冀教版数学八年级上册专训非负数应用的常见题型
2019—2020学年度最新冀教版八年级数学上册专训非负数应用的常见题型及答案.docx
专训非负数应用的常见题型名师点金：1.常见的非负数有：算术平方根、偶次方、绝对值等，且一个数的算术平方根具有双重非负性．2．根据“几个非负数之和等于0，从而得每个非负数都等于0”，构建方程，可求字母或式子的值．绝对值的非负性1．如果一个数的绝对值为a，那么数a在数轴上(如图)对应的点不可能是( )(第1题)A．点M B．点O C．点P D．点N2．如果|a－2|＋|b|＝0，那么a，b的值为( )A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝3C．a＝2，b＝0 D．a＝0，b＝23．设a，b是一个等腰三角形的两边长，且满足|a－5|＋|3－b|＝0，则该三角形的周长是________．偶次方的非负性4．若(x＋3)2＝a－2，则a的值可以是( )A．－1 B．0 C．1 D．25．若x2＋(y－4)4＝0，求x y的值．算术平方根的非负性类型1a中被开方数a≥0的应用6．如果1－a＝b，那么a的取值范围是( )A．a＞1 B．a＜1 C．a＝1 D．a≤17．若式子1x－1有意义，化简：|1－x|＋|x＋2|.8．已知x，y都是有理数，且y＝x－3＋3－x＋8，求4x＋3y的平方根．9．已知a为有理数，求式子a＋2－2－4a＋－a2的值．类型2a≥0的应用10．已知x，y是有理数，且3x＋4＋|y－3|＝0，则xy的值是( )A．4 B．－4 C.94D．－9411．已知x＋3＋2y－4＝0，求(x＋y)2 018的值．类型3算术平方根的双重非负性的应用12．当x为何值时，2x＋1＋6 有最小值，最小值为多少？13．若a＋a－2＝2，求a＋2的值．答案1．A 2.C3．11或13 点拨：由题意得a －5＝0，3－b ＝0.解得a ＝5，b ＝3.当a 为腰长时，周长＝2×5＋3＝13；当b 为腰长时，周长＝2×3＋5＝11.所以该三角形的周长为11或13.4．D5．解：因为x 2≥0，(y －4)4≥0，且x 2＋(y －4)4＝0，所以x ＝0，y －4＝0.解得x ＝0，y ＝4.所以x y ＝0.6．D7．解：由1x －1有意义得x ＞1.所以|1－x|＋|x ＋2|＝(x －1)＋(x ＋2)＝2x ＋1. 8．解：由题意得x －3≥0且3－x ≥0，所以x ＝3.所以y ＝8.所以4x ＋3y 的平方根为±4x ＋3y ＝±4×3＋3×8＝±6.9．解：因为－a 2≥0，所以a ＝0.所以原式＝2－2＋0＝0. 10．B11．解：由题意得x ＋3＝0，2y －4＝0，所以x ＝－3，y ＝2.所以(x ＋y)2 018＝(－3＋2)2 018＝1.12．解：由算术平方根的双重非负性得2x ＋1≥0，2x ＋1≥0. 当2x ＋1＝0，即x ＝－12时，2x ＋1＋6有最小值，最小值为6. 13．解：由a ＋a －2＝2得a －2＝2－a ，所以a －2≥0，2－a ≥0，即a ＝2.所以a ＋2＝2＋2＝2.。
冀教版八年级上12.4 分式方程 能力培优训练(含答案)
12.4 分式方程专题一 根据分式方程的根确定字母的值或取值范围1.关于x 的分式方程1131=-+-x x m 的解为正数，则m 的取值范围是 . 2.若关于x 的方程311x a x x --=-无解，求a 的值.专题二 特殊分式方程的特殊解法3.解方程：17352846x x x x x x x x ----+=+----.4. 阅读下列材料：关于x 的方程11x c x c +=+的解是121,x c x c==（12,x x 表示未知数x 的两个实数解，下同）； （1）11x c x c -=-的解是121,x c x c ==-（即：11x c x c --+=+的解是121,x c x c==-）； 22x c x c +=+的解是122,x c x c==； 33x c x c +=+的解是123,x c x c==. 请观察上述方程与解的特征，比较关于x 的方程m m x c x c +=+（m ≠0）与它们的关系，猜想它的解是什么，并利用“方程的解”的概念进行验证；（2）由上述的观察、比较、猜想、验证，可以得出结论：如果方程的左边是未知数与其倒数的倍数的和，方程右边的形式与左边完全相同，只是把其中的未知数换成了某个常数，那么这样的方程可以直接得解.请用这个结论解关于x 的方程：2211x a x a +=+--.状元笔记【知识要点】1.分式方程的定义分母中含有未知数的方程叫做分式方程.2.解分式方程的一般步骤（1）去分母，把分式方程转化为整式方程；（2）解这个整式方程；（3）验根，并写出原方程的解.【温馨提示】1.解分式方程的基本思想是将分式方程转化为整式方程.2.解分式方程一定要注意验根.3.分式方程有解的条件是：①化简得到的整式方程有解；②整式方程的解使分式方程的分母的值不为0 .【方法技巧】1.判断一个方程是否是分式，并不是看分式方程中是否有分母，而是看分母中是否含有未知数.2.验根的方法：把整式方程的根代入最简公分母，看结果是否为0（即是否符合“分母不为0”的限制），如果分母不为0，则被验的根就是分式方程的解，如果使分母为0，则这个根就是增根，必须舍去.参考答案1. m ＞2且m ≠3 解析：去分母，原方程可化简为2x m =-，因为方程的解为正数，所以20m ->，得m ＞2；又10x -≠，所以x ≠1，即m －2≠1，得m ≠3.综上，m ＞2且m ≠3.2.解：把分式方程转化为整式方程，得x （x －a ）－3(x －1)=x (x －1)，整理得(a +2)x =3，分情况讨论：（1）当a +2=0时，方程(a +2)x =3无解，即当a =－2时，原分式方程无解；（2）当a +2≠0时，方程(a +2)x =3有解，解这个分式方程，得32x a =+. ①若32x a =+=0，则32x a =+是增根，此时不存在这样的a 值. ②若32x a =+=1，则32x a =+是增根，此时a =1.综上所述，当a =－2或a =1时，原分式方程无解. 3.解析：可用裂项法，由于方程中每一个分式的分母加1都等于它的分子，根据这样一个特点，可以把分子分裂成两项，然后分别用它的分母去除，消去分子中的未知数，再分组通分，将分子化1.解：原方程可化为(2)1(8)1(4)1(6)12846x x x x x x x x -+-+-+-++=+----， 即 11112846x x x x +=+----. 移项得11112468x x x x -=-----， 通分得22(2)(4)(6)(8)x x x x =----， 所以22144868x x x x -+=-+，解得 x =5.经检验x =5是原方程的解.4.解：（1）12,m x c x c==. 验证：当x 1=c 时，左边=m m x c x c +=+=右边；当x 2=m c 时，左边=m m m m x c m x c cc +=+=+=右边.所以12,m x c x c==都是原方程的解； （2）因为2211x a x a +=+--，所以221111x a x a -+=-+--，所以11x a -=-，或211x a -=-，所以x a =或11a x a +=-.。
2020冀教版数学八年级上册15章专项训练试题及答案
分子有理化法 3．比较 15－ 14与 14－ 13的大小．
1
分母有理化法 4．比较 1 与 1 的大小．
2－ 3 3－ 2
作差法
5．比较
19 － 3
1与
23的大小．
倒数法 6．已知 x＝ n＋ 3－ n＋ 1， y＝ n＋ 2－ n，试比较 x， y 的大小．
所以 3 a－ 6＜ 0. 3
所以 5－ a＞ a－6.
专训 2 常见二次根式化简求值的八种技巧
名师点金： 在有理数中学习的法则、性质、运算律、公式等在二次根式内仍然适用，在 运算的最后注意结果要化简到最简形式． 在进行化简时， 一定要注意所给出的条件或题中的 隐含条件，根据题目的特点，选取适当的解题方法．
专训 1 比较二次根式大小的八种方法
名师点金： 二次根式的大小比较，是教与学的一个难点， 如能根据二次根式的特征，灵 活地、有针对性地采用不同的方法，将会得到简捷的解法．较常见的比较方法有：平方法、 作商法、分子有理化法、分母有理化法、作差法、倒数法、特殊值法、定义法等．
平方法 1．比较 6＋ 11与 14＋ 3的大小．
3． 解： 原式＝ (5＋ 6)× [5 2－ 2× 6] ＝ (5＋ 6)× [ 2× (5－ 6)] ＝ 2× (5＋ 6)× (5－ 6)
＝ 2× (25－ 6)
＝ 19 2.
