浙江省瑞安中学2014-2015学年高二上学期期中考试数学 Word版含答案
浙江省瑞安中学高二上学期期中考试(数学理).doc
浙江省瑞安中学高二上学期期中考试（数学理）考试时间100分钟，不能使用计算器）一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）. 1．要得到函数)42sin(π+=x y 的图象，可以把函数x y 2sin =的图象（ ）A ．向右平移8π个单位 B ．向左平移8π个单位 C ．向左平移4π个单位 D ．向右平移4π个单位 2．下列正确的是（ ）A ．平行于同一个平面的两条直线平行B ．垂直于同一条直线的两条直线平行C ．若直线a 与平面α内的无数条直线平行，则a ∥αD ．若一条直线平行于两个平面的交线，则这条直线至少平行于两个平面中的一个 3．根据表格中的数据，可以判定方程062=-+x e x的一个根所在的区间为（ ）A ．(1,0)- B.(0,1)C ．(1,2)D.(2,3)4． 已知a 、b 是平面内两个不共线的向量，,5+=b a BC 82-=，b a CD -=，则（ ）A. ,,A B D 三点共线B. ,,A C D 三点共线C. ,,B C D 三点共线D. ,,A B C 三点共线5．函数xxay x=)1(>a 的图象的大致形状是( )6．如下图是一个算法的程序框图，当输入的x 值为3时，输出y的结果恰好是31，则空白 处的关系式可以是（ ） A ．3x y = B ．xy -=3C ．xy 3= D ． 31x y =7．通过下面程序：若输入a=333，k=5，则输出的b 为（ ）A ．(5)2313 B. (5)3132 C. (5)93 D. (10)938．已知βα,都是锐角，ββααcos ,21)cos(,21sin 则=+=等于 （ ）A ．231- B ．213- C ．21 D ．23 9．设等差数列{a n }的前7项1a ，2a ， 3a ，4a ，5a ，6a ，7a 的方差．．为1，则{a n }的公差d 等于( ) A ．1± B ．21±C . 2±D ．.147±10．设函数)(x f 的定义域为R ，且)(x f 是以．．3．为周期的奇函数．．．．．．．，4log )2(,2|)1(|a f f => （10≠>a a ，且），则实数a 的取值范围是 （ ）A ．2>a 或210<<a B ．210<<a 或12>>a C ． 121<<a 或2>a D ． 121<<a 或12>>a二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共把答案填在题中横线上。
浙江省瑞安八校2014-2015学年高二上学期期中联考数学试题 Word版含答案
2014学年第一学期瑞安八校高二期中联考数学试卷（考试时间100分钟，满分120分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1.直线1-=x y 的倾斜角为（ ）A.0°B.45°C.90°D.135° 2.已知b a >，则下列不等式正确的是（ ）A. bc ac >B. c b c a -<-C. 33b a > D. ba11<3. 已知直线0743:,0343:21=++=-+y x l y x l ，则这两条直线间的距离为（ ）A. 21B.1C.2D.44.方程06222=++-+m y x y x表示圆，则实数m 的取值范围（ ）A. 10>mB. 10≥mC. 10≤mD. 10<m5. 三条直线0012=+=--=ky x y x x 、、相交于一点，则实数k =（ ）A.2B. 21C. -2D. 21-6.已知点）、（2-,0)1,1(在直线01=++ay x 的两侧，则实数a 的取值范围（ ）A. )21,2(--B.),21()2,(+∞-⋃--∞ C. )21,2(- D. ),21()2,(+∞⋃--∞7. 已知点M 与两个定点)0,2(),0,1(-的距离的比为21，则点M 的轨迹所包含的图形面积等于A. π9B. π8C. π4D. π8.直线0:=+-b y ax l 与圆022:22=+-+by ax y x M ，则l 与M 在同一坐标系内的图形可能是（ ）A. B. C. D. 9. 已知三角形的三边长分别为3，4，5，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 10.在R 上定义运算：)1(y x y x -=∙，若不等式1)()(<+∙-y x y x 对一切实数x 恒成立，则实数y 的取值范围（ ） A. )23,21(-B. )21,23(-C. )1,1(-D. )2,0(二、填空题（本大题共7题，每小题4，共28分） 11.已知点)1,3,1(),2,0,1(-B A ，则||AB = ▲ ；12. 若1>x ，则x1的取值范围 ▲ ；13. 点)3,2(A 关于直线0=+y x 的对称点A '的坐标是 ▲ ； 14.直线1+=x y 被圆02222=--+y x y x 截得弦长为 ▲ ；15. 已知变量y x 、满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤--≤-+001042x y x y x ，则y x +的最大值为 ▲ ；16.已知点)2,1(A 在直线)0(01>=-+mn ny mx 上，则nm 21+的最小值为 ▲ ； 17.若直线03:1=++a ay x l 与0632=-+y x 的交点M 在第一象限，则1l 的倾斜角的取值范围 ▲ .三、简答题（本大题共4题，共42分，解答应写出文字符号说明，证明过程或演算步骤）18.(8分)三角形的三个顶点是）（、、3,9)8,6()0,4(C B A .(1)求AB 边所在的直线方程. (2)求AB 边上高的长度.19.（10分）已知圆0622=++-+m y x y x 和直线032=-+y x 交于Q P 、两点，且OQ OP ⊥ (O 为坐标原点)，求该圆的圆心坐标及半径.20.（12分）已知关于x 的不等式0622>+-k x kx .（1）若不等式的解集是}23|{-<<-x x ，求实数k 的值. (2)若不等式对一切)3,0(∈x 恒成立，求实数k 的取值范围.21.（12分）已知点),1(a P 和圆422=+y x .(1)若过点P 的圆的切线只有一条，求a 的值及切线方程； （2）若2=a ，过点P 的圆的两条弦BD AC 、互相垂直，求四边形ABCD 面积的最大值. 2014学年第一学期瑞安八校高二期中联考数学答卷11、__________12、____________13、__________14、___________15、_________ 16、___________17、___________三、简答题(本大题共4小题，共计42分，请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 18、(本题满分8分)三角形的三个顶点是）（、、3,9)8,6()0,4(C B A .(1)求AB 边所在的直线方程.(2)求AB 边上高的长度.19、（本题满分10分）已知圆0622=++-+m y x y x 和直线032=-+y x 交于Q P 、两点，且OQ OP ⊥ (O 为坐标原点)，求该圆的圆心坐标及半径.20、（本题满分12分）已知关于x 的不等式0622>+-k x kx .（1）若不等式的解集是}23|{-<<-x x ，求实数k 的值. (2)若不等式对一切)3,0(∈x 恒成立，求实数k 的取值范围.21. （本题满分12分） 已知点),1(a P 和圆422=+y x .(1)若过点P 的圆的切线只有一条，求a 的值及切线方程； （2）若2=a ，过点P 的圆的两条弦BD AC 、互相垂直，求四边形ABCD 面积的最大值.2014学年第一学期瑞安八校高二期中联考数学答案二、填空题（本大题共7个小题，每小题4分，共28分）11．10 12. (0，1) 13.(-3，-2) 14. 6 15．3 16. 9 17.)2,6(ππ三、简答题(12+12+13+15=52分. 解答应写出文字符号说明，证明过程或演算步骤) 18. （1）44608=--=AB k ， 则AB 的直线方程：)4(4-=x y 即：0164=--y x （4分）（2）AB 边的高的长度为点C 到直线AB 的距离，则17)1(4|16394|22=-+--⨯=d则AB 边上的高的长度为17（8分）19.联立方程⎩⎨⎧=++-+=-+0603222m y x y x y x ，消去y ，得：0122052=++-m x x设),(),,(2211y x Q y x P ，则512,42121mx x x x +==+ 因为OQ OP ⊥,则02121=+y y x x ，即：09)(652121=++-x x x x将512,42121mx x x x +==+，得3=m ，此时0>∆ 则圆心)21,3(-，半径25=r （10分）20. (1)由题意知：,0<k -3和-2是方程0622=+-k x kx 的根，则52-=k （6分）（2）由条件0622>+-k x kx 得：622+>x xk 在)3,0(上恒成立， ),0(,62622∈+=+=x xx x xy ，因626≥+x x 即：62)6(min =+xx ，当且仅当6=x 时取“=” 则66)62(max 2=+x x ，则k 的取值范围为：),66(+∞.(12分) 21.（1）由条件知点P 圆上，则3,412±=∴=+a a ； 当3=a 时，点)3,1(P ，切线方程为043=-+y x当3-=a 时，点)3,1(-P ，切线方程为043=--y x （6分） （2）设原点O 到AC 、BD 的距离为)0,(,2121≥d d d d则322221==+OPd d于是222142,42d BD d AC -=-=由AC 、BD 相互垂直，则四边形ABCD 的面积222122212221222142)(4162)4)(4(221d d d d d d d d BD AC S +=++-=--==2122212d d d d ≥+ ，则2321≤d d ，当且仅当2621==d d 时取“=” 则492221≤d d ，从而5≤S ， 即：四边形ABCD 的面积最大值为5.（12分）。
2014学年第一学期瑞安四校期中联考高二数学(文) 联考卷答案
2014学年第一学期瑞安四校期中联考高 二 数 学 (文)答 案(完卷时间：100分钟； 满分：120分)二、填空题：（本题总共6小题，每题4分，总分为24分）11、 1 12、 平行,相交 13、 4x -y -8=0 14、 4S π 15、316 、 ⑵⑶⑷三、解答题（本题共4小题，总分为52分。
解题必须有文字说明、解题过程和演算步骤。
） 17．（本题满分13分）已知直线,012:1=++y ax l 直线0:2=+-a y x l ，（1）若直线21l l ⊥，求a 的值及垂足P 的坐标； （2）若直线21//l l ，求a 的值及直线1l 与2l 的距离. 解：（1）∵ ,212:1--=x a y l ,:2a x y l +=∴直线1l 的斜率为21a k -=，在y 轴上的截距211-=b 直线2l 的斜率为12=k ， 在y 轴上的截距a b =2 -----------------2分21l l ⊥ ∴ 11)2(21-=⋅-=ak k ----------------4分∴2=a ----------------5分由⎩⎨⎧=+-=++020122y x y x 解得43,45=-=y x ，P 的坐标为（43,45-）。
----------------7分（2） 21//l l ∴ 12=-a 且21-≠a - ----------------9分 ∴ 2-=a --------------------------10分 在直线2l 上取点（2，0），则1l 与2l 的距离4232)2-(10222-22=++⨯+⨯=d ----13分A B 1BC 18. （本题满分14分） 如图,在直三棱柱111ABC A B C -(侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱)中,13AC CC ==, 4BC =, 5AB =, 点D 是AB 的中点.(1)求证: 1AC ∥平面1CDB ;(2)求异面直线1AC 与1CB 所成的角的余弦值.(1)证明： 令1BC 与1CB 的交点为E , 连结DE . 因为D 是AB 的中点, E 为1BC 的中点,所以 DE ∥1AC . ---------- 3分 又 因为1AC ⊄平面1CDB , DE ⊂平面1CDB ,所以1AC ∥平面1CDB . --------- - 7分(2)因为DE ∥1AC ，所以CED ∠即为异面直线1AC 与1CB 所成的角或其补角。
【数学】浙江省温州市瑞安中学2014-2015学年高二上学期期中考试
瑞安中学2014学年第一学期高二期中考试数学试卷一、选择题：本大题共 10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项符合题目要求.1直线・、3x-y / =0的倾斜角的大小是（）B . 120C . 60D . 302•直线2x y ^0与圆（x 1）2 （y-1）2 =1的位置关系是（）4.设I , m 是两条不同的直线， 二是一个平面，则下列命题正确的是（）A .若 l 」二,l// m ，则 m 」二B .若 l — m , m :，贝y l -:C .若 l // :- , m 二：J 则 l 〃 mD .若 l // :- , m 〃 ［，则 l 〃 m5.若直线l 1 :ax 3y 0与l 2: 2x （a 1）y • 1 = 0互相平行，则a 的值是（ ）A. -3或2B. 3或-2C. -3D. 22 2 2 26•已知圆x y =4与圆x y -2y -6=0，则两圆的公共弦长为 （ ）A .、、3B . 2.3C . 2D . 17.在正方体ABCD - A 1B 1C 1D 1中，0是底面ABCD 的中心，E 为CC 1的中点，那么直线OE 与AD 1所成角的余弦值为（）A. &若圆x 2 y 2 -4x • 2my m 0与y 轴的两交点 A, B 位于原点的同侧，贝U 实数m 的 取值范围是（）A . m ：： -6B . m -6C . -6 ：： m ：： -2D . -6 ：： m ：： -2或 m 39.若直线y = x ■ b 与曲线x = 3 - 4y - y 2有公共点，贝U b 的取值范围是（）A.相交B .相切C .相离D .不确定3.如图，Rt 「：QAB •是一平面图形的直观图， 斜边OB'2，则这个平面图形 的面积是（）A'2C . 、、2D . 2、、2D.A.[T-2.2 , -1 2\ 2]B.[-3, -1 2,2]C.[ -1-2,2 , 1]D. [ -3 , -1^2]10•如图，在矩形 ABCD 中，AB 八3, BC =1 , E 为线段CD 上一动点，现将 AED 沿AE 折起，使点D 在面ABC 上的射影K 在直线AE 上，当E 从D 运动到C ，则K 所形成 轨迹的长度为()兀C.—211.已知直线ax y ^0恒过一定点，则此定点的坐标是 _______________ ▲ 12.直线 l 1 :x y ^0与l 2 :2x 2y 3=0 的距离是 ▲13.一长方体的各顶点均在同一个球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为 1, 6,3，则这个球的表面积为▲.14. 已知点E(2,1)和圆O ： x 2 y 2 =16,过点E 的直线l 被圆O 所截得的弦长为 4 3，则 直线l 的方程为▲.15. 