，且22n a n n c b -=⋅，求n T ；(Ⅲ)若对任意的*n N ∈不等式1120111(1)(1)(1)111n nn a b b b +≤+⋅+⋅⋅⋅++++恒成立，求正实数a 的取值范围.顺义区2012届高三第一次统练 高三数学（文科）试卷参考答案及评分标准二.填空题(本大题共6个小题,每小题5分,共30分)其它答案参考给分 9.b c a >>；10．35 ； ；11.(1,0),2；12．2-；13．151,1162n -；14.(1)（2）（4）；三．解答题（本大题共6小题，共80分） 15．（本小题共13分） 解：（Ⅰ）()f x 22sin cos x x x =+sin 222sin(2)3x x x π==-————4分∴周期T π=，————6分（Ⅱ）当22,32x k k Z πππ-=+∈，即512x k ππ=+时，————10分 max ()2f x =.————13分16.（本小题共13分）（Ⅰ）51(81798078)805x ++++=∴582x =，————3分80x =，S =13分）（Ⅱ）从这5名同学中随机选3名同学的情况可列举为(81,79,80),(81,79,78),(81,79,82),(81,80,78),(81,80,82)(81,78,82),(79,80,78),(79,80,82),(78,78,82),(80,78,82)共10种，—9分恰有2位同学成绩在80分以上记为事件A ，————10分63()105P A ==.————13分 17．（本小题共13分）（Ⅰ）证明：Q AB AC =，E 为BC 中点， ∴AE BC ⊥，———1分同理DE BC ⊥，又AE DE E =I∴BC ⊥平面ADE ，————3分 Q BC ⊂平面ABC∴平面ADE ⊥平面ABC ————5分(Ⅱ) Q 5AB =,∴5AB AC DB DC ====Q 6BC =∴3BE =,∴4DE =,同理4AE =，———7分又4AD =∴ADE S =V∴13ABCD ADE V S BC ==V V ————9分(其它方法给相应分数)（Ⅲ）假设在BC 上取一点F ，使GF ∥平面ADE . 记AD 的中点为H ，在BC 上取一点F ，使2BF =，则1FE =， —11分QG 为ABD V 的重心，∴21BG BF GH FE ==，∴GF ||HE ； 又HE ⊂平面ADE ，GF ⊄平面ADE ，∴||GF 平面ADE ，故在BC 上存在一点F ，使2BF =，则有GF ∥平面ADE .—13分 18．（本小题共13分） 解：（Ⅰ）Q ()(1)kxf x x e =+∴'()(1)(1),0kx kx kx f x e ke x e kx k k =++=++≠；——2分当1k =时，()(1)xf x x e =+，'()(2),xf x e x =+，令'()0f x >，Q 0xe >，∴2x >-，∴函数()f x 在(),2-∞-递减，在()2,-+∞递增. ———5分∴函数()f x 在2x =-时取得极小值21(2)f e -=-；————7分 （Ⅱ）由（1）知∴'()(1),kxf x e kx k =++令'()0f x ≥，Q 0kxe >，∴10kx k ++≥，————9分 由0k ≠∴当0k >时，111k x k k+≥-=--， ∴当0k >时()f x 在1(1,)k --+∞递增，在1(,1)k-∞--递减；———11分同理0k <时，()f x 在1(1,)k --+∞递减，在1(,1)k-∞--递增； —13分19．（本小题共14分）解：（Ⅰ）由已知22121914e a b ⎧==⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2243a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩————2分 ∴椭圆G 的方程为：22143x y +=.————4分 （Ⅱ）2214312x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩消去y 得：2230x mx m ++-=，————5分Q 椭圆与直线有两个不同的交点，∴0>V ，即24m <，————6分设11(,)A x y ，22(,)B x y ，AB 的中点00(,)M x y∴12,x x m +=-，2123x x m =-，||AB ==12022x x m x +==-，001324y x m m =+=，∴3(,)24m M m -————8分 设(,0)T t ，Q MT AB ⊥，∴1AT AB K K =-，解得8mt =-，————10分∴(,0)8mT -，||8MT m =，1||||2TAB S AB MT =⋅=V Q 204m <<————12分∴当22m =即m =时，TAB V————14分 20．（本小题共14分） （Ⅰ）由已知211322n n n S a a =+-，∴226n nn S a a =+- （1） 当2n ≥时，∴211126n n n S a a ---=+- （2）两式相减整理得：11()(1)0n n n n a a a a --+--=，————2分注意到0n a >，∴110n n a a ---=，∴2n a n =+，又当1n =时，11a S =，解得13a =适合，∴2n a n =+，————3分点列(,)n n A n b 在直线:21l y x =+上，∴21n b n =+.