统计专题-拟合数据提出反例
反例法
一、反例的含义数学中的反例，是指符合某个命题的条件，而又不符合该命题结论的例子。
我们讨论的反例，是建立在数学上已证实的理论与逻辑推理基础上的，并且具有一定作用的反例。
举反例也是一种证明的特殊方法，它可证明“某命题不成立”为真。
一般地说，一个假命题的反例有多个，我们在举反例时只选其中一个就可以。
反例的几种类型：1．基本形式反例2．关于充分条件假言判断与必要条件假言判断的反例3．条件变化型反例二、反例的作用1．发现原有理论的局限性，推动数学向前发展2．澄清数学概念与定理数学中的概念与定理有许多结构复杂、条件结论犬牙交错，使人不容易理解。
反例则可以使概念更加确切与清晰，使定理的条件、结论之间的充分性、必要性指示得一清二楚。
数学中有许多许多这样的反例。
在讨论周期函数及其最小正周期时，不少人以为周期函数必有最小正周期。
下面举出反例推翻这种看法。
这个函数以任何有理数T为周期，因x为有理数时，x+T也为有理数，x为无理数时，x+T也为无理数，所以有所以f(x+T)=f(x)。
而有理数中无最小正数，所以f(x)也就不存在最小正周期。
3．帮助学生学习数学基础知识，提高数学修养培养科学研究能力数学是一门严密的科学，有自己独特的思维特点和逻辑体系。
不能凭直观或想当然去理解它，这样往往会“失之毫厘，差之千里”，而在数学教学中，让学生掌握严密的逻辑推理与思维特点的同时，还掌握各类反例，这才会更深刻掌握数学基础知识，以及提高数学修养与培养科学研究能力。
三、反例的构造方法1．特例构造法特例构造法就是运用极端情况与典型反例。
极端情况如分式的分母为零、图形为直角三角形、两直线平行与垂直等，典型反例如处处不连续的狄里克雷函数，在x =0处连续但不可导的函数等。
例1 若a2，b2，c2成等差数列，问是否也成等差数列。
此例回答是否定的，可抓住分式的分母为零构造反例：当a=-b，c=-b时，a2、b2、c2成等差数列，但结论不能成立。
例2 函数y=f(x)在x=x0处连续，是否一定要它在x=x0的任何邻域内连续？回答是否定的，问题是怎么举出反例。
残差拟合的问题-概述说明以及解释
残差拟合的问题-概述说明以及解释1.引言概述部分的内容编写如下：1.1 概述在现代统计学和机器学习领域中，拟合残差是一项重要的任务。
残差指的是通过拟合函数预测的结果与实际观测值之间的差异。
残差拟合则是通过对这些差异进行建模和分析，以达到对应变量之间关系的更好理解和预测的目的。
残差拟合的目标是通过找到一个拟合函数，使得其预测值与实际观测值的差异最小化。
通过最小化残差，我们可以寻找到最佳的拟合函数，以逼近现实世界的数据生成过程。
这对于解决各种实际问题，例如经济预测、医学诊断以及工业生产优化等，都具有重要意义。
然而，在进行残差拟合时，我们可能会面临一些问题。
这些问题可能会导致拟合结果的偏离现实情况，从而降低拟合函数的准确性和可解释性。
在本文中，我们将重点讨论残差拟合的问题以及影响因素，并提出一些解决这些问题的方法。
通过深入分析和理解残差拟合的问题，我们可以更好地应用统计学和机器学习的方法，提高拟合模型的准确性和稳定性。
这对于各个领域的学术研究和实践应用都有着重要意义。
在接下来的章节中，我们将详细介绍残差拟合的定义和原理，以及可能影响拟合质量的因素。
我们还将提出一些解决残差拟合问题的方法，并展望未来可能的研究方向。
1.2文章结构文章结构部分的内容可以包括以下内容：在这一节中，我们将详细介绍本文的结构和各个章节的内容，以帮助读者更好地理解整篇文章的布局和逻辑。
首先，在引言部分，我们将概述残差拟合的问题并介绍本文的目的。
同时，我们还会简要介绍整篇文章的结构，以便读者能够清楚地了解各章节的内容和顺序。
接着，我们进入正文部分，第一节将详细阐述残差拟合的定义和原理。
我们将介绍什么是残差拟合，以及其在统计学和数据分析中的重要性。
同时，我们将解释残差拟合的基本原理和相关的数学概念，以便读者能够更好地理解后面章节中的问题和解决方法。
在第二节中，我们将重点探讨残差拟合的问题以及影响因素。
我们将介绍在实际应用中可能遇到的各种问题，比如过拟合、欠拟合、局部最小值等，并分析造成这些问题的原因和影响因素。
大数据分析师的数据分析模型评估
大数据分析师的数据分析模型评估数据分析模型评估是大数据分析师工作中至关重要的一部分。
通过对数据分析模型进行评估，分析师可以确定模型的准确性、效率和可靠性。
本文将介绍数据分析模型评估的基本概念和常用方法，帮助大数据分析师更好地进行数据分析工作。
一、评估指标在进行数据分析模型评估之前，首先需要确定评估指标，这些指标可以帮助分析师量化模型的性能和表现。
常用的评估指标包括：1. 准确性：衡量模型对实际情况的预测能力。
常见的准确性评估指标包括精确度、召回率、F1值等。
2. 效率：衡量模型计算效率的指标，如模型的训练时间、预测时间等。
3. 可解释性：衡量模型对结果的解释性的指标，如特征权重、模型的可解释性程度等。
4. 鲁棒性：衡量模型对噪声、异常值等干扰的抵抗能力。
二、常用评估方法针对不同类型的数据分析模型，存在各种评估方法。
以下是几种常见的评估方法：1. 混淆矩阵：适用于二元分类模型的评估方法。
通过将真实标签和预测标签进行交叉统计，得到真正例、假正例、真反例、假反例的数量，进而计算准确率、召回率、F1值等指标。
2. ROC曲线：适用于二元分类模型的评估方法。
绘制出模型的真正例率（TPR）和假正例率（FPR）之间的关系曲线，通过计算曲线下的面积（AUC）来评估模型的性能。
3. 灵敏度与特异度：适用于二元分类模型的评估方法。
灵敏度衡量模型对正例的识别能力，特异度衡量模型对反例的识别能力。
4. 均方误差（MSE）：适用于回归模型的评估方法。
计算模型预测值与真实值之间的平方差的均值。
5. R方值：适用于回归模型的评估方法。
衡量模型对总变差的解释程度，取值范围从0到1，值越接近1表示模型拟合程度越好。
三、评估实例以下是一个数据分析模型评估的实例。
假设我们有一份销售数据，想要根据该数据构建一个销售预测模型，预测未来一段时间的销售额。
1. 首先，我们将数据划分为训练集和测试集，通常采用70%的数据作为训练集，30%的数据作为测试集。
计量经济学-第4章
TSS ESS RSS
4
4.1.1 总离差平方和旳分解