已知正方体 ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1,E,F 分别为线段AA 1P1C 上的点，则三棱 锥D^ EDF 的体积为▲.16. 在直角坐标系xOy 中，设A(3,2), B( -2, -3),沿y 轴把坐标平面折成120的二面角后,AB 的长为 ▲.17. 已知圆 0:x 2 • y 2 =4，圆内有定点P(1,1),圆周上有两个动点分别记为 A , B ,使PA _ PB ，则矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程为▲.、填空题：本大题共7小题，每小题3分，共21分.D .3D兀三、解答题：本大题共5小题，共49分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤18.(本小题8分)若空间某几何体的三视图如图所示，求该几何体的表面积和体积.佃.(本小题9 分)已知直线I : y二4x和点P(6,4)，点A为第一象限内的点且在直线I上,K—6 ―>1側视图直线PA交X轴正半轴于点B ,(1)当OP _ AB时，求AB所在直线的直线方程；(2)求A OAB面积的最小值，并求当A OAB面积取最小值时的B的坐标.20.(本小题10分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD丄底面ABCD , PD二DC , E是PC的中点，作EF丄PB交PB于点F .(1)证明：PA//平面EDB ;(2)证明：DE _ BC ；(3)求BD和平面EFD所成角的余弦值.f21. （本小题10分）已知圆C经过原点O,与x轴另一交点的横坐标为4,与y轴另一交点的纵坐标为2，（1）求圆C的方程；（2）已知点B的坐标为（0,2），设P,Q分别是直线l :x y ^0和圆C上的动点，求PB + PQ的最小值及此时点P的坐标.22. （本小题12分）如图，在三棱锥D - ABC中，已知A BCD是正三角形，AB _平面BCD , AB = BC , E 为BC 的中点，F 在棱AC 上，且AF =3FC ,（1）求证：AC _平面DEF ；（2）若M为BD的中点，问AC上是否存在一点N，使MN //平面DEF ?若存在，说明点N的位置；若不存在，试说明理由；（3）求平面DEF与平面ABD所成的锐二面角的余弦值.瑞安中学2014学年第一学期高二期中考试数学答案题号 1 2 3 45 6 7 8 9 10 答案CADACBBDBD14._X =2 或 3x 4y-10=0_15.17. ______ X 2 y 2 =6 _________ 三、解答题 (8+9+10+10+12=49 分) 18. V =57；S =54 二 19.解：(1) 3X 2y -26 =05a(2)设A(a,4a),B(b,0),则由A, B,P 三点共线可得 b 二旦 ,a 1 a —11当且仅当 a -1 = —— 即a = 2时，取到最小值，此时 B 的坐标为（10,0）。
2015年浙江省高考模拟试题_浙江省瑞安中学高三上学期期中试题数学(理)卷
2014-2015学年瑞安中学第一学期高三期中考试数学（理科）试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1. M ∩P=（ ） A ．}1|{>y y B ．}1|{≥y y C ．}0|{>y y D ．}0|{≥y y2. 已知平面向量(1,2),(2,),a b m ==-且,a b 则23a b += （ ） A. (2,4)-- B. (3,6)-- C. (4,8)-- D. (5,10)--3. 若α、β都是第一象限的角，则“αβ>”是“tan tan αβ>”（ ）A ．充分不必要条件B ． 必要不充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件4. 已知ABC ∆中，，则cos A = （ ）A. C. D. 5.抛物线2y x =的焦点关于直线:l y x =-的对称点是 （ ）A B. C. 6. 一束光线从点(1,1)-出发经x 轴反射到圆C ：22(2)(3)1x y -+-=上的最短路程是 （ ）A. 4B.C. 5D.7. 焦点坐标为(4,0)-、(4,0),则该双曲线的方程为 （ ）A.C. D.8.已知12,F F 为双曲线P 在曲线C则12cos F PF ∠= （ ）A.B. C.9. 如图是函数Q(x)的图象的一部分, 设函数()sin ,f x x = Q(x)是( )A B ．f (x)g (x) C ．f ( x ) – g ( x ) D ．()()f xg x +10. 若以椭圆的四个顶点为顶点的菱形的内切圆过椭圆的焦点，则椭圆的离心率为 （ ） A.B. C.D. 二、填空题：本大题共7小题，每题4分，共计28分. 11. 双曲线221x y -=的离心率是 ▲ ．12.的定义域为 ▲ ．13．已知12,F F1F14.已知函数()y g x =的图象由()sin 2f x x =的图象向右 平移(0)ϕϕ<<π个单位得到，这两个函数的部分图象 如图所示，则ϕ= ▲ ．15. 设函数2()(,)f x x ax b a b R =++∈，若，则以,a b 为坐标的点(,)P a b 所构成的图形面积是 ▲ ．16. 已知ABC ∆中4,5,7AB AC BC ===,点O 是其内切圆圆心，则BC AO ⋅= ▲ ．(第9题)17. 设,t R ∈ 若*n N ∈时，不等式则t 的取值范围是 ．三、解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出必要的理由和解题步骤. 18.（本题满分14分）已知函数||)(2a x x x f -+=．（I ）试讨论)(x f 的奇偶性；（II ）若1≥a ，且)(x f 的最小值为１，求a 的值．19.（本题满分14分）已知ABC ∆中角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，设向量(,cos )m a B =，(,cos )n b A =，且m n ，m n ≠（I ）求C ∠的值； （II）若实数x满足2(sin cos )1sin A A x A =+，求x 的取值范围.20.（本题满分14分）已知函数的部分图像如图所示，其中B,C 为函数的最大值和最小值的对应点，过点B 与直线AB:1+=x y 垂直的直线BC 被圆229x y +=所截得的弦长为（I ）求直线BC 的方程.（II 21.（本题满分15分）已知：动点(,)P x y 到点(0,1)F 的距离比它到直线20y +=的距离小1， （I ）求点P 的轨迹C 的方程；（II ）在直线1y =-上任取一点M 作曲线C 的两条切线12,l l ，切点分别为A,B ，在y 轴上是否存在定点Q ，使ABQ ∆的内切圆圆心在定直线n 上？若存在，求出点Q 的坐标及定直线n 的方程；若不存在，请说明理由. 22.（本题满分15分）已知函数()ln f x x x =（I ）求()f x 在[,1]t t +(0)t >上的最小值；（II ）当2x >时，()2f x kx k >-恒成立，求正整数k 的最大值.（e 为自然对数的底数， 2.71828...e ≈）数学（理科）试卷答案一、选择题二、填空题 11.12.13. 8 14.15.16. 1 17. [4,5]. 三、解答题18. 解:(i)当0a =时R 关于原点左右对称.. …………………(3分)(ii)当0a ≠时()f x ∴为非奇非偶函数. ……………………………………(7分)（2）22,(),x x a x a f x x x a x a ⎧+-≥=⎨-+<⎩……………………………………(8分)当x a ≥时，1a ≥∴在[,)a +∞上单调递增，∴当x a =时，2min ()f x a =…………………………………… (10分)，1a ≥∴2a a >-又()f x 的最小值为 (13分)(14分)19. （I ）由m n 得cos cos a A b B =，…………………………………… (2分) 再由正弦定理得sin cos sin cos A A B B =，…………………………………… (4分) 即sin 2sin 2A B =，……………………………………………………… (5分)又m n ≠，∴A B ≠，(7分)（II ）解法一：由2(sin cos )1sin A A x A =+得…………………………………………… (12分) . ,3,a b x ≠∴≠所以x 的取值范围是2,3)(3,)+∞…………………………(14分)解法二：由2(sin cos )1sin A A x A =+得(10分) 表示定点(0,3)D 与动点(sin 2,cos 2)P A A 连线的斜率，又2(0,)A π∈，所以动点P 的轨迹是半圆，结合图像得……………………(13分)所以x 的取值范围是……………………………………………………(14分) 20.解：（I ）依题意设直线:,BC y x b =-+ ……………………………………(1分)圆心O 到直线BC 的距离 (3分) 又2b d ==(5分) 又依题意0,3,b b >∴=∴直线: 3.BC y x =-+………………… (7分)(II)由13y x y x =+⎧⎨=-+⎩ 得：1,2x y =⎧∴⎨=⎩点(1,2)B ， 2.M ∴=………………… (8分)取直线BC 与x 轴的交点为E ，(3,0)E ∴，……………………………(9分) 点8,0,ωω>∴,,2πϕ<∴………………………………………(13分)(14分) 21．解：（1）解法（一）：设(,)P x y，由条件得：………（2分） ………………………………………（3分）由条件知：2y>-，224424x y y y ∴-=+--，………………………………………………………（6分） 解法（二）：由题设发现：点(,)P x y 在y=-2的上方∵点P(x,y)到y=-2的距离比它到直线y=-1的距离多1………（2分） ∴点P(x,y)到点F(0,1)的距离等于它到直线y=-1的距离∴曲线C 是以F(0,1)为焦点，直线y=-1为准线的抛物线………（4分）6分）（2MA7分）令y=-1（8分）（9分）124x x ∴=-……………………………………………（10分）设直线AB ：y kx b =+代入121244,4,x x b x x k ∴=-=-+=∴ b=1…………………………（11分）………………………………………………………………………(14分)OQ ∴平分,AQB ∠∴存在点(0,1),Q -ABQ ∆的内心在定直线:0n x =上.………………………………………………………………………(15分)方法（二）：过点A 作,AC l ⊥(:1)l y =-垂足为E ，过点B 作,BD l ⊥垂足为D ， 连结MF 。
浙江省瑞安中学2014-2015学年高二数学10月月考试题 理(实验班)
瑞安中学2013级理科实验班高二10月份适应性考试数学（理科）试卷一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1.已知函数21()1f x x =-的定义域为M ,()ln(1)g x x =+的定义域为N ,则()R MC N = （ ）A ．{|1}x x <B ．{|1}x x ≥C ．φD ．{|11}x x -≤<2．已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）A ．,,m n m n αα若则‖‖‖ B ．,,αγβγαβ⊥⊥若则‖ C ．,,m m αβαβ若则‖‖‖D ．,,m n m n αα⊥⊥若则‖3. )(x f '是)(x f 的导函数，)(x f '的图象如右图所示，则)(x f 的图象只可能是（ ）A B C D 4.如图，三棱锥V ABC -的底面为正三角形，侧面VAC 与底面垂直且VA VC =，已知其正视图的面积为23，则其侧视图的面积为( )A ．32B ．33C ．34D ．365．过双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,B C．若12AB BC =，则双曲线的离心率是 （）AB 6．在长方体1111DC B A ABCD -中，AB AD AA 21==．若FE ,分别为线段11D A ，1CC 的中点，则直线EF 与平面11A ADD 所成角的正弦值为 （ ）A ．36B ．22C ．33D ．317.已知数列{}n a 是等差数列，若91130a a +<，10110a a •<，且数列{}n a 的前n 项和nS 有最大值，那么nS 取得最小正值时n 等于（ ）A ．20B ．17C ．19D ．218.等比数列{}n a 中，12a =，8a =4，函数()128()()()f x x x a x a x a =---，则()'0f =（）A ．62 B ．92 C ．122 D ．1529.已知函数32()f x x bx cx =++的图象如右图所示，则2221x x +等于（ A ．32 B ．34C ．38D ．31610．若函数1ln 21)(2+-=x x x f 在其定义域内的一个子区间)1,1(+-k k 内不是单调函数，则实数k 的取值X 围 （）A ．[)+∞,1B ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡23,1C ．[)2,1+D ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡2,23 二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分。
浙江省瑞安中学高二上学期期中考试(数学文).doc
1a = 3b = a a b =+ b a b =- PRINT a ，b浙江省瑞安中学高二上学期期中考试（数学文）考试时间100分钟，不能使用计算器）一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.1.从一副标准的52张（不含大小王）扑克牌中任意抽一张，抽到方片K 的概率为 ( )A ．152B ．113C. 126D ．142．已知{a n }是等比数列，2512,4a a ==,则公比q= ( ) A.21-B.-2C.2D.213．下列正确的是（ ）A ．平行于同一个平面的两条直线平行B ．垂直于同一条直线的两条直线平行C ．若直线a 与平面α内的无数条直线平行，则a ∥αD ．若一条直线垂直于平面内两条相交直线，则这条直线垂直这个平面。
4．要得到函数)42sin(π+=x y 的图象，可以把函数x y 2sin =的图象（ ）A ．向右平移8π个单位 B ．向左平移8π个单位 C ．向左平移4π个单位 D ．向右平移4π个单位5．计算机执行下面的程序段后，输出的结果是（ ）A ．1,3B ．4,1C ．0,0D ．6,06．已知向量),2(),1,1(x b a == 若b a +与a b24-平行，则实数x 的值是（ ）A ．-2B ．0C ．1D ．27．根据表格中的数据，可以判定方程062=-+x e x 的一个根所在的区间为（ ）A ．(1,0)- B.(0,1)C ．(1,2)D.(2,3)8.如下图是一个算法的程序框图，当输入的x 值为3时，输出y 的结果恰好是31，则空白处的关系式可以是（ ）A ．3x y =B ．xy -=3C ．xy 3= D ． 31x y =9．如下图，在半径为1的半圆内，放置一个边长为21的正方形ABCD ，向半圆内任投一点，该点落在正方形内的概率是（ ）．A ．πB ．1πC ．12πD ． 2π10．已知函数()f x 是(,)-∞+∞上的偶函数，若对于0x ≥，都有(2()f x f x +=），且当[0,2)x ∈时，2()log (1f x x =+），则(2008)(2009)f f -+的值为A ．2-B ．1-C ．1D ．2二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共把答案填在题中横线上。
