高一数学苏教版必修5教学案：第1章6正弦定理、余弦定理的应用(2)
苏教版高中数学必修五余弦定理教案(2)
听课随笔第2课时余弦定理【学习导航】知识网络⎩⎨⎧判断三角形的形状航运问题中的应用余弦定理 学习要求1．能把一些简单的实际问题转化为数学问题；2．余弦定理的教学要达到“记熟公式”和“运算正确”这两个目标；3．初步利用定理判断三角形的形状。
【课堂互动】自学评价1．余弦定理：(1)_______________________，_______________________，_______________________. (2) 变形：____________________，_____________________，_____________________ .2．利用余弦定理，可以解决以下两类解斜三角形的问题： （１）_______________________________； （２）______________________________． 【精典范例】 【例1】在长江某渡口处，江水以5/km h 的速度向东流，一渡船在江南岸的A 码头出发，预定要在0.1h 后到达江北岸B 码头，设AN u u u r为正北方向，已知B 码头在A 码头的北偏东015，并与A 码头相距1.2km ．该渡船应按什么方向航行？速度是多少（角度精确到00.1，速度精确到0.1/km h ）？ 【解】【例2】在ABC ∆中，已知sin 2sin cos A B C =，试判断该三角形的形状． 【解】【例3】如图，AM 是ABC ∆中BC 边上的中线，求证：22212()2AM AB AC BC =+-． 【证明】追踪训练一1. 在△ＡＢＣ中，如果C B A sin :sin :sin ＝２∶３∶４，那么ｃｏｓＣ等于（ ）．Ａ．32Ｂ．32- Ｃ．31- Ｄ．41- 2.如图，长７ｍ的梯子ＢＣ靠在斜壁上，梯脚与壁基相距１．５ｍ，梯顶在沿着壁向上听课随笔６ｍ的地方，求壁面和地面所成的角α（精确到０.１°）．3. 在△ＡＢＣ中，已知ａ＝２，ｂ＝３，Ｃ＝６０°，试证明此三角形为锐角三角形．【选修延伸】【例4】在△ABC中，设3332a b cca b c+-=+-，且3sin sin4A B=，请判断三角形的形状。
苏教版高中数学必修五教学案第课时正弦定理(1)
总 课 题 解三角形 总课时 第 2 课时 分 课 题正弦定理（二）分课时 第 2 课时教学目标 初步运用正弦定理解决一些与测量和几何计算有关的实际问题． 重点难点 正弦定理的应用 引入新课1．在ABC ∆中，若5:4:3sin :sin :sin =C B A ，则ABC ∆的形状是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形2．在ABC ∆中，若2cos2cos2cosC c B b A a ==，则ABC ∆的形状是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰或直角三角形D ．等边三角形3．在ABC ∆中，若︒=60A ，3=a ，则=++++CB A cb a sin sin sin ________________．4．在ABC ∆中，C a b cos =，则ABC ∆是________________三角形．5．在ABC ∆中，计算)sin (sin )sin (sin )sin (sin B A c A C b C B a -+-+-的值．例题剖析例1 如图，海中小岛A 周围38海里内有暗礁，一艘船正在向南航行，在B 处测得小岛A 在船的南偏东︒30，航行30海里后，在C 处测得小岛A 在船的南偏东︒45，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁危险？ 在ABC ∆中，已知CcB b A a cos cos cos ==，试判断ABC ∆的形状．D ACB例2在ABC ∆中，AD 是BAC ∠的平分线，用正弦定理证明：DCBDBD AB =．巩固练习1．根据下列条件，判断ABC ∆的形状： （1）C B A 222sin sin sin =+；（2）B b A a cos cos =．2．已知ABC ∆的外接圆的面积是π4，求CB A cb a sin sin sin ++++的值．3．为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A ，B ，要测算出A ，B 两点间的距离，测量人员在岸边定出基线BC ，测得m BC 78=，︒=∠60B ，︒=∠45C ，试计算AB 的长．课堂小结正弦定理的应用．例3课后训练班级：高一（ ）班 姓名：____________一 基础题1．在ABC ∆中，已知2cos sin sin 2AC B =，则ABC ∆的形状是________________． 2．在ABC ∆中，已知，B C 3=，则bc的取值范围是________________． 3．在ABC ∆中，已知︒<<<90C B A ，︒=60B ，213)2cos 1)(2cos 1(-=++C A ，则b a 2+________c 2（填不等号）． 4．在ABC ∆中，已知21tan =A ，31tan =B ，且最长边为1，则最短边的长为________． 5．在ABC ∆中，已知)(4122b a S ABC+=∆，求C B A ，，． 6．为了测量校园里旗杆AB 的高度，学生们在D C ，两处测得A 点的仰角分别为︒30和︒45，测得DC 的距离为m 10，那么旗杆的高度是多少米？二 提高题 7．海上有B A ，两个小岛相距10海里，从A 岛观测C 岛与B 岛成︒60的视角，从B 岛观测A 岛和C 岛成︒75的视角，那么B 岛与C 岛之间的距离是多少海里？8．在ABC ∆中，A ∠的外角平分线交BC 的延长线于D ，用正弦定理证明：DCBDAC AB =．9．在ABC ∆中，设a BC =，b CA =，c AB =，已知a c c b b a •=•=•， 证明ABC ∆为正三角形．三 能力题 10．在ABC ∆中，已知D 为AB 上一点，α=∠ACD ，β=∠BCD ，BD AD CD •=2，求证：βαsin sin sin sin =B A ．ABC D。
数学知识点苏教版高中数学(必修5)1.3《正弦定理、余弦定理的应用》word教案2篇-总结
教学过程：Ⅰ.课题导入解三角形的知识在测量、航海、几何、物理学等方面都有非常广泛的应用，如果我们抽去每个应用题中与生产生活实际所联系的外壳，就暴露出解三角形问题的本质，这就要提高分析问题和解决问题的能力及化实际问题为抽象的数学问题的能力.下面，我们将举例来说明解斜三角形在实际中的一些应用.Ⅱ.讲授新课［例1］自动卸货汽车的车箱采用液压结构，设计时需要计算油泵顶杆BC 的长度.已知车箱的最大仰角为60°，油泵顶点B 与车箱支点A 之间的距离为1．95 m ，AB 与水平线之间的夹角为6°20′，AC 长为1．40 m ，计算BC 的长（保留三个有效数字）.分析：求油泵顶杆BC 的长度也就是在△ABC 内，求边长BC 的问题，而根据已知条件，AC ＝1．40 m ，AB ＝1．95 m ，∠BAC ＝60°＋6°20′＝66°20′.相当于已知△ABC 的两边和它们的夹角，所以求解BC 可根据余弦定理.解：由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos A＝1．952＋1．402－2×1．95×1．40×cos66°20′＝3．571∴BC ≈1．89 （m ）答：油泵顶杆BC 约长1．89 m.评述：此题虽为解三角形问题的简单应用，但关键是把未知边所处的三角形找到，在转换过程中应注意“仰角”这一概念的意义，并排除题目中非数学因素的干扰，将数量关系从题目准确地提炼出来.［例2］某渔船在航行中不幸遇险，发出求救信号，我海军舰艇在A 处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45°、距离A 为10 n mile 的C 处，并测得渔船正沿方位角为105°的方向，以9 n mile ／h 的速度向某小岛B 靠拢，我海军舰艇立即以21 n mile ／h 的速度前去营救，试问舰艇应按照怎样的航向前进?并求出靠近渔船所用的时间.分析：设舰艇从A 处靠近渔船所用的时间为x h ，则利用余弦定理建立方程来解决较好，因为如图中的∠1，∠2可以求出，而AC 已知，BC 、AB 均可用x 表示，故可看成是一个已知两边夹角求第三边问题.解：设舰艇从A 处靠近渔船所用的时间为x h ，则AB ＝21x n mile ，BC ＝9x n mile ，AC ＝10 nmile ，∠ACB ＝∠1＋∠2＝45°＋（180°－105°）＝120°根据余弦定理，可得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos120°得（21x ）2＝102＋（9x ）2－2×10×9x cos120°，即36x 2－9x 2×10＝0解得x 1＝23 ，x 2＝－512（舍去） ∴AB ＝21x ＝14，BC ＝9x ＝6再由余弦定理可得：cos BAC ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝142＋102－622×14×10＝0．