2018届二轮复习函数与方程学案(全国通用)

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(浙江版)备战2018高考数学二轮复习专题1.1 函数与导数教学案

专题1.1 函数与导数【考情动态】6．理解对数函数的概会运用函数图象理解和研究函数的性质.数中的应小值，会求闭区间上函数的最大值、最小值，会用导数解决【热点重温】热点一函数的图象和性质【典例1】【2016高考天津理数】已知函数f （x ）=2(4,0,log (1)13,03)a x a x a x x x ⎧+<⎨++≥-+⎩（a >0,且a ≠1）在R 上单调递减，且关于x 的方程|()|2f x x =-恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是（）（A ）（0，23] （B ）[23，34] （C ）[13，23]{34}（D ）[13，23）{34}3【答案】C【对点训练】【2017天津，理6】已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =.若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为（A ）a b c << （B ）c b a << （C ）b a c <<（D ）b c a <<【答案】C【解析】因为()f x 是奇函数且在R 上是增函数，所以在0x >时，()0f x >，从而()()g x xf x =是R 上的偶函数，且在[0,)+∞上是增函数，22(log 5.1)(log 5.1)a g g =-=，0.822<，又4 5.18<<，则22log 5.13<<，所以即0.8202log 5.13<<<，0.82(2)(log 5.1)(3)g g g <<，所以b a c <<，故选C ．【典例2】【2017浙江，7】函数y=f (x )的导函数()y f x '=的图像如图所示，则函数y=f (x )的图像可能是【答案】D【解析】原函数先减再增，再减再增，且由增变减时，极值点大于0，因此选D ．【对点训练】【2018届浙江省温州市高三9月测试（一模）】已知函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（）A. B.C. D.【答案】C【考向预测】函数的图象与性质是浙江省历年考查的热点和难点,2018年必然延续这一趋势.函数的图象主要考查利用函数性质判断图象,以选择题为主；函数的性质主要是围绕函数单调性的应用,考查基本初等函数的图象和性质.综合不等式、导数等考查,难度较大,选择题、填空题和解答题都可能涉及. 热点二二次函数及函数方程【典例3】【2017浙江,5】若函数()2f x x ax b =++在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则M-m( )A.与a 有关,且与b 有关B.与a 有关,但与b 无关C.与a 无关,且与b 无关D.与a 无关,但与b 有关5【答案】B【解析】因为最值在f(0)=b,f(1)=1+a+b,f=b-中取,所以最值之差一定与a 有关,与b 无关.故选B.【对点训练】已知函数2()(,)f x x ax b a b R =++∈，记(,)M a b 是|()|f x 在区间[1,1]-上的最大值. （1）证明：当||2a ≥时，(,)2M a b ≥；（2）当a ，b 满足(,)2M a b ≤，求||||a b +的最大值. 【答案】（1）见解析；（2）||||a b +的最大值为3.（2）由(,)2M a b ≤得|1||(1)|2a b f ++=≤，|1||(1)|2a b f -+=-≤，故||3a b +≤，||3a b -≤，由||,0||||||,0a b ab a b a b ab +≥⎧+=⎨-<⎩，得||||3a b +≤，当2a =，1b =-时，||||3a b +=，且2|21|x x +-在[1,1]-上的最大值为2，即(2,1)2M -=，∴||||a b +的最大值为3. 【典例4】【2018届浙江省台州中学高三上第三次统练】已知函数()2f x ax bx c =++．（1）当1,2a b ==时，若存在[]()1212,2,0x x x x ∈-≠，使得()()21,2i f x i ==，求实数c 的取值范围；（2）若,,a b c 为正整数，方程20ax bx c ++=的两个实数根12,x x 满足1211x x -<<<，求a b c ++的最小值．【答案】（1）21c -≤<-或23c ≤<.（2）11．。

2018年高考数学二轮复习专题04 导数及其应用教学案理

专题04 导数及其应用高考将以导数的几何意义为背景，重点考查运算及数形结合能力，导数的综合运用涉及的知识面广，综合的知识点多，形式灵活，是每年的必考内容，经常以压轴题的形式出现．预测2018年高考仍将利用导数研究方程的根、函数的零点问题、含参数的不等式恒成立、能成立、实际问题的最值等形式考查．1．导数的定义f ′(x)＝lim Δx→0 ΔyΔx＝lim Δx→0＋Δ－Δx .2．导数的几何意义函数y ＝f(x)在x ＝x0处的导数f ′(x0)就是曲线y ＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k ＝f ′(x0)． 3．导数的运算(1)基本初等函数的导数公式①c′＝0(c 为常数)；⑤(ex)′＝ex; ⑥(ax)′＝⑦(lnx)′＝1x ；③[]′＝－④设y ＝f(u)u ＝φ(x)，则y′x＝y′uu′x.4．函数的性质与导数在区间(a ，b)′(x)>0，那么函数(a ，b)上单调递增．如果f ′(x)<0，5别注意平面图形的面积为正值，定积分值可能是负值．被积函数为y ＝f(x)，由曲线y ＝f(x)与直线x ＝a ，x ＝b(a<b)和y ＝0所围成的曲边梯形的面积为S.①当f(x)>0时，S ＝⎠⎛a b f(x)dx ；②当f(x)<0时，S ＝－⎠⎛ab f(x)dx ；③当x∈[a，c]时，f(x)>0；当x∈[c，b]时，f(x)<0，则S ＝⎠⎛a c f(x)dx －⎠⎛cb f(x)dx.考点一导数的几何意义及应用例1、(1)已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2,7)，则a＝________.答案：1(2)已知曲线y＝x＋ln x在点(1,1)＋1相切，则a＝________.解析：基本法：令f(x)＝x＋ln x，求导得f(1)＝1，所以曲线y＝x＋ln x在点(1,1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.设直线y＝2x－1与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1的切点为P(x0，y0)，则y′|x＝x0＝2ax0＋a＋2＝2，得a(2x0＋1)＝0，＋1＝2x0－1，即ax20＋ax0＋2＝0，当a＝0时，显然y＝2x－1＋＋＋ax＋2＝0，8a＝0，＝0(显然不成立【变式探究】设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为y＝2x，则a＝( ) A．0 B．1C．2 D．3解析：基本法：y′＝a－1x＋1，当x＝0时，y′＝a－1＝2，∴a＝3，故选D.答案：D考点二导数与函数的极值、最值例2、(1)已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围是( )A ．(2，＋∞) B．(1，＋∞) C ．(－∞，－2) D ．(－∞，－1)解析：基本法：a ＝0时，不符合题意．a≠0时，f′(x)＝3ax2－6x ，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝2a.若a ＞0，则由图象知f(x)有负数零点，不符合题意．则a ＜0，由图象结合f(0)＝1＞0知，此时必有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＞0，即a×8a3－3×4a2＋1＞0，化简得a2＞4，又a ＜0，所以a ＜－2，故选C.速解法：若a ＞0，又∵f(0)＝1，f(－1)＝－a －2＜0，在(－1,0)处有零点，不符合题意．∴a＜0，若a ＝－43，则f(x)＝－43x3－3x2＋1f′(x)＝－4x2－6x ＝0，∴x＝0，或x ＝－32.此时f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32为极小值且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＜0，有三个零点，排除D. 答案：C(2)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx ＋c ，下列结论中错误的是( ) A ．∃x0∈R，f(x0)＝0B ．函数y ＝f(x)的图象是中心对称图形C ．若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x0)单调递减D ．若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)＝0解析：基本法：由三次函数的值域为R 知，f(x)＝0必有解，A 项正确；因为f(x)＝x3＋ax2＋bx ＋c 的图象可由y ＝x3平移得到，所以y ＝f(x)的图象是中心对称图形，B 项正确；若y ＝f(x)有极值点，则其导数y ＝f′(x)必有2个零点，设为x1，x2(x1＜x2)，则有f′(x)＝3x2＋2ax ＋b ＝3(x －x1)(x －x2)，所以f(x)在(－∞，x1)上递增，在(x1，x2)上递减，在(x2，＋∞)上递增，则x2为极小值点，所以C 项错误，D 项正确．选C.速解法：联想f(x)的图象模型如图显然C 错．答案：C【方法技巧】1.函数图象是研究函数单调性、极值、最值最有利的工具．2．可导函数极值点的导数为0，但导数为0的点不一定是极值点，如函数f(x)＝x3，当x ＝0时就不是极值点，但f′(0)＝0.3．极值点不是一个点，而是一个数x0，当x ＝x0时，函数取得极值；在x0处有f′(x0)＝0是函数f(x)在x0处取得极值的必要不充分条件．4．f′(x)在f′(x)＝0的根的左右两侧的值的符号，如果“左正右负”，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果“左负右正”，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，即都为正或都为负，则f(x)在这个根处无极值．【变式探究】1．函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx －34(a ，b ，c∈R)的导函数为f′(x)，若不等式f′(x)≤0的解集为{x|－2≤x≤3}，且f(x)的极小值等于－115，则a 的值是( ) A ．－8122 B.13C ．2D ．5答案：C考点三导数与函数的单调性例3、若函数f(x)＝x2＋ax ＋1x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞是增函数，则a 的取值范围是( ) A ．[－1,0] B ．[－1C ．[0,3]D ．[3解析：基本法：由题意知f′(x)≥0⎭⎪⎫恒成立，又f′(x)＝2x ＋a －1x2，⎭a≥1x2－2x ，若满足题意，，x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.因为h′(x)＝－2x3－2，所以当⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上单调递减，所以h(x)＜h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝3，故a≥3.a ＝0时， 1＋1＝2，f C.故选D.(2)若函数f(x)＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)单调递增，则k 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2] B ．(－∞，－1] C ．[2，＋∞) D．[1，＋∞)解析：基本法：依题意得f′(x)＝k －1x ≥0在(1，＋∞)上恒成立，即k≥1x 在(1，＋∞)上恒成立，∵x＞1，∴0＜1x＜1，∴k≥1，故选D.速解法：若k ＝1，则f′(x)＝1－1x ＝x －1x 在(1，＋∞)上有f′(x)＞0，f(x)＝kx －ln x为增函数．答案：D【变式探究】对于R 上可导的任意函数f(x)，若满足1－x≤0，则必有( )A ．f(0)＋f(2)＞2f(1)B ．f(0)＋f(2)≤2f(1)C ．f(0)＋f(2)＜2f(1)D ．f(0)＋f(2)≥2f(1)解析：基本法：选A.当x ＜1时，f′(x)＜0，此时函数f(x)递减，当x ＞1时，f′(x)＞0，此时函数f(x)递增，∴当x ＝1时，函数f(x)取得极小值同时也取得最小值，所以f(0)＞f(1)，f(2)＞f(1)，则f(0)＋f(2)＞2f(1)，故选A.1.【2017课标II ，理】已知函数()2ln f x ax ax x x=--，且()0f x ≥。

新课标2018届高考数学二轮复习专题二函数与导数2.2函数与方程及函数的应用课件

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命题热点一
命题热点二
命题热点三
对点训练1函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点个数为( A.1 B.2 C.3 D.4
x x
)
关闭
函数 f(x)=2 |log0. 5x|-1 的零点即 2 |log0. 5x|-1= 0 的解 ,即|log0. 5x|= 的解,作出函数 g(x)=|log0. 5x|和函数 h(x)=
题后反思解决由函数零点(方程根)的存在情况求参数的值或取值范围问题,关键是利用函数方程思想或数形结合思想,构建关于参数的方程或不等式求解.对于存在函数的零点求参数取值范围的问题,可通过分离参数,转化为求函数的最值问题.
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命题热点一
命题热点二
命题热点三
对点训练2(2017全国Ⅲ,理11)已知函数f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零点,则a=( )
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命题热点一
命题热点二
命题热点三
③当
1 a∈(0,1)时,1- +ln ��
a<0,即 f(-ln a)<0.
又 f(-2)=ae-4+(a-2)e-2+2>-2e-2+2>0,故 f(x)在区间(-∞,-ln a)有一个零点. 设正整数 n0 满足 n0>ln 由于 ln
3 -1 ��
由 f(x)=-a>-�� >0 知,函数 y=f(x)与直线 y=-a>0 存在两个交点,此时方程 f(-f(x))=1 的实数根有 2 个;由 f(x)=-b∈(-1,0),知函数 y=f(x)与直线关闭 y=-b∈(-1,0)存在两个交点,此时方程 f(-f(x))=1 的实数根有 2 个.综上 C 可知方程的实数根个数为 4.

新课标版备战2018高考数学二轮复习难点2.5函数性质与方程不等式等相结合问题教学案理20180408527

函数性质与方程、不等式等相结合问题函数与方程、函数与不等式都是高中数学的重要内容，也都是高考的热点和重点，在每年的高考试题中这部分内容所占的比例都很大，函数与方程、函数与不等式是高中数学的主线，它们贯穿于高中数学的各个内容，求值的问题就要涉及到方程，求取值范围的问题就离不开不等式，但方程、不等式更离不开函数，函数与方程、函数与不等式思想的运用是我们解决问题的重要手段.本文就高中阶段学生存在的困惑加以类型的总结和方法的探讨.1函数与方程关系的应用函数与方程是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，方程()0f x =的解就是函数()y f x =的图像与x 轴的交点的横坐标，函数()y f x =也可以看作二元方程()0f x y -=通过方程进行研究.就中学数学而言，函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的.许多有关方程的问题可以用函数的方法解决，反之，许多函数问题也可以用方程的方法来解决.在高考中重点考查函数零点个数、零点范围以及与零点有关的范围问题，有时添加函数性质进去会使得此类问题难度加大.（2）当0,1a b ==-时，函数()()()22H x x m f x g x ⎡⎤=--⎣⎦有唯一零点，求正数m 的值.()()()22H x x m f x g x ⎡⎤=--⎣⎦有唯一零点即函数()H x 的最小值为零.点评：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．【答案】2【解析】由图可得关于x 的方程()f x t =的解有两个或三个（1t =时有三个，1t ≠时有两个），所以关于t的方程20t bt c ++=只能有一个根1t =（若有两个根，则关于x 的方程()()20f x bf x c ++=⎡⎤⎣⎦有四个或五个根），由()1f x =，可得1x ，2x ，3x 的值分别为0,1,2，1223130112022x x x x x x ++=⨯+⨯+⨯=，故答案为2.点评：本题主要考查分段函数的图象和解析式；2、函数零点与方程根之间的关系及数形结合思想的应用,属于难题. 判断方程()y f x =零点个数的常用方法：① 直接法：可利用判别式的正负直接判定一元二次方程根的个数；②转化法：函数()y f x =零点个数就是方程()0f x =根的个数，结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性) 可确定函数的零点个数；③数形结合法：一是转化为两个函数()(),y g x y h x ==的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为(),y a y g x ==的交点个数的图象的交点个数问题 .本题判定方程()f x t =的根的个数是就利用了方法③.2 函数与不等式关系的应用函数与不等式都是高中数学的重要内容，也都是高考的重点，在每年的高考试题中这部分内容所占的比例都是很大的.函数是高中数学的主线，方程与不等式则是它的重要组成部分.在很多情况下函数与不等式也可以相互转化，对于函数()y f x =，当0y >时，就转化为不等式()0f x >，借助于函数图像与性质解决有关问题，而同时研究函数的性质，也离不开解不等式的应用.为（）【答案】B点睛：研究函数有解问题常常与研究对应方程的实根问题相互转化，根据不等式有解求参数取值范围，通常采用分离参数法，构造不含参数的函数，研究其单调性、极值、最值，从而求出a 的范围着重考查了转化与化归思想的应用，同时考查了学生分析问题和解答问题的能力.点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性、利用导数求函数的最值及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；②数形结合(()y f x =图象在()y g x =上方即可)；③讨论最值min ()0f x ≥或max ()0f x ≤恒成立；④讨论参数.本题（2）就是利用方法①求得实数k 的取值范围的.3 函数、方程和不等式关系的应用函数、方程、不等式的结合，是函数某一变量值一定或在某一范围下的方程或不等式，体现了一般到特殊的观念.也体现了函数图像与方程、不等式的内在联系，在高中阶段，应该让学生进一步深刻认识和体会函数、方程、不等式三部分之间的内在联系，并把这种内在联系作为学习的基本指导思想，这也是高中数学最为重要的内容之一.而新课程标准中把这个联系提到了十分明朗、鲜明的程度.因此，要高三的复习中，对这部分内容应予以足够的重视.（1）当2a =时，比较()f x 与1的大小；在()0,+∞上是增函数⇒故当1x >时，()()11f x f >=；当1x =时，()()11f x f ==；当1x <时，点评：本题考查函数的函数的极值、函数的零点、函数与不等式，涉及分类讨论思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 利用导数处理不等式问题.在解答题中主要体现为不等式的证明与不等式的恒成立问题.常规的解决方法是首先等价转化不等式，然后构造新函数，利用导数研究新函数的单调性和最值来解决，当然要注意分类讨论思想和转化化归思想的应用.综合上面三种题型，可以采取以下几种技巧和方法：①函数性质与方程综合时，要先将函数性质剖析清楚，尤其是单调性和对称性，然后在研究函数零点问题；②函数与不等式综合时，重点是要学会构造函数，利用函数单调性、最值进行研究；③函数、方程与不等式综合在一起时，要注意利用导数这个有利工具进行解答.。