2014学年第一学期瑞安四校期中联考 高 二 数 学(理) 答案 -
2014学年第一学期瑞安四校期中联考高 二 数 学 (理)答 案(完卷时间：100分钟； 满分：120分)二、填空题：（本题总共6小题，每题4分，总分为24分）11、 1 12、 4S π 13、14、 E 为SA 的中点 15、 31(,)55- 16 、 ⑴⑵⑶ 三、解答题（本题共4小题，总分为52分。
解题必须有文字说明、解题过程和演算步骤。
） 17．（本题满分13分）已知直线,012:1=++y ax l 直线0:2=+-a y x l ，（1）若直线21l l ⊥，求a 的值及垂足P 的坐标； （2）若直线21//l l ，求a 的值及直线1l 与2l 的距离. 解：（1）∵ ,212:1--=x a y l ,:2a x y l +=∴直线1l 的斜率为21a k -=，在y 轴上的截距211-=b 直线2l 的斜率为12=k ， 在y 轴上的截距a b =2 -----------------2分21l l ⊥ ∴ 11)2(21-=⋅-=ak k ----------------4分∴2=a ----------------5分 由⎩⎨⎧=+-=++020122y x y x 解得43,45=-=y x ，P 的坐标为（43,45-）。
----------------7分（2） 21//l l ∴ 12=-a 且21-≠a - ----------------9分 ∴ 2-=a --------------------------10分 在直线2l 上取点（2，0），则1l 与2l 的距离4232)2-(10222-22=++⨯+⨯=d ----13分18. （本题满分14分）在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1(侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱)中，A 1B 1＝A 1C 1，D ，E 分别是棱BC ，CC 1上的点(点D 不同于点C )，且AD ⊥DE ，F 为B 1C 1的中点．求证：(1)平面ADE ⊥平面BCC 1B 1； (2)直线A 1F ∥平面ADE .．证明：(1)因为ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱，所以CC 1⊥平面ABC ，又AD ⊂平面ABC ，所以CC 1⊥AD . ---------------2分 又因为AD ⊥DE ，CC 1，DE ⊂平面BCC 1B 1，CC 1∩DE ＝E ， 所以AD ⊥平面BCC 1B 1. ----------------4分 又AD ⊂平面ADE ，所以平面ADE ⊥平面BCC 1B 1. ----------------7分(2)因为A 1B 1＝A 1C 1，F 为B 1C 1的中点，所以A 1F ⊥B 1C 1. ----------------8分因为CC 1⊥平面A 1B 1C 1，且A 1F ⊂平面A 1B 1C 1，所以CC 1⊥A 1F . ----------------9分又因为CC 1，B 1C 1⊂平面BCC 1B 1，CC 1∩B 1C 1＝C 1，所以A 1F ⊥平面BCC 1B 1. ----------------10分由(1)知AD ⊥平面BCC 1B 1，所以A 1F ∥AD . ----------------11分又AD ⊂平面ADE ，A 1F ⊄平面ADE ，所以A 1F ∥平面ADE . ----------------14分19.（本题满分14分）如图，直角△BCD 所在的平面垂直于正△ABC 所在的平面，P A ⊥平面ABC ，2DC BC PA ==,E 为DB 的中点， (1)证明：AE ⊥BC ；(2)求直线PB 与面DBC 所成的角的余弦值。
浙江省瑞安四校2014-2015学年高二上学期期中联考数学
2014学年第一学期瑞安四校期中联考高 二 数 学(文) 试 卷（满分120分，考试时间：100分钟）参考公式：棱柱的体积公式： V Sh = 其中S 表示棱柱的底面积，h 表示棱柱的高 棱锥的体积公式 ： 13V Sh =其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高 棱台的体积公式： )(312211S S S S h V ++=其中S 1、S 2分别表示棱台的上、下底面积，h 表示棱台的高球的表面积公式 24S R π=球的体积公式 334R V π=其中R 表示球的半径一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分. 1．直线2310x y ++=的斜率为 ( ) A. 23-B. 23C. 32-D. 322．下列命题正确的是( )A ．三点确定一个平面B ．经过一条直线和一个点确定一个平面C ．四边形确定一个平面D ．两条相交直线确定一个平面3. 若一个正方体截去一个三棱锥后所得的几何体如图所示，则该几何体的正视图是（ ）A B C D4．一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是（ ）A.12＋22B ．1＋22C ．1＋ 2D ．2＋ 25. 如图，E 、F 分别是三棱锥P -ABC 的棱AP 、BC 的中点，PC ＝10，AB ＝6，EF ＝7，则异面直线AB 与PC 所成的角为( )A ．30°B ．60°C ．0°D ．120°6. 已知底面边长为1(底面为正方形,侧棱与底面垂直的棱柱称为正四棱柱)的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（ ）A.323π B. 4π C.2π D.43π7．设,,αβγ是三个互不重合的平面，,m n 是两条不重合的直线，则下列命题中正确的是()A ．若//m α，//n β，αβ⊥，则m n ⊥B ．若//αβ，m β⊄，//m α，则//m βC ．若αβ⊥，m α⊥，则//m βD ．若,αββγ⊥⊥，则αγ⊥8．如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，E 为1BC 的中点，则DE 与面11B BCC 所成角的正切值为( )ABCD9．直线l 过P(1,2),且A(2,3),B(4,-5)到l 的距离相等,则直线l 的方程是 （ ） A ．4x +y -6=0 B ．x +4y -6=0C ．3x +2y -7=0或4x +y -6=0D ．2x +3y -7=0或x +4y -6=010．如图，以等腰直角三角形斜边BC 上的高AD 为折痕，把△ABD 和△ACD 折成互相垂直的两个平面后，则下列四个结论中错误．．的是（ ）．A ．BD AC ⊥；B ．ABC ∆是等边三角形；C . 平面ADC ⊥平面ABC ;D . 二面角A BC D --（第10题）A 1（第8题图）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.11.过点),2()4,(a B a A -和的直线的倾斜角等于450，则a 的值是_______12．已知两条相交直线b a ,，a ∥平面α，则b 与α的位置关系是 ． 13. 已知直线的斜率为4，且在x ．轴．上的截距为2，此直线方程为____________.14. 圆柱的一个底面积为S ，侧面展开图是一个正方形，那么圆柱的侧面积是__________15.如图，一个简单空间几何体的三视图其主视图 与左视图都是边长为2的正三角形,其俯视图轮廓为 正方形，则其体积是_________.16. 如图，正三棱柱111C B A ABC -的各棱长都等于2，D 在1AC 上，F 为1BB 中点，且1AC FD ⊥，有下述结论(1) 1AC ⊥BC ；(2) 11=DC AD；(3) 二面角C AC F --1的大小为90； （4）三棱锥1D CFC -的体积为33，正确的有 .AFDBC1A 1C 1B俯视图2014学年第一学期瑞安四校期中联考高 二 数 学(文) 答 题 卷(完卷时间：100分钟； 满分：120分)二、填空题：（本题总共6小题，每题4分，总分为24分）11、 12、 13、14、 15、 16 、三、解答题（本题共4小题，总分为56分。
浙江省瑞安中学高二数学上学期期中试题 理【会员独享】.doc
A BDA 瑞安中学度第一学期高二年级期中考试数学（理科）试题总分：100分 时间：100分钟一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 直线042=--y x 绕着它与x 轴的交点逆时针方向旋转4π所得的直线方程是 （ ）A.063=-+y xB.023=--y xC.063=+-y xD.02=--y x2. 给出以下命题，其中正确的有（ ）①在所有的棱锥中，面数最少的是三棱锥；②棱台上、下底面是相似多边形，并且互相平行；③直角三角形绕一边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥；④用两个平行截面去截圆柱，得到的几何体还是圆柱.A.1个B.2个C.3个D.4个3. 从原点向圆0271222=+-+y y x 作两条切线，则这两条切线的夹角为 （ ） A ．300B ．600C ．900D ．14.△A B C '''表示水平放置的△ABC 在斜二测画法下的直观图，A B ''在x '轴上，B C ''与x '轴垂直，且B C ''=3，则△ABC 的边AB 上的高为（ ）A.5. 下列四个正方体图形中，A B 、为正方体的两个顶点，M N P 、、分别为其所在棱的中点，能得出//AB 平面MNP 的图形的序号是（ ）A. ①、③B. ①、④C. ②、③D. ②、④6. 已知BC 是圆2225x y +=的动弦，且｜BC ｜＝6，则BC 的中点的轨迹方程是（ ）A.122=+y x B. 922=+y x C. =+22y x 16 D.4=+y x 7.圆()3122=++y x 绕直线01=--y kx 旋转一周所得的几何体的体积为（ ）A. π36B. π12 C ．π4 D. π348. 已知x 、y 满足以下条件220240330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则22z x y =+的取值范围是（ ）A ．[1，13]B ．[2，13]C ．4[,13]5D．9. 如图所示的正方体中，E 、F 分别是AA 1,D 1C 1的中点，G 是正方形BD D 1B 1的中心，则空间四边形AGEF 在该正方体面上的投影不可能是（ ）10. 如图，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点M 是对角线A 1B 上的动点，则AM+MD 1的最小值为（ ）B.2 D.2二、填空题（本大题共7小题，每小题3分，满分21分）11. 已知直角坐标平面上的点(2,3)A ，则点A 关于直线0x y +=的对称点A '的坐标是 ．12. 在空间直角坐标系中，点P 在x 轴上，它到1P 的距离为它到2(0,1,1)P -的两倍，则点P 的坐标为 ．13. 一个几何体的三视图如右图所示，则这个几何体的体积为__________．14. 在正四棱锥P ABCD -中，二面角P AB C --的余弦值为3，则异面直 线PC 和AB 所成角等于 ．15. 已知点A B 、、C 在球心为O 的球面上，ABC ∆的内角A B 、、C 所对边的长分别为a b c 、、，且222a b c bc =++，a =，球心O 到截面ABC 的距离为，则该球的表面积为 .16. 设l 、m 、n 是两两不重合的直线，α、β、γ是两两不重合的平面，A 为一点，下列命题:①若,, l l m m αα则；②若,A,A ,l m l αα⊂=∉ l m 则与必为异面直线；③,,, , l m l m l m αββααβ⊂⊂且与为异面直线，则； ④若 αβ⊥，l α⊂, l β⊥则； ⑤,l αβ= , , m n βγγα== , l m n γ则.其中正确的有： ．（要求把所有正确的序号都填上）17. 已知平面内一点},16)sin 2()cos 2(|),{(22R y x y x P ∈=-+-∈ααα，则满足条件的点P 在平面内所组成的图形的面积是 ．瑞安中学度第一学期高二年级期中考试……………………数学（理科）答题卷二、填空题（本大题共7小题，每小题3分，满分21分）11．______________ 12．______________ 13．_______________ 14．______________ 15．______________ 16．_________ _____ 17．_______________ 三、解答题（本大题共4小题，共39分，解答应写出文字说明或演算步骤）18．（本题8分）已知直线l 经过直线3420x y +-=与直线220x y ++=的交点P ，且垂直于直线210x y +-=. （Ⅰ）求直线l 的方程；（Ⅱ）求直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积S .19．（本题9分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，且2P A P D A D ==，若E 、F 分别为PC 、BD 的中点.（Ⅰ）求证：EF ∥平面PAD ； （Ⅱ）求证：PA ⊥平面PDC .本题10分）已知圆C:222430x y x y ++-+=.（Ⅰ）若圆C 的切线在x 轴和y 轴上的截距相等，且截距不为零，求此切线的方程；（Ⅱ）从圆C 外一点P 11(,)x y 向该圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有PM PO =，求使得PM 取得最小值的点P 的坐标．21．（本题12分）如图，在五棱锥ABCDE P -中，PA ⊥平面ABCDE ，//AB CD ，//AC ED ，//AE BC 。
2014学年第一学期瑞安八校高二期中联考数学试卷(二)(附答案)
