2017_2018学年高中数学课时跟踪检测九函数的单调性新人教B版必修120171107318
2017-2018学年高中数学 课时跟踪训练(十九)单调性 苏教版选修1-1
课时跟踪训练(十九) 单 调 性1．函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为________． 2．函数f (x )＝xln x 的单调递减区间是________． 3．(浙江高考改编)已知函数y ＝f (x )的图像是下列四个图像之一，且其导函数y ＝f ′(x )的图像如图所示，则该函数的图像是________．4．若函数h (x )＝2x －k x ＋k 3在(1，＋∞)上是增函数，则实数k 的取值范围是________． 5．已知函数f (x )为定义在(0，＋∞)上的可导函数，且f (x )>xf ′(x )．则不等式x 2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －f (x )<0的解集为________．6．已知函数f (x )＝13x 3＋x 2＋ax .讨论f (x )的单调性．7．已知函数f (x )＝2ax －1x 2，x ∈(0,1]．若f (x )在(0,1]上是增函数，求实数a 的取值范围．8．已知函数f (x )＝ax －6x 2＋b的图像在点M (－1，f (－1))处的切线方程为x ＋2y ＋5＝0， (1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)求函数y ＝f (x )的单调区间．答 案课时跟踪训练(十九)1．解析：y ′＝x －1x ＝x 2－1x ＝x －x ＋x ，令y ′≤0，∵x >0，∴0<x ≤1，∴函数y ＝12x 2－ln x 的单调减区间是(0,1]． 答案：(0,1] 2．解析：令f ′(x )＝ln x －1ln 2x<0，解得0<x <e ，又因为函数f (x )的定义域为(0,1)∪(1，＋∞)，所以函数f (x )＝xln x 的单调递减区间是(0,1)，(1，e)． 答案：(0,1)，(1，e)3．解析：由函数f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图像自左至右是先增后减，可知函数y ＝f (x )图像的切线的斜率自左至右先增大后减小．答案：②4．解析：h ′(x )＝2＋k x 2，由h (x )在(1，＋∞)上是增函数，知h ′(x )≥0在(1，＋∞)上恒成立．h ′(x )＝2x 2＋k x 2，当k ≥0时，显然h ′(x )≥0成立．当k <0时，由h ′(x )≥0⇒－k ≤2x 2，而2x 2>2，即－k ≤2，∴k ≥－2，∴－2≤k <0.答案：[－2，＋∞)5．解析：令φ(x )＝f x x ，则φ′(x )＝xf x －f x x 2<0.∴φ(x )在(0，＋∞)上单调递减，又x 2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x <f (x )，∴xf ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x <f x x .即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1x<f x x ，∴φ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x <φ(x )．故1x>x .又∵x >0，∴0<x <1.答案：(0,1)6．解：f ′(x )＝x 2＋2x ＋a ＝(x ＋1)2＋a －1.①当a ≥1时，f ′(x )≥0，当且仅当a ＝1，x ＝－1时，f ′(x )＝0，所以f (x )是R 上的增函数．②当a <1时，f ′(x )＝0有两根x 1＝－1－1－a ，x 2＝－1＋1－a .当x ∈(－∞，－1－1－a )时，f ′(x )>0，f (x )是增函数；当x ∈(－1－1－a ，－1＋1－a )时，f ′(x )<0，f (x )是减函数；当x ∈(－1＋1－a ，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )是增函数．7．解：由已知得f ′(x )＝2a ＋2x 3，∵f (x )在(0,1]上单调递增，∴f ′(x )≥0，即a ≥－1x 3在x ∈(0,1]上恒成立．令g (x )＝－1x 3，而g (x )＝－1x 3在(0,1]上单调递增，∴g (x )max ＝g (1)＝－1，∴a ≥－1.当a ＝－1时，f ′(x )＝－2＋2x 3.对x ∈(0,1]也有f ′(x )≥0.∴a ＝－1时，f (x )在(0,1]上为增函数．∴综上，f (x )在(0,1]上为增函数，实数a 的取值范围是[－1，＋∞)．8．解：(1)由函数f (x )的图像在点M (－1，f (－1))处的切线方程为x ＋2y ＋5＝0，知f ′(－1)＝－12，且－1＋2f (－1)＋5＝0， 即f (－1)＝－2，－a －61＋b＝－2，① 又f ′(x )＝a x 2＋b －2x ax －x 2＋b 2， 所以a ＋b ＋－a －＋b 2＝－12.② 由①②得a ＝2，b ＝3.(因为b ＋1≠0, 所以b ＝－1舍去)所以所求函数解析式是f (x )＝2x －6x 2＋3. (2)由(1)可得f ′(x )＝－2x 2＋12x ＋6x 2＋2. 令－2x 2＋12x ＋6＝0，解得x 1＝3－23，x 2＝3＋23， 则当x <3－23或x >3＋23时，f ′(x )<0，当3－23<x <3＋23时，f ′(x )>0，所以f (x )＝2x －6x 2＋3的单调递增区间是(3－23，3＋23)； 单调递减区间是(－∞，3－23)和(3＋23，＋∞)．。
2017_2018学年高中数学课时跟踪训练十九利用导数判定函数的单调性新人教B版选修1_1
课时跟踪训练(十九) 利用导数判定函数的单调性1．函数f (x )＝－x 3＋x 在(1，＋∞)上为( )A ．减函数B ．增函数C ．常数函数D ．不能确定 2．y ＝8x 2－ln x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14和⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上别离为( ) A ．增函数，增函数 B ．增函数，减函数C ．减函数，增函数D ．减函数，减函数 3．函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为( ) A ．(－1,1]B ．(0,1]C ．[1，＋∞)D ．(0，＋∞)4．已知函数y ＝xf ′(x )的图像如下图(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数)，y ＝f (x )的图像大致是以下图中的( )5．设函数f (x )＝x (e x －1)－12x 2，那么f (x )的单调递增区间是________________，单调递减区间是________． 6．已知f (x )＝13x 3－12ax 2＋(a －1)x ＋1在区间(1,4)内单调递减，在区间(6，＋∞)内单调递增，那么a 的取值范围是________．7．设函数f (x )＝x 3－3ax 2＋3bx 的图像与直线12x ＋y －1＝0相切于点(1，－11)．(1)求a ，b 的值；(2)讨论函数f (x )的单调性．8．已知f (x )＝e x－ax －1.(1)假设f (x )在概念域R 内单调递增，求a 的取值范围；(2)是不是存在a 使f (x )在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增？假设存在， 求出a 的值；假设不存在，说明理由．答 案1．选A 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＝－3x 2＋1＜0.2．选C y ′＝16x －1x ＝4x －14x ＋1x ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14时，y ′<0，y ＝8x 2－ln x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14上为减函数； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1时，y ′>0，y ＝8x 2－ln x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上为增函数． 3．选B 函数y ＝12x 2－ln x 的概念域为(0，＋∞)，y ′＝x －1x＝x －1x ＋1x ，令y ′≤0，那么可得0<x ≤1.4．选C 由y ＝xf ′(x )的图像，知当x >1时，f ′(x )>0，这时f (x )是增函数．同理，当0<x <1时，f ′(x )<0，这时f (x )是减函数，只有C 知足题意．5．解析：∵f (x )＝x (e x －1)－12x 2，∴f ′(x )＝e x －1＋x e x －x ＝(e x－1)(x ＋1)．当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )>0；当x ∈(－1,0)时，f ′(x )<0；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0.故f (x ) 在(－∞，－1)，(0，＋∞)上单调递增，在(－1,0)上单调递减．答案：(－∞，－1)和(0，＋∞) (－1,0)6．解析：f ′(x )＝x 2－ax ＋a －1，令g (x )＝f ′(x )，要知足函数f (x )在(1,4)内单调递减，在(6，＋∞)内单调递增，需有⎩⎪⎨⎪⎧ g 1≤0，g 4≤0，g 6≥0，解之得5≤a ≤7.答案：[5,7] 7．解：(1)求导得f ′(x )＝3x 2－6ax ＋3b .由于f (x )的图像与直线12x ＋y －1＝0相切于点(1，－11)，因此f (1)＝－11，f ′(1)＝－12，即⎩⎪⎨⎪⎧ 1－3a ＋3b ＝－11，3－6a ＋3b ＝－12，解得a ＝1，b ＝－3.(2)由a ＝1，b ＝－3得f ′(x )＝3x 2－6ax ＋3b＝3(x 2－2x －3)＝3(x ＋1)(x －3)．令f ′(x )>0，解得x <－1或x >3；又令f ′(x )<0，解得－1<x <3.故当x ∈(－∞，－1)时，f (x )是增函数，当x ∈(3，＋∞)时，f (x )也是增函数，当x ∈(－1,3)时，f (x )是减函数．8．解：(1)∵f (x )＝e x －ax －1，∴f ′(x )＝e x －a .∵f (x )在R 上单调递增，∴f ′(x )＝e x －a ≥0(等号只能在有限个点处取得)恒成立，即a ≤e x ，x ∈R 恒成立．∵x ∈R 时，e x ∈(0，＋∞)，∴a ≤0.(2)f ′(x )＝e x －a .若f (x )在(－∞，0]上是单调递减函数⇒e x －a ≤0在x ∈(－∞，0]上恒成立⇒a ≥(e x )max ，当x ∈(－∞，0]时，e x ∈(0,1]，∴a ≥1.①若f (x )在[0，＋∞)上是单调递增函数⇒e x －a ≥0在x ∈[0，＋∞)上恒成立⇒a ≤(e x )min ，当x∈[0，＋∞)时，e x∈[1，＋∞)，∴a≤1.②由①②知a＝1，故存在a＝1知足条件．。
2017-2018学年高中数学(人教B版)1课时跟踪检测(十二)待定系数法缺答案
课时跟踪检测（十二）待定系数法层级一学业水平达标1．若函数y＝kx＋b的图象经过点P(3，－2）和Q(－1，2），则这个函数的解析式为（)A．y＝x－1 B．y＝x＋1C．y＝－x－1 D．y＝－x＋1解析：选D 把点P（3，－2）和Q(－1,2)的坐标分别代入y＝kx＋b，得错误!即错误!∴y＝－x＋1。
2．已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过(1，0)，(2，5)两点，则二次函数的解析式为（）A．y＝x2＋2x－3 B．y＝x2－2x－3C．y＝x2＋2x＋3 D．y＝x2－2x＋6解析：选A 将点(1,0),(2,5）代入y＝x2＋bx＋c，可得错误!解得b＝2，c＝－3。
3．已知函数f（x)＝x2＋px＋q，满足f(1)＝f（2)＝0,则f(－1)的值是（)A．5 B．－5C．6 D．－6解析：选C ∵错误!∴p＝－3，q＝2。
∴f（x)＝x2－3x＋2，∴f（－1)＝（－1）2－3×(－1）＋2＝6。
4．若一次函数的图象经过点A(1,6)和B（2,8)，则该函数的图象还可能经过的点的坐标为( )A。
错误! B.错误!C．(－1，3) D．(－2，1)解析:选A 设一次函数的解析式为y＝kx＋b（k≠0），由该函数的图象经过点A（1，6）和B(2，8)，得错误!解得错误!所以此函数的解析式为y＝2x＋4,只有A选项的坐标符合此函数的解析式．故选A.5．已知2x2＋x－3＝（x－1)（ax＋b),则a，b的值分别为( ) A．2，3 B．3，2C．－2,3 D．－3,2解析:选A （x－1）(ax＋b）＝ax2＋(b－a）x－b,因为（x－1）(ax＋b)＝2x2＋x－3，所以错误!解得错误!6．反比例函数y＝错误!的图象和一次函数y＝kx－7的图象都经过点P(m,2)，则一次函数的解析式为________．解析：因为点P(m,2)在函数y＝错误!的图象上,所以2＝错误!,m＝6,P 点坐标为(6,2)．因为一次函数y＝kx－7的图象经过点P（6,2），所以6k－7＝2,k＝错误!.故所求的一次函数解析式是y＝错误!x－7。
2017-2018学年人教A版高中数学一课时达标检测(九)函数的单调性含解析
课时达标检测（九）函数的单调性一、选择题1．若函数f（x)在区间(a，b）上是增函数，在区间(b，c）上也是增函数，则函数f(x)在区间（a，b)∪（b,c)上（)A．必是增函数B．必是减函数C．是增函数或减函数D．无法确定单调性解析:选D 函数在区间（a，b)∪(b,c）上无法确定单调性．如y＝－错误!在(0，＋∞）上是增函数，在（－∞，0）上也是增函数，但在（－∞,0）∪(0，＋∞)上并不具有单调性．2．设(a，b)，(c，d)都是f（x)的单调增区间，且x1∈（a,b)，x2∈（c，d)，x1<x2,则f（x1）与f(x2)的大小关系为（）A．f（x1)〈f(x2) B．f（x1）>f(x2)C．f（x1)＝f（x2) D．不能确定解析：选D 根据单调函数的定义，所取两个自变量必须是同一单调区间内的任意两个自变量，才能由该区间上函数的单调性来比较出函数值的大小，而本题中的x1，x2不在同一单调区间，故f(x1)与f(x2）的大小不能确定，选D。
3．设f（x）＝（2a－1)x＋b在R上是减函数，则有（）A．a≥错误!B．a≤错误!C．a>－错误!D．a<错误!解析：选D ∵f（x）在R上是减函数，故2a－1<0，即a<错误!.4．下列四个函数在(－∞，0）上为增函数的是（)①y＝｜x｜＋1；②y＝错误!；③y＝－错误!;④y＝x＋错误!.A．①②B．②③C．③④D．①④解析：选C ①y＝｜x|＋1＝－x＋1（x<0）在（－∞，0）上为减函数；②y＝错误!＝－1（x〈0)在（－∞,0）上既不是增函数，也不是减函数;③y＝－错误!＝x(x〈0)在(－∞,0)上是增函数；④y＝x＋错误!＝x－1（x〈0)在（－∞，0)上也是增函数．5．已知函数f(x）＝错误!是R上的减函数，则实数a的取值范围是( )A．(0,3）B．（0，3］C．（0，2) D．(0,2]解析：选D 依题意得实数a满足错误!解得0＜a≤2.二、填空题6．函数f(x)＝｜x－1|＋2的单调递增区间为________．解析:f（x）＝错误!显然函数f（x）在x≥1时单调递增．答案：[1，＋∞)7．如果二次函数f(x）＝x2－(a－1）x＋5在区间错误!上是增函数，则实数a的取值范围为________．解析：∵函数f(x）＝x2－(a－1)x＋5的对称轴为x＝错误!且在区间错误!上是增函数，∴a－12≤错误!,即a≤2.答案：(－∞，2］8．函数f(x）是定义域上的单调递减函数，且过点(－3，2)和(1，－2），则使|f（x）|〈2的自变量x的取值范围是________．解析：∵f(x)是定义域上的减函数,f（－3）＝2，f(1)＝－2,∴当x>－3时,f（x）〈2，当x〈1时，f（x）>－2，则当－3<x<1时,|f（x)|<2。
