八年级数学下册第章二次根式.二次根式第课时二次根式的性质作业新版
(完整)【人教版】八年级数学下第十六章《二次根式》课时作业(含答案),推荐文档
第十六章二次根式16. 1 二次根式第1课时二次根式的概念01 基础题知识点1二次根式的定义F 列式子不是二次根式的是 （B ） A. -5 B. J3— nC. 0.5A.J — 7B.^mC. 1 + x 2D. 2x 3.已知 卫是二次根式，则a 的值可以是(C ) A . — 2B .— 1C . 2D . — 5 4.若.一3x 是二次根式，则x 的值可以为答案不唯一 ，^口：一 1（写出一个即可）. 知识点2二次根式有意义的条件5. x 取下列各数中的哪个数时，二次根式 x — 3有意义（D ）A . — 2B . 0C . 2D . 4 6.（2017 •安）要使二次根式 2x — 4在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（B ）A . x > 2B . x > 2C . x v 2D . x = 2 7. 当x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？⑴• — x ；解：由一x > 0,得 x < 0.⑵ 2^+6 ；解：由 2x + 6>0,得 x >— 3.（3） X 2；解：由x 2>0,得x 为全体实数.1⑷一4— 3x解：由 4 — 3x>0,得 xv*.2. F 列各式中，一定是二次根式的是1.3A . 1个C . 3个(2017济宁)若•. 2x — 1+ 1 — 2x + 1在实数范围内有意义，则x 满足的条件是(C)使式子■ — ( x — 5) 2有意义的未知数x 的值有1 个.若整数x 满足|x|w 3,则使.7— x 为整数的x 的值是3或一2.16.要使二次根式2 — 3x 有意义，则x 的最大值是f. 1解：X>~2 x —4>0, 解：由 得x >4. x —3 工 0 知识点3二次根式的实际应用 &已知一个表面积为12 dm 2的正方体，则这个正方体的棱长为(B)A . 1 dmB. 2 dmC. 6 dmD . 3 dm 9.若一个长方形的面积为 10 cm 2,它的长与宽的比为 5 : 1,则它的长为5* 2cm ,宽为 2cm. 02 中档题10. ②2x :③x 3:④.三•其中，二次根式的个数有(A)11. B . D . 1 A . x > 1 B . x < 112.使式子一-寸x + 3A . 5个C . 4个 卜4 —3x 在实13. B . 3个D . 2个1 如果式子谄+有意义，那么在平面直角坐标系中点A(a , b)的位置在(A)A .第一象限C .第三象限 B .第二象限D .第四象限 14.15. 17. 当x 是怎样的实数时 F 列各式在实数范围内有意义?F 列各式中：①⑵K ；解: x> 0 且x M 1.⑶.1—|x|；解：一1 w x W 1.(4) x - 3+q詔一x.解：3< x W 4.03综合题18. 已知a, b分别为等腰三角形的两条边长,且a, b 满足b= 4 + 3a-6+ 3 2 - a,求此三角形的周长.解：••• 3a-6> 0, 2-a> 0,••• a= 2, b = 4.当边长为4, 2, 2时，不符合实际情况，舍去；当边长为4, 4, 2时，符合实际情况，4X 2 + 2 = 10.•此三角形的周长为10.第2课时二次根式的性质01 基础题知识点1 a> 0(a> 0)1. (2017荆门)已知实数m, n满足|n—2|+ m+ 1 = 0,贝U m+ 2n的值为3.2. 当x = 2 017时，式子2 018—寸X—2 017有最大值，且最大值为2 018. 知识点2 ( a)2= a(a > 0)3. 把下列非负数写成一个非负数的平方的形式：(1) 5= (,5)2」(2)3.4 = (. '3.4)2；(3)1= C 6)2;- (4)x = ( . x)2(x > 0).4. 计算：(.2 018)2= 2 018 .5. 计算：(1)( 0.8)2；解：原式=解：原式=0.8.34(3) (5 2)2;解：原式=25 X 2= 50.(4) ( —2 6)2.解：原式=4 X 6= 24.知识点 3 . a2= a(a>0)6. 计算 (—5) 2的结果是(B)A. —5B. 5C. —25D. 257. 已知二次根式.X2的值为3,那么x的值是(D)A . 3B . 9C. —3D. 3 或—3&当a> 0时，化简：』9a2= 3a.9. 计算：(1) 49;解：原式=7.⑵.(—5) 2；解：原式=5.⑶ /(-3)2；1解：原式=3.(4) 6—21解：原式二1.知识点4代数式10. 下列式子不是代数式的是 (C)3 A . 3xB: x C . x>3D . x — 3 11.下列式子中属于代数式的有 (A) ①0;② x ;③ x + 2 :④ 2x ;⑤ x = 2 :⑥x>2 :⑦.x 2+ 1；⑧ x 丰 2. A . 5个B . 6个C . 7个D . 8个02 中档题12. 下列运算正确的是(A)A . — , (— 6) 2=— 6B . (— 3)2= 9C.p (- 16) 2 = ±16 D . — (—V5)2 = — 25 13. 若a v 1,化简I (a — 1) 2— 1的结果是(D)A . a — 2B . 2— aC . aD . — a 14.(2017枣庄)实数a , b 在数轴上对应点的位置如图所示 ,化简|a|+ . (a — b ) 2的结果是(A) C . — b D . bA . — 2a + bB . 2a — b15. 已知实数x, y, m满足,x + 2 + |3x+ y+ m|= 0,且y为负数，则m的取值范围是(A)B. m v 6D. m v —616. 化简：.(2 —5) 2=「』5- 2.17. 在实数范围内分解因式：x2— 5 = (x + 5)(x —5).18. 若等式 (x —2) 2= ( x —2)2成立，则x的取值范围是X》2.19. 若,a2= 3, ,b = 2,且ab v 0,则a— b =二二.20. 计算：(1) —2 - (—8)2；1解：原式=一2X -8__ 1=—4(2) 4X 10—4；解：原式=2 X 10—2.(3) (2 -3)2—(4 .2)2;解：原式=12 —32=—20.⑷.(£)2+“「-23)2.解：原式=21+ 213 321. 比较211与3.5的大小.解：••• (2 .11)2= 22X ( .11)2= 44, (3 , 5)2= 32X ( 5)2= 45,又•/ 44V 45,且 2 11> 0, 3 5> 0, ••• 2 11V 3 ,5.22. 先化简a+ .1 + 2a+ a2,然后分别求出当a=—2和a= 3时，原代数式的值.解：a+ 1 + 2a+ a2= a+ , (a+ 1) 2= a+ |a+ 1|,当a= —2 时，原式=—2+ |—2+ 1|= —2 + 1 = —1; 当a= 3 时，原式=3 + |3+ 1|= 3+ 4= 7.03 综合题23. 有如下一串二次根式：①,52—42;②.172—82;③.372—122;④ P52—162…(1) 求①，②，③，④的值；(2) 仿照①，②，③，④，写出第⑤个二次根式；⑶仿照①，②，③，④，⑤，写出第二次根式，并化简.解：⑴①原式=9= 3.②原式=■ $225 = 15.③原式=1 225 = 35.④原式=*3 969 = 63.⑵第⑤个二次根式为1012-202= 99.(3) 第个二次根式\[ (4n2+ 1) 2—( 4n) 2.化简：J( 4n2+ 1) 2—( 4n) 2= ( 4n2—4n+ 1)—( 4n2+ 4n+ 1) .(2n —1) 2(2n+ 1) 2= (2n —1)(2n + 1).5. 计算：2 6X （— 3 6） = - 36.6. 一个直角三角形的两条直角边分别为a = 2 ,3 cm ,b = 3,6 cm ,那么这个直角三角形的 面积为9 ?2cm 2.7. 计算下列各题：9. （2017益阳）下列各式化简后的结果是 A..6 B..12C.18D. 3601 基础题16.2 二次根式的乘除第1课时二次根式的乘法知识点 1 a • b = ,ab(a 》0, b > 0)1. 计算,2X ,3的结果是（B ） A. 5 C .2.3 2. 下列各等式成立的是(D)B. .6D . 3 23. 下列二次根式中，与.2的积为无理数的是（B ）(1) -3X 5; 解：原式=15. =5.解：原式=,25(3)( — 3 2) X 2 7;解：原式=—6叮2 X 7=—6 .14.知识点 2 ab = a • b(a >0, b >0)3 2的结果是（C ） C. 18F 列各式正确的是10. 化简（—2）2X 8X 3的结果是（D）A. 2 24B.—2 24C. —4 .6D. 4 .611. 化简：(1) 100 x 36 = 60;(2) 2?= y 石.12. 化简：⑴ 4X 225;解：原式=-；［：4 X ：；225= 2X 15= 30.⑵.300;解：原式=103.(3) . 16y;解：原式=4皙y.(4) . 9x2y5z. 解：原式=3xy2・,yz.13. 计算：(1)3 6 X 2 12 ; 解：原式=6 _62X 2= 36 2.解：原式=,2a2b= a .2b.02 中档题14. ,50 • a的值是一个整数，则正整数a的最小值是(B)A. 1B. 2C. 3D. 515. 已知m=(—才)X (-2 21),则有(A)A. 5< m v 6B. 4v m v 5C. —5< m<—4 D . —6< m< —516. 若点P(a, b)在第三象限内，化简.a2b2的结果是ab.17. 计算：(1) . 75X 20 X ■, 12;解：原式=,25=60 詔5.⑵■. (—14)X(—112);解：原式=,14X 112=,2X 72X 42=,2X ,'72X ,42=28 2⑶—32X 45X 2;解：原式=—3X 16X 2 2=—96 2.(4) 200a5b4c3(a>0, c>0).解：原式=• 2 X 102•( a2) 2• a •( b2) 2• c2• c =10a2b2c ,2ac.18. 交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度，所用的经验公式是v = 16. df,其中v表示车速（单位：km/h），d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：m）, f表示摩擦因数，在某次交通事故调查中，测得d= 20 m, f = 1.2,肇事汽车的车速大约是多少？（结果精确到0.01 km/h）解：当 d = 20 m, f = 1.2 时，v= 16 df = 16X 20X 1.2= 16 24 = 32.6^ 78.38.答：肇事汽车的车速大约是78.38 km/h.19. 一个底面为30 cm X 30 cm的长方体玻璃容器中装满水，现将一部分水倒入一个底面为正方形、高为10 cm的长方体铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了20 cm,铁桶的底面边长是多少厘米？解：设铁桶的底面边长为x cm,则x2X 10= 30X 30X 20, x2= 30X 30X 2,x= 30X 30X 2= 30,2.答：铁桶的底面边长是30 2 cm.03 综合题20. （教材P16“阅读与思考”变式）阅读：古希腊的几何家海伦，在数学史上以解决几何测量问题而闻名，在他的著作《度量》一书中，给出了一个公式：如果一个三角形的三边长分别a |b |c . ________________________为a、b、c.记：p = 2 ,则三角形的面积S=pf p （p —a）（p—b）（p—c）,此公式称为“海伦公式”.思考运用：已知李大爷有一块三角形的菜地，如图，测得AB = 7 m, AC= 5 m, BC = 8 m,你能求出李大爷这块菜地的面积吗？试试看解：T AB = 7 m, AC = 5 m, BC= 8 m,a +b +c 7+ 5 + 8 p= = = 10.2 2••• S= .. p ( p —a)( p—b) ( p —c)=10X( 10 —7 )X( 10—5)X( 10—8)=10X 3 X 5X 2 = 10 3.•李大爷这块菜地的面积为1叶3 m2.第2课时二次根式的除法01 基础题知识点 i 律=.b （a >o , b > o ）C3C. 23. 下列运算正确的是(D)A. .50 - 5 = 10 C. 32 + 42 = 3 + 4= 7 4. 计算：^f= 25. 计算：以上答案都不对B. 10吃 5 = 2 2 D. 27「3= 36.下列各式成立的是（A ） 3= _355X — 1X — 1（X — 2）2= X —2，那么x 的取值范围是10 + 2 = (A)1 •计算: (B)(1) 40 + 5; 解：原式=8 = 2；::.2. 4.15 ； 解：原式=6. 'a=虻0,⑷a>0).解：原式=2a. 