2014学年第一学期瑞安八校高二期中联考数学试卷时间：100分钟 满分：120分参考公式：1)2S c c h''+正棱台或圆台侧＝（； S c h 正棱柱或圆柱侧＝；12S c h '正棱锥或圆锥侧＝；24S R π球面＝； 13V S S S S h 下下台体上上＝（＋＋）；V sh 柱体＝； V sh 锥体1＝3； 343V R π球＝一、选择题(共12小题，每小题4分，共48分）1、若a b >且c R ∈，则下列不等式中一定成立的是（ ） A ．22a b > B ．ac bc > C ．22ac bc > D ．a c b c ->-2、下列几何体中，正视图、侧视图、俯视图都相同的几何体的序号是（ ）A.（1）（4）B.（2）（3）C. (3)(4)D. (1)(2)3、下列命题中，正确的是（ ）A ．经过不同的三点有且只有一个平面B ．分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线C ．垂直于同一条直线的两个平面平行D ．垂直于同一个平面的两个平面平行4、若变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+012y x y x ,则y x z +=2的最大值和最小值分别为（ ）A ．4和3B ．4和2C ．3和2D ．2和05、如图Rt O A B '''∆是一平面图形的直观图，直角边2O B ''=，则这个平面图形的面积是（ ）A ．22B ．1C ．2D ．426、已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ） A ．,,αγβγαβ⊥⊥若则‖ B ．,,m n m n αα⊥⊥若则‖C ．,,m n m n αα若则‖‖‖D ．,,m m αβαβ若则‖‖‖7、如图，一个简单空间几何体的三视图其正视图与侧视图都是边长 为2的正三角形,其俯视图轮廓为正方形，则其体积是（ ） A ．36 B ． 423 C ．433 D ． 83EAB F DC MN8、如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB=BC =2，AA 1=1，则AC 1与平面ABCD 所成角的正弦值为（ ）A.223 B.23 C.24D.13（第8题图） （第9题图）9、如右图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：①BM 与ED 平行 ②CN 与BE 是异面直线 ③CN 与BM 成60o 角 ④DM 与BN 是异面直线 。
浙江省瑞安中学2014届高三上学期期中数学理试卷Word版含答案
瑞安中学2013学年第一学期高三期中考试数学（理科）试卷 2013.11一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1. 若集合}1|{},2|{-====x y y P y y M x ，则M ∩P=（ ）A ．}1|{>y yB ．}1|{≥y yC ．}0|{>y yD ．}0|{≥y y2. 已知平面向量(1,2),(2,),a b m ==-且,a b 则23a b += （ ） A.(2,4)-- B. (3,6)-- C. (4,8)-- D. (5,10)--3. 若α、β都是第一象限的角，则“αβ>”是“tan tan αβ>” （ ） A ．充分不必要条件 B ． 必要不充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件4. 已知ABC ∆中，5tan 12A =-，则cos A = （ ） A. 1213 B. 513 C. 513- D. 1213-5.抛物线2y x =的焦点关于直线:l y x =-的对称点是 （ ）A .1(,0)4-B. 1(0,)4-C. 1(,0)4D. 1(0,)46. 一束光线从点(1,1)-出发经x 轴反射到圆C ：22(2)(3)1x y -+-=上的最短路程是 （ ）A. 4B. 1-C. 5D.7. 已知双曲线的渐近线方程为,y = 焦点坐标为(4,0)-、(4,0),则该双曲线的方程为 （ ）A. 221824x y -=B. 221124x y -=C. 221248x y -=D. 221412x y -=8.已知12,F F 为双曲线C:221916x y -=的左、右焦点，点P 在曲线C 上，123,PF PF = 则12cos F PF ∠= （ ） A. 527 B. 527- C. 725- D. 7259. 如图是函数Q(x)的图象的一部分, 设函数()sin ,f x x = 1()g x x=，则Q(x)是( ) A ．)()(x g x f B ．f (x)g (x) C ．f ( x ) – g ( x ) D ．()()f xg x +10. 若以椭圆的四个顶点为顶点的菱形的内切圆过椭圆的焦点，则椭圆的离心率为 （ ） A.B. C.D.二、填空题：本大题共7小题，每题4分，共计28分. 11. 双曲线221x y -=的离心率是 ▲12.函数lg(2cos 1)y x =+-的定义域为 ▲ ．13．已知12,F F 为椭圆221369x y +=的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A,B 两点，若2216F A F B +=，则AB = ▲ 。
浙江省温州市瑞安中学高二数学上学期期中试卷(含解析)
2015-2016学年浙江省温州市瑞安中学高二（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．1．直线x﹣y+3=0的倾斜角是（）A．30° B．45° C．60° D．90°2．两圆x2+y2=4与（x+1）2+（y﹣1）2=1的位置关系是（）A．内含 B．相交 C．相切 D．相离3．已知不同直线a，b，l，不同平面α，β，γ，则下列命题正确的是（）A．若a⊥l，b⊥l，则a∥b B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC．若β⊥γ，b⊥γ，则b∥βD．若α⊥l，β⊥l，则α∥β4．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1D与D1C所成的角为（）A．30° B．45° C．60° D．90°5．一个圆锥的表面积为π，它的侧面展开图是圆心角为120°的扇形，则该圆锥的高为（）A．1 B．C．2 D．26．点P在直线l：x﹣y﹣1=0上运动，A（4，1），B（2，0），则|PA|+|PB|的最小值是（）A．B．C．3 D．47．如图，∠C=，AC=BC，M、N分别是BC、AB的中点，将△BMN沿直线MN折起，使二面角B′﹣MN﹣B的大小为，则B'N与平面ABC所成角的正切值是（）A．B．C．D．8．已知边长都为1的正方形ABCD与DCFE所在的平面互相垂直，点P，Q分别是线段BC，DE 上的动点（包括端点），PQ=．设线段PQ中点的轨迹为l，则l的长度为（）A．2 B．C．D．二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）9．在空间直角坐标系o﹣xyz中，点A（1，2，2），则|OA|= ，点A到坐标平面yoz的距离是．10．已知直线l1：ax+y﹣6=0与l2：x+（a﹣2）y+a﹣1=0相交于点P，若l1⊥l2，则a= ，此时点P的坐标为．11．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的4个面中，直角三角形的个数是个，它的表面积是．12．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动，则直线D1E与A1D所成角的大小是，若D1E⊥EC，则AE= ．13．已知圆C：（x﹣2）2+（y+m﹣4）2=1，当m变化时，圆C上的点与原点的最短距离是．14．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，各棱长均相等，BC1与B1C的交点为D，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是．15．已知点P（1，1），圆C：x2+y2﹣4x=2，过点P的直线l与圆C交于A，B两点，线段AB 的中点为M（M不同于P），若|OP|=|OM|，则l的方程是．三、解答题（本大题共5小题，共74分）16．如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为3，M，N分别是棱AA1，AB上的点，且AM=AN=1．（Ⅰ）证明：M，N，C，D1四点共面；（Ⅱ）求几何体AMN﹣DD1C的体积．17．设直线l的方程为（a+1）x+y+2﹣a=0（a∈R）．（Ⅰ）若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；（Ⅱ）若l与两坐标轴围成的三角形的面积为6，求a的值．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，侧面PAD⊥底面ABCD，E，F分别为PA，BD的中点，PA=PD=AD=2，，∠DAB=45°．（Ⅰ）求证：EF∥平面PBC；（Ⅱ）求证：平面DEF⊥平面PAD．19．如图所示，正方形ABCD中，E、F、G分别是AB、CD、AD的中点，将ABCD沿EF折起，使FG⊥BG．（Ⅰ）证明：EB⊥平面AEFD；（Ⅱ）求二面角G﹣BF﹣E的余弦值．20．如图，已知圆C的圆心在y轴的正半轴上，且与x轴相切，圆C与直线y=kx+3相交于A，B两点．当时，．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）当k取任意实数时，问：在y轴上是否存在定点T，使得∠AT B始终被y轴平分？若存在，求出点T的坐标，若不存在，请说明理由．四、附加题（本小题满分15分，实验班学生做）21．己知椭圆+=1的离心率为，且它的一个焦点F1的坐标为（0，1）（Ⅰ）试求椭圆的标准方程：（Ⅱ）设过焦点F1的直线与椭圆交于A，B两点，N是椭圆上不同于A、B的动点，试求△NAB 的面积的最大值．2015-2016学年浙江省温州市瑞安中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．1．直线x﹣y+3=0的倾斜角是（）A．30° B．45° C．60° D．90°【考点】直线的倾斜角．【专题】常规题型．【分析】将直线方程化为斜截式，求出斜率再求倾斜角．【解答】解：将已知直线化为，所以直线的斜率为，所以直线的倾斜角为30°，故选A．【点评】本题考察直线的倾斜角，属基础题，涉及到直线的斜率和倾斜角问题时注意特殊角对应的斜率值，不要混淆．2．两圆x2+y2=4与（x+1）2+（y﹣1）2=1的位置关系是（）A．内含 B．相交 C．相切 D．相离【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【专题】直线与圆．【分析】根据两圆的圆心距大于半径之差，而小于半径之和，可得两圆相交．【解答】解：两圆x2+y2=4与（x+1）2+（y﹣1）2=1的圆心距为，它大于半径之差2﹣1，而小于半径之和2+1，故两圆相交，故选：B．【点评】本题主要考查圆和圆的位置关系的判定，属于基础题．3．已知不同直线a，b，l，不同平面α，β，γ，则下列命题正确的是（）A．若a⊥l，b⊥l，则a∥b B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC．若β⊥γ，b⊥γ，则b∥βD．若α⊥l，β⊥l，则α∥β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】综合题；空间位置关系与距离．【分析】对四个选项进行判断，即可得出结论．【解答】解：对于A，若a⊥l，b⊥l，则a，b平行、相交或异面，不正确；对于B，若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β，此命题不正确，因为垂直于同一平面的两个平面可能平行、相交，不能确定两平面之间是平行关系；对于C，若β⊥γ，b⊥γ，则b∥β或b⊂β，不正确；对于D，垂直于同一直线的两个平面平行，正确．故选：D．【点评】本题考查平面的基本性质及推论，解题的关键是有着较强的空间感知能力及对空间中线面，面面，线线位置关系的理解与掌握，此类题是训练空间想像能力的题，属于基本能力训练题．4．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1D与D1C所成的角为（）A．30° B．45° C．60° D．90°【考点】异面直线及其所成的角．【专题】空间角．【分析】在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，由D1C∥A1B，知∠DA1B是异面直线A1D与D1C所成的角，由此能求出结果．【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，∵D1C∥A1B，∴∠DA1B是异面直线A1D与D1C所成的角，∵A1D=A1B=BD，∴△A1BD是等边三角形，∴∠DA1B=60°，∴异面直线A1D与D1C所成的角是60°．故选：C．【点评】本题考查异面直线所成的角的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．5．一个圆锥的表面积为π，它的侧面展开图是圆心角为120°的扇形，则该圆锥的高为（）A．1 B．C．2 D．2【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】空间位置关系与距离．【分析】设圆锥的底面半径为r，结合圆锥的表面积为π，它的侧面展开图是圆心角为120°的扇形，求出圆锥和母线，进而根据勾股定理可得圆锥的高．【解答】解：设圆锥的底面半径为r，∵它的侧面展开图是圆心角为120°的扇形，∴圆锥的母线长为3r，又∵圆锥的表面积为π，∴πr（r+3r）=π，解得：r=，l=，故圆锥的高h==，故选：B【点评】本题考查的知识点是旋转体，熟练掌握圆锥的几何特征是解答的关键．6．点P在直线l：x﹣y﹣1=0上运动，A（4，1），B（2，0），则|PA|+|PB|的最小值是（）A．B．C．3 D．4【考点】点到直线的距离公式．【专题】直线与圆．【分析】求出A（4，1）关于直线x﹣y﹣1=0的对称点为A′，|PA|+|PB|=|PA′|+|PB|，当P、A′、B三点共线时，|PA|+|PB|取得最小|A′B|，由此能求出结果．【解答】解：∵设A（4，1）关于直线x﹣y﹣1=0的对称点为A′（x，y），则，解得x=2，y=3，∴A′（2，3）∴|PA|+|PB|=|PA′|+|PB|，当P、A′、B三点共线时，|PA|+|PB|取得最小|A′B|==3．故选：C．【点评】本题考查动点到两定点的距离的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意对称性及两点间距离公式的合理运用．7．如图，∠C=，AC=BC，M、N分别是BC、AB的中点，将△BMN沿直线MN折起，使二面角B′﹣MN﹣B的大小为，则B'N与平面ABC所成角的正切值是（）A．B．C．D．【考点】直线与平面所成的角．【分析】由题意及折叠之前与折叠之后BM与CM都始终垂直于MN，且折叠之前图形为等腰直角三角形，由于要求直线与平面所成的线面角，所以由直线与平面所成角的定义要找到斜线B′M在平面ACB内的射影，而射影是有斜足与垂足的连线，所以关键是要找到点B′在平面ABC内的投影点，然后放到直角三角形中进行求解即可．【解答】解：∵∠C=，AC=BC，M、N分别是BC、AB的中点，将△BMN沿直线MN折起，使二面角B′﹣MN﹣B的大小为，∴∠BMB′=，取BM的中点D，连B′D，ND，由于折叠之前BM与CM都始终垂直于MN，这在折叠之后仍然成立，∴折叠之后平面B′MN与平面BMN所成的二面角即为∠B′MD=60°，并且B′在底面ACB内的投影点D就在BC上，且恰在BM的中点位置，∴B′D⊥BC，B′D⊥AD，B′D⊥面ABC，∴∠B′ND就为斜线B′N与平面ABC所成的角设AC=BC=a，则B′D=，B′N=，DN=，tan∠B′ND===．故B'N与平面ABC所成角的正切值是．故选：D．【点评】本题考查平面图形的翻折与线面角的问题，应注意折前与折后的各种量变与不变的关系，而对于线面角的求解通常有传统的求作角、解三角形法及向量方法，这个内容是高考中三个角的重点考查内容之一，一般不会太难，但对学生的识图与空间想象能力的要求较高，是很好区分学生空间想象能力的题型．8．已知边长都为1的正方形ABCD与DCFE所在的平面互相垂直，点P，Q分别是线段BC，DE 上的动点（包括端点），PQ=．设线段PQ中点的轨迹为l，则l的长度为（）A．2 B．C．D．【考点】轨迹方程．【专题】综合题；空间位置关系与距离．