高中数学《点、直线、平面之间的位置关系》同步练习2 新人教A版必修2

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高中数学第二章《点、直线、平面之间的位置关系》练习(提高版) 新人教A版必修2

高中数学第二章《点、直线、平面之间的位置关系》练习（提高版）新人教A 版必修2一、选择题（共12小题，每小题 5分，共60分）1．关于空间中点、线、面之间的关系描述正确的是（）A ．若直线a 在平面α外，则α//aB ．若点A 在直线a 上，则a A ∈C ．若直线a 与b 不相交，则b a //D ．若b a ⊥，则a 与b 必相交 2．已知直线a 、b ，且a ∥α，b ⊂α，则（）A ．a ∥bB ．a 与b 相交C ．a 与b 异面D ．a 与b 平行或异面 3．在正方体1111D C B A ABCD -中，与对角线1BD 异面的棱有（）条 A ． 3 B ． 4 C ． 6 D ． 8 4．直线⊥a 平面α，直线a b ⊥，则b 和α的位置关系是（）A ．α⊥bB ．b ∥αC ．α⊂bD ．b ∥α或α⊂b 5．已知m 、n 为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（） A ．βαβα⊂⊂n m ,,//n m //⇒ B ．αα//,//n m n m //⇒ C ．n m m =⊂βαβα ,,//n m //⇒ D ．αα⊂n m ,//n m //⇒6．三棱锥A —BCD 的棱长全相等, E 是AD 中点, 则直线CE 与直线BD 所成角的余弦值为（）A ．63B.23 C ．633 D ．217．如果正四棱锥的侧面积等于底面积的2倍，则侧面与底面所成的角等于（） A ．30° B ．45° C ．60° D ．75°8．如下图，⊥PD 矩形ABCD 所在的平面，图中相互垂直的平面有（）对A ．2B ．3C ．4D ．59．下列推断错误的是（）A ．一条直线与两个平行平面所成的角相等B ．两个平行平面与第三个平面所成的角相等C ．两条平行直线与同一个平面所成的角相等DABCPD ．两条直线与一个平面所成的角相等，则这两条直线平行 10．如图为一正方体的平面展开图，在这个正方体中： ①BM ∥平面DE ②CN ∥AF③ED 与AF 成的角为60 ④平面BMD ∥平面AFN其中正确的序号是（）A ．①④B ．①②④C ．①③④D ．①②③④ 11．已知直线⊥l 平面α，直线⊂m 平面β，在下列命题中正确的是（）①m l ⊥⇒βα// ②m l //⇒⊥βα ③βα⊥⇒m l // ④βα//⇒⊥m l A ．①② B ．③④ C ．②④ D ．①③ 在空间四边形ABCD 中，CD AB =，且异面直线AB 与CD 所成的角为60，E 、F 分别为边BC 和AD 的中点，则异面直线EF 和AB 所成的角为 ( )A ． 30B ． 45C ． 60D ． 30或60填空题（共4小题，每小题5分，共20分） 13．如图长方体中，32==AD AB ，21=CC ，则二面角C BD C --1的大小为． 14．α、β是两个不同的平面，m 、n 是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①n m ⊥ ②βα⊥ ③β⊥m ④α⊥n . 以其中三个作为条件，余下一个作为结论，请写出正确的一个命题：______________________________.15．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面为直角梯形，AD ∥BC ， 90BAD ∠=︒，PA ⊥底面ABCD ，且AB AD PA ==， M 、N 分别为PC 、PB 的中点，则直线BD 与平面ADMN 所成的角为_______.16．以下是关于直线、平面的平行与垂直关系推断：①若b a ⊥，且c a //，则c b ⊥ ②若b a ⊥，且b c ⊥，则c a // ③若βα⊥，且βγ⊥，则γα// ④若α⊥a ，且β⊂a ，则βα⊥ 其中不对的有．（只填序号）DA BCEFGA BCDA1B1C1 D1NM PDCBA 三、解答题（共6小题，其中第17小题10分，其他各题12分，共70分）17．( 10分) 在正方体1111D C B A ABCD -中，且O 为底面正方形1111D C B A 的中心．（1）求证：⊥C A 1平面BD C 1； (2 ) 求证：AO ∥平面BD C 1．18．(12分) 已知P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，E 是PC 的中点，在DE 上任取一点F ，过点F 和AP 作平面交平面BDE 于FG , 求证：GF AP //.19．(12分) 如图，PA ⊥矩形ABCD 所在的平面，M 、N 分别是AB 、PC 的中点.（1）求证：//MN 平面PAD ；（2）求证：MN CD ⊥；（3）若4PDA π∠=，求证：MN ⊥平面PCD C20．( 12分) 如图，已知△ABC 是正三角形，EA 、CD 都垂直于平面ABC ，且 DC AB EA ==,F 是BE 的中点. (1)求证：//FD 平面ABC ； (2)求证：⊥AF 平面EDB ．1D 1C 1B 1A D CBAo21．（12分）如图，O 是正方形ABCD 的中心，⊥PO 底面ABCD ，E 是PC 的中点，且2=PO ，2=AB ．（1）求证：//PA 平面BDE ；（2）求证：平面⊥PAC 平面BDE ；（3）求二面角A BD E --的大小．22．（12分）如图，在矩形ABCD 中，33=AB ，3=BC ，沿对角线BD 将BCD ∆折起，使点C移到P 点，且P 在平面ABD 上的射影O 恰好落在AB 上. （1）求证：⊥PB 平面PAD ；（2）求证：平面PAD ⊥平面PBD ；（3）求点A 到平面PBD 的距离；（4）求直线AB 与平面PBD 所成角的正弦值．A B()P C DOAB CD。

人教新课标A版高中数学必修2第二章点、直线、平面之间的位置关系2.3直线、平面垂直的判定及其性质测试

人教新课标A版高中数学必修2 第二章点、直线、平面之间的位置关系 2.3直线、平面垂直的判定及其性质同步测试共 25 题一、单选题1、下列命题中错误的是（）A.如果α⊥β，那么α内一定存在直线平行于平面βB.如果α⊥β，那么α内所有直线都垂直于平面βC.如果平面α不垂直平面β，那么α内一定不存在直线垂直于平面βD.如果α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l，那么l⊥γ2、平面α，β及直线l满足：α⊥β，l∥α，则一定有（）A.l∥βB.l⊂βC.l与β相交D.以上三种情况都有可能3、在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=AB,,，将沿BD折起，使平面平面，构成三棱锥，则在三棱锥中，下列命题正确的是（）A.平面平面ABCB.平面平面BCDC.平面平面BCDD.平面平面ABC4、若a，b，c表示直线，α表示平面，下列条件中，能使a⊥α的是（）A.a⊥b，a⊥c，b⊂α，c⊂α，b∩c=AB.a⊥b，b∥αC.a∩b=A，b⊂α，a⊥bD.α∥b，b⊥a5、如图，已知四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD且PD=AD，则下列命题中错误的是（）A.过BD且与PC平行的平面交PA于M点，则M为PA的中点B.过AC且与PB垂直的平面交PB于N点，则N为PB的中点C.过AD且与PC垂直的平面交PC于H点，则H为PC的中点D.过P、B、C的平面与平面PAD的交线为直线l，则l∥AD6、在三棱锥A﹣BCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，△BCD是锐角三角形，那么必有（）A.平面ABD⊥平面ADCB.平面ABD⊥平面ABCC.平面ADC⊥平面BCDD.平面ABC⊥平面BCD7、ABCD为正方形，P为平面ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，则平面PAB与平面PBC，平面PAB与平面PAD的位置关系是（）A.平面PAB与平面PAD，PBC垂直B.它们都分别相交且互相垂直C.平面PAB与平面PAD垂直，与平面PBC相交但不垂直D.平面PAB与平面PBC垂直，与平面PAD相交但不垂直8、如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠DAB=60°．侧面PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，则下列说法错误的是（）A.在棱AD上存在点M，使AD⊥平面PMBB.异面直线AD与PB所成的角为90°C.二面角P﹣BC﹣A的大小为45°D.BD⊥平面PAC9、已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是（）A.α⊥β，且m⊂αB.m∥n，且n⊥βC.α⊥β，且m∥αD.m⊥n，且n∥β10、PA垂直于正方形ABCD所在平面，连接PB，PC，PD，AC，BD，则下列垂直关系正确的是（）①面PAB⊥面PBC②面PAB⊥面PAD③面PAB⊥面PCD④面PAB⊥面PAC．A.①②B.①③C.②③D.②④11、若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则（）A.α∥γB.α⊥γC.α与γ相交但不垂直D.以上都有可能12、如图所示，AB⊥平面BCD，∠BCD=90°则图中互相垂直的平面有（）A.3对B.2对C.1对D.4对13、已知PD⊥矩形ABCD所在的平面，图中相互垂直的平面有（）A.2对B.3对C.4对D.5对14、如图所示，点P在正方形ABCD所在平面外，PA⊥平面ABCD，PA=AB，则PB与AC所成的角是（）A.90°B.60°C.45°D.30°15、已知M是正四面体ABCD棱AB的中点，N是棱CD上异于端点C，D的任一点，则下列结论中，正确的个数有（）（1）MN⊥AB；（2）若N为中点，则MN与AD所成角为60°；（3）平面CDM⊥平面ABN；（4）不存在点N，使得过MN的平面与AC垂直．A.1B.2C.3D.4二、填空题16、如图，在△ABC中，∠BAC=90°，PA⊥面ABC，AB=AC，D是BC的中点，则图中直角三角形的个数是________17、已知矩形ABCD的边AB=a，BC=3，PA⊥平面ABCD，若BC边上有且只有一点M，使PM⊥DM，则a的值为________18、ABCD是矩形，AB=4，AD=3，沿AC将△ADC折起到△AD′C，使平面AD′C⊥平面△ABC，F是AD′的中点，E是AC上的一点，给出下列结论：①存在点E，使得EF∥平面BCD′；②存在点E，使得EF⊥平面ABD′；③存在点E，使得D′E⊥平面ABC；④存在点E，使得AC⊥平面BD′E．其中正确结论的序号是________ ．（写出所有正确结论的序号）19、把Rt△ABC沿斜边上的高CD折起使平面ADC⊥平面BDC，如图所示，互相垂直的平面有________ 对．20、如图所示，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱PA=a，PB=PD=a，则它的5个面中，互相垂直的面有________ 对．三、解答题21、三棱锥S﹣ABC中，SA⊥AB，SA⊥AC，AC⊥BC且AC=2，BC=， SB=．（1）证明：SC⊥BC；（2）求三棱锥的体积V S﹣ABC．22、如图，已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E、F分别是BC、PC的中点．（1）判定AE与PD是否垂直，并说明理由．（2）设AB=2，若H为PD上的动点，若△AHE面积的最小值为，求四棱锥P﹣ABCD的体积．23、如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB⊥平面PAC，∠APC=90°，E是AB的中点，M是CE的中点，N点在PB上，且4PN=PB．（Ⅰ）证明：平面PCE⊥平面PAB；（Ⅱ）证明：MN∥平面PAC．24、如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是菱形，AC=6，BD=8，E是PB上任意一点，△AEC面积的最小值是3．（Ⅰ）求证：AC⊥DE；（Ⅱ）求四棱锥P﹣ABCD的体积．25、已知三棱锥S﹣ABC，SC∥截面EFGH，AB∥截面EFGH．求证：截面EFGH是平行四边形．参考答案一、单选题1、【答案】B【解析】【解答】如果α⊥β，则α内与两平面的交线平行的直线都平行于面β，故可推断出A命题正确．B选项中α内与两平面的交线平行的直线都平行于面β，故B命题错误．C根据平面与平面垂直的判定定理可知C命题正确．D根据两个平面垂直的性质推断出D命题正确．故选B【分析】如果α⊥β，则α内与两平面的交线平行的直线都平行于面β，进而可推断出A命题正确；α内与两平面的交线平行的直线都平行于面β，故可判断出B命题错误；根据平面与平面垂直的判定定理可知C命题正确；根据两个平面垂直的性质推断出D命题正确．2、【答案】D【解析】【解答】∵平面α，β及直线l满足：α⊥β，l∥α，∴l∥β，l⊂β，l与β相交都有可能，故选D．【分析】利用条件，直接可以得出结论．3、【答案】D【解析】【解答】∵在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，∠BCD=45°，∠BAD=90°,∴BD⊥CD.又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD=BD.故CD⊥平面ABD，则CD⊥AB，又AD⊥AB,故AB⊥平面ADC，所以平面ABC⊥平面ADC．故选D．【分析】中档题，对于折叠问题，要特别注意“变”与“不变”的几何元素，及几何元素之间的关系。