9286， ∴∠BAC ＝21°47′，45°＋21°47′＝66°47′.而舰艇方位角为66°47′，23小时即40分钟. 答：舰艇应以66°47′的方位角方向航行，靠近渔船则需要40分钟.评述：解好本题需明确“方位角”这一概念，方位角是指由正北方向顺时针旋转到目标方向线的水平角，其范围是（0°，360°）.在利用余弦定理建立方程求出x 后，所求舰艇方位角就转化为一个已知三边求角的问题，故仍然利用余弦定理.从上述两个例题，大家可以看出，实际问题的解决关键在于转化为具体的解三角形问题，从而与我们已知的知识方法产生联系.在下面的例题分析中，我们继续加以体会.［例3］如图，在海岸A 处发现北偏东45°方向，距A 处（ 3 －1）海里的B 处有一艘走私船.在A 处北偏西75°方向，距A 处2海里的C 处的我方缉私船，奉命以10 3 海里／时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里／时的速度，从B 处向北偏东30°方向逃窜.问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船?并求出所需时间.解：设缉私船应沿CD 方向行驶t 小时，才能最快截获（在D 点）走私船，则CD ＝10 3 t 海里，BD ＝10t 海里.∵BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A＝（ 3 －1）2＋22－2（ 3 －1）·2cos120°＝6∴BC ＝ 6∵BC sin A ＝AC sin ∠ABC∴sin ABC ＝AC ·sin A BC ＝2sin12006＝22 ∴∠ABC ＝45°，∴B 点在C 点的正东方向上，∴∠CBD ＝90°＋30°＝120° ∵BD sin ∠CBD ＝CD sin ∠CBD∴sin ∠BCD ＝BD sin ∠CBD CD ＝10t sin120°10 3 t＝12 ， ∴∠BCD ＝30°，∴∠DCE ＝90°－30°＝60°由∠CBD ＝120°，∠BCD ＝30°，得∠D ＝30°∴BD ＝BC ，即10t ＝ 6∴t ＝610（小时）≈15（分钟） 答：缉私船沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，需时约15分钟.［例4］用同样高度的两个测角仪AB 和CD 同时望见气球E 在它们的正西方向的上空，分别测得气球的仰角是α和β,已知B 、D 间的距离为a ，测角仪的高度是b ，求气球的高度.分析：在Rt △EGA 中求解EG ，只有角α一个条件，需要再有一边长被确定，而△EAC 中有较多已知条件，故可在△EAC 中考虑EA 边长的求解，而在△EAC 中有角β，∠EAC ＝180°－α两角与BD ＝a 一边，故可以利用正弦定理求解EA .解：在△ACE 中，AC ＝BD ＝a ，∠ACE ＝β，∠AEC ＝α－β，根据正弦定理，得AE ＝a sin βsin （α－β）在Rt △AEG 中，EG ＝AE sin α＝a sin αsin βsin （α－β）∴EF ＝EG ＋b ＝a sin αsin βsin （α－β）＋b ， 答：气球的高度是a sin αsin βsin （α－β）＋b . 评述：此题也可以通过解两个直角三角形来解决，思路如下：设EG ＝x ，在Rt △EGA 中，利用cot α表示AG ；在Rt △EGC 中，利用cot β表示CG ，而CG －AG ＝CA ＝BD ＝a ，故可以求出EG ，又GF ＝CD ＝b ，故EF 高度可求.［例5］如图所示，已知半圆的直径AB ＝2，点C 在AB 的延长线上，BC ＝1，点P 为半圆上的一个动点，以DC 为边作等边△PCD ，且点D 与圆心O 分别在PC 的两侧，求四边形OPDC 面积的最大值.分析：要求四边形OPDC 面积的最大值，这首先需要建立一个面积函数，问题是选谁作为自变量，注意到动点P 在半圆上运动与∠POB 大小变化之间的联系，自然引入∠POB ＝θ作为自变量建立函数关系.四边形OPDC 可以分成△OPC 与等边△PDC ，S △OPC 可用12·OP ·OC ·sin θ表示，而等边△PDC 的面积关键在于边长求解，而边长PC 可以在△POC 中利用余弦定理表示，至于面积最值的获得，则通过三角函数知识解决.解：设∠POB ＝θ，四边形面积为y ，则在△POC 中，由余弦定理得PC 2＝OP 2＋OC 2－2OP ·OC cos θ＝5－4cos θ∴y ＝S △OPC ＋S △PCD ＝12 ×1×2sin θ＋34（5－4cos θ） ＝2sin （θ－π3 ）＋534 ∴当θ－π3 ＝π2 即θ＝5π6 时，y max ＝2＋534. 评述：本题中余弦定理为表示△PCD 的面积，从而为表示四边形OPDC 面积提供了可能，可见正、余弦定理不仅是解三角形的依据，一般地也是分析几何量之间关系的重要公式，要认识到这两个定理的重要性.另外,在求三角函数最值时,涉及到两角和正弦公式sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β的构造及逆用，应要求学生予以重视.Ⅲ.课堂练习课本P 20 练习1，2，3，4.Ⅳ.课时小结通过本节学习，要求大家在了解解斜三角形知识在实际中的应用的同时，掌握由实际问题向数学问题的转化，并提高解三角形问题及实际应用题的能力.Ⅴ.课后作业课本P 21习题 1，2，3.解三角形应用举例（二）教学目标：进一步掌握利用正、余弦定理解斜三角形的方法，明确解斜三角形知识在实际中有着广泛的应用，熟练掌握实际问题向解斜三角形类型的转化，通过解斜三角形的应用的教学，继续提高运用所学知识解决实际问题的能力；通过解斜三角形在实际中的应用，要求学生体会具体问题可以转化为抽象的数学问题，以及数学知识在生产，生活实际中所发挥的重要作用.教学重点：1.实际问题向数学问题的转化；2.解斜三角形的方法教学难点：实际问题向数学问题转化思路的确定教学过程：Ⅰ.复习回顾上一节，我们一起学习了解三角形问题在实际中的应用，了解了一些把实际问题转化为解三角形问题的方法，掌握了一定的解三角形的方法与技巧.这一节，我们给出三个例题，要求大家尝试用上一节所学的方法加以解决.Ⅱ.例题指导［例1］如图所示，为了测量河对岸A 、B 两点间的距离，在这一岸定一基线CD ，现已测出CD ＝a 和∠ACD ＝α，∠BCD ＝β，∠BDC ＝γ，∠ADC ＝δ，试求AB 的长.分析：如图所示，对于AB 求解，可以在△ABC 中或者是△ABD 中求解，若在△ABC 中，由∠ACB ＝α－β，故需求出AC 、BC ，再利用余弦定理求解.而AC 可在△ACD 内利用正弦定理求解，BC 可在△BCD 内由正弦定理求解.解：在△ACD 中，已知CD ＝a ，∠ACD ＝α，∠ADC ＝δ，由正弦定理得AC＝a sinδsin[1800－（α＋δ）]＝a sinδsin（α＋δ）在△BCD中，由正弦定理得BC＝a sinβsin[1800－（β＋γ）]＝a sinβsin（β＋γ）在△ABC中，已经求得AC和BC，又因为∠ACB＝α－β，所以用余弦定理.就可以求得AB＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos（α－β）评述：（1）要求学生熟练掌握正、余弦定理的应用；（2）注意体会例1求解过程在实际当中的应用.［例2］据气象台预报，距S岛300 km的A处有一台风中心形成，并以每小时30 km的速度向北偏西30°的方向移动，在距台风中心270 km以内的地区将受到台风的影响.问：S岛是否受其影响?若受到影响，从现在起经过多少小时S岛开始受到台风的影响?持续时间多久?说明理由.分析：设B为台风中心，则B为AB边上动点，SB也随之变化.S岛是否受台风影响可转化为SB≤270这一不等式是否有解的判断，则需表示SB，可设台风中心经过t小时到达B点，则在△ABS中，由余弦定理可求SB.解：设台风中心经过t小时到达B点，由题意，∠SAB＝90°－30°＝60°在△SAB中，SA＝300，AB＝30t，∠SAB＝60°，由余弦定理得：SB2＝SA2＋AB2－2SA·AB·cos SAB＝3002＋（30t）2－2·300·30t cos60°若S岛受到台风影响，则应满足条件|SB|≤270，即SB2≤2702化简整理得，t2－10t＋19≤0解之得，5－ 6 ≤t≤5＋ 6所以从现在起，经过5－ 6 小时S岛开始受到影响，（5＋ 6 ）小时后影响结束.持续时间：（5＋ 6 ）－（5－ 6 ）＝2 6 小时.答：S岛受到台风影响，从现在起，经过（5－ 6 ）小时，台风开始影响S岛，且持续时间为2 6 小时.