2014届高考数学创优导学案6-7
2014届高考数学创优导学案7-6
(对应学生用书P 285 解析为教师用书独有)(时间：45分钟 满分：100分)一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分) 1．在下列条件中，使M 与A 、B 、C 一定共面的是 ( )A.OM →＝2OA →－OB →－OC →B.OM →＝15OA →＋13OB →＋12OC →C.MA →＋MB →＋MC →＝0D.OM →＋OA →＋OB →＋OC →＝0解析 C MA →＋MB →＋MC →＝0，即MA →＝－(MB →＋MC →)， 所以M 与A 、B 、C 共面．2．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，给出以下向量表达式：①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →；②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→；③(AD →－AB →)－2DD 1→；④(B 1D 1→＋A 1A →)＋DD 1→. 其中能够化简为向量BD 1→的是 ( ) A ．①② B ．②③ C ．③④D ．①④解析 A ①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →＝AD 1→－AB →＝BD →1；②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→＝BC 1→－D 1C 1→＝BD 1→；③(AD →－AB →)－2DD 1→＝BD →－2DD 1→≠BD 1→；④(B 1D 1→＋A 1A →)＋DD 1→＝B 1D →＋DD 1→＝B 1D 1→≠BD 1→，故选A.3．已知向量a ＝(1，－1,1)，b ＝(－1,2,1)，且k a －b 与a －3b 互相垂直，则k 的值是( )A ．1 B.15 C.35D ．－209解析 D ∵k a －b ＝(k ＋1，－k －2，k －1)，a －3b ＝(4，－7，－2)，(k a －b )⊥(a －3b )，∴4(k ＋1)－7(－k －2)－2(k －1)＝0，∴k ＝－209.4．若a ＝(2，－3,1)，b ＝(2,0,3)，c ＝(0,2,2)，a ·(b ＋c )的值为( )A ．4B ．15C ．7D ．3解析 D ∵b ＋c ＝(2,2,5)，∴a ·(b ＋c )＝(2，－3,1)·(2,2,5)＝3.5．已知四边形ABCD 满足：AB →·BC →>0，BC →·CD →>0，CD →·DA →>0，DA →·AB →>0，则该四边形为( )A ．平行四边形B ．梯形C ．长方形D ．空间四边形解析 D 由已知条件得四边形的四个外角均为锐角，但在平面四边形中任一四边形的外角和是360°，这与已知条件矛盾，所以该四边形是一个空间四边形．6．设OABC 是四面体，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上一点，且OG ＝3GG 1，若OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则(x ，y ，z )为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，14，14B.⎝ ⎛⎭⎪⎫34，34，34 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13，13 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，23 解析 A OG 1→＝OA →＋AG 1→＝OA →＋23×12(AB →＋AC →)＝OA →＋13[(OB →－OA →)＋(OC →－OA →)]＝13(OA →＋OB →＋OC →)，由OG ＝3GG 1知，OG →＝34OG 1→＝14(OA →＋OB →＋OC →)，∴(x ，y ，z )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14，14，14.二、填空题(本大题共3小题，每小题8分，共24分)7．已知向量a ＝(－1,2,3)，b ＝(1,1,1)，则向量a 在b 方向上的投影为________． 解析 向量a 在b 方向上的投影为： |a |·cos a ，b ＝14×－1＋2＋314×3＝433.【答案】 4338．已知G 是△ABC 的重心，O 是空间与G 不重合的任一点，若OA →＋OB →＋OC →＝λOG →，则λ＝________.解析 因为OA →＋AG →＝OG →，OB →＋BG →＝OG →，OC →＋CG →＝OG →，且AG →＋BG →＋CG →＝0，所以OA →＋OB →＋OC →＝3OG →.【答案】 39．如果三点A (1,5，－2)，B (2,4,1)，C (a,3，b ＋2)共线，那么a －b ＝________. 解析 AB →＝(1，－1,3)，BC →＝(a －2，－1，b ＋1)，若使A 、B 、C 三点共线，须满足BC →＝λAB →，即(a －2，－1，b ＋1)＝λ(1，－1,3)，所以⎩⎨⎧a －2＝λ，－1＝－λ，b ＋1＝3λ，解得a ＝3，b ＝2，所以a －b ＝1.【答案】 1三、解答题(本大题共3小题，共40分)10．(12分)证明三个向量a ＝－e 1＋3e 2＋2e 3，b ＝4e 1－6e 2＋2e 3，c ＝－3e 1＋12e 2＋11e 3共面．解析 设a ＝x b ＋y c ，由已知条件⎩⎨⎧4x －3y ＝－1，－6x ＋12y ＝3，2x ＋11y ＝2.解得x ＝－110，y ＝15， 即a ＝－110b ＋15c .故a ，b ，c 三个向量共面．11．(12分)已知空间三点A (0,2,3)，B (－2,1,6)，C (1，－1,5)． (1)求以向量AB →，AC →为一组邻边的平行四边形的面积S ；(2)若向量a 分别与向量AB →，AC →垂直，且|a |＝3，求向量a 的坐标． 解析 (1)∵AB →＝(－2，－1,3)，AC →＝(1，－3,2)， ∴cos ∠BAC ＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝714×14＝12，∴∠BAC ＝60°，∴S ＝|AB →||AC →|sin 60°＝7 3.(2)设a ＝(x ，y ，z )，则a ⊥AB →⇒－2x －y ＋3z ＝0， a ⊥AC →⇒x －3y ＋2z ＝0，|a |＝3⇒x 2＋y 2＋z 2＝3， 解得x ＝y ＝z ＝1或x ＝y ＝z ＝－1， ∴a ＝(1,1,1)或a ＝(－1，－1，－1)． 12．(16分)(2013·咸阳模拟)如图所示，已知在平行六面体ABCD A ′B ′C ′D ′中，AB ＝4，AD ＝3，AA ′＝5，∠BAD ＝90°，∠BAA ′＝∠DAA ′＝60°.(1)求AC ′的长；(2)求AC ′→与AC →的夹角的余弦值． 解析 (1)∵AC ′→＝AB →＋AD →＋AA ′→， ∴|AC ′→|2＝(AB →＋AD →＋AA ′→)2＝|AB →|2＋|AD →|2＋|AA ′→|2＋2(AB →·AD →＋AB →·AA ′→＋AD →·AA ′→)＝42＋32＋52＋2×(0＋10＋7.5)＝85. ∴|AC ′→|＝85，即AC ′的长为85. (2)方法一：设AC ′→与AC →的夹角为θ， ∵ABCD 是矩形，∴|AC →|＝32＋42＝5. ∴由余弦定理可得cos θ＝AC ′2＋AC 2－CC ′22AC ′·AC ＝85＋25－252·85·5＝8510.方法二：设AB →＝a ，AD →＝b ，AA ′→＝c ， 依题意得AC ′→·AC →＝(a ＋b ＋c )·(a ＋b ) ＝a 2＋2a·b ＋b 2＋a·c ＋b·c＝16＋0＋9＋4·5·cos 60°＋3·5·cos 60° ＝16＋9＋10＋152＝852，∴cos 〈AC ′→，AC →〉＝AC ′→·AC →|AC ′→|·|AC →|＝85285·5＝8510.。
2014届高考理科数学第一轮复习导学案66
学案76 不等式选讲(三)算术—几何平均不等式与柯西不等式的应用导学目标： 1.理解二元柯西不等式的几种不同形式.2.掌握两个或三个正数的算术—几何平均不等式.3.会用两个或三个正数的算术—几何平均不等式、柯西不等式求一些特定函数的最值．自主梳理1．算术——几何平均不等式(1)如果a ，b >0，那么____________，当且仅当a ＝b 时，等号成立．(2)如果a ，b ，c >0，那么________________，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．(3)对于n 个正数a 1，a 2，…，a n ，它们的算术平均数不小于它们的几何平均数，即a 1＋a 2＋…＋a n n ≥na 1·a 2·…·a n ，当且仅当__________________时等号成立．2．柯西不等式(1)二维形式：若a ，b ，c ，d 都是实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥____________，当且仅当__________时，等号成立．(2)向量形式：设α、β是平面上的两个向量，则__________________≥|α，β|，当且仅当α，β共线时等号成立．3．三角形不等式设x 1，y 1，x 2，y 2，x 3，y 3∈R ，那么 (x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＋(x 2－x 3)2＋(y 2－y 3)2≥(x 1－x 3)2＋(y 1－y 3)2.自我检测1．若x ，y ∈(0，＋∞)，且x ＋y ＝s ，xy ＝p ，则下列命题中正确的序号是________．①当且仅当x ＝y 时，s 有最小值2p ；②当且仅当x ＝y 时，p 有最大值s 24；③当且仅当p 为定值时，s 有最小值2p ；④若s 为定值，则当且仅当x ＝y 时，p 有最大值s 24.2．若x ，y ∈R ，且满足x ＋3y ＝2，则3x ＋27y ＋1的最小值是________．3．(2011·湖南)设x ，y ∈R ，且xy ≠0，则(x 2＋1y 2)(1x 2＋4y 2)的最小值为________．4．函数y ＝3＋3x ＋1x (x <0)的最大值为________．5．若a ，b ∈R ，且a 2＋b 2＝10，则a －b 的取值范围为______________．探究点一 利用柯西不等式求最值例1 已知x ，y ，a ，b ∈R ＋，且a x ＋by ＝1，求x ＋y 的最小值．变式迁移1 若2x ＋3y ＝1，求4x 2＋9y 2的最小值．探究点二 利用算术—几何平均不等式求最值例2 如图(1)，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器(图(2))．当这个正六棱柱容器的底面边长为多少时，容积最大，并求出最大容积．变式迁移2 用一块钢锭烧铸一个厚度均匀，且表面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器(如图)，设容器高为h米，盖子边长为a米．(1)求a关于h的解析式；(2)设容器的容积为V立方米，则当h为何值时，V最大？求出V 的最大值．(求解本题时，不计容器厚度)．探究点三不等式的证明例3(1)已知a、b、c为正数，且满足a cos2θ＋b sin2θ<c.求证：a cos2θ＋b sin2θ<c.(2)设a、b、c∈R＋，求证：(1a 2＋1b 2＋1c 2)(a ＋b ＋c )2≥27.变式迁移3 设a 、b 、c ∈R ＋，求证：(a ＋b ＋c )(1a ＋b ＋1b ＋c ＋1a ＋c)≥92.1．从形式结构上看，柯西不等式可简记为“方和积大于积和方”，相比算术—几何平均不等式而言，不要求各项均是正数，从而使用更广泛，在使用柯西不等式证明不等式和求最值时，要注意与柯西不等式的一般形式比较，根据需要，构造“积和方”或“方和积”．柯西不等式等号成立的条件比较特殊，要牢记．2．应用算术—几何平均不等式求最值，要积极创造条件，合理拆添项或配凑因式是常用的解题技巧，而拆与凑的前提在于“和定积最大，积定和最小”，注意满足“一正二定三相等”三个条件，缺一不可．3．利用不等式解决实际问题，首先要认真审题，分清题意，建立合理的不等式模型或函数模型，最终通过解不等式或算术—几何平均不等式实施解题．(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．若x >1，则函数y ＝x ＋1x ＋16xx 2＋1的最小值为________．2．函数y ＝3xx 2＋x ＋1(x <0)的值域是________．3．函数y ＝52x 2(25－2x )(0≤x ≤15)的最大值为_____________________________________．4．设a >b >c ，n ∈N *，且1a －b ＋1b －c ≥na －c恒成立，则n 的最大值是________．5．若3x ＋4y ＝2，则x 2＋y 2的最小值为________． 6．函数y ＝12－2x ＋x －1的最大值为________．7．函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中m ，n >0，则1m ＋2n 的最小值为________．8．设实数x ，y 满足3x 2＋2y 2≤6，则p ＝2x ＋y 的最大值是________．二、解答题(共42分) 9．(12分)设a ，b ，c 为正数，求证：(a ＋b ＋c )(a 2＋b 2＋c 2)≥9abc .10．(14分)设x 、y 均大于0，且x ＋y ＝1，求证：(x ＋1x )2＋(y ＋1y )2≥252.11．(16分)某养殖厂需要定期购买饲料，已知该厂每天需要饲料200公斤，每公斤饲料的价格为1.8元，饲料的保管与其他费用为平均每公斤每天0.03元，购买饲料每次支付运费300元，求该厂多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的费用最小．学案76 不等式选讲(三)算术—几何平均不等式与柯西不等式的应用答案自主梳理1．(1)a ＋b 2≥ab (2)a ＋b ＋c 3≥3abc (3)a 1＝a 2＝…＝a n 2．(1)(ac ＋bd )2 ad ＝bc (2)|α||β| 自我检测 1．④解析 ∵x ，y ∈(0，＋∞)， ∴x ＋y ≥2xy ， 又x ＋y ＝s ，xy ＝p ，∴当s 一定，即x ＝y ＝s 2时，p 有最大值s 24； 当p 一定，即x ＝y ＝p 时，s 有最小值2p . 2．7解析 3x ＋27y ＋1≥23x ·27y ＋1＝23x ＋3y ＋1＝7， 当且仅当“3x ＝27y ”即x ＝3y 且x ＋3y ＝2时，上式取“＝”，此时x ＝1，y ＝13. 