高中数学必修2(人教A版)第二章几点、直线、平面的位置关系2.1知识点总结含同步练习及答案

描述：高中数学必修2(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案第二章点、直线、平面之间的位置关系 2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系一、学习任务理解空间点、线、面的位置关系，会用数学语言规范地表述空间点、线、面的位置关系；了解可以作为推理依据的公理和定理，能正确地判断空间线线、线面与面面的位置关系．二、知识清单平面的概念与基本性质点、线、面的位置关系三、知识讲解1.平面的概念与基本性质平面的概念生活中的一些物体通常呈平面形，课桌面、黑板面、海面都给我们以平面的形象．几何里所说的平面就是从这样的一些物体中抽象出来的，但是几何中的平面是没有厚度、无限延展的．平面的画法我们常常把水平的平面画成一个平行四边形，用平行四边形表示平面，平行四边形的锐角通常画为，且横边长等于其邻边长的倍．如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，我们常把被遮挡的部分用虚线画出来．平面的表示为了表示平面，常把希腊字母等等写在代表平面的平行四边形的一个角上，如平面、平面；也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称，如图中的平面可以表示为平面、平面或者平面．集合符号在立体几何中的应用以点作为元素，直线和平面都是由点构成的集合．几何中许多符号的规定都是源于将图形视为点集．例如：点在平面内，记作；点不在平面内，记作．直线在平面内，记作；直线不在平面内，记作；直线与相交于点，记作；平面与平面相交于直线，记作．平面的基本性质平面的基本性质是由三条公理描述的：公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．45∘2α,β,γαβABCD AC BD A αA ∈αA αA ∉αl αl ⊂αl αl ⊄αl m A l ∩m =A αβa α∩β=a A ∈l A ∈α例题：符号语言：，，且，．公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．推论1 经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面．推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面．公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．符号语言：，且，且．空间位置关系与几何量的基础平行公理平行于同一条直线的两条直线互相平行．等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．A∈l B∈l A∈αB∈α⇒l⊂αP∈αP∈β⇒α∩β=l P∈l用符号语言表示下列语句．（1）点在平面外，点在平面内，直线经过点，；（2）与交于，与交于．解：（1），，，．（2），．AαBαl A B平面ABD平面BCD BD平面ABC平面ADC ACa∉αB∈αA∈l B∈l平面ABD∩平面BCD=BD平面ABC∩平面ADC=AC如图所示，在四面体中，、、、分别是、、、上的点，且，求证，，三点共线．ABCD E F G H AB AD BC CDEF∩GH=PB D P2.点、线、面的位置关系证明：因为，，所以，同理，，又，所以，，而，所以，即，，三点共线．E ∈ABF ∈AD EF ⊂平面 ABD GH ⊂平面 BCD EF ∩GH =P P ∈平面 ABD P ∈平面 BCD 平面 ABD ∩平面 BCD =BD P ∈直线BD B D P 已知：如图，，，．求证：直线，，在同一平面内．证法一：（同一法）因为，所以和确定一个平面．　因为，所以．又因为，所以．同理可证．又，，所以．因此，直线，，在同一个平面内．证法二：（重合法）因为，所以，确定一个平面．因为，所以，确定一个平面．又因为，，所以．又，，所以．同理可证得，，，．所以不共线的三个点，，在平面内，又在平面内．所以平面和平面重合，即直线，，在同一平面内．∩=A l 1l 2∩=B l 2l 3∩=C l 1l 3l 1l 2l 3∩=A l 1l 2l 1l 2α∩=B l 2l 3B ∈l 2⊂αl 2B ∈αC ∈αB ∈l 3C ∈l 3⊂αl 3l 1l 2l 3∩=A l 1l 2l 1l 2α∩=B l 2l 3l 2l 3βA ∈l 2⊂αl 2A ∈αA ∈l 2⊂βl 2A ∈βB ∈αB ∈βC ∈αC ∈βA B C αβαβl 1l 2l 3结合空间想象回答下列问题：（1）个平面可以分空间为______部分；（2）个平面可以分空间为______部分；（3）正方体的各个面延伸后将空间分成______部分．解：（1），；（2），，，；（3）．对于（1）：当个平面平行时，分成部分；当两个面相交时，分成部分；对于（2）：当个平面两两平行时，分成部分；当其中两个平面平行，和另外一个平面相交或者三个平面相交于一条直线时，分成部分；当个平面两两相交且交线两两平行时，分成部分；当个平面两两相交且交线相交于一点时，分成部分；对于（3）：首先，将正方体的四个侧面延伸，可知将空间分成部分，然后，将正方体的上下底面延伸可知将之前部分分成了层，每层部分，共部分．233446782723434637389393×9=27若直线、、相交于一点，则这条直线可能确定的平面有（）A．个 B．个 C．无数个 D．个或个解：D当、、三线共面时，平面只有个；当三线不共面时，任意两条可确定一个平面，共个．a b c 30113a b c 13描述：例题：点与平面的位置关系平面内有无数个点，平面可以看成点的集合．点在平面内，记作；点不在平面内，记作．直线与直线的位置关系空间直线与直线的位置关系共有以下两种：共面直线在同一平面内的两条直线．更进一步，若这两条直线有且只有一个公共点，则称它们是相交直线，若这两条直线没有公共点，则称它们是平行直线；异面直线不同在任何一个平面内的两条直线．直线垂直如果两条直线所成的角是直角，那么我们就说这两条直线互相垂直，记作．在空间，两条直线垂直包括两种情形：共面垂直和异面垂直．直线与平面的位置关系空间直线与平面的位置关系共有以下三种：直线在平面内直线上的所有点都在平面内；直线与平面相交直线与平面有且仅有一个公共点；直线与平面平行直线与平面没有公共点．平面与平面的位置关系空间平面与平面的位置关系共有以下两种：平行两个平面没有公共点，则称这两个平面平行；相交两个平面有一条公共直线，则称这两个平面相交，此时这条公共直线称为这两个平面的交线．A αA ∈αA αA ∉αa ⊥b 如果在两个平面内分别各有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系是（）A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．垂直相交解：C可根据题意作图判断，如图所示，分别为两个平面平行、相交的情况．分别和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是（）A．相交 B．异面 C．异面或相交 D．平行解：C如图所示，可能相交，也可能异面，若两直线平行，则此两条直线确定一个平面，且原两条异面直线均在此平面内，故矛盾．四、课后作业（查看更多本章节同步练习题，请到快乐学）若直线不平行于平面，且，则（）A．内的所有直线与异面 B．内不存在与平行的直线 C．内存在唯一的直线与平行 D．内的直线与都相交解：B依题意，设直线，如图．内的直线若经过点，则与直线相交；若不经过点，则与直线是异面直线，但不可能与平行．l αl ⊄ααl αl αl αl l ∩α=A αA l A l l 答案：解析：1. 如图，在正方体中，是底面正方形的中心，是的中点，是上的动点，则直线、的位置关系是．A ．平行B ．相交C ．异面垂直D ．异面不垂直C和点确定平面，且平面，判定与平面的位置关系，只需判定直线的位置关系即可．ABCD −A 1B 1C 1D 1O ABCD M D D 1N A 1B 1NO AM ()A 1B 1O O A 1B 1NO ⊂O A 1B 1∴MA O A 1B 1NO 、AM 答案：2. 平行六面体中，既与共面也与共面的棱的条数为 A ．B ．C ．D ．C ABCD −A 1B 1C 1D 1AB C C 1()3456答案：3. 正方体中，、、分别是、、的中点．那么，正方体的过、、的截面图形是 A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．六边形D ABCD −A 1B 1C 1D 1P Q R AB AD B 1C 1P Q R ()4. 下列正方体或正四面体中，，，，分别是所在棱的中点，这四个点不共面的一个图是 P Q R S ()高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。

【人教A版】高中数学必修2教学同步讲练第二章《平面与平面之间的位置关系》练习题(含答案)

第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系2.1.4 平面与平面之间的位置关系A级基础巩固一、选择题1．与同一平面平行的两条直线()A．平行B．相交C．异面D．平行、相交或异面2．过平面外一条直线作平面的平行平面()A．必定可以并且只可以作一个B．至少可以作一个C．至多可以作一个D．一定不能作3．若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是()A．α内的所有直线均与a异面B．α内不存在与a平行的直线C．α内的直线均与a相交D．直线a与平面α有公共点4．与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是()A．都平行B．都相交C．在两平面内D．至少和其中一个平行5．平面α与平面β平行且a⊂α，下列三种说法：①a与β内的所有直线都平行；②a与β平行；③a与β内的无数条直线平行，其中正确的个数是()A．0 B．1C．2 D．3二、填空题6．在长方体ABCD-A1B1C1D1的六个表面与六个对角面(面AA1C1C、面ABC1D、面ADC1B1、面BB1D1D、面A1BCD1及面A1B1CD)所在的平面中，与棱AA1平行的平面共有________个．7．若a与b异面，则过a与b平行的平面有________个．8．若平面α与平面β平行，a⊂α，b⊂β，则a与b的位置关系是________．三、解答题9.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，指出B1C，D1B所在直线与正方体各面所在平面的位置关系．10.如图所示，ABCDA1B1C1D1是正方体，画出图中阴影部分的平面与平面ABCD的交线，并给出证明．B级能力提升1．已知a，b，c为三条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面．①a∥c，b∥c⇒a∥b；②a∥β，b∥β⇒a∥b；③a∥c，c∥α⇒a∥α；④a∥β，a∥α⇒α∥β；⑤a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α.其中正确的命题是()A．①⑤B．①②C．②④D．③⑤2．给出下列命题：①如果平面α与平面β相交，那么它们只有有限个公共点；②两个平面的交线可能是一条线段；③经过空间任意三点的平面有且只有一个；④如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面就重合为一个平面．其中正确命题的序号为________．3.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为B1C1，A1D1的中点．求证：平面ABB1A1与平面CDFE相交．参考答案第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系2.1.4 平面与平面之间的位置关系A级基础巩固一、选择题1．与同一平面平行的两条直线()A．平行B．相交C．异面D．平行、相交或异面解析：与同一平面平行的两条直线的位置关系有三种情况：平行、相交或异面．答案：D2．过平面外一条直线作平面的平行平面()A．必定可以并且只可以作一个B．至少可以作一个C．至多可以作一个D．一定不能作解析：因为直线在平面外包含两种情况：直线与平面相交和直线与平面平行．当直线与平面相交时，不能作出符合题意的平面；当直线与平面平行时，可作出唯一的一个符合题意的平面．答案：C3．若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是()A．α内的所有直线均与a异面B．α内不存在与a平行的直线C．α内的直线均与a相交D．直线a与平面α有公共点解析：若直线a不平行平面α，则a∩α＝A或a⊂α，故D项正确．答案：D4．与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是()A．都平行B．都相交C．在两平面内D．至少和其中一个平行解析：若该直线不属于任何一个平面，则其与两平面平行；若该直线属于其中一个平面，则其必和另一个平面平行．答案：D5．平面α与平面β平行且a⊂α，下列三种说法：①a与β内的所有直线都平行；②a与β平行；③a与β内的无数条直线平行，其中正确的个数是()A．0 B．1C．2 D．3解析：因为α∥β，a⊂α，所以a与β无公共点，所以a∥β，故②正确，所以a与β内的所有直线都没有公共点，所以a与β内的直线平行或异面，故①不正确，③正确．答案：C二、填空题6．在长方体ABCD-A1B1C1D1的六个表面与六个对角面(面AA1C1C、面ABC1D、面ADC1B1、面BB1D1D、面A1BCD1及面A1B1CD)所在的平面中，与棱AA1平行的平面共有________个．解析：如图所示，结合图形可知AA1∥平面BB1C1C，AA1∥平面DD1C1C，AA1∥平面BB1D1D.答案：37．若a与b异面，则过a与b平行的平面有________个．解析：当a与b异面时，如图，过a上任意一点M作b′∥b，则a与b′确定了唯一的平面α，且b∥α，故过a与b平行的平面有1个．答案：18．若平面α与平面β平行，a⊂α，b⊂β，则a与b的位置关系是________．解析：由两平面平行的定义可知，a与b没有公共点，所以a与b平行或异面．答案：平行或异面三、解答题9.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，指出B1C，D1B所在直线与正方体各面所在平面的位置关系．解：B1C所在直线与正方体各面所在平面的位置关系是：B1C是平面BB1C1C内，B1C∥平面AA1D1D，B1C与平面ABB1A1，平面CDD1C1，平面ABCD，平面A1B1C1D1都相交．D1B所在直线与正方体各面所在平面都相交．10.如图所示，ABCDA1B1C1D1是正方体，画出图中阴影部分的平面与平面ABCD的交线，并给出证明．证明：如图，过点E作EN⊥CD于点N，连接NB并延长，交EF的延长线于点M，连接AM，因为直线EN∥BF，所以B，N，E，F四点共面，因此EF与BN相交，交点为M.因为M∈EF，且M∈NB，而EF⊂平面AEF，NB⊂平面ABCD，所以M是平面ABCD与平面AEF的公共点．又因为点A是平面AEF和平面ABCD的公共点，所以AM为这两平面的交线．B级能力提升1．已知a，b，c为三条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面．①a∥c，b∥c⇒a∥b；②a∥β，b∥β⇒a∥b；③a∥c，c∥α⇒a∥α；④a∥β，a∥α⇒α∥β；⑤a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α.其中正确的命题是()A．①⑤B．①②C．②④D．③⑤解析：由公理4知①正确，由直线与平面平行的位置关系知⑤正确，从而选 A.其中②是错误的，因为平行于同一平面的两条直线可能平行、可能相交，也可能异面，③是错误的．因为当a∥c，c∥α时，可能a∥α，也可能a⊂α，对于④，α，β可能平行，也可能相交．答案：A2．给出下列命题：①如果平面α与平面β相交，那么它们只有有限个公共点；②两个平面的交线可能是一条线段；③经过空间任意三点的平面有且只有一个；④如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面就重合为一个平面．其中正确命题的序号为________．解析：两个平面相交，则两个平面就是一条公共的交线，故①②错误；若空间中的任意三点在一条直线上，则经过这三点就有无数个平面，故③错误；④是正确的．答案：④3.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为B1C1，A1D1的中点．求证：平面ABB1A1与平面CDFE相交．证明：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为B1C1的中点，所以EC与B1B不平行，则延长CE与BB1必须相交于一点H，所以H∈EC，H∈B1B.又知B1B⊂平面ABB1A1，CE⊂平面CDFE，所以H∈平面ABB1A1，H∈平面CDFE，故平面ABB1A1与平面CDFE相交．。

