母子型相似三角形模型-典型上课讲义
20 相似三角形重要模型之母子型(共边共角模型)(学生版)-2024年中考数学几何模型归纳讲练
专题20. 相似三角形重要模型--母子型（共边共角模型）相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。
在相似三角形中存在众多的相似模型，其中“母子型”相似模型应用较为广泛，深入理解模型内涵，灵活运用相关结论可以显著提高解题效率，本专题重点讲解相似三角形的“母子”模型。
母子相似证明题一般思路方法:①由线段乘积相等转化成线段比例式相等；②分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形；③第②步成立，直接从证这两个三角形相似，逆向证明到线段乘积相等；④第②步不成立，则选择替换掉线段比例式中的个别线段，之后再重复第③步。
模型1.“母子”模型(共边角模型)【模型解读与图示】“母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似．图1 图2 图3 图41）“母子”模型（斜射影模型）条件：如图1，∠C=∠ABD ； 结论：△ABD ∽△ACB ，AB 2＝AD ·AC .2）双垂直模型（射影模型）条件:如图2，∠ACB=90o ，CD ⊥AB ；结论：△ACD ∽△ABC ∽△CBD ；CA 2＝AD ·AB ，BC 2＝BD ·BA ，CD 2＝DA ·DB .3）“母子”模型（变形）条件:如图3，∠D=∠CAE ，AB=AC ； 结论：△ABD ∽△ECA ；4）共边模型条件:如图1，在四边形ABCD 中，对角线BD 平分ABC ∠，ADB DCB ∠=∠，结论：2BD BA BC =⋅；例1．（2022·贵州贵阳·中考真题）如图，在ABC V 中，D 是AB 边上的点，B ACD ∠=∠，:1:2AC AB =，则ADC V 与ACB △的周长比是（ ）A．B ．1:2C ．1:3D ．1:4例3.（2022.山西九年级期中）如图，点C ，D 在线段AB 上，△PCD 是等边三角形，且∠APB ＝120°，求证：（1）△ACP ∽△PDB ，（2）CD 2＝AC •BD ．例4．（2023·湖南·统考中考真题）在Rt ABC △中，90BAC AD ∠=︒，是斜边BC 上的高．(1)证明：C ABD BA ∽△△；(2)若610AB BC ==，，求BD 的长．例5．（2023.浙江中考模拟）如图，在V ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ．（1）图1中共有 对相似三角形，写出来分别为 （不需证明）：（2）已知AB ＝5，AC ＝4，请你求出CD 的长：（3）在（2）的情况下，如果以AB 为x 轴，CD 为y 轴，点D 为坐标原点O ，建立直角坐标系（如图2），若点P 从C 点出发，以每秒1个单位的速度沿线段CB 运动，点Q 出B 点出发，以每秒1个单位的速度沿线段BA 运动，其中一点最先到达线段的端点时，两点即刻同时停止运动；设运动时间为t 秒是否存在点P ，使以点B 、P 、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．例6．（2022·陕西汉中·九年级期末）如图，CD 是等腰直角ABC V 斜边AB 的中线，以点D 为顶点的EDF ∠绕点D 旋转，角的两边分别与AC 、BC 的延长线相交，交点分别为点E 、F ，DF 与AE 交于点M ，DE 与BC 交于点N ，且45EDF ∠=︒．(1)如图1，若CE CF =，求证：DE DF =；(2)如图2，若CE CF ≠，求证：2CD CE CF =⋅；(3)如图2，过D 作DG BC ⊥于点G ，若2CD =，CF =DN 的长．例7．（2023·浙江·九年级期末）（1）如图1，在ABC V 中，D 为AB 上一点，2AC AD AB =⋅．求证：ACD B ∠=∠．（2）如图2，在ABCD Y 中，E 是AB 上一点，连接AC ，EC ．已知4AE =，6AC =，9CD =．求证：23AD EC =．（3）如图3，四边形ABCD 内接于O ，AC 、BD 相交于点E ．已知O 的半径为2，AE CE =，AB =，BD =ABCD 的面积．【拓展提高】（3）如图ABC V 中，D 是BC 上一点，连结AD ，点E ，F 分别在BE ，CE ，EF ，若DE ，BEC AEF ∠=∠，16BE =，7=，34CE BC =，求课后专项训练1.（2023成都市九年级期中）如图，矩形ABCD 中，F 是DC 上一点，BF ⊥AC ，垂足为E ，AD AB =12，△CEF 的面积为S 1，△AEB 的面积为S 2，则S 1S 2的值等于（ ）A ．1B ．1C ．1D ．1A ．AG CG = B ．2B HAB ∠=∠3．（2023·湖北恩施·校考模拟预测）如图，在正确的是（ ）A ．2BC BD AB =⋅ B ．CD 4．（2023·山东济南·统考中考真题）如图，在半径作弧交AC 于点D ，再分别以A．36∠=︒BCE5．（2023·云南临沧△V与BCDACDA．1:2B．6．（2023·山东东营·统考中考真题）于点D，E；分别以点D7．（2020·山西·统考中考真题）如图，在Rt∆D，E为BC的中点，AE与CD交于点F，则8．（2022·河北邢台·校考二模）如图1，在ABC V 中，AB AC =，24BC =，5tan 12C =，点P 为BC 边上一点，则点P 与点A 的最短距离为______．如图2，连接AP ，作APQ ∠，使得APQ B ∠=∠，PQ 交AC 于Q ，则当11BP =时，AQ 的长为______．10．（2020·广东广州·AC '分别交对角线BD 11．（2021·四川南充·中考真题）如图，在ABC V 中，D 为BC 上一点，3BC BD ==，则:AD AC 的值为________．12．（2022·四川宜宾·九年级期末）如图，在△ABC 中，点D 在BC 边上，点E 在AC 边上，且AD ＝AB ，∠DEC ＝∠B ．（1）求证：△AED ∽△ADC ；（2）若AE ＝1，EC ＝3，求AB 的长．13．（2022·江苏盐城·中考真题）如图，在ABC V 与A B C '''V 中，点D 、D ¢分别在边BC 、B C ''上，且ACD A C D '''∽△△，若___________，则ABD A B D '''△∽△．请从①BD B D CD C D ''=''；②AB A B CD C D ''=''；③BAD B A D '''∠=∠这三个选项中选择一个作为条件（写序号），并加以证明．14．（2023·湖南·统考中考真题）在Rt ABC △中，90BAC AD ∠=︒，是斜边BC 上的高．(1)证明：C ABD BA ∽△△；(2)若610AB BC ==，，求BD 的长．探究发现：如图1，在ABC V 中，36A ∠=︒，AB AC =．（1）操作发现：将ABC V 折叠，使边BC 落在边BA 上，点C 的对应点是点E ，折痕交AC DE ，DB ，则BDE ∠=_______︒，设1AC =，BC =，那么AE =______（用含x 的式子表示）（2）进一步探究发现：512-=底腰，这个比值被称为黄金比．在（1）的条件下试证明：51BC -底当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时，这个三角形叫黄金三角形．例如，图(1)如图2，在ABC V 中，2BC AB =，求证：ABC V 为关于边BC 的“华益美三角”；(2)如图3，已知ABC V 为关于边BC 的“华益美三角”，点D 是ABC V 边BC 的中点，以BD 为直径的经过点A ．①求证：直线CA 与O e 相切；②若O e 的直径为26，求线段AB 的长；(3)已知ABC V 为关于边BC 的“华益美三角”，4BC =，30B ∠=︒，求ABC V 的面积．20．（2022·浙江台州·统考一模）已知在▱ABCD ，AB ＝BC ＝10，∠B ＝60°，E 是边BC 上的动点，以AE 为一边作▱AEFG ，且使得直线FG 经过点D ．（1）如图1，EF 与AD 相交于H ，若H 是EF 的中点．①求证：GF ＝DF ；②若GF ⊥CD ，求GD 的长；（2）如图2，设AE ＝x ，AG ＝y ，当点E 在边BC 上移动时，始终保持∠AEF ＝45°，①求y 关于x 的函数关系式，并求函数y 的取值范围；②连接ED ，当△AED 是直角三角形时，求DF 的值．2BAC B BAD ∠∠∠=∴= ，设DC x =，则AD BD a ==-22b ax a ax bc ∴=-=， 2a ∴证法2：如图2，延长CA 到点任务：(1)上述材料中的证法似”）．(2)请补全证法2剩余的部分．22．（2022·安徽·校联考三模）在ABC V 中，2ABC ACB ∠=∠，BD 平分ABC ∠．（1）如图1，若3AB =，5AC =，求AD 的长．（2）如图2，过A 分别作AE AC ⊥交BC 于E ，AF BD ⊥于F ．①求证：ABC EAF ∠=∠；②求BF AC的值．∠，交AB于CD平分ACB是否为定值．如果是，请求出这个定值；如果不∠∠，CD平分BCF2CBG。