知识点2 b > 0)，‘ —9 =刍D 「'9 + 1 = .9+ - 订=3| 7.实数0.5的算术平方根等于（C ）C72"A . 2B. .2 1D.2&如果(D)A.5B . 1 v x w 2D. x > 2 或 x w 19.化简：⑴.'100 ；解：原式=一 了一 = _7^00 10知识点3最简二次根式11. 把下列二次根式化为最简二次根式:(1) 2.5;解：原式=“ ；2 = 2°.解：原式=2 .'10.⑶护 解：原式=；"=3.A . 1< x w 2 C . x >2 10. (2017荆州)下列根式是最简二次根式的是A A /3B. ,0.3C. 3(C) D/.20解：原式=1 3X 2.5 5 30.02 中档题12. 下列各式计算正确的是(C)A.-48 = 16 3 C 症=亚 C .6,32C. 214. 在①14;②.a 2+ b 2;③27;④，m 2+ 1中，最简二次根式有15. 如果一个三角形的面积为 15, 一边长为16. 不等式2 ,2x - 6> 0的解集是 J^. 17. 化简或计算:0.9X 121(1)100X 0.36；33、，. 10 11 一10 x = 6 10 20 .(2)12 + 27x (— 18);解：原式=—寸丐尹 = Mx 3x 2x 9=—”3x 9=—2 2.解：原式=；3 一…<3=3x 2 3=6二 3.(A)27x 12 3, 那么这边上的高为 3个. 2j5.B.=1D^54a 2b =9 剧解：原式= 32X112 62X 109X 121 36 x 10 110(4)V12X 邰.解：原式==5^3xyy18. 如图，在Rt A ABC 中，/ C= 90° , S SBC = .18 cm1 2, BC = . 3 cm, AB = 3.3 cm, CD丄AB 于点D.求AC , CD的长.=,ab.④(1) 上述解答过程从哪一步开始出现错误？请写出代号②;(2) 错误的原因是什么？(3) 请你写出正确的解法.解：(2) •/ b<a, ••• b —a<0.•••(b —a)2的算术平方根为a— b.=-a •—!>/ab)=■. ab.化简: (b<a<0).1 1解：••• S A ABC = 2AC - BC = 2AB - CD ,16.3 二次根式的加减 第1课时二次根式的加减 01 基础题 知识点1可以合并的二次根式 1. (2016巴中)下列二次根式中，与.3可以合并的是(B) A. .18 C. 24 2.下列各个运算中 A. 12 — 2 C. . 8a 2+ ,2a B. 3.若最简二次根式 D. 0.3 ,能合并成一个根式的是(B) B. .18— 8 D. , x 2y + xy 2 2x + 1和.4x — 3能合并，则x 的值为(C) 1 3 A . — 2 B .4 C . 2 D . 5 4.若，,m 与，18可以合并，则m 的最小正整数值是(D) A . 18 B . 8 C . 4 知识点2二次根式的加减 5. (2016桂林)计算3 5— 2 .5的结果是(A) A. 5 C . 3 5 6.下列计算正确的是(A) A. .12 — .3= 3 C . 4 3— 3 3 = 1B . 2 5 D . 6 B. 一 2+ . 3= 5 D . 3 + 2,2= 5.2 7.计算一27— 3 .'18— 48的结果是(C) A . 1 B . —1C . — ,3 — 2 D. 2 — 3 8 .计算12+ ( .2 — 1)的结果是(A) A . 2 ,2— 1 B . 2— , 2 C . 1 — .2D . 2 + .2 9.长方形的一边长为 8,另一边长为.50,则长方形的周长为14 一 2 . 10 .三角形的三边长分别为 20 cm , .40 cm , 45 cm,这个三角形的周长是 11 .计算： (1)2 3 —宁； (5.5 + 2 10)cm.1解：原式= 3 ,3=2 .⑵.16x + 64x ; 解：原式=4 x + 8 x=(4 + 8) x =12.x.⑶.125— 2 ,5+ 45;解：原式=5 5— 2 ,5+ 3 5 =6 5.⑷(2017 黄冈)27 — 6 —解：原式=3看3 — 6 33=— .6.02 中档题12. 若.x 与.2可以合并，则x 可以是(A)A . 0.5B . 0.4C . 0.2D . 0.1 13. 计算 |2— .5|+ |4— .5|的值是(B)A . — 2B . 2C . 2 5— 615. 若 a , b 均为有理数，且 8 + ■. 18+ 8= a + b 2,则 a = 0, b =才.16.已知等腰三角形的两边长分别为 2 7和55,则此等腰三角形的周长为 2 ；7+17. 在如图所示的方格中，横向、纵向及对角线方向上的实数相乘都得出同样的结果 18. 计算：(1) 18+ 12— ,8 — 27; 解：原式=3 2+ 2.3— 2 2 — 33 =(3 ,2 — 2 ,2) + (2 . 3— 3 ,3)=.2— 3.14. 计算4辽A. 3+ 2 3 C. 38的结果是(B) B. .3D. ,3 — .2个空格中的实数之和为 4,2.2卫13诉26,则两⑵ b . 12b 3 + b 2 48b ;解：原式=2b 2 3b + 4b 2 3b =6b 2 3b.2解：原式=3 5+ 3 3— 3 . 3 — 5.5⑷ 3( 2 — 27) — 2( ,3— .2).解：原式= 4 八 9 3- 1 3 + ； 2=(3+2) .2-(4+ 1).3=83 -鈔1732〜4.62.03 综合题20. 若a ,b 都是正整数，且a v b , a 与b 是可以合并的二次根式，是否存在a ,b ，使a +b = .75?若存在，请求出a , b 的值；若不存在，请说明理由. 解：T 羽与是可以合并的二次根式，百+小={75, 二•，a+ •, b = .;.75= 5；：：..:3 •/ a<b ,.•.当 a = 3,则 b = 48; 当 a = 12,则 b = 27.—12）的近似值（结果保留小数点后两位 ).⑶(.45+ , 27)-=恥-^1^. 19.解：原式=,3 — 43 — , 3+ 43第2课时二次根式的混合运算01 基础题 知识点1二次根式的混合运算 ⑴ 3( ,5— .2); 解：原式=,15- 6. (2) ( ,24+ , 18)十 2; 解：原式=2 . 3+ 3. (3) ( 2+ 3)( .2+ 2); 解：原式=8 + 5 2. （4）（ m + 2 , n ）（ m — 3 . n ）. 解：原式=m — ,mn — 6n. 知识点2二次根式与乘法公式 7. （2017天津）计算: & （2016包头）计算:1 解：原式=11. 化简.2( ,2+ 2)的结果是(A A . 2+ 2 2 B . 2+ 2 C . 4 D . 3 2 计算0.12 - ,3) 3的结果是(D) A . — 1 C •空 （2017南京）计算: .12+ .8X ,6的结果是 6. 3. (.24 + ：6)x 6 = 13. 计算：週/严=2贾+ 1 . 计算： (4 + .7)(4 — 7)的结果等于9. —(,3 + 1尸=—4.02 中档题11. 已知 a = .5+ 2, b = 2— 5,则 a 2 018b 2 017 的值为(B)A.-，... 5 + 2B . — ■, :5 — 2C . 1D . — 112. 按如图所示的程序计算，若开始输入的n 值为2,则最后输出的结果是(C)A . 14 C . 8+5 .2 13.计算： (1) (1 — 2 ,2)(2 .2 + 1); 解：原式=一 7. (2) 12 占 + 导); 解：原式二，12诈+ %3) =12壬 ' 12 12 =2 3X m/3 —24 —1「 (3) (4 V 6 — 4寸|+ 3电)-2^2; 解：原式一(4 6 — 2 2 + 6.2)- 2 2 —(4 ,6 + 4 ,2) - 2 2 —2.3+ 2. ⑷ 24X - ；；-4X 解：原式=2〔6X^3 — 41 =2 2— .2B . 16 D . 14+ 2 0=,2.14. 计算：(1) (1 - .5)( 5+ 1) + ( .5- 1)2；解：原式=1 — 5+ 5+ 1-2 5=2-2 5.(2) ( .3 + 2- 1)( 3- 2 + 1).解：原式=(,3尸一(2 - 1)2=3-(2 + 1-2 2)=3-2-1+2 2=2 2.15. 已知a = .7+ 2, 7 - 2,求下列代数式的值：(1) ab 2 + ba 2; (2)a 2- 2ab + b 2; (3)a 2 -b 2.解：由题意得 a + b =(寸7+ 2) + (”J 7 — 2) = 2 7,a -b = ( .7+ 2)- ( .7-2) = 4, ab = ( .7 + 2)( 7-2) = ( . 7)2-22= 7-4= 3.(1) 原式=ab(b + a)= 3X 2 ,7= 6 ,7.⑵原式=(a — b)2= 42= 16.(3) 原式=(a + b)(a — b) = 2 .7X 4= 8 .7.03 综合题16. 观察下列运算：① 由(，2 + 1)( .2- 1)= 1,得 —= 2- 1; 1 ② 由(，3 + ,2)( .3— -2)= 1 ,n 的式子表示出来;^2 018 + 72017)% ("2 018 + 3 4. 解：(1)(2)原式=(.2 - 1 + .3 - . 2 + 4 - .3 + …+ 2017 -2 016 + . 2 018 - 2 017) X ( 2 018+ 1)=(-1 + 2 018)( .2 018 + 1)=2 017.小专题(一)二次根式的运算3 通过观察你得出什么规律？用含4 利用(1)中你发现的规律计算：+ .4^. 3 + 1 .2 017 + 2 0161 __________ —----------=n + 1- n(n > 0). ,n + 1 + .. n 1.3+ . 2类型i与二次根式有关的计算i •计算：(1)6 2 X 6;1 ____解：原式=(6 X 3) 2 X 6=2 12=4 3.(2)( - 4 5)解：原式=—4 5讯5 X电')5=—4 5七 54—3.(3) .72 —2 2 + 2 18;3解：原式=6 2—2 .2+ 6 2=12 2— 3 2(4) (2 .5+ 3) X (2 .5 —.3). 解：原式=(2 ,5)2—( 3尸=20 — 3=17.(2)( 6+ ,10X . 15)X ,3; 解：原式=3,2+ 5.6X. 3 =3 .2+15 2=18 2.解：原式=5 — 2— -+ 5 + 3Y 2*2=2 5- 1.类型2与二次根式有关的化简求值4. 已知 a = 3 + 2 ,2，b = 3-2 ,2,求 a 2b - ab 2的值.解：原式=a 2b - ab 2= ab(a — b).当 a = 3+ 2 2, b = 3 - 2 . 2时，原式=(3 + 2 . 2)(3- 2.2)(3 + 2.2- 3 + 2 2)=4-J2.5. 已知实数a , b ,定义“★”运算规则如下： 的值.解：由题意，得2★ . 3 = . 3.••• "★ ( ,2★ ,3)= 7★ 3= 7-3= 2.⑷(.12 -4 £) — (3 - # - 4 ,°.5)；解：原式=2 3- 2 - 3+ 2 2 =_ 3+ . 2.⑸(3 2- . 6)2-(-3 ,2- ,6)2. 解：原式=(3 2- 6)2-(3 .2+ 6)2=18 + 6 - 12 3-(18 + 6+ 12 3) =-24 3.3•计算:解：原式=1 + 2 3 - 3-2 ,3 =-2.b (a < b ),求.7★ ( ,2★ . 3) a 2-b 26. 已知x= 2 +叮3,求代数式(7 —4 3)x2+ (2 —, 3)x + 3的值.解：当x = 2 +• 3时，原式=(7 — 4 3) X (2 + 3)2+ (2 —3) X (2 + 3) + 3=(7—4-J3) X (7 + 4J3) + 4 —3+ 3=49 —48 + 1 + 3=2+ 3.1117. (2017 襄阳)先化简，再求值：+ ^) —^二，其中x = 5+ 2, y = 5—2.x + y x —y xy + y2x解：原式=(x+y) (x—y) y(x+y)=2xyx—y.当x = .5+ 2, y = ；5— 2 时，原式=2 卫+ 2 )(75-2)-J5 + 2 —/ 5 + 21=2.&小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2 2=(1 + 2)2,善于思考的小明进行了以下探索：设a+ b 2 = (m + n . 2)2(其中a, b, m, n 均为正整数),则有a+ b . 2= m2+ 2n2+ 2 2mn, ••• a= m2+ 2n2, b= 2mn.这样小明就找到了一种把a+ b ,2的式子化为平方式的方法.请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：(1) 当a, b, m , n均为正整数时，若a+ b . 