高一数学人教A版必修二《点、直线、平面之间的位置关系》课堂基础练习题组(含答案)

高一数学人教A版必修二第二章题组目录：点、直线、平面之间的位置关系 2.1.2点、直线、平面之间的位置关系 2.1.4点、直线、平面之间的位置关系 2.2.2点、直线、平面之间的位置关系 2.2.4点、直线、平面之间的位置关系 2.3.1点、直线、平面之间的位置关系 2.3.4《点、直线、平面之间的位置关系》单元测试题高一数学人教A版必修二第二章课堂基础练习题点、直线、平面之间的位置关系 2.1.2一、选择题(每小题5分，共20分)1.如图所示，在三棱锥S－MNP中，E、F、G、H分别是棱SN、SP、MN、MP的中点，则EF与HG的位置关系是()A．平行B．相交C．异面D．平行或异面2．如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中，AB与CD的位置关系为()A．相交B．平行C．异面而且垂直D．异面但不垂直3．下列命题中①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；②如果两条相交直线和另两条直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补；④如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行．正确的结论有()A．1个B．2个C．3个D．4个4．若P 是两条异面直线l ，m 外的任意一点，则( )A ．过点P 有且仅有一条直线与l ，m 都平行B ．过点P 有且仅有一条直线与l ，m 都垂直C ．过点P 有且仅有一条直线与l ，m 都相交D ．过点P 有且仅有一条直线与l ，m 都异面二、填空题(每小题5分，共15分)5．空间中有一个角∠A 的两边和另一个角∠B 的两边分别平行，∠A ＝70°，则∠B ＝________.6．如图所示，已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AD ，AA 1的中点．(1)直线AB 1和CC 1所成的角为________；(2)直线AB 1和EF 所成的角为________．7. 如右图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，①BM 与ED 平行；②CN 与BE 是异面直线；③CN 与BM 成60°的角；④DM 与BN 垂直．以上四种说法，正确说法的序号是________．三、解答题(每小题10分，共20分)8.如图所示，E 、F 分别是长方体A 1B 1C 1D 1－ABCD 的棱A 1A ，C 1C 的中点．求证：四边形B 1EDF 是平行四边形．9．在空间四边形ABCD 中，已知AD ＝1，BC ＝3，且AD ⊥BC ，BD ＝132，AC ＝32，求AC 和BD 所成的角．高一数学人教A版必修二第二章课堂基础练习题点、直线、平面之间的位置关系 2.1.4一、选择题(每小题5分，共20分)1．如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么两个平面的位置关系一定是()A．平行B．相交C．平行或相交D．不能确定2．如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面的位置关系为()A．平行B．相交C．直线在平面内D．平行或直线在平面内3．若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则()A．α内的所有直线与l异面B．α内不存在与l平行的直线C．α内存在唯一的直线与l平行D．α内的直线与l都相交4．已知直线m，n和平面α，m∥n，m∥α，过m的平面β与α相交于直线a，则n与a的位置关系是()A．平行B．相交C．异面D．以上均有可能二、填空题(每小题5分，共15分)5．下列命题：①两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合；②若l，m是异面直线，l∥α，m∥β，则α∥β.其中错误命题的序号为________．6．与空间四边形ABCD四个顶点距离相等的平面共有________个．7．下列命题正确的有________．①若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内；②若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；③若直线l与平面α相交，则l与平面α内的任意直线都是异面直线；④如果两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线一定与该平面相交；⑤若直线l与平面α平行，则l与平面α内的直线平行或异面；⑥若平面α∥平面β，直线a⊂α，直线b⊂β，则直线a∥b.三、解答题(每小题10分，共20分)8.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中M，N分别是A1B1和BB1的中点，则下列直线与平面的位置关系是什么？(1)AM所在的直线与平面ABCD的位置关系；(2)CN所在的直线与平面ABCD的位置关系；(3)AM所在的直线与平面CDD1C1的位置关系；(4)CN所在的直线与平面CDD1C1的位置关系．9.如图，已知平面α∩β＝l，点A∈α，点B∈α，点C∈β，且A∉l，B∉l，直线AB与l不平行，那么平面ABC与平面β的交线与l有什么关系？证明你的结论．高一数学人教A版必修二第二章课堂基础练习题点、直线、平面之间的位置关系 2.2.2一、选择题(每小题5分，共20分)1．若直线a与平面α平行，则必有()A．在α内不存在与a垂直的直线B．在α内存在与a垂直的唯一直线C．在α内有且只有一条直线与a平行D．在α内有无数条直线与a平行2若M、N分别是△ABC边AB、AC的中点，MN与过直线BC的平面β的位置关系是()A．MN∥βB．MN与β相交或MN⊂βC．MN∥β或MN⊂βD．MN∥β或MN与β相交或MN⊂β3．已知m、n、a、b是四条直线，α，β是两个平面．有以下命题：①m⊂α，n⊂α且直线m与n相交，a⊂β，b⊂β且直线a与b相交，m∥a，n∥b，则α∥β；②若m∥α，m∥β，则α∥β；③若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β.其中正确命题的个数是()A．0B．1C．2 D．34．已知两个不重合的平面α、β，给定以下条件：①α内不共线的三点到β的距离相等；②l，m是α内的两条直线，且l∥β，m∥β；③l，m是两条异面直线，且l∥α，l∥β，m∥α，m∥β.其中可以判定α∥β的是()A．①B．②C．①③D．③二、填空题(每小题5分，共15分)5.如图，P 为矩形ABCD 所在平面外一点，矩形对角线交点为O ，M 为PB 的中点，给出下列四个说法：①OM ∥面PCD ；②OM ∥面PBC ；③OM ∥面PDA ；④OM ∥面PBA .其中正确说法的个数是____________．6．a 、b 、c 为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合平面，现给出四个命题．① ⎭⎬⎫a ∥c b ∥c ⇒a ∥b ；② ⎭⎬⎫a ∥γb ∥γ⇒a ∥b ；③⎭⎬⎫a ∥γα∥γ⇒a ∥α； ④ ⎭⎬⎫α∥c a ∥c a ⊄α⇒a ∥α.其中正确的命题是________．(填序号)7．若夹在两个平面间的三条平行线段相等，那么这两个平面的位置关系为________．三、解答题(每小题10分，共20分)8．如图，已知P 是▱ABCD 所在平面外一点，M 为PB 的中点．求证：PD ∥平面MAC.9．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC，SC的中点．求证：(1)直线EG∥平面BDD1B1；(2)平面EFG∥平面BDD1B1.10.如图P为平行四边形ABCD所在平面外一点，Q为PA的中点，O为AC 与BD的交点，下面说法错误的是()A．OQ∥平面PCD B．PC∥平面BDQC．AQ∥平面PCD D．CD∥平面PAB11.如图所示的是正方体的平面展开图．有下列四个命题：①BM∥平面DE；②CN∥平面AF；③平面BDM∥平面AFN；④平面BDE∥平面NCF.其中，正确命题的序号是________．12.如图所示，三棱锥S －ABC 中，D ，E ，F 分别是棱AC ，BC ，SC 的中点．求证：平面DEF ∥平面SAB .13.在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，点D 为AC 的中点，点D 1是A 1C 1上的一点．(1)当A 1D 1D 1C 1等于何值时，BC 1∥平面AB 1D 1? (2)当BC 1∥平面AB 1D 1时，求证：平面BC 1D ∥平面AB 1D 1.高一数学人教A版必修二第二章课堂基础练习题点、直线、平面之间的位置关系 2.2.4一、选择题(每小题5分，共20分)1．若正方体ABCD－A1B1C1D1中，已知P，Q分别是棱AA1，CC1的中点，则过点B，P，Q的截面是()A．邻边不等的平行四边形B．菱形但不是正方形C．邻边不等的矩形D．正方形2．直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，则这n条直线中与直线a 平行的直线有()A．0条B．1条C．0或1条D．无数条3．已知平面α∥平面β，平面γ∩平面α＝直线a，平面γ∩平面β＝直线b，直线c⊂β，且c∥b，则下列说法不正确的是()A．c∥a B．a∥bC．b∥βD．c∥α4．已知a，b表示两条不同的直线，α，β表示两个不重合的平面，给出下列四个命题：①若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥b；②若a∥b，a∥α，b∥β，则α∥β；③若α∥β，a⊂α，则a∥β；④若a∥α，a∥β，则α∥β.其中正确的个数为()A．1 B．2C．3 D．4二、填空题(每小题5分，共15分)5．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱A1B1，B1C1的中点，P是棱AD上一点，AP＝13，过点P，E，F的平面与棱CD交于Q，则PQ＝________.6．如图所示，直线a∥平面α，点A在α另一侧，点B，C，D∈a.线段AB，AC，AD分别交α于点E，F，G.若BD＝4，CF＝4，AF＝5，则EG＝________.7．已知a，b表示两条直线，α，β，γ表示三个不重合的平面，给出下列命题：①若α∩γ＝a，β∩γ＝b，且a∥b，则α∥β；②若a，b相交且都在α，β外，a∥α，b∥α，a∥β，b∥β，则α∥β；③若a∥α，a∥β，则α∥β；④若a⊂α，a∥β，α∩β＝b，则a∥b.其中正确命题的序号是________．三、解答题(每小题10分，共20分)8．如图，几何体E－ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB＝CD，∠BCD＝120°，M为线段AE的中点．求证：DM∥平面BEC.9．如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M 是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：GH∥PA.10.如图，四棱锥S－ABCD的所有的棱长都等于2，E是SA的中点，过C，D，E三点的平面与SB交于点F，则四边形DEFC的周长为()A．2＋3B．3＋ 3C．3＋2 3 D．2＋2 311.如图，四边形ABCD是空间四边形，E、F、G、H分别是四边上的点，它们共面，并且AC∥平面EFGH，BD∥平面EFGH，AC＝m，BD＝n，则当四边形EFGH是菱形时，AE∶EB＝______________.12.如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，平面ABC∥平面A1B1C1.若D是棱CC1的中点，在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB1C1？并证明你的结论．13.如图所示，四边形EFGH为空间四面体ABCD的一个截面，若截面为平行四边形．(1)求证：AB∥平面EFGH，CD∥平面EFGH；(2)若AB＝4，CD＝6，求四边形EFGH周长的取值范围．高一数学人教A版必修二第二章课堂基础练习题点、直线、平面之间的位置关系 2.3.1一、选择题(每小题5分，共20分)1．如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况，能保证该直线与平面垂直的是()①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边．A．①③B．②C．②④D．①②④2．已知直线a∥直线b，b⊥平面α，则()A．a∥αB．a⊂αC．a⊥αD．a是α的斜线3.如图所示，如果MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA与BD的位置关系是()A．平行 B．垂直相交 C．垂直但不相交 D．相交但不垂直4.如图所示，ABCD－A1B1C1D1是正方体，则直线BA1与平面DD1B1B所成的角是()A．90° B．60° C．45°D．30°二、填空题(每小题5分，共15分)5．已知PA垂直于平行四边形ABCD所在的平面，若PC⊥BD，则平行四边形一定是________．6．矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，PA⊥平面ABCD，PA＝1，则PC与平面ABCD所成的角是________．7．在Rt △ABC 中，D 是斜边AB 的中点，AC ＝6，BC ＝8，EC ⊥平面ABC ，且EC ＝12，则ED ＝________.三、解答题(每小题10分，共20分)8.如图所示，在三棱锥P －ABC 中，PA ＝PB ＝PC .若点O 为△ABC 的外心，求证：PO ⊥平面ABC .9．如图所示，直角三角形ABC 的斜边AB 在平面α内，AC ，BC 与α所成的角分别为30°，45°，CD 是直角三角形斜边AB 上的高，求CD 与平面α所成的角．10.如图，四面体ABCD 的各棱长均相等，AD ⊥平面α于点A ，点B 、C 、D 均在平面α外，且在平面α的同一侧，线段BC 的中点为E ，则直线AE 与平面α所成角的正弦值为( )A.33 B.32 C.22 D.1211.如图，四棱锥S －ABCD 的底面为正方形，SD ⊥底面ABCD ，给出下列结论：①AC ⊥SB ；②AB ∥平面SCD ；③SA 与平面ABD 所成的角等于SC 与平面ABD 所成的角；④AC ⊥SO .正确结论的序号是________．12．如图，已知△ABC 是正三角形，EA 、CD 都垂直于平面ABC ，且EA ＝AB ＝2a ，DC ＝a ，F 是BE 的中点，求证：(1)FD ∥平面ABC ； (2)AF ⊥平面EDB .13．如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AB ＝BC ＝2，AD ＝CD ＝7，PA ＝3，∠ABC ＝120°，G 为线段PC 上的点．(1)证明：BD ⊥平面APC ；(2)若G 为PC 的中点，求DG 与平面APC 所成的角的正切值；(3)若G 满足PC ⊥平面BGD ，求PGGC 的值．高一数学人教A版必修二第二章课堂基础练习题点、直线、平面之间的位置关系 2.3.4一、选择题(每小题5分，共20分)1．若l，m，n表示不重合的直线，α表示平面，则下列说法中正确的个数为()①l∥m，m∥n，l⊥α⇒n⊥α；②l∥m，m⊥α，n⊥α⇒l∥n；③m⊥α，n⊂α⇒m⊥n.A．1B．2C．3 D．02．如果直线a与平面α不垂直，那么平面α内与直线a垂直的直线有() A．0条B．1条C．无数条D．任意条3．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是() A．AB∥m B．AC⊥mC．AB∥βD．AC⊥β4．线段AB的两端在直二面角α－l－β的两个面内，并与这两个面都成30°角，则异面直线AB与l所成的角是()A．30°B．45°C．60°D．75°二、填空题(每小题5分，共15分)5．已知平面α，β，γ，直线l，m满足：α⊥γ，γ∩α＝m，γ∩β＝l，l⊥m，那么可推出的结论有________．(请将你认为正确的结论的序号都填上)①m⊥β；②l⊥α；③β⊥γ；④α⊥β.6.如图，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，直线a⊂β，a⊥AB，则直线a与直线l的位置关系是________．7.如图，四面体P－ABC中，PA＝PB＝13，平面PAB⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AC＝8，BC＝6，则PC＝________.三、解答题(每小题10分，共20分)8.如图：三棱锥P－ABC中，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，△PAC是直角三角形，∠PAC＝90°，∠ACP＝30°，平面PAC⊥平面ABC.求证：平面PAB⊥平面PBC.9．如图所示，在三棱锥P－ABC中，PA＝BC＝3，PC＝AB＝5，AC＝4，PB＝34.(1)求证：PA⊥平面ABC；(2)过C作CF⊥PB交PB于F，在线段AB上找一点E，使得PB⊥平面CEF.10．如图所示，平面四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝2，BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体A－BCD，使平面ABD⊥平面BCD，则下列说法中不正确的是()A．平面ACD⊥平面ABD B．AB⊥CDC．平面ABC⊥平面ACD D．AB∥平面ABC11．设m，n为空间的两条直线，α，β为空间的两个平面，给出下列命题：①若m∥α，m∥β，则α∥β；②若m⊥α，m⊥β，则α∥β；③若m∥α，n∥α，则m∥n；④若m⊥α，n⊥α，则m∥n.上述命题中，其中假命题的序号是________．12.如图，△ABC是边长为2的正三角形．若AE＝1，AE⊥平面ABC，平面BCD⊥平面ABC，BD＝CD，且BD⊥CD.(1)求证：AE∥平面BCD；(2)求证：平面BDE⊥平面CDE.13.如图，在△ABC中，AC＝BC＝22AB，四边形ABED是边长为a的正方形，平面ABED⊥平面ABC，若G，F分别是EC，BD的中点．(1)求证：GF∥平面ABC；(2)求证：平面EBC⊥平面ACD；(3)求几何体A－DEBC的体积V.