(新课标版)备战2018高考高考数学二轮复习专题1.2函数与导数教学案理

专题1.2 函数与导数一．考场传真1. 【2017课标1，理5】函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是 A ．[2,2]-B ．[1,1]-C ．[0,4]D ．[1,3]【答案】D2．【2017课标1，理11】设x 、y 、z 为正数，且235x y z ==，则 A ．2x <3y <5zB ．5z <2x <3yC ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z【答案】D【解析】令235(1)x y z k k ===>，则2log x k =，3log y k =，5log z k =，∴22lg lg3lg913lg 23lg lg8x k y k =⋅=>，则23x y >，22lg lg5lg 2515lg 25lg lg32x k z k =⋅=<，则25x z <，故选D. 3．【2017课标II ，理11】若2x =-是函数21()(1)x f x x ax e-=+-的极值点，则()f x 的极小值为（）A.1-B.32e -- C.35e - D.1 【答案】A4．【2017课标3，理15】设函数10()20x x x f x x +≤⎧=⎨>⎩，，，，则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是_________.【答案】1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭5．【2017课标3，理11】已知函数211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则a =A ．12-B ．13C ．12D ．1【答案】C【解析】函数的零点满足()2112x x x x a e e --+-=-+，设()11x x g x ee --+=+，则()()211111111x x x x x x eg x eeee e ---+----'=-=-=，当()0g x '=时，1x =，当1x <时，()0g x '<，函数()g x单调递减，当1x >时，()0g x '>，函数()g x 单调递增，当1x =时，函数取得最小值()12g =，设()22h x x x =- ，当1x =时，函数取得最小值1- ，若0a ->，函数()h x 与函数()ag x 没有交点，当0a -<时，()()11ag h -=时，此时函数()h x 和()ag x 有一个交点，即21a -⨯=-，解得12a = .故选C.6．【2017课标1，理21】已知函数2()(2)xx f x ae a e x =+--.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.7．【2017课标II ，理】已知函数()2ln f x ax ax x x =--，且()0f x ≥.(1)求a ；(2)证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且()2202ef x --<<.【解析】（1）()f x 的定义域为()0，+∞.设()ln g x ax a x =--，则()()f x xg x =，()0f x ≥等价于()0g x ≥.因为()()10,0g g x =≥，因()'10g =，而()()1','11g x a g a x=-=-，得1a =. 若1a =，则()1'1g x x=-.当01x <<时，()'0g x <，()g x 单调递减；当1x >时，()'0g x >，()g x 单调递增.所以1x =是()g x 的极小值点，故()()10g x g ≥=，综上，1a =. （2）由（1）知 ()2ln f x x x x x =--，()'22ln f x x x =--.设()22ln h x x x =--，则()1'2h x x =-.当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ 时，()'0h x < ；当1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()'0h x > ，所以()h x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ 单调递减，在1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭ 单调递增.又()20h e ->，102h ⎛⎫< ⎪⎝⎭，()10h = ，所以()h x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ 有唯一零点0x ，在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭有唯一零点1，且当()00,x x ∈ 时，()0h x > ；当()0,1x x ∈ 时，()0h x < ，当()1,x ∈+∞ 时， ()0h x >.因为()()'f x h x = ，所以0x x =是()f x 的唯一极大值点.由()0'0f x =得()00ln 21x x =-，故()()0001f x x x =-. 由()00,1x ∈ 得 ()014f x <. 因为0x x =是()f x 在（0,1）的最大值点，由()10,1e -∈，()1'0f e -≠ 得()()120f x f e e -->=.所以()2202ef x --<<.8．【2017课标3，理21】已知函数()1ln f x x a x =-- . （1）若()0f x ≥ ，求a 的值；（2）设m 为整数，且对于任意正整数n 2111111222n m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，求m 的最小值.二．高考研究【考纲解读】 1.考纲要求1．函数：（1）了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念.（2）在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图像法、列表法、解析法）表示函数.（3）了解简单的分段函数，并能简单应用（函数分段不超过三段）.（4）理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；了解函数奇偶性的含义.（5）会运用基本初等函数的图像分析函数的性质.2．指数函数：（1）了解指数函数模型的实际背景.（2）理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.（3）理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图像通过的特殊点，会画底数为2，3，10，1/2，1/3的指数函数的图像．（4）体会指数函数是一类重要的函数模型.3．对数函数：（1）理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.（2）理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图像通过的特殊点，会画底数为2，10，1/2的对数函数的图像．（3）体会对数函数是一类重要的函数模型；（4）了解指数函数与对数函数（）互为反函数.4．幂函数：（1）了解幂函数的概念.（2）结合函数的图像，了解它们的变化情况.5．函数与方程：结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数.6．函数模型及其应用：（1）了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.（2）了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用.7．导数及其应用：（1）了解导数概念的实际背景.（2）通过函数图像直观理解导数的几何意义.（3）根据导数的定义求函数(c为常数)的导数.（4）能利用下面给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如f（ax+b）的复合函数）的导数. 常见基本初等函数的导数公式和常用导数运算公式：(C为常数)；, n∈N+；；; ;(a>0,且a≠1); ; (a>0,且a≠1).常用的导数运算法则：法则1 .法则2.法则3 .（5）了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）.（6）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）.（7）会用导数解决某些实际问题..（8）了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念.（9）了解微积分基本定理的含义.2.命题规律高考对函数的考查以选择或填空题形式呈现，考查对数函数、含无理式的函数的定义域；以二次函数的图象与性质为主，结合函数的性质综合考查分析与解决问题的能力，函数的图象与性质历来是高考的重点，也是热点，对于函数图象的考查体现在两个方面：一是识图；二是用图，即通过函数的图象，利用数形结合的思想方法解决问题；对于函数的性质，主要考查函数单调性、奇偶性、周期性；函数的奇偶性、周期性往往与分段函数、函数与方程结合，考查函数的求值与计算；考查数形结合解决问题的能力等．每年都有函数试题，而且常考常新．以基本函数为背景的应用题和综合题是高考命题的新趋势．高考对导数的考查，主要是考查导数的概念、计算、几何意义以及导数在研究函数中的应用；从考查形式上看，基本上是以一道小题和一道大题形式出现，其中导数的几何意义考查，试题难度较低，有选择题、填空题，有时作为解答题中的关键一步,常常与直线的斜率、倾斜角、直线的方程、三角函数等相结合.导数的应用涉及的知识点多，综合性强，要么直接求极值或最值，要么利用极值或最值求参数的取值范围，常与函数的单调性，函数的零点，不等式及实际问题，形成知识的交汇问题．选择题、填空题往往侧重于利用导数确定函数的单调性和极值，一般属于低档题目；解答题侧重于导数与函数、解析几何、不等式、数列等知识的综合应用，一般难度较大，属于中高档题，综合考查函数方程思想及数学应用意识，考查转化与化归思想、分类讨论思想及数形结合思想的理解运用；考查分析与解决问题的能力、应用意识及创新能力.3．学法导航1.已知函数的解析式，判断其图象的关键是由函数解析式明确函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等，以及函数图象上的特殊点，根据这些性质对函数图象进行具体分析判断.2.(1)运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质.(2)图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象数形结合研究.3.指数函数、对数函数的图象和性质受底数a的影响，解决与指数、对数函数特别是与单调性有关的问题时，首先要看底数a的范围.4.利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化，其中关键是确定切点的坐标.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解.5．函数的零点、方程的实根、函数图象与x 轴的交点的横坐标是三个等价的概念，解决这类问题可以通过函数的单调性、极值与最值，画出函数图象的变化趋势，数形结合求解.一．基础知识整合基础知识： 1．函数及其图象(1)定义域、值域和对应关系是确定函数的三要素，是一个整体，研究函数问题时务必遵循“定义域优先”的原则．(2)对于函数的图象要会作图、识图和用图，作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换和对称变换． 2．函数的性质(1)单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质．证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、变形、判断符号和下结论．复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则；(2)奇偶性：奇偶性是函数在定义域上的整体性质．偶函数的图象关于y 轴对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相反的单调性；奇函数的图象关于坐标原点对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相同的单调性；(3)周期性：周期性也是函数在定义域上的整体性质．若函数满足f (a ＋x )＝f (x )(a 不等于0)，则其周期T ＝ka (k ∈Z )．3．函数的零点与方程的根：(1)函数的零点与方程根的关系：函数F (x )＝f (x )－g (x )的零点就是方程f (x )＝g (x )的根，即函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝g (x )的图象交点的横坐标．(2)零点存在性定理：如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f (a )·f (b )<0，那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )使得f (c )＝0, 这个c 也就是方程f (x )＝0的根．注意以下两点：①满足条件的零点可能不唯一；②不满足条件时，也可能有零点.4．导数的几何意义：(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)就是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率，即k ＝f ′(x 0)．(2)曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．5．函数的单调性与导数：如果已知函数在某个区间上单调递增(减)，则这个函数的导数在这个区间上大(小)于或等于零恒成立．在区间上离散点处导数等于零，不影响函数的单调性，如函数y ＝x ＋sin x . 6．函数的导数与极值：对可导函数而言，某点导数等于零是函数在该点取得极值的必要条件．例如f (x )＝x 3，虽有f ′(0)＝0，但x ＝0不是极值点，因为f ′(x )≥0恒成立，f (x )＝x 3在(－∞，＋∞)上是单调递增函数，无极值． 7．闭区间上函数的最值在闭区间上连续的函数，一定有最大值和最小值，其最大值是区间的端点处的函数值和在这个区间内函数的所有极大值中的最大者，最小值是区间端点处的函数值和在这个区间内函数的所有极小值中的最小者. 8．利用定积分求曲边梯形的面积（1）由直线x=a ，x=b a b <（），x 轴及一条曲线()y f x =(()0)f x ≥围成的曲边梯形的面积()baS f x dx =⎰，若'()()F X f x =，则(-S F b F =）（a). （2）推广：由直线x=a ，x=b a b <（），()y f x =和y=g(x ）（()f x >g(x ））围成的平面图形的面积为[()()]baS f x g x dx =-⎰二．高频考点突破考点1 函数的定义及其表示【例1】函数()f x =+ ）A ．[0 )+∞，B ．( 2]-∞， C. []0 2， D ．[0 2)，【分析】()f x 的定义域就是函数解析式有意义的自变量的取值范围. 【答案】D()f x [0 2)，，故选D. 【例2】【2018陕西西安长安区质检】已知(),0{ ,0xlgx x f x a b x ->=+≤且()()02,14f f =-=，则()()2f f -= A. -1 B. 2 C. 3 D. -3【分析】求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现(())f f a 的形式时，应从内到外依次求值.．【答案】A【例3】已知函数()f x 的图象如图所示，则()f x 的解析式可能是（）A ．()3121f x x x =-- B ．()3121f x x x =+- C ．()3121f x x x =-+ D ．()3121f x x x =--- 【分析】本题紧扣图像，可排除不符合图像的选择支，从而可得答案．【答案】A 【解析】12x ≠，排除C 选项；0,0x y =<，排除D 选项；100,0x y =->，排除B ，故选A ．【规律方法】1、求解函数的定义域一般应遵循以下原则：①()f x 是整式时，定义域是全体实数；②()f x 是分式时，定义域是使分母不为零的一切实数；③()f x 为偶次根式时，定义域是使被开方数为非负值时的实数的集合；④对数函数的真数大于零，且当对数函数或指数函数的底数中含变量时，底数需大于0且不等于1；⑤零指数幂的底数不能为零；⑥若()f x 是由有限个基本初等函数运算合成的函数，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集；⑦对于求复合函数定义域的问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数(())f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出；⑧对于含字母参数的函数求其定义域，根据具体情况需对字母参数进行分类讨论；⑨由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义． 2、函数值域的求法:利用函数的单调性:若)(x f 是],[b a 上的单调增(减)函数,则)(a f ,)(b f 分别是)(x f 在区间],[b a 上取得最小(大)值,最大(小)值.利用配方法:形如2(0)y ax bx c a =++≠型,用此种方法,注意自变量x 的范围. 利用三角函数的有界性,如sin [1,1],x ∈-cos [1,1]x ∈-.利用“分离常数”法:形如y=ax b cx d++ 或2ax bx e y cx d ++=+ (c a ,至少有一个不为零)的函数,求其值域可用此法.利用换元法:形如y ax b =+,可用此法求其值域. 利用基本不等式法:导数法:利用导数与函数的连续性求图复杂函数的极值和最值,然后求出值域 3、分段函数题型的求解策略(1)根据分段函数解析式求函数值：首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解．(2)已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围：应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围． (3)分类讨论时要遵循分类的原则． 4、求函数的解析式的常用方法：（1）.代入法：如已知2()1,f x x =-求2()f x x +时，有222()()1f x x x x +=+-.（2）.待定系数法：已知()f x 的函数类型，要求()f x 的解析式时，可根据类型设其解析式，确定其系数即可.（3）.拼凑法：已知[()]f g x 的解析式，要求()f x 的解析式时，可从[()]f g x 的解析式中拼凑出“()g x ”，即用()g x 来表示，，再将解析式的两边的()g x 用x 代替即可.（4）.换元法：令()t g x =，在求出()f t 的解析式，然后用x 代替()f t 解析式中所有的t 即可.（5）.方程组法：已知()f x 与[()]f g x 满足的关系式，要求()f x 时，可用()g x 代替两边的所有的x ，得到关于[()]f g x 的方程组，解之即可得出()f x .（6）.赋值法：给自变量赋予特殊值，观察规律，从而求出函数的解析式.（7）.若()f x 与1()f x或()f x -满足某个等式，可构造另一个等式，通过解方程组求解．（8）.应用题求解析式可用待定系数法求解．注意：求函数解析式一定要注意函数的定义域，否则极易出错．【举一反三】1.已知函数()f x 是R 上的单调函数，且对任意实数x 都有()21213xf f x ⎛⎫+= ⎪+⎝⎭，则2(log 3)f =（） A ．1 B ．45 C.12D ．0 【答案】C2. 【2018湖南株洲两校联考】已知函数()2log ,02{ 2,22x x f x x x x<<=+≥，若0＜a ＜b ＜c ，满足f （a ）=f （b ）=f （c ），则()abf c 的范围为__．【答案】（1，2）【解析】作函数()2,02{ 2,22log x x f x x x x<<=+≥的图象如下：0a b c ＜＜＜，满足()()()f a f b f c ==，22log log a b ∴-=，即1ab =，()21122c f c c c +==+ ，()112f c ∴<<，故()()112ab f c f c <=<，故答案为()12，考点2 函数的图象【例4】函数()()21616log x xf x x -=-的图像大致为（）A ．B ．C ．D ．【分析】识图时应从函数性质方面（定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性），函数的极值或者特殊点考虑. 【答案】A【规律方法】(1)根据函数的解析式判断函数的图象，要从定义域、值域、单调性、奇偶性等方面入手，结合给出的函数图象进行全面分析，有时也可结合特殊的函数值进行辅助推断，这是解决函数图象判断类试题的基本方法．(2)研究函数时，注意结合图象，在解方程和不等式等问题时，借助图象能起到十分快捷的作用．(3)作图、识图、用图技巧(a )作图：常用描点法和图象变换法．图象变换法常用的有平移变换、伸缩变换和对称变换．描绘函数图象时，要从函数性质入手，抓住关键点(图象最高点、最低点、与坐标轴的交点等)和对称性进行．(b )识图：从图象与轴的交点及左、右、上、下分布范围、变化趋势、对称性等方面找准解析式与图象的对应关系．(c )用图：图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象结合研究．【举一反三】【2018江西南昌摸底】已知函数()21,0,()={ 3,0ln x x f x x x x +>-+≤，若不等式()20f x mx -+≥恒成立，则实数m 的取值范围为__________．【答案】3⎡⎤--⎣⎦考点3 函数的性质【例5】【2018辽宁两校联考】设是定义在上的奇函数，且其图象关于对称，当时，，则的值为（）A. -1,B. 0C. 1D. 不能确定【分析】利用奇偶性和周期性，结合函数求值即可解出．【答案】C【解析】定义在上的奇函数的图象是关于直线对称，，,即故函数的周期为，，则，故选【例6】可导函数()f x 的导函数为()g x ，且满足：①()101g x x ->-；②()()222f x f x x --=-，记()21a f =-，()1b f ππ=-+，()12c f =-+则,,a b c 的大小顺序为（）A ．a b c >>B ．a c b >> C. b c a >> D ．b a c >> 【分析】本题利用函数的单调性.比较,,a b c 的大小,想到利用函数的单调性,由()1b fππ=-+和()101g x x ->-想到构造函数()()1h x f x x =-+,求导,根据()101g x x ->-利用积商符号法则判断函数()()1h x f x x =-+的单调性,并对()12c f =-+根据()()222f x f x x --=-进行等价变形为(3)31c f =-+,根据函数的单调性即可得出,,a b c 的大小.【答案】C【规律方法】1．函数的单调性：（1）判断函数的单调性应先求定义域；（2）用定义法判断(或证明)函数单调性的一般步骤为：取值—作差—变形—判号—定论，其中变形为关键，而变形的方法有因式分解、配方法等；（3）用导数判断函数的单调性简单快捷，应引起足够的重视．(4)如果是复合函数，应根据复合函数的单调性的判断方法，首先判断两个简单函数的单调性，再根据“同则增，异则减”的法则求解函数的单调区间．（5）单调性的应用主要涉及利用单调性求最值，进行大小比较，解抽象函数不等式，解题时要注意一是函数定义域的限制，二是函数单调性的判定，三是等价转化思想与数形结合思想的运用．如若已知()f x 为偶函数且在[)0,+∞内单调递增，那么对于形如()()f m f n >的不等式中,m n 符号不确定，可转化为()()()()f m f n fm f n m n >⇔>⇔>，可避免分类讨论．2．函数的周期性：（1）判断函数的周期只需证明()()()0f x T f x T +=≠便可证明函数是周期函数，且周期为T ，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．（2）根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T 是函数的周期，则(kT k Z ∈且0)k ≠ 也是函数的周期．2．函数的奇偶性：（1）判断函数的奇偶性首先必须检验函数的定义域是否关于原点对称，然后检验对任意的x 是否有f (－x )＝f (x )或f (－x )＝－f (x )成立，必要时，可对上式作变形处理：f (－x )±f (x )＝0.（2）分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内x 取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据x 的范围取相应的解析式化简，判断f (x )与f (－x )的关系，得出结论，也可以利用图象作判断．【举一反三】已知定义在R 上的奇函数()f x 满足:当0x ≥时，()3f x x =，若不等式()()242f t f m mt ->+对任意实数t 恒成立，则实数m 的取值范围是（）A ．(,-∞B ．() C. ()),0-∞⋃+∞ D ．(),-∞⋃+∞【答案】A考点4 指数函数、对数函数、幂函数【例7】【2018湖南株洲两校联考】设函数f （x ）的定义域为D ，若f （x ）满足条件：存在 [a ，b ]⊆D （a＜b ），使f （x ）在[a ，b ]上的值域也是[a ，b ]，则称为“优美函数”，若函数()()24x f x log t =+为“优美函数”，则t 的取值范围是（） A. 1,4∞⎛⎫+⎪⎝⎭B. ()0,1C. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 10,4⎛⎫⎪⎝⎭【分析】定义新函数的定义域与值域相同，先判定函数的单调性，然后转化为函数方程根的情况，本题的关键也是能否转化为函数根的问题，然后求解. 【答案】D【解析】()()24xf x log t =+为增函数，存在[](),a b D a b ⊆<,使()f x 在[],a b 上的值域也为[],a b ，则()()22log 4{log 4a bt a t b+=+=，即42{42aab bt t +=+=，,a b ∴是方程420x x t -+=的两个不等的根，设2x m =，20m m t ∴-+=有两个不等的实根，且两根都大于0，140{t t =->∴> ，解得104t <<，故答案选D 【例8】已知a R ∈，函数21()log ()f x a x=+. （1）当5a =时，解不等式()0f x >；（2）若关于x 的方程2()log [(4)25]0f x a x a --+-=的解集中恰好有一个元素，求a 的取值范围；（3）设0a >，若对任意1[,1]2t ∈，函数()f x 在区间[,1]t t +上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围.【分析】（1）由21log 50x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，利用得151x +>求解．（2）转化得到()()24510a x a x -+--=，讨论当4a =、3a =时，以及3a ≠且4a ≠时的情况．（3）讨论()f x 在()0,+∞上单调递减．确定函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值之差.得到()2110at a t ++-≥，对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦成立．当3a ≠且4a ≠时，114x a =-，21x =-，12x x ≠．1x 是原方程的解当且仅当110a x +>，即2a >；2x 是原方程的解当且仅当210a x +>，即1a >．于是满足题意的(]1,2a ∈．综上，a 的取值范围为(]{}1,23,4 ．【规律方法】1.对数函数的定义域为{}0x x >，指数函数的值域{}0y y >.2．熟练掌握指数、对数的运算性质以及指对互化；熟练掌握指数函数、对数函数的图象和性质，当底数的范围不确定时要分类讨论.3.注意利用指数函数、对数函数、幂函数的图像灵活运用数形结合思想解题. 【举一反三】【2018河南漯河三模】已知函数()log 1(0,1)a f x x a a =->≠，若1234x x x x <<<，且()()()()1234f x f x f x f x ===，则12341111x x x x +++=（） A. 2 B. 4 C. 8 D. 随a 值变化【答案】A【解析】不妨设1a ＞，则令10a f x log x b =-=（）＞，则1a log x b -= 或1a log x b -=- ；故12341111b b b b x a x a x a x a --=-+=-+=+=+，，，，故22142311211211b bx x a x x a -+=+=--，； 2222212341111222221111b b b b b a x x x x a a a a -+++=+=+=----故，故选A ．考点5 函数的零点【例9】【2018南宁摸底联考】设函数是定义在上的偶函数，且，当时，，若在区间内关于的方程（且）有且只有4个不同的根，则实数的取值范围是（） A.B.C.D.【分析】对于求不同类的两个函数构成的方程，我们常把方程变形为f(x)=g(x)，然后根据y=f(x)与y=g(x)的两个图像交点个数来判断原方程根的个数.如本题把方程变形为，再画出两个函数的图像，根据两个图像有4个交点，求出参数a 的范围.【答案】D【规律方法】1．求()f x 的零点值时，直接令()0f x =解方程，当()f x 为分段函数时，要分段列方程组求解；2．已知()f x 在区间[,]a b 上单调且有零点时，利用()()0f a f b <讨论；3．求()f x 的零点个数时，一般用数形结合法；讨论函数()y f x =与()y g x =的图象交点个数，即方程()()f x g x =的解的个数，一般用数形结合法．4．已知零点存在情况求参数的值或取值范围时，利用方程思想和数形结合思想，构造关于参数的方程或不等式求解．【举一反三】设12,x x 是函数()ln 2(f x x m m =--为常数）的两个零点，则12x x +的值为（） A ．4 B ．2 C ．4- D ．与常数m 有关【答案】A考点6 函数模型及其应用【例10】现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥1111P A BC D -，下部分的形状是正四棱柱1111ABCD A BC D -(如图所示)，并要求正四棱柱的高1PO 的四倍. （1）若16,PO 2,AB m m ==则仓库的容积是多少？（2）若正四棱柱的侧棱长为6m,则当1PO 为多少时，仓库的容积最大？【分析】（1）几何体体积为柱与锥体积之和，需明确柱与锥体积公式区别，分别代入对应公式求解（2）从题目问题出发，以1PO 为自变量建立体积的函数关系式，与(1)相似，先用1PO 分别表示底面正方形周长及柱的高，再利用柱与锥体积公式得，()()32636,063V V V h h h =+=-<<锥柱，最后利用导数求其最值【规律方法】1．给出图象的题目要注意从图象中提取信息，这类题目常常是先求解析式，再讨论有关函数的性质或求最值、解不等式等．2．实际应用问题，要注意将背景中涉及题目解答的部分先行翻译为数学解题语言，并将条件和结论与学过的数学知识方法挂靠，依据相关知识与方法解决．【举一反三】某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产，第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加3万元，该设备每年生产的收入均为21万元，设该设备使用了()*n n N ∈年后，盈利总额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则n 等于（） A ．6 B ．7 C ．8 D ．7或8 【答案】B【解析】盈利总额为21341219(2(1)3)9222n n n n n n --+⨯-⨯=-+-，由于对称轴为416n =，所以当7n =时，取最大值，选B.考点7 导数的运算及其几何意义【例11】【陕西省吴起中学2018届期中】已知函数()()21,f x g x x x==.若直线l 与曲线()(),f x g x 都相切，则直线l 的方程为（）A. 240x y +-=B. 240x y ++=C. 440x y +-=D. 440x y ++=【分析】求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点()00,P x y 及斜率，其求法为：设()00,P x y 是曲线()y f x =上的一点，则以P 的切点的切线方程为：()()000'y y f x x x -=-．若曲线()y f x =在点()()00,P x f x 的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =．【答案】D【规律方法】导数几何意义的应用，需注意以下两点：(1)当曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线垂直于x 轴时，函数在该点处的导数不存在，切线方程是x ＝x 0；(2)注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线．曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程是y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解．【举一反三】已知函数()f x 是奇函数，当0x <时，()()2ln ++-=x x x x f ，则曲线()y f x =在1x =处的切线方程为（）A ．23y x =+B ．23y x =-C ．23y x =-+D ．23y x =-- 【答案】B【解析】设0>x ，则0<-x ，∵()f x 为奇函数，当0x <时，()()2ln ++-=x x x x f ，∴()()[]2ln 2ln -+=+---=--=x x x x x x x f x f ，∴()2ln +='x x f ，∴()21='f 且()11-=f ，∴曲线()y f x =在1x =处的切线方程是23y x =-．故选B ．考点8 导数的应用（单调性、极值、最值）【例12】【四川省内江市2018届第一次模拟】当0x >时，不等式()22131ln 222x a x a x a a +-->-恒成立，则a 的取值范围是A. [)()0,11,⋃+∞B. ()0,+∞C. (](),01,-∞⋃+∞ D. ()(),11,-∞⋃+∞【分析】在恒成立的条件下求得参量的取值范围，通过构造新函数，对新函数求导，然后对参量进行分类讨论，求得在定义域的条件下恒成立时参量的取值范围【答案】A【例13】已知函数()ln xx kf x e+=（k 为常数， 2.71828e = 是自然对数的底数）在点1x =处取极值. （1）求k 的值及函数()f x 的单调区间；（2）设()()'g x xfx =，其中()'f x 为()f x 的导函数，证明：对任意0x >，2()1g x e -<+.【分析】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具.本题就是以含参数k 函数解析式()ln xx kf x e+=为背景,考查的是导数知识在研究函数单调性和极值等方面的综合运用和分析问题解决问题的能力. 本题的第一问是直接求导,运用导数与函数单调性的关系求出单调区间使得问题获解；第二问则利用题设中的条件借助导数这一有效工具进行分析推证,从而使得不等式简捷巧妙获证.【解析】（1）由()ln x x k f x e +=可得()'1ln xk xx f x e --=.而()'10f =，即10k e -=，解得1k =；()'11ln xxx f x e--=，令()'0f x =可得1x =，当01x <<时，()'11ln 0f x x x =-->；当1x >时，()'11ln 0f x x x=--<.于是()f x 在区间()0,1内为增函数；在()1,+∞内为减函数.。