3 = (m+ n. 3)2,用含m, n的式子分别表示a, b,得a= m2+ 3n2, b= 2mn;(2) 利用所探索的结论，找一组正整数a, b, m, n填空：4+ 2」3= (1 + 3)2；(答案不唯一)(3) 若a+ 4 ,3= (m+ n, 3)2,且a, m, n均为正整数，求a的值.a= m2+ 3n2,解：根据题意，得4 = 2mn.■/ 2mn = 4,且m, n为正整数，• m = 2, n= 1 或m= 1, n = 2.• a= 7 或13.章末复习（一）二次根式7.计算：(1)(2017 湖州)2X (1 - . 2) + ,8; 解：原式=2 — 22 + 2.2=2.⑵(4 .3+ 3 6)乞.3;解：原式=4』3吃・_3 + 2 3 =2 + 3 . 2.(3)； .''32 — 2 75 + 0.5— 解：原式=2 2— 10 3 +屮—彳=(2 + p X .2+ (- 10-3)X .3(4) (3 .2— 2 3)(3 . 2+ 2 .3). 解：原式=(3 ,2)2—(2, 3)201基础题 知识点1二次根式的概念及性质 （2016黄冈）在函数y = "+ 4中，自变量x 的取值范围是（C ）A . x>0B . x >— 4C . x >— 4 且 X M 0D .x>0 且 x M — 4 （2016自贡）下列根式中，不是最简二次根式的是（B ）A. 10B. 8C. 6D. ,2 若xy v 0,贝U x 2y 化简后的结果是（D ）1. 2. 3.A . x yB . x — yC . — x ，— y知识点2二次根式的运算4. 5. 6. 与一〔5可以合并的二次根式的是（C ）A. .10B. .15C. 20D. ,25（2017十堰）下列运算正确的是 A. 2 + .3 = 5 B . C. 8 + 2 = 2 D . 计算5 r /5X 士所得的结果是(C)2 2X3 .2= 6.232— 2= 3=9X 2-4X 3=6.知识点3二次根式的实际应用&两个圆的圆心相同，它们的面积分别是 25.12和50.24.求圆环的宽度 d.（取3.14,结果保留小数点后两位）=16— 8= 4 — 2 2〜1.17.答：圆环的宽度d 约为1.17.02 中档题9.把一a 中根号外面的因式移到根号内的结果是 （A ）A.J — a B .—■ a10.已知x + ~= 7,则x —-的值为(C) x xA. . 3 B . ±2C . ± .3 D. .7a 的点如图所示,化简.（a — 5）2+ |a — 2|的结果为3解: 50.24 ； 3.14 .一 25.12:3.1411.在数轴上表示实数12. (2016 青岛)计算：'''^3^2'^= 2•13. 计算：(3 + 2严(3-2)3=J .14. 已知x= ；1,贝U x2+ x+ 1 = 2.15. 已知16-n是整数，则自然数n所有可能的值为0, 7, 12, 15, 16 .16. 计算：(1) ( 3+ 1)( 3- 1) - .16+(2)-1；解：原式=3 —1-4+ 2=0.(2) ( .3+ .2- 6)2-( 2 —.3 + .6)2解：原式=(,3 + .2- ,6 + .2- 3 + . 6)X (• 3 + ■ 2—6-■ 2+〔3-■ 6)=2 2X (2 3-2 ,6)=4 J6 —&J3.17. 已知x= .3+ 7, y = '. 3-. 7,试求代数式3x2-5xy + 3y2的值.解：当x = ,3+ 7, y = ■ 3—7时，3x2- 5xy + 3y2=3(x2- 2xy + y2)+ xy=3(x - y)2+ xy=3( .3 + 7- ,3+ ,7)2+ ( ,3+ 7)X ( , 3- . 7)=3X 28- 4=80.18. 教师节要到了，为了表示对老师的敬意，小明做了两张大小不同的正方形壁画准备送给老师，其中一张面积为800 cm2,另一张面积为450 cm2,他想如果再用金彩带把壁画的边镶上会更漂亮，他现在有1.2 m长的金彩带，请你帮助算一算，他的金彩带够用吗？如果不够还需买多长的金彩带？(.2-1.414,结果保留整数)解：正方形壁画的边长分别为• 800 cm, 450 cm.镶壁画所用的金彩带长为4 X ( 800 + 450) = 4 X (20.2+ 15 2)= 140 2~ 197.96(cm). 因为1.2 m= 120 cm v 197.96 cm,所以小明的金彩带不够用，197.96 —120= 77.96~ 78(cm).故还需买约78 cm长的金彩带.03 综合题19. 已知a, b, c 满足|a—“J8汁苹b —5+ (c —18)2= 0.(1) 求a, b, c的值；(2) 试问以a, b, c为边能否构成三角形？若能构成三角形，请求出三角形的周长；若不能，请说明理由.解：(1)由题意，得a—8= 0, b—5= 0, c—18= 0,即a= 22, b= 5, c= 3 2.(2) •/ 2 2 + 3 2= 5 ,2>5,•••以a, b, c为边能构成三角形.三角形的周长为 2 2 + 3 2 + 5 = 5 2 + 5.••• AC =晉=2 38= 2 6(cm), 2S S BC 2低2 厂CD= AB = 3 ;3= 3 -6(cm).03 综合题19. 阅读下面的解题过程，根据要求回答下列问题.a .. b3 * * * *—2ab2+ a2bb—a 、 a解：原式=b—a b(b—卫)了①a；b—U ②(2) ( 2+ ,3)( 2—3)；解：原式=—1.(3) ( .5+ 3 2)2 3.解：原式=23 + 6 10.10. (2016 盐城)计算：(3 —.7)(3 + .7)+ .2(2—2).解：原式=9 —7+ 2 ,2 — 2=2 2.1③由(^4+V3)^/4^ V3)=1,得^4+= V4-V3；二次根式第31页共29页。
八年级数学下册第十六章二次根式16.2二次根式的乘除16.2.2二次根式的除法课后作业新人教版(2
八年级数学下册第十六章二次根式16.2 二次根式的乘除16.2.2 二次根式的除法课后作业（新版）新人教版
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6.2.2二次根式的除法
课后作业
1.55.m m n mn +=
若和是同类最简二次根式，则 2.324,.x x ==已知方程则
3.如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°，AC =315，S △ABC =23，求AB 的长.
()(111)2132231110+⋅++++4.计算：
参考答案
1。
6 2. 23 3. 解:S △ABC =12AC BC ⋅⋅1
232BC =⨯⨯
35BC ∴=
2222(23)(35)57
Rt ABC AB AC BC ∆=+=+=在中，由勾股定理得：
4.
((111)
21322311102132
1110=(111)
(21)(21)(32)(32)(1110)(1110)+⋅++++⎡---+⋅⎢+-+-+-⎣解： 111111=())⋅
=10。
(完整版)八年级下册数学--二次根式知识点整理
二次根式1、算术平方根的定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。
2、解不等式（组）：尤其注意当不等式两边乘(除以)同一个负数，不等号方向改变。
如：-2x＞4，不等式两边同除以-2得x＜-2。
不等式组的解集是两个不等式解集的公共部分。
如｛3、分式有意义的条件：分母≠04、绝对值：｜a｜=a （a≥0）；｜a｜= - a （a＜0）一、二次根式的概念一般地，我们把形如 a （a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。
★正确理解二次根式的概念，要把握以下五点：（1）二次根式的概念是从形式上界定的，必须含有二次根号“”，“”的根指数为2，即“2”，我们一般省略根指数2，写作“”。
如25 可以写作 5 。
（2）二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子。
（3）式子 a 表示非负数a的算术平方根，因此a≥0， a ≥0。
其中a≥0是 a 有意义的前提条件。
（4）在具体问题中，如果已知二次根式 a ，就意味着给出了a≥0这一隐含条件。
（5）形如b a （a≥0）的式子也是二次根式，b与 a 是相乘的关系。
要注意当b是分数时不能写成带分数，例如832 可写成8 23，但不能写成 2232 。
练习：一、判断下列各式，哪些是二次根式？（1） 6 ；（2）-18 ；（3）x2+1 ；（4）3-8 ；（5）x2+2x+1 ；（6）3｜x｜；（7）1+2x （x＜-12）X≥-2X＜5的解集为-2≤x＜5。
二、当x 取什么实数时，下列各式有意义？（1）2-5x ；（2）4x 2+4x+1二、二次根式的性质：二次根式的性质符号语言文字语言应用与拓展注意a （a ≥0）的性质a ≥0 （a ≥0）一个非负数的算术平方根是非负数。
（1）二次根式的非负性（a ≥0，a ≥0）应用较多，如：a+1 +b-3 =0，则a+1=0，b-3=0，即a= -1，b=3；又如x-a +a-x ，则x 的取值范围是x-a ≥0，a-x ≥0，解得x=a 。
(完整版)八年级数学下学期二次根式知识点典型例题练习题,推荐文档
2 x 2 x + y -73 2ma 2 +13x - 4 1- 8a3m 2 + 42 - xx -1x - 23 - x2x +3 2x +3 x + 2 x2 1- 2x第六章二次根式的知识点、典型例题及相应的练习 1、二次根式的概念：1、定义：一般地，形如√ā（a≥0）的代数式叫做二次根式。
当 a≥0 时，√ā 表示 a 的算术平方根，当 a 小于 0 时，非二次根式（在一元二次方程中，若根号下为负数，则无实数根）概念：式子√ā（a≥0）叫二次根式。
√ā（a≥0）是一个非负数。
题型一：判断二次根式（1） 下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式： 、 1、 、 （x>0）、x、 4 2 、- 、 1 x + y、 （x≥0，y ≥0）．（2） 在式子(x 0), y +1 (y = -2), (x 0), 3 3, x 2 +1, x + y 中，二次根式有（）A. 2 个B. 3 个C. 4 个D. 5 个 （3） 下列各式一定是二次根式的是（ ）A. B. C.2、二次根式有意义的条件题型二：判断二次根式有没有意义1、写出下列各式有意义的条件:（1） （2） （3） （4）2、有意义，则 ；3、若= 成立，则 x 满足 。
典型练习题：1、当 x 是多少时， + 1 x + 1在实数范围内有意义？2、当 x 是多少时， +x 2 在实数范围内有意义？x3、当 时， + 有意义。
3 3 2, -2x 0 ab-1 xx - 2 3 - xx 3 + 3x 2 x + 3 x 2 - 2xy + y 2 x 2 + 2xy + y 2 (x - 1 )2 + 4 x (x + 1)2 - 4 x- a a - a a 2b + 2ab 2 + b 3 8x 1 39 + x 2 162 32 ⨯ 75 92 2 2 92 ⨯ 2 ，求4有意义的未知数 x 有（ ）个． A ．0 B ．1C ．2D ．无数5、已知 y=x 的值． y6= ．781有意义，则m 的取值范围是。
八年级数学下册《二次根式》知识点+解题技巧+章节测试(含答案)
五、求值：（每小题 7 分，共 14 分）
3 2
3 2
x3 xy2
25．已知 x＝
，y＝
，求
的值．
3 2
3 2
x4 y 2x3y2 x2 y3
x
2x x2 a2
1
26．当 x＝1－ 2 时， 求
＋
＋
的值．
x2 a2 x x2 a2 x2 x x2 a2
x2 a2
六、解答题：（共 20 分）
＝______．
ab c2d 2
1
1
12．比较大小：－ _________－ ．
27
43
13．化简：(7－5
2
2018
) ·(－7－5
2
2017
) ＝______________．
14．若
x 1＋
y
3
2
2
＝0，则(x－1) ＋(y＋3) ＝____________．
15．x，y 分别为 8－ 11 的整数部分和小数部分，则 2xy－y2＝____________．
四、巧配方，独占鳌头
例 4. 计算 分析：因为
都有意义，所以
所以
所以
解：原式
五、整体代入，别开生面
例 5. 已知
，求下列各式的值。
（1）
（2）
分析：根据 x、y 值的特点，可以求得
，如果能将所求的值的
式子变形为关于
或 xy 的式子，再代入求值要比直接代入求值简单得多。
解：因为 所以 （1）
（2） （也可以将
1
32
2、【提示】
＝
＝－（ 3 ＋2）．【答案】×．
32 34
3、【提示】 (x 1)2 ＝|x－1|， ( x 1)2 ＝x－1（x≥1）．两式相等，必须 x≥1．但等式左边 x 可取任
八年级数学下册二次根式二次根式的运算教学课件新版浙教版
ab
x2
xy 1 x2 y2
巩固提升：
1. 8 18 50 __0__. 2. 75 48 27 _6___3_.
