山东新高考质量测评联盟2021届高三年级10月联考数学试题(高三数学答案
山东省新高考联合质量测评2025届高三上学期10月联考数学试题
山东新高考联合质量测评10月联考试题高三数学本卷满分150分，考试时间120分钟注意事项：1.答题前，考生先将自己的学校、班级、姓名、考号、座号填涂在相应位置。
2.选择题答案必须使用2B 铅笔（按填涂样例）正确填涂；非选择题答案必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，绘图时，可用2B 铅笔作答，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
保持卡面清洁，不折叠、不破损。
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.1.已知集合{A xy ==，{}21,x B y y x ==+∈R ，则A B =R （ ）A.{}1x x ≥B.2x x1<C.112xx≤≤D.102x x<≤2.在等差数列{}n a 中，已知19a =−，359a a +=−，219n a −=，则n =（ ） A.7B.8C.9D.103.“1a ≥”是“函数2sin ,0,()2,0ax x x f x x ax a x −≤ = +−+>在R 上单调递增”的（ ） A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知平行六面体1111ABCD A B C D −的各棱长均为6，1160A AB A AD DAB ∠=∠=∠=°，则1AC =（ ）A.B. C.D.5.已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ，其中1q <，其前n 项和为n S ，下列条件中，能使得()*1231n a S n q<∈−N 恒成立的是（ ） A.11a =，12q =B.112a =，13q =C.11a =−，12q =−D.112a =−，13q =6.已知函数1()f x x x =+，若正数a ，b 满足1a b +=，则()()f a f b 的最小值是（ ）A.2B.174C.4D.2547.在直四棱柱1111ABCD A B C D −中，π3BAD ∠=，12AB AD AA ===，点Q 在侧面11DCC D内，且1A Q =，则点Q 轨迹的长度为（ ）A.π6B.π3C.2π3D.4π38.若过点(1,)m 可以作(1)e xy x =+的三条切线，则实数m 的取值范围是（ ） A.()24e ,0−−B.()36e ,0−−C.()36e ,2e −−D.()e,2e二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上.全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有选错的得0分.9.已知lg lg a b >，则下列结论成立的是（ ） A.21a b −>B.11a b a b+>+ C.20242024b b a a +>+ D.π3a b a b −−>10.已知定义在(,0)(0,)−∞+∞ 上的函数()f x ，满足()2()()f xy f x f y +=+，且当1x >时，()2f x >，则（ ）A.(1)1f −=B.()f x 为偶函数C./(2024)(2023)f f >D.若(2)2f x +<，则31x −<<−11.四面体ABCD 中，6AC BC AB ===，10CD =，8BD =，四面体ABCD 外接球的表面积记为S ，则（ ）A.当四面体ABCD 体积最大时，112πS =B.AD BC ⊥C.当6AD =时，1296π11S =D.S 可以是400π 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填写在答题卡相应位置上.12.已知2(2)1,0()log ,0,f x x f x x x ++≤ => 则112f−=________. 13.已知圆柱1O O 的底面直径为2，其轴截面是矩形ABCD ，1A 为底面弧AB 上任一点，若1A CD △面积1O O 的母线长为________.14.已知有穷数列{}n a 共m 项(3)m >，数列{}n a 中任意连续三项12,,(1,2,3,)i i i a a a i ++= ，满足如下条件：（1）至少有两项相等；（2）12i i i a a a +++>，21i i i a a a +++>，12i i i a a a +++>恒成立；（3）以i a ，1i a +，2i a +为边长的三角形两两均不全等.若{1,2,3,4,5}(1,2,,)n a n m ∈= ，则m 的最大值为________.四、解答题：本大题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。
2023-2024学年山东省滨州市新高考大联考高三上学期10月月考数学试题及答案
试卷类型：A山东新高考联合质量测评10月联考试题高三数学考试用时120分钟，满分150分注意事项：1．答题前，考生先将自己的学校、班级、姓名、考号、座号填涂在相应位置。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}2,1,0,1,2M =--，{}2280N x x x =+-≥，则M N ⋂=（）A ．{}2,2-B ．{}2-C ．{}2D ．22．合题“a ∃∈R ，()2f x x ax =-是偶函数”的否定是（ ）A ．a ∀∈R ，()2f x x ax =-不是偶函数B ．a ∀∈R ，()2f x x ax =-是奇函数C ．a ∃∈R ，()2f x x ax =-不是偶函数D ．a ∃∈R ，()2f x x ax =-是奇函数3．我国有着丰富悠久的“印章文化”，古时候的印章一般用贵重的金属或玉石制成，是过去官员或私人签署文件时代表身份的信物。
图1是明清时期的一个金属印章摆件，除去顶部的环以后可以看作是一个正四棱柱和一个正四棱锥组成的几何体，如图2．已知正四棱柱和正四棱锥的高相等，且正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为，则该几何体的体积是（ ）A ．32B ．643C ．1283D ．644．已知cos 6πθ⎛⎫+=⎪⎝⎭，则sin 3πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值是（ ）A B C ．D ．5．已知实数,a b 满足()()lg 3lg lg 2a b a b +=+，则2a b +的最小值是（ ）A ．9B ．3C ．2D ．66．已知()2x xe af x e+=满足()()0f x f x -+=，且()f x 在()(),b f b 处的切线方程为2y x =，则2a b +=（ ）A ．0B ．1C ．-1D ．-27．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3，点P 在1AB C 内运动，且满足PB =2，则点P 的轨迹长度为（ ）A ．2πB ．πC ．2πD 8．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，23a =，且()()()112n n n n S S n a ++-=+，若存在n N +∈，使得214n n S ka +≤成立，则k 的最小值是（ ）A ．1B ．425C ．152D ．8二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2023-2024学年山东省滨州市新高考联合质量测评高三上学期10月联考数学试题
2023-2024学年山东省滨州市新高考联合质量测评高三上学期10月联考数学试题1.已知集合，，则=（）A．B．C．D．22.命题“，是偶函数”的否定是（）A．，不是偶函数B．，是奇函数C．，不是偶函数D．，是奇函数3.我国有着丰富悠久的“印章文化”，古时候的印章一般用贵重的金属或玉石制成，是过去官员或私人签署文件时代表身份的信物。
图1是明清时期的一个金属印章摆件，除去顶部的环以后可以看作是一个正四棱柱和一个正四棱锥组成的几何体，如图2．已知正四棱柱和正四棱锥的高相等，且正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为，则该几何体的体积是（）A．32B．C．D．644.已知，则的值是（）A．B．C．D．5.已知实数满足，则的最小值是（）A．9B．3C．2D．66.已知满足，且在处的切线方程为，则=（）A．0B．1C．-1D．-27.已知正方体的棱长为3，点P在内运动，且满足PB=2，则点P的轨迹长度为（）A．B．C．D．8.设数列的前项和为，，且，若存在，使得成立，则的最小值是（）A．B．C．D．89.下列命题为真命题的是（）A ．函数的图象过点，则B ．函数的零点是,C ．函数的定义域为R ，若是奇函数，是偶函数，则D ．函数的零点所在区间可以是10.已知数列满足，，则下列结论正确的是（）A ．为等差数列B ．为递减数列C ．的通项公式为D ．的前项和11.如图，在正四棱柱中，，分别是棱，，的中点，则（）A ．B ．平面C ．直线与是异面直线D ．直线与平面的交点是的外心12.已知函数，若存在实数使得方程有四个互不相等的实数根，分别为，且，则下列说法正确的有（）A ．B ．C ．D ．的取值范围为13.已知函数，则=______.14.如图，已知在一个二面角的棱上有两个点，线段分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱.则这个二面角的余弦值为______.15.已知数列，，满足，，则的前项和=______.16.已知，，若存在，，使得，则称函数与互为“阶逼近函数”.若与互为“1阶逼近函数”，则实数的取值范围为______.17.已知函数图像的对称中心到对称轴的最小距离为.(1)求函数的单调递减区间；(2)求函数在区间上的值域.18.已知数列为递增的等差数列，为的前项和，，，.(1)若数列为等差数列，求非零常数的值；(2)在（1）的条件下，，求的前项和.19.如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD与ABEF均为直角梯形，，，平面ABEF，，AD=AB=2BC=2BE=2.(1)已知点G为AF上一点，AG=AD，求证：BG与平面DCE不平行；(2)已知直线BF与平面DCE所成角的正弦值为，求点F到平面DCE的距离.20.随着经济的不断发展，环境污染物别是水污染日益加剧，已经成为不可否认的客观事实。
2021年高三上学期10月综合测试数学试题含答案
2021年高三上学期10月综合测试数学试题含答案本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。
满分150分，考试时间120分钟第I卷选择题（共50分）一．选择题：（本题共10个小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的,请将正确答案填到答题卡的相应位置）1.设集合},yy=x-A x则<xxB22,]2,0[{},={∈1=(A) [0,2] (B) (1,3) (C) [1,3) (D) (1,4)2.给出下列两个命题，命题“”是“”的充分不必要条件；命题q：函数是奇函数，则下列命题是真命题的是A. B. C. D.3. “，”是“函数的图象过原点”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4.函数的定义域为(A) (B) (C) (D)5.已知函数若方程有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是,.（A）（B）（C）（D）6.定义在R上的奇函数满足，当时，，则在区间内是（）A．减函数且f（x）＞0 B．减函数且f（x）＜0 C．增函数且f（x）＞0 D．增函数且f （x）＜07.若对任意的恒成立，则的最大值是（A）4（B）6（C）8（D）108.已知函数的图象过点，则的图象的一个对称中心是(A) (B) (C) (D)9.已知函数，则函数的大致图象为10.直线与不等式组表示的平面区域有公共点，则实数m的取值范围是A. B. C. D.二．填空题（每小题5分，共25分。
请把答案填在答题卡上）11.当时，函数的图像恒过点A，若点A在直线上，则的最小值为________12.已知对于任意的x∈R，不等式|x﹣3|+|x﹣a|＞5恒成立，则实数a的取值范围是________13.若，则= ___________．14.已知向量和，，其中，且，则向量和的夹角是．15.已知函数在区间内任取两个实数，不等式恒成立，则实数a的取值范围为___________.三．解答题（满分75分。
山东省新高考联合质量测评2025届高三上学期10月联考数学试题(含答案)
山东省新高考联合质量测评2025届高三上学期10月联考数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ={x|y =2x−1}，B ={y|y =2x +1,x ∈R}，则A ∩∁R B =( )A. {x|x ≥1}B. {x|x <12}C. {x|12≤x ≤1}D. {x|0<x ≤12}2.在等差数列{a n }中，已知a 1=−9，a 3+a 5=−9，a 2n−1=9，则n =( )A. 7B. 8C. 9D. 103.“a ≥1”是“函数f(x)={ax−sin x,x⩽0,x 2+ax−a +2,x >0在R 上单调递增”的( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.已知平行六面体ABCD−A 1B 1C 1D 1的各棱长均为6，∠A 1AB =∠A 1AD =∠DAB =60∘，则|AC 1|=( )A. 66B. 65C. 63D. 625.已知无穷等比数列{a n }的公比为q ，其中|q|<1，其前n 项和为S n ，下列条件中，能使得3S n <2a 11−q (n ∈N ∗)恒成立的是( )A. a 1=1，q =12 B. a 1=12，q =13C. a 1=−1，q =−12D. a 1=−12，q =136.已知函数f(x)=x +1x ，若正数a ，b 满足a +b =1，则f(a)f(b)的最小值是( )A. 2B. 174C. 4D. 2547.在直四棱柱ABCD−A 1B 1C 1D 1中，∠BAD =π3，AB =AD =AA 1=2，点Q 在侧面DCC 1D 1内，且A 1Q =7，则点Q 轨迹的长度为( )A. π6 B. π3C. 2π3D. 4π38.若过点(1,m)可以作y =(x +1)e x 的三条切线，则实数m 的取值范围是( )A. (−4e −2,0)B. (−6e −3,0)C. (−6e −3,2e)D. (e,2e)二、多选题：本题共3小题，共18分。
2021年高三上学期10月质检数学试卷(理科)含解析
2021年高三上学期10月质检数学试卷（理科）含解析一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．1．设集合A={x|﹣1≤x＜2}，B={x|x＞a}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是（）A．a＜2 B．a≤2 C．a＞﹣1 D．﹣1＜a≤22．是成立的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．函数f（x）=的零点有（）A．0 B．1 C．2 D．3，则a，b，c的大小关系是（）4．设a=20.1，b=lg，c=log3A．b＞c＞a B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．a＞b＞c5．已知命题p：∃x∈R，使sinx﹣cosx=，命题q：集合{x|x2﹣2x+1=0，x∈R}有2个子集，下列结论：（1）命题“p∧q”是真命题；（2）命题“p∧（￢q）”是假命题；（3）命题“（￢p）∨（￢q）”是真命题．正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．36．已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=2xf′（1）+lnx，则f′（1）=（）A．﹣e B．﹣1 C．1 D．e7．函数y=（a＞0，a≠1）的定义域和值域都是[0，1]，则log a+log a=（）A．1 B．2 C．3 D．48．函数f（x）=x a满足f（2）=4，那么函数g（x）=|log a（x+1）|的图象大致为（）A．B．C．D．9．设函数f（x）是定义在R上，周期为3的奇函数，若f（1）＜1，，则（）A．且a≠﹣1 B．﹣1＜a＜0 C．a＜﹣1或a＞0 D．﹣1＜a＜210．已知f（x）=，若a，b，c，d是互不相同的四个正数，且f（a）=f（b）=f（c）=f（d），则abcd的取值范围是（）A．（21，25）B．（21，24）C．（20，24）D．（20，25）二．填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分．）11．2lg+log25•lg2=．12．设函数f（x）=x2ln（﹣x+）+1，若f（a）=11，则f（﹣a）=．13．函数f（x）=log2（x2﹣ax+3a）在[2，+∞）上是增函数，则a的取值范围是．14．已知f（x）是定义在实数集上的函数，且f（x+2）=，f（1）=，则f＜”是真命题．其中正确命题的序号是．（把所有正确命题序号都填上）三．解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．已知集合A={x|log2x＜8}，B={x|＜0}，C={x|a＜x＜a+1}．（1）求集合A∩B；（2）若B∪C=B，求实数a的取值范围．17．设命题p：函数y=kx+1在R上是增函数，命题q：∃x∈R，x2+（2k﹣3）x+1=0，如果p∧q是假命题，p∨q是真命题，求k的取值范围．18．已知函数f（x）=e x﹣x2﹣ax．（I）若函数f（x）的图象在x=0处的切线方程为y=2x+b，求a，b的值；（Ⅱ）若函数f（x）在R上是增函数，求实数a的最大值．19．已知函数f（x）=是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且．（1）求函数f（x）的解析式；（2）证明f（x）在（﹣1，1）上是增函数；（3）解不等式f（t﹣1）+f（2t）＜0．20．已知函数f（x）=ax2﹣2x+1．（1）试讨论函数f（x）的单调性；（2）若，且f（x）在[1，3]上的最大值为M（a），最小值为N（a），令g（a）=M（a）﹣N（a），求g（a）的表达式．21．设a∈R，函数f（x）=lnx﹣ax．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）设F（x）=f（x）+ax2+ax，问F（x）是否存在极值，若存在，请求出极值；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）设A（x1，y1），B（x2，y2）是函数g（x）=f（x）+ax图象上任意不同的两点，线段AB的中点为C（x0，y0），直线AB的斜率为为k．证明：k＞g′（x0）．xx学年山东省枣庄市滕州二中高三（上）10月质检数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．1．设集合A={x|﹣1≤x＜2}，B={x|x＞a}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是（）A．a＜2 B．a≤2 C．a＞﹣1 D．﹣1＜a≤2【考点】交集及其运算．【分析】由A，B，以及A与B的交集不为空集，确定出a的范围即可．【解答】解：∵A={x|﹣1≤x＜2}，B={x|x＞a}，且A∩B≠∅，∴a＜2．故选：A．2．是成立的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】分充分性和必要性两方面加以论证：根据不等式的性质，可证明出充分性成立；再通过举出反例说明必要性是不成立的．因此得出正确选项．