垂线段性质
垂直线与一组垂直线的性质
垂直线与一组垂直线的性质在几何学中，垂直线是指两条直线相互交叉，形成90度的角度。
当涉及到一组垂直线时，我们可以观察到一些有趣的性质和规律。
本文将探讨垂直线及一组垂直线的性质，并通过一些实例来展示它们的应用。
1. 垂直线的定义和性质根据几何学的定义，如果两条直线所形成的角度为90度，则它们是垂直的。
垂线的性质如下：- 任何直线与自身构成的角度都是0度，因此直线与自身垂直。
这被称为自反性质。
- 如果两条直线互相垂直，则它们彼此平行。
这被称为传递性质。
- 两条直线的垂直性不会因为其位置的改变而改变。
换句话说，可以在平面内移动一条垂直线，使其仍然与原始直线垂直。
这被称为平移性质。
2. 一组垂直线的性质当涉及到一组垂直线时，我们可以观察到以下性质：- 一组垂直线可以共享一个共同的交点。
这个交点被称为垂足。
垂足是垂直线与水平线或倾斜线交叉时形成的交点。
- 垂直线所形成的角度可以帮助我们计算其他未知角度的值。
例如，如果垂直线和另一条直线形成的角度为60度，我们可以得出另一条直线和水平线形成的角度为30度。
- 当一组垂直线与其他线段或角度交叉时，我们可以利用垂直线的性质来计算出其他未知量。
例如，如果我们知道两条垂直线的长度，我们可以使用勾股定理来计算其他线段的长度。
3. 垂直线与平行线的关系垂直线和平行线是几何学中常见的概念。
有以下一些关系：- 如果两条直线互相垂直，则它们不可能是平行线。
- 如果一条直线与另一组平行线垂直，则它与该组平行线的所有直线都是垂直的。
- 如果两组直线相互平行，并且其中一组直线与另一组直线垂直，则另一组直线也与该组直线垂直。
- 如果两组直线相互垂直，并且其中一组直线与另一组直线平行，则另一组直线也与该组直线平行。
4. 实际应用垂直线和一组垂直线的性质在现实生活中有广泛的应用。
以下是一些实际应用的例子：- 建筑设计师使用垂直线来确保建筑结构的垂直性，以保证建筑的稳定和平衡。
- 地图制作者使用垂直线来确定方向和角度，以使地图更精确和易于导航。
三角形垂线定义
三角形垂线定义三角形垂线是指从三角形的顶点到对边上某一点的垂直线段。
它在三角形内部垂直于对边，且与对边有唯一交点。
垂线的性质在几何学中有着重要的应用和意义。
我们来探讨垂线的基本性质。
对于任意一个三角形ABC，如果从顶点A向边BC引一条垂线AD，那么垂线AD与边BC的交点D将成为三角形ABC的高。
垂线AD与边BC垂直相交，所以可以得出角BAD和角CAD都是直角。
这意味着垂线是三角形内部唯一一条与对边垂直的直线。
垂线的另一个重要性质是垂线的长度。
根据勾股定理，我们可以得出垂线的长度与三角形的边长有关。
设三角形ABC的底边为BC，高为AD，则根据勾股定理可以得到：AC^2 = AD^2 + CD^2AB^2 = AD^2 + BD^2BC^2 = CD^2 + BD^2其中，AC、AB、BC分别表示三角形的三条边长，AD表示垂线的长度，CD和BD分别表示三角形BC和AB的两条边长。
通过这些关系式，我们可以计算出垂线的长度。
垂线还有一个重要的性质是垂线的交点与三角形的重心和外心有关。
重心是指三角形三条垂线的交点，而外心是指三角形三个顶点的垂直平分线的交点。
对于任意一个三角形ABC，垂线的交点D将成为三角形ABC的重心，即AD、BD和CD三条垂线相交于一点。
而外心则是三角形ABC外接圆的圆心，即三角形的三个顶点到外心的距离相等。
这些特点使垂线在解决三角形相关问题时起到了重要的作用。
垂线还有一个重要的应用是求解三角形的面积。
根据垂线的定义，我们可以利用垂线将三角形分为两个直角三角形，然后计算两个直角三角形的面积再相加，即可得到整个三角形的面积。
设垂线的长度为h，底边的长度为b，则三角形的面积S可以表示为：S = (1/2) * b * h这个公式被广泛应用于计算三角形的面积。
除了以上的基本性质和应用，垂线还有许多其他有趣的性质。
例如，三角形ABC的顶点A到垂线的距离等于三角形BC的面积除以底边BC的长度。
这个性质可以用来计算三角形的面积。
垂线段的性质
垂线段的性质
定义：从直线L外一点P向直线L作垂线，垂足记为O，则线段PO叫做点P到直线L的垂线段。
要确定垂线段，只须找到它的两个端点即可。
性质直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。
简称“垂线段最短”。
性质： 1、在同一平面内，过直线上或直线外的一点，有且只有一条直线和已知直线垂直。
2、从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂直线段最短。
垂线是两条直线的两个特殊位置关系。
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，即两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一直线的垂线，交点叫垂足。
垂线段最短。
从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，这两个角相等或互补。
垂径定理复习课件
垂心
垂心是指三条垂线相交的 点，它是直角三角形内心 的位置。
利用垂径定理求解问题的步骤
1
Step 1
确定直角三角形的已知条件和待求量。
Step 2
2
运用垂径定理和其他几何知识推导和
计算。
3
Step 3
验证结果是否符合题目要求，并对解 题过程进行检查。
垂径定理的变形
垂径定理可以根据具体问题的需要进行扩展和变形，使之更适用于不同类型的三角形和几何情境，从而 为我们解决更复杂的几何问题提供了方法和思路。
对称性
垂径定理中的对称性是指当一个直角三角形存在垂直关系时，垂线段的长度 和位置具有对称性。这种对称性能够帮助我们利用已知信息来推导和求解未 知量。
垂心三角形的性质
垂心三角形是直角三角形中垂心与三个顶点连线所形成的三角形。它具有一 些特殊的性质，包括角度关系、边长关系和对称性等，可以帮助我们深入理 解直角三角形的结构和性质。
如何证明垂径定理？
垂径定理的证明可以通过数学推理和几何推导来完成。我们可以利用直角三 角形的定义和几何定理来推导出垂线段的长度关系，从而证明垂径定理的正 确性。
直角三角形的垂线段的性质
垂足
垂足是指垂线与斜边的交 点，它将斜边分成两部分。
高