2017-2018学年高中数学 课时跟踪训练(十五)导数与函数的单调性 北师大版选修1-1
课时跟踪训练(十五) 导数与函数的单调性1．在下列命题中，正确的是( )A ．若f (x )在(a ，b )内是增加的，则对任意x ∈(a ，b )都有f ′(x )＞0B ．若在(a ，b )内对任意x 都有f ′(x )＞0，则f (x )在(a ，b )内是增加的C ．若在(a ，b )内f (x )为单调函数，则f ′(x )也为单调函数D ．若可导函数在(a ，b )内有f ′(x )＜0，则在(a ，b )内有f (x )＜02．y ＝8x 2－ln x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14和⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上分别是( ) A ．增加的，增加的B ．增加的，减少的C ．减少的，增加的D ．减少的，减少的3．已知函数f (x )＝x ＋ln x ，则有( )A ．f (2)＜f (e)＜f (3)B ．f (e)＜f (2)＜f (3)C ．f (3)＜f (e)＜f (2)D ．f (e)＜f (3)＜f (2)4.设f ′(x )是函数f (x )的导函数，y ＝f ′(x )的图像如右图所示，则y ＝f (x )的图像最有可能是( )5．函数f (x )＝(3－x 2)e x的单调递增区间是____________．6．若函数f (x )＝x 3＋ax ＋8的单调减区间为(－5,5)，则a 的值为________．7．已知向量a ＝(x 2，x ＋1)，b ＝(1－x ，t )，若函数f (x )＝a·b 在区间(－1,1)上是增加的，求t 的取值范围．8．已知函数f (x )＝x 3－3ax －1，a ≠0，求f (x )的单调区间．答 案1．选B 由函数的单调性与导数间的关系可知选项B 正确．2．选C y ′＝16x －1x ＝16x 2－1x ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14时，y ′<0，函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14上是减少的，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1时，y ′>0，函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上是增加的． 3．选A ∵函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝12x ＋1x＞0， ∴f (x )在(0，＋∞)上为增加的，∴f (2)＜f (e)＜f (3)．4．选C 由y ＝f ′(x )的图像可知，当x <0或x >2时，f ′(x )>0；当0<x <2时，f ′(x )<0， ∴函数y ＝f (x )在(－∞，0)和(2，＋∞)上为增加的，在(0,2)上为减少的．5．解析：∵f (x )＝(3－x 2)e x ，∴f ′(x )＝－2x e x ＋(3－x 2)e x ＝(－x 2－2x ＋3)e x .令f ′(x )＞0，则－x 2－2x ＋3＞0，解得－3 ＜x ＜1.∴函数f (x )的单调递增区间是(－3,1)．答案：(－3,1)6．解析：f ′(x )＝3x 2＋a ，∵f ′(x )<0的解为－5<x <5，∴3×52＋a ＝0，∴a ＝－75.答案：－757．解：由题意得f (x )＝x 2(1－x )＋t (x ＋1)＝－x 3＋x 2＋tx ＋t ，∴f ′(x )＝－3x 2＋2x ＋t .若f (x )在(－1,1)上是增加的，则在(－1,1)上f ′(x )≥0恒成立．即t ≥3x 2－2x 在区间(－1,1)上恒成立．考虑函数g (x )＝3x 2－2x ＝3(x －13)2－13，x ∈(－1,1)显然g (x )<g (－1)，故t ≥3x 2－2x 在区间(－1,1)上恒成立⇔t ≥g (－1)，即t ≥5.而当t ＝5时，f ′(x )在(－1,1)上满足f ′(x )>0，即f (x )在(－1,1)上是增加的．故t 的取值范围是[5，＋∞)．8．解：f ′(x )＝3x 2－3a ＝3(x 2－a )，当a ＜0时，对任意x ∈R ，都有f ′(x )＞0，即a ＜0时，f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)．当a ＞0时，f ′(x )＞0时，解得x ＞a 或x ＜－a ，所以f (x )的单调递增区间为(－∞，－a )，(a ，＋∞)，f ′(x )＜0时，解得－a ＜x ＜a ，所以f (x )的单调递减区间为(－a ，a )．即a ＞0时，f (x )的单调递增区间为(－∞，－a )，(a ，＋∞)；f (x )的单调递减区间为(－a ，a )．。
2017_2018学年高中数学课时跟踪检测九函数的单调性新人教B版必修120171107318
课时跟踪检测（九） 函数的单调性层级一 学业水平达标1．如图是函数y ＝f (x )的图象，则此函数的单调递减区间的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 由图象，可知函数y ＝f (x )的单调递减区间有2个．故选B. 2．下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是( ) A ．y ＝|x | B ．y ＝3－x C ．y ＝1xD ．y ＝－x 2＋4解析：选A 因为－1<0，所以一次函数y ＝－x ＋3在R 上递减，反比例函数y ＝1x在(0，＋∞)上递减，二次函数y ＝－x 2＋4在(0，＋∞)上递减．故选A.3．函数y ＝1x的单调递减区间是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(－∞，0)和(0，＋∞)D ．(－∞，0)∪(0，＋∞)解析：选C 函数y ＝1x 的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．由函数的图象可知y ＝1x在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上分别是减函数．4．函数y ＝3x ＋2(x ≠－2)在区间[0,5]上的最大值、最小值分别是( ) A.37，0 B.32，0 C.32，37D ．最小值为－14，无最大值解析：选C 因为函数y ＝3x ＋2在区间[0,5]上单调递减，所以当x ＝0时，y max ＝32，当x ＝5时，y min ＝37.故选C.5．函数f (x )＝|x |，g (x )＝x (2－x )的递增区间依次是( ) A ．(－∞，0]，(－∞，1] B ．(－∞，0]，(1，＋∞) C ．[0，＋∞)，(－∞，1]D ．[0，＋∞)，[1，＋∞)解析：选C 分别作出f (x ) 与g (x )的图象得： f (x )在[0，＋∞)上递增，g (x )在(－∞，1]上递增，选C.6．函数f (x )＝|2x －1|的递减区间是________． 解析：函数f (x )＝|2x －1|的图象如图所示：∴递减区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12. 答案：⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12 7．若f (x )在R 上是减函数，则f (－1)________f (a 2＋1)(填“>”或“<”或“≥”或“≤”)．解析：∵f (x )在R 上是减函数，∴对任意x 1，x 2，若x 1<x 2均有f (x 1)>f (x 2)．又∵－1<a 2＋1，∴f (－1)>f (a 2＋1)．答案：>8．已知函数f (x )为定义在区间[－1,1]上的增函数，则满足f (x )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的实数x 的取值范围为________．解析：由题设得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤1，x <12，解得－1≤x <12.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12 9．判断并证明函数f (x )＝－1x＋1在(0，＋∞)上的单调性．解：函数f (x )＝－1x＋1在(0，＋∞)上是增函数．证明如下：设0＜x 1<x 2，则Δx ＝x 2－x 1＞0 Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 2＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 1＋1＝x 2－x 1x 1x 2， 由x 1，x 2∈(0，＋∞)，得x 1x 2>0，∴Δy ＞0 ∴f (x )＝－1x＋1在(0，＋∞)上是增函数．10．求函数f (x )＝xx －1在区间[2,5]上的最大值与最小值．解：任取2≤x 1<x 2≤5，则Δx ＝x 2－x 1＞0， Δy ＝f (x 2)－f (x 1) ＝x 2x 2－1－x 1x 1－1＝x 1－x 2x 2－1 x 1－1. ∵2≤x 1<x 2≤5，∴x 2－1>0，x 1－1>0，x 1－x 2＝－Δx ＜0， ∴Δy ＜0. 所以f (x )＝xx －1在区间[2,5]上是单调减函数．所以f (x )max ＝f (2)＝22－1＝2，f (x )min ＝f (5)＝55－1＝54. 层级二 应试能力达标1．下列函数在[1,4]上最大值为3的是( ) A ．y ＝1x＋2B ．y ＝3x －2C ．y ＝x 2D ．y ＝1－x解析：选A B 、C 在[1,4]上均为增函数，A 、D 在[1, 4]上均为减函数，代入端点值，即可求得最值，故选A.2．若函数f (x )在区间(a ，b )上是增函数，在区间(b ，c )上也是增函数，则函数f (x )在区间(a ，b )∪(b ，c )上( )A ．必是增函数B ．必是减函数C ．是增函数或减函数D ．无法确定单调性解析：选D 函数在区间(a ，b )∪(b ，c )上无法确定单调性．如y ＝－1x在(0，＋∞)上是增函数，在(－∞，0)上也是增函数，但在(－∞，0)∪(0，＋∞)上并不具有单调性．3．下列四个函数在(－∞，0)上为增函数的是( ) ①y ＝|x |＋1；②y ＝|x |x ；③y ＝－x 2|x |；④y ＝x ＋x|x |.A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④解析：选C ①y ＝|x |＋1＝－x ＋1(x <0)在(－∞，0)上为减函数；②y ＝|x |x＝－1(x <0)在(－∞，0)上既不是增函数也不是减函数；③y ＝－x 2|x |＝x (x <0)在(－∞，0)上是增函数；④y ＝x ＋x|x |＝x －1(x <0)在(－∞，0)上也是增函数．4．定义在R 上的函数f (x )，对任意x 1，x 2∈R(x 1≠x 2)，有f x 2 －f x 1x 2－x 1<0，则( )A ．f (3)<f (2)<f (1)B ．f (1)<f (2)<f (3)C ．f (2)<f (1)<f (3)D ．f (3)<f (1)<f (2)解析：选A 对任意x 1，x 2∈R(x 1≠x 2)，有f x 2 －f x 1x 2－x 1<0，则x 2－x 1与f (x 2)－f (x 1)异号，则f (x )在R 上是减函数．又3>2>1，则f (3)<f (2)<f (1)．故选A.5．若函数y ＝－b x在(0，＋∞)上是减函数，则b 的取值范围是________． 解析：设0<x 1<x 2，则Δx ＝x 2－x 1＞0，由题意知， Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＝－b x 2＋b x 1＝b x 2－x 1x 1x 2＜0.∵0<x 1<x 2，x 2－x 1＞0，x 1x 2>0， ∴b <0.答案：(－∞，0)6．函数y ＝f (x )的定义域为[－4,6]，若函数f (x )在区间[－4，－2]上单调递减，在区间(－2,6]上单调递增，且f (－4)<f (6)，则函数f (x )的最小值是________，最大值是________．解析：作出符合条件的函数的简图(图略)，可知f (x )min ＝f (－2)，f (x )max ＝f (6)． 答案：f (－2) f (6)7．作出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －3，x ≤1，x －2 2＋3，x >1的图象，并指出函数f (x )的单调区间．解：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －3，x ≤1，x －2 2＋3，x >1的图象如图所示．由图可知，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －3，x ≤1，x －2 2＋3，x >1的单调减区间为(－∞，1]和(1,2)，单调增区间为[2，＋∞)．8．已知函数f (x )对任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x >0时，f (x )<0，f (1)＝－23.(1)求证：f (x )是R 上的单调减函数．(2)求f (x )在[－3,3]上的最小值．解：(1)证明：设x 1，x 2是任意的两个实数，且x 1<x 2， 则x 2－x 1>0，因为x >0时，f (x )<0， 所以f (x 2－x 1)<0， 又因为x 2＝(x 2－x 1)＋x 1， 所以f (x 2)＝f [(x 2－x 1)＋x 1] ＝f (x 2－x 1)＋f (x 1)，所以f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2－x 1)<0， 所以f (x 2)<f (x 1)．所以f (x )是R 上的单调减函数． (2)由(1)可知f (x )在R 上是减函数， 所以f (x )在[－3,3]上也是减函数， 所以f (x )在[－3,3]上的最小值为f (3)．而f (3)＝f (1)＋f (2)＝3f (1)＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝－2. 所以函数f (x )在[－3,3]上的最小值是－2.。
2017-2018学年高中数学人教B版选修1-1 课时跟踪训练一