相似三角形中的“母子”型-2023年新九年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练(沪教版)(解析版)
【答案】经过 4 秒或 1.6 秒时，△QBC 与△ABC 相似 【分析】由题意可得， AP = 2t，BP = 8 − 2t，BQ = 4t ，根据△QBC 与△ABC 相似，分情况列式计算即可．
∴AF＝FE＝ED＝DA，∴四边形 AFED 菱形．
是 （2）证明：由（1）得：△ABF≌△EBF，∴∠BAG＝∠BEF，
∵四边形 AFED 是菱形，∴AD∥FE，∴∠BEF＝∠C，∴∠BAG＝∠C， AB = BG
∵∠ABG＝∠CBA，∴△ABG∽△CBA，∴ BC AB ，即 AB2＝BG•BC． （3）解：如图，
关知识并灵活运用所学知识求解是解题的关键．
【过关检测】
一、填空题 1．如图，在 ABC 中，点 D 在 AB 上，请再添一个适当的条件，使△ADC∽△ACB ，那么可添加的条件是 __________．
【答案】 ACD = ABC （答案不唯一，也可以增加条件： ADC = ACB 或 AC2 = AD AB ）．
【分析】（1）利用平行四边形的性质得 AB=CD，AB∥CD，再证明四边形 BECD 为平行四边形得到 BD∥CE，根 据相似三角形的判定方法，由 CM∥DB 可判断△BND∽△CNM； （2）先利用 AD2=AB•AF 可证明△ADB∽△AFD，则∠1=∠F，再根据平行线的性质得∠F=∠4，∠2=∠3，所以∠3=∠4， 加上∠NMC=∠CMD，于是可判断△MNC∽△MCD，所以 MC：MD=CN：CD，然后利用 CD=AB 和比例的性质即 可得到结论． 【详解】证明：（1）∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB=CD，AB∥CD， 而 BE=AB， ∴BE=CD， 而 BE∥CD， ∴四边形 BECD 为平行四边形， ∴BD∥CE， ∵CM∥DB， ∴△BND∽△CNM； （2）∵AD2=AB•AF， ∴AD：AB=AF：AD，
相似三角形模型(全)课件
在解题过程中，可以根据题目的条件 选择适当的方法来证明或推导结论。
全等三角形可以用来证明两个三角形 完全重合，而相似三角形则可以用来 研究两个三角形的形状和大小关系。
05
相似三角形的证明方法
利用角角相似的证明方法
01
02
03
总结词
通过比较两个三角形的对 应角，如果两个三角形有 两组对应的角相等，则这 两个三角形相似。
相似三角形的对应角相等
总结词
如果两个三角形相似，则它们的 对应角相等。
详细描述
根据相似三角形的定义，如果两 个三角形对应的角都相等，则这 两个三角形是相似的。因此，相 似三角形的对应角必然相等。
相似三角形的对应边成比例
总结词
如果两个三角形相似，则它们的对应边之间存在一定的比例关系。
详细描述
由于两个三角形相似，它们的对应角相等，根据三角形的性质，对应的边之间 必然存在一定的比例关系，这个比例关系是固定的，与三角形的形状和大小无 关。
相似三角形的面积比等于边长比的平方
总结词
如果两个三角形相似，则它们的面积之比等于对应边长之比 的平方。
详细描述
根据相似三角形的性质，两个相似三角形的对应边长之比是 固定的，设为k。那么它们的面积之比就是k的平方，即k^2 。这意味着相似三角形的面积比等于边长比的平方。
相似三角形的周长比等于边长比
相似三角形模型(全)课件
目 录
• 相似三角形的基本概念 • 相似三角形的性质和定理 • 相似三角形的应用 • 相似三角形与全等三角形的关系 • 相似三角形的证明方法
01
相似三角形的基本概念
相似三角形的定义
相似三角形的定义
相似三角形的性质
如果两个三角形对应的角相等，则这 两个三角形相似。
子母型相似
27、（本题 14 分）类比等腰三角形的定义，定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”． （1）概念理解： 如图 1，在四边形 ABCD 中，添加一个条件__________，使得四边形 ABCD 是“等邻边四边形”． （2）问题探究： 如图 2，小红画了一个 Rt△ ABC，其中∠ABC=90°，AB=2，BC=1，并将 Rt△ ABC 沿∠ABC 的平分线 BB′ 方向平移得到△ A′B′C′，连结 AA′，BC′，小红要使平移后的四边形 ABC′A′是“等邻边四边形”，则平移的距 离是（即线段 BB′的长）__________．（直接写出答案） （3）拓展应用： 如图 3，“等邻边四边形”ABCD 中，AB=AD，∠BAD+∠BCD=90°，AC，BD 为对角线，AC= AB，试探 究 BC，CD，BD 的数量关系．
如图③，小华同学在研究上述问题的过程中得到了一个等边三角形和一个圆，并进一步求出了∠BCD 的 度数为 30°，过程如下： 解：如图③，坐线段 CA 的垂直平分线 m，将△ABC 沿直线 m 翻折至△CB′A，
连接 B′D，BB′. ∴B′C=BA=BD=B′D,∠ACB′=∠CAB ∵B 和 B′，A 和 C 是两组关于直线 m 的对称点。 ∴m⊥BB′，m⊥AC，则 BB′∥AC 。。。。。 根据小华的解题过程， （1）请接着证明△BB′D 是等边三角形： （2）请接着说明∠BCD=30°
(1) 将▱ABCD 纸片按图 2 的方式折叠成一个叠合矩形 AEFG,则操作形成的折痕分别是线段___,___;S 矩形 AEFG:S ▱ABCD=___. (2) ▱ABCD 纸片还可以按图 3 的方式折叠成一个叠合矩形 EFGH，若 EF=5,EH=12,求 AD 得长。 (2)如图 4,四边形 ABCD 纸片满足 AD∥BC，AD<BC，AB⊥BC，AB=8，CD=10，小明把该纸片折叠，得到叠合正 方形，请你帮助画出叠合正方形的示意图，并求出 AD、BC 的长。
最新母子型相似三角形上课讲义
母子型相似三角形（三）母子型ABCDCAD例1：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 交于点O ，BE ∥CD 交CA 延长线于E ．求证：OE OA OC ⋅=2．例2：已知：如图，△ABC 中，点E 在中线AD 上, ABC DEB ∠=∠．求证：（1）DA DE DB ⋅=2； （2）DAC DCE ∠=∠．例3：已知：如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，CG ∥AB ，BG 分别交AD 、AC 于E 、F ．求证：EG EF BE ⋅=2．相关练习：1、如图，已知AD 为△ABC 的角平分线，EF 为AD 的垂直平分线．求证：FC FB FD ⋅=2．2、已知：AD 是Rt △ABC 中∠A 的平分线，∠C=90°，EF 是AD 的垂直平分线交AD 于M ，EF 、BC 的延长线交于一点N 。
ACDEB求证：(1)△AME ∽△NMD; (2)ND 2=NC ·NB3、已知：如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，E 是AC 上一点，CF ⊥BE 于F 。
求证：EB ·DF=AE ·DB4.在∆ABC 中，AB=AC ，高AD 与BE 交于H ，EF BC ⊥，垂足为F ，延长AD 到G ，使DG=EF ，M 是AH 的中点。