2018年高考数学二轮复习导数讲学案理.doc

回扣3 导数1．导数的几何意义(1)f′(x0)的几何意义：曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，该切线的方程为y －f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)．(2)切点的两大特征：①在曲线y＝f(x)上；②在切线上．2．利用导数研究函数的单调性(1)求可导函数单调区间的一般步骤①求函数f(x)的定义域；②求导函数f′(x)；③由f′(x)＞0的解集确定函数f(x)的单调增区间，由f′(x)<0的解集确定函数f(x)的单调减区间．(2)由函数的单调性求参数的取值范围：①若可导函数f(x)在区间M上单调递增，则f′(x)≥0(x∈M)恒成立；若可导函数f(x)在区间M上单调递减，则f′(x)≤0(x∈M)恒成立；②若可导函数在某区间上存在单调递增(减)区间，f′(x)＞0(或f′(x)<0)在该区间上存在解集；③若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，则I是其单调区间的子集．3．利用导数研究函数的极值与最值(1)求函数的极值的一般步骤①确定函数的定义域；②解方程f′(x)＝0；③判断f′(x)在方程f′(x)＝0的根x0两侧的符号变化：若左正右负，则x0为极大值点；若左负右正，则x0为极小值点；若不变号，则x0不是极值点．(2)求函数f(x)在区间[a，b]上的最值的一般步骤①求函数y＝f(x)在[a，b]内的极值；②比较函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)的大小，最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．4．定积分的三个公式与一个定理(1)定积分的性质：①ʃb a kf(x)d x＝kʃb a f(x)d x；②ʃb a[f1(x)±f2(x)]d x＝ʃb a f1(x)d x±ʃb a f2(x)d x.③ʃb a f(x)d x＝ʃc a f(x)d x＋ʃb c f(x)d x(其中a<c<b)．(2)微积分基本定理一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么ʃb a f(x)d x＝F(b)－F(a)．1．已知可导函数f(x)在(a，b)上单调递增(减)，则f′(x)≥0(≤0)对∀x∈(a，b)恒成立，不能漏掉“＝”，且需验证“＝”不能恒成立；已知可导函数f(x)的单调递增(减)区间为(a，b)，则f′(x)＞0(＜0)的解集为(a，b)．2．f′(x)＝0的解不一定是函数f(x)的极值点．一定要检验在x＝x0的两侧f′(x)的符号是否发生变化，若变化，则为极值点；若不变化，则不是极值点．1．a，b，c依次表示函数f(x)＝2x＋x－2，g(x)＝3x＋x－2，h(x)＝ln x＋x－2的零点，则a，b，c的大小顺序为( )A．c<b<a B．a<b<cC．a<c<b D．b<a<c答案 D解析a，b，c为直线y＝2－x分别与曲线y＝2x，y＝3x，y＝ln x的交点横坐标，从图象可知，b<a<c，故选D.2．若曲线f(x)＝x4－4x在点A处的切线平行于x轴，则点A的坐标为( )A．(－1,2) B．(1，－3)C．(1,0) D．(1,5)答案 B解析对f(x)＝x4－4x，求导得f′(x)＝4x3－4，由在点A处的切线平行于x轴，可得4x3－4＝0，解得x＝1，即点A的坐标为(1，－3)．3．若函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则y ＝f (x )的图象可能为( )答案 C解析根据f ′(x )的符号，f (x )图象应该是先下降后上升，最后下降，排除A ，D ；从适合f ′(x )＝0的点可以排除B ，故选C.4．设曲线f (x )＝－e x－x (e 为自然对数的底数)上任意一点处的切线为l 1，总存在曲线g (x )＝3ax ＋2cos x 上某点处的切线l 2，使得l 1⊥l 2，则实数a 的取值范围为( ) A ．[－1,2] B ．(3，＋∞)C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，13D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，23 答案 D解析由f (x )＝－e x－x ，得f ′(x )＝－e x－1，因为e x＋1＞1，所以1e x ＋1∈(0,1)，由g (x )＝3ax ＋2cos x ，得g ′(x )＝3a －2sin x ，又－2sin x ∈[－2,2]，所以3a －2sin x ∈[－2＋3a,2＋3a ]，要使过曲线f (x )＝－e x －x 上任意一点的切线l 1，总存在过曲线g (x )＝3ax ＋2cos x 上一点处的切线l 2，使得l 1⊥l 2，则⎩⎪⎨⎪⎧－2＋3a ≤0，2＋3a ≥1，解得－13≤a ≤23.5．(2016·四川)已知a 为函数f (x )＝x 3－12x 的极小值点，则a 等于( ) A ．－4 B ．－2 C ．4 D ．2答案 D解析 ∵f (x )＝x 3－12x ，∴f ′(x )＝3x 2－12，令f ′(x )＝0，则x 1＝－2，x 2＝2.当x ∈(－∞，－2)，(2，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增；当x ∈(－2,2)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减， ∴f (x )的极小值点为a ＝2.6．(2016·全国Ⅰ)若函数f (x )＝x －13sin 2x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)上单调递增，则a 的取值范围是( ) A.[－1,1] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，13 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－13 答案 C解析方法一 (特殊值法)不妨取a ＝－1，则f (x )＝x －13sin 2x －sin x ，f ′(x )＝1－23cos 2x －cos x ，但f ′(0)＝1－23－1＝－23<0，不具备在(－∞，＋∞)上单调递增，排除A ，B ，D.故选C. 方法二 (综合法)∵函数f (x )＝x －13sin 2x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)上单调递增，∴f ′(x )＝1－23cos 2x ＋a cos x＝1－23(2cos 2x －1)＋a cos x＝－43cos 2x ＋a cos x ＋53≥0，即a cos x ≥43cos 2x －53在(－∞，＋∞)上恒成立．当cos x ＝0时，恒有0≥－53，得a ∈R ；当0<cos x ≤1时，得a ≥43cos x －53cos x ，令t ＝cos x ，g (t )＝43t －53t 在(0,1]上为增函数，得a ≥g (1)＝－13；当－1≤cos x <0时，得a ≤43cos x －53cos x ，令t ＝cos x ，g (t )＝43t －53t 在[－1,0)上为增函数，得a ≤g (－1)＝13.综上，可得a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13，故选C.7．(2016·全国Ⅰ)函数y ＝2x 2－e |x |在[－2,2]的图象大致为( )答案 D解析 f (2)＝8－e 2＞8－2.82＞0，排除A ；f (2)＝8－e 2<8－2.72<1，排除B ；在x ＞0时，f (x )＝2x 2－e x ，f ′(x )＝4x －e x ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14时，f ′(x )<14×4－e 0＝0，因此f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14上单调递减，排除C ，故选D.8．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值10，则f (2)等于( ) A ．11或18B ．11C ．18D ．17或18 答案 C解析 ∵函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值10，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，∴f (1)＝10，且f ′(1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ＋b ＋a 2＝10，3＋2a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－11.而当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3时，函数在x ＝1处无极值，故舍去．∴f (x )＝x 3＋4x 2－11x ＋16， ∴f (2)＝18.9．若函数f (x )＝x 2－12ln x ＋1在其定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，则实数k 的取值范围是( )A ．[1，＋∞) B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32 C ．[1,2) D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，2 答案 B解析因为f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2x －12x，由f ′(x )＝0，得x ＝12.利用图象可得 ⎩⎪⎨⎪⎧k －1＜12＜k ＋1，k －1≥0，解得1≤k ＜32，故选B.10．已知奇函数f (x )是定义在R 上的可导函数，其导函数为f ′(x )，当x ＞0时，有2f (x )＋xf ′(x )＞x 2，则不等式(x ＋2 018)2f (x ＋2 018)＋4f (－2)＜0的解集为( ) A ．(－∞，－2 016) B ．(－2 016，－2 012) C ．(－∞，－2 018) D ．(－2 016,0)答案 A解析由题观察联想可设g (x )＝x 2f (x )，g ′(x )＝2xf (x )＋x 2f ′(x )，结合条件x >0,2f (x )＋xf ′(x )＞x 2，得g ′(x )＝2xf (x )＋x 2f ′(x )＞0，g (x )＝x 2f (x )在(0，＋∞)上为增函数．又f (x )为R 上的奇函数，所以g (x )为奇函数，所以g (x )在(－∞，0)上为增函数．由(x ＋2 018)2f (x ＋2 018)＋4f (－2)＜0，可得(x ＋2 018)2f (x ＋2 018)＜4f (2)，即g (x ＋2 018)＜g (2)，所以x ＋2 018＜2，故x ＜－2 016，故选A. 11．ʃ10(1－x 2＋x ＋x 3)d x ＝________. 答案π＋34解析因为ʃ10(1－x 2＋x ＋x 3)d x ＝ʃ101－x 2d x ＋ʃ10(x ＋x 3)d x ， ʃ10(x ＋x 3)d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋14x 410＝34，ʃ101－x 2d x 等于以原点为圆心，以1为半径的圆的面积的四分之一，即为π4，所以ʃ10(1－x 2＋x ＋x 3)d x ＝π＋34. 12．函数f (x )＝x 3－3a 2x ＋a (a >0)的极大值是正数，极小值是负数，则a 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎪⎫22，＋∞ 解析 f ′(x )＝3x 2－3a 2＝3(x ＋a )(x －a )，由f ′(x )＝0，得x ＝±a ，当－a <x <a 时，f ′(x )<0，函数单调递减；当x >a 或x <－a 时，f ′(x )>0，函数单调递增． ∴f (－a )＝－a 3＋3a 3＋a >0且f (a )＝a 3－3a 3＋a <0，解得a >22.∴a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞. 13．已知曲线C ：y ＝f (x )＝x 3－ax ＋a ，若过曲线C 外一点A (1,0)引曲线C 的两条切线，它们的倾斜角互补，则a 的值为________．答案278解析设切点坐标为(t ，t 3－at ＋a )．由题意知，f ′(x )＝3x 2－a ，切线的斜率为k ＝y ′|x ＝t ＝3t 2－a ，①所以切线方程为y －(t 3－at ＋a )＝(3t 2－a )(x －t )．② 将点(1,0)代入②式，得－(t 3－at ＋a )＝(3t 2－a )(1－t )，解得t ＝0或t ＝32.分别将t ＝0和t ＝32代入①式，得k ＝－a 和k ＝274－a ，由题意它们互为相反数，得a ＝278.14．已知函数f (x )＝x －1x ＋1，g (x )＝x 2－2ax ＋4，若对任意x 1∈[0,1]，存在x 2∈[1,2]，使f (x 1)≥g (x 2)，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫94，＋∞ 解析由于f ′(x )＝1＋1(x ＋1)2＞0，因此函数f (x )在[0,1]上单调递增，所以当x ∈[0,1]时，f (x )min ＝f (0)＝－1. 根据题意可知，存在x ∈[1,2]，使得g (x )＝x 2－2ax ＋4≤－1，即x 2－2ax ＋5≤0，即a ≥x 2＋52x 成立，令h (x )＝x 2＋52x，则若存在x ∈[1,2]，使a ≥h (x )成立，只需使a ≥h (x )min ，又函数h (x )＝x 2＋52x在[1,2]上单调递减，所以h (x )min ＝h (2)＝94，故只需a ≥94.所以a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫94，＋∞. 15．设函数f (x )＝x e kx(k ≠0)．(1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程； (2)求函数f (x )的单调区间；(3)若函数f (x )在区间(－1,1)上单调递增，求k 的取值范围．解 (1)由题意可得f ′(x )＝(1＋kx )e kx，f ′(0)＝1，f (0)＝0，故曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为x －y ＝0. (2)由f ′(x )＝(1＋kx )e kx＝0，得x ＝－1k(k ≠0)，若k ＞0，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1k 时，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k，＋∞时，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增；若k ＜0，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1k 时，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k，＋∞时，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减．所以当k >0时，f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k，＋∞，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1k ；当k <0时，f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1k ，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k，＋∞.(3)由(2)知，若k ＞0，则当且仅当－1k≤－1，即0<k ≤1时，函数f (x )在区间(－1,1)上单调递增；若k ＜0，则当且仅当－1k≥1，即－1≤k <0时，函数f (x )在区间(－1,1)上单调递增．综上可知，当函数f (x )在区间(－1,1)上单调递增时，k 的取值范围是[－1,0)∪(0,1]．16．已知函数f (x )＝ax e x ，其中a ＞0，且函数f (x )的最大值是1e. (1)求实数a 的值；(2)若函数g (x )＝ln f (x )－b 有两个零点，求实数b 的取值范围；(3)若对任意的x ∈(0,2)，都有f (x )＜1k ＋2x －x 2成立，求实数k 的取值范围．解 (1)由题意得f ′(x )＝a (1－x )e x ，因为a ＞0，所以当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )＞0，f (x ) 在(－∞，1)上单调递增；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＜0，f (x )在(1，＋∞)上单调递减，则f (x )max ＝f (1)＝a e ＝1e，所以a ＝1. (2)由题意知，函数g (x )＝ln f (x )－b ＝ln x －x －b (x ＞0)，所以g ′(x )＝1x －1＝1－x x，易得函数g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以g (x )max ＝g (1)＝－1－b ，依题意知，－1－b ＞0，则b ＜－1，所以实数b 的取值范围是(－∞，－1)．(3)由题意知，f (x )＝x e x ＜1k ＋2x －x 2对任意x ∈(0,2)都成立，所以k ＋2x －x 2＞0，即k ＞x 2－2x 对任意x ∈(0,2)都成立，从而k ≥0.又不等式整理可得k ＜e x x＋x 2－2x ，令h (x )＝e x x＋x 2－2x ，所以令h ′(x )＝e x (x －1)x 2＋2(x －1) ＝(x －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫e xx 2＋2＝0，得x ＝1，当x ∈(1,2)时，h ′(x )＞0，函数h (x )在(1,2)上单调递增，同理，函数h (x )在(0,1)上单调递减， h (x )min ＝h (1)＝e －1.依题意得k ＜h (x )min ＝h (1)＝e －1，综上所述，实数k 的取值范围是[0，e －1)．。

(新课标版)2018高考高考数学二轮复习专题1.2 函数与导数教学案文

(新课标版)2018高考高考数学二轮复习专题1.2 函数与导数教学案文一．考场传真1. 【2017课标1，文8】函数sin21cos xy x=-的部分图像大致为A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由题意知，函数sin 21cos xy x=-为奇函数，故排除B ；当x π=时，0y =，排除D ；当1x =时，sin 201cos 2y =>-，排除A ．故选C ．2．【2017课标1，文9】已知函数()ln ln(2)f x x x =+-，则A ．()f x 在（0，2）单调递增B ．()f x 在（0，2）单调递减C ．y =()f x 的图像关于直线x =1对称D ．y =()f x 的图像关于点（1，0）对称【答案】C误，故选C ．3．【2017山东，文9】设()()121,1x f x x x <<=-≥⎪⎩,若()()1f a f a =+,则1f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭A. 2B. 4C. 6D. 8 【答案】C【解析】由1x ≥时()()21f x x =-是增函数可知,若1a ≥,则()()1f a f a ≠+,所以01a <<,由()(+1)f a f a =得2(11)a =+-,解得14a =,则1(4)2(41)6f f a ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭,故选C. 4．【2017课标II ，文8】函数2()ln(28)f x x x =-- 的单调递增区间是 A.(,2)-∞- B. (,1)-∞- C. (1,)+∞ D. (4,)+∞ 【答案】D【解析】函数有意义，则：2280x x --> ，解得：2x <- 或4x > ，结合二次函数的单调性、对数函数的单调性和复合函数同增异减的原则可得函数的单调增区间为()4,+∞ .故选D.5．【2017课标1，文14】曲线21y x x=+在点（1，2）处的切线方程为______________．【答案】1y x =+【解析】设()y f x =,则21()2f x x x'=-，所以(1)211f '=-=,所以在(1,2)处的切线方程为21(1)y x -=⨯-，即1y x =+.6．【2017课标1，文21】已知函数()f x =e x (e x ﹣a )﹣a 2x ．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()0f x ≥，求a 的取值范围．()0f x '>，故()f x 在(,ln())2a -∞-单调递减，在(ln(),)2a-+∞单调递增．（2）①若0a =，则2()xf x e =，所以()0f x ≥．②若0a >，则由（1）得，当ln x a =时，()f x 取得最小值，最小值为2(ln )ln f a a a =-．从而当且仅当2ln 0a a -≥，即1a ≤时，()0f x ≥．③若0a <，则由（1）得，当ln()2ax =-时，()f x 取得最小值，最小值为23(ln())[ln()]242a a f a -=--．从而当且仅当23[ln()]042a a --≥，即342e a ≥-时()0f x ≥．综上，a 的取值范围为34[2e ,1]-．7．【2017课标II ，文21】设函数2()(1)x f x x e =-. （1）讨论()f x 的单调性；（2）当0x ≥时，()1f x ax ≤+，求a 的取值范围.8．【2017课标3，文21】已知函数()f x =ln x +ax 2+(2a +1)x ．（1）讨论()f x 的单调性；（2）当a ﹤0时，证明3()24f x a≤--．二．高考研究【考纲解读】1.考纲要求1．函数：（1）了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念.（2）在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图像法、列表法、解析法）表示函数.（3）了解简单的分段函数，并能简单应用（函数分段不超过三段）.（4）理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；了解函数奇偶性的含义.（5）会运用基本初等函数的图像分析函数的性质.2．指数函数：（1）了解指数函数模型的实际背景.（2）理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.（3）理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图像通过的特殊点，会画底数为2，3，10，1/2，1/3的指数函数的图像．（4）体会指数函数是一类重要的函数模型.3．对数函数：（1）理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.（2）理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图像通过的特殊点，会画底数为2，10，1/2的对数函数的图像．（3）体会对数函数是一类重要的函数模型；（4）了解指数函数与对数函数（）互为反函数.4．幂函数：（1）了解幂函数的概念.（2）结合函数的图像，了解它们的变化情况.5．函数与方程：结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数.6．函数模型及其应用：（1）了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.（2）了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用.7．导数及其应用：（1）了解导数概念的实际背景.（2）通过函数图像直观理解导数的几何意义.（3）根据导数的定义求函数(c为常数)的导数.（4）能利用下面给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如f（ax+b）的复合函数）的导数. 常见基本初等函数的导数公式和常用导数运算公式：(C为常数)；, n∈N+；；; ;(a>0,且a≠1); ; (a>0,且a≠1).常用的导数运算法则：法则1 .法则2.法则3 .（5）了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）.（6）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）.（7）会用导数解决某些实际问题..（8）了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念.（9）了解微积分基本定理的含义.2.命题规律高考对函数的考查以选择或填空题形式呈现，考查对数函数、含无理式的函数的定义域；以二次函数的图象与性质为主，结合函数的性质综合考查分析与解决问题的能力，函数的图象与性质历来是高考的重点，也是热点，对于函数图象的考查体现在两个方面：一是识图；二是用图，即通过函数的图象，利用数形结合的思想方法解决问题；对于函数的性质，主要考查函数单调性、奇偶性、周期性；函数的奇偶性、周期性往往与分段函数、函数与方程结合，考查函数的求值与计算；考查数形结合解决问题的能力等．每年都有函数试题，而且常考常新．以基本函数为背景的应用题和综合题是高考命题的新趋势．高考对导数的考查，主要是考查导数的概念、计算、几何意义以及导数在研究函数中的应用；从考查形式上看，基本上是以一道小题和一道大题形式出现，其中导数的几何意义考查，试题难度较低，有选择题、填空题，有时作为解答题中的关键一步,常常与直线的斜率、倾斜角、直线的方程、三角函数等相结合.导数的应用涉及的知识点多，综合性强，要么直接求极值或最值，要么利用极值或最值求参数的取值范围，常与函数的单调性，函数的零点，不等式及实际问题，形成知识的交汇问题．选择题、填空题往往侧重于利用导数确定函数的单调性和极值，一般属于低档题目；解答题侧重于导数与函数、解析几何、不等式、数列等知识的综合应用，一般难度较大，属于中高档题，综合考查函数方程思想及数学应用意识，考查转化与化归思想、分类讨论思想及数形结合思想的理解运用；考查分析与解决问题的能力、应用意识及创新能力. 3．学法导航1.已知函数的解析式，判断其图象的关键是由函数解析式明确函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等，以及函数图象上的特殊点，根据这些性质对函数图象进行具体分析判断.2.(1)运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质.(2)图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象数形结合研究.3.指数函数、对数函数的图象和性质受底数a 的影响，解决与指数、对数函数特别是与单调性有关的问题时，首先要看底数a 的范围.4.利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化，其中关键是确定切点的坐标.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解.5．函数的零点、方程的实根、函数图象与x 轴的交点的横坐标是三个等价的概念，解决这类问题可以通过函数的单调性、极值与最值，画出函数图象的变化趋势，数形结合求解.一．基础知识整合基础知识： 1．函数及其图象(1)定义域、值域和对应关系是确定函数的三要素，是一个整体，研究函数问题时务必遵循“定义域优先”的原则．(2)对于函数的图象要会作图、识图和用图，作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换和对称变换． 2．函数的性质(1)单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质．证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、变形、判断符号和下结论．复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则；(2)奇偶性：奇偶性是函数在定义域上的整体性质．偶函数的图象关于y轴对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相反的单调性；奇函数的图象关于坐标原点对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相同的单调性；(3)周期性：周期性也是函数在定义域上的整体性质．若函数满足f (a ＋x )＝f (x )(a 不等于0)，则其周期T ＝ka (k ∈Z )．3．函数的零点与方程的根：(1)函数的零点与方程根的关系：函数F (x )＝f (x )－g (x )的零点就是方程f (x )＝g (x )的根，即函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝g (x )的图象交点的横坐标．(2)零点存在性定理：如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f (a )·f (b )<0，那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )使得f (c )＝0, 这个c 也就是方程f (x )＝0的根．注意以下两点：①满足条件的零点可能不唯一；②不满足条件时，也可能有零点.4．导数的几何意义：(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)就是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率，即k ＝f ′(x 0)．(2)曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．5．函数的单调性与导数：如果已知函数在某个区间上单调递增(减)，则这个函数的导数在这个区间上大(小)于或等于零恒成立．在区间上离散点处导数等于零，不影响函数的单调性，如函数y ＝x ＋sin x . 6．函数的导数与极值：对可导函数而言，某点导数等于零是函数在该点取得极值的必要条件．例如f (x )＝x 3，虽有f ′(0)＝0，但x ＝0不是极值点，因为f ′(x )≥0恒成立，f (x )＝x 3在(－∞，＋∞)上是单调递增函数，无极值． 7．闭区间上函数的最值在闭区间上连续的函数，一定有最大值和最小值，其最大值是区间的端点处的函数值和在这个区间内函数的所有极大值中的最大者，最小值是区间端点处的函数值和在这个区间内函数的所有极小值中的最小者. 8．利用定积分求曲边梯形的面积（1）由直线x=a ，x=b a b <（），x 轴及一条曲线()y f x =(()0)f x ≥围成的曲边梯形的面积()baS f x dx =⎰，若'()()F X f x =，则(-S F b F =）（a).（2）推广：由直线x=a ，x=b a b <（），()y f x =和y=g(x ）（()f x >g(x ））围成的平面图形的面积为[()()]baS f x g x dx =-⎰二．高频考点突破考点1 函数的定义及其表示【例1】函数()f x =）A ．[0 )+∞，B ．( 2]-∞， C. []0 2， D ．[0 2)，【分析】()f x 的定义域就是函数解析式有意义的自变量的取值范围. 【答案】D【例2】【2018陕西西安长安区质检】已知(),0{ ,0x lgx x f x a b x ->=+≤且()()02,14f f =-=，则()()2f f -= A. -1 B. 2 C. 3 D. -3【分析】求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现(())f f a 的形式时，应从内到外依次求值.．【答案】A【解析】∵(),0{ ,0x lgx x f x a b x ->=+≤且且()()02,14f f =-=， ()()0102{ 14f a b f a b -+∴-+＝＝＝＝，解得113a b ==，， ∴(),0{ 11,03x lgx x f x x ->=⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭，2121102101013f f f f lg -∴-=+=-==-=-（）（），（（））（）．故选：A ．【例3】已知函数()f x 的图象如图所示，则()f x 的解析式可能是（）A ．()3121f x x x =-- B ．()3121f x x x =+- C ．()3121f x x x =-+ D ．()3121f x x x =---。