【分析】由题意作出图形，建立空间直角坐标系，设出P、Q、M的坐标，由中点坐标公式把P、Q的坐标用M的坐标表示，然后利用PQ=列式，求出PQ中点的轨迹为四分之一圆周，则l 的长度可求．【解答】解：如图，以DA、DC、DE所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，设P（m，1，0）（0≤m≤1），Q（0，0，n）（0≤n≤1），M（x，y，z），则由中点坐标公式得：．∴m=2x，n=2z ①，∵|PQ|=，∴m2+n2=1 ②，把①代入②得，4x2+4z2=1．即．∵0≤m≤1，0≤n≤1，∴．∴PQ中点M的轨迹方程为．轨迹l为在垂直于y轴的平面内，半径为的四分之一圆周．∴l的长度为．故选：D．【点评】本题考查了轨迹方程，训练了利用空间坐标系求解动点的轨迹，体现了参数思想在解题中的应用，考查了学生的空间想象能力，属难题．二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）9．在空间直角坐标系o﹣xyz中，点A（1，2，2），则|OA|= 3 ，点A到坐标平面yoz的距离是 1 ．【考点】点、线、面间的距离计算．【专题】计算题；数形结合；分析法；空间位置关系与距离．【分析】根据空间中两点间的距离公式，求出|OA|的值．利用点A（x，y，z）到坐标平面yoz 的距离=|x|即可得出．【解答】解：根据空间中两点间的距离公式，得：|OA|==3．∵A（1，2，2），∴点A到平面yoz的距离=|1|=1．故答案为：3，1【点评】本题考查了空间中两点间的距离公式的应用问题，熟练掌握点A（x，y，z）到坐标平面yoz的距离=|x|是解题的关键，属于中档题．10．已知直线l1：ax+y﹣6=0与l2：x+（a﹣2）y+a﹣1=0相交于点P，若l1⊥l2，则a= 1 ，此时点P的坐标为（3，3）．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【专题】直线与圆．【分析】由直线垂直的性质得a×1+1×（a﹣2）=0，由此能求出a，再由直线l1和l2联立方程组，能求出点P的坐标．【解答】解：∵直线l1：ax+y﹣6=0与l2：x+（a﹣2）y+a﹣1=0相交于点P，l1⊥l2，∴a×1+1×（a﹣2）=0，解得a=1，解方程，解得x=3，y=3，∴P（3，3）．故答案为：1，（3，3）．【点评】本题考查两直线垂直时直线方程中参数值的求法，考查两直线交点坐标的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线垂直的性质的合理运用．11．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的4个面中，直角三角形的个数是 1 个，它的表面积是21 ．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】由三视图知几何体是一个侧面与底面垂直的三棱锥，底面是底边是2，高是2的等腰三角形；底面垂直的侧面是个等腰三角形，底边长为2，高长为1；另两个侧面是等腰三角形，底边长为，腰长为，即可得出结论．【解答】解：由三视图知几何体是一个侧面与底面垂直的三棱锥，底面是底边是2，高是2的等腰三角形，其面积为=2与底面垂直的侧面是个等腰三角形，底边长为2，高长为1，故是直角三角形，其面积为=1，另两个侧面是等腰三角形，底边长为，腰长为，其面积为=9∴表面积是2+1+18=21，故答案为：1，21．【点评】本题考查三视图，几何体的表面积，考查空间想象能力，计算能力，是中档题．12．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动，则直线D1E与A1D所成角的大小是90°，若D1E⊥EC，则AE= 1 ．【考点】异面直线及其所成的角．【专题】空间位置关系与距离；空间角．【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设E（1，t，0），0≤t≤2，分别求出和，由•=0，能求出直线D1E与A1D所成角的大小；分别求出，，由=0，能求出AE的长．【解答】解：∵在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动，∴以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），D1（0，0，1），A（1，0，0），A1（1，0，1），C（0，2，0），设E（1，t，0），0≤t≤2，则=（1，t，﹣1），=（﹣1，0，﹣1），∴•=﹣1+0+1=0，∴直线D1E与A1D所成角的大小是90°．∵=（1，t，﹣1），=（﹣1，2﹣t，0），D1E⊥EC，∴=﹣1+t（2﹣t）+0=0，解得t=1，∴AE=1．故答案为：900，1．【点评】本题考查异面直线所成角的大小的求法，考查线段长的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．13．已知圆C：（x﹣2）2+（y+m﹣4）2=1，当m变化时，圆C上的点与原点的最短距离是 1 ．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题；直线与圆．【分析】求出圆的圆心和半径，再求出|OC|的最小值，用|OC|的最小值减去半径，即得所求．【解答】解：圆C：（x﹣2）2+（y+m﹣4）2=1表示圆心为C（﹣2，﹣m+4），半径R=1的圆，求得|OC|=，∴m=4时，|OC|的最小值为2故当m变化时，圆C上的点与原点的最短距离是|OC|的最小值﹣R=2﹣1=1，故答案为：1．【点评】本题主要考查点和圆的位置关系，两点间的距离公式的应用，属于中档题．14．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，各棱长均相等，BC1与B1C的交点为D，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是60°．【考点】直线与平面所成的角．【专题】计算题；空间角．【分析】本题考查的知识点是线面角，由已知中侧棱垂直于底面，我们过D点做BC的垂线，垂足为E，则DE⊥底面ABC，且E为BC中点，则E为A点在平面BB1C1C上投影，则∠ADE即为所求线面夹角，解三角形即可求解．【解答】解：如图，取BC中点E，连接DE、AE、AD，依题意知三棱柱为正三棱柱，易得AE⊥平面BB1C1C，故∠ADE为AD与平面BB1C1C所成的角．设各棱长为1，则AE=，DE=，∴tan∠ADE==，∴∠ADE=60°．故答案为：60°．【点评】求直线和平面所成的角时，应注意的问题是：（1）先判断直线和平面的位置关系．（2）当直线和平面斜交时，常用以下步骤：①构造﹣﹣作出或找到斜线与射影所成的角；②设定﹣﹣论证所作或找到的角为所求的角；③计算﹣﹣常用解三角形的方法求角；④结论﹣﹣点明斜线和平面所成的角的值．15．已知点P（1，1），圆C：x2+y2﹣4x=2，过点P的直线l与圆C交于A，B两点，线段AB 的中点为M（M不同于P），若|OP|=|OM|，则l的方程是3x+y﹣4=0 ．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题；直线与圆．【分析】圆C的方程可化为（x﹣2）2+y2=6，所以圆心为C（2，0），半径为，设M（x，y），运用•=0，化简整理求出M的轨迹方程．由于|OP|=|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上，可得ON⊥PM，由直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，再由点斜式方程可得直线l的方程．【解答】解：圆C的方程可化为（x﹣2）2+y2=6，所以圆心为C（2，0），半径为，设M（x，y），则=（x﹣2，y），=（1﹣x，1﹣y），由题设知•=0，故（x﹣2）（1﹣x）+y（1﹣y）=0，即（x﹣1.5）2+（y﹣0.5）2=0.5．由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是（x﹣1.5）2+（y﹣0.5）2=0.5．M的轨迹是以点N（1.5，0.5）为圆心，为半径的圆．由于|OP|=|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而ON⊥PM．因为ON的斜率为，所以l的斜率为﹣3，故l的方程为y﹣1=﹣3（x﹣1），即3x+y﹣4=0．故答案为：3x+y﹣4=0．【点评】本题主要考查圆和圆的位置关系，直线和圆相交的性质，属于基础题．三、解答题（本大题共5小题，共74分）16．如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为3，M，N分别是棱AA1，AB上的点，且AM=AN=1．（Ⅰ）证明：M，N，C，D1四点共面；（Ⅱ）求几何体AMN﹣DD1C的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面的基本性质及推论．【专题】综合题；转化思想；综合法；推理和证明．【分析】（Ⅰ）证明：MN∥A1B，即可证明M，N，C，D1四点共面；（Ⅱ）证明几何体AMN﹣DD1C是一个三棱台，再求几何体AMN﹣DD1C的体积．【解答】（Ⅰ）证明：∵A1D1∥AD，A1D1=AD，又BC∥AD，BC=AD，∴A1D1∥BC且A1D1=BC连接A1B，则四边形A1BCD1是平行四边形所以A1B∥D1C…在△ABA1中，AM=AN=1，AA1=AB=3所以，所以MN∥A1B…所以MN∥D1C，所以M，N，C，D1四点共面．…（Ⅱ）解：因为平面ABB1A1∥平面DCC1D1，又M，N，C，D1四点共面．所以平面AMN∥平面DD1C延长CN与DA相交于点P，因为AN∥DC所以，即，解得，同理可得，所以点P与点Q重合所以D1M，DA，CN三线相交于一点，所以几何体AMN﹣DD1C是一个三棱台，…所以…【点评】本题考查四点共面的证明，考查求几何体AMN﹣DD1C的体积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．17．设直线l的方程为（a+1）x+y+2﹣a=0（a∈R）．（Ⅰ）若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；（Ⅱ）若l与两坐标轴围成的三角形的面积为6，求a的值．【考点】直线的截距式方程．【专题】直线与圆．【分析】（Ⅰ）当直线过原点时，a=2，当直线l不过原点时，由截距相等，得a=0，由此能求出直线l的方程．（Ⅱ）由题意知l在x轴，y轴上的截距分别为，由题意知，由此能求出a的值．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，a+1≠0，即a≠﹣1．…当直线过原点时，该直线在两条坐标轴上的截距都为0，此时a=2，直线l的方程为3x+y=0；…当直线l不过原点时，即a≠2时，由截距相等，得，即a=0，直线l的方程为x+y+2=0，综上所述，所求直线l的方程为3x+y=0或x+y+2=0．…（Ⅱ）由题意知，a+1≠0，a﹣2≠0，且l在x轴，y轴上的截距分别为…由题意知，，即（a﹣2）2=12|a+1|，…当a+1＞0时，解得…当a+1＜0时，解得a=﹣4，综上所述或a=﹣4．…【点评】本题考查直线方程的求法，考查直线方程中参数a的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意直线方程的性质的合理运用．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，侧面PAD⊥底面ABCD，E，F分别为PA，BD的中点，PA=PD=AD=2，，∠DAB=45°．（Ⅰ）求证：EF∥平面PBC；（Ⅱ）求证：平面DEF⊥平面PAD．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）由中位线定理和线面平行的判定定理，即可得证；（Ⅱ）运用余弦定理，可得BD=2，BD⊥AD，运用面面垂直的性质定理和判定定理，即可得证．【解答】证明：（Ⅰ）连结AC，因为底面ABCD是平行四边形，所以F是AC中点．在△PAC中，又E是PA中点，所以EF∥PC．又因为EF⊄平面PBC，PC⊂平面PBC，所以EF∥平面PBC；（Ⅱ）在△ABD中，因为，∠DAB=45°，由余弦定理得：BD==2，所以BD⊥AD．因为面PAD⊥底面ABCD，且面PAD∩面ABCD=AD，又BD⊂平面ABCD，所以BD⊥面PAD．因为BD⊂面DEF，所以平面DEF⊥平面PAD．【点评】本题考查线面平行和面面垂直的判定定理的运用，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题．19．如图所示，正方形ABCD中，E、F、G分别是AB、CD、AD的中点，将ABCD沿EF折起，使FG⊥BG．（Ⅰ）证明：EB⊥平面AEFD；（Ⅱ）求二面角G﹣BF﹣E的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面所成的角．【专题】空间位置关系与距离；空间角．【分析】（Ⅰ）设正方体的棱长为2，证明EF⊥面AEB．EB⊥AE，推出EB⊥面AEFB．（Ⅱ）取EF的中点H，作HO⊥BF，垂足为O，连接GO，说明∠GOH就是所求二面角G﹣BF﹣E 的平面角，在Rt△GHO中，求解二面角G﹣BF﹣E的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：设正方体的棱长为2，在Rt△BGF中，所以…∵EF⊥AE，EF⊥EB，∴EF⊥面AEB．∵AD∥EF，∴AD⊥面AEB，∴AD⊥AB所以在Rt△BGF中，得…在△AEB中，又A E=BE=1∴EB⊥AE又EF⊥EB∴EB⊥面AEFB…（Ⅱ）解：取EF的中点H，则GH⊥EF，由（Ⅰ）知，EB⊥面AEFB，所以面EFCB⊥面AEFB，所以GH⊥面EFCB，作HO⊥BF，垂足为O，连接GO，由三垂线定理知，GO⊥BF，所以∠GOH就是所求二面角G﹣BF﹣E的平面角．…在Rt△GHO中，GH=1，，所以，所以所以二面角G﹣BF﹣E的余弦值为．…【点评】本题考查直线与平面垂直的判断，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．20．如图，已知圆C的圆心在y轴的正半轴上，且与x轴相切，圆C与直线y=kx+3相交于A，B两点．当时，．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）当k取任意实数时，问：在y轴上是否存在定点T，使得∠ATB始终被y轴平分？若存在，求出点T的坐标，若不存在，请说明理由．【考点】圆的标准方程．【专题】计算题；直线与圆．【分析】（Ⅰ）设圆心C（0，b），b＞0，则半径r=b，利用勾股定理，建立方程，即可求出b，从而求圆C的方程；（Ⅱ）假设存在点T（0，t），联立方程组，利用韦达定理，结合k AT+k BT=0，即可得出结论．【解答】解：（Ⅰ）设圆心C（0，b），b＞0，则半径r=b，…则圆心C（0，b）到的距离∴…得∴b=2或b=﹣4（舍）∴圆C的方程为∴x2+（y﹣2）2=4…（Ⅱ）假设存在点T（0，t），设A（x1，y1），B（x2，y2）联立方程组得（1+k2）x2+2kx﹣3=0则…由k AT+k BT=0即…∴2kx1x2+（3﹣t）（x1+x2）=0，∴6k+2k（3﹣t）=0对k取任意实数时都成立，∴t﹣3=3即t=6故存在定点T（0，6），使得∠ATB始终被y轴平分．…【点评】本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查韦达定理的运用，属于中档题．