求证：∠=︒GBM 905．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）、（3）小题满分各5分）已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =2，AC =4，P 是斜边AB 上的一个动点，PD ⊥AB ，交边AC 于点D （点D与点A 、C 都不重合），E 是射线DC 上一点，且∠EPD =∠A ．设A 、P 两点的距离为x ，△BEP 的面积为y ．（1）求证：AE =2PE ；（2）求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当△BEP 与△ABC 相似时，求△BEP 的面积．教学随笔：手写教案好处多ABPD E（第25题图）GMF EHDCBA2000年以前许多学校基本上都是手写教案。
相似三角形重要模型之母子型(共边共角模型)(学生版)-初中数学
相似三角形重要模型之母子型(共边共角模型)相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。
在相似三角形中存在众多的相似模型，其中“母子型”相似模型应用较为广泛，深入理解模型内涵，灵活运用相关结论可以显著提高解题效率，本专题重点讲解相似三角形的“母子”模型。
模型1.“母子型”模型(共边共角模型)【知识储备】母子型相似证明题一般思路方法:①由线段乘积相等转化成线段比例式相等；②分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形；③第②步成立，直接从证这两个三角形相似，逆向证明到线段乘积相等；④第②步不成立，则选择替换掉线段比例式中的个别线段，之后再重复第③步。
模型1.“母子型”模型(共边共角模型)“母子”模型的图形(通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀)，也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似。
图1图2图3图41)“母子”模型(斜射影模型)条件：如图1，∠C=∠ABD；结论：△ABD∽△ACB，AB2=AD·AC.证明：∵∠C=∠ABD，∠DAB=∠BAC，∴△ADB∽△BAC，∴ADAB=ABBC，∴AB2=AD·AC.2)双垂直模型(射影模型)条件：如图2，∠ACB=90o，CD⊥AB；结论：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2=AD·AB，BC2=BD·BA，CD2=DA·DB.证明：∵∠ACB=90o，CD⊥AB，∴∠A+∠ACD=90°，∠A+∠B=90°，∴∠B=∠ACD，∵∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC，∴ACAB =ADAC，∴AC2=AD·AB.同理可证：BC2=BD·BA，CD2=DA·DB.3)“母子”模型(变形)条件：如图3，∠D=∠CAE，AB=AC；结论：△ABD∽△ECA；证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠DBA=∠ACE，∵∠D=∠CAE，∴△ABD∽△ECA 4)共边模型条件：如图1，在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，∠ADB=∠DCB，结论：BD2=BA⋅BC；证明：∵对角线BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBC，∵∠ADB=∠DCB，∴△ADB∽△DCB，∴ABDB =DBBC，∴BD2=BA⋅BC1.(2024·河北石家庄·二模)如图，在平行四边形ABCD中，AC为对角线，∠BAE=∠DAC，AB=9，AD =12，则CE长为()A.214B.3 C.9 D.4872.(23-24九年级上·江苏南通·阶段练习)如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，DE⊥BD，交AB于点E，(1)求证：△ADE∽△ABD；(2)若AB=10，BE=3AE，求线段AD长．3.(2024·湖南长沙·二模)如图，在△ABC中，∠BAC=90°，以A为圆心，AC长为半径作弧，交BC于C，D两点，分别以点C和点D为圆心，大于12CD长为半径作弧，两弧交于点P，作直线AP，交CD于点E．若AC=5，CD=6，则BC=．4.(2024·广西南宁·三模)阅读与思考，完成后面的问题．射影定理，又称“欧几里得定理”，是数学图形计算的重要定理．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有如下结论：①AD2=BD⋅DC；②AB2=BD⋅BC；③AC2=CD⋅BC．下面是该定理的证明过程(部分)：∵AD是斜边BC上的高，∴∠ADB=90°=∠ADC．∵∠B+∠BAD=90°，∠B+∠C=90°，∴∠BAD=∠C．∴△ABD∽△CAD(依据)．∴BDAD =ADCD．即AD2=BD⋅DC．(1)材料中的“依据”是指；(2)选择②或③其中一个结论加以证明；(3)应用：△ABC中，∠A=90°，B1,0，C-3,0，点A在y轴上，求顶点A的坐标．5.(2023·山东淄博·九年级统考期末)如图，已知△ABP，点C，D在边AB上，连接PC，PD，使∠ADP= 60°，且△ACP∽△PDB．(1)请判定△PCD的形状，并说明理由；(2)若AC=2，BD=3，求△ABP的面积．6.(2024·浙江温州·三模)如图，在锐角三角形ABC中，AC>BC．以点C为圆心BC长为半径画弧，交边AB于点D，连接CD．点E是CB延长线上的一点，连接AE，若AB平分∠CAE．(1)求证：△ACD∽△AEB．(2)当AD=BD时，求BCEB的值．7.(2024·河南·二模)三角形的布洛卡点(Brocardpo int)是法国数学家和数学教育家克洛尔(A．LCrelle1780-1855)于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意．1875年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡(Brocard1845-1922)重新发现，并用他的名字命名．如图1，若△ABC内一点P满足∠P AB=∠PBC=∠PCA=∠α，则点P是△ABC的布洛卡点，∠α是布洛卡角．(1)如图2，点P为等边三角形ABC的布洛卡点，则布洛卡角的度数是；P A、PB、PC的数量关系是；(2)如图3，点P为等腰直角三角形ABC(其中∠BAC=90°)的布洛卡点，且∠1=∠2=∠3．①请找出图中的一对相似三角形，并给出证明；②若△ABC的面积为52，求△PBC的面积．1.(23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习)如图，在△ABC中，点D在AB边上，点E在AC边上，且∠1=∠2=∠3，则下列结论中不正确的是()A.△ADE∽△ABCB.△ADE∽△ACDC.△ADE∽△EDCD.△ABC∽△ACD2.(2022·浙江衢州·统考中考真题)如图，在△ABC中，AB=AC,∠B=36°．分别以点A，C为圆心，大于12AC的长为半径画弧，两弧相交于点D，E，作直线DE分别交AC，BC于点F，G．以G为圆心，GC 长为半径画弧，交BC于点H，连结AG,AH．则下列说法错误的是()A.AG =CGB.∠B =2∠HABC.△CAH ≅△BAGD.BG 2=CG ⋅CB3.(2023·江苏·九年级专题练习)如图，△ABC 中，点D 在边AB 上，且∠ACD =∠ABC ，若AC =3，AD =1，则DB 的长为．4.(23-24九年级下·辽宁本溪·阶段练习)如图，在△ABC 中，AB =2AC ．以点A 为圆心，以AC 的长为半径作弧交边AB 于点D ．分别以点D ，C 为圆心，以大于12CD 的长为半径作弧，两弧交于点P ，作射线AP 交BC 于点E ，则EC BE 的值为．5.(23-24九年级上·陕西汉中·期中)如图，点C 、D 在线段AB 上，且CD 是等腰直角△PCD 的底边．当△PDB ∽△ACP 时(P 与A 、B 与P 分别为对应顶点)，∠APB =°．6.(2024·河北邢台·校考二模)如图1，在△ABC 中，AB =AC ，BC =24，tan C =512，点P 为BC 边上一点，则点P 与点A 的最短距离为．如图2，连接AP ，作∠APQ ，使得∠APQ =∠B ，PQ 交AC 于Q ，则当BP =11时，AQ 的长为．7.(2024.广东九年级校级月考)在Rt△ABC中，∠ACB=90°,CD⊥AB，垂足为D,AD=8,DB=2，求CD的长8.