福建省福州市2020年二年级下学期数学期中考试试卷(I)卷

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福建省福州高级中学2020-2021学年高二下学期期中考试化学试题

2021年福州市高级中学高二下学期期中考试化学试题试卷总分∶（50分+100分）完卷时间∶90 分钟可能用到的相对原子质量∶S-32 Ga-70 N-14 O-16第I卷模块水平测试（50分）一、选择题（每小题仅有一个选项符合题目要求每小题3 分，共39 分）1.原子结构模型的演变图中，（1）道尔顿实心球式原子模型，（2）为卢瑟福行星运转式原子模型，（3）为汤姆生葡萄干面包式原子模型，（4）为近代量子力学原子模型，（5）为玻尔轨道式原子模型。

其中符合历史演变顺序的一组排列是（）A.(1)(3)(2)(5)(4)B.(1)(2)(3)(4)(5)C. (1)(3)(5)(4)(2)D. (1)(5)(3)(2)(4)2.下列说法中正确的是（）A. 2p和3p 轨道形状均为哑铃形，能量也相等B. 磷元素基态原子的电子排布图为C. 铁元素基态原子的电子排布式为1s22s22p63s33p43d64s2D. Cu原子的简化电子排布式∶[Ar]3d104s1 ;外围电子排布式∶3d104s13.基态硫离子核外具有多种不同能量的电子( )A.18 种B.16 种C.5 种D.3种4．某元素的最外层电子数为2，外围电子数为5，并且是同族中原子序数最小的元素，关于该元素的判断错误的是( )A.电子排布式为∶1s22s22p63s23p63d34s2B.该元素为VC.该元素为∶A 族元素D.该元素位于d区5.有关晶体的下列说法中不正确的是（）A．在NaCl晶体中，距Na+最近的Cl-形成正八面体B. 在NaCl晶体中，每个晶胞平均占有4个Na+C．金属导电是因为在外加电场作用下产生自由电子D. 铜品体为面心立方堆积，铜原子的配位数为126.下列分子的电子式书写正确的是量（）A. 氨气∶B. 四氯化碳∶C. 氮气∶D. 二氧化碳∶7．下列物质的分子中既有σ键，又有π键的是( )∶HCl ∶H2O ∶N2 ∶H2O2∶C2H4∶C2H2A.∶∶∶B. ∶∶∶∶C. ∶∶∶D.∶∶∶8.下列说法正确的是（N A为阿伏加德罗常数）（）A. 1mol P4含有P—P键的个数为4N AB.1 mol SiC中含有C—Si键的个数为2N AC.1 mol SiO2中含Si—O 键的个数为2N AD.含C为1 mol 的金刚石中含有C—C键的个数为2N A9.下列各组物质各自形成晶体，均属于分子晶体的化合物是（）A. NH3、HD、C2H20B. PCl3、CO2、H2SO4C. SO2、BN、P2O5D. CCl4、Na2S、H2O210.下列变化需克服相同类型作用力的是（）A. 碘和干冰的升华B.硅和C60的熔化C. 氯化氢和氯化钠的溶解D. 溴和汞的气化11. 下列有关晶体的说法正确的是（）A. 分子晶体中分子间作用力越大，分子越稳定B. 原子晶体中共价键越强，晶体熔点越高C. 冰熔化时水分子中共价键发生断裂D. 氯化钠溶于水时离子键未被破坏12．在下列化学反应中，既有离子键、极性键、非极性键断裂，又有离子键、极性键、非极性键形成的是（）A.2Na2O2 + 2H2O === 4NaOH + O2↑B. MgN3 + 6H2O === 3Mg(OH)2↓+2NH3↑C. Cl2 + H2O === HCIO + HClD. NH4CI + NaOH === NaCl + NH3↑+H2O13.下列物质中不具有手性碳原子的是（）A.乳酸∶ CH3-CH（OH）-COOHB.氨基乙酸∶ H2N-CH2-COOHC.丙醛糖∶ CH2OH-CH（OH）-CHOD. A-氨基丙酸∶ CH3-CH（NH2）-COOH二、非选择题（11分）32.（11分）一种离子晶体的晶胞如图，该品体可以看作阳离子A作面心立方最密堆积，阴离B填充其中。

精品解析：福建省福州市八县(市、区)一中2022-2023学年高一下学期期中联考数学试题(解析版)

2020-2023年第二学期福州八县（市，区）一中期中联考数学试题一，单选题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.1. 已知复数i(1i)z =-,则其共轭复数z =（）A. 1i -- B. 1i -+ C. 1i - D. 1i+【结果】C 【思路】【思路】由复数乘法法则计算出z 后可得其共轭复数．【详解】2i(1i)i i 1i z =-=-=+,所以1i z =-．故选：C ．2. 下面各式正确地是（）A. AD AB DC BC --=B. BO BA MB OM AB-++=C. 0AB CB AC -+= D. 0AB BD AC CD --+=【结果】B 【思路】【思路】由向量地加减法法则计算．【详解】AD AB DC BD DC BC --=-≠。

BO BA MB OM BO OM MB AB AB -++=+++= 。

2AB CB AC AB BC AC AC -+=++= 。

2AB BD AC CD AB DB CA CD CB --+=+++= ．故选：B ．3. 下面命题中正确地是（）A. 侧面都是矩形地直四棱柱是长方体B. 三棱锥三个侧面不可能都是直角三角形C. 圆台地任意两款母线延长后一定交于一点D. 有两个面平行且相似,其他各面都是梯形地多面体是棱台【结果】C 【思路】的【思路】依据长方体，棱锥，圆台，棱台地概念与性质判断．【详解】侧面都是矩形地直四棱柱地底面可以不是矩形,不一定是长方体,A 错。

如图三棱锥A BCD -,AB ⊥平面BCD ,CD BC ⊥,则此三棱锥三个侧面,,ABC ACD ABD !!!都是直角三角形,B 错。

圆台是由圆锥用平行于底面地平面截得地,因此其任意两款母线延长后一定交于一点,C 正确。

如下图几何体,有两个面ABCD 和1111D C B A 平行且相似,其他各面都是梯形,但它不是棱台,D 错．故选：C ．4. 一质点受到平面上地三个力F 1,F 2,F 3(单位：牛顿)地作用而处于平衡状态,已知F 1,F 2成90°角,且F 1,F 2地大小分别为2和4,则F 3地大小为（）A. 6B. 2C. D. 【结果】C 【思路】【思路】依据向量地合成法则以及向量地模长公式,进行计算即可．【详解】由题意知F 3＝－(F 1＋F 2),所以22223121212||()241620,F F F F F F F =+=++⋅=+=∴|F 3|＝故选：C.5. 已知向量()3cos53,3sin 53OA =︒︒ ,(4cos ,4sin )OB θθ= ,若OA OB ⋅=-,则AOB 地面积等于（）A. 3B.C.D.【结果】A 【思路】【思路】由数量积求出AOB ∠地余弦,从而得出正弦值,再由三角形面积公式计算.【详解】由已知3OA = ,4OB =,记AOB α∠=,则cos 34cos OA OB OA OB αα⋅==⨯=- ,cos α=,显然(0,)απ∈,则1sin 2α=,111sin 343222AOBS OA OB α=⨯=⨯⨯⨯= !.故选：A.6. 斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美地“黄金螺旋”,如图给出了它地画法：以斐波那契数1,1,2,3,5,…为边地正方形依序拼成长方形,然后在每个正方形中画一个圆心角为90︒地圆弧,这些圆弧所连起来地弧线就是斐波那契螺旋线.假如用图中接下来地一段圆弧所对应地扇形做圆锥地侧面,那么该圆锥地表面积为（）A. 16πB. 20πC. 32πD. 36π【结果】B 【思路】【思路】由斐波那契数地规律判断出接下来地圆弧所在地扇形地半径是3+5=8.设圆锥底面半径为r ,求出r =2,即可求出圆锥地表面积.【详解】由斐波那契数地规律可知,从第三项起,每一个数都是前面两个数之和,即接下来地圆弧所在地扇形地半径是3+5=8,对应地弧长12844l ππ=⨯⨯=.设圆锥底面半径为r ,则24r ππ=,即r =2.该圆锥地表面积为21842202πππ⨯⨯+⨯=.故选：B.7. 第四届数字中国建设峰会将于2023年4月25日至26日在福州举办,福州市以此为契机,加快推进“5G +光网”双千兆城市建设.如图,某县区域地面有四个5G 基站A ,B ,C ,D .已知C ,D 两个基站建在江地南岸,距离为。