已知由一组样本观察值（Xi,Yi），i=1,2…,n 得到如下样本回归直线
Yˆi ˆ0 ˆ1 X i
yi Yi Y (Yi Yˆi ) (Yˆi Y ) ei yˆi
2
即
P(i
t s t s ) P(t 2
i i
si
t ) 1
2
2
i
i
i
2
i
1
21
于是得到:(1-)旳置信度下, i旳置信区间是
(i
t
2
si , i
t
2
si )
在上述收入-消费支出例中，假如给定 =0.01，
查表得：
因为
t (n 2) t0.005 (8) 3.355 2
▪判断成果合理是否，是基于“小概率事件不易 发生”旳原理
➢ 一次抽样中，尽然不能支持原假设，也就是举反 例否决。
13
4.2.2 变量旳明显性检验
ˆ1 ~ N (1,
2
) xi2
t ˆ1 1 ˆ1 1 ~ t(n 2)
ˆ 2 xi2
S ˆ1
14
检验环节：
（1）对总体参数提出假设
H0： 1=0，
18
4.3 参ห้องสมุดไป่ตู้旳置信区间检验法
假设检验能够经过一次抽样旳成果检验总体参数 假设值旳范围（如是否为零），但它并没有指出 在一次抽样中样本参数值究竟离总体参数旳真值 有多“近”。
要判断样本参数旳估计值在多大程度上能够“近 似”地替代总体参数旳真值，往往需要经过构造 一种以样本参数旳估计值为中心旳“区间”，来 考察它以多大旳可能性（概率）包括着真实旳参 数值。这种措施就是参数检验旳置信区间估计。
分类数据分析
数据异常值处理
识别并处理异常值，以避免对数据分 析产生负面影响。
数据标准化
将数据转换为统一的标准，以便进行 比较和分析。
数据编码
将分类变量转换为数值型变量，以便 进行数学运算和分析。
数据分组与分类
聚类分析
将相似的数据点聚集在一起，形成不同的组 或集群。
分类分析
根据已知结果对数据进行分类，如预测市场 细分或客户类型。
分类报告与解释
分类报告
详细描述分类模型的性能指标、特征重要性、过拟合 与欠拟合情况等，帮助用户全面了解模型表现。
可解释性
通过可视化、特征重要性分析等方法，帮助用户理解 模型决策过程，提高分类结果的透明度和可信度。
05
分类数据分析应用场景
市场营销细分
目标受众识别
通过分类数据分析，识别不同消费者群体的 特征，以便针对不同群体制定更有针对性的 营销策略。
要点二
详细描述
首先，收集信用卡交易数据，包括交易时间、交易地点、 交易金额等。然后，利用分类算法对数据进行处理和分析 ，识别出欺诈行为的特征和模式。最后，根据分类结果， 采取相应的措施（如拒绝交易、冻结账户等），以减少欺 诈行为的发生和保护相关利益。
电影推荐系统案例
总结词
通过分类数据分析，为用户推荐适合他们口味的电影， 提高电影观看体验。
分类数据分析
• 分类数据分析概述 • 数据收集与整理 • 分类算法与模型 • 分类结果评估与优化 • 分类数据分析应用场景 • 案例分析
01
分类数据分析概述
定义与特点
定义
分类数据分析是一种统计学方法，用 于将数据分成不同的类别或组，以便 更好地理解数据的结构和模式。
特点
分类数据分析具有简单易行、直观明 了的特点，能够揭示数据中的潜在类 别和结构，为决策提供有力支持。
切比雪夫不等式的反例
切比雪夫不等式的反例切比雪夫不等式是概率论中的一个重要定理，它描述了一个随机变量与其期望值之间的距离。
然而，这个定理并非对所有情况都成立，存在一些特殊情况下的反例。
本文将介绍切比雪夫不等式的反例，并探讨这些反例出现的原因。
1. 引言切比雪夫不等式是概率论中的一种常用工具，它提供了一种衡量随机变量偏离其期望值的上界。
一般来说，对于任意一个随机变量X，以及一个给定的正实数ε，切比雪夫不等式可以表示为：P(|X-μ|≥ε) ≤ σ²/ε²其中，μ是X的期望值，σ²是X的方差。
这个不等式的意义在于，它告诉我们X偏离μ的概率至多为σ²/ε²。
2. 反例然而，切比雪夫不等式并非对所有情况都成立。
下面我们举一个反例来说明这一点。
假设我们有一个随机变量X，它服从正态分布，均值μ为0，方差σ²为1。
根据切比雪夫不等式，当ε=1时，P(|X-0|≥1) ≤ 1/1² = 1。
然而，在这个反例中，我们可以找到一个事件，使得它的概率远远大于1。
具体来说，考虑事件A={X≥2}，即X大于等于2的情况。
根据正态分布的性质，可以计算出P(X≥2)≈0.0228。
显然，这个概率远大于1，与切比雪夫不等式的结果相矛盾。
3. 分析与讨论为什么在这个特殊情况下切比雪夫不等式失效呢？这是因为切比雪夫不等式是基于方差的测量，而方差无法完全反映随机变量在某个区间内的分布情况。
对于正态分布而言，它的尾部（即较大或较小的值）以指数形式衰减，而方差只是描述了分布的“中心部分”，无法准确刻画尾部的情况。
在这种情况下，我们可以借助其他的概率不等式来提供更为准确的估计。
例如，针对正态分布，我们可以使用切比雪夫不等式的加强版本--松本不等式。
4. 松本不等式松本不等式是对切比雪夫不等式的改进，它利用了随机变量的四阶矩来提供更加紧凑的上界估计。
针对符合正态分布的随机变量X，松本不等式可以表示为：P(|X-μ|≥ε) ≤ 6σ⁴/ε⁴通过这个不等式，我们可以更准确地估计随机变量X偏离其期望值的概率。
统计计算算法
分类算法-----决策树常用的分类算法包括：决策树分类法，朴素的贝叶斯分类算法(native Bayesian classifier)、基于支持向量机(SVM)的分类器，神经网络法，k-最近邻法(k-nearest neighbor，kNN)，模糊分类法等等。
监督学习与无监督学习机器学习发展到现在，一般划分为监督学习(supervised learning)，半监督学习(semi-supervised learning)以及无监督学习(unsupervised learning)三类。
常见的分类算法属于监督学习，聚类则属于无监督学习而在支持向量机导论一书给监督学习下的定义是：当样例是输入/输出对给出时，称为监督学习，有关输入/输出函数关系的样例称为训练数据。
而在无监督学习中，其数据不包含输出值，学习的任务是理解数据产生的过程。
第一部分、决策树学习1.1、什么是决策树机器学习中，决策树是一个预测模型；他代表的是对象属性与对象值之间的一种映射关系。
树中每个节点表示某个对象，而每个分叉路径则代表的某个可能的属性值，而每个叶结点则对应从根节点到该叶节点所经历的路径所表示的对象的值。