（ 6＋ 3）＋ 3（ 3＋ 2） 4． 解： 原式＝ （ 6＋ 3）（ 3＋ 2）
＝
6＋ 3
＋
3（ 3＋ 2）
（ 6＋ 3）（ 3＋ 2） （ 6＋ 3）（ 3＋ 2）
＝1＋ 3 3＋ 2 6＋ 3
＝ 3－ 2＋ 6－ 3
初二上竞赛辅导资料2(第二讲--非负数的应用)
初二上竞赛辅导资料2第二讲 非负数的应用知识要点：非负数通常是以绝对值、偶次乘方、偶次根式的形式出现的．非负数的用途很广，了解、掌握和熟悉非负数的实质对提高解题能力很有好处，它是一个常考不衰的热点问题之一．1．非负数的概念，在实数范围内，非负数指的是零和正数．(1)绝对值是非负数因为一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零，所以绝对值是非负数．(2)算术根是非负数因为正数的正的方根叫做算术根，零的算术根是零，所以算术根是非负数．(3)一个实数的偶次幂是非负数．(4)在数轴上，原点和原点右边的点都表示非负数．2．非负数的性质和运算(1)有限个非负数的和仍然是非负数．(2)两个非负数的差不一定是非负数．如当被减数小于减数时，其差就是负数．(3)有限个非负数的积(包括乘方)仍然是非负数．(4)非负数的商仍然是非负数(除数不为零)．(5)如果有限个非负数的和等于零，那么每一个加数都必为零．(6)无最大的非负数而有最小的非负数，最小的非负数是零．(7)非负数大于一切负数．例1.已知,,a b c 满足2224222a b a c ac -+++=+，求a b c -+的值.例2.整数,x y 满足不等式22122x y x y ++≤+，则x y +的值有（ ）. A .1个 B . 2个 C .3个 D . 4个练习，已知整数,,a b c 满足2224398a b c ab b c +++≤++，求,,a b c 的值.例3.已知2y =，求22x y +的值.例 4.若m 满足关系式.求m 的值.能力训练一、选择题1.若,x y 为实数，且20x +=，则2009()x y的值为（ ）. A .1 B .-1 C . 2 D . -22.若2(a 与1b -互为相反数，则1b a-的值为（ ）.A B 1 C .1 D .13.若112x -≤≤ ）. A .43x -+ B . 5 C .23x + D .43x +4.已知11a a -=，则1a a+的值为（ ）.A .B .C .15.2()x y =+，则x y -的值为（ ）.A .-1B . 1C . 2D .3二、填空题6.若实数,x y 满足0xy ≠，则y x m x y =+的最大值是_______.7.已知实数,,a b c 21()02c -=，则=()a b c +=___________.8.方程480x -+，当0y >时，m 的取值范围是_________.9.若22(4)0a c --=，则a b c -+=_____.10.设,a b 为实数，那么222a ab b a b ++--的最小值是___________.三、解答题11.2(2)0ab -=，求111(1)(1)(2010)(2010)ab a b a b ++⋅⋅⋅+++++的值。
八年级数学上册 第十二章 分式和分式方程 专题练习 分式2 冀教版(2021年整理)
八年级数学上册第十二章分式和分式方程专题练习分式2 （新版）冀教版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（八年级数学上册第十二章分式和分式方程专题练习分式2 （新版）冀教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
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分式自我小测 基础自测 1.下列式子：①x 2;②22321xy y x -；③41-；④a +51;⑤ 5n m -。
其中是分式的是（ ） A 。
①③④ B.①②⑤ C。
③⑤ D。
①④2.当a ＝－1时，分式112-+a a 的值 （ ) A.没有意义 B.等于零 C.等于1 D 。
等于－13.下列分式中一定有意义的是（ )A 。
112+-x xB 。
21xx + C.1122-+x x D 。
12+x x 4.下列各式从左到右的变形正确的是( ）A.y x y x y x y x 222121+-=+-B 。
b a b a b a b a 222.02.0++=++ C.y x x y x x --=-+-11 D.ba b a b a b a +-=-+ 5.使分式31+-x x 有意义的x 的取值范围是_____________。
6。
下列等式的右边是怎样从左边得到的?（1)44612-=+-x x x ; （2))23(6136322312≠+--=-x x x x x . 能力提升7。
观察下面一列有规律的数:486,355,244,153,82,31,…。
根据规律可知第n 个数是__________（n 为正整数).8.不改变分式的值,使它的分子、分母的最高次项的系数都是正数,则=-+--32211mm m m _____________.9.若分式mx x +-212不论x 取何实数时总有意义,求m 的取值范围. 创新应用10。
河北专版八上第17章特殊三角形阶段题型专训利用勾股定理解题的常见题型冀教版
解：如图，连接BD. ∵在等腰直角三角形ABC中，点D为AC边的中点， ∠ABC＝90°，∴BD⊥AC，BD平分∠ABC. ∴∠ABD＝∠CBD＝45°.又易知∠C＝45°， ∴∠ABD＝∠CBD＝∠C.∴BD＝CD. ∵DE⊥DF，BD⊥AC， ∴∠FDC＋∠BDF＝∠EDB＋∠BDF＝90°. ∴∠FDC＝∠EDB.
2．(2019·河北唐山路北区期中)如图，阴影部分是两个正方形， 其他三个图形是一个正方形和两个直角三角形，则阴影部分 的面积和为____8_1___．
3．如图，在等腰直角三角形 ABC 中，∠ABC＝90°，点 D 为 AC 边的中点，过 D 点作 DE⊥DF，交 AB 于 E，交 BC 于 F. 若 AE＝4，FC＝3，求 EF 的长．
9．在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AB＝5 cm，AC＝3 cm，动点 P 从点 B 出发沿射线 BC 以 1 cm/s 的速度运动，设运动的时 间为 t s.
(1)求 BC 边的长； 解：在Rt△ABC中，BC2＝ AB2－AC2＝52－32＝16， ∴BC＝4 cm.
(2)当△ABP 为直角三角形时，借助图①求 t 的值；
解：在 Rt△ABC 中，由勾股定理得 AC2＝25，所以 AC＝5. 由折叠的性质得 AB′＝AB＝3，B′E＝BE，∠AB′E＝∠B＝90°. 设 B′E＝BE＝x，则 CE＝4－x. 在 Rt△B′CE 中，B′C＝AC－AB′＝5－3＝2，由勾股定理得 B′E2 ＋B′C2＝CE2，即 x2＋22＝(4－x)2，解得 x＝32. 所以 EB′的长为32.
(3)当△ABP 为等腰三角形时，借助图②求 t 的值． 解：当△ABP 为等腰三角形时，有三种情况： Ⅰ.如图①，当 BP＝AB 时，t＝5； Ⅱ.如图②，当 AB＝AP 时，BP＝2BC＝8 cm，即 t＝8； Ⅲ.如图③，当 BP＝AP 时，AP＝BP＝t cm，CP＝|t－4|cm. 在 Rt△ACP 中，AP2＝AC2＋CP2，∴t2＝32＋(t－4)2，解得 t＝285. 综上所述，当△ABP 为等腰三角形时，t＝5 或 t＝8 或 t＝285.
非负数应用的常见题型
专项训练1非负数应用的常见题型方法指导：1.常见的非负数有：算术平方根、偶次方、绝对值等，且一个数的算术平方根具有双重非负性．2．根据“几个非负数之和等于0，从而得每个非负数都等于0”构建方程，可求字母或式子的值．题型1：绝对值的非负性1．如果一个数的绝对值为a，那么数a在数轴上(如图)对应的点不可能是()(第1题)A．点M B．点O C．点P D．点N2．如果|a－2|＋|b|＝0，那么a，b的值分别为()A．1，1 B．－1，3C．2，0 D．0，23．设a，b是一个等腰三角形的两边长，且满足|a－5|＋|3－b|＝0，则该三角形的周长是________．题型2：偶次方的非负性4．若(x＋3)2＝a－2，则a的值可以是()A．－1B．0C．1D．25．若x2＋(y－4)4＝0，求x y的值．算术平方根的非负性类型1 a 中被开方数a ≥0的应用6．如果1－a ＝b ，那么a 的取值范围是( )A ．a ＞1B ．a ＜1C ．a ＝1D ．a ≤17．若式子1x －1有意义，化简：|1－x|＋|x ＋2|.8．已知x ，y 都是有理数，且y ＝x －3＋3－x ＋8，求x ＋3y 的立方根．9．已知a 为有理数，求式子a ＋2－2－4a ＋－a 2的值．类型2 a ≥0的应用 10．已知x ，y 是有理数，且3x ＋4＋|y －3|＝0，则xy 的值是( )A ．4B ．－4C .94D ．－9411．已知x ＋3＋2y －4＝0，求(x ＋y)2 018的值．12．当x为何值时，2x＋1＋6 有最小值？最小值为多少？类型3算术平方根的双重非负性的应用13．若a＋a－2＝2，求a＋2的值．参考答案1．A 2.C3．11或134．D5．解：因为x 2≥0，(y －4)4≥0，且x 2＋(y －4)4＝0，所以x ＝0，y －4＝0.所以y ＝4.所以x y ＝0.6．D7．解：由1x －1有意义得x ＞1.所以|1－x|＋|x ＋2|＝(x －1)＋(x ＋2)＝2x ＋1. 8．解：由题意得x －3≥0且3－x ≥0，所以x ＝3.所以y ＝8.所以x ＋3y 的立方根为3x ＋3y ＝33＋3×8＝3.9．解：因为－a 2≥0，所以a ＝0.所以原式＝2－2＋0＝0.10．B11．解：由题意得x ＋3＝0，2y －4＝0，所以x ＝－3，y ＝2.所以(x ＋y)2 018＝(－3＋2)2 018＝1.12．解：因为2x ＋1≥0，所以当2x ＋1＝0，即x ＝－12时，2x ＋1＋6有最小值，最小值为6. 13．解：由a ＋a －2＝2得a －2＝2－a ，所以a －2≥0，2－a ≥0，即a ＝2.所以a ＋2＝2＋2＝2.。
阶段题型专训 巧用实数解题的常见题型-2020秋冀教版(河北)八年级数学上册习题课件(共17张PPT)
【点拨】A.由题意可知点 O 到点 A 的长是圆的周长，而圆的周 长＝πd＝π×1＝π，所以点 A 表示的数是 π，π 是无理数，这个选 项错误；B．5 的算术平方根是无理数，这个选项错误； C．9 的立方根是无理数，这个选项错误； D. 144＝12，12 是有理数，这个选项正确．故选 D.
【答案】D
，…}；
15，4，
197，23，0.31，4.2·1·，(3
5－ 2)0 ，…}；
－7.5，3 －27，－π3，－|－4|
，…}．
6．－ 22的相反数是( B )
A．－ 2
B.
2 2
C. 2
D．－
2 2
7．(2018·山东潍坊)|1－ 2|＝( B ) A．1－ 2 B. 2－1 C．1＋ 2 D．－1－ 2
5．把下列各数填入相应的大括号内：
0，－7.5， 15，4， 197，23，3 －27，0.31，－π3，4.2·1·，
3 (
5－
2)0，－|－4|.