【解答】解：①充分性，当x1＞3且x2＞3时，根据不等式的性质可得：x1x2＞9且x1+x2＞6∴充分性成立②必要性，当x1x2＞9且x1+x2＞6成立，x1＞3且x2＞3不一定成立‘比如：x1=2，x2=8满足“x1x2＞9且x1+x2＞6”，但“x1＞3且x2＞3”不成立∴必要性不成立所以是成立的充分不必要条件故选A3．函数f（x）=的零点有（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】函数的零点．【分析】先求定义域，然后令y=0，解出x的值，判断即可．【解答】解：函数的定义域是{x|2＜x＜3或x＞3}，令y=0，得x=3．显然无解．故选A．4．设a=20.1，b=lg，c=log3，则a，b，c的大小关系是（）A．b＞c＞a B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．a＞b＞c【考点】对数值大小的比较．【分析】利用幂函数，指数函数，以及对数函数的性质判断即可．【解答】解：∵20.1＞20=1=lg10＞lg＞0＞log3，∴a＞b＞c，故选：D．5．已知命题p：∃x∈R，使sinx﹣cosx=，命题q：集合{x|x2﹣2x+1=0，x∈R}有2个子集，下列结论：（1）命题“p∧q”是真命题；（2）命题“p∧（￢q）”是假命题；（3）命题“（￢p）∨（￢q）”是真命题．正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】复合命题的真假．【分析】本题考查的知识点是复合命题的真假判定，解决的办法是先判断组成复合命题的简单命题的真假，再根据真值表进行判断．【解答】解：∵sinx﹣cosx=∈∴sinx﹣cosx=∉∴命题p是假命题又∵集合{x|x2﹣2x+1=0，x∈R}={1}，那么{1}的子集有两个：{1}、φ，∴命题q是真命题由复合命题判定真假可知．（1）命题“p∧q”是真命题，错误（2）命题“p∧（￢q）”是假命题，正确（3）命题“（￢p）∨（￢q）”是真命题，正确故选C6．已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=2xf′（1）+lnx，则f′（1）=（）A．﹣e B．﹣1 C．1 D．e【考点】导数的乘法与除法法则；导数的加法与减法法则．【分析】已知函数f（x）的导函数为f′（x），利用求导公式对f（x）进行求导，再把x=1代入，即可求解；【解答】解：∵函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=2xf′（1）+ln x，（x＞0）∴f′（x）=2f′（1）+，把x=1代入f′（x）可得f′（1）=2f′（1）+1，解得f′（1）=﹣1，故选B；7．函数y=（a＞0，a≠1）的定义域和值域都是[0，1]，则log a+log a=（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】函数的值域；函数的定义域及其求法．【分析】根据函数定义域和值域的关系，判断函数的单调性，结合对数的运算法则进行求解即可．【解答】解：当x=1时，y=0，则函数为减函数，故a＞1，则当x=0时，y=1，即y==1，即a﹣1=1，则a=2，则log a+log a=log a（•）=log28=3，故选：C．8．函数f（x）=x a满足f（2）=4，那么函数g（x）=|log a（x+1）|的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】利用f（3）=9，可得3a=9，解得a=2．于是g（x）=|log2（x+1）|=，分类讨论：当x≥0时，当﹣1＜x＜0时，函数g（x）单调性质，及g（0）=0即可得出．【解答】解：∵f（2）=4，∴2a=4，解得a=2．∴g（x）=|log2（x+1）|=∴当x≥0时，函数g（x）单调递增，且g（0）=0；当﹣1＜x＜0时，函数g（x）单调递减．故选C．9．设函数f（x）是定义在R上，周期为3的奇函数，若f（1）＜1，，则（）A．且a≠﹣1 B．﹣1＜a＜0 C．a＜﹣1或a＞0 D．﹣1＜a＜2【考点】函数的周期性；函数奇偶性的性质．【分析】根据函数f（x）是定义在R上，周期为3的奇函数，所以有f（2）=f（﹣1）=﹣f （1），再由f（1）＜1，解不等式即可．【解答】解：由题意得f（﹣2）=f（1﹣3）=f（1）＜1，∴﹣f（2）＜1，即．∴，即3a（a+1）＞0．∴a＜﹣1或a＞0．故选C．10．已知f（x）=，若a，b，c，d是互不相同的四个正数，且f（a）=f（b）=f（c）=f（d），则abcd的取值范围是（）A．（21，25）B．（21，24）C．（20，24）D．（20，25）【考点】分段函数的应用．【分析】图象法：画出函数y=f（x）的图象，根据图象分析a，b，c，d的关系及取值范围，从而求出abcd的取值范围．【解答】解：先画出f（x）=的图象，如图：∵a，b，c，d互不相同，不妨设a＜b＜c＜d．且f（a）=f（b）=f（c）=f（d），3＜c＜4，d＞6．∴﹣log3a=log3b，c+d=10，即ab=1，c+d=10，故abcd=c（10﹣c）=﹣c2+10c，由图象可知：3＜c＜4，由二次函数的知识可知：﹣32+10×3＜﹣c2+10c＜﹣42+10×4，即21＜﹣c2+12c＜24，∴abcd的范围为（21，24）．故选：B．二．填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分．）11．2lg+log25•lg2=1．【考点】对数的运算性质．【分析】把第一项的真数化根式为分数指数幂，把第二项利用换底公式进行运算．【解答】解：=．故答案为1．12．设函数f（x）=x2ln（﹣x+）+1，若f（a）=11，则f（﹣a）=﹣9．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】通过观察，可以得到f（a）+f（﹣a）=2，进而即可得出．【解答】解：∵f（a）+f（﹣a）=a2ln（﹣a+）+1+（﹣a）2ln（a+）+1=2，f（a）=11，∴f（﹣a）=2﹣11=﹣9．故答案为：﹣9．13．函数f（x）=log2（x2﹣ax+3a）在[2，+∞）上是增函数，则a的取值范围是﹣4＜a ≤4．【考点】对数函数的单调性与特殊点．【分析】依题意，函数f（x）在[2，+∞）上是单调递增函数，须考虑两个方面：一是结合二次函数x2﹣ax+3a的单调性可；二是对数的真数要是正数．【解答】解：依题意函数f（x）在[2，+∞）上是单调递增函数，所以应有，解得﹣4＜a≤4，此即为实数a的取值范围．故答案为﹣4＜a≤4，14．已知f（x）是定义在实数集上的函数，且f（x+2）=，f（1）=，则f=﹣，f（x+8）=f （x），从而可得f=﹣，而f（3）==，从而解得．【解答】解：∵f（x+2）=，∴f（x+4）===﹣，∴f（x+8）=﹣=f（x），∴f（x）是周期为8的函数；而xx=251×8+7，∴f=﹣，∵f（3）==，∴f=．故答案为：．15．下列四个命题：①命题“若a=0，则ab=0”的否命题是“若a=0，则ab≠0”；②若命题P：∃x∈R，x2+x+1＜0，则﹁p：∀x∈R，x2+x+1≥0；③若命题“﹁p”与命题“p或q”都是真命题，则命题q一定是真命题；④命题“若0＜a＜1则log a（a+1）＜”是真命题．其中正确命题的序号是②、③．（把所有正确命题序号都填上）【考点】命题的真假判断与应用．【分析】利用命题的否定的形式判断出①错；利用含量词的命题的否定形式判断出②对；利用复合命题的真假与构成其简单命题的真假的关系判断出③对；利用对数函数的单调性判断出④错．【解答】解：对于①，由于否命题是对命题的条件、结论同时否定，①只否定了结论，条件没否定，故①错；对于②，由于含量词的命题有否定公式是：量词交换，结论否定，故②对；对于③，因为”￢p“为真，故p假；因为“p或q”为真，所以p，q有真，所以q一定为真，故③对；对于④，因为0＜a＜1，y=log a x是减函数，∵∴，故④错．故答案为：②③三．解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．已知集合A={x|log2x＜8}，B={x|＜0}，C={x|a＜x＜a+1}．（1）求集合A∩B；（2）若B∪C=B，求实数a的取值范围．【考点】交集及其运算；并集及其运算．【分析】（1）求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出两集合的交集即可；（2）根据B与C的并集为B，得到C为B的子集，确定出a的范围即可．【解答】解：（1）由A中log2x＜8=log223，得到0＜x＜3，即A=（0，3），由B中不等式解得：﹣2＜x＜4，即B=（﹣2，4），则A∩B=（0，3）；（2）由B∪C=B，得到C⊆B，∵B=（﹣2，4），C=（a，a+1），∴，解得：﹣2≤a≤3，则实数a的取值范围为[﹣2，3]．17．设命题p：函数y=kx+1在R上是增函数，命题q：∃x∈R，x2+（2k﹣3）x+1=0，如果p∧q是假命题，p∨q是真命题，求k的取值范围．【考点】复合命题的真假．【分析】分别求出p，q为真时的k的范围，根据p，q一真一假，得到关于k的不等式组，解出即可．【解答】解：∵y=kx+1在R递增，∴k＞0，由∃x∈R，x2+（2k﹣3）x+1=0，得方程x2+（2k﹣3）x+1=0有根，∴△=（2k﹣3）2﹣4≥0，解得：k≤或k≥，∵p∧q是假命题，p∨q是真命题，∴命题p，q一真一假，①若p真q假，则，∴＜k＜；②若p假q真，则，∴k≤0；综上k的范围是（﹣∞，0]∪（，）．18．已知函数f（x）=e x﹣x2﹣ax．（I）若函数f（x）的图象在x=0处的切线方程为y=2x+b，求a，b的值；（Ⅱ）若函数f（x）在R上是增函数，求实数a的最大值．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出f′（x）由f′（0）=1﹣a=2，求得a=﹣1．得到f（x）=e x﹣x2+x，再由f （0）=1求得b值；（Ⅱ）由题意f′（x）≥0，即e x﹣2x﹣a≥0恒成立，∴a≤e x﹣2x恒成立．令h（x）=e x﹣2x，利用导数求其最小值得答案．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=e x﹣x2﹣ax，∴f′（x）=e x﹣2x﹣a，则f′（0）=1﹣a．由题意知1﹣a=2，即a=﹣1．∴f（x）=e x﹣x2+x，则f（0）=1．于是1=2×0+b，b=1．（Ⅱ）由题意f′（x）≥0，即e x﹣2x﹣a≥0恒成立，∴a≤e x﹣2x恒成立．设h（x）=e x﹣2x，则h′（x）=e x﹣2．∴当x∈（﹣∞，ln2）时，h′（x）＜0，h（x）为减函数；当x∈（ln2，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）为增函数．∴h（x）min=h（ln2）=2﹣2ln2．∴a≤2﹣2ln2，即a的最大值为2﹣2ln2．19．已知函数f（x）=是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且．（1）求函数f（x）的解析式；（2）证明f（x）在（﹣1，1）上是增函数；（3）解不等式f（t﹣1）+f（2t）＜0．【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】（1）根据函数的奇偶性和条件，建立方程即可求函数f（x）的解析式；（2）根据函数单调性的定义即可证明f（x）在（﹣1，1）上是增函数；（3）根据函数的奇偶性将不等式f（t﹣1）+f（2t）＜0进行转化，利用函数的单调性即可得到结论．【解答】解：（1）∵f（x）是（﹣1，1）上的奇函数，∴f（0）=0，∴b=0．又，∴，∴a=1，∴（2）证明：任设x1、x2∈（﹣1，1），且x1＜x2则，∵﹣1＜x1＜x2＜1，∴﹣1＜x1x2＜1，∴x1﹣x2＜0，且1﹣x1x2＞0，又，∴f（x1）﹣f（x2）＜0即f（t﹣1）＜f（﹣t），∴f（x）在（﹣1，1）上是增函数．（3）∵f（x）是奇函数，∴不等式可化为f（t﹣1）＜﹣f（2t）=f（﹣2t）即f（t﹣1）＜f（﹣2t），又f（x）在（﹣1，1）上是增函数，∴有解之得，∴不等式的解集为．20．已知函数f（x）=ax2﹣2x+1．（1）试讨论函数f（x）的单调性；（2）若，且f（x）在[1，3]上的最大值为M（a），最小值为N（a），令g（a）=M（a）﹣N（a），求g（a）的表达式．【考点】二次函数的性质；函数解析式的求解及常用方法；二次函数在闭区间上的最值．【分析】（1）对参数a进行讨论，分一次函数、二次函数，确定函数的单调性；（2）配方，确定函数对称轴与区间的关系，即可得到M（a）的表达式，然后确定N（a）=f（），即可求得g（a）的表达式．【解答】解：（1）当a=0时，函数f（x）=﹣2x+1在（﹣∞，+∞）上为减函数当a＞0时，抛物线f（x）=ax2﹣2x+1开口向上，对称轴为x=∴函数f（x）在（﹣∞，）上为减函数，在（，+∞）上为增函数当a＜0时，抛物线f（x）=ax2﹣2x+1开口向下，对称轴为x=∴函数f（x）在（﹣∞，）上为增函数，在（，+∞）上为减函数（2）∵f（x）=a（x﹣）2+1﹣，又≤a≤1，得1≤≤3当1≤＜2，即＜a≤1时，M（a）=f（3）=9a﹣5，当2≤≤3，即≤a≤时，M（a）=f（1）=a﹣1，∴即≤a≤M（a）=∵≤a≤1∴1∴N（a）=f（）=1﹣当1≤＜2，即＜a≤1时，g（a）=M（a）﹣N（a）=9a﹣6+当2≤≤3，即≤a≤时，g（a）=M（a）﹣N（a）=a﹣2+21．设a∈R，函数f（x）=lnx﹣ax．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）设F（x）=f（x）+ax2+ax，问F（x）是否存在极值，若存在，请求出极值；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）设A（x1，y1），B（x2，y2）是函数g（x）=f（x）+ax图象上任意不同的两点，线段AB的中点为C（x0，y0），直线AB的斜率为为k．证明：k＞g′（x0）．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）先求出函数的定义域，求出函数f（x）的导函数，然后分类讨论，当a≤0时，f（x）的单调增区间为（﹣∞，+∞），当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，）；（Ⅱ）首先求出F（x）的导函数，然后分类讨论，当a≥0时，恒有F′（x）＞0，F（x）在（0，+∞）上无极值；当a＜0时，F（x）有极大值，无极小值；（Ⅲ），又，求出g（x）的导函数，然后设出0＜x1＜x2，即证，再设，即证：，再进一步设出k（t），求出k（t）的导函数，则结论可证．【解答】（Ⅰ）解：在区间（0，+∞）上，．（1）当a≤0时，∵x＞0，∴f′（x）＞0恒成立，f（x）的单调增区间为（0，+∞）；（2）当a＞0时，令f′（x）＞0，即，得．∴f（x）的单调增区间为（0，）；综上所述：当a≤0时，f（x）的单调增区间为（0，+∞），当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，）；（Ⅱ）由F（x）=f（x）+ax2+ax=lnx﹣ax+ax2+ax=lnx+ax2得（x＞0），当a≥0时，恒有F′（x）＞0，∴F（x）在（0，+∞）上无极值；当a＜0时，令F′（x）=0，得，x∈（0，），F′（x）＞0，F′（x）单调递增，x∈（，+∞），F′（x）＜0，F′（x）单调递减．∴．F（x）无极小值．综上所述：a≥0时，F（x）无极值，a＜0时，F（x）有极大值，无极小值；（Ⅲ）证明：，又，∴g′（x0）=，要证k＞g′（x0），即证，不妨设0＜x1＜x2，即证，即证，设，即证：，也就是要证：，其中t∈（1，+∞），事实上：设t∈（1，+∞），则=，∴k（t）在（1，+∞）上单调递增，因此k（t）＞k（1）=0，即结论成立．xx年1月2日Q30808 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高三数学10月联考试题 理含解析 试题
卜人入州八九几市潮王学校实验2021届高三上学期10月段测试数学〔理科〕一、选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分，每一小题的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的〕〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】由题可知．故此题答案选．中，，为等比数列，且，那么的值是〔〕．A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意，利用等差数列的定义与性质，求出的值，再利用等比数列的性质求出的值．【详解】等差数列中，，又，所以，解得或者〔舍去〕，所以，所以．应选．【点睛】此题考察了等差与等比数列的性质与应用问题，考察了计算才能，是根底题目．3.，“函数有零点〞是“函数在上是减函数〞的〔〕．A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.即不充分也不必要条件【答案】B【解析】试题分析：由题意得，由函数有零点可得，，而由函数在上为减函数可得，因此是必要不充分条件，应选B．考点：1.指数函数的单调性；2.对数函数的单调性；3.充分必要条件.4.下面给出四种说法：①设、、分别表示数据、、、、、、、、、的平均数、中位数、众数，那么；②在线性回归模型中，相关指数表示解释变量对于预报变量变化的奉献率，越接近于，表示回归的效果越好；③绘制频率分布直方图时，各小长方形的面积等于相应各组的组距；④设随机变量服从正态分布，那么．其中不正确的选项是〔〕．A.①B.②C.③D.④【答案】C【解析】【分析】对于A，根据数据求出的平均数，众数和中位数即可判断；对于B，相关指数R2越接近1，表示回归的效果越好；对于C，根据频率分布直方图断定；对于D，设随机变量ξ服从正态分布N〔4，22〕，利用对称性可得结论；【详解】解：①将数据按从小到大的顺序排列为：、、、、、、、、、，中位数：；；这组数据的平均数是．因为此组数据中出现次数最多的数是，所以是此组数据的众数；那么；②越接近于，表示回归的效果越好，正确；③根据频率分布直方图的意义，因为小矩形的面积之和等于，频率之和也为，所以有各小长方形的面积等于相应各组的频率；故③错；④∵随机变量服从正态分布，∴正态曲线的对称轴是，∴．故④正确．应选．【点睛】X，Y的关系，属于根底题．5.如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是该几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一局部后所得，那么该几何体的体积为〔〕．A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由三视图可得，直观图为一个完好的圆柱减去一个高为6的圆柱的一半，即可求出几何体的体积．【详解】由三视图可得，直观图为一个完好的圆柱减去一个高为的圆柱的一半，．应选．【点睛】此题考察了由三视图复原几何体，体积计算公式，考察了推理才能与计算才能，属于中档题．，假设函数图象上存在点满足约束条件，那么实数的最小值为〔〕．A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】作出不等式组表示的平面区域，观察图形可得函数的图象与直线x﹣y+3＝0交于点〔﹣1，2〕，当点A与该点重合时图象上存在点〔x，y〕满足不等式组，且此时m到达最小值，由此即可得到m的最小值．【详解】作出不等式组表示的平面区域，得到如图的三角形，其中，再作出指数函数的图象，可得该图象与直线交于点，因此，当点与重合时，图象上存在点满足不等式组，且此时到达最小值，即的最小值为．应选．【点睛】此题给出二元一次不等式组，求能使不等式成立的m的最小值，着重考察了二元一次不等式组表示的平面区域和函数图象的作法等知识，属于中档题．7.有一个球的内接圆锥，其底面圆周和顶点均在球面上，且底面积为．球的半径，那么此圆锥的侧面积为〔〕．A. B. C.或者 D.【答案】C【解析】【分析】由题意列方程求出圆锥的高h，再求出圆锥的母线长l，即可求出圆锥的侧面积．【详解】圆锥，是底面圆心，为球心，，∴，①如图①，，[在上]，∴，．②如图②，，∴，∴．应选．【点睛】此题考察了丁球内接圆锥的侧面积问题，求出圆锥的高是关键，考察空间想象才能与计算才能，属于中档题．