四、附加题（本小题满分15分，实验班学生做）21．己知椭圆+=1的离心率为，且它的一个焦点F1的坐标为（0，1）（Ⅰ）试求椭圆的标准方程：（Ⅱ）设过焦点F1的直线与椭圆交于A，B两点，N是椭圆上不同于A、B的动点，试求△NAB 的面积的最大值．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质．【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（Ⅰ）根据椭圆的离心率和焦距即可求出标准方程；（Ⅱ）设过焦点F1的直线为l，分两类，若l的斜率不存在，求出答案，若l的斜率存在，不妨设为k，则l的方程为y=kx+1，根据韦达定理，弦长公式，点到直线的距离公式，得到S△2=6（1﹣）2（1﹣），构造函数f（t）=6（1﹣t）2（1﹣t2），利用导数求出函数的最值，问题得以解决．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，则c=1，又e==，可解得a=，∴b2=a2﹣c2=2，∴椭圆的标准方程为+=1；（Ⅱ）设过焦点F1的直线为l，①若l的斜率不存在，则A（0，），B（0，），即|AB|=2，显然当N在短轴顶点（0，）或（0，﹣）时，△NAB的面积最大，此时，△NAB的最大面积为×2×=．②若l的斜率存在，不妨设为k，则l的方程为y=kx+1，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程：，消去y整理得：（2k2+3）x2+4kx﹣4=0，∴x1+x2=﹣，x1x2=﹣，则|AB|=|x1﹣x2|=，∵当直线与l平行且与椭圆相切时，此时切点N到直线l的距离最大，设切线l′：y=kx+m，（m≤﹣），联立方程：，消去x整理得：（2k2+3）y2+4kmy+2m2﹣6=0，由△=（4km）2﹣4（2k2+3）（2m2﹣6）=0，解得m2=2k2+3，（m＜﹣），又点N到直线l的距离d=，∴S△=d|AB|=×，∴S△2==6（1﹣）2（1﹣），令t=（﹣，0）设f（t）=6（1﹣t）2（1﹣t2），∴f′（t）=12（1﹣t）2（2t+1），∵当t∈（﹣，﹣）时，f′（t）＞0，当t∈（﹣，0）时，f′（t）＜0，∴f（t）在（﹣，﹣）上是增函数，在（﹣，0）为减函数，∴f（t）min=f（﹣）=，故k2=时，△NAB的最大面积为，显然＜，∴当l的方程为y=±x+1，△NAB的面积最大，最大值为．【点评】本题主要考查椭圆的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系，利用导数求函数的最值问题，考查运算能力，考查化归思想，属于难题．。
浙江省瑞安中学1415学年高二10月月考——数学(文)数学
浙江省瑞安中学2014—2015学年度上学期10月月考高二数学试题一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1.已知点,直线,平面，以下叙述正确的是 ( )A. αα∈⇒⊂∈A a a A ,B. αα∉⇒⊄∈A a a A ,C. αα∉⇒⊄∉A a a A ,D. αα⊂⇒⊂∈A a a A ,2．用斜二测画法作一个边长为2的正方形，则其直观图的面积为（ ）A. B. 2 C. 4 D ．3．已知表示两条不同直线，表示平面，①若则 ②若，，则③若，，则 ④若，，则以上四个命题中正确命题个数( )A.0B.1C.2D.34. 空间直线、、，则下列命题中真命题的是（ ）A. 若⊥,⊥,则//B. 若与是异面直线,与是异面直线, 则与也是异面直线C.若//,⊥,则⊥D. 若a // ，与是异面直线，则与也是异面直线5．已知三棱柱的三个侧面都是全等的正方形，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）A ．B ．C ．D ．6.如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ）A. B. C. D.7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）俯视图侧视图正视图53A.54B.60C.66D.728. 如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为棱AB ，CC 1 的中点，在平面ADD 1A 1内且与平面D 1EF 平行的直线（ ）A ．不存在B ．有1条C ．有2条D ．有无数条9.已知异面直线分别在平面内，且,则直线a ( )A.同时与都相交B.至少与中的一条相交C.至多与中的一条相交D.只能与中的一条相交10.(理)如图，在正方体中，点为线段的中点.设点在线段上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．(文)如图，在正方体中，与平面所成的角为，则的值是（ ）A. B. C. D.二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11. 若三个球的表面积之比是，则它们的体积之比是_____▲ ________12.若圆锥的侧面积为，底面积为，则该圆锥的母线长为 ▲ .13．已知一个长方体共顶点的三个面的面积分别是2，3，6，则该长方体的外接球的表面积_____▲ ____.14. 三棱锥中，，分别为，的中点，记三棱锥的体积为，的体积为，则___▲ _____.15.如图是正四面体的平面展开图，分别为的中点，在这个正四面体中，①与平行；②与为异面直线；③与成角；④.以上四个命题中，正确命题的序号是 ▲ .16．一条长为2的线段，它的三个视图分别是长为的三条线段，则的最大值为 ▲ ．三、解答题（本大题共3小题，共36分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）17．（本题满分10分）如图，正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面的中心）底面边长为，高为，求该三棱锥的体积及表面积．B18.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥面ABCD ，AB=BC=2，，PA=3，∠ABC=120°，G 为（1）证明：PA//平面BGD ；（2) 求直线DG 与平面PAC 所成的角的正切值.19.（本小题满分14分）如图，在四面体A −BCD 中，AD ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，AD=2，BD=22,∠BDC= 60︒.（1）求异面直线AB 与CD 所成角大小的余弦值． （2）EFGH//AB,EFGH//CD 截面截面,求证： EFGH 截面为平行四边形. （3）在（2）条件下，求面积的最大值,并说明理由.B C参考答案一、选择题1—5ADBCA 6—10CCDBB二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）．11．12．13．14．15．②③④16．三、解答题（本大题共3小题，满分36分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤）．17．（本题满分10分）177分18．（本题满分12分）解: (1)证明：设点O为AC、BD的交点，由AB=BC,AD=CD，得BD是线段AC的中垂线，所以O 为AC的中点，连结OG又因为G为PC的中点，所以，又因为PA BGD OG⊄⊂平面，平面BGD所以PA//面BGD—————————————（6分）(2)PA ABCD BD ABCD⊥⊂平面，平面，,又由(1)知=BD AC PA AC A⊥，,所以与面所成的角是.由(1)知:，，AC=，所以，在直角中，2OD=，在直角中，tanODDGOOG∠==12分）19．（本题满分14分）解:（1）（4分）(2)////(6//////EFGH CDACD EFGH FG CD FGFG EHCD ACD EFGHCD EHEF HG⎫⎫⎫⎪⎪⎪⋂=⇒⎬⎪⎪⇒⎬⎪⎪⊂⇒⎬⎭⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎭面面面分）面四边形为平行四边形（8分）同理同理(3)//1(10)//FG AFFG CDFG EFCD ACEF CF CD ABEF ABAB AC⎫⇒=⎪⎪⇒+=⎬⎪⇒=⎪⎭分11=)4FG EFEF FGCD AB+=+≥⇒⋅≤⋅=分sinEFGHS EF FG EFG=⋅⋅∠≤=分）10分。
2014-2015学年浙江省温州市瑞安中学高二上学期期中数学试卷与解析
2014-2015学年浙江省温州市瑞安中学高二（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．（3分）直线的倾斜角的大小是（）A．135°B．120°C．60°D．30°2．（3分）直线2x+y+1=0与圆（x+1）2+（y﹣1）2=1的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．不确定3．（3分）如图Rt△O′A′B′是一平面图形的直观图，斜边O′B′=2，则这个平面图形的面积是（）A．B．1 C．D．4．（3分）设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（）A．若l⊥α，l∥m，则m⊥αB．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αC．若l∥α，m⊂α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m5．（3分）若直线l1：ax+3y+1=0与l2：2x+（a+1）y+1=0互相平行，则a的值是（）A．﹣3 B．2 C．﹣3或2 D．3或﹣26．（3分）已知圆x2+y2=4与圆x2+y2﹣2y﹣6=0，则两圆的公共弦长为（）A．B．2 C．2 D．17．（3分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E为CC1的中点，那么异面直线OE与AD1所成角的余弦值等于（）A．B．C．D．8．（3分）若圆x2+y2﹣4x+2my+m+6=0与y轴的两个交点A，B位于原点的同侧，则实数m的取值范围是（）A．m＞﹣6 B．m＞3或﹣6＜m＜﹣2 C．m＞3或﹣6＜m＜﹣1 D．m＞3或m＜﹣19．（3分）若直线y=x+b与曲线有公共点，则b的取值范围是（）A．[，]B．[，3]C．[﹣1，]D．[，3] 10．（3分）如图，在长方形ABCD中，AB=，BC=1，E为线段DC上一动点，现将△AED沿AE折起，使点D在面ABC上的射影K在直线AE上，当E从D运动到C，则K所形成轨迹的长度为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共7小题，每小题3分，共21分.11．（3分）已知直线ax+y+1=0恒过一定点，则此定点的坐标是．12．（3分）直线l1：x+y+1=0与l2：2x+2y+3=0的距离是．13．（3分）一长方体的各顶点均在同一个球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1，，3，则这个球的表面积为．14．（3分）已知点E（2，1）和圆O：x2+y2=16，过点E的直线l被圆O所截得的弦长为4，则直线l的方程为．15．（3分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1﹣EDF的体积为．16．（3分）在直角坐标系xOy中，设A（3，2），B（﹣2，﹣3），沿y轴把坐标平面折成120°的二面角后，AB的长为．17．（3分）已知圆O：x2+y2=4，圆内有定点P（1，1），圆周上有两个动点A，B，使PA⊥PB，则矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程为．三、解答题：本大题共5小题，共49分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．（8分）若空间某几何体的三视图如图所示，求该几何体的表面积和体积．19．（9分）已知直线l：y=4x和点P（6，4），点A为第一象限内的点且在直线l 上，直线PA交x轴正半轴于点B，（1）当OP⊥AB时，求AB所在直线的直线方程；（2）求△OAB面积的最小值，并求当△OAB面积取最小值时的B的坐标．20．（10分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．（1）证明：PA∥平面EDB；（2）证明：DE⊥BC；（3）求BD和平面EFD所成角的余弦值．21．（10分）已知圆C经过原点O，与x轴另一交点的横坐标为4，与y轴另一交点的纵坐标为2，（1）求圆C的方程；（2）已知点B的坐标为（0，2），设P，Q分别是直线l：x+y+2=0和圆C上的动点，求|PB|+|PQ|的最小值及此时点P的坐标．22．（12分）如图，在三棱锥D﹣ABC中，已知△BCD是正三角形，AB⊥平面BCD，AB=BC，E为BC的中点，F在棱AC上，且AF=3FC，（1）求证：AC⊥平面DEF；（2）若M为BD的中点，问AC上是否存在一点N，使MN∥平面DEF？若存在，说明点N的位置；若不存在，试说明理由；（3）求平面DEF与平面ABD所成的锐二面角的余弦值．2014-2015学年浙江省温州市瑞安中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．（3分）直线的倾斜角的大小是（）A．135°B．120°C．60°D．30°【解答】解：由题意可得直线的斜率k=，设直线的倾斜角为α则tan∵0≤α＜π∴α=60°故选：C．2．（3分）直线2x+y+1=0与圆（x+1）2+（y﹣1）2=1的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．不确定【解答】解：由于圆心（﹣1，1）到直线2x+y+1=0的距离为d==0，小于半径，故直线和圆相交，故选：A．3．（3分）如图Rt△O′A′B′是一平面图形的直观图，斜边O′B′=2，则这个平面图形的面积是（）A．B．1 C．D．【解答】解：∵Rt△O'A'B'是一平面图形的直观图，斜边O'B'=2，∴直角三角形的直角边长是，∴直角三角形的面积是，∴原平面图形的面积是1×2=2故选：D．4．（3分）设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（）A．若l⊥α，l∥m，则m⊥αB．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αC．若l∥α，m⊂α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m【解答】解：若l⊥α，l∥m，根据两平行直线中的一条与平面垂直，另一条也垂直平面，所以m⊥α所以选项A正确；若l⊥m，m⊂α，则l⊥α或l与α斜交或l与α平行，所以选项B不正确；若l∥α，m⊂α，则l∥m或l与m是异面直线，所以选项C错误；若l∥α，m∥α，则l∥m或l与m异面或l∥m相交，所以选项D错误；故选：A．5．（3分）若直线l1：ax+3y+1=0与l2：2x+（a+1）y+1=0互相平行，则a的值是（）A．﹣3 B．2 C．﹣3或2 D．3或﹣2【解答】解：直线l1：ax+3y+1=0，的斜率存在，斜率为﹣，l2：2x+（a+1）y+1=0，斜率为﹣∵直线l1：ax+3y+1=0与l2：2x+（a+1）y+1=0互相平行∴﹣=﹣解得：a=﹣3或2当a=2时，两直线重合，∴a=﹣3故选：A．