高是指从顶点到底边的垂 线段，它是直角三角形中 最长的边。
垂径定理复习课件
垂径定理是关于直角三角形中垂线段的性质和应用的重要定理。本课件将介 绍垂径定理的定义、证明方法以及与垂心、垂足和高相关的性质。
什么是垂径定理？
垂径定理是直角三角形中关于垂线段的性质的定理。它描述了直角三角形中 垂线段长度的关系，揭示了三角形内部的几何关系和数学规律。
用途和意义
垂线的定义和性质
垂线的定义和性质
1、垂线的定义和性质
1垂直的定义
当两条线相交形成的四个角之一为90度时，这两条线就称为相互垂直。
2垂直线的定义
两条线相互垂直，其中一条称为另一条线的垂线，相交处称为垂直脚。
三。
垂线的性质
（1）只有一条直线垂直于通过一个点的已知直线；
（2）在所有连接线外一点和线上各点的线段中，垂直线段最短。
4点到线的距离
从线外一点到线的垂直截面的长度称为点到线的距离。
一个点和一条直线之间的距离是一个正值，一个量，而不是一个数字，所以你不能画距离，你只能测量距离。
2、垂直线示例
在体育课上，教师衡量跳远成绩的依据是什么___
A.垂直的定义
B.两点之间的最短线段
C.最短垂直线段
两点成一条直线
答案：C
分析：老师测量跳远成绩的依据是：最短垂直线。
所以选择C。
垂线ppt课件
垂线的性质
垂线与给定直线相交于一点，这 一点称为垂足。
垂线与给定直线的夹角为90度， 这是垂线的唯一性。
垂线具有传递性，即如果直线a 垂直于直线b，直线b垂直于直线 c，那么直线a也垂直于直线c。
垂线的应用
在几何学中，垂线是解决许多问题的基础，如求点到直线的距离、判断两条直线是 否平行等。
利用垂线定理
垂线定理是几何学中的重要定理之一，它告诉我们一个点 到一条直线的距离是最短的，这个性质在解决几何问题时 非常有用。
利用垂线的性质
垂线有很多重要的性质，如垂直平分线定理、等腰三角形 性质等，这些性质都可以用来解决几何问题。
利用垂线解决实际问题的方法
利用垂线解决高度测量问题
在测量高度时，我们可以利用垂线的性质来计算高度，例如在建筑、地形测量 等领域。
在一些复杂的几何问题中，我们可以利用垂线定理和勾股定理来解决问题，这些 定理可以帮助我们找到解决问题的关键点。
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在工程学中，垂线也具有广泛的应用，如在建筑、道路、桥梁等工程中，需要用到 垂线来确定物体的位置和方向。
在物理学中，垂线也是非常重要的概念，如在重力学中，需要用到垂线来确定物体 的重心和平衡状态。
02 垂线的判定
直线与直线垂直的判定
01
02
03
判定定理
两条直线相交，所形成的 对角相等且互补，则这两 条直线互相垂直。
延长线段
将线段延长，使其与另一条线段 相交，形成垂足。
垂线的应用实例
建筑学
在建筑设计中，垂线用于确定建筑物的垂直方向 和垂直度。
工程学
在桥梁、隧道等工程设计中，垂线用于确定结构 的垂直度和稳定性。
【期末专项】苏科版七年级数学上册期末复习专题 两点之间线段最短和垂线段最短综合
两点之间线段最短和垂线段最短综合1．如图，生活中，有以下两个现象，对于这两个现象的解释，正确的是（）A．两个现象均可用两点之间线段最短来解释B．现象1用垂线段最短来解释，现象2用经过两点有且只有一条直线来解释C．现象1用垂线段最短来解释，现象2用两点之间线段最短来解释D．现象1用经过两点有且只有一条直线来解释，现象2用垂线段最短来解释2．自习课上，老师出示这样一道题目：如图，AB是一条河流．要铺设管道将河水引到C、D两个用水点，现有两种铺设管道的方案．方案一：分别过点C、D画AB的垂线，垂足为E、F，沿CE、DF铺设管道；方案二：连接CD交AB于点P，沿PC、PD铺设管道．这两种铺设管道的方案哪一种更节省材料？为什么？总结学生的回答，有以下几种答案，你认为正确的答案是（）A．方案一节省材料，理由是两点之间线段最短B．方案二节省材料，理由是两点之间线段最短C．方案一节省材料，理由是垂线段最短D．方案二节省材料，理由是两点确定一条直线3．下列三个日常现象：其中，可以用“垂线段最短”来解释的是_____ （填序号）．4．如图，在公园绿化时，需要把管道l中的水引到A，B两处．工人师傅设计了一种又快又节省材料的方案如下：画法：如图，（1）连接AB；（2）过点A画线段AC 直线l于点C，所以线段AB和线段AC即为所求．请回答：工人师傅的画图依据是______．5．在数学课上，王老师提出如下问题：如图，需要在A，B两地和公路l之间修地下管道，请你设计一种最节省材料的修建方案．小李同学的作法如下：①连接AB；②过点A作AC⊥直线l于点C；则折线段B﹣A﹣C为所求．王老师说：小李同学的方案是正确的．请回答：该方案最节省材料的依据是垂线段最短和______．6．如图，汽车站、高铁站分别位于A、B两点，直线a和b分别表示公路与铁路．（1）从汽车站到高铁站怎样走最近？画出图形，理由是．（2）从高铁站到公路怎样走最近？画出图形，理由是．7．如图，为解决A、B、C、D四个村庄的用水问题．政府准备投资修建一个蓄水池．（1）若使蓄水池与四个村庄的距离的和最小，请画出蓄水池P的位置；（2）为把河道l中的水引入蓄水池P中，需要再修建一条引水渠．若使引水渠的长度最小，请画出引水渠PQ的修建线路．8．几何知识可以解决生活中许多距离最短的问题.让我们从书本一道习题入手进行探索【回顾】（1）如图①，A、B是公路l两侧的两个村庄.现要在公路l上修建一个垃圾站C，使它到A、B两村庄的路程之和最小，请在图中画出点C的位置，并说明理由【探索】（2）如图②，在B村庄附件有一个生态保护区，现要在公路l上修建一个垃圾站C，使它到A、B 两村庄的路程之和最小，从B村庄到公路不能穿过生态保护区，请在图中画出点C的位置（3）如图③，A、B是河两侧的两个村庄，现要在河上修建一座桥，使得桥与河岸垂直，且A村到B村的总路程最短，请在图中画出桥的位置（保留画图痕迹）9．在如图所示的方格中，每个小正方形的边长为1，点A、B、C、D在方格纸中小正方形的顶点上．（1）画线段AB；（2）画图并说理：①画出点C到线段AB的最短线路CE，理由是；②画出一点P，使AP DP CP EP+++最短，理由是．10．（1）如图，A、B是河l两侧的两个村庄．现要在河l上修建一个抽水站C，使它到A、B两村庄的距离的和最小，请在图中画出点C的位置，并保留作图痕迹．