高三二轮学案函数与方程教师版

函数与方程的思想一、知识要点：1．函数与方程思想的含义(1)函数的思想函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决．经常利用的性质是单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等．(2)方程的思想方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题得以解决．方程的教学是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题．方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系．2．函数思想与方程思想的联系函数思想与方程思想是密切相关的，如函数问题可以转化为方程问题来解决，方程问题也可以转化为函数问题加以解决，如解方程f(x)＝0，就是求函数y＝f(x)的零点，解不等式f(x)>0(或f(x)<0)，就是求函数y＝f(x)的正(或负)区间，再如方程f(x)＝g(x)的解的问题可以转化为函数y＝f(x)与y＝g(x)的交点问题，也可以转化为函数y＝f(x)－g(x)与x 轴的交点问题，方程f(x)＝a有解，当且仅当a属于函数f(x)的值域，函数与方程的这种相互转化关系十分重要．二、典型例题角度一求最值或参数的范围[例1]长度都为2的向量OA，OB的夹角为60°，点C在以O为圆心的圆弧AB(劣弧)上，OC＝m OA＋n OB，则m＋n的最大值是________．[解析]建立平面直角坐标系，设向量OA＝(2,0)，向量OB＝(1，3)．设向量OC＝(2cos α，2sin α)，0≤α≤π3.由OC＝m OA＋n OB，得(2cos α，2sin α)＝(2m＋n，3n)，即2cos α＝2m＋n,2sin α＝3n，解得m ＝cos α－13sin α，n ＝23sin α. 故m ＋n ＝cos α＋13sin α＝233sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3∈⎣⎡⎦⎤1，233. [答案]2331．(1)若a ，b 是正数，且满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围为________． (2)如果方程cos 2x －sin x ＋a ＝0在⎝⎛⎦⎤0，π2上有解，则a 的取值范围为________．解析：(1)法一：(看成函数的值域) ∵ab ＝a ＋b ＋3，a ≠1，∴b ＝a ＋3a －1.而b >0，∴a ＋3a －1>0.即a >1或a <－3，又a >0， ∴a >1，故a －1>0.∴ab ＝a ·a ＋3a －1＝(a －1)2＋5(a －1)＋4a －1＝(a －1)＋4a －1＋5≥9.当且仅当a －1＝4a －1，即a ＝3时取等号．∴ab 的取值范围是[9，＋∞)．法二：若设ab ＝t ，则a ＋b ＝t －3，∴a ，b 可看成方程x 2－(t －3)x ＋t ＝0的两个正根．从而有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(t －3)2－4t ≥0，a ＋b ＝t －3>0，ab ＝t >0，即⎩⎪⎨⎪⎧t ≤1或t ≥9，t >3，t >0，解得t ≥9，即ab ≥9.∴ab 的取值范围是[9，＋∞)．法三：(看成不等式的解集) ∵a ，b 为正数，∴a ＋b ≥2ab ，又ab ＝a ＋b ＋3， ∴ab ≥2ab ＋3. 即(ab )2－2ab －3≥0，解得ab ≥3或ab ≤－1(舍去)， ∴ab ≥9.即ab 的取值范围是[9，＋∞)． (2)把方程变形为a ＝－cos 2x ＋sin x . 设f (x )＝－cos 2x ＋sin x ，x ∈⎝⎛⎦⎤0，π2. 显然当且仅当a 属于f (x )的值域时，a ＝f (x )有解． f (x )＝－(1－sin 2x )＋sin x ＝⎝⎛⎭⎫sin x ＋122－54，且由x ∈⎝⎛⎦⎤0，π2知sin x ∈(0,1]．易求得f (x )的值域为(－1,1]，故a 的取值范围是(－1,1]．答案：(1)[9，＋∞) (2)(－1,1]角度二解决图像交点或方程根等问题[例2] 设函数f (x )＝1x ，g (x )＝－x 2＋bx ，若y ＝f (x )的图像与y ＝g (x )的图像有且仅有两个不同的公共点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则下列判断正确的是( )A ．x 1＋x 2>0，y 1＋y 2>0B ．x 1＋x 2>0，y 1＋y 2<0C ．x 1＋x 2<0，y 1＋y 2>0D ．x 1＋x 2<0，y 1＋y 2<0[解] 由于函数y ＝f (x )的图像在一、三象限且关于坐标原点对称，函数y ＝g (x )的图像过坐标原点，结合函数图像可知点A ，B 一定只能一个在第一象限、另一个在第三象限，即x 1x 2<0，由于y 1＋y 2＝1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2，故x 1＋x 2，y 1＋y 2一定异号．问题即为方程－x 2＋bx ＝1x 仅有两个不同的实根，即方程x 3－bx 2＋1＝0有一个二重根、一个单根．根据方程根的理论，如果x 1是方程x 3－bx 2＋1＝0的二重根，x 2为一个单根，则x 3－bx 2＋1＝(x －x 1)2(x －x 2)＝x 3－(2x 1＋x 2)x 2＋(x 21＋2x 1x 2)x －x 21x 2，这个等式对任意x 恒成立，比较等式两端x 的系数可得－x 21x 2＝1，则x 2<0，且x 21＋2x 1x 2＝0，即x 1＋2x 2＝0，即x 1＋x 2＝－x 2>0，所以x 1＋x 2>0，y 1＋y 2<0.[答案] B2．已知方程9x －2·3x ＋(3k －1)＝0有两个实根，则实数k 的取值范围为________．解析：令3x ＝t >0，则方程化为t 2－2t ＋(3k －1)＝0(t >0)(*)，要使原方程有两个实根，方程(*)必须有两个正根，∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝22－4(3k －1)≥0，t 1·t 2＝3k －1>0，t 1＋t 2＝2>0，解得13<k ≤23.故实数k 的取值范围是⎝⎛⎦⎤13，23. 答案：⎝⎛⎦⎤13，23角度三函数与方程思想在不等式中的应用[例3] (2013·郑州模拟)已知函数f (x )＝ln x －14x ＋34x －1，g (x )＝－x 2＋2bx －4，若对任意x 1∈(0,2)，x 2∈[1,2]，不等式f (x 1)≥g (x 2)恒成立，求实数b 的取值范围．[解] 问题等价于f (x )min ≥g (x )max .f (x )＝ln x －14x ＋34x －1，所以f ′(x )＝1x －14－34x 2＝4x －x 2－34x 2，由f ′(x )>0得x 2－4x ＋3<0，解得1<x <3，故函数f (x )的单调递增区间是(1,3)，单调递减区间是(0,1)和(3，＋∞)，故在区间(0,2)上，x ＝1是函数的极小值点，这个极小值点是唯一的，故也是最小值点，所以f (x )min ＝f (1)＝－12.由于函数g (x )＝－x 2＋2bx －4，x ∈[1,2]．当b <1时，g (x )max ＝g (1)＝2b －5；当1≤b ≤2时，g (x )max ＝g (b )＝b 2－4；当b >2时，g (x )max ＝g (2)＝4b －8.故问题等价于⎩⎪⎨⎪⎧ b <1，－12≥2b －5或⎩⎪⎨⎪⎧1≤b ≤2，－12≥b 2－4或 ⎩⎪⎨⎪⎧b >2，－12≥4b －8. 解第一个不等式组得b <1，解第二个不等式组得1≤b ≤142，第三个不等式组无解．综上所述，b 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，142.3．设f (x )＝ln x ＋x －1，证明： (1)当x >1时，f (x )<32(x －1)；(2)当1<x <3时，f (x )<9(x －1)x ＋5.证明：(1)法一：记g (x )＝ln x ＋x －1－32(x －1)，则当x >1时，g ′(x )＝1x ＋12x －32<0.又g (1)＝0，故g (x )<0，即f (x )<32(x －1)．法二：由均值不等式，当x >1时，2x <x ＋1，故x <x 2＋12. ①令k (x )＝ln x －x ＋1，则k (1)＝0，k ′(x )＝1x －1<0，故k (x )<0，即ln x <x －1. ② 由①②得，当x >1时，f (x )<32(x －1)．(2)法一：记h (x )＝f (x )－9(x －1)x ＋5，当1<x <3时，由(1)得h ′(x )＝1x ＋12x －54(x ＋5)2＝2＋x 2x －54(x ＋5)2<x ＋54x －54(x ＋5)2＝(x ＋5)3－216x 4x (x ＋5)2.令l (x )＝(x ＋5)3－216x,1<x <3，则l ′(x )＝3(x ＋5)2－216<0，因此l (x )在(1,3)内是递减函数，又由l (1)＝0，得l (x )<0，所以h ′(x )<0. 因此h (x )在(1,3)内是递减函数，又由h (1)＝0，得h (x )<0.于是当1<x <3时，f (x )<9(x －1)x ＋5.法二：记h (x )＝(x ＋5)f (x )－9(x －1)，则当1<x <3时，由(1)得h ′(x )＝f (x )＋(x ＋5)f ′(x )－9 <32(x －1)＋(x ＋5)⎝⎛⎭⎫1x ＋12x －9 ＝12x [3x (x －1)＋(x ＋5)(2＋x )－18x ] <12x ⎣⎡⎦⎤3x (x －1)＋(x ＋5)⎝⎛⎭⎫2＋x 2＋12－18x ＝ 14x(7x 2－32x ＋25)<0，因此h (x )在(1,3)内单调递减，又h (1)＝0，所以h (x )<0，即f (x )<9(x －1)x ＋5.角度四函数与方程思想在数列中的应用[例4] 若数列{a n }的通项公式为a n ＝83×⎝⎛⎭⎫18n －3×⎝⎛⎭⎫14n ＋⎝⎛⎭⎫12n (其中n ∈N *)，且该数列中最大的项为a m ，则m ＝________.[解析] 令x ＝⎝⎛⎭⎫12n ，则0<x ≤12. 构造f (x )＝83x 3－3x 2＋x ，x ∈⎝⎛⎦⎤0，12，所以f ′(x )＝8x 2－6x ＋1.令f ′(x )＝0，解得x 1＝14，x 2＝12，所以f (x )在⎝⎛⎦⎤0，14上为增函数，在⎝⎛⎦⎤14，12上为减函数．所以f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫14，即当x ＝14时，f (x )最大．所以当n ＝2时，a n 取得最大值，即m ＝2. [答案] 24．(2013·全国高考)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 22，且S 1，S 2，S 4成等比数列，求{a n }的通项公式．解：设{a n }的公差为d .由S 3＝a 22得3a 2＝a 22，故a 2＝0或a 2＝3. 由S 1，S 2，S 4成等比数列得S 22＝S 1S 4.又S 1＝a 2－d ，S 2＝2a 2－d ，S 4＝4a 2＋2d ，故(2a 2－d )2＝(a 2－d )(4a 2＋2d )．若a 2＝0，则d 2＝－2d 2，所以d ＝0，此时S n ＝0，不合题意；若a 2＝3，则(6－d )2＝(3－d )(12＋2d )，解得d ＝0或d ＝2，符合题意．因此{a n }的通项公式为a n ＝3或a n ＝2n －1.角度五函数与方程思想在解析几何中的应用[例5] 椭圆C 的中点为坐标原点O ，焦点在y 轴上，短轴长为2，离心率为22，直线l 与y 轴交于点P (0，m )，与椭圆C 交于相异两点A ，B ，且AP ＝3PB (1)求椭圆C 的方程； (2)求m 的取值范围．[解] (1)设椭圆C 的方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，设c >0，c 2＝a 2－b 2，由题意，知2b ＝2，c a ＝22，所以a ＝1，b ＝c ＝22.故椭圆C 的方程为y 2＋x 212＝1，即y 2＋2x 2＝1.(2)设直线l 的方程y ＝kx ＋m (k ≠0)，l 与椭圆C 的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，2x 2＋y 2＝1，得(k 2＋2)x 2＋2kmx ＋(m 2－1)＝0， Δ＝(2km )2－4(k 2＋2)(m 2－1)＝4(k 2－2m 2＋2)>0，(*) x 1＋x 2＝－2km k 2＋2，x 1x 2＝m 2－1k 2＋2.因为AP ＝3PB ，所以－x 1＝3x 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2x 2，x 1x 2＝－3x 22. 则3(x 1＋x 2)2＋4x 1x 2＝0，即3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2km k 2＋22＋4·m 2－1k 2＋2＝0，整理得4k 2m 2＋2m 2－k 2－2＝0，即k 2(4m 2－1)＋(2m 2－2)＝0，当m 2＝14时，上式不成立；当m 2≠14时，k 2＝2－2m 24m 2－1，由(*)式，得k 2>2m 2－2，又k ≠0，所以k 2＝2－2m 24m 2－1>0，解得－1<m <－12或12<m <1，即所求m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－1，－12∪⎝⎛⎭⎫12，1.5．(2013·西城模拟)如图，椭圆C ：x 2＋y 2m＝1(0<m <1)的左顶点为A ，M 是椭圆C 上异于点A 的任意一点，点P 与点A 关于点M 对称．(1)若点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫95，435，求m 的值；(2)若椭圆C 上存在点M ，使得OP ⊥OM ，求m 的取值范围．解：(1)依题意，M 是线段AP 的中点，因为A (－1,0)，P ⎝⎛⎭⎫95，435，所以点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫25，235.由点M 在椭圆C 上，所以425＋1225m ＝1，解得m ＝47.(2)设M (x 0，y 0)，则x 20＋y 20m＝1，且－1<x 0<1.①因为M 是线段AP 的中点，所以P (2x 0＋1,2y 0)．因为OP ⊥OM ，所以x 0(2x 0＋1)＋2y 20＝0.②由①②消去y 0，整理得m ＝2x 20＋x 02x 20－2，所以m ＝1＋12(x 0＋2)＋6x 0＋2－8≤12－34，当且仅当x 0＝－2＋3时，上式等号成立，所以m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，12－34.应用函数与方程思想解决问题时应注意以下五个方面的思考和切入(1)函数与不等式的相互转化．对函数y ＝f (x )，当y >0时，就化为不等式f (x )>0，借助于函数的图像和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式．(2)数列的通项与前n 项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要．(3)在三角函数求值中，把所求的量看作未知量，其余的量通过三角函数关系化为未知量的表达式，那么问题就能化为未知量的方程来解．(4)解析几何中的许多问题，如直线与二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决．这都涉及二次方程与二次函数的有关理论．(5)立体几何中有关线段的长、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决．[数学思想专练(一)]一、选择题1．(2013·青岛模拟)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1,2S 2,3S 3成等差数列，则数列{a n }的公比为( )A.12B.13C.25D.49解析：选B 设等比数列的首项为a 1，公比为q ，则S 1＝a 1，S 2＝a 1＋a 2＝a 1＋a 1q ，S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2.由S 1,2S 2,3S 3成等差数列，得2×2S 2＝S 1＋3S 3，即4(a 1＋a 1q )＝a 1＋3(a 1＋a 1q ＋a 1q 2)，可得3q 2－q ＝0，得q ＝0或q ＝13，因为q ≠0，所以q ＝13.2．若a >1，则双曲线x 2a 2－y 2(a ＋1)2＝1的离心率e 的取值范围是( )A ．(1，2)B ．(2，5)C ．[2，5]D ．(3，5)解析：选B e 2＝⎝⎛⎭⎫c a 2＝a 2＋(a ＋1)2a 2＝1＋⎝⎛⎭⎫1＋1a 2，因为1a 是减函数，所以当a >1时，0<1a<1，所以2<e 2<5，即2<e < 5. 3．已知a ∈[－1,1]，不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a >0恒成立，则x 的取值范围为( ) A ．(－∞，2)∪(3，＋∞) B ．(－∞，1)∪(2，＋∞) C ．(－∞，1)∪(3，＋∞)D ．(1,3)解析：选C 把不等式的左端看成关于a 的一次函数，记f (a )＝(x －2)a ＋(x 2－4x ＋4)，则f (a )>0对于任意的a ∈[－1,1]恒成立，易知只需f (－1)＝x 2－5x ＋6>0且f (1)＝x 2－3x ＋2>0即可，联立方程并解得x <1或x >3.4．若2x ＋5y ≤2－y ＋5－x ，则有( ) A ．x ＋y ≥0B ．x ＋y ≤0C ．x －y ≤0D ．x －y ≥0 解析：选B 原不等式可化为2x －5－x ≤2－y －5y ，构造函数y ＝2x －5－x ，其为R 上的增函数，所以有x ≤－y ，即x ＋y ≤0.5.如图，A 是单位圆与x 轴的交点，点P 在单位圆上，∠AOP ＝θ(0<θ<π)，OQ ＝OA ＋OP ，四边形OAQP 的面积为S ，当OA ·OP ＋S 取得最大值时θ的值为( )A.π6B.π4C.π3D.π2解析：选B OA ·OP ＋S ＝|OA |·|OP |cos θ＋|OA |·|OP |sin θ＝cos θ＋sin θ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4，当θ＝π4时，OA ·OP ＋S 取得最大值． 6．(2013·西安模拟)已知函数f (x )＝cos x (x ∈(0,2π))有两个不同的零点x 1，x 2，且方程f (x )＝m 有两个不同的实根x 3，x 4.若把这四个数按从小到大的排列构成等差数列，则实数m 的值为( )A.12B ．－12 C.32 D ．－32解析：选D 假设方程f (x )＝m 的两个实根x 3<x 4.由函数f (x )＝cos x (x ∈(0,2π))的零点为π2，3π2，又四个数按从小到大排列构成等差数列，可得π2<x 3<x 4<3π2，由题意得x 3＋x 4＝π2＋3π2＝2π①，2x 3＝π2＋x 4②，则由①②可得x 3＝5π6，所以m ＝cos 5π6＝－32. 二、填空题7．若方程sin 2x ＋2sin x ＋a ＝0有解，则实数a 的取值范围是________．解析：令f (x )＝sin 2x ＋2sin x ，则f (x )的值域是[－1,3]，因为方程sin 2x ＋2sin x ＋a ＝0一定有解，所以－1≤－a ≤3，所以实数a 的取值范围是[－3,1]．答案：[－3,1]8．已知数列{a n }是递增数列，且对于任意的n ∈N *，a n ＝n 2＋λn 恒成立，则实数λ的取值范围是________．解析：由{a n }是递增数列，得a n <a n ＋1对n ∈N *恒成立，即n 2＋λn <(n ＋1)2＋λ(n ＋1)，整理得λ>－(2n ＋1)．而－(2n ＋1)≤－3，所以λ>－3.答案：(－3，＋∞)9．设f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x <0时，f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0，且g (－3)＝0，则不等式f (x )g (x )<0的解集是________．解析：设F (x )＝f (x )g (x )，由于f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，得F (－x )＝f (－x )·g (－x )＝－f (x )g (x )＝－F (x )，即F (x )为奇函数．又当x <0时，F ′(x )＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0，所以x <0时，F (x )为增函数．因为奇函数在对称区间上的单调性相同，所以x >0时，F (x )也是增函数．因为F (－3)＝f (－3)g (－3)＝0＝－F (3)．所以F (x )<0的解集是(－∞，－3)∪(0,3)(如图)．答案：(－∞，－3)∪(0,3)三、解答题10．(2013·贵阳模拟)已知公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 7＝70，且a 1，a 2，a 6成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2S n ＋48n，数列{b n }的最小项是第几项，并求出该项的值．解：(1)设公差为d ，则有⎩⎪⎨⎪⎧ 7a 1＋21d ＝70，a 22＝a 1a 6，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋3d ＝10，(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋5d )，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，d ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝10，d ＝0(舍去)，所以a n ＝3n －2.(2)S n ＝n 2[1＋(3n －2)]＝3n 2－n 2，所以b n ＝3n 2－n ＋48n ＝3n ＋48n－1≥23n ·48n －1＝23，当且仅当3n ＝48n，即n ＝4时取等号，故数列{b n }的最小项是第4项，该项的值为23.11．(2013·海淀模拟)如图，曲线M ：y 2＝x 与曲线N ：(x －4)2＋2y 2＝m 2(m >0)相交于A ，B ，C ，D 四个点．(1)求m 的取值范围；(2)求四边形ABCD 的面积的最大值及此时对角线AC 与BD 的交点坐标．解：(1)联立曲线M ，N 的方程，消去y 可得(x －4)2＋2x －m 2＝0，即x 2－6x ＋16－m 2＝0，根据条件可得⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝36－4(16－m 2)>0，x 1＋x 2＝6>0，x 1x 2＝16－m 2>0，解得7<m <4，故m 的取值范围是(7，4)．(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 2>x 1，y 1>0，y 2>0.则S ABCD ＝(y 1＋y 2)(x 2－x 1)＝(x 1＋x 2)(x 2－x 1)＝ x 1＋x 2＋2x 1x 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝ 6＋216－m 2·36－4×(16－m 2).令t ＝16－m 2，则t ∈(0,3)，S ABCD ＝6＋2t ·36－4t 2＝22×－t 3－3t 2＋9t ＋27，设f (t )＝－t 3－3t 2＋9t ＋27，则令f ′(t )＝－3t 2－6t ＋9＝－3(t 2＋2t －3)＝－3(t －1)(t ＋3)＝0，可得当t ∈(0,3)时，f (x )的最大值为f (1)＝32，从而S ABCD 的最大值为16.此时t ＝1，即16－m 2＝1，则m 2＝15.联立曲线M ，N 的方程消去y 并整理得x 2－6x ＋1＝0，解得x 1＝3－22，x 2＝3＋22，所以A 点的坐标为(3－22，2－1)，C 点坐标为(3＋22，－2－1)，k AC ＝(－2－1)－(2－1)(3＋22)－(3－22)＝－12，则直线AC 的方程为y －(2－1)＝－12[x －(3－22)]，当y ＝0时，x ＝1，由对称性可知AC 与BD 的交点在x 轴上，即对角线AC 与BD 交点坐标为(1,0)．12．已知函数f (x )＝ax 3＋(2－a )x 2－x －1(a >0)．(1)若a ＝4，求f (x )的单调区间；(2)设x 1，x 2,为关于x 的方程f (x )＝0的实根，若x 1x 2∈⎣⎡⎦⎤12，2，求a 的取值范围．解：(1)∵当a ＝4时，f (x )＝4x 3－2x 2－x －1，∴f ′(x )＝12x 2－4x －1＝(6x ＋1)(2x －1)，由f ′(x )>0得x <－16或x >12，由f ′(x )<0得－16<x <12， ∴f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，－16，⎝⎛⎭⎫12，＋∞，单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－16，12. (2)∵f (x )＝(x －1)(ax 2＋2x ＋1)，∴f (x )＝0一根为1，另两根为ax 2＋2x ＋1＝0的解，由⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝4－4a ≥0得0<a ≤1，由韦达定理知ax 2＋2x ＋1＝0的解均为负值．∵x 1x 2>0，x 1，x 2为ax 2＋2x ＋1＝0的根， ∴(x 1＋x 2)2x 1x 2＝x 1x 2＋x 2x 1＋2＝⎝⎛⎭⎫－2a 21a ＝4a.令t ＝x 1x 2，u (t )＝t ＋1t＋2，t ∈⎣⎡⎦⎤12，2，则u ′(t )＝1－1t 2，∴u (t )在⎣⎡⎦⎤12，1上递减，在[1,2]上递增， ∴u (t )∈⎣⎡⎦⎤4，92，即4a ∈⎣⎡⎦⎤4，92，故a ∈⎣⎡⎦⎤89，1.。