有理数：{ 0，－7.5，4，23，3 －27，0.31，4.2·1·，
3 (
5－
2)0，－|－4|
，…}；
无理数：{ 正实数：{
负实数：{
15， 197，－π3
冀教版 八年级上
第十四章 实数
阶段题型专训 巧用实数解题的常见题型
提示：点击 进入习题
1B 2 5(答案不唯一) 3D 4C 5 见习题
6B 7B 8 见习题 9 2. 10 D
答案显示
提示：点击 进入习题
11 D
答案显示
1．下列各数：3.141 59，3 64，1.010 010 001…(相邻两个 1 之间 0 的个数逐次加 1)，4.2··1，π，272中，无理数有( B ) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
冀教版-数学-八年级上册-《用计算器求平方根与立方根》补充习题(二)
用计算器开平（立）方习题精选★用计算器求非负数的算术平方根1．小明在计算324.15-时，先用计算器算出324.15的值之后，他应按下的键是（）2．用计算器求318时，按键顺序为________。
3．用计算器求6≈2.45，则6的平方根为_______。
4．学校一正方形的花坛面积为15㎡，它的边长大约是______ m。
（精确到0.1 m）5．用计算器比较大小。
（1）3_______3.75；（2）51+______3.1；（3）713____ 35 -6．用计算器求下列各数的平方根（精确到0.01）：（1）0.375；（2）217153；（3）0.347×3.14；（4）144。
7．用计算器求值（精确到0.01）：（1）0.736-；（2）2673。
★用计算器求一个数的立方根8．某人在计算31234时，本想按下，但他发现按错了最后一个键，此时他按下面哪个键可以修正（）93 2.013-_________。
10．用计算器比较大小：（131.2 1.2（2）3123410.2-。
11．用计算器求值（精确到0.01）：（13143（2339.47-；（330.0999112．计算：320152-_________（保留4个有效数字）。
13．求下列各式中x 的值（结果保留4个有效数字）：（1）218203x -=；（2）（x －3）2＝7； （3）3x 2－29＝0。
14．一个长方形长为49cm ，宽为37cm ，求它的对角线长（精确到0.1cm ）（一）新型题15．已知8.5012＝72.27，2.6882＝7.2270.000722772270000（二）课本习题变式题16．（课本P113页练习第3题变式题）何种是25cm 3的正方体，其棱长是多少？表面积是多少？（三）易错题17．用计算器求10的平方根（精确到0.01）。
（四）难题巧解题18．借助于计算器可以求得：2243+，224433+，22444333+，2244443333+，…，仔细观察上面几道题的计算结果，试猜想2220032003444333+＝________。
2024八年级数学上册第十四章实数练素养1.非负数应用的三种常见题型习题课件新版冀教版
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6. [2024·石家庄第Fra bibliotek十中学月考]已知 y ＝ − ＋
− ＋8，则 的平方根是 ± .
【点拨】
根据二次根式有意义的条件可得
，
∴
x
＝
，
≥
− ≥ ，
ቊ
解得൞
− ≥ ，
≤
.
将 x ＝ 代入 y ＝ − ＋ − ＋8，得 y ＝8，
冀教版 八年级上
第十四章
练素养
实数
集训课堂
1.非负数应用的三种常见题型
1. 常见的非负数有算术平方根、偶次方、绝对值等，且一个
数的算术平方根具有双重非负性.
2. 根据“几个非负数之和等于0，从而得每个非负数都等于
0”构建方程，可求字母或式子的值.
题型1 绝对值的非负性
1. 若｜ a －2｜＋ ＋ ＝0，则 ab ＝
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10. 已知 + ＋ − ＝0，求( x ＋ y )2 024的值.
【解】由题意得 x ＋3＝0，2 y －4＝0，
所以 x ＝－3， y ＝2.
所以( x ＋ y )2 024＝(－3＋2)2 024＝1.
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11. [新趋势·学科内综合]已知 − 与( y ＋1)2互为相反数，
所以 a －2≥0，2－ a ≥0.所以 a ＝2.
所以 + ＝ + ＝2.
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冀教版八年级上册数学 分式的意义及性质的四种题型 专项训练课件
＝
14yy＋ －53－ －1x4x＝－5－3－41x1x－－1y1y＝5－－34－×22＝－ －35＝35.
8．通常情况下，a＋b 不一定等于 ab，观察：2＋2 ＝2×2，3＋32＝3×32，4＋43＝4×43，…，我们把符 合 a＋b＝ab 的两个数 a，b 叫做“和积数对”， 已知 m，n 是一对“和积数对”． (1)当 m＝－10 时，求 n 的值；
6．已知 x＋y＋z＝0，xyz≠0，求|y＋x z|＋|z＋y x|＋|x＋z y|的值．
解：由 x＋y＋z＝0，xyz≠0 可知，x，y，z 必为两 正一负或两负一正．当 x，y，z 为两正一负时，不 妨设 x＞0，y＞0，z＜0，则原式＝|－xx|＋|－yy|＋|－z z| ＝1＋1－1＝1；当 x，y，z 为两负一正时，不妨设 x＞0，y＜0，z＜0，则原式＝|－xx|＋|－yy|＋|－z z|＝1 －1－1＝－1.综上所述，所求式子的值为 1 或－1.
4．已知：分式m2＋m25－m4＋6. (1)当 m 满足什么条件时，分式有意义？
解：当m2－4≠0，即m≠±2时，分式有意义．
(2)约分：m2＋m25－m4＋6； ＝（ （mm＋ ＋22） ）（ （mm＋ －32） ） ＝mm－＋23.
(3)当m满足什么条件时，分式的值为负数？ 解：由题意及(2)知mm－＋23＜0， ∴mm＋ －32＞ ＜00，或mm＋ －32＜ ＞00， ， 解得－3＜m＜2，又由(1)知，m≠±2， ∴当－3＜m＜2 且 m≠－2 时，分式的值为负数．
5．对分式aa2＋－bb2的变形： 甲同学的解法：aa2＋－bb2＝（a＋b） a＋（ba－b）＝a－b； 乙同学的解法：aa2＋－bb2＝（（aa2－ ＋bb2））（（aa－－bb））＝ （a2－ba22）－（b2a－b）＝a－b. 请判断甲、乙两同学的解法是否正确，并说明理由．
翼教版八年级数学上册第十二章专题练习分式方程
专题一 根据分式方程的根确定字母的值或取值范围 1.关于x 的分式方程1131=-+-xx m 的解为正数，则m 的取值范围是 .2.若关于x 的方程311x a x x--=-无解，求a 的值.专题二 特殊分式方程的特殊解法 3.解方程：17352846x x x x x x x x ----+=+----.4. 阅读下列材料：关于x 的方程11x c xc+=+的解是121,x c x c==（12,x x 表示未知数x 的两个实数解，下同）；（1）11x c x c -=-的解是121,x c x c ==-（即：11x c x c --+=+的解是121,x c x c==-）； 22x c x c +=+的解是122,x c x c ==； 33x c x c +=+的解是123,x c x c==. 请观察上述方程与解的特征，比较关于x 的方程m mx c x c+=+（m ≠0）与它们的关系，猜想它的解是什么，并利用“方程的解”的概念进行验证；（2）由上述的观察、比较、猜想、验证，可以得出结论：如果方程的左边是未知数与其倒数的倍数的和，方程右边的形式与左边完全相同，只是把其中的未知数换成了某个常数，那么这样的方程可以直接得解.请用这个结论解关于x 的方程：2211x a x a +=+--.参考答案1. m ＞2且m ≠3 解析：去分母，原方程可化简为2x m =-，因为方程的解为正数，所以20m ->，得m ＞2；又10x -≠，所以x ≠1，即m －2≠1，得m ≠3.综上，m ＞2且m ≠3.2.解：把分式方程转化为整式方程，得x （x -a ）-3(x -1)=x (x -1)，整理得(a +2)x =3，分情况讨论：（1）当a +2=0时，方程(a +2)x =3无解，即当a =-2时，原分式方程无解；（2）当a +2≠0时，方程(a +2)x =3有解，解这个分式方程，得32x a =+. ①若32x a =+=0，则32x a =+是增根，此时不存在这样的a 值. ②若32x a =+=1，则32x a =+是增根，此时a =1.综上所述，当a =-2或a =1时，原分式方程无解.3.解析：可用裂项法，由于方程中每一个分式的分母加1都等于它的分子，根据这样一个特点，可以把分子分裂成两项，然后分别用它的分母去除，消去分子中的未知数，再分组通分，将分子化1.解：原方程可化为(2)1(8)1(4)1(6)12846x x x x x x x x -+-+-+-++=+----， 即 11112846x x x x +=+----. 移项得11112468x x x x -=-----， 通分得22(2)(4)(6)(8)x x x x =----，所以22144868x x x x -+=-+， 解得 x =5.经检验x =5是原方程的解. 4.解：（1）12,mx c x c==. 验证：当x 1=c 时，左边=m m x c x c +=+=右边；当x 2=m c 时，左边=m m m mx c m x c cc+=+=+=右边.所以12,m x c x c ==都是原方程的解； （2）因为2211x a x a +=+--，所以221111x a x a -+=-+--，所以11x a -=-，或211x a -=-，所以x a =或11a x a +=-.易错专题：求二次函数的最值或函数值的范围——类比各形式，突破给定范围求最值◆类型一 没有限定自变量的取值范围求最值 1．函数y ＝－(x ＋1)2＋5的最大值为________．2．已知二次函数y ＝3x 2－12x ＋13，则函数值y 的最小值是【方法12】( )A ．3B ．2C ．1D ．－13．函数y ＝x(2－3x)，当x 为何值时，函数有最大值还是最小值？并求出最值． ◆类型二 限定自变量的取值范围求最值4．在二次函数y ＝x 2－2x －3中，当0≤x ≤3时，y 的最大值和最小值分别是【方法12】( )A ．0，－4B ．0，－3C ．－3，－4D ．0，05．已知0≤x ≤32，则函数y ＝x 2＋x ＋1( )A ．有最小值34，但无最大值B ．有最小值34，有最大值1C ．有最小值1，有最大值194D ．无最小值，也无最大值6．已知二次函数y ＝－2x 2－4x ＋1，当－5≤x ≤0时，它的最大值与最小值分别是( )A ．1，－29B ．3，－29C ．3，1D ．1，－37．已知0≤x ≤12，那么函数y ＝－2x 2＋8x －6的最大值是________．◆类型三 限定自变量的取值范围求函数值的范围8．从y ＝2x 2－3的图像上可以看出，当－1≤x ≤2时，y 的取值范围是( )A ．－1≤y ≤5B ．－5≤y ≤5C ．－3≤y ≤5D ．－2≤y ≤19．(贵阳中考)已知二次函数y ＝－x 2＋2x ＋3，当x ≥2时，y 的取值范围是( )A ．y ≥3B ．y ≤3C ．y ＞3D ．y ＜310．二次函数y ＝x 2－x ＋m(m 为常数)的图像如图所示，当x ＝a 时，y ＜0；那么当x ＝a －1时，函数值CA．y＜0 B．0＜y＜m C．y＞m D．y＝m11．二次函数y＝2x2－6x＋1，当0≤x≤5时，y的取值范围是______________．◆类型四已知函数的最值，求自变量的取值范围或待定系数的值12．当二次函数y＝x2＋4x＋9取最小值时，x的值为( )A．－2 B．1 C．2 D．913．已知二次函数y＝ax2＋4x＋a－1的最小值为2，则a的值为( )A．3 B．－1 C．4 D．4或－114．已知y＝－x2＋(a－3)x＋1是关于x的二次函数，当x的取值范围在1≤x≤5时，y在x＝1时取得最大值，则实数a的取值范围是( )A．a＝9 B．a＝5 C．a≤9 D．a≤515．已知a≥4，当1≤x≤3时，函数y＝2x2－3ax＋4的最小值是－23，则a＝________.16．