【探索】（2）如图，C、B两个村庄在一条笔直的马路的两端，村庄A在马路外，要在马路上建一个垃圾站O，使得AO+BO+CO最小，请在图中画出点O的位置．（3）如图，现有A、B、C、D四个村庄，如果要建一个垃圾站O，使得AO+BO+CO+DO最小，请在图中画出点O的位置．11．如图，A、B、C是平面内三点.（1）按要求作图：①作射线BC，过点B作直线l，使A、C两点在直线l两旁；②点P为直线l上任意一点，点Q为直线BC上任意一点，连结线段AP、PQ；（2）在（1）所作图形中，若点A到直线l的距离为2，点A到直线BC的距离为5，点A、B之间+的最小值为_______，依据是_______.的距离为8，点A、C之间的距离为6，则AP PQ12．如图，为了解决A、B、C、D四个小区的缺水问题，市政府准备投资修建一个水厂，()1不考虑其他因素，请你画图确定水厂H的位置，使之与四个小区的距离之和最小．()2另外，计划把河流EF中的水引入水厂H中，使之到H的距离最短，请你画图确定铺设引水管道的位置，并说明理由．13．如图，在直线MN的异侧有A、B两点，按要求画图取点，并注明画图取点的依据．(1)在直线MN上取一点C，使线段AC最短．依据是______________．(2)在直线MN上取一点D，使线段AD＋BD最短．依据是______________________．14．如图，直线l是某天然气公司的主输气管道，点A、B是在l异侧的两个小区，现在主输气管道上寻找支管道连接点，向两个小区铺设支管道，有以下两个方案：方案一：只取一个连接点P，使得向两个小区铺设的支管道总长度最短，在图中画出点P的位置，依据是.方案二：取两个连接点M和N，使得点M到A小区铺设的支管道最短，使得点N到B小区铺设的管道最短，在图中画出M、N的位置，依据是.设方案一中铺设的支管道总长度为m，方案二中铺设的支管道总长度为n，则m与n的大小关系为：m n（填“＞”、“=”或“＜”）.15．我国“十一五”规划其中一重要目标是，建设社会主义新农村，国家对农村公路建设投资近1000亿人民币．西部的某落后山村准备在A、B两个村庄间修一条公路，再从村庄B修一条公路到河n，如图所示，如何修路才能使公路最短？画出图形并说明理由．16．如图，一辆汽车在直线形的公路AB上由A向B行驶，M，N分别是位于公路AB两侧的村庄．（1）设汽车行驶到P点位置时，离村庄M最近，行驶到Q点位置时，离村庄N最近，请你在AB 上分别画出P，Q两点的位置．（2）设汽车行驶到R点位置时，离村庄M与村庄N的距离和最短，请你在AB上分别画出R点的位置．17．如图，点A表示小明家，点B表示小明外婆家，若小明先去外婆家拿渔具，然后再去河边钓鱼，怎样走路最短，请画出行走路径，并说明理由．18．如图所示，火车站，码头分别位于A，B两点，直线a，b分别表示铁路与河流．（1）从火车站到码头怎样走最近？请画图并说明理由．（2）从码头到铁路怎样走最近？请画图并说明理由．答案与解析1．如图，生活中，有以下两个现象，对于这两个现象的解释，正确的是（）A．两个现象均可用两点之间线段最短来解释B．现象1用垂线段最短来解释，现象2用经过两点有且只有一条直线来解释C．现象1用垂线段最短来解释，现象2用两点之间线段最短来解释D．现象1用经过两点有且只有一条直线来解释，现象2用垂线段最短来解释【答案】C【分析】直接利用线段的性质以及直线的性质分别分析得出答案．【详解】解：现象1：测量运动员的跳远成绩时，皮尺与起跳线保持垂直，可用“垂线段最短”来解释；现象2：把弯曲的河道改直，可以缩短航程可用“两点之间线段最短”来解释，故选：C．【点睛】此题主要考查了线段的性质，两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短．2．自习课上，老师出示这样一道题目：如图，AB是一条河流．要铺设管道将河水引到C、D两个用水点，现有两种铺设管道的方案．方案一：分别过点C、D画AB的垂线，垂足为E、F，沿CE、DF铺设管道；方案二：连接CD交AB于点P，沿PC、PD铺设管道．这两种铺设管道的方案哪一种更节省材料？为什么？总结学生的回答，有以下几种答案，你认为正确的答案是（）A．方案一节省材料，理由是两点之间线段最短B．方案二节省材料，理由是两点之间线段最短C．方案一节省材料，理由是垂线段最短D．方案二节省材料，理由是两点确定一条直线【答案】C【分析】垂线段的性质：垂线段最短，根据垂线段的性质解答即可．【详解】解：∵CE⊥AB，根据垂线段的性质可知，CE＜CP，同理，DF＜DP，∴方案一更节省材料．故选：C．【点睛】本题考查了垂线段的性质，垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．3．下列三个日常现象：其中，可以用“垂线段最短”来解释的是_____ （填序号）．【答案】①【分析】根据垂线的性质：垂线段最短即可得到结论．【详解】解：可以用“垂线段最短”来解释①，可以“两点之间线段最短” 来解释②，可以用“两点确定一条直线” 来解释③，故答案为：①．【点睛】本题考查了垂线段最短以及直线、线段的相关知识，熟练掌握垂线的性质是解题的关键．4．如图，在公园绿化时，需要把管道l中的水引到A，B两处．工人师傅设计了一种又快又节省材料的方案如下：画法：如图，（1）连接AB；（2）过点A画线段AC 直线l于点C，所以线段AB和线段AC即为所求．请回答：工人师傅的画图依据是______．【答案】两点之间，线段最短；垂线段最短【分析】根据两点之间线段最短以及垂线段最短即可判断．【详解】解：由于两点之间距离最短，故连接AB，由于垂线段最短可知，过点A作AC⊥直线l于点C，此时AC最短，故答案为：两点之间，线段最短；垂线段最短．【点睛】本题考查作图−应用与设计作图，解题的关键是正确两点之间线段最短以及垂线段最短，本题属于基础题型．5．在数学课上，王老师提出如下问题：如图，需要在A，B两地和公路l之间修地下管道，请你设计一种最节省材料的修建方案．小李同学的作法如下：①连接AB；②过点A作AC⊥直线l于点C；则折线段B﹣A﹣C为所求．王老师说：小李同学的方案是正确的．请回答：该方案最节省材料的依据是垂线段最短和______．【答案】两点之间线段最短【分析】根据两点之间线段最短即可得到答案．【详解】解：由题意得可知：该方案最节省材料的依据是垂线段最短和两点之间线段最短，故答案为：两点之间线段最短．【点睛】本题主要考查了垂线段最短和两点之间线段最短，熟知二者的定义是解题的关键．