3．9解析 (x 2＋1y 2)(1x 2＋4y 2)＝5＋1x 2y 2＋4x 2y 2≥5＋21x 2y2·4x 2y 2＝9， 当且仅当x 2y 2＝12时“＝”成立． 4．3－2 3 解析 ∵x <0，∴y ＝3＋3x ＋1x ＝3－[(－3x )＋(－1x )]≤3－2 3.当且仅当－3x ＝－1x ，即x ＝－33时取等号．∴当x ＝－33时，函数y ＝3＋3x ＋1x 有最大值3－2 3. 5．[－25，25]解析 由柯西不等式得，[12＋(－1)2](a 2＋b 2)≥(a －b )2， ∴(a －b )2≤20，∴－25≤a －b ≤25，当且仅当“b ＝－a ”时上式“＝”成立．由⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝－a a 2＋b 2＝10得，⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝5b ＝－5或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－5b ＝5. 课堂活动区例1 解题导引 由于a x ＋by ＝1，则可以构造x ＋y ＝[(x )2＋(y )2][(a x )2＋(b y )2]≥(a ＋b )2的形式，从而利用柯西不等式求出最值．利用柯西不等式求最值，实际上就是利用柯西不等式进行放缩，但放缩时要注意等号成立的条件是否符合题意．解 ∵x ，y ，a ，b ∈R ＋，a x ＋by ＝1，∴x ＋y ＝[(x )2＋(y )2][(a x )2＋(b y )2] ≥(a ＋b )2.当且仅当x ·b y ＝y ·ax ， 即x y ＝ab 时取等号． ∴(x ＋y )min ＝(a ＋b )2.变式迁移1 解 由柯西不等式得：(4x 2＋9y 2)(12＋12)≥(2x ＋3y )2＝1.∴4x 2＋9y 2≥12. 当且仅当2x ×1＝3y ×1，即2x ＝3y 时取等号．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝3y2x ＋3y ＝1得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝14y ＝16.∴4x 2＋9y 2的最小值为12.例2 解题导引 运用算术—几何平均不等式解决应用问题的步骤是：(1)弄清量与量之间的关系，将要求最大值(或最小值)的变量表示为其他变量的函数；(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为数学中的最值问题；(3)在定义域内求函数的最值；(4)根据实际意义写出正确答案．解 如图，设正六棱柱的底面B 1B 2B 3B 4B 5B 6的边长为x (0<x <1)，则OB 1＝B 1B 2＝x .由A 1A 2A 3A 4A 5A 6的边长为1，得OA 1＝A 1A 2＝1，所以A 1B 1＝OA 1－OB 1＝1－x .作B 1C 1⊥A 1A 2于C 1. 在Rt △A 1B 1C 1中，∠B 1A 1C 1＝60°，则容器的高B 1C 1＝A 1B 1sin 60°＝32(1－x )．于是容器的容积为V ＝f (x )＝Sh ＝(6·34x 2)·32(1－x ) ＝94x 2(1－x )(0<x <1)．则f (x )＝94x 2(1－x )＝98·x ·x ·(2－2x ) ≤98·[x ＋x ＋(2－2x )3]3＝13. 当且仅当x ＝2－2x ，即x ＝23时，V max ＝13.故当正六棱柱容器的底面边长为23时，最大容积为13.变式迁移2 解 (1)设h ′是正四棱锥的斜高，由题设可得：⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋4·12h ′a ＝2h 2＋14a 2＝h ′2，消去h ′.解得：a ＝1h 2＋1(h >0)． (2)由V ＝13a 2h ＝h3(h 2＋1)(h >0)，得：V ＝13(h ＋1h )，而h ＋1h ≥2h ·1h ＝2.所以0<V ≤16，当且仅当h ＝1h ，即h ＝1时取等号．故当h ＝1米时，V 有最大值，V 的最大值为16立方米．例3 证明 (1)由柯西不等式可得a cos 2θ＋b sin 2θ≤[(a cos θ)2＋(b sin θ)2]12(cos 2θ＋sin 2θ)12 ＝(a cos 2θ＋b sin 2θ)12<c .(2)∵a ，b ，c ∈R ＋，∴a ＋b ＋c ≥33abc >0， 从而(a ＋b ＋c )2≥93a 2b 2c 2>0， 又1a 2＋1b 2＋1c 2≥331a 2b 2c 2>0，∴(1a 2＋1b 2＋1c 2)(a ＋b ＋c )2≥331a 2b 2c 2·93a 2b 2c 2＝27.当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．变式迁移 3 证明 ∵a ，b ，c ∈R ＋，∴(a ＋b )＋(b ＋c )＋(c ＋a )≥33(a ＋b )(b ＋c )(c ＋a )>0，1a ＋b ＋1b ＋c ＋1a ＋c ≥331a ＋b ·1b ＋c ·1a ＋c>0， ∴(a ＋b ＋c )(1a ＋b ＋1b ＋c ＋1a ＋c )≥92.当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．课后练习区 1．8解析 y ＝x ＋1x ＋16x x 2＋1＝x 2＋1x ＋16xx 2＋1≥216＝8.当且仅当x 2＋1x ＝16xx 2＋1，即x ＝2＋3时等号成立．2．[－3,0)解析 y ＝3x x 2＋x ＋1＝3x ＋1x ＋1.∵x ＋1x ＝－[(－x )＋(－1x )]≤－2.∴x ＋1x ＋1≤－1.∴0>3x ＋1x ＋1≥－3，即－3≤y <0.∴原函数的值域为[－3,0)． 3.4675解析 y ＝52x 2(25－2x )＝52x ·x (25－2x )，∵0≤x ≤15，∴25－2x ≥0，∴y ≤52[x ＋x ＋(25－2x )3]3＝4675.当且仅当x ＝x ＝25－2x ，即x ＝215时，y max ＝4675. 4．4解析 ∵a －c a －b ＋a －cb －c＝a －b ＋b －c a －b ＋a －b ＋b －c b －c ＝2＋b －c a －b ＋a －b b －c ≥2＋2＝4，∴a －c a －b ＋a －c b －c ≥4，∴1a －b ＋1b －c ≥4a －c. 又∵1a －b ＋1b －c ≥n a －c恒成立，∴4a －c ≥n a －c，又∵a >c ，∴a －c >0，∴4≥n ，即n ≤4. 5.425解析 柯西不等式(32＋42)(x 2＋y 2)≥(3x ＋4y )2，得25(x 2＋y 2)≥4，所以x 2＋y 2≥425.①不等式①中当且仅当x 3＝y 4时等号成立，x 2＋y 2取得最小值，解方程组⎩⎨⎧ 3x ＋4y ＝2，x 3＝y 4，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝625，y ＝825. 因此当x ＝625，y ＝825时，x 2＋y 2取得最小值，最小值为425. 6.15解析 函数的定义域为[1,6]．y 2＝(12－2x ＋x －1)2＝(2×6－x ＋1×x －1)2≤[(2)2＋12]×[(6－x )2＋(x －1)2]＝3×5＝15.∴y 2≤15.∴y ≤15.当且仅当2×x －1＝1×6－x ，即x ＝83时等号成立． ∴原函数的最大值为15.7．8解析 函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，a ≠1)的图象恒过定点A (－2，－1)．则(－2)m ＋(－1)·n ＋1＝0,2m ＋n ＝1，m ，n >0.1m ＋2n ＝(1m ＋2n )·(2m ＋n )＝4＋n m ＋4m n ≥4＋2n m ·4m n ＝8，(m ＝14，n ＝12时取等号)即1m ＋2n 的最小值为8.8.11解析 ∵(3x 2＋2y 2)[(23)2＋(12)2]≥(2x ＋y )2， ∴(2x ＋y )2≤116×6＝11.∴－11≤2x ＋y ≤11，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ 32x ＝223y 3x 2＋2y 2＝6时，上式取“＝”． 即⎩⎨⎧ x ＝411y ＝311或⎩⎨⎧ x ＝－411y ＝－311.∴x ＝411，y ＝311时，P max ＝11. 9．证明 由算术—几何平均不等式可得：a ＋b ＋c ≥33abc ，① a 2＋b 2＋c 2≥33a 2b 2c 2， ②①②相乘得(a ＋b ＋c )(a 2＋b 2＋c 2)≥9abc 即为所证结论．(12分)10．证明 方法一 要证(x ＋1x )2＋(y ＋1y )2≥252，只需证x 2＋y 2＋1x 2＋1y 2＋4≥252. (3分)∵x ＋y ＝1，即要证(1－2xy )＋1－2xy x 2y 2≥172，即要证4x 3y 3＋15x 2y 2＋4xy －2≤0， (5分) 即要证(4xy －1)(x 2y 2＋4xy ＋2)≤0， (8分) 即要证[4xy －(x ＋y )2](x 2y 2＋4xy ＋2)≤0， (10分) 即要证(x －y )2(x 2y 2＋4xy ＋2)≥0.(12分)∵x 、y 均大于0，x ＋y ＝1，故上式成立．故所证不等式(x ＋1x )2＋(y ＋1y )2≥252成立． (14分)方法二 ∵x ＋y ＝1， ∴xy ≤(x ＋y 2)2＝14，∴1xy ≥4. (4分)又∵(12＋12)[(x ＋1x )2＋(y ＋1y )2]≥(x ＋1x ＋y ＋1y )2 (8分)＝(x ＋y ＋x ＋y xy )2＝(1＋1xy )2≥(1＋4)2＝25.(12分)即2[(x ＋1x )2＋(y ＋1y )2]≥25.∴(x ＋1x )2＋(y ＋1y )2≥252.(14分)11．解 设该厂应隔x (x ∈N *)天购买一次饲料，平均每天支付的费用为y .∵饲料的保管与其他费用每天比前一天少200×0.03＝6(元)， (2分) ∴x 天饲料的保管与其他费用共是：6(x －1)＋6(x －2)＋…＋6＝3x 2－3x (元)． (8分)从而有y ＝1x (3x 2－3x ＋300)＋200×1.8＝300x ＋3x ＋357≥417.(14分)当且仅当300x ＝3x ，即x ＝10时，y 有最小值417.即每隔10天购买一次饲料才能使平均每天支付的费用最小． (16分)。
【创优导学案】2014届高考数学总复习 第七章 直线和圆配套章末综合检测(含解析)新人教A版
第七章章末综合检测(学生用书为活页试卷 解析为教师用书独有)(检测范围：第七章) (时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为( ) A ．7 B ．6 C ．5D ．3解析 A 依题意，设圆台上、下底面半径分别为r 、3r ，则有π(r ＋3r )·3＝84π，解得r ＝7.2．已知向量a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，且k a ＋b 与2a －b 互相垂直，则k ＝( )A ．1 B.15 C.35D.75解析 D k a ＋b ＝k (1,1,0)＋(－1,0,2)＝(k －1，k,2)，2a －b ＝2(1,1,0)－(－1,0,2)＝(3,2，－2)，∵两向量垂直，∴3(k －1)＋2k －2×2＝0，∴k ＝75.3．如图所示，在空间四边形ABCD 中，点E 、H 分别是边AB 、AD 的中点，F 、G 分别是边BC 、CD 上的点，且CF CB ＝CG CD ＝23，则( )A ．EF 与GH 平行B ．EF 与GH 异面C ．EF 与GH 的交点M 可能在直线AC 上，也可能不在直线AC 上D ．EF 与GH 的交点M 一定在直线AC 上解析 D 依题意，可得EH ∥BD ，FG ∥BD ，故EH ∥FG ，所以E 、F 、G 、H 共面．因为EH ＝12BD ，FG ＝23BD ，故EH ≠FG ，所以EFGH 是梯形，EF 与GH 必相交，设交点为M .因为点M 在EF 上，故点M 在平面ACB 上．同理，点M 在平面ACD 上，即点M 是平面ACB 与平面ACD 的交点，而AC 是这两个平面的交线，所以点M 一定在AC 上．4．将一个边长为a 的正方体，切成27个全等的小正方体，则表面积增加了( )A ．6a 2B ．12a 2C ．18a 2D ．24a 2解析 B 依题意，小正方体的棱长为a3，所以27个小正方体的表面积总和为27×6×⎝ ⎛⎭⎪⎫a 32＝18a 2，故表面积增加量为18a 2－6a 2＝12a 2.5．设m ，n 是空间两条直线，α，β是空间两个平面，则下列选项中不正确的是 A ．当n ⊥α时，“n ⊥β”是“α∥β”成立的充要条件 B ．当m ⊂α时，“m ⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件 C ．当m ⊂α时，“n ∥α”是“m ∥n ”的必要不充分条件 D ．当m ⊂α时，“n ⊥α”是“m ⊥n ”的充分不必要条件解析 C C 中，当n ∥α时，直线m ，n 的位置关系可能平行，可能异面．若m ∥n ，则n ∥α或者n ⊂α，所以n ∥α是m ∥n 的既不充分也不必要条件，故选C.6．已知某个几何体的三视图如图(主视图的弧线是半圆)，根据图中标出的数据，这个几何体的体积是( )A ．288＋36πB ．60πC ．288＋72πD ．288＋18π解析 A 依题意得，该几何体是由一个长方体与半个圆柱的组合体，其中长方体的长、宽、高分别为8、6、6，半个圆柱相应的圆柱底面半径为3、高为8，因此该几何体的体积等于8×6×6＋12×π×32×8＝288＋36π，故选A.7．关于直线m ，n 与平面α，β，有以下四个命题：①若m ∥α，n ∥β且α∥β，则m ∥n ； ②若m ∥α，n ⊥β且α⊥β，则m ∥n ； ③若m ⊥α，n ∥β且α∥β，则m ⊥n ； ④若m ⊥α，n ⊥β且α⊥β，则m ⊥n . 其中真命题有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析 B ①中两直线可以平行、相交或异面，故不正确；②中两直线可以平行、相交或异面，故不正确；③中，由条件可得m ⊥β，进而有m ⊥n ，故正确；④中，由条件可得m 与β平行或m 在β内，故有m ⊥n .综上③④正确．8．一条长为2的线段，它的三个视图分别是长为3，a ，b 的三条线段，则ab 的最大值为( )A. 5B. 6C.52D ．3解析 C 构造一个长方体，让长为2的线段为体对角线，由题意知a 2＝y 2＋1，b 2＝x 2＋1，x 2＋y 2＝3，即a 2＋b 2＝x2＋y 2＋2＝3＋2＝5，又5＝a 2＋b 2≥2ab ，所以ab ≤52，当且仅当a ＝b 时取等号，所以选C.9．