3.3 2 4 1 1 8 _4__2__.
22
4. 12
1 3
11 3
__53___3_.
5. (2 2 3)2 12 =_4___3_ 2
6.( 2 3 5)( 2 3 5) =__4___2__1_0__
把下列各式化简(分母有理化)：
（1）－4 2 37
（2） 2a a＋b
（3） 2 3 40
解：（1）－4 2 ＝－4 2 • 7 ＝－4 14 .
3 7 3 7• 7
21
（2） 2a ＝ a＋b
2a a＋b
a＋b • a＋b
＝
2a a＋b a＋b
.
（3） 2 ＝
2
＝ 2 • 10 ＝ 20 ＝ 2 5 ＝ 5 .
3 25x
9y2
19 ＝ 19 ＝ 19
16
16 4
25x 5 x
9y2
3y
注意： 如果被开方数是带 分数，应先化成假 分数再进行运算。
把分母中的根号化去,使分母变成有理数,这个过程叫做分
母有理化。
例：计算 1 3
5
2 3 2
27
3 8
2a
解：1 解法1: 3 3 3 5
5 5 55
解法2 :
5 26 5
3 6＝ 6
2
5
如果根号前 有系数，就 把系数相除， 仍旧作为二 次根号前的 系数
a
b
a b
a 0,b 0
商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以
数学八年级下册二次根式
数学八年级下册二次根式
一、二次根式的定义
二次根式是指形如√a（a≥0）的式子，其中a叫做二次根式的被开方数。
二、二次根式的性质
1. 偶次根式的被开方数可取一切正数，因此二次根式是双钩性质的体现。
2. 当二次根式中的被开方数小于0时无意义，说明开偶次方时，要求底数非负。
三、二次根式的运算
1. 乘法运算：二次根式相乘（除），把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行相加或相乘。
2. 加法运算：几个二次根式合并成一项时，需要把被开方数相同的二次根式进行合并。
四、二次根式的应用
1. 求实际问题的解：在解决实际问题时，需要把实际问题转化为数学问题，再利用二次根式进行求解。
2. 判断近似值是否合理：在进行近似计算时，需要利用二次根式对结果进行判断，看是否符合实际要求。
总之，二次根式是数学中的一个重要概念，它具有广泛的应用，需要我们熟练掌握其定义、性质和运算。
2020人教版八年级数学下册 课时作业本《二次根式--二次根式定义及性质》(含答案)
2020人教版八年级数学下册课时作业本《二次根式--二次根式定义及性质》一、选择题1.若2＜a＜3，则等于（）A.5﹣2aB.1﹣2aC.2a﹣1D.2a﹣52.若有意义，那么直角坐标系中点A在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.当实数 x 的取值使得有意义时，函数 y=x+1中 y 的取值范围是（）A.y≥﹣3B.y≥﹣1C.y＞﹣1D.y≤﹣34.若x,y为实数，且，则的值为（）A．1 B．-1 C．2 D．-25.若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）6.若，则（）A．b>3 B．b<3 C．b≥3 D．b≤37.设，a在两个相邻整数之间，则这两个整数是（）A．1和2B．2和3C．3和4D．4和58.若实数x、y满足x2=++4，则x+y的值是（）A.3或-3B.3或-1C.-3或-1D.3或1二、填空题9.使在实数范围内有意义的x应满足的条件是.10.当x= 时，二次根式取最小值，其最小值为。
11.﹣二次根式中字母的取值范围．12.已知数a，b，c在数轴上的位置如图所示：化简:的结果是：．三、解答题13.观察下列等式：①=1×3；②=3×5；③=5×7；…根据上述规律解决下列问题：（1）完成第④个等式： = ×；（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明其正确性.14.若与互为相反数，求的值是多少？15.已知实数满足，求的值是多少？16.已知．求a、b、c的值．参考答案1.D.2.A3.B4.B5.C6.D7.C8.B.9.答案为：x＞1.10.略11.答案为：﹣5≤x＜3．12.答案为：0；13.解：14.略15.解：∵实数满足，∴，∴，∴，∴由可得：，化简得：，∴，∴.16.略。
16.1 二次根式(第二课时 二次根式的性质)(练习)(解析版)2021学年八年级数学下册(人教版)
第十六章 二次根式16.1 二次根式（第二课时 二次根式的性质）精选练习答案一、单选题（共10小题)1．（2020·江苏淮安市·9﹣m ，则实数m 的取值范围是（ ） A ．m ＞9B ．m ＜9C ．m ≥9D ．m ≤9 【答案】D【分析】根据算数平方根的定义可知9-m 是非负数，所以可得9﹣m≥0，求解不等式即可得出结果．【详解】根据二次根式的性质以及绝对值的意义，列不等式求解即可．|9﹣m |＝9﹣m ， ∴9﹣m ≥0，∴m ≤9，故选：D ．【点睛】此题考查二次根式的性质，注意被开方数和开方的结果都是非负数是关键． 2．（2020·陕西西安市八年级期中）已知a 、b 、c 是三角形的三边长，如果满足()26100a c --=，则三角形的形状是（ ）A ．底与腰不相等的等腰三角形B ．等边三角形C ．钝角三角形D ．直角三角形【答案】D【分析】根据非负性求解出a ，b ，c 的具体值，再由勾股定理的逆定理判断即可．【详解】∵()260a -≥0≥，100c -≥，又∵()26100a c -+-=，∴60a -=，80b -=，100c -=，解得：6a =，8b =，10c =，∵22268366410010，∴是直角三角形．故选：D ．【点睛】本题考查绝对值，二次根式，完全平方式的非负性，及勾股定理的逆定理，熟练掌握相关代数式的非负性是解题关键．3．（2020·金华市七年级期中）已知非零实数a ，b 满足212a b a -+-=-则a －b 等于（ ）A ．−1B ．0C ．1D ．2【答案】D【分析】先由条件得出20a -≥，然后即可将原式去掉一个绝对值，从而即可求出a 、b 的值，可得到答案．【详解】解：由212a b a -+-=-可知，20a -≥，∴212a b a -+-=-，即10b -=∴10b -=， 30a -=，∴1b =， 3a =，∴312a b -=-=，故选：D ．【点睛】本题考查了绝对值和算术平方根的非负性，得到20a -≥是解题的关键．4．（2020·辽宁阜新蒙古族自治县八年级期末）实数a ，b 在数轴上对应点的位置如图所示，则化简代数式2-a b a +的结果是（ ）．A ．-bB ．2aC ．-2aD ．-2a-b【答案】A【分析】根据数轴得b<a<0，判断a+b<0，即可化简绝对值及二次根式，计算加减法即可得到答案．【详解】由数轴得b<a<0，∴a+b<0，∴2-a b a +=-a-b+a=-b ，故选：A ．【点睛】 此题考查数轴与数的表示，利用数轴比较数的大小，化简绝对值，化简二次根式，依据数轴化简绝对值及二次根式是解题的关键．5．（2020·广东揭阳市·3 ） A ．3B 3C 3D 3【答案】D【分析】 直接利用倒数的定义分析和二次根式的化简即可得出答案；相乘为1的两个数即为倒数； 【详解】3 3 ＝33． 故选：D ．【点睛】本题考查了二次根式的化简、倒数的定义，正确化简二次根式是解题的关键；6．（2020·甘肃白银市·八年级期中）当1<a <2+|a ﹣1|的值是（ ） A ．1B ．﹣1C ．2a ﹣3D ．3﹣2a 【答案】A【分析】 根据二次根式的化简方法将原式化简成21a a -+-，再根据a 的取值范围化简绝对值．【详解】解：∵12a <<，∴20a -<，10a ->， ∴原式21211a a a a =-+-=-+-=．故选：A ．【点睛】本题考查绝对值的化简和二次根式的化简，解题的关键是掌握绝对值和二次根式的化简方法．7．（2020·=则x 可取的整数值有（ ）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，求出x 的范围，得到答案．【详解】解：由题意得，40x -≥，50x -≥，解得，45x ≤≤，则x 可取的整数是4、5，共2个，故选：B ．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是被开方数是非负数是解题的关键．8．（2020·清远市八年级期中）下列四个数中，是负数的是（ ）A ．2-B ．2(2)-C ．2-D ．2(2)-【答案】C【分析】 先根据绝对值的性质，有理数的乘方，二次根式的性质对各式化简，再利用正数和负数的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】A 、220-=>，不符合题意；B 、()2240-=>，不符合题意；C 、20-<，符合题意；D 、()2220-=>，不符合题意；故选：C ．9．（2020·吉林长春市·九年级期中）2(3)-等于（ ） A ．3B ．-3C ．±3D ．9【答案】A【分析】根据实数的性质即可化简．【详解】 2(3)-3-=3故选A ．【点睛】此题主要考查实数的性质，解题的关键是熟知实数的运算法则．10．（2020·西安市八年级期中）当2a <3(2)a a - ）A ．(2)a a -B ．(2)a a a --C ．(2)a a a -D ．(2)a a a --【答案】B【分析】根据二次根式的性质即可化简．【详解】解：∵2a <∴a 20-<-故选：B ．【点睛】此题主要考查二次根式的化简，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质．二、填空题（共5小题)11．（2020·_____．1．【分析】直接根据二次的性质进行化简即可．【详解】＞1，|1(11=-=1．【点睛】()(0)0(0)a a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩是解答此题的关键．12．（2020·＝_____．【答案】【分析】根据二次根式的性质计算，即可得到答案．【详解】故答案为：43． 【点睛】 本题考查了二次根式的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式的性质，从而完成求解． 13．（2020·西青区八年级期中）写出m n -的一个有理化因式：_______．【答案】m n -【分析】平方根与平方是互逆运算，据此解题．【详解】2()m n m n m n -⋅-=-m n ∴-的一个有理化因式是m n -，故答案为：m n -．【点睛】本题考查二次根式的有理化，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 14．（2020·高台县八年级期末）已知实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，化简2()a b a b -++=_____________【答案】2a -【分析】先根据数轴的定义可得0a b <<，从而可得0,0a b a b -<+<，再化简绝对值和二次根式，然后计算整式的加减即可得．【详解】由数轴的定义得：0a b <<，则0,0a b a b -<+<，因此2()()a b a b b a a b -+=-+--，b a a b =---，2a =-，故答案为：2a -．【点睛】本题考查了数轴、绝对值、二次根式、整式的加减，熟练掌握数轴的定义是解题关键．15．（2020·)0y >=______．【答案】2【分析】根据二次根式的性质进行化简根式即可．【详解】2x =∵0y >，2=故答案为2【点睛】本题主要考查二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．三、解答题（共2小题）16．（2020·福建三明市八年级期中）先阅读下列解答过程，然后再解答：小芳同学在研究化437+=，4312⨯=，即：227+=， =2=== 问题：（1=__________=____________﹔（2a ，b （a b >），使a b m +=，ab n =，即22m +==2m n ±=__________． （3）化简：415-（请写出化简过程） 【答案】（1）31+，3-2；（2）()a b a b ±>；（3）106- 【分析】（1）根据题目所给的方法将根号下的数凑成完全平方的形式进行计算；（2）根据题目给的a ，b 与m 、n 的关系式，用一样的方法列式算出结果；（3）将15写成1524，4写成3522+，就可以凑成完全平方的形式进行计算． 【详解】解：（1）()242331233131+=++=+=+； 5-26=23-223+⨯()2=3-2=3-2； （2）()()()22222()m n a b a b a b a b a b ±=+±⨯=±=±>；（3）415-15=424-3535=22222+-⨯=210622⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭=106-22． 【点睛】本题考查二次根式的计算和化简，解题的关键是掌握二次根式的运算法则．17．（2020·福建泉州市·泉州七中八年级期中）已如实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，请化简()()22a 1ab 1b +-++-【答案】0【分析】由题意可得：2-＜a ＜1-，0＜b ＜1，从而可得：1a +＜0， +a b ＜0， 1b -＞0， 再利()()22a 1a b 1b ++-11a a b b =+-++-，从而可得答案．【详解】解：由题意得：2-＜a ＜1-，0＜b ＜1，1a ∴+＜0，+a b ＜0， 1b -＞0，1b -11a a b b =+-++-11a a b b =--+++-0.=【点睛】本题考查的是实数的大小比较，二次根式的性质，二次根式的化简，绝对值的化简，合并同类项，掌握以上知识是解题的关键．。
人教八年级数学下册-二次根式(附习题)
探索新知
思考 （1）面积为3 的正方形的边长为___3____，面积为
S 的正方形的边长为___S____．
被开方数都大于0
（2）一个长方形围栏，长是宽的2 倍，面积为130
m2，则它的宽为__6_5___m．
被开方数可
（3）一个物体从高处自由落下，落以到是地分面数所用的
时间 t(单位:s)与开始落下的高度h(单位:m)满足关系
（1）3的平方根是___3___
（2）3的算术平方根是___3____
（3）5 有意义吗？为什么？ 0 呢？
（4）一个非负数a的算术平方根应表示为__a___a___0__
正数有两个平方根且互为相反数；
平方根的性质：0有一个平方根就是0；
负数没有平方根.