2022-2023学年福建省厦门市高一年级下册学期期中考试数学试题【含答案】

福建省厦门市2022—2023学年度第二学期期中考试高一年数学试卷考生注意：1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将答题卡交回.一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知i 为虚数单位，复数22iz i +=-，则复数z 的模为（）．A.2B.5C.1D.2【答案】C 【解析】【分析】根据复数除法运算，先化简z ；再由复数模的计算公式，即可得出结果.【详解】因为复数()222342555i i z ii ++===+-，所以91612525z =+=．故选：C ．2.已知平面向量()1,a m = ，(),2b n = ，()3,6c = ，若a c ∥ ，b c ⊥，则实数m 与n 的和为()A.6B.6- C.2D.2-【答案】D 【解析】【分析】根据a c ∥ 、b c ⊥分别求出m 和n 即可．【详解】a ∥c，1236mm ∴=⇒=；b c ⊥ ，0b c ∴⋅=，31204n n ∴+=⇒=-；242m n ∴+=-=-．故选：D ．3.已知圆锥PO ，其轴截面（过圆锥旋转轴的截面）是底边长为6m ，顶角为2π3的等腰三角形，该圆锥的侧面积为（）A.26πmB.263πm C.233πm D.2123πm 【答案】B 【解析】【分析】运用圆锥侧面积公式计算即可.【详解】如图所示，设圆锥的半径为r ，母线为l ，由题意知，132r OB AB ===，在Rt POB △中，112ππ2233BPO BPA ∠=∠=⨯=，所以323π3sin 32OB l BP ====，所以圆锥侧面积为2ππ32363πm rl =⨯⨯=.故选：B.4.中国古代数学专著《九章算术》的第一章“方田”中载有“半周半径相乘得积步”，其大意为：圆的半周长乘以其半径等于圆面积.南北朝时期杰出的数学家祖冲之曾用圆内接正多边形的面积“替代”圆的面积，并通过增加圆内接正多边形的边数n 使得正多边形的面积更接近圆的面积，从而更为“精确”地估计圆周率π.据此，当n 足够大时，可以得到π与n 的关系为（）A.360πsin 2n n︒≈B.180πsinn n ︒≈ C.360π21cos n n ︒⎛⎫≈- ⎪⎝⎭ D.180π1cos 2n n︒≈-【答案】A 【解析】【分析】设圆的半径为r ，由题意可得221360πsin2r n r n ︒≈⋅⋅⋅，化简即可得出答案.【详解】设圆的半径为r ，将内接正n 边形分成n 个小三角形，由内接正n 边形的面积无限接近圆的面即可得：221360πsin2r n r n︒≈⋅⋅⋅，解得：360πsin 2n n ︒≈.故选：A .5.在ABC 中，60A ∠=︒，1b =，ABC 的面积为3，则sin aA为（）．A.8381B.2393C.2633D.27【答案】B 【解析】【分析】由已知条件，先根据三角形面积公式求出c 的值，然后利用余弦定理求出a 的值，即可得sin aA的值.【详解】解：在ABC 中，因为60A ∠=︒，1b =，ABC 的面积为3，所以113sin 12223ABC bc A S c ==⨯⨯⨯= ，所以4c =，因为2222212cos 14214132a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯=，所以13a =，所以13239sin 332a A ==.故选：B.6.已知m ，n 为两条不同的直线，,αβ为两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若//,//,//m n αβαβ，则//m nB.若//,//,m m n αβαβ⋂=，则//m nC.若//,//αβn n ，则//αβD.若//,m n n α⊂，则//m α【答案】B 【解析】【分析】A ：结合两直线的位置关系可判断//m n 或,m n 异面；B ：结合线面平行的性质可判断//m n ；C ：结合线面的位置关系可判断//αβ或,αβ相交；D ：结合线面的位置关系可判断//m α或m α⊂.【详解】A ：若//,//,//m n αβαβ，则//m n 或,m n 异面，故A 错误；B ：因为//m α，所以在平面α内存在不同于n 的直线l ，使得//l m ，则l //β，从而//l n ，故//m n ，故B 正确；C ：若//,//αβn n ，则//αβ或,αβ相交，故C 错误；D ：若//,m n n α⊂，则//m α或m α⊂，故D 错误.故选：B7.如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，棱柱的侧面均为矩形，11AA =，3AB BC ==，1cos 3ABC ∠=，P 是1A B 上的一动点，则1AP PC +的最小值为（）A.3B.2C.5D.7【答案】D 【解析】【分析】连接1BC ，得11A BC V ，以1A B 所在直线为轴，将11A BC V 所在平面旋转到平面11ABB A ，设点1C 的新位置为C '，连接AC '，再根据两点之间线段最短，结合勾股定理余弦定理等求解AC '即可.【详解】连接1BC ，得11A BC V ，以1A B 所在直线为轴，将11A BC V 所在平面旋转到平面11ABB A ，设点1C 的新位置为C '，连接AC '，则有1C AP PC AP PC A '++'=≥，如图，当,,A P C '三点共线时，则AC '即为1AP PC +的最小值.在三角形ABC 中，3AB BC ==，1cos 3ABC ∠=，由余弦定理得：2212cos 332323AC AB BC AB BC B =+-⋅=+-⨯⨯=,所以112A C =，即12A C '=,在三角形1A AB 中，11AA =，3AB =，由勾股定理可得：2211132A B AA AB =+=+=,且160AA B ∠=︒.同理可求：12C B =，因为11112A B BC A C ===，所以11A BC V 为等边三角形，所以1160BA C ∠=︒，所以在三角形1AAC '中，111120AA C AA B BA C ''∠=∠+∠=︒,111,2AA A C '==,由余弦定理得：11421272AC ⎛⎫'=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭.故选：D.8.已知ABC 中，π3A ∠=，D ，E 是线段BC 上的两点，满足BD DC =，BAE CAE ∠=∠，192AD =，635AE =，则BC 长度为（）A.19 B.23 C.7 D.6319-【答案】C 【解析】【分析】由BAE CAE ABCS S S +=△△△可得出56b c bc +=，由1()2AD AB AC =+ 两边平方可求得,,bc b c +然后在ABC 中利用余弦定理可求得答案.【详解】如图，记,,BC a AC b AB c ===,BAE CAE ABC S S S += △△△，π6BAE CAE ∠=∠=，635AE =，1631631sin sin sin 25625623πππc b bc ∴⨯⨯+⨯⨯=，333()104b c bc ∴+=，即56b c bc +=，1()2AD AB AC =+ ，192AD =，()()2222211244AD AB AB AC AC b c bc ∴=+⋅+=++ 2211125119()()4443644b c bc bc bc =+-=⨯-=，即225()366840bc bc --=，(6)(25114)0bc bc -+=，6,5,bc b c ∴=∴+=在ABC 中，2222222cos()32513π87a b c bc b c bc b c bc =+-=+-=+-=-=,7BC a ∴==.故选：C.二、选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．9.已知圆台的上底半径为1，下底半径为3，球O 与圆台的两个底面和侧面都相切，则（）A.圆台的母线长为4B.圆台的高为4C.圆台的表面积为26πD.球O 的表面积为12π【答案】ACD 【解析】【分析】作出圆台的轴截面，设圆台上、下底面圆心分别为12,O O ，半径分别为12,r r ，连接,,OD OE OA ，利用平面几何知识得到2123R r r ==，即可逐项计算求解．【详解】设梯形ABCD 为圆台的轴截面，则内切圆O 为圆台内切球的大圆，如图，设圆台上、下底面圆心分别为12,O O ，半径分别为12,r r ，则12,,O O O 共线，且1212,O O AB O O CD ⊥⊥，连接,,OD OE OA ，则,OD OA 分别平分,DAB ADC ∠∠，故12,r r E AE D ==，,,22ππODA DOA OE D OA A D +∠=∠=⊥∠，故2E O A E DE =⋅，即2123R r r ==，解得3R =，母线长为124r r +=，故A 正确；圆台的高为223R =，故B 错误；圆台的表面积为22π1π3π(13)426π⨯+⨯+⨯+⨯=，故C 正确；球O 的表面积为24π12πS R ==，故D 正确.故选：ACD.10.已知1z 与2z 是共轭虚数，则（）A.2212z z < B.2122z z z =C.12R z z +∈ D.12R z z ∈【答案】BC 【解析】【分析】设出复数12,z z ，根据复数的运算，对每个选项进行逐一分析，即可判断.【详解】由题意，复数1z 与2z 是共轭虚数，设1i z a b =+、2i z a b =-，R a b ∈、且0b ≠，对于A 项，22212i z a b ab =-+，22222i z a b ab =--，当0a ≠时，由于复数不能比较大小，故A 项不成立；对于B 项，因为2212z z a b ⋅=+，2222||z a b =+，所以2122||z z z ⋅=，故B 项正确；对于C 项，因为122R z z a +=∈，所以C 选项正确；对于D 项，由222122222()2()(i i i i)i i z a b a b a b abz a b a b a b a b a b ++-===+--+++不一定是实数，故D 项不成立.故选：BC.11.对于ABC ，有如下命题，其中正确的有（）A.若22sin sin A B =，则ABC 为等腰三角形B.若sin cos A B =，则ABC 为直角三角形C.若222sin sin cos 1A B C ++<，则ABC 为钝角三角形D.若3,1,30AB AC B === ，则ABC 的面积为34或32【答案】ACD 【解析】【分析】A.根据条件得到,A B 的关系，由此进行判断；B.利用诱导公式直接分析得到,A B 的关系并判断；C.利用正弦定理得到222,,a b c 的关系，结合余弦定理进行判断；D.先利用正弦定理计算出sin C 的值，由此可求,C A 的值，结合三角形面积公式进行计算并判断.【详解】对于A ：22sin sin ,A B A B ABC =∴=⇒ 是等腰三角形，A 正确；对于B ：sin cos ,2A B A B π=∴-=或,2A B ABC π+=∴ 不一定是直角三角形，B 错误；对于C ：2222222222sin sin 1cos ,sin ,cos 02A B C C a a abb bc C c ++<--==∴+∴<< ，ABC ∴ 为钝角三角形，C 正确；对于D ：由正弦定理，得sin 3sin .2AB B C AC ⋅==而,60AB AC C >∴= 或120,C = 90A ∴= 或30,A =当90,60A C =︒=︒时，131322ABCS =⨯⨯=，当30,120A C =︒=︒时，1311sin12024ABC S =⨯⨯⨯︒=，32ABC S ∴=或3,4D 正确.故选：ACD.12.“阿基米德多面体”也称为半正多面体(semi -regularsolid )，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美．如图所示，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种半正多面体．已知2AB =，则关于如图半正多面体的下列说法中，正确的有（）A.该半正多面体的体积为203B.该半正多面体过,,A B C 三点的截面面积为332C.该半正多面体外接球的表面积为8πD.该半正多面体的顶点数V 、面数F 、棱数E 满足关系式2V F E +-=【答案】ACD 【解析】【分析】根据几何体的构成可判断A ，由截面为正六边形可求面积判断B ，根据外接球为正四棱柱可判断C ，根据顶点，面数，棱数判断D.【详解】如图，该半正多面体，是由棱长为2的正方体沿各棱中点截去8个三棱锥所得到的.对于A ，因为由正方体沿各棱中点截去8个三棱锥所得到的，所以该几何体的体积为：11202228111323V =⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=，故正确；对于B ，过,,A B C 三点的截面为正六边形ABCFED ，所以()2362334S =⨯⨯=，故错误；对于C ，根据该几何体的对称性可知，该几何体的外接球即为底面棱长为2,侧棱长为2的正四棱柱的外接球，所以该半正多面体外接球的表面积2244(2)8S R πππ==⨯=，故正确；对于D ，几何体顶点数为12，有14个面，24条棱，满足1214242+-=，故正确.故选：ACD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.i 是虚数单位，已知22i ωω-=-，写出一个满足条件的复数ω．______．【答案】1i ω=+（答案不唯一，满足i a a ω=+（R a ∈）均可）【解析】【分析】运用复数的模的运算公式计算即可.【详解】设i a b ω=+，（,R a b ∈），则22|2||(2)i |(2)a b a b ω-=-+=-+，22|2i ||(2)i |(2)a b a b ω-=+-=+-，因为|2||2i |ωω-=-，所以2222(2)(2)a b a b -+=+-，解得：a b =，所以i a a ω=+，（R a ∈）所以可以取1i ω=+.故答案为：1i ω=+（答案不唯一，满足i a a ω=+（R a ∈）均可）.14.在矩形ABCD 中，已知2AB =，1BC =，点P 是对角线AC 上一动点，则AP BP ⋅的最小值为___________.【答案】45-##0.8-.【解析】【分析】以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立直角坐标系，利用平面向量的坐标运算求出AP BP ⋅，进而结合二次函数的性质即可求出结果.【详解】以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立直角坐标系，又因为2AB =，1BC =，所以()()()()0,0,2,0,2,1,0,1,A B C D 则直线AC 的方程为12y x =，所以设()2,P m m ，且01m ≤≤，而()()2,,22,AP m m BP m m ==-,所以()2222AP BP m m m ⋅=-+ 254m m=-结合二次函数的性质可知，当25m =时，AP BP ⋅ 有最小值，且最小值为222454555⎛⎫⨯-⨯=- ⎪⎝⎭，故答案为：45-.15.太湖中有一小岛C ，沿太湖有一条正南方向的公路，一辆汽车在公路A 处测得小岛在公路的南偏西15°的方向上，汽车行驶1km 到达B 处后，又测得小岛在南偏西75°的方向上，则小岛到公路的距离是________km.【答案】36【解析】【详解】如图所示，过C 作CD ⊥AB ，垂足为D ，∠A=15°，∠CBD=75°，AB=1km ，△ABC 中，BC=00sin15sin 60，△CBD 中，CD=BCcos15°=001sin 302sin 60=36km ．故填36．16.如图，平面四边形ABCD 中，其中3os 4c DAB ∠=，BAC DAC ∠=∠，AD AB <，且5AB =，14AC BD ==，若(),R AC AB AD λμλμ=+∈，则λμ+=______．【答案】75##1.4【解析】【分析】运用余弦定理求得AD 的值，在AB 上取点E ，使得2AE AD ==，结合角平分线性质可得AF D E ⊥，再运用向量加法可求得结果.【详解】在ABD △中，由余弦定理得：2222cos BD AB AD AB AD BAD =+-⋅⋅∠，即：231425254AD AD =+-⨯⨯，解得：2AD =或112AD =，又因为5AD AB <=，所以2AD =.在AB 上取点E ，使得2AE =，连接DE ，交AC 于点F ，如图所示，又因为AC 为DAB ∠的角平分线，所以AF D E ⊥，F 为DE 的中点，在ADE V 中，由余弦定理得：22232222224DE =+-⨯⨯⨯=，所以2211141()42222AF AE DE AC =-=-==，所以225AC AF AE AD AB AD ==+=+，所以2=5λ，1μ=，所以75λμ+=.故答案为：75.四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知复数z 满足2z z ⋅=，且z 的虚部为-1，z 在复平面内所对应的点在第四象限．（1）求z ；（2）若z ，2z 在复平面上对应的点分别为A ，B ，O 为坐标原点，求∠OAB ．【答案】（1）1i z =-（2）π2OAB ∠=【解析】【分析】（1）运用复数几何意义设出z ，再结合共轭复数定义写出z ，再运用复数乘法运算求得结果.（2）运用复数几何意义、两点间距离公式及勾股定理可求得结果.【小问1详解】由题意知，设i z a =-（0a >），则i z a =+，所以222i 12z z a a ⋅=-=+=，解得：1a =，所以1i z =-.【小问2详解】由（1）知，1i z =-，所以22(1i)2i z =-=-，所以(1,1)A -，(0,2)B -，如图所示，所以(1,1)AO =- ，(1,1)AB =--，22||(1)12AO =-+= ，22||(1)(1)2AB =-+-= ，所以11cos 02||||AO AB OAB AO AB ⋅-∠===.所以π2OAB ∠=.18.如图，已知P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，M 、N 分别是AB PC 、的三等分点（M 靠近B ，N 靠近C ）；（1）求证：//MN 平面PAD ．（2）在PB 上确定一点Q ，使平面//MNQ 平面PAD ．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）过点N 作//NE CD ，交PD 于点E ，连接AE ，证得证得四边形AMNE 为平行四边形，得到//MN AE ，结合线面平行的判定定理，即可求解；（2）取PB 取一点Q ，使得13BQ BP =，证得//MQ PA ，得到//MQ 平面PAD ，结合（1）中//MN 平面PAD ，利用面面平行的判定定理，证得平面//MNQ 平面PAD ．【小问1详解】证明：过点N 作//NE CD ，交PD 于点E ，连接AE ，因为N 为PC 的三等分点，可得23NE CD =，又因为M 为AB 的三等分点，可得23AM AB =，因为//AB CD 且AB CD =，所以//AM NE 且AM NE =，所以四边形AMNE 为平行四边形，所以//MN AE ，又由MN ⊄平面PAD ，AE ⊂平面PAD ，所以//MN 平面PAD .【小问2详解】证明：取PB 取一点Q ，使得13BQ BP =，即点Q 为PB 上靠近点B 的三等点，在PAB 中，因为,M Q 分别为,AB PB 的三等分点，可得MB BQAB BP=，所以//MQ PA ，因为MQ ⊄平面PAD ，PA ⊂平面PAD ，所以//MQ 平面PAD ；又由（1）知//MN 平面PAD ，且MN MQ M ⋂=，,MN MQ ⊂平面MNQ ，所以平面//MNQ 平面PAD ，即当点Q 为PB 上靠近点B 的三等点时，能使得平面//MNQ 平面PAD ．19.如图，在ABC 中，π3BAC ∠=，D 为AB 中点，P 为CD 上一点，且满足13AP t AC AB =+ ，ABC 的面积为332，（1）求t 的值；（2）求AP的最小值.【答案】（1）13t =（2）2【解析】【分析】（1）利用,,C P D 三点共线，可设DP mDC =，推出1(1)2AP mAC m AB =+- ，结合13AP t AC AB =+ ，即可求得t 的值；（2）利用（1）的结论可得2221(2)9A AC AB A PC AB ++=⋅ ，利用三角形面积得出||||6AC AB ⋅=，结合基本不等式即可求得答案.【小问1详解】在ABC 中，D 为AB 中点，则,,C P D 三点共线，设,()DP mDC AP AD m AC AD =∴-=- ,故1(1)(1)2AP mAC m AD mAC m AB =+-=+- ，又13AP t AC AB =+ ，故11(1)23m t m =⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得13m t ==，即13t =.【小问2详解】由（1）知1133AP AC AB =+，所以2222211()(2)1339AC AB AC AP AP AB AC AB +=+=+⋅=221(||||2||||cos )9AC AB AC AB BAC =++⋅∠1(2||||2||||cos )9AC AB AC AB BAC ≥⋅+⋅∠ ，当且仅当||||AC AB = 时取等号，又332ABC S =△，则133||||sin 22AC AB BAC ⋅∠= ,即1π33||||sin ,||||6232AC AB AC AB ⋅=∴⋅= ，故21π(2626c 2os )2,93AP AP ≥⨯+⨯=≥∴ ，即AP 的最小值为2，当且仅当||||6AC AB ==时取等号.20.ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且π2sin 6b c A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（1）求C ；（2）若1c =，D 为ABC 的外接圆上的点，2BA BD BA ⋅= ，求四边形ABCD 面积的最大值.【答案】（1）π6；（2）312+.【解析】【分析】（1）根据正弦定理以及两角和的正弦公式化简，即可得出3tan 3C =，进而根据角的范围得出答案；（2）解法一：由已知可推出BC CD ⊥，然后根据正弦定理可求出22R =，进而求出2BD =，3AD =.设BC x =，CD y =，表示出四边形的面积，根据基本不等式即可得出答案；解法二：根据投影向量，推出BC CD ⊥，然后同解法一求得3AD =.设CBD θ∠=，表示出四边形的面积，根据θ的范围，即可得出答案；解法三：同解法一求得3AD =，设点C 到BD 的距离为h ，表示出四边形的面积，即可推出答案；解法四：建系，由已知写出点的坐标，结合已知推得BD 是O 的直径，然后表示出四边形的面积，即可推出答案.【小问1详解】因为π2sin 6b c A ⎛⎫=+⎪⎝⎭，在ABC 中，由正弦定理得，i s n in 2sin πs 6B A C ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.又因为()()sin sin πsin B A C A C =--=+，所以()πsin 2s n sin i 6A C A C ⎛⎫+=+⎪⎝⎭，展开得sin cos cos sin sin sin cos 31222A C A C C A A ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭，即sin cos si 30n sin A C C A -=，因为sin 0A ≠，故cos 3sin C C =，即3tan 3C =.又因为()0,πC ∈，所以π6C =.【小问2详解】解法一：如图1设ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为R ，因为2BA BD BA ⋅= ，所以()0BA BD BA ⋅-= ，即0BA AD ⋅=，所以DA BA ⊥，故BD 是O 的直径，所以BC CD ⊥.在ABC 中，1c =，122πsin sin 6c A R BC =∠==，所以2BD =.在ABD △中，223AD BD AB =-=.设四边形ABCD 的面积为S ，BC x =，CD y =，则224x y +=，ABD CBD S S S =+△△11312222AB BC xyAD CD =+⋅=⋅+2231312222x y +≤+⋅=+，当且仅当2x y ==时，等号成立.所以四边形ABCD 面积最大值为31 2+.解法二：如图1设ABC的外接圆的圆心为O，半径为R，BD在BA上的投影向量为BAλ，所以()2BA BD BA BA BAλλ⋅=⋅=.又22BA BD BA BA⋅==，所以1λ=，所以BD在BA上的投影向量为BA，所以DA BA⊥.故BD是O的直径，所以BC CD⊥.在ABC中，1c=，122πsin sin6cARBC=∠==，所以2BD=，在ABD△中，223AD BD AB=-=.设四边形ABCD的面积为S，CBDθ∠=，π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则2cosCBθ=，2sinCDθ=，所以ABD CBDS S S=+△△1122BAD CDAB C=⋅⋅+3sin22θ=+，当π22θ=时，S最大，所以四边形ABCD 面积最大值为312+.解法三：如图1设ABC的外接圆的圆心为O，半径为R，因为2BA BD BA ⋅= ，所以()0BA BD BA ⋅-= ，即0BA AD ⋅= ，所以DA BA ⊥.故BD 是O 的直径，所以BC CD ⊥.在ABC 中，1c =，122πsin sin 6c A R BC =∠==，所以2BD =.在ABD △中，223AD BD AB =-=.设四边形ABCD 的面积为S ，点C 到BD 的距离为h ，则ABD CBD S S S =+△△1122AD h AB BD ⋅+⋅=32h =+，当1h R ==时，S 最大，所以四边形ABCD 面积最大值为312+.解法四：设ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为R ，在ABC 中，1c =，122πsin sin 6c A R BC =∠==，故ABC 外接圆O 的半径1R =.即1OA OB AB ===，所以π3AOB ∠=.如图2，以ABC 外接圆的圆心为原点，OB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系xOy ，则13,22A ⎛⎫⎪⎪⎝⎭，()10B ,.因为C ，D 为单位圆上的点，设()cos ,sin C αα，()cos ,sin D ββ，其中()0,2πα∈，()0,2πβ∈.所以13,22BA ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，()cos 1,sin BD ββ=- ，代入2BA BD BA ⋅= ，即1BA BD ⋅=，可得113cos sin 1222ββ-++=，即π1sin 62β⎛⎫-= ⎪⎝⎭.由()0,2πβ∈可知ππ11π,666β⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以解得ππ66β-=或π5π66β-=，即π3β=或πβ=.当π3β=时，A ，D 重合，舍去；当πβ=时，BD 是O 的直径.设四边形ABCD 的面积为S ，则1313sin sin 2222ABD CBD S S S BD BD αα=+=⋅+⋅=+△△，由()0,2πα∈知sin 1α≤，所以当3π2α=时，即C 的坐标为()0,1-时，S 最大，所以四边形ABCD 面积最大值为312+.21.如图，已知四棱锥P ABCD -的底面为菱形，且60ABC ∠=︒，2AB =，2PA PB ==．M 是棱PD 上的点，O 是棱AB 的中点，PO 为四棱锥P ABCD -的高，且四面体MPBC 的体积为36．（1）证明：PM MD =；（2）若过点C ，M 的平面α与BD 平行，且交PA 于点Q ，求多面体DMC AQB -体积．【答案】（1）证明见解析（2）32【解析】【分析】（1）由题意AD 平面PBC ，求得体积关系：12M PBC D PBC V V --=，即可得出答案；（2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面α的法向量为n，设()0,,AQ AP λλλ== ，由0n CQ ⋅= 得23λ=，求出ACQ 面积，平面ACQ 的法向量1n ，利用向量法求出M 到平面ACQ 的距离d ，进而求得M ACQ V -，Q ABC V -，M ADC V -，相加即可得出答案.【小问1详解】因为2PA PB ==，2AB =，AB 中点O ，所以PO AB ⊥，1PO =，1BO =.又因为ABCD 是菱形，60ABC ∠=︒，所以CO AB ⊥，3CO =.因为AD BC ∥，BC ⊂平面PBC ，AD ⊄平面PBC ，所以AD 平面PBC ，所以11131233323A D PBC A PBC P ABC BC V V V P S O ---====⨯⨯⨯⨯=⋅△.因为3162M PBC D PBC V V --==，所以点M 到平面PBC 的距离是点D 到平面PBC 的距离的12，所以PM MD =.【小问2详解】因为PO ⊥平面ABCD ，,BO CO ⊂平面ABCD ，所以PO BO ⊥，PO CO ⊥，又BO CO ⊥，如图，以O 为坐标原点，OC ，OB ，OP的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系，则()0,1,0A -，()0,1,0B ，()3,0,0C，()3,2,0D-，()0,0,1P ，所以31,1,22M ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，()3,1,0AC =，()3,1,0BC =-，()3,3,0BD =-，()0,1,1AP = ，31,1,22CM ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭.设平面α的法向量为(),,n x y z = ，则00n BD n CM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即33031022x y x y z ⎧-=⎪⎨--+=⎪⎩，取1y =，得()3,1,5=n .因为Q AP ∈，设()0,,AQ AP λλλ==，则()3,1,CQ AQ AC λλ=-=-- ，因为3150n CQ λλ⋅=-+-+= ，所以23λ=，23AQ AP =，所以123,,33CQ ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，220,,33AQ ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，()22212423333CQ ⎛⎫⎛⎫=-+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，222223332AQ ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，ACQ 中，2221cos 822422332242233AQC ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⨯⨯∠==,0πAQC <∠<,2137sin 188AQC ⎛⎫∠=-= ⎪⎝⎭，1224237733831sin 22ACQ S AQ CQ AQC =⨯⨯⨯⨯⨯∠⨯==△,设平面ACQ 的法向量为()1111,,n x y z = ，则1100n AQ n CQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111112203323033y z y z x ⎧+=⎪⎪⎨⎪--+=⎪⎩.取11x =，得()11,3,3n =-.设M 到平面ACQ 的距离为d ，又31,1,22CM ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭ ，则()()()()1222131113322133217d CM n n ⎛⎫-⨯+-⨯-+⨯ ⎪===+⋅⎝⎭-+，11219733337M ACQ ACQ V S d -=⨯⨯⨯=⨯=△，∵23AQ AP = ，∴Q 到平面ABC 的距离为2233PO =，又12332ABC S =⨯⨯= ，∴1223339Q ABC ABC V S -=⨯⨯=△,∵PM MD =，∴M 到平面ADC 的距离为1122PO =，又3ADC ABC S S ==△△，∴113326M ADC ADC V S -=⨯⨯=△,多面体DMC AQB -体积为323339962M ACQ Q ABC M ADC V V V V ---=++=++=.22.如图1，某景区是一个以C为圆心，半径为3km 的圆形区域，道路1l ，2l 成60°角，且均和景区边界相切，现要修一条与景区相切的观光木栈道AB ，点A ，B 分别在1l 和2l 上，修建的木栈道AB 与道路1l ，2l 围成三角地块OAB ．（注：圆的切线长性质：圆外一点引圆的两条切线长相等）．（1）当OAB 为正三角形时求修建的木栈道AB 与道路1l ，2l 围成的三角地块OAB 面积；（2）若OAB 的面积103S =，求木栈道AB 长；（3）如图2，设CAB α∠=，①将木栈道AB 的长度表示为α的函数，并指定定义域；②求木栈道AB 的最小值．【答案】（1）2273km（2）3km 3（3）①33π0πtan 3tan 3AB ααα⎛⎫=+<< ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭，②63km 【解析】【分析】（1）运用等面积法可求得等边三角形的边长，进而求得等边三角形的面积.（2）方法1：运用内切圆性质及三角形面积公式可求得结果.方法2：运用两个三角形面积公式可得a b c ++，ab 的值，再结合余弦定理可得22()3c a b ab =+-，联立可求得AB 的长.（3）①运用内切圆性质可得π3CBM α∠=-，进而运用直角三角形中的正切公式可表示出AB .②方法1：运用分离常数法、“1”的代换及基本不等式可求得结果.方法2：运用切化弦、和角公式、积化和差公式化简AB 表达式，再结合三角函数在区间上求最值即可.方法3：运用切化弦、和差角公式、二倍角公式、辅助角公式化简，再结合三角函数在区间上求最值即可.【小问1详解】如图所示，设三角地块OAB 面积为S ，等边△OAB 边长为a ，所以由等面积法得：211π33sin 223S a a =⨯⨯=，解得63a =，所以221π3sin (63)273234OAB S a ==⨯=△.故修建的木栈道AB 与道路1l ，2l 围成的三角地块OAB 面积为273平方千米.【小问2详解】方法1：设圆C 分别与OB 、OA 、AB 相切于点N 、E 、M ，如图所示，则3NC =，NC OB ⊥，1π26NOC BOA ∠=∠=，所以在Rt ONC △中，33πtan6NCON ==，所以33OE ON ==，设BM BN m ==，AE AM n ==，所以12(33)31032AOB S m n =⨯⨯++⨯=△，解得：33m n +=，即：33AB =.故木栈道AB 长为3km 3.方法2：设三角地块OAB 面积为S ，OB a =，OA b =，AB c =，3r =，由等面积法可得：()11sin 22S ab BOA r a b c =∠=++，即：()()13103103242433r a b c ab a b c ab =++=⇒=++=，所以3203a b c ++=①，40ab =②，在△OAB 中，由余弦定理得2222222cos 2cos60c a b ab BOA c a b ab ︒=+-∠⇒=+-222()3a b ab a b ab =+-=+-，即：22()3c a b ab =+-③，由①②③解得：33c =.故木栈道AB 长为3km 3.【小问3详解】如图所示，①由题意知，2π3OBA OAB ∠+∠=，由内切圆的性质可知，π3CBA CAB ∠+∠=，设直线AB 和圆C 相切点M ，CAB α∠=，则π3CBM α∠=-，因为00π003CAB CBA αα>⎧∠>⎧⎪⇒⎨⎨∠>->⎩⎪⎩，解得：π03α<<，又因为tan CM AM α=，πtan 3CMBM α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以tan 3AM α=，πn 33ta BM α=⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以33π0πtan 3tan 3AB AM BM ααα⎛⎫=+=+<< ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭.即：33π0πtan 3tan 3AB ααα⎛⎫=+<< ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭.②方法1：3tan 1312333πtan tan tan 3tan 3tan ta 3331n AB ααααααα⎛⎫+=+=+=+- ⎪ ⎪⎛⎫--⎝⎭- ⎪⎝⎭()143tan 4tan 3tan 3tan 333533tan tan 3tan 3tan αααααααα⎛⎫-⎛⎫⎡⎤=++--=++- ⎪ ⎪ ⎪⎣⎦--⎝⎭⎝⎭3(54)3363≥⨯+-=，当且仅当π6α=时等号成立，故木栈道AB 的长度最小值为63km .方法2：πππcos()cos sin()sin cos()33333πππtan sin sin()sin sin()33cos tan 333AB αααααααααααα⎛⎫--+- ⎪=+=+=⨯ ⎪⎛⎫ ⎪--- ⎪⎝⎭⎝⎭ππsin[()]sin333333π11ππ1ππcos(2)cos[()]cos[()]cos(2)cos 32233233αααααααα-+=⨯=⨯=⎡⎤⎡⎤-----+---⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦因为π03α<<，所以πππ2333α-<-<，所以1πcos(2)123α<-≤，所以3363π1cos(2)32AB α=≥--，故木栈道AB 的长度最小值为63km .方法3：πππcos()cos sin()sin cos()33333πππtan sin sin()sin sin()33cos tan 333AB αααααααααααα⎛⎫--+- ⎪=+=+=⨯ ⎪⎛⎫ ⎪--- ⎪⎝⎭⎝⎭ππsin[()]sin333333π13131sin(2)sin (cos sin )sin 2(1cos 2)622244αααααααα-+=⨯=⨯=+----，因为π03α<<，所以ππ5π2666α<+<，所以1πsin(2)126α<+≤，所以3363π1sin(2)62AB α=≥+-，故木栈道AB 的长度最小值为63km .【点睛】方法点睛：解三角形的应用问题的要点（1）从实际问题抽象出已知的角度、距离、高度等条件，作为某个三角形的元素；（2）利用正弦、余弦定理解三角形，得实际问题的解．解三角形中最值（范围）问题的解题策略利用正弦、余弦定理以及面积公式化简整理，构造关于某一个角或某一边的函数或不等式，利用函数的单调性或基本不等式等求最值（范围）．。

人教版二年级数学下册期中考试试题及答案(共4套)

人教版二年级数学下册期中考试试题及答案(共4套)期中检测卷一、填一填｡(8,9题每题3分，其余每空1分，共28分)1．63÷7＝()读作：()，63是()，()是XXX答案：9，九，被除数。

改写：63除以7等于9，63是被除数，9是商。

2．用六九五十四写两道乘法算式和两道除法算式：()｡答案：654×2，654×3，654÷2，654÷3.改写：654乘以2等于1308，654乘以3等于1962，654除以2等于327，654除以3等于218.3．在计算42－18÷6时，要先算()法，再算()法｡答案：除，减。

改写：计算42减去18除以6时，要先算除法，再算减法。

4．在有小括号的加、减、乘、除混合算式里要先算()里面的，再算()外面的｡答案：括号里面的，括号外面的。

改写：有小括号的加、减、乘、除混合算式里，要先算括号里面的，再算括号外面的。

5．摆一个正方形要用4根同样长的小棒，摆5个不相连的正方形要用()根同样长的小棒，用32根同样长的小棒可以摆()个这样的正方形｡答案：12，3.改写：摆一个正方形需要4根同样长的小棒，摆5个不相连的正方形需要12根同样长的小棒，用32根同样长的小棒可以摆3个这样的正方形。