2018年高考数学总复习教案：2.10函数与方程

第二章函数与导数第10课时函数与方程(对应学生用书(文)、(理)26～27页)1. (必修1P 43练习2改编)若一次函数f(x)＝ax ＋b 有一个零点2，那么函数g(x)＝bx 2－ax 的零点是________．答案：0、－12解析：由题意可得，b ＝－2a 且a ≠0，由g(x)＝－2ax 2－ax ＝0，得x ＝0或x ＝－12.2. (必修1P 111复习13改编)已知函数f(x)＝2x －3x ，则函数f(x)的零点个数________．答案：2解析：(解法1)令f(x)＝0，则2x ＝3x ，在同一坐标系中分别作出y ＝2x 和y ＝3x 的图象，由图知函数y ＝2x 和y ＝3x 的图象有2个交点，所以函数f(x)的零点个数为2.(解法2)由f(0)>0，f(1)<0，f(3)<0，f(4)>0，…，所以有2个零点，分别在区间(0，1)和(3，4)内． 3. (必修1P 96练习2改编)方程lgx ＝2－x 在区间(n ，n ＋1)(n ∈Z )有解，则n 的值为________．答案：1解析：令f(x)＝lgx ＋x －2，由f(1)＝－1<0，f(2)＝lg2>0，知f(x)＝0的根介于1和2之间，即n ＝1. 4. (必修1P 97习题8)若关于x 的方程7x 2－(m ＋13)x －m －2＝0的一个根在区间(0，1)上，另一个在区间(1，2)上，则实数m 的取值范围为________．答案：(－4，－2)解析：设f(x)＝7x 2－(m ＋13)x －m －2，则⎩⎪⎨⎪⎧f （0）>0，f （1）<0，f （2）>0，解得－4<m<－2.5. (必修1P 96练习5改编)若函数f(x)＝x 3＋x 2－2x －2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：那么方程x 3＋x 2－2x －2＝0的一个近似根为________(精确到0.1)．答案：1.4解析：f(1.40625)＝－0.054<0，f(1.4375)＝0.162>0且都接近0，由二分法可知其根近似于1.4.1. 函数零点的定义(1) 方程f(x)＝0的实数根又叫y ＝f(x)的零点．(2) 方程f(x)＝0有实根函数y ＝f(x)的图象与x 轴有交点对函数f(x)＝0有零点． 2. 函数零点的判定如果函数y ＝f(x)在区间(a ，b)上的图象是一条不间断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，则函数y ＝f(x)在区间上有零点，即存在x 0∈(a ，b)，使得f(x 0)＝0，这个x 0也就是函数f(x)＝0的零点．我们不妨把这一结论称为零点存在性定理．3. 与零点的关系4. 用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤第一步，确定区间(a ，b)，验证f(a)f(b)<0；第二步，求区间(a ，b)的中点x 1；第三步，计算f(x 1)；①若f(x 1)＝0，则x 1就是函数的零点；②若f(x 1)f(a)<0，则令b ＝x 1 (此时零点x 0∈(a ，x 1))； ③若f(x 1)f(a)>0，则令a ＝x 1 (此时零点x 0∈(x 1，b))；第四步，判断是否满足要求的条件，否则重复第二、三、四步．[备课札记]题型1 零点的求法及零点的个数例1 (1) 求函数f(x)＝x 3－2x 2－x ＋2的零点；(2) 已知函数f(x)＝ln(x ＋1)－1x，试求函数的零点个数．解：(1) ∵ f(x)＝x 3－2x 2－x ＋2＝x 2(x －2)－(x －2)＝(x －2)(x ＋1)(x －1)．令f(x)＝0，得x ＝±1，2， ∴ 函数f(x)的零点是－1，1，2.(2) 令f(x)＝0，即ln(x ＋1)＝1x ，在同一坐标系中画出y ＝ln(x ＋1)和y ＝1x 的图象，可知两个图象有两个交点，所以f(x)有两个零点．备选变式（教师专享）(1) 已知函数f(x)＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－2和3，解不等式bf(ax)>0； (2) 已知f(x)＝2x ，g(x)＝3－x 2，试判断函数y ＝f(x)－g(x)的零点个数．解：(1)由题意，得f ()x ＝(x ＋2)(x －3)＝x 2－x －6，所以a ＝－1，b ＝－6，所以不等式bf(ax)>0，即为f(－x)<0，即x 2＋x －6<0，解得－3<x<2，所以解集为(－3，2)． (2)在同一坐标系内作出函数f(x)＝2x 与g(x)＝3－x 2的图象，两图象有两个交点， ∴ 函数y ＝f(x)－g(x)有两个零点．题型2 二次函数的零点问题例2 (1) 已知α、β是方程x 2＋(2m －1)x ＋4－2m ＝0的两个实根，且α<2<β，求m 的取值范围； (2) 若方程x 2＋ax ＋2＝0的两根都小于－1，求a 的取值范围．解：(1) 设f(x)＝x 2＋(2m －1)x ＋4－2m. ∵ α、β是方程f(x)＝0的两个根，且α<2<β， ∴ f(2)<0，即22＋2(2m －1)＋4－2m<0，得m<－3.(2) 设f(x)＝x 2＋ax ＋2, f(－1)＝1－a ＋2，Δ＝a 2－8.由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）>0，Δ≥0，－a 2<－1，∴ 22≤a<3.变式训练已知关于x 的二次方程x 2＋2mx ＋2m ＋1＝0.(1) 若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求实数m 的取值范围； (2) 若方程两根均在区间(0，1)内，求实数m 的取值范围．解：设二次方程x 2＋2mx ＋2m ＋1＝0所对应的函数为f(x)＝x 2＋2mx ＋2m ＋1.(1) 要使方程的一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，则结合函数图象(如图)，有⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＝2m ＋1<0，f （－1）＝2>0，f （1）＝4m ＋2<0，f （2）＝6m ＋5>0，解得－56<m<－12.(2) 要使方程两根均在区间(0，1)内，则结合函数图象(如图)，有⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＝2m ＋1>0，f （1）＝4m ＋2>0，Δ≥0，0<－m<1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m>－12，m ≤1－2或m ≥1＋2，－1<m<0，即－12<m ≤1－ 2.题型3 函数与方程的相互转换例3 设函数f(x)＝|x|x ＋2－ax 2，a ∈R .(1) 当a ＝2时，求函数f(x)的零点；(2) 当a>0时，求证：函数f(x)在(0，＋∞)内有且仅有一个零点； (3) 若函数f(x)有四个不同的零点，求a 的取值范围．(1) 解：当x ≥0时，由f(x)＝0，得xx ＋2－2x 2＝0，即x(2x 2＋4x －1)＝0，解得x ＝0或x ＝－2±62(舍负)；当x<0时，由f(x)＝0，得－xx ＋2－2x 2＝0，即x(2x 2＋4x ＋1)＝0(x ≠－2)，解得x ＝－2±22.综上所述，函数f(x)的零点为0，x ＝－2＋62，x ＝－2＋22，x ＝－2－22.(2) 证明：当a>0且x>0时，由f(x)＝0，得xx ＋2－ax 2＝0，即ax 2＋2ax －1＝0.记g(x)＝ax 2＋2ax －1，则函数g(x)的图象是开口向上的抛物线．又g(0)＝－1<0，所以函数g(x)在(0，＋∞)内有且仅有一个零点，即函数f(x)在区间(0，＋∞)内有且仅有一个零点． (3) 解：易知0是函数f(x)的零点．对于x>0，由(2)知，当a>0时，函数f(x)在区间(0，＋∞)内有且仅有一个零点；当a ≤0时，g(x)＝ax 2＋2ax －1<0恒成立，因此函数f(x)在区间(0，＋∞)内无零点．于是，要使函数f(x)有四个不同的零点，函数f(x)在区间(－∞，0)内就要有两个不同的零点．当x<0时，由f(x)＝0，得－xx ＋2－ax 2＝0，即ax 2＋2ax ＋1＝0(x ≠－2)．①因为a ＝0不符合题意，所以①式可化为x 2＋2x ＋1a ＝0(x ≠－2)，即x 2＋2x ＝－1a ＝0.作出函数h(x)＝x 2＋2x(x<0)的图象便知－1<－1a <0，得a>1，综上所述，a 的取值范围是(1，＋∞)．备选变式（教师专享）设a 是实数，讨论关于x 的方程lg(x －1)＋lg(3－x)＝lg(a －x)的实数解的个数．解：原方程等价于方程组⎩⎪⎨⎪⎧1<x<3，（x －1）（3－x ）＝a －x ，即⎩⎪⎨⎪⎧1<x<3，a ＝－x 2＋5x －3.在同一坐标系下作直线y ＝a 与抛物线y ＝－x 2＋5x －3(1<x<3)的图象，由图可知，当1<a ≤3或a ＝134时，原方程只有一个实数解；当3<a<134时，原方程有两个不同的实数解．1. (2013·天津)函数f ()x ＝2x ||log 0.5x －1的零点个数是________．答案：2解析：令f(x)＝2x|log 0.5x|－1＝0，可得|log 0.5x|＝⎝⎛⎭⎫12x .设g(x)＝|log 0.5x|，h(x)＝⎝⎛⎭⎫12x，在同一坐标系下分别画出函数g(x)、h(x)的图象，可以发现两个函数图象一定有2个交点，因此，函数f(x)有2个零点．2. (2013·南通二模)函数f(x)＝(x －1)sin πx －1(－1＜x ＜3)的所有零点之和为________．答案：4解析：令f(x)＝(x －1)sin πx －1＝0，则sin πx ＝1x －1，在同一坐标系中作出函数y ＝sin πx 与y ＝1x －1的图象如图所示，易知此两函数的图象都关于点(1，0)中心对称，且它们有四个交点，即函数f(x)有四个零点，又对称的两交点横坐标之和为2，故四个零点之和为4.3. 若{}x ＝x －[]x ([]x 表示不超过x 的最大整数)，则方程12 013－2 013x ＝{}x 的实数解的个数是________．答案：2解析：方程可化为12 013＋[x]＝2 013x ，可以构造两个函数：y ＝12 013＋[x]，y ＝2 013x ，由图可知，两函数图象有2个交点，故方程有两个根．4. (2013·常州期末)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥2，（x －1）3，0＜x ＜2，若关于x 的方程f(x)＝kx 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是________．答案：⎝⎛⎭⎫0，12 解析：在同一个直角坐标系中作出函数y ＝f(x)、y ＝kx 的图象，函数y ＝f(x)图象最高点坐标为A(2，1)，过点O 、A 的直线斜率为2，x ≥2时，f(x)＝2x 单调减且f(x)＞0，直线y ＝kx 过原点，所以斜率0＜k＜2时，两个函数的图象恰有两个交点．1. 函数f(x)＝2x ＋x 3－2在区间(0，1)内的零点个数是________．答案：1解析：因为函数f(x)＝2x ＋x 3－2的导数为f′(x)＝2x ln2＋3x 2≥0，所以函数f(x)单调递增，f(0)＝1－2＝－1<0，f(1)＝2＋1－2＝1>0，所以根据根的存在定理可知在区间(0，1)内函数的零点个数为1个．2. 若关于x 的方程|x|x －1＝kx 2有四个不同的实数根，则实数k 的取值范围是________．答案：k<－4解析：显然，x ＝0是方程的一个实数根．当x ≠0时，方程可化为1k ＝|x|(x －1)，设f(x)＝1k，g(x)＝|x|(x－1)，题意即为f(x)与g(x)图象有三个不同的交点，由g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x （x －1），x>0，－x （x －1），x<0，结合图象知，－14<1k <0，所以k<－4.3. 已知关于x 的方程x 2＋2alog 2(x 2＋2)＋a 2－3＝0有唯一解，则实数a 的值为________．答案：1解析：设f(x)＝x 2＋2alog 2(x 2＋2)＋a 2－3，由f(－x)＝f(x)，知f(x)是偶函数．若方程f(x)＝0有唯一解，则f(0)＝0，代入得a ＝1或a ＝－3.令t ＝x 2，则f(x)＝g(t)＝t ＋2alog 2(t ＋2)＋a 2－3.当a ＝1时，g(t)＝t ＋2log 2(t ＋2)－2，由于g(t)≥g(0)＝0，当且仅当x ＝0时取等号，符合条件；当a ＝－3时，g(t)＝t －6log 2(t ＋2)＋6，由g(30)＝30－6×5＋6>0，g(14)＝14－6×4＋6<0，知f(x)至少有三个根，不符合．所以，符合条件的实数a 的值为1.4. 对于函数f(x)，若存在x 0∈R ，使f(x 0)＝x 0成立，则称x 0为f(x)的不动点，已知函数f(x)＝ax 2＋(b ＋1)x ＋b －1(a ≠0)．(1) 当a ＝1，b ＝－2时，求f(x)的不动点；(2) 若对任意实数b ，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求a 的取值范围．解：(1) 当a ＝1，b ＝－2时，f(x)＝x 2－x －3，由题意可知x ＝x 2－x －3，得x 1＝－1，x 2＝3，故当a ＝1，b ＝－2时，f(x)的不动点是－1，3.(2) ∵ f(x)＝ax 2＋(b ＋1)x ＋b －1(a ≠0)恒有两个不动点，∴ x ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋b －1，即ax 2＋bx ＋b －1＝0恒有两相异实根，∴Δ＝b2－4ab＋4a>0(b∈R)恒成立．于是Δ′＝(4a)2－16a<0，解得0<a<1，故当b∈R，f(x)恒有两个相异的不动点时，0<a<1.1. 一元二次方程根的分布问题通常有两种解法：一是方程思想，利用根与系数的关系；二是函数思想，构造二次函数利用其图象分析，但要重视条件的严谨．2. 涉及函数零点的问题，通常有三种转化：一是用零点的定义转化为方程问题；二是利用零点存在性定理转化为函数问题；三是利用数形结合思想转化为函数图象问题．请使用课时训练(A)第10课时(见活页)．[备课札记]。

【配套K12】2018年高考数学二轮复习第1部分重点强化专题专题6函数与导数突破点15函数与方程学案

突破点15 函数与方程[核心知识提炼]提炼1 函数y ＝f (x )零点个数的判断(1)代数法：求方程f (x )＝0的实数根．(2)几何法：对于不能求解的方程，可以将它与函数y ＝f (x )的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．(3)定理法：利用函数零点的存在性定理，即如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a )·f (b )＜0，那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点.提炼2 已知函数零点个数，求参数的值或取值范围已知函数零点个数，求参数的值或取值范围问题，一般利用数形结合转化为两个函数图象的交点个数问题．要注意观察是否需要将一个复杂函数转化为两个相对较为简单的函数，常转化为定曲线与动直线问题．[高考真题回访]回访已知函数零点个数，求参数的值或取值范围 1．(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝x 2－2x ＋a (ex －1＋e－x ＋1)有唯一零点，则a ＝( )A ．－12B ．13 C.12D ．1C [法一：f (x )＝x 2－2x ＋a (ex －1＋e－x ＋1)＝(x －1)2＋a [ex －1＋e－(x －1)]－1，令t ＝x －1，则g (t )＝f (t ＋1)＝t 2＋a (e t＋e －t)－1. ∵g (－t )＝(－t )2＋a (e －t＋e t)－1＝g (t )， ∴函数g (t )为偶函数．∵f (x )有唯一零点，∴g (t )也有唯一零点．又g (t )为偶函数，由偶函数的性质知g (0)＝0， ∴2a －1＝0，解得a ＝12.故选C.法二：f (x )＝0⇔a (e x －1＋e－x ＋1)＝－x 2＋2x .ex －1＋e－x ＋1≥2ex －1·e－x ＋1＝2，当且仅当x ＝1时取“＝”．－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1≤1，当且仅当x ＝1时取“＝”．若a ＞0，则a (ex －1＋e－x ＋1)≥2a ，要使f (x )有唯一零点，则必有2a ＝1，即a ＝12.若a ≤0，则f (x )的零点不唯一．故选C.]2．(2014·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，若f (x )存在唯一的零点x 0，且x 0>0，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)B ．(1，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－1)A [f ′(x )＝3ax 2－6x ，当a ＝3时，f ′(x )＝9x 2－6x ＝3x (3x －2)，则当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )>0；x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，23时，f ′(x )<0；x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞时，f ′(x )>0，注意f (0)＝1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝59>0，则f (x )的大致图象如图(1)所示．图(1)不符合题意，排除B 、C.当a ＝－43时，f ′(x )＝－4x 2－6x ＝－2x (2x ＋3)，则当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－32时，f ′(x )<0，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－32，0时，f ′(x )>0，x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )<0，注意f (0)＝1，f ⎝⎛⎭⎪⎫－32＝－54，则f (x )的大致图象如图(2)所示．图(2)不符合题意，排除D.]热点题型1 函数零点个数的判断题型分析：函数零点个数的判断常与函数的奇偶性、对称性、单调性相结合命题，难度中等偏难．【例1】(1)(2017·贵阳二模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x＋1，x ≤0，|ln x |，x ＞0，当1＜a ＜2时，关于x的方程f [f (x )]＝a 实数解的个数为( )【导学号：04024128】A ．2B ．3C ．4D ．5(2)已知函数f (x )＝cos π2x ，g (x )＝2－34|x －2|，x ∈[－2,6]，则函数h (x )＝f (x )－g (x )的所有零点之和为( ) A ．6 B ．8 C.10D ．12(1)C (2)D [(1)因为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x＋1，x ≤0，|ln x |，x ＞0，1＜a ＜2，作出函数f (x )的图象，令f (x )＝t (t ＞0)，则f (t )＝a ，a ∈(1,2)，所以t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 2，1e ∪(e ，e 2)，当t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 2，1e 时，因为1e ＜1，由f (x )＝t 可得此时有两个解；当t ∈(e ，e 2)时，因为e ＞2，由f (x )＝t 可得此时有两个解，故关于x 的方程f [f (x )]＝a 实数解的个数为4，故选C.(2)函数h (x )＝f (x )－g (x )的零点之和可转化为f (x )＝g (x )的根之和，即转化为y 1＝f (x )和y 2＝g (x )两个函数图象的交点的横坐标之和．又由函数g (x )＝2－34|x －2|与f (x )的图象均关于x ＝2对称，可知函数h (x )的零点之和为12.][方法指津]求解此类函数零点个数的问题时，通常把它转化为求两个函数图象的交点个数问题来解决．函数F (x )＝f (x )－g (x )的零点就是方程f (x )＝g (x )的实数根，也就是函数y ＝g (x )的图象与函数y ＝f (x )的图象交点的横坐标．其解题的关键步骤为：①分解为两个简单函数；②在同一坐标系内作出这两个函数的图象；③数交点的个数，即原函数的零点的个数．提醒：在画函数图象时，切忌随手一画，注意“草图不草”，画图时应注意基本初等函数图象的应用，以及函数性质(如单调性、奇偶性、对称性等)的适时运用，可加快画图速度，从而将问题简化．[变式训练1] (1)(2017·武汉一模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x ≤0，|lg x |，x ＞0，则函数g (x )＝f (1－x )－1的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4(2)(2017·南昌一模)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且x ＞0时，f (x )＝ln x －x ＋1，则函数g (x )＝f (x )－e x(e 为自然对数的底数)的零点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3(1)C (2)C [(1)g (x )＝f (1－x )－1＝⎩⎪⎨⎪⎧－x2＋－x －1，1－x ≤0，－x－1，1－x ＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋2，x ≥1，－x －1，x ＜1，当x ≥1时，函数g (x )有1个零点；当x ＜1时，函数有2个零点，所以函数的零点个数为3，故选C.(2)当x ＞0时，f (x )＝ln x －x ＋1，则f ′(x )＝1x －1＝1－xx，由f ′(x )＝0得x ＝1，且x ∈(0,1)，f ′(x )＞0，f (x )单调递增，x ∈(1，＋∞)，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，当x ＝1时，f (x )有极大值f (1)＝0，又奇函数的图象关于原点对称，作出函数图象如图，由图可知函数f (x )与y ＝e x的交点个数是2，则函数g (x )＝f (x )－e x的零点个数是2，故选C.]热点题型2 已知函数的零点个数求参数的取值范围题型分析：已知函数的零点个数求参数的取值范围，主要考查学生的数形结合思想和分类讨论思想，对学生的画图能力有较高要求．【例2】(1)(2017·焦作二模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≤0，x 2＋ax ＋1，x ＞0，F (x )＝f (x )－x －1，且函数F (x )有2个零点，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，0] B ．[1，＋∞) C ．(－∞，1)D ．(0，＋∞)(2)(2017·石家庄一模)已知函数f (x )＝exx－kx (e 为自然对数的底数)有且只有一个零点，则实数k 的取值范围是( )【导学号：04024129】A ．(0,2) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，e 24 C ．(0，＋∞)D ．(0，e)(1)C (2)B [(1)当x ≤0时，F (x )＝e x－x －1，此时有一个零点0，当x ＞0时，F (x )＝x [x ＋(a －1)]， ∵函数F (x )有2个零点， ∴1－a ＞0，∴a ＜1.故选C.(2)由题意，知x ≠0，函数f (x )有且只有一个零点等价于方程exx－kx ＝0只有一个根，即方程e x x 2＝k 只有一个根，则函数g (x )＝exx2与直线y ＝k 只有一个交点．因为g ′(x )＝x x －xx 4，当x ＜0时，g ′(x )＞0，当0＜x ＜2时，g ′(x )＜0，当x ＞2时，g ′(x )＞0，所以函数g (x )在(－∞，0)上是增函数，在(0,2)上为减函数，在(2，＋∞)上为增函数，g (x )的极小值为g (2)＝e24，且x →0，g (x )→＋∞；x →－∞，g (x )→0；x →＋∞，g (x )→＋∞，则g (x )的大致图象如图所示，由图易知0＜k ＜e24，故选B.][方法指津]求解此类逆向问题的关键有以下几点：一是将原函数的零点个数问题转化为方程根的个数问题，并进行适当化简、整理；二是构造新的函数，把方程根的个数问题转化为新构造的两个函数的图象交点个数问题；三是对新构造的函数进行画图；四是观察图象，得参数的取值范围．提醒：把函数零点转化为方程的根，在构造两个新函数的过程中，一般是构造图象易得的函数，最好有一条是直线，这样在判断参数的取值范围时可快速准确地得到结果． [变式训练2] (1)(2016·湖北七校联考)已知f (x )是奇函数并且是R 上的单调函数，若函数y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )只有一个零点，则实数λ的值是( )【导学号：04024130】A.14B.18 C ．－78D ．－38(2)设函数f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，且对任意的实数x ，恒有f (x )－f (－x )＝0，当x ∈[－1,0]时，f (x )＝x 2，若g (x )＝f (x )－log a x 在x ∈(0，＋∞)上有且仅有三个零点，则a 的取值范围为( ) A ．[3,5] B ．[4,6] C ．(3,5)D ．(4,6)(1)C (2)C [(1)令y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )＝0，且f (x )是奇函数，则f (2x 2＋1)＝－f (λ－x )＝f (x －λ)，又因为f (x )是R 上的单调函数，所以2x 2＋1＝x －λ只有一个零点，即2x 2－x ＋1＋λ＝0只有一个零点，则Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－78，故选C.(2)因为f (x )－f (－x )＝0，所以f (x )＝f (－x )，所以f (x )是偶函数，根据函数的周期性和奇偶性作出f (x )的图象如图所示：因为g (x )＝f (x )－log a x 在x ∈(0，＋∞)上有且仅有三个零点，所以y ＝f (x )和y ＝log a x 的图象在(0，＋∞)上只有三个交点，所以⎩⎪⎨⎪⎧log a 3＜1，log a 5＞1，a ＞1，解得3＜a ＜5.]。