课时跟踪训练(一)命题1.下列语句中命题的个数是()①2<1；②x<1；③若x<2，则x<1；④函数f(x)＝x2是R上的偶函数；⑤人类可以在火星上居住；⑥打开窗户．A．1B．2C．3 D．42．给出命题：方程x2＋ax＋1＝0没有实数根．则使该命题为真命题的a的一个值可以是()A．4 B．2C．0 D．－33．下面的命题中是真命题的是()A．y＝sin2x的最小正周期为2πB．若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根同号，则ca>0C．如果M⊆N，那么M∪N＝MD．在△ABC中，若AB·BC>0，则B为锐角4．设l是直线，α，β是两个不同的平面()A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l⊥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β5．下列语句中，命题是________，其中真命题是________(写出序号)．①等边三角形是等腰三角形；②一个数不是正数就是负数；③大角所对的边大于小角所对的边；④x＋y为有理数，则x、y也都是有理数．6．设a、b、c是任意的非零平面向量，且相互不共线．有下列四个命题：①(a·b)c＝(c·a)b；②|a|－|b|<|a－b|；③(b·c)a－(c·a)b不与c垂直；④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.其中真命题是________．7．判断下列语句哪些是命题，是真命题还是假命题．(1)正弦函数y＝sin x的定义域是实数集R；(2)若整数a是素数，则a是奇数；(3)对数函数是增函数吗？(4)若平面内两条直线不相交，则这两条直线平行； (5)(－2)2＝2；(6)x >15.8．已知集合A ＝{x |x 2－4mx ＋2m ＋6＝0}，B ＝{x |x <0}．若A ∩B ＝∅是真命题，求实数m 的取值范围．答 案1．选D ①③④⑤是命题，②不能判断真假，不是命题，⑥是祈使句不是命题．2．选C 方程无实根时，应满足Δ＝a 2－4<0.故a ＝0时适合条件．3．选B y ＝sin 2x ＝1－cos 2x 2，T ＝2π2＝π，故A 为假命题； 当M ⊆N 时，M ∪N ＝N ，故C 为假命题； 当AB ·BC >0时，向量AB 与BC 的夹角为锐角，B 为钝角，故D 为假命题． 4．选B 对于选项A ，两平面可能平行也可能相交；对于选项C ，直线l 可能在β内也可能平行于β；对于选项D ，直线l 可能在β内或平行于β或与β相交．5．解析：①是命题且是真命题；②是假命题，数0既不是正数也不是负数；③是假命题，没有考虑到“在两个三角形中”的情况；④是假命题，如x ＝3，y ＝－ 3.答案：①②③④ ①6．解析：①平面向量的数量积不满足结合律，故①假；②由向量的减法运算可知|a |、|b |、|a －b |恰为一个三角形的三条边长，“两边之差小于第三边”，故②真；③因为[(b ·c )a －(c ·a )b ]·c ＝(b ·c )a ·c －(c ·a )b ·c ＝0.所以垂直，故③假；④(3a ＋2b )·(3a －2b )＝9a ·a －4b ·b ＝9|a |2－4|b |2成立，故④真．答案：②④7．解：上面6个语句中，(3)是疑问句，所以它不是命题；(6)无法判断它的真假，所以它也不是命题；其余4个都可以判断真假，所以它们都是命题，其中(1)(4)(5)是真命题，(2)是假命题．8．解：当Δ＝(－4m )2－4(2m ＋6)<0，即－1<m <32时，A ＝∅，A ∩B ＝∅是真命题；当Δ≥0，即m ≤－1或m ≥32时，设方程x 2－4mx ＋(2m ＋6)＝0的两根分别为x 1，x 2，则x 1≥0，x 2≥0. 所以⎩⎪⎨⎪⎧ 4m ≥0，2m ＋6≥0，m ≤－1或m ≥32，解得m ≥32. 所以m 的取值范围是(－1，＋∞)．。
2017-2018学年高中数学人教B版必修1课时跟踪检测十一
课时跟踪检测（十一） 一次函数的性质与图象 二次函数的性质与图象层级一 学业水平达标1．函数的解析式为x －2y ＋7＝0，则其对应直线的斜率与纵截距分别为( )A.12，72B ．1，－7C ．1，72D ．－12，72解析：选A ∵x －2y ＋7＝0，∴y ＝12x ＋72， ∴斜率k ＝12，纵截距b ＝72. 2．函数y ＝x 2－2x ＋2在区间[－2,3]上的最大值、最小值分别是( )A ．10,5B ．10,1C ．5,1D ．以上都不对 解析：选B 因为y ＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，且x ∈[－2,3]，所以当x ＝1时，y min ＝1，当x ＝－2时，y max ＝(－2－1)2＋1＝10.故选B.3．两条直线y ＝ax ＋b 与y ＝bx ＋a 在同一坐标系中的图象可能是下图中的( )解析：选A 假设B 项中直线y ＝ax ＋b 正确，则a ＞0，b ＞0，所以y ＝bx ＋a 的图象应过第一、二、三象限，而实际图象过第一、二、四象限．∴B 错．同理C 、D 错．故A 正确．4．二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 图象的顶点是(－1，－3)，则b 与c 的值是( )A ．b ＝2，c ＝2B ．b ＝2，c ＝－2C ．b ＝－2，c ＝2D ．b ＝－2，c ＝－2 解析：选B 顶点横坐标x ＝－b 2＝－1，得b ＝2，纵坐标4c －b 24×1＝4c －44＝－3，得c ＝－2.5．若f (x )＝x 2＋bx ＋c ，且f (－1)＝f (3)，则( )A ．f (1)＞c ＞f (－1)B ．f (1)＜c ＜f (－1)C ．c ＞f (－1)＞f (1)D ．c ＜f (－1)＜f (1) 解析：选B 由题意f (x )的对称轴为x ＝1，且知(－∞，1]为函数的减区间，故有f (1)＜f (0)＜f (－1)，即f (1)＜c ＜f (－1)．6．函数f (x )＝－x 2＋2x ＋1在[－2，－1]上的最大值是________，最小值是________． 解析：f (x )＝－(x －1)2＋2，则函数f (x )在[－2，－1]上是增函数，当x ＝－1时，f (x )max ＝－2；当x ＝－2时，f (x )min ＝－7.答案：－2 －77．已知函数y ＝(m 2－3m )xm 2－2m ＋2是二次函数，则m ＝________，此时函数的值域为________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－3m ≠0，m 2－2m ＋2＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ≠0且m ≠3，m ＝0或m ＝2. ∴m ＝2，此时y ＝－2x 2.故值域为(－∞，0]．答案：2 (－∞，0]8．如果二次函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上是增函数，则实数a 的取值范围为________．解析：∵函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5的对称轴为x ＝a －12且在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上是增函数，∴a －12≤12，即a ≤2. 答案：(－∞，2]9．已知一次函数y ＝(6＋3m )x ＋(n －4)，求：(1)m 为何值时是减函数？(2)m ，n 为何值时，函数图象与y 轴的交点在x 轴下方？解：(1)∵y ＝(6＋3m )x ＋(n －4)是减函数，∴6＋3m ＜0，∴m ＜－2.(2)当x ＝0时，y ＝n －4.当函数图象与y 轴的交点在x 轴下方时，y ＜0，得n －4＜0，∴n ＜4.又函数为一次函数，∴6＋3m ≠0，即m ≠－2.∴当m ∈R 且m ≠－2，n ＜4时，函数图象与y 轴的交点在x 轴下方．10．分别在下列范围内求函数y ＝x 2－2x －3的最值．(1)0＜x ＜2；(2)2≤x ≤3.解：∵y ＝x 2－2x －3＝(x －1)2－4，∴顶点坐标为(1，－4)．(1)∵x ＝1在0＜x ＜2范围内，且二次项系数为1＞0，∴当x ＝1时，y 有最小值，y min ＝－4，无最大值．(2)∵x ＝1不在2≤x ≤3范围内，∴函数y ＝x 2－2x －3(2≤x ≤3)的图象是抛物线y ＝x 2－2x－3的一部分．由二次函数的性质知y＝x2－2x－3在(1，＋∞)上单调递增，∴当x＝3时，y max＝32－2×3－3＝0；当x＝2时，y min＝22－2×2－3＝－3.层级二应试能力达标1．若函数y＝ax＋1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是( ) A．2 B．－2C．2或－2 D．0解析：选C 由题意知a≠0，当a>0时，有(2a＋1)－(a＋1)＝2，解得a＝2；当a<0时，有(a＋1)－(2a＋1)＝2，解得a＝－2.综上知a＝±2.2．若抛物线y＝x2－(m－2)x＋m＋3的顶点在y轴上，则m的值为( )A．－3 B．3C．－2 D．2解析：选 D 因为抛物线y＝x2－(m－2)x＋m＋3的顶点在y轴上，所以顶点横坐标－－ m－22×1＝m－22＝0，故m＝2.3．已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是( )A．[1，＋∞) B．[0,2]C．(－∞，2] D．[1,2]解析：选D f(x)＝(x－1)2＋2，∵f(x)min＝2，f(x)max＝3，且f(1)＝2，f(0)＝f(2)＝3，∴1≤m≤2，故选D.4．当0≤x≤2时，a＜－x2＋2x恒成立，则实数a的取值范围是( )A．(－∞，1] B．(－∞，0]C．(－∞，0) D．(0，＋∞)解析：选C 令f(x)＝－x2＋2x，则f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1.又∵x∈[0,2]，∴f(x)min＝f(0)＝f(2)＝0.∴a＜0.5．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为________．解析：函数f(x)＝－x2＋4x＋a＝－(x－2)2＋4＋a，x∈[0,1]，且函数有最小值－2.故当x＝0时，函数有最小值，当x＝1时，函数有最大值．∵当x ＝0时，f (0)＝a ＝－2，∴f (x )＝－x 2＋4x －2，∴当x ＝1时，f (x )max ＝f (1)＝－12＋4×1－2＝1.答案：16．已知－x 2＋4x ＋a ≥0在x ∈[0,1]上恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：法一：－x 2＋4x ＋a ≥0，即a ≥x 2－4x ，x ∈[0,1]，也就是a 应大于或等于f (x )＝x 2－4x 在[0,1]上的最大值，函数f (x )＝x 2－4x 在x ∈[0,1]的最大值为0，∴a ≥0.法二：设f (x )＝－x 2＋4x ＋a ，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ f 0 ＝a ≥0，f 1 ＝－1＋4＋a ≥0，解得a ≥0.答案：[0，＋∞)7．已知函数f (x )＝x 2＋2(1－2a )x ＋6在区间(－∞，－1)上为减函数．(1)求f (2)的取值范围；(2)比较f (2a －1)与f (0)的大小．解：(1)二次函数图象的对称轴为x ＝2a －1，∴函数f (x )在(－∞，2a －1]上为减函数．∴－1≤2a －1.∴a ≥0.而f (2)＝22＋2(1－2a )×2＋6＝－8a ＋14，∵a ≥0，∴f (2)＝14－8a ≤14.故f (2)的取值范围为(－∞，14]．(2)∵当x ＝2a －1时，函数y ＝f (x )取最小值，∴f (2a －1)≤f (0)．8．已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在x ∈[0,1]时有最大值2，求a 的值． 解：f (x )＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1，当a ≥1时，f (x )max ＝f (1)＝a ；当0<a <1时，f (x )max ＝f (a )＝a 2－a ＋1；当a ≤0时，f (x )max ＝f (0)＝1－a .根据已知条件得，⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥1，a ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a <1，a 2－a ＋1＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤0，1－a ＝2，解得a ＝2或a ＝－1.。
2017-2018学年高中数学人教B版必修1课时跟踪检测七 映
课时跟踪检测（七） 映射与函数层级一 学业水平达标1．已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{5,6,7}，在下列A 到B 的四种对应法则中，其中，是A 到B 的映射的有( )A ．①②B ．①③C ．①④D ．②④解析：选A 根据映射定义知①②正确．③中A 的元素4在B 中无对应元素，所以该对应不是A 到B 的映射．④中A 的元素3在B 中有两个元素与之对应，所以不是A 到B 的映射．2．已知集合M ＝{x |0≤x ≤4}，N ＝{y |0≤y ≤2}，按对应关系f 不能构成从M 到N 的映射的是( )A ．f ：x →y ＝12xB ．f ：x →y ＝13xC ．f ：x →y ＝23xD ．f ：x →y ＝x解析：选C 因为当x ＝4时，y ＝23×4＝83∉N ，所以C 中的对应关系f 不能构成从M 到N的映射．3．下列对应法则中，能建立从集合A ＝{1,2,3,4,5}到集合B ＝{0,3,8,15,24}的映射的是( )A ．f ：x →x 2－x B ．f ：x →x ＋(x －1)2C ．f ：x →x 2＋1D ．f ：x →x 2－1解析：选D 集合B 中的每个元素都可以写成x 2－1的形式．4．在映射f ：A →B 的作用下A 中的元素(x ，y )与B 中的元素(x －1,3－y )对应，则与B 中元素(0,1)对应的A 中的元素是( )A ．(－1,2)B ．(0,3)C ．(1,2)D ．(－1,3)解析：选C 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝0，3－y ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，所以与B 中元素(0, 1)对应的A 中的元素是(1,2)．5．有下列对应：①A ＝R ，B ＝R ，f ：x →y ＝1－xx ＋1； ②A ＝{2016年里约热内卢奥运会的火炬手}，B ＝{2016年里约热内卢奥运会的火炬手的体重}，f ：每个火炬手对应自己的体重；③A ＝{非负实数}，B ＝R ，f ：x →y ＝±x . 其中是A 到B 的映射的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选B ①中，对于A 中元素－1，在f 下无意义，则①不是映射；②中，由于每个火炬手都有唯一的体重，则②是映射；③中，对于A 中元素4，在B 中有两个元素2和－2与之对应，则③不是映射．6．在映射f ：A →B 中，A ＝B ＝{(x ，y )|x ，y ∈R}，且f ：(x ，y )→(x －y ，x ＋y )，则与A 中的元素(－1,2)对应的B 中的元素为________．解析：由题意知，与A 中元素(－1,2)对应的B 中元素为(－1－2，－1＋2)，即(－3,1)． 答案：(－3,1)7．已知A ＝B ＝R ，x ∈A ，y ∈B ，f ：x →y ＝ax ＋b,5→5且7→11.若x →20，则x ＝________.解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧5＝5a ＋b ，11＝7a ＋b ⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－10.∴y ＝3x －10.由3x －10＝20，得x ＝10. 答案：108．f ：A →B 是集合A 到集合B 的映射，A ＝B ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R}，f ：(x ，y )→(kx ，y ＋b )．若B 中的元素(6,2)在此映射下的原象是 (3, 1)，那么k ＝______，b ＝______.解析：由题意⎩⎪⎨⎪⎧3k ＝6，b ＋1＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝1.