————4分 (Ⅱ)Q 22(21)2n a n n n C b n -=⋅=+⋅,∴12n n T c c c =++⋅⋅⋅+=23325272(21)2n n ⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅++⋅ ∴23412325272(21)2n n T n +=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅++⋅,错位相减得1(21)22n n T n +=-⋅+.————8分（Ⅲ）Q 对任意的*n N ∈不等式1120111(1)(1)(1)111n nn a b b b +≤+⋅+⋅⋅⋅++++恒成立，由0a >，即1231111)(1)(1)(1)1111n a b b b b ≤+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++++，———9分令()f n=1231111)(1)(1)(1)1111n b b b b +++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++++，——10分∴(1)f n +=123111111)(1)(1)(1)(1)11111n n b b b b b ++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅++++++，(1)1()f n f n +==> ∴(1)()f n f n +>，()f n 单调递增，————12分min ()(1)f n f ==. ∴0a <≤.————14分。
北京市顺义区高三二模数学(文)试题及答案
顺义区2017届高三第二次统练 数学试卷（文科） 第一部分（选择题 共40分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1. 设集合{1A x x =<或}2x >,{|340}B x x =->，则A B =IA.4(,1)3-B.4(,2)3C.4(1,)3D.(2,)+∞2.下列函数中为奇函数的是A.22y x x =+B.ln y x =C. 1()3x y = D. cos y x x =3.过原点且与圆22430x y x +-+=相切的直线的倾斜角为 A ．3π或23π B ．6π或56π C ．4π或34π D ．3π或56π4.执行如图所示的程序框图,则输出的s 值为A.116 B.136C.2512D. 29125. 已知直线b a ,分别在两个不同的平面βα,内.则“直线a 和直线b 垂直”是“平面α和平面β垂直”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6. 已知向量(AB AC ==-u u u r u u u r, 则BAC=A.300B. 450C. 600D.1200∠7. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积为A. 8B. 8410+C.410213+D. 21013+8.某学校为了提高学生综合素质、树立社会主义荣辱观、发展创新能力和实践能力、促进学生健康成长，开展评选“校园之星”活动.规定各班每10人推选一名候选人 ，当各班人数除以10的余数大于7时再增选一名候选人，那么，各班可推选候选人人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数[]y x =( []x 表示不大于x 的最大整数)可以表示为.[]10x A y = 2.[]10x B y += 3.[]10x C y += 4.[]10x D y +=第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分） 9.复数(1)(2)i i -+的实部为___________.10. 在C ∆AB 中，7a =，8b =，5c =，则A ∠= ．11.2 1.523,2,log 3-三个数中最大的数是_______． 12. 若抛物线28y x =上的点P 到焦点的距离为6，则P 到y 轴的距离是_______． 13. 在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影．由区域200220x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩中的点在x 轴上的投影构成的线段记为AB ，则│AB │=_______． 14.若直线l 与曲线C 满足下列两个条件： （1）直线l 在点00(,)M x y 处与曲线C 相切；（2）曲线C 在点M 附近位于直线l 的两侧，则称直线l 在点M 处“内切”曲线C . 下列命题正确的是_________(写出所有正确命题的编号)①直线0:=y l 在点()0,0M 处“内切”曲线C ：3y x = ②直线x y l =:在点()0,0M 处“内切”曲线C ：x y sin = ③直线1:-=x y l 在点()1,0M 处“内切”曲线C ：x y ln =三、解答题（本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.（本小题满分13分）已知函数()sin cos )f x x x x cosx π=-．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在区间[0,]2π上的最大值和最小值．16.（本小题满分13分）已知数列{}n a 满足:111,2n n a a a +==，数列{}n b 满足:143,11,b b ==且{}n n a b +为等差数列.(I) 求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； (II) 求数列{}n b 的前n 项和. 17.