高考数学二轮复习第二部分突破热点分层教学专题一第讲基本初等函数函数与方程及函数的应用学案

第2讲基本初等函数、函数与方程及函数的应用基本初等函数的图象与性质(综合型)指数与对数式的8个运算公式 (1)a m·a n＝am ＋n.(2)(a m )n ＝a mn .(3)(ab )m ＝a m b m.(4)log a (MN )＝log a M ＋log a N .(5)log a MN＝log a M －log a N .(6)log a M n＝n log a M .(7)alog aN＝N .(8)log a N ＝log b Nlog b a.[注意] (1)(2)(3)中，a >0，b >0；(4)(5)(6)(7)(8)中，a >0且a ≠1，b >0且b ≠1，M >0，N >0.[典型例题](1)(2018·高考天津卷)已知a ＝log 2e ，b ＝ln 2，c ＝log 1213，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >b >aD ．c >a >b(2)函数y ＝1x＋ln|x |的图象大致为()【解析】 (1)因为a ＝log 2e>1，b ＝ln 2∈(0，1)，c ＝log 1213＝log 23>log 2e>1，所以c >a >b ，故选D.(2)当x <0时，y ＝1x ＋ln(－x )，由函数y ＝1x ，y ＝ln(－x )单调递减，知函数y ＝1x＋ln(－x )单调递减，排除C ，D ；当x >0时，y ＝1x ＋ln x ，此时f (1)＝11＋ln 1＝1，而选项A 中函数的最小值为2，故排除A ，只有B 正确．故选B.【答案】 (1)D(2)B基本初等函数的图象与性质的应用技巧(1)对数函数与指数函数的单调性都取决于其底数的取值，当底数a 的值不确定时，要注意分a >1和0<a <1两种情况讨论：当a >1时，两函数在定义域内都为增函数；当0<a <1时，两函数在定义域内都为减函数．(2)由指数函数、对数函数与其他函数复合而成的函数，其性质的研究往往通过换元法转化为两个基本初等函数的有关性质，然后根据复合函数的性质与相关函数的性质之间的关系进行判断．(3)对于幂函数y ＝x α的性质要注意α>0和α<0两种情况的不同．[对点训练]1．(2018·武汉模拟)已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x －m |－1为偶函数，记a ＝f (log 0.53)，b ＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则( )A ．a <b <cB ．a <c <bC ．c <a <bD ．c <b <a解析：选C.函数f (x )＝2|x －m |－1为偶函数，则m ＝0，则f (x )＝2|x |－1，a ＝f (log 0.53)＝2log 23－1＝2，b ＝f (log 25)＝2log 25－1＝4，c ＝f (0)＝20－1＝0.故c <a <b ，选C.2．已知a 是大于0的常数，把函数y ＝a x和y ＝1ax＋x 的图象画在同一平面直角坐标系中，不可能出现的是( )解析：选D.因为a >0，所以y ＝1ax ＋x 是对勾函数，若0<a ≤1，则当x >0时，y ＝1ax＋x 的值大于等于2，函数y ＝a x 和y ＝1ax＋x 的图象不可能有两个交点，故选D.函数的零点(综合型)函数的零点及其与方程根的关系对于函数f (x )，使f (x )＝0的实数x 叫做函数f (x )的零点．函数F (x )＝f (x )－g (x )的零点就是方程f (x )＝g (x )的根，即函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝g (x )的图象交点的横坐标．零点存在性定理如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a )·f (b )<0，那么函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0，这个c 也就是方程f (x )＝0的根．[典型例题]命题角度一确定函数零点的个数或其存在情况(1)已知实数a >1，0<b <1，则函数f (x )＝a x＋x －b 的零点所在的区间是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1，0) C ．(0，1)D ．(1，2)(2)设函数f (x )的定义域为R ，f (－x )＝f (x )，f (x )＝f (2－x )，当x ∈[0，1]时，f (x )＝x 3，则函数g (x )＝|cos πx |－f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32上零点的个数为( )A ．3B ．4C ．5D ．6【解析】 (1)因为a >1，0<b <1，f (x )＝a x＋x －b ，所以f (－1)＝1a－1－b <0，f (0)＝1－b >0，所以f (－1)·f (0)<0，则由零点存在性定理可知f (x )在区间(－1，0)上存在零点． (2)由f (－x )＝f (x )，得f (x )的图象关于y 轴对称．由f (x )＝f (2－x )，得f (x )的图象关于直线x ＝1对称．当x ∈[0，1]时，f (x )＝x 3，所以f (x )在[－1，2]上的图象如图．令g (x )＝|cos πx |－f (x )＝0，得|cos πx |＝f (x )，两函数y ＝f (x )与y ＝|cos πx |的图象在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32上的交点有5个．【答案】 (1)B (2)C判断函数零点个数的方法(1)直接求零点：令f (x )＝0，则方程解的个数即为零点的个数．(2)利用零点存在性定理：利用该定理还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点．(3)数形结合法：对于给定的函数不能直接求解或画出图形时，常会通过分解转化为两个能画出的函数图象交点问题．命题角度二已知函数零点的个数或存在情况求参数的取值范围(2018·高考全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x， x ≤0ln x ， x >0，g (x )＝f (x )＋x ＋a .若g (x )存在2个零点，则a 的取值范围是( )A ．[－1，0)B ．[0，＋∞)C ．[－1，＋∞)D ．[1，＋∞)【解析】函数g (x )＝f (x )＋x ＋a 存在2个零点，即关于x 的方程f (x )＝－x －a 有2个不同的实根，即函数f (x )的图象与直线y ＝－x －a 有2个交点，作出直线y ＝－x－a 与函数f (x )的图象，如图所示，由图可知，－a ≤1，解得a ≥－1，故选C.【答案】 C利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解． (2)分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解．(3)转化为两熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解．[对点训练]1．(2018·洛阳第一次统考)已知函数f (x )满足f (1－x )＝f (1＋x )＝f (x －1)(x ∈R )，且当0≤x ≤1时，f (x )＝2x－1，则方程|cos πx |－f (x )＝0在[－1，3]上的所有根的和为( )A ．8B ．9C ．10D ．11解析：选D.方程|cos πx |－f (x )＝0在[－1，3]上的所有根的和即y ＝|cos πx |与y ＝f (x )在[－1，3]上的图象交点的横坐标的和．由f (1－x )＝f (1＋x )得f (x )的图象关于直线x ＝1对称，由f (1－x )＝f (x －1)得f (x )的图象关于y 轴对称，由f (1＋x )＝f (x －1)得f (x )的一个周期为2，而当0≤x ≤1时，f (x )＝2x－1，在同一坐标系中作出y ＝f (x )和y ＝|cos πx |在[－1，3]上的大致图象，如图所示，易知两图象在[－1，3]上共有11个交点，又y ＝f (x )，y ＝|cos πx |的图象都关于直线x ＝1对称，故这11个交点也关于直线x ＝1对称，故所有根的和为11.故选D.2．已知函数f (x )＝exx－kx (e 为自然对数的底数)有且只有一个零点，则实数k 的取值范围是________．解析：由题意，知x ≠0，函数f (x )有且只有一个零点等价于方程e xx －kx ＝0只有一个根，即方程exx2＝k 只有一个根，设g (x )＝e x x 2，则函数g (x )＝exx2的图象与直线y ＝k 只有一个交点．因为g ′(x )＝（x －2）exx3，所以函数g (x )在(－∞，0)上为增函数，在(0，2)上为减函数，在(2，＋∞)上为增函数，g (x )的极小值g (2)＝e24，且x →0时，g (x )→＋∞，x →－∞时，g (x )→0，x →＋∞时，g (x )→＋∞，则g (x )的图象如图所示，由图易知0<k <e24.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，e 24函数的实际应用(综合型)[典型例题]某食品的保鲜时间y (单位：h)与储存温度x (单位：℃)满足的函数关系式为y＝ekx ＋b(e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192h ，在22 ℃的保鲜时间是48 h ，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________ h.【解析】由已知，得e b ＝192，e 22k ＋b＝48，两式相除得e 22k ＝14，所以e 11k＝12，所以e33k ＋b＝(e 11k )3e b＝18×192＝24，即该食品在33 ℃的保鲜时间是24 h.【答案】 24应用函数模型解决实际问题的一般程序和解题关键(1)一般程序：读题文字语言⇒建模数学语言⇒求解数学应用⇒反馈检验作答.(2)解题关键：解答这类问题的关键是确切地建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答．[对点训练]1．某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2018年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)( )A ．2021年B ．2022年C ．2023年D ．2024年解析：选B.根据题意，知每年投入的研发资金增长的百分率相同，所以，从2018年起，每年投入的研发资金组成一个等比数列{a n }，其中，首项a 1＝130，公比q ＝1＋12%＝1.12，所以a n ＝130×1.12n －1.由130×1.12n －1>200，两边同时取对数，得n －1>lg 2－lg 1.3lg 1.12，又lg 2－lg 1.3lg 1.12≈0.30－0.110.05＝3.8，则n >4.8，即a 5开始超过200，所以2022年投入的研发资金开始超过200万元，故选B.2．某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件该产品需另投入的成本为G (x )(单位：万元)，当年产量不足80千件时，G (x )＝13x 2＋10x ；当年产量不小于80千件时，G (x )＝51x ＋10 000x－1 450.已知每件产品的售价为0.05万元．通过市场分析，该工厂生产的产品能全部售完，则该工厂在这一产品的生产中所获年利润的最大值是________万元．解析：因为每件产品的售价为0.05万元，所以x 千件产品的销售额为0.05×1 000x ＝50x 万元．①当0<x <80时，年利润L (x )＝50x －13x 2－10x －250＝－13x 2＋40x －250＝－13(x －60)2＋950，所以当x ＝60时，L (x )取得最大值，且最大值为L (60)＝950万元；②当x ≥80时，L (x )＝50x －51x －10 000x＋1 450－250＝1 200－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋10 000x≤1 200－2x ·10 000x ＝1 200－200＝1 000，当且仅当x ＝10 000x，即x ＝100时，L (x )取得最大值1 000万元．由于950<1 000，所以当产量为100千件时，该工厂在这一产品的生产中所获年利润最大，最大年利润为1 000万元．答案：1 000一、选择题 1．函数y ＝1log 0.5（4x －3）的定义域为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫34，＋∞ C ．(1，＋∞)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1∪(1，＋∞)解析：选A.要使函数有意义需满足⎩⎪⎨⎪⎧4x －3>0，log 0.5（4x －3）>0，解得34<x <1.2．已知函数f (x )＝(m 2－m －5)x m是幂函数，且在x ∈(0，＋∞)时为增函数，则实数m 的值是( )A ．－2B ．4C ．3D ．－2或3解析：选C.f (x )＝(m 2－m －5)x m是幂函数⇒m 2－m －5＝1⇒m ＝－2或m ＝3. 又在x ∈(0，＋∞)上是增函数，所以m ＝3.3．若a ＝log 1π13，b ＝e π3，c ＝log 3cos π5，则( )A ．b >c >aB ．b >a >cC ．a >b >cD ．c >a >b解析：选B.因为0<1π<13<1，所以1＝log 1π1π>log 1π13>0，所以0<a <1，因为b ＝e π3>e＝1，所以b >1.因为0<cos π5<1，所以log 3cos π5<log 31＝0，所以c <0.故b >a >c ，选B.4．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x －1，x <2，log 3（x 2－1），x ≥2，则不等式f (x )>2的解集为( ) A ．(－2，4)B ．(－4，－2)∪(－1，2)C ．(1，2)∪(10，＋∞)D ．(10，＋∞)解析：选C.令2ex －1>2(x <2)，解得1<x <2；令log 3(x 2－1)>2(x ≥2)，解得x >10.故不等式f (x )>2的解集为(1，2)∪(10，＋∞)．5．若函数y ＝a |x |(a >0且a ≠1)的值域为{y |0<y ≤1}，则函数y ＝log a |x |的图象大致是()解析：选A.若函数y ＝a |x |(a >0且a ≠1)的值域为{y |0<y ≤1}，则0<a <1，故log a |x |是偶函数且在(0，＋∞)上单调递减，由此可知y ＝log a |x |的图象大致为A.6．(2018·贵阳模拟)20世纪30年代，为了防范地震带来的灾害，里克特(C.F.Richter)制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级M ，其计算公式为M ＝lg A －lg A 0，其中A 是被测地震的最大振幅，A 0是“标准地震”的振幅．已知5级地震给人的震感已经比较明显，则7级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的( )A ．10倍B ．20倍C ．50倍D ．100倍解析：选D.根据题意有lg A ＝lg A 0＋lg 10M＝lg (A 0·10M)．所以A ＝A 0·10M，则A 0×107A 0×105＝100.故选D.7．函数y ＝x 2ln |x ||x |的图象大致是( )解析：选D.易知函数y ＝x 2ln |x ||x |是偶函数，可排除B ，当x >0时，y ＝x ln x ，y ′＝ln x ＋1，令y ′>0，得x >e －1，所以当x >0时，函数在(e －1，＋∞)上单调递增，结合图象可知D 正确，故选D. 8．设x ，y ，z 为正数，且2x＝3y＝5z，则( ) A ．2x <3y <5z B ．5z <2x <3y C ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z解析：选D.设2x＝3y＝5z＝k (k >1)，则x ＝log 2k ，y ＝log 3k ，z ＝log 5k ，所以2x 3y ＝2log 2k 3log 3k ＝2lg k lg 2·lg 33lg k ＝2lg 33lg 2＝lg 9lg 8>1，即2x >3y .①2x 5z ＝2log 2k 5log 5k ＝2lg k lg 2·lg 55lg k ＝2lg 55lg 2＝lg 25lg 32<1，所以2x <5z .② 由①②得3y <2x <5z .9．(2018·高考全国卷Ⅲ)设a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，则( ) A ．a ＋b ＜ab ＜0 B ．ab ＜a ＋b ＜0 C ．a ＋b ＜0＜abD ．ab ＜0＜a ＋b解析：选B.由a ＝log 0.20.3得1a ＝log 0.30.2，由b ＝log 20.3得1b ＝log 0.32，所以1a ＋1b＝log 0.30.2＋log 0.32＝log 0.30.4，所以0＜1a ＋1b ＜1，得0＜a ＋bab＜1.又a ＞0，b ＜0，所以ab＜0，所以ab ＜a ＋b ＜0.10．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且x >0时，f (x )＝ln x －x ＋1，则函数g (x )＝f (x )－e x(e 为自然对数的底数)的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C.当x >0时，f (x )＝ln x －x ＋1，f ′(x )＝1x－1＝1－xx，所以x ∈(0，1)时f ′(x )>0，此时f (x )单调递增；x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0，此时f (x )单调递减．因此，当x >0时，f (x )max＝f (1)＝ln 1－1＋1＝0.根据函数f (x )是定义在R 上的奇函数作出函数y ＝f (x )与y ＝ex的大致图象如图所示，观察到函数y ＝f (x )与y ＝e x的图象有两个交点，所以函数g (x )＝f (x )－e x (e 为自然对数的底数)有2个零点．11．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增，若⎪⎪⎪⎪⎪⎪f （ln x ）－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1x 2<f (1)，则x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1eB ．(0，e) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，e D ．(e ，＋∞)解析：选C.因为函数f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (ln x )－f ⎝⎛⎭⎪⎫ln 1x ＝f (ln x )－f (－ln x )＝f (ln x )＋f (ln x )＝2f (ln x )，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪f （ln x ）－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1x 2<f (1)等价于|f (ln x )|<f (1)，又f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，所以－1<ln x <1，解得1e<x <e. 12．(2018·沈阳教学质量监测)设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋2)＝f (2－x )，当x ∈[－2，0]时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22x－1，若关于x 的方程f (x )－log a (x ＋2)＝0(a >0且a ≠1)在区间(－2，6)内有且只有4个不同的实根，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1 B ．(1，4) C ．(1，8) D ．(8，＋∞)解析：选D.因为f (x )为偶函数，且f (2＋x )＝f (2－x )，所以f (4＋x )＝f (－x )＝f (x )，所以f (x )为偶函数且周期为4，又当－2≤x ≤0时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22x－1，画出f (x )在(－2，6)上的大致图象，如图所示．若f (x )－log a (x ＋2)＝0(a >0且a ≠1)在(－2，6)内有4个不同的实根，则y ＝f (x )的图象与y ＝log a (x ＋2)的图象在(－2，6)内有4个不同的交点．所以⎩⎪⎨⎪⎧a >1，log a （6＋2）<1，所以a >8，故选D. 二、填空题13．计算：2log 410－12log 225＋823－(π－3)0＝________．解析：2log 410－12log 225＋823－(π－3)0＝2×12log 210－log 25＋(23)23－1＝log 2105＋22－1＝1＋4－1＝4.答案：414．有四个函数：①y ＝x 12；②y ＝21－x ；③y ＝ln(x ＋1)；④y ＝|1－x |.其中在区间(0，1)内单调递减的函数的序号是________．解析：分析题意可知①③显然不满足题意，画出②④中的函数图象(图略)，易知②④中的函数满足在(0，1)内单调递减．答案：②④15．(2018·高考全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝ln(1＋x 2－x )＋1, f (a )＝4，则f (－a )＝________.解析：由f (a )＝ln(1＋a 2－a )＋1＝4，得ln(1＋a 2－a )＝3，所以f (－a )＝ln(1＋a 2＋a )＋1＝－ln11＋a 2＋a ＋1＝－ln(1＋a 2－a )＋1＝－3＋1＝－2. 答案：－216．某食品的保鲜时间t (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系式t ＝⎩⎪⎨⎪⎧64，x ≤0，2kx ＋6，x >0，且该食品在4 ℃时的保鲜时间是16小时．已知甲在某日10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间的变化如图所示．给出以下四个结论：①该食品在6 ℃的保鲜时间是8小时；②当x ∈[－6，6]时，该食品的保鲜时间t 随着x 的增大而逐渐减少；③到了此日13时，甲所购买的食品还在保鲜时间内；④到了此日14时，甲所购买的食品已过了保鲜时间．其中，所有正确结论的序号是________．解析：因为某食品的保鲜时间t (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系式t ＝⎩⎪⎨⎪⎧64，x ≤0，2kx ＋6，x >0，且该食品在4 ℃时的保鲜时间是16小时，所以24k ＋6＝16，即4k ＋6＝4，解得k ＝－12，所以t ＝⎩⎪⎨⎪⎧64，x ≤0，2－12x ＋6，x >0.①当x ＝6时，t ＝8，故①正确；②当x ∈[－6，0]时，保鲜时间恒为64小时，当x ∈(0，6]时，该食品的保鲜时间t 随着x 的增大而逐渐减少，故②错误；③此日10时，温度为8 ℃，此时保鲜时间为4小时，而随着时间的推移，到11时，温度为11 ℃，此时的保鲜时间t ＝2－12×11＋6＝2≈1.414小时，到13时，甲所购买的食品不在保鲜时间内，故③错误；④由③可知，到了此日14时，甲所购买的食品已过了保鲜时间，故④正确．所以正确结论的序号为①④.答案：①④。

2018届高中数学高考二轮复习函数与导数教案含答案(全国通用)

教学过程一、考纲解读函数是高中数学最核心的知识，也是高考中最重要的内容，纯粹的函数试题一般有4个客观题1个解答题，分值在35分左右。

当然还有函数与导数、函数与数列、函数与不等式等综合问题:基本初等函数与性质:(1)函数的概念和函数的基本性质是重要考点(2)指数与对数的运算、指数函数与对数函数的图象和性质都是考查热点(3)幂函数不是热点考点，但要了解幂函数的概念以及简单幂函数的性质。

