高中数学第三章导数及其应用3.2导数的运算3.2.3导数的四则运算法则预习导学案
高中数学 第三章 导数及其应用 3.2 导数的运算 3.2.3 导数的四则运算法则应用案巩固提升课
由94a12＝18，得 a＝64.
14．(选做题)已知函数 f(x)＝ x，g(x)＝aln x，x∈R.若曲 线 y＝f(x)与曲线 y＝g(x)相交，且在交点处有相同的切线， 求 a 的值及该切线的方程．
解：因为 f(x)＝ x，g(x)＝aln x，
所以 f′(x)＝21x，g′(x)＝ax(x>0)． 设 y＝f(x)，y＝g(x)的交点为(x0，y0)， 则由已知得2y01＝x0＝x0xa，0， 解得ax＝0＝12ee2，，
复习课件
高中数学 第三章 导数及其应用 3.2 导数的运算 3.2.3 导数的四则运算法则 应用案巩固提升课件 新人教B版选修1-1
[A 基础达标]
1．设 f(x)＝xln x，若 f′(x0)＝2，则 x0＝( )
A．e2
B．e
ln 2 C. 2
D．ln 2
解析：选 B.f′(x0)＝ln x0＋1＝2，所以 x0＝e.
3．设 a∈R，函数 f(x)＝ex＋a·e－x 的导函数是 f′(x)，且 f′(x)
是奇函数，则 a 的值为( )
A．1
B．－12
1 C.2
D．－1
解析：选 A.因为 f′(x)＝ex－ae－x，由奇函数的性质可得 f′(0)
＝1－a＝0，解得 a＝1.
4．设曲线 y＝ax2 在点(1，a)处的切线与直线 2x－y－6＝0
[B 能力提升]
11．若函数 f(x)＝ax4＋bx2＋c 满足 f′(1)＝2，则 f′(－1)＝
() A．－1
B．－2
C．2
D．0
解析：选 B.由题意知 f′(x)＝4ax3＋2bx，若 f′(1)＝2，即 f′(1)
＝4a＋2b＝2，从题中可知 f′(x)为奇函数，
2019-2020学年高中数学 第三章 导数及其应用 3.2.2 导数的运算法则导学案 新人教A版选修1-1.doc
2019-2020学年高中数学 第三章 导数及其应用 3.2.2 导数的运算法则导学案 新人教A 版选修1-1能利用给出的基本初等函数的导数公式表和导数的四则运算法则求简单函数的导数． 重点：导数的四则运算法则及其运用． 难点：导数的四则运算法则的理解运用． 方 法：合作探究 一新知导学 思维导航我们已经会求幂函数、指数函数、对数函数及y ＝sinx ，y ＝cosx 的导数，那么怎样求f(x)与g(x)的和、差、积、商的导数呢？ 1．设函数f (x )、g (x )是可导函数，则：(f (x )±g (x ))′＝________________； (f (x )·g (x ))′＝______________________．2．设函数f (x )、g (x )是可导函数，且g (x )≠0，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫f (x )g (x )′＝____________________________.牛刀小试1．已知函数f (x )＝ax 2＋c ，且f ′(1)＝2，则a 的值为( ) A ．1 B ． 2 C ．－1 D ．0 2．函数y ＝x4＋sinx 的导数为( ) A ．y ′＝4x3 B ．y ′＝cosx C ．y ′＝4x3＋sinxD ．y ′＝4x3＋cosx3．下列运算中正确的是( )A ．(sin x －2x 2)′＝(sin x )′－2′(x 2)′ B ．(ax 2＋bx ＋c )′＝a (x 2)′＋bx ′ C ．(sin x x 2)′＝(sin x )′－(x 2)′x2D ．(cos x ·sin x )′＝(sin x )′cos x ＋(cos x )′cos x 4．求下列函数的导数(1)y ＝2x2－3x ＋1，y ′＝__________. (2)y ＝(x ＋2)2，y ′＝__________.课堂随笔:(3)y ＝sinx ＋cosx ，y ′＝__________. (4)y ＝tanx ，y ′＝__________.(5)y ＝(x ＋2)(3x －1)，y ′＝__________. 二．例题分析例1函数的下列导数求： (1)y ＝(x ＋1)2(x －1)； (2)y ＝x 2sin x ； (3)y ＝1x ＋2x 2＋3x3；(4)y ＝x tan x －2cos x .（5）y ＝sin2x练习：求下列函数的导数： (1)y ＝(2x 2＋3)(3x －2)； (2)y ＝x －sin x 2·cos x2.例2偶函数f(x)＝ax4＋bx3＋cx2＋dx ＋e 的图象过点P(0,1)，且在x ＝1处的切线方程为y ＝x －2，求y ＝f(x)的解析式．练习：已知抛物线y ＝ax2＋bx －7经过点(1,1)，过点(1,1)的切线方程为4x －y －3＝0，求a 、b 的值．例3已知直线l1为曲线y ＝x2＋x －2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2. (1)求直线l2的方程；(2)求由直线l1，l2和x 轴所围成的三角形的面积．练习：已知函数f(x)＝2x3＋ax 与g(x)＝bx2＋c 的图象都过点P(2,0)，且在点P 处有公共切线，求f(x)，g(x)的表达式． 三．作业 基础题一、选择题1．曲线y ＝－x 2＋3x 在点(1,2)处的切线方程为( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝－x ＋3 C ．y ＝x ＋3 D ．y ＝2x 2．函数y ＝x ·ln x 的导数是( )A ．y ′＝xB ．y ′＝1xC ．y ′＝ln x ＋1D ．y ′＝ln x ＋x3．已知f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值是( ) A ．193 B ．163 C ．133 D ．1034．曲线运动方程为s ＝1－t t2＋2t 2，则t ＝2时的速度为( )A ．4B ．8C ．10D ．12 5．函数y ＝cos xx的导数是( )A ．y ′＝－sin xx2B ．y ′＝－sin xC ．y ′＝－x sin x ＋cos xx 2D ．y ′＝－x cos x ＋cos xx 26．若函数f (x )＝f ′(1)x 3－2x 2＋3，则f ′(1)的值为( ) A ．