（本小题满分13分）某高中学校为了解学生体质情况，从高一和高二两个年级分别随机抽取了40名男同学进行“引体向上”项目测试．样本的测试成绩均在0至30个之高一年级 高二年级间，按照[0,5),[5,10)，[10,15),[15,20),[20,25),[25,30]的分组分别作出频率分布直方图．记样本中高一年级的“引体向上”成绩的方差为21s ，高二年级的“引体向上”成绩的方差为22s .（Ⅰ）已知该学校高二年级男同学有500人，估计该学校高二年级男同学引体向上成绩不少于10个的人数；（Ⅱ）从样本中高一年级的成绩不小于20个男同学中随机抽取2人，求至少有1人成绩在[25,30]中的概率．（Ⅲ）比较21s 与22s 的大小（只需写出结果）；18.（本小题满分14分）如图, 正三角形ABE 与菱形ABCD 所在的平面互相垂直，2=AB ,︒=∠60ABC ,M 是AB 的中点，N 是CE 的中点.（I ）求证：EM AD ⊥; （II ）求证：//MN 平面ADE ;（III ）求点A 到平面BCE 的距离.19.（本小题满分13分）已知函数()1ln x f x x ae =+-.（Ⅰ）若曲线()x f y =在1=x 处的切线与x 轴平行，求实数a 的值； （Ⅱ）若对任意()+∞∈,0x ，不等式()0f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围.BADEM N20.（本小题满分14分）已知椭圆:C ()012222>>=+b a b y a x 经过点⎪⎭⎫⎝⎛23,1，离心率21=e .（Ⅰ）求椭圆C 的方程,（Ⅱ）设动直线m kx y l +=:与椭圆C 相切，切点为T ，且直线l 与直线4=x 相交于点S . 试问：在坐标平面内是否存在一定点，使得以ST 为直径的圆恒过该定点？若存在，求出该点的坐标；若不存在，请说明理由.顺义区2017届高三第二次统练数学试卷答案（文科）一、DDBC DCCB 二、9. 3 10.3π11. 1.52 12. 4 13. 3 14. ①② 三、15.解：（Ⅰ）因为21()sin 22f x x x = -----------------------------------2分1cos 2)sin 222x x +=------------------------------------3分1sin 222x x =sin(2)32x π=-------------------------------------5分 所以()f x 的最小正周期为π． -----------------------------------6分（Ⅱ）因为π02x ≤≤，所以23ππ33x π--≤2≤． -----------------------------------7分当π233x π-=-，即0x =时，()f x 取得最小值． 所以()f x 在区间π[0,]2上的最小值为(0)f =． --------------------------10分当π232x π-=，即512x π=时，()f x 取得最大值． 所以()f x 在区间π[0,]2上的最大值为5()112f π=． --------------------13分16.解：(I)因为 在数列{}n a 中,111,2n n a a a +== 所以,*12()n na n N a +=∈. 即 数列{}n a 是以首项为1,公比为2的等比数列. -----------------------------------2分所以,12(1,2,)n n a n -==L . -----------------------------------3分设等差数列{}n n a b +的公差为d ,由题意得344113()()(211)(13)15d a b a b =+-+=+-+=,解得5d =. --------------------------5分所以,11()(1)51n n a b a b n d n +=++-=-. -----------------------------------6分从而 1512(1,2,)n n b n n -=--=L . -----------------------------------7分 (II) 由(I)知1512(1,2,)n n b n n -=--=L .数列{}51n -的前n 项和为25(1)534222n n n n n -+=+.---------------------------------10分 数列{}12n -的前n 项和为1(12)2112n n ⨯-=--. -----------------------------------12分 所以,数列{}n b 的前n 项和2532122n n n +-+. -----------------------------------13分17.解：（Ⅰ）因为样本中高二年级男同学引体向上成绩不少于10个的频率为65.05)01.004.008.0(=⨯++------------------------------------------------2分所以估计该学校高二年级男同学引体向上成绩不少于10个的人数为5000.65325⨯=人--------------------------------------------------------------4分（Ⅱ）记“从样本中高一年级的成绩不小于20个的同学中随机抽取2人，至少有1人成绩在[25,30]中”为事件M -------------------------------------------5分 样本中高一年级的成绩在[20,25)的人数为4502.040=⨯⨯人， 记这4名同学为4321,,,A A A A样本中高一年级的成绩在[25,30]的人数为2501.040=⨯⨯人；记这两名同学为21,B