函数与方程应用(1)函数与方程是经常与二次函数等基本函数的图象和性质综合起来考查，是重要考点；(2)函数模型及其应用是考查热点试题类型可能是填空题，也可能在解答题中与函数性质、导数、不等式综合考查.导数及应用(1)导数的几何意义是考查热点，理解导数的几何意义是曲线上在某点处的切线的斜率，能够解决与曲线的切线有关的问题；(2)导数的运算是导数应用的基础，熟练掌握导数的四则运算法则、常用导数公式及复合函数的导数运算，一般不单独设置试题，是解决导数应用的第一步；(3)利用导数研究函数的单调性与极值是导数的核心内容，对应用导数研究函数的单调性与极值要达到相等的高度.(4)导数在实际问题中的应用为函数应用题注入了新鲜的血液，使应用题涉及到的函数模型更加宽广.(5)导数还经常作为高考的压轴题，能力要求非常高，它不仅要求考生牢固掌握基础知识、基本技能，还要求考生具有较强的分析能力和计算能力．估计以后对导数的考查力度不会减弱．作为导数综合题，主要是涉及利用导数求最值解决恒成立问题，利用导数证明不等式等，常伴随对参数的讨论，这也是难点之所在.二、复习预习复习相关概念:函数的性质，如三要素、单调性、奇偶性、周期性等基本初等函数（包括二次函数、指对数函数、幂函数）和函数应用，导数的概念和运算，用导数研究函数的性质（单调性和极值）和简单的定积分运算．函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的增与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解．函数的单调性与函数的导数一样都是反映函数变化情况的，函数的单调性与函数的导数的关系.三、知识讲解考点1 基本初等函数和性质函数的单调性、奇偶性是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样.特别是两性质的应用更加突出.考生需要理解奇偶性、单调性的定义，掌握判定方法，正确认识单调函数与奇偶函数的图象.帮助考生学会怎样利用两性质解题，掌握基本方法，形成应用意识考点2 函数的零点与方程的根(1)函数的零点与方程根的关系函数F (x )＝f (x )－g (x )的零点就是方程f (x )＝g (x )的根，即函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝g (x )的图象交点的横坐标．(2)零点存在性定理如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f (a )·f (b )<0，那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )使得f (c )＝0, 这个c 也就是方程f (x )＝0的根．(3) 应用函数模型解决实际问题的一般程序读题文字语言 ⇒建模数学语言 ⇒求解数学应用 ⇒反馈检验作答.考点3 函数与导数(1)函数的单调性与导数如果已知函数在某个区间上单调递增(减)，则这个函数的导数在这个区间上大(小)于零恒成立．在区间上离散点处导数等于零，不影响函数的单调性，如函数y ＝x ＋sin x .(2)函数的导数与极值对可导函数而言，某点导数等于零是函数在该点取得极值的必要条件．例如f (x )＝x 3，虽有f ′(0)＝0，但x ＝0不是极值点，因为f ′(x )≥0恒成立，f (x )＝x 3在(－∞，＋∞)上是单调递增函数，无极值．(3)闭区间上函数的最值在闭区间上连续的函数，一定有最大值和最小值，其最大值是区间的端点处的函数值和在这个区间内函数的所有极大值中的最大者，最小值是区间端点处的函数值和在这个区间内函数的所有极小值中的最小值．四、例题精析例1 [2014·山东卷] 函数f (x )＝1（log 2x ）2－1的定义域为( ) A.⎝⎛⎭⎫0，12 B ．(2，＋∞) C. ⎝⎛⎭⎫0，12∪(2，＋∞) D. ⎝⎛⎦⎤0，12∪[2，＋∞)【规范解答】答案:C解析:根据题意得,⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，(log 2x )2－1＞0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，x ＞2或x ＜12.故选C. 【总结与反思】本题结合函数的定义域求法综合考查不等式的解法.要求考生掌握基本初等函数的定义域,尤其是分式型,偶次方根型,以及对数型.不等式log 2x >1或log 2x <-1若采用图像法解决更准更快.例2已知偶函数f （x ）在［0，＋∞）单调递减，f （2）＝0．若f （x －1）＞0，则x 的取值范围是__________．【规范解答】∵ 偶函数y ＝f （x ）在［0，＋∞）单调递减，且f （2）＝0．∴ f （x ）＞0的解集为│x │＞2∴ f （x －1）＞0的解集为│x －1│＞2，解得x ∈（－∞，－1）∪（3，＋∞）【总结与反思】 (1)本题考查函数的奇偶性、单调性，及不等式的解法；(2)本题可以利用数形结合的思想来解，先绘出f （x ）的草图，f （x －1）的图象由f （x ）的图象向右平移一个单位得到.也可以采取换元法令x -1=t ,再结合图像处理,最后在求出x 范围例3[2014·全国卷]设函数()f x ，()g x 的定义域都为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论正确的是 ( )A .()f x ()g x 是偶函数B .|()f x |()g x 是奇函数C .()f x |()g x |是奇函数D .|()f x ()g x |是奇函数【规范解答】解法1.选C （验证推理）设()()()F x f x g x =，则()()()F x f x g x -=--，∵()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，∴()()()()F x f x g x F x -=-=-，()F x 为奇函数，选C.解法2.选C （特值验证）从题意条件我们不难想到将函数()f x ，()g x 特殊化，设x x f =)(，2)(x x g = 则A 选项中3)()(x x g x f =不是偶函数，排除A ；B 选项中|()f x |()g x =2x x 很明显是偶函数，排除B 。

2018年高考数学文科二轮复习名师导学案：专题二第1

第1讲三角函数的图象与性质高考定位三角函数的图象与性质是高考考查的重点和热点内容，主要从以下两个方面进行考查：1.三角函数的图象，主要涉及图象变换问题以及由图象确定解析式问题，主要以选择题、填空题的形式考查；2.利用三角函数的性质求解三角函数的值、参数、最值、值域、单调区间等，主要以解答题的形式考查.真题感悟1.(2017·全国Ⅱ卷)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的最小正周期为( ) A.4π B.2π C.πD.π2解析由题意T ＝2π2＝π.答案 C2.(2016·全国Ⅱ卷)若将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为( ) A.x ＝k π2－π6(k ∈Z ) B.x ＝k π2＋π6(k ∈Z ) C.x ＝k π2－π12(k ∈Z ) D.x ＝k π2＋π12(k ∈Z ) 解析由题意将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度后得到函数的解析式为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，由2x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )得函数的对称轴为x ＝k π2＋π6(k ∈Z ). 答案 B3.(2017·全国Ⅲ卷)设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，则下列结论错误的是( )A.f (x )的一个周期为－2πB.y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称C.f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6D.f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递减解析函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象可由y ＝cos x 的图象向左平移π3个单位得到，如图可知，f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫π2，π上先递减后递增，D 选项错误.答案 D4.(2017·全国Ⅱ卷)函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最大值是________.解析 f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f (x )＝1－cos 2x ＋3cos x －34，令cos x ＝t 且t ∈[0，1]， y ＝－t 2＋3t ＋14＝－⎝⎛⎭⎪⎫t －322＋1，则当t ＝32时，f (x )取最大值1. 答案 1考点整合1.常用三种函数的图象与性质(下表中k ∈Z )2.三角函数的常用结论(1)y ＝A sin(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数；当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )求得.(2)y ＝A cos(ωx ＋φ)，当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时为奇函数；当φ＝k π(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )求得. (3)y ＝A tan(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数. 3.三角函数的两种常见变换热点一三角函数的图象命题角度1 三角函数的图象变换【例1－1】某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)请将上表数据补充完整，填写在相应位置，并直接写出函数f (x )的解析式；(2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y ＝g (x )的图象.若y ＝g (x )图象的一个对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫5π12，0，求θ的最小值.解 (1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6.数据补全如下表：且函数表达式为f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6. (2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，根据图象平移变换，得g (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2θ－π6. 因为y ＝sin x 的对称中心为(k π，0)，k ∈Z . 令2x ＋2θ－π6＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k π2＋π12－θ，k ∈Z . 由于函数y ＝g (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0成中心对称，令k π2＋π12－θ＝5π12，k ∈Z ，解得θ＝k π2－π3，k ∈Z . 由θ>0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π6.探究提高 1.“五点法”作图设z ＝ωx ＋φ，令z ＝0，π2，π，3π2，2π，求出x 的值与相应的y 的值，描点、连线可得.2.在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换.变换只是相对于其中的自变量x 而言的，如果x 的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向.命题角度2 由函数的图象特征求解析式【例1－2】 (1)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为( )A.f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6B.f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3C.f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π12 D.f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6 (2)(2017·济南调研)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，若x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝( )A.1B.12C.22D.32解析 (1)由题意知A ＝2，T ＝4⎝⎛⎭⎪⎫5π12－π6＝π，ω＝2，因为当x ＝5π12时取得最大值2，所以2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×5π12＋φ，所以2×5π12＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，解得φ＝2k π－π3，k ∈Z ，因为|φ|<π2，得φ＝－π3.因此函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.(2)观察图象可知，A ＝1，T ＝π，则ω＝2.又点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0是“五点法”中的始点， ∴2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋φ＝0，φ＝π3.则f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.函数图象的对称轴为x ＝－π6＋π32＝π12.又x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，所以x 1＋x 22＝π12，则x 1＋x 2＝π6，因此f (x 1＋x 2)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋π3＝32.答案 (1)B (2)D探究提高已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A ；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置.【训练1】 (1)(2017·菏泽二模)偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示，其中△EFG 是斜边为4的等腰直角三角形(E ，F 是函数与x 轴的交点，点G 在图象上)，则f (1)的值为( )A.22B.62C. 2D.2 2(2)(2017·贵阳调研)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示.①求函数f (x )的解析式；②将函数y ＝f (x )的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的12倍，再把所得的函数图象向左平移π6个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π8上的最小值.(1)解析依题设，T 2＝|EF |＝4，T ＝8，ω＝π4.∵函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，且0<φ<π. ∴φ＝π2，在等腰直角△EGF 中，易求A ＝2.所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π2＝2cos π4x ，则f (1)＝ 2.答案 C(2)解 ①设函数f (x )的最小正周期为T ，由题图可知A ＝1，T 2＝2π3－π6＝π2，即T ＝π，所以π＝2πω，解得ω＝2，故f (x )＝sin(2x ＋φ).由0＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ可得π3＋φ＝2k π，k ∈Z ，则φ＝2k π－π3，k ∈Z ，因为|φ|＜π2，所以φ＝－π3，故函数f (x )的解析式为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.②根据条件得g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π8时，4x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6，所以当x ＝π8时，g (x )取得最小值，且g (x )min ＝12.热点二三角函数的性质命题角度1 三角函数性质【例2－1】 (2016·天津卷)已知函数f (x )＝4tan x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ·cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3.(1)求f (x )的定义域与最小正周期；(2)讨论f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的单调性. 解 (1)f (x )的定义域为{x |x ≠π2＋k π，k ∈Z }，f (x )＝4tan x cos x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3＝4sin x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3＝4sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x ＋32sin x － 3＝2sin x cos x ＋23sin 2x － 3 ＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z .设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ，易知A ∩B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4.所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，－π12上单调递减.探究提高 1.讨论三角函数的单调性，研究函数的周期性、奇偶性与对称性，都必须首先利用辅助角公式，将函数化成一个角的一种三角函数.2.求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的单调区间，是将ωx ＋φ作为一个整体代入正弦函数增区间(或减区间)，求出的区间即为y ＝A sin(ωx ＋φ)的增区间(或减区间)，但是当A ＞0，ω＜0时，需先利用诱导公式变形为y ＝－A sin(－ωx －φ)，则y ＝A sin(－ωx －φ)的增区间即为原函数的减区间，减区间即为原函数的增区间. 命题角度2 三角函数性质的应用【例2－2】 (2017·哈尔滨质检)把函数f (x )＝2sin(x ＋2φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|<π2的图象向左平移π2个单位长度之后，所得图象关于直线x ＝π4对称，且f (0)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－φ，则φ＝( )A.π8B.3π8C.－π8D.－3π8解析把函数f (x )＝2sin(x ＋2φ)的图象向左平移π2个单位长度之后，得y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋2φ＝2cos(x ＋2φ)＝g (x )的图象，根据所得图象关于直线x ＝π4对称，可得g (0)＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，即2cos 2φ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2φ＝－2sin 2φ，即tan 2φ＝－1.又f (0)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－φ，故有2sin 2φ<2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＝2cos φ，即sin φ<12，结合选项，φ＝－π8.答案 C探究提高此类题属于三角函数性质的逆用，解题的关键是借助于三角函数的图象与性质列出含参数的不等式，再根据参数范围求解.或者，也可以取选项中的特殊值验证. 【训练2】 (2017·浙江卷)已知函数f (x )＝sin 2x －cos 2x －23sin x cos x (x ∈R ). (1)求f ⎝⎛⎭⎪⎫2π3的值；(2)求f (x )的最小正周期及单调递增区间. 解 (1)f (x )＝sin 2x －cos 2x －23sin x cos x ＝－cos 2x －3sin 2x ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，则f ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4π3＋π6＝2.(2)f (x )的最小正周期为π. 由正弦函数的性质得令2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3，k ∈Z .所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3，k ∈Z .热点三三角函数图象与性质的综合应用【例3】 (2017·西安调研)已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋23sin 2ωx －3(ω>0)的最小正周期为π.(1)求函数f (x )的单调递增区间.(2)将函数f (x )的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，若y ＝g (x )在[0，b ](b >0)上至少含有10个零点，求b 的最小值. 解 (1)f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋3(2sin 2ωx －1) ＝sin 2ωx －3cos 2ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π3. 由最小正周期为π，得ω＝1，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，整理得k π－π12≤x ≤kx ＋5π12，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z .(2)将函数f (x )的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到y ＝2sin 2x ＋1的图象；所以g (x )＝2sin 2x ＋1.令g (x )＝0，得x ＝k π＋7π12或x ＝k π＋11π12(k ∈Z )，所以在[0，π]上恰好有两个零点，若y ＝g (x )在[0，b ]上有10个零点，则b 不小于第10个零点的横坐标即可.所以b 的最小值为4π＋11π12＝59π12.探究提高 1.研究三角函数的图象与性质，关键是将函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋B )的形式，利用正余弦函数与复合函数的性质求解.2.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(或y ＝A cos(ωx ＋φ))的最小正周期T ＝2π|ω|.应特别注意y ＝|A sin(ωx ＋φ)|的最小正周期为T ＝π|ω|. 【训练3】 (2017·山东卷)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π2，其中0＜ω＜3，已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0.(1)求ω；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4上的最小值.解 (1)因为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π2，所以f (x )＝32sin ωx －12cos ωx －cos ωx ＝32sin ωx －32cos ωx ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin ωx －32cos ωx ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π3.由题设知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0，所以ωπ6－π3＝k π，k ∈Z ，故ω＝6k ＋2，k ∈Z . 又0＜ω＜3，所以ω＝2.(2)由(1)得f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，所以g (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，所以x －π12∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，当x －π12＝－π3，即x ＝－π4时，g (x )取得最小值－32.1.已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A ＞0，ω＞0)的图象求解析式 (1)A ＝y max －y min2，B ＝y max ＋y min2.(2)由函数的周期T 求ω，ω＝2πT.(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求φ. 2.运用整体换元法求解单调区间与对称性类比y ＝sin x 的性质，只需将y ＝A sin(ωx ＋φ)中的“ωx ＋φ”看成y ＝sin x 中的“x ”，采用整体代入求解.(1)令ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，可求得对称轴方程；(2)令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，可求得对称中心的横坐标；(3)将ωx ＋φ看作整体，可求得y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间，注意ω的符号. 3.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的性质及应用的求解思路第一步：先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (一角一函数)的形式；第二步：把“ωx ＋φ”视为一个整体，借助复合函数性质求y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题.一、选择题1.(2017·山东卷)函数y ＝3sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为( ) A.π2 B.2π3C.πD.2π解析 ∵y ＝2⎝⎛⎭⎪⎫32sin 2x ＋12cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，∴T ＝2π2＝π.答案 C2.(2016·北京卷)将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3图象上的点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，t 向左平移s (s ＞0)个单位长度得到点P ′.若P ′位于函数y ＝sin 2x 的图象上，则( ) A.t ＝12，s 的最小值为π6B.t ＝32，s 的最小值为π6C.t ＝12，s 的最小值为π3D.t ＝32，s 的最小值为π3解析点P ⎝⎛⎭⎪⎫π4，t 在函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3图象上，则t ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π4－π3＝sin π6＝12. 又由题意得y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2（x ＋s ）－π3＝sin 2x ，故s ＝π6＋k π，k ∈Z ，所以s 的最小值为π6.答案 A3.(2017·全国Ⅰ卷)已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3，则下面结论正确的是( )A.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C.把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D.把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2解析易知C 1：y ＝cos x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2，把曲线C 1上的各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2的图象，再把所得函数的图象向左平移π12个单位长度，可得函数y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3的图象，即曲线C 2，因此D 项正确.答案 D4.(2017·天津卷)设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω>0，|φ|<π.若f ⎝⎛⎭⎪⎫5π8＝2，f ⎝⎛⎭⎪⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π，则( )A.ω＝23，φ＝π12B.ω＝23，φ＝－11π12C.ω＝13，φ＝－11π24D.ω＝13，φ＝7π24解析 ∵f ⎝⎛⎭⎪⎫5π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π，∴f (x )的最小正周期为4⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8－5π8＝3π，∴ω＝2π3π＝23，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋φ. ∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23×5π8＋φ＝2，得φ＝2k π＋π12，k ∈Z ，又|φ|<π，∴取k ＝0，得φ＝π12.答案 A5.(2017·茂名一模)如图，函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫A >0，|φ|<π2的图象过点(0，3)，则f (x )的图象的一个对称中心是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0C.⎝⎛⎭⎪⎫π6，0D.⎝⎛⎭⎪⎫π4，0解析由题中函数图象可知A ＝2，由于函数图象过点(0，3)，则2sin φ＝3，即sin φ＝32. 又|φ|<π2，所以φ＝π3.从而f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.由2x ＋π3＝k π，k ∈Z ，得x ＝k π2－π6，k ∈Z ，取k ＝0，得f (x )图象的一个对称中心⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0.答案 B 二、填空题6.(2017·全国Ⅱ卷)函数f (x )＝2cos x ＋sin x 的最大值为________. 解析 f (x )＝2cos x ＋sin x ＝5sin(x ＋θ)，其中tan θ＝2， ∴f (x )的最大值为 5. 答案57.(2016·江苏卷)定义在区间[0，3π]上的函数y ＝sin 2x 的图象与y ＝cos x 的图象的交点个数是________.解析在区间[0，3π]上分别作出y ＝sin 2x 和y ＝cos x 的简图如下：由图象可得两图象有7个交点. 答案 78.(2015·天津卷)已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)，x ∈R .若函数f (x )在区间 (－ω，ω)内单调递增，且函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝ω对称，则ω的值为________.解析 f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4，因为f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数图象关于直线x ＝ω对称，所以f (ω)必为一个周期上的最大值有ω2＋π4＝2k π＋π2，k ∈Z ，所以ω2＝π4＋2k π，k ∈Z .又ω－(－ω)≤2πω2，即ω2≤π2，即ω2＝π4，所以ω＝π2.答案π2三、解答题9.(2017·北京卷)已知函数f (x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－2sin x cos x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求证：当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )≥－12. (1)解 f (x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－2sin x cos x＝32cos 2x ＋32sin 2x －sin 2x ＝12sin 2x ＋32cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)证明由(1)知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，∴2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6， ∴当2x ＋π3＝－π6，即x ＝－π4时，f (x )取得最小值－12.∴f (x )≥－12成立.10.(2016·山东卷)设f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2. (1)求f (x )的单调递增区间；(2)把y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移π3个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6的值. 解 (1)f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2＝23sin 2x －(1－2sin x cos x ) ＝3(1－cos 2x )＋sin 2x －1＝sin 2x －3cos 2x ＋3－1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋3－1，令2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得，k π－π12≤x ≤k π＋5π12(k ∈Z ).所以，f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ).(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋3－1，经过变换后，g (x )＝2sin x ＋3－1，所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2sin π6＋3－1＝ 3.11.(2017·西安模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x ＋32.(1)求f (x )的最大值及取得最大值时x 的值；(2)若方程f (x )＝23在(0，π)上的解为x 1，x 2，求cos(x 1－x 2)的值.解 (1)f (x )＝cos x sin x －32(2cos 2x －1) ＝12sin 2x －32cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3. 当2x －π3＝π2＋2k π(k ∈Z )，即x ＝512π＋k π(k ∈Z )时，函数f (x )取最大值，且最大值为1.(2)由(1)知，函数f (x )图象的对称轴为x ＝512π＋k π，k ∈Z ，∴当x ∈(0，π)时，对称轴为x ＝512π.又方程f (x )＝23在(0，π)上的解为x 1，x 2.∴x 1＋x 2＝56π，则x 1＝56π－x 2，∴cos(x 1－x 2)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π－2x 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－π3，又f (x 2)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－π3＝23，故cos(x 1－x 2)＝23.。

专题03 函数的应用(教学案)-2018年高考理数二轮复习精品资料(原卷版)