0 B ．－1 C ．1 D ．2 二、填空题7．函数f (x )＝x ＋1x，则f ′(x )＝________.8．若函数f (x )＝1－sin xx，则f ′(π)＝________________.9．(2015·天津文)已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数．若f ′(1)＝3，则a 的值为________．三、解答题10．函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋1的图象上有两点A (0,1)和B (1,0)，在区间(0,1)内求实数a ，使得函数f (x )的图象在x ＝a 处的切线平行于直线AB ．提高题一、选择题1．(2015·长安一中质检)设a ∈R ，函数f (x )＝e x＋a ·e －x的导函数是f ′(x )，且f ′(x )是奇函数．若曲线y ＝f (x )的一条切线的斜率是32，则切点的横坐标为( )A ．ln2B ．－ln2C ．ln22D ．－ln222．若函数f (x )＝e xsin x ，则此函数图象在点(4，f (4))处的切线的倾斜角为( )A ．π2 B ．0 C ．钝角 D ．锐角3．曲线y ＝xx ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x －1C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x －24．(2015·山西六校联考)已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(e )＋ln x ，则f ′(e )( )A ．e －1B ．－1C ．－e －1D ．－e 二、填空题后记与感悟:5．直线y ＝4x ＋b 是曲线y ＝13x 3＋2x (x >0)的一条切线，则实数b ＝________.6．设a ∈R ，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a －3)x 的导函数是f ′(x )，若f ′(x )是偶函数，则曲线y ＝f (x )在原点处的切线方程为________. 三、解答题7．已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象过点P (0,2)，且在点M (－1，f (－1))处的切线方程为6x －y ＋7＝0，求函数f (x )的解析式． 8.已知函数f (x )＝x 3＋x －16.(1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l 为曲线y ＝f (x )的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标；(3)如果曲线y ＝f (x )的某一切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．答案基础题acdbcd 7.1－1x28.π－1π2 9.310.[解析] 直线AB 的斜率k AB ＝－1，f ′(x )＝3x 2－2x －1，令f ′(a )＝－1 (0<a <1)， 即3a 2－2a －1＝－1， 解得a ＝23.提高题acac 5.－4236.y ＝－3x7.[解析] 由f (x )的图象经过点P (0,2)，知d ＝2，所以f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋2.f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c .因为在M (－1，f (－1))处的切线方程是6x －y ＋7＝0，可知－6－f (－1)＋7＝0， 即f (－1)＝1，f ′(－1)＝6.∴⎩⎪⎨⎪⎧3－2b ＋c ＝6，－1＋b －c ＋2＝1.即⎩⎪⎨⎪⎧2b －c ＝－3，b －c ＝0，解得b ＝c ＝－3.故所求的解析式是f (x )＝x 3－3x 2－3x ＋2. 8.[解析] (1)∵f ′(x )＝3x 2＋1，∴f (x )在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝13. ∴切线的方程为13x －y －32＝0. (2)解法一：设切点为(x 0，y 0)， 则直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋1，∴直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16， 又∵直线l 过原点(0,0)，∴0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16，整理得，x 30＝－8，∴x 0＝－2，∴y 0＝－26，k ＝13. ∴直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)． 解法二：设直线l 的方程为y ＝kx ，切点为(x 0，y 0)，则k ＝y 0－0x 0－0＝x 30＋x 0－16x 0，又∵k ＝f ′(x 0)＝3x 20＋1，∴x 30＋x 0－16x 0＝3x 20＋1，解之得，x 0＝－2，∴y 0＝－26，k ＝13.∴直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)． (3)∵切线与直线y ＝－x4＋3垂直，∴切线的斜率k ＝4.设切点坐标为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4，∴x 0＝±1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1y 0＝－14，或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1y 0＝－18.∴切点坐标为(1，－14)或(－1，－18)，切线方程为y ＝4x －18或y ＝4x －14.。
高中数学 第三章 导数及其应用 3.2.2 导数的运算法则导学案 新人教A版选修1-1
5．直线y＝4x＋b是曲线y＝ x3＋2x(x>0)的一条切线，则实数b＝________.
