二项式系数的性质及应用(1)
二项式系数的性质
所以a0+a1+a2+a3+a4=1.
(2)由(1)得(2-3)4=a0+a1+a2+a3+a4,
①
令x=-1,得(-2-3)4=a0-a1+a2-a3+a4.
②
所以(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2
=(a0-a1+a2-a3+a4)(a0+a1+a2+a3+a4)
=(-2-3)4(2-3)4=(2+3)4(2-3)4=625.
(2)由题意知 C0n+C1n+C2n=79, 解得 n=12 或 n=-13(舍去). 设展开式中第 r+1 项的系数最大, 由于12+2x12=1212·(1+4x)12, 则CCr1r122··44rr≥≥CCr1r1- +22 11··44rr+-11,, 解得 9.4≤r≤10.4. 又 r∈{0,1,2,…,12},∴r=10, ∴系数最大的项为 T11,且 T11=1212·C1102·(4x)10=16 896x10.
题型三 二项式系数性质的应用
[学透用活]
[典例 3] 已知二项式12+2xn. (1)若展开式中第 5 项,第 6 项,第 7 项的二项式系数成等差数列,求展开 式中二项式系数最大项的系数;
(2)若展开式中前三项的二项式系数和等于 79,求展开式中系数最大的项.
[解] (1)由题意,得 C4n+C6n=2C5n, ∴n2-21n+98=0,∴n=7 或 n=14.
解:分类计算:当不含元素,即为空集时,含有一个元素时,含有 2 个元素 时,……,一直到含有 100 个元素时,利用组合知识可得到子集的个数共有: C0100+C1100+C2100+C3100+…+C110000个子集, 由二项式系数的性质可得: C0100+C1100+C2100+…+C110000=2100 个.
(完整版)二项式展开式系数的性质
(
2)n cos n
4
Cn1 Cn3 Cn5 Cn7 L
(
2)n sin n
4
证明:
2
cos
4
i sin
4
n
(
2)n cos n i(
4
2)n sin n
4
①又Βιβλιοθήκη 2cos4
i
sin
4
n
2
2 i 2
2 2
n
(1
i)n
1 Cn1i Cn2 Cn3i Cn4 Cn5i Cn6 Cn7i L
(Cn0 Cn1x Cn2 x2 L Cnn xn )(Cn0xn Cn1xn1 L Cnn1x Cnn )
令a 1,b 1,则0 Cn0 C1n Cn2 Cn3 (1)n Cnn
Cn0 Cn2 Cn2r C1n Cn3 Cn2r1 2n1
性质4:
4. (x y)n 展开式共有 n 1 项。二项式系数:小 大 小
当当nn为为偶奇数数时时,,中中间间项两为项第系数n2 最1大项,,它二们项是式第系n数C1 n项n2 最和大; 2
证明:Q kCnk nCnk11 ,
n
n
n
左边
kCnk
nCnk11 n
C k 1 n1
k 1
k 1
k 1
n 1
n
Ck n 1
n 2n1 右边
k 0
(2)
Cn0
1 2
Cn1
1 3
Cn2
L
1 n 1
Cnn
1 (2n1 1) n 1
证明:Q (k 1)Cnk11 (n 1)Cnk ,
的展开式中,按
1 2
人教A版高中数学选择性必修第三册 二项式系数的性质
题型一 二项式定理的应用 【例1】 (1)试求1 99510除以8的余数;
(2)求证:32n+2-8n-9(n∈N*)能被64整除.
(1)解 1 99510=(8×249+3)10. ∵其展开式中除末项为310外,其余的各项均含有8这个因数, ∴1 99510除以8的余数与310除以8的余数相同. 又∵310=95=(8+1)5,其展开式中除末项为1外,其余的各项均含有8这个因数, ∴310除以8的余数为1,即1 99510除以8的余数也为1.
二项式系数的性质
在求二项式系数的最大值时,要注意讨论n的奇偶性.
对称性
在(a+b)n 的展开式中,与首末两端“_等__距__离___”的两 个二项式系数相等,即 Cnm=______C__nn-_m_____
增减性 与最大
值
增减性:当 k<n+2 1时,Ckn随 k 的增大而增大;由对称性可知,当 k>n+2 1 时,Cnk随 k 的增大而减小. 最大值:当 n 是偶数时,中间一项 取得最大值;当 n 是奇数时,中
间两项
,
相等,且同时取得最大值
各二项 ①___2_n__=C0n+C1n+C2n+…+Cnn 式系数 ②C0n+C2n+C4n+…=C1n+C3n+C5n+…=___2_n_-_1__即在(a+b)n 的展开式 的和 中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和
拓展深化
[微判断]
1.二项展开式中系数最大项是中间一项(共奇数项)或中间两项(共偶数项).( × )
【迁移2】 (变换所求)例2条件不变,求a1+a3+a5的值. 解 由上题得aa00+ -aa11+ +aa22+ -aa33+ +aa44+ -aa55= =12, 43, 两式相减得 a1+a3+a5=12×(1-243)=-121.
二项式定理复习理
a 的指数由 n 逐项减少到 0,b 的指数由 0 逐项增加到 n, 简称“一降二升”;
(3)注意区分“项”、“项数”、“系数”、“二项式系数”等概念 的区别.
2.二项式系数的性质 (1)对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,事实上这一
性质直接由公式 Ckn=Cnn-k 得到.
(2)增减性 ∵Ckn=n-kk+1Ckn-1,
n+1 ∴当 k< 2 时,二项式系数逐渐增大,由对称性知
后半部分是逐渐减小的.
(3)最大值
当 n 为偶数时,中间一项(第 n2+1 n
项)的二项式系数最
大,最大值为
C
2 n
.
当 n 为奇数时,中间两项(第
n-2 1+1
【点评】求展开式中系数最大项的步骤是:先假设 第 r+1 项系数最大,则它比相邻两项的系数都不小,列 出不等式组并解此不等式组求得.
变式题
[2009·全国卷Ⅰ]
x-y
10
的展开式中,x7y3
的系数与 x3y7 的系数之和等于________.
【思路】根据二项展开式的通项公式分别找到所求 两项的系数即可.