评述：此题为探索性命题，可以假设命题成立去寻求解存在条件，也可假设命题不成立去寻求解存在条件.本题求解过程采用了第一种思路.SB≤270是否有解最终转化为关于t的一元二次不等式是否有解，与一元二次不等式解法相联系.说明：本节两个例题要求学生在教师指导下自己完成，以逐步提高解三角形应用题的能力.练习：1.海中有一小岛B，周围3．8海里有暗礁，军舰由西向东航行到A，望见岛在北75°东，航行8海里到C，望见岛B在北60°东，若此舰不改变航向继续前进，有无触礁危险?答案：不会触礁.2.直线AB外有一点C，∠ABC＝60°，AB＝200 km，汽车以80 km／h速度由A向B行驶，同时摩托车以50公里的时速由B向C行驶，问运动开始几小时后，两车的距离最小.答案：约1.3小时.Ⅲ.课时小结通过本节学习，要求大家进一步掌握利用正、余弦定理解斜三角形的方法，明确解斜三角形知识在实际中的广泛应用，熟练掌握由实际问题向解斜三角形类型问题的转化，逐步提高数学知识的应用能力.Ⅳ.课后作业课本P21习题4，5，6.V.板书设计第 6 课时：§1.3 正弦定理、余弦定理的应用（2）【三维目标】：一、知识与技能1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题2.能把一些简单的实际问题转化为数学问题，并能应用正弦、余弦定理及相关的三角公式解决这些问题；二、过程与方法本节课是解三角形应用举例的延伸，利用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些几何和物理上的问题三、情感、态度与价值观1.让学生进一步巩固所学的知识，加深对所学定理的理解，提高创新能力；进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力2.培养学生提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力，并在教学过程中激发学生的探索精神【教学重点与难点】：重点：利用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些几何和物理上的问题难点：利用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些几何和物理上的问题【学法与教学用具】：1. 学法：能否灵活求解问题的关键是正弦定理和余弦定理的选用，有些题目只选用其一，或两者混用，这当中有很大的灵活性，需要对原来所学知识进行深入的整理、加工，鼓励一题多解，训练发散思维。
苏教版高中数学必修五正弦定理、余弦定理的应用学案(2)
正、余弦定理的应用教材解读一、学习目标能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．二、重点、难点分析重点：应用正弦定理和余弦定理解决一些有关的实际问题．难点：把实际问题转化成数学问题的过程以及利用正弦定理和余弦定理求解时的运算过程．三、相关概念讲解1．铅锤平面：指与海平面垂直的平面．2．仰角和俯角：与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角；目标视线在水平视线下方时叫俯角，如图1．3．方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫方向角．方向角一般可用“×偏×”多少度来表示，这里第一个“×”号是“北”或“南”字；第二个“×”号是“东”或“西”字．如图2，OA OB OC OD，，，的方向角分别表示北偏东60°，北偏西30°，西南方向，南偏东20°．4．方位角：从指北方向线按顺时针转到目标方向线为止的水平角，叫方位角．5．水平距离、垂直距离、坡面距离：如图3，BC代表水平距离，AC代表垂直距离，AB代表坡面距离．6．坡度、坡角：如图4，把坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度（或叫做坡比），用字母i表示，即hil，一般写成:h l的形式．坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡角与坡度之间有如下关系：tan h i lα==． 四、应用1．在测量问题中的应用正弦定理与余弦定理在实际生活中有着广泛的应用，如测量距离、高度、角度等．在运用正弦定理、余弦定理解决实际问题时，通常根据题意，将实际问题抽象成解三角形的问题，然后通过解三角形，得出实际问题的解．其基本步骤是：（1）分析：准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解应用题中的有关名词和术语，画出示意图；（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与所求量尽可能地集中在有关三角形中，建立一个解三角形的数学模型；（3）求解：通过合理的运用正弦定理、余弦定理对数学模型进行求解；（4）检验：检验所求得的解是否符合实际意义，然后进行取舍，从而得出实际问题的解． 注：应注意的问题：（1）明确题目中的一些名词、术语的意义，将实际问题归结为数学问题；（2）选择关系式的基本原则：一是要力求简便；二是尽可能使用题中的已知数据，尽量减少计算中的误差，并根据题目要求的精确度确定答案并注明单位．2．在物理中的应用正弦定理和余弦定理在力学和运动学中作为一个矢量分析的工具，可以解决物理中与矢量有关的一些问题，如力的合成与分解，力的平衡等．解题的关键是正确把握力、速度等矢量与角度的关系，把题中涉及到的矢量“移”到一个或几个相关联的三角形中，将物理问题转化为数学问题，然后再利用正、余弦定理解三角形．当然，熟悉矢量的合成与分解是正确解题的前提．3．在几何问题中的应用（1）常用面积公式111sin sin sin 222S ab C bc A ac B ===； 4abc S R=（R 表示三角形外接圆的半径）； 1()2S r a b c =++（r 表示三角形内切圆的半径）． （2）解题的关键是找出图形中的边角关系，然后设出有关的边和角，利用正弦定理和余弦定理建立边或角的关系式．。
苏教版必修5第一学生版教案第1课时正弦定理1
听课随笔第1章 解三角形【知识结构】正、余弦定理的应用解三角形余弦定理正弦定理→→⎭⎬⎫【重点难点】重点：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。
难点：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题1.1 正弦定理 第1课时【学习导航】知识网络直角三角形的边角关系→任意三角形的边角关系→正弦定理学习要求1．正弦定理的证明方法有几种，但重点要突出向量证法；2．正弦定理重点运用于三角形中“已知两角一边”、“已知两边一对角”等的相关问题【课堂互动】自学评价1．正弦定理：在△ABC 中，===CcB b A a sin sin sin ______, 2．正弦定理可解决两类问题：（1）________________________________； （2）_________________________________________________________________【精典范例】 【例1】在ABC ∆中，30A =︒，105C =︒，10a =，求b ，c ．分析：正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题． 【解】【例2】根据下列条件解三角形： （1）60,1b B c ==︒=；（2）45,2c A a ==︒=．分析：正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角，求其他边和角的问题． 【解】追踪训练一1．在△ABC 中，0105=C ，045=B ，5=c ，则b 的值为（ ）A )13(5-B )13(5+C 10D )26(5+2．在△ABC 中，已知3=a ，4=b ，听课随笔32sin =B ，则A sin = （ ） A 43 B 61C 21D 13．在△ABC 中， （1）已知075=A ，045=B ，23=c ，求a ，b ；（2）已知030=A ，0120=B ，12=b ，求a ，c .4．根据下列条件解三角形： （1）40=b ，20=c ，025=C ； （2）13=b ，26=a ，030=B 。
高中数学 1.3《正弦定理、余弦定理的应用(2)》教案 苏教版必修5
难点：利用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些几何和物理上的问题
【学法与教学用具】：
1. 学法：能否灵活求解问题的关键是正弦定理和余弦定理的选用，有些题目只选用其一，或两者混用，这当中有很大的灵活性，需要对原来所学知识进行深入的整理、加工，鼓励一题多解，训练发散思维。借助计算机等媒体工具来进行演示，利用动态效果，能使学生更好地明辨是非、掌握方法。
2. 教学用具：直尺、多媒体、实物投影仪.