6．设a∈R，函数f(x)＝x3＋ax2＋(a－3)x的导函数是f′(x)，若f′(x)是偶函数，则曲线y＝f(x)在原点处的切线方程为________.
三、解答题
7．已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d 的图象过点P(0,2)，且在点M(－1，f(－1))处的切线方程为6x－y＋7＝0，求函数f(x)的解析式．
A． B．0 C．钝角D．锐角
3．曲线y＝ 在点(－1，－1)处的切线 方程为()
A．y＝2x＋1B．y＝2x－1
C．y＝－2x－3D．y＝－2x－2
4．(2015·山西六校联考)已知函数f(x)的导函数为f ′(x)，且满足f(x)＝2xf′(e)＋lnx，则f′(e)()
A．e－1 B．－1 C．－e－1D．－e
(2)y＝x－sin ·cos .
例2偶函数f(x)＝ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e的图象过点P(0,1)，且在x＝1处的切线方程为y＝x－2，求y＝f(x)的解析式．
练习：已知抛物线y＝ax2＋bx－7经过点(1,1)，过点(1,1 )的切线方程为4x－y－3＝0，求a、b的值．
例3已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2.
f′(x)＝3x2－2x－1，
令f′(a)＝－1(0<a<1)，
即3a2－2a－1＝－1，
解得a＝ .
提高题acac
5.－
6.y＝－3x
7.[解析]由f(x)的图象经过点P(0,2)，知d＝2，所以f(x)＝x3＋bx2＋cx＋2.f′(x)＝3x2＋2bx＋c.因为在M(－1，f(－1))处的切线方程是6x－y＋7＝0，
课件2：3.2.3 导数的四则运算法则
题目类型三、求导法则的综合应用
求曲线 y＝x＋ x在点(1,2)处的切线在 x 轴上的 截距．
[解析] ∵y＝f(x)＝x＋ x＝x＋x12， ∴f′(x)＝1＋12x－12 ＝1＋21 x，∴f′(1)＝32，
∴函数 y＝x＋ x在点(1,2)处的切线方程为 y－2＝32(x－1)，即 3x－2y＋1＝0. 令 y＝0，解得 x＝－13， ∴切线在 x 轴上的截距为－13.
2．若 f(x)、g(x)是可导的，则(f(x)·g(x))′＝ ___f′_(x_)_·_g_(x_)_＋__f(_x_)_·g_′_(x_)______.
f′x·gx－fx·g′______g_2__x_ _________.
1.函数y＝x2cosx的导数是( )
题目类型一、求导法则的直接应用
求下列函数的导数： (1)y＝x4－3x2－5x＋6； (2)y＝(x＋1)(x＋2)； (3)y＝xx－ ＋11； (4)y＝－sinx＋ex.