求方程的根、函数的零点的个数问题以及由零点存在性定理判断零点是否存在，利用函数模型解决实际问题是高考的热点；备考时应理解函数的零点，方程的根和函数的图象与x轴的交点的横坐标的等价性；掌握零点存在性定理．增强根据实际问题建立数学模型的意识，提高综合分析、解决问题的能力．1．函数的零点与方程的根(1)函数的零点对于函数f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数f(x)的零点．(2)函数的零点与方程根的关系函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标．(3)零点存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0, 这个c也就是方程f(x)＝0的根．注意以下两点：①满足条件的零点可能不唯一；②不满足条件时，也可能有零点．(4)二分法求函数零点的近似值，二分法求方程的近似解．2．应用函数模型解决实际问题的一般程序读题文字语言⇒建模数学语言⇒求解数学应用⇒反馈检验作答与函数有关的应用题，经常涉及到物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题．解答这类问题的关键是确切的建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答．3．在求方程解的个数或者根据解的个数求方程中的字母参数的范围的问题时，数形结合是基本的解题方法，即把方程分拆为一个等式，使两端都转化为我们所熟悉的函数的解析式，然后构造两个函数f(x)，g(x)，即把方程写成f(x)＝g(x)的形式，这时方程根的个数就是两个函数图象交点的个数，可以根据图象的变化趋势找到方程中字母参数所满足的各种关系.考点一函数的零点判断例1、【2017课标3，理11】已知函数211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则a =A ．12- B ．13C ．12D ．1【变式探究】(1)函数f (x )＝e x ＋12x －2的零点所在的区间是( )A.⎝⎛⎭⎫0，12B.⎝⎛⎭⎫12，1 C ．(1,2) D ．(2,3)(2)已知偶函数y ＝f (x )，x ∈R 满足：f (x )＝x 2－3x (x ≥0)，若函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，－1x ，x <0，则y ＝f (x )－g (x )的零点个数为( )A ．1B ．3C ．2D ．4 【方法技巧】函数零点的求法(1)直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其有几个交点，就有几个不同的零点．【变式探究】设f (x )＝ln x ＋x －2，则函数f (x )的零点所在的区间为( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4) 考点二、二次函数的零点例2、已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋2，a ∈R .(1)若不等式f (x )≤0的解集为[1,2]，求不等式f (x )≥1－x 2的解集；(2)若函数g (x )＝f (x )＋x 2＋1在区间(1,2)上有两个不同的零点，求实数a 的取值范围．【方法技巧】解决二次函数的零点问题：(1)可利用一元二次方程的求根公式；(2)可用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系；(3)利用二次函数的图象列不等式组．【变式探究】已知f (x )＝x 2＋(a 2－1)x ＋(a －2)的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a 的取值范围．考点三函数零点的应用例3、【2017课标1，理21】已知函数2()(2)xx f x ae a e x =+--.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.【变式探究】已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－|x |，x ≤2，x －2，x >2，函数g (x )＝b －f (2－x )，其中b ∈R .若函数y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点，则b 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫74，＋∞B.⎝⎛⎭⎫－∞，74 C.⎝⎛⎭⎫0，74 D.⎝⎛⎭⎫74，2 【方法规律】函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用．【变式探究】对于实数m ，n 定义运算“⊕”：m ⊕n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－m 2＋2mn －m ≤n ，n 2－mn m >n，设f (x )＝(2x －1)⊕(x －1)，且关于x的方程f (x )＝a 恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1＋x 2＋x 3的取值范围是________．考点四、二次函数的模型例4、为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为：y ＝12x 2－200x ＋80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品的价值为100元．则该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？【变式探究】某汽车销售公司在A ，B 两地销售同一种品牌的汽车，在A 地的销售利润(单位：万元)为y 1＝4.1x －0.1x 2，在B 地的销售利润(单位：万元)为y 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是( )A ．10.5万元B ．11万元C ．43万元D ．43.025万元考点五、分段函数的模型例5、【2017课标3，理15】设函数10()20x x x f x x +≤⎧=⎨>⎩，，，，则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是_________.1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【变式探究】已知一家公司生产某品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．设该公司一年内共生产该品牌服装x 千件并全部销售完，每千件的销售收入为R (x )万元，且R (x )＝⎩⎨⎧10.8－130x2x ，108x －1 0003x2x(1)写出年利润W (万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；(2)年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大？(注：年利润＝年销售收入－年总成本)【方法技巧】(1)很多实际问题中，变量间的关系不能用一个关系式给出，这时就需要构建分段函数模型． (2)求函数最值常利用基本(均值)不等式法、导数法、函数的单调性等方法．在求分段函数的最值时，应先求每一段上的最值，然后比较得最大值、最小值．【变式探究】国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数在30人或30人以下，飞机票每张收费900元；若每团人数多于30人，则给予优惠：每多1人，机票每张减少10元，直到达到规定人数75人为止．每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15 000元．(1)写出飞机票的价格关于人数的函数； (2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？1.【2017北京，理14】三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点A i 的横、纵坐标分别为第i 名工人上午的工作时间和加工的零件数，点B i 的横、纵坐标分别为第i 名工人下午的工作时间和加工的零件数，i =1，2，3.①记Q 1为第i 名工人在这一天中加工的零件总数，则Q 1，Q 2，Q 3中最大的是_________. ②记p i 为第i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p 1，p 2，p 3中最大的是_________.2.【2017课标3，理15】设函数10()20x x x f x x +≤⎧=⎨>⎩，，，，则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是_________.1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭3.【2017课标1，理21】已知函数2()(2)x xf x ae a e x =+--. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.1.【2016高考山东理数】已知函数2||,()24,x x m f x x mx m x m ≤⎧=⎨-+>⎩其中0m >，若存在实数b ，使得关于x的方程f （x ）=b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________________.2、【2016高考上海理数】已知点(3,9)在函数xa x f +=1)(的图像上，则________)()(1=-x f x f 的反函数.3.【2016高考上海理数】已知a R ∈，函数21()log ()f x a x=+. （1）当5a =时，解不等式()0f x >；（2）若关于x 的方程2()log [(4)25]0f x a x a --+-=的解集中恰好有一个元素，求a 的取值范围；（3）设0a >，若对任意1[,1]2t ∈，函数()f x 在区间[,1]t t +上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围.4.【2016高考上海理数】设()f x 、()g x 、()h x 是定义域为R 的三个函数，对于命题：①若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均为增函数，则()f x 、()g x 、()h x 中至少有一个增函数；②若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均是以T 为周期的函数，则()f x 、()g x 、()h x 均是以T 为周期的函数，下列判断正确的是（）A 、①和②均为真命题B 、①和②均为假命题C 、①为真命题，②为假命题D 、①为假命题，②为真命题【2015高考浙江，理7】存在函数()f x 满足，对任意x R ∈都有（） A. (sin 2)sin f x x = B. 2(sin 2)f x x x =+ C. 2(1)1f x x +=+ D. 2(2)1f x x x +=+【2015高考湖南，理15】已知32,(),x x af x x x a⎧≤=⎨>⎩，若存在实数b ，使函数()()g x f x b =-有两个零点，则a 的取值范围是 .【2015高考江苏，13】已知函数|ln |)(x x f =，⎩⎨⎧>--≤<=1,2|4|10,0)(2x x x x g ，则方程1|)()(|=+x g x f 实根的个数为【2015高考天津，理8】已知函数()()22,2,2,2,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩ 函数()()2g x b f x =-- ，其中b R ∈，若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点，则b 的取值范围是( )（A ）7,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ （B ）7,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ （C ）70,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ （D ）7,24⎛⎫⎪⎝⎭ 【2015高考浙江，理10】已知函数223,1()lg(1),1x x f x xx x ⎧+-≥⎪=⎨⎪+<⎩，则((3))f f -= ，()f x 的最小值是．【2015高考四川，理13】某食品的保鲜时间y （单位：小时）与储存温度x （单位：C）满足函数关系b kx e y +=（ 718.2=e 为自然对数的底数，k 、b 为常数）。

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第15讲函数与方程题型1 函数零点个数的判断(对应生用书第50页)■核心知识储备………………………………………………………………………·1．零点存在性定理如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f (a )·f (b )<0，那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )使得f (c )＝0，这个c 也就是方程f (x )＝0的根．2．函数的零点与方程根的关系函数F (x )＝f (x )－g (x )的零点就是方程f (x )＝g (x )的根，即函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝g (x )的图象交点的横坐标．■典题试解寻法………………………………………………………………………·【典题1】 (考查数形结合法判断函数的零点个数)已知定义在R 上的函数f (x )满足：①图象关于(1,0)点对称；②f (－1＋x )＝f (－1－x )；③当x ∈[－1,1]时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2，x ∈[－1，0]，cos π2x ，x ∈(0，1]，则函数y ＝f (x )－⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |在区间[－3,3]上的零点个数为( )A ．5B ．6C ．7D ．8 [思路分析] 函数y ＝f (x )－⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |在区间[－3,3]上的零点个数――――→等价转化函数y ＝f (x )与函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |在[－3,3]上的图象交点个数―――――→数形结合下结论．[解析] 因为f (－1＋x )＝f (－1－x )，所以函数f (x )的图象关于直线x ＝－1对称，又函数f (x )的图象关于点(1,0)对称，如图，画出f (x )以及g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |在[－3,3]上的图象．由图可知，两函数图象的交点个数为5，所以函数y ＝f (x )－⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |在区间[－3,3]上的零点个数为5，故选A.[答案] A【典题2】 (考查应用零点存在性定理判断函数的零点个数)已知函数f n (x )＝x lnx －x 2n (n ∈N *，e ＝2.718 28…为自然对数的底数)．(1)求曲线y ＝f 1(x )在点(1，f 1(1))处的切线方程；(2)讨论函数f n (x )的零点个数.【导号：07804105】[解] (1)因为f 1(x )＝x ln x －x 2，所以f 1′(x )＝ln x ＋1－2x ，所以f 1′(1)＝1－2＝－1.又f 1(1)＝－1，所以曲线y ＝f 1(x )在点(1，f 1(1))处的切线方程为y ＋1＝－(x －1)，即y ＝－x .(2)令f n (x )＝0，得x ln x －x 2n ＝0(n ∈N *，x >0)，所以n ln x －x ＝0.令g (x )＝n ln x －x ，则函数f n (x )的零点与函数g (x )＝n ln x －x 的零点相同．因为g ′(x )＝n x －1＝n －x x ，令g ′(x )＝0，得x ＝n ，所以当x >n 时，g ′(x )<0；当0<x <n 时g ′(x )>0，所以函数g (x )在区间(0，n ]上单调递增，在区间[n ，＋∞)上单调递减．所以函数g (x )在x ＝n 处有最大值，且g (n )＝n ln n －n .①当n ＝1时，g (1)＝ln 1－1＝－1<0，所以函数g (x )＝n ln x －x 的零点个数为0；②当n ＝2时，g (2)＝2ln 2－2<2ln e －2＝0，所以函数g (x )＝n ln x －x 的零点个数为0；③当n ≥3时，g (n )＝n ln n －n ＝n (ln n －1)≥n (ln 3－1)>n (ln e －1)＝0，因为g (e 2n )＝n ln e 2n －e 2n <2n 2－4n ＝2n 2－(1＋3)n <2n 2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋3n ＋n (n －1)2×9<2n 2－[1＋3n ＋3n (n －1)]＝－n 2－1<0，且g (1)<0，所以由函数零点的存在性定理，可得函数g (x )＝n ln x －x 在区间(1，n )和(n ，＋∞)内都恰有一个零点．所以函数g (x )＝n ln x －x 的零点个数为2.综上所述，当n ＝1或n ＝2时，函数f n (x )的零点个数为0；当n ≥3且n ∈N *时，函数f n (x )的零点个数为2.[类题通法]1.求函数零点个数的两种方法：(1)由函数零点存在性定理，结合函数的单调性判断；(2)由函数的单调性及函数极值的正负确定.2.零点个数的讨论,对于不可求的零点，需要通过方程转化为初等函数的交点个数判断.3.零点讨论中的参数,针对参数的讨论有两个方向：一是方程根的个数；二是参数对构造的初等函数图象形状的影响.■对点即时训练………………………………………………………………………·1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋22，x ≤1|log 2(x －1)|，x >1，则函数F (x )＝f [f (x )]－2f (x )－32的零点个数是( )A ．4B ．5C ．6D ．7 A [(数形结合思想)令f (x )＝t ，则函数F (x )可化为y ＝f (t )－2t －32，则函数F (x )的零点问题可转化为方程f (t )－2t －32＝0有根的问题．令y ＝f (t )－2t －32＝0，即f (t )＝2t ＋32，如图(1)，由数形结合得t 1＝0,1<t 2<2，如图(2)，再由数形结合得，当f (x )＝0时，x ＝2，有1个解，当f (x )＝t 2时，有3个解，所以F (x )＝f [f (x )]－2f (x )－32共有4个零点．故选A.]图(1) 图(2)2．函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x －x 22＋x 33－x 44＋…－x 2 0162 016＋x 2 0172 017cos 2x 在区间[－3,3]上零点的个数为( )A ．3B ．4C ．5D ．6C [设函数g (x )＝1＋x －x 22＋x 33－x 44＋…－x 2 0162 016＋x 2 0172 017，h (x )＝cos 2x ，则f (x )＝g (x )h (x )，g ′(x )＝1－x ＋x 2－x 3＋…－x 2 015＋x 2 016＝(1－x )＋x 2(1－x )＋…＋x 2 014(1－x )＋x 2 016.当－3≤x ≤1时，显然g ′(x )≥0；g ′(x )＝1＋x (x －1)＋x 3(x －1)＋…＋x 2 015(x －1)，当1<x ≤3时，显然g ′(x )>0，所以g (x )在区间[－3,3]上是增函数，又g (－1)<0，g (0)＝1>0，所以g (x )在区间[－3,3]上有且只有1个零点x 0∈(－1,0)，且x 0≠－π4.h (x )＝cos 2x 在区间[－3,3]上有4个零点：－3π4，－π4，π4，3π4，所以函数f (x )＝g (x )h (x )在区间[－3,3]上有5个零点．]■题型强化集训………………………………………………………………………·(见专题限时集训T 2、T 5、T 6、T 13、T 14)题型2 已知函数的零点个数求参数的取值范围(对应生用书第51页)■核心知识储备………………………………………………………………………·已知函数有零点(方程有根或图象有交点)求参数的值或取值范围常用的方法：①直接法：直接根据题设条件构建关于参数的方程或不等式，再通过解方程或不等式确定参数的值或取值范围．②分离参数法：先将参数分离，转化成求函数最值问题加以解决．③数形结合法：在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解．■典题试解寻法………………………………………………………………………·【典题1】 (考查已知函数的零点个数求参数范围)(2017·太原二模)已知f (x )＝x 2e x ，若函数g (x )＝f 2(x )－kf (x )＋1恰有四个零点，则实数k 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，4e 2＋e 24C.⎝ ⎛⎭⎪⎫8e 2，2 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫4e 2＋e 24，＋∞ [思路分析] f (x )＝x 2ex ―――――→求f ′(x )画f (x )的图象――――――→令f (x )＝t 数形结合g (x )有四个零点――――→等价转化方程t 2－kt ＋1＝0在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，4e 2和⎝ ⎛⎭⎪⎫4e 2，＋∞各有1解――――――――→二次函数根的分布实数k 的取值范围．[解析] (数形结合思想)f ′(x )＝x e x (x ＋2)，令f ′(x )>0，得f (x )的单调递增区间为(－∞，－2)，(0，＋∞)，令f ′(x )<0，得f (x )的单调递减区间为(－2,0)，所以f (－2)＝4e －2>0为函数f (x )的极大值，f (0)＝0为函数f (x )的极小值，故f (x )≥0，作出其函数图象如图所示．因为函数g (x )＝f 2(x )－kf (x )＋1恰有四个零点，令f (x )＝t ，则关于t 的方程t 2－kt ＋1＝0有两个不相同的根，记为t 1，t 2，且0<t 1<4e －2,4e －2<t 2，所以⎩⎨⎧Δ＝k 2－4>016e －4－4k e －2＋1<0，解得k >4e 2＋e 24，故选D.[答案] D【典题2】 (考查已知方程根的个数求参数范围)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ |x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x >m，其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________.【导号：07804106】[思路分析] 方程f (x )＝b 有三个不同的根――――→等价转化函数f (x )与函数y ＝b 有三个不同的交点――――→分类讨论依据m 的取值画函数f (x )的图象――――→数形结合求m 的取值范围．[解析] f (x )＝⎩⎨⎧ |x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x >m ，当x >m 时，f (x )＝x 2－2mx ＋4m ＝(x －m )2＋4m －m 2，其顶点为(m,4m －m 2)；当x ≤m 时，函数f (x )的图象与直线x ＝m 的交点为Q (m ，m )．①当⎩⎨⎧ m >0，4m －m 2≥m ，即0<m ≤3时，函数f (x )的图象如图(1)所示，易得直线y ＝b 与函数f (x )的图象有一个或两个不同的交点，不符合题意；②当⎩⎨⎧4m －m 2<m ，m >0，即m >3时，函数f (x )的图象如图(2)所示，则存在实数b 满足4m －m 2<b ≤m ，使得直线y ＝b 与函数f (x )的图象有三个不同的交点，符合题意．综上，m 的取值范围为(3，＋∞)．图(1) 图(2)[答案] (3，＋∞)【典题3】 (考查导数在函数零点中的应用)(2016·全国Ⅰ卷节选)已知函数f (x )＝(x －2)e x ＋a (x －1)2有两个零点，求a 的取值范围．[思路分析] 求f ′(x )――――――――――→分a ＝0，a >0，a <0求函数的单调性及极值――――――→由f (x )有2个零点确定a的取值范围．[解]f′(x)＝(x－1)e x＋2a(x－1)＝(x－1)(e x＋2a)．①设a＝0，则f(x)＝(x－2)e x，f(x)只有一个零点．②设a＞0，则当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，所以f(x)在(－∞，1)内单调递减，在(1，＋∞)内单调递增．又f(1)＝－e，f(2)＝a，取b满足b＜0且b＜ln a 2，则f(b)＞a2(b－2)＋a(b－1)2＝a⎝⎛⎭⎪⎫b2－32b＞0，故f(x)存在两个零点．③设a＜0，由f′(x)＝0得x＝1或x＝ln(－2a)．若a≥－e2，则ln(－2a)≤1，故当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，因此f(x)在(1，＋∞)内单调递增．又当x≤1时，f(x)＜0，所以f(x)不存在两个零点．若a<－e2，则ln(－2a)＞1，故当x∈(1，ln(－2a))时，f′(x)＜0；当x∈(ln(－2a)，＋∞)时，f′(x)＞0.因此f(x)在(1，ln(－2a))内单调递减，在(ln(－2a)，＋∞)内单调递增．又当x≤1时，f(x)＜0，所以f(x)不存在两个零点．综上，a的取值范围为(0，＋∞)．[类题通法]已知函数的零点个数求参数取值范围问题的关键有以下几点：一是将原函数的零点个数问题转化为方程根的个数问题，并进行适当化简、整理；二是构造新的函数，把方程根的个数问题转化为新构造的两个函数的图象交点个数问题；三是对新构造的函数进行画图；四是观察图象，得参数的取值范围.■对点即时训练………………………………………………………………………·1．设[x]表示不小于实数x的最小整数，如[2.6]＝3，[－3.5]＝－3.已知函数f(x)＝[x]2－2[x]，若函数F(x)＝f(x)－k(x－2)＋2在(－1,4]上有两个零点，则实数k 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－52，－1∪[2,5) B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，－23∪[5,10) C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－43，－1∪[5,10) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－43，－1∪[5,10) B [令F (x )＝0，得f (x )＝k (x －2)－2，作出函数y＝f (x )和y ＝k (x －2)－2的图象如图所示．若函数F (x )＝f (x )－k (x －2)＋2在(－1,4]上有两个零点，则函数f (x )和g (x )＝k (x －2)－2的图象在(－1,4]上有两个交点．因为g (x )过定点P (2，－2)，经计算可得k P A ＝5，k PB ＝10，k PO ＝－1，k PC ＝－23，所以k的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，－23∪[5,10)．故选B.] 2．已知函数f (x )＝e x ，若关于x 的不等式[f (x )]2－2f (x )－a ≥0在[0,1]上有解，则实数a 的取值范围为________.【导号：07804107】(－∞，e 2－2e] [由[f (x )]2－2f (x )－a ≥0在[0,1]上有解，可得a ≤[f (x )]2－2f (x )，即a ≤e 2x －2e x .令g (x )＝e 2x －2e x (0≤x ≤1)，则a ≤g (x )max ，因为0≤x ≤1，所以1≤e x ≤e ，则当e x ＝e ，即x ＝1时，g (x )max ＝e 2－2e ，即a ≤e 2－2e ，故实数a 的取值范围是(－∞，e 2－2e]．]■题型强化集训…………………………………………………………………·(见专题限时集训T 1、T 3、T 4、T 7、T 8、T 9、T 10、T 11、T 12)三年真题| 验收复习效果(对应生用书第52页)1.(2017·全国Ⅲ卷)已知函数f (x )＝x 2－2x ＋a (e x －1＋e －x ＋1)有唯一零点，则a ＝( )A ．－12B ．13C ．12D ．1C [法一：(换元法)f (x )＝x 2－2x ＋a (e x －1＋e －x ＋1)＝(x －1)2＋a [e x －1＋e －(x －1)]－1，令t ＝x －1，则g (t )＝f (t ＋1)＝t 2＋a (e t ＋e －t )－1.∵g (－t )＝(－t )2＋a (e －t ＋e t )－1＝g (t )，∴函数g (t )为偶函数．∵f (x )有唯一零点，∴g (t )也有唯一零点．又g (t )为偶函数，由偶函数的性质知g (0)＝0，∴2a －1＝0，解得a ＝12.故选C.法二：(等价转化法)f (x )＝0⇔a (e x －1＋e －x ＋1)＝－x 2＋2x .e x －1＋e －x ＋1≥2e x －1·e －x ＋1＝2，当且仅当x ＝1时取“＝”．－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1≤1，当且仅当x ＝1时取“＝”．若a ＞0，则a (e x －1＋e －x ＋1)≥2a ，要使f (x )有唯一零点，则必有2a ＝1，即a ＝12.若a ≤0，则f (x )的零点不唯一．故选C.]2．(2014·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，若f (x )存在唯一的零点x 0，且x 0>0，则a 的取值范围是( )【导号：07804108】A ．(2，＋∞)B ．(－∞，－2)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－1)B [f ′(x )＝3ax 2－6x ，当a ＝3时，f ′(x )＝9x 2－6x ＝3x (3x －2)，则当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )>0；x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23时，f ′(x )<0； x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞时，f ′(x )>0，注意f (0)＝1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝59>0，则f (x )的大致图象如图(1)所示．图(1)不符合题意，排除A 、C.当a ＝－43时，f ′(x )＝－4x 2－6x ＝－2x (2x ＋3)，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－32时，f ′(x )<0，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0时，f ′(x )>0，x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )<0，注意f (0)＝1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－54，则f (x )的大致图象如图(2)所示．图(2)不符合题意，排除D.]3.(2017·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝a e 2x ＋(a －2)e x －x .(1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )有两个零点，求a 的取值范围.[解] (分类讨论思想)(1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝2a e 2x ＋(a －2)e x －1＝(a e x －1)(2e x ＋1)．(ⅰ)若a ≤0，则f ′(x )<0，所以f (x )在(－∞，＋∞)单调递减．(ⅱ)若a >0，则由f ′(x )＝0得x ＝－ln a .当x ∈(－∞，－ln a )时，f ′(x )<0；当x ∈(－ln a ，＋∞)时，f ′(x )>0.所以f (x )在(－∞，－ln a )单调递减，在(－ln a ，＋∞)单调递增．(2)(ⅰ)若a ≤0，由(1)知，f (x )至多有一个零点．(ⅱ)若a >0，由(1)知，当x ＝－ln a 时，f (x )取得最小值，最小值为f (－ln a )＝1－1a ＋ln a .①当a ＝1时，由于f (－ln a )＝0，故f (x )只有一个零点；第 11 页共 11 页 ②当a ∈(1，＋∞)时，由于1－1a ＋ln a ＞0，即f (－ln a )>0，故f (x )没有零点；③当a ∈(0,1)时，1－1a ＋ln a ＜0，即f (－ln a )＜0.又f (－2)＝a e －4＋(a －2)e －2＋2>－2e －2＋2>0，故f (x )在(－∞，－ln a )有一个零点．设正整数n 0满足n 0＞ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫3a －1，则f (n 0)＝e n 0(a e n 0＋a －2)－n 0＞e n 0－n 0＞2n 0－n 0＞0. 由于ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫3a －1＞－ln a ，因此f (x )在(－ln a ，＋∞)有一个零点．综上，a 的取值范围为(0,1)．。

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