三、解答题6．如图，汽车站、高铁站分别位于A、B两点，直线a和b分别表示公路与铁路．（1）从汽车站到高铁站怎样走最近？画出图形，理由是．（2）从高铁站到公路怎样走最近？画出图形，理由是．【答案】（1）连接AB，两点之间，线段最短；（2）过B作BC⊥a，垂线段最短．【分析】（1）连接AB，根据两点之间，线段最短；（2）过B作BC⊥a，根据垂线段最短．【详解】解：如图所示：（1）沿AB走，两点之间线段最短；（2）沿BC走，垂线段最短．【点睛】此题主要考查了应用与设计作图，关键是掌握线段的性质和垂线段的性质．7．如图，为解决A、B、C、D四个村庄的用水问题．政府准备投资修建一个蓄水池．（1）若使蓄水池与四个村庄的距离的和最小，请画出蓄水池P的位置；（2）为把河道l中的水引入蓄水池P中，需要再修建一条引水渠．若使引水渠的长度最小，请画出引水渠PQ的修建线路．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【分析】（1）利用两点之间距离线段最短，进而得出答案；（2）利用点到直线的距离垂线段最短，即可得出答案．【详解】解答：解：（1）如图所示：由两点之间，线段最短，连接AC、BD交点即为P点，（2）如图所示：由垂线段最短，过P作PQ⊥河道l，垂足即为Q点．【点睛】本题主要考查了应用设计与作图，正确掌握点与点以及点到直线的距离定义是解题关键．8．几何知识可以解决生活中许多距离最短的问题.让我们从书本一道习题入手进行探索【回顾】（1）如图①，A、B是公路l两侧的两个村庄.现要在公路l上修建一个垃圾站C，使它到A、B两村庄的路程之和最小，请在图中画出点C的位置，并说明理由【探索】（2）如图②，在B村庄附件有一个生态保护区，现要在公路l上修建一个垃圾站C，使它到A、B 两村庄的路程之和最小，从B村庄到公路不能穿过生态保护区，请在图中画出点C的位置（3）如图③，A、B是河两侧的两个村庄，现要在河上修建一座桥，使得桥与河岸垂直，且A村到B村的总路程最短，请在图中画出桥的位置（保留画图痕迹）【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析.【分析】（1）连接AB交直线l于点C，点C即为所求作．（2）根据两点之间线段最短解决问题．（3）作AA′//CD，且AA′＝1，连接BA′得到点C，作线段CD⊥河岸即可．【详解】（1）如图，点C即为所求作．理由：两点之间，线段最短.（2）如图，点C即为所求作．（3）如图，线段CD可即为所求作．【点睛】本题考查作图−应用与设计作图，垂线段最短，两点之间线段最短等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．9．在如图所示的方格中，每个小正方形的边长为1，点A、B、C、D在方格纸中小正方形的顶点上．（1）画线段AB；（2）画图并说理：①画出点C到线段AB的最短线路CE，理由是；②画出一点P，使AP DP CP EP+++最短，理由是．【答案】（1）图见解析；（2）图见解析，点到直线的距离垂线段最短；（3）图见解析，两点之间线段最短．【分析】（1）根据题意画图即可；（2）①借助网格作CE⊥AB，根据点到直线距离垂线段最短可得符合条件的E点；+++=+．②连接AD和CE交于P点，根据两点之间线段最短可得AP DP CP EP AD CE【详解】（1）连接AB如下图所示；（2）①如图所示CE为最短路径，理由是点到直线的距离垂线段最短，故答案为：点到直线的距离垂线段最短；②如图所示P点为AP DP CP EP+++最短，理由是：两点之间线段最短，故答案为：两点之间线段最短．【点睛】本题考查两点之间的距离，垂线段最短和根据要求画线段．理解点到直线的距离垂线段最短和两点之间线段最短是解题关键．10．（1）如图，A、B是河l两侧的两个村庄．现要在河l上修建一个抽水站C，使它到A、B两村庄的距离的和最小，请在图中画出点C的位置，并保留作图痕迹．【探索】（2）如图，C、B两个村庄在一条笔直的马路的两端，村庄A在马路外，要在马路上建一个垃圾站O，使得AO+BO+CO最小，请在图中画出点O的位置．（3）如图，现有A、B、C、D四个村庄，如果要建一个垃圾站O，使得AO+BO+CO+DO最小，请在图中画出点O的位置．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【分析】（1）根据两点之间线段最短，连接AB，交l于点C即可；（2）根据BO＋CO=BC为定长，故需保证AO最小即可，根据垂线段最短，过点A作AO⊥BC于O 即可；（3）根据两点之间线段最短，故连接AC、BD交于点O即可．【详解】解：（1）连接AB，交l于点C，此时AC＋BC=AB，根据两点之间线段最短，AB即为AC＋BC的最小值，如下图所示：点C即为所求；（2）∵点O在BC上∴BO＋CO=BC∴AO+BO+CO=AO＋BC，而BC为定长，∴当AO+BO+CO最小时，AO也最小过点A作AO⊥BC于O，根据垂线段最短，此时AO最小，AO+BO+CO也最小，如下图所示：点O 即为所求；（3）根据两点之间线段最短，若使AO＋CO最小，连接AC，点O应在线段AC上；若使BO＋DO 最小，连接BD，点O应在线段BD上，∴点O应为AC和BD的交点如下图所示：点O即为所求．【点睛】此题考查的是两点之间线段最短和垂线段最短的应用，掌握根据两点之间线段最短和垂线段最短，找出最值所需点是解决此题的关键．11．如图，A、B、C是平面内三点.（1）按要求作图：①作射线BC，过点B作直线l，使A、C两点在直线l两旁；②点P为直线l上任意一点，点Q为直线BC上任意一点，连结线段AP、PQ；（2）在（1）所作图形中，若点A到直线l的距离为2，点A到直线BC的距离为5，点A、B之间+的最小值为_______，依据是_______.的距离为8，点A、C之间的距离为6，则AP PQ【答案】（1）见解析；（2）5；两点之间，线段最短；垂线段最短.【分析】（1）根据直线、射线、线段的特点按要求作图即可；（2）根据两点之间，线段最短和点到直线的距离垂线段最短回答即可．【详解】（1）如图所示.+的最小值为点A到直线BC的距离，所以是5.（2）AP PQ依据是：两点之间，线段最短；垂线段最短.【点睛】本题考查直线、射线、线段以及两点之间，线段最短，点到直线的距离，解题关键是掌握直线、射线、线段的特点，牢记两点之间，线段最短，垂线段最短．12．