[ 解析] (1)y′＝(x4－3x2－5x＋6)′＝(x4)′－(3x2)′－ (5x)′＋6′＝4x3－6x－5
(2)y′＝((x＋1)(x＋2))′＝(x＋1)′(x＋2)＋(x＋1)(x＋2)′ ＝x＋2＋x＋1＝2x＋3
[点评] 在可能的情况下，求导时应尽量少用甚至不 用乘法的求导法则，所以在求导之前，应利用代数、 三角恒等变形对函数进行化简，然后再求导，这样可 减少运算量．
求下列函数的导数： (1)y＝x(x2＋1x＋x13)； (2)y＝( x＋1)( 1x－1)． [解析] (1)∵y＝x(x2＋1x＋x13)＝x3＋1＋x12， ∴y′＝3x2－x23. (2)∵y＝ x·1x－ x＋ 1x－1＝－x12＋x－12， ∴y′＝－12x－12－12x－32＝－21 x(1＋1x)．
2020版高中数学第三章导数及其应用3.2.3导数的四则运算法则(第1课时)课件新人教B版
(1)y＝3x－lg x；
(2)y＝(x2＋1)(x＋1)；
(3)y＝xx2＋＋33；
(4)y＝－sin x＋ex.
[思路探索] 解答本题可根据函数导数的四则运算法则和导数
公式求导．
解 (1)y′＝(3x)′－(lg x)′＝3x·ln 3－xln110. (2)y＝(x2＋1)(x＋1)＝x3＋x2＋x＋1， ∴y′＝3x2＋2x＋1. (3)y′＝xx2＋＋33′＝（x＋3）′（x2＋（3）x2＋－3（）x＋2 3）（x2＋3）′ ＝（x2＋3（）x－2＋（3）x＋2 3）·2x＝－（xx22－＋63x）＋23. (4)y′＝(－sin x)′＋(ex)′＝－cos x＋ex.
两个函数的商的导数，等于分 子的导数乘上分母减去分子
f′（x）g（x）－f（x）·g′（x）
[g（x）]2
乘上分母的导数，再除以分母
(g(x)≠0)
的平方
想一想：gf（（xx））′＝g（x）f′（xg）2（－xf）（x）g′（x）成立的条件 是什么？ 提示 f(x)，g(x)都有导数，且 g(x)≠0.
∴y′＝－（4（1－1－x）x）2 ′＝（1－4 x）2.
(3)y＝x·tan x＝xcsoisn xx，
∴y′＝（xsin
x）′cos
x－xsin cos2x
x（cos
x）′
＝（sin
x＋xcos x）cos cos2x
x＋xsin2x
＝x＋scionsx2xcos
x .
题型三 求导法则的应用 【例 3】 (12 分)求过点(1，－1)与曲线 f(x)＝x3－2x 相切的直线 方程． 审题指导
【示例】 讨论关于 x 的方程 ln x＝kx 解的个数． [思路分析] 通过求导的方法求出曲线 y＝ln x 与直线 y＝kx 相切 时 k 的值，借助图形回答问题． 解 如图，方程 ln x＝kx 的解的 个数就是直线 y＝kx 与曲线 y＝ln x 交点的个数． 设直线 y＝kx 与 y＝ln x 切于 P(x0，ln x0) ，则 kx0＝ln x0.
高中数学第3章导数及其应用3.23.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则二课件新人教A版选修
3.2.2
3.2 导数的计算 基本初等函数的导数公式及导数的运算法
则(二)
学习目标 1．理解函数的和、差、积、商
核心素养
的求导法则. 借助导数公式及运算法则求函
2.能够综合运用导数公式和导数 数的导数，培养数学运算素养.
运算法则求函数的导数．(重
点、难点)
自主 预习 探新 知
3利用导数运算法则求导的原则是尽可能化为和、差，能利用 和差的求导法则求导的，尽量少用积、商的求导法则求导.
[跟进训练] 1．求下列函数的导数． (1)y＝e2x；(2)y＝x2＋log3 x；(3)y＝lnxx. [解] (1)y＝e2x＝ex·ex，∴y′＝(ex)′·ex＋ex·(ex)′＝2e2x. (2)y＝x2＋log3 x，∴y′＝2x＋xln1 3. (3)y＝lnx x，∴y′＝lnlnx－x21.
A．x
B．1x
C．ln x＋1
D．ln x＋x
C [y′＝(x)′×ln x＋x×(ln x)′＝ln x＋1.]
2．函数y＝x4＋sin x的导数为( )
Hale Waihona Puke A．y′＝4x3B．y′＝cos x
C．y′＝4x3＋sin x
D．y′＝4x3＋cos x
D [y′＝(x4)′＋(sin x)′＝4x3＋cos x．]
坐标为0，－x60.令y＝x，得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交
点坐标为(2x0,2x0)，所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围 成的三角形面积为21－x60·|2x0|＝6.故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与 直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.