例 3 已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7. 求:(1) a1+a2+…+a7;
(2)a1+a3+a5+a7; (3)a0+a2+a4+a6; (4)a0+a1+a2+…+a7.
【思路】利用赋值法可求得.
【解答】令 x=1 则 a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7 =-1,①
【解答】 B 对于 Tr+1=Cr5(x2)5-r-1xr =(-1)rC5rx10-3r,对于 10-3r=4, ∴r=2,则 x4 的项的系数是 C25(-1)2=10.
二项式展开式系数的性质
(C ) C .
n 2 n n 2n
n 证明:从 2n 个不同元素中选取 n 个元素的取法数是 C2 n。
又我们也可将 2n 个元素平均分成甲、乙两组,那么,取法 也可按以下分类进行:
甲组 0个 1个 2个 n个
乙组 n个 n 1 个 n2个 0个
取法数
0 n Cn Cn 1 n 1 Cn Cn 2 n2 Cn Cn
令a 1, b 1, 则0 C C C C (1) C
0 n 1 n 2 n 3 n n
n n
0 2 2r 3 2 r 1 n 1 Cn Cn Cn C1 C C 2 n n n
性质4:
4. ( x y)n 展开式共有 n 1 项。二项式系数:小 大 小 n n 当 n 为偶数时,中间项为第 1 项,二项式系数 Cn2 最大; 2
2 n 4 n 6 n n
n n n n 证明: 2 cos i sin ( 2) cos i( 2) sin 4 4 4 4
2 2 n 又 2 cos i sin 2 i (1 i ) 4 4 2 2
n 0 Cn Cn
0 n 1 n1 2 n 2 由加法原理,Cn Cn Cn Cn Cn Cn
n 0 n Cn Cn C2 n,
0 2 1 2 2 2 即 (Cn ) (Cn ) (Cn )
n 2 n (Cn ) C2 n .
50 49 48 50 2
50
50
3 其中奇数项之和为实数,偶数项之和为纯虚数,故答案为 i。 2
4. 设 n 为偶数,求证: 1 1 1 1!(n 1)! 3!(n 3)! 5!(n 5)! 1 2n1 (n 1)!1! n!
二项式定理的性质
二项式定理的一般形式
二项式定理的一般形式是指将任意实数的幂展开为多项式的形式。该形式是 二项式定理的拓展和推广,适用于更加广泛的数学领域。
二项式定理的证明方法
二项式定理的证明方法有多种,主要有代数证明、组合证明和数学归纳法。 不同的证明方法提供了不同的视角和思路,加深了对定理的理解。
二项式定理的不等式性质
二项式定理具有多种有趣的不等式性质,如二项式展开的不等式、二项式系数的不等式等。这些性质在 数学推导和证明中具有重要的应理是数学中描述两个数相加或相乘的定理,用于展开二项式和计算多项式。该定理广泛应用于 代数、组合数学和概率论等领域。
二项式系数
二项式系数是二项式定理中的重要参数,表示在展开二项式时每个项的系数。 二项式系数由组合数学中的组合公式计算得出。
二项式定理的展开式
二项式定理可以将以二项式为底数的幂展开为多项式。展开式的项数为等差 数列,具有一定规律。展开式的具体形式可由二项式系数和幂运算计算得出。
二项式定理的性质
二项式定理是数学中重要的定理之一,涉及多个方面的性质和应用。本文将 介绍二项式定理的各种性质和相关内容。
二项式定理的公式
二项式定理是数学中用于展开二项式的重要公式,其形式为:$$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C(n, k) a^{n-k} b^{k}$$ 其中,$C(n, k)$表示二项式系数。
二项式定理及二项式系数的性质应用
累加性质
01
二项式系数满足累加性质,即对 于任意非负整数$n$和$k$($0 leq k leq n-1$),有$C_n^k + C_n^{k+1} = C_{n+1}^{k+1}$。
02
这一性质表明,在二项式展开 式中,相邻两项的二项式系数 之和等于下一项的二项式系数 。
03
通过累加性质,可以推导出二 项式系数的其他性质,如求和 公式等。
二项式系数与通项公式
二项式系数是指$(a+b)^n$展开后各项的系数,记作$C_n^k$,表示从$n$个不同元素中取出$k$个元素 的组合数。
二项式系数的通项公式为$C_n^k=frac{n!}{k!(n-k)!}$,其中$n!$表示$n$的阶乘。
二项式定理展开方法
二项式定理的展开方法是通过组合数公式和乘法分配律逐步推导出来的。
02
在组合数学中,多项式定理可用 于推导组合恒等式和求解组合问
题。
在物理学和工程学中,多项式定 理可用于描述多维空间中的物理 量和场分布。
03
在计算机科学中,多项式定理可 用于设计和分析算法的时间复杂
度和空间复杂度。
04
05 思考题与练习题选讲
思考题选讲
题目1
证明二项式定理对任意正整数$n$都成立。
对于$(a+b)^n$,可以先将其表示成$(a+b)(a+b)cdots(a+b)$的形式, 然后按照乘法分配律进行展开。
在展开过程中,每一项都是$a$和$b$的乘积,且$a$和$b$的指数之和为 $n$。根据组合数公式,可以计算出每一项的系数。
02 二项式系数性质
对称性
二项式系数具有对称性,即对于任意 非负整数$n$和$k$($0 leq k leq n$),有$C_n^k = C_n^{n-k}$。
二项式系数性质与应用
二项式系数性质与应用二项式系数是组合数学中的一种重要概念,它在代数、概率、统计等领域中有着广泛的应用。
本文将介绍二项式系数的性质,并探讨其在实际问题中的应用。
一、二项式系数的基本性质1.1 二项式系数的定义二项式系数表示为C(n,k),其中n和k为非负整数,且0 ≤ k ≤ n。
其计算方法为C(n,k) = n! / (k! * (n-k)!),其中“!”表示阶乘运算。
1.2 二项式系数的对称性二项式系数具有对称性,即C(n,k) = C(n,n-k)。
这是由于在组合中,选取k个元素与选取n-k个元素是等价的。
1.3 二项式系数的递推关系二项式系数有递推关系:C(n,k) = C(n-1,k) + C(n-1,k-1)。
这一关系可以用来计算任意二项式系数,而无需重新计算阶乘。
1.4 二项式定理二项式定理是二项式系数的一个重要性质,表示为(a+b)^n = ΣC(n,k) * a^(n-k) * b^k,其中Σ表示求和运算,k的取值范围为0到n。
二、二项式系数的应用2.1 代数中的应用在代数中,二项式系数被广泛应用于多项式展开和系数计算。
通过二项式定理,我们可以展开任意次多项式,从而计算多项式的各项系数。