算术平方根的性质：正数和0都有算术平方根；
16.1 二次根式
第2课时 二次根式的性质
新课导入
我们知道二次根式 a 中a≥0，那么二次 根式 a 还有哪些性质呢？
学习目标
（1）知道 a ≥0(a≥0)，会用非负数的性质
解题.
a
（2）会用公式 a2 =a(a≥0)进行计算.
（3）知道形如 的化简方法及结果.
探索新知
知识点 1 二次根式的性质 探究 当a>0时，a 是什么数？ a 0 当a=0时，a 是什么数？ a 0 当 a 有意义时，a是什么数? a≥0
2.使 x 3 有意义的x的取值范围是 x≥-3 .
3.下列各式中一定是二次根式的是( B )
A. x 1
B. ( x 1)2
C. a2 1
D. 1 x
4.二次根式
1 a
中，字母a的取值范围是(
八下第1章二次根式(含答案)
一、二次根式 （1）定义：像 a （ a ≥0）这样表示算术平方根的代数式叫做二次根式. （2）双重非负性：1.二次根式 a 是一个非负数，即 a ≥0；2.被开方数 a 是非负数， 即 a ≥0. （3） a 的 a 既可以是数， 也可以是式； a 既可表示开方运算， 也可表示运算的结果. a +1 不是二次根式，它是含二次根式的代数式. （4） “ a ”中根指数是 2，即“ 2 a ” ，我们一般省略根指数 2，写做“ a ” ，而根指数 3 不能省略. （5）b a 表示的是相乘的关系，b 不能是带分数的形式.
2. 化简： 3 3 1 3
3. 已知直角三角形的两直角边分别为 2 和 5 ，则斜边长为
a ( a 0) 考点二、公式 a 2 a 的应用 a ( a 0)
例 2：已知 x 2 ,则化简 x 2 4 x 4 的结果是( D )
3
A. x 2
2、若 ( x 3) x 3 0 ，则 x 的取值范围是（ （A） x 3 （ B） x 3
2
D
） （D） x 3
（ C） x 3
考点三、最简二次根式和同类二次根式
例 1：在根式 1)
a 2 b 2 ; 2)
x ;3) x 2 xy ; 4) 27abc ，最简二次根式是（ C ） 5
8
例 3：化简：
3 (1) 64
64b 2 (2) 9a 2
(a 0, b 0)
(3)
9x 64 y 2
( x 0, y 0)
(4)
5x 169 y 2
( x 0, y 0)
例 4：计算：(1)
人教版八年级数学下册16.1 二次根式2 第2课时 二次根式的性质
16.1 二根次式
第2课时 二次根式的性质
学习目标
1.理解二次根式的两个性质.（重点） 2.运用二次根式的两个性质进行化简计算.（难点）
问题1：你能将下列数字顺利通过下面两扇门吗？
4 0 1 -1 1 4
0、1、1 4
算术平方 根之门
问题2：两扇门交换位置，你还会走吗？
a≥0
a2
从运算顺序看 先开方,后平方 先平方，后开方
从取值范围看 a≥0
a取任何实数
从运算结果看
a
|a|
代数式的定义
概念学习 用基本运算符号（包括加、减、乘、除、乘方和开方）
把_ 数 或 表示数的字母 连接起来的式子，我们称这样 的式子为代数式.
整式 代数式 分式
二次根式
想一想：到现在为止 ，初中阶段所学的代 数式主要有哪几类？
(2) (2 5)2.
解： (1) ( 1.5)2 1.5;
想一想：此小题 用到了幂的哪条 基本性质呢？
(2) (2 5)2 22 ( 5)2 4 5 20.
填一填：
a
-4
a2 (a 0) 的性质
a2
a2
（-4）2=16
4
0
02=0
0
1 平方运算
12=1
1
算术平方根
-1
1.化简 16 得（ C ） A. ±4 B. ±2 C. 4 D.-4
2. 当1<x<3时， (x 3)2 的值为（ D ）A.3 B.-3 C.1 D.-1
3.化简：
x3
（1） 9 ＝ ３ ; （2） (4)2 ＝ ４ ;
（3）72 ７ ;（4） 3.14 2 3.14 .
人教版八年级数学下册第十六章《二次根式》课时作业带答案：二次根式的性质
人教版八年级数学下册第十六章《二次根式》课时作业带答案：二次根式的性质第2课时 二次根式的性质01 基础题知识点1 a ≥0(a ≥0)1．(2017·荆门)已知实数m ，n 满足|n －2|＋m ＋1＝0，则m ＋2n 的值为3．2．当x ＝2__017时，式子2 018－x －2 017有最大值，且最大值为2__018．知识点2 (a )2＝a (a ≥0)3．把下列非负数写成一个非负数的平方的形式：(1)5 (2)3.4(3)16＝ (4)x ≥0)． 4．计算：( 2 018)2＝2__018．5．计算： (1)(0.8)2；解：原式＝0.8.(2)(－34)2；解：原式＝34.(3)(52)2；解：原式＝25×2＝50.(4)(－26)2.解：原式＝4×6＝24.知识点3a2＝a(a≥0)6．计算（－5）2的结果是(B)A．－5 B．5C．－25 D．257．已知二次根式x2的值为3，那么x的值是(D) A．3 B．9C．－3 D．3或－38．当a≥0时，化简：9a2＝3a．9．计算：(1)49；解：原式＝7.(2)（－5）2；解：原式＝5.(3)（－13）2；解：原式＝1 3.(4)6－2.解：原式＝1 6.知识点4代数式10．下列式子不是代数式的是(C)A．3x B.3 xC．x>3 D．x－311．下列式子中属于代数式的有(A)①0；②x；③x＋2；④2x；⑤x＝2；⑥x>2；⑦x2＋1；⑧x≠2.A．5个B．6个C．7个D．8个02中档题12．下列运算正确的是(A)A．－（－6）2＝－6 B．(－3)2＝9C.（－16）2＝±16 D．－(－5)2＝－2513．若a＜1，化简（a－1）2－1的结果是(D)A．a－2 B．2－aC．a D．－a14．(2017·枣庄)实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|＋（a－b）2的结果是(A)A．－2a＋b B．2a－bC．－b D．b15．已知实数x ，y ，m 满足x ＋2＋|3x ＋y ＋m|＝0，且y 为负数，则m 的取值范围是(A)A ．m ＞6B ．m ＜6C ．m ＞－6D ．m ＜－616．化简：（2－5）217．在实数范围内分解因式：x 2－518．若等式（x －2）2＝(x －2)2成立，则x 的取值范围是x ≥2．19．若a 2＝3，b ＝2，且ab ＜0，则a －b ＝－7．20．计算：(1)－2（－18）2；解：原式＝－2×18＝－14.(2)4×10－4；解：原式＝2×10－2.(3)(23)2－(42)2；解：原式＝12－32＝－20.(4)（213）2＋（－213）2.解：原式＝213＋213＝423.21．比较211与35的大小．解：∵(211)2＝22×(11)2＝44，(35)2＝32×(5)2＝45，又∵44＜45，且211＞0，35＞0，∴211＜3 5.22．先化简a＋1＋2a＋a2，然后分别求出当a＝－2和a＝3时，原代数式的值．解：a＋1＋2a＋a2＝a＋（a＋1）2＝a＋|a＋1|，当a＝－2时，原式＝－2＋|－2＋1|＝－2＋1＝－1；当a＝3时，原式＝3＋|3＋1|＝3＋4＝7.03综合题23．有如下一串二次根式：①52－42；②172－82；③372－122；④652－162…(1)求①，②，③，④的值；(2)仿照①，②，③，④，写出第⑤个二次根式；(3)仿照①，②，③，④，⑤，写出第个二次根式，并化简．解：(1)①原式＝9＝3.②原式＝225＝15.③原式＝ 1 225＝35.④原式＝ 3 969＝63.(2)第⑤个二次根式为1012－202＝99.(3)第个二次根式为（4n2＋1）2－（4n）2.化简：（4n2＋1）2－（4n）2＝（4n2－4n＋1）（4n2＋4n＋1）＝（2n－1）2（2n＋1）2＝(2n－1)(2n＋1)．。
(完整)【人教版】八年级数学下第十六章《二次根式》课时作业(含答案),推荐文档
5 0.5{ )1(4) 4－3x ；x －4 第十六章 二次根式 16．1 二次根式 第 1 课时 二次根式的概念01基础题知识点 1 二次根式的定义1. 下列式子不是二次根式的是( B )A. B .C. D. 2. 下列各式中，一定是二次根式的是( C )A. －7C . 1＋x 2D . 3. 已知 a 是二次根式，则 a 的值可以是( C )A ．－2B ．－1C ．2D ．－54. 若 －3x 是二次根式，则 x 的值可以为答案不唯一，如：－1(写出一个即可)．知识点 2 二次根式有意义的条件5．x 取下列各数中的哪个数时，二次根式 A ．－2 B ．0C ．2D ．4 x －3有意义(D )6．(2017·广安)要使二次根式 A. x ＞2 B ．x ≥2 C ．x ＜2 D ．x ＝22x －4在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是(B)7. 当 x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？解：由－x ≥0，得 x ≤0.解：由 2x ＋6≥0，得 x ≥－3.解：由 x 2≥0，得 x 为全体实数． 4解：由 4－3x>0，得 x<3. (5) x －3 .x －4 ≥ 0，解：由 x －3 ≠ 0 得 x ≥4.(3) x 2； (2) 2x ＋6；(1) －x ；3－π13B . m 32x6 3 (1) 2x －1；2 (2)1－ x ； (3) 1－|x|；知识点 3 二次根式的实际应用8. 已知一个表面积为 12 dm 2 的正方体，则这个正方体的棱长为(B)A.1 dmB. 2 dmC. dm D ．3 dm9. 若一个长方形的面积为 10cm 2，它的长与宽的比为 5∶1，则它的长为5 2cm ，宽为02中档题10. 下列各式中：①12；②2x ；③ x 3；④ －5.其中，二次根式的个数有(A ) A ．1 个 B ．2 个C ．3 个D ．4 个 11．(2017·济宁)若 1 A. x ≥2 12x －1＋ 1 B. x ≤21－2x ＋1 在实数范围内有意义，则 x 满足的条件是(C)1C. x ＝2 1D. x ≠212. 使式子 x ＋3＋ 4－3x 在实数范围内有意义的整数 x 有(C )A ．5 个B ．3 个C ．4 个D ．2 个113. 如果式子 a ＋ ab 有意义，那么在平面直角坐标系中点 A(a ，b)的位置在(A) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限 D ．第四象限14. 使式子 －（x －5）2有意义的未知数 x 的值有 1 个．15. 