决策树仅有单一输出，若欲有复数输出，可以建立独立的决策树以处理不同输出。
从数据产生决策树的机器学习技术叫做决策树学习, 通俗点说就是决策树，说白了，这是一种依托于分类、训练上的预测树，根据已知预测、归类未来。
来理论的太过抽象，下面举两个浅显易懂的例子：第一个例子那么这个可以用下图表示女孩的决策逻辑：第二个例子此例子来自Tom M.Mitchell著的机器学习一书：小王的目的是通过下周天气预报寻找什么时候人们会打高尔夫，他了解到人们决定是否打球的原因最主要取决于天气情况。
而天气状况有晴，云和雨；气温用华氏温度表示；相对湿度用百分比；还有有无风。
如此，我们便可以构造一棵决策树，如下（根据天气这个分类决策这天是否合适打网球）：上述决策树对应于以下表达式：（Outlook=Sunny ^Humidity<=70）V （Outlook = Overcast）V （Outlook=Rain ^ Wind=Weak）1.2、ID3算法1.2.1、决策树学习之ID3算法ID3算法是一个由Ross Quinlan发明的用于决策树的算法:越是小型的决策树越优于大的决策树（be simple简单理论）。
论概率论中的反例
论概率论中的反例王淑玲 刘信斌 刘 刚（徐州空军学院 基础部 江苏 徐州 221000）摘 要： 反例是数学中人们所悉心追求的美感之一。
一个数学问题用一个反例予以解决，给人的刺激犹如一出好的戏剧。
在教学实践的过程，总结出一些反例。
关键词： 反例；概率论；教学中图分类号：O21 文献标识码：A 文章编号：1671－7597（2011）0110188－01我们知道要判断一个命题正确，必须经过严密的推理论证，而要否定一个命题，却只要能举出一个与结论矛盾的例子就行。
这种与命题相矛盾的例子称为反例。
由于数学具有高度的抽象性，有些学生对于一些重要的概念和定理的理解，存在一定的困难，往往只停留在表面上，只知其表不知其里。
而数学中的反例，既是简明有力的否定方法，又是加深对概念和定理的理解的重要手段，它还有助于发现问题、活跃思维、避免常犯易犯的错误。
反例的重要性正如美国数学家B.R.盖尔鲍姆和J.M.H.奥姆斯特德所说：“冒着过于简单化的风险，我们可以说（撇开定义、陈述以及艰苦的工作不谈）数学由两大类——证明和反例组成，而数学发现也是朝着这两个目标——提出证明和构造反例”。
本文中所举出的一些概率论中的反例，是笔者在教学过程中，积累和总结出来的。
希望能给授课的同行和学习该课程的同学有点帮助和启示。
例1 概率为零的事件不一定是不可能事件。
解：不可能事件的概率一定为零，即若 ，则 。
但是，概率为零的事件不一定是不可能事件，即若 ，不一定有 。
例如，在几何概率中，设，则显然，事件A 是可能发生的.这个例子就证明了概率为零的事件不一定是不可能事件。
例2 概率为1的事件不一定是必然事件。
解：必然事件的概率一定等于1，即若 ，则 。
但是，概率为1的事件不一定是必然事件，即若 ，不一定有 。
例如，在几何概率中，设则又比如，对于连续型随机变量，除去某一个点的值以外的概率仍为1，但它不是必然要发生的。
例3不一定有大小关系。
解：对于任意的两个事件A 、B ，无条件概率 与条件概率之间没有固定的大小关系，既可能 或 ，也可能 。
拟合度检验
拟合度检验1. 引言拟合度检验是用来评估模型（或函数）对已有数据的拟合程度的一种方法。
在统计学中，拟合度检验主要用于判断一个假设模型与观测数据的适配程度，即模型是否能够良好地拟合数据。
拟合度检验的结果可以用来判断模型是过拟合还是欠拟合，从而指导模型的改进和优化。
2. 拟合度检验的指标在进行拟合度检验时，常用的指标包括均方误差（Mean Squared Error，简称MSE）、决定系数（Coefficient of determination，简称R-squared）和残差分析等。
2.1 均方误差（MSE）均方误差是衡量模型预测值与实际观测值之间差异的平均值。
MSE的计算公式如下：MSE = 1/n * Σ(y_real - y_pred)^2其中，n为样本数量，y_real为实际观测值，y_pred为模型预测值。
MSE越小，表示模型的预测结果与实际观测值的拟合程度越好。
2.2 决定系数（R-squared）决定系数用于衡量模型对目标变量的解释能力，即模型可以解释目标变量方差的百分比。
决定系数的取值范围为0到1，越接近1表示模型对目标变量的解释能力越强。
R-squared的计算公式如下：R^2 = 1 - (SS_res / SS_total)其中，SS_res为残差平方和，表示模型预测值与实际观测值之间的差异；SS_total为总平方和，表示实际观测值与平均值之间的差异。
R-squared值越接近于1，表示模型的拟合程度越好。
2.3 残差分析残差分析用于检验模型是否符合线性回归的基本假设，包括残差是否满足正态分布、残差与预测值是否存在线性关系等。
残差分析通过绘制残差图、残差qq图等来观察残差的分布情况，从而评估模型的拟合度。
3. 拟合度检验方法拟合度检验的方法有多种，常用的包括F检验、t检验和交叉验证等。
3.1 F检验F检验用于检验多元线性回归模型的整体显著性。
F检验的原假设为模型的回归系数均为0，备择假设为至少一个回归系数不为0。
数据挖掘中的过拟合问题及解决方法
数据挖掘中的过拟合问题及解决方法在数据挖掘领域，过拟合是一个常见而严重的问题。
当我们使用机器学习算法来构建模型时，我们希望模型能够对未知数据进行准确的预测。
然而，有时候我们的模型在训练数据上表现出色，但在新的数据上却表现不佳，这就是过拟合问题。
过拟合指的是模型在训练数据上学习到了过多的细节和噪声，导致模型过于复杂，无法泛化到新的数据。
这种情况下，模型会过于依赖训练数据中的特定模式，而无法适应新的数据集。
造成过拟合的原因有很多，其中一个主要原因是训练数据的数量不足。
当训练数据较少时，模型容易在训练数据上过度拟合，而无法捕捉到真正的数据模式。
此外，特征选择不当也是导致过拟合的一个常见原因。
如果我们选择了太多的特征，模型可能会过于复杂，从而导致过拟合。
另外，模型的复杂度也会影响过拟合问题。
如果我们选择了过于复杂的模型，模型可能会过度拟合训练数据。
那么，如何解决过拟合问题呢？下面将介绍几种常用的方法。