2.2 概率与统计中的应用在概率与统计中,二项式系数与二项分布密切相关。
二项分布用于描述一组独立重复试验中成功(或失败)的次数的概率分布。
二项分布的概率质量函数可以用二项式系数来表示。
2.3 组合数学中的应用二项式系数是组合数学的基础概念,它与排列、组合、二项式定理等紧密相关。
在组合数学中,可以利用二项式系数解决一些计数问题,如排列组合问题、子集问题等。
2.4 离散数学中的应用离散数学中的一些问题可以转化为二项式系数的计算问题,如定理证明、图论、递归关系等。
二项式系数的递推关系和性质在解决这些问题时起到了重要的作用。
2.5 应用于经济学和金融学二项式系数在经济学和金融学中也有一定的应用,例如二项式期权定价模型和二项式资产定价模型。
二项式系数是什么
直接计算法及其应用
二项式系数的直接计算法
• 对于较小的二项式系数,可以直接计算
• 例如:C(5, 3) = 5! / (3!2!) = 10
二项式系数的直接计算法在求解组合数问题中的应用
• 可以利用直接计算法求解组合数的问题
• 例如:C(10, 5) = 10! / (5!5!) = 252
代数法在二项式系数计算中的应用
• 可以通过二项式定理研究组合数学的其他问题
• 例如:二项式定理与排列组合、二项式定理与概率论等
03
二项式系数的性质与定理
二项式系数的性质及其证明
二项式系数的对称性
• C(n, k) = C(n, n-k)
• 可以通过数学归纳法进行证明
二项式系数的加法公式
• C(n, k) + C(n, k-1) = C(n+1, k)
• 描述了从n个不同元素中选取k个元素的组合数
二项式系数的定义与组合数的关系
• C(n, k) = C(n-1, k-1) + C(n-1, k)
• 组合数的计算可以通过二项式系数进行递归求解
二项式系数的表示方法
二项式系数的组合数表示法
• C(n, k) = n! / (k!(n-k)!)
• 其中n!表示n的阶乘,k!表示k的阶乘
二项式系数的性质在求解二项式定理问题中的应用
• 可以利用二项式系数的性质简化计算过程
• 例如:(a+b)^5 = Σ C(5, k) * a^(5-k) * b^k
04
二项式系数与其他数学概念的联系
二项式系数与多项式的关系
二项式系数与多项式的系数关系
二项式系数与多项式的运算关系
二项式定理
学案:二项式定理一、知识讲解1、二项式定理:=+)(b a n 注:二项式)(b a n +的展开式一共有 项。
2、通项公式:T r 1+= ,其中n r ≤≤0, 叫做二项式系数。
3、二项式系数的性质:(1)对称性:m n C = ;(2)二项式系数之和n n n n n C C C C ++++........210= ;(注:求展开式系数之和时令x=1) ++=++3120n n n n C C C C = ;(3)二项式系数的最大值:当n 为奇数时,二项式系数以 和 最大;当n 为偶数时,二项式系数以 最大。
4、特征项的求法(1)展开式中的常数项令"x"的次数等于 ;(2)展开式中的有理项则"x"的次数应为 (无理项应为 )。
二、例题讲解例1: 在二项式52)1(x x -的展开式中,含x 4的项的系数是______.变式:(1)82)1)(21(x x x -+的展开式中常数项为______.(用数字作答)(2) 求1003)23(+x 的展开式中x 的系数为有理数的项的个数.例2:若(1+x )n 的展开式中,第7项和第8项的二项式系数最大,求n 的值;变式: (1)已知n n x )1(-的展开式中,第3项与第6项的系数互为相反数,求展开式中系数最小的项.(2)已知(a 2+1)n 的展开式中的各项系数之和等于52)1516(xx +的展开式的常数项,而(a 2+1)n 的展开式中的系数最大项等于54,求a 的值,例3 :已知(1-2x )7=a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 7x 7.求:(1)a 1+a 2+…+a 7;(2)a 1+a 3+a 5+a 7;(3)a 0+a 2+a 4+a 6;(4)|a 0|+|a 1|+|a 2|+…+|a 7|.变式: 若多项式x 2+x 10=a 0+a 1(x +1)+a 2(x +1)2+…+a 9(x +1)9+a 10(x +1)10,则a 9=______.例4:求证:)(98322*+∈--N n n n 能被64整除.变式:设a ∈Z ,且013a ≤<,若201251a +能被13整除,则a =( )A .0B .1C .11D .12三、练习1、若n x x )1(2-的展开式中的所有二项式系数和为512,则该展开式中的常数项为( )(A)-84(B)84 (C)-36 (D)36 2、1211除以100的余数是( )A .1B . 10C .11D .213、在(1+x )5(1-x )4的展开式中,x 3的系数是( )(A)4 (B)-4 (C)8 (D)-84、若nC 21与m n C 同时有最大值,则m 的值是( ) (A)5(B)4或5 (C)5或6 (D)6或7 5、若n x x )23(32-的展开式中含有非零常数项,则正整数n 的最小值为( ) (A)10 (B)6 (C)5 (D)36、若(x +1)n =x n +…+ax 3+bx 2+…+1,(n ∈N *),且a ∶b =3∶1,那么n =______.7、观察下列等式:2235515-=+C C ,3799591922+=++C C C ,511131391351311322-=+++C C C C ,7151717131791751711722+=++++C C C C C ,……由以上等式推测到一个一般的结论:对于=++++∈+++++1414914514114*,n n n n n C C C C n N ___________.8、在(3x +1)n 的展开式中,如果各项系数的和比各项二项式系数的和大992,则n=9、若)()21(20092009102009R ∈+++=-x x a x a a x ,200920092122a a a a +++ =10、设数列{}n a 是等比数列,123321-+•=m m m A C a ,公比q 是42)41(xx +的展开式中的第二项(按x 的降幂排列)⑴用n 、x 表示通项n a 与前项和n S ;⑵若n n n n n n S C S C S C A +++= 2211,用n 、x 表示n A .。
高考数学复习考点知识与题型专题讲解73---二项式定理