高一数学人教A版必修二《点、直线、平面之间的位置关系》单元测试题一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设直线m与平面α相交但不垂直，则下列说法中正确的是()A．在平面α内有且只有一条直线与直线m垂直B．过直线m有且只有一个平面与平面α垂直C．与直线m垂直的直线不可能与平面α平行D．与直线m平行的平面不可能与平面α垂直2．在空间四边形各边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果EF，GH交于一点P，则()A．P一定在直线BD上B．P一定在直线AC上C．P一定在直线AC或BD上D．P既不在直线AC上，也不在直线BD上3．设l为直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是()A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l⊥α，l⊥β，则α∥βC．若l⊥α，l∥β，则α∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β4．在等腰Rt△ABC中，AB＝BC＝1，M为AC的中点，沿BM把它折成二面角，折后A与C的距离为1，则二面角C－BM－A的大小为() A．30°B．60°C．90°D．120°5．如图所示，将无盖正方体纸盒展开，直线AB，CD在原正方体中的位置关系是()A．平行B．相交C ．异面D ．相交成60°6．已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β.直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，l ⊄α，l ⊄β，则( )A ．α∥β且l ∥αB ．α⊥β且l ⊥βC ．α与β相交，且交线垂直于lD ．α与β相交，且交线平行于l7.如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若E 是A 1C 1的中点，则直线CE 垂直于( )A ．ACB ．BDC ．A 1D D ．A 1D 18．已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则CD 与平面BDC 1所成角的正弦值等于( )A.23B.33C.23D.139．在矩形ABCD 中，若AB ＝3，BC ＝4，PA ⊥平面AC ，且PA ＝1，则点P 到对角线BD 的距离为( )A.292B.135C.175D.119510.如图，点P 是△ABC 所在平面外一点，PA ，PB ，PC 两两垂直，且PO ⊥平面ABC 于点O ，则点O 是△ABC 的( )A ．外心B ．内心C ．垂心D．重心二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)11．设α，β为不重合的两个平面，给出下列命题：①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；②若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行；③设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；④若l与α内的两条直线垂直，则直线l与α垂直．上面命题中，正确的序号是________．(写出所有正确命题的序号)12．在四面体A－BCD中，已知棱AC的长为2，其余各棱长都为1，则二面角A－CD－B的平面角的余弦值为________．13．如图所示，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，当底面四边形A1B1C1D1满足条件________时，有A1C⊥B1D1(注：填上你认为正确的一种情况即可，不必考虑所有可能的情况)．14．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A－BD－C，有如下四个结论：①AC⊥BD；②△ACD是等边三角形；③AB与平面BCD成60°的角；④AB与CD所成的角是60°.其中正确结论的序号是________．三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)如图，在三棱锥S－ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS＝AB.过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．求证：(1)平面EFG∥平面ABC；(2)BC⊥SA.16．(本小题满分12分)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点．(1)证明：BC1∥平面A1CD；(2)设AA1＝AC＝CB＝2，AB＝22，求三棱锥C－A1DE的体积．17．(本小题满分12分)如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，平面ABC∥平面A1B1C1，若D是棱CC1的中点，在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB1C1？证明你的结论．18．(本小题满分14分)如图所示，已知三棱锥P－ABC，∠ACB＝90°，CB＝4，AB＝20，D为AB的中点，且△PDB是正三角形，PA⊥PC.(1)求证：平面PAC⊥平面ABC；(2)求二面角D－AP－C的正弦值．参考答案(含题)高一数学人教A版必修二第二章课堂基础练习题点、直线、平面之间的位置关系 2.1.2一、选择题(每小题5分，共20分)1.如图所示，在三棱锥S－MNP中，E、F、G、H分别是棱SN、SP、MN、MP的中点，则EF与HG的位置关系是()A．平行B．相交C．异面D．平行或异面解析：∵E，F分别是SN和SP的中点，∴EF∥PN.同理可证HG∥PN，∴EF∥HG.答案： A2．如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中，AB与CD的位置关系为()A．相交B．平行C．异面而且垂直D．异面但不垂直解析：将展开图还原为正方体，如图所示．AB与CD所成的角为60°，故选D.答案： D3．下列命题中①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；②如果两条相交直线和另两条直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补；④如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行．正确的结论有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：对于①，这两个角也可能互补，故①错；对于②，正确；对于③，不正确，举反例：如右图所示，BC⊥PB，AC⊥PA，∠ACB的两条边分别垂直于∠APB的两条边，但这两个角既不一定相等，也不一定互补；对于④，由公理4可知正确．故②④正确，所以正确的结论有2个．答案： B4．若P是两条异面直线l，m外的任意一点，则()A．过点P有且仅有一条直线与l，m都平行B．过点P有且仅有一条直线与l，m都垂直C．过点P有且仅有一条直线与l，m都相交D．过点P有且仅有一条直线与l，m都异面解析：逐个分析，过点P与l，m都平行的直线不存在；过点P与l，m 都垂直的直线只有一条；过点P与l，m都相交的直线1条或0条；过点P与l，m都异面的直线有无数条．答案： B二、填空题(每小题5分，共15分)5．空间中有一个角∠A的两边和另一个角∠B的两边分别平行，∠A＝70°，则∠B＝________.解析：∵∠A的两边和∠B的两边分别平行，∴∠A＝∠B或∠A＋∠B＝180°.又∠A＝70°，∴∠B＝70°或110°.答案：70°或110°6．如图所示，已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AD，AA1的中点．(1)直线AB1和CC1所成的角为________；(2)直线AB1和EF所成的角为________．解析：(1)因为BB1∥CC1，所以∠AB1B即为异面直线AB1与CC1所成的角，∠AB1B＝45°.(2)连接B1C，易得EF∥B1C，所以∠AB1C即为直线AB1和EF所成的角．连接AC，则△AB1C为正三角形，所以∠AB1C＝60°.答案：(1)45°(2)60°7. 如右图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60°的角；④DM与BN垂直．以上四种说法，正确说法的序号是________．解析：把平面展开图折叠成正方体如图所示，由图可知：①BM与ED异面；②CN与BE平行；③∵AN∥BM，∴∠ANC为异面直线CN与BM所成的角，∠ANC＝60°；④BN⊥DM.答案：③④三、解答题(每小题10分，共20分)8.如图所示，E、F分别是长方体A1B1C1D1－ABCD的棱A1A，C1C的中点．求证：四边形B1EDF是平行四边形．证明：设Q是DD1的中点，连接EQ，QC1.∵E是AA1的中点，∴EQ綊A1D1.又在矩形A1B1C1D1中，A1D1綊B1C1，∴EQ綊B1C1(平行公理)．∴四边形EQC1B1为平行四边形．∴B1E綊C1Q.又∵Q，F是DD1，C1C两边的中点，∴QD綊C1F.∴四边形QDFC1为平行四边形．∴C1Q綊DF.又∵B1E綊C1Q，∴B1E綊DF.∴四边形B1EDF为平行四边形．9．在空间四边形ABCD中，已知AD＝1，BC＝3，且AD⊥BC，BD＝132，AC＝32，求AC和BD所成的角．解析：如图，取AB，CD，AD，AC的中点E，G，F，H，连接EF，FG，GE，EH，HG，则∠EFG(或其补角)为BD与AC所成的角，且EF＝12BD＝134，FG＝12AC＝34，EH∥BC，HG∥AD.∵AD⊥BC，∴EH⊥HG.∴EG2＝EH2＋HG2＝1.在△EFG中，EG2＝EF2＋FG2＝1，∴∠EFG＝90°，∴AC与BD所成的角是90°.高一数学人教A版必修二第二章课堂基础练习题点、直线、平面之间的位置关系 2.1.4一、选择题(每小题5分，共20分)1．如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么两个平面的位置关系一定是()A．平行B．相交C．平行或相交D．不能确定解析：如下图所示：由图可知，两个平面平行或相交．答案： C2．如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面的位置关系为()A．平行B．相交C．直线在平面内D．平行或直线在平面内解析：由面面平行的定义可知，若一条直线在两个平行平面中的一个平面内，则这条直线与另一个平面无公共点，所以与另一个平面平行．由此可知，本题中这条直线可能在平面内．否则此直线与另一个平面平行(因为若一条直线与两个平行平面中的一个平面相交，则必然与另一个平面相交)．答案： D3．若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则()A．α内的所有直线与l异面B．α内不存在与l平行的直线C．α内存在唯一的直线与l平行D．α内的直线与l都相交解析：若在平面α内存在与直线l平行的直线，因l⊄α，故l∥α，这与题意矛盾．答案： B4．已知直线m，n和平面α，m∥n，m∥α，过m的平面β与α相交于直线a，则n与a的位置关系是()A．平行B．相交C．异面D．以上均有可能解析：由线面平行的性质知m∥a，而m∥n，所以n∥a.答案： A二、填空题(每小题5分，共15分)5．下列命题：①两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合；②若l，m是异面直线，l∥α，m∥β，则α∥β.其中错误命题的序号为________．解析：对于①，两个平面相交，则有一条交线，也有无数多个公共点，故①错误；对于②，借助于正方体ABCD－A1B1C1D1，AB∥平面DCC1D1，B1C1∥平面AA1D1D，又AB与B1C1异面，而平面DCC1D1与平面AA1D1D相交，故②错误．答案：①②6．与空间四边形ABCD四个顶点距离相等的平面共有________个．解析：A，B，C，D四个顶点在平面α的异侧，如果一边3个，另一边1个，适合题意的平面有4个；如果每边2个，适合题意的平面有3个，共7个．答案：77．下列命题正确的有________．①若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内；②若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；③若直线l与平面α相交，则l与平面α内的任意直线都是异面直线；④如果两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线一定与该平面相交；⑤若直线l与平面α平行，则l与平面α内的直线平行或异面；⑥若平面α∥平面β，直线a⊂α，直线b⊂β，则直线a∥b.解析：对②，直线l也可能与平面相交；对③，直线l与平面内不过交点的直线是异面直线，而与过交点的直线相交；对④，另一条直线可能在平面内，也可能与平面平行；对⑥，两平行平面内的直线可能平行，也可能异面．故①⑤正确．答案：①⑤三、解答题(每小题10分，共20分)8.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中M，N分别是A1B1和BB1的中点，则下列直线与平面的位置关系是什么？(1)AM所在的直线与平面ABCD的位置关系；(2)CN所在的直线与平面ABCD的位置关系；(3)AM所在的直线与平面CDD1C1的位置关系；(4)CN所在的直线与平面CDD1C1的位置关系．解析：(1)AM所在的直线与平面ABCD相交；(2)CN所在的直线与平面ABCD相交；(3)AM所在的直线与平面CDD1C1平行；(4)CN所在的直线与平面CDD1C1相交．9.如图，已知平面α∩β＝l，点A∈α，点B∈α，点C∈β，且A∉l，B∉l，直线AB与l不平行，那么平面ABC与平面β的交线与l有什么关系？证明你的结论．解析：平面ABC与β的交线与l相交．证明：∵AB与l不平行，且AB⊂α，l⊂α，∴AB与l一定相交，设AB∩l＝P，则P∈AB，P∈l.又∵AB⊂平面ABC，l⊂β，∴P∈平面ABC，P∈β.∴点P是平面ABC与β的一个公共点，而点C也是平面ABC与β的一个公共点，且P，C是不同的两点，∴直线PC就是平面ABC与β的交线．即平面ABC∩β＝PC，而PC∩l＝P，∴平面ABC与β的交线与l相交．高一数学人教A版必修二第二章课堂基础练习题点、直线、平面之间的位置关系 2.2.2一、选择题(每小题5分，共20分)1．若直线a与平面α平行，则必有()A．在α内不存在与a垂直的直线B．在α内存在与a垂直的唯一直线C．在α内有且只有一条直线与a平行D．在α内有无数条直线与a平行解析：对选项A、B，显然没有考虑异面垂直的情形，实际上，在α内会存在无数条与a垂直的直线，且它们相互平行．据平行公理知在α内有无数条直线与a平行，故选项C错D正确，故选D.答案： D2．(2015·北京市房山区高二(上)期中)若M、N分别是△ABC边AB、AC的中点，MN与过直线BC的平面β的位置关系是()A．MN∥βB．MN与β相交或MN⊂βC．MN∥β或MN⊂βD．MN∥β或MN与β相交或MN⊂β解析：MN是△ABC的中位线，所以MN∥BC，因为平面β过直线BC，若平面β过直线MN，则MN⊂β.若平面β不过直线MN，由线线平行的判定定理MN∥β，故选C.答案： C3．已知m、n、a、b是四条直线，α，β是两个平面．有以下命题：①m⊂α，n⊂α且直线m与n相交，a⊂β，b⊂β且直线a与b相交，m∥a，n∥b，则α∥β；②若m∥α，m∥β，则α∥β；③若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β.其中正确命题的个数是()A．0B．1C．2 D．3解析：把符号语言转换为文字语言或图形语言，可知①正确；②③中平面α、β还有可能相交，所以选B.答案： B4．已知两个不重合的平面α、β，给定以下条件：①α内不共线的三点到β的距离相等；②l，m是α内的两条直线，且l∥β，m∥β；③l，m是两条异面直线，且l∥α，l∥β，m∥α，m∥β.其中可以判定α∥β的是()A．①B．②C．①③D．③解析：①中，若三点在平面β的两侧，则α与β相交，故不正确．②中，α与β也可能相交．③中，若把两异面直线l、m平移到一个平面内，即为两相交直线，由判定定理知正确．答案： D二、填空题(每小题5分，共15分)5.如图，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为O，M为PB 的中点，给出下列四个说法：①OM∥面PCD；②OM∥面PBC；③OM∥面PDA；④OM∥面PBA.其中正确说法的个数是____________．解析：∵OM∥PD，OM⊄面PCD，OM⊄面PAD，∴OM∥面PCD，OM∥面PAD.答案： 26．a 、b 、c 为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合平面，现给出四个命题．① ⎭⎬⎫a ∥c b ∥c ⇒a ∥b ；② ⎭⎬⎫a ∥γb ∥γ⇒a ∥b ；③⎭⎬⎫a ∥γα∥γ⇒a ∥α； ④ ⎭⎬⎫α∥c a ∥c a ⊄α⇒a ∥α.其中正确的命题是________．(填序号)解析： ①显然正确；②中a ，b 还可能异面或相交；③忽略了a ⊂α的情形；④显然正确．答案： ①④7．若夹在两个平面间的三条平行线段相等，那么这两个平面的位置关系为________．解析：如图．AB ∥CD ∥EF 且AB ＝CD ＝EF ，则α∥β或α∩β＝l .答案：平行或相交三、解答题(每小题10分，共20分)8．如图，已知P 是▱ABCD 所在平面外一点，M 为PB 的中点．求证：PD ∥平面MAC.证明：连接BD 与AC 相交于点O ，连接MO ，∵O为BD的中点，又M为PB的中点，∴MO∥PD.又∵MO⊂平面MAC，PD⊄平面MAC，∴PD∥平面MAC.9．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC，SC的中点．求证：(1)直线EG∥平面BDD1B1；(2)平面EFG∥平面BDD1B1.证明：(1)如图，连接SB，∵E，G分别是BC，SC的中点，∴EG∥SB.又∵SB⊂平面BDD1B1，EG⊄平面BDD1B1，∴直线EG∥平面BDD1B1.(2)连接SD，∵F，G分别是DC，SC的中点，∴FG∥SD.。