6．把下列算式按得数从大到小排列｡答案：7>6>4>2.改写：按照得数从大到小的顺序排列下列算式：7大于6大于4大于2.7．在()里填上合适的数｡6×()＝36，49÷()＝7，()÷9＝8，89×()＝63，64÷()＝8，()÷5＝68.答案：6，7，72，0.71，8，340.改写：在括号里填上合适的数，使得等式成立：6乘以多少等于36，49除以多少等于7，多少除以9等于8，89乘以多少等于63，64除以多少等于8，多少除以5等于68.9．下列图形是轴对称图形的有()。

福建省福州第四中学2022-2023学年高一下学期期中检测数学试题

福建省福州第四中学2022-2023学年高一下学期期中检测数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________二、多选题9．已知复数34iz=-（其中i是虚数单位），则下列命题中正确的为（）对应点的坐标是(3,4)-，在第四象限，D 正确．故选：ACD ．10．BD【分析】A. 根据平面向量不能比较大小判断.B. 根据平面向量的三角形法则判断.C.根据平面向量的数量积定义判断.D. 根据平面向量的三角形法则判断.【详解】A 选项.向量不能比较大小，选项A 错误．B 选项. 根据向量加法运算公式可知，当向量a r 和b r 不共线时，两边之和大于第三边，即||||||a b a b +<+r r r r ，当a r 和b r 反向时，||||||a b a b +<+r r r r ，当a r 和b r 同向时，||||||a b a b +=+r r r r ，所以||||||a b a b +£+r r r r 成立，故B 正确；C 选项，|||||||cos |||||a b a b a b q ×=£r r r r r r ，选项C 错误．D 选项.当向量a r 和b r 不共线时，根据向量减法法则可知，两边之差小于第三边，即||||||a b a b ->-r r r r 当a r 和b r 反向时，||||||a b a b ->-r r r r ，当a r 和b r 同向且||||a b ³r r 时，||||||a b a b -=-r r r r ，当a r 和b r 同向且||||a b <r r 时，||||||a b a b ->-r r r r ，所以选项D 正确.故选：BD11．CD【分析】根据圆柱、圆锥的侧面积、表面积、体积等知识求得正确答案.【详解】A 选项，圆柱的侧面积为22π24πR R R ´=，A 选项错误.与14圆切于点Q，连接AQ60tan q =，60NQ=，。

福建省福州市八县(市)协作校2023-2024学年高二下学期期末联考试题数学含答案

福州市八县（市）协作校2023—2024学年第二学期期末联考高二数学试卷（答案在最后）【完卷时间：120分钟；满分：150分】命题：连江县教师进修学校附属中学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.命题“x x x ∃∈+R ，＜”的否定是（）A.0x x x ∃∈+R ，≤B.0x x x ∃∈+R ，≥C.0x x x ∀∈+R ，＜ D.0x x x ∀∈+R ，≥2.在以下4幅散点图中，y 和x 成正线性相关关系的是（）A. B.C. D.3.假如女儿身高y （单位：cm ）关于父亲身高x （单位：cm ）的经验回归方程为 0.8125.82y x =+，已知父亲身高为170cm ，则（）A.女儿的身高必为164 cmB.女儿的身高估计为164 cmC.女儿的身高必为178 cmD.女儿的身高估计为178 cm4.X 是离散型随机变量，()()16,0.5,25E X D X X X ===-，那么()1E X 和()1D X 分别是()A .()()1112,1E X D X == B.()()117,1E X D X ==C.()()1112,2E X D X == D.()()117,2E X D X ==5.已知随机变量()2~X N μσ，，随机变量()2~2Y N μσ+，，若()0P X =≤()2P X ≥，()20.3P Y =≤，则()34P Y =≤≤（）A .0.2B.0.3C.0.5D.0.76.函数ln 1xy ex =--的图象大致是（）A. B.C. D.7.已知,x y 为正实数，1ln ln x y x y+=-，则（）A.x y＞ B.x y＜ C.1x y +＞ D.1x y +＜8.已知函数()f x 的定义域为R ，且()()2f x f x =-．若函数()()22g x f x x x =+-有唯一零点，则()1f =（）A.1- B.0C.1D.2二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知0a b c ∈R ＜＜，，则下列不等式成立的是（）A.11b a< B.33ac bc ＜ C.22a b > D.11a b b a++＜10.高斯取整函数[]y x =又称“下取整函数”，其中[]x 表示不大于x 的最大整数，如32,2⎡⎤-=-⎢⎥⎣⎦[]533,22⎡⎤-=-=⎢⎥⎣⎦．若函数()[],R f x x x x =-∈，则()f x 的值可能是（）A.0B.0.5C.1D.211.若()()()()()12211120121112231111x a a x a x a x a x -=+-+-++-+- ，则（）A.01a =- B.()121213ii i a =-=∑C.12124ii ia==∑ D.12112iii a ==-∑三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知函数2log ,0()3,0xx x f x x >⎧=⎨≤⎩，则14f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为____．13.如图，曲线①②③④中有3条分别是函数2xy =，3xy =，13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象，其中曲线①与④关于y 轴对称，曲线②与③关于y 轴对称，则13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象是曲线____．（填曲线序号）14.某班安排甲、乙、丙、丁4位同学参加3项不同的社会公益活动，要求每项活动至少有1人参加，且甲、乙不能参加同一项活动，则共有____种不同的安排方案．（用数字作答）四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知集合{}{}23100221A x x x B x m x m =--=-≤≤+＜，．（1）当1m =时，求()A B A B R ，ð；（2）若B A ⊆，求实数m 的取值范围．16.当药品A 注射到人体内，它在血液中的残余量会以每小时25%的速度减少.（1）按照医嘱，护士给患者甲注射了mg a 药品A 两小时后，患者甲血液中药品A 的残存量为225mg ，求a 的值；（2）另一种药物B 注射到人体内，它在血液中的残余量会以每小时10%的速度减少.如果同时给两位患者分别注射800mg 药品A 和500mg 药品B ，请你计算注射后几个小时两位患者体内两种药品的残余量恰好相等.（第（2）问计算结果保留2位小数）参考值：lg 20.301=，lg 30.477=.17.节日在即，某店家为此购入一批袋装糖果（每袋1kg ），现从中随机抽取100袋，将它们进行分级，统计结果如下：等级一等品二等品三等品袋数404020（1）若将频率视为概率，从这100袋糖果中有放回地随机抽取4袋，求恰好有2袋是三等品的概率；（2）用样本估计总体，该店家制定了两种销售方案：方案一：将糖果混合后不分类售出，售价为20元/kg；方案二：按品级出售，售价如下：等级一等品二等品三等品售价（元/kg）242217为追求更高利润，该店家应采用哪种方案？（3）用分层抽样的方法从这100袋糖果中抽取10袋，再从抽取的10袋糖果中随机抽取3袋，记抽到一等品的袋数为X，求X的分布列与数学期望．18.2023年5月13日，榕江和美乡村足球超级联赛（简称“村超”）盛大开幕，迅速在全国范围内乃至国际舞台上引起了热烈反响，激发了全民的运动热情．今年，更是迎来了足球传奇人物卡卡的亲临访问．现有一支“村超”球队，其中甲球员是其主力队员，且是一位多面手，胜任多个位置．经统计，该球队在已进行的42场“村超”比赛中，甲球员是否上场时该球队的胜负情况如下表所示：上场球队的胜负情况合计胜负甲球员上场535甲球员未上场7合计3242（1）完成22⨯列联表，依据小概率值0.01α=的独立性检验，分析球队的胜负是否与甲球员上场有关；（2）由于教练布阵的不同，甲球员在场上的位置会进行调整，根据以往的数据统计，甲球员上场时，打前锋、中场、后卫的概率分别为0.6，0.2，0.2，相应球队赢球的概率分别为0.9，0.5，0.8．当甲球员上场参加比赛时，（ⅰ）求球队赢球的概率；（ⅱ）如果球队已获胜，计算该场比赛甲球员打前锋的概率．附：22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，n a b c d =+++．α0.150.100.050.0250.0100.001x α2.0722.7063.8415.0246.63510.82819.已知函数()2121x x f x -=+．（1）我们知道要研究一个函数的性质，通常会从函数的定义域、值域（最值）、奇偶性（对称性）、单调性（极值）、周期性、特殊的点与线（如渐近线）等方面着手．据此，请回答以下问题：（ⅰ）试探究函数()f x 的性质并说明理由；（ⅱ）根据（ⅰ）中结论作出()f x 的草图；（2）若1,3x ∞⎡⎫∀∈+⎪⎢⎣⎭，都有()()2332log log 0mf x fx ++＞，求实数m 的取值范围．福州市八县（市）协作校2023—2024学年第二学期期末联考高二数学试卷【完卷时间：120分钟；满分：150分】命题：连江县教师进修学校附属中学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.命题“x x x ∃∈+R ，＜”的否定是（）A.0x x x ∃∈+R ，≤B.0x x x ∃∈+R ，≥C.0x x x ∀∈+R ，＜ D.0x x x ∀∈+R ，≥【答案】D 【解析】【分析】将特称命题否定为全称命题即可.【详解】命题“0x x x ∃∈+R ，＜”的否定是“0x x x ∀∈+R ，≥”.故选：D2.在以下4幅散点图中，y 和x 成正线性相关关系的是（）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】利用散点图可直观看出是否线性相关和正相关．【详解】对于A ，由于散点图分散，估计没有线性相关关系，故A 错误；对于B ，根据散点图集中在一条递增的直线附近，说明它们线性相关且是正相关，故B 正确；对于C ，根据散点图集中在一条递减的直线附近，说明它们线性相关且是负相关，故C 错误；对于D ，根据散点图集中在一条曲线附近，说明它们非线性相关，故D 错误；故选：B ．3.假如女儿身高y （单位：cm ）关于父亲身高x （单位：cm ）的经验回归方程为 0.8125.82y x =+，已知父亲身高为170cm ，则（）A.女儿的身高必为164 cmB.女儿的身高估计为164 cmC.女儿的身高必为178 cmD.女儿的身高估计为178 cm【答案】B 【解析】【分析】根据经验回归方程求解即可.【详解】由 0.8125.82y x =+，170x =，代入得ˆ0.8117025.82163.52164y=⨯+=≈cm ，故选：B4.X 是离散型随机变量，()()16,0.5,25E X D X X X ===-，那么()1E X 和()1D X 分别是()A.()()1112,1E X D X ==B.()()117,1E X D X ==C.()()1112,2E X D X ==D.()()117,2E X D X ==【答案】D 【解析】【分析】由期望和方差的运算性质求解即可【详解】由期望和方差的运算性质知E(X 1)=E(2X－5)=2E(X)-5=7D(X 1)=D(2X－5)=22D(X)＝2故选D【点睛】本题考查期望和方差的运算性质，熟记公式，准确计算是关键，是基础题5.已知随机变量()2~X N μσ，，随机变量()2~2Y N μσ+，，若()0P X =≤()2P X ≥，()20.3P Y =≤，则()34P Y =≤≤（）A.0.2 B.0.3C.0.5D.0.7【答案】A 【解析】【分析】由()0P X =≤()2P X ≥结合对称性得出μ，再由对称性得出()34P Y ≤≤.【详解】因为()0P X =≤()2P X ≥，所以0212μ+==，因为()20.3P Y =≤，所以()230.50.30.2P Y =-=≤≤，又()34P Y =≤≤()230.2P Y =≤≤，所以A 正确；故选：A 6.函数ln 1xy ex =--的图象大致是（）A. B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】去掉绝对值，得到具体的函数表达式，即可作出判断.【详解】当1x ≥时，()ln 111xy e x x x =--=--=，排除C ；当01x <<时，()ln 111111xy e x x x x x=--=--=+->，排除AB 选项.故选：D.7.已知,x y 为正实数，1ln ln x y x y+=-，则（）A.x y ＞B.x y＜ C.1x y +＞ D.1x y +＜【答案】C 【解析】【分析】利用构造一个函数，结合求导思想分析单调性，从而可得出选项.【详解】由1ln ln x y x y +=-得：111ln ln ln x x y y y y+=-+=+，构造函数()ln f x x x =+，则()110f x x+'=>，可知()ln f x x x =+在()0,∞+上递增，结合11ln lnx x y y+=+，得1x y =，即1xy =由基本不等式可知：2x y +≥=，当且仅当1x y ==时等号成立，所以1x y +>.故选：C.8.已知函数()f x 的定义域为R ，且()()2f x f x =-．若函数()()22g x f x x x =+-有唯一零点，则()1f =（）A.1-B.0C.1D.2【答案】A 【解析】【分析】转化为两函数图象交点问题，函数图象对称轴都为1x =且两函数图象只有唯一交点即可知交点横坐标为1得解.【详解】因为函数()f x 的定义域为R ，且()()2f x f x =-，所以函数()f x 的图象关于1x =轴对称，由()()22g x f x x x =+-有唯一零点知，2()2f x x x =--有唯一根，即()y f x =与2()2h x x x =--的图象有唯一交点，而2()2h x x x =--图象关于1x =对称，所以(1)(1)1f h ==-.故选：A二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知0a b c ∈R ＜＜，，则下列不等式成立的是（）A.11b a< B.33ac bc ＜ C.22a b > D.11a b b a++＜【答案】ACD 【解析】【分析】利用作差法，结合不等式的性质，即可由选项逐一求解.【详解】对于A ，由于0a b <<，则0,0ab a b >-<，所以110a bb a ab -<-=，故11b a<，A 正确，对于B ，若0c =时，33ac bc =，故B 错误，对于C ，由于0,0a b a b +<-<，所以()()220a b a b a b -=+->，故22a b >，C 正确，对于D,由于0,0ab a b >-<⇒()11110a b a b b a ab ⎛⎫⎛⎫+-+=-+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故11a b b a ++＜，D 正确，故选：ACD10.高斯取整函数[]y x =又称“下取整函数”，其中[]x 表示不大于x 的最大整数，如32,2⎡⎤-=-⎢⎥⎣⎦[]533,22⎡⎤-=-=⎢⎥⎣⎦．若函数()[],R f x x x x =-∈，则()f x 的值可能是（）A.0B.0.5C.1D.2【答案】AB 【解析】【分析】根据定义可得()[],R f x x x x =-∈的表达式，通过图象可得函数的值域，即可求解.【详解】由题意可得2,211,10[],011,12...,x x x x y x x x x x x +-≤<-⎧⎪+-≤<⎪⎪=-=≤<⎨⎪-≤<⎪⎪⎩，则对应的图象为：由图象可知()[)0,1f x ∈.故选：AB11.若()()()()()12211120121112231111x a a x a x a x a x -=+-+-++-+- ，则（）A.01a =-B.()1212013iii a=-=∑C.12124i i ia ==∑ D.12112ii i a ==-∑【答案】BCD 【解析】【分析】对于A ，令1x =可求出0a ，对于B ，令0x =可求得答案，对于C ，对等式两边求导后，令2x =可求得答案，对于D ，令32x =结合01a =可求得答案.【详解】对于A ，令1x =，则()12023a -=，得01a =，所以A 错误，对于B ，令0x =，则()1201211123a a a a a -=-+--+ ，所以()1212013ii i a =-=∑，所以B 正确，对于C ，由()()()()()12211120121112231111x a a x a x a x a x -=+-+-++-+- ，得()()()()111011121112242321111121x a a x a x a x -=+-++-+- ，令2x =，则()11121112244321112a a a a ⨯-=++++ ，所以12124i i ia ==∑，所以C 正确，对于D ，令32x =，则211120121112111102222a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以211121211120111112222a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以12112ii i a ==-∑，所以D 正确，故选：BCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知函数2log ,0()3,0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩，则14f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为____．【答案】19【解析】【分析】先求14f ⎛⎫⎪⎝⎭，再求14f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即可.【详解】由题意得22211log log 2244f -⎛⎫===-⎪⎝⎭，所以211(2)349f f f -⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：1913.如图，曲线①②③④中有3条分别是函数2xy =，3xy =，13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象，其中曲线①与④关于y 轴对称，曲线②与③关于y 轴对称，则13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象是曲线____．（填曲线序号）【答案】②【解析】【分析】由指数函数的性质先确定曲线③是函数3x y =的图象，由对称性得13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象.【详解】由指数函数的单调性可知，函数2x y =和3x y =的图象分别是曲线③④中的一条，当1x =时，1132>，所以曲线③是函数3x y =的图象，函数13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象与函数3x y =的图象关于y 轴对称，所以13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象是曲线②.故答案为：②.14.某班安排甲、乙、丙、丁4位同学参加3项不同的社会公益活动，要求每项活动至少有1人参加，且甲、乙不能参加同一项活动，则共有____种不同的安排方案．（用数字作答）【答案】30【解析】【分析】以丙、丁参加同一项活动和丙、丁不参加同一项活动分类讨论，结合排列组合知识求解即可.【详解】当丙、丁参加同一项活动时，共有33A 3216=⨯⨯=种；当丙、丁不参加同一项活动时，共有211322A C C 24⋅⋅=种；综上，共有30种不同的安排方案．故答案为：30四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知集合{}{}23100221A x x x B x m x m =--=-≤≤+＜，．（1）当1m =时，求()A B A B R ，ð；（2）若B A ⊆，求实数m 的取值范围．【答案】（1）()2,5A B ⋃=-，()()()2,13,5A B ⋂=-⋃R ð（2）(,2)-∞【解析】【分析】（1）解一元二次不等式可得集合A ,再由集合交并补混合运算可得结果.（2）由B A ⊆可知B 是A 的子集，对B 是否为空集分析讨论，解不等式可得结果.【小问1详解】由23100x x --＜,得()()520x x -+＜，解得25x -＜＜，所以()2,5A =-．当1m =时，[]1,3B =，所以()2,5A B ⋃=-，B R ð()(),13,∞=-∞⋃+，所以()()()2,13,5A B ⋂=-⋃R ð．【小问2详解】①若B =∅，则221m m -+＞，即13m ＜．此时满足B A ⊆．②若B ≠∅，则13m ≥，要使B A ⊆，当且仅当1322215m m m ⎧≥⎪⎪--⎨⎪+⎪⎩＞＜，解得123m ≤＜．综上，m 的取值范围为(,2)-∞．16.当药品A 注射到人体内，它在血液中的残余量会以每小时25%的速度减少.（1）按照医嘱，护士给患者甲注射了mg a 药品A 两小时后，患者甲血液中药品A 的残存量为225mg ，求a 的值；（2）另一种药物B 注射到人体内，它在血液中的残余量会以每小时10%的速度减少.如果同时给两位患者分别注射800mg 药品A 和500mg 药品B ，请你计算注射后几个小时两位患者体内两种药品的残余量恰好相等.（第（2）问计算结果保留2位小数）参考值：lg 20.301=，lg 30.477=.【答案】（1）400（2）15.24【解析】【分析】（1）根据题意，列出方程代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，列出方程，结合对数的运算代入计算，即可得到结果.【小问1详解】由题意可得，注射药品A 两小时后药品A 的残存量为()20000125g 56.25m a a -=，所以0056.25225a =，解得400a =，即注射了400mg 药品A ，a 的值为400.【小问2详解】设药物B 注射量为m ，则n 小时后残余量为()00110nm -，设药物A 注射量为t ，则n 小时后残余量为()00125n t -，又题可知，药物A 注射量为800mg ，药物B 注射量为500mg ，设n 小时后残余量相同，则()()0000800125500110nn-=-，即0.91.60.75n⎛⎫= ⎪⎝⎭，两边取对数可得lg1.6lg1.2n=，即86lg lg 55n =，即1010lg8lglg 6lg 22n ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即()4lg 21lg121n -=-，即()4lg 21lg 3lg 41n -=+-，即()40.30110.47720.3011n ⨯-=+⨯-，解得15.24n ≈，所以注射15.24小时后两位患者体内两种药品的残余量恰好相等.17.节日在即，某店家为此购入一批袋装糖果（每袋1kg ），现从中随机抽取100袋，将它们进行分级，统计结果如下：等级一等品二等品三等品袋数404020（1）若将频率视为概率，从这100袋糖果中有放回地随机抽取4袋，求恰好有2袋是三等品的概率；（2）用样本估计总体，该店家制定了两种销售方案：方案一：将糖果混合后不分类售出，售价为20元/kg ；方案二：按品级出售，售价如下：等级一等品二等品三等品售价（元/kg ）242217为追求更高利润，该店家应采用哪种方案？（3）用分层抽样的方法从这100袋糖果中抽取10袋，再从抽取的10袋糖果中随机抽取3袋，记抽到一等品的袋数为X ，求X 的分布列与数学期望．【答案】（1）96625（2）方案二（3）分布列见解析，数学期望为65【解析】【分析】（1）根据二项分布的概率公式即可求解，（2）求解方案二中1kg 糖果的售价为Y ，即可比较求解，（3）由抽样比求解个数，即可利用超几何分布的概率公式求解分布列，进而可求解期望.【小问1详解】设事件A =“从这100袋糖果中随机抽取1个，抽到三等品”，则()2011005P A ==．现有放回地随机抽取4个，设抽到三等品的袋数为Z ，则1(4,)5B Z ，所以恰好有2袋是三等品的概率()222414962C 55625P Z ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【小问2详解】设方案二中1kg 糖果的售价为Y ，则()40402024221721.8100100100E Y =⨯+⨯+⨯=（元），因为()20E Y >，从追求更高利润考虑，该店家应采用方案二．【小问3详解】用分层抽样的方法从这100袋糖果中抽取10袋，则其中一等品有4袋，非一等品有6袋．依题意，X 服从超几何分布，其可能的取值为0，1，2，3．()36310C 10C 6P X ===，()2164310C C 11C 2P X ===，()1264310C C 32C 10P X ===，()34310C 13C 30P X ===所以X 的分布列为X0123P1612310130所以()1131601236210305E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．18.2023年5月13日，榕江和美乡村足球超级联赛（简称“村超”）盛大开幕，迅速在全国范围内乃至国际舞台上引起了热烈反响，激发了全民的运动热情．今年，更是迎来了足球传奇人物卡卡的亲临访问．现有一支“村超”球队，其中甲球员是其主力队员，且是一位多面手，胜任多个位置．经统计，该球队在已进行的42场“村超”比赛中，甲球员是否上场时该球队的胜负情况如下表所示：上场球队的胜负情况合计胜负甲球员上场535甲球员未上场7合计3242（1）完成22⨯列联表，依据小概率值0.01α=的独立性检验，分析球队的胜负是否与甲球员上场有关；（2）由于教练布阵的不同，甲球员在场上的位置会进行调整，根据以往的数据统计，甲球员上场时，打前锋、中场、后卫的概率分别为0.6，0.2，0.2，相应球队赢球的概率分别为0.9，0.5，0.8．当甲球员上场参加比赛时，（ⅰ）求球队赢球的概率；（ⅱ）如果球队已获胜，计算该场比赛甲球员打前锋的概率．附：22()()()()()n ad bca b c d a c b dχ-=++++，n a b c d=+++．α0.150.100.050.0250.0100.001xα 2.072 2.706 3.841 5.024 6.63510.828【答案】（1）列联表见解析，认为球队的胜负与甲球员是否上场有关（2）（ⅰ）0.8；（ⅱ）0.675【解析】【分析】（1）根据题中数据完成列联表即可，根据公式求出2χ，再对照临界值表即可得出结论；（2）（ⅰ）根据条件概率和全概率公式求解即可；（ⅱ）利用条件概率公式和乘法公式就算即可.【小问1详解】根据题意，可得22⨯的列联表：上场球队的胜负情况合计胜负甲球员上场30535甲球员未上场257合计321042零假设为0H ：球队的胜负与甲球员是否上场无关，根据列联表中的数据，经计算得到()()()()()()2220.01423055210.5 6.6353210357n ad bc x a b c d a c b d χ-⨯⨯-⨯===++++⨯⨯⨯＞，根据小概率值0.01α=的独立性检验，我们推断0H 不成立，即认为球队的胜负与甲球员是否上场有关，此推断犯错误的概率不大于0.01；【小问2详解】设A =“甲球员上场打前锋”，B =“甲球员上场打中场”，C =“甲球员上场打后卫”，D =“球队获得胜利”．则A B C Ω=⋃⋃，且,,A B C 两两互斥，依题意得，()()()0.6,0.2P A P B P C ===()()()0.9,0.5,0.8P D A P D B P D C ===；（ⅰ）由全概率公式得()()()()()()()P D P A P D A P B P D B P C P D C=++0.60.90.20.50.20.8=⨯+⨯+⨯0.8=；（ⅱ）“如果球队已获胜，计算该场比赛甲球员打前锋的概率”，就是计算在D 发生的条件下，事件C 发生的概率，则所求概率()()()()()()0.6090.6750.8P A P D A P AD P A D P D P D ⨯====.【点睛】思路点睛：用定义法求条件概率()P B A 的步骤：（1）分析题意，弄清概率模型；（2）计算()P A 、()P AB ；（3）代入公式求()()()P AB P B A P A =.19.已知函数()2121x x f x -=+．（1）我们知道要研究一个函数的性质，通常会从函数的定义域、值域（最值）、奇偶性（对称性）、单调性（极值）、周期性、特殊的点与线（如渐近线）等方面着手．据此，请回答以下问题：（ⅰ）试探究函数()f x 的性质并说明理由；（ⅱ）根据（ⅰ）中结论作出()f x 的草图；（2）若1,3x ∞⎡⎫∀∈+⎪⎢⎣⎭，都有()()2332log log 0mf x fx ++＞，求实数m 的取值范围．【答案】（1）（ⅰ）答案见解析；（ⅱ）作图见解析（2）193,3⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）利用定义法来研究函数的各个性质，最后可作出草图；（2）利用复合函数思想由内到外研究函数值域，最后化归到含参二次不等式恒成立，即可求解.【小问1详解】①定义域：()f x 的定义域为R ．②值域：因为()2121x f x =-+，20x>，12+11012+1x x ><<，，所以()11f x -<<，故()f x 的值域为()1,1-．③奇偶性：x ∀∈R ，x -∈R ，()()21122112x xx xf x f x -----===-++，所以()f x 为奇函数．④单调性：12x x ∀∈R ，，且12x x <，则1222x x<，所以()()()()()1212121222222021212121x x x x x x f x f x --=-+=<++++，即()()12f x f x <，所以()f x 为增函数．⑤当x →+∞时，2x →+∞，()21121xf x =-→+；当x →-∞时，20x →，()21101f x →-=-+．所以直线1y =±为()f x 图象的渐近线．综合上述讨论，可作出()f x的草图如下：【小问2详解】当13x ≥时，331log log 13x =-≥，由（1）知，()f x 为增函数，所以()()131211log 1213t f x f ---=≥-==-+，由（1）知()f x 的值域为()1,1-，故t 的取值范围为1,13⎡⎫-⎪⎢⎣⎭所以1,3x ∞⎡⎫∀∈+⎪⎢⎣⎭，都有()()2332log log 0mf x f x ++>，等价于220t mt ++>对于1,13t ⎡⎫∀∈-⎪⎢⎣⎭都成立，记()22t t mt ϕ=++，则()2Δ8011,232111203931120m m m m m ϕϕ⎧=-≥⎪⎪-≤--≥⎪⎨⎛⎫⎪-=-+> ⎪⎪⎝⎭⎪=++≥⎩，，，或280.m ∆=-<解得1933m m m ≤<-≤≤--<<或，综上，m 的取值范围是193,3⎡⎫-⎪⎢⎣⎭．。