高考数学复习考点知识与题型专题讲解10.3二项式定理考试要求能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理,会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.1.二项式定理二项式定理 (a +b )n =C 0n a n +C 1n a n -1b +…+C k n a n -k b k +…+C n nb n (n ∈N *) 二项展开式的通项 T k +1=C k n an -k b k ,它表示第k +1项 二项式系数C k n (k ∈{0,1,2,3,…,n })2.二项式系数的性质(1)对称性:与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等. (2)增减性与最大值当n 是偶数时,中间一项2C n n取得最大值;当n 是奇数时,中间的两项12C -n n与12C+n n相等,且同时取得最大值.(3)各二项式系数的和(a +b )n 的展开式的各个二项式系数的和等于2n . 微思考1.总结(a +b )n 的展开式的特点. 提示(1)项数为n +1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n ,即a 与b 的指数的和为n .(3)字母a 按降幂排列,从第一项开始,次数由n 逐项减1直到零;字母b 按升幂排列,从第一项起,次数由零逐项增1直到n.2.(a+b)n的展开式的二项式系数和系数相同吗?提示不一定.(a+b)n的展开式的通项是C k n a n-k b k,其二项式系数是C k n(k∈{0,1,2,3,…,n}),不一定是系数.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)C k n a n-k b k是(a+b)n的展开式的第k项.(×)(2)(a+b)n的展开式中某一项的二项式系数与a,b无关.(√)(3)二项展开式中,系数最大的项为中间一项或中间两项.(×)(4)(a+b)n的展开式中某项的系数是该项中非字母因数部分,包括符号等,与该项的二项式系数不同.(√)题组二教材改编2.(x-y)n的二项展开式中,第m项的系数是()A.C m n B.C m+1nC.C m-1n D.(-1)m-1C m-1n答案D解析(x-y)n二项展开式第m项的通项为T m=C m-1n(-y)m-1x n-m+1,所以系数为C m-1n(-1)m-1.3.(八省联考)(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)9的展开式中x2的系数是() A.60B.80C.84D.120答案D解析(利用公式C m n+C m+1n =C m+1n+1)(1+x )2+(1+x )3+…+(1+x )9的展开式中x 2的系数为C 22+C 23+…+C 29=C 33+C 23+…+C 29=C 310=120.4.C 111+C 311+C 511+…+C 1111=________.答案210 题组三易错自纠5.已知⎝⎛⎭⎪⎫x +a 3x n (a 为常数)的展开式的二项式系数之和为32,常数项为80,则a 的值为() A .1B .±1C .2D .±2 答案C解析根据题意,该二项式的展开式的二项式系数之和为32,则有2n =32,可得n =5,则二项式的展开式通项为T k +1=C k 5(x )5-k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3x k =a k C k 51556kx -,令15-5k6=0,得k =3,则其常数项为C 35a 3,根据题意,有C 35a 3=80,可得a =2.6.在⎝⎛⎭⎫2x 2-1x n 的展开式中,所有二项式系数的和是32,则展开式中各项系数的和为_____. 答案1解析因为所有二项式系数的和是32,所以2n =32,解得n =5. 在⎝⎛⎭⎫2x 2-1x 5中,令x =1可得展开式中各项系数的和为(2-1)5=1.题型一多项展开式的特定项命题点1二项展开式问题例1(1)(2020·北京)在(x -2)5的展开式中,x 2的系数为() A .-5B .5C .-10D .10解析T k +1=C k 5(x )5-k (-2)k =C k 552kx -·(-2)k ,令5-k2=2,解得k =1.所以x 2的系数为C 15(-2)1=-10.(2)(2019·浙江)在二项式(2+x )9的展开式中,常数项是________,系数为有理数的项的个数是________. 答案1625解析该二项展开式的第k +1项为T k +1=C k 9(2)9-k x k ,当k =0时,第1项为常数项,所以常数项为(2)9=162;当k =1,3,5,7,9时,展开式的项的系数为有理数,所以系数为有理数的项的个数为5. 命题点2两个多项式积的展开式问题例2(1)(2020·全国Ⅰ)⎝⎛⎭⎫x +y2x (x +y )5的展开式中x 3y 3的系数为() A .5B .10C .15D .20 答案C解析方法一∵⎝⎛⎭⎫x +y 2x (x +y )5=⎝⎛⎭⎫x +y2x (x 5+5x 4y +10x 3y 2+10x 2y 3+5xy 4+y 5), ∴x 3y 3的系数为10+5=15.方法二当x +y 2x 中取x 时,x 3y 3的系数为C 35, 当x +y 2x 中取y 2x时,x 3y 3的系数为C 15, ∴x 3y 3的系数为C 35+C 15=10+5=15.(2)(2019·全国Ⅲ)(1+2x 2)(1+x )4的展开式中x 3的系数为() A .12B .16C .20D .24解析展开式中含x 3的项可以由“1与x 3”和“2x 2与x ”的乘积组成,则x 3的系数为C 34+2C 14=4+8=12.命题点3三项展开式问题例3 (1)(x 2+x +y )5的展开式中,x 5y 2的系数为() A .10B .20C .30D .60 答案C解析方法一利用二项展开式的通项公式求解. (x 2+x +y )5=[(x 2+x )+y ]5,含y 2的项为T 3=C 25(x 2+x )3·y 2. 其中(x 2+x )3中含x 5的项为C 13x 4·x =C 13x 5. 所以x 5y 2的系数为C 25C 13=30.故选C.方法二利用排列组合知识求解.(x 2+x +y )5为5个x 2+x +y 之积,其中有两个因式取y ,剩余的三个因式中两个取x 2,一个取x 即可,所以x 5y 2的系数为C 25C 23C 11=30.故选C.(2)(2020·合肥检测)⎝⎛⎭⎫x -1x +15的展开式中的常数项为() A .1B .11C .