圆周角
圆周角-PPT课件
E
20°
30°
∴∠ABF=∠D=20°，∠FBC=∠E=30°.
∴∠x=∠ABF+∠FBC=50°.
A F
C
下列说法是否正确，为什么？
拓展巩固
“在同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等”.
一条弦所对应的圆周角有两类.
D
如图所示，连接BO、EO. 显然，∠C与∠D所对应的圆心角和为 ，
O.
所以36根0°据圆周角定理可知∠C+∠D = . 180°
通过积极引导，帮助学生有意识地积累活动经验，获得成功的 体验.
知识回顾
O
1.圆心角的定义?
顶点在圆心的角叫圆心角.
A
B
2.图中∠ACB 的顶点和边有哪些特点？
C
考考你：你能仿照圆心角的定义，给下
图中象∠ACB 这样的角下个定义吗？
O
A
B
探索新知
顶点在圆上，并且两边都和圆相交 的角叫圆周角．（两个条件必须同时具备，缺一不可）
24.1 圆的有关性质
24.1.4 圆周角
教学目标
【知识目标】 理解圆周角的概念。探索圆周角与同弧所对的圆心角之间的关
系，并会用圆周角定理及推论进行有关计算和证明. 【能力目标】
经历探索圆周角定理的过程，初步体会分类讨论的数学思想， 渗透解决不确定的探索型问题的思想和方法，提高学生的发散思维能 力. 【情感目标】
意两点，连接AB，AC，BD，CD.∠A与∠D相等吗？ 请说明理由.
D
同弧所对的圆周角相等.
问题2 如图，若
,那么 ∠A与∠B相等吗？
想一想： 反过来，若∠A=∠B，那么
成立吗？
AB E
O
C
圆周角知识总结
圆周角定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。
圆周角定理：同弧或等弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半。
这一定理叫做圆周角定理。
定理证明已知在⊙O中，∠BOC与圆周角∠BAC同对弧BC，求证：∠BOC=2∠BAC.证明：情况1：如图1，当圆心O在∠BAC的一边上时，即A、O、B在同一直线上时：图1∵OA、OC是半径解：∴OA=OC∴∠BAC=∠ACO（等边对等角）∵∠BOC是△AOC的外角∴∠BOC=∠BAC+∠ACO=2∠BAC情况2：如图2,，当圆心O在∠BAC的内部时：连接AO，并延长AO交⊙O于D图2∵OA、OB、OC是半径解：∴OA=OB=OC∴∠BAD=∠ABO，∠CAD=∠ACO（等边对等角）∵∠BOD、∠COD分别是△AOB、△AOC的外角∴∠BOD=∠BAD+∠ABO=2∠BAD∠COD=∠CAD+∠ACO=2∠CAD∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2(∠BAD+∠CAD)=2∠BAC情况3：如图3，当圆心O在∠BAC的外部时：图3连接AO，并延长AO交⊙O于D解：∵OA、OB、OC、是半径∴∠BAD=∠ABO（等边对等角）,∠CAD=∠ACO(OA=OC）∵∠DOB、∠DOC分别是△AOB、△AOC的外角∴∠DOB=∠BAD+∠ABO=2∠BAD∠DOC=∠CAD+∠ACO=2∠CAD∴∠BOC=∠DOC-∠DOB=2(∠CAD-∠BAD)=2∠BAC定理推论：1.一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；2.圆周角的度数等于它所对的弧度数的一半；3.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等。
4.半圆（直径）所对的圆周角是直角。
5.90°的圆周角所对的弦是直径。
注意：在圆中，同一条弦所对的圆周角有两个，一个是优弧所对的角，一个是劣弧所对的角。
圆周角定理
∵∠1=∠2,∴ = ,
∴BF=CG, = ,
∴∠FBD=∠GCE.
又 ∵BD=CE,∴△BFD≌△CGE,
∴∠F=∠G,∴ = ,
∴AB=AC.
题型一
题型二
题型三
题型三
易错辨析
易错点:误认为同弦或等弦所对圆周角相等而致错
【例3】 如图,若∠BAD=75°,则∠BCD=
分成两条弧:优弧和劣弧,若圆周角的顶点同在优弧上或同在劣弧
上,同弦或等弦所对的圆周角相等;若一个圆周角的顶点在优弧上,
另一个圆周角的顶点在劣弧上,则同弦或等弦所对的圆周角不相等,
它们互补(如本题).
(2)在圆周角定理的证明中,运用了数学中分类讨论和化归的思想
以及归纳的证明方法.这个定理是从特殊情况入手研究的,首先研
究当角的一边过圆心时,得到圆周角与同弧所对的圆心角的关系,
然后研究当角的一边不经过圆心时,圆周角与同弧所对的圆心角之
间的关系.当角的一边不经过圆心时,又有两种情况:一是圆心在圆
周角内部;二是圆心在圆周角外部.经过这样不同情况的讨论,最后
第二讲
直线与圆的位置关系
一
圆周角定理
1.了解圆心角定理,并能应用定理解决问题.
2.理解圆周角定理及其两个推论,并能应用定理解决有关问题.
圆周角定理的理解
剖析:(1)应用圆周角定理时,要注意的问题如下:
圆周角定理推论1中,同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等.
这一定理成立的前提是同圆或等圆,否则不成立.
角形,从而得到成比例线段,再列方程求得线段长.