答案：2 19．已知集合A ＝R ，B ＝{(x ，y )|x ，y ∈R}，f ：A →B 是从A 到B 的映射，f ：x →(x ＋1，x 2＋1)，求A 中元素2的象和B 中元素⎝⎛⎭⎪⎫32，54的原象．解：将x ＝2代入对应法则，得其象为(2＋1,3)． 令⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝32，x 2＋1＝54，得x ＝12.所以2的象是(2＋1,3)，⎝ ⎛⎭⎪⎫32，54的原象是12. 10．已知集合A ＝{1,2,3，k }，B ＝{4,7，a 4，a 2＋3a }，且a ∈N ，k ∈N ，x ∈A ，y ∈B ，映射f ：A →B ，使B 中元素y ＝3x ＋1和A 中元素x 对应，求a 及k 的值．解：∵B 中元素y ＝3x ＋1和A 中元素x 对应， ∴A 中元素1的像是4；2的像是7；3的像是10， 即a 4＝10或a 2＋3a ＝10.∵a ∈N ，∴仅有a 2＋3a ＝10，得a ＝2，a ＝－5(舍)． 则有k 的像是a 4.∴3k ＋1＝24，得k ＝5. 综上得，a ＝2，k ＝5.层级二 应试能力达标1．下列集合A 到集合B 的对应f 是映射的是( ) A ．A ＝{－1,0,1}，B ＝{－1,0,1}，f ：A 中的数平方 B ．A ＝{0,1}，B ＝{－1,0,1}，f ：A 中的数开平方 C ．A ＝Z ，B ＝Q ，f ：A 中的数取倒数D ．A ＝R ，B ＝{1,2}，f ：x →y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ＜；解析：选A 在B 中，集合A 中的元素1在B 中有±1两个元素与之对应，∴B 不正确．C 中，集合A 中的元素0没有倒数，∴C 不正确．D 中，当x ≥0时，B 中无对应元素，D 不正确．2．设f ：A →B 是集合A 到B 的映射，其中A ＝{x |x >0}，B ＝R ，且f ：x →x 2－2x －1，则A 中元素1＋2的象和B 中元素－1的原象分别为( )A.2，0或2 B ．0,2 C ．0,0或2D ．0,0或 2解析：选B x ＝1＋2时，x 2－2x －1＝(1＋2)2－2(1＋2)－1＝0. ∴1＋2的象为0.当x 2－2x －1＝－1时， 得x ＝0或2. ∵x >0，∴x ＝2，即－1的原象是2.3．已知映射f ：A →B ，其中集合A ＝{－3，－2，－1,1,2,3,4}，集合B 中的元素在A 中都能找到元素与之对应，且对任意的a ∈A ，在B 中和它对应的元素是|a |，则集合B 中元素的个数是( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：选A 注意到对应法则是f ：a →|a |，因此3和－3对应集合B 中的元素3；2和－2对应集合B 中的元素2；1和－1对应集合B 中的元素1；4对应集合B 中的元素4.所以B ＝{1,2,3,4}，有4个元素．4．下列对应是从集合M 到集合N 的映射的是( )①M ＝N ＝R ，f ：x →y ＝1x，x ∈M ，y ∈N ；②M ＝N ＝R ，f ：x →y ＝x 2，x ∈M ，y ∈N ；③M ＝N＝R ，f ：x →y ＝1|x |＋x，x ∈M ，y ∈N ；④M ＝N ＝R ，f ：x →y ＝x 3，x ∈M ，y ∈N .A ．①②B ．②③C ．①④D ．②④解析：选D 对于①，集合M 中的元素0在N 中无元素与之对应，所以①不是映射．对于③，M 中的元素0及负实数在N 中没有元素与之对应，所以③不是映射．对于②④，M 中的元素在N 中都有唯一的元素与之对应，所以②④是映射．故选D.5．定义f (x ，y )＝(y 2,2y －x )，若f (m ，n )＝(1,2)，则(m ，n )＝________.解析：由题知⎩⎪⎨⎪⎧n 2＝1，2n －m ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧n ＝1，m ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧n ＝－1，m ＝－4.∴(m ，n )＝(0,1)或(－4，－1)．答案：(0,1)或(－4，－1)6．设a ，b 为实数，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，b a ，1，N ＝{}a ，b ，b －a ，映射f ：x →x 表示把集合M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a ＋b ＝________.解析：由f ：x →x ，知集合M 中的元素映射到集合N 中没有变化，且N 中只有3个元素，所以M ＝N .又因为M 中－1,1为相反数，所以a ，b ，b －a 这3个元素中有2个互为相反数，分情况讨论，知b ＝0，a ＝±1，所以a ＋b ＝±1.答案：±17．已知映射f ：A →B 中，A ＝B ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R}，f ：A 中的元素(x ，y )对应到B 中的元素(3x －2y ＋1，4x ＋2y －1)．(1)是否存在这样的元素(a ，b )，它的象仍是自己？若存在，求出这个元素；若不存在，说明理由．(2)判断这个映射是不是一一映射．解：(1)假设存在元素(a ，b )，它的象仍是(a ，b )．由⎩⎪⎨⎪⎧3a －2b ＋1＝a ，4a ＋3b －1＝b ，得a ＝0，b ＝12.∴存在元素⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，它的象仍是自己． (2)对任意的(a ，b )(a ∈R ，b ∈R)，方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＋1＝a ，4x ＋3y －1＝b ，有唯一解．这说明B 中任意元素(a ，b )在A 中有唯一的原象， 所以映射f ：A →B 是A 到B 的一一映射．8．已知A ＝{a ，b ，c }，B ＝{－1,0,1}，映射f ：A →B 满足f (a )＋f (b )＝f (c )，求映射f ：A→B的个数．解：①当A中三个元素对应B中一个元素时，都对应0时，则f(a)＋f(b)＝0＋0＝0＝f(c)，∴满足f(a)＋f(b)＝f(c)的映射有1个；都对应－1或1时，∵(－1)＋(－1)≠－1,1＋1≠1，∴这样的映射不合题意．②当A中三个元素对应B中两个元素时，∵1＋0＝1,0＋1＝1，(－1)＋0＝－1,0＋(－1)＝－1，∴满足f(a)＋f(b)＝f(c)的映射有4个．③当A中的三个元素对应B中的三个元素时，∵(－1)＋1＝0,1＋(－1)＝0，∴满足f(a)＋f(b)＝f(c)的映射有2个．综上所述，满足题设条件的映射共有7个.。
高中数学课时跟踪检测九函数的单调性新人教B版必修78
学 习 资 料 汇编课时跟踪检测（九） 函数的单调性层级一 学业水平达标1．如图是函数y ＝f (x )的图象，则此函数的单调递减区间的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 由图象，可知函数y ＝f (x )的单调递减区间有2个．故选B. 2．下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是( ) A ．y ＝|x | B ．y ＝3－x C ．y ＝1xD ．y ＝－x 2＋4解析：选A 因为－1<0，所以一次函数y ＝－x ＋3在R 上递减，反比例函数y ＝1x在(0，＋∞)上递减，二次函数y ＝－x 2＋4在(0，＋∞)上递减．故选A.3．函数y ＝1x的单调递减区间是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(－∞，0)和(0，＋∞)D ．(－∞，0)∪(0，＋∞)解析：选C 函数y ＝1x 的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．由函数的图象可知y ＝1x在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上分别是减函数．4．函数y ＝3x ＋2(x ≠－2)在区间[0,5]上的最大值、最小值分别是( ) A.37，0 B.32，0 C.32，37D ．最小值为－14，无最大值解析：选C 因为函数y ＝3x ＋2在区间[0,5]上单调递减，所以当x ＝0时，y max ＝32，当x ＝5时，y min ＝37.故选C.5．函数f (x )＝|x |，g (x )＝x (2－x )的递增区间依次是( ) A ．(－∞，0]，(－∞，1] B ．(－∞，0]，(1，＋∞) C ．[0，＋∞)，(－∞，1]D ．[0，＋∞)，[1，＋∞)解析：选C 分别作出f (x ) 与g (x )的图象得： f (x )在[0，＋∞)上递增，g (x )在(－∞，1]上递增，选C.6．函数f (x )＝|2x －1|的递减区间是________． 解析：函数f (x )＝|2x －1|的图象如图所示：∴递减区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12. 答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12 7．若f (x )在R 上是减函数，则f (－1)________f (a 2＋1)(填“>”或“<”或“≥”或“≤”)．解析：∵f (x )在R 上是减函数，∴对任意x 1，x 2，若x 1<x 2均有f (x 1)>f (x 2)．又∵－1<a 2＋1，∴f (－1)>f (a 2＋1)．答案：>8．已知函数f (x )为定义在区间[－1,1]上的增函数，则满足f (x )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的实数x 的取值范围为________．解析：由题设得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤1，x <12，解得－1≤x <12.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12 9．判断并证明函数f (x )＝－1x＋1在(0，＋∞)上的单调性．解：函数f (x )＝－1x＋1在(0，＋∞)上是增函数．证明如下：设0＜x 1<x 2，则Δx ＝x 2－x 1＞0 Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 2＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 1＋1＝x 2－x 1x 1x 2， 由x 1，x 2∈(0，＋∞)，得x 1x 2>0，∴Δy ＞0 ∴f (x )＝－1x＋1在(0，＋∞)上是增函数．10．求函数f (x )＝xx －1在区间[2,5]上的最大值与最小值．解：任取2≤x 1<x 2≤5，则Δx ＝x 2－x 1＞0， Δy ＝f (x 2)－f (x 1) ＝x 2x 2－1－x 1x 1－1＝x 1－x 2x 2－x 1－.∵2≤x 1<x 2≤5，∴x 2－1>0，x 1－1>0，x 1－x 2＝－Δx ＜0， ∴Δy ＜0. 所以f (x )＝xx －1在区间[2,5]上是单调减函数．所以f (x )max ＝f (2)＝22－1＝2，f (x )min ＝f (5)＝55－1＝54. 层级二 应试能力达标1．下列函数在[1,4]上最大值为3的是( ) A ．y ＝1x＋2B ．y ＝3x －2C ．y ＝x 2D ．y ＝1－x解析：选A B 、C 在[1,4]上均为增函数，A 、D 在[1, 4]上均为减函数，代入端点值，即可求得最值，故选A.2．若函数f (x )在区间(a ，b )上是增函数，在区间(b ，c )上也是增函数，则函数f (x )在区间(a ，b )∪(b ，c )上( )A ．必是增函数B ．必是减函数C ．是增函数或减函数D ．无法确定单调性解析：选D 函数在区间(a ，b )∪(b ，c )上无法确定单调性．如y ＝－1x在(0，＋∞)上是增函数，在(－∞，0)上也是增函数，但在(－∞，0)∪(0，＋∞)上并不具有单调性．3．下列四个函数在(－∞，0)上为增函数的是( ) ①y ＝|x |＋1；②y ＝|x |x ；③y ＝－x 2|x |；④y ＝x ＋x|x |.A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④解析：选C ①y ＝|x |＋1＝－x ＋1(x <0)在(－∞，0)上为减函数；②y ＝|x |x＝－1(x <0)在(－∞，0)上既不是增函数也不是减函数；③y ＝－x 2|x |＝x (x <0)在(－∞，0)上是增函数；④y ＝x ＋x|x |＝x －1(x <0)在(－∞，0)上也是增函数．4．定义在R 上的函数f (x )，对任意x 1，x 2∈R(x 1≠x 2)，有f x 2－f x 1x 2－x 1<0，则( )A ．f (3)<f (2)<f (1)B ．f (1)<f (2)<f (3)C ．f (2)<f (1)<f (3)D ．f (3)<f (1)<f (2)解析：选A 对任意x 1，x 2∈R(x 1≠x 2)，有f x 2－f x 1x 2－x 1<0，则x 2－x 1与f (x 2)－f (x 1)异号，则f (x )在R 上是减函数．又3>2>1，则f (3)<f (2)<f (1)．故选A.5．若函数y ＝－b x在(0，＋∞)上是减函数，则b 的取值范围是________． 解析：设0<x 1<x 2，则Δx ＝x 2－x 1＞0，由题意知， Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＝－b x 2＋b x 1＝b x 2－x 1x 1x 2＜0.∵0<x 1<x 2，x 2－x 1＞0，x 1x 2>0， ∴b <0.答案：(－∞，0)6．函数y ＝f (x )的定义域为[－4,6]，若函数f (x )在区间[－4，－2]上单调递减，在区间(－2,6]上单调递增，且f (－4)<f (6)，则函数f (x )的最小值是________，最大值是________．解析：作出符合条件的函数的简图(图略)，可知f (x )min ＝f (－2)，f (x )max ＝f (6)． 答案：f (－2) f (6)7．作出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －3，x ≤1，x －2＋3，x >1的图象，并指出函数f (x )的单调区间．解：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －3，x ≤1，x －2＋3，x >1的图象如图所示．由图可知，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －3，x ≤1，x －2＋3，x >1的单调减区间为(－∞，1]和(1,2)，单调增区间为[2，＋∞)．8．已知函数f (x )对任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x >0时，f (x )<0，f (1)＝－23.(1)求证：f (x )是R 上的单调减函数． (2)求f (x )在[－3,3]上的最小值．解：(1)证明：设x 1，x 2是任意的两个实数，且x 1<x 2， 则x 2－x 1>0，因为x >0时，f (x )<0， 所以f (x 2－x 1)<0， 又因为x 2＝(x 2－x 1)＋x 1， 所以f (x 2)＝f [(x 2－x 1)＋x 1] ＝f (x 2－x 1)＋f (x 1)，所以f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2－x 1)<0， 所以f (x 2)<f (x 1)．所以f (x )是R 上的单调减函数． (2)由(1)可知f (x )在R 上是减函数， 所以f (x )在[－3,3]上也是减函数， 所以f (x )在[－3,3]上的最小值为f (3)．而f (3)＝f (1)＋f (2)＝3f (1)＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝－2. 所以函数f (x )在[－3,3]上的最小值是－2.敬请批评指正。