【授课类型】：新授课
【课时安排】：1课时
【教学思路】：
一、创设情景，揭示课题
总结解斜三角形的要求和常用方法：
（1）利用正弦定理和三角形内角和定理，可以解决以下两类解斜三角形问题：
①已知两角和任一边，求其它两边和一角；
②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求其它的边和角.
三、巩固深化，反馈矫正
教材第1，2题
四、归纳整理，整体认识
由学生总结本节课的内容
五、承上启下，留下悬念
六、板书设计（略）
七、课后记：
1 Biblioteka 大小相等，方向相反.如图1-3-3，在中，由余弦定理，得
.再由正弦定理，得
，所以，从而.
答 为，与之间的夹角是.
本例是正弦定理、余弦定理在力学问题中的应用，教学时可作如下分析：由图根据余弦定理可求出，再根据正弦定理求出.
例3（教材例4）如图1-3-4，半圆的直径为，为直径延长线上的一点，，为半圆上任意一点，以为一边作等边三角形.问：点在什么位置时，四边形面积最大？
三、情感、态度与价值观
1.让学生进一步巩固所学的知识，加深对所学定理的理解，提高创新能力；进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力
高中数学苏教版必修5教案正弦定理、余弦定理的应用
正弦定理、余弦定理的应用(1)教学目标（1）综合运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决与测量学、航海问题等有关的实际问题；（2）体会数学建摸的基本思想，掌握求解实际问题的一般步骤；（3）能够从阅读理解、信息迁移、数学化方法、创造性思维等方面，多角度培养学生分析问题和解决问题的能力．教学重点，难点（1）综合运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些实际问题；（2）掌握求解实际问题的一般步骤．教学过程一．问题情境1．复习引入复习：正弦定理、余弦定理及其变形形式，（1）正弦定理、三角形面积公式：；．（2）正弦定理的变形：①；②；③．（3）余弦定理：．二．学生活动引导学生复习回顾上两节所学内容，然后思考生活中有那些问题会用到这两个定理，举例说明.三．建构数学正弦定理、余弦定理体现了三角形中边角之间的相互关系，在测量学、运动学、力学、电学等许多领域有着广泛的应用.1．下面给出测量问题中的一些术语的解释：（1）朝上看时，视线与水平面夹角为仰角；朝下看时，视线与水平面夹角为俯角.（2）从某点的指北方向线起,依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角,叫方位角.（3）坡度是指路线纵断面上同一坡段两点间的高度差与其水平距离的比值的百分率.道路坡度100%所表示的可以这样理解：坡面与水平面的夹角为45度.45度几乎跟墙壁一样的感觉了.（4）科学家为了精确地表明各地在地球上的位置，给地球表面假设了一个坐标系，这就是经纬度线.2．应用解三角形知识解决实际问题的解题步骤：①根据题意作出示意图；②确定所涉及的三角形，搞清已知和未知；③选用合适的定理进行求解；④给出答案.四．数学运用1．例题：例1．如图1-3-1，为了测量河对岸两点之间的距离，在河岸这边取点，测得，，，，.设在同一平面内，试求之间的距离（精确到）.解：在中，，，则.又，由正弦定理，得.在中，，，则.又，由正弦定理，得.在中，由余弦定理，得，所以答两点之间的距离约为.本例中看成或的一边，为此需求出，或，，所以可考察和，根据已知条件和正弦定理来求，，再由余弦定理求.引申：如果，两点在河的两岸（不可到达），试设计一种测量，两点间距离的方法.可见习题1.3 探究拓展第8题.例2．如图1-3-2，某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在处获悉后，测出该渔轮在方位角为，距离为的处，并测得渔轮正沿方位角为的方向，以的速度向小岛靠拢，我海军舰艇立即以的速度前去营救.求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间（角度精确到，时间精确到）.解：设舰艇收到信号后在处靠拢渔轮，则，，又，.由余弦定理，得，即.化简，得，解得（负值舍去）.由正弦定理，得，所以，方位角为.答舰艇应沿着方向角的方向航行，经过就可靠近渔轮.本例是正弦定理、余弦定理在航海问题中的综合应用.因为舰艇从到与渔轮从到的时间相同，所以根据余弦定理可求出该时间，从而求出和；再根据正弦定理求出.例3．如图，某海岛上一观察哨在上午时测得一轮船在海岛北偏东的处，时分测得轮船在海岛北偏西的处，时分轮船到达海岛正西方的港口.如果轮船始终匀速前进，求船速.解：设，船的速度为，则，.在中，，.在中，，.在中，，，，船的速度.2．练习：书上P20 练习1，3，4题.五．回顾小结：1．测量的主要内容是求角和距离，教学中要注意让学生分清仰角、俯角、张角、视角和方位角及坡度、经纬度等概念，将实际问题转化为解三角形问题.2．解决有关测量、航海等问题时，首先要搞清题中有关术语的准确含义，再用数学语言（符号语言、图形语言）表示已知条件、未知条件及其关系，最后用正弦定理、余弦定理予以解决.六．课外作业：书上P21页习题1.3 第2，3，4题.普通高中课程标准实验教科书—数学必修五[苏教版]§1.3 正弦定理、余弦定理的应用(2)教学目标（1）能熟练应用正弦定理、余弦定理解决三角形等一些几何中的问题和物理问题；（2）能把一些简单的实际问题转化为数学问题，并能应用正弦、余弦定理及相关的三角公式解决这些问题；（3）通过复习、小结，使学生牢固掌握两个定理，应用自如.教学重点，难点能熟练应用正弦定理、余弦定理及相关公式解决三角形的有关问题。
数学苏教版必修5 正弦定理、余弦定理应用 第2课时
正弦定理、余弦定理应用第二课时●教学目标知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题。
过程与方法：本节课是解三角形应用举例的延伸。
采用启发与尝试的方法，让学生在温故知新中学会正确识图、画图、想图，帮助学生逐步构建知识框架。
通过3道例题的安排和练习的训练来巩固深化解三角形实际问题的一般方法。
教学形式要坚持引导——讨论——归纳，目的不在于让学生记住结论，更多的要养成良好的研究、探索习惯。
作业设计思考题，提供学生更广阔的思考空间。
情感态度与价值观：进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力。
●教学重点：结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题.●教学难点 :能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件.教具准备：与教材内容相关的资料。
教学设想：通过3道例题的安排和练习的训练来巩固深化解三角形实际问题的一般方法。
教学形式要坚持引导——讨论——归纳，目的不在于让学生记住结论，更多的要养成良好的研究、探索习惯。
●教学过程:学生探究过程：课题导入: 现实生活中,人们是怎样测量底部不可到达的建筑物高度呢？又怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢？今天我们就来共同探讨这方面的问题.[范例讲解]例1、AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法。
分析：求AB 长的关键是先求AE ，在∆ACE 中，如能求出C 点到建筑物顶部A 的距离CA ，再测出由C 点观察A 的仰角，就可以计算出AE 的长。
解：选择一条水平基线HG ，使H 、G 、B 三点在同一条直线上。
由在H 、G 两点用测角仪器测得A 的仰角分别是α、β，CD = a ，测角仪器的高是h ，那么，在∆ACD 中，根据正弦定理可得 AC = )sin(sin βαβ-a AB = AE + h= AC αsin + h = )sin(sin sin βαβα-a + h 例2、如图，在山顶铁塔上B 处测得地面上一点A 的俯角α=5404'︒，在塔底C 处测得A 处的俯角β=501'︒。
苏教版高中数学必修五余弦定理教案(2)(1)
