高二数学1.抛物线的简单几何性质

y y
F
x2 = 2 py( p > 0)
y
x2 = 2 py( p > 0)
y o x
F
图 形
.
o
x
F
.
o
x
F
o
x
焦 准
点 线
p ,0 ) 2 p x = 2 F(
F (
p ,0 ) 2 p x = 2
p ) 2 p y = 2 F= 2
3、椭圆和双曲线的性质： 、椭圆和双曲线的性质：
.
x
轴对称,对称轴 (2)对称性 关于 轴对称 对称轴 对称性 关于x轴对称 又叫抛物线的轴. 又叫抛物线的轴 (3)顶点 顶点 抛物线和它的轴的交点. 抛物线和它的轴的交点
y
(4)离心率 离心率 (5)焦半径 焦半径 (6)通径 通径
e=1 |PF|=x0+p/2
O
P
F
x
通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相 通过焦点且垂直对称轴的直线， 交于两点， 交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的 通径。 通径。 通径的长度： 通径的长度：2P
定点F是抛物线的焦点， 定直线l叫做抛物线的准线， 常数e＝1是抛物线的离心率 .
K
y
l
d
.M .
F
y = 2 px
2
p > 0是 准 焦 距
O
x
－－抛物线标准方程 －－抛物线标准方程
2、抛物线的标准方程： 、抛物线的标准方程：
标准方程
y 2 = 2 px( p > 0) y 2 = 2 px( p > 0)
特点： 特点：
1.抛物线只位于半个坐标平面内 虽然它可以无 抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无 抛物线只位于半个坐标平面内 限延伸,但它没有渐近线 但它没有渐近线; 限延伸 但它没有渐近线 2.抛物线只有一条对称轴 没有对称中心 抛物线只有一条对称轴,没有对称中心 抛物线只有一条对称轴 没有对称中心; 3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线; 抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线 抛物线只有一个顶点 4.抛物线的离心率是确定的 抛物线的离心率是确定的e=1; 抛物线的离心率是确定的 5.抛物线标准方程中的 对抛物线开口的影响 抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响 抛物线标准方程中的 对抛物线开口的影响. P越大 开口越开阔 本质是成比例地放大！ 越大,开口越开阔 本质是成比例地放大！ 越大 开口越开阔---本质是成比例地放大
例5、正三角形的一个顶点 位于坐标原点，另外 两个顶点在抛物线 y = 2 px（p > 0）上，求这个
2
正三角形的边长 .
y A
O B
x
的直线交抛物线于A,B两点 两点, 例6、过抛物线焦点 的直线交抛物线于 、过抛物线焦点F的直线交抛物线于 两点 通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于 通过点 和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于 求证:直线 平行于抛物线的对称轴. 点D,求证 直线 平行于抛物线的对称轴 求证 直线DB平行于抛物线的对称轴
解：过A，B点作准线的垂线，垂足为P, Q
p p p ∴ P( , y1 ), Q( , y2 ), F ( ,0) 2 2 2
P
y
A
Q PF ⊥ QF
O
F
x
Q
∴ PF QF = 0 即( p, y1 ) ( p, y2 ) = 0
∴ p 2 + y1 y2 = 0
即y1 y2 = p 2
B
p2 易得：x1 x2 = 4
y 2 = 8 x 的焦点 作倾斜角为 450 的焦点,作倾斜角为 例2、(1)过抛物线 、 过抛物线
的直线,则被抛物线截得的弦长为 . 的直线 则被抛物线截得的弦长为 (2)过抛物线的焦点做倾斜角为θ 的直线 过抛物线的焦点做倾斜角为 的直线L, 交抛物线于A,B两点 求|AB|;(2)求 两点,(1)求 设L交抛物线于 交抛物线于 两点 求 y |AB|的最小值 的最小值. 的最小值
关于y轴对称
对称性 关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称
顶点
焦半径 焦点弦 的长度
（0,0）
p + x0 2
（0,0）
p x0 2
p ( x1 + x2 )
（0,0）
p + y0 2
p + y1 + y2
（0,0）
p y0 2
p ( y1 + y2 )
p + x1 + x2
三、例题选讲： 例题选讲：
方程 图 形 范围
y2 = 2px （p＞0） ＞ ） y
l O F x
y2 = -2px （p＞0） ＞ ） y l
F O x
x2 = 2py （p＞0） ＞ ） y
F O l x
x2 = -2py （p＞0） ＞ ） y
O
l x
F
x≥0 y∈R ∈
x≤0 y∈R ∈
x∈R y≥0 ∈
x∈R y≤0 ∈
x2 y2 方程 + 2 =1(a > b > 0) 2 性质 a b
x2 y2 2 =1(a > 0, b > 0) 2 a b
图形
范围 对称性
顶点坐标 离心率
B (0,b), B2 (0, b) 1 A A2叫 轴 B B2叫 轴 长 , 1 短 1
c e = , (0 < e <1) a
x ≤ a或 ≥ a, y ∈R x 关 x, y轴 原 对 于 及 点 称 关 x, y轴 原 对 于 及 点 称 A (a,0), A2 (a,0) 1 A (a,0), A2 (a,0) 1
a ≤ x ≤ a,b ≤ y ≤ b
A A2叫 轴 B B2叫 轴 实 , 1 虚 1
c e = , (e >1) a
二、讲授新课： 讲授新课： 类比探索
o
y
F
结合抛物线y 的标准方程和图形,探索 结合抛物线 2=2px(p>0)的标准方程和图形 探索 的标准方程和图形 其的几何性质: 其的几何性质 (1)范围 (1)范围 x≥0,y∈R ∈
顶点在坐标原点,对称轴是坐标轴 对称轴是坐标轴,并且过点 例1. 顶点在坐标原点 对称轴是坐标轴 并且过点 M(2, 2 2 )的抛物线有几条 求它的标准方程 的抛物线有几条,求它的标准方程 的抛物线有几条 求它的标准方程. 当焦点在x[或 轴上 开口方向不定时, 轴上,开口方向不定时 当焦点在 或y]轴上 开口方向不定时 设为y 设为 2=mx(m ≠0) [或x2=my (m≠0)],可 或 可 避免讨论！ 避免讨论！
A
思考：通径是抛物线的 思考 通径是抛物线的 焦点弦中最短的弦吗？ 焦点弦中最短的弦吗
F B
θ
x
例3、过抛物线焦点作直线交抛物线y 2 = 2 px( p > 0)于 A，B两点，判断与AB为直径的圆与准线的位置关系.
y
dA
A
d
O
dB
F B
x
例4、过抛物线焦点作直线交抛物线y 2 = 2 px( p > 0)于 A，B两点，设A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ), 求证 : y1 y2 = p 2 .
y A
F
O D B
x
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2010年10月22日星期五 年 月 日星期五
一、复习回顾： 复习回顾： 1、抛物线的定义： 、抛物线的定义：
动点M与一个定点F的距离和它到一条定直线l的距离的比 是常数e =1 ，则这 个点的轨迹是抛物线.