1. 增加训练数据量：增加训练数据是减轻过拟合问题的有效方法之一。
更多的数据可以帮助模型更好地学习数据的模式，减少对噪声和细节的依赖。
当然，这并不是说只要增加数据量就能解决过拟合问题，但适量增加数据可以起到一定的缓解作用。
2. 特征选择：正确选择特征是减轻过拟合问题的关键。
我们应该选择那些与目标变量相关性较高的特征，而忽略那些与目标变量关系较弱的特征。
可以使用统计方法或领域知识来帮助我们选择合适的特征。
3. 正则化：正则化是一种常用的减轻过拟合问题的方法。
正则化通过在损失函数中引入一个正则化项，惩罚模型的复杂度。
常见的正则化方法有L1正则化和L2正则化。
L1正则化可以使得模型的参数稀疏化，即将一些不重要的特征的权重设为0，从而减少模型的复杂度。
L2正则化可以使得模型的参数接近于0，从而减小参数的大小。
4. 交叉验证：交叉验证是一种评估模型性能和选择模型参数的方法。
通过将数据集分成训练集和验证集，我们可以使用验证集来评估模型的性能，从而选择最佳的模型参数。
回归 拟合优度 负值-定义说明解析
回归拟合优度负值-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述：在统计学和数据分析领域中，回归分析是一种常用的方法，用来探讨自变量与因变量之间的关系。
拟合优度则是用来评估回归模型的拟合程度，即模型对数据的解释能力。
在实际应用中，拟合优度通常用来衡量模型的准确性和可靠性。
而负值在统计学中也是常见的情况，可以代表着模型拟合的不完美或者数据之间的关系并不明显。
本文将探讨回归、拟合优度和负值之间的关系，希望能对读者有所启发和帮助。
1.2 文章结构:本文共分为引言、正文和结论三个部分。
在引言部分中，将概述本文的主题和重要性，介绍文章的结构以及阐明本文的目的。
在正文部分，将分别讨论回归、拟合优度和负值这三个概念。
首先介绍回归分析的定义、应用场景和意义，然后详细解释拟合优度的概念和计算方法，最后探讨负值在相关领域中的作用和影响。
最后在结论部分，将总结回归、拟合优度和负值之间的关系，提出应用建议并展望未来的研究方向。
通过这些内容，读者将能更深入地了解回归、拟合优度和负值的相关知识，并对其在实际应用中的意义有更清晰的认识。
1.3 目的本文的目的在于探讨回归、拟合优度和负值之间的关系，通过分析它们在统计学和数据分析中的应用，以及它们在实际问题中的意义。
我们希望通过深入剖析这些概念，为读者提供更深入的理解，帮助他们更好地运用这些概念解决实际问题。
同时，我们也希望能够引发更多关于这些概念的讨论和研究，推动统计学和数据分析领域的发展。
2.正文2.1 回归:在统计学中，回归是一种用于研究变量之间关系的分析方法。
通常情况下，我们希望通过回归分析来建立一个数学模型，从而能够预测一个变量如何受其他变量的影响。
回归分析主要分为线性回归和非线性回归两种类型。
线性回归是一种通过拟合直线或平面来描述变量之间线性关系的方法。
通过最小化残差平方和来确定最佳拟合直线，这样可以得到最佳拟合参数，使得模型能够最好地描述数据点之间的关系。
而非线性回归则是指变量之间存在非线性关系的情况，此时我们可以通过拟合曲线或曲面来建立模型。
过拟合的例子
过拟合的例子摘要：一、过拟合的定义与概念1.过拟合的定义2.过拟合在机器学习和统计学中的重要性3.过拟合现象的产生原因二、过拟合的例子1.线性回归模型中的过拟合2.神经网络中的过拟合3.支持向量机中的过拟合三、解决过拟合的方法1.数据集扩充2.正则化方法3.早停法4.交叉验证四、总结与展望1.过拟合问题的普遍性2.未来研究方向和挑战正文：一、过拟合的定义与概念过拟合是指机器学习模型过度拟合训练数据，从而导致在新数据上表现不佳的现象。
简单来说，模型在训练集上表现得过于优秀，但在测试集和实际应用中却无法达到预期的性能。
过拟合在机器学习和统计学中被广泛讨论，它不仅影响模型的泛化能力，还可能导致模型不稳定、难以解释等问题。
过拟合产生的原因主要有以下几点：1.模型过于复杂：模型参数过多，导致模型能够捕捉到训练数据中的噪声和细节，却无法泛化到新的数据集。
2.训练数据量不足：当训练数据量有限时，模型容易过拟合。
3.数据噪声较大：如果训练数据中存在大量噪声，模型可能会学习到这些噪声，从而导致过拟合。
二、过拟合的例子1.线性回归模型中的过拟合线性回归是一种简单的机器学习方法，用于拟合输入变量和输出变量之间的线性关系。
然而，当输入变量和输出变量之间的关系非线性时，线性回归模型可能出现过拟合现象。
例如，在房价预测问题中，线性回归模型可能无法很好地拟合房价与房屋面积、地段等因素的非线性关系。
2.神经网络中的过拟合神经网络是一种强大的机器学习模型，能够拟合复杂的非线性关系。
然而，由于神经网络具有大量的参数，容易出现过拟合现象。
例如，在图像分类任务中，如果训练样本数量有限，神经网络可能会过拟合到训练样本的特定细节，导致在新样本上的分类性能下降。
3.支持向量机中的过拟合支持向量机（SVM）是一种经典的分类和回归方法，它通过找到一个最优的超平面来分隔不同类别的数据。
然而，当训练数据过于复杂时，支持向量机可能出现过拟合现象。
例如，在文本分类任务中，如果训练数据包含大量的噪声和细微差别，支持向量机可能会学习到这些细节，从而导致过拟合。
机器学习中常见的过拟合问题解决方法(六)
机器学习中常见的过拟合问题解决方法有以下几种：
1. 特征选择：减少特征数量可能会帮助模型更好地泛化，因为更少的特征可以减少模型对训练数据的依赖。
可以使用相关系数法、卡方检验等方法来筛选出与目标变量相关性较强的特征。
2. 减少模型复杂度：减小模型的复杂度也有助于防止过拟合。
比如可以使用决策树剪枝、集成学习中的子集选择等方法。
3. 增加正则化项：正则化是通过加入额外的成本函数项来惩罚模型复杂度，使得过拟合的成本更高，进而提升模型的泛化能力。
常见的正则化方法包括L1和L2正则化，以及dropout等。
4. 过采样与欠采样：对于分类问题，有时数据不平衡可能导致过拟合，可以通过过采样、欠采样或者集成方法来解决。
比如，使用SMOTE（Synthetic Minority Over-sampling Technique）对少数类样本进行合成扩增。
5. 集成学习方法：集成学习可以将多个模型的预测结果进行组合，以提高最终的预测性能。
常用的集成学习方法有bagging和boosting。