已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，点E 为上底面A 1C 1的中点，若AE →＝AA 1→＋xAB →＋yAD →，则x 、y 的值分别为( )A ．x ＝1，y ＝1B ．x ＝1，y ＝12C ．x ＝12，y ＝12D ．x ＝12，y ＝1解析 C 如图，AE →＝AA 1→＋A 1E →＝AA 1→＋12A 1C 1→＝AA 1→＋12(AB →＋AD →)，所以x ＝12，y ＝12.10．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为( )A.63B.265 C.155D.105解析 D如图，连接A 1C 1，B 1D 1，交于点O 1，由长方体的性质易知∠C 1BO 1为BC 1与平面BB 1D 1D 所成的角．∵BC ＝2，CC 1＝1，∴BC 1＝22＋1＝5， 又C 1O 1＝12A 1C 1＝1222＋22＝2，∴在Rt △BO 1C 1中，sin ∠C 1BO 1＝O 1C 1BC 1＝25＝105. 11．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，若E 为A 1C 1中点，则直线CE 垂直于( ) A ．AC B ．BD C ．A 1DD ．A 1A解析 B 以A 为原点，AB 、AD 、AA 1所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， 设正方体棱长为1，则A (0,0,0)，C (1,1,0)，B (1,0,0)，D (0,1,0)，A 1(0,0,1)，E ⎝⎛⎭⎪⎫12，12，1，∴CE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－12，1，AC →＝(1,1,0)，BD →＝(－1,1,0)，A 1D →＝(0,1，－1)，A 1A →＝(0,0，－1)，显然CE →·BD →＝12－12＋0＝0，∴CE →⊥BD →，即CE ⊥BD .12．连接球面上两点的线段称为球的弦．半径为4的球的两条弦AB 、CD 的长度分别等于27、43，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题：①弦AB 、CD 可能相交于点M ； ②弦AB 、CD 可能相交于点N ； ③MN 的最大值为5； ④MN 的最小值为1. 其中真命题的个数是 ( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析 C 易求得M 、N 到球心O 的距离分别为OM ＝3，ON ＝2，若两弦交于M ，则ON ⊥MN ，在Rt △ONM 中，有ON <OM ，符合题意，故①正确．若两弦交于N ，同①推得，OM <ON ，矛盾，故②错．当M 、O 、N 共线，M 、N 在O 同侧，则MN 取最小值1；M 、N 在O 两侧，则MN 取最大值5，故③④正确．二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上) 13.如图，在正四棱柱A 1C 中，E ，F ，G ，H 分别是棱CC 1，C 1D 1，D 1D ，DC 的中点，N 是BC 的中点，点M 在四边形EFGH 及其内部运动，则M 只需满足条件________时，就有MN ∥平面B 1BDD 1.(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况)解析 ∵FH ∥DD 1，HN ∥BD ，∴平面FHN ∥平面B 1BDD 1，只要M ∈FH ，则MN ⊂平面FHN ，∴MN ∥平面B 1BDD 1.(答案不唯一)【答案】 M 位于线段FH 上14．已知α、β是两个不同的平面，m 、n 是平面α及平面β之外的两条不同的直线，给出四个论断：①m ∥n ，②α∥β，③m ⊥α，④n ⊥β，以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：________.解析 同垂直于一个平面的两条直线互相平行，同垂直于两个平行平面的两条直线也互相平行．【答案】 ②③④⇒①15．有6根木棒，已知其中有两根的长度为3cm 和2cm ，其余四根的长度均为1 cm ，用这6根木棒围成一个棱锥，则这样的三棱锥体积为________cm 3.解析由题意知该几何体如图所示，SA ＝SB ＝SC ＝BC ＝1，AB ＝2，AC ＝3，则∠ABC ＝90°，取AC 的中点O ，连接SO 、OB ，由已知可解得SO ＝12SA ＝12，OB ＝12AC ＝32，又SB ＝1，所以∠SOB ＝90°，又SO ⊥AC ，所以SO ⊥底面ABC ，所以所求三棱锥的体积V ＝13×22×12＝212.【答案】21216．(2013·赣州模拟)三棱锥S ABC 中，∠SBA ＝∠SCA ＝90°，△ABC 是斜边AB ＝a 的等腰直角三角形，给出以下结论：①异面直线SB 与AC 的夹角为90°； ②直线SB ⊥平面ABC ； ③平面SBC ⊥平面SAC ； ④点C 到平面SAB 的距离是12a .其中正确结论的序号是________．解析 由题意知AC ⊥平面SBC ，故AC ⊥SB ，SB ⊥平面ABC ，平面SBC ⊥平面SAC ，①②③正确；取AB 的中点E ，连接CE ，可证得CE ⊥平面SAB ，故CE 的长度即为C 到平面SAB 的距离，为12a ，④正确．【答案】 ①②③④三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(12分)如图所示，矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，沿对角线BD 把△ABD 折起，使点A 在平面BCD 上的射影E 落在BC 上．(1)求证：平面ACD ⊥平面ABC; (2)求三棱锥A －BCD 的体积． 解析 (1)∵AE ⊥平面BCD ，∴AE ⊥CD . 又BC ⊥CD ，且AE ∩BC ＝E ， ∴CD ⊥平面ABC . 又CD ⊂平面ACD ， ∴平面ACD ⊥平面ABC . (2)由(1)知，CD ⊥平面ABC ， 又AB ⊂平面ABC ，∴CD ⊥AB . 又∵AB ⊥AD ，CD ∩AD ＝D ， ∴AB ⊥平面ACD .∴V A －BCD ＝V B －ACD ＝13·S △ACD ·AB .又∵在△ACD 中，AC ⊥CD ，AD ＝BC ＝4，AB ＝CD ＝3， ∴AC ＝AD 2－CD 2＝42－32＝7. ∴V A －BCD ＝13×12×7×3×3＝372.18．(12分)(2013·西安模拟)如图，在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是棱BC 、CC 1上的点，CF ＝AB ＝2CE ，AB ∶AD ∶AA 1＝1∶2∶4.(1)证明AF ⊥平面A 1ED ；(2)求平面A 1ED 与平面FED 夹角的余弦值．解析 如图所示，建立空间直角坐标系，点A 为坐标原点，设AB ＝1， 依题意得D (0,2,0)，F (1,2,1)，A 1(0,0,4)，E ⎝⎛⎭⎪⎫1，32，0(1)已知AF →＝(1,2,1)，EA 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－32，4，ED →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12，0， 于是AF →·EA 1→＝0，AF →·ED →＝0，因此AF ⊥EA 1，AF ⊥ED ，又EA 1∩ED ＝E ，所以AF ⊥平面A 1ED . (2)设平面FED 的法向量u ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧u ·EF →＝0u ·ED →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧12y ＋z ＝0－x ＋12y ＝0不妨令x ＝1，可得u ＝(1,2，－1)，由(1)可知，AF →为平面A 1ED 的一个法向量． 于是cos 〈u ，AF →〉＝u ·AF →|u |·|AF →|＝23，所以平面A 1ED 与平面FED 夹角的余弦值是23.19.(12分)如图，四边形ABCD 为正方形，四边形BDEF 为矩形，AB ＝2BF ，DE ⊥平面ABCD ，G 为EF 的中点．(1)求证：CF ∥平面ADE ； (2)求证：平面ABG ⊥平面CDG ； (3)求二面角C －FG －B 的余弦值．解析 (1)∵BF ∥DE ，BC ∥AD ，BF ∩BC ＝B ，DE ∩AD ＝D ，∴平面CBF ∥平面ADE .又CF ⊂平面CBF ， ∴CF ∥平面ADE .(2)如图，取AB 的中点M ，CD 的中点N ，连接GM 、GN 、MN 、AC 、BD ，设AC 、MN 、BD 交于O ，连接GO .∵四边形ABCD 为正方形，四边形BDEF 为矩形，AB ＝2BF ，DE ⊥平面ABCD ，G 为EF 的中点，则GO ⊥平面ABCD ，GO ＝12MN ，∴GN ⊥MG .又GN ⊥DC ，AB ∥DC ，∴GN ⊥AB . 又AB ∩MG ＝M ， ∴GN ⊥平面GAB . 又GN ⊂平面CDG ， ∴平面ABG ⊥平面CDG .(3)由已知易得CG ⊥FG ，由(2)知GO ⊥EF ， ∴∠CGO 为二面角C －FG －B 的平面角， ∴cos ∠CGO ＝GO GC ＝33. 20．(12分)如图所示，在直角梯形ABCP 中，BC ∥AP ，AB ⊥BC ，CD ⊥AP ，AD ＝DC ＝PD ＝2.E ，F ，G 分别为线段PC ，PD ，BC 的中点，现将△PDC 折起，使平面PDC ⊥平面ABCD .(1)求证：PA ∥平面EFG ； (2)求二面角G －EF －D 的大小． 解析 (1)∵PE ＝EC ，PF ＝FD ，∴EF ∥CD . 又CD ∥AB ，∴EF ∥AB ，∴EF ∥平面PAB . 同理，EG ∥平面PAB .又∵EF ∩EG ＝E ，∴平面PAB ∥平面EFG ，而PA 在平面PAB 内，∴PA ∥平面EFG .(2)如图，以D 为坐标原点，DA ，DC ，DF 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则A (2,0,0)，P (0,0,2)，E (0,1,1)，F (0,0,1)，G (1,2,0)，易知DA →＝(2,0,0)为平面EFD 的一个法向量． 设平面EFG 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 又EF →＝(0，－1，0)，EG →＝(1,1，－1)，由⎩⎨⎧n ·EF →＝0，n ·EG →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ，y ，z ，－1，＝0，x ，y ，z，1，－＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，x ＋y －z ＝0，取x ＝1，得n ＝(1,0,1)．设所求二面角为θ，cos θ＝n ·DA →|n ||DA →|＝222＝22，∴θ＝45°，即二面角G －EF －D 的平面角的大小为45°.21．(12分)如图所示，在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，DB ＝BC ，DB ⊥AC ，点M 是棱BB 1上一点．(1)求证：B 1D 1∥平面A 1BD ； (2)求证：MD ⊥AC ；(3)试确定点M 的位置，使得平面DMC 1⊥平面CC 1D 1D . 解析 (1)由直四棱柱概念，得BB 1綊DD 1， ∴四边形BB 1D 1D 是平行四边形， ∴B 1D 1∥BD .而BD⊂平面A1BD，B1D1⊄平面A1BD，∴B1D1∥平面A1BD.(2)∵BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴BB1⊥AC.又∵BD⊥AC，且BD∩BB1＝B，∴AC⊥平面BB1D1D.而MD⊂平面BB1D1D，∴MD⊥AC.(3)当点M为棱BB1的中点时，取DC的中点N，D1C1的中点N1，连接NN1交DC1于O，连接OM，如图所示．∵N是DC的中点，BD＝BC，∴BN⊥DC.又∵DC是平面ABCD与平面DCC1D1的交线，而平面ABCD⊥平面DCC1D1，∴BN⊥平面DCC1D1.又可证得，O是NN1的中点，∴BM綊ON，即四边形BMON是平行四边形，∴BN∥OM，∴OM⊥平面CC1D1D，∵OM⊂平面DMC1，∴平面DMC1⊥平面CC1D1D.22．(14分)在侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，且∠BAD ＝60°，A1A＝AB，E为BB1延长线上的一点，D1E⊥面D1AC.(1)求二面角E－AC－D1的大小；(2)在D1E上是否存在一点P，使A1P∥平面EAC？若存在，求D1P∶PE的值；若不存在，说明理由．解析设AC与BD交于O，建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz，设AB＝2，则A(3，0,0)，B(0,1,0)，C(－3，0,0)，D(0，－1,0)，D1(0，－1,2)，A1(3，0,2)．(1)设E (0,1,2＋h )，则D 1E →＝(0,2，h )，AC →＝(－23，0,0)，D 1A →＝(3，1，－2)， ∵D 1E ⊥平面D 1AC ，∴D 1E ⊥AC ，D 1E ⊥D 1A ，∴D 1E →·AC →＝0，D 1E →·D 1A →＝0，∴2－2h ＝0，∴h ＝1，即E (0,1,3)，∴D 1E →＝(0,2,1)，AE →＝(－3，1,3)． 设平面EAC 的法向量为m ＝(x ，y ，z )， 则m ⊥AC →，m ⊥AE →，∴⎩⎨⎧ x ＝0，－3x ＋y ＋3z ＝0，令z ＝－1，得m ＝(0,3，－1)，∴cos 〈m ，D 1E →〉＝m ·D 1E→|m ||D 1E →|＝22，∴二面角E －AC －D 1的大小为45°.(2)设D 1P →＝λPE →＝λ(D 1E →－D 1P →)，则D 1P →＝λ1＋λD 1E →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2λ1＋λ，λ1＋λ， ∴A 1P →＝A 1D 1→＋D 1P →＝(－3，－1,0)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2λ1＋λ，λ1＋λ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，λ－11＋λ，λ1＋λ.∵A 1P ∥平面EAC ，∴A 1P →⊥m ，∴A 1P →·m ＝0，∴－3×0＋3×λ－11＋λ＋(－1)×λ1＋λ＝0，∴λ＝32.∴存在点P 使A 1P ∥平面EAC ，此时D1P∶PE＝3∶2.。