(22-23九年级上·云南红河·期末)如图，四边形ABCD为菱形，点E在AC的延长线上，∠ACD=∠ABE．求证：△ABC∽△AEB．9.(2023春·福建福州·八年级校考期末)已知：如图，在△ABC中，D为AB边的中点，连接CD，∠ACD=∠B，AB=6，求AC的长．10.(23-24八年级下·浙江宁波·期末)【证明体验】(1)如图1，在△ABC中，D是AB边上的点，连结CD，若∠ACD=∠ABC，求证：AC2=AD⋅AB．【思考探究】(2)如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2，D是AB边上的点，连结CD，E是CD的中点，连结BE．若∠ACD=∠DBE，求AD的长．11.(23-24九年级下·河南南阳·阶段练习)如图，在△ABC中，∠ABC=∠BAC=45°，点P为△ABC内的一个动点，已知∠BP A=135°，∠APC=90°．(1)求证：△BP A∽△CPB；(2)求APPC的值．12.(2023·陕西西安·九年级期中)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，∠ABC的平分线BE分别交CD、AC于点F，E．(1)求证：ΔCBF∽ΔABE；(2)若AB=10，BC=6，求ΔCBF的面积．13.(2024·四川·九年级期末)如图，在△ABC中，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD=AB，∠DEC=∠B．(1)求证：△AED∽△ADC；(2)若AE=1，EC=3，求AB的长．14.(2024·山东·八年级专题练习)定义：如图，若点P在三角形的一条边上，且满足∠1=∠2，则称点P为这个三角形的“理想点”．(1)如图①，若点D是△ABC的边AB的中点，AC=22，AB=4，试判断点D是不是△ABC的“理想点”，并说明理由；(2)如图②，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4，若点D是△ABC的“理想点”，求CD的长．15.(2023秋·江苏扬州·九年级校联考阶段练习)如图，∠ABD=∠BCD=90°，DB平分∠ADC，连接CM交DB于N.(1)求证：BD2=AD⋅CD；(2)若BC=6，CD=8，求AD的长.16.(2023·广东深圳·一模)【探究发现】(1)如图①所示，在等腰直角△ABC中，点D，O分别为边BA，BC上一点，且OB=OD，延长OD交射线CA于点E，则有下列命题：①△BDO∽△BCA；②△EDA∽△ECO；③△BDO∽△EDA；请你从中选择一个命题证明其真假，并写出证明过程；【类比迁移】(2)如图②所示，在等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=8，点D，O分别为边BA，BC上一点，且OB=OD，延长OD交射线CA于点E，若OB=2，求AE的值；【拓展应用】(3)在等腰△ABC中，AB=AC=a，BC=b，a<b<2a，点D，O分别为射线BA，BC上一点，且OB=OD，延长OD交射线CA于点E，当△ADO为等腰三角形时，请直接写出OB的长(用a，b表示)．。
《相似三角形》最全讲义(完整版)
相似三角形基本知识知识点一：放缩与相似形1. 图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。
2. 把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似性注意：⑴相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关。
⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况。
⑶我们可以这样理解相似两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩到的．⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例——全等形．3. 相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。
注意：当两个相似的多边形是全等形时，他们的对应边的长度的比值是 1.知识点二：比例线段有关概念及性质（1）有关概念1、比：选用同一长度单位量得两条线段。
a、 b 的长度分别是m、n，那么就说这两条线段am 的比是a：b＝m：n（或 b n ）2、比的前项，比的后项：两条线段的比a：b中。
a叫做比的前项，b叫做比的后项。
说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。
ac3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如 b dac4、比例外项：在比例 b d（或a：b＝c：d）中a、d叫做比例外项。
ac5、比例内项：在比例 b d（或a：b＝c：d）中b、c 叫做比例内项。
ac6、第四比例项：在比例 b d（或a：b＝c：d）中， d 叫a、b、 c 的第四比例项。
ab7、比例中项：如果比例中两个比例内项相等，即比例为 b a（或a:b ＝b:c 时，我们把b叫做 a 和 d 的比例中项。
8. 比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即 a c（或a：b=c：d），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线bd 段。
（注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位）2）比例性质acad bc1. 基本性质 :bd（两外项的积等于两内项积）a cb d2. 反比性b d a c （ 把比的前项、后项交换 ）3.更比性质 （交换比例的内项或外项 ） ：a b，（交换内项 ） cdcd c，（交换外项 ） db a d b．（同时交换内外项 ） ca4.合比性质 ：a c abc d（分子加（减）分母 ,分母不变） b d b d注意 ：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间注意：（1） 此性质的证明运用了“设 k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法． （2） 应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．（3） 可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成 立．AC1）定义：在线段 AB 上，点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和BC （AC>BC ），如果AB2）黄金分割的几何作图 ：已知：线段 AB.求作：点 C 使 C 是线段 AB 的黄金分割点发生同样和差变化比例仍成立．如：acbd5. 等比性质： 如果badc a ab c cd abcd分子分母分别相加，比值不变.）e m(b d f fnn 0） ，那么知识点三： 黄金分割BC ，AC，AB 被点 C 黄金分割，点 C 叫做线段 AB 的黄金分割2即 AC 2=AB ×BC ，那么称线段点，AC 与 AB 的比叫做黄金比。
母子型相似三角形模型 典型
创作编号：BG7531400019813488897SX 创作者： 别如克*母子型相似三角形【知识要点】一、直角三角形相似1、直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。
2、如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