福建省福州市2023-2024学年高二下学期期中联考试题数学含答案

2023-2024学年第二学期期中质量检测高二数学试卷（答案在最后）（满分：150分；考试时间：120分钟）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.4．测试范围：选择性必修第二册第五章、选择性必修第三册第六章、第七章第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.计算52752+C A 的值是（）A.62B.102C.152D.5402.下列导数运算正确的是（）A.cos sin x x x '⎛⎫=- ⎪⎝⎭B.()21log ln 2x x '=C.()22xx'= D.()32e 3exxx x '=3.若9290129(2)x a a x a x a x -=++++L ，则129a a a +++ 的值为（）A.1- B.1 C.511- D.5124.若2()f x x bx c =++的图象的顶点在第二象限，则函数()f x '的图象是（）A. B.C. D.5.曲线()(22e 21xf x x x =--+-在0x =处的切线的倾斜角是（）A.2π3B.5π6C.3π4 D.π46.现有完全相同的甲，乙两个箱子（如图），其中甲箱装有2个黑球和4个白球，乙箱装有2个黑球和3个白球，这些球除颜色外完全相同．某人先从两个箱子中任取一个箱子，再从中随机摸出一球，则摸出的球是黑球的概率是（）A.1115B.1130C.115D.2157.有7种不同的颜色给下图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，且相邻的两个格子颜色不能相同，若最多使用3种颜色，则不同的涂色方法种数为（）A.462B.630C.672D.8828.已知函数()e 2xx k f x =-，若0x ∃∈R ，()00f x ≤，则实数k 的最大值是（）．A.1eB.2eC.12eD.e e二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知1)nx+*(N )n ∈展开式中常数项是2C n ，则n 的值为（）.A.3B.4C.5D.610.高中学生要从必选科目（物理和历史）中选一门，再在化学、生物、政治、地理这4个科目中，依照个人兴趣、未来职业规划等要素，任选2个科目构成“1＋2选考科目组合”参加高考.已知某班48名学生关于选考科目的结果统计如下：选考科目名称物理化学生物历史地理政治选考该科人数36392412a b下面给出关于该班学生选考科目的四个结论中，正确的是（）A.33a b +=B.选考科目组合为“历史＋地理＋政治”的学生可能超过9人C.在选考化学的所有学生中，最多出现6种不同的选考科目组合D.选考科目组合为“历史＋生物＋地理”的学生人数一定是所有选考科目组合中人数最少的11.若不等式e ln 0x ax a -<在[)2,x ∞∈+时恒成立，则实数a 的值可以为（）A.3eB.2eC.eD.2第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.某气象台统计，该地区下雨的概率为415，刮四级以上风的概率为215，既刮四级以上的风又下雨的概率为110，设A 为下雨，B 为刮四级以上的风，则()P B A =___________.13.某校一次高三数学统计，经过抽样分析，成绩X 近似服从正态分布()2110,N σ，且P (90110)X ≤≤0.3=，该校有1000人参加此次统考，估计该校数学成绩不低于130分的人数为________．14.将4名志愿者分配到3个不同的北京冬奥场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为________．（用数字作答）四、解答题（本大题共5题，共７7分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.已知函数3()ln (R)f x x ax a =+∈，且(1)4f '=．（1）求a 的值；（2）设()()ln g x f x x x =--，求()y gx =过点(1,0)的切线方程．16.已知n⎛⎝在的展开式中，第6项为常数项．（1）求n ；（2）求含2x 的项的系数；（3）求展开式中所有的有理项．17.如图，有三个外形相同的箱子，分别编号为1，2，3，其中1号箱装有1个黑球和3个白球，2号箱装有2个黑球和2个白球，3号箱装有3个黑球，这些球除颜色外完全相同．小明先从三个箱子中任取一箱，再从取出的箱中任意摸出一球，记事件i A （123i =，，）表示“球取自第i 号箱”，事件B 表示“取得黑球”．（1）求()P B 的值：（2）若小明取出的球是黑球，判断该黑球来自几号箱的概率最大？请说明理由．18.为普及空间站相关知识，某部门组织了空间站模拟编程闯关活动，它是由太空发射､自定义漫游､全尺寸太阳能､空间运输等10个相互独立的程序题目组成.规则是：编写程序能够正常运行即为程序正确.每位参赛者从10个不同的题目中随机选择3个进行编程，全部结束后提交评委测试，若其中2个及以上程序正确即为闯关成功.现已知10个程序中，甲只能正确完成其中6个，乙正确完成每个程序的概率为0.6，每位选手每次编程都互不影响.（1）求乙闯关成功的概率；（2）求甲编写程序正确的个数X 的分布列和期望，并判断甲和乙谁闯关成功的可能性更大.19.已知曲线()31:3C y f x x ax ==-.（1）求函数()313f x x ax =-()0a ≠的单调递增区间；（2）若曲线C 在点()()3,3f 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积大于18，求实数a 的取值范围.2023-2024学年第二学期期中质量检测高二数学试卷（满分：150分；考试时间：120分钟）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.4．测试范围：选择性必修第二册第五章、选择性必修第三册第六章、第七章第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.计算52752+C A 的值是（）A.62 B.102C.152D.540【答案】A 【解析】【分析】利用组合和排列数公式计算【详解】5275762254622C A =+´+创=故选：A2.下列导数运算正确的是（）A.cos sin x x x '⎛⎫=- ⎪⎝⎭B.()21log ln 2x x '=C.()22xx'= D.()32e 3exxx x '=【答案】B 【解析】【分析】利用常见函数的导数可以判断B 、C 的真假，利用积的导数的运算法则判断D 的真假，利用商的导数的运算法则判断A 的真假.【详解】∵()22cos cos cos sin cos x x x x x x x x x x x ''⋅-⋅--⎛⎫== ⎪⎝'⎭，故A 错误；∵()21log ln 2x x '=，故B 正确；∵()22ln 2x x '=，故C 错误；∵()()()33323e e e 3e e x x x x x x x x x x ⋅'''=⋅+=+，故D 错误.故选：B.3.若9290129(2)x a a x a x a x -=++++L ，则129a a a +++ 的值为（）A.1- B.1 C.511- D.512【答案】C 【解析】【分析】根据题意，分别令1x =与0x =代入计算，即可得到结果.【详解】当1x =时，20911a a a a ++++=L ；当0x =时，0512a =所以，1211511a a a +++=-L 故选：C4.若2()f x x bx c =++的图象的顶点在第二象限，则函数()f x '的图象是（）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】求导后得到斜率为2，再由极值点是导数为零的点小于零，综合直线的特征可得正确答案.【详解】因为()2f x x b '=+，所以函数()f x '的图象是直线，斜率20k =>；又因为函数()f x 的顶点在第二象限，所以极值点小于零，所以()f x '的零点小于零，结合直线的特征可得C 符合.故选：C5.曲线()(22e 21xf x x x =--+-在0x =处的切线的倾斜角是（）A.2π3B.5π6C.3π4 D.π4【答案】A 【解析】【分析】利用导数的几何意义求得切线斜率，即可求得切线的倾斜角.【详解】()()2e 22,0xf x x f =--∴'-'= ，设切线的倾斜角为[),0,πθθ∈，则tan θ=，即2π3θ=，故选：A ．6.现有完全相同的甲，乙两个箱子（如图），其中甲箱装有2个黑球和4个白球，乙箱装有2个黑球和3个白球，这些球除颜色外完全相同．某人先从两个箱子中任取一个箱子，再从中随机摸出一球，则摸出的球是黑球的概率是（）A.1115B.1130C.115D.215【答案】B 【解析】【分析】根据条件概率的定义，结合全概率公式，可得答案.【详解】记事件A 表示“球取自甲箱”，事件A 表示“球取自乙箱”，事件B 表示“取得黑球”，则()()()()1212,,2635P A P A P B A P B A =====，由全概率公式得()()()()111211232530P A P B A P A P B A +=⨯+⨯=．故选：B ．7.有7种不同的颜色给下图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，且相邻的两个格子颜色不能相同，若最多使用3种颜色，则不同的涂色方法种数为（）A.462B.630C.672D.882【答案】C 【解析】【分析】根据题意，按使用颜色的数目分两种情况讨论，由加法原理计算可得答案.【详解】根据题意，分两种情况讨论：若用两种颜色涂色，有27C 242⨯=种涂色方法；若用三种颜色涂色，有()37C 3221630⨯⨯⨯+=种涂色方法；所以有42630672+=种不同的涂色方法.故选：C.8.已知函数()e 2xx k f x =-，若0x ∃∈R ，()00f x ≤，则实数k 的最大值是（）．A.1eB.2eC.12eD.e e【答案】B 【解析】【分析】将问题转化为002e x x k ≤在0x ∈R 上能成立，利用导数求2()exxg x =的最大值，求k 的范围，即知参数的最大值.【详解】由题设，0x ∃∈R 使02e x x k ≤成立，令2()exxg x =，则()21e x g x x ⋅-'=，∴当1x <时()0g x '>，则()g x 递增；当1x >时()0g x '<，则()g x 递减；∴2()(1)e g x g ≤=，故2e k ≤即可，所以k 的最大值为2e.故选：B.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知1)nx+*(N )n ∈展开式中常数项是2C n ，则n 的值为（）.A.3B.4C.5D.6【答案】AD 【解析】【分析】根据二项式展开式得到321C n r r r nT x-+=，再令302n r-=，则得到123C C n n n =，解出即可.【详解】展开式的通项为131221C ()()C n r r n rr rr nnT x x x---+==，若要其表示常数项，须有302n r-=，即13r n =，又由题设知123C C n n =，123n \=或123n n -=，6n ∴=或3n =.故选：A D ．10.高中学生要从必选科目（物理和历史）中选一门，再在化学、生物、政治、地理这4个科目中，依照个人兴趣、未来职业规划等要素，任选2个科目构成“1＋2选考科目组合”参加高考.已知某班48名学生关于选考科目的结果统计如下：选考科目名称物理化学生物历史地理政治选考该科人数36392412ab下面给出关于该班学生选考科目的四个结论中，正确的是（）A.33a b +=B.选考科目组合为“历史＋地理＋政治”的学生可能超过9人C.在选考化学的所有学生中，最多出现6种不同的选考科目组合D.选考科目组合为“历史＋生物＋地理”的学生人数一定是所有选考科目组合中人数最少的【答案】AC 【解析】【分析】结合统计结果对选项逐一分析即可得.【详解】对A ：由3924482a b +++=⨯，则33a b +=，故A 正确；对B ：由选择化学的有39人，选择物理的有36人，故至少有三人选择化学并选择了历史，故选考科目组合为“历史＋地理＋政治”的学生最多有9人，故B 错误；对C ：确定选择化学后，还需在物理、历史中二选一，在生物、地理、政治中三选一，故共有236⨯=种不同的选考科目组合，故C 正确；对D ：由于地理与政治选考该科人数不确定，故该说法不正确，故D 错误.故选：AC.11.若不等式e ln 0x ax a -<在[)2,x ∞∈+时恒成立，则实数a 的值可以为（）A.3eB.2eC.eD.2【答案】BCD 【解析】【分析】构造函数()ex xf x =，将e ln 0x ax a -<恒成立问题转化为()()ln f x f a <恒成立问题，求导，研究()e xxf x =单调性，画出其图象，根据图象逐一验证选项即可.【详解】由e ln 0x ax a -<得ln ln ln e ex a x a aa <=，设()e x x f x =，则()1ex xf x ='-，当1x <时，()0f x '>，()f x 单调递增，当1x >时，()0f x '<，()f x 单调递减，又()00f =，()11e f =，当0x >时，()0ex xf x =>恒成立，所以()ex xf x =的图象如下：，ln ln e ex a x a<，即()()ln f x f a <，2x ≥，对于A ：当3e a =时，ln ln 31>2a =+，根据图象可得()()ln f x f a <不恒成立，A 错误；对于B ：当2e a =时，()ln ln 211,2a =+∈，根据图象可得()()ln f x f a <恒成立，B 正确；对于C ：当e a =时，ln 1a =，根据图象可得()()ln f x f a <恒成立，C 正确；对于D ：当2a =时，ln ln 2a =，又()()ln 22ln 212ln 2ln 2,2e 2ef f ===，因为221263ln 23ln 2e e ⨯-⨯=，且2e,e 6>>，即26ln 1,1e ><，所以221263ln 23ln 02e e⨯-⨯=->，即()()ln 22f f >，根据图象可得()()ln f x f a <恒成立，D 正确；故选：BCD.【点睛】关键点点睛：本题的关键将条件变形为ln ln e e x ax a <，通过整体结构相同从而构造函数()e x x f x =来解决问题.第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.某气象台统计，该地区下雨的概率为415，刮四级以上风的概率为215，既刮四级以上的风又下雨的概率为110，设A 为下雨，B 为刮四级以上的风，则()P B A =___________.【答案】38【解析】【分析】利用条件概率的概率公式()()()P AB P B A P A =即可求解.【详解】由题意可得：()415P A =，()215P B =，()110P AB =，由条件概率公式可得()()()13104815P AB P B A P A ===，故答案为：38.13.某校一次高三数学统计，经过抽样分析，成绩X 近似服从正态分布()2110,N σ，且P (90110)X ≤≤0.3=，该校有1000人参加此次统考，估计该校数学成绩不低于130分的人数为________．【答案】200【解析】【分析】根据X 近似服从正态分布()2110,N σ，且P (90110)X ≤≤0.3=，求得(130)p X ≥即可.【详解】因为X 近似服从正态分布()2110,N σ，且P (90110)X ≤≤0.3=，所以()()113012901300.22P X P X ⎡⎤≥=-≤≤=⎣⎦，又该校有1000人参加此次统考，估计该校数学成绩不低于130分的人数为10000.2200⨯=人.故答案为：200.14.将4名志愿者分配到3个不同的北京冬奥场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为________．（用数字作答）【答案】36【解析】【分析】先将4人分成2、1、1三组，再安排给3个不同的场馆，由分步乘法计数原理可得.【详解】将4人分到3个不同的体育场馆，要求每个场馆至少分配1人，则必须且只能有1个场馆分得2人，其余的2个场馆各1人，可先将4人分为2、1、1的三组，有211421226C C C A =种分组方法，再将分好的3组对应3个场馆，有336A =种方法，则共有6636⨯=种分配方案.故答案为：36四、解答题（本大题共5题，共７7分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.已知函数3()ln (R)f x x ax a =+∈，且(1)4f '=．（1）求a 的值；（2）设()()ln g x f x x x =--，求()y g x =过点(1,0)的切线方程．【答案】（1）1（2）22y x =-【解析】【分析】（1）利用导数求解参数即可.（2）先设切点，利用导数表示斜率，建立方程求出参数，再写切线方程即可.【小问1详解】定义域为,()0x ∈+∞，21()3f x ax x'=+，而(1)13f a '=+，而已知(1)4f '=，可得134a +=，解得1a =，故a 的值为1，【小问2详解】3()()ln g x f x x x x x =--=-，设切点为0003(,)x x x -，设切线斜率为k ，而2()31g x x '=-，故切线方程为300200()(31)()y x x x x x --=--，将(1,0)代入方程中，可得3200000()(31)(1)x x x x --=--，解得01x =(负根舍去)，故切线方程为22y x =-，16.已知n ⎛ ⎝在的展开式中，第6项为常数项．（1）求n ；（2）求含2x 的项的系数；（3）求展开式中所有的有理项．【答案】（1）10n =；（2）454；（3）2454x ，638-，245256x.【解析】【分析】（1）求出n⎛ ⎝的展开式的通项为1r T +，当=5r 时，指数为零，可得n ；（2）将10n =代入通项公式，令指数为2，可得含2x 的项的系数；（3）根据通项公式与题意得1023010r Zr r Z -⎧∈⎪⎪≤≤⎨⎪∈⎪⎩，求出r 的值，代入通项公式并化简，可得展开式中所有的有理项．【详解】（1）n ⎛ ⎝的展开式的通项为233311122r rn r r n r r r r n n T C x x C x ----+⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为第6项为常数项，所以=5r 时，有203n r -=，解得10n =．（2）令223n r -=，得()()116106222r n =-=⨯-=，所以含2x 的项的系数为221014524C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．（3）根据通项公式与题意得1023010r Zr r Z -⎧∈⎪⎪≤≤⎨⎪∈⎪⎩，令()1023r k k Z -=∈，则1023r k -=，即352r k =-．r Z ∈，∴k 应为偶数．又010r ≤≤，∴k 可取2，0，-2，即r 可取2，5，8．所以第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为2221012C x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，551012C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，8821012C x -⎛⎫- ⎪⎝⎭，即2454x ，638-，245256x ．【点睛】关键点点睛：本题考查二项式展开式的应用，考查二项式展开式的通项公式以及某些特定的项，解决本题的关键点是求解展开式的有理项时，令()1023r k k Z -=∈，由r Z ∈以及010r ≤≤，求出k 的值，进而得出r 的值，代入通项公式化简可得有理项，考查了学生计算能力，属于中档题．17.如图，有三个外形相同的箱子，分别编号为1，2，3，其中1号箱装有1个黑球和3个白球，2号箱装有2个黑球和2个白球，3号箱装有3个黑球，这些球除颜色外完全相同．小明先从三个箱子中任取一箱，再从取出的箱中任意摸出一球，记事件i A （123i =，，）表示“球取自第i 号箱”，事件B 表示“取得黑球”．（1）求()P B 的值：（2）若小明取出的球是黑球，判断该黑球来自几号箱的概率最大？请说明理由．【答案】（1）712（2）可判断该黑球来自3号箱的概率最大.【解析】【分析】（1）因先从三个箱子中任取一箱，再从取出的箱中任意摸出一球为黑球，其中有三种可能，即黑球取自于1号，2号或者3号箱，故事件B 属于全概率事件，分别计算出()i P A 和(|),1,2,3i P B A i =，代入全概率公式即得；（2）由“小明取出的球是黑球，判断该黑球来自几号箱”是求条件概率(|),1,2,3i P A B i =，根据条件概率公式分别计算再比较即得.【小问1详解】由已知得：1231()()()3P A P A P A ===,12311(|),(|),(|)1,42P B A P B A P B A ===而111111()(|)(),4312P BA P B A P A =⋅=⨯=222111()(|)(),236P BA P B A P A =⋅=⨯=33311()(|)()1.33P BA P B A P A =⋅=⨯=由全概率公式可得：1231117()()()().126312P B P BA P BA P BA =++=++=【小问2详解】因“小明取出的球是黑球，该黑球来自1号箱”可表示为：1A B ,其概率为111()112(|)7()712P A B P A B P B ===,“小明取出的球是黑球，该黑球来自2号箱”可表示为：2A B ,其概率为221()26(|)7()712P A B P A B P B ===,“小明取出的球是黑球，该黑球来自3号箱”可表示为：3A B ,其概率为331()43(|)7()712P A B P A B P B ===.综上，3(|)P A B 最大，即若小明取出的球是黑球，可判断该黑球来自3号箱的概率最大.18.为普及空间站相关知识，某部门组织了空间站模拟编程闯关活动，它是由太空发射､自定义漫游､全尺寸太阳能､空间运输等10个相互独立的程序题目组成.规则是：编写程序能够正常运行即为程序正确.每位参赛者从10个不同的题目中随机选择3个进行编程，全部结束后提交评委测试，若其中2个及以上程序正确即为闯关成功.现已知10个程序中，甲只能正确完成其中6个，乙正确完成每个程序的概率为0.6，每位选手每次编程都互不影响.（1）求乙闯关成功的概率；（2）求甲编写程序正确的个数X 的分布列和期望，并判断甲和乙谁闯关成功的可能性更大.【答案】（1）0.648（2）分布列见解析，期望为95，甲比乙闯关成功的概率要大.【解析】【分析】（1）根据题意，直接列出式子，代入计算即可得到结果；（2）根据题意，由条件可得X 的可能取值为0,1,2,3，然后分别计算其对应概率，即可得到分布列，然后计算甲闯关成功的概率比较大小即可.【小问1详解】记事件A 为“乙闯关成功”，乙正确完成每个程序的概率为0.6，则()()2233C 0.610.6(0.6)0.648;P A =⨯⨯-+=【小问2详解】甲编写程序正确的个数X 的可能取值为0,1,2,3，()()()()211233464664333310101010C C C C C C 13110,1,2,3C 30C 10C 2C 6P X P X P X P X ============，故X 的分布列为：X0123P 1303101216故()1311901233010265E X =⨯+⨯+⨯+⨯=，甲闯关成功的概率1120.648263P =+=>，故甲比乙闯关成功的概率要大.19.已知曲线()31:3C y f x x ax ==-.（1）求函数()313f x x ax =-()0a ≠的单调递增区间；（2）若曲线C 在点()()3,3f 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积大于18，求实数a 的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）()()0,99,18U 【解析】【分析】（1）求出函数的导函数，分0a >、a<0两种情况讨论，分别求出函数的单调递增区间；（2）利用导数的几何意义求出切线方程，再令0x =、0y =求出在坐标轴上的截距，再由面积公式得到不等式，解得即可.【小问1详解】∵()313f x x ax =-定义域为R ，且()2f x x a '=-，①当a<0时，()20f x x a '=->恒成立，∴()f x 在R 上单调递增；②当0a >时，令()20f x x a '=->，解得x <x >，∴()f x 在(,∞-，)∞+上单调递增，综上：当a<0时，()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞；当0a >时，()f x 的单调递增区间为(,∞-，)∞+.【小问2详解】由（1）得()2339f a a =-=-'，又∵()393f a =-，∴切线方程为()()()9393y a a x --=--，依题意90a -≠，令0x =，得18y =-；令0y =，得189x a=-，切线与坐标轴所围成的三角形的面积11816218299S a a =⨯⨯=--，依题意162189a >-，即919a>-，解得09a <<或918<<a ，即实数a 的取值范围为()()0,99,18⋃.。