【创优导学案】2014届高考数学总复习 第六章 不等式 6-1课后巩固提升(含解析)新人教A版
【创优导学案】2014届高考数学总复习 第六章 不等式 6-1课后巩固提升（含解析）新人教A 版(对应学生用书P 309 解析为教师用书独有)(时间：45分钟 满分：100分)一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分)1．(2013·太原质检)若1a <1b <0，则下列不等式①a ＋b <ab ，②|a |>|b |，③a <b ，④b a ＋ab>2中，正确的不等式有( )A ．①② B.②③ C ．①④D.③④解析 C 用特值法，令a ＝－2，b ＝－3，可知①④正确．2．已知a ，b ，c ，d 均为实数，且c >d ，则“a >b ”是“a －c >b －d ”的 ( ) A ．充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C ．充要条件D.既不充分也不必要条件解析 B 显然，充分性不成立．若a －c >b －d 和c >d 都成立，则同向不等式相加得a >b ，即由“a －c >b －d ”⇒“a >b ”．故选B.3．已知a <0，－1<b <0，那么下列不等式成立的是 ( )A ．a >ab >ab 2B.ab 2>ab >a C ．ab >a >ab 2D.ab >ab 2>a解析 D 由－1<b <0，可得b <b 2<1.又a <0，∴ab >ab 2>a . 4．若x ＋y >0，a <0，ay >0，则x －y 的值为( )A ．大于0 B.等于0 C ．小于0D.符号不能确定解析 A 方法一：因为a <0，ay >0，所以y <0， 又x ＋y >0，所以x >0，所以x －y >0.方法二：a <0，ay >0，取a ＝－2，得－2y >0，又x ＋y >0，两式相加得x －y >0. 5．下列命题中，真命题有( )①若a >b >0，则1a 2<1b2；②若a >b ，则c －2a <c －2b ； ③若a >b ，e >f ，则f －ac <e －bc ； ④若a >b ，则1a <1b.A ．1个 B.2个C ．3个 D.4个解析 B ①a >b >0⇒0<1a <1b ⇒1a 2<1b2，正确；②a >b ⇒－2a <－2b ⇒c －2a <c －2b ，正确；③当c <0时，不正确；④当b ＝0时，不正确．故选B.6．已知三个不等式：①ab >0，②bc >ad ；③c a >d b.以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可以组成正确命题的个数是( )A ．0 B.1 C ．2D.3解析 D 命题1：若ab >0，c a >d b，则bc >ad ，正确； 命题2：若ab >0，bc >ad ，则c a >d b，正确； 命题3：若c a >d b，bc >ad ，则ab >0，正确．二、填空题(本大题共3小题，每小题8分，共24分)7．已知M ＝2(a 2＋b 2)，N ＝2a －4b ＋2ab －7且a ，b ∈R ，则M ，N 的大小关系为________． 解析 ∵M －N ＝2(a 2＋b 2)－(2a －4b ＋2ab －7) ＝(a －1)2＋(b ＋2)2＋(a －b )2＋2>0， ∴M >N . 【答案】 M >N8．若角α、β满足－π2<α<β<π，则α－β的取值范围是________．解析 由－π2<α<β<π，得－π<－β<－α<π2，∴－3π2<α－β<0.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，0 9．下列四个不等式：①a <0<b ；②b <a <0；③b <0<a ；④0<b <a ，其中能使1a <1b成立的充分条件有________(填序号)．解析 1a <1b ⇔b －a ab<0⇔b －a 与ab 异号，因此①②④能使b －a 与ab 异号．【答案】 ①②④三、解答题(本大题共3小题，共40分)10．(12分)(2013·西安模拟)设实数a ，b ，c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，判断a ，b ，c 的大小关系．解析 由⎩⎪⎨⎪⎧b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝a 2＋1，c ＝2a 2－4a ＋5.∵b －a ＝a 2＋1－a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34>0，∴b >a .又∵c －b ＝(a －2)2≥0，∴c ≥b ，∴a <b ≤c . 11．(12分)若a >b >0，c <d <0，e <0，求证：e a －c2>e b －d2.解析 ∵c <d <0，∴－c >－d >0. 又∵a >b >0，∴a －c >b －d >0. ∴(a －c )2>(b －d )2>0. ∴0<1a －c2<1b －d2.又∵e <0，∴e a －c2>e b －d2.12．(16分)已知f (x )＝ax 2－c 且－4≤f (1)≤－1，－1≤f (2)≤5，求f (3)的取值范围．解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a －c ＝f 1，4a －c ＝f 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13[f 2－f 1]，c ＝－43f1＋13f2.所以f (3)＝9a －c ＝－53f (1)＋83f (2)．因为－4≤f (1)≤－1， 所以53≤－53f (1)≤203，①因为－1≤f (2)≤5， 所以－83≤83f (2)≤403.②①②两式相加，得－1≤f (3)≤20， 故f (3)的取值范围是[－1,20]．。
【创优导学案】2014届高考数学总复习 第二章 函数与导数 2-7课后巩固提升(含解析)新人教A版
【创优导学案】2014届高考数学总复习 第二章 函数与导数2-7课后巩固提升（含解析）新人教A 版(对应学生用书P 361 解析为教师用书独有)(时间：45分钟 满分：100分)一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分) 1．如果幂函数y ＝x a的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，22，则f (4)的值等于 ( )A ．16B ．2 C.116D.12解析 D ∵幂函数y ＝x a 的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，22， ∴22＝2a ，解得a ＝－12，∴y ＝x ，故f (4)＝4－12＝12.2．(2013·乌鲁木齐模拟)设a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，1，12，3，则使函数y ＝x a的定义域为R 且该函数为奇函数的所有a 的值为( )A ．1,3B ．－1,1C ．－1,3D ．－1,1,3解析 A 在函数y ＝x －1，y ＝x ，y ＝，y ＝x 3中，只有函数y ＝x 和y ＝x 3的定义域是R ，且是奇函数，故a ＝1或3.3．已知幂函数f (x )＝x α的部分对应值如下表：x 1 12 f (x )1 22则不等式f (|x |)≤2( )A ．{x |－4≤x ≤4}B ．{x |0≤x ≤4}C ．{x |－2≤x ≤2}D ．{x |0<x ≤2}解析 A 由题表知22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12α，∴α＝12，∴f (x )＝x .∴(|x |)≤2，即|x |≤4，故－4≤x ≤4.4．已知点⎝⎛⎭⎪⎫33，3在幂函数f (x )的图象上，则f (x ) ( )A ．是奇函数B ．是偶函数C ．是非奇非偶函数D ．既是奇函数又是偶函数解析 A 设f (x )＝x α，则⎝ ⎛⎭⎪⎫33α＝3，即3＝3，故α＝－1，因此f (x )＝x －1，所以f (x )是奇函数，故选A.5．设，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＞c ＞bB ．a ＞b ＞cC ．c ＞a ＞bD ．b ＞c ＞a解析 A y ＝x 在x ＞0时是增函数，所以a ＞c ；y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25x在x ＞0时是减函数，所以c＞b .故a ＞c ＞b .6．(2013·贵阳模拟)当x ∈(0,1)时，函数y ＝x k(k ∈R )的图象在直线y ＝x 的上方，则k 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(－∞，1)C ．(0,1)D ．[0,1)解析 B 利用图象可知，k ＜0或k ＝0或0＜k ＜1皆符合题意，∴k ＜1. 二、填空题(本大题共3小题，每小题8分，共24分)7．对于函数y ＝x 2，y ＝x 有下列说法：①两个函数都是幂函数；②两个函数在第一象限内都单调递增；③它们的图象关于直线y ＝x 对称；④两个函数都是偶函数；⑤两个函数都经过点(0,0)、(1,1)；⑥两个函数的图象都是抛物线型．其中正确的有________．解析 由幂函数的定义及性质知①②⑤⑥正确．∵y ＝x 的定义域不关于原点对称，∴y ＝x 不是偶函数．∴④错误．易知y ＝x 2的图象不关于直线y ＝x 对称，③错．【答案】 ①②⑤⑥8．若幂函数f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫3，19，则其定义域为________． 解析 设幂函数解析式为y ＝x n ，则19＝3n ，∴n ＝－2.幂函数为y ＝x －2.可知x ≠0，x ∈R .【答案】 {}x |x ≠0，x ∈R9．(2011·北京高考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x， x ≥2，x －13， x <2.若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是________．解析 画出分段函数f (x )的图象如图所示，结合图象可以看出，若f (x )＝k 有两个不同的实根，即函数y ＝f (x )的图象与y ＝k 有两个不同的交点，k 的取值范围为(0,1)．【答案】 (0,1)三、解答题(本大题共3小题，共40分) 10．(12分)已知幂函数f (x )＝(t 3－t ＋1)x 是偶函数，且在(0，＋∞)上为增函数，求函数解析式． 解析 因为f (x )是幂函数，由幂函数的概念可得t 3－t ＋1＝1，解得t ＝－1,1或0.11．(12分)已知函数f (x )＝2x －x m 且f (4)＝－72，(1)求m 的值；(2)求f (x )的单调区间．解析 (1)由f (4)＝－72，即24－4m ＝－72，解得m ＝1.(2)由(1)知m ＝1，故f (x )＝2x－x .因为y ＝2x在(－∞，0)、(0，＋∞)上单调递减，y ＝－x 在R 上单调递减，所以f (x )只有单调递减区间，且是(－∞，0)，(0，＋∞)． 12．(16分)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cx ＋1 0＜x ＜c ，3x 4c＋x2cc ≤x ＜1满足f (c 2)＝98.(1)求常数c 的值； (2)解不等式f (x )＜2. 解析 (1)∵0＜c ＜1，∴c 2＜c . ∵f (c 2)＝98，∴c 3＋1＝98，即c ＝12.(2)由(1)得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜x ＜12，3x 2＋x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤x ＜1.由f (x )＜2，得当0＜x ＜12时，由12x ＋1＜2，解得0＜x ＜12；当12≤x ＜1时，由3x 2＋x －2＜0，解得12≤x ＜23， ∴f (x )＜2的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪0＜x ＜23.。
2014《创优导学案》高考数学总复习(人教新课标)配套课后巩固提升：第六章 不等式 6-4含解析
(对应学生用书P303解析为教师用书独有）(时间:45分钟满分：100分)一、选择题(本大题共6小题,每小题6分，共36分）1．已知m>0，n>0且mn≥81，则m＋n的最小值为( A．18 B。
36C．81 D。
243解析A ∵m〉0,n〉0，mn≥81，∴错误!≥9。
∴m＋n≥2mn≥18.2．若实数a,b满足a＋b＝2，则3a＋3b的最小值为（A．18 B。
6C．2错误! D.2错误!解析B ∵3a>0，3b〉0，∴3a＋3b≥2错误!＝2×3＝6，当且仅当a＝b，即a＝b＝1时，取“＝”，故选B.3．(2011·上海高考）若a，b∈R，且ab>0。
则下列不等式中，恒成立的是( )A．a2＋b2>2ab B.a＋b≥2错误!C。
错误!＋错误!>错误! D.错误!＋错误!≥2解析D 由ab>0，可知a、b同号．当a<0,b<0时,B、C不成立；当a ＝b 时，由不等式的性质可知，A 不成立，D 成立．4．已知0〈x 〈1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为 (A 。
13 B 。
错误!C 。
错误! D.错误!解析 B ∵0<x 〈1，∴1－x 〉0。
∴x （3－3x )＝3x （1－x ）≤3错误!2＝错误!.当且仅当x ＝1－x ，即x ＝错误!时取等号．5．已知x 〈错误!,则函数y ＝4x －2＋错误!的最大值是A ．2B 。
3C ．1 D.错误!解析 C ∵x 〈错误!，∴4x －5〈0，∴－（4x －5）－错误!≥2错误!＝2,当且仅当－（4x －5）＝－错误!，即x ＝1时，取“＝",∴－(4x －5）－错误!的最小值为2,∴错误!max ＝－2,∴y ＝4x －5＋错误!＋3≤1，当且仅当x ＝1时，取“＝”．6．函数y ＝错误!(x >－1)的图象最低点坐标是（A ．（1,2) B 。
2014版高考数学一轮复习(苏教版,理)配套导学案：第2章 学案6
学案6函数的奇偶性与周期性导学目标: 1.了解函数奇偶性、周期性的含义.2。