2017-2018学年高中数学课时跟踪检测(九)函数的单调性新人教B版必修1
课时跟踪检测(九) 函数的单调性层级一学业水平达标1.如图是函数y = f (x )的图象，则此函数的单调递减区间的个数是( )解析：选B 由图象，可知函数 y = f (x )的单调递减区间有2个.故选B.F 列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是()2 ,D. y =— x + 4解析：选A 因为—1<0 ,所以一次函数 y =— x + 3在R 上递减，反比例函数 y =-在(0 , + g )上递减，二次函数 y = — x 2+ 4在(0 , +g )上递减.故选 A.1函数y =-的单调递减区间是()x函数f (x ) = |x | , g ( x ) = x (2 — x )的递增区间依次是(A . 1C. 3A .y = |x |B . y = 3- x C. A.(0，+m)B . ( —g, 0) C. (—g, 0)和(0，+g )D. ( —g , 0) U (0 , +g)解析：选C 函数y = x 的定义域是(—g , 0) u (0, +g ).由函数的图象可知xy =x 在区间(-g, 0)和(0，+g )上分别是减函数.34.函数y = ---(x 工一2)在区间[0,5]x + 2上的最大值、最小值分别是 ( A.7 , 03 B.? , 03 3 C.2 , 71D.最小值为—-,无最大值解析：选C 因为函数y = 土在区间［0，5］上单调递减, 所以当3x = 0 时，y max =孑,当 x=5时, 3y min = 7.故选 C.D. 4A . (—g , 0], (—g , 1]B. ( —g, 0], (1 ,+g)C. [0 , +g), (—g , 1]D. [0 ,+g),[1 ,+g)解析：选C 分别作出f (x )与g (x )的图象得：f (x )在［0，+m )上递增，g (x )在(―耳, 1］上递增，选C.6 .函数f (x ) = |2 x —1|的递减区间是 解析：函数f (x ) = |2x — 1|的图象如图所示:7•若f (x )在R 上是减函数，则f ( — 1) ______ f (a 1 2 + 1)(填“〉”或或或“W”).解析：••• f (x )在R 上是减函数，•对任意 X i , X 2,若x i <X 2均有f (x">f (X 2).又•••— 1<a 2 + 1,二 f ( — 1)>f (a 2+ 1).答案：>8.已知函数f (x )为定义在区间［—1,1］上的增函数，贝U 满足f (x )<f 2的实数x 的取值范围为 ________ .［-K x w 1, 解析：由题设得 1［x <2， 1解得—1W x <2・ 答案：—1,扌)19 •判断并证明函数 f (x ) =— -+ 1在(0，+m )上的单调性.x1解：函数 f (x ) =— x + 1在(0，+m )上是增函数.证明如下: 设 0 V X 1<X 2，贝y △ x = X 2— X 1> 0 △ y = f (X 2) — f (x"1 1 X 2— X 1=I — — + 1 — I — — + 1 =X 2 X 1 X 1X 2由 X 1 , X 2€ (0，+m )，得 X 1X 2>0,.・.△ y > 0 1•-f (X ) =— - + 1在(0，+m )上是增函数.X答案:•••递减区间为 2x10.求函数f (x )=匸^在区间［2,5］上的最大值与最小值.X I 解：任取 2< x i <X 2< 5,贝U △ x = X 2-X i > 0, △ y = f (X 2)— f (x i )X 2 X iX i — X 2—X 2— i x i — i —X 2 — ］ x i —］.■/ 2< X i <X 2< 5,••• X 2 —1>0, x i —1>0, x i — X 2=— △ x v 0,••• △ y v 0.x所以f (x )= 在区间［2,5］上是单调减函数.X — i2 5 5所以 f (X )m ax = f (2) == 2,f (X )m in = f(5) = 5—^ = 4.层级二应试能力达标1 .下列函数在［i,4］上最大值为3的是( )iA. y = —+ 2B . y = 3x — 2x2C. y = xD. y = i — x解析：选AB 、C 在［i,4］上均为增函数，A 、D 在［i, 4］上均为减函数，代入端点值，即 可求得最值，故选 A.2 .若函数f (x )在区间(a , b )上是增函数，在区间(b , c )上也是增函数，则函数 f (x )在区间(a, b ) U (b , c )上()A .必是增函数B .必是减函数C.是增函数或减函数D.无法确定单调性1解析：选D 函数在区间(a , b ) U ( b , c )上无法确定单调性.女口y =—-在(0 ,+^)上是X增函数，在(—8, 0)上也是增函数，但在(—8, 0) U (0,+s )上并不具有单调性.3 .下列四个函数在(一8, 0)上为增函数的是()I x | x 3①y = |x | +1；②y =〒：③y =— 占；3x在(—8, 0)上既不是增函数也不是减函数；③y =—厂！ = x (x <0)在(—8, 0)上是增函数;1 x|④y = x +占.|x |A .①②D.①④| x |解析：选 C ①y = | x | + 1 = — x + i(x <0)在(—8, 0)上为减函数；② y = — =— 1(x <0) XB .②③C.③④x4 .定义在R 上的函数f (x )，对任意x i , X 2€ R(X I M X 2)，有一x2一 f xi<o ,则( )A. f (3)< f (2)< f (1)B. f (1)< f (2)< f (3)C. f (2)< f (1)< f (3)D. f (3)< f (1)< f (2) 解析：选 A 对任意x i , X 2€ R(x i M X 2)，有 __xfx—<0,则 X 2— x i 与 f (X 2) — f (x i )X 2— X i异号，则f (x )在R 上是减函数.又 3>2>i ，则f (3)<f (2)< f (i).故选A.b一5.若函数y =— -在(0,+o )上是减函数，则b 的取值范围是 ________X解析：设0<X i <X 2，贝y △ x = X 2 — X i > 0,由题意知,b b b△ y =f(X2) 一f(Xi) = —X 2+X i =-•' 0<X i <X 2, X 2 — X i > 0, X i X 2>0, ••• b<0. 答案：(—o, 0)6 .函数y = f (x )的定义域为［—4,6］，若函数f (x )在区间［—4，— 2］上单调递减，在区 间(一2,6］上单调递增，且f ( — 4)<f (6)，则函数f (x )的最小值是 _________________ ，最大值是 _______解析：作出符合条件的函数的简图 (图略)，可知f (X )min = f ( — 2) , f (X )max = f (6).答案：f ( — 2) f (6)o, 1］和(1,2)，单调增区间为［2 ,+o ).8.已知函数 f (x )对任意 x , y € R ,总有 f (x ) + f (y ) = f (x + y )，且当 x >0 时，f (x )<0 ,④ y = x +=x - 1(x <0)在( 一 oo,0)上也是增函数.X 2— X i XXv 0.—x — 3, x w 1,7.作出函数f (x ) =4“2的图象，并指出函数f (x )的单调区间.解:的图象如图所示.由图可知，函数 —x —3, f(x) - X —2X w 1,2+ 3, x >1 f (1)=—2 3.f(X )=x w 1,2+ 3, x >1的单调减区间为(一x(1)求证：f(x)是R上的单调减函数.⑵求f (X) 在[ —3,3]上的最小值.解：(1)证明：设X i, X2是任意的两个实数, 则X2 —x i>0，因为x>0 时，f (x)<0，所以f (X2 —X i)<0 ,又因为X2 =(X2—X i) + X i,所以f ( X2) = f [( X2—X i) + X i]=f (X2—X i) + f (X i),所以f (X2) —f (X i) = f (X2—X i)<0 ,所以f (X2)<f (X i).所以f(X)是R上的单调减函数.⑵由(i)可知f (X)在R上是减函数，所以f(X)在［—3,3］上也是减函数，所以f(X)在［—3,3］上的最小值为f(3).而f (3) = f (i) + f (2) = 3f (i) = 3X所以函数f (X)在［—3,3］上的最小值是一2.X i<X2, 2.。
(浙江专版)2017-2018学年高中数学 课时跟踪检测(十)正弦函数_余弦函数的单调性与最值 新人教A版必修4
课时跟踪检测（十） 正弦函数、余弦函数的单调性与最值层级一 学业水平达标1．函数f (x )＝－2sin x ＋1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π的值域是( ) A ．[1,3]B ．[－1,3]C ．[－3,1]D ．[－1,1]解析：选B ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π，∴sin x ∈[－1,1]， ∴－2sin x ＋1∈[－1,3]．2．函数y ＝|sin x |的一个单调递增区间是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4 C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π 解析：选 C 由y ＝|sin x |的图象，易得函数y ＝|sin x |的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π，k π＋π2，k ∈Z ，当k ＝1时，得⎝⎛⎭⎪⎫π，3π2为函数y ＝|sin x |的一个单调递增区间． 3．下列函数中，既为偶函数又在(0，π)上单调递增的是( )A ．y ＝|cos x |B ．y ＝cos|－x |C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2D ．y ＝－sin x 2 解析：选C y ＝|cos x |在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上是减函数，排除A ； y ＝cos|－x |＝cos|x |在(0，π)上是减函数．排除B ；y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝－cos x 是偶函数，且在(0，π)上单调递增，符合题意；y ＝－sin x 2在(0，π)上是单调递减的． 4．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2，x ∈R 在( ) A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是增函数 B ．[0，π]上是减函数 C ．[－π，0]上是减函数 D ．[－π，π]上是减函数解析：选B y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝cos x ，所以在区间[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数，故选B.5．函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为( ) A ．－1B ．－22C ．22D ．0 解析：选 B ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴－π4≤2x －π4≤3π4，∴当2x －π4＝－π4时，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4有最小值－22. 6．已知函数y ＝3cos(π－x )，则当x ＝________时，函数取得最大值．解析：y ＝3cos(π－x )＝－3cos x ，当cos x ＝－1，即x ＝2k π＋π，k ∈Z 时，y 有最大值3.答案：2k π＋π，k ∈Z7．y ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3，则y 的范围是________． 解析：由正弦函数图象，对于x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3，当x ＝π2时，y max ＝1，当x ＝π6时，y min ＝12，从而y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 8．函数y ＝sin(x ＋π)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π上的单调递增区间为________． 解析：因为sin(x ＋π)＝－sin x ，所以要求y ＝sin(x ＋π)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π上的单调递增区间，即求y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π上的单调递减区间，易知为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π 9．求下列函数的最大值和最小值． (1)y ＝1－12sin x ；(2)y ＝3＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. 解：(1)∵⎩⎪⎨⎪⎧ 1－12sin x ≥0，－1≤sin x ≤1，∴－1≤sin x ≤1.∴当sin x ＝－1时，y max ＝62； 当sin x ＝1时，y min ＝22. (2)∵－1≤cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1， ∴当cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝1时，y max ＝5； 当cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝－1时，y min ＝1. 10．比较下列各组数的大小．(1)sin 10π17与sin 11π17；(2)cos 5π3与cos 16π9. 解：(1)∵函数y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上单调递减，且π2＜10π17＜11π17＜π，∴sin 10π17＞sin 11π17. (2)cos 5π3＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π－π3＝cos π3， cos 16π9＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π－2π9＝cos 2π9. ∵函数y ＝cos x 在[0，π]上单调递减，且0＜2π9＜π3＜π， ∴cos π3<cos 2π9，∴cos 5π3<cos 16π9. 层级二 应试能力达标1．函数y ＝|sin x |＋sin x 的值域为( )A ．[－1,1]B ．[－2,2]C ．[－2,0]D ．