，过点的直线与相交于，两点，且的中点为，那么双曲线的离心率为〔〕．A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由中点坐标公式，将A和B点代入双曲线的方程，两式相减即可求得直线的斜率，由直线AB的斜率k==1，即可求得=，根据双曲线的离心率公式，即可求得双曲线C的离心率．【详解】设A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，由AB的中点为N〔12，15〕，那么x1+x2=24，y1+y2=30，由，两式相减得：=，那么==，由直线AB的斜率k==1，∴=1，那么=，双曲线的离心率e===，∴双曲线C的离心率为，应选：B．【点睛】此题考察双曲线的离心率公式，考察中点坐标公式，考察点差法的应用，考察直线的斜率，考察计算才能，属于中档题．中，，分别是棱，的中点，是与的交点，面与面相交于，面与面相交于，那么直线，的夹角为〔〕．A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】画出图象，可得m即为CF，进而根据线面平行的断定定理和性质定理可得m∥n．【详解】如下列图：∵，分别是棱，的中点，故，那么面即为平面与平面相交于，即直线，由，可得平面，故面与面相交于时，必有，即，即直线，的夹角为．应选．【点睛】此题考察的知识点是空间直线的夹角，线面平行的断定定理及性质定理，难度中档．①函数的图象关于直线对称；②函数在区间上单调递增；③函数的最小正周期为；④函数的值域为．〕．A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用三角函数的周期性、单调性、值域以及它的图象的对称性，判断各个选项是否正确，从而得出结论．【详解】解：对于函数，由于，，∴，故的图象不关于直线对称，故排除①．在区间上，，，单调递增，故②正确．函数，，∴，故函数的最小正周期不是，故③错误．当时，，故它的最大值为，最小值为；当时，，综合可得，函数的最大值为，最小值为，故④正确．应选．【点睛】此题主要考察三角函数的周期性、单调性、值域以及它的图象的对称性，属于中档题．与直线围成的封闭图形内任取一点，为坐标原点，那么直线被该封闭图形解得的线段长小于的概率是〔〕．A. B. C. D.【答案】C【解析】如图圆的方程为，由圆方程，直线方程，抛物线方程知，．整个密闭区域的面积为，满足条件的区域面积为．由几何概型知所求概率为．故此题答案选．在上存在两个极值点，那么的取值范围为〔〕．A. B. C.D.【答案】D【解析】函数在(0,2)上存在两个极值点，等价于在(0,2)上有两个零点，令f′(x)=0,那么，即，∴x−1=0或者，∴x=1满足条件,且(其中x≠1且x∈(0,2)；∴,其中x∈(0,1)∪(1,2)；设t(x)=ex⋅x2,其中x∈(0,1)∪(1,2)；那么t′(x)=(x2+2x)e x>0，∴函数t(x)是单调增函数，∴t(x)∈(0,e)∪(e,4e2)，∴a∈.此题选择D选项.点睛：2．求极值、最值时，要求步骤标准、表格齐全，区分极值点与导数为0的点；含参数时，要讨论参数的大小．3．求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论．一个函数在其定义域内最值是唯一的，可以在区间的端点获得．二、填空题〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分〕13.，，，那么，，的大小是__________．【答案】【解析】【分析】根据指数函数与对数函数的单调性可得：a b，c log67．即可得出．【详解】解：a b，c log67．∴c＜a＜b．故答案为：c＜a＜b．【点睛】此题考察了指数函数与对数函数的单调性，考察了推理才能与计算才能，属于根底题．，的夹角为，且，．假设平面向量满足，那么__________．【答案】【解析】由题可设,,设,由题,解得，. 15.展开式中，常数项是__________．【答案】60【解析】解：因为展开式中，通项公式为，令x的次数为零可知常数项为60.满足，，且，假设表示不超过的最大整数，那么__________．【答案】【解析】构造，那么由题意可得：故数列是为首项，为公差的等差数列，，，以上个式子相加可得解得，那么点睛：此题考察了等差数列的通项公式及数列的递推式的应用，考察了累加求和的方法，裂项求和方法的应用，解答此题的关键是纯熟掌握通项公式的求法，考察了学生的推理才能和计算才能，属于中档题。
山东新高考质量测评联盟2021届高三上学期10月联考数学试题 Word版含答案
山东新高考质量测评联盟2021届高三10月联考数学试题2020．10一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1．已知集合A ＝{}1y y x =-，集合B ＝{}2log (1)0x x ->，则AB ＝A ．∅B ．(0，+∞)C ．(1，2)D ．(2，+∞) 2．已知命题p ：∀x ∈[0，2]，2320x x -+>，则⌝p 是 A ．∃x ∈[0，2]，2320x x -+< B ．∃x ∈[0，2]，2320x x -+≤ C ．∃x ∈(-∞，0)(2，+∞)，2320x x -+≤D ．∀x ∈[0，2]，2320x x -+≤ 3．已知复数34i z =+，则23z z -＝A ．5B ．5C ．20D ．254．高一（1）班某组有5人，组长安排值日生，其中1人负责擦黑板，2人负责教室内地面卫生，2人负责卫生区卫生，则不同的安排方法有A ．20种B ．30种C ．90种D ．120种 5．已知函数()2sin()f x x ωϕ=+，则ω＝2是()f x 的最小正周期是π的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 6．已知函数()f x 的图像如图所示，则()f x 的解析式可能是 A ．2()ln f x x x =- B ．()ln f x x x =- C ．2()2ln f x x x =- D ．()2ln f x x x =-7．已知1＜m ＜43，则23143m m+--的最小值是 第6题A ．329+B ．36+C ．629+D ．128．已知函数221()log (1)f x x x=+-，则不等式(21)0f x ->的解集是 A ．(0，1) B ．(1，+∞) C ．(-∞，0) D ．(-∞，0)(1，+∞) 二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9．已知实数a ，b ，c 满足a ＞b ＞1＞c ＞0，则下列结论正确的是A ．a bc c > B ．log log a b c c > C ．1313log a a < D ．2233a b <10．已知复数13i 2z =-，则下列结论正确的有 A ．1z z ⋅= B ．2z z = C ．31z =- D ．202013i 22z =-+11．在如图所示的三棱锥V —ABC 中，已知AB ＝BC ，∠V AB＝∠V AC ＝∠ABC ＝90°，P 为线段VC 的中点，则 A ．PB 与AC 垂直 B ．PB 与V A 平行C ．点P 到点A ，B ，C ，V 的距离相等D ．PB 与平面ABC 所成的角大于∠VBA 第11题 12．已知函数()f x 满足(1)(1)0f x f x ++-=，且(1)f x -是奇函数，则下列说法正确的是A ．()f x 是奇函数B ．()f x 是周期函数C ．(1)0f =D ．(1)f x +是奇函数三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．262(1)()x x x+-展开式中的常数项为 ．14．已知x ＞0，若关于x 的不等式2221x x a x ++<+恒成立，则a 的取值范围是 ． 15．函数2()log (412)3a f x x x =+-+(a ＞0且a ≠1)，若(ln(lg e))f ＝2，则(ln(ln10))f＝ ．16．在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB ＝2，ACBAC ＝30°，AA 1接球体积是 ．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）如图，在四棱锥M —ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，且AB ＝BC ＝1，MD ＝1，MD ⊥平面ABCD ，H 是MB 中点，在下面两个条件中任选一个，并作答：①二面角A —MD —C 的大小是23π；②∠BAD ＝2π． 若 ，求CH 与平面MCD 所成角的正弦值．注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分．18．（本小题满分12分）新能源汽车对环保、节能减排、绿色生活以及可持续发展起到积极作用．下表给出了我国2015—2019年新能源汽车保有量y （单位：万辆）的数据：（（2）求y 关于X 的线性回归方程（精确到0.01），并预测我国2025年新能源汽车保有量（结果保留整数）．附：参考公式：1122211()()()n niiiii i nniii i x x y y x ynx y b x x xnx====---==--∑∑∑∑，a y bx =-．19．（本小题满分12分）已知函数()e xf x a x =-． （1）求()f x 的极值；（2）求()f x 在[0，1]上的最大值．20．（本小题满分12分）如图，三棱锥S —ABC 的底面ABC 和侧面SBC 都是等边三角形，且平面SBC ⊥平面ABC ，点P 在侧棱SA 上．（1）当P 为侧棱SA 的中点时，求证：SA ⊥平面PBC ；（2）若二面角P —BC —A 的大小为60°，求PASA的值．21．（本小题满分12分）为了研究全年国内旅游人均消费情况与性别的关系，某互联网旅游公司从其网络平台数据库中抽取1000条用户信息进行调查，得到如下数据：把全年旅游消费满16000元的游客称为“酷爱旅游者”．（1）请完成下列2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“酷爱旅游者”与性别有关；（旅游者”中随机抽取4名用户，担任网站的“形象大使”，每位“形象大使”可获得30000元奖金．另外，为了进一步刺激旅游消费，提升网站的知名度，公司将在其平台数据库的所有用户中抽取100名幸运用户给予现金奖励，规则如下：幸运用户在网页上点击“抽奖”按钮，屏幕上会随机显示两个数字，每个数字出现0~9的可能性是相等的．两个数字中，若同时有数字1和5，则获得一等奖，奖励1000元；若只有数字1和5中的一个，则获得二等奖，奖励500元；若数字1和5都没有，则获得三等奖，奖励200元．每位“酷爱旅游者”可进行两次抽奖；每位“非酷爱旅游者”可进行一次抽奖．①视频率为概率，求抽取的4名“形象大使”中，既有男“酷爱旅游者”，又有女“酷爱旅游者”的概率；②如果所有的“形象大使”和幸运用户都不放弃奖励，记移动支付平台支出的奖金总额为X ，求X 的数学期望．附：参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．22．（本小题满分12分）已知函数2()ln f x ax bx c x =+-，其中a ，b ，c ∈R ． （1）当a ≥0，c ＝1时，讨论函数()f x 的单调性；（2）已知a ＞0，b ＝﹣2，c ＝2，且函数()f x 有两个零点1x ，2x （1x ＜2x ），求证：对任意的正实数M ，都存在满足条件的实数a ，使得2x ﹣1x ＞M 成立．。
高三数学10月份质量检测试卷 理含解析 试题
卜人入州八九几市潮王学校2021届高三10月份过程检测数学(理科)试题本套试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部，总分值是150分．考试用时120分钟．本卷须知：1.在答题之前，所有考生必须用0．52.第一卷每一小题在选出答案以后，需要用2B铅笔把答题卡上对应题目之答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．0．5毫米黑色签字笔答题，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来之答案，然后再写上新之答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求答题之答案无效．4．填空题请直接填写上答案，解答题应写出文字说明、证明过程或者演算步骤．第I卷〔一共60分〕一．选择题：〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的，请将正确选项涂在答题卡相应位置上．〕1.设集合，，那么〔〕A.(0,4]B.(−∞,4]C.(0,3]D.[0,3]【答案】C【解析】【分析】根据题意，分求得集合A,B，进而得到C R B={x|x≤3}，再利用交集的运算，即可求解.【详解】由题意，集合A={x|x−4x≤0}={x|0<x≤4}，B={x|y=lg(x−3)}={x|x>3}，那么C R B ={x|x ≤3}，所以A ∩C R B ={x|0<x ≤3}，应选C.【点睛】此题主要考察了集合的交集和集合的补集的运算问题，其中解答中正确求解集合A,B ，再根据集合的运算求解是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于根底题. 2.以下函数中，即是单调函数又是奇函数的是 A.y =sinx B.y =2|x |C.y =x 12D.y =x 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据根本初等函数的性质——奇偶性和单调性，即可断定，得到答案. 【详解】由题意可知，A 中，函数y =sinx 不是单调函数，所以不符合题意； B 中，函数y =2|x |是偶函数，所以不符合题意； C 中，函数y =x 12是非奇非偶函数，所以不符合题意；D 中，函数y =x 3为定义域上的单调增函数，且为奇函数，符合题意，应选D.【点睛】此题主要考察了函数的单调性与奇偶性的断定，其中解答中熟记函数的单调性和奇偶性的断定方法是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于根底题.3.函数f (x )的定义域为[0,2]，那么函数g (x )=f (12x)+√8−2x 的定义域为〔〕A.[0,3]B.[0,2]C.[1,2]D.[1,3] 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的定义域的定义，以及复合函数的定义域的求解方法，列出不等式组，即可求解. 【详解】由题意，函数f (x )的定义域为[0,2]，即x ∈[0,2]，又由函数g (x )=f (12x)+√8−2x ，那么满足{0≤12x ≤28−2x≥0，解得0≤x ≤3，即函数g (x )的定义域为[0,3]，应选A.【点睛】此题主要考察了函数的定义域的求解，其中解答中涉及到抽象函数的定义域的求解方法，根据题意合理列出不等式组是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于根底题.4.有一个奇数列1，3，5，7，9，…，现进展如下分组：第1组为{1}，第2组为{3,5}；第3组为{7,9,11}；…试观察每组内各数之和S n 与该组的编号数n 的关系为〔〕A.S n =n 2B.S n =n 3C.S n =n 4D.S n =n (n +1) 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得，第一组数字之和为13；第二组数字之和为23；第三组数字之和为33，观察规律，归纳可得，第n 组数字之和与其组的编号数n 之间的关系.【详解】由题意可得，第一组数字之和为1=13；第二组数字之和为3+5=8=23； 第三组数字之和为7+9+11=27=33，依次类推， 按照规律，归纳可得，第n 组数字之和为S n =n 3，应选B.【点睛】此题主要考察了归纳推理，对于合情推理主要包括归纳推理和类比推理.数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向.合情推理仅是“符合情理〞的推理，它得到的结论不一定正确.而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下).5.以下说法正确的选项是〔〕A.“x <1〞是“log 2(x +1)<1〞的充分不必要条件B.“∀x >0，2x >1〞的否认是“∃x 0≤0，2x 0≤1〞C.“假设a ≤b ，那么ac 2≤bc 2〞D.“假设a +b ≠5，那么a ≠2或者b ≠3〞 【答案】D 【解析】选项A ：log 2(x +1)<1⇔0<x +1<2⇔−1<x <1，所以“x <1∀x >0， 2x >1〞的否认是“∃x 0>0， 2x 0≤1a ≤b ，那么ac 2≤bc 2ac 2≤bc 2，那么a ≤b 〞，当c a =2且b =3，那么a +b =56.设函数f (x )={2e x ，x <2log 3(x 2−1)，x ≥2，那么f(f (2))的值是A.B.2e C.2D.3 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的解析式，先求得f (2)=1，进而求得f(f (2))的值，得到答案.【详解】由题意可知函数f (x )={2e x ，x <2log 3(x 2−1)，x ≥2，那么f (2)=log 3(22−1)=1， 所以f(f (2))=f (1)=2e ，应选B.【点睛】此题主要考察了分段函数的函数值的求解问题，其中根据分段函数的函数的解析式，准确计算是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于根底题.7.函数f (x )=2sin (ωx +φ)(ω>0)的局部图像如下列图，假设图中在点A ，D 处f (x )取极大值，在点B ，C 处f (x )取极小值，且四边形ABCD 的面积为32，那么ω的值是 A.π4B.14C.18D.π8【答案】A 【解析】【分析】根据三角函数的解析式，可得四边形ABCD为平行四边形，得到四边形的边长和高，得到三角函数的周期，进而求得w的值.【详解】由题意可知，根据函数的图象可知，四边形ABCD为平行四边形，那么AB=T,ℎ=2A=4，所以四边形ABCD的面积S=|AB|⋅ℎ=T×4=4T=32，所以T=8，即2πw=8，解得w=π4，应选A.【点睛】此题主要考察了三角函数的图象与性质的应用，其中解答中根据三角函数的图象，得到四边形的边长和高，求解三角函数的周期，进而求解是解答的关键，着重考察了数形结合思想，以及推理与运算才能.8.函数f(x)=sin(x+π4)cos(x+π4)+cos2x−log2|x|−12的零点个数为A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】【分析】利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式，通过函数为0，转化为两个函数的图象交点个数问题.【详解】由f(x)=sin(x+π4)cos(x+π4)+cos2x−log2|x|−12=12cos2x+1+cos2x2−log2|x|−12=cos2x−log2|x|，令f(x)=0，即cos2x=log2|x|，在同一坐标系中画出函数y=cos2x和y=log2|x|的图象，如下列图，两个函数图象有两个不同的交点，所以函数f(x)的零点个数为2个，应选B.【点睛】此题主要考察了函数与方程的综合应用，其中根据三角函数的恒等变换，把函数的零点问题转化为两个函数的图象的交点问题，在同一坐标系中作出两个函数的图象是解答的关键，着重考察了转化思想和数形结合思想的应用.9.函数f (x )=sin (ωx +π6)(ω>0)的图象与x 轴正半轴两交点之间的最小间隔为π2，假设要将函数f (x )=sin (ωx +π6)的图象向左平移π12个单位得到g (x )的图象，那么g (x )的单调递增区间为A.(π6+k π,2π3+k π)(k ∈Z )B.(π12+k π,7π12+k π)(k ∈Z )C.(−5π12+k π,π12+k π)(k ∈Z )D.