6. 迁移学习：将模型从一个任务迁移到另一个任务，通过已有的知识来辅助新任务的建模。
这样可以减少对新数据的建模成本，有助于提升模型的泛化能力。
7. 剪枝和早停：在模型训练过程中，通过设置一个阈值来停止训练。
当模型性能不再提升时，可以提前结束训练，这也能避免过拟合问题。
综上所述，针对过拟合问题，有多种解决方法可以选择，可以根据具体任务和数据情况来选择合适的方法。
拟合函数的原理和应用例题
拟合函数的原理和应用例题1. 原理介绍拟合函数是指通过已知的一组数据点，在给定的函数模型中，找到最接近这组数据点的曲线或曲面。
拟合函数的原理主要基于最小二乘法，即通过最小化观测值与拟合函数之间的差距来确定最佳拟合曲线。
最常见的拟合函数形式是多项式拟合，即通过一个高次多项式来逼近数据点。
其他常见的拟合函数形式包括指数函数、对数函数、幂函数等。
2. 应用例题下面将通过两个例题来说明拟合函数的应用。
2.1 例题一：拟合一组汽车销量数据假设我们得到了一组汽车销量数据，我们希望通过拟合函数来预测未来的销量。
首先，我们收集了过去5年的汽车销量数据，数据如下：年份销量（单位：万辆）2016 82017 92018 102019 112020 12我们可以使用多项式拟合来逼近这组数据点。
假设我们选择使用二次多项式拟合，即拟合函数的形式为：f(x)=ax2+bx+c我们要通过最小二乘法确定拟合函数的系数a、b、c。
计算最小二乘法的残差平方和（Residual Sum of Squares, RSS）：$$ RSS = \\sum_{i=1}^{n} (f(x_i) - y_i)^2 $$其中n为数据点的个数，f(x i)为拟合函数计算出的值，y i为真实值。
通过求导数，我们可以得到方程组：$$ \\begin{align*} \\frac{\\partial RSS}{\\partial a} &= 0 \\\\ \\frac{\\partial RSS}{\\partial b} &= 0 \\\\ \\frac{\\partial RSS}{\\partial c} &= 0 \\\\\\end{align*} $$解这个方程组，就可以得到拟合函数的系数。
计算得到的拟合函数为：f(x)=0.5x2+0.5x+7.5接下来，我们可以使用这个拟合函数来预测未来几年的汽车销量。
2.2 例题二：拟合气温随时间变化的曲线假设我们有一组记录了一周内某个城市的每天的平均气温的数据，我们希望通过拟合函数来找到气温随时间变化的曲线。
反向拟合算法
反向拟合算法1. 引言反向拟合算法是一种基于机器学习的优化算法，用于通过最小化模型预测值与实际观测值之间的差异来调整模型参数。
该算法在统计学和数据分析中广泛应用，可以帮助我们理解数据背后的模式和关系，从而做出准确的预测和决策。
本文将介绍反向拟合算法的原理、应用场景以及实现步骤，并提供一些示例来帮助读者更好地理解该算法的工作原理和使用方法。
2. 原理反向拟合算法的核心思想是通过调整模型参数，使模型的预测值与实际观测值之间的差异最小化。
这种差异通常通过损失函数来度量，常见的损失函数包括均方误差、交叉熵等。
具体来说，反向拟合算法通过以下步骤实现：1.初始化模型参数：首先，我们需要初始化模型的参数，例如权重和偏置。
这些参数将在后续的优化过程中被调整。
2.前向传播：利用当前的模型参数，我们可以通过前向传播计算模型的预测值。
这一步骤将输入数据通过模型进行计算，得到预测值。
3.计算损失函数：将模型的预测值与实际观测值进行比较，计算损失函数的值。
损失函数度量了模型预测值与实际观测值之间的差异。
4.反向传播：通过反向传播，我们可以计算损失函数对模型参数的导数。
这些导数将指导我们如何调整模型参数，以使损失函数的值最小化。
5.参数更新：利用计算得到的导数，我们可以更新模型的参数。
通常，我们使用梯度下降法或其变种来更新参数。
梯度下降法通过不断调整参数的值，以使损失函数的值逐渐降低。
6.重复步骤2-5：重复执行步骤2-5，直到达到停止准则，例如达到最大迭代次数或损失函数的值收敛。
3. 应用场景反向拟合算法在许多领域都有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：•线性回归：反向拟合算法可以用于拟合线性回归模型，通过调整模型的斜率和截距，使模型的预测值与实际观测值之间的差异最小化。
•逻辑回归：反向拟合算法可以用于训练逻辑回归模型，通过调整模型的权重，使模型对二分类问题进行准确的分类。
•神经网络：反向拟合算法是训练神经网络的基础算法。
过拟合的例子
过拟合的例子摘要：一、过拟合现象的定义与背景二、过拟合的例子1.房价预测模型2.股票价格预测模型3.手写数字识别模型三、过拟合的影响与解决方法1.过拟合的影响2.解决过拟合的方法四、总结正文：一、过拟合现象的定义与背景过拟合（Overfitting）是指在机器学习和统计建模领域中，一个模型对训练数据的拟合程度过高，以至于在面对新的未知数据时，泛化能力较差的现象。
简单来说，模型在训练集上表现很好，但在测试集和实际应用中的表现却很差。
过拟合是模型拟合过程中需要克服的重要问题之一，它影响了模型的泛化能力和实用性。
二、过拟合的例子1.房价预测模型在房价预测模型中，如果模型对训练数据中的每一个细节都进行拟合，可能会导致过拟合。
例如，模型可能会学习到房子附近每一个小公园、学校、商店等特征对房价的影响，而这些信息在实际应用中很难获取。
因此，当使用这个模型去预测新的未见过的房价时，其预测结果可能与实际结果相差较大。
2.股票价格预测模型在股票价格预测模型中，过拟合现象同样存在。
如果模型对训练数据中的所有技术指标、基本面信息、市场情绪等都进行拟合，可能会导致模型过于复杂，难以预测未来的股票价格。
此外，股票市场受到很多不可预测的因素影响，如政策变化、自然灾害等，这也使得股票价格预测模型的过拟合问题更加严重。
3.手写数字识别模型在著名的MNIST手写数字识别数据集中，有很多研究者发现，通过添加一些噪声或者进行数据增强，可以提高模型的识别准确率。
然而，这些方法有时会导致模型过拟合。
例如，模型可能会学习到某些噪声特征，使得在训练集上表现很好，但在测试集和实际应用中的表现却较差。
三、过拟合的影响与解决方法1.过拟合的影响过拟合会导致模型在未知数据上的预测能力下降，从而影响模型的实际应用价值。