[0,2] 解析：选D ∵y ＝|sin x |＋sin x＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2sin x ，sin x ≥0，0， sin x ＜0.又∵－1≤sin x ≤1，∴y ∈[0,2]，即函数的值域为[0,2]．2．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω＞0)的周期为π，则其单调递增区间为( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π4，k π＋π4(k ∈Z) B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－3π4，2k π＋π4(k ∈Z) C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8(k ∈Z) D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－3π8，2k π＋π8(k ∈Z)解析：选C 周期T ＝π，∴2πω＝π，∴ω＝2，∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.由－π2＋2k π≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z. 3．下列关系式中正确的是( )A ．sin 11°＜cos 10°＜sin 168°B ．sin 168°＜sin 11°＜cos 10°C ．sin 11°＜sin 168°＜cos 10°D ．sin 168°＜cos 10°＜sin 11°解析：选C sin 168°＝sin(180°－12°)＝sin 12°，cos 10°＝cos(90°－80°)＝sin 80°.因为正弦函数y ＝sin x 在区间[0,90°]上为增函数，所以sin 11°＜sin 12°＜sin 80°，即sin 11°＜sin 168°＜cos 10°.4．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x (x ∈R)的最小值等于( ) A ．－3 B ．－2 C ．－1 D ．－ 5解析：选C ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝π2， ∴y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6 ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6 ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6，∴y min ＝－1. 5．函数值sin 3π5，sin 4π5，sin 9π10从大到小的顺序为________(用“＞”连接)． 解析：∵π2＜3π5＜4π5＜9π10＜π，又函数y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上单调递减，∴sin 3π5＞sin 4π5＞sin 9π10. 答案：sin 3π5＞sin 4π5＞sin 9π106．函数y ＝cos x 在区间[－π，a ]上为增函数，则a 的取值范围是________． 解析：∵y ＝cos x 在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数，∴只有－π＜a ≤0时满足条件，故a ∈(－π，0]．答案：(－π，0]7．设函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4，x ∈R. (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，3π4上的最小值和最大值，并求出取最值时x 的值． 解：(1)最小正周期T ＝2π2＝π， 由2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z)， 得k π－π8≤x ≤k π＋3π8(k ∈Z)， ∴函数f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z)． (2)令t ＝2x －π4，则由π8≤x ≤3π4可得0≤t ≤5π4， ∴当t ＝5π4，即x ＝3π4时，y min ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝－1， ∴当t ＝π2，即x ＝3π8时，y max ＝2×1＝ 2.8．已知函数f (x )＝2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋a ＋b 的定义域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，值域是[－5,1]，求a ，b 的值．解：∵0≤x ≤π2， ∴π6≤2x ＋π6≤7π6， ∴－12≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6≤1.当a >0时，⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝－5，3a ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝－5. 当a <0时，⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝1，3a ＋b ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－2，b ＝1.因此a ＝2，b ＝－5或a ＝－2，b ＝1.。
高中数学课时跟踪检测-函数的单调性与最值含解析
课时跟踪检测(六) 函数的单调性与最值一、题点全面练1．下列函数中,在区间(－1,1)上为减函数的是( )A ．y ＝11－xB ．y ＝cos xC ．y ＝ln(x ＋1)D ．y ＝2－x解析：选D 函数y ＝2－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在(－1,1)上为减函数． 2．(2017·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是( )A ．(－∞,－2)B ．(－∞,1)C ．(1,＋∞)D ．(4,＋∞) 解析：选D 由x 2－2x －8＞0,得x ＞4或x ＜－2.因此,函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的定义域是(－∞,－2)∪(4,＋∞)．注意到函数y ＝x 2－2x －8在(4,＋∞)上单调递增,由复合函数的单调性知,f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是(4,＋∞)．3．若函数f (x )＝x 2－2x ＋m 在[3,＋∞)上的最小值为1,则实数m 的值为( )A ．－3B ．－2C ．－1D ．1 解析：选B 因为f (x )＝(x －1)2＋m －1在[3,＋∞)上为增函数,且f (x )在[3,＋∞)上的最小值为1,所以f (3)＝1,即22＋m －1＝1,m ＝－2.故选B.4．函数f (x )＝x1－x 的单调递增区间是( ) A ．(－∞,1)B ．(1,＋∞)C ．(－∞,1),(1,＋∞)D ．(－∞,－1),(1,＋∞) 解析：选C 因为f (x )＝－1－x ＋11－x ＝－1＋11－x , 所以f (x )的图象是由y ＝－1x的图象沿x 轴向右平移1个单位,然后沿y 轴向下平移一个单位得到,而y ＝－1x的单调递增区间为(－∞,0),(0,＋∞)； 所以f (x )的单调递增区间是(－∞,1),(1,＋∞)．故选C.5．(赣州模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝x 2f (x －1),则函数g (x )的单调递减区间是( ) A ．(－∞,0]B ．[0,1)C ．[1,＋∞)D ．[－1,0]解析：选B 由题知,g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2，x >1，0，x ＝1，－x 2，x <1，可得函数g (x )的单调递减区间为[0,1)． 6．若函数f (x )＝x 2＋a |x |＋2,x ∈R 在区间[3,＋∞)和[－2,－1]上均为增函数,则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－113，－3 B ．[－6,－4] C.[]－3，－22 D.[]－4，－3解析：选B 由于f (x )为R 上的偶函数,因此只需考虑函数f (x )在(0,＋∞)上的单调性即可．由题意知函数f (x )在[3,＋∞)上为增函数,在[1,2]上为减函数,故－a2∈[2,3],即a ∈[－6,－4]． 7．函数y ＝2－x x ＋1,x ∈(m ,n ]的最小值为0,则m 的取值范围是( ) A ．(1,2)B ．(－1,2)C ．[1,2)D ．[－1,2) 解析：选D 函数y ＝2－x x ＋1＝3－x －1x ＋1＝3x ＋1－1, 且在x ∈(－1,＋∞)时单调递减,在x ＝2时,y ＝0；根据题意x ∈(m ,n ]时y 的最小值为0,所以－1≤m <2.8．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 在区间(－∞,1)上有最小值,则函数g (x )＝f x x 在区间(1,＋∞)上一定( )A ．有最小值B ．有最大值C ．是减函数D ．是增函数 解析：选D 由题意知a <1,又函数g (x )＝x ＋a x －2a 在[|a |,＋∞)上为增函数,故选D.9．(湖南四校联考)若函数f (x )＝x 2＋a |x －2|在(0,＋∞)上单调递增,则实数a 的取值范围是________． 解析：∵f (x )＝x 2＋a |x －2|,∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋ax －2a ，x ≥2，x 2－ax ＋2a ，x <2.又∵f (x )在(0,＋∞)上单调递增,∴⎩⎪⎨⎪⎧ －a 2≤2，a 2≤0，∴－4≤a ≤0,∴实数a 的取值范围是[－4,0]．答案：[－4,0]10．已知函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤38，49,则函数g (x )＝f (x )＋1－2f x 的值域为________． 解析：∵38≤f (x )≤49,∴13≤1－2f x ≤12.令t ＝1－2f x ,则f (x )＝12(1－t 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫13≤t ≤12,令y ＝g (x ),则y ＝12(1－t 2)＋t ,即y ＝－12(t －1)2＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫13≤t ≤12.∴当t ＝13时,y 有最小值79；当t ＝12时,y 有最大值78.∴g (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤79，78.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤79，78二、专项培优练(一)易错专练——不丢怨枉分1．(西安模拟)已知函数y ＝log 2(ax －1)在(1,2)上单调递增,则实数a 的取值范围是( )A ．(0,1]B ．[1,2]C ．[1,＋∞)D ．[2,＋∞)解析：选C 要使y ＝log 2(ax －1)在(1,2)上单调递增,则a >0且a －1≥0,∴a ≥1.故选C.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax 2－x －14，x ≤1，log a x －1，x >1是R 上的单调函数,则实数a 的取值范围是() A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，12 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1解析：选B 由对数函数的定义可得a >0,且a ≠1.又函数f (x )在R 上单调,则二次函数y ＝ax 2－x －14的图象开口向上,所以函数f (x )在R 上单调递减,故有⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a<1，12a≥1，a ×12－1－14≥log a 1－1，即⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a <1，0<a ≤12，a ≥14.所以a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12. 3．已知函数f (x )是定义在(0,＋∞)上的增函数,若f (a 2－a )>f (a ＋3),则实数a 的取值范围为________．解析：由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－a >0，a ＋3>0，a 2－a >a ＋3，解得－3<a <－1或a >3,所以实数a 的取值范围为(－3,－1)∪(3,＋∞)．答案：(－3,－1)∪(3,＋∞)(二)技法专练——活用快得分 4．[构造法]已知减函数f (x )的定义域是实数集R,m ,n 都是实数．如果不等式f (m )－f (n )>f (－m )－f (－n )成立,那么下列不等式成立的是( )A ．m －n <0B ．m －n >0C ．m ＋n <0D ．m ＋n >0解析：选A 设F (x )＝f (x )－f (－x ),由于f (x )是R 上的减函数,∴f (－x )是R 上的增函数,－f (－x )是R 上的减函数,∴F (x )是R 上的减函数,∴当m <n 时,有F (m )>F (n ),即f (m )－f (－m )>f (n )－f (－n )成立．因此,当f (m )－f (n )>f (－m )－f (－n )成立时,不等式m －n <0一定成立,故选A.5．[数形结合法]设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋x 2，|x |≥1，x ，|x |<1的图象过点(1,1),函数g (x )是二次函数,若函数f (g (x ))的值域是[0,＋∞),则函数g (x )的值域是________．解析：因为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋x 2，|x |≥1，x ，|x |<1的图象过点(1,1),所以m ＋1＝1,解得m ＝0,所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2，|x |≥1，x ，|x |<1.画出函数y ＝f (x )的大致图象如图所示,观察图象可知,当纵坐标在[0,＋∞)上时,横坐标在(－∞,－1]∪[0,＋∞)上变化．而f (x )的值域为(－1,＋∞),f (g (x ))的值域为[0,＋∞),因为g (x )是二次函数,所以g (x )的值域是[0,＋∞)．答案：[0,＋∞)(三)素养专练——学会更学通6．[数学抽象]已知函数f (x )是R 上的增函数,A (0,－3),B (3,1)是其图象上的两点,那么不等式－3＜f (x ＋1)＜1的解集的补集是(全集为R)( )A ．(－1,2)B ．(1,4)C ．(－∞,－1)∪[4,＋∞)D ．