基本图形（母子三角形）举例：1、条件：如图，已知△ABC 是直角三角形，CD 为斜边AB 上的高． 结论：（1）△ACD ∽△CBD ，△BDC ∽△BCA ，△CDA ∽△BCA（2）△ACD ∽△CBD 中，2CD AD BD = △BDC ∽△BCA 中，2BC BD AB = △CDA ∽△BCA 中，2AC AD AB =2、条件：如图，已知∠ACD=∠ABC结论：△ACD ∽△ABC 中，2AC AD AB =【例题解析】类型一：三角形中的母子型【例1】1.如图,ΔABC 中,∠A=∠DBC,BC=,SΔBCD ∶SΔABC=2∶3,则CD=______.CBA【练】如图，D 是 △ABC 的边AB 上一点,连结CD.若AD= 2，BD = 4, ∠ACD =∠B 求AC 的长.【例2】如图，在△ABC 中，AD 为∠A 的平分线，AD 的垂直平分线交AD 于E ，交ADCBAD CBBC 的延长线于F ，求证：FC FB FD ⋅=2【练】已知CD 是ABC ∆的高，,DE CA DF CB ⊥⊥，如图3-1，求证：CEF CBA ∆∆∽类型二：直角三角形中的母子型【例1】.如图，在△ABC 中，AD 、BE 分别为BC 、AC 边上的高，过D 作AB 的垂线交AB 于F ，交BE 于G ，交AC 的延长于H ，求证：2DF FG FH =•HGF EDCBA【练】如图5,RtΔABC 中,∠ACB=90°,CD ⊥AB,AC=8,BC=6,则AD=____,CD=_______.【例2】如图1,∠ADC=∠ACB=90°,∠1=∠B,AC=5,AB=6,则AD=______.BA【练】如图，CD 是 Rt △ABC 斜边上的高.若AD= 2，BD = 4, 求CD 的长.类型三：四边形中的母子型【例1】1.如图，矩形ABCD 中，BH ⊥AC 于H ，交CD 于G ，求证：2BC CG CD =•。
相似三角形 模型——子母型 课件 2022-2023学年华东师大版数学九年级上册
如图，在
中，点E 在BC上，AE交BD于点F，
且 BE2 EF EA
求证：（1）△EBF∽△EAB
（2） DC2 BF BD
A
D
F
B
EC
如图，在
中，点E 在BC上，AE交BD于点F，且 BE2 EF EA
求证：（1）△EBF∽△EAB
（2） DC2 BF BD
证明：(1)∵ BE2 EF EA
相似三角形模型—— 子母型
（一）复习回顾
相似三角形的判定方法：
1.预备定理： 平行于三角形一边的直线，和其他两边（或两边的延长线） 相交所构成的三角形与原三角形相似. 2.相似三角形的判定定理：
（1）两角 分别相等 两个三角形相似； （2）两边 成比例 且 夹角 相等的两个三角形相似；
（3） 三边 成比例的两个三角形相似.
（二）基本模型
如图为反“A”字型基本图形．
当 AED B 时, △ABC∽△AED
当E 点与C 点重合,
当ACD B 时，△ABC∽△ACD
这是相似一种常见模型
A
D E
B
C
反“A”字型
A
D
B
C
（二）基本模型
当E 点与C 点重合,
当 ACD B 时， △ABC∽△ACD
A 共角
这是相似一种常见模型： 子母型
1.如图，在正方形ABCD中，点G是对角线上一点，CG的 延长线交AB于点E，交DA的延长线于点F，连接AG．
（1）求证：BCG BAG （2）若GE•GF＝9，求AG的长．
1.如图，在正方形ABCD中，点G是对角线上一点，CG的延长线交AB于
点E，交DA的延长线于点F，连接AG．
华东师大版九年级上册23.3.2《相似三角形模型子母型》优秀教学案例
3.鼓励学生提出疑问，充分尊重学生的认知差异，引导学生积极思考，提高解决问题的能力。
（三）小组合作
1.将学生分成若干小组，每组成员相互合作，共同完成任务。例如，设计一些实际问题，让学生小组讨论如何利用相似三角形的性质进行解决。
2.鼓励学生互相交流、分享心得，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
3.教师在小组合作过程中进行巡回指导，及时给予学生反馈，提高学生的学习效果。
3.教师巡回指导，及时给予学生反馈，提高学生的学习效果。
（四）总结归纳
1.教师引导学生总结本节课所学的内容，让学生清晰地掌握相似三角形的性质及其应用。
2.让学生反思自己在学习过程中的收获与不足，总结学习方法和经验。
3.教师对学生的学习成果进行评价，关注学生的进步，激发学生的学习动力。
（五）作业小结
1.布置具有针对性的作业，让学生巩固所学知识，提高解决问题的能力。
2.问题驱动：通过提出具有挑战性的问题，引导学生主动探究相似三角形的性质，培养了学生的自主学习能力，提高了学生解决问题的能力。
3.小组合作：采用小组合作的学习方式，让学生在讨论、合作中共同解决问题，培养了学生的团队协作能力和沟通能力，提高了学生的学习效果。
4.过程性评价与终结性评价相结合：在教学过程中，注重过程性评价与终结性评价相结合，全面客观地评价学生在课堂上的表现，使学生能够明确自己的学习情况，提高学生的自我管理能力。
4.培养学生具有良好的学习习惯，提高学生自我管理能力。
5.培养学生关爱他人、乐于助人的品质，提升学生的人格魅力。
相似三角形重要模型之母子型(共边共角模型)
相似三角形重要模型之母子型(共边共角模型)相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。
在相似三角形中存在众多的相似模型，其中“母子型”相似模型应用较为广泛，深入理解模型内涵，灵活运用相关结论可以显著提高解题效率，本专题重点讲解相似三角形的“母子”模型。
模型1.“母子型”模型(共边共角模型)【知识储备】母子型相似证明题一般思路方法:①由线段乘积相等转化成线段比例式相等；②分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形；③第②步成立，直接从证这两个三角形相似，逆向证明到线段乘积相等；④第②步不成立，则选择替换掉线段比例式中的个别线段，之后再重复第③步。
模型1.“母子型”模型(共边共角模型)“母子”模型的图形(通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀)，也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似。
图1图2图3图41)“母子”模型(斜射影模型)条件：如图1，∠C=∠ABD；结论：△ABD∽△ACB，AB2=AD·AC.证明：∵∠C=∠ABD，∠DAB=∠BAC，∴△ADB∽△BAC，∴ADAB=ABBC，∴AB2=AD·AC.2)双垂直模型(射影模型)条件：如图2，∠ACB=90o，CD⊥AB；结论：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2=AD·AB，BC2=BD·BA，CD2=DA·DB.证明：∵∠ACB=90o，CD⊥AB，∴∠A+∠ACD=90°，∠A+∠B=90°，∴∠B=∠ACD，∵∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC，∴ACAB =ADAC，∴AC2=AD·AB.同理可证：BC2=BD·BA，CD2=DA·DB.3)“母子”模型(变形)条件：如图3，∠D=∠CAE，AB=AC；结论：△ABD∽△ECA；证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠DBA=∠ACE，∵∠D=∠CAE，∴△ABD∽△ECA 4)共边模型条件：如图1，在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，∠ADB=∠DCB，结论：BD2=BA⋅BC；证明：∵对角线BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBC，∵∠ADB=∠DCB，∴△ADB∽△DCB，∴ABDB =DBBC，∴BD2=BA⋅BC1.(2024·河北石家庄·二模)如图，在平行四边形ABCD中，AC为对角线，∠BAE=∠DAC，AB=9，AD =12，则CE长为()A.214B.3 C.9 D.4872.(23-24九年级上·江苏南通·阶段练习)如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，DE⊥BD，交AB于点E，(1)求证：△ADE∽△ABD；(2)若AB=10，BE=3AE，求线段AD长．3.(2024·湖南长沙·二模)如图，在△ABC中，∠BAC=90°，以A为圆心，AC长为半径作弧，交BC于C，D两点，分别以点C和点D为圆心，大于12CD长为半径作弧，两弧交于点P，作直线AP，交CD于点E．若AC=5，CD=6，则BC=．4.(2024·广西南宁·三模)阅读与思考，完成后面的问题．射影定理，又称“欧几里得定理”，是数学图形计算的重要定理．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有如下结论：①AD2=BD⋅DC；②AB2=BD⋅BC；③AC2=CD⋅BC．