福建省永春第一中学2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题

福建省永春第一中学2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________二、多选题9．某市为了研究该市空气中的 2.5PM 浓度和2SO 浓度之间的关系，环境监测部门对该市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的 2.5PM 浓度和2SO 浓度（单位：3μg/m ），得到如下所示的22´列联表：四、双空题16．定义：在等式()()2021212222122nn n n n nn n n n n x x D x D xD x D x D n N ---++-=+++++ÎL 中，把nD ，1n D ，2n D ，…，2n n D 叫做三项式()22n x x +-的n 次系数列(如三项式的1次系数列是1，1，-2).则（1）三项式()22nx x+-的2次系数列各项之和等于______；（2）34D=______.【分析】（1）根据n 次系数列的定义，令1x =即可得系数之和．（2）根据定义得34D 为5x 的系数，然后进行计算即可．【详解】解：（1）三项式2(2)n x x +-的2次系数列为22(2)x x +-，则令1x =得三项式2(2)n x x +-的2次系数列各项之和等于2(112)0+-=，（2）当4n =时，三项式为24(2)x x +-，则34D 为5x 的系数，244444(2)(1)(2)(1)(2)x x x x x x +-=-+=-+Q ，4(1)x \-的通项公式为4()k k C x -，4(2)x \+的通项公式为42r C 4rr x -，5x \的系数为41442C C g 3322231444444422329648420C C C C C C -+-=-+-=-g g g ．即3420D =-故答案为：0；20-；【点睛】本题主要考查二项式定理的综合应用，结合新定义，利用展开式的通项公式是解决本题的关键．考查学生的理解应用能力，属于中档题．17．(1)n a n=(2)n nP Q <【分析】（1）根据n S 与n a 的关系，结合等差数列的通项公式进行求解即可；（2）根据裂项相消法，结合等比数列前n 项和、二项式定理进行求解即可.【详解】（1）当1n =时，211112a S a a =-=，所以11a =或10a =（舍去），当2n ³时，有221112,2,n n n n n n a S a a S a ---ì=-í=-î。

2023-2024学年福建省福州市仓山区人教版五年级上册期中测试数学试卷.(含答案解析)

2023-2024学年福建省福州市仓山区人教版五年级上册期中测试数学试卷.学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题正正正二、填空题三、口算和估算18．直接写出得数。

2.4×0.5＝ 1.02×60＝28×0.7÷28×0.7＝0.8×100＝7.45×0＝0.2×0.05＝四、竖式计算19．列竖式计算。

（带☆的保留两位小数）7.8×4.5＝ 1.35÷27＝10.395÷4.5＝☆3.12×1.2≈☆8.62÷4.3≈☆78.6÷11≈五、脱式计算20．计算下面各题，能简算的要简算99×3.6 1.6×2.5＋0.4×2.50.8×（6－8.5÷1.7）六、文字题21．列式计算。

两个数的积是4.8，其中一个因数是2.5，另一个因数是多少？22．列式计算。

被除数是9.72，商是0.08，除数是多少？七、作图题23．作图题。

如图是一个转盘，使它停止转动时，指针落在阴影区域的可能性比落在白色区域的可能性大，请把你的设计画在图上。

八、解答题24．下图是游乐园的一角。

（1）跳跳床的位置用数对（3，2）表示，你能用数对表示出其他地点的位置吗？（2）秋千在大门以东400米，再往北300米处。

请你在图中标出秋千的位置，并用数对表示出来。

（3）小华和小丽在游乐园游玩的部分路线是（0，0）→（3，2）→（2，4）→（4，3）→（5，1），她们玩了哪些项目？25．A店和B店在卖同一种规格和型号的波斯地毯。

在A店100元能买2.5米的波斯地毯，在B店100元能买2米的波斯地毯。

去哪家店买便宜？每米能便宜多少钱？26．某城市自来水费的收费标准如下：每户每月用水15吨以内（含15吨），按2.9元一吨收费。

福建师范大学附属中学2021-2022学年高一下学期期中考试数学试卷

福建师大附中2021 - 2022学年下学期期中考试高一数学试卷时间:120分钟满分:150分试卷说明:（1）本卷共四大题，22小题，解答写在答卷的指定位置上，考试结束后，只交答卷.（2）考试过程中不得使用计算器或具有计算功能的电子设备.第Ⅰ卷（选择题，共48分）一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小圆给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z满足z（1 + 2i）= |4 + 3i|，（其中i为虚数单位），则复数z的虚部为A. - 2B. - 2iC.1D.i2.在棱长为a的正方体中，连接相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为A. a33B.a34C.a36D.a3123.若复数z满足|z - i|≤2，则z·z（其中z为z的共顿复数）的最大值为A.1B.2C.4D.94.在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是A.b = 10，A = 45°，C = 70°B.a = 6，c = 8，B = 60°C.a = 8，b = 16，A = 30°D.a = 13，b = 16，A = 45°5.已知向量a，b的夹角为π3，且|a|= 4，|b| = 2，则向量a与向量a+ 2b的夹角等于A.π3B.π6C.5π6D.π26.水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为R的水车，以水车的中心为原点，过水车的中心且平行于水平面的直线为x轴，建立平面直角坐标系，一个水斗从点A（3，- 33）出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒.经过t秒后，水斗旋转到P点，设P点的坐标为（x，y），其纵坐标满足y = Rsin(ωt + φ)（t≥0，ω > 0，|φ|< π2），当t = 100时，|PA| =A.6B.62C.63D.3（6-2）7.在△ABC中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，且a2-c2 = 2b，sinAcosC= 3cosAsin C，则b等于A.3B.4C.6D.78.在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，若sin（A + C）=2sb2 −c2，则tanC +12tan（B−C）的取值范围A.[2，5√36）B.[2，32）C.（1，7√36）D.（1，√32）二、选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小思给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知a=（1，2），b=（- 4，t），则A.若a∥b，则t = 8B.若a⊥b，则t = 2C.|a-b|的最小值为5D.若a，b的夹角为2π3，则t = 1高一数学试卷第2页，共6页10.设z1，z2是复数，则下列说法中正确的是A.若|z1| = |z2|，则z12 = z22B.若|z1|=|z2|，则z1=±z2C.若z1z2 = 0，则z1 = 0或z2 = 0D.若|z1-z2| = 0，则z1 = z211.已知△ABC是边长为2的等边三角形，D，E分别是AC，AB上的点，且AE=EB，AD = 2DC，BD与CE交于点O，则A.OC = EOB.AB·CE = 0C.|OA + OB + OC + OD| =3D.ED在BC方向上的投影向量为712BC12.在直三棱柱ABC - A1B1C1中，∠ABC = π3，AC = AA1，若该三校柱的外接球的表面积为28π，则该三棱柱的体积不可能是A.15B.18C.21D.24三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分。

福建省福州市八县(市、区)协作校2023-2024学年高二下学期期中联考数学试题(解析版)