题型一
题型二
题型三
【变式训练 1】 如图,已知△ABC 内接于☉O, = , 点是
圆周角—知识讲解(基础)
圆周角--知识讲解（基础）责编：常春芳【学习目标】1．理解圆周角的概念．了解圆周角和圆心角的关系；2．理解圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都等于这条弧所对的圆心角的一半；3．理解圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90•°的圆周角所对的弦是直径；4．掌握圆内接四边形的对角互补.5．熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用；通过观察、比较、分析圆周角与圆心角的关系，发展学生合情推理能力和演绎推理能力．【要点梳理】要点一、圆周角1.圆周角定义：像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．2.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．3.圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．要点诠释：(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.（3）圆心与圆周角存在三种位置关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的外部．（如下图）要点二、圆内接四边形如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.圆内接四边形的对角互补.圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）.要点诠释：圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．【典型例题】类型一、圆周角、圆心角、弧、弦之间的关系及应用1.如图，在⊙O中，，求∠A的度数.【答案与解析】.【总结升华】在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的圆周角相等，所对的弦也相等．举一反三：【变式】如图所示，正方形ABCD内接于⊙O，点E在劣弧AD上，则∠BEC等于( )A．45° B．60° C．30° D．55°【答案】A.∵ AB＝BC＝CD＝DA，∴»»»»90 AB BC CD DA====°，∴∠BEC＝45°．类型二、圆周角定理及应用2.观察下图中角的顶点与两边有何特征? 指出哪些角是圆周角?【思路点拨】根据圆周角的定义去判断，顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角.【答案与解析】(a)∠1顶点在⊙O内，两边与圆相交，所以∠1不是圆周角；(b)∠2顶点在圆外，两边与圆相交，所以∠2不是圆周角；(c)图中∠3、∠4、∠BAD的顶点在圆周上，两边均与圆相交，所以∠3、∠4、∠BAD是圆周角．(d)∠5顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆不相交，所以∠5不是圆周角；(e)∠6顶点在圆上，两边与圆均不相交，由圆周角的定义知∠6不是圆周角.【总结升华】紧扣定义，抓住二要素，正确识别圆周角．3.（2015•台州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC=BC=DC．（1）若∠CBD=39°，求∠BAD的度数；（2）求证：∠1=∠2．【答案与解析】（1）解：∵BC=DC，∴∠CBD=∠CDB=39°，∵∠BAC=∠CDB=39°，∠CAD=∠CBD=39°，∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=39°+39°=78°；（2）证明：∵EC=BC，∴∠CEB=∠CBE，而∠CEB=∠2+∠BAE，∠CBE=∠1+∠CBD，∴∠2+∠BAE=∠1+∠CBD，∵∠BAE=∠CBD，∴∠1=∠2．【总结升华】本题主要考查了圆周角定理和等腰三角形的性质，熟悉圆的有关性质是解决问题的关键．举一反三：【变式】（2015•安顺）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=22.5°，OC=4，CD的长为（）A．2B．4C．4D．8【答案】C.提示：∵∠A=22.5°，∴∠BOC=2∠A=45°，∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，∴CE=DE，△OCE为等腰直角三角形，∴CE=OC=2，∴CD=2CE=4．故选：C．类型三、圆内接四边形4.如图，在圆的内接四边形ABCD中，∠ABC=120°，则四边形ABCD的外角∠ADE的度数是（）A．130° B．120° C．110° D．100°【思路点拨】先根据圆内接四边形的对角互补及邻补角互补得出∠ADC+∠B=180°，∠ADC+∠ADE=180°，然后根据同角的补角相等得出∠ADE=∠B=120°．【答案】B；【解析】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠ADC+∠B=180°，∵∠ADC+∠ADE=180°，∴∠ADE=∠B．∵∠B=120°，∴∠ADE=120°．【总结升华】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形对角互补的性质是解答此题的关键．举一反三：【变式】如图，四边形ABCD是圆内接四边形，∠BAD=108°，E是BC延长线上一点，若CF平分∠DCE，则∠DCF的大小是（）A．52°B．54°C．56°D．60°【答案】B．解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∠BAD=108°，E是BC延长线上一点，∴∠DCE=∠BAD=108°．∵CF平分∠DCE，∴∠DCF=∠DCE=54°．5.如图，四边形ABCD内接于圆O，若∠BOD=130°，则∠DCE=°．【思路点拨】由圆周角定理，可求得∠A的度数，又由圆的内接四边形的性质，可得∠DCE=∠A．【答案】65；解：∵∠BOD=130°，∴∠A=∠BOD=65°，∵∠A+∠BCD=180°，∠DCE+∠BCD=180°，∴∠DCE=∠A=65°．【总结升华】此题考查了圆的内接四边形的性质以及圆周角定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．举一反三：【变式】如图，点C是AB上一点，O是圆心，且∠AOB=120°，则∠ACB=度．【答案】120；解：设点E是优弧AB上的一点，∵∠AOB=120°，∴∠AEB=60°，∴∠ACB=180°﹣∠AEB=120°．。
圆周角课件(人教版)
(
(
D
144
( (
(
证明：(1)连接OF.∵F点为AB的中点，
∴OF⊥AB，且AF=BF. ∵CM⊥AB，∴OF∥CM， ∠ ∵MOCCF==O∠F，CF∴O.∠FCN=∠CFO，
∴∠MCF=∠FCN，即CF平分∠MCN (2)连接OM.∵OF∥CM，∴∠MOF=∠M，∠FON=∠MCN. ∵OC=OM,∴∠MCN=∠M,∴∠MOF=∠FON,∴FM=FN，
AB=CD,∠AOB=60°,则∠BDC的度数是（ C ）
A.20° B.25° C.30° D.40°
解析：由BD是⊙O的直径，点A、C在⊙O上， AB=CD，∠AOB=60°,利用在同圆或等圆中 同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对 的圆心角的一半，即可求得∠BDC的度数.
解：∵AB=CD，∠AOB=60° BDC 1 AOB 30 2 故选C.
⌒
探究3：如图所示图中，∠AOB=180°则∠C1, ∠C2, ∠C3等 于多少度呢？从中你发现了什么？
归纳：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所 对的弦是直径。圆内接四边形的对角互补。
知识点一 圆周角定理
A
A
知识点二 圆周角定理推论及其应用
2
C
知识点三 圆内接四边形
B
B
例1：如图，△ABC内接于⊙O，OD⊥BC于D，∠A
则∠ABC的度数是( ) D
A．80°
B．160°
C．100°
D．80°或100°
解析：当点B在优弧AC上时， ABC 1 AOC 180；
当点B在劣弧上时,
2
∠AB’C＝180°-∠ABC＝180°-80°＝100°.