让学生学会学习听课随笔第3课时余弦定理【学习导航】知识网络⎩⎨⎧判断三角形的形状平面几何中的某些问题余弦定理 学习要求1．余弦定理的教学要达到“记熟公式”和“运算正确”这两个目标；2．能够利用正、余弦定理判断三角形的形状；3．进一步运用余弦定理解斜三角形． 【课堂互动】自学评价1．余弦定理：(1)_______________________，_______________________，_______________________. (2) 变形：____________________，_____________________，_____________________ .2．判断三角形的形状一般都有______或_________两种思路. 【精典范例】【例1】在∆ABC 中，求证：（1）;sin sin sin 222222CBA c b a +=+ （2）)cos cos cos (2222C abB ca A cb c b a ++=++ 【解】【例2】在ABC ∆中，已知acosA = bcosB 用两种方法判断该三角形的形状. 分析：利用正弦定理或余弦定理，“化边为角”或“化角为边”。
【解】方法1o方法2o点评: 判断三角形的形状一般都有“走边”或“走角”两条路。
【例3】在四边形ABCD 中，∠ADB=∠BCD=75︒，∠ACB=∠BDC=45︒，DC=3，求： （1） AB 的长（2） 四边形ABCD 的面积 【解】让学生学会学习听课随笔追踪训练一1. 在△ABC 中，090C ∠=，00450<<A ，则下列各式中正确的是（ ）A.A A cos sin >B.A B cos sin >C.B A cos sin >D.B B cos sin > 2. 在△ABC 中，若1cos cos cos 222=++C B A ,则△ABC 的形状是______________3. 如图，已知圆内接四边形ＡＢＣＤ的边长分别为ＡＢ＝２，ＢＣ＝６，ＡＤ ＝ＣＤ＝４，如何求出四边形ＡＢＣＤ的面积？【选修延伸】【例4】如图：在四边形ABCD 中，∠B=∠D=750，∠C=060，AB=3，AD=4，求对角线AC 的长。
苏教版高中数学必修5《余弦定理》教学教案1
1.2 余弦定理【三维目标】：一、知识与技能1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题；2.能够运用余弦定理理解解决一些与测量和几何计算有关的实际问题；3.通过三角函数、余弦定理、向量数量积等多处知识间联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。
二、过程与方法利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。
三、情感、态度与价值观1.培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；2.通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。
【教学重点与难点】：重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；难点：向量方法证明余弦定理。
【学法与教学用具】：1. 学法：2. 教学用具：多媒体、实物投影仪【授课类型】：新授课【课时安排】：1课时【教学思路】：一、创设情景，揭示课题1.正弦定理的内容？2.由正弦定理可解决哪几类斜三角形的问题？二、研探新知1．余弦定理的向量证明：c a b A B C 方法1：如图，在ABC ∆中，AB 、BC 、CA 的长分别为c 、a 、b 。
∵−→−AC +=−→−AB −→−BC ，∴⋅−→−AC −→−AC +=−→−AB (⋅−→−)BC +−→−AB ()−→−BC −→−=AB2⋅+−→−AB 2+−→−BC −→−BC 2−→−=AB 2⋅+−→−||2AB )180cos(||0B BC -−→−+−→−BC 222cos 2a B ac c +-=， 即：B ac a c b cos 2222-+=；同理可证：A bc c b a cos 2222-+=；C ab b a c cos 2222-+=。
方法2：建立直角坐标系，则(0,0),(cos ,sin ),(,0)A B c A c A C b 。
高中数学 正弦定理教案 苏教版必修5
第一课时正弦定理教学目标：掌握正弦定理推导过程，会利用正弦定理证明简单三角形问题，会利用正弦定理求解简单斜三角形边角问题，能利用计算器进行运算；通过三角函数、正弦定理、向量数量积等多处知识间联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一.教学重点：正弦定理证明及应用.教学难点：正弦定理的证明，正弦定理在解三角形时应用思路.教学过程：Ⅰ.课题导入在初中，我们已经会解直角三角形.就是说，已会根据直角三角形中已知的边与角求出未知的边与角，而在直角三角形中，有如下的边角关系.a sin A ＝bsin B＝csin C那么，在任意三角形中，这一关系式是否成立呢?这也是我们这一节课将要研究的问题. Ⅱ.讲授新课对于asin A ＝bsin B＝csin C这一关系的证明，我们一起来看下面的证法.如图，在△ABC中，已知BC＝a，AC＝b，AB＝c，作△ABC 的外接圆，O为圆心，连接BO并延长交圆于B′，设BB′＝2R. 则根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等可以得到：∠BAB′＝90°，∠C＝∠B′∴sin C＝sin B′＝c2R ∴csin C＝2R同理可得asin A ＝2R，bsin B＝2R∴asin A＝bsin B＝csin C＝2R这就是说，对于任意的三角形，上述关系式均成立.因此，我们得到下面的定理. 正弦定理在一个三角形中，各边和它所对的正弦的比相等，即a sin A ＝bsin B＝csin C说明：上述证法采用了初中所学的平面几何知识，将任意三角形通过外接圆性质转化为直角三角形进而求证，此证法在巩固平面几何知识的同时，易于被学生理解和接受，并且消除了学生所持的“向量方法证明正弦定理是唯一途径”这一误解.既拓宽了学生的解题思路，又为下一步用向量方法证明正弦定理作了铺垫.接下来，我们可以考虑用前面所学的向量知识来证明正弦定理.从定理内容可以看出，定理反映的是三角形的边角关系，而在向量知识中，哪一处知识点体现边角关系呢?向量的数量积的定义式：a·b＝｜a｜｜b｜cosθ，其中θ为两向量的夹角.但是向量数量积涉及的是余弦关系而非正弦关系，这两者之间能否转化呢?可以通过三角函数的诱导公式 sin θ＝cos(90°－θ)进行转化.这一转化产生了新角90°－θ，这就为辅助向量j 的添加提供了线索，为方便进一步的运算，辅助向量选取了单位向量j ，而j 垂直于三角形一边，且与一边夹角出现了90°－θ这一形式，这是作辅助向量j 垂直于三角形一边的原因.在向量方法证明过程中，构造向量是基础，并由向量的加法原则可得AC →＋CB →＝AB →.而添加垂直于AC →的单位向量j 是关键，为了产生j 与AB →、AC →、CB →的数量积，而在上面向量等式的两边同取与向量j 的数量积运算，也就在情理之中了.下面，大家再结合课本进一步体会向量法证明正弦定理的过程，并注意总结在证明过程中所用到的向量知识点.说明：(1)在给予学生适当自学时间后，应强调学生注意两向量的夹角是以同起点为前提，以及两向量垂直的充要条件的运用.(2)要求学生在巩固向量知识的同时，进一步体会向量知识的工具性作用.向量法证明过程：(1)△ABC 为锐角三角形，过点A 作单位向量j 垂直于AC →，则j 与AB →的夹角为90°－A ，j 与CB →的夹角为90°－C.