同时，过拟合还会增加模型的复杂性，导致模型训练时间增加，计算资源浪费等问题。
2.解决过拟合的方法为了解决过拟合问题，研究者们提出了很多方法，如：（1）数据集扩充：通过对训练数据进行旋转、缩放、翻转等操作，增加训练数据的多样性，从而降低模型的过拟合风险。
过拟合例子
过拟合例子目录1.过拟合的定义和概念2.过拟合的例子3.过拟合的原因和影响4.如何避免过拟合5.总结正文1.过拟合的定义和概念过拟合（overfitting）是指在机器学习和统计建模领域中，一个模型对训练数据的拟合程度过高，以至于在面对新的未知数据时，泛化能力较差的现象。
换句话说，模型在训练集上的表现很好，但在测试集和实际应用中的表现较差。
2.过拟合的例子假设我们要训练一个预测房价的模型，用房价与房屋面积、卧室数量、距离市中心的距离等特征作为输入，房价作为输出。
在这个例子中，如果模型在训练集上表现非常好，但在测试集上预测房价的误差较大，那么这个模型就存在过拟合问题。
可能的原因是模型在训练过程中对噪声过度敏感，或者在拟合过程中过于复杂，导致在新的数据上表现不佳。
3.过拟合的原因和影响过拟合的原因主要有以下几点：- 数据量不足：如果训练数据量较少，模型容易过拟合，因为模型会过度拟合训练数据中的噪声。
- 数据质量不高：如果训练数据中存在噪声或者错误数据，模型也会过拟合。
- 模型过于复杂：模型越复杂，拟合能力越强，但也越容易过拟合。
- 优化算法参数设置不当：例如学习率过大，梯度下降过程中更新参数过大，导致模型在训练过程中过于复杂。
过拟合的影响主要表现在模型的泛化能力差，即在新的数据上预测效果不佳。
这不仅会导致模型的实际应用价值降低，而且会影响到模型的进一步优化和改进。
4.如何避免过拟合为了避免过拟合，可以采取以下策略：- 增加训练数据量：通过增加训练数据量，可以提高模型的泛化能力，降低过拟合的风险。
- 数据预处理：对训练数据进行清洗、去噪、缺失值处理等操作，提高数据质量。
- 选择合适的模型：根据实际问题选择合适的模型，避免模型过于复杂。
- 调整优化算法参数：例如学习率、正则化参数等，避免模型在训练过程中过于复杂。
- 交叉验证：使用交叉验证（cross-validation）方法，将训练数据分成多个子集，每次使用其中一个子集作为验证集，其他子集作为训练集，循环进行训练和验证，以评估模型的泛化能力。
fdr计算公式
fdr计算公式FDR (False Discovery Rate)计算公式随着科学技术的不断发展，我们在研究中常常需要进行大量的假设检验。
在进行多次假设检验时，我们常常会面临一个问题，即如何控制错误发现的数量。
为了解决这个问题，统计学家提出了一种称为FDR（False Discovery Rate）的方法，用于衡量在多次假设检验中的错误发现率。
FDR是指在所有被拒绝的假设中，错误拒绝的比例。
也就是说，在所有被认为是显著的假设中，实际上是错误的假设的比例。
FDR计算公式可以用来估计FDR的值，其计算过程如下：FDR = V/R其中，V表示被错误拒绝的假设的数量，R表示被拒绝的假设的总数量。
通过计算FDR，我们可以得到在多次假设检验中错误发现的比例。
为了更好地理解FDR计算公式，我们可以通过一个例子来说明。
假设我们进行了100次假设检验，其中有20个假设是真实的，80个假设是错误的。
在这些假设中，我们设定了一个显著性水平为0.05的阈值。
根据阈值，我们将拒绝那些在检验中得到的p值小于0.05的假设。
在这100次假设检验中，我们拒绝了10个假设。
其中6个是真实的，4个是错误的。
根据FDR计算公式，我们可以得到FDR的值为4/10=0.4。
这意味着在所有被认为是显著的假设中，有40%是错误的。
FDR计算公式的应用不仅局限于上述例子中的二项分布情况，也可以适用于其他分布。
在实际应用中，我们常常使用Benjamini-Hochberg方法来控制FDR。
该方法通过对原始的p值进行调整，使得在给定的FDR水平下，我们能够控制错误发现的比例。
总结一下，FDR计算公式是用来衡量在多次假设检验中的错误发现率的方法。
通过计算FDR，我们可以得到在所有被认为是显著的假设中错误发现的比例。
FDR计算公式的应用不仅局限于二项分布情况，也可以适用于其他分布。
在实际应用中，我们常常使用Benjamini-Hochberg方法来控制FDR，以控制错误发现的比例。
机器学习常见知识点（总结）
机器学习常见知识点（总结）机器学习常见知识点（总结）⼀、总结⼀句话总结：> ⽬录结构（知识结构）清晰了，添枝加叶就⾮常⾮常简单了⼆、机器学习常见知识点（总结）⼀、准备机器学习是什么，⼈⼯智能的⼦类，深度学习的⽗类。
机器学习：使计算机改进或是适应他们的⾏为，从⽽使他们的⾏为更加准确。
也就是通过数据中学习，从⽽在某项⼯作上做的更好。
引⽤王钰院⼠在2008年会议的⼀句话，假定W是给定世界的有限或者⽆限的所有对象的集合，Q是我们能够或得到的有限数据，Q是W的⼀个很⼩的真⼦集，机器学习就是根据世界的样本集来推算世界的模型，使得模型对于整体世界来说为真。
机器学习的两个驱动：神经⽹络，数据挖掘。
机器学习的分类：监督学习：提供了包含正确回答的训练集，并以这个训练集为基础，算法进⾏泛化，直到对所有的可能输⼊都给出正确回答，这也称在范例中学习。
⽆监督学习：没有提供正确回答，算法试图鉴别出输⼊之间的相似，从⽽将同样的输⼊归为⼀类，这种⽅法称密度学习。
强化学习：介于监督和⽆监督之间，当答案不正确时，算法被告知，如何改正则不得⽽知，算法需要去探索，试验不同情况，直到得到正确答案，强化学习有时称为伴随评论家的学习，因为他只对答案评分，⽽不给出改进建议。
进化学习：将⽣物学的进化看成⼀个学习过程，我们研究如何在计算机中对这⼀过程进⾏建模，采⽤适应度的概念，相当于对当前解答⽅案好坏程度的评分。
（不是所有机器学习书籍都包含进化学习）优点：泛化，对于未曾碰到的输⼊也能给出合理的输出。
监督学习：回归、分类。