如图，为了解决A、B、C、D四个小区的缺水问题，市政府准备投资修建一个水厂，()1不考虑其他因素，请你画图确定水厂H的位置，使之与四个小区的距离之和最小．()2另外，计划把河流EF中的水引入水厂H中，使之到H的距离最短，请你画图确定铺设引水管道的位置，并说明理由．【答案】(1)作图见解析；（2）垂线段最短．【分析】（1）线段AC和BD的交点即是水厂的位置．（2）过点H作直线EF的垂线段即可．【详解】解：()1连接AC和BD，线段AC和BD的交点H点就是水厂的位置．()2理由是：垂线段最短．【点睛】本题主要考查了两点之间线段最短和垂线段最短在生活中的应用，解题时要注意它们的综合应用．13．如图，在直线MN的异侧有A、B两点，按要求画图取点，并注明画图取点的依据．(1)在直线MN上取一点C，使线段AC最短．依据是______________．(2)在直线MN上取一点D，使线段AD＋BD最短．依据是______________________．【答案】垂线段最短两点之间，线段最短【分析】(1)过A作AC⊥MN，AC最短；(2)连接AB交MN于D，这时线段AD+BD最短．【详解】(1)过A作AC⊥MN，根据垂线段最短，故答案为垂线段最短；(2)连接AB交MN于D，根据是两点之间线段最短，故答案为两点之间线段最短．【点睛】本题主要考查了垂线段的性质和线段的性质，关键是掌握垂线段最短；两点之间线段最短．14．如图，直线l是某天然气公司的主输气管道，点A、B是在l异侧的两个小区，现在主输气管道上寻找支管道连接点，向两个小区铺设支管道，有以下两个方案：方案一：只取一个连接点P，使得向两个小区铺设的支管道总长度最短，在图中画出点P的位置，依据是.方案二：取两个连接点M和N，使得点M到A小区铺设的支管道最短，使得点N到B小区铺设的管道最短，在图中画出M、N的位置，依据是.设方案一中铺设的支管道总长度为m，方案二中铺设的支管道总长度为n，则m与n的大小关系为：m n（填“＞”、“=”或“＜”）.【答案】两点之间，线段最短；垂线段最短；＞【分析】根据题目要求直接连接AB，以及分别过A，B向直线l作垂线即可，利用直角三角形中斜边大于直角边进而得出答案即可．【详解】解：方案一、连接AB交直线l于点P，依据是两点之间，线段最短；方案二、分别过A，B向直线l作垂线即可，如图，AM、BN即为所求，依据是垂线段最短；方案一中m=AP+PB，方案二中n=AM+BN，在Rt∆AMP与Rt∆BNP中，AM<AP，BN<BP，∴AM+BN<AP+BP，即m>n，故答案为：两点之间，线段最短；垂线段最短；>．【点睛】题目主要考查两点之间线段最短及垂线段最短，直角三角形斜边大于直角边等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．15．我国“十一五”规划其中一重要目标是，建设社会主义新农村，国家对农村公路建设投资近1000亿人民币．西部的某落后山村准备在A、B两个村庄间修一条公路，再从村庄B修一条公路到河n，如图所示，如何修路才能使公路最短？画出图形并说明理由．【答案】见解析；两点之间线段最短；垂线段最短【分析】由两点之间线段最短；垂线段最短即可作出图形：连接AB；过点B作l的垂线段．【详解】解：如图所示：AB、BC为所求．作图理由：两点之间线段最短；垂线段最短．【点睛】此题考查了作图能力，掌握：两点之间线段最短、垂线段最短是解题的关键．16．如图，一辆汽车在直线形的公路AB上由A向B行驶，M，N分别是位于公路AB两侧的村庄．（1）设汽车行驶到P点位置时，离村庄M最近，行驶到Q点位置时，离村庄N最近，请你在AB 上分别画出P，Q两点的位置．（2）设汽车行驶到R点位置时，离村庄M与村庄N的距离和最短，请你在AB上分别画出R点的位置．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）作MP⊥AB垂足为P，NQ⊥AB垂足为Q，点p、Q就是所求的点；（2）连接MN交直线AB于点R，点R就是所求．【详解】（1）作MP⊥AB垂足为P，NQ⊥AB垂足为Q，点p、Q就是所求的点．如图所示：（2）连接MN交AB于点R，点R就是所求的点．如图所示：．【点睛】本题考查了两点之间线段最短、垂线段最短，记住这两个性质是解题的关键．17．如图，点A表示小明家，点B表示小明外婆家，若小明先去外婆家拿渔具，然后再去河边钓鱼，怎样走路最短，请画出行走路径，并说明理由．【答案】见解析【分析】根据两点之间线段最短，点到直线的距离垂线段最短即可得到答案.【详解】解；如图所示：连接AB，是两点之间线段最短；作BC垂直于河岸，是垂线段最短．【点睛】本题主要考查了两点之间线段最短，点到直线的距离垂线段最短，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.18．如图所示，火车站，码头分别位于A，B两点，直线a，b分别表示铁路与河流．（1）从火车站到码头怎样走最近？请画图并说明理由．（2）从码头到铁路怎样走最近？请画图并说明理由．【答案】（1）沿线段AB走，见解析，两点之间，线段最短；（2）沿垂线段BD走，见解析，垂线段最短【分析】（1）根据两点之间线段最短解决问题即可．（2）根据垂线段最短解决问题即可．【详解】解：（1）如图，沿线段AB走，理由：两点之间，线段最短．（2）如图，沿垂线段BD走，理由：垂线段最短．【点睛】本题考查了“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”两个知识，熟知两个知识点并正确作图是解题关键．。
三角形的中线与垂线性质总结
三角形的中线与垂线性质总结三角形是初中数学中的基础概念，它的中线与垂线是三角形的重要性质之一。
本文将总结三角形的中线与垂线的性质，并介绍它们在解题中的应用。
一、三角形的中线性质中线是连接三角形的一个顶点与对边中点的线段。
对于任意三角形ABC，以A为顶点的中线DE与BC的中点F相交于一点G，那么有以下性质：1. 中线的长度：以A为顶点的中线DE的长度等于对边BC的一半，即DE = 0.5BC。
2. 中线的位置关系：以A为顶点的中线DE将BC平分，即DE =DF = FG = GE。
3. 中线的交点：三条中线的交点G称为三角形的重心，重心到各个顶点的距离相等，即GA = GB = GC。
应用：中线是三角形中重要的辅助线，在解决相关问题时具有一定的应用价值。