高中数学人教A版2019必修第二册空间点直线平面之间的位置关系同步练习(解析版)

8.4.2空间点、直线、平面之间的位置关系基础巩固1.一条直线与两条平行线中的一条成为异面直线,则它与另一条()A.相交B.异面C.相交或异面D.平行2.已知异面直线a,b分别在平面α,β内,且α∩β=c,那么直线c一定()A.与a,b都相交B.只能与a,b中的一条相交C.至少与a,b中的一条相交D.与a,b都平行3.下列命题中正确的个数是()①若直线l上有无数个点不在平面α内,则l∥α②若直线l与平面α平行,则l与平面α内的任意一条直线平行③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行④若直线l与平面α平行,则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点A.0B.1C.2D.34.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AB,CC1的中点,在平面ADD1A1内且与平面D1EF平行的直线()A.不存在B.有1条C.有2条D.有无数条5.已知直线l和平面α,无论直线l与平面α具有怎样的位置关系,在平面α内总存在一条直线与直线l()A.相交B.平行C.垂直D.异面6.若a,b是两条异面直线,且a∥平面α,则b与α的位置关系是.7.如图的直观图,用符号语言表述为(1),(2).8.如图,正方体ABCD A1B1C1D1中,M,N分别是A1B1,B1C1的中点,问(1)AM和CN是否是异面直线?(2)D1B和CC1是否是异面直线?说明理由.能力提升9.若平面α∥β,直线a⊂α,点B∈β,则在β内过点B的所有直线中()A.不一定存在与a平行的直线B.只有两条直线与a平行C.存在无数条直线与a平行D.存在唯一一条与a平行的直线10.已知下列说法:①若两个平面α∥β,a⊂α,b⊂β,则a∥b;②若两个平面α∥β,a⊂α,b⊂β,则a与b是异面直线;③若两个平面α∥β,a⊂α,b⊂β,则a与b一定不相交;④若两个平面α∥β,a⊂α,b⊂β,则a与b平行或异面;⑤若两个平面α∩β=b,a⊂α,则a与β一定相交.其中正确的序号是.(将你认为正确的序号都填上)11.如图,平面α,β,γ满足α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b,判断a与b,a与β的关系并证明你的结论.素养达成12.如图所示,已知平面α∩β=l,点A∈α,点B∈α,点C∈β,且A∉l,B∉l,C∉l,直线AB与l不平行,那么平面ABC 与平面β的交线与l有什么关系?证明你的结论.8.4.2空间点、直线、平面之间的位置关系基础巩固答案1.一条直线与两条平行线中的一条成为异面直线,则它与另一条()A.相交B.异面C.相交或异面D.平行【答案】C【解析】一条直线与两条平行线中的一条异面,则它与另一条可能相交,也可能异面.故选C.2.已知异面直线a,b分别在平面α,β内,且α∩β=c,那么直线c一定()A.与a,b都相交B.只能与a,b中的一条相交C.至少与a,b中的一条相交D.与a,b都平行【答案】C【解析】如图,a′与b异面,但a′∥c,故A错;a与b异面,且都与c相交,故B错;若a∥c,b∥c,则a∥b,与a,b异面矛盾,故D错.3.下列命题中正确的个数是()①若直线l上有无数个点不在平面α内,则l∥α②若直线l与平面α平行,则l与平面α内的任意一条直线平行③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行④若直线l与平面α平行,则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点A.0B.1C.2D.3【答案】B【解析】对于①,当直线l与α相交时,直线l上有无数个点不在平面α内,故①不正确;对于②,直线l与平面α平行时,l与平面α内的直线平行或异面,故②不正确:对于③,当两条平行直线中的一条与一个平面平行时,另一条与这个平面可能平行,也有可能在这个平面内,故③不正确;对于④,由线面平行的定义可知④正确.4.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AB,CC1的中点,在平面ADD1A1内且与平面D1EF平行的直线()A.不存在B.有1条C.有2条D.有无数条【答案】D【解析】由题设知平面ADD1A1与平面D1EF有公共点D1,由平面的基本性质中的公理知必有过该点的公共直线l,在平面ADD1A1内与l平行的直线有无数条,且它们都不在平面D1EF内,则它们都与平面D1EF平行,故选D.5.已知直线l和平面α,无论直线l与平面α具有怎样的位置关系,在平面α内总存在一条直线与直线l()A.相交B.平行C.垂直D.异面【答案】C【解析】当直线l与平面α平行时,在平面α内至少有一条直线与直线l垂直;当直线l⊂平面α时,在平面α内至少有一条直线与直线l垂直;当直线l与平面α相交时,在平面α内至少有一条直线与直线l垂直,所以无论直线l与平面α具有怎样的位置关系,在平面α内总存在一条直线与直线l垂直.故选C.6.若a,b是两条异面直线,且a∥平面α,则b与α的位置关系是.【答案】b与α平行或相交或b在α内【解析】如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,设平面ABCD为α,A1B1为a,则a∥α,当分别取EF,BC1,BC为b 时,均满足a与b异面,于是b∥α,b∩α=B,b⊂α(其中E,F为棱的中点).7.如图的直观图,用符号语言表述为(1),(2).【答案】(1)a∩b=P,a∥平面M,b∩平面M=A;(2)平面M∩平面N=l,a∩平面N=A,a∥平面M【解析】(1)a∩b=P,a∥平面M,b∩平面M=A(2)平面M∩平面N=l,a∩平面N=A,a∥平面M8.如图,正方体ABCD A1B1C1D1中,M,N分别是A1B1,B1C1的中点,问(1)AM和CN是否是异面直线?(2)D1B和CC1是否是异面直线?说明理由.【答案】(1) 不是异面直线;(2)是异面直线,证明见解析.【解析】由于M,N分别是A1B1和B1C1的中点,可证明MN∥AC,因此AM与CN不是异面直线.由空间图形可感知D1B和CC1为异面直线的可能性较大,判断的方法可用反证法.(1)不是异面直线.理由:因为M,N分别是A1B1,B1C1的中点,所以MN∥A1C1.又因为A1A C1C,所以A1ACC1为平行四边形.所以A1C1∥AC,得到MN∥AC,所以A,M,N,C在同一个平面内, 故AM和CN不是异面直线.(2)是异面直线,证明如下:假设D1B与CC1在同一个平面CC1D1D内,则B∈平面CC1D1D,C∈平面CC1D1D.所以BC⊂平面CC1D1D,这与ABCD A1B1C1D1是正方体相矛盾.所以假设不成立,故D1B与CC1是异面直线.能力提升9.若平面α∥β,直线a⊂α,点B∈β,则在β内过点B的所有直线中()A.不一定存在与a平行的直线B.只有两条直线与a平行C.存在无数条直线与a平行D.存在唯一一条与a平行的直线【答案】D【解析】因为α∥β,B∈β,所以B∉α.因为a⊂α,所以B,a可确定平面γ且γ∩α=a,设γ与β交过点B的直线为b,则a∥b.因为a,B在同一平面γ内.所以b唯一,即存在唯一一条与a平行的直线.10.已知下列说法:①若两个平面α∥β,a⊂α,b⊂β,则a∥b;②若两个平面α∥β,a⊂α,b⊂β,则a与b是异面直线;③若两个平面α∥β,a⊂α,b⊂β,则a与b一定不相交;④若两个平面α∥β,a⊂α,b⊂β,则a与b平行或异面;⑤若两个平面α∩β=b,a⊂α,则a与β一定相交.其中正确的序号是.(将你认为正确的序号都填上)【答案】③④【解析】①错.a与b也可能异面.②错.a与b也可能平行.③对.因为α∥β,所以α与β无公共点.又因为a⊂α,b⊂β,所以a与b无公共点.④对.由③知a与b无公共点,那么a∥b或a与b异面.⑤错.a与β也可能平行.11.如图,平面α,β,γ满足α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b,判断a与b,a与β的关系并证明你的结论.【答案】a,b无公共点, a∥β,证明见解析.【解析】a∥b,a∥β,理由:由α∩γ=a知a⊂α且a⊂γ,由β∩γ=b知b⊂β且b⊂γ,因为α∥β,a⊂α,b⊂β,所以a,b无公共点.又因为a⊂γ,且b⊂γ,所以a∥b.因为α∥β,所以α与β无公共点,又a⊂α,所以a与β无公共点,所以a∥β.素养达成12.如图所示,已知平面α∩β=l,点A∈α,点B∈α,点C∈β,且A∉l,B∉l,C∉l,直线AB与l不平行,那么平面ABC 与平面β的交线与l有什么关系?证明你的结论.【答案】平面ABC与β的交线与l相交,证明见解析.【解析】平面ABC与β的交线与l相交.证明:因为AB与l不平行,且AB⊂α,l⊂α,所以AB与l一定相交,设AB∩l=P,则P∈AB,P∈l.又因为AB⊂平面ABC,l⊂β,所以P∈平面ABC,P∈β.所以点P是平面ABC与β的一个公共点,而点C也是平面ABC与β的一个公共点,且P,C是不同的两点,所以直线PC就是平面ABC与β的交线.即平面ABC∩β=PC,而PC∩l=P,所以平面ABC与β的交线与l相交.。