会判断奇偶性,会求函数的周期.3.会做有关函数单调性、奇偶性、周期性的综合问题．自主梳理1．函数奇偶性的定义设函数y＝f(x)的定义域为A.如果对于任意的x∈A，都有__________，则称f（x)为奇函数；如果对于任意的x∈A都有__________，则称f(x)为偶函数．2．奇偶函数的性质（1)f(x）为奇函数⇔f(－x)＝－f(x）⇔f（－x)＋f(x）＝____；f(x)为偶函数⇔f(x)＝f(－x）＝f(｜x|）⇔f（x)－f（－x）＝____.(2）f(x）是偶函数⇔f(x）的图象关于____轴对称;f(x）是奇函数⇔f(x）的图象关于______对称．（3）奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有______的单调性．3．函数的周期性(1）定义:如果存在一个非零常数T,使得对于函数定义域内的任意x，都有f(x＋T）＝______，则称f(x）为______函数，其中T称作f（x)的周期．若T存在一个最小的正数，则称它为f(x）的________．（2）性质: ①f（x＋T）＝f（x）常常写作f（x＋错误!)＝f(x－错误!)．②如果T是函数y＝f（x）的周期,则kT（k∈Z且k≠0）也是y ＝f（x)的周期，即f(x＋kT)＝f(x）．③若对于函数f(x)的定义域内任一个自变量的值x都有f（x＋a)＝－f(x）或f(x＋a）＝错误!或f（x＋a)＝－错误!(a是常数且a≠0）,则f(x)是以______为一个周期的周期函数．自我检测1．已知函数f（x)＝（m－1）x2＋(m－2)x＋(m2－7m＋12)为偶函数，则m的值为________．2．如果定义域为［3－a,5]的函数f（x)为奇函数,那么实数a的值为________．3．(2009·江西改编）已知函数f(x）是（－∞，＋∞)上的偶函数,若对于x≥0，都有f(x＋2)＝f(x），且当x∈［0，2)时，f（x)＝log2（x＋1）,则f(－2 012）＋f(2 011）＝________。
【创优导学案】2014届高考数学总复习 第一章 集合与简易逻辑配套章末综合检测(含解析)新人教A版
第一章章末综合检测(学生用书为活页试卷 解析为教师用书独有)(检测X 围：第一章) (时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合M ＝{0,1,2}，N ＝{x |x ＝2a ，a ∈M }，则集合M ∩N 等于( ) A ．{0} B ．{0,1} C ．{1,2} D ．{0,2}解析 D 集合N ＝{0,2,4}，所以M ∩N ＝{0,2}．2．一个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中( ) A ．真命题与假命题的个数相同 B ．真命题的个数一定是奇数 C ．真命题的个数一定是偶数D ．真命题的个数可能是奇数，也可能是偶数解析 C 在原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，互为逆否的命题是成对出现的，故真命题的个数和假命题的个数都是偶数．3．已知A 是△ABC 的内角，则“sin A ＝32”是“tan A ＝3”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 解析 B 由sin A ＝32且A 是△ABC 的内角，可得A ＝60°或A ＝120°，此时，tan A ＝3未必成立，但反之成立．4．已知命题p ：任意的x ∈R,2x 2＋2x ＋12<0；命题q ：存在x ∈R ，sin x －cos x ＝ 2.则下列判断正确的是( )A ．p 是真命题B ．q 是假命题C ．綈p 是假命题D ．綈q 是假命题解析 D 在命题p 中，当x ＝－12时，2x 2＋2x ＋12＝0，故为假命题；在命题q 中，当x＝3π4时，命题成立，故为真命题，綈q 是假命题．5．(2013·石景山测试)设M＝{x|x<4}，N＝{x|x2<4}，则( )A．M N B．N MC．M⊆∁R N D．N⊆∁R N解析B ∵N＝{x|x2<4}＝{x|－2<x<2}，M＝{x|x<4}，∴N M.6．(2013·某某模拟)设集合A＝{1,2}，则满足A∪B＝{1,2，3}的集合B的个数是( ) A．1 B．3C．4 D．8解析 C 满足条件的集合B可为{3}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}，共4个．7．若集合A＝{0，m2}，B＝{1,2}，则“m＝1”是“A∪B＝{0,1，2}”的( )A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件解析 B 由m＝1可得集合A＝{0,1}，所以A∪B＝{0,1,2}；反之，若已知A∪B＝{0,1,2}，则实数m也可取－1或±2，故选B.8．命题“若a2＋b2＝0，a，b∈R，则a＝b＝0”的逆否命题是( )A．若a≠b≠0，a，b∈R，则a2＋b2＝0B．若a＝b≠0，a，b∈R，则a2＋b2≠0C．若a≠0且b≠0，a，b∈R，则a2＋b2≠0D．若a≠0或b≠0，a，b∈R，则a2＋b2≠0解析 D a＝b＝0的否定为a≠0或b≠0，a，b∈R；a2＋b2＝0，a，b∈R的否定为a2＋b2≠0，故选D.9．已知命题p：任意的x∈R，x>sin x，则p的否定形式为( )A．綈p：存在x∈R，x<sin xB．綈p：任意x∈R，x≤sin xC．綈p：存在x∈R，x≤sin xD．綈p：任意x∈R，x<sin x解析 C 由于命题p为全称命题，所以其否定形式为存在x∈R，x≤sin x.10．已知全集U＝R，集合M＝{x|x2<1}，N＝{x|x2－x<0}，则集合M，N的关系用韦恩(Venn)图可以表示为( )解析 B 因为M＝{x|－1<x<1}，N＝{x|0<x<1}，所以N M，故选B.11．下列命题中，假命题为( )A．存在四边相等的四边形不是正方形B．z1，z2∈C，z1＋z2为实数的充分必要条件是z1，z2为共轭复数C．若x，y∈R，且x＋y>2，则x，y至少有一个大于1D．命题：“∃n∈N,2n>1 000”的否定是：“∀n∈N，2n≤1 000”解析B 只要z1，z2的虚部相反，则z1＋z2就为实数，比如z1＝1＋i，z2＝2－i，则有z1＋z2＝1＋i＋2－i＝3为实数，所以B错误，故选B.12．有金盒、银盒、铅盒各一个，只有一个盒子里有肖像．金盒上写有命题p：肖像在这个盒子里；银盒上写有命题q：肖像不在这个盒子里；铅盒上写有命题r：肖像不在金盒里．p、q、r中有且只有一个是真命题，则肖像在( )A．金盒里 B．银盒里C．铅盒里 D．在哪个盒子里不能确定解析 B ∵p⇔綈r，∴p与r一真一假．而p、q、r中有且只有一个真命题，∴q必为假命题．∴“綈q：肖像在这个盒子里”为真命题，即肖像在银盒里．二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上)13．命题“若a≥b，则a3≥b3”的逆命题是_______________．解析由逆命题的定义形式直接写出．【答案】若a3≥b3，则a≥b14．已知全集U为实数集，A＝{x|x2－2x<0}，B＝{x|x≥1}，则A∩∁U B＝________.解析A＝{x|0<x<2}，∁U B＝{x|x<1}，所以A∩∁U B＝{x|0<x<1}．【答案】{x|0<x<1}15．“x＝3”是“x2＝9”的________条件．解析若x＝3，则x2＝9，反之，若x2＝9, 则x＝±3，故为充分不必要条件．【答案】充分不必要16．(2013·某某模拟)已知命题p：∃x∈R，使tan x＝1；命题q：x2－3x＋2<0的解集是{x|1<x<2}，下列结论：①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧(綈q)”是假命题；③命题“(綈p)∨q”是真命题；④命题“(綈p)∨(綈q)”是假命题．其中正确的是________．(填所有正确命题的序号)解析命题p：∃x∈R，使tan x＝1正确，命题q：x2－3x＋2<0的解集是{x|1<x<2}也正确，∴①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧(綈q)”是假命题；③命题“(綈p)∨q”是真命题；④命题“(綈p)∨(綈q)”是假命题．【答案】①②③④三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(12分)判断下列命题是否是全称命题或特称命题，若是，用符号表示，并判断其真假．(1)有一个实数α，sin2α＋cos2α≠1；(2)任何一条直线都存在斜率；(3)所有的实数a，b，方程ax＋b＝0恰有唯一解；(4)存在实数x，使得1x2－x＋1＝2.解析(1)是一个特称命题，用符号表示为：∃α∈R，sin2α＋cos2α≠1，是一个假命题．(2)是一个全称命题，用符号表示为：∀直线l ，l 存在斜率，是一个假命题． (3)是一个全称命题，用符号表示为：∀a ，b ∈R ，方程ax ＋b ＝0恰有唯一解，是一个假命题．(4)是一个特称命题，用符号表示为：∃x ∈R ，1x 2－x ＋1＝2，是一个假命题．18．(12分)已知R 为全集，A ＝{x | (3－x )≥－2}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪5x ＋2≥1. (1)求A ∩B ；(2)求(∁R A )∩B 与(∁R A )∪B . 解析 (1)由(3－x )≥4，得⎩⎪⎨⎪⎧3－x >0，3－x ≤4.即A ＝{x |－1≤x <3}． 由5x ＋2≥1，得x －3x ＋2≤0， 即B ＝{x |－2<x ≤3}， ∴A ∩B ＝{x |－1≤x <3}． (2)∵∁R A ＝{x |x <－1或x ≥3}， 故(∁R A )∩B ＝{x |－2<x <－1或x ＝3}， (∁R A )∪B ＝R .19．(12分)已知集合A ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}，B ＝{x |mx ＋1＝0}，且A ∪B ＝A ，某某数m 的值组成的集合．解析 A ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}＝{2,3}， ∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A .①当m ＝0时，B ＝∅，B ⊆A ，故m ＝0； ②当m ≠0时，由mx ＋1＝0，得x ＝－1m.∵B ⊆A ，∴－1m∈A ，∴－1m ＝2或－1m＝3，得m ＝－12或m ＝－13.∴符合题意的m 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，－12，－13.20．(12分)(2013·荆州模拟)已知命题p ：“存在a ∈R ，使函数f (x )＝ax 2－4x (a >0)在(－∞，2]上单调递减”，命题q ：“存在a ∈R ，使∀x ∈R,16x 2－16(a －1)x ＋1≠0”．若命题“p ∧q ”为真命题，某某数a 的取值X 围．解析 p 为真：当a >0时，只需对称轴x ＝－－42a ＝2a 在区间(－∞，2]的右侧，即2a ≥2，∴0<a ≤1，q 为真：命题等价于：方程16x 2－16(a －1)x ＋1＝0无实根． Δ＝[16(a －1)]2－4×16<0，∴12<a <32， ∵命题“p ∧q ”为真命题， ∴⎩⎪⎨⎪⎧0<a ≤112<a <32，∴12<a ≤1.21．(12分)已知p ：－2≤x ≤10，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)．若p 是q 的必要不充分条件，某某数m 的取值X 围．解析 ∵p ：－2≤x ≤10， ∴p ：A ＝{x |x >10或x <－2}． 由q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)， 解得1－m ≤x ≤1＋m (m >0)，∴q ：B ＝{x |x >1＋m 或x <1－m }(m >0)． 由p 是q 的必要不充分条件或知：B ⊆A .∴⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m ≤－2，1＋m >10或⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m <－2，1＋m ≥10，解得m ≥9.∴满足条件的m 的取值X 围为{m |m ≥9}．22．(14分)已知两个命题r (x )：sin x ＋cos x ＞m ；s (x )：x 2＋mx ＋1＞0.如果任意的x ∈R ，r (x )与s (x )有且仅有一个是真命题，某某数m 的取值X 围．解析 ∵sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4≥－2，∴当r (x )是真命题时，m ＜－ 2. 又∵任意的x ∈R ，s (x )为真命题，即x2＋mx＋1＞0恒成立，有Δ＝m2－4＜0，∴－2＜m＜2.∴当r(x)为真，s(x)为假时，m＜－2，同时m≤－2或m≥2，即m≤－2；当r(x)为假，s(x)为真时，m≥－2且－2＜m＜2，即－2≤m＜2.综上所述，实数m的取值X围是{m|m≤－2或－2≤m＜2}．。
2014届高考理科学数学第一轮复习导学案6