例如，通过中线的长度关系可以确定三角形的面积；通过重心的性质可以确定三角形的平衡点等。
在正文中，我们将具体介绍这些应用。
二、三角形的垂线性质垂线是从一个点下垂到它所在平面上的一条垂直线。
对于任意三角形ABC，以顶点A向对边BC作垂线AD，那么有以下性质：1. 垂线的位置关系：垂线AD与对边BC相交于一点D，垂足D在BC上。
2. 垂线的长度关系：AD是三角形ABC中最短的一条线段。
3. 垂线的角度关系：由垂线和对边所形成的两个角，其中一个角是直角。
应用：垂线在解决三角形相关问题时也具有重要的应用价值。
例如，通过垂线的长度关系可以确定三角形的高；通过垂线的角度关系可以判断三角形的形状等。
在正文中，我们将具体介绍这些应用。
三、中线与垂线性质的应用1. 三角形面积的计算：通过中线的长度关系，可以计算出三角形的面积。
当三角形所有中线都已知时，可以使用海伦公式计算面积。
2. 三角形的平衡点：通过重心的性质，可以确定三角形的平衡点。
在物体均匀分布的情况下，平衡点即为重心所在位置。
3. 三角形高的计算：通过垂线的长度关系，可以计算出三角形的高。
这在解决与三角形高相关的问题时特别有用。
垂直线与垂直线性质的判定
垂直线与垂直线性质的判定一、垂直线的定义与性质1.垂直线的定义：在同一平面内，两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直。
其中一条直线称为另一条直线的垂线。
2.垂直线的性质：（1）垂直线相交成直角；（2）垂线段的性质：垂线段是从一点到直线的最短距离；（3）垂线与直线的交点称为垂足；（4）在同一平面内，通过一点可以作一条且只能作一条垂线与已知直线垂直。
二、垂直线性质的判定1.如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直；2.如果一条直线与另一直线垂直，那么这条直线上的任意一点到另一条直线的距离相等；3.在同一平面内，如果通过一点作已知直线的垂线，那么这条垂线是唯一的；4.在同一平面内，如果两条直线互相垂直，那么它们的斜率的乘积为-1。
三、垂直线的相关定理与公式1.定理：在同一平面内，如果一条直线与另外两条直线分别垂直，那么这两条直线互相平行；2.定理：在同一平面内，如果一条直线与另外两条直线分别平行，那么这两条直线互相垂直；3.公式：直线的斜率k与垂线的斜率k1满足k × k1 = -1。
四、垂直线在实际应用中的例子1.在建筑设计中，垂直线用于确定建筑物立面的垂直度；2.在机械制造中，垂直线用于保证零件的相互垂直度；3.在地理测绘中，垂直线用于确定地球表面上某一点的经度；4.在医学影像学中，垂直线用于诊断和分析患者的器官结构。
五、垂直线的相关练习题1.判断题：在同一平面内，如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直。
（对）2.判断题：在同一平面内，如果一条直线与另一直线垂直，那么这条直线上的任意一点到另一条直线的距离相等。
（对）3.选择题：在同一平面内，通过一点作已知直线的垂线，那么这条垂线是（唯一的一条）。
4.计算题：已知直线L的斜率为2，求与直线L垂直的直线的斜率。
（-1/2）5.应用题：建筑设计中，需要确定一座建筑物立面的垂直度，请问如何利用垂直线来实现？（答案：通过测量和绘制垂直线来确定建筑物的垂直度）习题及方法：1.习题：判断题。
平行线与垂线
平行线与垂线在几何学中，平行线和垂线是两个重要的概念。
平行线指的是在同一个平面上永远不会相交的直线，而垂线则是与给定直线相交，且与该直线的倾斜角度为90度的直线。
这两个概念在解决几何问题时经常会被使用到。
1. 平行线的性质及应用1.1 平行线的定义平行线的定义是指在同一个平面上，没有相交点且始终保持相同的方向。
平行线常用符号"||"表示，并且可以用两对应角度相等的性质来进行验证。
1.2 平行线的性质平行线具有以下性质：- 两条平行线之间的距离是始终相等的。
- 平行线和直线之间的夹角等于对应的内角或外角。
- 平行线与平面中其他直线的任意一条截线的对应内角相等。
1.3 平行线的应用平行线的应用非常广泛，特别是在建筑、工程和地理测量等领域。
在建筑设计中，平行线可以用来确定墙体的垂直方向。
在道路设计中，平行线可以用来规划车行道、人行道等。
2. 垂线的性质及应用2.1 垂线的定义垂线是与给定直线相交，且与该直线的倾斜角度为90度的直线。
垂线常用符号"⊥"表示，并可以通过两直线之间的夹角为90度进行验证。
2.2 垂线的性质垂线具有以下性质：- 垂线上的任意一点到直线的距离是最短的。
- 相互垂直的两条直线之间的夹角为90度。
- 垂线可以划分角度为90度的直角。
2.3 垂线的应用垂线在几何学中有广泛的应用。
在工程学中，垂线可以用来测量高度差、角度等。
在地图绘制中，垂线可以用来标记经纬线和地图上的垂直方向。
在建筑设计中，垂线可以用来确定墙体的垂直方向。
3. 平行线与垂线的关系3.1 平行线和垂线之间的关系平行线和垂线之间的关系是互斥的。
如果两条直线是平行线，则该直线与其他直线的夹角均为0度或180度，不可能为90度。
反之亦然，如果两条直线是垂线，则它们不可能同时是平行线。
3.2 平行线和垂线的应用在几何学中，平行线和垂线经常在解决问题时同时出现。
例如，在解决一个三角形的问题时，我们可能需要找到三角形某个边的平行线和垂线，并利用它们的性质来定位其他线段的位置。
第2课时 垂线及其性质