机器学习过程：数据的收集和准备特征选择算法选择参数和模型选择训练评估专业术语：输⼊：输⼊向量x作为算法输⼊给出的数据突触：wij是节点i和节点j之间的加权连接，类似于⼤脑中的突触，排列成矩阵W输出：输出向量y，可以有n个维度⽬标：⽬标向量t，有n个维度，监督学习所需要等待额外数据，提供了算法正在学习的“正确答案”维度：输⼊向量的个数激活函数：对于神经⽹络，g（·）是⼀种数学函数，描述神经元的激发和作为对加权输⼊的响应误差：E是根据y和t计算⽹络不准确性的函数权重空间：当我们的输⼊数据达到200维时，⼈类的限制使得我们⽆法看见，我们最多只能看到三维投影，⽽对于计算机可以抽象出200个相互正交的轴的超平⾯进⾏计算，神经⽹络的参数是将神经元连接到输⼊的⼀组权重值，如将神经元的权重视为⼀组坐标，即所谓的权重空间维度灾难：随着维度的增加，单位超球⾯的体积也在不断增加，2d中，单位超球⾯为圆，3d中则为求，⽽更⾼的维度便称为超球⾯，Vn = （2π/n）*Vn-2，于是当n>2π时，体积开始缩⼩，因此可⽤数据减少，意味着我们需要更多的数据，当数据到达100维以上时，单位数据变得极⼩，进⽽需要更多的数据，从⽽造成维度灾难维度和体积的关系：机器学习算法测试：算法成功程度是预测和⼀直⽬标进⾏⽐较，对此我们需要⼀组新的数据，测试集。
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2015/12/20
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我的第一个观察是，中国在大规模的基础 知识和技能传授很有效，使得中国学生在 这方面的平均水平比较高。 用统计学的语言，叫做“均值”较高，意 思是“平均水平”较高。 我是指在同一年龄段，在同一学习阶段横 向比较而言，包括小学、中学和大学。这 是中国教育的重要优势，是其他发展中国 家，甚至一些发达国家都望尘莫及的。 这从“国际学生测评项目”（Program for International Students Assessment, PISA ）中上海学生的表现，在三个科目（阅读 2015/12/20 、数学、自然科学）中都名列前茅，可以
2015/12/20
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三是教育除了为发展经济服务的功利作用 之外，教育对人的素养培养和人的价值塑 造以及对文明社会建设更为重要，而人的 素养的“均值”低却“方差”大，是中国 实现人的现代化的重要掣肘。 谢谢大家。
2015/12/20
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简单地说，“方差”小就是两端的人少，出众的 人少，“杰出人才”少，“拔尖创新人才”少。
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2015/12/20
启发
钱用统计术语表达自己的观点确实值得学习。
从个人阅历谈及中美教育差异也令人深思 这里，钱用统计术语表达自己的教育观念。对此 我们有何感想？启发或思考？
2015/12/20
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问题
钱的第一个观察是，中国在大规模的基础知识和 技能传授很有效，使得中国学生在这方面的平均 水平比较高。用统计学的语言，叫做“均值”较 高，意思是“平均水平”较高。
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2015/12/20
钱的第二个观察是，与“均值”高同时出现的另 一个现象是“方差”小。“方差”也是统计学的 概念。 “均值”是衡量一个随机变量的平均数，而“方 差”则是衡量一个随机变量偏离平均数的累加起 来的程度。
2015/12/20
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这就要来审视我们的“人才”观了。正因 为我们对培养不出“杰出人才”有紧迫感 ，所以就特别重视“才”。这种急功近利 的结果呢？不但“杰出人才”的培养仍是 问题，而且轻视对“人”的素养的培养造 成更严重的问题，造成更严重的社会问题 。我们讲人的素养，是一个真正的“人” 所应具备的基本做人准则，是人格底线。 爱因斯坦早就说过：“学校的目标应该始 终是：青年人在离开学校时，是作为一个 和谐的人，而不是作为一个专家。
2015/12/20 9
虽然中国的基础教育还存在很多问题，但教 师的敬业程度还是令人钦佩的。即使是高等 教育，在基础知识和技能的传授方面，按平 均水平来看，都是可圈可点的。 这种教育优势对推动中国经济在低收入发展 阶段的增长非常重要，因为它适合“模仿和 改进”的“追赶”作用，特别是在与开放结 合在一起的时候。开放让我们看到了先进， 加上我们的毕业生基础知识扎实，模仿能力 强，挣钱动机更强，员工队伍整齐，就有了 很强的执行力，就追赶上来了。这在制造业 非常明显。
2015/12/20 17
低“均值”是指人们经常批评的人的素养 的平均水平低。而人的素养的“方差”大 ，是指太差的人不在少数。这在反腐中暴 露出来的案件规模、程度中可领略，多么 让人触目惊心，不可思议。这其中很多都 是那些高智商、低人格的人做的。知识水 平高，做人很差的，就是钱理群讲的“精 致的利己主义者”。中国教育的问题，绝 不仅仅是培养不出杰出人才的问题，更严 重的是造就了不少没有人格底线的人。
2015/12/20
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我们不用去同发达国家比，与印度的比较 更有说服力，因为两国的人口基数差不多 ，而且印度的人均收入比中国还低。印度 教育的平均水平肯定不如中国，但是它在 出现突出人物方面比中国显著。从我自己 平常接触到的例子看：全球著名商学院中 ，哈佛商学院、芝加哥商学院、康奈尔商 学院、华盛顿大学商学院的现任院长都是 印度裔；全球著名大跨国公司中，微软、 百事、德意志银行、万事达卡的现任CEO 也都是印度裔。但是目前还没有中国人担 任这类商学院和跨国公司的CEO。
请同学们反驳钱学者的方法或观点。 即对支持观点的方法提出质疑并从你学过 的统计知识中寻找合适论证方法。 要求：要通过拟合数据，应用合理的统计 方法，采用数据结论来质疑钱的方法或观 点。
2015/12/20
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附：原文内容