高中数学必修2(人教A版)第二章几点、直线、平面的位置关系2.3知识点总结含同步练习及答案

描述：高中数学必修2(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案第二章点、直线、平面之间的位置关系 2.3 直线、平面垂直的判定及其性质一、学习任务认识和理解空间中线面垂直的有关判定定理和性质定理，能用图形语言和符号语言表述这些定理，并能证明有关性质定理；能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题．二、知识清单空间的垂直关系点面距离三、知识讲解1.空间的垂直关系直线与平面垂直的判定如果直线与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线与平面互相垂直．记作．直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点叫做垂足．直线与平面垂直的判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．用符号表示：，，，，．平面与平面垂直的判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．用符号表示：，．l αl αl ⊥αl ααl P a b ⊂αa ∩b =P l ⊥a l ⊥b ⇒l ⊥αl ⊥αl ⊂β⇒α⊥β例题：直线与平面垂直的性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行．用符号表示：，．平面与平面垂直的性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．用符号来表示：，，，．a ⊥αb ⊥α⇒a ||b α⊥βα∩β=CD AB ⊂αAB ⊥CD ⇒AB ⊥β下列命题中，正确的序号是______．①若直线与平面内的无数条直线垂直，则；②若直线与平面内的一条直线垂直，则；③若直线不垂直于平面，则内没有与垂直的直线；④若直线不垂直于平面，则内也可以有无数条直线与垂直；⑤过一点与已知平面垂直的直线有且只有一条．解：④⑤当直线与平面内的无数条平行直线垂直时，与不一定垂直，所以①不正确；当与内的一条直线垂直时，不能保证与平面垂直，所以②不正确；当与不垂直时，可能与内的无数条平行直线垂直，所以③不正确，④正确；过一点有且只有一条直线垂直于已知平面，所以⑤正确．故填④⑤．l αl ⊥αl αl ⊥αl ααl l ααl l αl αl αl αl αl α如图，三棱锥中，，底面的斜边为，为上一点．求证：．证明：因为，，所以．又，，所以．又，所以．P −ABC P A ⊥平面 ABC Rt△ABC AB F P C BC ⊥AF P A ⊥平面 ABC BC ⊂平面 ABC P A ⊥BC AC ⊥BC AC ∩P A =A BC ⊥平面 P AC AF ⊂平面 P AC BC ⊥AF 如图，已知四棱锥，底面是菱形，，，，点为的中点．求证：．P −ABCD ABCD ∠DAB =60∘P D ⊥平面 ABCD P D =AD E AB 平面P ED ⊥平面 P ABAB⊂平面P AB又，所以3P C⊥AC C，求点到平面P A⊥ABCD高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。

人教新课标A版高中数学必修2第二章点、直线、平面之间的位置关系2.2直线、平面平行的判定及其性质测试

人教新课标A版高中数学必修2第二章点、直线、平面之间的位置关系 2.2直线、平面平行的判定及其性质同步测试共 25 题一、单选题1、如图是长方体被一平面所截得到的几何体，四边形EFGH为截面，长方形ABCD为底面，则四边形EFGH的形状为( )A.梯形B.平行四边形C.可能是梯形也可能是平行四边形D.不确定2、若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则（）A.α内存在直线与l异面B.α内存在与l平行的直线C.α内存在唯一的直线与l平行D.α内的直线与l都相交3、若正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD成60°角，则A1C1到底面ABCD的距离为（）A. B.1C. D.4、已知直线l及两个平面α、β，下列命题正确的是（）A.若l∥α，l∥β，则α∥βB.若l∥α，l∥β，则α⊥βC.若l⊥α，l⊥β，则α∥βD.若l⊥α，l⊥β，则α⊥β5、已知平面α∥平面β，P是α，β外一点，过点P的直线m与α，β分别交于点A，C，过点P的直线n与α，β分别交于点B，D，且PA=6，AC=9，PD=8，则BD的长为（）A. B.C.或24D.或126、下列条件中，能判断两个平面平行的是（）A.一个平面内的一条直线平行于另一个平面B.一个平面内的两条直线平行于另一个平面C.一个平面内有无数条直线平行于另一个平面D.一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面7、已知平面α∥平面β，直线m⊂α，直线n⊂β，点A∈m，点B∈n，记点A、B之间的距离为a，点A到直线n的距离为b，直线m和n的距离为c，则（）A.b≤a≤cB.a≤c≤bC.c≤a≤bD.c≤b≤a8、已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A.若m∥α，n∥α，则m∥nB.若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC.若m∥α，m∥β，则α∥βD.若m⊥α，n⊥α，则m∥n9、A是平面BCD外一点，E，F，G分别是BD，DC，CA的中点，设过这三点的平面为α，则在直线AB，AC，AD，BC，BD，DC中，与平面α平行的直线有（）A.0条B.1条C.2条D.3条10、若M、N分别是△ABC边AB、AC的中点，MN与过直线BC的平面β的位置关系是（）A.MN∥βB.MN与β相交或MN⊊βC.MN∥β或MN⊊βD.MN∥β或MN与β相交或MN⊊β11、点 E，F，G，H分别为空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，AD的中点，则四边形EFGH是（）A.菱形B.梯形C.正方形D.平行四边形12、给出下列命题：（1）平行于同一直线的两个平面平行（2）平行于同一平面的两个平面平行（3）垂直于同一直线的两直线平行（4）垂直于同一平面的两直线平行其中正确命题的序号为（）A.（1）（2）B.（3）（4）C.（2）（4）D.（1）（3）13、如图，下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形序号是（）A.①②B.③④C.②③D.①④14、已知a，b是空间中两不同直线，α，β是空间中两不同平面，下列命题中正确的是（）A.若直线a∥b，b⊂α，则a∥αB.若平面α⊥β，a⊥α，则a∥βC.若平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥bD.若a⊥α，b⊥β，a∥b，则α∥β④平面PAE⊥平面ABC．、已知m、n是两条不重合的直线，1AP= ，过、如图四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD 、如图所示，在三棱锥A﹣BCD中，________ 时，四边形EFGH为菱形．三、解答题21、如图所示，在棱长为2cm的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1B1的中点是P，过点A1作出与截面PBC1平行的截面，简单证明截面形状，并求该截面的面积．22、如图，在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1， E，F，P，Q分别是BC，C1D1， AD1， BD的中点，求证：（1）PQ∥平面DCC1D1（2）EF∥平面BB1D1D．23、求证：夹在两个平行平面间的平行线段相等．24、如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AC⊥BC，E、F分别在线段B1C1和AC上，B1E=3EC1，AC=BC=CC1=4（1）求证：BC⊥AC1；（2）试探究满足EF∥平面A1ABB1的点F的位置，并给出证明．25、直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=5，AC=4，BC=3，AA1=4，D是AB的中点．（Ⅰ）求证：AC⊥B1C；（Ⅱ）求证：AC1∥平面B1CD参考答案一、单选题1、【答案】B【解析】【解答】因为，长方体中相对的平面互相平行，所以，被平面截后，EF,GH平行且相等，GF,EH平行且相等，故四边形的形状为平行四边形，选B。