福州市八县（市）协作校2023——2024学年第二学期期中联考高二数学试卷【完卷时间: 120分钟; 满分: 150分】命题：福州树德学校罗建平陈少敏一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（）A. 6 B. 12 C. 24 D. 42【答案】D 【解析】【分析】利用排列数，组合数的计算公式计算.【详解】.故选：D.2. 的展开式中，常数项是（）A. 81 B. 32C. 24D. 8【答案】C 【解析】【分析】根据二项式展开式的通项公式计算即可求解..【详解】展开式的通项公式为，令，解得，则，即展开式的常数项为24.故选：C3. 某人外出出差，委托邻居给家里盆栽浇一次水，若不浇水，盆栽枯萎的概率为；若浇水，盆栽枯萎的概率为．邻居浇水的概率为．则该人回来盆栽没有枯萎的概率为（）A. B. C. D. 【答案】B 【解析】22444!A C ++=2244434!A C 432143422⨯++=⨯⨯⨯+⨯+=42x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭42(x x+4421442C (2C r r r r r rr T x x x --+==420r -=2r =4222442C 2C 24r r rx -==0.80.150.80.7850.720.7650.67【分析】记为事件“盆栽没有枯萎”，为事件“邻居给盆栽浇水”，利用全概率公式可求得的值，再利用对立事件的概率公式可求得的值.【详解】记为事件“盆栽没有枯萎”，为事件“邻居给盆栽浇水”，由题意可得，，，，由全概率公式可得,由对立事件的概率公式可得，故选：B.4. 已知函数的导函数为，若，则（）A. B. C. 1D. 【答案】B 【解析】【分析】根据求导公式和运算计算法则求出a ，进而直接得出结果.【详解】由，得，所以，解得，所以，所以.故选：B5. 已知随机变量的概率分布如下表x 124P则（）A. 1 B. C. 11D. 15【答案】D 【解析】【分析】由概率和为可得，再结合期望的计算公式与期望的性质计算即可得解.【详解】由，故，则.A W ()P A ()P A A W ()0.8P W =()0.2P W =()0.8P A W =()0.15P A W =()()()()()0.80.150.20.80.28P A P W P A W P W P A W =+=⨯+⨯=()()110.280.72P A P A =-=-=()e x f x ax =+()f x '(0)0f '=(1)(0)f f +=1-ee 1-()e x f x ax =+()e x f x a '=+(0)10f a '=+=1a =-e ()x x f x =-(1)(0)e 11e f f +=-+=X 0.4a0.3()54E X += 2.21a 0.40.31a ++=0.3a =()()()5454510.420.340.3415E X E X +=+=⨯⨯+⨯+⨯+=故选：D .6. 吸烟有害健康.小明为了帮助爸爸戒烟，在爸爸包里放一个小盒子，里面摆放三支相同的香烟和五支跟香烟外形完全一样的“戒烟口香糖”，并且和爸爸约定：每次想吸烟时，按顺序从盒子里取一支，若取到口香糖则吃一支口香糖，不吸烟；若取到香烟，则吸一支烟，不吃口香糖.若小明想要最后一支为口香糖，且任意2支香烟不能相邻，那么他的这些香烟和口香糖共有（）种排列方式.A. 6 B. 8C. 10D. 12【答案】C 【解析】【分析】把5支口香糖排成一列，在前4支口香糖形成的5个空隙中，任取3个空隙放入3支香烟，列式计算即得.【详解】把5支口香糖排成一列，在前4支口香糖形成的5个空隙中，任取3个空隙放入3支香烟，有种方法，所以香烟和口香糖的不同排列方式有（种）.故选：C7. 正值春夏交接时节，学生极易发生感冒.某学校高一、高二、高三三个年级的人数之比为3:2:1，且这三个年级分别有、、的人患有感冒.现在从这三个年级中任选一人进行调查，在此人患了感冒的条件下，此人来自高二年级的概率最大.则下列取值可能的是（）A. 、 B. 、C. 、 D. 、【答案】D 【解析】【分析】设事件分别表示“此人高一，高二，高三的学生”，事件D 表示“此人感冒”，利用条件概率公式求出，根据题中条件可得出关于的不等式，解出之间的大小关系，分别对选项进行比较即可.【详解】设事件分别表示此人高一，高二，高三的学生，事件D 表示此人感冒，则,，35C 35C 10=%x %y ()%x y +3x =2y =3x =3y =3x =4y =3x =5y =,,A B C ()()()|,|,|P A D P B D P C D ,x y ,x y ,,A B C ()()()312111,,321232133216P A P B P C ======++++++()()()()|%,|%,|%P D A x P D B y P D C x y ===+则因为来自高二年级概率最大，所以,即,即，即，即，故选：D.8. 若曲线有且仅有一条过坐标原点的切线，则正数a 的值为（）A.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】设切点，利用导数的几何意义求得切线方程，将原点坐标代入，整理得，结合计算即可求解.【详解】设，则，设切点为，则，所以切线方程为，又该切线过原点，所以，整理得①，因为曲线只有一条过原点的切线，所以方程①只有一个解，故，解得.故选：A【点睛】关键点点睛：本题主要考查导数的几何意义，切点未知，设切点坐标，由导数的几何意义求出切线方程，确定方程的解与根的判别式之间的关系是解决本题的关键.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.()()()()()()()()11143|||%%%236600x y P D P A P D A P B P D B P C P D C x y x y +=++=⋅+⋅+⋅+=()()()()||,||P B D P A D P B D P C D ＞＞()()()()()()()(),P BD P AD P BD P CD P D P D P D P D ＞300200300600,43434343600600600600y x y x y x y x y x y x y +++++＞23,y x y x >>32y x >1e xax y +=1413001(,)e x ax x +2010ax x ++=Δ0=1()e x ax y f x +==1()e xax a f x -+-'=0001(,)e x ax x +0001()e x ax a f x -+-'=0000011()e e x x ax ax a y x x +-+--=-00000110(0)e e x x ax ax a x +-+--=-20010ax x ++=()y f x =140a ∆=-=14a =9. 下列说法正确的是（）A. 若随机变量X 服从两点分布且，则B. 若随机变量满足，，则C. 若随机变量，则D. 设随机变量，若恒成立，则的最大值为12【答案】BD 【解析】【分析】根据两点分布、正态分布、二项分布的性质、期望与方差公式，逐项判断即可.【详解】对于A ，因为随机变量X 服从两点分布且，所以，所以，故A 错误；对于B ，因为随机变量满足，，所以，所以，故B 正确；对于C ，因为随机变量，所以，故C 错误；对于D ，因为随机变量，恒成立，所以恒成立，所以，所以，故D 正确.故选：BD.10. 关于函数及其导函数，下列说法正确的是（）A. 若，则B. 若，则C. 若函数为奇函数，则D. 若，则【答案】ACD1(0)4P X ==3()8E X =2(,)X N μσ (1)0.22P X <=(3)0.78P X <=2μ=1(6,2X B 1(2)4P X ==(,)X B n p ()3D X ≤n 1(0)4P X ==3(1)4P X ==133()0+1=444E X =⨯⨯2(,)X N μσ (1)0.22P X <=(3)0.78P X <=(3)(1)0.22P X P X ≥=<=1322μ+==1(6,)2X B 22461115(2)C ()(12264P X ==-=(,)X B n p ()3D X ≤()(1)3D X np p =-≤221(1)()()3244n nnp p n p p n p -=-=--+≤≤12n ≤()f x ()f x '()ln f x x x =(e)2f '=()sin f x x =π(())12f f '=()f x ()()f x f x ''=-()()0f x f x '->()()20242023ef f >【解析】【分析】根据求导公式和求导的运算法则计算，即可判断ABC ；构造函数，利用导数证明为增函数，即可判断D.【详解】A ：由，得，所以，故A 正确；B ：由，得，所以，则，故B 错误；C ：由为奇函数，得，等式两边同时取导数，得，即，故C 正确；D ：由，且定义域为，可构造函数，则，所以为R 上的增函数，则，则，故D 正确.故选：ACD11. 2024年元宵节，张同学与陈同学计划去连江人民广场参加猜灯谜活动.张同学家在如图所示的E 处，陈同学家在如图所示的F 处，人民广场在如图所示的 G 处.下列说法正确的是（）A. 张同学到陈同学家的最短路径条数为6条B. 在张同学去人民广场选择的最短路径中，到F 处和陈同学汇合并一同前往的概率为C. 张同学在去人民广场途中想先经过花海欣赏灯光秀（花海四周道路均可欣赏），可选的最短路径有22条D. 张同学和陈同学在选择去人民广场的最短路径中，两人相约到人民广场汇合，事件A ：张同学经过陈同()()e xf xg x =()g x ()ln f x x x =()ln 1(0)f x x x '=+>(e)ln e 12f '=+=()sin f x x =()cos f x x '=π()02f '=π(())(0)sin 002f f f '===()f x ()()f x f x -=-()()f x f x ''--=-()()f x f x ''-=()()0f x f x '->R ()()exf xg x =()()()0exf x f xg x -''=>()g x ()()()()202420232024202320242023eef fg g =>=()()20242023ef f >1835学家；事件B ：从F 到人民广场两人的路径没有重叠部分（路口除外），则. 【答案】AB 【解析】【分析】对于A ：4格中2格向上，2格向右的问题；对于B ：先求出张同学去人民广场选择的最短路径中总的基本事件，再求出和陈同学回合后的基本事件数，利用古典概型解答；对于C ：间接法，先求出不欣赏灯光秀的情况数，再用总数一减即可；对于D ：求出和，再利用条件概率公式求解.【详解】对于A ：最短路径为共走4格，其中向上走2格，向右走2格，条数为，A 正确；对于B ：在张同学去人民广场选择的最短路径中，总的基本事件：共走7格，其中向上走3格，向右走4格，即有种走法，到F 处和陈同学汇合并一同前往，首先到处，有种走法，再到人民广场，共走3格，其中向上走1格，向右走2格，即有种走法，则到F 处和陈同学汇合并一同前往的基本事件有种，则概率为，B 正确；对于C ：在张同学去人民广场选择的最短路径共种走法，若途中不经过花海欣赏灯光秀，①先从走到有种走法，再从走到有2种走法，则途中不经过花海欣赏灯光秀有种走法，②先从走到有种走法，再从走到有种走法，则途中不经过花海欣赏灯光秀有种走法，③先从走到，再走到有种走法，综合得途中不经过花海欣赏灯光秀总共有种走法，则欣赏灯光秀有种走法，C 错误；对于D ：，D 错误.故选：AB.()5|12P B A =()P AB ()P A 24C 6=37C 35=F 613C 3=6318⨯=183535E F 3F G 326⨯=E A 14C 4=A G 13C 3=3412⨯=E B B G 1612119++=351916-=()()()622353|18935P AB P B A P A ⨯⨯===【点睛】方法点睛：网格中的最短路径问题，可以转化为格中，有格向上，向右的问题来解答.三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分.12. 雅礼中学将5名学生志愿者分配到街舞社､戏剧社､魔术社及动漫社4个社团参加志愿活动，每名志愿者只分配到1个社团､每个社团至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有__________种【答案】240【解析】【分析】根据题意，先将5名学生志愿者分为4组，再将分好的4组安排参加4个社团参加志愿活动，结合分步计数原理，即可求解.【详解】根据题意，分2步进行分析：①将5名学生志愿者分为4组，有种分组方法，②将分好的4组安排参加4个社团参加志愿活动，有种情况，则有种分配方案故答案为：.13. 有一批产品，其中有6件正品和4件次品，从中任取3件，其中次品的件数记为X ，则次品件数X 的期望为______．【答案】1.2【解析】【分析】确定随机变量X 服从超几何分布，确定相关参数，根据超几何分布的期望公式，即得答案.【详解】由题意知随机变量X 服从超几何分布，其中，，，于是次品件数X 的期望，故答案为：1.214. 若函数有零点，则实数的取值范围是________．【答案】【解析】【分析】利用导数说明函数单调性，即可求出函数的最大值，依题意只需，即可求出参数的取值范围.【详解】函数的定义域为，.的n m n m -25C 10=44A 24=1024240⨯=24010N =4M =3n =() 1.2nME X N==1()ln ef x x x a =-+a [)0,∞+()max 0f x ≥1()ln ef x x x a =-+()0,∞+又，所以当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，又时，时，又函数有零点，所以，即，所以实数的取值范围是.故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明或演算步骤.15. 在6名内科医生和4名外科医生中，内科主任和外科主任各1名，现要从这 10人中挑选5人组成医疗小组送医下乡，依下列条件各有多少种选派方法? （用数字作答）.（1）既有内科医生，又有外科医生；（2）至少有1名主任参加；（3）既有主任，又有外科医生.【答案】（1）（2）（3）191【解析】【分析】（1）分内科医生去人四种情况计算；（2）至少有1名主任即为只有1名或2名，分别计算求解；（3）分两类：一种若选外科主任，则其余可任意选，另一种若不选外科主任，则必选内科主任，分别求解即可；【小问1详解】既有内科医生，又有外科医生包括四种情况：内科医生去人，得选派方法为：；【小问2详解】分两类：一是选1名主任有种方法；11e ()e e x f x x x-'=-=0e x <<()0f x '>e x >()0f x '<()f x ()0,e ()e,+∞()()max e f x f a ==0x →()f x →-∞x →+∞()f x →-∞1()ln ef x x x a =-+()max 0f x ≥0a ≥a [)0,∞+[)0,∞+2461961,2,3,41,2,3,46661423324144446C C C C C C C C 246+++=1428C C 140=二是选2名主任有种方法；故至少有1名主任参加的选派方法共种；【小问3详解】若选外科主任，则其余可任意选，共有种选法；若不选外科主任，则必选内科主任，且剩余四人不能全选内科医生，有种选法； . （也可以直接法：+=65）故既有主任，又有外科医生的选派种数为.16. 在的展开式中，（1）求展开式中所有项的系数和；（2）求二项式系数最大的项；（3）系数的绝对值最大的项是第几项?【答案】（1）1（2）（3）第6项和第7项【解析】【分析】（1）借助赋值法令即可得；（2）结合二项式系数的性质与二项式的展开式的通项公式计算即可得；（3）解不等式组即可得.【小问1详解】令，可得展开式中所有项的系数和为；【小问2详解】二项式系数最大的项为中间项，即第5项，的展开式的通项为：，2328C C 56=14056196+=49C 126=4485C C 65-=13223535C C C C +3135C C 12665191+=822x ⎫⎪⎭651120T x -=1x =118811882C 2C 2C 2C r r r r r r r r ++--⎧≥⎨≥⎩1x =()811-=822)x-()584218822C 2C ,8,N rrr rrr T x r r x --+⎛⎫=⋅⋅-=-≤∈ ⎪⎝⎭故；【小问3详解】由的展开式的通项为：，设第项系数的绝对值最大，显然，则，整理得，即，解得，而，则或，所以系数的绝对值最大的项是第6项和第7项.17. 某植物园种植一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度(单位：cm)介于之间，现对植物园部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如下图所示.（1）求的值;（2）以频率估计概率，完成下列问题.(i )若从所有花卉中随机抽株，记高度在内的株数为，求的分布列及数学期望；(ii )若在所有花卉中随机抽取3株，求至少有2株高度在的条件下，至多 1株高度低于的概率.【答案】（1）（2）(i )分布列见解析，；(ii ) 【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为得到方程，解得即可；()4466582C 1120T x x --=-=822)x-()584218822C 2C ,8,N rrr rrr T x r r x --+⎛⎫=⋅⋅-=-≤∈ ⎪⎝⎭1r +08r <<118811882C 2C 2C 2C r r r r r r r r ++--⎧≥⎨≥⎩8!8!2!(8)!(1)!(7)!8!8!2!(8)!(1)!(9)!r r r r r r r r ⎧≥⋅⎪-+-⎪⎨⎪⋅≥⎪---⎩1162182r r r r +≥-⎧⎨-≥⎩56r ≤≤N r ∈=5r 6r =[]15,25a 4[)19,21X X ()E X []21,2523cm 0.125()1E X =261251（2）(i )依题意可得，根据二项分布的概率公式求出分布列与数学期望；(ii )利用条件概率的概率公式计算可得.【小问1详解】依题意可得，解得；【小问2详解】(i )由（1）可得高度在的频率为，所以，所以，，，，，所以的分布列为：所以；(ii )在欧阳花卉中随机抽取株，记至少有株高度在为事件，至多株高度低于为事件，则，，所以.18. 某商场将在“周年庆”期间举行“购物刮刮乐，龙腾旺旺来”活动，活动规则：顾客投掷3枚质地均匀的股子．若3枚骰子的点数都是奇数，则中“龙腾奖”，获得两张“刮刮乐”；若3枚骰子的点数之和为6的倍()4,0.25X B ()0.050.0750.150.121a ++++⨯=0.125a =[)19,210.12520.25⨯=()4,0.25X B ()438104256P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭()31413271C 4464P X ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭()222413272C 44128P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⨯⨯()31341333C 4464P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⨯⎝⎭⨯()444114C 4256P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭X X1234P812562764271283641256()1414E X =⨯=32[]21,25M 123cm N ()3313111C 222P M ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()22322331113113C C 525105125P MN ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()1326125|11252P NM P N M P M ===数，则中“旺旺奖”，获得一张“刮刮乐”；其他情况不获得“刮刮乐”．（1）据往年统计，顾客消费额（单位：元）服从正态分布．若某天该商场有20000位顾客，请估计该天消费额在内的人数；附：若，则．（2）已知每张“刮刮乐”刮出甲奖品概率为，刮出乙奖品的概率为．①求顾客获得乙奖品的概率；②若顾客已获得乙奖品，求其是中“龙腾奖”而获得的概率．【答案】（1）16372 （2）①；②【解析】【分析】（1）由题意，由此结合题中数据以及对称性即可求解相应的概率，进一步即可求解；（2）由题意有，进一步分3大种情况求得，对于①，由全概率公式即可求解；对于②，由条件概率公式即可求解.【小问1详解】由题意，若某天该商场有20000位顾客，估计该天消费额在内的人数为；【小问2详解】设事件“顾客中龙腾奖”，事件“顾客中旺旺奖”，事件“顾客获得乙奖品”，由题意知，事件包括的事件是：“3枚骰子的点数之和为6”，“3枚骰子的点数之和为12”，“3枚骰子的点数之和为的X ()2130,25N X []105,180()2,X Nμσ ()()0.6827,220.9545P X P X μσμσμσμσ-≤≤+≈-≤≤+≈3414373842137()()()1051802P X P X P x μσμμμσ≤≤=-≤≤+≤≤+()()()112171,|,|8164P A P B A P B A ===()216P A =()()()105180105130130180P X P X P x ≤≤=≤≤+≤≤()()()120.68270.95450.81862P X P x μσμμμσ=-≤≤+≤≤+≈+≈X []105,1800.81862000016372⨯=1A =2A =B =()()()23112331371,|1,|684164P A P B A P B A ⎛⎫===-== ⎪⎝⎭2A18”，则（i ）若“3枚骰子的点数之和为6”，则有“1点，1点，4点”， “1点，2点，3点”， “2点，2点，2点”，三类情况，共有种；（ii ）若“3枚骰子的点数之和为12”，则有“1点，5点，6点”， “2点，5点，5点”， “2点，4点，6点”， “3点，4点，5点”， “3点，3点，6点”， “4点，4点，4点”，六类情况，共有种；（iii ）若“3枚骰子的点数之和为18”，则有“6点，6点，6点”，一类情况，共有1种；所有，①由全概率公式可得，即顾客获得乙奖品概率为；②若顾客已获得乙奖品，求其是中“龙腾奖”而获得的概率是，所以顾客已获得乙奖品，求其是中“龙腾奖”而获得的概率是.19. 已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若不等式对任意恒成立，求的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）【解析】【分析】（1）求导得，分是否大于0进行讨论即可得解；（2）原问题等价于对任意恒成立，令，的213313C C A 136110++=++=31233213323331A C C A A C C 163663125+++++=+++++=()23310251361666P A ++===()()()()()1122171137||81664384P B P A P B A P A P B A =+=⨯+⨯=37384()()()()()()111117|21816|3737384P A B P A P B A P A B P B P B ⨯====2137()2e 2,xf x ax a =-∈R ()f x ()22f x x a ≥+()0,x ∈+∞a 2ln2⎡⎤-⎣⎦()2e 2xf x a =-'a 222e 20x ax x a --≥-()0,x ∈+∞()222e 2xg x ax x a =---不断求导得在上单调递增，注意到，由此结合导数与最值的关系分是否大于1进行讨论即可.【小问1详解】.当时，在上恒成立，所以在上单调递增.当时，令，得，令，得，所以在上单调递减，在上单调递增.【小问2详解】不等式对任意恒成立，即对任意恒成立.令，则.设，则.当时，，所以在上单调递增，所以当时，.①若，当时，上单调递增，则，所以，所以，②若，则，又当时，，所以，使得，即.当时，在上单调递减，当时，在上单调递增，则，所以，所以.由，令函数，则当时，，所以，所以.在()g x '()0,∞+()()021g a '=-a ()2e 2x f x a =-'0a ≤()0f x ¢>R ()f x R 0a >()0f x '<ln x a <()0f x ¢>ln x a >()f x (),ln a ∞-()ln ,a ∞+()22f x x a ≥+()0,x ∈+∞222e 20x ax x a --≥-()0,x ∈+∞()222e 2xg x ax x a =---()2e 22xg x x a '=--()()2e 22xx g x x a ϕ'==--()2e 2xx ϕ'=-0x >()2e 20xx ϕ'=->()g x '()0,∞+0x >()()()02221g x g a a ''>=-=-10a -≥0x >()()0,g x g x '>()0,∞+()2020g a =-≥a ≤≤1a ≤≤10a -<()00g '<x →+∞()g x '→+∞00x ∃>()0002e 220xg x x a =--='00e xa x =-00x x <<()()0,g x g x '<()00,x 0x x >()()0,g x g x '>()0,x +∞()()()()0000022min 00()2e 2e e e 2e 0x x x x x g x g x x a ==-+=-=-≥0e 2x ≤00ln2x <≤00e xa x =-()e xh x x =-0ln2x <≤()e 10xh x '=->()12ln2h x <≤-12ln2a <≤-综上，实数的取值范围是.【点睛】关键点点睛：第二问的关键是得出在上单调递增，且注意到，由此即可顺利得解.a 2ln2⎡⎤-⎣⎦()g x '()0,∞+()()021g a '=-。

小学二年级下学期期中考试模拟卷

二年级下册数学期中试卷班级：姓名：学号：成绩：一填空1 578里面有〔〕个百，〔〕个十〔〕个一。

2在下面的括号里添上适宜的长度单位课桌高8〔〕一支粉笔长１〔〕小明身高1〔〕35〔〕学校跑道长300〔〕，信誉卡厚1〔〕3按规律添数453 564 675 〔〕〔〕〔〕4 从05 3 6中选出三个数组成最大的三位数是〔〕，最小的三位数是〔〕5 8个千和8个十组成的数是〔〕6认真观察下列图中的各个角。

二选择１下面数中的３，表示３个十的是〔〕〔１〕５７３〔２〕６３７〔３〕３０６〔４〕３００２长颈鹿的身高２００〔〕〔１〕米〔２〕厘米〔３〕毫米〔４〕分米３有８人要打的，每辆出租车连驾驶员只能做４人，需要〔〕辆车〔１〕１〔２〕２〔３〕３〔４〕４４下面的数中，最接近５００的是〔〕（１）４０２〔２〕４９８〔３〕５０３〔４〕５９９三计算1、我能直接写出得数。

〔6分〕25－9＝37＋8＝42÷6＝9×9＝13﹢56= 7×8＝96－40＝21÷3＝2、竖式计算：(8分)24÷8 = 42 ÷9 = 14÷3 = 50÷ 6 =3、混合计算：(１2分)4 × 9 – 20= 15 + 5 ×5= 35 ÷ 7 + 10 = 80 - 42÷6= 〔6 + 3 〕×9= 24÷〔17 – 9 〕=四解决问题１小朋友一起做灯笼，６张纸能做一个，照这样做，５０张纸能做几个灯笼还剩几张纸？２小名带了２元钱去买３角一只的铅笔，最多能买几支，还剩多少钱？3 10双袜子装一包，已经消费好100只袜子，能装几包？49元一个 12元一袋 5元一把28元一盆12元一双1、淘气有50元钱,买了一把剪刀,剩下的钱还可以买几个卡通娃娃？2、一支彩笔的价钱比一把剪刀廉价多少元钱？3、买2双鞋和一盆花共花多少钱？4、买一支彩笔和一把剪刀，一共需要多少钱？付给售货员20元，应找回多少钱？五、排排队，分一分。

福建省福州市2020版八年级下学期数学期中考试试卷(II)卷

福建省福州市2020版八年级下学期数学期中考试试卷（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分） (2017九上·肇源期末) 下列有理式中① ，② ，③ ，④ 中分式有（）个．A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个2. （2分） (2020七下·张掖期末) 有一种原子的直径约为0.00000053米，它可以用科学计数法表示为（）.A . 53×107米B . 5.3×107米C . 5.3×10-7米D . 5.3×10-8米3. （2分）在平面直角坐标系中，点A（2，5）与点B关于y轴对称，则点B的坐标是（）A . （﹣5，﹣2）B . （﹣2，﹣5）C . （﹣2，5）D . （2，﹣5）4. （2分）(2012·锦州) 如图，反比例函数y= （k≠0）与一次函数y=kx+k（k≠0）在同一平面直角坐标系内的图象可能是（）A .B .C .D .5. （2分）直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b（kb≠0）的图象过点（1，kb），且b≥2，与x轴、y轴分别交于A、B两点．设△ABO的面积为S，则S的最小值是（）A .B . 1C .D . 不存在6. （2分） (2019七下·楚雄期末) 在关系式y=2x-7中，下列说法错误的是（）A . x的数值可以任意选择B . y的值随x的变化而变化C . 用关系式表示的不能用图象表示D . y与x的关系还可以用列表法表示7. （2分）(2017·娄底) 如图，在同一平面直角坐标系中，反比例函数y= 与一次函数y=kx﹣1（k为常数，且k＞0）的图象可能是（）A .B .C .D .8. （2分）(2017·宁波模拟) 当m，n是实数且满足m﹣n=mn时，就称点Q（m，）为“奇异点”，已知点A、点B是“奇异点”且都在反比例函数y= 的图象上，点O是平面直角坐标系原点，则△OAB的面积为（）A . 1B .C . 2D .9. （2分）(2017·诸城模拟) 函数y=ax﹣a与y= （a≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（）A .B .C .D .10. （2分） (2018九上·瑶海期中) 已知点在反比例函数的图像上，下列正确的是（）A .B .C .D .二、填空题 (共6题；共6分)11. （1分）(2017·钦州模拟) 当x=________时，分式的值为零．12. （1分） (2017八上·上杭期末) 计算：（π﹣2）0﹣2﹣1=________．（填“＞”“＜”13. （1分） (2018八上·重庆期中) 已知点（﹣2，a），（1，b）在直线y=2x+3上，则a________b．或“=”号）14. （1分）在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝的图象与正比例函数y＝kx的图象交于点A(1，3)和点B，则点B的坐标为________ ．15. （1分）已知一次函数y=ax-b的图象经过一、二、三象限，且与x轴交于点（-2，0），则不等式ax＞b 的解集为________16. （1分）(2018·贵港) 如图，直线l为y= x，过点A1（1，0）作A1B1⊥x轴，与直线l交于点B1 ，以原点O为圆心，OB1长为半径画圆弧交x轴于点A2；再作A2B2⊥x轴，交直线l于点B2 ，以原点O为圆心，OB2长为半径画圆弧交x轴于点A3；……，按此作法进行下去，则点An的坐标为（________）．三、解答题 (共8题；共80分)17. （5分） (2017八上·扶沟期末) 阅读下面的解题过程：已知 = ，求的值．解：由 = 知x≠0，所以 =2，即x+ =2．∴ =x2+ =（x+ ）2﹣2=22﹣2=2，故的值为评注：该题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解下面的题目：已知 = ，求的值．18. （15分） (2019八下·江阴期中) 计算：（1）＋m＋1（2）（3）解方程：19. （5分）当m为何值时，解方程会产生增根？20. （15分）(2017·浙江模拟) 某工厂投入生产一种机器的总成本为2000万元．当该机器生产数量至少为10台，但不超过70台时，每台成本y与生产数量x之间是一次函数关系，函数y与自变量x的部分对应值如下表：x（单位：台）102030y（单位：万元∕台）605550（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）求该机器的生产数量；（3）市场调查发现，这种机器每月销售量z（台）与售价a（万元∕台）之间满足如图所示的函数关系．该厂生产这种机器后第一个月按同一售价共卖出这种机器25台，请你求出该厂第一个月销售这种机器的利润．（注：利润=售价﹣成本）21. （5分） (2018八上·合浦期中) 某学校后勤人员到文具店给八年级学生购买考试用文具包,该文具店规定一次购买400个以上,可享受八折优惠,若给每人购买一个,不能享受八折优惠,需付款1935元;若再多买88个就可享受八折优惠,并且同样只需付款1935元,求该校八年级学生的总人数。

