第二章 第二课时 函数的解析式

2．(2011 辽宁)设函数
21－x，x≤1， f(x)＝ 1－log2x，x>1，
则满足不等
式 f(x)≤2 的 x 的取值范围是( D ) A．[－1,2] C．[1，＋∞] B．[0,2] D．[0，＋∞]
【解析】当 x≤1 时，由 21－x≤2，知 x≥0，即 0≤x≤1；当 1 x>1 时，由 1－log2x≤2，知 x≥ ，即 x>1. 2 所以满足不等式 f(x)≤2 的 x 的取值范围是[0，＋∞)．
第32页 知识要点
函数的三种表示法：解析法、图象法、列表法．
数学表达式 1.解析法，就是用____________表示两个变量之间的对应关 数学表达式 系．有些对应关系不只用一个____________表示，它需要_______表 分段
示. 分段函数是当前高考考查的热点， 由于分段函数能将不同的函数 揉合在一起，因此对于考查函数的性质方面可以有一定的覆盖面且
【点评】(1)设一元二次函数解析式要注意一般式、顶点式、 标根式的选择．对于(2)要特别注意 t 的取值范围．
展示1 已知函数 f(x)是一次函数，若 f[f(x)]＝4x－1，则 f(x) ＝__________.
【解析】(1)设 f(x)＝kx＋b，则 f[f(x)]＝f(kx＋b)＝k(kx＋b) ＋b＝k2x＋kb＋b＝4x－1.
【答案】C
【解析】连接 PO, 过 O 作 OB⊥AP 于 B. AP ∵OA＝1, 的长为 l，∴∠AOP＝l. l ∴d＝AP＝2AB＝2sin (0≤l≤2π)， 2 l 即 f(l)＝2sin (0≤l≤2π)．所以图象为 C. 2
方法点拨：①如果已知函数的结构类型时，求函数解析式， 可用待定系数法； ②如果已知函数 flg(x)]的解析式时， 求函数 f(x) 的解析式，可用换元法或配凑法；③根据实际问题求函数解析 式时，必须引入适当的变量，根据实际意义和相关数学知识找 出函数关系；④求抽象函数的解析式，可用赋值法．
2 1 x ＋ ，－1<x<0， 2 展示3 已知函数 f(x)＝ 若 f(1)＋f(a)＝2，则 ex－1，x≥0， 2 1 或－ 2 实数 a 的值为________．
【解析】∵f(1)＝e1－1＝1， ∴f(a)＝2－f(1)＝1. 当 a≥0 时，ea 1＝1，即 a＝1； 1 2 2 当 a＜0 时，a ＋2＝1，即 a＝－ 2 .∴a＝1 或 a＝－ 2 . 方法点拨：求自变量和函数值，一般是代入解析式计算即
图象 3.图象法，就是用______表示两个变量之间的对应关系．函
数图象作为高中数学的一个“重头戏”，其重要作用在于直观， 能够轻松地得知结论，函数中的许多性质都可以从图象上去观 察．图象法的优点：直观、形象地表示自变量变化时相应函数 变化趋势 值的________，有利于研究函数的某些性质．
列出表格 4.列表法，就是________来表示两个变量之间的对应关
函数与自变量之间建立的桥梁． 求函数的解析式是高考中常见问题， 其特点是类型活、方法多．求函数的解析式常有以下几种方法：①
换元法 如果已知函数 f[g(x)]的解析式时， 可用____________或配凑法求解； 待定系数法 ②如果已知函数的结构类型时，可用____________ 赋值法 求解；③求抽象函数的解析式时，可用____________
(3)直接列方程组求解． 由 2f(x)＋f(－x)＝3x＋2，用－x 代换上式中的 x， 得 2f(－x)＋f(x)＝－3x＋2.
2 得 f(x)＝3x＋3.
【点评】函数的解析式是函数与自变量之间的一种对应关系， 是函数与自变量之间建立的桥梁．求函数的解析式是高考中 的常见问题，其特点是类型活，方法多．求函数的解析式常 有以下几种方法：①如果已知函数 f[f(x)]的表达式，可用换元 法或配凑法求解；②如果已知函数的结构，可用待定系数法 1 求解；③如果所给式子含有 f(x)、f(x)或 f(x)、f(－x)等形式， 可构造另一方程，通过解方程组求解．
【点评】 抽象函数由于只给出函数的某些性质， 却不知道具体 函数的解析式， 因而成为函数问题中的一个难点， 但这类问题 能很好地考查学生的思维能力． 解决抽象函数问题， 要全面应 用其所具有的性质展开解题思路， 通常的方法是赋值法， 并善 于根据题目条件寻找该函数的一个原型， 帮助探求结论， 找到 解题的思路和方法．
函数的图象如图所示
【点评】建立简单问题的函数解析式，首先要选定变量， 然后寻找等量关系，求得函数表达式．表达式可以是分段函 数．解题过程有时需要分类讨论．求函数解析式，要注意定义 域．画函数图象要注意引用常用函数的图象．
展示2 如下图所示，设点 A 是单位圆上的一定点，动点 P 从点 A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点 P 所旋转过的弧 的长为 l, 弦 AP 的长为 d， AP 则函数 d＝f(l)的图象大致是( )
素材3
(1)函数 f(x)的定义域是(0，＋∞)，对任意正实数 m，n 恒 有 f(mn)＝f(m)＋f(n)， f(2)＝－1， f(1)＝ 且 则 1 ， 2)＝ f( ；
x2 1 1 (2)已知函数 f(x)＝ ，则 f(1)＋f(2)＋f(2)＋f(3)＋f(3) 1＋x2 1 ＋f(4)＋f(4)＝ .