学案7指数与指数函数导学目标： 1.了解指数函数模型的实际背景.2.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．3．理解指数函数的概念，并掌握指数函数的单调性与函数图象通过的特殊点.4.知道指数函数是一类重要的函数模型．自主梳理1．指数幂的概念(1)根式如果一个数的n次方等于a(n>1且n∈N*)，那么这个数叫做a的n次实数方根．也就是，若x n＝a，则x叫做______________，其中n>1且n∈N*.式子na叫做________，这里n叫做____________，a叫做____________．(2)根式的性质①当n为奇数时，正数的n次实数方根是一个正数，负数的n次实数方根是一个负数，这时，a的n次实数方根用符号________表示．②当n为偶数时，正数的n次实数方根有两个，它们互为相反数，这时，正数a的正的n次实数方根用符号______表示，负的n次实数方根用符号________表示．正负两个n次实数方根可以合写成________(a>0)．③(na)n＝____.④当n为偶数时，na n＝|a|＝⎩⎪⎨⎪⎧a，a≥0，－a，a<0.⑤当n为奇数时，na n＝____.⑥负数没有偶次方根．⑦零的任何次方根都是零．2．有理指数幂(1)分数指数幂的表示①正数的正分数指数幂是mna＝________(a>0，m，n∈N*，n>1)．②正数的负分数指数幂是mna-＝____________＝____________(a>0，m，n∈N*，n>1)．③0的正分数指数幂是____，0的负分数指数幂无意义．(2)有理指数幂的运算性质①a s a t ＝________(a >0，s ，t ∈Q )． ②(a s )t ＝_______(a >0，s ，t ∈Q )． ③(ab )t ＝_______(a >0，b >0，t ∈Q )．1．下列结论中正确的有________(填序号)． ①当a <0时，322()a ＝a 3； ②na n ＝|a |；③函数y ＝12(2)x －(3x －7)0的定义域是(2，＋∞)； ④若100a ＝5,10b ＝2，则2a ＋b ＝1.2．函数y ＝(a 2－3a ＋3)a x 是指数函数，则a ＝________.3．如图所示的曲线C 1，C 2，C 3，C 4分别是函数y ＝a x ，y ＝b x ，y ＝c x ，y ＝d x 的图象，则a ，b ，c ，d 的大小关系为____________．4．若a >1，b >0，且a b＋a －b＝22，则a b－a －b 的值为________． 5．函数f (x )＝a x －b 的图象如图，其中a 、b 为常数，则下列结论正确的是________(填序号)．①a >1，b <0； ②a >1，b >0； ③0<a <1，b >0； ④0<a <1，b<0.探究点一 有理指数幂的化简与求值例1 已知a ，b 是方程9x 2－82x ＋9＝0的两根，且a <b ，求：(1)a －1＋b －1(ab )－1；3815a .变式迁移1(a 、b >0)的结果为____________．探究点二 指数函数的图象及其应用例2 已知函数y ＝(13)|x +1|. (1)作出函数的图象(简图)； (2)由图象指出其单调区间；(3)由图象指出当x 取什么值时有最值，并求出最值．变式迁移2 若曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围为________．探究点三 指数函数的性质及应用例3 如果函数y ＝a 2x ＋2a x －1(a >0且a ≠1)在区间[－1,1]上的最大值是14，求a 的值．变式迁移3 已知函数f (x )＝(12x －1＋12)x 3.(1)求f (x )的定义域； (2)证明：f (－x )＝f (x )； (3)证明：f (x )>0.分类讨论思想 例 (14分)已知f (x )＝aa 2－1(a x －a －x )(a >0且a ≠1)．(1)判断f (x )的奇偶性； (2)讨论f (x )的单调性；(3)当x ∈[－1,1]时f (x )≥b 恒成立，求b 的取值范围． 【答题模板】解 (1)函数定义域为R ，关于原点对称．又因为f (－x )＝aa 2－1(a －x －a x )＝－f (x )，所以f (x )为奇函数．[3分] (2)当a >1时，a 2－1>0，y ＝a x 为增函数，y ＝a －x 为减函数， 从而y ＝a x －a －x 为增函数， 所以f (x )为增函数．[6分] 当0<a <1时，a 2－1<0，y ＝a x 为减函数，y ＝a －x 为增函数， 从而y ＝a x －a －x 为减函数， 所以f (x )为增函数．[9分]故当a >0，且a ≠1时，f (x )在定义域内单调递增．[10分] (3)由(2)知f (x )在R 上是增函数， ∴在区间[－1,1]上为增函数， ∴f (－1)≤f (x )≤f (1)，∴f (x )min ＝f (－1)＝a a 2－1(a －1－a )＝aa 2－1·1－a 2a＝－1.∴要使f (x )≥b 在[－1,1]上恒成立，则只需b ≤－1， 故b 的取值范围是(－∞，－1]．[14分] 【突破思维障碍】本例第(2)(3)问是难点，讨论f (x )的单调性对参数a 如何分类，分类的标准和依据是思维障碍之一．【易错点剖析】在(2)中，函数的单调性既与a x－a －x 有关，还与a a 2－1的符号有关，若没考虑aa 2－1的符号就会出错，另外分类讨论完，在表达单调性的结论时，要综合讨论分类的情况，如果没有一个总结性的表达也要扣分，在表达时如果不呈现a 的题设条件中的范围也是错误的．1．一般地，进行指数幂的运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数进行运算，便于用运算性质进行乘、除、乘方、开方运算，可以达到化繁为简的目的．2．比较两个指数幂大小时，尽量化同底数或同指数，当底数相同，指数不同时，构造同一指数函数，然后比较大小；当指数相同，底数不同时，构造两个指数函数，利用图象比较大小．3．指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系如图所示，则0<c <d <1<a <b .在y 轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；在y 轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小；即无论在y 轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．已知a ＝133()4-，b ＝143()4-，c ＝343()2-，则a 、b 、c 的大小关系为______________．2．函数y ＝|2x －1|在区间(k －1，k ＋1)内不单调，则k 的取值范围为________．3．已知集合M ＝{－1,1}，N ＝{x ∈Z |12<2x ＋1<4}，则M ∩N ＝________.4．(2011·扬州模拟)定义运算a b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≤b )，b (a >b )，则函数f (x )＝x的值域为________．5．若关于x 的方程|a x －1|＝2a (a >0，a ≠1)有两个不等实根，则a 的取值范围为________．6．(2011·镇江模拟)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3a ，x <0，a x ， x ≥0(a >0且a ≠1)是R 上的减函数，则a 的取值范围为________．7．(2010·江苏)设函数f (x )＝x (e x ＋a e －x )，x ∈R 是偶函数，则实数a ＝________.8．若函数f (x )＝a x －1(a >0且a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a 的值为________．二、解答题(共42分)9．(14分)(2011·常州模拟)已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b2x ＋1＋a是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求k 的取值范围．10．(14分)(2010·北京丰台区期末)已知函数f (x )＝3x ，f (a ＋2)＝18，g (x )＝λ·3ax －4x 的定义域为[0,1]．(1)求a 的值．(2)若函数g (x )在区间[0,1]上是单调递减函数，求实数λ的取值范围．11．(14分)函数y ＝1＋2x ＋4x a 在x ∈(－∞，1]上y >0恒成立，求a 的取值范围．答案 自主梳理1．(1)a 的n 次实数方根 根式 根指数 被开方数(2)①na②na－na±na③a⑤a 2.(1)①na m②1mna1na m③0(2)①a s＋t②a st③a t b t 3.R (0，＋∞)(1)(0,1)(2)y>1 0<y<1(2)0<y<1y>1(3)增函数(3)减函数自我检测1．④解析只有④正确．①中a<0时，3 22()a>0，a3<0，所以322()a≠a3；②中，n为奇数时且a<0时，na n＝a；③中定义域为[2，73)∪(73，＋∞)．2．2解析∵y＝(a2－3a＋3)a x是指数函数，∴a2－3a＋3＝1，解得a ＝2或a＝1(舍去)．3．b<a<d<c解析y轴左、右的图象对应函数的底数按逆时针方向增大．所以c>d>1,1>a>b>0.4．2解析(a b－a－b)2＝(a b＋a－b)2－4＝4，∵a>1，b>0，∴a b>1,0<a－b<1，∴a b－a－b＝2.5．④解析由f(x)＝a x－b的图象可以观察出，函数f(x)＝a x－b在定义域上单调递减，所以0<a<1；函数f(x)＝a x－b的图象是在f(x)＝a x的基础上向左平移得到的，所以b<0.课堂活动区例1解题导引 1.指数幂的化简原则(1)化负数指数为正指数；(2)化根式为分数指数幂；(3)化小数为分数．2．指数幂的化简结果要求为有关有理指数幂的化简结果不要同时含有根号和分数指数幂，也不要既有分母又含有负指幂，即尽量化成与题目表示形式一致且统一的最简结果．解 ∵a ，b 是方程的两根，而由9x 2－82x ＋9＝0解得x 1＝19，x 2＝9，且a <b ，故a ＝19，b ＝9，(1)化去负指数后求解．a －1＋b －1(ab )－1＝1a ＋1b 1ab ＝a ＋b ab1ab ＝a ＋b .∵a ＝19，b ＝9，∴a ＋b ＝829，即原式＝829.(2)原式＝a 72×13·a －32×13÷(a (－83)×12·a 153×12)＝a 76－12－(－43＋52)＝a －12.∵a ＝19， ∴原式＝3.变式迁移1 ab解析 原式＝11363211233a b a bab a b-＝3111111226333ab+-++--＝ab －1＝ab .例2 解题导引 在作函数图象时，首先要研究函数与某一基本函数的关系，然后通过平移、对称或伸缩来完成．解 (1)方法一 由函数解析式可得y ＝(13)|x ＋1|＝⎩⎨⎧(13)x ＋1， x ≥－1，3x ＋1， x <－1.其图象由两部分组成：一部分是：y ＝(13)x (x ≥0)y ＝(13)x ＋1(x ≥－1)；另一部分是：y ＝3x (x <0)y ＝3x ＋1(x <－1)． 如图所示．方法二 ①由y ＝(13)|x |可知函数是偶函数，其图象关于y 轴对称，故先作出y ＝(13)x的图象，保留x ≥0的部分，当x <0时，其图象是将y ＝(13)x (x ≥0)图象关于y 轴对折，从而得出y ＝(13)|x |的图象．②将y ＝(13)|x |向左移动1个单位，即可得y ＝(13)|x ＋1|的图象，如图所示．(2)由图象知函数的单调增区间为(－∞，－1)，单调减区间为(－1，＋∞)．(3)由图象知当x ＝－1时，有最大值1，无最小值． 变式迁移2 [－1,1]解析 分别作出两个函数的图象，通过图象的交点个数来判断参数的取值范围．曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 的图象如图所示，由图象可得：如果|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 应满足的条件是b ∈[－1,1]．例3 解题导引 1.指数函数y ＝a x(a >0且a ≠1)的图象与性质与a 的取值有关，要特别注意区分a >1与0<a <1来研究．2．指数函数与二次函数复合而成的初等函数的性质可通过换元的方法转化为指数函数或二次函数的性质．解 设t ＝a x ，则y ＝f (t )＝t 2＋2t －1＝(t ＋1)2－2. (1)当a >1时，t ∈[a －1，a ]，∴y max ＝a 2＋2a －1＝14，解得a ＝3，满足 a >1； (2)当0<a <1时，t ∈[a ，a －1]， ∴y max ＝(a －1)2＋2a －1－1＝14，解得a ＝13，满足0<a <1.故所求a 的值为3或13.变式迁移3 (1)解 由2x －1≠0⇒x ≠0， 所以定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．(2)证明 f (x )＝(12x －1＋12)x 3可化为f (x )＝2x ＋12(2x －1)·x 3，则f (－x )＝2－x ＋12(2－x －1)(－x )3＝2x ＋12(2x －1)x 3＝f (x )， 所以f (－x )＝f (x )．(3)证明 当x >0时，2x >1，x 3>0，所以(12x －1＋12)x 3>0.因为f (－x )＝f (x )，所以当x <0时，f (x )＝f (－x )>0. 综上所述，f (x )>0. 课后练习区 1．c <b <a解析 ∵y ＝(34)x 单调递减，且－13<－14<0， ∴(34)－13>(34)－14>(34)0，即a >b >1，又0<c <1，∴c <b <a . 2．(－1,1)解析 由于函数y ＝|2x －1|在(－∞，0)内单调递减，在(0，＋∞)内单调递增，而函数在区间(k －1，k ＋1)内不单调，所以有k －1<0<k ＋1，解得－1<k <1.3．{－1} 4．(0,1]解析 当x <0时，0<2x <1，此时f (x )＝2x ∈(0,1)； 当x ≥0时，2x ≥1，此时f (x )＝1.所以f (x )＝x＝⎩⎪⎨⎪⎧2x (x <0)，1 (x ≥0).其值域为(0,1]．5．(0，12)解析 方程|a x －1|＝2a 有两个不等实根可转化为函数y ＝|a x －1|与函数y ＝2a 有两个不同交点，作出函数y ＝|a x －1|的图象，从图象观察可知只有0<2a <1时，符合题意，即0<a <12.6．[13，1)解析 据单调性定义，f (x )为减函数应满足：⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，3a ≥a 0，即13≤a <1. 7．－1解析 设g (x )＝e x ＋a e －x ，则f (x )＝xg (x )是偶函数．∴g (x )＝e x ＋a e －x 是奇函数．∴g (0)＝e 0＋a e －0＝1＋a ＝0，∴a ＝－1. 8. 3解析 当a >1时，f (2)＝2，∴a 2－1＝2，a ＝3，经验证符合题意；当0<a <1时，f (0)＝2，即1－1＝2，无解．∴a ＝ 3.9．解 (1)∵f (x )是定义在R 上奇函数，∴f (0)＝0，即－1＋b 2＋a＝0，解得b ＝1，…………………………………………………(2分)从而有f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋a. 又由f (1)＝－f (－1)知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a， 解得a ＝2.经检验a ＝2适合题意，∴a ＝2，b ＝1.……………………………………………………………………………(4分)(2)由(1)知f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1. 由上式易知f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数．…………………………………………(8分)又因f (x )是奇函数，从而不等式f (t 2－2t )<－f (2t 2－k )＝f (－2t 2＋k )．…………………………………………………………………………(10分)因为f (x )是减函数，由上式推得t 2－2t >－2t 2＋k .即对一切t ∈R 有3t 2－2t －k >0.从而判别式Δ＝4＋12k <0，解得k <－13.故k 的取值范围为(－∞，－13)．………………………………………………………(14分)10．解 方法一 (1)由已知得3a ＋2＝18⇒3a ＝2⇒a ＝log 32.…………………………(4分)(2)此时g (x )＝λ·2x －4x ，设0≤x 1<x 2≤1，因为g (x )在区间[0,1]上是单调递减函数，所以g (x 1)－g (x 2)＝(2x 1－2x 2)(λ－2x 2－2x 1)>0恒成立，………………………………………………………………………(10分)即λ<2x 2＋2x 1恒成立．由于2x 2＋2x 1>20＋20＝2，所以，实数λ的取值范围是λ≤2.……………………………………………………………………………………………(14分)方法二 (1)由已知得3a ＋2＝18⇒3a ＝2⇒a ＝log 32.……………………………………(4分)(2)此时g (x )＝λ·2x －4x ，因为g (x )在区间[0,1]上是单调减函数，所以有g ′(x )＝λln 2·2x －ln 4·4x ＝2x ln 2(－2·2x ＋λ)≤0成立，………………………(10分)所以只需要λ≤2·2x 恒成立．所以实数λ的取值范围是λ≤2.…………………………(14分)11．解 由题意得1＋2x ＋4x a >0在x ∈(－∞，1]上恒成立，即a >－1＋2x4x在x ∈(－∞，1]上恒成立．………………………………………………(6分)又因为－1＋2x 4x ＝－(12)2x －(12)x ，设t ＝(12)x ，∵x ≤1，∴t ≥12且函数f (t )＝－t 2－t ＝－(t ＋12)2＋14(t ≥12)在t ＝12时，取到最大值．∴(12)x ＝12即x ＝1时，－1＋2x 4x 的最大值为－34，………………………………………(12分)∴a >－34.故a的取值范围为(－34，＋∞)．………………………………………………………(14分)。