所以∠ABC的度数是80°或100°．
圆周角—知识讲解(基础)
圆周角--知识讲解（基础）【学习目标】1．理解圆周角的概念．了解圆周角和圆心角的关系；2．理解圆周角的定理及圆周角定理的推论；3．熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用；通过观察、比较、分析圆周角与圆心角的关系，发展学生合情推理能力和演绎推理能力．【要点梳理】要点一、圆周角1.圆周角定义：像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．2.圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半．要点诠释：(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.（3）圆心与圆周角存在三种位置关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的外部．（如下图）3.圆周角定理的推论1：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．4.圆周角定理的推论2：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等,相等的圆周角所对的弧也相等.【典型例题】类型一、圆周角、圆心角、弧、弦之间的关系及应用1.（2016•台湾）如图，圆O通过五边形OABCD的四个顶点．若=150°，∠A=65°，∠D=60°，则的度数为何？（）A．25 B．40 C．50 D．55【思路点拨】连接OB，OC，由半径相等得到三角形OAB，三角形OBC，三角形OCD都为等腰三角形，根据∠A=65°，∠D=60°，求出∠1与∠2的度数，根据的度数确定出∠AOD度数，进而求出∠3的度数，即可确定出的度数．【答案】B【解析】解：连接OB、OC，∵OA=OB=OC=OD，∴△OAB、△OBC、△OCD，皆为等腰三角形，∵∠A=65°，∠D=60°，∴∠1=180°﹣2∠A=180°﹣2×65°=50°，∠2=180°﹣2∠D=180°﹣2×60°=60°，∵=150°，∴∠AOD=150°，∴∠3=∠AOD﹣∠1﹣∠2=150°﹣50°﹣60°=40°，则=40°．故选B【总结升华】此题考查了圆心角、弧、弦的关系，弄清圆心角、弧、弦的关系是解本题的关键．举一反三：【变式】如图所示，正方形ABCD内接于⊙O，点E在劣弧AD上，则∠BEC等于( )A ．45°B ．60°C ．30°D ．55°【答案】A.∵ AB ＝BC ＝CD ＝DA ，∴ 90AB BC CD DA ====°，∴ ∠BEC ＝45°．类型二、圆周角定理及应用2.观察下图中角的顶点与两边有何特征? 指出哪些角是圆周角?【思路点拨】根据圆周角的定义去判断，顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角.【答案与解析】(a )∠1顶点在⊙O 内，两边与圆相交，所以∠1不是圆周角；(b )∠2顶点在圆外，两边与圆相交，所以∠2不是圆周角；(c )图中∠3、∠4、∠BAD 的顶点在圆周上，两边均与圆相交，所以∠3、∠4、∠BAD 是圆周角． (d )∠5顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆不相交，所以∠5不是圆周角；(e )∠6顶点在圆上，两边与圆均不相交，由圆周角的定义知∠6不是圆周角.【总结升华】 紧扣定义，抓住二要素，正确识别圆周角．3.如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，点E 在对角线AC 上，EC=BC=DC ．（1）若∠CBD=39°，求∠BAD 的度数；（2）求证：∠1=∠2．【答案与解析】（1）解：∵BC=DC，∴∠CBD=∠CDB=39°，∵∠BAC=∠CDB=39°，∠CAD=∠CBD=39°，∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=39°+39°=78°；（2）证明：∵EC=BC，∴∠CEB=∠CBE，而∠CEB=∠2+∠BAE，∠CBE=∠1+∠CBD，∴∠2+∠BAE=∠1+∠CBD，∵∠BAE=∠CBD，∴∠1=∠2．【总结升华】本题主要考查了圆周角定理和等腰三角形的性质，熟悉圆的有关性质是解决问题的关键．举一反三：【变式】（2015•安顺）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=22.5°，OC=4，CD的长为（）A．2B．4C．4D．8【答案】C.提示：∵∠A=22.5°，∴∠BOC=2∠A=45°，∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，∴CE=DE，△OCE为等腰直角三角形，∴CE=OC=2，∴CD=2CE=4．故选：C．4．如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C，使AC=AB，BD与CD的大小有什么关系？为什么？【思路点拨】BD=CD，因为AB=AC，所以这个△ABC是等腰三角形，要证明D是BC的中点，只要连结AD，证明AD是高或是∠BAC的平分线即可．【答案与解析】BD=CD.理由是：如图，连接AD∵AB是⊙O的直径∴∠ADB=90°即AD⊥BC又∵AC=AB，∴BD=CD.【总结升华】解题的关键是正确作出辅助线.举一反三：【变式】如图，已知⊙O的弦AB、CD相交于点E，的度数为60°，的度数为100°，则∠AEC等于（）A. 60°B. 100°C. 80°D. 130°【答案】C.。
圆周角概念和性质
圆周角教学内容1．圆周角的概念．2．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都等于这条弦所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径及其它们的应用．教学目标1．了解圆周角的概念．2．理解圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都等于这条弧所对的圆心角的一半．3．理解圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90•°的圆周角所对的弦是直径．4．熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用．设置情景，给出圆周角概念，探究这些圆周角与圆心角的关系，运用数学分类思想给予逻辑证明定理，得出推导，让学生活动证明定理推论的正确性，最后运用定理及其推导解决一些实际问题．重难点、关键1．重点：圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题．2．难点：运用数学分类思想证明圆周角的定理．3．关键：探究圆周角的定理的存在．教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们口答下面两个问题．1．什么叫圆心角？2．圆心角、弦、弧之间有什么内在联系呢？老师点评：（1）我们把顶点在圆心的角叫圆心角．（2）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，•那么它们所对的其余各组量都分别相等．刚才讲的，顶点在圆心上的角，有一组等量的关系，如果顶点不在圆心上，它在其它的位置上？