由向量的加法原则可得：AC →＋CB →＝AB →为了与图中有关角的三角函数建立联系，我们在上面向量等式的两边同取与向量j 的数量积运算，得到：j ·(AC →＋CB →)＝j ·AB →由分配律可得：j ·AC →＋j ·CB →＝j ·AB →∴｜j ｜｜AC →｜cos90°＋｜j ｜｜CB →｜cos(90°－C )＝｜j ｜｜AB →｜cos(90°－A )∴a sin C ＝c sin A∴a sin A ＝csin C 另外，过点C 作与CB →垂直的单位向量j ，则j 与AC →的夹角为90°＋C ，j 与AB →的夹角为90°＋B ，可得c sin C ＝b sin B. (此处应强调学生注意两向量夹角是以同起点为前提，防止误解为j 与AC →的夹角为90°－C ，j 与AB →的夹角为90°－B )∴a sin A ＝b sin B ＝csin C . (2)△ABC 为钝角三角形，不妨设A ＞90°过点A 作与AC →垂直的单位向量j ，则j 与AB →的夹角为A －90°，j 与CB →的夹角为90°－C.由AC →＋CB →＝AB →得：j ·AC →＋j ·CB →＝j ·AB →即a ·cos(90°－C )＝c ·cos(A －90°)∴a sin C ＝c sin A∴a sin A ＝csin C 另外，过点C 作与CB →垂直的单位向量j ，则j 与AC →夹角为90°＋C ，j 与AB →夹角为90°＋B ，同理可得b sin B ＝c sin C∴a sin A ＝b sin B ＝csin C 综上所述，正弦定理对于锐角三角形、直角三角形、钝角三角形均成立.在证明了正弦定理之后，我们来进一步学习正弦定理的应用.利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形问题.(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角.这类问题由于两角已知，故第三角确定，三角形唯一，解唯一，相对容易.(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角.此类问题变化较多。
2019届泰兴中学高一数学苏教版必修5教学案：第1章6正弦定理、余弦定理的应用(2)
江苏省泰兴中学高一数学教学案(76)必修5_01正弦定理、余弦定理的应用（2）班级 姓名目标要求：1. 研究正弦定理、余弦定理在解决实际问题中的应用；2. 能将实际问题转化为求三角形的边和角的问题，并能灵活地运用正弦定理、余弦定理进行求解；重点难点：重点：如何运用解三角形的知识来求解实际问题难点：将一个具体的实际问题抽象成一个与三角形相关的数学问题典例剖析：例1．如图，为了测量河对岸两点A ，B 之间的距离，在河岸这边取点C ，D ，测得85,60,47,72,100o o o o ADC BDC ACD BCD CD m∠=∠=∠=∠==，设A ，B ，C ，D 在同一平面内，试求A ，B 之间的距离。
（精确到1m ）.例2．某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A 处获悉后，测出该渔轮在方位角为45°，距离为10n mile 的C 处，并测得渔轮正沿方位角为105°的方向，以９ｎmile/h 的速度向小岛靠拢，我海军舰艇立即以２１n mile/h 的速度前去营救。
求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间（角度精确到0.1°，时间精确到１min ）。
.例3．如图，半圆Ｏ的直径为２，Ａ为直径延长线上的一点，OA ＝２，Ｂ为半圆上任意一点，以ＡＢ为一边作等边三角形ABC ，问点Ｂ在什么位置时，四边形OACB 面积最大.学后反思通过对实际问题的解决，充分认识到解三角形的知识在航海、测量等方面的应用十分广泛，而对我们自身来讲，应在实际问题的解决过程中，掌握应用性问题的解题步骤和方法，培养分析问题和解决实际问题的能力。
课堂练习1、一船向正北航行，看见正西方向有相距10 n mile 的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西︒60，另一灯塔在船的南偏西︒75，则这只船的速度是每小时 .2、在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为︒30,︒60,则塔高为 .3、一树干被台风吹断折成与地面成︒30角，树干底部与树尖着地处相距20米，则树干原来的高度为__________.4、如图，货轮在海上以40n mile/h 的速度由B 向C 航行，航行的方位角140NBC ∠=︒，A 处有灯塔，其方位角110NBA ∠=︒，在C 处观察灯塔A 的方位角'35N CA ∠=︒，由B 到C 需要航行0.5h,求C 到灯塔A 的距离.江苏省泰兴中学高一数学作业(76)班级 姓名 得分1．在A 处望B 处的仰角为α，在B 处望A 处的俯角为β，则βα,的关系为 _________. 2．某人朝正东方向走x km 后，向右转︒150，然后朝新方向走3 km ，结果他离出发点恰好3km ，那么x 的值为________________3．一飞机沿水平方向飞行，在位置A 处测得正前下方地面目标C 的俯角为︒30，向前飞行了10000米，到达位置B 时测得正前下方地面目标C 的俯角为︒75，这时飞机与地面目标的距离为_________米4．△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若222()tan a c b B +-=，则角B 的值为5．在△ABC ，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，若)cos cos ,c A a C -=则cosA= 6．在ABC ∆中，8,7,120=+=︒=c b a A ，则=b7．作用于同一点的三个力123,,F F F 平衡，且12,F F 的夹角为323,,F F θ的夹角为131,,F F θ的夹角为2θ，求证：312123sin sin sin F F F θθθ==.8．在△ABC 中，54cos ,cos 135B C =-= （1）求sinA 的值； （2）设三角形ABC 的面积为332，求BC 的长.9．把一根长为30cm 的木条锯成两段，分别作钝角三角形ABC 的两边AB 和BC ，且120ABC ∠=︒.如何锯断木条，才能使第三边AC 最短.10．如图，有两条相交成60°角的直路'',XX YY ，交点是O ，甲，乙分别在OX ，OY 上，起初甲离O 点3km ，乙离O 点1km ，后来甲沿'XX 的方向，乙沿'Y Y 的方向，同时用4km/h 的速度步行.（1）起初两人的距离是多少？ （2）什么时候两人的距离最短？。
数学：1.2《余弦定理（2）》教案（苏教版必修5）
数学：1.2《余弦定理（2）》教案（苏教版必修5）第 4 课时：§1.2 余弦定理（2）【三维目标】：一、知识与技能1.学会利用余弦定理解决有关平几问题及判断三角形的形状，掌握转化与化归的数学思想；2.能熟练地运用余弦定理解斜三角形；二、过程与方法通过对余弦定理的运用，培养学生解三角形的能力及运算的灵活性三、情感、态度与价值观培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；【教学重点与难点】：重点：利用余弦定理判断三角形的形状以及进行三角恒等变形；难点：利用余弦定理判断三角形的形状以及进行三角恒等变形【学法与教学用具】：1. 学法：2. 教学用具：多媒体、实物投影仪.【授课类型】：新授课【课时安排】：1课时【教学思路】：一、创设情景，揭示课题1.余弦定理的内容？2.如何利用余弦定理判断锐角、直角、钝角？2.利用余弦定理可解决哪几类斜三角形的问题？二、研探新知，质疑答辩，排难解惑，发展思维例1 （教材16P 例6）在ABC ?中，AM 是BC 边上的中线，求证：222)(221BC AC AB AM -+= 例2 （教材15P 例5）在ABC ?中，已知CB A cos sin 2sin =，试判断三角形的形状例3 在ABC ?中，证明：C B A cb a sin )sin(222-=- 例4 已知三角形一个内角为060，周长为20，面积为310，求三角形的三边长。
例5三角形有一个角是060，夹这个角的两边之比是8：5，内切圆的面积是π12，求这个三角形的面积。