下面是该定理的证明过程(部分)：∵AD是斜边BC上的高，∴∠ADB=90°=∠ADC．∵∠B+∠BAD=90°，∠B+∠C=90°，∴∠BAD=∠C．∴△ABD∽△CAD(依据)．∴BDAD =ADCD．即AD2=BD⋅DC．(1)材料中的“依据”是指；(2)选择②或③其中一个结论加以证明；(3)应用：△ABC中，∠A=90°，B1,0，C-3,0，点A在y轴上，求顶点A的坐标．5.(2023·山东淄博·九年级统考期末)如图，已知△ABP，点C，D在边AB上，连接PC，PD，使∠ADP= 60°，且△ACP∽△PDB．(1)请判定△PCD的形状，并说明理由；(2)若AC=2，BD=3，求△ABP的面积．6.(2024·浙江温州·三模)如图，在锐角三角形ABC中，AC>BC．以点C为圆心BC长为半径画弧，交边AB于点D，连接CD．点E是CB延长线上的一点，连接AE，若AB平分∠CAE．(1)求证：△ACD∽△AEB．(2)当AD=BD时，求BCEB的值．7.(2024·河南·二模)三角形的布洛卡点(Brocardpo int)是法国数学家和数学教育家克洛尔(A．LCrelle1780-1855)于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意．1875年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡(Brocard1845-1922)重新发现，并用他的名字命名．如图1，若△ABC内一点P满足∠P AB=∠PBC=∠PCA=∠α，则点P是△ABC的布洛卡点，∠α是布洛卡角．(1)如图2，点P为等边三角形ABC的布洛卡点，则布洛卡角的度数是；P A、PB、PC的数量关系是；(2)如图3，点P为等腰直角三角形ABC(其中∠BAC=90°)的布洛卡点，且∠1=∠2=∠3．①请找出图中的一对相似三角形，并给出证明；②若△ABC的面积为52，求△PBC的面积．1.(23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习)如图，在△ABC中，点D在AB边上，点E在AC边上，且∠1=∠2=∠3，则下列结论中不正确的是()A.△ADE∽△ABCB.△ADE∽△ACDC.△ADE∽△EDCD.△ABC∽△ACD2.(2022·浙江衢州·统考中考真题)如图，在△ABC中，AB=AC,∠B=36°．分别以点A，C为圆心，大于12AC的长为半径画弧，两弧相交于点D，E，作直线DE分别交AC，BC于点F，G．以G为圆心，GC 长为半径画弧，交BC于点H，连结AG,AH．则下列说法错误的是()A.AG =CGB.∠B =2∠HABC.△CAH ≅△BAGD.BG 2=CG ⋅CB3.(2023·江苏·九年级专题练习)如图，△ABC 中，点D 在边AB 上，且∠ACD =∠ABC ，若AC =3，AD =1，则DB 的长为．4.(23-24九年级下·辽宁本溪·阶段练习)如图，在△ABC 中，AB =2AC ．以点A 为圆心，以AC 的长为半径作弧交边AB 于点D ．分别以点D ，C 为圆心，以大于12CD 的长为半径作弧，两弧交于点P ，作射线AP 交BC 于点E ，则EC BE 的值为．5.(23-24九年级上·陕西汉中·期中)如图，点C 、D 在线段AB 上，且CD 是等腰直角△PCD 的底边．当△PDB ∽△ACP 时(P 与A 、B 与P 分别为对应顶点)，∠APB =°．6.(2024·河北邢台·校考二模)如图1，在△ABC 中，AB =AC ，BC =24，tan C =512，点P 为BC 边上一点，则点P 与点A 的最短距离为．如图2，连接AP ，作∠APQ ，使得∠APQ =∠B ，PQ 交AC 于Q ，则当BP =11时，AQ 的长为．7.(2024.广东九年级校级月考)在Rt△ABC中，∠ACB=90°,CD⊥AB，垂足为D,AD=8,DB=2，求CD的长8.(22-23九年级上·云南红河·期末)如图，四边形ABCD为菱形，点E在AC的延长线上，∠ACD=∠ABE．求证：△ABC∽△AEB．9.(2023春·福建福州·八年级校考期末)已知：如图，在△ABC中，D为AB边的中点，连接CD，∠ACD=∠B，AB=6，求AC的长．10.(23-24八年级下·浙江宁波·期末)【证明体验】(1)如图1，在△ABC中，D是AB边上的点，连结CD，若∠ACD=∠ABC，求证：AC2=AD⋅AB．【思考探究】(2)如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2，D是AB边上的点，连结CD，E是CD的中点，连结BE．若∠ACD=∠DBE，求AD的长．11.(23-24九年级下·河南南阳·阶段练习)如图，在△ABC中，∠ABC=∠BAC=45°，点P为△ABC内的一个动点，已知∠BP A=135°，∠APC=90°．(1)求证：△BP A∽△CPB；(2)求APPC的值．12.(2023·陕西西安·九年级期中)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，∠ABC的平分线BE分别交CD、AC于点F，E．(1)求证：ΔCBF∽ΔABE；(2)若AB=10，BC=6，求ΔCBF的面积．13.(2024·四川·九年级期末)如图，在△ABC中，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD=AB，∠DEC=∠B．(1)求证：△AED∽△ADC；(2)若AE=1，EC=3，求AB的长．14.(2024·山东·八年级专题练习)定义：如图，若点P在三角形的一条边上，且满足∠1=∠2，则称点P为这个三角形的“理想点”．(1)如图①，若点D是△ABC的边AB的中点，AC=22，AB=4，试判断点D是不是△ABC的“理想点”，并说明理由；(2)如图②，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4，若点D是△ABC的“理想点”，求CD的长．15.(2023秋·江苏扬州·九年级校联考阶段练习)如图，∠ABD=∠BCD=90°，DB平分∠ADC，连接CM交DB于N.(1)求证：BD2=AD⋅CD；(2)若BC=6，CD=8，求AD的长.16.(2023·广东深圳·一模)【探究发现】(1)如图①所示，在等腰直角△ABC中，点D，O分别为边BA，BC上一点，且OB=OD，延长OD交射线CA于点E，则有下列命题：①△BDO∽△BCA；②△EDA∽△ECO；③△BDO∽△EDA；请你从中选择一个命题证明其真假，并写出证明过程；【类比迁移】(2)如图②所示，在等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=8，点D，O分别为边BA，BC上一点，且OB=OD，延长OD交射线CA于点E，若OB=2，求AE的值；【拓展应用】(3)在等腰△ABC中，AB=AC=a，BC=b，a<b<2a，点D，O分别为射线BA，BC上一点，且OB=OD，延长OD交射线CA于点E，当△ADO为等腰三角形时，请直接写出OB的长(用a，b表示)．相似三角形重要模型之母子型(共边共角模型)相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。
九年级数学相似三角形--母子型
相似三角形之母子三角形【知识要点】一、直角三角形相似1、直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。
2、如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