如在圆周上，是否还存在一些等量关系呢？这就是我们今天要探讨，要研究，要解决的问题．二、探索新知问题：如图所示的⊙O ，我们在射门游戏中，设E 、F 是球门，•设球员们只能在所在的⊙O 其它位置射门，如图所示的A 、B 、C 点．通过观察，我们可以发现像∠EAF 、∠EBF 、∠ECF 这样的角，它们的顶点在圆上，•并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．现在通过圆周角的概念和度量的方法回答下面的问题．1．一个弧上所对的圆周角的个数有多少个？2．同弧所对的圆周角的度数是否发生变化？3．同弧上的圆周角与圆心角有什么关系？（学生分组讨论）提问二、三位同学代表发言．老师点评：1．一个弧上所对的圆周角的个数有无数多个． 2．通过度量，我们可以发现，同弧所对的圆周角是没有变化的．3．通过度量，我们可以得出，同弧上的圆周角是圆心角的一半．下面，我们通过逻辑证明来说明“同弧所对的圆周角的度数没有变化，•并且 它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半．”（1）设圆周角∠ABC 的一边BC 是⊙O 的直径，如图所示 EF∵∠AOC 是△ABO 的外角∴∠AOC=∠ABO+∠BAO∵OA=OB∴∠ABO=∠BAO∴∠AOC=∠ABO∴∠ABC=∠AOC （2）如图，圆周角∠ABC 的两边AB 、AC 在一条直径OD 的两侧，那么∠ABC=∠AOC 吗？请同学们独立完成这道题的说明过程． 老师点评：连结BO 交⊙O 于D 同理∠AOD 是△ABO 的外角，∠COD 是△BOC的外角，•那么就有∠AOD=2∠ABO ，∠DOC=2∠CBO ，因此∠AOC=2∠ABC ．（3）如图，圆周角∠ABC 的两边AB 、AC 在一条直径OD 的同侧，那么∠ABC=∠AOC 吗？请同学们独立完成证明． 老师点评：连结OA 、OC ，连结BO 并延长交⊙O 于D ，那么∠AOD=2∠ABD ，∠COD=2∠CBO ，而∠ABC=∠ABD-∠CBO=∠AOD-∠COD=∠AOC 现在，我如果在画一个任意的圆周角∠AB ′C ，•同样可证得它等于同弧上圆心角一半，因此，同弧上的圆周角是相等的．从（1）、（2）、（3），我们可以总结归纳出圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 进一步，我们还可以得到下面的推导：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．下面，我们通过这个定理和推论来解一些题目．例1．如图，AB 是⊙O 的直径，BD 是⊙O 的弦，延长BD 到C ，使AC=AB ，BD与CD 的大小有什么关系？为什么？分析：BD=CD ，因为AB=AC ，所以这个△ABC 是等腰，要证明D 是BC 的中点，•只要连结AD 证明AD 是高或是∠BAC 的平分线即可．解：BD=CD理由是：如图24-30，连接AD∵AB 是⊙O 的直径∴∠ADB=90°即AD ⊥BC又∵AC=AB∴BD=CD三、巩固练习1．教材P92 思考题．2．教材P93 练习．四、应用拓展例2．如图，已知△ABC 内接于⊙O ，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别设为a ，b ，c ，⊙O 半径为R ，求证：===2R ． 分析：要证明===2R ，只要证明=2R ，=2R ，=2R ，即sinA=，sinB=，sinC=，因此，十分明显要在直角三角形中进行．证明：连接CO 并延长交⊙O 于D ，连接DB∵CD 是直径121212121212sin a A sin b B sin c Csin a A sin b B sin c C sin a A sin b B sin c C2a R 2b R 2cR∴∠DBC=90°又∵∠A=∠D在Rt △DBC 中，sinD=，即2R= 同理可证：=2R ，=2R ∴===2R 五、归纳小结（学生归纳，老师点评）本节课应掌握：1．圆周角的概念；2．圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都相等这条弧所对的圆心角的一半；3．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．4．应用圆周角的定理及其推导解决一些具体问题．六、布置作业1．教材P95 综合运用9、10、 BC DC sin a Asin b B sin c Csin a A sin b B sin c C。
数学九年级上册圆周角知识点
数学九年级上册圆周角知识点圆周角最初叫詹妮特角，因为它的顶点在圆周上，于是就将其更名为圆周角。
顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。
下面是整理的数学九年级上册圆周角知识点，仅供参考希望能够帮助到大家。
数学九年级上册圆周角知识点一、圆周角定理在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
①定理有三方面的意义：a.圆心角和圆周角在同一个圆或等圆中;(相关知识点如何证明四点共圆)b.它们对着同一条弧或者对的两条弧是等弧c.具备a、b两个条件的圆周角都是相等的，且等于圆心角的一半.②因为圆心角的度数与它所对的弧的度数相等，所以圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半.二、圆周角定理的推论推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等，同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等推论2：半圆(或直径)所对的`圆周角等于90°;90°的圆周角所对的弦是直径推论3：如果三角形一边的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形三、推论解释说明圆周角定理在九年级数学知识点中属于几何部分的重要内容。
①推论1是圆中证明角相等最常用的方法，若将推论1中的“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”结论就不成立.因为一条弦所对的圆周角有两个.②推论2中“相等的圆周角所对的弧也相等”的前提条件是“在同圆或等圆中”③圆周角定理的推论2的应用非常广泛，要把直径与90°圆周角联系起来，一般来说，当条件中有直径时，通常会作出直径所对的圆周角，从而得到直角三角形，为进一步解题创造条件④推论3实质是直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理.数学不等式与不等式组知识点1.不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。
2.一元一次不等式：不等式的左、右两边都是整式，只有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式，叫做一元一次不等式。
3.一元一次不等式组：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。
《圆周角》PPT课件
1.(2008东莞调研文、理)如图所示,圆O上一点C在直径AB上的射影为D，CD=4，BD=8，则圆O的半径等于 ．ABOD
C
分析：由射影定理得
2.如图, ⊙O的直径 AB 为10cm,弦AC为6cm,∠ACB 的平分线交⊙O于 D, 求BC、AD、BD的长.