B -------------------------------------------------------6分 则从样本中高一年级的成绩不小于20个的同学中，随机抽取2人，所有可能的结果有15种，即：()21,A A ,()31,A A ,()41,A A ,()11,B A ,()21,B A ,()32,A A ,()42,A A ,()12,B A ,()22,B A ,()43,A A ,()13,B A ,()23,B A ()14,B A ,()24,B A ,()21,B B -------------------------------------------------------------8分 事件M 的结果有9种，它们是()11,B A ,()21,B A ,()12,B A ,()22,B A ,()13,B A()23,B A ()14,B A ,()24,B A ,()21,B B所以53159)(==M P .-------------------------------------------------------11分 （Ⅲ）21s >22s .-----------------------------------------------------------------13分18.(Ⅰ)证明:∵EB EA =,M 是AB 的中点∴AB EM ⊥-------------------------------------------------------------------1分 ∵平面⊥ABE 平面ABCD 平面I ABE 平面AB ABCD =⊂EM 平面ABE∴⊥EM 平面ABCD ----------------------------------------------------------4分AD ⊂平面ABCD∴EM AD ⊥ -----------------------------------------------------------------5分 (Ⅱ)证明:取DE 的中点F ，连接NF AF , ∵N 是CE 的中点. ∴CD NF 21//∵M 是AB 的中点， ∴CD AM 21//∴AM NF //∴四边形AMNF 是平行四边形 ----------------------------------------------------7分 ∴AF MN // -------------------------------------------------------------------------8分BACDEM NF∵⊄MN 平面ADE ，⊂AF 平面ADE ∴//MN 平面ADE -------------------10分（III ）解：设点A 到平面BCE 的距离为d由（I ）知⊥ME 平面ABC2==BE BC ，3==ME MC则6=CE ,2BN ==--------------------------12分21521=⋅=∆BN CE S BCE 360sin 21=⋅⋅=∆οBC BA S ABC 因为ABCE BCE A V V --=---------------------------------------------------13分即ME S d S ABC BCE ⋅=⋅∆∆3131，解得5152=d ----------------------14分 19.解：（Ⅰ）∵()1ln x f x x ae =+-，∴'1()x f x ae x=-，()+∞∈,0x .---------------2分 由于曲线()x f y =在1=x 处的切线与x 轴平行，所以'(1)10f ae =-=，解得1a e=.-------------------------------------------------------------------------------------4分 （Ⅱ）由条件知对任意()+∞∈,0x ，不等式()0f x ≤恒成立，此命题等价于xe xa ln 1+≥对任意()+∞∈,0x 恒成立.---------------------------5分 令1ln ()xxh x e +=，()+∞∈,0x'11ln ()xxx h x e --=⎪⎭⎫⎝⎛--=x x e xln 111，()+∞∈,0x ----------------------------6分 令()x x x g ln 11--=，()+∞∈,0x ，则()x xx g 112--='，且()0<'x g -----------7分 ∴函数()x xx g ln 11--=在()+∞∈,0x 上单调递减.-------------------------------------8分 注意到()01=g ，即1=x 是()x g 的零点--------------------------------------------------9分 而当()1,0∈x 时，()0ln 11>--=x x xx g ；当()+∞∈,1x 时，()0<x g . 又0>x e ，所以当()1,0∈x 时，'()0h x >；当()+∞∈,1x 时，'()0h x <.--------11分则当x 变化时，'()h x 的变化情况如下表：因此，函数()h x 在+∞∈,0x 取得最大值(1)h e =，所以实数ea ≥. ---------13分 20.解：（Ⅰ）由点⎪⎭⎫⎝⎛23,1在椭圆上得，221914a b +=-----------------------①----------1分依题设知2a c =，则223b c =---------------------------------------②----------2分②代入①解得2221,4,3c a b ===故椭圆E 的标准方程为13422=+y x .