我是一名经济学者，目前是中国经济五十 人论坛成员，中国金融四十人论坛学术委 员会主席。今天又有幸成为中国教育三十 人论坛成员。有三个原因让我对教育问题 有极大的兴趣：一是我的求学经历（清华 、哥伦比亚、耶鲁、哈佛），二是我的执 教经历（斯坦福、马里兰、伯克利加州、 清华），三是我在清华经管学院担任院长 至今八年多的经历。
2015/12/20
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以上是我对当前中国教育问题和这些问题 对经济和社会发展影响的三个观察，可以 用“均值”和“方差”来概括：一是我们 的优势是基础知识和技能的“均值”较高 ，这对过去30多年中国经济增长起了推动 作用。二是我们的劣势是基础知识特别是 能力的“方差”太小，杰出人物太少。这 就导致创新不足，对未来中国经济以创新 驱动发展非常不利。
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但进入中等收入后，当需要以创新驱动发展 时，“方差”小的后果就严重了，因为这影 响创新，特别是颠覆性创新。这样，我对中 国教育问题的第一个和第二个观察，即人才 的“均值”高和“方差”小的特点，既能解 释中国过去30多年经济发展的成就，又能预 示在未来经济发展“新常态”中可能出现的 问题。 如果说在知识和能力上是高“均值”、低“ 方差”的话，那么我的第三个观察是，在人 的素养、价值等方面，我们的问题就是低“ 均值”、高“方差”了。
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2015/12/20
”戴安娜王妃也多次对她的长子威廉说， “你在成为王子之前，先要成为一个人” 。他们讲的都是先做人，再成才。我在 2014年清华经管学院本科生开学典礼致辞 中的主题，就是“人”重于“才”，这是 因为人不仅是工具，更是目的。因此在我 看来，中国教育的首要问题，还不是如何 培养“杰出人才”的问题，而是如何培养 真正的“人”的问题。
2015/12/20
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我在2010年8月清华大学本科生开学典礼上 和在2011年2月黑龙江亚布力中国企业家论 坛上，都强调了中国学生缺乏好奇心、想 象力和批判性思维能力的问题。这个讲话 被广泛传播，这个观点受到广泛认同。好 奇心和想象力部分来自天生，至少有一些 人是这样，但是后天会把它们磨灭。完全 有可能是，受教育越多，好奇心和想象力 就变得越少。由此来看，正是我们的教育 把人先天的好奇心和想象力给“扼杀”了 。再加上学生的批判性思维能力的不到培 养，那学生怎么可能有创造性呢？
2015/12/20 11
简单地说，“方差”小就是两端的人少，出 众的人少，“杰出人才”少，“拔尖创新人 才”少。 我们都知道，杰出人才的出现是小概率事件 。如果说“天赋”的分布在不同人种之间没 有太大差别的话，那么出现杰出天赋的概率 就应该与人口正相关。中国有13亿多人口， 但是至今没有中国学者在中国大陆的研究获 得诺贝尔科学奖，表明了一种问题。还有其 他证据说明问题。
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当然这并不代表中国的平均水平，但是在 这个测评中， 农民工子女比美国中产阶级子女，艺术院 校学生的数学比美国学生平均水平，都要 强。这更说明了问题。 我们是如何做到的呢？政府和民间对教育 的投入，中国传统文化对教育的重视，中 国学生在学业上花的时间多，都是原因。 经济学家研究发展中国家的基础教育，通 常的度量是教师是否准时上课，学生是否 有课本等十分初级的要求。
清华学者的教育观点
资料来源：
钱颖一院长在“中国教育三十人论坛”首届年会上的 演讲——对中国教育问题的三个观察：“均值”与“ 方差”
2015/12/20
1
文章简要介绍
Hale Waihona Puke 钱有中美教育比较的经历：一是求学经历（清华 、哥伦比亚、耶鲁、哈佛），二是执教经历（斯 坦福、马里兰、伯克利加州、清华），三是在清 华经管学院担任院长至今八年多的经历。
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2015/12/20
首先，我们不能完全否定中国教育的成绩。 因为中国过去35年经济高速增长，如果教育 完全失败，这是不可能的。 不过，肯定成绩是容易的，但是肯定到点子 上并不容易。 由于我并没有受过教育学系统训练，所以不 熟悉教育学的方法和分析框架。我是一名教 育实践者，所以我就从直观的观察开始。我 今天讲对中国教育问题的三个观察。
2015/12/20 10
即使是服务业也一样。在引进先进的IT技术 和管理流程，超级市场的收银员、银行的 柜台服务、医院的挂号和收费、出入关的 检查等重复性的、规律性的大规模操作， 中国服务人员的速度和精准程度，甚至超 过发达国家。我们每个人都有体验。 我的第二个观察是，与“均值”高同时出 现的另一个现象是“方差”小。“方差” 也是统计学的概念。 “均值”是衡量一个随机变量的平均数， 而“方差”则是衡量一个随机变量偏离平 均数的累加起来的程度。
2015/12/20 15
因此，不是我们的学校“培养”不出杰出 人才的问题，而是我们的学校“扼杀”潜 在的杰出人才的问题。在好奇心和想象力 被扼杀，在个性发展受压抑的情况下，人 与人之间的差别就减少了。结论是，我们 培养出的人的“方差”小，不是因为中国 人先天“方差”小，而是后天被人为地压 缩小的。 “方差”小对经济发展的影响在发展不同 阶段是不同的。在低收入阶段，经济发展 主要靠模仿和改进，人才“方差”小无关 大局，甚至还是长处，只要“均值”不低 2015/12/20 。
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2015/12/20
我们不否认中国人才中缺乏创造力，缺乏 领导力，缺乏影响力。钱学森问：为什么 我们的学校总是培养不出杰出人才？我的 直觉是，恐怕这个问题本身就有问题。杰 出人才是“培养“出来的吗？也许不是。 杰出人才很可能是在一种有利的环境中“ 冒”出来的。所以创造环境，或者说“培 育”，远比“培养”更重要。这里有深层 次的原因。