我能行
3.如图，BC为⊙O的直径，AD⊥BC，垂足为D， ，BF和AD相交于E，求证：AE=BE。
比一比，看谁最快！
2、如上题图，若∠3=∠7，则____=____.
圆周角定理的推论3：
半圆（或直径）所对的圆周角是 ， 90°的圆周角所对的弦是 。
直角
直径
如图，∠AC1B=∠AC2B=∠AC3B=
例1 如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆直径。求证：
A
B
C
D
E
顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。
顶点在圆心的角叫做圆心角。
什么叫做圆周角？圆心角呢?
下列各图中的∠CDE哪些是圆周角?
E
⑴
⑵
⑶
⑷
√
×
√
×
看一看,谁理解?
如图,观察圆周角∠ACB与圆心角∠AOB,它们的大小有什么关系?
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
圆周角定理：
1、如图，∠A是⊙O的圆周角，∠BOC=80°，则∠A= ，2、如图，∠E=46°则∠DOC=_____,∠OCD=______.
∴AE=BE
3.3 圆周角定理
- .
本节学习目标：1、理解圆周角定理、圆心角定理以及两个 推论；2、会利用圆周角定理、圆心角定理以及 两个推论进行计算、证明。
右图中 所对的圆周角是 ， 所对的圆心角是 .
圆的同一条弦对应的圆周角
圆的同一条弦对应的圆周角嘿，大家好！今天我们来聊聊一个关于圆的有趣的话题——圆的同一条弦对应的圆周角。
这不仅是数学中的一个基本概念，而且和我们平时看到的一些图形、设计都有关联呢。
希望你们听了之后，会对这块儿有更深的理解！1. 圆周角的基本概念1.1 圆周角是什么？简单来说，圆周角就是圆内任意一点形成的角度。
想象一下，你站在圆的边上，看着圆的某一部分，这时候你就能看到一个角度。
这个角度就是圆周角。
比如说，如果你看圆上的一段弦，连接这段弦两边的两条射线所形成的角度，就是圆周角。
1.2 圆的同一条弦好，聊完了圆周角，我们再看看“同一条弦”的意思。
简单来说，就是圆里有一条固定的线段（弦），它的两端都在圆的边上。
比如，你可以想象成圆上的一根木棍，它的两头都碰到圆的边。
无论你怎么转动这根木棍，它连接的圆周角都是一样的。
2. 圆周角的特点2.1 同一弦对应的圆周角相等这里有个小秘密：不管你在圆上选择什么点，只要这些点连起来形成的角度都对应于同一条弦，这些角度都是相等的。
说白了，就是圆周角的“忠诚度”特别高，它总是忠于它所对应的弦。
比如，你把一条弦固定在一个地方，然后用不同的点去看这条弦形成的角度，无论你选择哪个点，这个角度都是一样的。
这就是数学中的一个重要性质，叫做“圆周角定理”。
2.2 为何会这样？这个现象听起来可能有点神奇，但其实是有原因的。
当你站在圆周上的时候，形成的角度总是取决于你和弦的相对位置。
这种角度的稳定性，实际上和圆的对称性有关系。
你可以把它想象成圆的“守护神”，确保每一个圆周角都在弦的规则之下，绝不会搞什么花招。
3. 圆周角的应用3.1 生活中的例子生活中到处都有圆周角的身影。
例如，你看到的很多设计图案，特别是那些有圆形元素的图案，都遵循了圆周角的规则。
比如，钟表上的时间显示、车轮的设计，甚至一些圆形的装饰，都是因为圆周角的原理，让这些设计显得和谐而美观。
3.2 数学中的运用在数学里，圆周角的定理也是用得上大场面的。
圆周角的定义及定理
作业坊——显你身手
1、基础题：教材89页第5题
2、拓展延伸：如图，甲、乙、丙三名队员互相配 合向对方球门进攻，当甲带球冲到C点时，乙和 丙也分别跟随冲到图中的D点、E点，从射门的 角度大小的考虑，甲应把球传给谁好？请你从 数学的角度分析说明
谢谢观赏！
分析论证
你能证明第2种情况吗？
A
提示：作射线AO交⊙O于D。转
化为第1种情况 O
证明：由第1种情况得
∠BAD＝
1
2 ∠ BOD
B
C
D
∠CAD＝ 1 ∠ COD
2
∠BAD＋∠CAD＝ 1 ∠ BOD＋ 1∠COD
2
2
即∠BAC= 1 ∠BOC 2
分析论证
你能证明第3种情况吗？AΒιβλιοθήκη 证明：作射线AO交⊙O于D。
A
B
P
中考链接
（重庆中考）如图， △ABC的顶点A、B、C均在
圆O上， AB C AO 9C 00,则∠AOC的大小是
（
）
A、30 ° B、45 ° C、60 ° D、70 °
拓展延伸
C
1、如图，△ABC的顶点A、B、C 都在⊙O上，∠C＝30 °，AB＝2，
O
则⊙O的半径是 2 。
A
B
2．如图所示：A、B、C三点在圆上，点D为圆外一点，
请你判断∠ACB与∠ADB的大小关系，并说明理由.