6．（3分）已知圆x2+y2=4与圆x2+y2﹣2y﹣6=0，则两圆的公共弦长为（）A．B．2 C．2 D．1【解答】解：圆x2+y2=4与圆x2+y2﹣2y﹣6=0的方程相减可得公共弦所在的直线方程为y=﹣1，由于圆x2+y2=4的圆心到直线y=﹣1的距离为1，且圆x2+y2=4的半径为2，故公共弦的长为2=2，故选：B．7．（3分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E为CC1的中点，那么异面直线OE与AD1所成角的余弦值等于（）A．B．C．D．【解答】解：取BC的中点F，连接EF，OF，BC1，如图所示：∵E为CC1的中点，EF∥BC1∥AD1，故∠OEF即为异面直线OE与AD1所成角设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，则在△OEF中，EF=，OE=故cos∠OEF==故选：D．8．（3分）若圆x2+y2﹣4x+2my+m+6=0与y轴的两个交点A，B位于原点的同侧，则实数m的取值范围是（）A．m＞﹣6 B．m＞3或﹣6＜m＜﹣2 C．m＞3或﹣6＜m＜﹣1 D．m＞3或m＜﹣1【解答】解：令x=0，则y2+2my+m+6=0，∵A，B位于原点的同侧，∴关于y的方程有一是有根，二是两根积大于0∴△=4m2﹣4（m+6）＞0且m+6＞0解得﹣6＜m＜﹣2或m＞3故选：B．9．（3分）若直线y=x+b与曲线有公共点，则b的取值范围是（）A．[，]B．[，3]C．[﹣1，]D．[，3]【解答】解：曲线方程可化简为（x﹣2）2+（y﹣3）2=4（1≤y≤3），即表示圆心为（2，3）半径为2的半圆，如图依据数形结合，当直线y=x+b与此半圆相切时须满足圆心（2，3）到直线y=x+b 距离等于2，即解得或，因为是下半圆故可知（舍），故当直线过（0，3）时，解得b=3，故，故选：D．10．（3分）如图，在长方形ABCD中，AB=，BC=1，E为线段DC上一动点，现将△AED沿AE折起，使点D在面ABC上的射影K在直线AE上，当E从D运动到C，则K所形成轨迹的长度为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，将△AED沿AE折起，使平面AED⊥平面ABC，在平面AED 内过点D作DK⊥AE，K为垂足，由翻折的特征知，连接D'K，则D'KA=90°，故K点的轨迹是以AD'为直径的圆上一弧，根据长方形知圆半径是，如图当E与C重合时，AK==，取O为AD′的中点，得到△OAK是正三角形．故∠K0A=，∴∠K0D'=，其所对的弧长为=，故选：D．二、填空题：本大题共7小题，每小题3分，共21分.11．（3分）已知直线ax+y+1=0恒过一定点，则此定点的坐标是（0，﹣1）．【解答】解：因ax+y+1=0，∵与a的取值无关，∴x=0，解得y=﹣1．所以定点坐标为（0，﹣1）．故答案为：（0，﹣1）．12．（3分）直线l1：x+y+1=0与l2：2x+2y+3=0的距离是．【解答】解：把l2：2x+2y+3=0化为．∵l1∥l2，∴l1与l2的距离d==．故答案为：．13．（3分）一长方体的各顶点均在同一个球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1，，3，则这个球的表面积为16π．【解答】解：由题意可知长方体的对角线的长，就是外接球的直径，所以球的直径：=4，所以外接球的半径为：2．所以这个球的表面积：4π×22=16π．故答案为：16π．14．（3分）已知点E（2，1）和圆O：x2+y2=16，过点E的直线l被圆O所截得的弦长为4，则直线l的方程为x=2，或3x+4y﹣10=0．【解答】解：由题意可得圆心到直线的距离为=2，当直线l的斜率不存在时，方程为x=2，当直线l的斜率存在时，设为k，则直线l的方程为y﹣1=k（x﹣2），即kx﹣y+1﹣2k=0．由弦心距等于2可得=2，求得k=﹣，故要求的直线l的方程为x=2，或3x+4y﹣10=0，故答案为：x=2，或3x+4y﹣10=0．15．（3分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1﹣EDF的体积为．【解答】解：将三棱锥D 1﹣EDF选择△D1ED为底面，F为顶点，则=，ED的距离等于棱长1，其==，F到底面D所以=××1=S故答案为：16．（3分）在直角坐标系xOy中，设A（3，2），B（﹣2，﹣3），沿y轴把坐标平面折成120°的二面角后，AB的长为2．【解答】解：作AC垂直y轴，BD垂直y轴，AM平行等于CD，连接AB，MD，CD=5，BD=2，AC=3=MD，BD=2，AC=MD=3，而BD⊥y轴，MD⊥y轴（MD∥AC），∠BDM就是二面角的平面角，∴∠BDM=120°，∴由余弦定理得：BM=，AM=5，∴由勾股定理得AB=2，故答案为：217．（3分）已知圆O：x2+y2=4，圆内有定点P（1，1），圆周上有两个动点A，B，使PA⊥PB，则矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程为x2+y2=6．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x，y），又P（1，1），则x1+x2=x+1，y1+y2=y+1，，．由PA⊥PB，得，即（x1﹣1）（x2﹣1）+（y1﹣1）（y2﹣1）=0．整理得：x1x2+y1y2﹣（x1+x2）﹣（y1+y2）+2=0，即x1x2+y1y2=x+1+y+1﹣2=x+y ①又∵点A、B在圆上，∴②再由|AB |=|PQ |，得，整理得：=（x ﹣1）2+（y ﹣1）2③把①②代入③得：x 2+y 2=6．∴矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程为：x 2+y 2=6． 故答案为：x 2+y 2=6．三、解答题：本大题共5小题，共49分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．（8分）若空间某几何体的三视图如图所示，求该几何体的表面积和体积．【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是底面直径为6，高为5的圆柱，与圆锥的组合体； 其中圆锥的底面直径为6，高为=4，∴该几何体的体积为，V=V 柱+V 锥=π32•5+•π32•4=57π； 表面积为：S=S 底面圆+S 圆柱侧+S 圆锥侧 =π•32+2π•3•5+π•3•5=54π．19．（9分）已知直线l ：y=4x 和点P （6，4），点A 为第一象限内的点且在直线l 上，直线PA 交x 轴正半轴于点B ，（1）当OP ⊥AB 时，求AB 所在直线的直线方程；（2）求△OAB 面积的最小值，并求当△OAB 面积取最小值时的B 的坐标．【解答】解：（1）∵点P（6，4），∴k OP=，∵OP⊥AB，∴k AB=，∵AB过点P（6，4），∴AB的方程为y﹣4=（x﹣6）化为一般式可得：3x+2y﹣26=0（2）设点A（a 4a），a＞0，点B坐标为（b，0），b＞0，则直线PA的斜率为=，解得b=，故B的坐标为（，0），故△OAB面积为S=××4a=，即10a2﹣Sa+S=0．由题意可得方程10a2﹣Sa+S=0有解，故判别式△=S2﹣40S≥0，S≥40，故S的最小值等于40，此时方程为a2﹣4a+4=0，解得a=2．综上可得，△OAB面积的最小值为40，当△OAB面积取最小值时点B的坐标为（10，0）．20．（10分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．（1）证明：PA∥平面EDB；（2）证明：DE⊥BC；（3）求BD和平面EFD所成角的余弦值．【解答】证明：（1）连接AC，AC交BD于O，连接EO，因为底面ABCD是正方形，所以点O是AC的中点，在△PAC中，EO是中位线，所以PA∥EO．而EO⊂面EDB，PA⊄面EDB，所以PA∥面EDB．（2）因为PD⊥面ABCD，且BC⊂面ABCD，所以PD⊥BC．因为底面ABCD是正方形，所以BC⊥CD．而CD∩DP=D，所以BC⊥面CDP，因为DE⊂面CDP，所以BC⊥DE．（3）解：因为PD⊥面ABCD，且DC⊂面ABCD，所以PD⊥DC．因为PD=PC，所以DE⊥PC．由（2）知DE⊥BC，而BC∩PC=C．所以DE⊥面PCB，而PB⊂面PCB，所以DE⊥PB．又有EF⊥PB，且EF∩DE=E，所以PB⊥面EFD．所以∠BDF即BD和面EFD所成的角．令PD=DC=1，则DB=，PB=，所以cos．故直线BD与面DEF所成角的余弦值为．21．（10分）已知圆C经过原点O，与x轴另一交点的横坐标为4，与y轴另一交点的纵坐标为2，（1）求圆C的方程；（2）已知点B的坐标为（0，2），设P，Q分别是直线l：x+y+2=0和圆C上的动点，求|PB|+|PQ|的最小值及此时点P的坐标．【解答】解：（1）∵圆C经过原点O，与x轴另一交点的横坐标为4，与y轴另一交点的纵坐标为2，即点A（4，0），B（0，2）是圆的一条直径，则圆心坐标为（2，1）．半径r=，则圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．（2）点B关于直线l：x+y+2=0的对称点为B′（﹣4，﹣2），则|PB|+|PQ|=|PB′|+|PQ|≥|B′Q|，又B′到圆上的点的最短距离为|B′C|﹣r，∴|PB|+|PQ|的最小值为，直线B′C的方程为y=，则直线B′C与直线x+y+2=0的交点P的坐标满足，解得，即P（﹣，﹣）．22．（12分）如图，在三棱锥D﹣ABC中，已知△BCD是正三角形，AB⊥平面BCD，AB=BC，E为BC的中点，F在棱AC上，且AF=3FC，（1）求证：AC⊥平面DEF；（2）若M为BD的中点，问AC上是否存在一点N，使MN∥平面DEF？若存在，说明点N的位置；若不存在，试说明理由；（3）求平面DEF与平面ABD所成的锐二面角的余弦值．【解答】（1）证明：取AC的中点H，连接BH，∵AB=BC，∴BH⊥AC．∵AF=3FC，∴F为CH的中点．∵E为BC的中点，∴EF∥BH．则EF⊥AC．∵△BCD是正三角形，∴DE⊥BC．∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥DE．∵AB∩BC=B，∴DE⊥平面ABC，∴DE⊥AC．∵DE∩EF=E，∴AC⊥平面DEF；（2）存在这样的点N，当CN=CA时，MN∥平面DEF．连CM，设CM∩DE=O，连OF．由条件知，O为△BCD的重心，CO=CM．所以当CF=CN时，MN∥OF．所以CN=CA=CA（3）解：设AB=BC=2a，B在EF上的射影为B′，则B′F=a，==，∴S△DB′F==∵S△ABD′∴平面DEF与平面ABD所成的锐二面角的余弦值为．。
浙江省瑞安八校2014-2015学年高二第一学期期中联考数
2014学年第一学期瑞安八校高二期中联考数学试卷（考试时间100分钟，满分120分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1.直线1-=x y 的倾斜角为（ ）A.0°B.45°C.90°D.135° 2.已知b a >，则下列不等式正确的是（ ）A. bc ac >B. c b c a -<-C. 33b a > D. ba11<3. 已知直线0743:,0343:21=++=-+y x l y x l ，则这两条直线间的距离为（ ）A. 21B.1C.2D.44.方程06222=++-+m y x y x表示圆，则实数m 的取值范围（ ）A. 10>mB. 10≥mC. 10≤mD. 10<m5. 三条直线0012=+=--=ky x y x x 、、相交于一点，则实数k =（ ）A.2B. 21C. -2D. 21-6.已知点）、（2-,0)1,1(在直线01=++ay x 的两侧，则实数a 的取值范围（ ）A. )21,2(--B.),21()2,(+∞-⋃--∞ C. )21,2(- D. ),21()2,(+∞⋃--∞7. 已知点M 与两个定点)0,2(),0,1(-的距离的比为21，则点M 的轨迹所包含的图形面积等于A. π9B. π8C. π4D. π8.直线0:=+-b y ax l 与圆022:22=+-+by ax y x M ，则l 与M 在同一坐标系内的图形可能是（ ）A. B. C. D. 9. 已知三角形的三边长分别为3，4，5，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 10.在R 上定义运算：)1(y x y x -=∙，若不等式1)()(<+∙-y x y x 对一切实数x 恒成立，则实数y 的取值范围（ ） A. )23,21(-B. )21,23(-C. )1,1(-D. )2,0(二、填空题（本大题共7题，每小题4，共28分） 11.已知点)1,3,1(),2,0,1(-B A ，则||AB = ▲ ；12. 若1>x ，则x1的取值范围 ▲ ；13. 点)3,2(A 关于直线0=+y x 的对称点A '的坐标是 ▲ ； 14.直线1+=x y 被圆02222=--+y x y x 截得弦长为 ▲ ；15. 已知变量y x 、满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤--≤-+001042x y x y x ，则y x +的最大值为 ▲ ；16.已知点)2,1(A 在直线)0(01>=-+mn ny mx 上，则nm 21+的最小值为 ▲ ； 17.若直线03:1=++a ay x l 与0632=-+y x 的交点M 在第一象限，则1l 的倾斜角的取值范围 ▲ .三、简答题（本大题共4题，共42分，解答应写出文字符号说明，证明过程或演算步骤）18.(8分)三角形的三个顶点是）（、、3,9)8,6()0,4(C B A .(1)求AB 边所在的直线方程. (2)求AB 边上高的长度.19.（10分）已知圆0622=++-+m y x y x 和直线032=-+y x 交于Q P 、两点，且OQ OP ⊥ (O 为坐标原点)，求该圆的圆心坐标及半径.20.（12分）已知关于x 的不等式0622>+-k x kx .（1）若不等式的解集是}23|{-<<-x x ，求实数k 的值. (2)若不等式对一切)3,0(∈x 恒成立，求实数k 的取值范围.21.（12分）已知点),1(a P 和圆422=+y x .(1)若过点P 的圆的切线只有一条，求a 的值及切线方程； （2）若2=a ，过点P 的圆的两条弦BD AC 、互相垂直，求四边形ABCD 面积的最大值. 2014学年第一学期瑞安八校高二期中联考数学答卷11、__________12、____________13、__________14、___________15、_________ 16、___________17、___________三、简答题(本大题共4小题，共计42分，请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 18、(本题满分8分)三角形的三个顶点是）（、、3,9)8,6()0,4(C B A .(1)求AB 边所在的直线方程.(2)求AB 边上高的长度.19、（本题满分10分）已知圆0622=++-+m y x y x 和直线032=-+y x 交于Q P 、两点，且OQ OP ⊥ (O 为坐标原点)，求该圆的圆心坐标及半径.20、（本题满分12分）已知关于x 的不等式0622>+-k x kx .（1）若不等式的解集是}23|{-<<-x x ，求实数k 的值. (2)若不等式对一切)3,0(∈x 恒成立，求实数k 的取值范围.21. （本题满分12分） 已知点),1(a P 和圆422=+y x .