高中数学章末检测卷(二)点、直线、平面之间的位置关系新人教A版必修2-新人教A版高一必修2数学试

章末检测卷(二)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题1.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线AC与直线BC1所成的角为( )A.30°B.60°C.90°D.45°解析连接A1C1，A1B，则AC∥A1C1，因为△A1BC1是正三角形，所以∠A1C1B＝60°，即直线AC 与直线BC1所成的角为60°.答案 B2.设a、b为两条直线，α、β为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是( )A.若a、b与α所成的角相等，则a∥bB.若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥bC.若a⊂α，b⊂β，a∥b，则a∥βD.若a⊥α，b⊥β，α⊥β，则a⊥b解析A中a、b可以平行、相交或异面；B中a、b可以平行、相交或异面；C中的α、β可以平行或相交.答案 D3.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面( )A.若m∥α，n∥α，则m∥nB.若m∥α，m∥β，则α∥βC.若m∥n，m⊥α，则n⊥αD.若m∥α，α⊥β，则m⊥β解析A项，当m∥α，n∥α时，m，n可能平行，可能相交，也可能异面，故错误；B项，当m∥α，m∥β时，α，β可能平行也可能相交，故错误；C项，当m∥n，m⊥α时，n⊥α，故正确；D项，当m∥α，α⊥β时，m可能与β平行，可能在β内，也可能与β相交，故错误.故选C.答案 C4.如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC中点，则下列叙述正确的是( )1与B1E是异面直线B.AC⊥平面ABB1A1C.AE，B1C1为异面直线，且AE⊥B1C1D.A1C1∥平面AB1E解析由已知AC＝AB，E为BC中点，故AE⊥BC，又∵BC∥B1C1，∴AE⊥B1C1，C正确.答案 C5.设l为直线，α，β是两个不同的平面.下列命题中正确的是( )A.若l∥α，l∥β，则α∥βB.若l⊥α，l⊥β，则α∥βC.若l⊥α，l∥β，则α∥βD.若α⊥β，l∥α，则l⊥β解析选项A，若l∥α，l∥β，则α和β可能平行也可能相交，故错误；选项B，若l⊥α，l⊥β，则α∥β，故正确；选项C，若l⊥α，l∥β，则α⊥β，故错误；选项D，若α⊥β，l∥α，则l与β的位置关系有三种可能：l⊥β，l∥β，l⊂β，故错误.故选B.答案 B6.(2015·某某高考)已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是( )A.若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B.若m，n平行于同一平面，则m与n平行C.若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D.若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面解析对于A，α，β垂直于同一平面，α，β关系不确定，A错；对于B，m，n平行于同一平面，m，n关系不确定，可平行、相交、异面，故B错；对于C，α，β不平行，但α内能找出平行于β的直线，如α中平行于α，β交线的直线平行于β，故C错；对于D，若假设m，n垂直于同一平面，则m∥n，其逆否命题即为D选项，故D正确.答案 D7.(2014·某某高考)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面.( )A.若m⊥n，n∥α，则m⊥αB.若m∥β，β⊥α，则m⊥αC.若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥αD.若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α解析选项A，若m⊥n，n∥α，则m⊂α或m∥α或m与α相交，错误；选项B，若m∥β，β⊥α，则m⊂α或m∥α或m与α相交，错误；选项C，若m⊥β，n⊥β，可得m∥n，又n⊥α，则m⊥α，正确；选项D，若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m与α相交或m⊂α或m ∥α，错误.答案 C8.如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，正方体的六个面所在的平面与直线CE，EF相交的平面个数分别记为m，n，那么m＋n＝( )A.8B.9C.10D.11解析取CD的中点H，连接EH，HF.在四面体CDEF中，CD⊥EH，CD⊥FH，所以CD⊥平面EFH，所以AB⊥平面EFH，所以正方体的左、右两个侧面与EF平行，其余4个平面与EF相交，即n＝4.又因为CE与AB在同一平面内，所以CE与正方体下底面共面，与上底面平行，与其余四个面相交，即m＝4，所以m＋n＝4＋4＝8.答案 A9.正方体ABCD－A1B1C1D1中，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H.以下结论中，错误的是( )A.点H是△A1BD的垂心B.AH⊥平面CB1D1C.AH的延长线经过点C1D.直线AH和BB1所成的角为45°解析因为AH⊥平面A1BD，BD⊂平面A1BD，所以BD⊥AH.又BD⊥AA1，且AH∩AA1＝A.所以BD⊥平面AA1H.又A1H⊂平面AA1H.所以A1H⊥BD，同理可证BH⊥A1D，所以点H是△A1BD的垂心，A正确；因为平面A 1BD ∥平面CB 1D 1，所以AH ⊥平面CB 1D 1，B 正确；易证AC 1⊥平面A 1BD .因为过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，所以AC 1和AH 重合.故C 正确；因为AA 1∥BB 1，所以∠A 1AH 为直线AH 和BB 1所成的角. 因为∠AA 1H ≠45°，所以∠A 1AH ≠45°，故D 错误. 答案 D10.已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，体积为94，底面是边长为3的正三角形.若P为底面A 1B 1C 1的中心，则PA 与平面ABC 所成角的大小为( ) A.5π12B.π3C.π4D.π6解析如图所示，P 为正三角形A 1B 1C 1的中心，设O 为△ABC 的中心，由题意知：PO ⊥平面ABC ，连接OA ，则∠PAO 即为PA 与平面ABC 所成的角.在正三角形ABC 中，AB ＝BC ＝AC ＝3，则S ＝34×(3)2＝334， V ABC －A 1B 1C 1＝S ×PO ＝94，∴PO ＝ 3.又AO ＝33×3＝1，∴tan ∠PAO ＝PO AO ＝3，∴∠PAO ＝π3. 答案 B二、填空题11.矩形ABEF 和正方形ABCD 有公共边AB ，且它们所在的平面互相垂直，AB ＝BC ＝2a ，BE ＝a ，则DE ＝________，DE 与平面ABEF 所成的线面角的正弦值为________. 解析如图，在Rt △DBE 中，BD ＝22a ，BE ＝a ，∴DE ＝（22a ）2＋a 2＝3a ，∵DA ⊥平面ABEF ，∴∠DEA 即为DE 与平面ABEF 所成的角，在Rt △DAE 中，sin ∠DEA ＝DA DE ＝23. 答案 3a 2312.如图所示为一个正方体的一种表面展开图，图中的四条线段AB ，CD ，EF ，GH 在原正方体中互为异面直线的有________对，成60°角的有________对.解析正方体如图AB 与CD ，AB 与GH ，GH 与EF 互为异面直线，AB 与CD ，AB 与EF ，AB 与GH ，CD 与GH ，EF 与GH 成60°角.答案 3 513.如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱AA 1和AB 上的点，若∠B 1MN 是直角，则∠C 1MN 等于________.解析 ∵B 1C 1⊥平面A 1ABB 1，MN ⊂平面A 1ABB 1， ∴B 1C 1⊥MN ，又∠B 1MN 为直角. ∴B 1M ⊥MN 而B 1M ∩B 1C 1＝B 1.∴MN ⊥平面MB 1C 1又MC 1⊂平面MB 1C 1 ∴MN ⊥MC 1，∴∠C 1MN ＝90°. 答案 90°14.已知平面α∥平面β，点A ，C ∈α，点B ，D ∈β，直线AB ，CD 交于点S ，且SA ＝8，SB ＝9，CD ＝34.(1)若点S 在平面α，β之间，则SC ＝________. (2)若点S 不在平面α，β之间，则SC ＝________. 解析根据题意得AS SB ＝SCSD.当点S 在α，β之间时，有89＝CS 34－CS ，即CS ＝16；当点S 在α，β之外时，有89－8＝SC34，即SC ＝272. 答案 16 27215.如图所示，已知矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝a ，若PA ⊥平面AC ，在BC 边上取点E ，使PE ⊥DE ，则满足条件的E 点有两个时，a 的取值X 围是________.解析由题意知：PA ⊥DE ，又PE ⊥DE ，PA ∩PE ＝P ，所以DE ⊥面PAE ，∴DE ⊥AE .易证△ABE ∽△ECD .设BE ＝x ，则AB CE ＝BE CD，即3a －x ＝x 3.∴x 2－ax ＋9＝0，由Δ>0，解得a >6. 答案 a >616.在正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，E 为A ′D ′中点，则异面直线EC 与BC ′所成角的余弦值为________，二面角A ′－BC ′－D 的平面角的正切值为________.解析如图，取BC ，CC ′中点F ，H ，连A ′F ，FH ，A ′H .∵A ′F ∥EC ，FH ∥BC ′，∴∠A ′FH 即为异面直线EC 与BC ′所成的角. 设正方体的棱长为2，FH ＝2，A ′F ＝3，A ′H ＝3， cos ∠A ′FH ＝223＝26，取BC ′的中点O ，连A ′O ，DO ，则A ′O ⊥BC ′，DO ⊥BC ′，∠A ′OD 即为二面角A ′－BC ′－D 的平面角， A ′O ＝DO ＝6，A ′D ＝22，cos ∠A ′OD ＝6＋6－826×6＝13，tan ∠A ′OD ＝2 2.答案262 2 17.已知四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是矩形，PA ⊥底面ABCD ，点E 、F 分别是棱PC 、PD 的中点，则①棱AB 与PD 所在直线垂直； ②平面PBC 与平面ABCD 垂直； ③△PCD 的面积大于△PAB 的面积； ④直线AE 与直线BF 是异面直线.以上结论正确的是________.(写出所有正确结论的编号) 解析由条件可得AB ⊥平面PAD ， ∴AB ⊥PD ，故①正确；若平面PBC ⊥平面ABCD ，由PB ⊥BC ，得PB ⊥平面ABCD ，从而PA ∥PB ，这是不可能的，故②错；S △PCD ＝12CD ·PD ，S △PAB ＝12AB ·PA ，由AB ＝CD ，PD >PA 知③正确；由E 、F 分别是棱PC 、PD 的中点，可得EF ∥CD ，又AB ∥CD ，∴EF∥AB，故AE与BF共面，④错.答案①③三、解答题18.如图，三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面垂直，AC＝9，BC＝12，AB＝15，AA1＝12，点D 是AB的中点.(1)求证：AC⊥B1C；(2)求证：AC1∥平面CDB1.证明(1)∵C1C⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，∴C1C⊥AC.∵AC＝9，BC＝12，AB＝15，∴AC2＋BC2＝AB2，∴AC⊥BC.又BC∩C1C＝C，∴AC⊥平面BCC1B1，而B1C⊂平面BCC1B1，∴AC⊥B1C.(2)连接BC1交B1C于O点，连接OD.如图，∵O，D分别为BC1，AB的中点，∴OD∥AC1.又OD⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1.∴AC1∥平面CDB1.19.如图所示，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC＝22，M 为BC的中点.(1)证明：AM⊥PM；(2)求二面角P－AM－D的大小.(1)证明如图所示，取CD 的中点E ，连接PE ，EM ，EA ，∵△PCD 为正三角形，∴PE ⊥CD ，PE ＝PD sin ∠PDE ＝2sin 60°＝ 3.∵平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD ∩平面ABCD ＝CD ，PE ⊂平面PCD ， ∴PE ⊥平面ABCD ，而AM ⊂平面ABCD ，∴PE ⊥AM .∵四边形ABCD 是矩形，∴△ADE ，△ECM ，△ABM 均为直角三角形. 由勾股定理可求得EM ＝3，AM ＝6，AE ＝3， ∴EM 2＋AM 2＝AE 2.∴AM ⊥EM .又PE ∩EM ＝E ，∴AM ⊥平面PEM ，而PM ⊂平面PEM ，∴AM ⊥PM . (2)解由(1)可知EM ⊥AM ，PM ⊥AM ， ∴∠PME 是二面角P －AM －D 的平面角. ∴tan ∠PME ＝PE EM＝33＝1，∴∠PME ＝45°.∴二面角P －AM －D 的大小为45°.20．(2016·全国Ⅲ)如图，四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝AC ＝3，PA ＝BC ＝4，M 为线段AD 上一点，AM ＝2MD ，N 为PC 的中点．(1)证明：MN ∥平面PAB ； (2)求四面体N －BCM 的体积．(1)证明由已知得AM ＝23AD ＝2.取BP 的中点T ，连接AT ，TN ，由N 为PC 中点知TN ∥BC ，TN ＝12BC ＝2.又AD ∥BC ，故TN 綊AM ，四边形AMNT 为平行四边形，于是MN ∥AT . 因为AT ⊂平面PAB ，MN ⊄平面PAB ，所以MN ∥平面PAB .(2)解因为PA ⊥平面ABCD ，N 为PC 的中点，所以N 到平面ABCD 的距离为12PA .取BC 的中点E ，连接AE .由AB ＝AC ＝3得AE ⊥BC ，AE ＝AB 2－BE 2＝ 5. 由AM ∥BC 得M 到BC 的距离为5，故S △BCM ＝12×4×5＝2 5.所以四面体N －BCM 的体积 V N －BCM ＝13×S △BCM ×PA 2＝453.21．(2016·全国卷Ⅱ)如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，点E ，F 分别在AD ，CD 上，AE ＝CF ，EF 交BD 于点H ，将△DEF 沿EF 折到△D ′EF 的位置．(1)证明：AC ⊥HD ′；(2)若AB ＝5，AC ＝6，AE ＝54，OD ′＝22，求五棱锥D ′－ABCFE 的体积．(1)证明由已知得AC ⊥BD ，AD ＝CD ，又由AE ＝CF 得AE AD ＝CF CD，故AC ∥EF ，由此得EF ⊥HD ，折后EF 与HD 保持垂直关系，即EF ⊥HD ′，所以AC ⊥HD ′.(2)解由EF ∥AC 得OH DO ＝AE AD ＝14.由AB ＝5，AC ＝6得DO ＝BO ＝AB 2－AO 2＝4，所以OH ＝1，D ′H ＝DH ＝3，于是OD ′2＋OH 2＝(22)2＋12＝9＝D ′H 2，故OD ′⊥OH .由(1)知AC ⊥HD ′，又AC ⊥BD ，BD ∩HD ′＝H ，所以AC ⊥平面DHD ′，于是AC ⊥OD ′，又由OD ′⊥OH ，AC ∩OH ＝O ，所以OD ′⊥平面ABC .又由EF AC ＝DH DO 得EF ＝92. 五边形ABCFE 的面积S ＝12×6×8－12×92×3＝694. 所以五棱锥D ′－ABCFE 的体积 V ＝13×694×22＝2322. 22．(2016·某某高考)如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥CD ，AD ∥BC ，∠ADC ＝∠PAB ＝90°，BC ＝CD ＝12AD . (1)在平面PAD 内找一点M ，使得直线CM ∥平面PAB ，并说明理由．(2)证明：平面PAB ⊥平面PBD .(1)解取棱AD 的中点M (M ∈平面PAD )，点M 即为所求的一个点，理由如下：因为AD ∥BC ，BC ＝12AD .所以BC ∥AM ，且BC ＝AM . 所以四边形AMCB 是平行四边形，从而CM ∥AB .又AB ⊂平面PAB .CM ⊄平面PAB .所以CM ∥平面PAB .(说明：取棱PD 的中点N ，则所找的点可以是直线MN 上任意一点)(2)证明由已知，PA ⊥AB ，PA ⊥CD .因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ，所以直线AB 与CD 相交，所以PA ⊥平面ABCD .从而PA ⊥BD .因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ，所以BC ∥MD ，且BC ＝MD .所以四边形BCDM 是平行四边形，所以BM ＝CD ＝12AD ，所以BD ⊥AB .又AB ∩AP ＝A ，所以BD ⊥平面PAB . 又BD ⊂平面PBD ，所以平面PAB ⊥平面PBD .。