(−π6+k π,π6+k π)(k ∈Z ) 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，求得T =π，得到函数的解析式f (x )=sin(2x +π6)，再根据图象的变换求得函数g (x )=sin(2x +π3)，再由函数的单调性，即可求解函数的单调区间.【详解】由函数f (x )=sin(wx +π6)的图象与x 轴正半轴两交点之间的最小间隔为π2，即T2=π2，即T =π，所以2πw=π，解得w =2，即f (x )=sin(2x +π6)，将函数f (x )的图象向左平移π12个单位得到g (x )=sin[2(x +π12)+π6]=sin(2x +π3)，令−π2+2kπ≤2x +π3≤π2+2kπ,k ∈Z ，解得−5π12+kπ≤x ≤π12+kπ,k ∈Z ， 即函数的单调递增区间为[−5π12+kπ,π12+kπ],k ∈Z ，应选C.【点睛】此题主要考察了三角函数的图象变换及三角函数的图象与性质，对于三角函数图像变换问题，首先要将不同名函数转换成同名函数；另外在进展图像变换时，提倡先平移后伸缩，而先伸缩后平移在考试中经常出现，无论哪种变换，记住每一个变换总是对变量x 而言. 10.函数f (x )=(1−2x 1+2x)cosx 的图象大致为〔〕A. B. C. D.【答案】C 【解析】由函数的解析式，当x =π2时,是函数的一个零点,属于排除A,B,当x∈(0,1)时，cosx>0，1−2x 1+2x <0,函数f(x)<0，函数的图象在x 轴下方，排除D.此题选择C 选项.点睛：函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、挑选选项． 11.在△ABC 中，∠C =2π3，那么sinAcosB 的取值范围为〔〕A.(0,12)B.(0,√32)C.(12,√3)D.(√32,1) 【答案】B 【解析】 【分析】由题意得A +B =π3，即B =π3−A ，代入化简求得sinAcosB =12sin(2A −π3)+√34，再根据三角函数的性质，即可求解.【详解】由题意，在ΔABC 中，∠C =2π3，那么A +B =π3，即B =π3−A ，所以sinAcosB =sinAcos(π3−A)=sinA ⋅(12cosA +√32sinA)=12sinAcosA +√34sin 2A=14sin2A+√32×1−cos2A2=14sin2A−√34cos2A+√34=12sin(2A−π3)+√34，又由0<A<π3⇒0<2A<2π3⇒−π3<2A−π3<π3，所以sin(2A−π3)∈(−√32,√32)，所以sinAcosB∈(0,√32)，应选B.【点睛】此题主要考察了三角函数的图象与性质的应用，其中根据三角形的内角和定理，化简求得sinAcosB=12sin(2A−π3)+√34，再根据三角函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考察了推理与运算才能.12.假设存在正实数m，使得关于x的方程x+a(2x+2m−4ex)[ln(x+m)−lnx]=0有两个不同的根，其中e为自然对数的底数，那么实数a的取值范围是A.(−∞,0)B.(12e,+∞)C.(−∞,0)∪(12e ,+∞)D.(0,12e)【答案】B【解析】【分析】根据函数与方程的关系将方程进展转化，利用换元法转化为方程的有解，构造函数求函数的导数，利用函数极值和单调性的关系进展求解即可.【详解】由题意得−12a=(1+mx−2e)ln(1+mx)=(t−2e)lnt,(t=mx+1>1)，令f(t)=(t−2e)lnt,(t>1)，那么f′(t)=lnt+1−2e t,f″(t)=1t+2e t2>0，当t>e时，f′(t)=f′(e)=0，当1<t<e时，f′(t)<f′(e)=0，所以f(t)≥f(e)=−e，所以−12a>−e，而t→1时，f(t)→0，那么要满足−e<−12a<0，解得a>12e，应选B.【点睛】此题主要考察了函数与方程的综合应用问题，其中解答中根据函数与方程的关系将方程进展转化，利用换元法转化为方程的有解，构造函数求函数的导数，利用函数极值和单调性的关系进展求解是解答的关键，着重考察了学生分析问题和解答问题的才能，属于中档试题第二卷〔非选择题，一共90分〕二．填空题：〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分，把正确答案填在答题卡相应题的横线上〕13.函数y=xlnx在点(m,f(m))处的切线平行于y=2x+1，那么实数m=______．【答案】【解析】【分析】求得函数的导数，利用在点(m,f(m))的导数等于切线的斜率，即可求解.【详解】由题意，函数y=xlnx的导数f′(x)=lnx+1，又因为函数y=xlnx在点(m,f(m))处的切线平行于y=2x+1，即f′(m)=lnm+1=2，解得m=e.【点睛】此题主要考察了导数的几何意义的应用，其中熟记函数在某点处的导数等于该点处的切线的斜率是解答的关键，着重考察了分析问题和解答问题的才能.14.实数x，y满足{x−y−1≤0x+3≥0y−2≤0，那么z=2x+y的最大值为__________．【答案】8【解析】【分析】做出约束条件所表示的平面区域，变形目的函数，通过平移找出最优解，代入目的函数求出最值.【详解】由题意，做出约束条件所表示的平面区域，如下列图，又由目的函数z=2x+y，那么y=−2x+z，平移直线y =−2x ，结合图象可得直线y =−2x +z 经过点C 时，获得最大值， 又由{x −y −2=0y =2，解得C(3,2)，所以目的函数的最大值为z =2×3+2=8.【点睛】此题主要考察了利用简单的线性规划求最小值问题，其中对于线性规划问题可分为三类:〔1〕简单线性规划，包括画出可行域和考察截距型目的函数的最值，有时考察斜率型或者间隔型目的函数；〔2〕线性规划逆向思维问题，给出最值或者最优解个数求参数取值范围；〔3〕线性规划的实际应用，着重考察了考生的推理与运算才能，以及数形结合思想的应用. 15.函数f (x )={(2−a )x −2,x <1log a x,x ≥1满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)−f (x 2)x 1−x 2>0成立，那么a 的取值范围是_______． 【答案】(1,2) 【解析】 【分析】由题意，得出函数f (x )为单调递增函数，再由分段函数的解析式，列出不等式即可求解. 【详解】由题意，函数满足对任意的x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2>0成立，所以函数f (x )为单调递增函数，又由函数f (x )={(2−a )x −2,x <1,log a x,x ≥1,，所以{2−a >0a >12−a −2≤0，解得1<a <2， 即实数的取值范围是(1,2).【点睛】此题主要考察了分段函数的单调性的应用求参数，其中根据题意得到函数f (x )为单调递增函数，根据分段函数的解析式列出相应的不等式组是解答的关键，着重考察了分析问题和解答问题的才能，属于根底题.16.假设函数f(x)=[x2−(a+2)x+a+3]e x在(0,2)上有2个不同的极值点，那么实数a的取值范围是______．【答案】(2,5 2 )【解析】【分析】由函数f(x)在(0,2)上有2个不同的极值点，转化为f′(x)=e x⋅(x2−ax−1)在(0,2)有两个不同的实数解，利用二次函数的图象与性质，列出不等式组，即可求解.【详解】由函数f(x)=[x2−(a+2)x+a+3]e x在(0,2)上有2个不同的极值点，即f′(x)=e x⋅(x2−ax−1)在(0,2)有两个不同的实数解，设g(x)=x2−ax−1，那么满足{0<a2<2f(a2)=a24−a⋅a2+1<0f(2)=4−2a+1>0，即{0<a<4−a24+1<0a<52，解得2<a<52，即实数的取值范围是(2,52).【点睛】此题主要考察了利用函数的极值点求解参数问题，其中解答中根据函数f(x)在(0,2)上有2个不同的极值点，转化为f′(x)在(0,2)有两个不同的实数解，再借助二次函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考察了转化思想和推理、运算才能.三、解答题：一共70分．解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须答题．第22、23题为选考题，考生根据要求答题．〔一〕必考题：60分．17.p：实数x满足x2−4ax+3a2<0，其中a>0；q：实数x满足2x−5x−2≤1．〔Ⅰ〕假设a=1，且“p∧q〞x的取值范围；〔Ⅱ〕假设¬p是¬q的充分不必要条件，务实数a的取值范围．【答案】〔1〕2<x<3；〔2〕1<a≤2．【解析】【分析】〔Ⅰ〕p,qx的取值范围，再由p,q〔Ⅱ〕因为¬p是¬q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件，列出不等式组，即可求解.【详解】〔Ⅰ〕p:(x−a)(x−3a)<0，∴a<x<3a当a=1时，p:1<x<3，q:2x−5x−2≤1，x−3x−2≤0，解得2<x≤3，因为p∧q x的取值范围为2<x<3．〔Ⅱ〕因为¬p是¬q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件，所以{a≤23a>3，所以1<a≤2．【点睛】p,q.18.函数f(x)=4cosxsin(x−π6)+1，〔Ⅰ〕求f(x)的单调递增区间；〔Ⅱ〕求f(x)在区间[−π12,5π12]上的最大值和最小值．【答案】〔1〕[−π6+kπ,π3+kπ]，k∈Z；〔2〕f(x)max=2，f(x)min=−√3。
高三数学10月第一次大联考试题 文含解析 试题
卜人入州八九几市潮王学校2021届高三数学10月第一次大联考试题文〔含解析〕第一卷〔选择题一共60分〕一、选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的.〕{}{}=11,=1,0,1,2A x x B -<≤-，那么A B =〔〕A.{}-101，， B.{}1,0-C.{}0,1D.{}1,2【答案】C 【解析】 【分析】根据交集的定义，即可求出结果。
【详解】{}0,1A B =，应选C 。
【点睛】此题主要考察交集的运算。
()0000,ln 1x x x ∃∈+∞=+，〞的否认是〔〕A.()0000,ln 1x x x ∃∈+∞≠+，B.()0,ln 1x x x ∀∉+∞≠+，C.()0,ln 1x x x ∀∈+∞≠+，D.()0000,ln 1x x x ∃∉+∞≠+，【答案】C 【解析】 【分析】()0000,ln 1x x x ∃∈+∞=+，〞的否认为“()0,ln 1x x x ∀∈+∞≠+，〞，应选C.x M ∀∈，()p x ，其否认为(),x M p x ∃∈⌝x M ∃∈，()p x ，其否认为(),x M p x ∀∈⌝.{}|12M x x =-<<，{}|N x x a =≤，假设M N ⊆，那么实数a 的取值范围是〔〕A.()2,+∞B.[)2,+∞C.(),1-∞-D.(],1-∞-【答案】B 【解析】 【分析】根据集合子集的概念，可确定端点的关系，即可求解. 【详解】{}|12Mx x =-<<，{}|N x x a =≤，且M N ⊆，所以2a ≥.故实数a 的取值范围为[)2,+∞，应选：B.【点睛】此题主要考察了集合子集的概念，属于容易题. )A.1x >，那么21x >B. C.220x x +-=〞的D.,,a b c ∈R ，假设22ac bc >，那么a ＞b 〞的【答案】B 【解析】 【分析】 A ，C B; 根据DD. 【点睛】此题考察()222f x x ax =++在区间(),4-∞上单调递减，那么a 的取值范围是〔〕A.[)4,+∞B.(],4-∞C.(),4-∞-D.(],4-∞-【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的图象与性质，写出对称轴，比较对称轴与4的关系即可求解. 【详解】由于二次函数()222f x x ax =++的二次项系数为正数，对称轴为直线x a =-，其对称轴左侧的图像是下降的，∴4a -≥，故4a ≤-， 因此，实数a 的取值范围是(],4-∞-，应选：D.【点睛】此题主要考察了二次函数的单调性，对称轴与区间端点的关系是解题关键，属于中档题.sin ()ln(2)xf x x =+的图象可能是〔〕A. B. C.D.【答案】A 【解析】 【分析】取特殊值排除选项得到答案.【详解】sin ()(0)0ln(2)xf x f x =⇒=+排除BD1sinsin 12()()05ln(2)2ln()2x f x f x =⇒=>+排除C 故答案选A【点睛】此题考察了函数图像，用特殊值法排除选项是常用方法，也可以从函数的性质着手得到答案. 7.某电动汽车“行车数据〞的两次记录如下表：〔注：累计里程指汽车从出厂开场累计行驶的路程，累计耗电量指汽车从出厂开场累计消耗的电量，平均耗电量=累计耗电量累计里程，剩余续航里程=剩余电量平均耗电量，下面对该车在两次记录时间是段内行驶100公里的耗电量估计正确的选项是 A. B. C. D.【答案】D 【解析】 【分析】根据累计耗电量的计算公式，即可求解．【详解】由题意，可得41000.12640000.125516.650016.6⨯-⨯=-=， 所以对该车在两次记录时间是段内行驶100公里的耗电量估计正确的选项是：大于1，应选D ．【点睛】此题主要考察了函数模型的应用，其中解答中正确理解题意，根据累计耗电量的公式，准确计算是解答的关键，着重考察了分析问题和解答问题的才能，属于根底题．tan 2α=，那么22sin 3sin cos cos 1αααα+=+〔〕 A.53B.54C.52D.2【答案】A 【解析】 【分析】正切值，观察所求式子，采取弦化切思想，分子分母同除以2cos α即可求解. 【详解】∵tan 2α=，那么22222sin 3sin cos sin 3sin cos cos 12cos sin ααααααααα++=++22tan 3tan 5tan 23ααα+==+.选A. 【点睛】此题主要考察了同角三角函数间的关系，弦化切的思想，属于中档题.0.23，30.2，0.2log 3的大小顺序是〔〕A.0.230.230.2log 3<<B.0.230.23log 30.2<<C.0.230.2log 330.2<<D.30.20.2log 30.23<<【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数和对数函数性质，分析3个数与0，1的大小即可. 【详解】由指数函数和对数函数的图象与性质可知：0.231>，300.21<<，0.2log 30<，所以30.20.2log 30.23<<，应选D.【点睛】此题主要考察了指数函数、对数函数的单调性，属于中档题.x ，y ，假设p ：4x ≠或者1y ≠，q ：5x y +≠，那么p 是q 的〔〕A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】 取特殊值6x=，1y =-,可知p qq ⇒p ,即可得出结论.【详解】取6x=，1y =-，满足条件p ,此时5x y +=，即pq ，故p 是q 的不充分条件，q ：5x y +≠⇒p ：4x ≠或者1y ≠等价于4x =且15y x y =⇒+=，易知成立，所以p 是q的必要条件. 故答案选B. .11.ABC ∆内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin sin 4sin a A b B c C -=，1cos 4A =-，那么sin sin AC =〔〕A.B.40C.6D.3【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理，化角为边可得2224a b c -=，利用余弦定理化角为边可得224124c c bc -=-，得到a c、关系，再根据正弦定理求解即可. 【详解】由及正弦定理可得2224a b c -=，由余弦定理推论可得2221cos 42b c a A bc+--==，∴224124c c bc -=-，∴3124c b =，∴3462b c =⨯=，6b c =， ∵2224a b c-=，∴a =，sin sin AC=应选A. 【点睛】此题主要考察了正弦定理，余弦定理，边角互化的思想，属于中档题.()22,0511,04x x x x f x a x ⎧-+≤≤⎪=⎨⎛⎫-≤<⎪ ⎪⎝⎭⎩的值域为[]15,1-，那么实数a 的取值范围是〔〕A.(],2-∞-B.[)2,0-C.[]2,1--D.{}2-【答案】B 【解析】 【分析】分段研究，当05x ≤≤时,可得()151f x -≤≤，所以只需0a x ≤<时，114x⎛⎫- ⎪⎝⎭取值为[]15,1-的子集即可. 【详解】当05x ≤≤时，()()22211f x x x x =-+=--+，所以()151f x -≤≤；当0a x ≤<时，()114xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭为递增函数，所以()1104af x ⎛⎫-≤< ⎪⎝⎭， 因为()f x 的值域为[]15,1-，所以111540aa ⎧⎛⎫-≥-⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪<⎩，故20a -≤<，应选B. 【点睛】此题主要考察了分段函数的值域，二次函数、指数函数的单调性，属于中档题.第二卷〔非选择题一共90分〕二、填空题〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分.〕3()ln 4f x x =-的单调递减区间是_________【答案】90,4⎛⎤ ⎥⎝⎦或者90,4⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】 求出导函数'()f x ，然后在定义域内解不等式'()0f x <得减区间．【详解】33'()44f x x x =-=，由3'()04f x x=<，又0x >得904x <<．∴减区间为9(0,)4，答9(0,]4也对． 故答案为9(0,)4或者9(0,]4．【点睛】此题考察导数与函数的单调性，一般由'()0f x >确定增区间，由'()0f x <确定减区间．()()2x f x x a e =-，且()'13f e =，那么曲线()y f x =在0x =处的切线方程为______.【答案】10x y --=【解析】 【分析】 求导，利用()'13f e =求出a ，根据导数几何意义可求斜率(0)k f '=，利用点斜式写出切线方程即可. 【详解】∵()()()'2222x x x f x e x a e x a e =+-=+-，∴()()'143f a e e =-=，解得1a =，即()()21x f x x e =-，()01f =-，那么()()'21x f x x e =+，∴()'01f =，曲线()y f x =在点0x=处的切线方程为()110y x +=⨯-，即10x y --=.【点睛】此题主要考察了导数的几何意义，切线方程，属于中档题.()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭的图像向左平移12π个单位，得到函数()g x 的图像，那么()g x 的解析式为______.【答案】()sin 23gx x π⎛⎫=+⎪⎝⎭【解析】 【分析】将函数()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭的图像向左平移12π个单位,根据图象变换规律，得到()12f x π+，写出解析式即可.【详解】将函数()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭的图象向左平移12π个单位后所得图象对应的解析式为sin 2sin 21263y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.【点睛】此题主要考察了函数图象的平移变换，属于中档题. ______.①函数()1f x x=在区间()(),00,-∞⋃+∞上单调递减；②函数131x y +=+的图象过定点()1,2-；③假设1x 是函数()f x 的零点，且1m x n <<，那么()()0f m f n ⋅<；④方程3log 124x =的解是19x=. 【答案】②④ 【解析】 【分析】 ①()1f x x=在定义域上无单调性，错误；②利用指数函数恒过定点性质可求其正确；③举反例可分析出结论错误；④利用指数、对数的性质求解方程，结论正确. 