若二次函数y＝x2＋ax＋5的图像关于直线x＝－2对称，已知当m≤x≤0时，y有最大值5，最小值1，则m的取值范围是_____________.参考答案与解析 1．5 2.C3．解：∵y ＝x (2－3x )＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－23x ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －132＋13，∴该抛物线的顶点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13.∵－3＜0，∴该抛物线的开口方向向下，∴当x ＝13时，该函数有最大值，最大值是13.4．A 5.C6．B 解析：首先看自变量的取值范围－5≤x ≤0是否包含了顶点的横坐标．由于y ＝－2x 2－4x ＋1＝－2(x ＋1)2＋3，其图像的顶点坐标为(－1，3)，所以在－5≤x ≤0范围内，当x ＝－1时，y 取最大值，最大值为3；当x ＝－5时，y 取最小值，最小值为y ＝－2×(－5)2－4×(－5)＋1＝－29.故选B.7．－2.5 解析：∵y ＝－2x 2＋8x －6＝－2(x －2)2＋2，∴该抛物线的对称轴是直线x ＝2，当x ＜2，y随x 的增大而增大．又∵0≤x ≤12，∴当x ＝12时，y 取最大值，y 最大＝－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12－22＋2＝－2.5.8．C9．B 解析：当x ＝2时，y ＝－4＋4＋3＝3.∵y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，∴当x ＞1时，y 随x 的增大而减小，∴当x ≥2时，y 的取值范围是y ≤3.故选B.10．C 解析：当x ＝a 时，y ＜0，则a 的范围是x 1＜a ＜x 2，又对称轴是直线x ＝12，所以a －1＜0.当x ＜12时，y 随x 的增大而减小，当x ＝0时函数值是m .因此当x ＝a －1＜0时，函数值y 一定大于m . 11．－72≤y ≤21 解析：二次函数y ＝2x 2－6x ＋1的图像的对称轴为直线x ＝32.在0≤x ≤5范围内，当x＝32时，y 取最小值，y 最小＝－72；当x ＝5时，y 取最大值，y 最大＝21.所以当0≤x ≤5时，y 的取值范围是－72≤y ≤21.12．A13．C 解析：∵二次函数y ＝ax 2＋4x ＋a －1有最小值2，∴a ＞0，y 最小值＝4ac －b 24a ＝4a （a －1）－424a＝2，整理得a 2－3a －4＝0，解得a ＝－1或4.∵a ＞0，∴a ＝4.故选C.14．D 解析：第一种情况：当二次函数的对称轴不在1≤x ≤5内时，∵在1≤x ≤5时，y 在x ＝1时取得最大值，∴对称轴一定在1≤x ≤5的左边，∴对称轴直线x ＝a －32＜1，即a ＜5；第二种情况：当对称轴在1≤x ≤5内时，∵－1<0，∴对称轴一定是在顶点处取得最大值，即对称轴为直线x ＝1，∴a －32＝1，即a ＝5.综上所述，a≤5.故选D.15．5 解析：抛物线的对称轴为直线x＝3a4.∵a≥4，∴x＝3a4≥3.∵抛物线开口向上，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，∴当1≤x≤3时，函数取最小值－23时，x＝3.把x＝3代入y＝2x2－3ax＋4中，得18－9a＋4＝－23，解得a＝5.16．－4≤m≤－2 解析：∵二次函数图像关于直线x＝－2对称，∴－a2×1＝－2，∴a＝4，∴y＝x2＋4x ＋5＝(x＋2)2＋1.当y＝1时，x＝－2；当y＝5时，x＝0或－4.∵当m≤x≤0时，y有最大值5，最小值1，∴－4≤m≤－2.。
翼教版八年级数学上册第十二章专题练习分式方程
专题一 根据分式方程的根确定字母的值或取值范围1.关于x 的分式方程1131=-+-x x m 的解为正数，则m 的取值范围是 .2.若关于x 的方程311x a x x --=-无解，求a 的值.专题二 特殊分式方程的特殊解法3.解方程：17352846x x x x x x x x ----+=+----.4. 阅读下列材料：关于x 的方程11x c x c +=+的解是121,x c x c==（12,x x 表示未知数x 的两个实数解，下同）； （1）11x c x c -=-的解是121,x c x c ==-（即：11x c x c --+=+的解是121,x c x c==-）； 22x c x c +=+的解是122,x c x c==； 33x c x c +=+的解是123,x c x c==. 请观察上述方程与解的特征，比较关于x 的方程m m x c x c +=+（m ≠0）与它们的关系，猜想它的解是什么，并利用“方程的解”的概念进行验证；（2）由上述的观察、比较、猜想、验证，可以得出结论：如果方程的左边是未知数与其倒数的倍数的和，方程右边的形式与左边完全相同，只是把其中的未知数换成了某个常数，那么这样的方程可以直接得解.请用这个结论解关于x 的方程：2211x a x a +=+--.参考答案2 1. m ＞2且m ≠3 解析：去分母，原方程可化简为2x m =-，因为方程的解为正数，所以20m ->，得m ＞2；又10x -≠，所以x ≠1，即m －2≠1，得m ≠3.综上，m ＞2且m ≠3.2.解：把分式方程转化为整式方程，得x （x -a ）-3(x -1)=x (x -1)，整理得(a +2)x =3，分情况讨论：（1）当a +2=0时，方程(a +2)x =3无解，即当a =-2时，原分式方程无解；（2）当a +2≠0时，方程(a +2)x =3有解，解这个分式方程，得32x a =+. ①若32x a =+=0，则32x a =+是增根，此时不存在这样的a 值. ②若32x a =+=1，则32x a =+是增根，此时a =1.综上所述，当a =-2或a =1时，原分式方程无解.3.解析：可用裂项法，由于方程中每一个分式的分母加1都等于它的分子，根据这样一个特点，可以把分子分裂成两项，然后分别用它的分母去除，消去分子中的未知数，再分组通分，将分子化1.解：原方程可化为(2)1(8)1(4)1(6)12846x x x x x x x x -+-+-+-++=+----， 即 11112846x x x x +=+----. 移项得11112468x x x x -=-----， 通分得22(2)(4)(6)(8)x x x x =----， 所以22144868x x x x -+=-+，解得 x =5.经检验x =5是原方程的解. 4.解：（1）12,m x c x c==. 验证：当x 1=c 时，左边=m m x c x c +=+=右边；当x 2=m c 时，左边=m m m m x c m x c cc+=+=+=右边.所以12,m x c x c==都是原方程的解； （2）因为2211x a x a +=+--，所以221111x a x a -+=-+--，所以11x a -=-，或211x a -=-，所以x a =或11a x a +=-.习题试解预习法检验预习效果的最佳途径数学学科有别于其他学科的一大特点就是直接用数学知识解决问题。
2019—2020年最新冀教版八年级数学上册专训1巧用实数及相关概念的定义解题及答案.docx
专训1 巧用实数及相关概念的定义解题名师点金：实数的内容主要包括有理数与无理数的识别、实数的分类、实数的相反数、倒数、绝对值的意义及性质．在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和在有理数范围内完全相同．无理数的识别1．下列各数：3.141 59，364，2.020 020 002…(相邻两个2之间0的个数逐次加1)，4.21··，π，227中，无理数有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个2．有理数和无理数的区别在于( )A ．有理数是有限小数，无理数是无限小数B ．有理数能用分数表示，而无理数不能C ．有理数是正的，无理数是负的D ．有理数是整数，无理数是分数3．写出一个大于2且小于4的无理数：________．实数的分类4．下列说法错误的是( )A ．实数可分为正实数、0和负实数B ．无理数可分为正无理数和负无理数C．无理数都是带根号的数D．实数是有理数和无理数的统称5．把下列各数填入相应的大括号内：－12，－3，23，92，－3－8，0，－π，－1193，－4.2·01·，3.101 001 000 1…(相邻两个1之间0的个数逐次加1)．有理数：{ ，…}；无理数：{ ，…}；整数：{ ，…}；分数：{ ，…}；正实数：{ ，…}；负实数：{ ，…}．实数的相反数、倒数、绝对值6．－10是10的( )A．相反数B．倒数C．绝对值D．算术平方根7．【中考·金华】实数－2的绝对值是( )A．2 B. 2C．－ 2 D．－2 28．求下列各数的相反数和绝对值：(1)－5；(2)3－π；(3)2－3；(4)3－271 000.9．若实数a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，求2（a ＋b ）＋38cd 的值．实数在数轴上的表示 10．实数a ，b 在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中错误的是( )(第10题)A ．ab ＞0B ．a ＋b ＜0C.a b＜1 D ．a －b ＜0 11．数轴上表示1，2的点分别为A ，B ，点B 到点A 的距离与点C 到原点的距离相等，设点C 表示的数为x(x ＞0)．(1)写出实数x 的值；(2)求(x －2)2的值．答案1．B 2.B 3.5(答案不唯一) 4.C5．解：有理数：{－12，92，－3－8，0，－1193，－4.2·01·，…}； 无理数：{－3，23，－π，3.101 001 000 1…(相邻两个1之间0的个数逐次加1)，…}；整数：{－3－8，0，…}；分数：{－12，92，－1193，－4.2·01·，…}； 正实数：{23，92，－3－8，3.101 001 000 1…(相邻两个1之间0的个数逐次加1)，…}； 负实数：{－12，－3，－π，－1193，－4.2·01·，…}． 点拨：根据有理数、无理数等的概念进行分类，应注意先把一些数进行化简再进行判断，如－3－8＝2.6．A 7.B8．解：(1)－5的相反数是5，绝对值是|－5|＝ 5.(2)3－π的相反数是－(3－π)＝π－3，绝对值是|3－π|＝π－3.(3)2－3的相反数是－(2－3)＝3－2，绝对值是|2－3|＝3－ 2.(4)3－271 000＝－310，它的相反数是310，绝对值是⎪⎪⎪⎪⎪⎪－310＝310.9．解：由已知得a＋b＝0，cd＝1.所以原式＝0＋38＝2.10．C11．解：(1)x的值为2－1.(2)当x＝2－1时，(x－2)2＝(2－1－2)2＝1.。
八年级数学上册 第12章 分式和分式方程 微卷专训2 六