高中数学第三章导数及其应用3.2.3导数的四则运算法则3b11b高二11数学
学习目标 ： (mùbiāo)
熟记导数公式和导数运算法则 能熟练运用导数公式和导数运算法 则求导
• 学习重点 ： (zhòngdiǎn)
• 熟记导数公式和导数运算法则
• 能熟练运用导数公式和导数运算法则求导
第二页，共三十页。
一、导数 公式 (dǎo shù)
0
x 1
ex
ax lna
coxs
sinx 第三页，共三十页。
1 x ln a
二、导数运算 法则： (yùn suàn)
f '(x)g'(x)
f'(x)g(x)f(x)g'(x)
cg ' (x)
f '(x)g(x)f(x)g'(x) g2(x)
第四页，共三十页。
三，求导数 练习1 (dǎo shù)
求导练习 5 (liànxí)
y
(
x
1 1)
2
y' 8x12
第二十八页，共三十页。
y' 20(2x3)9
y' 2e2x
第二十九页，共三十页。
内容 总结 (nèiróng)
导数的运算(yùn suàn)。求导练习5
No Image
12/9/2021
第三十页，共三十页。
y' 1
y' 2x
y'
1 x2
第五页，共三十页。
（4） y 1 x2
y'
2 x3
y' 3x2
y' 3
第六页，共三十页。
y' 0
y' (x1)ex
高中数学第三章导数及其应用3.2导数的运算3.2.3导数的四则运算法则b11b高二11数学
3．2.3 导数的四则运算法则
12/13/2021
第三章 导数及其应用
1.了解导数的四则运算法则． 2.理解导数的四则 运算法则的意义及作用． 3．能运用导数的四则运算法则解决一些简单函数的导数．
12/13/2021
导数的四则运算法则
设 f(x)、 g(x)是可导的．
公式
语言叙述
[f(x)±g(x)]′＝ f_′__(_x_)_±_g_′(_x_)
两个函数的和(或差)的导数，等于 这两个函数的导数的__和__(_或__差__)
12/13/2021
公式
[f(x)g(x)]′＝ f_′__(_x_)g_(_x_)_＋__f_(x_)_g_′_(x__) _
语言叙述 两个函数的积的导 数，等于第一个函数 的导数乘上第二个 函数，加上第一个函 数乘上第二个函数 的导数
(3)y＝3x2＋xcos x；
(4)y＝sin2xc－oscxos
x .
12/13/2021
解：(1)y′＝15x5＋23x3′ ＝15x5′＋23x3′ ＝x4＋2x2. (2)y′＝(lg x－ex)′ ＝(lg x)′－(ex)′＝xln110－ex.
12/13/2021
(3)y′＝(3x2＋xcos x)′＝(3x2)′＋(xcos x)′
12/13/2021
【解】 (1)7x－4y－12＝0 可化为 y＝74x－3. 当 x＝2 时，y＝12. 又 f′(x)＝a＋xb2， 于是2aa＋－b4b2＝＝7412，，解得ab＝ ＝13， . 故 f(x)＝x－3x.
12/13/2021
(2)证明：设点 P(x0，y0)为曲线上任一点，由 y′＝1＋x32可 知曲线 y＝f(x)在点 P(x0，y0)处的切线方程为：y－y0＝ 1＋x320(x－x0)， 即 y－x0－x30＝1＋x320(x－x0)． 令 x＝0，得 y＝－x60，从而得切线与直线 x＝0 的交点坐标 为0，－x60.令 y＝x，得 y＝x＝2x0，从而得切线与直线 y ＝x 的交点坐标为(2x0，2x0)．
高中数学 第三章 导数及其应用 3.2 导数的运算 3.2.3
函数积的求导法则
[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)·g′(x)
[Cf(x)]′＝Cf′(x)
两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数的导数．常数与函数积的导数，等于常数乘以函数的导数
3.2.3导数的四
1.熟练掌握函数的和、差、积、商的求导法则．
2．能用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.