【详解】说法①：函数()1f x x=在(),0-∞、()0,∞+每个区间上单调递减，但是在整个定义域内不具有单调性，例如：11>-，而()()11f f >-，不具有单调递减的性质；说法②：当1x =-时，2y =，所以函数()111x y a a +=+>的图象过定点()1,2-是正确的；说法③：假设()f m ，()f n 中也存在一个为零时，就不符合()()0f m f n ⋅<，故本说法不正确；说法④：33log l 23og 12log 491222xx x x -==-⇒⇒=⇒=，故本说法④正确. 综上，此题之答案为②④.【点睛】此题主要考察了函数单调性，零点，定点问题，属于中档题.三、解答题〔本大题一一共6小题，一共70分，解容许写出文字说明、证明过程或者推演步骤.〕p ：对任意[]0,1x ∈，不等式2234x m m -≥-q ：存在[]1,1x ∈-，使得不等式2210x x m -+-≤成立.〔1〕假设p m 的取值范围； 〔2〕假设p q ∧p q ∨m 的取值范围.【答案】〔1〕13m ≤≤；〔2〕1m <或者23m <≤. 【解析】 【分析】 〔1〕p []0,1x ∈，不等式2234x m m -≥-恒成立可转化为()2min 234x m m -≥-p ，q q ,即可求出m 的取值范围. 【详解】对于p ：()2min234x m m -≥-成立，而[]0,1x ∈，有()min 233x -=-，∴234m m -≥-，∴13m ≤≤.q ：存在[]1,1x ∈-，使得不等式2210x x m -+-≤成立，只需()2min210x x m -+-≤，而()2min212xx m m -+-=-+，∴20m -+≤，∴2m ≤；〔1〕假设p 为真，那么13m ≤≤； 〔2〕假设p q ∧为p q ∨p ，q 一真一假.假设qp 132m m ≤≤⎧⎨>⎩，所以23m <≤；假设pq 132m m m ⎧⎨≤⎩或，所以1m <.综上，1m <或者23m <≤. .()()212cos cos f x x x x x R =--∈.〔1〕求23f π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值；〔2〕求函数()f x 的最小正周期及单调递减区间.【答案】〔1〕2；〔2〕π，,36k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. 【解析】【分析】〔1〕利用降幂公式及二倍角公式，两角和正弦公式的逆用化简，代入求值即可〔2〕根据正弦型函数的周期、单调性求出周期，递减区间即可.【详解】〔1〕()212cos cos f x x x x =--cos 222sin 26x x x π⎛⎫=--=-+ ⎪⎝⎭. 那么242sin 2336f πππ⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 〔2〕因为()2sin 26f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.所以()f x 的最小正周期是π. 由正弦函数的性质得222262k x k πππππ-+≤+≤+，k Z ∈， 解得36k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈，所以，()f x 的单调递减区间是,36k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. 【点睛】此题主要考察了三角恒等变换，正弦型函数的图象和性质，属于中档题.()x f x e =.〔1〕假设()24f a =，务实数a 的值；〔2〕设函数()()2x g x e kx k R =-∈，假设()g x 在()0,∞+上没有零点，求k 的取值范围.【答案】〔1〕ln 2a =；〔2〕24e k <. 【解析】【分析】〔1〕代入解析式，取对数即可求解〔2〕转化为方程2xe k x =在()0,∞+上无实数解，求()()20xe h x x x=>的值域即可得到k 的范围. 【详解】〔1〕因为()224a f a e ==，即：2a e =， 所以ln 2a =.〔2〕由题意可知，()2x g x e kx =-，函数()g x 在()0,∞+上没有零点等价于方程2xe k x =在()0,∞+上无实数解，设()()20xe h x x x =>，那么()()()32'0x e x h x x x-=>， ∴()hx 在()0,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增， ∴()h x 在2x =上获得极小值，也是最小值，∴()()224e h x h ≥=， ∴24e k <. 【点睛】此题主要考察了函数与方程，利用导数求函数的极值、最值，转化思想，属于中档题.()()1x f x ae x =+〔其中 2.71828e =⋅⋅⋅〕，()22g x x bx =++，它们在0x =处有一样的切线. 〔1〕求函数()f x ，()g x 的解析式；〔2〕假设函数()f x 在[],1t t +上的最小值为22e -，务实数t 的取值范围. 【答案】〔1〕()()21x f x e x =+，()242g x x x =++；〔2〕32t -≤≤-.【解析】【分析】〔1〕两函数在0x =处有一样的切线可知()()''00f g =，()()002f a g ===，联立求解即可〔2〕利用导数可求出()f x 的唯一极小值，也就是最小值()222f e -=-，转化为[]2,1t t -∈+即可求t 范围.【详解】〔1〕()()'2x f x ae x =+，()'2g x x b =+，由题意，两函数在0x=处有一样的切线， ∴()'02f a =，()'0g b =，∴2a b =，()()002f a g ===， ∴2a=，4b =， ∴()()21x f x e x =+，()242g x x x =++.〔2〕由〔1〕得()()'22x f x e x =+.当2x >-时，那么()'0f x >，所以()f x 在()2,-+∞上单调递增，当2x <-时，那么()'0f x <，所以()f x 在(),2-∞-上单调递减，而函数()()2min 22f x f e =-=-，∴[]2,1t t -∈+，即32t -≤≤-.故实数t 的取值范围是32t-≤≤-. 【点睛】此题主要考察了导数的几何意义，利用导数求函数单调性、极值，转化的思想，属于中档题.ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .假设2212sin 2ac B a c =+-，且2b = 〔1〕求角B 的大小；〔2〕假设ABC ∆的面积为S ，求S 的最大值.【答案】〔1〕4π；〔2〕18. 【解析】【分析】〔1〕由2b =，2212sin 2ac B a c =+-等式右边可化为余弦定理形式，根据sin cos B B =求角即可〔2〕由余弦定理结合均值不等式可求出ac 的最大值，即可求出三角面积的最大值.【详解】〔1〕由2212sin 2ac Ba c =+-得：2222sin 2cos ac B a cb ac B =+-=， 即：sin cos B B =. ∴tan 1B =，又()0,B π∈，∴4B π=.〔2〕由(2222cos 2b a c ac B ac =+-≥，当且仅当a c =等号成立.得：24ac +≤. ()max 11sin 248ABC S ac B ac ∆==≤. 【点睛】此题主要考察了余弦定理，均值不等式，三角形面积公式，属于中档题.()221f x x ax =-+在区间[]2,3上的最小值为1.〔1〕求a 的值；〔2〕假设存在0x 使得不等式()333xx x f k <⋅在[]1,1x ∈-成立，务实数k 的取值范围.【答案】〔1〕1；〔2〕()0,∞+.【解析】【分析】 〔1〕二次函数写出对称轴，分2a <，23a ≤≤，3a >三种情况讨论即可求出最小值，根据最小值为1，写出a 〔2〕别离参数可得2111233x x k ⎛⎫+-⋅< ⎪⎝⎭，令13x t =，换元后求最小值，只需k 大于最小值即可.【详解】〔1〕()()221f x x a a =-+-. 当2a <时，()()min 2541f x f a ==-=，解得1a =；当23a ≤≤时，()()2min 11f x f a a ==-=，解得0a =不符合题意；当3a >时，()()min 31061f x f a ==-=，解得32a =，不符合题意. 综上所述，1a =.〔2〕因为()2332313333xx x x x x x f k k -⋅+<⋅⇒<⋅， 可化为2111233x x k ⎛⎫+-⋅< ⎪⎝⎭， 令13x t =，那么221k t t >-+.因[]1,1x ∈-，故1,33t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.故不等式221k t t >-+在1,33t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有解. 记()()22211h t t t t =-+=-，1,33t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故()()min 10h t h ==， 所以k 的取值范围是()0,∞+.【点睛】此题主要考察了二次函数的最值，分类讨论，别离参数，不等式有解问题，属于中档题.。
2021年高三上学期10月联考数学理试题 含答案
2021年高三上学期10月联考数学理试题 含答案一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
1．若（为虚数单位），则的值可能是（ ） A ． B. C. D. 2．已知集合，则（ ） A ． B ． C ． D ．3．“”是“直线与直线互相垂直”的（ ） A ．充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 4．等比数列中的、是函数的极值点，则（ ）A. xxB. 4030C.4032D.xx 5．中，分别是角A ，B ，C (1,3),(cos ,sin ),//p q B B p q=-=且=（ ）A ．B ．C ．D ．6．甲、乙两人进行三打二胜制乒乓球赛，已知每局甲取胜的概率为0.6，乙取胜的概率为0.4，那么最终甲胜乙的概率为（ ）A ．0.36B ．0.216C ．0.432D ．0.648 7．若x,y 满足约束条件且目标函数仅在点（1,0）处取得最小值，则的取值范围是（ ）A. B. C. D.8．阅读如图所示的程序框图，则输出的的值是（ ） A ． B ． C ． D ．第9题图9．已知函数的图像的一部分如图所示，其中，为了得到函数的图像，只要将函数的图像上所有的点( )A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，最后横坐标不变，纵坐标伸长到原来的2倍；B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，最后横坐标不变，纵坐标伸长到原来的2倍．C．把得所各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度，最后横坐标不变，纵坐标伸长到原来的2倍；D．把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度，最后横坐标不变，纵坐标伸长到原来的2倍；10．若函数在区间上为单调函数，则实数不可能取到的值为A． B．C．D．11．设二次函数（）的值域为，则的最大值为（）A． B．C． D.12．已知定义域为R的函数以4为周期,且函数，若满足函数恰有5个零点，则的取值范围为（）A． B． C． D．二．填空题：本大题共四小题，每小题5分，共20分。
2021年高三10月质检数学理试题 含解析
2021年高三10月质检数学理试题含解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U={1，2，3，4，5，6}，M={1，3，5}，则∁M=（）UA． {2，4，6} B．{1，3，5} C．{1，2，3，4，5，6} D．∅考点：补集及其运算．分析：找出全集U中不属于M的元素，即可求出A的补集．解答：解：∵全集U={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，5}，∴∁M={2，4，6}．故选AU点评：此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键．2．设条件p：a≥0；条件q：a2+a≥0，那么p是q的（）A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．非充分非必要条件考点：充要条件．分析：由a2+a≥0，得a≥0，a≤﹣1，根据充分必要条件的定义可判断答案．解答：解：∵a2+a≥0，∴a≥0，a≤﹣1，可判断：若p：a≥0；则条件q：a2+a≥0成立．根据充分必要条件的定义可判断：p是q的充分不必要条件，故选：A点评：本题考查了解不等式，以及充分必要条件的定义可判断，属于容易题．3．=（）A．1+2i B．﹣1+2i C．1﹣2i D．﹣1﹣2i考点：复数代数形式的乘除运算．分析：利用复数的运算法则即可得出．解答：解：原式===﹣1﹣2i，故选：D．点评：本题考查了复数的运算法则，属于基础题．4．设，，是非零向量，已知命题p：若•=0，•=0，则•=0；命题q：若∥，∥，则∥，则下列命题中真命题是（）A．p∨q B．p∧q C．（￢p）∧（￢q）D．p∨（￢q）考点：复合命题的真假．分析：根据向量的有关概念和性质分别判断p，q的真假，利用复合命题之间的关系即可得到结论．解答：解：若•=0，•=0，则•=•，即（﹣）•=0，则•=0不一定成立，故命题p为假命题，若∥，∥，则∥平行，故命题q为真命题，则p∨q，为真命题，p∧q，（￢p）∧（￢q），p∨（￢q）都为假命题，故选：A．点评：本题主要考查复合命题之间的判断，利用向量的有关概念和性质分别判断p，q的真假是解决本题的关键．5．如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（）A．34 B．55 C．78 D． 89考点：程序框图；程序框图的三种基本逻辑结构的应用．分析：写出前几次循环的结果，不满足判断框中的条件，退出循环，输出z的值．解答：解：第一次循环得z=2，x=1，y=2；第二次循环得z=3，x=2，y=3；第三次循环得z=5，x=3，y=5；第四次循环得z=8，x=5，y=8；第五次循环得z=13，x=8，y=13；第六次循环得z=21，x=13，y=21；第七次循环得z=34，x=21，y=34；第八次循环得z=55，x=34，y=55；退出循环，输出55，故选B点评：本题考查程序框图中的循环结构，常用的方法是写出前几次循环的结果找规律，属于一道基础题．6．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积是（）A．12πB．4πC．3πD． 12π考点：由三视图求面积、体积．分析：三视图复原几何体是四棱锥，扩展为正方体，它的体对角线，就是球的直径，求出半径，解出球的表面积．解答：解：由三视图知该几何体为四棱锥，记作S﹣ABCD，其中SA⊥面ABCD．面ABCD为正方形，将此四棱锥还原为正方体，易知正方体的体对角线即为外接球直径，所以2r=．∴S球=4πr2=4π×=3π．答案：C点评：本题考查三视图求表面积，几何体的外接球问题，是基础题．7．现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求取出的这些卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为（）A．232 B．252 C．472 D． 484考点：排列、组合及简单计数问题．分析：不考虑特殊情况，共有种取法，其中每一种卡片各取三张，有种取法，两种红色卡片，共有种取法，由此可得结论．解答：解：由题意，不考虑特殊情况，共有种取法，其中每一种卡片各取三张，有种取法，两种红色卡片，共有种取法，故所求的取法共有﹣﹣=560﹣16﹣72=472故选C．点评：本题考查组合知识，考查排除法求解计数问题，属于中档题．8．设，为非零向量，||=2||，两组向量，，，和，，，，均由2个和2个排列而成，若•+•+•+•所有可能取值中的最小值为4||2，则与的夹角为（）A．B．C．D． 0考点：数量积表示两个向量的夹角．分析：两组向量，，，和，，，，均由2个和2个排列而成，结合其数量积组合情况，即可得出结论．解答：解：由题意，设与的夹角为α，分类讨论可得①•+•+•+•=•+•+•+•=10||2，不满足②•+•+•+•=•+•+•+•=5||2+4||2cosα，不满足；③•+•+•+•=4•=8||2cosα=4||2，满足题意，此时cosα=∴与的夹角为．故选：B．点评：本题考查向量的数量积公式，考查学生的计算能力，属于中档题．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分25分.9．已知=（1，2），=（4，k），若⊥，则k=﹣2．考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：平面向量及应用．分析：由垂直关系可得数量积为0，解方程可得k值．解答：解：∵=（1，2），=（4，k），∴由⊥可得=4+2k=0，解得k=﹣2故答案为：﹣2点评：本题考查平面向量的垂直关系与数量积，属基础题．10．（5分）若复数（a2﹣3a+2）+（a﹣2）i是纯虚数，则实数a的值为1．考点：复数的基本概念．专题：数系的扩充和复数．分析：利用纯虚数的定义即可得出．解答：解：∵复数（a2﹣3a+2）+（a﹣2）i是纯虚数，∴a2﹣3a+2=0，a﹣2≠0，解得a=1．故答案为：1．点评：本题考查了纯虚数的定义，属于基础题．11．（5分）（x﹣2）6的展开式中x2的系数为240．考点：二项式定理的应用．专题：二项式定理．分析：在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于2，求出r的值，即可求得展开式中x2的系数．解答：解：（x﹣2）6的展开式的通项公式为T r+1=•（﹣2）r•x6﹣r，令6﹣r=2，求得r=4，可得（x﹣2）6的展开式中x2的系数为•（﹣2）4=240，故答案为：240．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．12．（5分）不等式|x﹣2|+|x+1|≤5为[﹣2，3]．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：由条件根据绝对值的意义求得|x﹣2|+|x+1|≤5的解集．解答：解：|x﹣2|+|x+1|表示数轴上的x对应点到2、﹣1对应点的距离之和，而﹣2和3对应点到2、﹣1对应点的距离之和正好等于5，故|x﹣2|+|x+1|≤5的解集为[﹣2，3]，故答案为：[﹣2，3]．点评：本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，属于基础题．13．（5分）若a＞0，b＞0，且+=，则a3+b3的最小值为．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：由条件利用基本不等式求得ab≥4，再利用基本不等式求得a3+b3的最小值．解答：解：∵a＞0，b＞0，且且+=，∴=+≥2，∴ab≥2，当且仅当a=b=时取等号．∵a3+b3 ≥2≥2=4，当且仅当a=b=时取等号，∴a3+b3的最小值为4．故答案为：点评：本题主要考查基本不等式在最值中的应用，要注意检验等号成立条件是否具备，属于基础题．（几何证明选讲）14．（5分）如图，点P为圆O的弦AB上的一点，连接PO，过点P作PC⊥OP，且PC交圆O于C．若AP=4，PC=2，则PB=1．考点：与圆有关的比例线段．专题：计算题；几何证明．分析：根据题设中的已知条件，利用相交弦定理，直接求解．解答：解：延长CP，交圆于D，则∵AB是⊙O的一条弦，点P为AB上一点，PC⊥OP，PC交⊙O于C，∴PC=PD，∴利用相交弦定理可得AP×PB=PC×PD=PC2，∵AP=4，PC=2，∴PB=1．故答案为：1点评：本题考查与圆有关的比例线段的应用，是基础题．解题时要认真审题，注意相交弦定理的合理运用．