---------------------------------------4分 （Ⅱ）由⎪⎩⎪⎨⎧=++=13422y x mkx y 消去y 得()0124834222=-+++m kmx x k .因为动直线l 与椭圆C 相切，即它们有且只有一个公共点T ，可设()00,y x T ，所以0≠m 且0=∆，-------------------------------------------------------------------------5分即()()0124344642222=-+-m k m k ，化简得03422=+-m k ---------③----6分 此时，m k k km x 434420-=+-=，m m kx y 300=+=，所以⎪⎭⎫ ⎝⎛-m m k P 3,4.----------7分 由⎩⎨⎧+==m kx y x 4得()m k S +4,4.-------------------------------------------------------8分 假设平面内存在定点满足条件，不妨设为点A .由图形对称性知，点A 必在x 轴上.-------------------------------------------------9分 设()0,1x A ，则由已知条件知AT AS ⊥, 即0=•AT AS 对满足③式的k m ,恒成立.-----------------------------------------10分 因为()m k x AS +-=4,41，⎪⎭⎫ ⎝⎛--=m x mk 3,41，由0=•AT AS 得： 0312********=+++-+-mk x x m kx m k ， 整理得()034441211=+-+-x x m k x --------------------④-----------------------12分 由②式对满足①式的k m ,恒成立，所以⎩⎨⎧=+-=-0340441211x x x ，解得11=x . 故平面内存在定点()0,1，使得以ST 为直径的圆恒过该定点.-----------------14分。
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顺义区2012届高三第二次统练高三数学（文科）试卷 2012.4本试卷共4页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后将答题卡交回.一. 选择题(本大题共8个小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项) 1. 已知集合{}0,1,3M =,{}|3,N x x a a M ==∈,则集合M N =I A.{}0 B.{}0,1 C. {}0,3 D. {}1,3 2.已知i 为虚数单位，则复数(1)i i -所对应的点坐标为 A. (1,1)- B. (1,1) C. (1,1)- D. (1,1)-- 3.已知p 、q 是简单命题，则“p q ∧是真命题”是“p ⌝是假命题”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4.下列函数中周期为π且图象关于直线3x π=对称的函数是A.12sin()23y x π=+B. 12sin()23y x π=-C. 2sin(2)6y x π=+ D. 2sin(2)6y x π=-5.如图给出的是计算111124620+++⋅⋅⋅+的值的一个程 序框图，判断框内应填入的 条件是A. 10i >B. 10i <C. 20i >D. 20i <6.已知向量a ，b 的夹角为3π，且||2a = ，||1b = ，则向量a 与向量2a b + 的夹角等于A.56π B.2π C.3π D.6π 7.一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A.60 B.80C.100D.1208.已知全集为,U P U Ø，定义集合P的特征函数为1,,()0,.P U x P f x x P ∈⎧⎪=⎨∈⎪⎩ð，对于A U Ø， B U Ø，给出下列四个结论：① 对x U ∀∈，有()()1UA A f x f x +=ð；② 对x U ∀∈，若A B Ø，则()()A B f x f x ≤； ③ 对x U ∀∈，有()()()A B A B f x f x f x =⋅I ； ④ 对x U ∀∈，有()()()A B A B f x f x f x =+ ．其中，正确结论的序号是A. ①②④B. ②③④C. ②③D. ①②③二.填空题(本大题共6个小题,每小题5分,共30分,把答案填在答题卡上) 9.已知点()3,4P -在角α的终边上，则sin α=_____________. 10.随机抽取100名学生，测得他们的身高(单位cm )按照区间[)[)[)[)[)[)155,160,160,165,165,170,170,175,175,180,180,185分组，得到样本身高的频率分布直方图（如图）.则频率分布 直方图中的x 值为__________；若将身高在[)[)[)170,175,175,180,180,185区间内的学生依次记为,,A B C 三组，用分层抽样的方法从这 三组中抽取6人，则从,,A B C 三组中依次抽 取的人数为______________.俯视图左视图正（主）视图823234411.以双曲线2244x y -=的中心为顶点，右焦点为焦点的抛物线方程为_________.12.