(1)若过点P 的圆的切线只有一条，求a 的值及切线方程； （2）若2=a ，过点P 的圆的两条弦BD AC 、互相垂直，求四边形ABCD 面积的最大值.2014学年第一学期瑞安八校高二期中联考数学答案二、填空题（本大题共7个小题，每小题4分，共28分）11．10 12. (0，1) 13.(-3，-2) 14. 6 15．3 16. 9 17.)2,6(ππ三、简答题(12+12+13+15=52分. 解答应写出文字符号说明，证明过程或演算步骤) 18. （1）44608=--=AB k ， 则AB 的直线方程：)4(4-=x y 即：0164=--y x （4分）（2）AB 边的高的长度为点C 到直线AB 的距离，则17)1(4|16394|22=-+--⨯=d则AB 边上的高的长度为17（8分）19.联立方程⎩⎨⎧=++-+=-+0603222m y x y x y x ，消去y ，得：0122052=++-m x x设),(),,(2211y x Q y x P ，则512,42121mx x x x +==+ 因为OQ OP ⊥,则02121=+y y x x ，即：09)(652121=++-x x x x将512,42121mx x x x +==+，得3=m ，此时0>∆ 则圆心)21,3(-，半径25=r （10分）20. (1)由题意知：,0<k -3和-2是方程0622=+-k x kx 的根，则52-=k （6分）（2）由条件0622>+-k x kx 得：622+>x xk 在)3,0(上恒成立， ),0(,62622∈+=+=x xx x xy ，因626≥+x x 即：62)6(min =+xx ，当且仅当6=x 时取“=” 则66)62(max 2=+x x ，则k 的取值范围为：),66(+∞.(12分) 21.（1）由条件知点P 圆上，则3,412±=∴=+a a ； 当3=a 时，点)3,1(P ，切线方程为043=-+y x当3-=a 时，点)3,1(-P ，切线方程为043=--y x （6分） （2）设原点O 到AC 、BD 的距离为)0,(,2121≥d d d d则322221==+OPd d于是222142,42d BD d AC -=-=由AC 、BD 相互垂直，则四边形ABCD 的面积222122212221222142)(4162)4)(4(221d d d d d d d d BD AC S +=++-=--==2122212d d d d ≥+ ，则2321≤d d ，当且仅当2621==d d 时取“=” 则492221≤d d ，从而5≤S ， 即：四边形ABCD 的面积最大值为5.（12分）。
(整理版)瑞安第一学期高二年级期中考试
瑞安 第一学期高二年级期中考试数学〔文科〕试卷参考公式：台体的体积公式121()3V h S S =+，其中12,S S 分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高锥体的体积公式13V Sh =，其中S 表示锥体的底面面积，h 表示锥体的高 球的外表积公式24S R π=，其中R 表示球的半径 球的体积公式343V R π=，其中R 表示球的半径 一、选择题：〔本大题共10小题，每题3分，共30分。
每题给出的四个选项中，只有一项为哪项符合题目要求的，将答案的代号填在答题卷上〕 1．圆22220x y x y +-+=的周长是〔 〕A.B ．2πCD ．4π2．圆C 1: 1)2()2(22=-++y x 与圆C 2:22(2)(5)16x y -+-=的位置关系是〔 〕 A ．外离 B ．外切 C ．内切 D ．相交 3．过点〔1，2〕且与原点的距离最大的直线方程是〔 〕A.042=-+y xB. 052=-+y xC. 073=-+y xD. 053=-+y x 4．三角形的三个顶点(2,1,4)A -、(3,2,6)B -、(5,0,2)C -，那么ABC ∆的中线AD 的长为〔 〕．A.49B. 9 C5．一个球的外表积是π16，那么这个球的体积为〔 〕 A ．π332B ．π16C ．π316D ．π246．直线12:210,:(21)10l x ay l a x ay +-=---=与平行，那么a 的值是〔 〕 A ．0或1 B ．1或14 C ．0或14 D ．147．一个多面体的三视图如下图，其中正视图是正方形,侧视图是等腰三角形,那么该几何体的外表积和体积分别为( ) A ．108,72B ．98 ,60第5题图俯视图 侧视图正视图C ．158,120D ．88 ,488．假设实数,x y 满足不等式组33023010x y x y x my +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，且x y +的最大值为9，那么实数m =( )A.2-B.1-C. 2D. 1所示，(4,0)A 、(0,4)B ，从点(2,0)P 射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到 P 点，那么光线所经过的路程是〔 〕A ．52B ．33C ．6D ．10210．圆22:1,O x y +=点()00,P x y 在直线20x y --=上,O P 作圆的切线PQ ，使得30OPQ ∠=,那么0x 的值为( )A ．1-或1B ．0或1C ．0或2D ．2-或2二、填空题：(本大题共7小题，每题4分，共28分，把答案填在答题卷相应位置) 11．过)0,3(-A 、)0,3(B 两点的所有圆中面积最小的圆的方程是___________________。
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瑞安中学2014学年第一学期高二期中考试数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．直线013=+-y x 的倾斜角的大小是（ ）A ．135︒B ．120︒C ．60︒D ．30︒ 2．直线210x y ++=与圆22(1)(1)1x y ++-=的位置关系是( ) A.相交 B ．相切 C ．相离 D ．不确定3．如图,Rt O A B '''∆是一平面图形的直观图，斜边2O B ''=，则这个平面图形的面积是（ ）A ．1 C ．4．设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若l α⊥，l m //，则m α⊥B ．若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥C ．若l α//，m α⊂，则l m //D ．若l α//，m α//，则l m //5．若直线1:310l ax y ++=与2:2(1)10l x a y +++=互相平行，则a 的值是（ ） A. 32-或B. 32或-C. 3-D. 26. 已知圆224x y +=与圆22260x y y +--=，则两圆的公共弦长为 ( )A ．32 C ．2 D ．17．在正方体1111D C B A ABCD -中，O 是底面ABCD 的中心，E 为1CC 的中点，那么直线OE 与1AD 所成角的余弦值为（ ）D. 28．若圆224260x y x my m +-+++=与y 轴的两交点,A B 位于原点的同侧，则实数m 的取值范围是（ ）A ．6m <-B ．6m >-C ．62m -<<-D ．62m -<<-或3m >9．若直线y x b =+与曲线3x =-b 的取值范围是（ ）A.[1--1-+，1-+] C.[ 1--1] D. [ -3，1-10．如图，在矩形ABCD中，1AB BC ==，E 为线段CD 上一动点，现将AED ∆沿AE 折起，使点D 在面ABC 上的射影K 在直线AE 上，当E 从D 运动到C ，则K 所形成轨迹的长度为 ( )BAA ．23 B ．332 C ．2π D ． 3π二、填空题：本大题共7小题，每小题3分，共21分.11．已知直线10ax y ++=恒过一定点，则此定点的坐标是 ▲ . 12. 直线12:10:2230l x y l x y ++=++=与的距离是 ▲ ．13．一长方体的各顶点均在同一个球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为，则这个球的表面积为 ▲ ．14. 已知点(2,1)E 和圆O ：2216x y +=,过点E 的直线l 被圆O 所截得的弦长为则直线l 的方程为 ▲ ．15. 已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,,E F 分别为线段11,AA B C 上的点,则三棱 锥1D EDF -的体积为 ▲ ．16. 在直角坐标系xOy 中，设(3,2),(2,3)A B --，沿y 轴把坐标平面折成120的二面角后，AB 的长为 ▲ ．17. 已知圆 22:4O x y += ,圆内有定点(1,1)P , 圆周上有两个动点分别记为A ，B ， 使PA PB ⊥，则矩形APBQ 的顶点Q的轨迹方程为 ▲ ．三、解答题：本大题共5小题，共49分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．（本小题8分）若空间某几何体的三视图如图所示，求该几何体的表面积和体积．19.（本小题9分）已知直线x y l 4:=和点)4,6(P ，点A 为第一象限内的点且在直线l 上，直线PA 交x 轴正半轴于点B ，（1）当OP AB ⊥时，求AB 所在直线的直线方程；（2）求△OAB 面积的最小值，并求当△OAB 面积取最小值时的B 的坐标.20.（本小题10分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD DC =，E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 交PB 于点F ．（1）证明：PA //平面EDB ； （2）证明：DE BC ⊥；（3）求BD 和平面EFD 所成角的余弦值.21.（本小题10分）已知圆C 经过原点O ,与x 轴另一交点的横坐标为4，与y 轴另一交点的纵坐标为2， （1）求圆C 的方程；（2）已知点B 的坐标为(0,2)，设Q P ,分别是直线02:=++y x l 和圆C 上的动点，求PQ PB +的最小值及此时点P 的坐标．22． （本小题12分）如图，在三棱锥ABC D -中，已知△BCD 是正三角形，⊥AB 平面BCD ，BC AB =，E 为BC 的中点，F 在棱AC 上，且FC AF 3=，（1）求证：⊥AC 平面DEF ；（2）若M 为BD 的中点，问AC 上是否存在一点N ，使//MN 平面DEF ？若存在，说 明点N 的位置；若不存在，试说明理由；（3）求平面DEF 与平面ABD 所成的锐二面角的余弦值.瑞安中学2014 E CBDAFNM数学答卷纸一、选择题（10×3=30分）11． 12. 13.14. 15. 16.17.三、解答题（8+9+10+10+12=49分）18．（本小题8分）若空间某几何体的三视图如图所示，求该几何体的表面积和体积．19.（本小题9分）已知直线x y l 4:=和点)4,6(P ，点A 为第一象限内的点且在直线l 上，直线PA 交x轴正半轴于点B ，（1）当OP AB ⊥时，求AB 所在直线的直线方程；（2）求△OAB 面积的最小值，并求当△OAB 面积取最小值时的B 的坐标.20.（本小题10分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD，PD DC=，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．（1）证明：PA//平面EDB；⊥；（2）证明：DE BC（3）求BD和平面EFD所成角的余弦值.21.（本小题10分）已知圆C经过原点O,与x轴交点的横坐标为4，与y轴交点的纵坐标为2，（1）求圆C 的方程；（2）已知点B 的坐标为(0,2)，设Q P ,分别是直线02:=++y x l 和圆C 上的动点，求PQ PB +的最小值及此时点P 的坐标．22． （本小题12分）如图，在三棱锥ABC D -中，已知△BCD 是正三角形，⊥AB 平面BCD ，BC AB =，E 为BC 的中点，F 在棱AC 上，且FC AF 3=，（1）求证：⊥AC 平面DEF ；（2）若M 为BD 的中点，问AC 上是否存在一点N ，使//MN 平面DEF ？若存在，说 明点N 的位置；若不存在，试说明理由；（3）求平面DEF 与平面ABD 所成的锐二面角的余弦值.瑞安中学2014学年第一学期高二期中考试E CBDAFNM数学答案四、填空题（7×3=21分）11． (0,-1) 12.413. 16π14. 2x =或34100x y +-= 15. 1616.17. 226x y +=三、解答题（8+9+10+10+12=49分） 18. 57,54V S ππ== 19.解：（1）32260x y +-=（2）(,4),(,0),A a a B b 设则由P B A ,,三点共线可得15-=a ab ，1>a ， 40]211)1[(1011)1(2)1(101104152122≥+-+-=-+-+-=-=⋅-⋅=∴∆a a a a a a a a a a S OAB当且仅当 2111=-=-a a a 即时，取到最小值，此时B 的坐标为)0,10(。
20. 证明：（1）连接AC ，AC 交BD 于O ,连接EO ，ABCD ∴因为底面是正方形，点O 是AC 的中点， //PAC EO PA EO ∆∴在中，是中位线，,,//.EO EDB PA EDB PA EDB ⊂⊄而面面所以面（2）,,PD ABCD BC ABCD PD BC ⊥⊂∴⊥因为面且面ABCD BC CD∴⊥因为底面是正方形,,,CD DP D BC CDP ⋂=∴⊥而面,DE CDP BC DE ⊂∴⊥因为面（3）,,PD ABCD DC ABCD PD DC ⊥⊂∴⊥因为面且面 ,,2,=PD PC DE PC DE BC BC PC C =∴⊥⊥⋂因为由（）知而，,DE PCB PB PCB DE PB ∴⊥⊂∴⊥面而面 ,EF PB EF DE E PB EFD ⊥⋂=∴⊥又有且面BDF BD EFD ∴∠即和面所成角1,cos =cos 3PD DC DB PB PD BDF DPB PB ====∴∠∠===令则21.解：（1）圆的方程为()()51222=-+-y x（2）(0,2)20(4,2),B x y B '++=--点关于直线的对称点为,BP PQ B P PQ B Q ''+=+≥则,B BC r ''-又有到圆上的点的最短距离为1,2BP PQ B C y x '∴+=的最小值为的方程为 则直线C B /与直线02=++y x 的交点P 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛--32,34 22.解：（1）取AC 的中点H ，因为 AB ＝BC ，∴ BH ⊥AC ． 因为 AF ＝3FC ，∴ F 为CH 的中点．而E 为BC 的中点，∴ EF ∥BH ．则EF ⊥AC ． 由于 △BCD 是正三角形，∴ DE ⊥BC ． 因为 AB ⊥平面BCD ，∴ AB ⊥DE ．因为 AB ∩BC ＝B ，∴ DE ⊥平面ABC ．∴ DE ⊥AC ． 而DE ∩EF ＝E ，∴ AC ⊥平面DEF（2）存在这样的点N ，当CN ＝38CA 时，MN ∥平面DEF ． 连CM ，设CM ∩DE ＝O ，连OF ．由条件知，O 为△BCD 的重心，CO ＝23CM ．所以 当CF ＝23CN 时，MN ∥OF ．所以 CN ＝313248CA CA ⋅= （3）46。