导数的四则运算法则
设f(x)，g(x)是可导的，
符号表示
文字描述
函数和(或差)的求导法则
(f(x)±g(x))′＝f′(x)±g′(x)
函数商的求导法则
′＝ (g(x)≠0)
两个函数商的导数，等于分母乘上分子的导数，减去分子乘以分母的导数所得的差除以分母的平方
思考1导数的运算法则成立的条件是什么？
提示：两个函数必须都是可导的，并且商式中要求分母不为零．
思考2积的导数公式与商的导数公式中分子的表达式相同吗？
提示：不相同．在两个函数积f(x)g(x)的导数公式中，f′(x)g(x)与g′(x)f(x)之间为“＋”号；而两个函数商的导数公式中，分子f′(x)g(x)与f(x)g′(x)之间为“－”号．
高中数学 第三章 导数及其应用 3.2 导数的运算 3.2.3
3.2.3 导数的四则运算法课堂探究探究一 应用求导法则求导数要求初等函数的导数需要准确地把函数分割为基本初等函数的和、差、积、商的形式，再利用运算法则求导．在求导过程中，要仔细分析函数解析式的结构特征，紧扣求导法则，联系基本初等函数的求导公式进行求导．在求导数时有些函数虽然表面形式上为函数的商或积，但在求导前可利用代数或三角恒等变形将函数化简，然后进行求导，以避免或减少使用积、商的求导法则，从而减少运算量，提高运算速度，避免出错．例如求函数y ＝x －12x 的导数，先化简为y ＝12－12·1x，再求导，使问题变得更简单． 【典型例题1】 求下列函数的导数：(1)y ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－32x －6＋2； (2)y ＝cos x ·ln x ；(3)y ＝xe x ； (4)y ＝1＋x 1－x ＋1－x 1＋x. 思路分析：(1)是函数和差求导；(2)是函数积求导；(3)是函数商求导；(4)先进行分母有理化化简函数式，再求导． 解：(1)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－32x 2－6x ＋2′ ＝(x 3)′－⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2′－(6x )′＋(2)′ ＝3x 2－3x －6.(2)y ′＝(cos x ln x )′＝(cos x )′ln x ＋cos x (ln x )′＝－sin x ln x ＋cos x x. (3)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x e x ′＝(x )′e x －x (e x )′(e x )2 ＝e x －x e xe 2x ＝1－x ex . (4)y ＝(1＋x )21－x ＋(1－x )21－x＝2(1＋x )1－x ＝41－x－2， y ′＝⎝⎛⎭⎪⎫41－x －2′＝－4(1－x )′(1－x )2 ＝4(1－x )2. 探究二 利用导数求切线方程求曲线上某一点的切线方程时，需要求曲线的导数，对于解析式复杂的函数，利用导数法则求解比利用定义求解要方便，选用哪个导数法则要根据解析式的特点决定．【典型例题2】 已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋ax (x ∈R ，a ∈R )，在曲线y ＝f (x )的所有切线中，有且仅有一条切线l 与直线y ＝x 垂直．求a 的值和切线l 的方程．思路分析：根据导数的几何意义，结合题目条件，可由f ′(x )＝－1有唯一解确定a 的值，然后求出切点坐标，写出切线方程．解：因为f (x )＝13x 3－2x 2＋ax ， 所以f ′(x )＝x 2－4x ＋a .由题意可知，方程f ′(x )＝x 2－4x ＋a ＝－1有两个相等的实根．所以Δ＝16－4(a ＋1)＝0，所以a ＝3.所以f ′(x )＝x 2－4x ＋3＝－1可化为x 2－4x ＋4＝0.解得切点横坐标为x ＝2，所以f (2)＝13×8－2×4＋2×3＝23， 所以切线l 的方程为y －23＝(－1)×(x －2)，即3x ＋3y －8＝0. 所以a ＝3，切线l 的方程为3x ＋3y －8＝0.探究三导数的综合应用对于一个具体的初等函数，可以利用求导公式和导数的四则运算法则求导数，反过来，已知某些条件及其导函数，也可以确定参数，求出函数解析式．【典型例题3】 已知函数f (x )是关于x 的二次函数，f ′(x )是f (x )的导函数，对一切x ∈R ，都有x 2f ′(x )－(2x －1)f (x )＝1成立，求函数f (x )的解析式．思路分析：利用待定系数法，设出f (x )的解析式，根据条件列出方程组求出参数值． 解：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b . x 2f ′(x )－(2x －1)f (x )＝x 2(2ax ＋b )－(2x －1)·(ax 2＋bx ＋c )＝(a －b )x 2＋(b －2c )x ＋c ＝1，所以201a bb cc⎧⎪⎨⎪⎩－＝，－＝，＝，解得221abc⎧⎪⎨⎪⎩＝，＝，＝，所以f(x)＝2x2＋2x＋1.。
高中数学第三章导数及其应用3.2.3导数的四则运算法则2b11b高二11数学
分子乘以分母的导数所得的差除以分母的平方。归纳 升华 领悟。1.对于和差的导数运算法则，可推 广到任意有限个可导函 数的和或差，。考点一 运算法则求函数的导数
Image
12/9/2021
第二十五页，共二十五页。
若 f( x ) x ( x 0 , 0 ) 则 f ,'x x 1, 为有理数；
若 f(x)sixn ,则 f'(x)cosx;
若 f(x)co x,则 sf'(x)sinx; 若 f(x)ax,则 f'(x)axlna(a0);
若 f(x)ex,则 f'(x)e x ; 若 f(x)loaxg ,则 f'(x)x l1n a (a0,且 a1); 若 f(x)ln x,则 f'(x)1 ;
两个函数(hánshù) 和的导数等于这两 个函数(hánshù)导数的和
[f(x)g(x)]' f '(x)g'(x)
两个(liǎnɡ ɡè)函数差 的导数等于这两个 (liǎnɡ ɡè)函数导数的差
两个函数积的导数等于第一个函数的导数乘上第
[f(x)g(x)]' f'(x)g(x)f(x)g'(x)二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数
2021/12/9
第十四页，共二十五页。
1．已知函数 f(x)＝xsinx＋π2，则 f′π2＝
A．－π2
B．0
解C析．：1 ∵f(x)＝xsinx＋π2＝xcDos.π2x， ∴f′(x)＝cos x－xsin x.