若整数 x 满足|x|≤3，则使 7－x 为整数的 x 的值是 3 或－2．216. 要使二次根式 2－3x 有意义，则 x 的最大值是3．17. 当 x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？1解：x>2.解：x ≥0 且 x ≠1.2cm.解：－1≤x≤1.(4) x－3＋4－x.解：3≤x≤4.03综合题3a－6＋3 2－a，求此18.已知a，b 分别为等腰三角形的两条边长，且a，b 满足b＝4＋三角形的周长．解：∵3a－6≥0，2－a≥0，∴a＝2，b＝4.当边长为4，2，2 时，不符合实际情况，舍去；当边长为4，4，2 时，符合实际情况，4×2＋2＝10.∴此三角形的周长为10.1（－ ）2 3 第 2 课时 二次根式的性质01 基础题 知识点 1 a ≥0(a ≥0)1．(2017·荆门)已知实数 m ，n 满足|n －2|＋ m ＋1＝0，则 m ＋2n 的值为 3． 2．当 x ＝2 017 时，式子 2 018－ x －2 017有最大值，且最大值为 2 018． 知识点 2 ( a )2＝a (a ≥0)3. 把下列非负数写成一个非负数的平方的形式：(1)5＝(15)2; 1(2)3.4＝( 3.4)2；(3)6＝( 4. 计算：( 5. 计算：6)2; (4)x ＝( x )2(x ≥0)．2 018)2＝2 018．解：原式＝0.8.3(2)(－ 4)2；3解：原式＝4. (3)(5 2)2；解：原式＝25×2＝50. (4)(－2 6)2.解：原式＝4×6＝24. 知识点 3 6．计算 a 2＝a (a ≥0) （－5）2的结果是(B )A ．－5B ．5C ．－25D ．257. 已知二次根式 x 2的值为 3，那么 x 的值是(D)A ．3B ．9C ．－3D ．3 或－3 8. 当 a ≥0 时， 9. 计算：9a 2＝3a ．解：原式＝7.解：原式＝5.(3)； 1解：原式＝3. (2) （－5）2； (1) 49； (1)( 0.8)2； (4) 6－2.1 （－ ）2 8 1解：原式＝6.知识点 4 代数式10. 下列式子不是代数式的是(C )3A. 3xB .xC ．x>3D ．x －3 11. 下列式子中属于代数式的有(A )①0；②x ；③x ＋2；④2x ；⑤x ＝2；⑥x>2；⑦ A ．5 个 B ．6 个 C ．7 个 D ．8 个 02 中档题12. 下列运算正确的是(A )A. － （－6）2 6 B ．(－ 3)2＝9 C . （－16）2＝±16 D ．－(－ 5)2＝－25 13．若 a ＜1，化简 （a －1）2－1 的结果是(D )A. a －2 B ．2－a C ．a D ．－ax 2＋1；⑧x ≠2. 14．(2017·枣庄)实数 a ，b 在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|＋A ．－2a ＋bB ．2a －bC ．－bD ．b（a －b ）2的结果是(A )15. 已知实数 x ，y ，m 满足 x ＋2＋|3x ＋y ＋m|＝0，且 y 为负数，则 m 的取值范围是(A)A ．m ＞6B ．m ＜6C ．m ＞－6D ．m ＜－616. 化 简 ：（2－ 5）2 5－2． 17. 在实数范围内分解因式：x 2－5＝(x ＋ 5)(x － 5)． 18. 若等式（x －2）2＝( x －2)2 成立，则 x 的取值范围是 x ≥2．19. 若 a 2＝3， b ＝2，且 ab ＜0，则 a －b ＝－7． 20. 计算：(1)－2； 1解：原式＝－2×81＝－4.解：原式＝2×10－2. (3)(2 3)2－(4 2)2；(2) 4 × 10－4；1 （2 ）23 1 （－2 ）23 解：原式＝12－32 ＝－20.(4) ＋. 1 1解：原式＝23＋23 2＝43.21. 比较 211与 3 5的大小． 解：∵(2 11)2＝22×( 11)2＝44， (3 5)2＝32×( 5)2＝45，又∵44＜45，且 2 11＞0，3 5＞0，22. 先化简 a ＋ 1＋2a ＋a 2，然后分别求出当 a ＝－2 和 a ＝3 时，原代数式的值． 解：a ＋ 1＋2a ＋a 2＝a ＋ （a ＋1）2＝a ＋|a ＋1|，当 a ＝－2 时，原式＝－2＋|－2＋1|＝－2＋1＝－1； 当 a ＝3 时，原式＝3＋|3＋1|＝3＋4＝7. 03 综合题23. 有如下一串二次根式：① 52－42；② ④ 652－162…172－82；③ 372－122； (1)求①，②，③，④的值；(2) 仿照①，②，③，④，写出第⑤个二次根式；(3) 仿照①，②，③，④，⑤，写出第个二次根式，并化简． 解：(1)①原式＝ 9＝3. ②原式＝ ③原式＝④原式＝225＝15.1 225＝35.3 969＝63. (2)第⑤个二次根式为(3)第个二次根式为化简：1012－202＝99.（4n 2＋1）2－（4n ）2. （4n 2＋1）2－（4n ）2＝ (2n ＋1)．（4n 2－4n ＋1）（4n 2＋4n ＋1）＝ （2n －1）2（2n ＋1）2＝(2n －1) 5. ∴2 11＜33 6 2 × 701 基础题16.2 二次根式的乘除 第 1 课时 二次根式的乘法知识点 1 a ·b ＝ ab (a ≥0，b ≥0) 1. 计算 2× 3的结果是(B )2. 下列各等式成立的是(D )A ．4 C ．4 5×2 3×3 5＝8 5 2＝7 5B ．5 D ．5 3×4 3×4 2＝20 52＝20 63．下列二次根式中，与 2的积为无理数的是(B )A .C .4．计算： 8× B .D . 12＝2．5. 计算：2 6×(－3 6)＝－36．6. 一个直角三角形的两条直角边分别为 a ＝2 cm ，b ＝3 cm ，那么这个直角三角形的面积为 9 2cm 2.7. 计算下列各题：1(1) 3× 5； (2) 125× 5；解：原式＝ ＝5.15. 解：原式＝(3)(－3 2)×2 7；解：原式＝－6 解：原式＝3 x .＝－6 14.知识点 2ab ＝ a · b (a ≥0，b ≥0) 8. 下列各式正确的是( D )A . （－4） × （－9）＝ －4× 16 9 ＋B .4＝ 16× 4 4C . 9＝ 4×D . 4 × 9＝ 4× 9．(2017·益阳)下列各式化简后的结果是 3 2的结果是( C )B . 6 D ．3 2 A. 5C ．2 3 1 21218 32251(4)3 xy · y .－99 4 4 991 ab 25 10a b (2) 300；(3) 16y ；3A. 6C . 18B. 12 D . 36 10．化简 （－2）2 × 8 × 3的结果是(D )A ．2 24B ．－2 24C ．－4 6D ．4 611．化简：(1) 100 × 36＝60；(2) 2y 3＝y 2y．12. 化简：(1) 4 × 225； 解：原式＝ 4× 225＝2×15＝30.解：原式＝10 3.解：原式＝4 y .解：原式＝3xy 2 13. 计算：(1)3 6×2 12；yz . 解：原式＝6 62 × 2＝36 2.(2) · . 解：原式＝ 2a 2b ＝a 2b .02中档题14. 50· a 的值是一个整数，则正整数 a 的最小值是(B ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．515．已知 m ＝(－ 3 )×(－2 21)，则有(A )A ．5＜m ＜6B ．4＜m ＜5C ．－5＜m ＜－4D ．－6＜m ＜－516. 若点 P(a ，b)在第三象限内，化简 17. 计算：(1) 75× 20× 12；a 2b2的结果是 ab ． 解：原式＝ 25 × 3 × 4 × 5 × 3 × 4 ＝60 5. (4) 9x 2y5z .2(3) － 32 × 45 × 2； 解：原式＝－3×16×2 2 ＝－96 2.(4) 200a 5b4c3(a ＞0，c ＞0)． 解：原式＝ 2 × 102·（a 2）2·a·（b 2）2·c2·c ＝10a 2b 2c 2ac .18. 交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度，所用的经验公式是v ＝16 df ，其中 v 表示车速(单位：km /h )，d 表示刹车后车轮滑过的距离(单位：m )，f 表示摩擦因数，在某次交通事故调查中，测得 d ＝20 m ，f ＝1.2，肇事汽车的车速大约是多少？ (结果精确到 0.01 km /h )解：当 d ＝20 m ，f ＝1.2 时，v ＝16 df ＝16× 20 × 1.2＝16 24＝32 6≈78.38.答：肇事汽车的车速大约是 78.38 km /h .19. 一个底面为 30 cm ×30 cm 的长方体玻璃容器中装满水，现将一部分水倒入一个底面为正方形、高为 10 cm 的长方体铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了 20 cm ，铁桶的底面边长是多少厘米？解：设铁桶的底面边长为 x cm ，则x 2×10＝30×30×20，x 2＝ 30×30×2， x ＝ 30 × 30 × 2＝30 2. 答：铁桶的底面边长是 30 cm.03综合题20. (教材 P 16“阅读与思考”变式)阅读：古希腊的几何家海伦，在数学史上以解决几何测量问题而闻名，在他的著作《度量》一书中，给出了一个公式：如果一个三角形的三边长a ＋b ＋c分别为 a 、b 、c.记：p ＝ 2 “海伦公式”．，则三角形的面积 S ＝ p （p －a ）（p －b ）（p －c ），此公式称为 思考运用：已知李大爷有一块三角形的菜地，如图，测得 AB ＝7 m ，AC ＝5m ，BC ＝8 m ，你能求出李大爷这块菜地的面积吗？试试看.解：∵AB ＝7 m ，AC ＝5 m ，BC ＝8 m ，(2) （－14） × （－112）； 解：原式＝ 14 × 112 ＝ 2 × 72 × 42 ＝ 2× 72× 42 ＝28 2.a＋b＋c 7＋5＋8∴p＝＝ 2 ＝10.∴S＝p（p－a）（p－b）（p－c）＝10 × （10－7）× （10－5）× （10－8）＝10 × 3 × 5 × 2＝105 2 a 3b ab 01 基础题a a 知识点 1b ＝ b (a ≥0，b ＞0) 1. 计算： 10÷ 2＝(A ) 第 2 课时 二次根式的除法5 10 A . B ．5C . 2D . 22 2. 计算 3÷ A.13 C .2 32的结果是(B )2B .3D ．以上答案都不对3. 