三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15．（12分）为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x（单位：小时）与当天投篮命中率y之间的关系：时间x 1 2 3 4 5命中率y 0.4 0.5 0.6 0.6 0.4求：（1）小李这5天的平均投篮命中率．（2）用线性回归分析的方法，预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率．考点：线性回归方程．专题：计算题；概率与统计．分析：（1）利用提供的命中率，可求李这5天的平均投篮命中率；（2）先求出线性回归方程，再令x=6，即可预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率．解答：解：（1）小李这5天的平均投篮命中率…（3分）（2）…（5分），∴，…（9分）∴…（10分）∴线性回归方程，…（11分）则当x=6时，y=0.53∴预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为0.53…（12分）点评：本题考查线性回归方程，考查学生的计算能力，属于基础题．16．（12分）如图，已知AB是⊙O的直径，AB=2，C是⊙O上一点，且AC=BC，PA=，PC=2，PB=，E是PC的中点，F是PB的中点．（1）求证：EF∥平面ABC；（2）求证：EF⊥平面PAC；（3）求PC与平面ABC所成角的大小．考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．专题：计算题；证明题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）由中位线定理，再由线面平行的判定定理，即可得证；（2）先运用直径所对的角为直角，及勾股定理的逆定理，再由线面垂直的判定定理，证得BC⊥平面PAC，由于EF∥BC，即可得证；（3）运用线面垂直的判定定理，证得PA⊥平面ABC，即∠PCA为PC与平面ABC所成角，通过解直角三角形，即可得到．解答：证明：（1）在△PBC中，E是PC的中点，F是PB的中点，所以EF∥BC．又BC⊂平面ABC，EF⊄平面ABC，所以EF∥平面ABC．（2）因为AB是⊙O的直径，所以BC⊥AC．在Rt△ABC中，AB=2，AC=BC，所以．因为在△PCB中，，，，所以PB2=PC2+BC2，所以BC⊥PC．又PC∩AC=C，所以BC⊥平面PAC．由（1）知EF∥BC，所以EF⊥平面PAC．（3）解：由（2）知BC⊥平面PAC，PA⊂平面PAC，所以PA⊥BC．因为在△PAC中，，，，所以PC2=PA2+AC2，所以PA⊥AC．又AC∩BC=C，所以PA⊥平面ABC．所以∠PCA为PC与平面ABC所成角．在Rt△PAC中，，所以∠PCA=，即PC与平面ABC所成角的大小为．点评：本题考查空间直线与平面的位置关系：平行和垂直，考查线面平行的判定和线面垂直的判定和性质及运用，考查空间直线和平面所成的角的求法，属于中档题．17．（14分）某商店根据以往某种玩具的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．（1）估计日销售量的众数；（2）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；（3）用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E （X）及方差D（X）．考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（1）直接利用频率分布直方图，估计日销售量的众数即可；（2）求出“日销售量不低于100个”，“日销售量低于50个”的概率，然后求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；（3）推出X的可能值，分别求出X的概率，即可求随机变量X的分布列，利用公式求解期望E（X）及方差D（X）．解答：（本小题满分14分）解：（1）依据日销售量的频率分布直方图可得众数为．（3分）（2）记事件A1：“日销售量不低于100个”，事件A2：“日销售量低于50个”，事件B：“在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个”．则P（A1）=（0.006+0.004+0.002）×50=0.6，（4分）P（A2）=0.003×50=0.15，（5分）P（B）=0.6×0.6×0.15×2=0.108．（7分）（3）X的可能取值为0，1，2，3．，（8分），（9分），（10分），（11分）分布列为X 0 1 2 3P 0.064 0.288 0.432 0.216因为X～B（3，0.6），所以期望E（X）=3×0.6=1.8，（12分）方差D（X）=3×0.6×（1﹣0.6）=0.72．（14分）点评：本题考查频率分布直方图的应用，离散型随机变量的期望与方差，考查分析问题解决问题的能力．18．（14分）广东省某家电企业根据市场调查分析，决定调整新产品生产方案，准备每周（按40个工时计算）生产空调机、彩电、冰箱共120台，且冰箱至少生产20台，已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表：家电名称空调机彩电冰箱工时产值/千元 4 3 2问每周应生产空调机、彩电、冰箱各多少台，才能使产值最高？最高产值是多少？（以千元为单位）考点：简单线性规划的应用．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：设每周应生产空调、彩电、冰箱的数量分别为x台、y台、z台，且总产值A=4x+3y+2z．建立三元一次方程组，由于每周冰箱至少生产20台即z≥20，结合生产空调器、彩电、冰箱共120台算出出10≤x≤40，利用一次函数的单调性即可求得产值A的最大值，进而可得相应的x、y、z的值．解答：解：设每周应生产空调、彩电、冰箱的数量分别为x台、y台、z台，根据题意可得，总产值为A=4x+3y+2z．x、y、z满足（x、y、z∈N*）∵z=120﹣x﹣y=160﹣2x﹣y∴消去z，可得y=120﹣3x，进而得到z=2x因此，总产值为A=4x+3y+2z=4x+3（120﹣3x）+4x=360﹣x∵z=2x≥20，且y=120﹣3x≥0∴x的取值范围为x∈[10，40]根据一次函数的单调性，可得A=360﹣x∈[320，350]由此可得当x=10，y=90，z=20时，产值A达到最大值为350千元．答：生产空调机10台、彩电90台、冰箱20台时，可使产值达最大值，最大产值为350千元．点评：本题给出实际应用问题，求工厂生产总值的最大化的问题，着重考查了三元一次方程组的处理、一次函数的单调性和简单线性规划的应用等知识点，属于中档题．19．（14分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，A1A⊥底面ABCD，且A1A=4．梯形ABCD 的面积为6，且AD∥BC，AD=2BC，CD=2．平面A1DCE与B1B交于点E．（1）证明：EC∥A1D；（2）求三棱锥C﹣A1AB的体积；（3）求二面角A1﹣DC﹣A的大小．考点：用空间向量求平面间的夹角；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的性质．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）证明BE∥平面AA1D．BC∥平面AA1D，通过BE∩BC=B，BE⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，利用平面BCE∥平面ADA1，利用平面与平面平行的性质定理证明EC∥A1D．（2）求出．然后求出棱锥的体积．（3）解法一：在△ADC中，作AF⊥CD于F，连接A1F，证明CD⊥A1A．推出CD⊥面A1AF．说明∠A1FA为二面角A1﹣DC﹣A的平面角，然后求出二面角A1﹣DC﹣A的大小．解法二：以D为坐标原点，分别为x轴和z轴正方向建立空间直角坐标系，设∠CDA=θ，BC=a，求出平面A1DC的一个法向量，平面ABCD的一个法向量，通过向量数量积求解二面角A1﹣DC﹣A的大小．解答：（本小题满分14分）解：（1）证明：因为BE∥AA1，AA1⊂平面AA1D，BE⊄平面AA1D，所以BE∥平面AA1D．（1分）因为BC∥AD，AD⊂平面AA1D，BC⊄平面AA1D，所以BC∥平面AA1D．（2分）又BE∩BC=B，BE⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，所以平面BCE∥平面ADA1．（3分）又平面A1DCE∩平面BCE=EC，平面A1DCE∩平面A1AD=A1D，所以EC∥A1D．（4分）（2）解：因为S梯形ABCD=6，BC∥AD，AD=2BC，所以．（6分）所以．（8分）（3）解法一：如图，在△ADC中，作AF⊥CD于F，连接A1F．（9分）因为A1A⊥底面ABCD，CD⊂底面ABCD，所以CD⊥A1A．又A1A∩AF=A，所以CD⊥面A1AF．又A1F⊂面A1AF，所以CD⊥A1F．（10分）所以∠A1FA为二面角A1﹣DC﹣A的平面角．（11分）由（2）得，所以．（12分）所以，（13分）所以，即二面角A1﹣DC﹣A的大小为．（14分）解法二：如图，以D为坐标原点，分别为x轴和z轴正方向建立空间直角坐标系．（9分）设∠CDA=θ，BC=a，则AD=2a．因为，所以．（10分）所以C（2cosθ，2sinθ，0），，所以，．（11分）设平面A1DC的一个法向量，由，得，所以．（12分）又平面ABCD的一个法向量，（13分）所以，所以二面角A1﹣DC﹣A的大小为．（14分）点评：本题考查二面角的求法，几何体的体积，平面与平面平行的判定定理与性质定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．20．（14分）设a为常数，且a＜1．（1）解关于x的不等式（a2﹣a﹣1）x＞1；（2）解关于x的不等式组．考点：其他不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：（1）对a进行分类讨论，判断得出a2﹣a﹣1的正负，进而可求得其解集；（2）对a分类讨论先求得一元二次不等式2x2﹣3（1+a）x+6a＞0的解集，再与0≤x≤1求交集即可得出结论．解答：解：（1）令a2﹣a﹣1=0，解得，．①当时，解原不等式，得，即其解集为；②当时，解原不等式，得无解，即其解集为φ；③当时，解原不等式，得，即其解集为．（2）依2x2﹣3（1+a）x+6a＞0（*），令2x2﹣3（1+a）x+6a=0（**），可得△=9（1+a）2﹣48a=3（3a﹣1）（a﹣3）．①当时，△＜0，此时方程（**）无解，解不等式（*），得x∈R，故原不等式组的解集为{x|0≤x≤1}；②当时，△=0，此时方程（**）有两个相等的实根，解不等式（*），得x≠1，故原不等式组的解集为{x|0≤x＜1}；③当时，△＞0，此时方程（**）有两个不等的实根，，且x3＜x4，解不等式（*），得x＜x3或x＞x4．，，且，所以当a＞0，可得x3＞0；又当x3＞0，可得a＞0，故x3＞0⇔a＞0，（所以ⅰ）当时，原不等式组的解集为；ⅱ）当a≤0时，原不等式组的解集为φ．综上，当a≤0时，原不等式组的解集为φ；当时，原不等式组的解集为；当时，原不等式组的解集为{x|0≤x＜1}；当时，原不等式组的解集为{x|0≤x≤1}．点评：本题主要考查含有参数的一元一次不等式及一元二次不等式的解法，考查学生分类讨论思想的运用能力及运算求解能力，属于中档题．33816 8418 萘22123 566B 噫524271 5ECF 廏y27481 6B59 歙26503 6787 枇37304 91B8 醸$32923 809B 肛20252 4F1C 伜38197 9535 锵23993 5DB9 嶹。
山东新高考质量测评联盟10月联考试题解析版
10．已知复数 z 1 3 i ，则下列结论正确的有(
)
22
A． z z 1
B． z2 z
C． z3 1
D． z2020 1 3 i 22
解析(中学数学小 R)： z 1 3 i ， z 1 3 i ，所以 z z 1， z2 1 3 i ， z3 1 ，
22
22
6．已知函数 f x 的图象如图所示，则 f x 的解析式可能是( )
A． f x ln x x2
B． f x ln x x
C． f x 2 ln x x2
D． f x 2 ln x x
解析(中学数学小 R)：首先根据图像 f x 为偶函数，当 x 0 时， f x 的极
大值点小于 1，当 x 0 时，选项 A: f '(x) 1 2x ，极大值点为： x 2 1 满足；其他选项分别不满
x
2
足，极大值点分别是：选项 B： x 1 ；选项 C： x 1 ；选项 D： x 2 1 .故选：A
7．已知1
m
4 3
，则
2 m 1
4
3 3m
的最小值是(
)
4．高一(1)班某组有 5 人，组长安排值日生，其中 1 人负责擦黑板，2 人负责教室内地面卫生，2 人
负责卫生区卫生，则不同的安排方法有( )
A．20 种
B．30 种
C．90 种
D．120 种
解析(中学数学小
R)：考察排列组合，本题可以先分组再排，共有：
C51C42 C22 A22
A22
30 种，故选：B
5．已知函数 f x 2sin wx ，则 2 是 f x 的最小正周期是 的( )
A．充分不必要条件
2021届山东新高考质量测评联盟高三上学期10月联考数学试题(解析版)
2021届山东新高考质量测评联盟高三上学期10月联考数学试题一、单选题1．已知集合{A y y ==，集合(){}2log 10B x x =->，则A B =（ ）A ．∅B ．()0,∞+C ．()1,2D ．()2,+∞【答案】D【解析】求出集合A ，集合B 中代表元素的取值范围，再根据交集的定义求出A B ．【详解】集合{{}0A y y y y ===≥ (){}{}2log 102B x x x x =->=>{}2A B x x ∴⋂=>故选：D 【点睛】本题考查集合的表示法，交集的求法，考查运算能力，属于基础题． 2．已知命题p ：[]0,2x ∀∈，2320x x -+>，则p ⌝是（ ） A ．[]0,2x ∃∈，2320x x -+< B ．[]0,2x ∃∈，2320x x -+≤C ．()(),02,x ∃∈-∞⋃+∞，2320x x -+<D ．[]0,2x ∀∈，2320x x -+≤ 【答案】B【解析】根据全称命题与存在性命题的关系，正确改写，即可求解. 【详解】根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题p ：[]0,2x ∀∈，2320x x -+>， 则p ⌝是“[]0,2x ∃∈，2320x x -+≤”. 故选：B. 【点睛】本题主要考查含有一个量词的否定，其中解答中熟记全称命题与存在性命题的关系，正确改写是解答的关键，属于基础题.3．已知复数34z i =+，则23z z -=（ ）A ．B ．5C ．20D ．【答案】C【解析】先计算出23z z -，再求出模即可. 【详解】()()222339241634912161342z z i i i i i i -=-=++--=-+++，2320z z ∴-==.故选：C. 【点睛】本题考查复数的运算和模的求解，属于基础题.4．高一（1）班某组有5人，组长安排值日生，其中1人负责擦黑板，2人负责教室内地面卫生，2人负责卫生区卫生，则不同的安排方法有（ ） A ．20种 B ．30种 C ．90种 D ．120种【答案】B【解析】先从5人中选出1人擦黑板，再从剩余的4人中选出2人负责教室内地面卫生，最后从剩余的2人中选出2人负责卫生区卫生，结合分步计数原理，即可求解. 【详解】由题意，从5人中选出1人擦黑板，有155C =种选法，从剩余的4人中选出2人负责教室内地面卫生，有246C =种选法， 从剩余的2人中选出2人负责卫生区卫生，有221C =种选法， 由分步计数原理，可得不同的安排方法有56130⨯⨯=种安排方法. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了分步计数原理，以及组合的应用，其中解答中熟练应用组合的知识和分步计数原理求解是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力.5．已知函数()()2sin f x x ωϕ=+，则2ω=是()f x 的最小正周期是π的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】结合充分与必要条件的定义和三角函数周期定义即可求解 【详解】()()2sin f x x ωϕ=+的最小正周期为2T ππω==，解得2ω=±，故2ω=是()f x 的最小正周期是π的充分不必要条件， 故选：A 【点睛】本题考查充分不必要条件的判定，属于基础题6．已知函数()f x 的图像如图所示，则()f x 的解析式可能是（ ）A ．()2ln f x x x =-B ．()ln f x x x =-C ．()22ln f x x x =-D ．()2ln f x x x =-【答案】A【解析】由图知，函数()f x 是偶函数，且当0x >时，函数()f x 的极大值点小于1，利用导数分别计算各选项的极大值点即可得出答案. 【详解】由图知，函数()f x 是偶函数，且当0x >时，函数()f x 的极大值点小于1，对于选项A ，当0x >时，函数()2ln f x x x =-，所以()2120x f x x -'==，得22x =，所以22x =为函数的极大值点，故A 正确； 对于选项B ，当0x >时，函数()ln f x x x =-，所以()110f x x'=-=，得1x =，所以1x =为函数的极大值点，故B 不正确；对于选项C ，当0x >时，函数()22ln f x x x =-，所以()220f x x x'=-=，得1x =，所以1x =为函数的极大值点，故C 不正确；对于选项D ，当0x >时，函数()2ln f x x x =-，所以()210f x x'=-=，得2x =，所以2x =为函数的极大值点，故D 不正确； 故选：A 【点睛】本题考查了由图象判断函数的解析式，综合考查了函数的基本性质，导数研究函数的极值点，考查了学生的逻辑推理的能力，考查了数形结合的思想. 7．已知413m <<，则23143m m+--的最小值是（ ）A ．9B 6C ．9D ．12【答案】C【解析】利用配凑得到分母的和是定值，进而利用均值定理求解． 【详解】413m <<10,430m m ∴->->， []23636(43)3(33)()(33)(43)9914333433343m m m m m m m m m m --+=+-+-=++≥+------当且仅当6(43)3(33)3343m m m m --=-- ，又413m << 故53m =时取等号．故选：C ． 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，属于基础题． 8．已知函数()()221log 1f x x x=+-，则不等式()210f x ->的解集是（ ） A ．()0,1 B ．()1,+∞C ．(),0-∞D ．()(),01,-∞⋃+∞【答案】D【解析】易得()f x 是偶函数，且在()0,∞+是增函数，又()()221log 1110=+-=f ，将不等式()210f x ->转化为()()211->fx f ，利用单调性的定义求解.因为函数的定义域为R ，()()()()()222211log 1log 1-=-+-=+-=-f x x x f x x x， 所以()f x 是偶函数，且在()0,∞+是增函数， 又()()221log 1110=+-=f ，所以不等式()210f x ->等价于()()211->f x f ，则211x ->， 解得1x >或0x <，所以不等式的解集为()(),01,-∞⋃+∞ 故选：D 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的综合应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.二、多选题9．已知实数a ，b ，c 满足10a b c >>>>，则下列结论正确的是（ ） A ．a b c c > B ．log log a b c c >C ．1313log a a <D ．