解：连结BF，由圆周角性质
F
∠AFB＝∠ACB
又由三角形外角性质
∠AFB＞∠ADB
所以∠ACB＞∠ADB
反思阁——悟中升华
本节课我们学习了。。。。。。 1、一个概念：圆周角（两个条件：顶点在圆
圆周角
图1圆周角【知识要点】1．圆周角的概念：顶点在圆上，两边和圆相交的角叫圆周角，两个条件缺一不可． 2．定理：一条弧所对的圆周角等于它所对弧所对的圆心角的一半．推论：①同弧或等弧所对的圆周角相等，同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．②半圆（或直径）所对的圆周角是一直角，︒90的圆周角所对的弦是直径． ③如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形． 圆周角的概念、定理及其推论在推理论证和计算中应用比较广泛，这是本章的重点内容．A一、填空题1．圆周角有两个特征① ，② ，二者缺一不可． 2．若直角三角形的两条直角边的长分别为8cm 和6cm ，则这个直角三角形外接圆的直径为 ．3．一条弦将圆分成两条弧，其中一条弧是另一条弧的4倍，则此弦所对的圆心角的度数 是 ，所对的圆周角的度数是 。
4．ABC ∆中，已知∠A=︒55，O 是它的外心，则∠BOC= ．5．在ABC ∆中，AB=AC ，以AB 为直径的圆交BC 、AC 于D 、E ，已知∠A=︒50，则BE 的度数= ．DE 的度数= ，AE 的度数= ．6．已知3cm 长的一条弦所对的圆周角是︒135，那么圆的直径是 ． 7．如图1，在⊙O 中，∠A=︒25，则=∠α 。
二、选择题1．下列说法正确的是（ ）A 、顶点在圆上的角是圆周角B 、两边都和圆相交的角是圆周角C 、圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半D 、圆心角是圆周角的2倍2．如图2，A 、B 、C 三点都在⊙O 上，点D 是AB 延长线上一点，∠AOC=︒140，则∠CBD 的度数为（ ）A 、︒40B 、︒50C 、︒70D 、︒110 3．在同圆中，同弦所对的圆周角（ ）A 相等B 、互补C 、相等或互补D 、互余 4．锐角三角形ABC 内接于⊙O ，若∠OBC=︒25，则∠A 的度数为（ ）A 、︒65B 、︒80C 、︒50D 、︒60 5．在⊙O 中，半径为r=1，弦AB=2，弦AC=3，则∠BAC 为（ ） A 、︒75 B 、︒15 C 、︒75或︒15 D 、︒90或︒606．如图3，已知A 、B 、C 、D 、Q 五点在⊙O 上，BD 的度数为︒80，则∠P+∠AQC 等于（ ） A 、︒40 B 、︒60 C 、︒80 D 、︒120三、解答题1．如图所示，BC 为直径，G 为半圆上任一点，A 为弧BG 中点，AP ⊥BC 于P ，求证：AE=BE=EF ．2.已知:如图所示A 、B 、C 、D 、E 为⊙O 上的点，且AB=BC=CD ，︒=∠50BAD ．求∠AED 的度数．·O ADB C 图2 D·Q B PA CO 图3· A B PE F G CO·A BCD EOB1．弦长等于半径，那么这条弦所对的圆周角度数为 ．2．以锐角为顶角的等腰三角形，其底为半圆的直径，半圆被两腰截得的三条弧之比为1:2:1，则这个等腰三角形顶角的度数为 ．3．已知AC 、BC 是⊙O 中的两条弦，且AC ⊥BC ，AC=12，BC=9，则⊙O 的直径等于 ，弦BC 的弦心距等于 ．4．如图1，AB 是⊙O 的直径，以OA 为直径的⊙O 1与⊙O 的弦AC 交于点D ，如果∠BAC=︒30，OD=5cm ，那么AB= ．5．已知AB 是半圆O 的直径，CD ⊥AB 于D ，交半圆O 于C ，且AD 、DB 的长是方程0452=+-x x 的两根，则CD= ．6．矩形ABCD 中，AB=3，BC=4，P 为AD 上一点，BP=4.8，BP 交以BC 为直径的圆于点Q ，则QC= ．7．如图2，在A B C ∆中，∠B=︒80，⊙O 截ABC ∆三边所截得的线段长都相等，则∠AOC= ．C一．选择题1．如图所示，ABC ∆内接于⊙O ，AB=AC ，弦AD 和底边BC 交于点E ，AC=6，AE=4，则AD 等于（ ）A 、10B 、9C 、8D 、62 2．如图3、一副三角板ABC 和DEF 的顶点都在同一圆上，则与的度数 和为（ ）A 、︒90B 、︒120C 、︒135D 、︒150·· OO ' CBAD 图1图2· OBCA图23．在ABC Rt ∆中，∠=∠Rt C ，AC=6cm ，BC=8cm ，则它的外接圆面积为（ ） A 、252cm π B 、1002cm π C 、752cm π D 、642cm π 4．如图4BQ 和DQ 的度数分别是︒44和︒28，则Q P ∠+∠的度数为（ ） A 、︒72 B 、︒36 C 、︒40 D 、︒62二、解答题1．如图所示，ABC ∆中，AB 是⊙O 的直径，AC 和BC 分别和⊙O 相交于点D 和E ，在BD 上截取BF=AC ，延长AE 使AG=BC ．求证：CG=CF ，CG ⊥CF ．2．如图所示，AB 是⊙O 的直径，半径OC ⊥AB ，过OC 的中点M 作弦EF ∥AB ． 求证：CBE ABE ∠=∠21·AD BE FCO 图3·APCD QB O 图4· ABC E F M O。
圆周角知识总结
圆周角定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。
圆周角定理：同弧或等弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半。
这一定理叫做圆周角定理。