四、巩固深化，反馈矫正1．在ABC ?中，设=?→CB a r ,=?→?AC b r ，且|a r |2=,|b r |3=,a r ?b r 3-=，则_____=AB 2. 在ABC ?中，已知060=∠C ，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，则ac b c b a +++的值等于________3.已知a b a ,6,13=+=边上的中线，2338-=a m ,则_____=c 4.已知圆内接四边形ABCD 中，4,6,2====CD AD BC AB ,求四边形ABCD 的面积五、归纳整理，整体认识让学生总结本节课所学的内容及方法（1）知识总结：（2）方法总结：六、承上启下，留下悬念1．书面作业七、板书设计（略）八、课后记：。
2015-2016学年高二苏教版数学必修5学案第1章第6课时《正弦定理、余弦定理的应用》(2)
第6课时正弦定理、余弦定理的应用(2)教学过程一、数学运用在上一节课中,我们一起学习了正、余弦定理在实际中的应用,了解了一些把实际问题转化为解三角形问题的方法,掌握了一定的解题方法与技巧;在这一节课中,我们将给出几个例题,请大家尝试用上一节课所学的方法加以解决.【例1】如图,为了测量河对岸A,B两点间的距离,在所站这一岸定一基线CD,现已测出CD=a,∠ACD=α,∠BCD=β,∠BDC=γ,∠ADC=δ,试求AB的长.[2](例1)(见学生用书课堂本P11) [处理建议](1)先帮助学生分析思路,然后让学生解决;(2)如图,对于AB的求解,可以在△ABC中或者△ABD中求.若在△ABC中求解,由∠ACB=α-β,故需先求出AC,BC,再利用余弦定理求得,而AC可在△ACD中利用正弦定理求得,BC可在△BCD中利用正弦定理求得.[规范板书]解在△ACD中,由正弦定理得AC===.在△BCD中,由正弦定理得BC===.在△ABC中,∠A CB=α-β,由余弦定理得AB=.[题后反思](1)熟练掌握正、余弦定理的应用;(2)注意体会例1的求解过程在实际中的应用.变式直线AB外有一点C,∠ABC=60°,AB=200km,汽车甲以80km/h的速度由A向B行驶,同时摩托车乙以50km/h的速度由B向C行驶,问:运动开始几小时后,两车的距离最小?[规范板书]解设经过t h后,两车相距s km,则由余弦定理得s2=(200-80t)2+(50t)2-2×(200-80t)×(50t)·cos60°=12900t2-42000t+40000.当t=≈1.6时,s最小.答:运动开始约1.6h后,两车的距离最小.【例2】据气象台预报,距S岛正东方向300km的A处有一台风中心形成,并正以30km/h 的速度沿北偏西30°的方向移动,在距台风中心270km以内的地区将受到台风的影响.问:S岛是否受到台风影响?若受到影响,从现在起经过多少小时S岛开始受到台风的影响?持续时间多久?[3](见学生用书课堂本P12) [处理建议](1)先帮助学生分析思路,然后让学生解决;(2)设B为台风中心,则B为AB边上的动点,SB也随之变化.S岛是否受台风影响可转化为SB≤270这一不等式是否有解的判断,则需表示出SB,可设台风中心经过t h到达B点,则在△ABS中,由余弦定理可求出SB.[规范板书]解设台风中心经过t h到达B点,由题意得∠SAB=90°-30°=60°.(例2)在△ABS中,由余弦定理得SB2=SA2+AB2-2SA·AB·cos∠SAB=3002+(30t)2-2×300×30t cos60°=900t2-9000t+90000.若S岛受到台风影响,则应满足条件SB≤270,即SB2≤2702,化简整理得t2-10t+19≤0,解得5-≤t≤5+.所以从现在起,经过(5-)h S岛开始受到台风的影响,(5+)h后影响结束,持续时间为(5+)-(5-)=2(h).答:S岛将受到台风的影响,从现在起经过(5-)h,台风开始影响S岛,且持续时间为2h.[题后反思]此题为探索性命题,可以假设命题成立去寻求解存在的条件,也可假设命题不成立去寻求解存在的条件.本题求解过程采用了第一种思路(SB≤270是否有解最终转化为关于t 的一元二次不等式是否有解,与一元二次不等式解法相联系).变式海中有一小岛B,周围3.8n mile内有暗礁,军舰由西向东航行到A处,望见岛B在北偏东75°的方向上;军舰又航行了8n mile到达C处,望见岛B在北偏东60°的方向上.若此军舰不改变航向而继续前进,有无触礁危险?(变式)[处理意见]军舰继续向东航行,有无触礁的可能取决于B到直线AC的距离是否大于3.8n mile.于是我们只要先算出BC(或AB)的大小,再算出B到直线AC的距离,将它与3.8n mile比较即可得到答案.[规范板书]解在△ABC中,AC=8,∠A=15°,∠ACB=150°,∴∠B=15°,从而BC=AC=8.∴B到直线AC的距离为BC·sin30°=8×=4>3.8.因此,军舰不改变航向而继续航行,没有触礁的危险.*【例3】如图,已知扇形AOB的圆心角AOB等于60°,半径为2,在弧AB上有一动点P,过P引平行于OB的直线和OA交于点C,设∠AOP=θ,求△POC面积的最大值及此时θ的值.[4](例3)[处理建议](1)先帮助学生分析思路,然后让学生解决;(2)△POC的面积会随θ的变化而变化,所以要用θ表示△POC的面积,因此首先要用θ表示OC.[规范板书]解∵CP∥OB,∴∠OCP=120°,∴∠CPO=60°-θ.在△POC中,由正弦定理得OC===sin(60°-θ).因此,△POC的面积为S(θ)=OP·OC·sinθ=sin(60°-θ)sinθ=sin(2θ+30°)-.∵ 0°<θ<60°,∴当θ=30°时,S(θ)取得最大值为.[题后反思]此题是通过解三角形来建立函数关系,然后利用三角函数的性质来求最值,这种通过建立函数模型来求最值是高考中常考的题型,提醒学生注意.变式如图,已知半圆的直径AB=2,点C在AB的延长线上,BC=1,P为半圆上的一个动点,以PC为边作等边△PCD,且点D与圆心O分别在PC的两侧,求四边形OPDC面积的最大值.(变式)[规范板书]解设∠POB=θ,四边形OPDC的面积为y.在△POC中,由余弦定理得PC2=OP2+OC2-2·OP·OC·cos∠POC=5-4cosθ.∴y=S△POC+S△PCD=×2×1×sinθ+(5-4cosθ)=2sin+.∵ 0≤θ≤π,∴-≤θ-≤π,∴当θ-=,即θ=时,y max=2+.∴四边形OPDC面积的最大值为2+.二、课堂练习1.在塔底所在水平面上的某点测得塔顶的仰角为θ,由此点向塔沿直线行走30m,测得塔顶的仰角为2θ,再向塔继续前进10m,又测得塔顶的仰角为4θ,则塔高是15m.2.某人沿正东方向走x km后,向右转150°,然后朝新的方向走3km,结果他离出发点恰好km,则x=或2.提示由题意可得cos30°=,化简得x2-3x+6=0,解得x=或x=2.3.如图,为了测量隧道AB的长度,给定下列四组数据,则测量应当选用数据③.(填序号)①α,a,b;②α,β,a;③a,b,γ;④α,β,γ.(第3题)三、课堂小结1.通过本节课的学习,我们知道正弦定理、余弦定理有着非常广泛的应用.如果我们抽去每个应用题中与生产生活实际所联系的外壳,就暴露出解三角形问题的本质,这就需要我们在解决实际问题的过程中,不断提高分析问题和解决问题的能力,以及将实际问题转化为抽象的数学问题的能力.2.理解各种应用问题中的有关名词、术语,如坡度、俯角、仰角、方向角、方位角等.3.注意不等式、函数等代数知识的引入与应用.。
苏教版高中数学必修五正弦定理、余弦定理的应用学案(2)(1)
§1.3正弦定理和余弦定理的应用 （2）一、学习目标： 1.能把一些简单的实际问题转化为数学问题，并能应用正弦、余弦定理及相关的三角公式解决这些问题；2.利用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些几何和物理上的问题；3.掌握利用数学建模解决实际问题的一般步骤。
二、学法指导能否灵活求解问题的关键是正弦定理和余弦定理的选用，有些题目只选用其一，或两者混用，这当中有很大的灵活性，需要对原来所学知识进行深入的整理、加工，鼓励一题多解，训练发散思维。
借助计算机等媒体工具来进行演示，利用动态效果，能使学生更好地明辨是非、掌握方法。