福建省福州市八县(市、区)一中2022-2023学年高二下学期期中联考数学试题

福建省福州市连江第一中学2022—2023学年度第二学期期中联考高二年数学科试卷完卷时间：120分钟满分：150分第Ⅰ卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知抛物线2:2C y x =上一点到y 轴的距离是3，则该点到抛物线C 焦点的距离是（）A. 3 B.72C. 4D.92【答案】B 【解析】【分析】求出抛物线的准线方程，由焦半径公式求出答案.【详解】由题意得：抛物线2:2C y x =的准线方程为1=2x -，由焦半径公式得：该点到抛物线C 焦点的距离等于17322+=.故选：B2. 已知随机变量X 的分布列为()(1i P X i i a===，2，3，4，5)，则(25)P X ≤<=（）A.13B.12C.35D.910【答案】C 【解析】【分析】由随机变量的分布列的性质即概率和等于1，可求得a 的值，又由()()()()25234P X P X P X P X ≤<==+=+=，计算可得答案.【详解】根据题意，随机变量X 的分布列为()()1,2,3,4,5iP X i i a===，由分布列的性质，则有511i ia ==å，解得15a =，故()()()()25234P X P X P X P X ≤<==+=+=.23493151515155=++==.故选：C.3. 函数()2e xf x x=的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】C 【解析】【分析】求导判断出函数()f x 的单调区间即可做出选择.【详解】∵()2e x f x x =，∴()()()22222222212e e e e e x xx x x x x x x f x x x x ¢¢×-×--¢===.令()0f x ¢=，得12x =.则函数()f x 在区间(),0¥-，10,2æöç÷èø上单调递减，在区间1,2æö+¥ç÷èø上单调递增.选项A ：违背函数()f x 在区间(),0¥-上单调递减.判断错误；选项B ：违背函数()f x 在区间10,2æöç÷èø上单调递减. 判断错误；选项C ：函数()f x 在区间(),0¥-，10,2æöç÷èø上单调递减，在区间1,2æö+¥ç÷èø上单调递增.判断正确；选项D ：违背函数()f x 在区间10,2æöç÷èø上单调递减. 判断错误.故选：C4. 将5个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（）A. 10种 B. 25种 C. 36种 D. 52种【答案】B 【解析】【分析】根据题意，可得1号盒子至少放一个，最多放3个小球，即分三种情况讨论，分别求出其不同的放球方法数目，相加可得答案．【详解】根据题意，每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，分析可得，1号盒子至少放一个，最多放3个小球，分情况讨论：1号盒子中放1个球，其余4个放入2号盒子，有15C 5=种方法；1号盒子中放2个球，其余3个放入2号盒子，有25C 10=种方法；1号盒子中放3个球，其余2个放入2号盒子，有35C 10=种方法；则不同的放球方法有5101025++=种，故选：B ．5. 已知某地市场上供应的一种电子产品中，甲厂产品占12，乙厂产品占14，丙厂产品占14，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是90%，丙厂产品的合格率是90%，则从该地市场上买到一个产品，此产品是次品的概率是（）A. 0.925 B. 0.03C. 0.075D. 0.95【答案】C 【解析】【分析】应用对立事件概率求法，全概率公式求次品的概率.【详解】由题设，此产品是次品的概率1951901903(1(1)(1)0.07521004100410040´-+´-+´-==.故选：C6. 如下图，在平面直角坐标系中的一系列格点(),i i i A x y ，其中1,2,3,,,i n =××××××且,i i x y ÎZ ．记n n n a x y =+，如()11,0A 记为11a =，()21,1A -记为20a =，()30,1A -记为31,a =-×××，以此类推；设数列{}n a 的前n 项和为n S ，则80S =（）A. 1B. 0C. —1D. 2【答案】B 【解析】【分析】由图观察可知第n 圈的8n 个点对应的这8n 项的和为0，同时第n 圈的最后一个点对应坐标为(,)n n ，80a 在第4圈最后一个点上，则800.S =【详解】由图可知，第一圈从点()1,0到点()1,1共8个点，由对称性可知81280,S a a a =+++=L 第二圈从点()2,1到点()2,2共16个点，由对称性可知910240a a a +++=L ，以此类推，可得第n 圈的8n 个点对应的这8n 项的和为0．第n 圈的最后一个点对应坐标为(,)n n ，80a 在第4圈最后一个点上，则800.S =故选：B ．7. 已知双曲线22:13x C y -=的左右两个顶点分别为,A B ，12,,,n M M M L 点为双曲线右支上的n 个点，1212,,,,,,n n N N N M M M L L 分别与关于原点对称，则直线12,,,nAM AM AM L 12,,,,n AN AN AN L 这2n 条直线的斜率乘积为（）A. 13næöç÷èøB. 12næöç÷èøC. 3n -D. 2n-【答案】A 【解析】【分析】根据对称性，先算出11AM AN k k 的结果，然后将这2n 条直线分组，利用刚才的结果即可得出结论.【详解】设1(,)M m n ，由题意，1(,)N m n --，又(A，于是11223AM AN n k k m ==-，又1(,)M m n 在双曲线上，故2213mn -=，于是112222113333AM AN m n k k m m -===--，将2n 条直线两两分组，1122,;,;;,n n AM AN AM AN AM AN L ，类似上面的步骤，这n 组直线中的两条直线斜率之积均是13，于是这2n 条直线的斜率乘积为13næöç÷èø.故选：A8. 若对任意的()12,0,x x m Î，且12x x <，都有122112ln ln 1x x x x x x -<-成立，则实数m 的最大值是（）A. 2e -B. eC. 2e D. 1e -【答案】C 【解析】【分析】由题意可得122112ln ln x x x x x x ->-，变形得出2121ln 1ln 1x x x x -->，构造函数()ln 1x g x x-=，可知函数()y g x =在区间()0,m 上单调递增，利用导数求得函数()y g x =的单调递增区间，由此可求得实数m 的最大值.【详解】对()12,0,x x m Î"，且12x x <，都有122112ln ln 1x x x x x x -<-，可得122112ln ln x x x x x x ->-，即()()1221ln 1ln 1x x x x ->-，两边同除12x x 得2121ln 1ln 1x x x x -->，构造函数()ln 1x g x x-=，则函数()y g x =在区间()0,m 上单调递增，()22ln xg x x-¢=，令()0g x ¢>，即2ln 0x ->，解得20e x <<，即函数()y g x =的单调递增区间为()20,e，()()20,0,e m \Í，则2e m ≤，因此，实数m 的最大值为2e .故选：C.二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，漏选得2分，错选得0分）9. 在等差数列{}n a 中，已知48a =，128a =-，n S 是其前n 项和，则下列选项正确的是（）A. 2d =- B. 80a =C. 1554S = D.7878S S >【答案】ABD 【解析】【分析】由题意，根据等差数列的通项公式可得1a 与d 的方程组，可求出1a 与d ，再结合等差数列通项公式和前n 项和公式可判断各选项.详解】由48a =，128a =-，可得1138118a d a d +=ìí+=-î，解得1142a d =ìí=-î，()81714720a a d \=+=+´-=，故A ，B 正确；又()151151511502S a d ´-=+=，故C 错误；同理，756S =，856S =，787S \=，878S =，则7878S S>，故D 正确.故选：ABD.10. 若523455(21)(1),,,,,,x a bx cx dx ex fx x a b c d e f -=+++++++均为常数，则下列选项正确的是（）A. 2a =- B. 85e =-C. 272b c df +++=- D. 234570b c d e f ++++=-【答案】ABD 【解析】【分析】将()51x +展开与2345a bx cx dx ex fx +++++合并，利用二项展开式的通项公式，求得a ，b ，c ，d ，e ，f 的值，从而判断各个选项.【详解】()()552345211x a bx cx dx ex fx x -=+++++++Q 【()()()()()234515101051a b x c x d x e x f x =+++++++++++，令0x =，可得11a -=+，2a \=-，故A 正确；由于()521x -的展开式的通项公式为()5515C 12rrr r r T x --+=×-××，令0r =，得5x 项的系数为52，即512f +=，31f \=，令1r =，得4x 项的系数为()451C 12×-×，即580e +=-，85e \=-，令2r =，得3x 项的系数为()3522C 12×-×，即1080d +=，70d \=，令3r =，得2x 项的系数为()2533C 12×-×，即1040c +=-，50c \=-，令4r =，得x 项的系数为()454C 12×-×，即510b +=，5b \=，即解得31f =，85e =-，70d =，50c =-，5b =，550703156b c d f +++=-++=，234570b c d e f ++++=-，故B 正确；C 错误；D 正确.故选：ABD.11. 下列选项正确的是（）A. 空间向量()1,1,2a =-r 与向量()2,2,4b =--r共线B. 已知向量()2,,4a x =r ，()0,1,2b =r ，()1,0,0c =r ，若a r ，b r ，c r共面，则2x =C. 已知空间向量()1,1,0a =r ，()1,0,2b =-r ，则a r 在b r 方向上的投影向量为12,0,55æö-ç÷èøD. 点(2,1,1)A 是直线l 上一点，(1,0,0)a =r是直线l 的一个方向向量，则点(1,2,0)P 到直线l 【答案】ABC 【解析】【分析】利用空间向量的共线判断A ；利用向量共面定理判断B ；利用投影向量的求法判断C ；利用点到直线的距离公式判断D ．【详解】对于A ，(1,1,2)a =-r Q ，(2,2,4)b =--r ，2b a \=-r r ，a \r 与b r共线，故A 正确；对于B ，设a b c l m =+r r r，即()())(2,,40,1,21,,0,)(,20x l m m l l =+=，则242x m l l =ìï=íï=î，得2x =，故B 正确；对于C，1,||a b b ×=-==rr r Q ，a \r 在b r 方向上的投影向量为2112(1,0,2)(,0,)555a b b b æö×ç÷=--=-ç÷ç÷èør r rr ，故C 正确，对于D ，(1,1,1)AP =--uuu r Q ，r是直线l 的一个单位方向向量，\点P到直线l ==，故D 错误．故选：ABC ．12. 已知0,R,e a b >Î是自然对数的底，若e ln b b a a +=+，则a b -的值可以是（）A. 1 B. 1- C. 2 D.12【答案】AC 【解析】【分析】设()e xf x x =+，结合单调性可得e b a =，从而e b a b b -=-，令()e xg x x =-，利用导数求得()g x 的范围即可判断.【详解】设()e xf x x =+，则()f x 在R 上单调递增，∵()()()ln ln e ln ebaf b f a b a -=+-+ln (ln )0a a a a =+-+=，∴ln b a =，即e b a =，∴e b a b b -=-，令()e x g x x =-，则()e 1x g x ¢=-，当0x <时，()0g x ¢<，()g x 单调递减，当0x >时，()0g x ¢>，()g x 单调递增，∴()(0)1g x g ³=，从而1a b -³，故AC 符合.故选：AC.第Ⅱ卷三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 随机变量X 的概率分布列如下：X－101Pabc其中a ，b ，c 成等差数列，若随机变量X 的期望1()2E X =，则其方差()D X ＝______．【答案】512【解析】【分析】利用等差中项的性质，分布列中概率和为1以及均值的计算公式构建方程求得a ，b ，c ，再由方差的计算公式求得答案.【详解】因为a ，b ，c 成等差数列，则2a c b +=，又由分布列的性质，则1a b c ++=，所以得13b =，又因为随机变量的均值()11012E X a b c c a =-´+´+´=-=且23a c +=,故解得112a =，712c =，所以()22211117151011223212212D X æöæöæö=´--+´-+´-=ç÷ç÷ç÷èøèøèø.故答案为：512.14. 已知⊙M ：()()22114x y -+-=，直线l ：220x y ++=，点P 为直线l 上的动点，过点P 作⊙M 的切线PA ，切点为A ，则切线段PA 长的最小值为________．【答案】1【解析】【分析】由已知求得圆心坐标与半径，再求出圆心到直线l 的距离，利用勾股定理得答案．【详解】⊙M ：22(1)(1)4x y -+-=的圆心坐标为(1,1)M ，半径为2，如图，||2MA =，且222PA PM MA =-，故要使||PA 最小，则||PM 最小，此时PM ⊥l ，因为圆心M 到直线l ：220x y ++==∴||PA1.=故答案为：1．15. 若函数()2()e xf x x mx =+在13,22éù-êúëû上存在单调递减区间，则m 的取值范围是_________．【答案】3,2æö-¥ç÷èø【解析】【分析】先求()f x 的导函数，再将函数()f x 在区间13,22éù-êúëû上存在单调递减区间转化为()0f x ¢<在区间13,22éù-êúëû上有解，再根据参数分离，构造函数，结合函数在区间的单调性即可求解实数m 的范围．【详解】()()2e xf x x mx =+，则()()2e2xf x xmx x m ¢=+++，函数()f x 在区间13,22éù-êúëû上存在减区间，只需()0f x ¢<在区间13,22éù-êúëû上有解，即()220x m x m +++<在区间13,22éù-êúëû上有解，又13,22x éùÎ-êúëû，则151,22x éù+Îêúëû，所以221x xm x --<+在区间13,22éù-êúëû上有解，所以2max21x x m x æö--<ç÷+èø，13,22x éùÎ-êúëû，令1x t +=，15,22t éùÎêúëû，则()222112111x x x t x x t-++---+==++，令()1g t t t =-+，则()2110g t t ¢=--<在区间15,22t éùÎêúëû恒成立，所以()g t 在15,22t éùÎêúëû上单调递减，所以()max 1322g t g æö==ç÷èø，即2max 2312x x x æö--=ç÷+èø，所以32m <，所以实数m 的取值范围是3,2æö-¥ç÷èø．故答案为：3,2æö-¥ç÷èø．16. 北宋的数学家沈括博学多才，善于观察.据说有一天，他走进一家酒馆，看见一层层垒起的酒坛，不禁想到：“怎么求这些酒坛的总数呢？”他想堆积的酒坛､棋子等虽然看起来像实体，但中间是有空隙的，应该把它们看成离散的量.经过反复尝试，沈括提出对于上底有ab 个，下底有cd 个，从上到下，逐层长宽各多1个，共n 层的堆积物（如下图），可以用公式()()()2266n n S b d a b d c c a =++++-éùëû求出物体的总数，这就是沈括的“隙积术”，利用“隙积术”求得数列()(){}132n n ++-的前15项的和是________．（结果用数字表示）【答案】1735【解析】【分析】根据题意，求出a ，b ，c ，d 的值，代入公式计算即可得答案.【详解】解析：由题，在数列24´，35´，46´，L ，()()13n n ++中，可得2,4,16,18a b c d ====，根据隙积术公式，()()243546151153\´+´+´++++L ()()()151524182421816162176566éù=´+´++´´+-=ëû，()()152435461511532151765301735S \=´+´+´++++-´=-=L .故答案为：1735.四、解答题（本大题6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 函数()ln 1f x x x ax =-+在点(1(1))A f ,处的切线斜率为1-．（1）求实数a的值；（2）求()f x 的单调区间和极值．【答案】（1）2（2）增区间为()e,¥+，减区间为()0,e ，极小值1e -，无极大值．【解析】【分析】（1）求出()f x 导函数，根据导数的几何意义，可得a 的值；（2）求出()f x ¢，令()0f x ¢>，求得增区间，令()0f x ¢<，求得减区间，再根据极值的定义可得答案.【小问1详解】()ln 1f x x x ax =-+\函数的导数为()ln 1f x x a¢=+-\在点(1,(1))A f 处的切线斜率为1k a =-，(1)1f ¢\=-，即11a -=-，2a \=；【小问2详解】由（1）得，函数()ln 21f x x x x =-+()ln 1f x x ¢=-，()0,x Î+¥，令()0f x ¢>，得e x >，令()0f x ¢<，得0e x <<，即()f x 的增区间为()e,+¥，减区间为()0,e ．故()f x 在e x =处取得极小值1e -，无极大值．18. 已知数列{}n a 的前n 项和为12,2,4,n S a a ==且212 2.n n n S S S ++-+=（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若m a ，m S ，13m a +成等比数列，求正整数m 的值．【答案】（1）2n a n =（2）3【解析】【分析】（1）由已知可得212,n n a a ++-=可得数列{}n a 公差为2的等差数列，进而可得数列{}n a 的通项公式；（2）由已知可得2[(1)]26(1)m m m m +=×+，求解即可．【小问1详解】2122n n n S S S ++-+=Q ，211()()2n n n n S S S S +++\---=，212n n a a ++\-=，又124,2,a a ==满足212a a -=，{}n a \是公差为2的等差数列，22(1)2.n a n n \=+-=【小问2详解】由（1）得：(22)(1)2n n n S n n +==+，又213m m m S a a +=×，()()21261,0m m m m m éù\+=×+>ëû，解得：3m =.19. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ^平面ABC ，D ，E 分别为AC ，11A C 的中点，AB BC ==，12AC AA ==．（1）求证：AC ^平面BDE ；（2）求直线DE 与平面ABE 所成角的正弦值；（3）求点D 到平面ABE 的距离．【答案】（1）证明见解析；（2（3.【解析】【分析】（1）根据线面垂直性质得到DEAC ^，根据等腰三角形三线合一的性质得到AC BD ^，然后利用线面垂直的判定定理证明即可；（2）利用空间向量的方法求线面角即可；（3）利用空间向量的方法求点到面的距离即可.【小问1详解】在三棱柱中，D ，E 为AC ，11A C 的中点，∴1DE AA ∥，∵1AA ^平面ABC ，∴DE ^平面ABC ，∵AC Ì平面ABC ，∴DE AC ^，在三角形ABC 中，AB BC =，D 为AC 中点，∴AC BD ^，∵DE BD D Ç=，,DE BD Ì平面BDE ，∴AC ^平面BDE .【小问2详解】如图，以D 为原点，分别以,,DA DB DE 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，在直角三角形ABD中，AB =112AD AC ==，∴2BD =，()0,0,0D ，()0,0,2E ，()1,0,0A ，()0,2,0B ，()0,0,2DE =uuu r ，()1,2,0AB =-uuu r ，()1,0,2AE =-uuu r ，设平面ABE 法向量为(),,m x y z =u r ，2020AB m x y AE m x z ì×=-+=ïí×=-+=ïîuuu r r uuu r r ，令2x =，则1y =，1z =，所以()2,1,1m =u r ，设直线DE 与平面ABE 所成角为q ，的的所以sin cos,DEq==uuu r.【小问3详解】设点D到平面ABE的距离为d，所以d=20. 我校即将迎来“第二届科技艺术节”活动，其中一项活动是“数学创意作品”比赛，为了解不同性别学生的获奖情况，现从去年举办的“首届科技艺术节”报名参加活动的500名学生中，根据答题情况评选出了一二三等奖若干名，获奖情况统计结果如下：获奖人数性别人数一等奖二等奖三等奖男生200101515女生300252540假设所有学生的获奖情况相互独立．（1）用频率估计概率，现分别从上述200名男生和300名女生中各随机抽取1名，求抽到的2名学生都获一等奖的概率；（2）用频率估计概率，从上述200名男生和300名女生中随机各抽取1名，以X表示这2名学生中获奖的人数，求X的分布列和数学期望E X（）；（3）用频率估计概率，从报名参加活动的500名学生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为0p；从上述200男生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为1p；从上述300名女生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为2p，试比较0p与122p p+的大小，并说明理由.【答案】（1）1240；（2）分布列见解析，12；（3）1202p pp+>.【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用古典概率计算作答.（2）利用频率估计概率，求出X的可能值，再计算各个值对应的概率列出分布列，求出期望作答.（3）利用频率估计概率求出0p，结合（2）中信息比较作答.【小问1详解】设事件A 为“分别从上述200名男生和300名女生中各随机抽取1名，抽到的2名学生都获一等奖”，则11102511200300C C 1()C C 240P A ==.【小问2详解】随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，记事件B 为“上述200名男生中随机抽取1名，该学生获奖”，事件C 为“上述300名女生中随机抽取1名，该学生获奖”，依题意，事件B ，C 相互独立，且()P B 估计为10151512005++=，(C)P 估计为252540330010++=，因此1328(0)(()()(1)(1)51050P X P BC P B P C ====-´-=，131319(1)()()(()()(1(1)51051050P X P BC BC P B P C P B P C ==+=+=´-+-´=，133(2)()()()51050P X P BC P B P C ====´=，所以X 的分布列为X 012P 28501950350X 的数学期望()2819310125050502E X =´+´+´=.【小问3详解】1202p p p +>，理由：根据频率估计概率得04090135250050200p +===，由（2）知115p =，2310p =，则1213150510224200p p ++===，所以1202p p p +>.21. 已知椭圆C:()222210x y a b a b +=>>过点(，且离心率为12，设A 、B 分别为椭圆的左右顶点，1F 、2F 为椭圆的左右焦点，点P 为椭圆C 上不同于A 、B 的任意一点，点Q 是椭圆C 长轴上的不同于A 、B 的任意一点（1）求椭圆C 的标准方程；（2）当12PF F △内切圆的面积最大时，求内切圆圆心的坐标；（3）设直线PQ 与椭圆C 的另一个交点为点N ，若11PQ QN+的值为定值，则称此时的点Q 为“稳定点”，问：是否存在这样的稳定点？若有，试求出所有“稳定点”，并说明理由；若没有，也请说明理由.【答案】（1）22143x y += （2）(0, （3）存在，(1,0)±【解析】【分析】（1）由题意列出关于,,a b c 的方程组，求解即可；（2）当内切圆的半径最大时，即P 点为上顶点，由圆的对称性，可得内切圆的圆心坐标；（3）设过Q 点的直线的方程，与椭圆的方程联立，可得两根之和及两根之积，可求出||,||PQ PN 的表达式，进而求出11||||PQ QN +的表达式，由其值为定值可得Q 的横坐标的值，即求出稳定点的坐标．【小问1详解】因为椭圆C :()222210x y a ba b +=>>过点(，且离心率为12，所以22212b c aa b c ì=ïï=íï=+ïî，解得12b c a ì=ï=íï=î，所以椭圆C 的方程为22143x y +=；【小问2详解】12||2F F =，设12PF F △边上的高为h ，则12122PF F S h h =´´= ，设12PF F △的内切圆的半径为R ，因为12PF F △的周长为定值6，所以121632PF F R R S ´== ，当P 在椭圆上顶点时，h12PF F S于是R，由椭圆的对称性，此时内切圆圆心的坐标为(0,；【小问3详解】Q 点Q 是椭圆C 长轴上的不同于A 、B 的任意一点，故可设直线PN 的方程为01122,(,),(,)x my x P x y N x y =+，由022143x my x x y =+ìïí+=ïî，得22200(34)63120m y mx y x +++-=，0012222216312,,03434mx y y y y m x m --\+==D >++恒成立.又PQ =11PQ QN \+===要使其值为定值，则20413x -=，故当201x =，即01x =±时，1143PQ QN +=.综上，存在这样的稳定点(1,0)Q ±即椭圆的焦点为稳定点.22. 已知函数1()ln ,0f x x k x k x æö=-->ç÷èø.（1）若对()()0,1,0x f x "Î<恒成立，求k 的取值范围；（2）求证：对(0,1)x "Î，不等式 2212ln e x x x x x-<+ 恒成立.【答案】（1）(0,2]（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求导，根据导数分类讨论，结合函数单调性求解()f x 的范围，即可得解；（2）结合（1）的结论，构造函数2()((0,1))2e xm x x x =Î+，利用导数即可求解．【小问1详解】因为1()ln 0f x x k x x æö=--<ç÷èø在(0,1)上恒成立，而22211()1k x kx f x x x x¢-+=+-=，令()0f x ¢=得210x kx -+=，所以24,0k k D =->，①当2Δ40k =-≤，即02k <≤时，()0f x ¢³，的所以()f x (0,1)上单调递增，则()(1)0f x f <=，满足题意；②当2Δ40k =->，即2k >时，设2()1,01x x kx x j =-+<<，则()j x 的对称轴为1,(0)1,(1)202k x k j j =>==-<，所以()j x 在(0,1)上存在唯一零点1x ，当()1,1x x Î时，()0,()0x f x j ¢<<，所以()f x 在()1,1x 上单调递减，故()(1)0f x f >=，不合题意.综上，k 的取值范围为(0,2].【小问2详解】由（1）知，当02k <≤时，1ln 0x k x x--<在(0,1)上恒成立，即21ln x k x x ->，21 2.ln x x x-\>令2()((0,1))2e xm x x x =Î+，则222222(2)e 2[(1)1]()0(2)e )(e 2x x x x x x m x x x ¢+-×-+==>++恒成立，()m x \在(0,1)上单调递增，()(1)2e 3m x m \<=<，所以，对(0,1)x "Î，不等式2212ln e x x x x x-<+恒成立.在734924357等教学实用性资料！需要word版，请加高中数学资料共享群（群号：734924357），下载精品试卷、专题练习、题型总结、解题方法。