(－∞,－1]∪[2,＋∞)解析：选D 由函数f (x )是R 上的增函数,A (0,－3),B (3,1)是其图象上的两点,知不等式－3＜f (x ＋1)＜1即为f (0)＜f (x ＋1)＜f (3),所以0＜x ＋1＜3,所以－1＜x ＜2,故不等式－3＜f (x ＋1)＜1的解集的补集是(－∞,－1]∪[2,＋∞)．7．[数学运算]已知函数f (x )＝1a －1x(a >0,x >0)． (1)求证：f (x )在(0,＋∞)上是增函数；(2)若f (x )在12,2上的值域是12,2,求a 的值． 解：(1)证明：设x 2>x 1>0,则x 2－x 1>0,x 1x 2>0,因为f (x 2)－f (x 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1x 1 ＝1x 1－1x 2＝x 2－x 1x 1x 2>0,所以f (x 2)>f (x 1), 所以f (x )在(0,＋∞)上是增函数．(2)因为f (x )在12,2上的值域是12,2, 又由(1)得f (x )在12,2上是单调增函数, 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12,f (2)＝2, 解得a ＝25. 8．[数学运算]已知函数f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a x －2,其中a 是大于0的常数． (1)求函数f (x )的定义域；(2)当a ∈(1,4)时,求函数f (x )在[2,＋∞)上的最小值；(3)若对任意x ∈[2,＋∞)恒有f (x )>0,试确定a 的取值范围．解：(1)由x ＋a x－2>0, 得x 2－2x ＋a x>0, 当a >1时,x 2－2x ＋a >0恒成立,定义域为(0,＋∞)；当a ＝1时,定义域为{x |x >0且x ≠1}；当0<a <1时,定义域为{x |0<x <1－1－a 或x >1＋1－a }． (2)设g (x )＝x ＋a x －2,当a ∈(1,4),x ∈[2,＋∞)时,g ′(x )＝1－a x 2＝x 2－a x 2>0恒成立, 所以g (x )＝x ＋a x－2在[2,＋∞)上是增函数． 所以f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a x －2在[2,＋∞)上是增函数． 所以f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a x －2在[2,＋∞)上的最小值为f (2)＝lg a 2. (3)对任意x ∈[2,＋∞)恒有f (x )>0,即x ＋a x－2>1对任意x ∈[2,＋∞)恒成立．所以a >3x －x 2,令h (x )＝3x －x 2, 而h (x )＝3x －x 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋94在[2,＋∞)上是减函数,所以h (x )max ＝h (2)＝2,所以a >2. 即a 的取值范围为(2,＋∞)．。
课时跟踪检测 函数的单调性与最值(普通高中)
课时跟踪检测（五） 函数的单调性与最值(一)普通高中适用作业A 级——基础小题练熟练快1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝ln(x ＋2) B ．y ＝－x ＋1 C ．y ＝⎝⎛⎭⎫12xD ．y ＝x ＋1x解析：选A 函数y ＝ln(x ＋2)的增区间为(－2，＋∞)，所以在(0，＋∞)上一定是增函数．2．如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－14，＋∞B.⎣⎡⎭⎫－14，＋∞ C.⎣⎡⎭⎫－14，0 D.⎣⎡⎦⎤－14，0 解析：选D 当a ＝0时，f (x )＝2x －3在定义域R 上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；当a ≠0时，二次函数f (x )的对称轴为x ＝－1a ， 因为f (x )在(－∞，4)上单调递增， 所以a <0，且－1a ≥4，解得－14≤a <0.综上，实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－14，0. 3．已知函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f (2x －1)＜f ⎝⎛⎭⎫13的x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫13，23 B.⎣⎡⎭⎫13，23 C.⎝⎛⎭⎫12，23D.⎣⎡⎭⎫12，23解析：选D 因为函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的增函数，满足f (2x －1)＜f ⎝⎛⎭⎫13. 所以0≤2x －1＜13，解得12≤x ＜23.4．函数y ＝|x |(1－x )在区间A 上是增函数，那么区间A 是( )A ．(－∞，0) B.⎣⎡⎦⎤0，12 C ．[0，＋∞)D.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 解析：选B y ＝|x |(1－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (1－x )，x ≥0，－x (1－x )，x <0， ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x ≥0，x 2－x ，x <0，＝⎩⎨⎧－⎝⎛⎭⎫x －122＋14，x ≥0，⎝⎛⎭⎫x －122－14，x <0.画出函数的大致图象如图所示． 由图易知原函数在⎣⎡⎦⎤0，12上单调递增． 5．设偶函数f (x )的定义域为R ，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )是增函数，则f (－2)，f (π)，f (－3)的大小关系是( )A ．f (π)＞f (－3)＞f (－2)B ．f (π)＞f (－2)＞f (－3)C ．f (π)＜f (－3)＜f (－2)D ．f (π)＜f (－2)＜f (－3)解析：选A 因为f (x )是偶函数， 所以f (－3)＝f (3)，f (－2)＝f (2)． 又因为函数f (x )在[0，＋∞)上是增函数， 所以f (π)＞f (3)＞f (2)， 即f (π)＞f (－3)＞f (－2)． 6．已知函数f (x )＝log 2x ＋11－x，若x 1∈(1,2)，x 2∈(2，＋∞)，则( ) A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0 B ．f (x 1)<0，f (x 2)>0 C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0D ．f (x 1)>0，f (x 2)>0解析：选B ∵函数f (x )＝log 2x ＋11－x在(1，＋∞)上为增函数，且f (2)＝0，∴当x 1∈(1,2)时，f (x 1)<f (2)＝0；当x 2∈(2，＋∞)时，f (x 2)>f (2)＝0，即f (x 1)<0，f (x 2)>0.7．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ≥1，－x 2＋2，x <1的最大值为________．解析：当x ≥1时，函数f (x )＝1x 为减函数，所以f (x )在x ＝1处取得最大值，为f (1)＝1；当x <1时，易知函数f (x )＝－x 2＋2在x ＝0处取得最大值，为f (0)＝2.故函数f (x )的最大值为2.答案：28．已知函数f (x )＝x 2－2x －3，则该函数的单调递增区间为________．解析：设t ＝x 2－2x －3，由t ≥0，即x 2－2x －3≥0，解得x ≤－1或x ≥3，所以函数f (x )的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数t ＝x 2－2x －3的图象的对称轴为x ＝1，所以函数t 在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增，所以函数f (x )的单调递增区间为[3，＋∞)．答案：[3，＋∞)9．若函数f (x )＝1x 在区间[2，a ]上的最大值与最小值的和为34，则a ＝________.解析：由f (x )＝1x 的图象知，f (x )＝1x 在(0，＋∞)上是减函数，∵[2，a ]⊆(0，＋∞)， ∴f (x )＝1x 在[2，a ]上也是减函数， ∴f (x )max ＝f (2)＝12，f (x )min ＝f (a )＝1a ，∴12＋1a ＝34，∴a ＝4. 答案：410．给定函数：①y ＝x 12；②y ＝log 12(x ＋1)；③y ＝|x －1|；④y ＝2x ＋1，其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是________．解析：①y ＝x 12在(0,1)上递增；②因为t ＝x ＋1在(0,1)上递增，且0＜12＜1，故y ＝log 12(x＋1)在(0,1)上递减；③结合函数图象可知y ＝|x －1|在(0,1)上递减；④因为u ＝x ＋1在(0,1)上递增，且2＞1，故y ＝2x ＋1在(0,1)上递增，故在区间(0,1)上单调递减的函数序号是②③.答案：②③B 级——中档题目练通抓牢1．若函数f (x )＝x 2＋a |x |＋2，x ∈R 在区间[3，＋∞)和[－2，－1]上均为增函数，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－113，－3 B ．[－6，－4] C.[]－3，－22D.[]－4，－3解析：选B 由于f (x )为R 上的偶函数，因此只需考虑函数f (x )在(0，＋∞)上的单调性即可．由题意知函数f (x )在[3，＋∞)上为增函数，在[1,2]上为减函数，故－a2∈[2,3]，即a∈[－6，－4]．2．已知函数f (x )是R 上的增函数，A (0，－3)，B (3,1)是其图象上的两点，那么不等式－3＜f (x ＋1)＜1的解集的补集是(全集为R)( )A ．(－1,2)B ．(1,4)C ．(－∞，－1)∪[4，＋∞)D ．(－∞，－1]∪[2，＋∞)解析：选D 由函数f (x )是R 上的增函数，A (0，－3)，B (3,1)是其图象上的两点，知不等式－3＜f (x ＋1)＜1即为f (0)＜f (x ＋1)＜f (3)，所以0＜x ＋1＜3，所以－1＜x ＜2，故不等式－3＜f (x ＋1)＜1的解集的补集是(－∞，－1]∪[2，＋∞)．3．(2018·河南平顶山一模)已知f (x )是定义在(0，＋∞)上的函数．对任意两个不相等的正数x 1，x 2，都有x 2f (x 1)－x 1f (x 2)x 1－x 2>0，记a ＝f (30.2)30.2，b ＝f (0.32)0.32，c ＝f (log 25)log 25，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a <b <cB ．b <a <cC ．c <a <bD ．c <b <a解析：选B 对任意两个不相等的正数x 1，x 2，不妨设x 1>x 2， ∵x 2f (x 1)－x 1f (x 2)x 1－x 2>0，∴x 2f (x 1)－x 1f (x 2)>0，∴x 2f (x 1)－x 1f (x 2)x 1x 2＝f (x 1)x 1－f (x 2)x 2>0，即f (x 1)x 1>f (x 2)x 2，∴f (x )x 是(0，＋∞)上的增函数． ∵1<30.2<30.5<2,0<0.32<1，log 25>2， ∴0.32<30.2<log 25， ∴b <a <c .4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ＞0，0，x ＝0，－1，x ＜0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的递减区间是________．解析：由题意知g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ＞1，0，x ＝1，－x 2，x ＜1.作出函数图象如图所示，其递减区间是[0,1)． 答案：[0,1) 5．若函数y ＝2x ＋kx －2与y ＝log 3(x －2)在(3，＋∞)上具有相同的单调性，则实数k 的取值范围是____________．解析：由于y ＝log 3(x －2)在(3，＋∞)上为增函数，故函数y ＝2x ＋k x －2＝2(x －2)＋4＋kx －2＝2＋4＋kx －2在(3，＋∞)上也是增函数，则有4＋k ＜0，得k ＜－4. 答案：(－∞，－4)6．已知函数f (x )＝1a －1x (a ＞0，x ＞0)．(1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域是⎣⎡⎦⎤12，2，求a 的值． 解：(1)证明：任取x 1＞x 2＞0，则f (x 1)－f (x 2)＝1a －1x 1－1a ＋1x 2＝x 1－x 2x 1x 2，∵x 1＞x 2＞0，∴x 1－x 2＞0，x 1x 2＞0， ∴f (x 1)－f (x 2)＞0， 即f (x 1)＞f (x 2)，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(2)由(1)可知，f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上为增函数， ∴f ⎝⎛⎭⎫12＝1a －2＝12， f (2)＝1a －12＝2，解得a ＝25.7．已知f (x )＝xx －a(x ≠a )． (1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a ＞0且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围． 解：(1)证明：当a ＝－2时，f (x )＝xx ＋2.任取x 1，x 2∈(－∞，－2)，且x 1＜x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2).因为(x 1＋2)(x 2＋2)＞0，x 1－x 2＜0， 所以f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)， 所以f (x )在(－∞，－2)内单调递增． (2)任取x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1＜x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a ＝a (x 2－x 1)(x 1－a )(x 2－a ).因为a ＞0，x 2－x 1＞0，又由题意知f (x 1)－f (x 2)＞0，所以(x 1－a )(x 2－a )＞0恒成立，所以a ≤1. 所以0＜a ≤1.所以a 的取值范围为(0,1]． C 级——重难题目自主选做1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，ln (x ＋1)，x >0，若f (2－x 2)>f (x )，则实数x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C ．(－1,2)D ．(－2,1)解析：选D ∵当x ＝0时，两个表达式对应的函数值都为0，∴函数的图象是一条连续的曲线．又∵当x ≤0时，函数f (x )＝x 3为增函数，当x >0时，f (x )＝ln(x ＋1)也是增函数，∴函数f (x )是定义在R 上的增函数．因此，不等式f (2－x 2)>f (x )等价于2－x 2>x ，即x 2＋x －2<0，解得－2<x <1.2．如果函数y ＝f (x )在区间I 上是增函数，且函数y ＝f (x )x 在区间I 上是减函数，那么称函数y ＝f (x )是区间I 上的“缓增函数”，区间I 叫做“缓增区间”．若函数f (x )＝12x 2－x ＋32是区间I 上的“缓增函数”，则“缓增区间”I 为( ) A ．[1，＋∞) B ．[0， 3 ] C ．[0,1]D ．[1， 3 ]解析：选D 因为函数f (x )＝12x 2－x ＋32的对称轴为x ＝1，所以函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，又当x ≥1时，f (x )x ＝12x ＋32x －1，令g (x )＝12x ＋32x－1(x ≥1)，则g ′(x )＝12－32x 2＝x 2－32x 2，由g ′(x )≤0，得1≤x ≤3，即函数f (x )x ＝12x －1＋32x在区间[1，3 ]上单调递减，故“缓增区间”I 为[1， 3 ]．。