∴f′π2＝cosπ2－π2sin π2＝－π2.
高中数学3.2.3 导数的运算四则运算法则
导数的运算四那么运算法那么要点精讲典型题解析[例1]设函数f(x)=x 3－2x 2＋x ＋5，假设f ' (x 0)=0，那么x 0=．[分析]x 0是方程f'(x)=0的根，只要解方程f'(x)=0[解]f (x)=x 3－2x 2＋x ＋5，求f '(x)=3x 2－4x ＋1由f'(x 0)=0，得3x 2－4x ＋1=0解得x 0=1或13 ∴应填写答案为1或13[点评]导数的运算法那么再加上已有的导数公式(如1-'=n n (x )nx 其中n ∈N*)是求某些简单函数的导数的常用工具．[例2]假设函数f(x)=x 2＋b x ＋c 的图象的顶点在第四象限，那么函数f /(x)的图象是〔〕[分析]二次函数是除一次线性函数外最熟悉的函数，首先求出函数的导函数，然后利用题设条件求出导函数中字母的取值X围，进而选择此题答案．解法一)(x f '=2x＋b ，其所表示的直线的斜率为2，排除B 、D ．又的图象的顶点在第四象限，故02>-b ，即 b ＜0，从而直线)(x f '=2x ＋b 的纵截距为负，选A ． 解法二因 f(x)的图象的顶点在第四象限，故可取 f(x)=(x －1)2－1=x 2－2x 那么)(x f '=2x －2，显然其图象只可能选A ．[点评]解答此题的主要错误为：不会求二次函数图象的顶点坐标，不会判断直线的斜率与直线所表示的方向间的关系．[例3]函数y=(3x 2＋x ＋1)(2x ＋3)的导数是〔〕A ． (6x ＋1)(2x ＋3)B ． 2(6x ＋1)C ． 2(3x 2＋x ＋1)D ． 18x ＋22x ＋5[分析]先把函数式右边展开，再用和的求导法那么求导数．[解]y=(3x 2＋x ＋1)(2x ＋3)=6x 3＋11x 2＋5x ＋3A xD C x B∴y'=18x 2＋22x ＋5，故应选D[例4]设f(x)、g(x)分别是定义在R 上的奇函数和偶函数,当x ＜0时,f (x )g(x )f (x )g (x )''+＞0．且g(3)=0．那么不等式f(x)g(x)＜0的解集是 ( )A ． (－3,0)∪(3,＋∝)B ． (－3,0)∪(0,3)C ． (－∝,－3)∪(3,＋∝)D ． (－∝,－3)∪ (0,3)[分析]利用构造思想构造函数F(x))()(x g x f =，然后充分利用题目所给的信息及已有的知识，对所构造的函数性质进行充分而认真的深入的研究，最后得出问题的答案．[解]f(x)、g(x)分别是定义在R 上的奇函数和偶函数, 故函数F(x))()(x g x f =是R 上的奇函数．由奇函数的图象特征：奇函数的图象关于原点对称知，F(x)在原点两侧的单调性相同．又注意到F ′(x)=)()()()(x g x f x g x f '+'依据条件知，F(x)在x ＜0时为增函数，于是F(x)在x ＞0时亦为增函数．因g(x)为偶函数且g(3)=0，故g(－3)=0，从而F(－3)=F(3)=0．作出满足条件F(x)的示意图如下图，由图易知，F(x)＜O的解集为(－∝,－3)∪(0,3)[答案]D[例5]求函数y =lg(1＋cos2x )的导数．[分析]求复合函数的导数关键在于分清函数的复合关系,选好中间变量．复合函数的导数等于函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数．解题的过程不必写出中间步骤,可直接运算．[解]由y =lg(1＋cos2x )得.2sin 2cos 1e lg 2)2)(2sin 1(2cos 1e lg )2(cos 2cos 1e lg )2cos 1(2cos 1e lg x x x x x x x x x y +-='-+='+='++=' 说明:可先把1＋cos2x 化简为2cos 2x ,再求导．规律总结对复合函数的求导,关键是要分清函数的复合过程．中间变量选取的依据是该变量是我们熟悉的导数公式的形式．我们要牢记导数的运算法那么和常见函数的导数．注意观察分析函数的结构形式,有的题目经过同解变形后再求导更简单．。