定理证明已知在⊙O中，∠BOC与圆周角∠BAC同对弧BC，求证：∠BOC=2∠BAC.证明：情况1：如图1，当圆心O在∠BAC的一边上时，即A、O、B在同一直线上时：图1∵OA、OC是半径解：∴OA=OC∴∠BAC=∠ACO（等边对等角）∵∠BOC是△AOC的外角∴∠BOC=∠BAC+∠ACO=2∠BAC情况2：如图2,，当圆心O在∠BAC的内部时：连接AO，并延长AO交⊙O于D图2∵OA、OB、OC是半径解：∴OA=OB=OC∴∠BAD=∠ABO，∠CAD=∠ACO（等边对等角）∵∠BOD、∠COD分别是△AOB、△AOC的外角∴∠BOD=∠BAD+∠ABO=2∠BAD∠COD=∠CAD+∠ACO=2∠CAD∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2(∠BAD+∠CAD)=2∠BAC情况3：如图3，当圆心O在∠BAC的外部时：图3连接AO，并延长AO交⊙O于D解：∵OA、OB、OC、是半径∴∠BAD=∠ABO（等边对等角）,∠CAD=∠ACO(OA=OC）∵∠DOB、∠DOC分别是△AOB、△AOC的外角∴∠DOB=∠BAD+∠ABO=2∠BAD∠DOC=∠CAD+∠ACO=2∠CAD∴∠BOC=∠DOC-∠DOB=2(∠CAD-∠BAD)=2∠BAC定理推论：1.一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；2.圆周角的度数等于它所对的弧度数的一半；3.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等。
4.半圆（直径）所对的圆周角是直角。
5.90°的圆周角所对的弦是直径。
注意：在圆中，同一条弦所对的圆周角有两个，一个是优弧所对的角，一个是劣弧所对的角。
圆周角
28.1.3圆周角教学目标：1.知道什么样的角是圆周角2.了解圆周角和圆心角的关系，直径所对的圆周角的特征3.能应用圆心角和圆周角的关系、直径所对的圆周角的特征解决相关问题4.通过对圆心角和圆周角关系的探索，培养学生运用已有知识，进行实验、猜想、论证，从而得到新知。
进一步体会分类讨论的思想。
教学重点：1、了解圆周角和圆心角的关系，直径所对的圆周角的特征2、能应用圆心角和圆周角的关系、直径所对的圆周角的特征解决相关问题 教学难点：对圆心角和圆周角关系的探索，分类思想的应用。
教学过程：、导语：上节课我们学习了圆心角、弧、弦之间的关系定理，如果角的顶点不在圆心上，它在其它的位置上？如在圆周上，是否还存在一些等量关系呢？这就是我们今天要探讨，要研究，要解决的问题．（一）情境导入问题：我们在足球射门中，设EF 是球门，•设球员们只能在所在的⊙O 其它位置射门，如图所示的A 、B 、C 点．观察∠EAF 、∠EBF 、∠ECF 这样的角，它们的共同特点是什么？(二)实践与探索1：圆周角如下图，同学们能找到圆心角吗？它具有什么样的特征？（顶点在圆心，两边与圆相交的角叫做圆心角），今天我们要学习圆中的另一种特殊的角，它的名称叫做圆周角。
究竟什么样的角是圆周角呢？像图（3）中的解就叫做圆周角，而图（2）、（4）、（5）中的角都不是圆周角。
同学们可以通过讨论归纳如何判断一个角是不是圆周角。
（顶点在圆上，两边与圆相交的角叫做圆周角）（三）实践与探索2：（一）探究半圆或直径所对的圆周角等于多少度？而90︒的圆周角所对的弦是否是直径 如图，线段AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上任意一点（除点A 、B ）， 那 么，∠ACB 就是直径AB 所对的圆周角.想想看，∠ACB 会是怎么样的角？为什么呢？启发学生用量角器量出ACB ∠的度数，而后让同学们再画几个直径AB所对的 圆周角，并测量出它们的度数，通过测量，同学们感性认识到直径所对的圆周角等于90 （或直角），进而给出严谨的说明。
圆周角
什么叫做圆周角？
顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角．
D A C
O
·
B
E
D A C O
E
B
类比圆心角探知圆周角
在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆心角相等. 在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等. 在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它 们所对的弧一定相等．
半圆（或直径）所对的圆周角是直角; 90°的圆周角所对的弦是直径．
A
O
半圆（或直径）所对的圆周角是直角，
90度的圆周角所对的弦是直径。
七、例题
例 如图，⊙O直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平 分线交⊙O于D，求BC、AD、BD的长． 解：∵AB是直径， C ∴ ∠ACB= ∠ADB=90°．
在Rt△ABC中，
BC AB2 AC 2 102 62 8 A
小结:
1.圆周角定义:顶点在圆上,并且两边都和圆相
交的角叫圆周角.
2.半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90° 90°的圆周角所对的弦是圆的直径 3.在同圆(或等圆)中，同弧或等弧所对的圆周角相 等,都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角
所对的弧相等。
一. 复习引入:
1.圆心角的定义? 答:顶点在圆心的角叫圆心角 O
C
证明： 以AB为直径作⊙O， ∵AO=BO， CO= AB, ∴AO=BO=CO. ∴点C在⊙O上. 又∵AB为直径, 1 ∴∠ACB= ×180°= 90°. 2 ∴ △ABC 为直角三角形.
1 2
A
· O
B
练习:如图 AB是⊙O的直径, C ,D是圆上的两 点,若∠ABD=40°,则∠BCD=＿＿＿＿＿.
