第六章：违背基本假设的回归方程2013

y i − 0 .866 y i − 1 = 131 .59 + 0.318 ( x i − 0.866 x i − 1 )
y i = 131 .59 + 0.318 ( x i − 0.866 x i −1 ) + 0.866 y i −1
２. 一阶差分法: First-order difference method 差分法是用增量数据代替原来的样本数据，适用于原模型是时间序 列，且存在较高程度的一阶自相关的情况。如一元线性回归模型： 当随机项序列高度相关时，即当ρ近似为1时，令ρ=1，则增量形式 的线性模型为： ∆ y i = β 1∆ x i + u i 式中：
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三. 序列相关性的诊断Diagnosis of Serial Correlation.
1. 图示法 Graphic Method 首先用最小二乘法估计回归模型的参数，求出残差项e；然后 再绘制e 的散点图，根据e的序列相关性来判断ε的序列相关性。残 差e的散点图有两种绘制方法： （1）绘制ei，ei-1的散点图，如果大部分点落入第一、三象限，则残 差项存在正相关，若大部分点落入二、四象限，则残差项序列存在负 相关。 （2）按照时间序列绘制残差项e的图形，如果ei，i=1，2，…，n随 时间的变化而有规律的变化，则可确定残差项存在序列相关性。 相应的图形见书上163页图6-2至6-3。
ρ1 ≈ 1 −
1 D .W = 1 − 0 .5 × 0 .554 = 0 .723 2
查表得du=1.39<D.W=1.537<4-du=2.61, 故模型不存在序列相关性。
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由上表得：
y 00 = 36 . 45 + 0 . 318 x 00
将模型还原为原始数据的形式：
y ′ = 36 .45 /( 1 − 0 .723 ) + 0 .318 x ′
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Ø 多元加权最小二乘法：
Qω ( β 0 , β 1 , L , β p ) = ∑ ω i ( yi − β 0 − β 1 xi 1 − L − β p xip )2
加权最小二乘估计WLS的矩阵表达式为：
ˆ = ( X ′WX )−1 X ′Wy β ω
ω1 0 0 ω 2 W = M M 0 0 L 0 L 0 L M L ωn
n
n
n
大致相等，
D .W =
∑
n
i=2
( e i2 − 2 e i e i − 1 + e i2− 1 )
∑
n
≈ 2 (1 −
∑
n
i=2
e ie i−1
n
e
i=2
2 i
∑
) e
2 i
i=2
ˆ) = 2 (1 − ρ
ˆ 是相关系数ρ 的估计值，且有 其中：ρ
ˆ ≈ 1− ρ 1 D .W 2
由证明可知：0 ≤d ≤4，根据给定的显著性水平α，回归系数个数 k和样本数据个数 n，查 D.W表，得到下限值dL和上限值dU ．
ˆ +β ˆ x= 最后，将方程还原为： y ˆ=β 0 1
或者：
ˆ′ β 0 ˆ x +β 1 (1 − ρ )
ˆ′ + β ˆ ( x − ρx ) + ρy ˆi = β y 0 1 i i −1 i −1
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例6.5
考察例４.2中Ｄ．Ｗ值
显然Ｄ．Ｗ值非常小，查表可知残差序列存在正自相关．进一步考 察自相关系数：
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2. 自相关系数法 Autocorrelation Coefficient Method 如果模型存在一阶自回归形式序列相关性，其相关系数ρ满足:
ε
其中
i
= ρε
n
i−1
+ ui
i−1 n
ρ =
∑ ∑
n
i=2
ε iε
2 i
ε
i= 2
∑
ε
i=2
2 i−1
相关系数ρ的估计值为:
ˆ = ρ
∑ ∑
n i=2
例6.4 研究我国2005年31个省、市、自治区的农业总产值Y （亿 元）与有效灌溉面积x1（千公顷）和化肥施用量x2（万吨）的关 系。建立相应的回归模型。 解：首先进行相关分析：
2
用统计软件得回归分析的结果如下：
3
残差图分析可能出现异方差性。
4
使用等级相关系数法考察相关性
以X2化肥施用量构造权函数，用SPSS统计软件估计幂指数m：
X ′X = 0 ,
X ′X ≈ 0 , 并且
由于
( X ′X ) − 1 =
( X ′X ) * X ′X
ˆ ) = σ 2 ( X ′X ) − 1 Var ( β