三、课前预习ABC ∆的面积公式：（1）___)__________(21表示a a h h a S ⋅== = （2）___________________________________===S（3）___)__________)((21为r c b a r S ++=四、课堂探究题型1有关三角形面积问题【例1】 如图，在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝4，cos ∠CAD ＝3132，且AD ＝BD ，求△ABC 的面积．注意：本题求三角形的面积容易考虑用12×底×高来进行，但高不易求得，所以应灵活应用三角形的面积公式.若已知两边及它们的夹角，则用S ＝12absinC 或S ＝12acsinB 或S ＝12bcsinA 来求三角形的面积. 求三角形的面积，要充分挖掘题目中的条件，转化为求两边及夹角正弦问题，要注意方程思想在解题中的应用．题型2三角形中的证明问题【例2】 在△ABC 中，已知角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足sinA ＝tanB ，a ＝b(1＋cosA)，求证：A ＝C.规律归纳从某种意义上来看，三角证明问题就是对含有边和角的式子的化简问题：把边的关系转化成角的关系或者是把角的关系转化成边的关系，其中正弦定理和余弦定理是实现边角互化的基础．在化简过程中除综合应用正弦定理和余弦定理外，还要注意三角形中的边角关系以及两角和与差的三角函数公式等的灵活使用．题型3三角形中线段长度问题【例3】 在△ABC 中，若c ＝4，b ＝7，BC 边上的中线AD 的长为72，求边长a.规律归纳(1)有关长度问题，要有方程意识，设未知数，列方程求解是经常用到的方法．(2)要灵活运用正、余弦定理及三角形面积公式．题型4三角形中的综合问题【例4】 (2010·重庆高考)设△ABC 的内角∠A ，∠B ，∠C 的对边长分别为a ，b ，c ，且3b 2＋3c 2－3a 2＝42bc .(1)求sin A 的值．(2)求2sin (A ＋π4)sin (B ＋C ＋π4)1－cos2A的值．规律归纳在解三角形中的三角变换问题时，要注意两点：（1）是要用到三角形内角和定理及正、余弦定理，做到恰当使用正、余弦定理以及三角形中的三内角间的关系将有关边角确定．（2）是要用到三角变换、三角恒等变形的原则和方法．要灵活处理有关三角形边角关系、应用三角恒等变形、两角和与差的正余弦公式及三角中的运算技巧“化繁为简”，“化异为同”是解此类问题的突破口．五、巩固训练1．在△ABC 中，a ＝2，A ＝45°，则△ABC 外接圆的半径R 等于( )A ．1B ．2C ．4D ．无法确定2．在△ABC 中，已知C ＝60°，b ＝43，则BC 边上的高等于( ) A. 3 B ．23 C ．4 3 D ．63．△ABC 中，c ＝2，A ＝30°，B ＝120°，则△ABC 的面积为( )A.32B.3 C ．3 3 D ．34．已知△ABC 的面积为32，且b ＝2，c ＝3，则( ) A ．A ＝30° B ．A ＝60° C ．A ＝30°或150° D ．A ＝60°或120°5．若△ABC 的面积为32，c ＝2，A ＝60°，求a 、b 的值．六、反思总结1.当三角形中已知两边和其中一边的对角时，(1)若由已知只求内角，则用正弦定理合适；(2)若由已知只求边，则用余弦定理合适．2．利用正弦定理和余弦定理化简求值或证明恒等式利用正弦定理和余弦定理化简求值或证明恒等式，首先应该熟记正弦定理和余弦定理的公式及其变形，同时要认真观察所要化简或证明的式子的结构特点，从而确定变形的目标和方向．基本思想是：将式中的角的关系转化为边的关系，或者将式中的边的关系转化为角的关系，实现边或角的统一，这样就便于化简求值，或者确定其中的等量关系，使恒等式得到证明．。
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高一数学教学案(76)
必修5_01正弦定理、余弦定理的应用（2）
班级 姓名
目标要求：
1. 研究正弦定理、余弦定理在解决实际问题中的应用；
2. 能将实际问题转化为求三角形的边和角的问题，并能灵活地运用正弦定理、余弦定理进
行求解；
重点难点：
重点：如何运用解三角形的知识来求解实际问题
难点：将一个具体的实际问题抽象成一个与三角形相关的数学问题
典例剖析：
例1．如图，为了测量河对岸两点A ，B 之间的距离，在河岸这边取点C ，D ，测得
85,60,47,72,100o o o o ADC BDC ACD BCD CD m
∠=∠=∠=∠==
，设A ，B ，C ，D 在同一平面内，试求A ，B 之间的距离。
（精
确到1m ）.
例2．某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A 处获悉后，测出该渔轮在
方位角为45°，距离为10n mile 的C 处，并测得渔轮正沿方位角为105°的方向，以９ｎ
mile/h 的速度向小岛靠拢，我海军舰艇立即以２１n
mile/h 的速度前去营救。
求舰艇的航向和靠近渔轮所需
的时
间（角度精确到0.1°，时间精确到１min ）。
.
例3．如图，半圆Ｏ的直径为２，Ａ为直径延长线上的一点，OA ＝２，Ｂ为半圆上任意一点，
以ＡＢ为一边作等边三角形ABC ，问点Ｂ在什么位置时，四边形OACB 面积最大.
学后反思
通过对实际问题的解决，充分认识到解三角形的知识在航海、测量等方面的应用十分广
泛，而对我们自身来讲，应在实际问题的解决过程中，掌握应用性问题的解题步骤和方法，
培养分析问题和解决实际问题的能力。
课堂练习
1、一船向正北航行，看见正西方向有相距10 n mile 的两个灯塔恰好与它在一条直线上，
继
续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西︒60，另一灯塔在船的南偏西︒75，则这只船的
速度是每小时 .
2、在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为︒30,︒60,则塔高为 .
3、一树干被台风吹断折成与地面成︒30角，树干底部与树尖着地处相距20米，则树干原来
的高度为__________.
4、如图，货轮在海上以40n mile/h 的速度由B 向C 航行，航行的方位角140NBC ∠=︒，
A 处有灯塔，其方位角110NBA ∠=︒，在C 处观察灯塔A 的方位角'
35N CA ∠=︒，由B 到
C 需要航行0.5h,求C 到灯塔A 的距离.
高一数学作业(76)
班级 姓名 得分
1．在A 处望B 处的仰角为α，在B 处望A 处的俯角为β，则βα,的关系为 _________.
2．某人朝正东方向走x km 后，向右转︒150，然后朝新方向走3 km ，结果他离出发点恰好
3km ，那么x 的值为________________
3．一飞机沿水平方向飞行，在位置A 处测得正前下方地面目标C 的俯角为︒30，向前飞行
了10000米，到达位置B 时测得正前下方地面目标C 的俯角为︒75，这时飞机与地面目标的
距离为_________米
4．△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若222()tan a c b B +-，则角B 的值为
5．在△ABC ，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，若)cos cos ,c A a C -=则cosA=
6．在ABC ∆中，8,7,120=+=︒=c b a A ，则=b
7．作用于同一点的三个力123,,F F F 平衡，且12,F F 的夹角为323,,F F θ的夹角为131,,F F θ的夹角为2θ，求证：
312123sin sin sin F F F θθθ==.
8．在△ABC 中，54cos ,cos 135
B C =-= （1）求sinA 的值； （2）设三角形ABC 的面积为
332，求BC 的长.
9．把一根长为30cm 的木条锯成两段，分别作钝角三角形ABC 的两边AB 和BC ，且120ABC ∠=︒.如何锯断木条，才能使第三边AC 最短.
10．如图，有两条相交成60°角的直路'',XX YY ，交点是O ，甲，乙分别在OX ，OY 上，起初甲离O 点3km ，乙离O 点1km ，后来甲沿'XX 的方向，乙沿'
Y Y 的方向，同时用4km/h 的速度步行.
（1）起初两人的距离是多少？
（2）什么时候两人的距离最短？。