-19D .51 答案B解析⎝⎛⎭⎫x -1x +15=⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x -1x +15 展开式的通项为T k +1=C k 5⎝⎛⎭⎫x -1x 5-k当k =5时,常数项为C 55=1,当k =3时,常数项为-C 12C 35=-20,当k =1时,常数项为C 45C 24=30.综上所述,常数项为1-20+30=11.思维升华 (1)求二项展开式中的特定项,一般是化简通项后,令字母的指数符合要求(求常数项时,指数为零;求有理项时,指数为整数等),解出项数k +1,代回通项即可.(2)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题,一般都可以根据因式连乘的规律,结合组合思想求解,但要注意适当地运用分类方法,以免重复或遗漏. (3)对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决.跟踪训练1 (1)(x +a )10的展开式中,x 7项的系数为15,则a =______.(用数字填写答案) 答案12解析通项为T k +1=C k 10x10-k a k ,令10-k =7, ∴k =3,∴x 7项的系数为C 310a 3=15,∴a 3=18,∴a =12.(2)(x 2+x +1)(x -1)4的展开式中,x 3的系数为() A .-3B .-2C .1D .4 答案B解析(x -1)4的通项为T k +1=C k 4x 4-k (-1)k ,(x 2+x +1)(x -1)4的展开式中,x 3的系数为C 34(-1)3+C 24(-1)2+C 14(-1)=-2,故选B.(3)(1+2x -3x 2)5的展开式中x 5的系数为________.答案92解析方法一(1+2x -3x 2)5=(1-x )5(1+3x )5,所以x 5的系数为C 05C 5535+C 15(-1)C 4534+C 25(-1)2C 3533+C 35(-1)3C 2532+C 45(-1)4C 1531+C 55(-1)5C 0530=92.方法二(1+2x -3x 2)5=[(1+2x )-3x 2]5=C 05(1+2x )5+C 15(1+2x )4(-3x 2)+C 25(1+2x )3(-3x 2)2+…+C 55(-3x 2)5,所以x 5的系数为C 05C 5525+C 15C 34×23×(-3)+C 25C 13×2×(-3)2=92.题型二二项式系数与各项的系数问题命题点1二项式系数和与各项系数和例4(1)若二项式⎝⎛⎭⎫x 2-2x n 的展开式的二项式系数之和为8,则该展开式每一项的系数之和为() A .-1B .1C .27D .-27 答案A解析 依题意得2n =8,解得n =3.取x =1,得该二项展开式每一项的系数之和为(1-2)3=-1. (2)若(2-x )7=a 0+a 1(1+x )+a 2(1+x )2+…+a 7(1+x )7,则a 0+a 1+a 2+…+a 6的值为() A .1B .2C .129D .2188 答案C解析令x =0,得a 0+a 1+a 2+…+a 7=27=128, 又(2-x )7=[3-(x +1)]7,则a 7(1+x )7=C 77·30·[-(x +1)]7,解得a 7=-1. 故a 0+a 1+a 2+…+a 6=128-a 7=128+1=129. 命题点2二项式系数的最值问题例5二项式⎝⎛⎭⎪⎫3x +13x n的展开式中只有第11项的二项式系数最大,则展开式中x 的指数为整数的项的个数为()A .3B .5C .6D .7 答案D解析 根据⎝ ⎛⎭⎪⎫3x +13x n 的展开式中只有第11项的二项式系数最大,得n =20,∴⎝⎛⎭⎪⎫3x +13x n的展开式的通项为T k +1=C k 20·(3x )20-k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫13x k =(3)20-k ·C k 20·4203kx -,要使x 的指数是整数,需k 是3的倍数,∴k =0,3,6,9,12,15,18,∴x 的指数是整数的项共有7项. 思维升华 (1)求展开式中各项系数和可用“赋值法”. (2)二项式系数最大项在中间一项或中间两项取得.跟踪训练2 (1)(2021·随州调研)在⎝⎛⎭⎫x -1x n 的展开式中,只有第5项的二项式系数最大,则展开式中系数最小的项的系数为()A .-126B .-70C .-56D .-28 答案C解析∵只有第5项的二项式系数最大, ∴n =8,⎝⎛⎭⎫x -1x n 的展开式的通项为T k +1=(-1)k C k 8382k x-(k =0,1,2,…,8),∴展开式中奇数项的二项式系数与相应奇数项的系数相等,偶数项的二项式系数与相应偶数项的系数互为相反数,而展开式中第5项的二项式系数最大,因此展开式中第4项和第6项的系数相等且最小,为(-1)3C 38=-56.(2)⎝⎛⎭⎪⎫x +13x n 的展开式中各项系数之和大于8,但小于32,则展开式中系数最大的项是() A .63x B.4x C .4x 6x D.4x或4x 6x 答案A解析令x =1,可得⎝⎛⎭⎪⎫x +13x n的展开式中各项系数之和为2n ,即8<2n <32,解得n =4,故第3项的系数最大,所以展开式中系数最大的项是C 24(x )2⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2=63x . (3)已知m 是常数,若(mx -1)5=a 5x 5+a 4x 4+a 3x 3+a 2x 2+a 1x +a 0且a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=33,则m =________. 答案3解析当x =0时,(-1)5=-1=a 0.当x =1时,(m -1)5=a 0+a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=33-1=32,则m -1=2,m =3.课时精练1.(2020·邯郸调研)(1-2x )6的展开式的第三项为() A .60B .-120C .60x 2D .-120x 2 答案C解析T 3=C 26(-2x )2=60x 2.2.⎝⎛⎭⎫2x -1x 5的展开式中含x 3的项的系数为() A .80B .-80C .-40D .48 答案B解析⎝⎛⎭⎫2x -1x 5的展开式的通项为T k +1=C k 5(2x )5-k ·⎝⎛⎭⎫-1x k =(-1)k ·25-k ·C k 5·x 5-2k ,令5-2k =3,得k =1.