高中数学(人教A版)必修第二册课后习题：空间点、直线、平面之间的位置关系【含答案及解析】

第八章立体几何初步8.4空间点、直线、平面之间的位置关系8.4.2空间点、直线、平面之间的位置关系课后篇巩固提升必备知识基础练1.如图所示,用符号语言可表示为()A.α∩β=lB.α∥β,l∈αC.l∥β,l⊄αD.α∥β,l⊂α2.在长方体ABCD-A1B1C1D1的六个表面与六个对角面(平面AA1C1C、平面ABC1D1、平面ADC1B1、平面BB1D1D、平面A1BCD1及平面A1B1CD)所在的平面中,与棱AA1平行的平面共有()A.2个B.3个C.4个D.5个,结合图形可知AA1∥平面BB1C1C,AA1∥平面DD1C1C,AA1∥平面BB1D1D.3.(多选题)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱C1D1,C1C的中点,则以下四个结论正确的是()A.直线AM与CC1是相交直线B.直线AM与BN是平行直线C.直线BN与MB1是异面直线D.直线AM与DD1是异面直线AM与CC1不同在任何一个平面内,直线AM与BN不同在任何一个平面内,故A,B错误;直线BN与MB1不同在任何一个平面内,直线AM与DD1不同在任何一个平面内,故C,D正确.4.如果空间的三个平面两两相交,那么()A.不可能只有两条交线B.必相交于一点C.必相交于一条直线D.必相交于三条平行线,可能相交于一点,也可能相交于一条直线,还可能相交于三条平行线,故选A.5.若两个平面内分别有一条直线,且这两条直线是异面直线,则这两个平面的公共点()A.有有限个B.有无数个C.不存在D.不存在或有无数个,直线AB与直线CC1异面,平面ABCD与平面CDD1C1相交,有无数个公共点;平面ABB1A1与平面CDD1C1平行,没有公共点.6.以下说法正确的是()A.若直线a不平行于平面α,则直线a与平面α相交B.直线a和b是异面直线,若直线c∥a,则c与b一定相交C.若直线a和b都和平面α平行,则a和b也平行D.若点M∈l,点N∈l,N∉α,M∈α,则直线l与平面α相交a不平行于平面α,则直线a与平面α相交,或a⊂α,故A错误;若直线a和b是异面直线,若直线c∥a,则c与b相交或异面,故B错误;若直线a和b都和平面α平行,则a和b可能平行,可能相交,也可能异面,故C错误;若点M,N∈l,N∉α,M∈α,则直线l和平面α相交,故D正确.故选D.7.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,所在直线与BD1异面的棱有条.,知在正方体ABCD-A1B1C1D1中,所在直线与BD1异面的棱有CD,A1B1,AD,B1C1,AA1,CC1共6条.8.已知直线a,平面α,β,且a∥α,a∥β,则平面α与β的位置关系是.a∥α,a∥β,所以平面α与β相交(如图①)或平行(如图②).9.过三棱柱ABC-A1B1C1的任意两条棱的中点作直线,其中与平面ABB1A1平行的直线共有条.,与平面ABB1A1平行的直线有6条:D1E1,E1E,ED,DD1,D1E,DE1.10.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,面对角线B1D1与长方体的六个面之间的位置关系如何?B1∈平面A1B1C1D1,D1∈平面A1B1C1D1,∴B1D1⊂平面A1B1C1D1.∵B1∈平面BB1C1C,D1∉平面BB1C1C,∴直线B1D1∩平面BB1C1C=B1.同理直线B1D1与平面AA1B1B、平面AA1D1D、平面CC1D1D都相交.在平行四边形B1BDD1中,B1D1∥BD,B1D1与BD无公共点,∴B1D1与平面ABCD无公共点,∴B1D1∥平面ABCD.关键能力提升练11.若a,b是异面直线,且a∥平面α,那么b与平面α的位置关系是()A.b∥αB.b与α相交C.b⊂αD.以上三种情况都有可能a,b是异面直线,且a∥平面α,则根据空间中线面的位置关系可得,b∥a,或b⊂α,或b与α相交.12.(多选题)以下结论中,正确的是()A.过平面α外一点P,有且仅有一条直线与α平行B.过平面α外一点P,有且仅有一个平面与α平行C.过直线l外一点P,有且仅有一条直线与l平行D.过直线l外一点P,有且仅有一个平面与l平行①所示,过点P有无数条直线都与α平行,这无数条直线都在平面β内,过点P有且只有一个平面与α平行,故A错,B正确;如图②所示,过点P只有一条直线与l平行,但有无数个平面与l平行,故C正确,D错.13.(多选题)下列说法中正确的是()A.若直线a不在平面α内,则a∥αB.若直线l上有无数个点不在平面α内,则l∥αC.若l∥α,则直线l与平面α内任何一条直线都没有公共点D.平行于同一平面的两直线可以相交中,直线a也可能与平面α相交,故A错误;B中,直线l与平面α相交时,l上也有无数个点不在平面α内,故B错误;C中,当l∥α时,l与α没有公共点,所以l与α内任何一条直线都没有公共点,故C正确;D中,平行于同一个平面的直线,可以平行也可以相交,也可以是异面直线,故D正确.14.一个正方体的平面展开图如图所示,A,B,C,D为原正方体的顶点,则在原来的正方体中()A.AB∥CDB.AB与CD相交C.AB⊥CDD.AB与CD异面,则在原来的正方体中,由异面直线的定义可知AB与CD异面.故选D.15.下列命题正确的有.(填序号)①若直线与平面有两个公共点,则直线在平面内;②若直线l与平面α相交,则l与平面α内的任意直线都是异面直线;③若直线l与平面α平行,则l与平面α内的直线平行或异面;④若直线a⊂平面α,平面α∩平面β=b,a∥b,则a∥β.显然是正确的;②中,直线l和平面α内过l与α交点的直线都相交而不是异面,所以②是错误的;③中,直线l与平面α没有公共点,所以直线l与平面α内的直线没有公共点,即它们平行或异面,所以③是正确的;因为a∥b,所以a与b无公共点.又因为a⊂α,且α与β的公共点都在直线b上,所以a 与β无公共点,故a与β平行,故④是正确的.16.如图,平面α,β,γ满足α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b,判断a与b,a与β的关系,并证明你的结论.∥b,a∥β.证明如下.由α∩γ=a知a⊂α,且a⊂γ,由β∩γ=b知b⊂β,且b⊂γ.∵α∥β,a⊂α,b⊂β,∴a,b无公共点.又∵a⊂γ,且b⊂γ,∴a∥b.∵α∥β,∴α与β无公共点.又a⊂α,∴a与β无公共点,∴a∥β.学科素养创新练17.若直线a不平行于平面α,且a⊄α,则下列结论成立的是()A.平面α内的所有直线与a异面B.平面α内不存在与a平行的直线C.平面α内存在唯一的直线与a平行D.平面α内的直线与a都相交a与平面α相交,则平面α内的直线与a可能相交,也可能异面,不可能平行.故选B.18.(多选题)已知a,b是两条不重合的直线,α,β是两个不重合的平面,则下列说法中正确的是()A.若a∥b,b⊂α,则直线a平行于平面α内的无数条直线B.若α∥β,a⊂α,b⊂β,则a与b是异面直线C.若α∥β,a⊂α,则a∥βD.若α∩β=b,a⊂α,则a,b一定相交中,a∥b,b⊂α,则a∥α或a⊂α,所以不管a在平面内还是平面外,结论都成立,故A正确;B中,直线a与b没有交点,所以a与b可能异面,也可能平行,故B错误;C中,直线a与平面β没有公共点,所以α∥β,故C正确;D中,直线a与平面β有可能平行,所以a,b可能相交,也可能平行,故D错误.。

高中数学必修2(人教A版)第二章几点、直线、平面的位置关系2.2知识点总结含同步练习及答案

ABCD −
AB = 2
AD
4. 如图，正方体 ABCD − A1 B1 C1 D1 中，AB = 2，点 E 为 AD 的中点，点 F 在 CD 上，若
EF ∥ 平面 AB1 C，则线段 EF 的长度等于
．
答案： √2 高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。
例题：下列命题（其中 a，b 表示直线， α 表示平面）中，正确的个数是（
）
①若 a ∥ b，b ⊂ α，则 a ∥ α；
②若 a ∥ α，b ∥ α，则 a ∥ b；
③若 a ∥ b，b ∥ α，则 a ∥ α；
④若 a ∥ α，b ⊂ α，则 a ∥ b．
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
证明：因为四边形 EF GH 为平行四边形，所以 EF ∥ GH．又 GH ⊂ 平面BCD，EF ⊄ 平面BCD，所以 EF ∥ 平面BCD．而 EF ⊂ 平面ACD，平面ACD ∩ 平面BCD = CD，所以 EF ∥ CD．如图所示，在三棱锥 S − ABC 中，D ，E，F 分别是棱 AC，BC，SC 的中点，求证：平面DEF ∥ 平面SAB．
A．①②③
B．①④
C．①②④
D．②④
答案： C 解析：当 m, n 都在 α 内时，符合条件点的集合是一条直线；
当 m, n 分别在 α 的两侧都平行于 α ，且到 α 的距离相等时，符合条件点的集合是一个平面；当 m, n 都平行于 α ，但到 α 的距离不相等时，是空集；任何时候都不可能只有一个点满足条件．
二、知识清单
空间的平行关系
三、知识讲解
1.空间的平行关系描述：空间四边形顺次连接不共面的四个点 A、B、C、D 所构成的图形，叫做空间四边形．这四个点中的各个点叫做空间四边形的顶点；所连接的相邻顶点间的线段叫做空间四边形的边；连接不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的对角线．空间四边形用表示顶点的四个字母表示．例如，图中的四边形可以表示为空间四边形 ABCD ，线段 AC，BD 是它的对角线．

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必修2第二章《点、直线、平面之间的位置关系》单元测试题
（时间：60分钟，满分：100分）
班别座号姓名成绩一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1.若直线a 不平行于平面α，则下列结论成立的是（）
A. α内所有的直线都与a 异面；
B. α内不存在与a 平行的直线；
C. α内所有的直线都与a 相交；
D.直线a 与平面α有公共点. 2.已知两个平面垂直，下列命题
①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线； ②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线； ③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面；
④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则垂线必垂直于另一个平面. 其中正确的个数是（） A.3 B.2 C.1 D.0
3.空间四边形ABCD 中，若AB AD AC CB CD BD =====，则AC 与BD 所成角为
A 、030
B 、045
C 、060
D 、090 4. 给出下列命题：
（1）直线a 与平面α不平行，则a 与平面α内的所有直线都不平行；（2）直线a 与平面α不垂直，则a 与平面α内的所有直线都不垂直；（3）异面直线a 、b 不垂直，则过a 的任何平面与b 都不垂直；（4）若直线a 和b 共面，直线b 和c 共面，则a 和c 共面
其中错误命题的个数为（）（A ）0 （B ） 1 （C ）2 （D ）3
5．正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，与对角线AC 1异面的棱有（）条 A 3 B 4 C 6 D 8 6. 点P 为ΔABC 所在平面外一点，PO ⊥平面ABC ，垂足为O ，若PA=PB=PC ，则点O 是ΔABC 的（）（A ）内心（B ）外心（C ）重心（D ）垂心
7.如图长方体中，AB=AD=23，CC 1=2，则二面角
C 1—B
D —C 的大小为（）
（A ）300 （B ）450 （C ）600 （D ）900 8.直线a,b,c 及平面α,β,γ,下列命题正确的是（）
A 、若a ⊂α，b ⊂α,c ⊥a, c ⊥b 则c ⊥α
B 、若b ⊂α, a//b 则 a//α
C 、若a//α,α∩β=b 则a//b
D 、若a ⊥α, b ⊥α 则a//b 9.平面α与平面β平行的条件可以是（）
A.α内有无穷多条直线与β平行；
B.直线a//α,a//β
C.直线a α⊂,直线b β⊂,且a//β,b//α
D.α内的任何直线都与β平行 10、 a, b 是异面直线，下面四个命题：
①过a 至少有一个平面平行于b ； ②过a 至少有一个平面垂直于b ； ③至多有一条直线与a ，b 都垂直；④至少有一个平面与a ，b 都平行。

其中正确命题的个数是（）Ａ０Ｂ１Ｃ２Ｄ３
选择题答题表
A B
C D A 1
B 1
C 1
D 1
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
11.已知直线a//平面α，平面α//平面β，则a 与β的位置关系为 . 12．已知直线a ⊥直线b, a//平面β,则b 与β的位置关系为 . 13如图，ABC 是直角三角形，∠ACB=︒90，PA ⊥平面ABC ，此图形中有个直角三角形
14.α、β是两个不同的平面，m 、n 是平面α及β之外的两条不同直线, 给出四个论断：
① m ⊥ n ②α⊥β ③ m ⊥β ④ n ⊥α
以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：______________________________________.
三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分） 15．如图，PA ⊥平面ABC ，平面PAB ⊥ 16．在三棱锥S-ABC 中，已知AB=AC ，平面PBC 求
证：AB ⊥BC O 是BC 的中点，平面SAO ⊥平面ABC 求证：∠SAB=∠SAC
17．如图，PA ⊥平面ABC ，AE ⊥PB ，AB ⊥BC ，AF ⊥PC,PA=AB=BC=2（1）求证：平面AEF ⊥平
面PBC ；
（2）求二面角P —BC —A 的大小；（3）求三棱锥P —AEF 的体积.
A B
O C
S
P A B
C A B C
P
A
B
C P E F
参考答案
1.D；
2.C；
3.D；
4.D；
5.C；
6.B；
7.A；
8.D；
9.D；10.C
11.平行或在平面内； 12. 平行或在平面内； 13.4； 14.若②③④则①17.（2）45°。