2233a b <【答案】BC【解析】根据指对幂函数的性质，即可比较各选项中函数值的大小. 【详解】A 选项：x y c =为单调减函数，所以a b c c <；B 选项：log ay x =与log b y x =，当1x >时0log log a b x x <<，当01x <<时0log log a b x x >>，所以log log a b c c >；C 选项：13log y x =在1x >时13log 0x <，而13y x =在1x >时131x >，所以1313log a a <；D 选项：23y x =在0x >上单调递增，所以2233a b >； 故选：BC.本题考查了利用指对幂函数的性质比较数、式的大小，应用了函数思想，属于基础题.10．已知复数122z =-，则下列结论正确的有（ ） A ．1z z ⋅= B ．2z z = C ．31z =-D ．202012z =-+ 【答案】ACD【解析】分别计算各选项的值，然后判断是否正确，计算D 选项的时候注意利用复数乘方的性质. 【详解】因为11131222244z z ⎛⎫⎛⎫-+=+= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭=⎝⋅，所以A 正确；因为221122z ⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭=，122z i =+，所以2z z ≠，所以B 错误；因为3211122z z z ⎛⎫⎛⎫=⋅=--=- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以C 正确；因为6331z z z =⋅=，所以()202063364431112222z z z z z ⨯+⎛⎫===⋅=-⋅-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，所以D 正确，故选：ACD. 【点睛】本题考查复数乘法与乘方的计算，其中还涉及到了共轭复数的计算，难度较易. 11．在如图所示的三棱锥V ABC —中，已知AB BC =，90VAB VAC ABC ∠=∠=∠=︒，P 为线段VC 的中点，则（ ）A ．PB 与AC 垂直 B ．PB 与VA 平行C ．点P 到点A ，B ，C ，V 的距离相等D ．PB 与平面ABC 所成的角大于VBA ∠ 【答案】AC【解析】A. 取AC 的中点Q ，连接PQ ，BQ ，根据P 为中点，易得AC ⊥平面PQB 判断；B. 由A 得到//,⋂=VA PQ PQ PB P 判断；C.易得BC ⊥平面VAB ，则BC VB ⊥，得到三角形VAC ，VBC 是直角三角形，再利用直角三角形中线定理判断；D. 由PQ ⊥平面ABC ，得到PBQ ∠是PB 与平面ABC 所成的角，再根据12,22PQ VA BQ AB ==，tan ,tan PQ VAPBQ VBA BQ AB∠=∠=，利用正切函数的单调性判断； 【详解】A.如图所示：取AC 的中点Q ，连接PQ ，BQ ，因为P 为中点，则//PQ VA ，又因为90VAB VAC ABC ∠=∠=∠=︒，则VA ⊥平面ABC ，所以PQ ⊥平面ABC ， 则PQ AC ⊥，又AB BC =，则,AC BQ PQ BQ Q ⊥⋂=，所以AC ⊥平面PQB ，则AC PB ⊥，故正确；B. 由A 知：//,⋂=VA PQ PQ PB P ，故错误；C.因为VA BC ⊥，90ABC ∠=︒，VA AB A ⋂=，所以BC ⊥平面VAB ，则BC VB ⊥，所以三角形VAC ，VBC 是直角三角形，由直角三角形中线定理知，点P 到点A ，B ，C ，V 的距离相等，故正确； D.由PQ ⊥平面ABC 知：PBQ ∠是PB 与平面ABC 所成的角，因为1,22PQ VA BQ AB ==，所以tan tan PQ VA PBQ VBA BQ AB ∠===∠，即tan tan PBQ VBA ∠<∠， 因为,0,2PBQ VBA π⎛⎫∠∠∈ ⎪⎝⎭，又tan y α=在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭递增，所以PBQ VBA ∠<∠，故错误； 故选：AC 【点睛】本题主要考查线线垂直，线面垂直的转化以及线面角问题，还考查了转化化归的思想和空间想象、逻辑推理的能力，属于中档题.12．已知函数()f x 满足()()110f x f x ++-=，且()1f x -是奇函数，则下列说法正确的是（ ） A ．()f x 是奇函数 B ．()f x 是周期函数 C ．()10f = D ．()1f x +是奇函数【答案】BCD【解析】根据奇函数和周期函数的性质进行判断. 【详解】()()110f x f x ++-=, ∴()f x 关于点(1,0)对称，令0x =, 有(1)0f =，且(1)f x +是由()f x 向左平移1个单位得到，()1f x ∴+关于(0,0)对称，所以(1)f x +是奇函数；又(1)f x -是奇函数，所以()f x 关于(1,0)-对称， 所以(3)(1)0f x f x -+-=, 则(3)(1)f x f x -=+, 所以()(4)f x f x =+, 即()f x 是以4为一个周期的函数， 综上，选项BCD 正确，A 错误. 故选：BCD. 【点睛】本题考查周期函数和奇函数的性质，属于基础题.三、填空题13．()6221x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为______． 【答案】80【解析】先求出62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的常数项与含21x 的系数,再求()6221x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中的常数项. 【详解】62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项公式为: 662166(2)2rr r r rr r T C x C x x --+⎛⎫=⋅⋅-=-⋅⋅ ⎪⎝⎭, 令620r -=，解得3r =,33316(2)160T C +∴=-⋅=-，令622r -=-，解得4r =,444162211(2)240T C x x +∴=-⋅⋅=⋅， ()6212x x x ⎛⎫∴+- ⎪⎝⎭展开式中常数项为: (160)24080-+=.故答案为：80. 【点睛】本题考查二项展开式常数项的求解，属于基础题.14．已知0x >，若关于x 的不等式2221x x a x ++<+恒成立，则a 的取值范围是______．【答案】3,22⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭【解析】关于x 的不等式2221x x a x ++<+恒成立，等价于2221maxx x a x ⎡⎤++>⎢⎥+⎣⎦，通过对2221x x x +++进行适当变形后利用基本不等式求得其最大值即可得解.【详解】关于x 的不等式2221x x a x ++<+恒成立（0x >）， 等价于2221maxx x a x ⎡⎤++>⎢⎥+⎣⎦在(0,)+∞上恒成立， ()()()222221111112111212121x x x x x x x x x x ++++=+=+=++++-++++-+， 因为0x >，所以()131122121x x +≤=++-+，当且仅当1x =时，等号成立，所以322a >+.故答案为：3,22⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查不等式恒成立问题，考查利用基本不等式求最值，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题. 15．函数())log 23af x x =+（0a >且1a ≠），若()()ln lg 2f e =，则()()ln ln10f =______．【答案】4【解析】令())log 2ag x x =，由()g x 为奇函数，得()f x 关于()0,3对称，再由()()ln lg ln ln100e +=得()()()()ln lg ln ln106f e f +=，即可求出. 【详解】 令())log 2ag x x =，定义域为R ，()))()log 2log 2aax x g g x x =--=-=，()g x ∴为奇函数，关于原点对称，∴())log 23af x x =+关于()0,3对称，()()()ln ln lg ln ln10ln lg ln10ln ln100ln10e e e ⎛⎫+=⨯=⨯= ⎪⎝⎭，()()()()ln lg ln ln106f e f ∴+=， ()()ln ln104f ∴=.故答案为：4. 【点睛】本题考查奇函数对称性的应用，考查对数的运算，属于中档题.16．在直三棱柱111–ABC A B C 中，2AB =，AC =30BAC ∠=︒，1AA =则其外接球体积是______． 【答案】92π【解析】由题可知直三棱柱111–ABC A B C 的外接球即为长宽高分别为体的外接球，由此可求出半径，得到体积. 【详解】在ABC 中，2AB =，AC =30BAC ∠=︒，由余弦定理2222cos 432212BC AB AC AB AC BAC =+-⋅⋅∠=+-⨯=， 满足222AC BC AB +=，AC BC ∴⊥,则直三棱柱111–ABC A B C 的外接球即为长宽高分别为 设外接球的半径为R ，则23R ==，即32R =， 所以其外接球体积是3439322ππ⎛⎫⨯=⎪⎝⎭. 故答案为：92π. 【点睛】本题考查几何体外接球体积的计算，属于基础题.四、解答题17．如图，在四棱锥M ABCD –中，底面ABCD 是平行四边形，且1AB BC ==，1MD =，MD ⊥平面ABCD ，H 是MB 中点，在下面两个条件中任选一个，并作答： ①二面角A MD C ––的大小是23π；②2BAD π∠=． 若______，求CH 与平面MCD 所成角的正弦值．【答案】答案见解析.【解析】若选①，先证明23ADC ∠=π，轴DC ⊥，以D 为坐标原点，以DC ，DM 所在直线为y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，再利用向量法求CH 与平面MCD 所成角的正弦值；若选②，以D 为坐标原点，以DA ，DC ，DM 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，再利用向量法求CH 与平面MCD 所成角的正弦值. 【详解】 若选①：因为MD ⊥平面ABCD ，所以AD MD ⊥，CD MD ⊥，所以ADC ∠就是二面角A MD C ––的平面角，所以23ADC ∠=π. 过D 作x 轴DC ⊥，以D 为坐标原点，以DC ，DM 所在直线为y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.则()0,1,0C ，311,42H ⎫⎪⎪⎝⎭.所以331,,42 CH⎛⎫=-⎪⎪⎝⎭.取平面MCD的一个法向量()1,0,0n=.设CH与平面MCD所成角为θ，则334sin439116164CH nCH nθ⋅===⋅++.所以CH与平面MCD所成角的正弦值是3.若选②，因为MD⊥平面ABCD，2BADπ∠=，所以DA，DC，DM两两垂直.以D 为坐标原点，以DA，DC，DM所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,1,0C，111,,222H⎛⎫⎪⎝⎭.所以111,,222CH⎛⎫=-⎪⎝⎭.取平面MCD的一个法向量()1,0,0n=.设CH与平面MCD所成角为θ，则334sin111444CH nCH nθ⋅===⋅++.所以CH与平面MCD所成角的正弦值是33.【点睛】本题主要考查空间角的计算和应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.18．新能源汽车对环保、节能减排、绿色生活以及可持续发展起到积极作用.下表给出了我国2015—2019年新能源汽车保有量y （单位：万辆）的数据：年份 2015 2016 2017 2018 2019年份代码x12 3 4 5 年份代码平方()2X X x =1 4 9 16 25 新能源汽车保有量y4291153261381（1）作出散点图，分析y 与X 之间的相关关系；（2）求y 关于X 的线性回归方程（精确到0.01），并预测我国2025年新能源汽车保有量（结果保留整数）．附：参考公式：()()()1122211ˆn niii ii i nni ii i x x y y x y nx ybx x xnx ====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-．【答案】（1）答案见解析；（2）30.4214.11y X =+；1738万辆. 【解析】（1）将数据在散点图中画出，分析相关性即可；（2）先求出样本中心(),X y ，再求出,b a ，进而求解；求得30.4214.11y X =+，将2025年对应X 代入线性回归方程即可求解 【详解】（1）散点图如图所示.从散点图中可以看出，样本点大致分布在某条直线附近（样本点呈直线趋势），故新能源汽车保有量y 与年份代码平方X 之间有着较好的线性关系； （2）11X =，185.6y =，5115484iii X y==∑，521979i i X ==∑，215484511185.6527614.107979511374b -⨯⨯==≈-⨯， 185.614.1071130.42a =-⨯≈所以线性回归方程为30.4214.11y X =+.2025年对应年份代码11x =，121X =，故30.4214.111211737.73y =+⨯=. 故我国2025年新能源汽车保有量约为1738万辆. 【点睛】本题考查相关关系的判断，线性回归方程的求解，数据的预测，考查了数学运算，数据的分析与处理的核心素养，属于中档题19．已知函数()xf x ae x =-．（1）求()f x 的极值；（2）求()f x 在[]0,1上的最大值． 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析.【解析】（1）先求出()1xf x ae '=-，然后分为0a ≤和0a >两种情况分别讨论()f x 的极值；（2）当0a ≤时，由（1）知()f x 在R 上是减函数，()f x 有最大值()0f a =；当0a >时，由（1）知()f x 在(),ln a -∞-上是减函数，在()ln ,a -+∞上是增函数，利用导数分别讨论当ln 0a -≤，0ln 1a <-<和ln 1a -≥时的最大值即可得解 【详解】（1）函数()f x 的定义域为R ，()1x f x ae '=-，当0a ≤时，()0f x '<恒成立，则()f x 在R 上是减函数，无极值；当0a >时，令()0f x '>，解得ln x a >-，则()f x 在(),ln a -∞-上是减函数，在()ln ,a -+∞上是增函数， 所以当ln x a =-时，()f x 有极小值，()ln 1ln f a a -=+，无极大值，综上，当0a ≤时，()f x 无极值，当0a >时，()f x 有极小值1ln a +，无极大值； （2）①当0a ≤时，由（1）知()f x 在R 上是减函数， 所以当0x =时，()f x 有最大值()0f a =；②当0a >时，由（1）知()f x 在(),ln a -∞-上是减函数，在()ln ,a -+∞上是增函数， （i ）当ln 0a -≤，即1a ≥时，()f x 在[]0,1上是增函数， 所以当1x =时，()f x 有最大值()11f ae =-； （ii ）当0ln 1a <-<即11a e<<时，()f x 在[)0,ln a -上是减兩数，在[]ln ,1a -上是增函数.若()()01f f ≥，即111a e e <≤-时，()f x 有最大值a ； 若()()01f f <，即111a e <<-时，()f x 有最大值1ae -； （ⅲ）当ln 1a -≥即10a e<≤时，()f x 在[]0,1上是减函数， 所以当0x =时，()f x 有最大值()0f a =， 综上所述，当11a e ≤-时，()f x 有最大值a ； 当11a e >-时，()f x 有最大值1ae -. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值，考查利用导数研究函数的最值，考查逻辑思维能力和运算求解能力，考查分类讨论思想，属于中档题.20．如图，三棱锥–S ABC 的底面ABC 和侧面SBC 都是等边三角形，且平面SBC ⊥平面ABC ，点P 在侧棱SA 上．（1）当P 为侧棱SA 的中点时，求证：SA ⊥平面PBC ； （2）若二面角P BC A ––的大小为60°，求PASA的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）33PA SA -=. 【解析】（1）通过证明SA BP ⊥和SA CP ⊥即可得证；（2）取BC 的中点O ，连接SO ，AO ，以点O 为坐标原点， O B ，AO ， O S 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法建立关系可求解. 【详解】（1）证明：因为ABC 为等边三角形，所以AB AC BC ==.因为SBC 为等边三角形，所以SB SC BC ==，所以AB SB =，AC SC =. 在等腰BAS △和等腰CAS △中，因为P 为SA 的中点，所以SA BP ⊥，SA CP ⊥. 又因为BPCP P =，BP ，CP ⊂平面PBC ，所以SA ⊥平面PBC .（2）如图，取BC 的中点O ，连接SO ，AO ，则在等边ABC 和等边SBC 中，有BC AO ⊥，BC SO ⊥，所以AOS ∠为二面角S BC A --的平面角.因为平面SBC ⊥平面ABC ，所以90AOS ∠=︒，即AO SO ⊥. 所以OA ， O B ，O S 两两垂直. 以点O 为坐标原点， O B ，AO ， O S 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.设AB a ，则30,,02A a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，1,0,02B a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,0,02C a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，30,0,2S a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. 因为P 在SA 上，设AP AS λ=()01λ<<，()0,,P y z ，则30,,2AP y a z ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭，330,,22AS a a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭， 解得)31y a λ=-，3z a =， 即)331P a a λ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.显然平面ABC 的一个法向量(0,0,1)n =. 设平面PBC 的一个法向量为()111,,m x y z =，因为)13312BP a a a λ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，(),0,0CB a =.所以00m BP m CB ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即()111010x y z λλ=⎧⎨-+=⎩，令1y λ=，则11z λ=-，所以()0,,1m λλ=-. 因为二面角P BC A --的大小为60°，所以()221cos ,cos 601mn m n m n λλλ-⋅〈〉===︒+-，所以22630λλ-+=.又01λ<<，解得332λ=，即332PA SA -=.【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查向量法求空间中线段比例，属于中档题.21．