于是展开式中含x 3的项的系数为(-1)·25-1·C 15=-80.3.(2020·山西八校联考)已知(1+x )n 的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为()A .29B .210C .211D .212 答案A解析由题意得C 4n =C 6n ,由组合数性质得n =10,则奇数项的二项式系数和为2n -1=29. 4.(2020·肇庆模拟)已知(1-ax )(1+x )5的展开式中x 2的系数为5,则a 等于() A .1B .2C .-1D .-2 答案A解析(1-ax )(1+x )5=(1-ax )(1+5x +10x 2+10x 3+5x 4+x 5),其展开式中x 2的系数为10-5a =5,解得a =1.5.(x 2+2)⎝⎛⎭⎫1x 2-15的展开式的常数项是() A .-3B .-2C .2D .3 答案D解析⎝⎛⎭⎫1x 2-15的展开式通项为T k +1=C k 5⎝⎛⎭⎫1x 25-k (-1)k =C k 5x 2k -10(-1)k ,由2k -10=0得k =5,所以⎝⎛⎭⎫1x 2-15的展开式中常数项为C 55(-1)5=-1.由2k -10=-2得k =4,所以⎝⎛⎭⎫1x 2-15的展开式中x -2的系数为C 45(-1)4=5,所以(x 2+2)⎝⎛⎭⎫1x 2-15的展开式的常数项是2×(-1)+5=3. 6.设(1+x )3+(1+x )4+(1+x )5+…+(1+x )50=a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+…+a 50x 50,则a 3的值是()A .C 450B .2C 350C .C 351D .C 451答案D解析由题意可得a 3的值是x 3的系数,而x 3的系数为C 33+C 34+C 35+…+C 350=C 44+C 34+C 35+…+C 350=C 451.7.(多选)对于二项式⎝⎛⎭⎫1x +x 3n (n ∈N *),下列判断正确的有()A .存在n ∈N *,展开式中有常数项B .对任意n ∈N *,展开式中没有常数项C .对任意n ∈N *,展开式中没有x 的一次项D .存在n ∈N *,展开式中有一次项答案AD解析二项式⎝⎛⎭⎫1x +x 3n 的展开式的通项公式为T k +1=C k n x 4k -n ,由通项公式可知,当n =4k (k ∈N *)和n =4k -1(k ∈N *)时,展开式中分别存在常数项和一次项,故选AD.8.(多选)(2020·枣庄模拟)已知(x -1)5=a 0+a 1(x +1)+a 2(x +1)2+…+a 5(x +1)5,则()A .a 0=-32B .a 2=-80C .a 3+4a 4=0D .a 0+a 1+…+a 5=1答案ABC解析令x =-1得(-1-1)5=a 0,即a 0=-32,故A 正确.令x =0得(-1)5=a 0+a 1+…+a 5,即a 0+a 1+…+a 5=-1,故D 不正确.令x +1=y ,则(x -1)5=a 0+a 1(x +1)+a 2(x +1)2+…+a 5(x +1)5就变为(y -2)5=a 0+a 1y +a 2y 2+…+a 5y 5,根据二项式定理知,a 2即二项式(y -2)5展开式中y 2项的系数,T k +1=C k 5y 5-k (-2)k ,故a 2=C 35·(-2)3=-80,B 正确.a 4=C 15(-2)1=-10,a 3=C 25(-2)2=40,故C正确,故选ABC.9.(2020·全国Ⅲ)⎝⎛⎭⎫x 2+2x 6的展开式中常数项是________.(用数字作答) 答案240解析⎝⎛⎭⎫x 2+2x 6的展开式的通项为 T k +1=C k 6(x 2)6-k ⎝⎛⎭⎫2x k =C k 62k x12-3k , 令12-3k =0,解得k =4,所以常数项为C 4624=240.10.(2020·辽宁葫芦岛兴城高级中学模拟)已知⎝⎛⎭⎫2x -1x n 的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2∶5,则x 3的系数为________.答案240解析⎝⎛⎭⎫2x -1x n 的展开式的通项为T k +1=C k n ·(2x )n -k ·⎝⎛⎭⎫-1x k ,由展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2∶5,可得C 1n ∶C 2n =2∶5,解得n =6.所以T k +1=(-1)k C k 626-k ·362k x -,令6-32k =3,解得k =2,所以x 3的系数为C 2626-2(-1)2=240. 11.已知⎝⎛⎭⎫ax +1x (2x +1)5(a ≠0),若其展开式中各项的系数和为81,则a =________,展开式中常数项为________.答案 -2310 解析在⎝⎛⎭⎫ax +1x (2x +1)5中, 令x =1,得(a +1)·35=81,解得a =-23, 所以⎝⎛⎭⎫-23x +1x (2x +1)5的展开式中的常数项为 1x ·C 45·2x =10. 12.(2020·浙江)二项展开式(1+2x )5=a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4+a 5x 5,则a 4=________,a 1+a 3+a 5=________.答案80122解析由题意,得a4=C45×24=5×16=80.当x=1时,(1+2)5=a0+a1+a2+a3+a4+a5=35=243,①当x=-1时,(1-2)5=a0-a1+a2-a3+a4-a5=-1.②①-②,得2(a1+a3+a5)=243-(-1)=244,所以a1+a3+a5=122.13.如图,在杨辉三角中,虚线所对应的斜行的各数之和构成一个新数列,则数列的第10项为()A.55B.89C.120D.144答案A解析由题意,可知a1=1,a2=1,a3=1+1=2,a4=1+2=3,a5=2+3=5,a6=3+5=8,a7=5+8=13,a8=8+13=21,a9=13+21=34,a10=21+34=55.14.(2021·济南模拟)设(1-ax)2 020=a0+a1x+a2x2+…+a2 020x2 020,若a1+2a2+3a3+…+2020a2020=2020a(a≠0),则实数a=________.