下列运算正确的是(D )A . 50÷ 5＝10B . 10÷2 5＝2C . 32＋42＝3＋4＝7D . 1227÷3＝3 4. 计算： 5. 计算： 3 ＝2．(1) 40÷5； 解：原式＝ 8＝2 2. 解：原式＝4.4 (3) 5÷ 215；(4) (a>0)． 解：原式＝ a 6. 解：原式＝2a.a 知识点 2b ＝ b (a ≥0，b ＞0) 6. 下列各式成立的是(A )－33 3 A . －5＝ 5＝ 5－7 －7B . －6＝ －62 32(2) 2 ；2 13 0.3 37(1) 100；1 1 D .4＝327. 实数 0.5 的算术平方根等于(C )2 1A ．2B .C . 2 x －1D .28. 如果 ＝x －2，那么 x 的取值范围是(D )A ．1≤x ≤2B ．1＜x ≤2C ．x ≥2D ．x ＞2 或 x ≤19. 化简：7 7 解：原式＝100＝10.(2)解：原式＝ 64 64 849＝ 49＝7.25a 4(3) 9b2 (b>0)．25a 4 5a 2解：原式＝ 9b2＝ 3b .知识点 3 最简二次根式10．(2017·荆州)下列根式是最简二次根式的是(C )A. B . C . D . 11. 把下列二次根式化为最简二次根式：(1) 2.5； 2 －9 2C . －9＝ 9 ＋1 4＝ 9＋ 15 149； x －1 （ ）2 x －2 203 6C.6 3＝254a2b6a 2 32 (4)3 40 .＝3 ×2 5 5 10解：原式＝2＝2 .2解：原式＝5 10.12(3) 2 ；解：原式＝2 ＝2解：原式＝3 2 × 201＝3 × 2015＝30.02中档题12.下列各式计算正确的是(C)48 3 23A. 3 ＝16B. 11÷3＝12D. ＝911 13.计算3÷2A.7 51 22 13÷5的结果是(A)2B.78(2) 5；3.ab2 27 × 123 30.9 × 121(1) 100 × 0.36；2C .D . 7 14. 在①14；② a 2＋b 2；③ 27；④ m 2＋1中，最简二次根式有 3 个． 15. 如果一个三角形的面积为 15，一边长为 3，那么这边上的高为 2 5．16. 不等式 2 2x － 6＞0 的解集是 x ＞2 ． 17. 化简或计算：解：原式＝ 9 × 121 36 × 10＝33 1 ＝ 6 1033 10 ＝ 6 × 10 ＝ 20 .(2) 12÷27×(－ 18)；解：原式＝－＝－＝－2 2.(3) ；解：原式＝＝3× 2 ＝6 3.(4) 212x ÷5 y . 2解：原式＝(1÷5) 32 × 112 62 × 10 11 1012 × 18 27 4 × 3 × 2 × 93 × 93 × 9 × 123 312x ÷ y18 3 2 18 3 1＝a·a ab ③ ＝ ab .④＝ 5 3xy＝ y .18. 如图，在 Rt △ABC 中，∠C ＝90°，S △ABC ＝ cm 2，BC ＝ cm ，AB ＝3 cm ，CD ⊥AB 于点 D.求 AC ，CD 的长．1 1解：∵S △ABC ＝2AC·BC ＝2AB·CD ，2S △ ABC ∴AC ＝ BC ＝ ＝2 6(cm )，2S △ ABC 2 18 2CD ＝ AB 03 综合题＝ 3 3 ＝3 6(cm )．19. 阅读下面的解题过程，根据要求回答下列问题．ab3－2ab2＋a2b 化简：b －aa(b<a<0)． a 解：原式＝b －ab （b －a ）2a ①(1) 上述解答过程从哪一步开始出现错误？请写出代号②；(2) 错误的原因是什么？(3)请你写出正确的解法． 解：(2)∵b<a ，∴b－a<0.∴(b －a)2 的算术平方根为 a －b.a(3)原式＝b －a b （b －a ）2 aa （b －a ） b＝ b －a a ②5 12xy2 y 23a＝b－a·(a－b)1＝－a·(－a ab) ＝ab.b a18 24 20 45 16.3 二次根式的加减01 基础题知识点 1 可以合并的二次根式第 1 课时 二次根式的加减 1．(2016·巴中)下列二次根式中，与 3可以合并的是(B )A. B . C . D . 2. 下列各个运算中，能合并成一个根式的是(B )A . 12－ 2B . 18－ 8C . 8a 2＋ 2aD . x 2y ＋ xy 23. 若最简二次根式2x ＋1和 4x －3能合并，则 x 的值为(C ) 1 3A ．－2B .4C ． 2D ．54. 若 m 与 18可以合并，则 m 的最小正整数值是(D )A ．18B ．8C ．4D ．2知识点 2 二次根式的加减5．(2016·桂林)计算 3 5－2 5的结果是(A )B ．2 5D ．66．下列计算正确的是(A )A . 12－3＝ 3 B . 2＋ 3＝ 5 C ．4 3－3 3＝1 D ．3＋2 2＝5 17. 计算 27－3 18－ 48的结果是(C ) A ．1B ．－1C ．－ 3－ 28. 计算 2＋( 2－1)的结果是(A)A ．2 2－1B ．2－ 2C ．1－ 2D ．2＋ 29. 长方形的一边长为 8，另一边长为 50，则长方形的周长为 14 2． 10. 三角形的三边长分别为 cm ， 11. 计算： 40 cm ， cm ，这个三角形的周长是(5 5＋2 10)cm .(1)2 3－ 2 ；1解：原式＝(2－2) 33 3＝ 2 .3 A . 5 C ．3 5 D . 2－ 1 30.3238 3 (2) 16x ＋ 64x ；解：原式＝4 ＝(4＋ 8) x ＝12 x . x ＋8 (3) 125－2 5＋ 45； 解：原式＝5 5－2 5＋3(4)(2017·黄冈) 127－6－ 3.解：原式＝3 3－6－ 3＝ 3 －02 中档题12. 若 x 与 2可以合并，则 x 可以是(A )A ．0.5B ．0.4C ．0.2D ．0.113．计算|2－ 5|＋|4－ 5|的值是(B )A ．－2B ．2C ．2 5－6D ．6－2 1 114. 计算 4 A. 3＋ 3C. 32＋3 3－ 8的结果是(B)B. D. 3－ 15. 若 a ，b 均为有理数，且 8＋ 18＋ 1 8＝a ＋b 212，则 a ＝0，b ＝ 4 . 16. 已知等腰三角形的两边长分别为 2 7和 5 5，则此等腰三角形的周长为 2 7＋10 5． 17. 在如图所示的方格中，横向、纵向及对角线方向上的实数相乘都得出同样的结果，则两个空格中的实数之和为 4 2.2 31 36 26 318. 计算： 3 ＝6 5. 6. 2x5 53 2(1) 18＋ 12－ 8－ 27； 解：原式＝3 2＋2 3－2 2－3 ＝(3 2－2 2)＋(2 3－3 3)＝ 2－ 3.(2) b 12b 3＋b 2 48b ；解：原式＝2b 2 3b ＋4b 2 ＝6b 2 3b .(3)( 45＋ 27)－( 4 3＋ 125)； 2解：原式＝3 7＝3 3－2 5＋3 3－3 3－5 3 1(4) 4( 2－ 27)－2( 3－ 2)．39 1 解：原式＝4 2－4 3－2 3＋2 3 1 9 1＝(4＋2) 2－(4＋2) 5 11 ＝4 2－ 4 3. 311 3 19. 已知 3≈1.732，求(3 27－4 43)－2( 4－ 12)的近似值(结果保留小数点后两位)．解：原式＝ 8＝3 38≈3×1.732≈4.62.3－3 3－ 3＋403 综合题20. 若 a ，b 都是正整数，且 a ＜b ， a 与 b 是可以合并的二次根式，是否存在 a ，b ，使a ＋b ＝ 75？若存在，请求出 a ，b 的值；若不存在，请说明理由． 解：∵ a 与 b 是可以合并的二次根式， a ＋ b ＝ 75， ∴ a ＋ b ＝ 75＝5 3.∵a<b ，∴当 a ＝3，则 b ＝48；5.1233b53当a＝12，则b＝27.40＋ 55第 2 课时 二次根式的混合运算01 基础题 知识点 1 二次根式的混合运算 1．化简 2( 2＋2)的结果是(A )A ．2＋2 2B ．2＋ 2C ．4D ．3 22．计算( 12－ 3)÷ 3的结果是(D )A ．－1B ．－ C. 33．(2017·南京)计算： D ．1 12＋ 8× 6的结果是 6 3．14．(2017·青岛)计算：( 24＋ 6)× 6＝13．5．计算：＝2 6．计算：(1) 3( 5－ 2)；2＋1．解：原式＝ 15－ 6.(2)( 24＋ 18)÷ 2； 解：原式＝2 3＋3.(3)( 2＋3)( 2＋2)； 解：原式＝8＋5 2.(4)( m ＋2 n )( m －3n )． 解：原式＝m － mn －6n. 知识点 2 二次根式与乘法公式 7．(2017·天津)计算：(4＋ 1 7)(4－ 7)的结果等于9． 8．(2016·包头)计算：6 9．计算：3－( 3＋1)2＝－4．(1)( 1 2－ 2)2； 1解：原式＝2.(2)( 2＋ 3)( 2－ 3)；解：原式＝－1.(3)( 5＋3 2)2.解：原式＝23＋6 10. 10．(2016·盐城)计算：(3－ 7)(3＋ 7)＋ 2(2－ 2)．32＝2 2－ ＝ 2.2解：原式＝9－7＋2 2－202中档题 11. 已知 a ＝ 5＋2，b ＝2－ B. － 5，则 a2 018b 2 017 的值为(B ) 5－2 C.1 D ．－112. 按如图所示的程序计算，若开始输入的 n 值为 2，则最后输出的结果是(C )A ．14B ．16C ．8＋5D ．14＋ 13. 计算：(1)(1－2 2)(2 2＋1)；解：原式＝－7. 3 2 3(2) 12÷( 4 ＋ 3 )；3 3 8 3解：原式＝ 12÷( 12 ＋ 12 ) 11 3＝ 12÷ 1212＝2 3×11 3 24 ＝11.(3)(4 6－4 12＋3 8)÷2 2； 解：原式＝(4 6－2 2＋6 2)÷2 ＝(4 ＝2 6＋4 3＋2. 1 2)÷2 21(4) 24× 3－4× 8×(1－ 2)0.解：原式＝2 6× 3 －4× 4 ×1 2 3 A . 5＋2 ＝2 2. 2 214.计算：(1)(1－5)( 5＋1)＋( 5－1)2；解：原式＝1－5＋5＋1－2＝2－2 5.(2)( 3＋2－1)( 3－2＋1)．解：原式＝( 3)2－( 2－1)2＝3－(2＋1－2 2)＝3－ 2－1＋2 2＝2 2.15.已知a＝7＋2，b＝7－2，求下列代数式的值：(1)ab2＋ba2；(2)a2－2ab＋b2；(3)a2－b2.解：由题意得a＋b＝( 7＋2)＋( 7－2)＝2 7，a－b＝( 7＋2)－( 7－2)＝4，ab＝( 7＋2)( 7－2)＝( 7)2－22＝7－4＝3.(1)原式＝ab(b＋a)＝3×2(2)原式＝(a—b)2＝42＝16.