专训2 六种常见的高频考点汇总名师点金：本章主要学习了分式定义，分式的运算，分式方程的解法及应用，其常见高频考点有：分式的概念及分式有、无意义的条件，分式的基本性质，分式的有关运算，整数指数幂，可化为一元一次方程的分式方程及其应用，数学思想方法的应用等．分式的概念及分式有、无意义的条件1．在式子2x ，13(x ＋y)，x π－3，5a －x ，x ＋3（x ＋1）（x －2）中，分式有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个2．若分式2x －5有意义，则x 的取值范围是( )A ．x≠5B ．x≠－5C ．x ＞5D ．x ＞－53．若分式x 2－13x －3的值为0，则( )A ．x ＝－1B ．x ＝1C ．x ＝±1D ．x ＝04．如果一个分式含有两个字母a ，b ，但不论a ，b 为何值，分式始终有意义，这样的分式可以是________(只填一个符合条件的分式即可)．5．若当x ＝1时，分式x ＋a x －b 的值为0；当x ＝3时，分式x ＋ax －b 无意义，则a ＋b 的值等于________．分式的基本性质6．若将分式2aa ＋b中，a ，b 的值同时扩大到原来的5倍，则此分式的值( )A ．是原来的10倍B ．是原来的5倍C ．是原来的15D ．不变7．约分：(1)a 2－4a 2－4a ＋4； (2)x －1x 2－2x ＋1.8．通分：(1)8－3m 2n ，35mn 2； (2)a －1a 2＋2a ＋1，4a 2－1.分式的有关运算9．下列运算中，正确的个数是( ) ①m 4n 3·n 4m 2＝m n ； ②x －y x ＋y ÷(y－x)·1x －y ＝－1x 2－y2； ③m a －n b ＝m －n a －b ； ④a －2a 2－4＋1a ＋2＝2a －2. A ．0 B ．1 C ．2 D ．310．计算a ＋1a 2－2a ＋1÷⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2a －1的结果是( )A .1a －1 B .1a ＋1 C .1a 2－1 D .1a 2＋111．【中考·临沂】计算：a a ＋2－4a 2＋2a ＝__________．12．化简：⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1m ＋1(m ＋1)＝________． 13．计算下列各题． (1)4a a 2－1＋1＋a 1－a －1－a 1＋a ；(2)m m ＋3－69－m 2÷2m －3.14．先化简x 2＋2x x －1·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x ，然后请自选一个你喜欢的x 的值代入求值．整数指数幂15．下列计算正确的是( )A ．x 2·x －3＝2xB ．x 2÷x 6＝1x4C ．(－x －3)2＝x 6D .⎝ ⎛⎭⎪⎫－13－2＝1916．下列说法正确的是( )A .⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－2与22互为相反数 B .⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－2与－22互为相反数 C .⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－2与2－2互为相反数D .⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－2－220的值为1 17．计算(π－3)0＋(－2)－3＝________．18．“年”是时间单位，但“光年”虽有个“年”字却不是时间单位，而是天文学上一种计量天体时空距离的单位.1光年表示光在真空中一年时间所走过的距离．光速约为3.0×105千米/秒，那么一光年约为________千米(结果保留一位小数)．可化为一元一次方程的分式方程及其应用19．分式方程x x －1＝23x －3的解是( )A ．x ＝－16 B ．x ＝23 C ．x ＝13 D ．x ＝5620．若关于x 的方程x ＋2x －1＝1＋ax －2的解为x ＝3，则a 等于( )A ．1B .32C ．0D ．－1221．【中考·菏泽】解分式方程：2x 2－4＋xx －2＝1.22．进入防汛期后，某地对河堤进行了加固．该地驻军在河堤加固的工程中出色的完成了任务，这是记者与驻军工程指挥官的一段对话：(第22题)通过这段对话，请你求出该地驻军原来每天加固的米数．数学思想方法的应用a ．数形结合思想23．如图，点A ，B 在数轴上，它们所表示的数分别是－4，4x －45x ＋1，且点A 到原点的距离是点B 到原点距离的2倍，求x 的值．【导学号：42282014】(第23题)b ．整体思想24．已知1x ＋1＝5，试求x2x ＋1－x ＋2的值．c ．消元思想25．已知2m －3n ＝0，求m m ＋n ＋m m －n －n2m 2－n 2的值．答案1．B 2.A 3.A 4.ba 2＋1(答案不唯一) 5.2 6.D 7．解：(1)原式＝（a ＋2）（a －2）（a －2）2＝a ＋2a －2. (2)原式＝x －1（x －1）2＝1x －1. 8．解：(1)最简公分母是15m 2n 2. ∴8－3m 2n ＝－40n 15m 2n 2，35mn 2＝9m15m 2n2. (2)最简公分母是(a ＋1)2(a －1)． ∴a －1a 2＋2a ＋1＝（a －1）2（a ＋1）2（a －1）， 4a 2－1＝4（a ＋1）（a ＋1）2（a －1）. 9．B 点拨：①m 4n 3·n 4m 2＝m 2n ，①错；②x －y x ＋y ÷(y－x)·1x －y ＝x －y x ＋y ×1y －x ×1x －y ＝1（x ＋y ）（y －x ）＝－1x 2－y2，②正确； ③m a －n b ＝mb ab －na ab ＝mb －na ab ，③错；④a －2a 2－4＋1a ＋2＝a －2（a ＋2）（a －2）＋1a ＋2＝2a ＋2，④错，故只有1个正确选B .10．A 11.a －2a12.m 13．解：(1)原式＝4a （a ＋1）（a －1）－（a ＋1）2（a －1）（a ＋1）－（a －1）（1－a ）（a ＋1）（a －1）＝4a －（a ＋1）2＋（a －1）2a 2－1 ＝0.(2)原式＝m m ＋3－6（3－m ）（3＋m ）·m －32＝m m ＋3＋3m ＋3＝1.14．解：原式＝x （x ＋2）x －1·x －1x＝x ＋2.由题知x 不能取0，1，x 不妨取5，当x ＝5时，原式＝x ＋2＝7(x 可取除0，1外的任意值)．15．B 点拨：因为x 2·x －3＝x －1＝1x ，x 2÷x 6＝x －4＝1x 4，(－x －3)2＝x －6，⎝ ⎛⎭⎪⎫－13－2＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫－132＝9，所以A ，C ，D 选项错误，选B .16．B 点拨：因为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－2＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝114＝4，－22＝－4，2－2＝122＝14. 所以A ，C ，D 选项错误，选B . 17.78 18.9.5×1012 19．B 20.B21．解：方程两边同时乘x 2－4，得2＋x(x ＋2)＝x 2－4，解得x ＝－3. 经检验，x ＝－3是原方程的解．22．解：设原来每天加固x 米，根据题意得600x ＋4 800－6002x ＝9，解得x ＝300.检验：当x ＝300时，2x≠0(或分母不等于0)，∴x＝300是原方程的解．故该地驻军原来每天加固300米．点拨：解决与对话有关的实际问题，应根据对话的内容确定相等关系，根据相等关系列出方程．23．解：由题意得4x －45x ＋1×2＝4.去分母，整理得2x －2＝5x ＋1解得x ＝－1.经检验，x＝－1是原方程的根．所以x 的值是－1.点拨：本题运用了数形结合思想，通过观察数轴上A ，B 两点的位置情况并结合已知条件建立方程求出x 的值．24．解：原式＝x 2x ＋1－（x －2）（x ＋1）x ＋1＝x 2－x 2＋x ＋2x ＋1＝x ＋2x ＋1∵1x ＋1＝5，∴x＋1＝15. ∴原式＝x ＋1＋1x ＋1＝15＋115＝6.点拨：本题化简后代入求值时，不直接代入x 的值，而是代入x ＋1的值给计算带来简便，体现了整体思想的应用．25．解：原式＝m （m －n ）（m ＋n ）（m －n ）＋m （m ＋n ）（m ＋n ）（m －n ）－n2m 2－n 2＝m 2＋m 2－n 2m 2－n 2＝m 2m 2－n 2＋1.①∵2m－3n ＝0，∴n＝23m.将n ＝23m 代入①式得，原式＝m2m 2－49m2＋1＝95＋1＝145. 点拨：通过解方程，将n 用m 表示出来，再代入原式，消去n ，从而简便求值，体现了消元思想．。
2019—2020年最新冀教版八年级数学上册专训3二次根式运算常见的题型及答案.docx
专训3 二次根式运算常见的题型名师点金：进行二次根式的运算时，要注意以下几点：(1)先将二次根式适当化简；(2)二次根式的乘法可以参照整式的乘法进行运算；(3)对于二次根式的除法运算，通常先将其写成分数的形式，然后通过分母有理化进行运算；(4)二次根式的加减法与整式的加减法类似，即在化简的基础上去括号与合并被开方数相同的二次根式；(5)运算结果一般要化成最简形式．利用运算法则进行计算1．计算：(1)(5－1)(5＋1)－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13－2＋|1－2|－(π－2)0＋8；(2)(2－3)2 016·(2＋3)2 017－2⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪－32.利用公式进行计算2．计算： (1)(3－1)2＋(3＋2)2－2(3－1)(3＋2)； (2)(2＋3－5)2－(2－3＋5)2.利用二次根式的整数部分和小数部分求代数式的值3．已知5＋3和5－3的小数部分分别为a ，b ，试求代数式ab －a ＋4b －3的值．利用整体思想巧求值4．已知a ＝2＋3，b ＝2－3，试求a b －ba的值．利用二次根式加减运算的特征求字母或式子的值5．已知a，b是正整数，且a＋b＝ 1 998，求a＋b的值．【导学号：42282044】答案1．解：(1)原式＝4－9＋2－1－1＋22＝－7＋3 2.(2)原式＝[(2－3)(2＋3)]2 016·(2＋3)－2×32＝2＋3－3＝2.2．解：(1)原式＝[(3－1)－(3＋2)]2＝(3－1－3－2)2＝9.(2)原式＝(2＋3－5＋2－3＋5)×(2＋3－5－2＋3－5)＝22×(23－25)＝46－410.3．思路导引：先明确3的整数部分是1，然后再表示出5±3的整数部分，再由5＋3＝6＋a ，5－3＝3＋b 可求得a ，b 的值，最后代入求值即可．解：因为3的整数部分为1， 所以5＋3＝6＋a ，5－3＝3＋b ，即a ＝3－1，b ＝2－ 3.所以ab －a ＋4b －3＝(3－1)(2－3)－(3－1)＋4×(2－3)－3＝－5＋33－3＋1＋8－43－3＝1－23.方法总结：确定二次根式整数部分和小数部分的方法：先采用缩放的方法确定二次根式的整数部分，然后用二次根式与整数部分的差确定小数部分，即由n ≤a<n ＋1可以确定a的整数部分为n ，小数部分为a －n. 4．解：因为a ＋b ＝2＋3＋2－3＝4，a －b ＝2＋3－(2－3)＝23，ab ＝(2＋3)(2－3)＝1，所以a b －b a ＝a 2－b 2ab ＝（a －b ）（a ＋b ）ab ＝4×231＝83.5．思路导引：先将 1 998化成最简二次根式，由题意可知a ，b ， 1 998是可以合并的二次根式，可设出a ，b ，然后代入求解．解：由a ＋b ＝1 998可知a ，b ，1 998是可以合并的二次根式． 因为 1 998＝9×222＝3222，故可设a ＝m222，b ＝n222，则m222＋n222＝3222，即(m ＋n)222＝3222，所以m ＋n ＝3.又因为m ，n 是正整数，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝1.所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝222，b ＝888或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝888，b ＝222.所以a ＋b ＝1 110.点拨：本题容易产生的第一想法是把a ＋b ＝1 998两边平方，这样虽然能够得到a ＋b ，但等式中增加了ab ，同样不能求出结果，故只能根据“若x ＋y ＝z ，则x ，y ，z 是可以合并的二次根式”这一性质来解决问题．。
八年级数学上第12章分式和分式方程阶段题型专训分式及其运算中的常见题型课冀教
12．(2019·湖南张家界)先化简，再求值：2xx－－23－1÷x2－x－2x2＋1， 然后从 0，1，2 三个数中选择一个恰当的数代入求值．
【点拨】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简题目中的式 子，再选取使原式有意义的 x 的值代入计算即可．
解：原式＝2xx－－23－xx－ －22÷（xx－－12）2 ＝xx－－12·（xx－－12）2 ＝x－1 1. ∵要使原式有意义，∴从 0，1，2 三个数中取值，x 只可取 0. 当 x＝0 时，原式＝x－1 1＝－1.