第2课时垂线及其性质【教学目标】1.理解垂直的概念，会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线.2.掌握过一点有且只有一条直线垂直于已知直线.【教学重点】两条直线互相垂直的概念、性质及画法.【教学难点】过一点作已知直线的垂线.教学过程一、创设情境，导入新课课件展示：教师引导学生观察图片并思考下列问题：如果把十字街上的两条道路看作直线AB和CD，AB、CD相交于点O形成4个角，如果∠AOC＝90°，那么其他3个角的度数是多少？为什么？除利用三角尺和量角器外，教师还可以鼓励学生运用推理得出结论.生：90°，因为对顶角相等，邻角互补.师：上图给我们展现了两条直线相交的一种特殊情况——垂直.教师出示相交线模型，学生观察思考，固定木条a，逆时针转动木条b，当b的位置变化时，a、b所成的角α是如何变化的？生：当b的位置变化时，角α从锐角变为直角再变为钝角.师：当α是直角时是特殊情况，其特殊之处还在于它的相邻的角和对顶角都是直角.垂直的定义：直线AB和CD相交所成的4个角中，如果有一个角是直角，就说这两条直线互相垂直，记作“AB⊥CD”，读作“AB 垂直于CD”，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足.师：垂直定义中“互相垂直”是说两条直线的位置关系，而“垂线”是其中一条直线对另一条直线的称呼.你能举出在日常生活中，两条直线互相垂直的情形吗？生：黑板相邻的两条缘线，地砖间的缝隙、围棋盘上的方格线、方格纸上的横竖线等，引导学生多举生活中的垂直实例.二、操作实践，探究性质师：同学们在纸上画一条直线l，你能画出直线l的垂线吗？试试看，这样的垂线l能画多少条？学生可用折纸法和利用三角尺或量角器.生：能画垂线，并有无数条.师：你能过直线l上一点P画直线l的垂线吗？试试看，能画几条？学生画图交流得出：能画垂线，并且只有一条.师：若点P在直线l外，你会过点P画直线l的垂线吗？试试看，能画几条？学生动手操作，并分组讨论得出：能画垂线，并且只有一条.学生完成后，教师示范：1.用三角尺画垂线：一靠——让三角尺的一条直角边靠住已知直线；二移——沿直线左右移动三角尺，让另一条直角边靠住已知点；三画——沿这条直角边画直线.2.用折线法画垂线：教师引导学生仿照课本所示的方法操作.师：通过以上的画图和折纸，你知道过一点画已知直线的垂线能画几条吗？鼓励学生运用自己的语言描述所得到的结论.生：过一个点有一条直线垂直于已知直线.师：以上的两个活动汇成了一点认识：只要通过一个点，不管这点在直线上，还是在直线外向已知直线作垂线能作一条且只能作一条.用简洁的语言表达出来就是：过一点有且只有一条直线垂直于已知直线.注意画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线.三、巩固练习1.如图，三角形ABC中，D是BC的中点，连接AD，请分别画出自点B、C向AD所作的垂线(垂足为E、F).第1题图第3题图2.下列语句中，正确的有__3__个.①两条直线相交成四个角，如果有两个角相等，那么这两条直线垂直；②两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么这两条直线垂直；③一条直线的垂线可以画无数条；④在同一平面内，经过一个已知点能够画一条且只能画一条直线和已知直线垂直.3.如图，OA⊥OB，OC⊥OD，若∠DOA＝140°，则∠COB＝__40°__.四、课堂小结教师引导学生一起回顾这节课所学的主要内容及注意哪些问题，鼓励学生用自己的语言进行回答，教师归纳总结.1.垂直的定义.2.性质1.3.过一点画已知直线的垂线.。
垂线的性质和判定
二、典例精析：判定及性质应用
例1(1)如图1，若直线m、n相交于点O,∠1＝90°,则m⊥n；
(2)如图2，BO⊥AO，∠BOC与∠BOA的度数之比 为1∶5，那么∠COA＝_7_2_°_,∠BOC的补角为 162°.
m
1
O
n
图1
B C
O
A
图2
三、探究垂线的画法
你能借助三角尺在一张白纸上画出两条互相垂 直的直线吗？
l
B
2.你能用一句话表示这个结论吗？
CD
E
总结归纳
垂线的性质3 ： 在连接直线外一点与直线上各点的
线段中，垂线段最短.
简单说成：垂线段最短.
A
特别规定：
l D
线段AD的长度叫做点A到直线l的距离.
试一试： 在灌溉时，要把河中的水引到农田P处，如 何挖掘能使渠道最短？请画出图来，并说明理由.
垂线段最短 m
一、情境引入,探究概念 日常生活中，如图中的两条直线的关系很常见
知识要点 垂直定义： 两条直线相交成四个角，如果有一 个角是直角，那么称这两条直线互 相垂直.
特别的，两条线段互相垂直是 指这两条线段所在的直线互相垂 直.
垂直的表示法
如果直线AB与直线CD垂直，那么可记
作：AB⊥CD（或CD⊥AB）.
如果用l、m表示这两条直线，那么直 线l与直线m垂直，可记作：l⊥m（或m ⊥
C l
l）.
A
O mB
垂线的定义
D
其中一条直线叫做另一条直线的垂线。
垂足的定义
把互相垂直的两条直线的交点叫作垂足 （如图中的O点）.
垂直的判定 如图，当直线AB与CD相交于O点，∠AOD=90° 时，AB⊥CD，垂足为O.
垂直线的性质
垂直线的性质垂直线是我们在几何学里常常遇到的一种特殊情况，其性质与其他直线形式有所不同。
在本文中，我们将探讨垂直线的定义、性质以及相关定理。
通过对垂直线的深入理解，我们可以更好地应用它们来解决几何问题。
1. 垂直线的定义垂直线是指两条直线在某一点上交成的角度为90度的情况。
当两条直线互相垂直时，它们可以称为垂直线。
2. 垂直线的性质垂直线具有以下几个重要的性质：- 垂直线之间的角度为90度。
当两条线段相交形成的角度为90度时，我们可以判定它们是垂直的。
- 垂直线上的点到另一条直线的距离相等。
当一条垂直线上的点垂直于另一条直线时，该点到直线的垂直距离将与垂线的长度相等。
- 垂直线可以帮助我们确定形状和位置。
在建筑设计、工程测量和几何推理中，垂直线经常被用来确定垂直关系和形状位置。
3. 相关定理- 垂直线与水平线的关系：垂直线与水平线构成直角。
- 平行线与垂直线的关系：如果一条直线与两条平行线相交，且与其中一条平行线垂直，则它也与另一条平行线垂直。
通过对垂直线性质的深入理解，我们可以应用这些性质来解决一些相关的几何问题。
例如，在解题时，我们可以利用垂直线的定义和性质来确定符合条件的几何形状，从而找出问题的答案。
总结垂直线是几何学中常见的一种直线形式，其性质与其他直线有所不同。
了解垂直线的定义、性质以及相关定理对我们理解几何学中的垂直关系和问题求解非常重要。
在应用垂直线解题时，我们需要灵活运用这些性质，挖掘出问题中的隐藏条件，进而找到正确的答案。
最重要的是，在学习垂直线的同时，我们也需要与其他几何概念和定理进行联系，形成一个完整而系统的几何学知识框架。
沪科版七年级下第10章第3课时《垂线段的定义和性质》课件
1. 跳水比赛中，入水时水花的 大小直接影响跳水的成绩。那么，水 花的大小是什么原因造成的？
2. 如果用一条直线代表水面， 用另一条直线表示身体，试画出无 水花、水花小 、水花大的示意图。
水花大
A C B O D
水花小
无水花
A O C D
B
直线AB、CD相交于 点O.