圆半径所对的圆周角
圆周角是几何学中的一个重要概念，指的是由圆上两点与圆心连线所夹的角。
而当我们谈论“圆半径所对的圆周角”时，我们实际上是在探讨一种特殊的圆周角，即该角的顶点位于圆周上，而两边则分别与圆心和圆上的另一点相连。
首先，我们需要明确一点基本的几何知识：在任何圆中，半径所对的圆周角总是固定的，不会因为圆的大小而有所改变。
这是因为圆周角的度数是由其所夹的弧长决定的，而半径所对的弧长总是等于圆的半周长，即180度。
换句话说，半径所对的圆周角是一个直角，度数为90度。
然而，这里需要澄清一个常见的误区。
有些人可能会认为，由于圆的半径可以有很多条，因此每条半径都应该对应一个不同的圆周角。
但实际上，无论我们选择哪条半径，只要它的端点固定在圆周上，那么它所对的圆周角就一定是90度。
这是因为圆周角的定义决定了其大小只与所夹弧长有关，而与半径的具体位置无关。
为了进一步理解这个概念，我们可以想象一个钟表的表盘。
在这个例子中，表的时针和分针可以看作是圆的两条半径。
当分针指向12点而时针指向3点时，它们之间所夹的角就是一个圆周角。
由于这个角所对的弧长恰好是圆的四分之一周长，因此它的度数为90度，与我们所知的半径所对的圆周角相符。
当然，除了这种特殊情况外，圆周角还可以有很多其他的大小。
例如，当我们在圆上选择两个不同的点时，它们与圆心所夹的角就是一个一般的圆周角。
这个角的大小取决于两点间所夹的弧长，可以是0度到360度之间的任意值。
但是，无论圆周角的大小如何变化，半径所对的圆周角始终保持不变，为90度。
此外，圆周角在几何学中还有着广泛的应用。
例如，在解决与圆有关的问题时，我们经常需要利用圆周角的性质来推导其他几何量的关系。
同时，在实际生活中，圆周角也经常出现在各种场合中，如机械设计、建筑设计等领域。
因此，熟练掌握圆周角的概念和性质对于几何学的学习和应用都是非常重要的。
综上所述，“圆半径所对的圆周角”是一个直角，度数为90度。
这个结论是基于圆周角的定义和性质得出的，不会因为圆的大小或半径的位置而有所改变。
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∠A+∠B+∠C+∠D=360°.
(3)任一外角与其相邻的内角的对角相等,简称圆内接四边形的外角等 于其内对角.
【备选例题】如图,A,B,C是半径为6的☉O上的三个点,若∠BAC=45°,
则弦BC=
.
【解析】连接OB,OC, ∵∠BAC=45°,∴∠BOC=2∠BAC=90°, ∵OB=OC=6,∴ BC OB2 OC2 6 2 答案: 6 2
知识点二
圆内接四边形及其性质
【示范题2】如图,☉C过原点,且与两坐标轴分别交于点A、点B,点A的 坐标为(0,3),M是第三象限内 OB 上一点,∠BMO=120°,求☉C的半径 长.
3.圆周角定理的推论
直角 直径 半圆(或直径)所对的圆周角是_____,90 °的圆周角所对的弦是_____. 4.圆内接四边形 互补 圆内接四边形的对角_____.
【小题快练】
1.判断对错:
(1)同弧所对的圆周角相等. (√)
(2)相等的圆周角所对的弧相等.( × ) (3)等弧所对的圆周角等于该弧所对圆心角的2倍.( × )
∠CAB=20°,则∠AOD等于( )
A.160°
C.140°
B.150°
D.120°
【思路点拨】首先,根据垂径定理得 BC 然后,用等弧所对的圆 BD ；
周角和圆心角的关系,求得∠BOD;最后,利用邻补角的关系,求得答案.
BD ， 【自主解答】选C.∵线段AB是☉O的直径,弦CD⊥AB,∴ CB
2.如图,A,B,C是☉O上的三点,∠ACB=30°,则∠AOB为( B )
A.75°
B.60°
C.45°
D.30°
3.如图,△ABD是圆内接三角形,BD是☉O的直径,∠D=70°,则∠B=
20° _____.
知识点一
圆周角定理及其推论
【示范题1】(2014·珠海中考)如图,线段AB是☉O的直径,弦CD丄AB,
∴∠ABO=90°-∠BAO=90°-60°=30°,
∵点A的坐标为(0,3),∴OA=3,
∴AB=2OA=6,∴☉C的半径长=
AB =3. 2
【规律总结】圆内接四边形的角的“三种关系” (1)对角互补,若四边形ABCD为☉O的内接四边形,则 ∠A+∠C=180°,∠B+∠D=180°. (2)四个角的和是360°,若四边形ABCD为☉O的内接四边形,则
24.1.4 圆 周 角
1.圆周角
圆上 并且两边都与圆_____ 相交 的角. 顶点在_____,
2.圆周角定理
如图,AB是圆O的直径,点C是圆上的一个点.
∠AOC 所对的圆周角是 所对的圆心角是______, 【思考】(1)在图1中, AC ∠ABC ______.
△BOC 的外角,所以 (2)在图1中,∠AOC可以看成是______
∵∠CAB=20°,∴∠BOD=40°,∴∠AOD=140°.
【互动探究】你可以用其他方法解决这个问题吗?
提示:在直径AB和CD交点、点A、点C组成的三角形中,求出∠C,然后
根据 AD 所对应的圆心角和圆周角的关系,即可求得答案.
【规律总结】圆周角定理及推论中的转化思想 (1)在同圆或等圆中,求圆周角的之间的关系,找出是否存在某一个圆心角和这个圆周角 是同一条弧所对,这些量可以相互转化. (2)在同圆或等圆中,90°的圆周角和直径之间可以相互转化.
【解题探究】 1.四边形ABMO是圆内接四边形,∠BAO和∠BMO有什么关系? 提示:互补. 2.△ABO的形状如何?为什么? 提示:直角三角形.因为AB是☉C的直径,直径所对的圆周角为直角.
【自主解答】
∵四边形ABMO是圆内接四边形,∠BMO=120°,
∴∠BAO=60°,
∵AB是☉C的直径,∴∠AOB=90°,
∠OBC ∠OCB 又因为OB=OC,所以∠AOC=2∠____. OBC ∠AOC=______+______, ABD (3)在图2中,根据以上得出的规律,可得∠AOD=2∠____;∠COD= CBD ABC 2∠____,所以∠AOC=2∠____.
圆周 角等于它所对的_____ 圆心 角的一半. 【结论】一条弧所对的_____