(3)原式＝(a＋b)(a—b)＝2 03综合题16.观察下列运算：7＝6 7.7×4＝8 7.1①由( 2＋1)( 2－1)＝1，得2＋1＝2－1；②由( 3＋2)( 3－2)＝1，得13＋2＝3－2；③由( 4＋3)( 4－3)＝1，得14＋3＝4－3；…(1)通过观察你得出什么规律？用含n 的式子表示出来；(2)利用(1)中你发现的规律计算：( 12 018＋2 017)×( 2 018＋1)．12＋1＋13＋2＋14＋3＋…＋12 017＋2 016＋解：(1)1n＋1＋n＝n＋1－n(n≥0)．(2)原式＝( 2－1＋3－2＋4－3＋…＋2 017－2 016＋2 018－2 017)×( 2 018＋1)＝(－1＋＝2 017. )(2 018＋1)5＝2 12 ＝ 4 3.类型 1 与二次根式有关的计算 1. 计算：小专题(一) 二次根式的运算(1)6 12×3 6；1解：原式＝(6×3)(2)(－44 1 5)÷5 5；3 5解：原式＝－4 5÷(5× 5 ) ＝－4 4 ＝－3. 5÷33(3) 72－2 2＋2 18；3解：原式＝6 3 2－2 2＋6 ＝12 21 2－2 2 ＝ 2 2.(4)(2 5＋ 3)×(2 5－ 3)． 解：原式＝(2 ＝20－3 ＝17. 2. 计算：5)2－( 3)2(1)3 31 4÷(－2 12 3)；1解：原式＝[3÷(－2)]＝－6＝－6 2 × 6 5 23 5÷4 39209 × 520 × 5854 × 9 9 ＝－5 5.(2)( 6＋ 10× 15)× 3； 解：原式＝3 2＋5 6× 3 ＝3 ＝18 2＋15 2 2.811 (3)3 54×(－ 9)÷7 5；解：原式＝3×(－1)×÷7＝－33 ＝－7 648÷7 548 ×6 ＝－7 10.11(4)( 12－4 8)－(3 3－4 0.5); 解：原式＝2 3－ 2－ 3＋2 ＝ 3＋ 2.(5)(3 2－ 6)2－(－3 2－ 6)2.解：原式＝(3 2－ 6)2－(3 2＋ 6)2＝18＋6－12 3－(18＋6＋12 3) ＝－24 3.3.计算：6(1)(2 018－ 3)0＋|3－ 12|－ 3； 解：原式＝1＋2 3－3－2 3 ＝－2.1 10 3 (2)(2017·呼和浩特)|2－ 15|－ 3 2×(8－ 2 )＋2. 解：原式＝ 5－2－2＋ 5＋2 ＝2 5－1. 类型 2 与二次根式有关的化简求值4．已知 a ＝3＋2 2，b ＝3－2 2，求 a 2b －ab 2 的值．1 15 65 2{ ) 解：原式＝a 2b －ab 2＝ab(a －b)． 当 a ＝3＋2 2，b ＝3－2 2时，原式＝(3＋2 2)(3－2 2)(3＋2 2－3＋2 2)5. 已知实数 a ，b ，定义“★”运算规则如下：a ★b ＝的值．解：由题意，得 2★ 3＝ 3.∴ 7★( 2★ 3)＝ 7★ 3＝ 7－3＝2.b （a ≤ b ），a2－b 2（a > b ）， 求 7★( 2★ 3)6. 已知 x ＝2＋ 3，求代数式(7－4 3)x 2＋(2－ 3)x ＋ 3的值． 解：当 x ＝2＋ 3时，原式＝(7－4 3)×(2＋ 3)2＋(2－ 3)×(2＋ 3)＋ ＝(7－4 3)×(7＋ 4 3)＋4－3＋ 3 ＝49－48＋1＋ 3＝2＋ 3.1117．(2017·襄阳)先化简，再求值：(x ＋y ＋x －y )÷xy ＋y 2，其中 x ＝ 2x5＋2，y ＝ 5－2. 解：原式＝ 2xy＝x －y .（x ＋y ）（x －y ）·y(x ＋y) 当 x ＝ 5＋2，y ＝ 5－2 时，原式＝ 1 ＝2.8. 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如 3＋22＝(1＋ 2)2，善于思考的小明进行了以下探索：设 a ＋b 2＝(m ＋n 2) 2(其中 a ，b ，m ，n 均为正整数)，则有a ＋b 2＝m 2＋2n 2＋2 2mn ，∴a ＝m 2＋2n 2，b ＝2mn.这样小明就找到了一种把 a ＋b 并解决下列问题：2的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索 (1) 当 a ，b ，m ，n 均为正整数时，若 a ＋b a ，b ，得 a ＝m 2＋3n 2，b ＝2mn ；3＝(m ＋n 3) 2，用含 m ，n 的式子分别表示 (2) 利用所探索的结论，找一组正整数 a ，b ，m ，n 填空：4＋2 唯一)3＝(1＋ 3)2；(答案不 (3) 若 a ＋4 3＝(m ＋n 3)2，且 a ，m ，n 均为正整数，求 a 的值．＝4 2. 32（ 5＋2）（ 5－2） 5＋2－ 5＋2{ )a＝m2＋3n2，解：根据题意，得4＝2mn.∵2mn＝4，且m，n 为正整数，∴m＝2，n＝1 或m＝1，n＝2.∴a＝7 或13.5 2 3 章末复习(一) 二次根式01基础题知识点 1 二次根式的概念及性质x ＋ 41．(2016·黄冈)在函数 y ＝ x 中，自变量 x 的取值范围是(C) A ．x >0 B ．x ≥－4C ．x ≥－4 且 x ≠0D ．x >0 且 x ≠－4 2．(2016·自贡)下列根式中，不是最简二次根式的是(B)A. 10B.C. 6D. 3. 若 xy ＜0，则 x 2y 化简后的结果是(D )A ．x yB ．x －yC ．－x －yD ．－x y知识点 2 二次根式的运算4. 与－ 5可以合并的二次根式的是(C )A . 10C . 20 5．(2017·十堰)下列运算正确的是(C )A . 2＋ C . 8÷ 3＝B ．2 2＝2 D ．3 12×3 2－ 2＝6 2＝36. 计算 5÷7. 计算：5× 5所得的结果是 1． (1)(2017·湖州)2×(1－ 2)＋ 8；解：原式＝2－2＝2.2＋2 2(2)(4 3＋3 6)÷2 3； 解：原式＝43 ＝2＋2 2.13÷2 3＋3 6÷21(3)2 32－2 75＋ 0.5－327；解：原式＝2 1 2－10 3＋ 2 － 3 1 ＝(2＋2)× 2＋(－10－3)× 5 31 ＝2 2－ 3 3.(4)(3 2－2 3)(3 2＋2 3)．82B . 15 D . 25 23 33 3 7 32－ 82 25.12 3.145－1解：原式＝(3 ＝9×2－4×3 ＝6.2)2－(2 3)2知识点 3 二次根式的实际应用8. 两个圆的圆心相同，它们的面积分别是 25.12 和 50.24.求圆环的宽度 d.(π 取 3.14，结果保留小数点后两位)解：d ＝＝ 16－ ≈1.17.50.24 3.14 － 8＝4－2 答：圆环的宽度 d 约为 1.17.02中档题1 －9. 把－aa 中根号外面的因式移到根号内的结果是(A ) B ．－ aD . a1 110. 已知 x ＋x ＝ 7，则 x －x 的值为(C)A. B ．±2C ．± D.11. 在数轴上表示实数 a 的点如图所示，化简 （a －5）2＋|a －2|的结果为 3．12．(2016·青岛)计算： ＝2． 13. 计算：( 3＋2)3×( 3－2)3＝－1．14. 已 知 x ＝ 2 ，则 x 2＋x ＋1＝2．15. 已知 16－n 是整数，则自然数 n 所有可能的值为 0，7，12，15，16． 16. 计算：1(1)( 3＋1)( 3－1)－ 16＋(2)－1； 解：原式＝3－1－4＋2 ＝0.2A . －a ．－ －a(2)( 3＋ 2－ 6)2－( 2－3＋ 6)2. 解： 原式＝( 3＋ 2－ 6＋ 2－ 3＋ 6)×( 3＋ 2－ 6－ 2＋ 3－ 6)＝2 2×(2 ＝4 6－8 3－2 6) 3.17. 已知 x ＝ 3＋ 7，y ＝ 3－ 7，试求代数式 3x 2－5xy ＋3y 2 的值． 解：当 x ＝ 3＋ 7，y ＝ 3－ 7时， 3x 2－5xy ＋3y 2＝3(x 2－2xy ＋y 2)＋xy ＝3(x －y)2＋xy＝3( 3＋ 7－ 3＋ 7)2＋( 3＋ 7)×( 3－ 7) ＝3×28－4＝80.18. 教师节要到了，为了表示对老师的敬意，小明做了两张大小不同的正方形壁画准备送给老师，其中一张面积为 800 cm 2，另一张面积为 450 cm 2，他想如果再用金彩带把壁画的边镶上会更漂亮，他现在有 1.2 m 长的金彩带，请你帮助算一算，他的金彩带够用吗？如 果不够，还需买多长的金彩带？( 2≈1.414，结果保留整数)解：正方形壁画的边长分别为 800 cm ， 450 cm .镶壁画所用的金彩带长为 4×( 800＋ 450)＝4×(20 2＋15 2)＝140 2≈197.96(cm)．因为 1.2 m ＝120 cm ＜197.96 cm ，所以小明的金彩带不够用，197.96－120＝77.96≈78(cm)． 故还需买约 78 cm 长的金彩带． 03 综合题19.已知 a ，b ，c 满足|a － (1) 求 a ，b ，c 的值；8|＋ b －5＋(c － 18)20. (2) 试问以 a ，b ，c 为边能否构成三角形？若能构成三角形，请求出三角形的周长；若不能，请说明理由．解：(1)由题意，得 a － 8＝0，b －5＝0，c － 18＝0， 即 a ＝2 2，b ＝5，c ＝3 2.(2)∵2 2＋3 2＝5 2＞5，∴以 a ，b ，c 为边能构成三角形． 三角形的周长为 2 2＋3 2＋5＝5 2＋5.“”“”At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!。
八年级数学下册 12.1 二次根式 二次根式的性质是什么素材 苏科版(2021年整理)
八年级数学下册 12.1 二次根式二次根式的性质是什么素材（新版）苏科版编辑整理：
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二次根式的性质是什么？
难易度：★★★
关键词：二次根式
答案：
二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．当二次根式在分母上时还要考虑分母不等于零，此时被开方数大于0．
【举一反三】
典例、下列式子中，x的取值范围为x≠3的是（）A、x—3 B、C、 D、
思路导引：本题主要考查了整式、分式和二次根式的定义．要考虑分式的分母不能为0；二次根式的被开方数非负分别根据整式、分式和二次根式的定义,求x的取值范围判断即可．下列选项的x取值范围分别是A、任何实数;B、∵x-3≠0，∴x≠3；C、∵x+3≠0,∴x≠-3；D、∵x—3≥0，∴x≥3．故选B．
标准答案:B。