在灌溉时，要把河中的水引到农田 P 处，如何 挖渠能使渠道最短？
D
C
B
O
Aห้องสมุดไป่ตู้
3.如图，点P为直线l外一点，点A、B、C、D、E为 直线l上五点，PD=2厘米，则点P到直线l的距离是 ( ) A、2厘米 B、小于2厘米 C、不大于 2厘米 D、 大于2厘米
P l
A B CD
E
在灌溉时，要把河中的水引到农田 P 处，如何 挖渠能使渠道最短？
作业布置
1、书面作业： 课本P120习题10.1中第2、3题； 2、课外作业： 课本P120习题10.1； 同步完成《基训》； 预习《平行线的判定》。
垂线的性质
有且只有一条 • 过一点有且只有一条直线与已知直线垂 直。
线段、射线的垂线应怎么画呢？
P
Q
A
B
O
A
如图,量出（1）村庄A与货场B的距离, （2）货场B到铁道的距离。 20m
30m
A
25m
8m 答:……。 B
C
0m
10m
如图，1)画出线段BC的中点M，连结 AM； 2)比较点B与点C到直线AM的距离。
9cm ∴BP=CQ
A Q M P
9cm C
20cm
B
0cm
10cm
30c
如图，点M、N分别在直线AB、CD上， 用三角板画图， 1)过M点画CD的垂线交CD于F点, MN 的长， 2)M点和N点的距离是线段____ MF 的长。 3)M点到CD的距离是线段____ M A B ∴直线MF为所 求垂线。 D F C N
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3.在图10-6探究中哪条线段的长度是点P
到直线 的距离？
ι
线段、射线的垂线应怎么画呢？
P
Q
A
B
O
A
注意:画线段(或射线)的 垂线时,有时要将线段 延长(或将射线反向延 长)后再画垂线.
思考
在灌溉时，要把河中的水引到农田P 处，如何挖渠能使渠道最短？
p
二、概念
P
A
B
C
D
m
连接直线外一点与直线上各点的所有 线段中，垂线段最短。 垂线段最短 简单说成：垂线段最短． 垂线段的长度 直线外一点到这条直线的垂线段的长度， 叫做点到直线的距离。
C
B
D
A
练习
1、 在直角三角形的三条边中哪一条 最长？
答:直角所对的边即斜边最长.
2.如图, AB⊥CD, ∠C=900 ,线段AC、BC、CD 中最短的是( C )
(A) AC
(B) BC
(C) CD
(D) 不能确定 C
A
D
B
想一想： 已知： 如图AD＜AE ＜AC＜AB 能说AD的长是A到BC的 A 距离吗？
O
．
4、 文峰学校第六届运动会上，701班一名运动员第五 跳打破了年级记录。如图A、B为这一跳的脚印落点， 起跳线为CD。请画图说明如何测量他的成绩。
C F
D
┓ • •
A
EB
解：过脚印B的后跟E作EF⊥CD，垂足为点F。
那么垂线段EF的长度就是这名运动员跳远的成绩。
5、如图所示，在△ABC中，∠ABC=90
问题3：若蚂蚁在点M处，想 爬到棱BC上，请你设计一条最 佳路线。
1、垂线性质2：垂线段最短。
2、点到直线的距离的应用。
7、如图2-22，AC⊥BC于C，CD⊥AB于D,DE⊥BC 于E.试比较四条线段AC，CD，DE和AB的大小
解：∵ AC⊥BC于C，(已知) ∴ AC＜AB．(垂线的性质二) 又∵ CD⊥AD于D，(已知) ∴ CD＜AC．(垂线的性质二) ∵ DE⊥CE于E，(已知) ∴ DE＜CD．(垂线的性质二) ∴ AB＞AC＞CD＞DE．
，
①过点B作三角形ABC的AC边上的高BD，过D点作三角 形ABD的AB边上的高DE。 AB ②点A到直线BC的距离是线段 的长度. 点B到直线AC的距离是线段 点D到直线AB的距离是线段 A 线段AD的长度是点 到直线 B E BD DE BD 的长度. 的长度 的距离.
A
D
C
6、已知点A，与点A的距离是5cm的直线可画( D ) A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 无数条
9cm ∴BP=CQ
A Q
9cm C
20cm
B
M 0cm P 10cm
30c
2、如图，点M、N分别在直线AB、CD上， 用三角板画图， 1)过M点画CD的垂线交CD于F点, MN 2)M点和N点的距离是线段____的长， MF 3)M点到CD的距离是线段____的长。 M A B ∴直线MF为所 求垂线。 D F C N
解决应用 在灌溉时，要把河中的水引到 农田P处，如何挖渠能使渠道 最短？
垂线段最短
C
例、如图所示，在△ABC中∠ACB=90 ，CD⊥AB 于D。若AC=4cm，BC=3cm,AB=5cm,则点A 到直线BC的距离为 4 cm，点B到直线AC 的距离 3 cm，点c到直线AB的距离 12 为 cm。 5
汇英中学七年级数学组
1、直线相交时有几种情况？ 斜交和垂直 2、怎样的两条直线我们称它们互相垂直？ 两条直线相交，如果有一个角是直角。 3、一条直线仅有一条垂线。对吗？ 有无数条 4、如图，过点P，Q画出线段或射线的垂线
自学方法：自学课本第119—120页
1.仔细观察探究中图10-6所有的线段，最短的 一条是线段_______；从而我们可以得出结 论：______________________________. 简单说成：____________. 2.______________________________，叫 做点到直线的距离.
3、如图2-23，试用直尺或三角板量出： 1.城市A与城市B的距离． 2.城市A，B到大河l的距离．
G D M· C
┏
问题1：长方体的顶点A处有 一只蚂蚁想爬到点C处，请你 帮它画出爬行的最佳路线。并 F 说明理由。 问题2：若A处的蚂蚁想爬到 棱BC上，你认为它的最佳路线 是什么？
N
B
E
· A
（B）线段AB的长度叫做点A到直线AC的距离 （C）线段BD的长度叫做点D到直线BC的距离 （D）线段BD的长度叫做点B到直线AC的距离 B
3、如图所示，有两条高速公路l，m，点P为公路l上的一 个出口，现要经过点P建一连接两高速公路的一段通道， 欲使路程最短，应怎样施工？
过点P作直线m的垂线段PO Ｐ l m
答：不能。
B D EC
B
1、如图，点A处是一座小屋， BC是一条公路，一人在O处。 A
． ． O
P
（1）此人到小屋去，怎样走最近？ 为什么？（连接AO,两点之间线段 最短） （2）此人要到公路去，怎样走最 近？为什么？（垂线段最短） 2、下列说法正确的是（ D ）
C
A
D C
（A）线段AB叫做点B到直线AC的距离。
思考：如图，怎样测量 点A 到 直线m 的距离？
A
10m
B
20m
1.过点A画出直线m的垂线AB,垂足为B; 2.用直尺量出垂线段AB的长.
0m
m
例1、如图,量出（1）村庄A与货场B 的距离,（2）货场B到铁道的距离。 20m
m
A 25m
B
0m
8m
C
10m
练习
1、如图， 1)画出线段BC的中点M，连结AM； 2)比较点B与点C到直线AM的距离。