为了研究全年国内旅游人均消费情况与性别的关系，某互联网旅游公司从其网络平台数据库中抽取1000条用户信息进行调查，得到如下数据：把全年旅游消费满16000元的游客称为“酷爱旅游者”．（1）请完成下列2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“酷爱旅游者”与性别有关；（2）在庆祝公司成立15周年的系列活动中，董事会决定在其平台数据库的所有“酷爱旅游者”中随机抽取4名用户，担任网站的“形象大使”，每位“形象大使”可获得30000元奖金．另外，为了进一步刺激旅游消费，提升网站的知名度，公司将在其平台数据库的所有用户中抽取100名幸运用户给予现金奖励，规则如下：幸运用户在网页上点击“抽奖”按钮，屏幕上会随机显示两个数字，每个数字出现0～9的可能性是相等的.两个数字中，若同时有数字1和5，则获得一等奖，奖励1000元；若只有数字1和5中的一个，则获得二等奖，奖励500元；若数字1和5都没有，则获得三等奖，奖励200元．每位“酷爱旅游者”可进行两次抽奖；每位“非酷爱旅游者”可进行一次抽奖．②如果所有的“形象大使”和幸运用户都不放弃奖励，记移动支付平台支出的奖金总额为X，求X的数学期望．附：参考公式：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++．参考数据：【答案】（1）列联表见解析；能认为“酷爱旅游者”与性别有关；（2）①6481；②161340. 【解析】（1）由表格中的数据分析可得2×2列联表，利用公式求出卡方，再与临界值比较即可；（2）①求出该用户为男“酷爱旅游者”的概率为13，为女“酷爱旅游者”的概率为23，根据独立事件与对立事件概率公式可得答案.②从所有用户中抽取的100名幸运用户中，为“酷爱旅游者”的概率为310，为非“酷爱旅游者”的概率为710，求得100名幸运用户每人的抽奖次数的数学期望以及幸运用户抽奖一次获得的奖金的期望，进而可得答案. 【详解】（1）由表格数据可得2×2列联表如下：将列联表中的数据代入公式计算得2K 的观测值()210003002001004007.937 6.635400600700300k ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下，能认为“酷爱旅游者”与性别有关.②视频率为概率，在从所有用户中抽取的100名幸运用户中，为“酷爱旅游者”的概率为310，为非“酷爱旅游者”的概率为710，所以100名幸运用户每人的抽奖次数的数学期望是371321101010⨯+⨯=. 记幸运用户抽奖一次获得的奖金为Y 元， 则()211000101050P Y ===⨯，()8816200101025P Y ⨯===⨯，()116175001502550P Y ==--=. 所以Y 的分布列为所以()161712005001000318255050E Y =⨯+⨯+⨯=， 所以X 的数学期望()()1310030000416134010E X E Y =⨯⨯+⨯=. 【点睛】本题主要考查独立性检验的应用，考查了独立事件、对立事件的概率公式，考查随机变量的期望公式，属于中档题.22．已知函数()2ln f x ax bx c x =+-，其中a ，b ，R c ∈．（1）当0a ≥，1c =时，讨论函数()f x 的单调性；（2）已知0a >，2b =-，2c =，且函数()f x 有两个零点1x ，2x ()12x x <，求证：对任意的正实数M ，都存在满足条件的实数a ，使得21x x M ->成立． 【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）把1c =代入原函数，求导，令()0f x '≥，分0a >和0a =两种情况讨论函数的单调性即可；（2）先求出()22ln 2f x ax x x =--，求导，利用判别式和韦达定理得到方程210ax x --=在()0,∞+上有唯一实数根，记为0x ，则021x a x +=（），因为函数()f x 有两个不相等的零点，所以()00f x <，将（）代入得002ln 10x x +->，令()()424000e 2e2ln e 4g x xx =--+-，01x >，求导分析其单调性，利用零点存在性定理得到()0,2a ∈时，函数()f x 有两个零点.111x e <<，2012x x a>>，即可得证. 【详解】（1）()f x 的定义域为(0)+∞，， 由()2ln f x ax bx x =+-，()21212ax bx f x ax b x x+-'=-+=， 令()0f x '≥， 即2210ax bx +-≥，①当0a >时，280b a ∆=+>，设2210ax bx +-=的根1x =，2x =，则10x <，20x >，解得2x x ≥或1x x ≤（舍），∴()f x 在⎛ ⎝⎭上是减函数，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上是增函数. ②当0a =时，()1bx f x x-'=，（i ）若0b ≤，则()0f x '<恒成立，()f x 在()0,∞+上是减函数； （ii ）若0b >，()0f x '≥， 解得1x b≥， ∴()f x 在10,b ⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数，在1,b ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是增函数.综上所述，当0a >时，()f x 的单调增区间是⎫+∞⎪⎪⎝⎭，单调减区间是0,4b a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭. 当0a =时，若0b ≤，()f x 的单调减区间是()0,∞+，无增区间； 若0b >，()f x 的单调增区间是1,b ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调减区间是10,b ⎛⎫ ⎪⎝⎭.（2）证明：因为2b =-，2c =， 所以()22ln 2f x ax x x =--，则()()221ax x f x x--'=.因为0a >，所以140,10,a a∆=+>⎧⎪⎨-<⎪⎩，所以方程210ax x --=在()0,∞+上有唯一实数根，记为0x ，所以20010ax x --=，则021x a x +=.（） 且当()00,x x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；当()0,x x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增.因为函数()f x 有两个不相等的零点，所以()00f x <，即20002ln 20ax x x --<，将（）代入得002ln 10x x +->. 显然01x >，则()0,2a ∈. 取11ex =<， 则21220e e ea f ⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭. 另取200e 1x x x =>>，则()()()()22222424000000e e 2ln e 2e e 2e 2ln e 4f x a x x x x x =--=--+-.令()()424000e 2e2ln e 4g x xx =--+-，01x >， 所以()()42002e 2e 0g x x '=-->，则函数()0g x 单调递增，所以()420(1)2e 2e 40g x g >=-->，即()()220e e 0f x f >>，所以对于20011e e x x <<<，10e f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，()00f x <，()20e 0f x >， 利用零点存在性定理知：当()0,2a ∈时，函数()f x 有两个零点. 因为()120f a =-<，10e f ⎛⎫> ⎪⎝⎭. 所以111x e<<. 下证：对任意的0M >，都存在()0,2a ∈，使得21x M ->. 因为2012x x a>>，对任意的0M >， 令()()10,221a M =∈+，则112M a =+，21112x M a->-=，即对任意的正实数M ，都存在满足条件的实数a ，使得21x x M ->. 【点睛】本题主要考查了利用导数求函数的单调性，考查了利用导数求解零点问题和不等式恒成立问题.考查了分类讨论思想.考查了逻辑推理能力以及运算求解能力.属于较难题.。
山东新高考联合质量测评高三10月联考数学答案和解析
山东新高考联合质量测评高三数学参考答案1.C2.A3.C 解： 底面边长为4，∴底面的对角线长为设正四棱柱和正四棱锥的高为h ，因正四棱锥的侧棱长为32，则根据题意可得222h +=，解得2h =，故该几何体的体积为112844244233⨯⨯+⨯⨯⨯=，故选C.6.D 解：函数2e ()e x a f x +=的定义域为R ，因为()()0f x f x -+=，所以函数()f x 是R 上的奇函数，所以()010f a =+=，解得1a =-，所以2e 1()ex x f x -=，则()22e 11e ()e e x x x x f x f x -----===-，所以2e 1()e x x f x -=，则()222212e e 1()e e e e ex x x x x x xf x '==⋅--⋅+，因为()f x 在(,())b f b 处的切线方程为2y x =，所以2e 1()2eb b f b '+==，解得0b =，所以=+b a 2-2.故答案为：D.8.D 解：由已知1(1)(2)n n n a n a ++=+，所以121n n a a n n +=++，所以数列{}1n an +是常数列.又23a =，所以21121n a an ==++，从而1n a n =+，所以数列{}n a 是以2为首项，1为公差的等差数列，故232n n nS +=．由存在n N +∈使得214n n S ka +≤成立可知，存在n N +∈使得2314(1)n n k n ++≤+成立，即2min 314()1n n k n ++≥+．设1t n =+，则1n t =-，从而22314(1)3(1)141211n n t t t n t t++-+-+==+++．记12()1f t t t=++，由对勾函数性质可知，()f t 在(0,23)上单调递减，在(23,)+∞上单调递增，又t N +∈，所以8143)3(=++=f ，8134)4(=++=f ，所以121t t++的最小值是8．故选：D．9.ACD 解：选项A ：设幂函数)(x f αx =，由2)41(=f 得21-=α，故选项A 正确；选项B ：032)(2=-+=x x x f 得13或-=x ，所以)(x f 的零点为13和-，故选项B 不正确；选项C ：因为)1(+x f 是偶函数，所以)1()1(+-=+x f x f ，因为()f x 是奇函数，所以)1()1()1(--=+-=+x f x f x f 因此函数()f x 的周期为4，所以()()()2024450600f f f =⨯==，故选项C 正确；选项D ：因为函数()3ln f x x x=-在()1,2x ∈时单调递增，而013ln )3(>-=f ，故选项D 正确.故选ACD.10.BD 解因为1132++-=n n n n a a a a ，所以1a ＋1＝2a ＋3，所以1a ＋1＋3＝21a n ＋3，且1a ＋3＝4≠0，所1a n ＋34为首项，2为公比的等比数列，即1a n ＋3＝4×2n-1，所以1a n ＝2n+1－3，可得a n ＝12n ＋1－3，故选项A ，C 错误；因为1a n ＝2n+1－3单调递增，所以a n ＝12n ＋1－3单调递减，即{a n }为递减数列，故选项B 1a n 前n 项和T n ＝(22－3)＋(23－3)＋…＋(2n+1－3)＝(22＋23＋…＋2n+1)－3n ＝22×1－2n1－2－3n ＝2n+2－3n －4，故选项D 正确．故选BD.为正四面体.12.BD 解：作出f （x ）在（0，12]上的图象，如图所示：因为f （）＝f （）＝f （4）＝f （12）＝，又因为方程()x f ＝a 有四个互不相等的实数根，所以210≤<a ，故A 错误；对于B ，由题意可得＝﹣，且有0＜x 1≤，≤x 2＜2，所以x 1＝，所以2x 1+x 2＝+x 2≥2＝2，当＝x 2，即x 2＝时，等号成立，故正确；对于C ，由题意可得⎪⎭⎫ ⎝⎛27f ＝,212243sin 6276sin >==⎪⎭⎫⎝⎛+⨯πππ由A 可知210≤<a ，所以,27a f >⎪⎭⎫⎝⎛故错误；对于D ，由题意可知：x 3与x 4关于直线x ＝8对称，且,543<≤x ,12114≤<x 所以x 3+x 4＝16，所以.161143434343x x x x x x x x =+=+因为x 3+x 4＝16，所以x 3＝16﹣x 4.又因为,12114≤<x 所以x 3•x 4＝（16﹣x 4）x 4＝﹣+16x 4＝64﹣（x 4﹣8）2，单调递减，所以48≤64﹣（x 4﹣8）2＜55，所以,31165516,48115514343≤<≤<x x x x 所以.3111551643≤+<x x 因为(2,12∈x ,所以2221212121111x x x x x x x x x x +=+=+=+，单调递增，所以⎦⎤ ⎝⎛∈+2232122，x x ，所以]223,2(1121∈+x x .所以43211111x x x x +++的取值范围为⎥⎦⎤ ⎝⎛+629255126，,故D 正确．故选BD ．13.314.解：∵BD ⊥AB ，AC ⊥AB，∴，设二面角C ﹣AB ﹣D 为θ，则()θθπcos 12cos 34-=-⨯⨯=∙AC DB .又，则，即42＝42+22+32﹣24cosθ，所以．故答案为：．15.12+-n n 解：由=(14)得()214321+-=------=n n n b n 则()⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+-=1112121n n n n b n ，所以121112111413131212112+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-+-+--=n n n n n T n .16.⎥⎦⎤⎝⎛24,1e e 解由题意可知f (2)＝0，且f (x )在R 上单调递减，所以函数f (x )只有一个零点2，由|2－β|<1，得1<β<3，所以函数g (x )＝x 2－a e x 在区间(1,3)上存在零点．由g (x )＝x 2－a e x ＝0，得a ＝x 2ex .令h (x )＝x 2e x ，则h ′(x )＝2x －x 2ex ，所以h (x )在区间(1,2)上单调递增，在区间(2,3)上单调递减，且h (1)＝1e ，h (2)＝4e 2，h (3)＝9e 3>1e，要使函数g (x )在区间(1,3)上存在零点，只需a ∈⎥⎦⎤⎝⎛24,1e e .17.解（1）由已知()f x 图象的对称中心到对称轴的最小距离为4π，则44T π=，T π∴=，2222T ππωπ∴===，解得1ω=.∴函数()f x 的解析式是()24f x x π⎛⎫- ⎝=⎪⎭.（2分）令∈+≤-≤+k k x k ,2324222πππππZ,解得∈+≤≤+k k x k ,8783ππππZ.所以函数的减区间为∈⎦⎤⎢⎣⎡++k k k ,87,83ππππZ .（5分）（2）由（1）知，函数在区间3,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，在区间33,84ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数.（7分）因为08f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，38f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，1)43(-=πf ，故函数()f x 在区间3,84ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[1-（10分）18.解（1）由{}为递增的等差数列，n a ,65,18424251=⋅=+=+a a a a a a 解得,13,542==a a 所以11=a ，公差4=d ，所以n n S n -=22，（4分）2.又234113572121222222n n n n n T +-+=+++++ ，（8分）两式相减得2111311121()222222n n n n T -++=++++- ，（10分）所以2552n nn T +=-．（12分）19.（1）证明：因为DA ⊥平面ABEF ，AB ，AF ⊂平面ABEF ，所以DA AB ⊥，DA AF ⊥.又AB AF ⊥，所以以A 为坐标原点，,,AF AB AD 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，（2分）则()0,2,0B 、()1,2,0E 、()0,2,1C 、()0,0,2D 、()2,0,0G ，所以()1,0,1EC =- ，()1,2,2ED =-- ，()2,2,0BG =-，（4分）设平面DCE 的法向量为(),,n x y z = ，则0220n EC x z n ED x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=--+=⎪⎩，令2x =，则2,1z y ==，所以()2,1,2n =，因为()221220n BG ⋅=⨯+⨯-=≠ ，即不存在λ使得BG与n垂直，所以BG 与平面DCE 不平行.（6分）（2）设AF a =（0a>且1a ≠），则(),0,0F a，所以(),2,0BF a =-.（7分）∵直线BF 与平面DCE ∴,3422cos 552⨯+-===a a 化简得21140160a a --=，解得4a =或411a =-（舍去）.故4AF =．（9分）∴()0,0,4F ()()知由1,2,0,4-=→FD 平面DCE 的一个法向量()2,1,2n =,所以F 到平面DCE 的距离34||=∙=→n n FD d（12分）f （x ）+2+f （-x ）+2=f （0）+2=0，所以函数f （x ）+2为奇函数；（4分）（2）证明：在R 上任取x 1＞x 2，则x 1－x 2＞0，所以f （x 1－x 2）＞－2.又f （x 1）＝f [（x 1－x 2）＋x 2]＝f （x 1－x 2）＋f （x 2）＋2＞f （x 2），所以函数f （x ）在R 上是增函数.（8分）（3）解：由f （1）＝2，得f （2）＝6，f （3）＝10.（9分）由f （x 2＋x ）＋f （1－2x ）＞8得f （x 2－x ＋1）＞f （3）.（10分）因为函数f （x ）在R 上是增函数，所以x 2－x ＋1＞3，解得x ＜－1或x ＞2.故原不等式的解集为{x ｜x ＜－1或x ＞2}.（12分）22.解：（1）函数()f x 的定义域为(0)+∞，，xx a x x a x f 2)(-=-=',（2分）当0a ≤时,0)(<'x f 恒成立，()f x 在(0)+∞，上单调递减.当0a >时，x ∈，0)(>'x f 恒成立，()f x 单调递增；（4分）)x ∈+∞，0)(<'x f 恒成立，()f x 单调递减.综上所述，当0a ≤时，()f x 在(0)+∞，上单调递减；当0a >时，()f x 在上单调递增，在)+∞上单调递减.（5分）（2）当0a >时，要使)(41)(2a g a x f <，则2max 1()()4f x a g a <.（6分）由（1）可知，max 11()ln (ln )22f x f a a a a a ===-，所以211(ln )(sin )24a a a a a e a -<-，即ln 11(sin )2aa e a a -<-.（8分）令aa a 1ln )(-=ϕ，1()(sin )2a h a e a =-2ln 2)(aa a -=ϕ'，可知)(a ϕ在2(0,)e 上单调递增，在2()e +∞，上单调递减.所以22max 1)()(ee a =ϕ=ϕ.（10分）0cos )(>-='a e a h a 恒成立，故()h a 在(0)+∞，上单调递增，21)0()(min =>h a h ,因为2112e <，所以)()(a h a <ϕ，所以当0a >时，21()()4f x a g a <.（12分）。