2017-2018学年高中数学北师大1：课时跟踪检测(八)函数的单调性含解析
课时跟踪检测（八) 函数的单调性层级一学业水平达标1.如图是函数y＝f（x）的图像，则此函数的单调递减区间的个数是( )A．1 B．2C．3 D．4解析：选B 由图像，可知函数y＝f(x)的单调递减区间有2个．故选B。
2．下列函数中，满足“对任意x1，x2∈（0,＋∞)，都有错误!＞0"的是（)A．f（x）＝错误!B．f（x）＝－3x＋1C．f（x）＝x2＋4x＋3 D．f(x）＝x＋错误!解析:选C 错误!＞0⇔f（x)在（0，＋∞)上为增函数，而f(x）＝错误!及f(x）＝－3x＋1在(0，＋∞）上均为减函数，故排除A、B.f(x）＝x＋错误!在（0，1）上递减，在［1，＋∞)上递增，故排除D。
3．函数y＝x2－3x＋2的单调减区间是( ）A．[0,＋∞）B．[1，＋∞)C．[1，2] D.错误!解析：选D 由二次函数y＝x2－3x＋2图像的对称轴为x＝错误!且开口向上，所以该函数的单调减区间为错误!，故选D.4．函数f(x)＝错误!在R上是( )A．减函数B．增函数C．先减后增D．无单调性解析：选B 画出该分段函数的图像，由图像可知，该函数在R上是增函数．5．下列函数中，在(0,2）上为增函数的是（)A．y＝－3x＋2 B．y＝错误!C．y＝x2－4x＋5 D．y＝3x2＋8x－10解析：选D 显然A、B在(0,2）上为减函数，排除;对C,函数在（－∞，2）上为减函数,也不符合条件;对D，函数在错误!上为增函数，所以在（0,2)上也为增函数．故选D。
6。
函数y＝f(x）的图像如图所示，则函数f(x)的单调递增区间是________．答案：(－∞,1]和（1，＋∞）7．函数f(x）＝2x2－mx＋3，当x∈［－2，＋∞)时是增函数，则m的取值范围是________．解析:由题意知错误!≤－2，解得m≤－8。
答案：（－∞,－8]8．已知f（x）是定义在R上的增函数,且f（x－3)＜f(2－x）,则x的取值范围为________．解析：∵f(x）是定义在R上的增函数,又∵f(x－3）＜f（2－x），∴x－3＜2－x，∴x＜错误!,即x的取值范围是错误!.答案：错误!9．证明函数f(x）＝x2－4x－1在[2，＋∞)上是增函数．证明:设x1，x2是区间［2，＋∞）上的任意两个实数，且x2＞x1≥2，则f（x1)－f(x2)＝（x错误!－4x1－1）－(x错误!－4x2－1）＝x错误!－x错误!－4x1＋4x2＝(x1－x2)(x1＋x2)－4(x1－x2）＝(x1－x2)（x1＋x2－4)．∵x2＞x1≥2，∴x1－x2＜0,x1＋x2＞4，即x1＋x2－4＞0，∴f（x1）－f(x2)＜0,即f(x1）＜f（x2）．∴函数f(x）＝x2－4x－1在［2，＋∞)上是增函数．10．已知函数y＝f(x)是定义在（0，＋∞）上的增函数,对于任意的x＞0，y＞0，都有f(xy)＝f（x）＋f(y)，且满足f(2）＝1。
2017-2018学年高中数学(人教B版)1课时跟踪检测(十)函数的奇偶性缺答案
课时跟踪检测（十) 函数的奇偶性层级一学业水平达标1．下列图象表示的函数中具有奇偶性的是（)解析:选B 选项A中的图象关于原点或y轴均不对称，故排除；选项C、D中的图象所示的函数的定义域不关于原点对称，不具有奇偶性，故排除；选项B中的图象关于y轴对称，其表示的函数是偶函数．故选B.2．已知y＝f(x），x∈(－a，a)，F（x）＝f（x）＋f（－x),则F （x）是( )A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数解析：选B F(－x)＝f(－x）＋f（x）＝F(x）．又x∈（－a，a)关于原点对称,∴F（x）是偶函数．3．函数f(x）＝错误!－x的图象（)A．关于y轴对称B．关于直线y＝x对称C．关于坐标原点对称 D．关于直线y＝－x对称解析:选C ∵f(x）的定义域为(－∞，0）∪（0,＋∞)，关于原点对称，且f(－x)＝－1x－(－x)＝x－错误!＝－f（x），∴f（x）是奇函数，图象关于原点对称．4．如果奇函数f（x)的区间[－7,－3］上是减函数且最大值为5，那么函数f（x）在区间［3,7]上是（)A．增函数且最小值为－5 B．增函数且最大值为－5C．减函数且最小值为－5 D．减函数且最大值为－5解析：选C f(x）为奇函数，∴f（x）在［3,7］上的单调性与[－7，－3］上一致，且f（7）为最小值．又已知f(－7）＝5，∴f(7)＝－f(－7)＝－5,选C。
5．设f(x)是R上的偶函数，且在[0，＋∞）上单调递增，则f(－2)，f（－π),f（3）的大小顺序是（）A．f(－π）>f（3)>f(－2）B．f（－π）>f(－2）〉f(3）C．f(3)〉f（－2)〉f(－π)D．f（3）>f（－π)〉f（－2）解析：选A ∵f（x)是R上的偶函数，∴f(－2）＝f(2),f(－π)＝f（π），又f(x)在[0,＋∞)上单调递增,且2〈3〈π，∴f(π）>f（3）<f(2）,即f（－π)〉f(3）>f(－2）．6．设f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时,f(x）＝x2＋1,则f(－2）＋f(0)＝________.解析：由题意知f(－2)＝－f（2)＝－(22＋1)＝－5，f(0)＝0，∴f(－2)＋f(0）＝－5。
2017-2018学年高中数学(人教B版)1课时跟踪检测(十九)对数缺答案
课时跟踪检测（十九）对数层级一学业水平达标1．将错误!－2＝9写成对数式，正确的是（)A．log9错误!＝－2 B．log139＝－2C．log13（－2）＝9 D．log9(－2)＝错误!解析：选B 根据对数的定义，得log139＝－2，故选B。
2．方程2log3x＝错误!的解是（）A．x＝19B．x＝错误!C．x＝ 3 D．x＝9解析：选A ∵2log3x＝2－2,∴log3x＝－2，∴x＝3－2＝19.3．使对数log a(－2a＋1）有意义的a的取值范围为( )A．a＞错误!且a≠1 B．0＜a＜错误!C．a＞0且a≠1 D．a＜错误!解析：选B 由对数的概念可知使对数log a（－2a＋1)有意义的a需满足错误!解得0＜a＜错误!.4．下列指数式与对数式互化不正确的一组是( )A．100＝1与lg 1＝0B．8 13＝错误!与log8错误!＝－错误!C．log39＝2与912＝3D．log77＝1与71＝7解析：选C 由指对互化的关系:a x＝N⇔x＝log a N可知A、B、D都正确;C中log39＝2⇔9＝32。
5．已知x2＋y2－4x－2y＋5＝0，则log x(y x）的值是( ）A．1 B．0 C．x D．y解析：选B 由x2＋y2－4x－2y＋5＝0，得(x－2）2＋(y－1)2＝0，∴x＝2,y＝1，∴log x（y x)＝log2（12）＝0.6．lg 10 000＝________；lg 0.001＝________.解析:由104＝10 000知lg 10 000＝4，10－3＝0。
001得lg 0。
001＝－3。
答案:4 －37．方程log2(1－2x）＝1的解x＝________。
解析：∵log2（1－2x)＝1＝log22，∴1－2x＝2，∴x＝－错误!。
经检验满足1－2x>0。
答案:－错误!8．已知log7(log3（log2x)）＝0，那么x－错误!＝________.解析：由题意得: log3（log2x)＝1，即log2x＝3，转化为指数式则有x＝23＝8,∴x－错误!＝8－错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
课时跟踪检测（九）函数的单调性
层级一学业水平达标
1．如图是函数y＝f(x)的图象，则此函数的单调递减区间的个数是()
A．1B．2
C．3 D．4
解析：选B由图象，可知函数y＝f(x)的单调递减区间有2个．故选B.
2．下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是()
A．y＝|x| B．y＝3－x
1
C．y＝D．y＝－x2＋4
x
1 解析：选A因为－1<0，所以一次函数y＝－x＋3在R上递减，反比例函数y＝在(0，＋
x
∞)上递减，二次函数y＝－x2＋4在(0，＋∞)上递减．故选A.
1
3．函数y＝的单调递减区间是()
x
A．(0，＋∞)B．(－∞，0)
C．(－∞，0)和(0，＋∞)D．(－∞，0)∪(0，＋∞)
1 1
解析：选C函数y＝的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．由函数的图象可知y＝在区
x x
间(－∞，0)和(0，＋∞)上分别是减函数．
3
4．函数y＝(x≠－2)在区间[0,5]上的最大值、最小值分别是()
x＋2
3 3
A. ，0
B. ，0
7 2
3 3 1
C. ，D．最小值为－，无最大值
2 7 4
3 3
解析：选C因为函数y＝在区间[0,5]上单调递减，所以当x＝0时，y max＝，当x＝
x＋2 2 3
5时，y min＝.故选C.
7
5．函数f(x)＝|x|，g(x)＝x(2－x)的递增区间依次是()
A．(－∞，0]，(－∞，1] B．(－∞，0]，(1，＋∞)
C．[0，＋∞)，(－∞，1] D．[0，＋∞)，[1，＋∞)
解析：选C分别作出f(x) 与g(x)的图象得：f(x)在[0，＋∞)上递增，g(x)在(－∞，
- 1 -
1]上递增，选 C.
6．函数 f (x )＝|2x －1|的递减区间是________． 解析：函数 f (x )＝|2x －1|的图象如图所示：
1 ∴
递减区间为
(
2]
. －∞， 1
答案：
(
2]
－∞，
7．若 f (x )在 R 上是减函数，则 f (－1)________f (a 2＋1)(填“>”或“<”或“≥”或 “≤”)．
解析：∵f (x )在 R 上是减函数，∴对任意 x 1，x 2，若 x 1<x 2均有 f (x 1)>f (x 2)．又∵－1<a 2 ＋1，∴f (－1)>f (a 2＋1)．
答案：>
1
8．已知函数 f (x )为定义在区间[－1,1]上的增函数，则满足 f (x )<f (2 )的实数 x 的取
值范围为________．
解析：由题设得Error! 1 解得－1≤x < . 2
1
答案：[
－1，
2
)
1
9．判断并证明函数 f (x )＝－ ＋1在(0，＋∞)上的单调性．
x 1
解：函数 f (x )＝－ ＋1在(0，＋∞)上是增函数．证明如下：
x 设 0＜x 1<x 2，则 Δx ＝x 2－x 1＞0 Δy ＝f (x 2)－f (x 1)
1
1 x 2－x 1
＝
(
－
＝
，
－
＋1
) (－ ＋1)
x 2
x 1
x 1x 2
由 x 1，x 2∈(0，＋∞)，得 x 1x 2>0，∴Δy ＞0 1
∴f (x )＝－ ＋1在(0，＋∞)上是增函数．
x
x
10．求函数f(x)＝在区间[2,5]上的最大值与最小值．
x－1
解：任取2≤x1<x2≤5，则Δx＝x2－x1＞0，
Δy＝f(x2)－f(x1)
- 2 -
x2 x1 x1－x2
＝－＝.
x2－1 x1－1 x2－1x1－1
∵2≤x1<x2≤5，
∴x2－1>0，x1－1>0，x1－x2＝－Δx＜0，
∴Δy＜0.
x
所以f(x)＝在区间[2,5]上是单调减函数．
x－1
2 5 5
所以f(x)max＝f(2)＝＝2，f(x)min＝f(5)＝＝.
2－1 5－1 4
层级二应试能力达标
1．下列函数在[1,4]上最大值为3的是()
1
A．y＝＋2B．y＝3x－2
x
C．y＝x2 D．y＝1－x
解析：选A B、C在[1,4]上均为增函数，A、D在[1, 4]上均为减函数，代入端点值，即可求得最值，故选A.
2．若函数f(x)在区间(a，b)上是增函数，在区间(b，c)上也是增函数，则函数f(x)在区
间(a，b)∪(b，c)上()
A．必是增函数B．必是减函数
C．是增函数或减函数D．无法确定单调性
1 解析：选D函数在区间(a，b)∪(b，c)上无法确定单调性．如y＝－在(0，＋∞)上是
x
增函数，在(－∞，0)上也是增函数，但在(－∞，0)∪(0，＋∞)上并不具有单调性．3．下列四个函数在(－∞，0)上为增函数的是()
|x| x2 x
①y＝|x|＋1；②y＝；③y＝－；④y＝x＋.
x|x| |x|
A．①②B．②③
C．③④D．①④
|x| 解析：选C
①y＝|x|＋1＝－x＋1(x<0)在(－∞，0)上为减函数；②y＝＝－1(x<0)
x
x2
在(－∞，0)上既不是增函数也不是减函数；③y＝－＝x(x<0)在(－∞，0)上是增函数；④
|x|
x
y＝x＋＝x－1(x<0)在(－∞，0)上也是增函数．
|x|
f x2－f x1
4．定义在R上的函数f(x)，对任意x1，x2∈R(x1≠x2)，有<0，则()
x2－x1
A．f(3)<f(2)<f(1)
B．f(1)<f(2)<f(3)
- 3 -
C．f(2)<f(1)<f(3)
D．f(3)<f(1)<f(2)
f x2－f x1
解析：选A对任意x1，x2∈R(x1≠x2)，有<0，则x2－x1与f(x2)－f(x1)
x2－x1
异号，则f(x)在R上是减函数．又3>2>1，则f(3)<f(2)<f(1)．故选A.
b
5．若函数y＝－在(0，＋∞)上是减函数，则b的取值范围是________．
x
解析：设0<x1<x2，则Δx＝x2－x1＞0，由题意知，
b b b x2－x1Δy
＝f(x2)－f(x1)＝－＋＝＜0.
x2 x1 x1x2
∵0<x1<x2，x2－x1＞0，x1x2>0，
∴b<0.
答案：(－∞，0)
6．函数y＝f(x)的定义域为[－4,6]，若函数f(x)在区间[－4，－2]上单调递减，在区间(－2,6]上单调递增，且f(－4)<f(6)，则函数f(x)的最小值是________，最大值是________．解析：作出符合条件的函数的简图(图略)，可知f(x)min＝f(－2)，f(x)max＝f(6)．
答案：f(－2)f(6)
7．作出函数f(x)＝Error!的图象，并指出函数f(x)的单调区间．
解：f(x)＝Error!的图象如图所示．
由图可知，函数f(x)＝Error!的单调减区间为(－∞，1]和(1,2)，单调
增区间为[2，＋∞)．
8．已知函数f(x)对任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x>0时，f(x)<0，f(1)＝－
2
.
3
(1)求证：f(x)是R上的单调减函数．
(2)求f(x)在[－3,3]上的最小值．
解：(1)证明：设x1，x2是任意的两个实数，且x1<x2，
则x2－x1>0，因为x>0时，f(x)<0，
所以f(x2－x1)<0，
又因为x2＝(x2－x1)＋x1，
所以f(x2)＝f[(x2－x1)＋x1]
＝f(x2－x1)＋f(x1)，
所以f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)<0，
所以f(x2)<f(x1)．
- 4 -
所以f(x)是R上的单调减函数．
(2)由(1)可知f(x)在R上是减函数，
所以f(x)在[－3,3]上也是减函数，
所以f(x)在[－3,3]上的最小值为f(3)．
2
而f(3)＝f(1)＋f(2)＝3f(1)＝3×( ＝－2.
)
－3
所以函数f(x)在[－3,3]上的最小值是－2.
- 5 -。