2023年福建省福州市鼓楼区重点中学中考数学二检试卷(含解析)

2023年福建省福州市鼓楼区重点中学中考数学二检试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. −2的相反数是( )A. 2B. −2C. −12D. 122. 从福州市电子商务中心获悉，近年来电子商务产业蓬勃发展截止到2023年3月，我市电商从业人员已达8730000人，数字8730000可用科学记数法表示为( )A. 8.73×103B. 87.3×104C. 8.73×106D. 0.873×1063. 直线y=2x−4与x轴的交点坐标为( )A. (2,0)B. (0,2)C. (−2,0)D. (0,−2)4.将一副三角板(厚度不计)如图摆放，使含30°角的三角板的斜边与含45°角的三角板的一条直角边平行，则∠α的角度为( )A. 100°B. 105°C. 110°D. 120°5.如图是由6个完全相同的小正方体组成的立体图形，这个立体图形的三视图中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )A. 主视图和俯视图B. 俯视图C. 俯视图和左视图D. 主视图6.如图，在△ABC中，D为AC上一点，把△DBC沿BD折叠，使点C落在AC上的点E处，则BD是( )A. 中线B. 高线C. 角平分线D. 对角线7. 数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分100元钱，每人分得若干，若再加上5人，平分150元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第二次分钱的人数.设第二次分钱的人数为x人，则可列方程为( )A. 100x=150(x+5)B. 100(x−5)=150xC. 100x =150x+5D. 100x−5=150x8.如图所示，△ABC的三个顶点分别为A(2,3)，B(4,3)，C(4,5)，若反比例函数y=kx在第一象限内的图象与△ABC有交点，则k的取值范围是( )A. 6≤k≤12B. 6≤k≤20C. 12≤k≤20D. k≤209.“宫商角徵羽”是中国古乐的五个基本音阶(相当于西乐的1，2，3，5，6)，是采用“三分损益法”通过数学方法获得.现有一款“一起听古音”的音乐玩具，音乐小球从A处沿轨道进入小洞就可以发出相应的声音，且小球进入每个小洞中可能性大小相同.现有一个音乐小球从A处先后两次进入小洞，先发出“商”音，再发出“羽”音的概率是( )A. 125B. 120C. 110D. 1510. 已知二次函数y=mx2−4m2x−3(m为常数，m≠0)，点P(x p,y p)是该函数图象上一点，当0≤x p≤4时，y p≤−3，则m的取值范围是( )A. m≥1或m<0B. m≥1C. m≤−1或m>0D. m≤−1二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）11. 计算(3−π)0=______．12.如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形．若OA：AD=2：3，则△ABC与△DEF的周长比是______．13. 已知一个扇形的面积是24π，弧长是2π，则这个扇形的半径为______ ．14. 已知直线y 1=x−1与y 2=kx +b 相交于点(2,1).当x >2时，y 1>y 2，请写出一个满足条件的b 的值______ (写出一个即可)．15.如图，在正五边形ABCDE 中，BF ⊥DE 于点D ，连接BD ，则∠DBF 的度数为______ ．16. 如图，△ABC 中，∠C =90°，AC =8，BC =6，O 为内心，过点O 的直线分别与AC 、AB边相交于点D 、E .若DE =CD +BE ，则线段CD 的长为．三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。

福建省福州市长乐区2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷(含答案)

2024—2025学年第一学期期中适应性练习九年级数学（全卷满分：150分，考试时间：120分钟）友情提示：请将答案写在答题卡规定位置上，不得错位、越界答题．一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．如图为部分“卦”的符号，其中不是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2．将抛物线向右平移2个单位，然后向上平移3个单位，则平移后得到的抛物线解析式是（）A ．B ．C ．D ．3．如图，是的直径，点在上．若，．则的半径长为（）第3题A ．1B ．2CD4．下列一元二次方程中，根是的方程是（）A ．B．C ．D ．5．已知一个圆心角为120°，半径为3的扇形，则这个扇形的弧长是（）A ．B ．C ．D ．6．对于二次函数，下列判断正确的是（）A ．当时，取得最大值B ．当时，取得最小值2y x =()223y x =--()223y x =+-()223y x =-+()223y x =++AB O e C O e 2AC =BC =O e x =23210x x +-=23210x x --=23410x x +-=2230x x --+=π2π3π4π()226y x =--+2x =y 2x =yC ．当时，取得最大值D ．当时，取得最小值7．一根排水管的截面如图所示，截面水深是4dm ，水面宽是16dm ，则排水管的截面圆的半径是（）第7题A ．6dmB ．10dmC ．D ．20dm8．将点绕原点逆时针旋转90°得到点，则点的坐标为（）A ．B ．C ．D ．9．如图，，分别切于，两点，点在优弧上，，则的度数为（）第9题A ．40°B ．50°C ．80°D ．100°10．已知二次函数的图象上有两点和（其中），则下列判断正确的是（）A ．若时，B ．若时，C ．若，时，D ．若，时，二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．11．若一元二次方程的一个根为，则的值为______．12．一元二次方程根的判别式的值是______．13．已知的半径是5cm ，若圆心到直线的距离是4cm ，则直线与的位置关系是______．（填“相交”、“相切”或“相离”）14．如图，在等边三角形中，为的中点，，与关于点中心对称，连接，则的长为______．2x =-y 2x =-y CD ABOB ()2,3A O B B ()2,3-()2,3-()3,2-()3,2-PA PB O e A B C ACB 80P ∠=︒C ∠()220y ax ax c a =-+≠()11,A x y ()22,B x y 12x x <122x x +<120y y ->122x x +>120y y ->0a >122x x +>120y y ->0a <122x x +<120y y -<210x ax +-=1x =a 2310x x --=O e O AB AB O e ABC O BC 2AB =BPQ △BAO △B CP CP第14题15．某品牌汽车刹车后行驶的距离（单位：m ）与滑行时间（单位：s ）的函数关系式是．汽车刹车后到停下来前进了______m ．16．我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提出了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．如图，的半径为1，如用的内接正十二边形面积来近似估计圆的面积，则可得的近似值为3．若用半径为1的圆的内接正八边形面积作近似估计，可得的近似值为______．（参考数据：，结果精确到0.1）第16题三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（8分）解方程．18．（8分）已知二次函数．（1）完成下表：…0123……__________________…（2）根据（1）的结果在如图所示的平面直角坐标系中，利用描点法画出这个二次函数的图象；（3）结合函数图象，当时，的取值范围是______19．（8分）已知二次函数．求证：不论取何值，该函数图象与轴总有两个交点．s t 2156s t t =-O e O e ππ1.414≈ 1.732≈2410x x --=223y x x =--x 1-223y x x =--0y <x ()2221y x m x m =-++-m x20．（8分）如图，，是的直径，点在上，，求证：．21．（8分）如图，在中，，，，以点为圆心，2.4为半径作．求证：是的切线．22．（10分）如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，其中，．（1）求二次函数的解析式；（2）若是二次函数图象上的一点，且点在第一象限，线段交轴于点，，求点的坐标．23．（10分）如图，在矩形中，，．将绕点顺时针旋转一个角度得到，点，的对应点分别为点，．图1图2（1）如图1，若点落在边上，求旋转角的度数；（2）如图2，若点落在线段上，与交于点，求的长．24．（12分）长乐栽培龙眼历史悠久，据文献记载宋光宗皇帝曾赐匾青山龙眼为“黄龙”．请你运用数学知识，根据素材，帮果农解决问题．信息及素材AB CD O e E »BC»»BD BE =CE AB ∥Rt OAB △90AOB ∠=︒3OA =4OB =O O e AB O e 2y x bx c =++x A B y C ()1,0A -()3,0B P P PC x D PAD CAD S S =△△PABCD AB =2BC =ABC △C αFEC △A B F E E AD αE AF CE AD G AG素材一在专业种植技术人员的正确指导下，果农对龙眼种植技术进行了研究与改进，使产量得到了增长，根据果农们的记录，2021年龙眼平均年产量是2.8万吨，2023年达到了3.2万吨，每年的增长率基本相同．素材二龙眼一般用长方体包装盒包装后进行售卖．素材三果农们通过调查发现，顾客们也很愿意购买用美观漂亮的其它造型的纸盒包装的龙眼．任务1：设龙眼产量的年平均增长率为，根据素材一列方程得______；任务2：现有长80cm ，宽75cm 的长方形纸板，将四角各裁掉一个正方形（如图1），折成无盖长方体纸盒（如图2）．为了放下适当数量的龙眼，需要设计底面积为的纸盒，计算此时纸盒的高；图1 图2任务3：为了增加包装盒的种类，打算将任务2中的纸板通过图3的方式裁剪，得到底面为正六边形的无盖纸盒（如图4），求纸盒的底面边长．（图中实线表示剪切线，虚线表示折痕．板厚度及剪切接缝处损耗忽略，结果取整数）图3 图425．（14分）学习完一元二次方程的知识后，数学兴趣小组对关于的一元二次方程开展探究．（1）当时，该方程的正根称为“黄金分割数”，求“黄金分割数”；（2）若实数，满足，，且，求的值；（3）若两个不相等的实数，满足，，求的值．x 21400cm 1.732≈x 210x mx +-=1m =a b 21a ma -=224b mb +=2b a ≠-ab p q 21p mp q +-=21q mq p +-=pq m -2024—2025学年第一学期期中阶段反馈练习九年级数学参考答案一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．1-5 ACDAB6-10 ABDBD二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分11．0 12．13 13．相交 14．15．9.375 16．2.8三、解答题：本题共9小题，共86分．17．（8分）解：∴另解：∵，，∴∴∴18．（8分）（1）完成下表：…0123………解：（2）描点、连线，如图所示；（3）．19．（8分）证明：令，则241x x -=24414x x -+=+()225x -=2x -=12x =22x =1a =4b =-1c =-()()2244411b ac ∆=-=--⨯⨯-200=>x =2=±12x =22x =x 1-223y x x =--3-4-3-13x -<<0y =()22210x m x m -++-=()()224121m m ⎡⎤∆=-+-⨯⨯-⎣⎦()2240m =-+>∴方程总有两个不相等的实数根∴不论取何值，该函数图象与轴总有两个交点．20．（8分）证明：连接∵ ∴ ∴∵ ∴ ∴．21．（8分）证明：过点作，垂足为∵，， ∴∵ ∴∵的半径为2.4 ∴ ∴是的切线．22．（10分）解：（1）∵二次函数的图象过点，∴ 解得∴二次函数的解析式为；（2）设（，）在中，当时，∴m x OE»»BDBE =BOD BOE ∠=∠12BOD DOE ∠=∠12C DOE ∠=∠BOD C ∠=∠CE AB ∥O OC AB ⊥C90AOB ∠=︒3OA =4OB=5AB ===1122OAB S OA OB AB OC =⋅=⋅△342.45OA OB OC AB ⋅⨯===O e r OC r =AB O e 2y x bx c =++()1,0A -()3,0B 10930b c b c -+=⎧⎨++=⎩23b c =-⎧⎨=-⎩223y x x =--(),P m n 0m >0n >223y x x =--0x =3y =-3OC =∵∴∴∵点在二次函数图象上 ∴解得（舍去）∴点的坐标为． 23．（10分）解：（1）∵四边形是矩形图1∴， ∴由旋转，得，在中，∴ ∴∴旋转角的度数为45°；（2）由旋转，得，图2∴ ∵∴ ∴∵四边形是矩形∴，，∴ ∴ ∴设，则，在中， ∴解得 ∴的长为．PAD CAD S S =△△1122AD n AD OC ⋅=⋅3n =(),P m n 2233m m --=11m =21m =P ()1ABCD CD AB ==90D ∠=︒AD BC ∥DEC BCE∠=∠2CE BC ==BCE α∠=Rt CDE △DE ===CD DE =45DEC ∠=︒α90FEC B ∠=∠=︒CE BC=90AEC B ∠=∠=︒AC AC=()Rt Rt HL AEC ABC ≌△△ACE ACB ∠=∠ABCD AD BC ∥2AD BC ==CD AB ==90D ∠=︒GAC ACB ∠=∠GAC ACE ∠=∠AG CG =AG m =CG m =2DG AD AG m =-=-Rt CDG △222CG CD DG =+()2222m m =+-32m =AG 3224．（12分）解：任务1：；任务2：设裁掉正方形的边长为，根据题意，得解得，（不合题意，舍去）答：此时纸盒的高为20cm ；任务3：设底面正六边形为，连接，，，和交于点，和交于点，所在直线交长方形纸板的边于点，设底面正六边形的边长为，纸盒的高为∵正六边形的每条边相等，每个内角都为120°∴为等腰三角形， ∴由正六边形的性质可得平分 ∴ ∴∴，同理可得∵ ∴①∵左侧小三角形顶点的角度∴左侧小三角形是边长为的等边三角形根据图形的轴对称可得与长方形纸板的左右两边垂直∴为等边三角形的高 ∴ 同理可得∵四边形是矩形 ∴∵ ∴②联立①②式可得答：纸盒的底面边长约为30cm ．25．（14分）解：（1）将代入，得解得．()22.813.2x +=cm m ()()7528021400m m --=120m =21152m =ABCDEF AC FD BE AC BE G FD BE H BE M Ncm acmb ABC △120ABC ∠=︒30BAC BCA∠=∠=︒BE ABC ∠60ABE ∠=︒90AGB ∠=︒1122BG AB a ==AG CG==12HE BG a ==75b AG CG b +++=275b +=B 360120909060︒︒︒︒︒=---=b MN BM BM =EN BM ==AGHF GH AF a==80BM BG GH HE EN ++++=280a +=16030a =-≈1m =210x mx +-=210x x +-=x ==；（2）∵ ∴ ∴∵ ∴∵ ∴，是一元二次方程的两个根∴ ∴；（3）①，②①－②，得∴∵ ∴ ∴∴③，④将④代入①，得 ∴将③代入②，得 ∴∴，是一元二次方程的两个根∴ ∴．224b mb +=2240b mb +-=21022b b m ⎛⎫+⋅-= ⎪⎝⎭21a ma -=()()210a m a -+⋅--=2b a ≠-a -2b210x mx +-=12ba -⋅=-2ab =21p mp q +-=21q mq p +-=()22p q m p q q p-+-=-()()()()p q p q m p q p q -++-=--p q ≠()1p q m ++=-1p q m +=--1p m q =---1q m p =---211p mp m p +-=---()210p m p m +++=211q mq m q +-=---()210q m q m +++=p q ()210x m x m +++=pq m =0pq m -=。

2022-2023学年福建省福州市闽侯县九年级(下)期中数学试卷(含解析)

2022-2023学年福建省福州市闽侯县九年级（下）期中数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________第I卷（选择题）一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 在实数5，2，0，−2中，比0小的数是( )A. 5B. 2C. 0D. −22. 下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )A. B. C. D.3. 据了解，福建舰航母满载排水量约85000吨，数据85000用科学记数法表示为( )A. 0.85×106B. 8.5×105C. 8.5×104D. 85×1034.如图是由两个大小不一的圆柱组成的几何体，其主视图是( )A.B.C.D.5. 下列运算正确的是( )A. a2⋅a3=a6B. (a2)3=a6C. a+a2=a3D. (a+1)2=a2+16. 下列随机事件的概率等于1的是( )3A. 一副普通扑克牌洗匀后，从中任取一张牌的花色是红桃B. 从一个装有2个白球和1个红球的袋子中任取1球，取到白球C. 任意转动一个黑、白各占一半的圆形转盘，指针指向白色D. 掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是3的倍数7. 如图，△A′B′C′由△ABC沿射线AB方向平移得到，A′C′与BC交于点G，已知△ABC的边B C=4，平移距离为2，GC=1，则AB等于( )A. 4B. 6C. 8D. 108. 如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从点O正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x−6)2+2.6.已知球网与点O的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距点O的水平距离为18m.下列判断正确的是( )A. 球运行的最大高度是2.43mB. a=−150C. 球会过球网但不会出界D. 球会过球网并会出界9.如图，△ABC内接⊙O，∠BAC=45°，BC=2，则B C的长是( )A. 1π8B. 1π4C. 1π2D. π10. 已知二次函数y=ax2+bx+c，若y>0时，自变量x的取值范围是−2<x<3.则下列四个判断中，正确的个数是( )①b=−a②a+b+c<0③不等式ax +c >0的解集为x >6 ④方程cx 2−bx +a =0的解为x 1=−13，x 2=12A. 1B. 2C. 3D. 4第II 卷（非选择题）二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）11. 因式分解：x 2−6x +9=______．12. 不等式组{x +1>0x +3≤4的解集是______ ．13. 点P 在反比例函数y =4x (x >0)的图象上，PA ⊥x 轴于点A ，点B 在y 轴上，则△PAB 的面积是______ ．14. 若一组数据的方差为s 2=19[(2−−x )2+3(4−−x )2+(5−−x )2+2(6−−x )2+2(9−−x )2]，则这组数据的众数为______ ．15.如图，点G ，H ，I ，J ，K ，L 分别是正六边形ABCDEF 各边的中点，则六边形GHIJKL 与六边形ABCDEF 的周长比为______ ．16. 在平面直角坐标系xOy 中，点B ，P ，Q 的坐标分别为(5,0)，(a ,2)，(a +2,2)，则△BPQ周长的最小值为______ ．三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。

福建省福州市2022-2023学年六年级下学期数学期中试卷(含答案) (2)

福建省福州市2022-2023学年六年级下学期数学期中试卷一、仔细填空1．零上10℃可以记作℃，比0℃低5℃的温度可以记作℃。

2．巧克力包装盒上标有“净含量（200±10）克”字样，表示这盒巧克力的标准质量是克，最多不超过克，最少不低于克。

3．÷20＝＝30：＝%＝折4．学校志愿服务队现有队员56人，比原来增加了16人。

志愿服务队人数增加了成。

5．线段比例尺，改写成数值比例尺是，北京到上海的实际距离是1050 km，在这幅地图上的距离是cm.6．一个圆柱的底面周长是12.56cm，高是3cm，这个圆柱的表面积是cm2，与它等底等高的圆锥的体积的是cm3。

7．某校自来水管的内直径是2cm，水管内水流速度是每秒10cm.一个同学洗手走时忘记关闭水龙头，3分钟浪费升水.8．根据条件，把表格填写完整。

（1）已知x和y成正比例关系x945y30180（2）已知A和B成反比例关系。

A248B5169．一个圆的周长是31.4cm，如果把它画在比例尺为1：2的平面图上，直径应画cm。

10．某时刻测得一座塔在阳光下的影长为9.6m，同时测得一根长7m的竹竿的影长为2.4m，这座塔的高度为米。

11．一种蛋糕原价80元，16：00以后打九折销售，售价是元，20：00以后这种蛋糕在原来九折的基础上，再打八折销售元。

二、慎重选择。

12．能与：组成比例的比是（）A．3：4B．4：3C．3： D．：313．货车运送货物，规定装载10吨记为0吨，装载11吨记为+1吨，下列说法错误的是（）A．装载15吨记为+5吨B．+3吨表示装载13吨C．装载6吨记为﹣4吨D．装载8吨记为﹣8吨14．奶奶在银行存了两万元，存期为两年，年利率是3.15%。

到期后，她能拿到利息（）元。

A．20000×3.15%×2B．20000×3.15%+20000C．20000×3.15%×2+20000D．（20000×3.15%+20000）×215．下列说法正确的是（）A．0是正数B．0不是正数也不是负数C．0不是自然数D．在直线上，﹣4在0的右边16．下面关于正比例和反比例的四个说法，正确的有（）①正比例关系的图象是一条从（0，0）出发的无限延伸的射线②一个人的年龄和体重既不成正比例关系，也不成反比例关系③圆柱的底面积一定，它的体积和高成反比例关系④路程一定，已走的路程和剩下的路程不成比例关系A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④17．一个圆柱的底面直径是10dm，高8dm，把它平均分成若干等份，拼成近似的长方体，表面积增加了（）A．40dm2B．60dm2C．80dm2D．100dm218．在比例尺是1：6000000的地图上，量得南京到北京的图上距离是15cm，南京到北京的实际距离大约是（）A．800km B．80km C．900km D．90km19．一个长方形操场的长和宽的比是3：1，用1：1000的比例尺将操场平面图画在图纸上，量得平面图上的长方形周长是64cm。

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