如果实数x 、y 满足条件101010x y y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪++≤⎩，则11y x --的最小值为___________；最大值为 . 13.函数11y x =-的图象与函数2cos 2y x π=(46)x -≤≤的图象所有交点的横坐标之和等于 ______ .14. 已知集合2012{|22}A x x a a a ==+⨯+⨯，其中{0,1,2}(0,1,2)i a i ∈=，且20a ≠，则集合A 中所有元素之和是_____________；从集合A 中任取两元素,m n ，则随机事件“||3m n -≥”的概率是_____________.三．解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）. 15．（本小题共13分）已知向量(2cos ,1)2x m =u r ，(cos ,1)2xn =-r ，()x R ∈，设函数()f x m n =⋅u r r .(Ⅰ)求函数()f x 的值域；(Ⅱ)已知锐角ABC V 的三个内角分别为A 、B 、C ， 若53(),()135f A f B ==，求()f C 的值. 16. （本小题共13分）如图四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，090ACB ∠=，PA ⊥平面ABCD ，1PA BC ==，AB ，F 是BC 的中点.(Ⅰ)求证：DA ⊥平面PAC ； (Ⅱ)试在线段PD 上确定一点G ，使CG ∥平面PAF ，并求三棱锥A -CDG 的体积. 17．（本小题共13分） 设数列{}n a 是公比为正数的等比数列，13,a =3229a a =+(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ)设3132333log log log log n n b a a a a =+++⋅⋅⋅+，求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S . ADCFPB18．（本小题共14分）已知函数2()(1)2ln ,f x a x x =-+()2g x ax =,其中1a > （Ⅰ）求曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程; （Ⅱ）设函数()()()h x f x g x =-，求()h x 的单调区间. 19．（本小题共14分）已知椭圆:G 12222=+b y a x )0(>>b a 的离心率2e =，点(1,0)F 为椭圆的右焦点.（Ⅰ）求椭圆G 的方程；(Ⅱ)过右焦点F 作斜率为k 的直线l 与椭圆G 交于M 、N 两点，若在x 轴上存在着动点(,0)P m ，使得以,PM PN 为邻边的平行四边形是菱形，试求出m 的取值范围.20. （本小题共13分）对于定义域为A 的函数)(x f ，如果任意的A x x ∈21,，当21x x <时，都有()()21x f x f <，则称函数()x f 是A 上的严格增函数；函数()k f 是定义在*N 上，函数值也在*N 中的严格增函数，并且满足条件()()k k f f 3=.（Ⅰ）判断函数)(32)3(N x f x x ∈⨯=是否是N 上的严格增函数；（Ⅱ）证明：)(3)3(k f k f =；（Ⅲ）是否存在正整数k ，使得2012)(=k f ，若存在求出k 值；若不存在请说明理由.顺义区2012届高三第二次统练高三数学（文科）试卷参考答案及评分标准二.填空题(本大题共6个小题,每小题5分,共30分)其它答案参考给分9.45；10．0.06，3,2,1 ； ；11.2y =；12．12，2；13．6； 14.99，3655；三．解答题（本大题共6小题，共80分） 15．（本小题共13分）解：(Ⅰ)2()2cos1cos 2x f x m n x =⋅=-=u r r ，__________4分 x R ∈Q ∴()cos f x x =的值域为[]1,1-.__________6分(Ⅱ) Q 5()cos 13f A A ==，3()cos 5f B B ==__________8分 Q A 、B 、C 均为锐角∴12sin ,13A =4sin 5B =__________10分∴33()cos cos()cos cos sin sin 65f C C A B A B A B ==-+=-+=.__________13分16. （本小题共13分）解：(Ⅰ)证明：Q 四边形是平行四边形，∴090ACB DAC ∠=∠=，Q PA ⊥平面ABCD ∴PA DA ⊥，又AC DA ⊥，AC PA A =I ，∴DA ⊥平面PAC . __________4分(Ⅱ)设PD 的中点为G ，在平面PAD 内作GH PA ⊥于H ，则GH 平行且等于12AD ，连接FH ，则四边形FCGH 为平行四边形，__________8分∴GC ∥FH ，Q FH ⊂平面PAE ，CG ⊄平面PAE ，∴CG ∥平面PAE ，∴G 为PD 中点时，CG ∥平面PAE .__________10分设S 为AD 的中点，连结GS ，则GS 平行且等于1122PA =，Q PA ⊥平面ABCD ，∴GS ⊥平面ABCD ，∴11312A CDG G ACD ACD V V S GS --===V .__________13分A DC FPB17．