阶段题型专训 1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月11日星期五2022/3/112022/3/112022/3/11
2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于 独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/112022/3/112022/3/113/11/2022 3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/112022/3/11March 11, 2022 4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/3/112022/3/112022/3/112022/3/11
∵x2＋1＞0，∴x 取任意数．
∴当 x 取任意数时，分式都有意义．
(3)|－x3|x＋2；解：根据题意得|－x|＋2≠0，∴|x|≠－2. ∵|x|≥0，∴x 取任意数． ∴当 x 取任意数时，分式都有意义．
3x＋1 (4)|x|－3. 根据题意得|x|－3≠0，∴x≠3 且 x≠－3.
∴当 x≠3 且 x≠－3 时，分式有意义．
10．(2018·辽宁沈阳)化简：a22－a 4－a－1 2＝_a_＋_1_2____．
八年级数学上册 第12章 分式和分式方程 微卷专训 巧用分式方程的解求字母的值试题 (新版)冀教版
专训 巧用分式方程的解求字母的值 名师点金：巧用分式方程的解求字母的值主要体现在以下几方面：(1)利用方程解的定义求字母的值，解决这类问题的方法是将其解代入分式方程，即可求出待定字母的值；(2)利用分式方程有解、有增根、无解求字母的取值范围或值时，一般都是列出关于待定字母的不等式或方程，通过解不等式或方程得到字母的取值范围或值．利用分式方程解的定义求字母的值1．已知关于x 的分式方程2x ＋4＝m x 与分式方程32x ＝1x －1的解相同，求m 2－2m 的值．利用分式方程有解求字母的取值范围2．若关于x 的方程x －2x －3＝mx －3＋2有解，求m 的取值范围．利用分式方程有增根求字母的值3．若分式方程x x －1－m 1－x＝2有增根，则m ＝________. 4．若关于x 的方程m x 2－9＋2x ＋3＝1x －3有增根，则增根是多少？并求方程产生增根时m 的值．利用分式方程无解求字母的值5．【中考·东营】若分式方程x －ax ＋1＝a 无解，则a 的值为________．6．已知关于x 的方程x －4x －3－m －4＝m3－x 无解，求m 的值．7．已知关于x 的分式方程x ＋a x －2－5x ＝1.(1)若方程的增根为x ＝2，求a 的值；(2)若方程有增根，求a 的值；(3)若方程无解，求a 的值．答案1．解：解分式方程32x ＝1x －1，得x ＝3. 经检验，x ＝3是32x ＝1x －1的解． 将x ＝3代入2x ＋4＝m x， 得27＝m 3.解得m ＝67. ∴m 2－2m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫672－2×67＝－4849. 2．解：去分母并整理，得x ＋m －4＝0.解得x ＝4－m.∵分式方程有解，∴x＝4－m 不能为增根．又∵原方程若有增根，则增根为x ＝3，∴4－m≠3.解得m≠1.∴当m≠1时，原分式方程有解． 3．－14．解：原方程两边同乘(x ＋3)(x －3)，得m ＋2(x －3)＝x ＋3，解得x ＝9－m. 因为原方程有增根，且增根必定使最简公分母(x ＋3)(x －3)＝0，所以x ＝3或x ＝－3是原方程的增根．当x ＝3时，3＝9－m ，解得m ＝6；当x ＝－3时，－3＝9－m ，解得m ＝12.综上所述，当原方程的增根是x ＝3时，m ＝6；当原方程的增根是x ＝－3时，m ＝12. 点拨：一般令最简公分母等于零，可以求出分式方程的增根，再将增根代入分式方程所化成的整式方程，就能求出相应的m 的值．5．1或－16．解：原方程可化为(m ＋3)x ＝4m ＋8.由于原方程无解，故有以下两种情形：(1)若整式方程无解，则m ＋3＝0且4m ＋8≠0，此时m ＝－3；(2)若整式方程的根是原方程的增根，则4m ＋8m ＋3＝3，解得m ＝1.经检验，m ＝1是方程4m ＋8m ＋3＝3的解．综上所述，m ＝－3或1.7．解：(1)原方程去分母并整理，得(3－a)x ＝10.因为原方程的增根为x ＝2，所以(3－a)×2＝10.解得a ＝－2.(2)因为原分式方程有增根，所以x(x －2)＝0.解得x ＝0或x ＝2.因为x ＝0不可能是整式方程(3－a)x ＝10的解，所以原分式方程的增根为x ＝2.所以(3－a)×2＝10.解得a＝－2.(3)①当3－a＝0，即a＝3时，整式方程(3－a)x＝10无解，则原分式方程也无解；②当3－a≠0时，要使原方程无解，则由(2)知，此时a＝－2.综上所述，a＝3或－2.点拨：分式方程有增根时，一定存在使最简公分母等于0的整式方程的解．分式方程无解是指整式方程的解使最简公分母等于0或整式方程无解．。
冀教版数学八年级上册17章热门考点试题及答案
全章热门考点整合应用名师点金：本章主要学习了等腰三角形的性质与判定、直角三角形、勾股定理、勾股定理的逆定理及其应用．等腰三角形是轴对称图形，勾股定理揭示了直角三角形三边之间的数量关系，它把直角三角形的“形”的特点转化为三边长的“数”的关系，是数形结合的典范，是直角三角形的重要性质之一，也是今后学习直角三角形的依据之一．勾股定理1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝15，AC＝20，CD是高．(第1题)(1)求AB的长；(2)求△ABC的面积；(3)求CD的长．三个性质性质1等腰三角形的性质(第2题)2.如图，△ABC内有一点D，且DA＝DB＝DC.若∠DAB＝20°，∠DAC＝30°，则∠BDC的大小是()A．100°B．80°C．70°D．50°性质2等边三角形的性质3．如图，已知△ABC和△BDE均为等边三角形，试说明：BD＋CD＝AD.(第3题)性质3含30°角的直角三角形的性质4．如图，在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，∠A＝60°，作DC∥AB，且∠DBC＝∠BDC，DC与BC交于点C，CD＝4.求：(1)∠CBD的度数；(2)线段AB的长．(第4题)三个判定判定1直角三角形的判定5．张老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：(1)请你分别探究a，b，c与n之间的关系，并且用含n(n为整数且n＞1)的式子表示：a ＝________，b＝________，c＝________；(2)猜想以a，b，c为边长的三角形是否为直角三角形，并证明你的猜想．6．如图所示，在四边形ABCD中，AC⊥DC，△ADC的面积为30 cm2，DC＝12 cm，AB＝3 cm，BC＝4 cm，求△ABC的面积．(第6题)判定2等腰三角形的判定7．如图，已知等腰三角形ABC中，AB＝AC，AE∶EM∶MB＝1∶2∶1，AD∶DN∶NC ＝1∶2∶1，连接MD，NE，MN，MD与NE交于点O，求证：△OMN是等腰三角形．(第7题)判定3等边三角形的判定8．如图，设在一个宽度AB＝a的小巷内，一个梯子的长度为b，梯子的脚位于P点，将该梯子的顶端放于一面墙上的Q点时，Q点离地面的高为c，梯子与地面的夹角为45°，将梯子顶端放于另一面墙上的R点时，R点离地面的高度为d，此时梯子与地面的夹角为75°，则d＝a，为什么？(第8题)勾股数9．我们把满足方程x2＋y2＝z2的正整数(x，y，z)叫做勾股数，如，(3，4，5)就是一组勾股数．(1)请你再写出两组勾股数；(________，________，________)，(________，________，________)；(2)在研究直角三角形的勾股数时，古希腊的哲学家柏拉图曾指出：如果n表示大于1的整数，x＝2n，y＝n2－1，z＝n2＋1，那么以x，y，z为三边长的三角形为直角三角形(即x，y，z为勾股数)，请你加以证明．四种方法方法1化曲(折)为直法10．如图所示，长方体的底面相邻两边的长分别为1 cm和3 cm，高为6 cm，如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要多长？如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，那么所用细线最短时其长度是多少(用含n的式子表示)？【导学号：42282081】(第10题)11．如图所示，牧童在A处放牛，其家在B处，A，B到河岸(直线l)的距离分别为AC ＝400米，BD＝200米，已知CD＝800米，牧童从A处把牛牵到河边饮水后回家，在何处饮水所走总路程最短？最短总路程是多少？(第11题)方法3旋转法12．如图，点E是正方形ABCD内一点，连接AE，BE，CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置．若AE＝1，BE＝2，CE＝3，求∠BE′C的度数．【导学号：42282082】(第12题)13．如图，在△ABC中，AB＝13，BC＝10，BC边上的中线AD＝12.求：(1)AC的长度；(2)△ABC的面积．(第13题)两个应用应用1勾股定理的应用14．将穿好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆从旗顶到地面的高度为320 cm，在无风的天气里，彩旗自然下垂，如图①.求彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h.(彩旗完全展开时的尺寸如图②所示．单位：cm)(第14题)应用2勾股定理的逆定理的应用15．如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军的甲、乙两艘巡逻艇立即从相距5 n mile的A，B两个基地前去拦截(甲巡逻艇从A基地出发，乙巡逻艇从B 基地出发)，6分钟后同时到达C地将其拦截．已知甲巡逻艇每小时航行40 n mile，乙巡逻艇每小时航行30 n mile，航向为北偏西37°，求甲巡逻艇的航向．(第15题)16．育英中学有两个课外小组的同学同时步行到校外去采集植物标本，第一组的步行速度为30 m/min，第二组的步行速度为40 m/min，半小时后，两组同学同时停下来，这时两组同学相距1 500 m.(1)试判断这两组同学行走的方向是否成直角．(2)如果接下来这两组同学以原来的速度相向而行，多长时间后能相遇？三种思想思想1方程思想17．如图，点N是△ABC的边BC延长线上的一点，∠ACN＝2∠BAC，过点A作AC 的垂线交CN于点P.(1)若∠APC＝30°，求证：AB＝AP；(2)若AP＝8，BP＝16，求AC的长；(3)若点P在BC的延长线上运动，∠APB的平分线交AB于点M.你认为∠AMP的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变化，求出∠AMP的大小．【导学号：42282083】(第17题)18．如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，在△ABC外部分别作等边三角形ADB 和等边三角形ACE.若∠DAE＝∠DBC，求△ABC三个内角的度数．(第18题)思想2转化思想19．求下列图形中阴影部分的面积．(1)如图①，AB＝8，AC＝6.(2)如图②，AB＝13，AD＝14，CD＝2.(第19题)思想3分类讨论思想20．在等腰三角形ABC中，∠A比∠B的2倍少50°，求∠B.21．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10 cm，BC＝6 cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1 cm，设出发时间为t s.(1)出发2 s后，求△ABP的面积．(2)当t为何值时，BP平分∠ABC.(3)当t为何值时，△BCP为等腰三角形？【导学号：42282084】(第21题)答案1．解：(1)∵在△ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝15，AC ＝20，∴AB 2＝AC 2＋BC 2＝202＋152＝625.∴AB ＝25.(2)S △ABC ＝12AC·BC ＝12×20×15＝150. (3)∵CD 是边AB 上的高，∴12AC·BC ＝12AB·CD. ∴CD ＝12.2．A 点拨：方法一：因为DA ＝DB ，所以∠DBA ＝∠DAB ＝20°.因为DA ＝DC ，所以∠DCA ＝∠DAC ＝30°.在△ABC 中，有∠DBC ＋∠DCB ＝180°－2×20°－2×30°＝80°.所以∠BDC ＝180°－(∠DBC ＋∠DCB)＝180°－80°＝100°.方法二：在△ADB 中，由方法一可得∠ADB ＝180°－2×20°＝180°－40°＝140°.同理∠ADC ＝180°－2×30°＝120°.所以∠BDC ＝360°－140°－120°＝100°.故选A .3．解：因为△ABC ，△BDE 均为等边三角形，所以BE ＝BD ＝DE ，AB ＝BC ，∠ABC ＝∠EBD ＝60°.所以∠ABE ＋∠EBC ＝∠DBC ＋∠EBC.所以∠ABE ＝∠DBC.在△ABE 和△CBD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CB ，∠ABE ＝∠CBD ，BE ＝BD ，所以△ABE ≌△CBD(SAS )．所以AE ＝CD.又因为AD ＝AE ＋ED ，ED ＝BD ，所以BD ＋CD ＝AD.4．解：(1)在Rt △ADB 中，∵∠A ＝60°，∠ADB ＝90°，∴∠ABD ＝30°.∵AB ∥CD ，∴∠CDB ＝∠ABD ＝30°.又∵∠DBC ＝∠BDC ，∴∠CBD ＝∠CDB ＝30°.(第4题)(2)如图，过点C 作CM ⊥BD 于点M ，交AB 于点E ，连接DE ，易得DE ＝EB ， ∴∠EDB ＝∠EBD ＝30°.∵∠CDM ＝30°，∠CMD ＝90°，∴CM ＝12CD ＝12×4＝2. 又∵∠EBM ＝∠CBM ＝30°，∠EMB ＝∠CMB ＝90°，BM ＝BM ，∴△EBM ≌△CBM ，∴EM ＝CM ＝2.∴DE ＝2EM ＝4.∵∠DEA ＝∠EDB ＋∠EBD ＝60°，∠A ＝60°，∴∠DEA ＝∠A ，∴AD ＝DE ＝4.又∵∠ADB ＝90°，∠ABD ＝30°，∴AB ＝2AD ＝8.点拨：含30°角的直角三角形的性质常与直角三角形的两个锐角互余同时运用，此性质是求线段长度和证明线段倍分问题的重要依据．5．解：(1)n 2－1；2n ；n 2＋1(2)是直角三角形．证明：因为a 2＋b 2＝(n 2－1)2＋(2n)2＝n 4＋2n 2＋1，c 2＝(n 2＋1)2＝n 4＋2n 2＋1，所以a 2＋b 2＝c 2.所以以a ，b ，c 为边长的三角形是直角三角形．6．解：在Rt △ACD 中，S △ACD ＝12AC·CD ＝30 cm 2， ∵DC ＝12 cm ，∴AC ＝5 cm .∵AB 2＋BC 2＝25，AC 2＝52＝25，∴AB 2＋BC 2＝AC 2.∴△ABC 是直角三角形．∴S △ABC ＝12AB·BC ＝12×3×4＝6(cm 2)． 7．证明：在△ABC 中，因为AB ＝AC ，且AE ∶EM ∶MB ＝1∶2∶1，AD ∶DN ∶NC ＝1∶2∶1，所以AD ＝14AC ，AE ＝14AB ＝14AC ， 所以AE ＝AD.同理AM ＝AN.在△ADM 与△AEN 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝AE ，∠MAD ＝∠NAE ，AM ＝AN ，所以△ADM ≌△AEN ，所以∠AMD ＝∠ANE.又因为AM ＝AN ，所以∠AMN ＝∠ANM ，所以∠AMN －∠AMD ＝∠ANM －∠ANE ，即∠OMN ＝∠ONM ，所以OM ＝ON ，所以△OMN 是等腰三角形．8．解：连接RQ ，RB ，设BR 与PQ 交于点M.∵∠RPA ＝75°，∠QPB ＝45°，∴∠RPQ ＝180°－75°－45°＝60°.又∵PR ＝PQ ，∴△PRQ 为等边三角形．∴RP ＝RQ.在Rt △BPQ 中，∵∠BPQ ＝45°，∴∠BQP ＝90°－45°＝45°，∴∠BPQ ＝∠BQP ，∴BP ＝BQ.∴点R ，B 在PQ 的垂直平分线上，∴BM ⊥PQ.在Rt △BMP 中，∵∠BPQ ＝45°，∴∠RBA ＝45°.在Rt △RAB 中，∵∠ARB ＝90°－∠RBA ＝45°，∴∠ARB ＝∠RBA ，∴AR ＝AB ，即d ＝a.点拨：若两个点到线段两端点的距离分别相等，则这两点确定的直线是该线段的垂直平分线．9．(1)解：6；8；10；9；12；15(答案不唯一)(2)证明：x 2＋y 2＝(2n)2＋(n 2－1)2＝4n 2＋n 4－2n 2＋1＝n4＋2n2＋1＝(n2＋1)2＝z2，即x，y，z为勾股数．10．分析：要求所用细线最短，需将长方体的侧面展开，根据“两点之间线段最短”得出结果．解：将长方体的侧面展开，连接AB ′，如图所示．因为AA′＝1＋3＋1＋3＝8(cm)，A′B′＝6 cm，所以AB′2＝AA′2＋A′B′2＝82＋62＝102.所以AB′＝10 cm.所以用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，所用细线最短需要10 cm.如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，那么所用细线最短时，其长度的平方为(8n)2＋62＝64n2＋36.所以其长度为216n2＋9(cm)．(第10题)11．分析：作点A关于河岸的对称点A′，连接A′B交CD于点M，由轴对称的性质和两点之间线段最短可知在点M处饮水所走的总路程最短，最短总路程为A′B的长．解：如图，作点A关于直线CD的对称点A′，连接A′B交CD于点M，连接AM，则在点M处饮水所走的总路程最短，最短总路程为A′B的长．过点A′作A′H⊥BD交其延长线于点H，在Rt△A′HB中，A′H＝CD＝800米，BH＝BD ＋DH＝BD＋AC＝200＋400＝600(米)，由勾股定理得A′B2＝A′H2＋BH2＝8002＋6002＝1 000 000，故A′B＝1 000米，所以最短总路程是1 000米．(第11题)点拨：本题考查的是轴对称的性质、勾股定理的应用，解题的关键是明确当点B，M，A′在一条直线上时，A′B的长是最短总路程．12．解：如图，连接E E′.由题意可知△ABE≌△CBE′，所以CE′＝AE＝1，BE′＝BE＝2.∠ABE＝∠CBE′.又因为∠ABE＋∠EBC＝90°，所以∠CBE′＋∠EBC ＝90°.即∠EBE′＝90°，则由勾股定理，得EE′2＝8.在△EE′C 中，CE′2＋EE′2＝1＋8＝9＝CE 2.由勾股定理的逆定理，可知∠EE′C ＝90°.