19-20 第3章 3.2 3.2.3 导数的四则运算法则
2．设y＝－2exsin x，则y′等于( )
A．－2excos x
B．－2exsin x
C．2exsin x
D．－2ex(sin x＋cos x)
D [y′＝－2(exsin x＋excos x)＝－2ex(sin x＋cos x)．]
栏目导航
3．已知函数f(x)＝lnx x，则f′(1)＝________. 1 [∵f′(x)＝1x×xx－2 ln x＝1－xl2n x，∴f′(1)＝1.]
________.
1 2
[∵f(x)＝(x2－4)(x－a)＝x3－ax2－4x＋4a，
∴f′(x)＝3x2－2ax－4.
又∵f′(－1)＝3＋2a－4＝0，
∴a＝12.]
栏目导航
5．设函数f(x)＝
1 3
x3－
a 2
x2＋bx＋c，其中a＞0，曲线y＝f(x)在点
P(0，f(0))处的切线方程为y＝1，确定b、c的值．
栏目导航
2．导数的积、商运算法则有哪些相似的地方？区别是什么？ [提示] 对于积与商的导数运算法则，应避免出现“积的导数 就是导数的积，商的导数就是导数的商”这类想当然的错误，应特 别注意积与商中符号的异同，积的导数法则中是“＋”，商的导数 法则中分子上是“－”．
栏目导航
【例2】
已知函数f(x)＝ln
栏目导航
[解] (1)∵y＝2x2＋x－1－3·x－3， ∴y′＝4x－x－2－3·(－3)x－4＝4x－x12＋x94. (2)y′＝1·x2＋x32＋－32x2x＋3＝－xx22－＋63x＋2 3. (3)y′＝(excos x＋sin x)′＝(excos x)′＋(sin x)′ ＝(ex)′cos x＋ex(cos x)′＋cos x ＝excos x－exsin x＋cos x. (4)y′＝3x2＋xln110.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
教案、学案、试题、试卷、复习资料
3.2.3 导数的四则运算法则
预习导航
课程目标学习脉络
1.熟练掌握函数的和、差、积、商的求导法则．
2．能用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单
函数的导数.
导数的四则运算法则
设f(x)，g(x)是可导的，
符号表示文字描述
函数和(或差)的求导法则(f(x)±g(x))′＝f′(x)±g′(x)
两个函数的和(或差)的导数，
等于这两个函数的导数和(或
差)
函数积的求导法则[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋
f(x)·g′(x)
[Cf(x)]′＝Cf′(x)
两个函数的积的导数，等于第
一个函数的导数乘上第二个
函数，加上第一个函数乘上第
二个函数的导数．常数与函数
积的导数，等于常数乘以函数
的导数
函数商的求导法则⎣⎢
⎡
⎦⎥
⎤
f(x)
g(x)′＝
g(x)f′(x)－f(x)g′(x)
g2(x)
(g(x)≠0)
两个函数商的导数，等于分母
乘上分子的导数，减去分子乘
以分母的导数所得的差除以
分母的平方
思考1导数的运算法则成立的条件是什么？
提示：两个函数必须都是可导的，并且商式中要求分母不为零．
思考2积的导数公式与商的导数公式中分子的表达式相同吗？
提示：不相同．在两个函数积f(x)g(x)的导数公式中，f′(x)g(x)与g′(x)f(x)之间为“＋”号；而两个函数商的导数公式中，分子f′(x)g(x)与f(x)g′(x)之间为“－”号．。