答案2解析已知(1-ax )2020=a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 2020x 2020,两边同时对x 求导,得2020(1-ax )2019(-a )=a 1+2a 2x +3a 3x 2+…+2020a 2020x 2019,令x =1得,-2020a (1-a )2019=a 1+2a 2+3a 3+…+2020a 2020=2020a ,又a ≠0,所以(1-a )2019=-1,即1-a =-1,故a =2.15.若多项式(2x +3y )n 的展开式中仅第5项的二项式系数最大,则多项式⎝⎛⎭⎫x 2+1x 2-4n -4的展开式中x 2的系数为()A .-304B .304C .-208D .208答案A解析多项式(2x +3y )n 的展开式中仅第5项的二项式系数最大,故展开式有9项,所以n =8,多项式⎝⎛⎭⎫x 2+1x 2-44=⎣⎡⎦⎤-4+⎝⎛⎭⎫x 2+1x 24的展开式的通项为T r +1=C r 4(-4)4-r ·⎝⎛⎭⎫x 2+1x 2r (0≤r ≤4,且r ∈N ).⎝⎛⎭⎫x 2+1x 2r 的展开式的通项T k +1=C k r (x 2)r -k ·⎝⎛⎭⎫1x 2k =C k r x 2r -4k (0≤k ≤r ,且k ∈N ,r ∈N ).令2r -4k =2,即r =2k +1,所以k =0,r =1;k =1,r =3,所以展开式中x 2的系数为C 14·(-4)3+C 34·C 13·(-4)=-256-48=-304.16.设a ,b ,m 为整数(m >0),若a 和b 被m 除得的余数相同,则称a 和b 对模m 同余,记为a ≡b (mod m ).若a =C 020+C 120·2+C 220·22+…+C 2020·220,a ≡b (mod10),则b 的值可以是() A .2018B .2019C .2020D .2021答案D解析a =C 020+C 120·2+C 220·22+…+C 2020·220=(1+2)20=320=(80+1)5,它被10除所得余数为1,又a ≡b (mod10),所以b 的值可以是2021.。
二项式系数关系
二项式系数关系
二项式系数是数学中一个重要的概念,它表示的是从n个物件中,不分先后地选取k个(k为正整数)的方法总数,也叫做组合数。
在二项式定理中,二项式系数有一个重要的关系式,即C(n,k) = C(n-1,k) + C(n-1,k-1),这一关系可以用来计算任意二项式系数,而无需重新计算阶乘。
此外,二项式系数还有一个重要的性质,即二项式定理,表示为(a+b)^n = ΣC(n,k) a^(n-k) b^k,其中Σ表示求和运算,k的取值范围为0到n。
二项式系数的应用非常广泛,不仅在代数中用于多项式的展开,在组合数学、概率论等领域也有重要应用。
此外,二项式系数在计算机科学、统计学等领域也有应用。
二项式+性质
二项式系数性质 的应用
(求系数和) 求系数和)
பைடு நூலகம்
性质复习
性质1:在二项展开式中, 性质 :在二项展开式中,与首末两端等距离 的任意两项的二项式系数相等. 的任意两项的二项式系数相等 性质2 如果二项式的幂指数是偶数, 性质2:如果二项式的幂指数是偶数,中间一 项的二项式系数最大; 项的二项式系数最大;如果二项式的 幂指数是奇数, 幂指数是奇数,中间两项的二项式系 数最大; 数最大; 性质3: n 性质 : C0 + C1 + C2 + ⋅ ⋅ ⋅ + Ck + ⋅ ⋅ ⋅ + Cn = 2n n n n n 性质4 的展开式中, 性质4:(a+b)n的展开式中,奇数项的二项式系 数的和等于偶数项的二项式系数和. 数的和等于偶数项的二项式系数和.
4.已知:(2- 3x )100=a0+a1x+a2x2+…+a100x100, 已知: 已知 A=a0+a2+a4+…a100,B=a1+a3+a5+…+a99, 求: A+B、A-B、A2-B2. 、 、
(二)求展开式中各奇数项与各偶 数项的系数和n-1 n n n-2 2 n
小结: 小结:(a+b) =a0a +a1a b+a2a b +…+anb , 设 A=a0+a2+a4+…,B=a1+a3+a5+…, , , 为展开式中各奇数项的系数和, (即A为展开式中各奇数项的系数和, 为展开式中各奇数项的系数和 B为展开式中各偶数项的系数和). 为展开式中各偶数项的系数和) 为展开式中各偶数项的系数和 则:令a=b=1,得A+B=2n…………(1) , 令a=1,b=-1,得A-B=0…………(2) , , )(2)可分别解得A、 由(1)( )可分别解得 、B )( 这是求奇数项系数和与偶数项系数和的基本 思路. 思路
二项式的系数和
二项式的系数和
一、二项式的系数和的定义
二项式的系数和是指二项式展开后各系数之和。
例如,二项式(a+b)^2=a^2+2ab+b^2的系数和为1+2+1=4。
二、二项式的系数和的性质
1. 结合律:对于任意三个二项式A,B,C,有(A+B+C)=A+B+C
2. 交换律:对于任意两个二项式A,B,有(A+B)=(B+A)
3. 分配律:对于任意两个二项式A,B和任意数c,有c(A+B)=cA+cB
三、二项式的系数和的计算公式
1. 二项式展开公式:对于任意正整数n,有(a+b)^n=sum_{i=0}^nC_n^ia^{n-i}b^i其中C_n^i=frac{n!}{i!(n-i)!}称为二项式系数。
2. 二项式系数的递推公式:对于任意正整数n和0<i<n,有C_n^i=C_{n-1}^{i-1}+C_{n-1}^i
3. 二项式系数的组合意义:对于任意正整数n和0le ile n,有C_n^i=C(n,i)其中C(n,i)表示从n个元素中选出i个元素的组合数。
四、二项式的系数和的应用
1. 组合学:二项式的系数和在组合学中有着广泛的应用。
例如,它可以用来计算排列和组合的数量。
2. 概率论:二项式的系数和在概率论中也有着重要的应用。
例如,它可以用来计算二项分布的概率。
3. 统计学:二项式的系数和在统计学中也有着一定的应用。
例如,它可以用来
计算t分布的自由度。
五、结束语
二项式的系数和是一个重要的数学概念,它在数学的各个领域都有着广泛的应用。
通过了解二项式的系数和的定义、性质、计算公式和应用,我们可以更好地理解数学的本质并将其应用到实际生活中。
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7 1 7 28 85 8 1 8 36 91 9
一五 十十五一 一六 十二十六一
五十五
杨辉三角(宋代 贾宪 1023--1063)
10 1
帕斯卡三角(法国 1623--1662)
典型例题
1、求证:在(a+b)n的展开式中,奇数项的二项式 系数之和等于偶数项的二项式系数之和.