又因为BE ＝BE′，∠EBE′＝90°，所以∠BE′E ＝180°－90°2＝45°， 所以∠BE′C ＝∠BE′E ＋∠EE′C ＝45°＋90°＝135°.(第12题)13．解：(1)∵AD 是BC 边上的中线，BC ＝10，∴BD ＝CD ＝5.∵52＋122＝132，∴BD 2＋AD 2＝AB 2.∴∠ADB ＝90°，∴∠ADC ＝90°，∴AC 2＝AD 2＋CD 2＝169.∴AC ＝13.(2)S △ABC ＝12BC·AD ＝12×10×12＝60. 14．解：彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h 也就是旗杆的高度减去彩旗的对角线的长，∵1202＋902＝22 500，∴彩旗的对角线长为150 cm .所以h ＝320－150＝170(cm )．彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h 为170 cm .15．解：6分钟＝0.1小时，AC ＝40×0.1＝4(n mile )，BC ＝30×0.1＝3(n mile )．因为AB ＝5 n mile ，所以AB 2＝BC 2＋AC 2，所以∠ACB ＝90°.又由已知条件得∠CBA ＝90°－37°＝53°.所以∠CAB ＝37°.所以甲巡逻艇的航向为北偏东53°.16．解：(1)因为半小时后，第一组行走的路程为30×30＝900(m )，第二组行走的路程为40×30＝1 200(m )，9002＋1 2002＝1 5002，而此时两组同学相距1 500 m ，所以两组同学行走的方向成直角．(2)设x min 后两组同学相遇．根据题意，得30x ＋40x ＝1 500.解这个方程，得x ＝1507. 即这两组同学若以原来的速度相向而行，1507min 后能相遇． 17．(1)证明：∵AC ⊥AP ，∴∠CAP ＝90°，∵∠APC ＝30°，∴∠ACP ＝60°，∵∠ACP ＝2∠BAC ，∴∠BAC ＝30°，∴∠ABP ＝30°，∴∠ABP ＝∠APC ，∴AB ＝AP.(2)解：由(1)知∠BAC ＝∠ABP ，∴AC ＝BC ，设AC ＝x ，在Rt △ACP 中，由勾股定理建立方程得x 2＋82＝(16－x)2， 解得x ＝6.所以AC ＝6.(3)解：∠AMP 的大小不发生变化，∠AMP ＝∠B ＋12∠APC ＝12∠ACP ＋12∠APC ＝12(∠ACP ＋∠APC) ＝12×90° ＝45°.18．解：因为△ADB 和△ACE 都是等边三角形，所以∠DAE ＝∠DAB ＋∠BAC ＋∠CAE ＝60°＋∠BAC ＋60°＝120°＋∠BAC ，∠DBC ＝60°＋∠ABC.又因为∠DAE ＝∠DBC ，所以120°＋∠BAC ＝60°＋∠ABC ，即∠ABC ＝60°＋∠BAC.又因为△ABC 是等腰三角形，所以AB ＝AC ，所以∠ABC ＝∠ACB ＝60°＋∠BAC.设∠BAC ＝x°，因为∠BAC ＋2∠ABC ＝180°，则x ＋2(x ＋60)＝180，解得x ＝20.所以∠ACB ＝∠ABC ＝60°＋∠BAC ＝60°＋20°＝80°.所以△ABC 三个内角的度数分别为20°，80°，80°.19．解：(1)∵AB ＝8，AC ＝6，∴BC 2＝AB 2＋AC 2＝100，BC ＝10.∴BO ＝5.∵S △ABC ＝12AB ×AC ＝12×8×6＝24， S 半圆＝12π×52＝252π， ∴S 阴影＝252π－24. (2)∵AD ＝14，CD ＝2，∴AC ＝12.∵AB ＝13，∴CB 2＝AB 2－AC 2＝25，CB ＝5.∴S 阴影＝2×5＝10.20．解：设∠B 为x°.因为∠A 比∠B 的2倍少50°，所以∠A 为2x°－50°.因为∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，所以∠C ＝180°－(2x°－50°)－x°＝230°－3x°.当AB ＝AC 时(如图①)，此时有∠B ＝∠C ，则x ＝230－3x.解得x ＝57.5°.当AB ＝BC 时(如图②)，此时有∠A ＝∠C ，则2x －50＝230－3x.解得x ＝56°.当AC ＝BC 时(如图③)，此时有∠A ＝∠B ，则2x －50＝x.解得x ＝50°.综上所述，∠B 为57.5°或56°或50°.点拨：本题要求的是等腰三角形的内角，这类问题通常要分类讨论．怎样讨论是解题的重点和难点．本题巧妙地采用设未知数的方法，使得三个角都能用含未知数的代数式来表示，再根据等腰三角形顶角、底角的情况进行分类讨论．(第20题)21．解：(1)如图①，∵∠C ＝90°，AB ＝10 cm ，BC ＝6 cm ，∴AC ＝8 cm .根据题意，得PC ＝2 cm ，则AP ＝6 cm .故△ABP 的面积为12×AP ×BC ＝12×6×6＝18(cm 2)． (2)如图②，过点P 作PD ⊥AB 于点D ，当BP 平分∠ABC 时，有PD ＝PC ，易证Rt △BPD ≌Rt △BPC(HL )，∴BD ＝BC ＝6 cm ，∴AD ＝10－6＝4(cm )．设PC ＝x cm ，则PA ＝(8－x) cm .∴x 2＋42＝(8－x)2，解得x ＝3.∴当t ＝3 s 时，BP 平分∠ABC.(第21题)(3)如图③，若点P 在边AC 上时，CP ＝CB ＝6 cm ，故t ＝6 s 时，△BCP 为等腰三角形；若点P 在AB 边上时，有三种情况：情况一：如图④，若使BP ＝BC ＝6 cm ，此时AP ＝4 cm ，点P 运动的路程为12 cm ，故t ＝12 s 时，△BCP 为等腰三角形；情况二：如图⑤，若CP ＝BC ＝6 cm ，过C 作斜边AB 的高CD ，由AB·CD ＝AC·BC ，即CD ＝ ，得CD 为4.8 cm ，6810´根据勾股定理，得PD＝62－4.82＝3.6 cm，BP＝7.2 cm，∴P运动的路程为18－7.2＝10.8(cm)，∴故t＝10.8 s时，△BCP为等腰三角形；情况三：如图⑥，若BP＝CP时，则∠PCB＝∠PBC，∵∠ACP＋∠BCP＝90°，∠PBC＋∠CAP＝90°，∴∠ACP＝∠CAP，∴PA＝PC.∴PA ＝PB＝5 cm.∴点P运动的路程为13 cm，∴故t＝13 s时，△BCP为等腰三角形．综上所述，当t＝6 s或12 s或10.8 s或13 s时，△BCP为等腰三角形．。
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专训非负数应用的常见题型
名师点金：
1.常见的非负数有：算术平方根、偶次方、绝对值等，且一个数的算术平方根具有双重非负性．
2．根据“几个非负数之和等于0，从而得每个非负数都等于0”，构建方程，可求字母或式子的值．
绝对值的非负性
1．如果一个数的绝对值为a，那么数a在数轴上(如图)对应的点不可能是( )
(第1题) A．点M B．点O C．点P D．点N
2．如果|a－2|＋|b|＝0，那么a，b的值为( )
A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝3
C．a＝2，b＝0 D．a＝0，b＝2
3．设a，b是一个等腰三角形的两边长，且满足|a－5|＋|3－b|＝0，则该三角形的周长是________．
偶次方的非负性
4．若(x＋3)2＝a－2，则a的值可以是( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
5．若x2＋(y－4)4＝0，求x y的值．
算术平方根的非负性
类型1 a 中被开方数a ≥0的应用
6．如果1－a ＝b ，那么a 的取值范围是( )
A ．a ＞1
B ．a ＜1
C ．a ＝1
D ．a ≤1
7．若式子
1x －1有意义，化简：|1－x|＋|x ＋2|.
8．已知x ，y 都是有理数，且y ＝x －3＋3－x ＋8，求4x ＋3y 的平方根．
9．已知a 为有理数，求式子a ＋2－2－4a ＋－a 2的值．
类型2 a ≥0的应用 10．已知x ，y 是有理数，且3x ＋4＋|y －3|＝0，则xy 的值是( ) A ．4 B ．－4 C .94 D ．－94
11．已知x ＋3＋2y －4＝0，求(x ＋y)
2 018的值．
类型3 算术平方根的双重非负性的应用
12．当x 为何值时，2x ＋1＋6 有最小值，最小值为多少？
13．若a ＋a －2＝2，求a ＋2的值．
答案
1．A 2.C
3．11或13 点拨：由题意得a －5＝0，3－b ＝0.解得a ＝5，b ＝3.当a 为腰长时，周长＝2×5＋3＝13；当b 为腰长时，周长＝2×3＋5＝11.所以该三角形的周长为11或13.
4．D
5．解：因为x 2≥0，(y －4)4
≥0，
且x 2＋(y －4)4＝0，
所以x ＝0，y －4＝0.解得x ＝0，y ＝4.
所以x y ＝0.
6．D
7．解：由1
x －1有意义得x ＞1.所以|1－x|＋|x ＋2|＝(x －1)＋(x ＋2)＝2x ＋1. 8．解：由题意得x －3≥0且3－x ≥0，所以x ＝3.所以y ＝8.
所以4x ＋3y 的平方根为±4x ＋3y ＝±4×3＋3×8＝±6.
9．解：因为－a 2≥0，所以a ＝0.
所以原式＝2－2＋0＝0.
10．B
11．解：由题意得x ＋3＝0，2y －4＝0，所以x ＝－3，y ＝2.所以(x ＋y)
2 018＝(－3＋2)2 018＝1.
12．解：由算术平方根的双重非负性得2x ＋1≥0，2x ＋1≥0.
当2x ＋1＝0，即x ＝－12
时，2x ＋1＋6有最小值，最小值为6. 13．解：由a ＋a －2＝2得a －2＝2－a ，所以a －2≥0，2－a ≥0，即a ＝2.所以a ＋2＝
2＋2＝2.
初中数学试卷。