考点二 求自变量和函数值
fx＋2，x＜2， f(x) ＝ －x 2 ，x≥2，
示范3 若 函 数 ( C ) A．2
则 f( － 3) 的 值 为
B．8
1 C.8
1 D.2
解析 f(－3)＝f(－3＋2)＝f(－1)＝f(－1＋2)＝f(1)＝f(1＋2) 1 －3 ＝f(3)＝2 ＝8. 【点评】关键要明确自变量的取值属于哪一范围，用该范 围的解析式来计算．
2a－1＝0， 上式恒成立，则 a＋b＋1＝0，
1 a＝2， 得 b＝－3. 2
1 2 3 故 f(x)＝ x － x＋2. 2 2
(2)若 f( x＋1)＝x－1，那么 f(x)＝________.
(2)设 x＋1＝t，则 x＝(t－1)2 且 t≥1，∴f(t)＝(t－1)2－ 1∴f(x)＝(x－1)2－1(x≥1)．
(2)方法 1：配凑法 因为 f(3x＋1)＝9x －6x＋5 ＝(3x＋1)2－6x－1－6x＋5 ＝(3x＋1)2－4(3x＋1)＋8. 所以 f(x)＝x2－4x＋8.
2
方法 2：换元法 t－1 令 3x＋1＝t，则 x＝ 3 ， t－1 2 t－1 所以 f(t)＝9· 3 ) －6· 3 ＋5 ( ＝t2－2t＋1－2t＋2＋5 ＝t2－4t＋8. 所以 f(x)＝x2－4x＋8.
1 (2)证明：当 x≠0 时，因为 x·＝1， x 1 1 于是 f(1)＝f(x·)＝f(x)＋f(x)＝0， x 1 所以 f(x)＋f(x)＝0. (3)因为 f(2)＝m，f(3)＝n， 所以 f(36)＝f(22)＋f(32)＝f(2×2)＋f(3×3)＝2f(2) ＋2f(3)＝2(m＋n)．
分析 实际上是用 t 来表示面积 f(t)．
1 32 解析 当 0＜t≤1 时，f(t)＝ ·t· 60° ＝2t. 2 t·tan 1 1 当 1＜t≤2 时，f(t)＝2· 3－2(2－t)(2－t)tan 60 ° 2 3 ＝ 3－ 2 (t－2)2；当 t＞2 时， f(t)＝ 3. ∴f(t)＝ 32 2 t ，0＜t≤1 3 3－ 2 t－22，1＜t≤2 3，t＞2
函数的解析式
(1)已知 f(x)是一次函数，并且满足 3f(x＋1)－ 2f(x－1)＝2x＋17，求函数 f(x)的解析式； (2)已知函数 f(x)满足 f(3x＋1)＝9x2－6x＋5， 求函 数 f(x)的解析式； (3)已知 2f(x)＋f(－x)＝3x＋2，求 f(x)．
【解析】 (1)设 f(x)＝kx＋b(k≠0)， 则 3f(x＋1)－2f(x－1)＝3k(x＋1)＋3b－2k(x－1)－ 2b＝kx＋5k＋b＝2x＋17， 所以 k＝2,5k＋b＝17，所以 b＝7，故 f(x)＝2x＋7.
分析 (1)已知函数类型可用待定系数法； (2)可用换元法．
(1)已知函数 f(x)是二次函数且 f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1，求 函数 f(x)的解析式；
解析 (1)设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 由 f(0)＝2 得 c＝2，由 f(x＋1)－f(x)＝x－1， 即 a(x＋1)2＋b(x＋1)＋2－[ax2＋bx＋2]＝x－1， 得(2a－1)x＋a＋b＋1＝0.
2
－
可.分段函数求函数值要确定自变量的所属范围，分段函数求自 变量要分类求解.对抽象函数求值问题，一般都用赋值法.
本课的主要考点：(1)求函数的解析式；(2)求函数值；(3)画 函数的图象；(4)分段函数问题．函数的三种表示方法是可以相 互转化的．解决这些问题可以涉及到方程问题、不等式问题. 数 学思想方法有分类讨论、等价转化、数形结合、换元法、配方 法、待定系数法等．解决问题的关键是抓住函数解析式及其定 义域．
k2＝4， ∴ kb＋b＝－1.
k＝2， k＝－2， ∴ 1 或 b＝1. b＝－3
1 ∴f(x)＝2x－ 或 f(x)＝－2x＋1. 3
示范2
如图所示，已知△OAB是边长为2的正三角形，记
△OAB位于直线x＝t(t＞0)左侧的图形的面积为f(t)，试求函数f(t) 的解析式，并画出函数y＝f(t)的图象．
系．列表法的优点是不需计算就可以看出与自变量的值相对应 函数值 的________．
第33页 考点剖析
考点一 函数的解析式 示范1 (1)已知函数 f(x)是二次函数且 f(0)＝2，f(x＋1)－f(x) ＝x－1，求函数 f(x)的解析式； (2)若 f( x＋1)＝x－1，那么 f(x)＝________.