基本图形（母子三角形）举例：1、条件：如图，已知△ABC 是直角三角形，CD 为斜边AB 上的高．（射影定理）结论：（1）△ACD ∽△CBD ，△BDC ∽△BCA ，△CDA ∽△BCA（2）△ACD ∽△CBD 中，2CD AD BD =△BDC ∽△BCA 中，2BC BD AB =△CDA ∽△BCA 中，2AC AD AB =2、条件：如图，已知∠ACD=∠ABC （母子）结论：△ACD ∽△ABC 中，2AC AD AB =【例题解析】类型一：三角形中的母子型 【例1】1.如图,ΔABC 中,∠A=∠DBC,BC=,S ΔBCD ∶S ΔABC=2∶3,则CD=______.【练】如图，D 是 △ABC 的边AB 上一点,连结CD.若AD= 2，BD = 4, ∠ACD =∠B 求AC 的长.【例2】如图，在△ABC 中，AD 为∠A 的平分线，AD 的垂直平分线交AD 于E ，交BC 的延长线于F ，求证：FC FB FD ⋅=2D CBA【练】已知CD 是ABC ∆的高，,DE CA DF CB ⊥⊥，如图3-1，求证：CEF CBA ∆∆∽类型二：直角三角形中的母子型【例1】.如图，在△ABC 中，AD 、BE 分别为BC 、AC 边上的高，过D 作AB 的垂线交AB 于F ，交BE 于G ，交AC 的延长于H ，求证：2DF FG FH =∙【练】如图5,RtΔABC 中,∠ACB=90°,CD ⊥AB,AC=8,BC=6,则AD=____,CD=_______.【例2】如图1,∠ADC=∠ACB=90°,∠1=∠B,AC=5,AB=6,则AD=______.HG FED C BA【练】如图，CD 是 Rt △ABC 斜边上的高.若AD= 2，BD = 4, 求CD 的长.类型三：四边形中的母子型【例1】1.如图，矩形ABCD 中，BH ⊥AC 于H ，交CD 于G ，求证：2BC CG CD =∙。
九年级数学相似三角形--母子型
九年级数学相似三角形--母子型(总6页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--相似三角形之母子三角形【知识要点】一、直角三角形相似1、直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。
2、如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
基本图形（母子三角形）举例：1、条件：如图，已知△ABC 是直角三角形，CD 为斜边AB 上的高．（射影定理）结论：（1）△ACD∽△CBD ，△BDC∽△BCA ，△CDA∽△BCA（2）△ACD∽△CBD 中，2CD AD BD =△BDC∽△BCA 中，2BC BD AB =△CDA∽△BCA 中，2AC AD AB =2、条件：如图，已知∠ACD=∠ABC （母子）结论：△ACD∽△ABC 中，2AC AD AB =【例题解析】类型一：三角形中的母子型 【例1】1.如图,ΔABC 中,∠A=∠DBC,BC=,S ΔBCD∶S ΔABC=2∶3,则CD=______. A D C B A D CB【练】如图，D 是△ABC的边AB上一点,连结CD.若AD= 2，BD = 4, ∠ACD =∠B 求AC的长.DCBA【例2】如图，在△ABC中，AD为∠A的平分线，AD的垂直平分线交AD于E，交BC的延长线于F，求证：FCFBFD⋅=2【练】已知CD是ABC∆的高，,DE CA DF CB⊥⊥，如图3-1，求证：CEF CBA∆∆∽类型二：直角三角形中的母子型【例1】.如图，在△ABC中，AD、BE分别为BC、AC边上的高，过D作AB的垂线交AB于F，交BE于G，交AC的延长于H，求证：2DF FG FH=•HGFEDCBA【练】如图5,RtΔABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,AC=8,BC=6,则AD=____,-CD=_______.【例2】如图1,∠ADC=∠ACB=90°,∠1=∠B,AC=5,AB=6,则AD=______.【练】如图，CD 是 Rt△ABC 斜边上的高.若AD= 2，BD = 4, 求CD的长.A类型三：四边形中的母子型【例1】1.如图，矩形ABCD中，BH⊥AC于H，交CD于G，求证：2BC CG CD=•。
相似三角形母子型
1相似三角形判定母子型平行线分线段成比例定理：= = =一．复习引入：1、相似三角形的定义：对应角 ，对应边 的两个三角形叫做相似三角形。
2、相似三角形的预备定理：如果一条直线 于三角形的一条边，且这条直线与原三角形的两条边（或其延长线）分别相交，那么所构成的三角形与原三角形相似。
3、判定定理1： 对应相等，两三角形相似。
4、判定定理2： 对应成比例且夹角相等，两三角形相似。
母子三角形：= = = = =类型一：直角三角形中的母子型1.如图5,RtΔABC 中,∠ACB=90°,CD ⊥AB,AC=8,BC=6,则AD=____,CD=_______.2.如图1,∠ADC=∠ACB=90°,∠1=∠B,AC=5,AB=6,则AD=______.3. 如图，CD 是 Rt △ABC 斜边上的高.若AD= 2，BD = 4, 求CD 的长.类型二：四边形中的母子型1.如图，矩形ABCD 中，BH ⊥AC 于H ，交CD 于G ，求证：2BC CG CD =•。
FA B CD E a b cDA BCBAHA C22.如图，菱形ABCD 中，AF ⊥BC 于F ，AF 交BD 于E ，求证：212AD DE DB =•。
3. 如图，P 、Q 分别是正方形ABCD 的边AB 、BC 上的点，且BP=BQ ，BH ⊥PC 于H ，求证：QH ⊥DH ．类型三：圆中的母子型1.如图，△ABC 内接于⊙O ，∠BAC 的平分线交BC 于D ，交⊙O 于E ， 求证：2EB DE AE =•。
2.如图，PA 切⊙O 于A ，AB 为⊙O 的直径，M 为PA 的中点，连BM 交⊙O 于C ， 求证：（1）2AM MC MB =• （2）∠MPC=∠MBP 。
3.如图，AB 为⊙O 的直径，CD ⊥AB 于D ，弧AC=弧CE ，AE 交CD 于F ，求证：2CE AF AE =•。
EACB F DO BCEC OPBM FOBACDE。
相似三角形分类整理(超全)上课讲义
相似三角形分类整理(超全)第一节：相似形与相似三角形基本概念： 1.相似形：对应角相等，对应边成比例的两个多边形，我们称它们互为相似形。
2.相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形。
1．几个重要概念与性质（平行线分线段成比例定理）（1）平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.已知a∥b∥c,A D aB E bC F cAB DE AB DE BC EF BC EF AB BC或或或或可得BC EFEF AC DF AB DF AC DF DE等.（2）推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.AD EB CAD AE BD EC AD AE或或由DE∥BC 可得：ACDB EC AD EA AB.此推论较原定理应用更加广泛,条件是平行.（3）推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线.（4）定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例.（5）①平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
②比例线段：四条线段a，b，c，d 中，如果 a 与 b 的比等于 c 与 d 的比，即ab＝cd，那么这四条线段a，b，c，d 叫做成比例线段，简称比例线段。
2．比例的有关性质①比例的基本性质：如果abcd，那么ad=bc。
如果ad=bc（a，b，c，d 都不等于0），那么abcd。
收集于网络，如有侵权请联系管理员删除②合比性质：如果abcd，那么a b cdbd。
③等比性质：如果abcd= ???=mn(b+d+ ???+n≠0)，那么abcd??????mnab2＝ad.④b 是线段a、d 的比例中项，则 b典例剖析例1：①在比例尺是1：38000 的南京交通游览图上，玄武湖隧道长约7cm，则它的实际长度约为______Km.②若ab =23则a bb=__________.③若a2a 2bb=95则a：b=__________.3．相似三角形的判定（1）如果两个三角形的两角分别于另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似。
相似三角形模型全PPT课件
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A
E D
B
C
七、共享性
A
D
B
C
E
B
A
E
F
G
C
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• 1、△ABC是等边三角形,D、B、C、E在一条直线上,∠DAE= 边长.