（本小题共13分）解：(Ⅰ)设等比数列{}n a 的公比为q ，(0)q >，Q 13a =，由3229a a =+，∴2369q q =+，解得3,1q q ==-（舍去）_______2分 ∴*3,()n n a n N =∈__________5分(Ⅱ) Q 3132333(1)log log log log 1232n n n n b a a a a n +=+++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+=___8分 ∴1112()1n b n n =-+，__________8分__________10分 ∴1111122(1)22311n nS n n n =-+-+⋅⋅⋅+-=++.__________13分 18．（本小题共14分）解：（Ⅰ）当1x =时，(1)1f a =-，'2()2(1)f x a x x=-+∴'(1)2f a =，∴(1)2(1)y a a x --=-所求切线方程为210ax y a ---=__________5分 （Ⅱ）2()()()(1)22ln h x f x g x a x ax x =-=--+∴[]'2(1)(1)12()2(1)2x a x h x a x a x x---=--+=，__________6分 根1211,1x x a ==-，（1a >）__________8分 当111a >-，即12a <<时， 在()10,1,(,)1a +∞-上'()0f x >，在1(1,)1a -上'()0f x < ∴()f x 在()10,1,(,)1a +∞-上单调递增，在1(1,)1a -上单调递减；__________10分 当111a ≤-，即2a ≥时， 在1(0,),(1,)1a +∞-上'()0f x >，在1(,1)1a -上'()0f x < ∴()f x 在()10,1,(,)1a +∞-上单调递增，在1(1,)1a -上单调递减. __________14分19．（本小题共14分） 解：（Ⅰ）由已知1C =，2c e a ==，∴222,1a b ==， ∴所求椭圆:G 的方程为2212x y +=.__________4分(Ⅱ) 由已知直线l 的斜率k 存在且0k ≠设l ：(1)y k x =-，∴22(1)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得：2222(12)4220k x k x k +-+-=__________5分28(1)0k ∆=+>设11(,)M x y ，22(,)N x y ∴22121222422,1212k k x x x x k k-+==++， ∴121212(1)(1)(2)y y k x k x k x x +=-+-=+-__________7分Q 11(,)PM x m y =-uuu r ，22(,)PN x m y =-uuu r1212(2,)PM PN x x m y y +=+-+uuu r uu u r ，2121(,)MN x x y y =--uuu r因为在x 轴上存在动点(,0)P m ，使得以PM ，PN 为邻边的平行四边形是菱形， 由于对角线互相垂直∴()0PM PN MN +=u u u u r u u u r u u u r__________9分 ∴12122121(2,)(,)0x x m y y x x y y +-+⋅--=即12122121(2,)(,())0x x m y y x x k x x +-+⋅--=121212()(2,)(1,)0x x x x m y y k -+-+⋅=，Q 12x x ≠∴1212(2,)(1,)0x x m y y k +-+⋅= ∴1212(2,(2))(1,)0x x m k x x k +-+-⋅= ∴212122(2)0x x m k x x +-++-=，__________11分2222244(2)201212k k k m k k -+-=++，化简得22012k m k =>+Q 0k ≠∴211122m k =<+ ∴102m <<.__________14分 20. （本小题共13分） 解：（Ⅰ）是N 上的严格增函数.此因由于x N ∈，∴3xN ∈，设12,x x N ∈，且12x x <，注意到3x y =递增∴1212(3)(3)2(33)0x x x x f f -=-<，∴12(3)(3)x x f f < ∴)(32)3(N x f x x ∈⨯=是N 上的严格增函数. __________3分（Ⅱ）证明：对()()k k f f N k 3*,=∈()()[]()k f k f f f 3=∴①由已知()()k k f f 3=∴()()[]()k f k f f f 3=②由①，②()()k f k f 33=∴__________6分 （Ⅲ）若(),11=f 由已知()()k k f f 3=得()31=f ，矛盾； 设(1)1f a =>，∴((1))()3f f f a ==，③ 由()k f 严格递增，即()().311=<⇒<a f f a ，∴*(1)1(1)3(1)f f f N ⎧≠⎪<⎨⎪∈⎩，∴(1)2f =，__________9分 由③有((1))()3f f f a ==故((1))(2)3f f f ==∴(1)2f =，(2)3f =.()()()()(),923236,6133==⋅===f f f f f()()()()()()()().8118354,549327,276318,18339========f f f f f f f f依此类推可知*)(32)3(11N k f k k ∈⨯=--.__________11分且存在,131+=-k p 当自变量从11323--⨯→k k 时，函数值正好从k k k k f f 3)32(32)3(111=⨯→⨯=---；又因为2187)1458(2012)(1458)729(=<=<=f k f f ， Q 函数值21872012175-=个，∴变量14581751283-=.所以存在2012)1283(,1283==f k .__________13分。