2014《创优导学案》高考数学总复习(人教新课标)配套课后巩固提升：第六章 不等式 6-6含解析
（对应学生用书P299解析为教师用书独有)(时间：45分钟满分：100分）一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分)1．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，假设正确的是( ）A．假设三内角都不大于60°B．假设三内角都大于60°C．假设三内角至多有一个大于60°D．假设三内角至多有两个大于60°解析B “至少一个"的否定是“一个都没有"．2．若P＝错误!＋错误!，Q＝错误!＋错误!(a≥0),则P，Q的大小关系是( )A．P＞Q B。
P＝QC．P＜Q D。
由a的取值确定解析C ∵P2＝2a＋7＋2错误!，Q2＝2a＋7＋2错误!,∴P2＜Q2。
∵P＞0，Q＞0，∴P＜Q.3．（2013·绵阳模拟）已知函数f(x)＝lg错误!，若f(a)＝b，则f（－a)＝( )A．a B。
－bC。
错误! D.－错误!解析B ∵f(－x)＝lg错误!＝lg错误!－1＝－lg错误!＝－f（x)，∴f(x）为奇函数．∴f（－a)＝－f（a)＝－b.4．证明不等式错误!－错误!〈错误!－错误!（a≥2）所用的最适合的方法是( ）A．综合法B。
分析法C．间接证法D。
合情推理法解析B 欲比较错误!－错误!，错误!－错误!的大小,只需比较错误!＋错误!,错误!＋错误!，(错误!＋错误!）2＝2a－1＋2错误!·错误!，（错误!＋错误!）2＝2a－1＋2错误!·错误!，只需比较错误!·错误!,错误!·错误!的大小，以上证明不等式所用的最适合的方法是分析法，故选B。
5．设平面内有四边形ABCD和点O，且错误!＋错误!＝错误!＋错误!，则四边形ABCD为（)A．菱形 B.梯形C．矩形 D.平行四边形解析D 由错误!＋错误!＝错误!＋错误!，得错误!－错误!＝错误!－错误!,即错误!＝错误!，∴四边形ABCD 为平行四边形．6．(2013·河南调研)实数x ,y 满足4x ＋4y ＝2x ＋1＋2y ＋1，则t ＝2x ＋2y 的取值范围是( ） A ．0<t ≤2B 。
2014届高考理科数学第一轮复习导学案67
学案73 坐标系与参数方程导学目标： 1.了解坐标系的有关概念，理解简单图形的极坐标方程.2.会进行极坐标方程与直角坐标方程的互化.3.理解直线、圆及椭圆的参数方程，会进行参数方程与普通方程的互化，并能进行简单应用．自主梳理1．极坐标系的概念在平面上取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox ，叫做________；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个____________．设M 是平面上任一点，极点O 与点M 的距离OM 叫做点M 的________，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的________，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M 的__________，记作(ρ，θ)．2．极坐标和直角坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标为(ρ，θ)，则它们之间的关系为x ＝__________，y ＝__________.另一种关系为：ρ2＝__________，tan θ＝______________.3．简单曲线的极坐标方程(1)一般地，如果一条曲线上任意一点都有一个极坐标适合方程φ(ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程φ(ρ，θ)＝0的点都在曲线上，那么方程φ(ρ，θ)＝0叫做曲线的________________________________________________________________________．(2)常见曲线的极坐标方程 ①圆的极坐标方程____________表示圆心在(r,0)半径为|r |的圆；____________表示圆心在(r ，π2)半径为|r |的圆； ________表示圆心在极点，半径为|r |的圆． ②直线的极坐标方程________________表示过极点且与极轴成α角的直线； __________表示过(a,0)且垂直于极轴的直线；__________表示过(b ，π2)且平行于极轴的直线；ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)表示过(ρ0，θ0)且与极轴成α角的直线方程．4．常见曲线的参数方程 (1)直线的参数方程若直线过(x 0，y 0)，α为直线的倾斜角，则直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋l cos α，y ＝y 0＋l sin α.这是直线的参数方程，其中参数l 有明显的几何意义．(2)圆的参数方程若圆心在点M (a ，b )，半径为R ，则圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋r cos α，y ＝b ＋r sin α，0≤α<2π. (3)椭圆的参数方程中心在坐标原点的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φy ＝b sin φ(φ为参数)．(4)抛物线的参数方程抛物线y 2＝2px (p >0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt .自我检测1．(教材改编题)点M 的直角坐标为(－3，－1)，则它的极坐标为________．2．(原创题)在极坐标系中，点(ρ，θ)与(－ρ，π＋θ)的位置关系为________．3．(2011·陕西)在直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A ，B 分别在曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos θ，y ＝4＋sin θ(θ为参数)和曲线C 2：ρ＝1上，则|AB |的最小值为________．4．(2011·广州一模)在极坐标中，直线ρsin(θ＋π4)＝2被圆ρ＝4截得的弦长为________．5．(2010·陕西)已知圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin θ＝1，则直线l 与圆C 的交点的直角坐标为________________.探究点一 求曲线的极坐标方程例1 在极坐标系中，以(a 2，π2)为圆心，a2为半径的圆的方程为________．变式迁移1 如图，求经过点A (a,0)(a >0)，且与极轴垂直的直线l 的极坐标方程．探究点二 极坐标方程与直角坐标方程的互化 例2 (2009·辽宁)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1，M 、N分别为C 与x 轴，y 轴的交点．(1)写出C 的直角坐标方程，并求M 、N 的极坐标； (2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程．变式迁移 2 (2010·东北三校第一次联考)在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin(θ－π4)＝22，(1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 公共点的一个极坐标．探究点三 参数方程与普通方程的互化 例3 将下列参数方程化为普通方程：(1)⎩⎨⎧x ＝3k 1＋k 2y ＝6k 21＋k 2； (2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－sin 2θy ＝sin θ＋cos θ； (3)⎩⎨⎧x ＝1－t 21＋t 2y ＝t 1＋t.变式迁移3 化下列参数方程为普通方程，并作出曲线的草图． (1)⎩⎨⎧x ＝12sin 2θy ＝sin θ＋cos θ(θ为参数)；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1t y ＝1tt 2－1(t 为参数)．探究点四 参数方程与极坐标的综合应用例4 求圆ρ＝3cos θ被直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2ty ＝1＋4t (t 是参数)截得的弦长．变式迁移4 (2011·课标全国)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α.(α为参数)M 是C 1上的动点，P 点满足OP→＝2OM →，P 点的轨迹为曲线C 2. (1)求C 2的方程；(2)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝π3与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求|AB |.本节内容要注意以下两点：一、简单曲线的极坐标方程可结合极坐标系中ρ和θ的具体含义求出，也可利用极坐标方程与直角坐标方程的互化得出．同直角坐标方程一样，由于建系的不同，曲线的极坐标方程也会不同．在没有充分理解极坐标的前提下，可先化成直角坐标解决问题．二、在普通方程中，有些F (x ，y )＝0不易得到，这时可借助于一个中间变量(即参数)来找到变量x ，y 之间的关系．同时，在直角坐标系中，很多比较复杂的计算(如圆锥曲线)，若借助于参数方程来解决，将会大大简化计算量．将曲线的参数方程化为普通方程的关键是消去其中的参数，此时要注意其中的x ，y (它们都是参数的函数)的取值范围，也即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性．参数方程化普通方程常用的消参技巧有：代入消元、加减消元、平方后相加减消元等．同极坐标方程一样，在没有充分理解参数方程的前提下，可先化成直角坐标方程再去解决相关问题．(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．直角⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋at ，y ＝－1＋4t (t 为参数)恒过定点________．2．点M (5，π6)为极坐标系中的一点，给出如下各点的坐标：①(－5，－π6)；②(5，7π6)；③(－5，π6)；④(－5，－7π6)．其中可以作为点M 关于极点的对称点的坐标的是______(填序号)．3．在极坐标系中，若点A ，B 的坐标分别为(3，π3)，(4，－π6)，则AB ＝________，S △AOB ＝________.(其中O 是极点)4．(2011·广东)已知两曲线参数方程分别为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θ，y ＝sin θ(0≤θ<π)和⎩⎨⎧x ＝54t 2，y ＝t(t ∈R )，它们的交点坐标为________．5．(2011·天津)已知抛物线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8t2y ＝8t (t 为参数)．若斜率为1的直线经过抛物线C 的焦点，且与圆(x －4)2＋y 2＝r 2(r >0)相切，则r ＝________.6．(2010·广东韶关一模)在极坐标系中，圆心在(2，π)且过极点的圆的方程为________．7．(2009·安徽)以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，它与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)相交于两点A 和B ，则AB ＝________.8．(2010·广东深圳高级中学一模)在直角坐标系中圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos αy ＝2＋2sin α(α为参数)，若以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则圆C 的极坐标方程为________．二、解答题(共42分) 9．(14分)⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程分别为ρ＝4cos θ，ρ＝－4sin θ. (1)把⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过⊙O 1，⊙O 2交点的直线的直角坐标方程．10．