，已知BD=1，CE=3，,求等边三角形的
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A
D
B
C
E
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感谢您的观看！
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P
APQ 90DQ源自C第9页/共16页
• 例2、在中，是AB上的一点且
，点P是AC上的一个动点，
交线段BC于点Q，（不与点
B,C重合），设
，试求关于x的函数关系，并写出定义域
AO 2 AB 5
PQ OP
AP x,CQ y
C
Q
P
B
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O
A
六、双垂型：
A D
C
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A,D不重合，过点P作
，交边AB于点E,设
，求y关于x
的函数关系式，并写出x的取值范围。
PE CP
PD x, AE y
A
P
D
E
B
C
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•
正方形ABCD 的边长为（如下图），点P、Q分别在直线 CB 、DC上（点P不与点C、B点重合），且保
持
.当CQ=1时，求出线段BP的长.
A B
• 2、如图，已知锐角△ABC，AD、CE分别是BC、AB边上的高，△ABC和△BDE 的面积分别是27和3，DE=6，求：点B到直线AC的距离。
A
E
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母子型相似三角形
【知识要点】
一、直角三角形相似
1、直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。
2、如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
基本图形（母子三角形）举例：
1、条件：如图，已知△ABC 是直角三角形，CD 为斜边AB 上的高． 结论：（1）△ACD ∽△CBD ，△BDC ∽△BCA ，△CDA ∽△BCA
（2）△ACD ∽△CBD 中，2
CD AD BD =g △BDC ∽△BCA 中，2
BC BD AB =g
△CDA ∽△BCA 中，2
AC AD AB =g
2、条件：如图，已知∠ACD=∠ABC
结论：△ACD ∽△ABC 中，2
AC AD AB =g
【例题解析】
类型一：三角形中的母子型
【例1】1.如图,ΔABC 中,∠A=∠DBC,BC=
,SΔBCD ∶SΔABC=2∶3,则CD=______.
【练】如图，D 是 △ABC 的边AB 上一点,连结CD.若AD= 2，BD = 4, ∠ACD =∠B 求AC 的长.
【例2】如图，在△ABC 中，AD 为∠A 的平分线，AD 的垂直平分线交AD 于E ，交BC 的
延长线于F ，求证：
FC FB FD ⋅=2
D
C
B
A
【练】已知CD 是ABC ∆的高，,DE CA DF CB ⊥⊥，如图3-1，求证：CEF CBA ∆∆∽
类型二：直角三角形中的母子型
【例1】.如图，在△ABC 中，AD 、BE 分别为BC 、AC 边上的高，过D 作AB 的垂线交AB
于F ，交BE 于G ，交AC 的延长于H ，求证：2
DF FG FH =•
【练】如图5,RtΔABC 中,∠ACB=90°,CD ⊥AB,AC=8,BC=6,则AD=____,CD=_______.
【例2】如图1,∠ADC=∠ACB=90°,∠1=∠B,AC=5,AB=6,则AD=______.
【练】如图，CD 是 Rt △ABC 斜边上的高.若AD= 2，BD = 4, 求CD 的长.
类型三：四边形中的母子型
【例1】1.如图，矩形ABCD 中，BH ⊥AC 于H ，交CD 于G ，求证：
2BC CG CD =•。
2.如图，菱形ABCD 中，AF ⊥BC 于F ，AF 交BD 于E ，求证：
21
2AD DE DB =
•。
类型四：圆中的母子型
【例1】1.如图，△ABC 内接于⊙O ，∠BAC 的平分线交BC 于D ，交⊙O 于E ， 求证：2
EB DE AE =•。
H
G
F E
D
C
B
A
A
A
A
C
B
2.如图，PA 切⊙O 于A ，AB 为⊙O 的直径，M 为PA 的中点，连BM 交⊙O 于C ，
求证：（1）2
AM MC MB =• （2）∠MPC=∠MBP 。
“K 字型”相似专题复习
【活动一】
K 字型相似基本图形1:
条件：B ，C ，E 三点共线,∠B=∠ACD=∠E=90° 结论：△ABC ∽△CED
【应用】 1．如图，已知点A （0，4）、B （4，1），BC ⊥x 轴于点C ，点P 为线段OC 上一点，且PA ⊥PB ．则点P 的坐标为 2．如图，在梯形ABCD 中，已知AD ∥BC ，∠B=90°，AB=7，AD=9，BC=12，在线段BC 上任取一点E ，连接DE ，作EF ⊥DE ，交直线AB 于点F ． （1）若点F 与B 重合，求CE 的长；
（2）若点F 在线段AB 上，且AF=CE ，求CE 的长． 3．（1）如图②，已知点A （-2，1），点B 在直线y=-2x+3上运动，若∠AOB=90°，求此时点B 的坐标；
（2）如图③，过点A （-2，1）作x 轴与y 轴的平行线，交直线y=-2x+3于点C 、D ，求点A 关于直线CD 的对称点E 的坐标．
D
O A
B
C
E
C
O
A
P
B
M A
B C D
E
【活动二】
K 字型相似基本图形2:
条件：B ，D ，C 三点共线,∠B=∠EDF=∠C= α 结论：△BDE ∽△CFD
证明：
【应用】
1.如图，在平面直角坐标中，四边形OABC 是等腰梯形，CB ∥OA ，OA=7，BC=1，AB=5，点P 为x 轴上的一个动点，点P 不与点0、点A 重合．连接CP ，过点P 作PD 交AB 于点D ．
（1）直接写出点B 的坐标 ．
（2）当点P 在线段OA 上运动时，使得∠CPD=∠OAB ，且BD: AD=3:2 ，求点P 的坐标．
αα
α
B
C
E F。