Cn0 Cn2 Cn4 Cn1 Cn3 Cn5 2n1
巩固练习
5、(x-2)9的展开式中,各二项式系数的最大值是____, 它是展开式中的第_____项.
6、(2a-3b)n的展开式中,二项式系数最大的是第8项和 第9项,则它的第4项的系数是________.
7、已知(1-2x)n的展开式中,奇数项的二项式系数之和 为32,则该二项式展开式的中间项是_________.
(2)求(1+x)10的展开式中,系数最大的项;
(3)求(1-2x)7的展开式中,系数最大的项;
(1 x3 )(1 x)10 a0 a1x a2 x2 a3x3 a13x13
(1)求a4 (2)a1+a2+a3+…+a10 (3)(a0+a2+a4+…+a10)2(a1+a3+…+a9)2
7.若(1-2x)2004= a0+a1x+a2x2+…+a2004x2004,则
(a0+a1)+(a0+a2)+(a0+a3)+…+(a0+a2004)的值
是
.(用数字作答) (2004高考,天津卷)
9.已知(ax+1)4=a0+a1x+a2x2+…+a4x4,求-a0+a1-a2+a3-a4 的值.
上两数之和.即:Cnm
C m1 n
Cm n1
(3)Cn0 Cn1 Cn2 Cnn 2n
(4)增减性与最大值:
当
r
n
2
1
时,
Cnr
Cnr
n
1;
当
r
n
1 2
时,
Cnr
Cnr1;
①当n为偶数时,
C 2 最大;
n n1
n 1
②当n为奇数时, Cn 2 、Cn 2 最大; Cnr 先增后减,在中间取得最大值.
A.462 B.252
C.210 D.10
巩固练习
10.设 (2 3x)100 a0 a1x a2 x2 L a100 x100
(1)求a0;
(2)求 a1 a2 a3 L a100 ; (3)求 a1 a3 a5 L a99 ;
(4)求 (a0 a2 a4 L a100 )2 (a1 a3 a5 L a99 )2
10、已知(1-3x)9=a0+a1x+a2x2+…+a9x9,
则|a0|+|a1|+|a2|+…+|a9|等于( )
A.29
B.49
C.49-29
D.1
6.(x-2y)8的展开式中,各项的二项式系数和是____,各 项的系数和是_____, 第_____项的二项式系数最大, 第______项的系数最大.
二项式系数性质及应用 (1)
问题情境
1.观察n=0,1,2,3,…时, (a+b)n展开式的二项式系数,写 出n=6时的二项式系数.
(a+b)0 ---------------------------- 1 (a+b)1 ------------------------- 1 1 (a+b)2 ------------------------ 1 2 1 (a+b)3 -------------------- 1 3 3 1 (a+b)4 ------------------- 1 4 6 4 1 (a+b)5 -------------- 1 5 10 10 5 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1
21 2 3 4 5 6 7 8 9
3 1 3 6 10 15 21 28 36
一
4 1 4 10 20 35 56 84 5 1 5 15 35 70 126
一一 一二一 一三 三一
6 1 6 21 56 126
一四 六四一
(5)求 | a1 | | a2 | | a3 | L | a100 |
7.(1+x)n展开式的奇数项之和为A,偶数项之和为B, 则(1-x2)n的展开式的各项和为___________.
8.(1+x+1/x)7展开式中的常数项为________. 9.设(1+x+x2)n=a0+a1x+a2x2+…+a2nx2n,则 a0+a2+a4 …+a2n的值为_______.
2、求证:Cn1 2Cn2 3Cn3 nCnn n 2n1
方法(1):倒序相加;
方法(2):运用重要结论: kCnk nCnk11
变:Cn1 2Cn2 4Cn3 2n1Cnn
典型例题
3、求证:对一切正整数n,都有:
2 (1 1)n 3
n
(1 1)n n
Cn0
Cn1
1 n
Cn2
1 n2
Байду номын сангаас
L
Cnr
1 nr
L
Cnn
1 nn
11 1 1 L 1
1 2 23
n(n 1)
3 1 n
Cnr
1 nr
n(n 1)(n 2)L r! nr
(n r 1)
1 r!
1 (r 2) r(r 1)
……
(a+b)n的展开式的二项式系数: Cn0 ,Cn1 , ,Cnr , ,Cnn
从函数角度看, f(r),其定义域为
Cnr
可以看成是以r为自变量的函数
{0,1,2,…,n}
,其图象
是 n+1 个孤立的点.
二项式系数的哪些性质:
(1)对称性: Cnm
Cnm n
(2)每行两端都是1,除1以外的每个数都等于“肩”
(a+b)6 ------------ 1 6 15 20 15 6 1
各项的二项式系数可以排成如图形状:
C00 你哪能些得性到质?二项式系数C6的0C50CC4610CC5310CCC260241CCC153120CCC642312CCC151332CCC642342CC3354CC4465C55C66
巩固练习
8.在二项式(a-b)2n+1的展开式中,下列结论正确的是( ) A.中间一项的二项式系数最大. B.中间两项的二项式系数相等且最小. C.中间两项的二项式系数相等且最大. D.中间两项的二项式系数是互为相数.
9.如果
(x3
1 x3
)n
的展开式中,只有第6项的系数最大,
那么常数项是( )
(3)求和:
S 3Cn0 7Cn1 11Cn2 L (4n 3)Cnn
(3)求证:
(Cn0 )2 (Cn1 )2 (Cn2 )2 L
(Cnn )2
(2n!) (n!)2
小结
1.二项式定理: 2.二项展开式的通项:
3.二项定理的应用: (1)通项的应用; (2)系数的相关计算; (3)利用展开式证明相关问题;
综合练习
1、915÷10的余数是_______; 2、今天是星期六,今天后的第100100天是星期_____.
3、二项式(x-2)9的展开式中各项系数之和为( ) A.512 B.-1 C.1 D.-10
4、(2x-y)5的展开式中各项系数和是________.展 开式中二项式系数和是_______.