ˆ 的方差很大，估计精度降低，估计效果明显变 所以，估计量 β 差，这时称设计矩阵X呈病态。
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若考虑参数估计量的均方误差，有
ˆ ) = E (β ˆ − β )′ ( β ˆ − β ) = E( β ˆ −β MSE ( β
具体做法: 首先，求出残差与滞后残差的相关系数ρ； 其次, 根据相关系数ρ的估计值做出变换, 得到新的变量y´和Ｘ´，
y′ i = y i − ρ y i −1 ;
x′ i = x i − ρx i −1
ˆ ′ = βˆ 0′ + βˆ 1 x ′ 再次，根据新变量建立回归方程，y
如果方程通过D.W检验，迭代结束，否则，继续重复上述过程， 直到通过D.W检验。这种方法称为迭代法．
杜志渊
1. 多元线性回归与一元线性回归的基本假设条件有什么不同？ 2. 为什么要引入修正的样本决定系数？ 3. 复相关系数、偏相关系数与简单相关系数各自的含义是什么？
1. Rk(X)=p+1 2. 避免由于自变量增加使样本决定系数虚高。 3. 复相关系数是全体自变量与因变量线性相关程度的度量; 偏相关系数是一个自变量在控制其它自变量后，与因变量的真 实线性相关程度的度量。 简单相关系数是任意两个变量之间的pearson相关系数。
1. 待定系数法 Method of Undetermined Coefficients 为了诊断模型是否存在多重共线性，可将每一个自变量与其它自 变量进行线性回归，得：
x j = β0 + β1 x1 + L+ β j−1 x j −1 + β j +1 x j+1 + L+ β p x p j = 1,2,L, p
二 . 多重共线性带来的问题
Problems
1. 当回归模型自变量之间出现完全共线性时，参数的估计量不存在。 rk ( X ) < p + 1
( X ′X ) − 1 不存在 ˆ = ( X ′X ) − 1 X ′y 也不存在。 参数向量β的OLSE β
2. 一般共线性下普通最小二乘法参数估计量非有效。 在实际问题中，常见的是近似共线性的情况，即
n
i=2
e ie i−1
e i2
∑
n
i= 2
e i2− 1
其中ˆi ei = y源自 − yi = 1, 2 , L , n
3. DW检验（杜宾-瓦特森） D.W Test D.W检验是适用于小样本的一种检验方法，只能用于检验随机残差 项是否存在一阶自回归形式序列相关性，随机项的一阶自回归形式：
ε
i
= ρε
Cov (ε i , ε j ) ≠ 0
i ≠ j; i = 1, 2 , L , n; j = 1, 2 , L , n
称误差项之间存在自相关关系，是一个变量前后期数值间存在的相关关系。
一、产生的经济背景和原因Economic Background and Reason
1、遗漏了关键变量; 2、经济现象的滞后性; 3、回归函数形式错误; 4、蛛网现象可能带来的自相关性; 5、对数据的加工处理导致误差项出现自相关现象.
二、序列相关带来的问题Problems Caused by Serial Correlation
经济学模型一旦出现序列相关性，如果仍采用普通最小二乘法估计 模型参数，会产生下列不良后果： 1．参数估计值不再具有最小方差的线性无偏性; 2．最小二乘估计可能严重低估了误差项的方差; 3．容易导致对t值的估计过高，以 βˆ 估计β值可能会严重失实; 4. 回归模型预测失效. 注意：前面关于参数估计量的无偏性和有效性的证明过程，应用了 误差项满足同方差性和互相独立性条件。 如果误差项出现序列相关性，使对模型的所有显著性检验失去意 义，使得模型不具有良好的统计性质。模型的预测功能将不再有效。
i−1
+ ui
检验假设 H0：ρ=0；H1：ρ≠0 检验统计量 也称 D.W值
D .W =
∑
n
i= 2
(e i − e i−1 )2
∑
n
e i2
i=2
其中
ˆi ei = y i − y
i = 1,2, L , n
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2 2 2 从数学上也容易证明当n较大时, ∑ e i ，∑ e i ，∑ e i − 1 i =1 i=2 i= 2 D.W统计量可以化简为:
yi = β 0 + β1 xi1 + β 2 xi 2 + L + β p xip + ε i
i = 1,2,L, n
其基本假设之一是自变量之间相互独立。若某两个或多个自变量间 出现了相关性，则称为多重共线性(Multicollinearity)。 如果某一个自变量可以用其他自变量的线性组合表示，则称为完 全共线性。即：rk(X)<P+1．完全共线性的情况并不多见.
可以证明：
2
2
)
ˆ−β E( β