(14分)(2011·江苏，21C)在平面直角坐标系xOy 中，求过椭圆⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝5cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)的右焦点，且与直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－2t ，y ＝3－t (t 为参数)平行的直线的普通方程．11．(14分)(2010·福建)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3－22t ，y ＝5＋22t(t 为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为ρ＝25sin θ.(1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于点A ，B .若点P 的坐标为(3，5)，求P A ＋PB .学案73 坐标系与参数方程答案自主梳理 1．极轴 极坐标系 极径 极角 极坐标 2.ρcos θ ρsin θ x 2＋y 2 yx (x ≠0) 3.(1)极坐标方程 (2)①ρ＝2r cos θ ρ＝2r sin θ ρ＝r ②θ＝α(ρ∈R ) ρcos θ＝a ρsin θ＝b自我检测1．(2，76π)(答案不唯一) 2．重合 3．3解析 ∵C 1：(x －3)2＋(y －4)2＝1，C 2：x 2＋y 2＝1， ∴两圆心之间的距离为d ＝32＋42＝5.∵A ∈曲线C 1，B ∈曲线C 2，∴|AB |min ＝5－2＝3. 4．4 3解析 直线ρsin(θ＋π4)＝2可化为x ＋y －22＝0，圆ρ＝4可化为x 2＋y 2＝16，由圆中的弦长公式得2r 2－d 2＝242－(222)2＝4 3.5．(－1,1)，(1,1) 解析 ∵y ＝ρsin θ，∴直线l 的直角坐标方程为y ＝1. 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α得x 2＋(y －1)2＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝1，x 2＋(y －1)2＝1得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.∴直线l 与圆C 的交点的直角坐标为(－1,1)和(1,1)． 课堂活动区例1 解题导引 求曲线的极坐标方程的步骤：①建立适当的极坐标系，设P (ρ，θ)是曲线上任意一点；②由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式；③将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线上的极坐标方程；④证明所得方程就是曲线的极坐标方程，若方程的推导过程正确，化简过程都是同解变形，这一证明可以省略．答案 ρ＝a sin θ，0≤θ<π解析 圆的直径为a ，设圆心为C ，在圆上任取一点A (ρ，θ)，则∠AOC ＝π2－θ或θ－π2，即∠AOC ＝|θ－π2|.又ρ＝a cos ∠AOC ＝a cos|θ－π2|＝a sin θ. ∴圆的方程是ρ＝a sin θ，0≤θ<π.变式迁移1 解 设P (ρ，θ)是直线l 上任意一点，OP cos θ＝OA ，即ρcos θ＝a ，故所求直线的极坐标方程为ρcos θ＝a .例2 解题导引 直角坐标方程化为极坐标方程比较容易，只要运用公式x ＝ρcos θ及y ＝ρsin θ直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些，解此类问题常通过变形，构造形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，进行整体代换．其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法．但对方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验．解 (1)由ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1得ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos θ＋32sin θ＝1. 从而C 的直角坐标方程为12x ＋32y ＝1，即x ＋3y ＝2，当θ＝0时，ρ＝2，所以M (2,0)．当θ＝π2时，ρ＝233，所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π2. (2)M 点的直角坐标为(2,0)．N 点的直角坐标为(0，233)．所以P 点的直角坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，33，则P 点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π6， 所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6，ρ∈(－∞，＋∞)． 变式迁移2 解 (1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ， 圆O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝x ＋y ， 即x 2＋y 2－x －y ＝0.直线l ：ρsin(θ－π4)＝22，即ρsin θ－ρcos θ＝1， 则直线l 的直角坐标方程为y －x ＝1， 即x －y ＋1＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－x －y ＝0，x －y ＋1＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1.故直线l 与圆O 公共点的一个极坐标为(1，π2)．例3 解题导引 参数方程通过消去参数化为普通方程．对于(1)直接消去参数k 有困难，可通过两式相除，先降低k 的次数，再运用代入法消去k ；对于(2)可运用恒等式(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ消去θ；对于(3)可运用恒等式(1－t 21＋t 2)2＋(2t 1＋t 2)2＝1消去t .另外，参数方程化为普通方程时，不仅要消去参数，还应注意普通方程与原参数方程的取值范围保持一致．解 (1)两式相除，得k ＝y 2x .将k ＝y2x 代入，得x ＝3·y 2x1＋(y 2x )2.化简，得所求的普通方程是4x 2＋y 2－6y ＝0(y ≠6)． (2)由(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝2－(1－sin 2θ)， 得y 2＝2－x .又x ＝1－sin 2θ∈[0,2]，得所求的普通方程是y 2＝2－x ，x ∈[0,2]．(3)由(1－t 21＋t 2)2＋(2t 1＋t 2)2＝1，得x 2＋4y 2＝1.又x ＝1－t21＋t 2≠－1，得所求的普通方程是x 2＋4y 2＝1(x ≠－1)．变式迁移3 解 (1)由y 2＝(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝1＋2x ，得y 2＝2x ＋1.∵－12≤12sin 2θ≤12，∴－12≤x ≤12.∵－2≤sin θ＋cos θ≤2，∴－2≤y ≤ 2. 故所求普通方程为y 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12 (－12≤x ≤12，－2≤y ≤2)，图形为抛物线的一部分．图形如图甲所示．(2)由x 2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1t t 2－12＝1及x ＝1t ≠0，xy ＝t 2－1t 2≥0知，所求轨迹为两段圆弧x 2＋y 2＝1 (0<x ≤1,0≤y <1或－1≤x <0，－1<y ≤0)．图形如图乙所示．例4 解题导引 一般将参数方程化为普通方程，极坐标方程化成直角坐标方程解决．解 将极坐标方程转化成直角坐标方程：ρ＝3cos θ即：x 2＋y 2＝3x ，即(x －32)2＋y 2＝94. ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2t y ＝1＋4t 即：2x －y －3＝0. 所以圆心到直线的距离d ＝|2×32－0－3|22＋(－1)2＝0， 即直线经过圆心，所以圆被直线截得的弦长为3.变式迁移4 解 (1)设P (x ，y )，则由条件知M (x 2，y2)．由于M 点在C 1上，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2cos α，y2＝2＋2sin α，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α. 从而C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α.(α为参数)(2)曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝8sin θ.射线θ＝π3与C 1的交点A 的极径为ρ1＝4sin π3，射线θ＝π3与C 2的交点B 的极径为ρ2＝8sin π3. 所以|AB |＝|ρ2－ρ1|＝2 3. 课后练习区 1．(3，－1)解析 由题知，x －3＝a4(y ＋1)，∴恒过定点(3，－1)． 2．②③ 3．5 6解析 ∵∠AOB ＝π2，∴∠AOB 为直角三角形．∴AB ＝32＋42＝5，S △AOB ＝12×3×4＝6.4．(1，255)解析 将两曲线的参数方程化为一般方程分别为x 25＋y 2＝1(0≤y ≤1，－5<x ≤5)和y 2＝45x ，联立解得交点坐标为(1，255)． 5. 2解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8t 2，y ＝8t 得y 2＝8x ，抛物线C 的焦点坐标为F (2,0)，直线方程为y ＝x －2，即x －y －2＝0.因为直线y ＝x －2与圆(x －4)2＋y 2＝r 2相切，由题意得r ＝|4－0－2|2＝ 2.6．ρ＝－22cos θ解析 如图，O 为极点，OB 为直径，A (ρ，θ)，则∠ABO ＝θ－90°，OB ＝22＝ρsin (θ－90°)，化简得ρ＝－22cos θ. 7．14解析 直线的极坐标方程为θ＝π4(且ρ∈R )，故其直角坐标系下对应的方程为y ＝x ，参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)的直角坐标系下对应的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝4.圆心(1,2)到直线y ＝x 的距离为22.又半径为2，故弦长为24－12＝14. 8．ρ＝4sin θ解析 由参数方程消去α得圆C 的方程为x 2＋(y －2)2＝4，将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入得(ρcos θ)2＋(ρsin θ－2)2＝4，整理得ρ＝4sin θ.9．解 以极点为原点，极轴为x 轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位．(1分)(1)x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，由ρ＝4cos θ 得ρ2＝4ρcos θ，所以x 2＋y 2＝4x .即x 2＋y 2－4x ＝0为⊙O 1的直角坐标系方程，(4分) 同理x 2＋y 2＋4y ＝0为⊙O 2的直角坐标系方程．(7分)(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－4x ＝0，x 2＋y 2＋4y ＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝0，y 1＝0， ⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2，y 2＝－2.(11分)即⊙O 1，⊙O 2交于点(0,0)和(2，－2)，过交点的直线的直角坐标系方程为y ＝－x .(14分)10．解 由题设知，椭圆的长半轴长a ＝5，短半轴长b ＝3，从而c ＝a 2－b 2＝4，所以右焦点为(4,0)．将已知直线的参数方程化为普通方程：x －2y ＋2＝0.(6分)故所求直线的斜率为12，因此其方程为y ＝12(x －4)，(8分)即x －2y －4＝0.(14分)11．解 方法一 (1)ρ＝25sin θ，得x 2＋y 2－25y ＝0， 即x 2＋(y －5)2＝5.(6分)(2)将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得(3－22t )2＋(22t )2＝5，即t 2－32t ＋4＝0.(8分) 由于Δ＝(32)2－4×4＝2>0，故可设t 1，t 2是上述方程的两实根，所以⎩⎪⎨⎪⎧t 1＋t 2＝32，t 1t 2＝4.(10分)又直线l 过点P (3，5)，故由上式及t 的几何意义得P A ＋PB ＝|t 1|＋|t 2|＝t 1＋t 2＝3 2. (14分)方法二 (1)同方法一． (6分) (2)因为圆C 的圆心为点(0，5)，半径r ＝5，直线l 的普通方程为y ＝－x ＋3＋ 5.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋(y －5)2＝5，y ＝－x ＋3＋5得x 2－3x ＋2＝0. 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝2＋5或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1＋ 5.(10分)不妨设A (1,2＋5)，B (2,1＋5)，又点P 的坐标为(3，5)， 故PA ＋PB ＝8＋2＝3 2. (14分)。
2014《创优导学案》高考数学总复习(人教新课标)配套课后巩固提升：第六章 不等式 6-7含解析
（对应学生用书P297解析为教师用书独有）(时间:45分钟满分：100分）一、选择题(本大题共6小题,每小题6分，共36分)1．用数学归纳法证明1＋错误!＋错误!＋…＋错误!＜n(n∈N*，n＞1）时，第一步应验证的不等式为（A．1＋错误!＜3 B。
1＋错误!＋错误!＜2C．1＋错误!＋错误!＜3 D。
1＋错误!＋错误!＋错误!＜3解析B ∵n＞1，∴当n＝2时不等式为1＋错误!＋错误!＜2.2．(2013·郑州质检）设f（n）＝错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!（n∈N＊），那么f(n＋1）－f(n）等于（A.错误!B.错误!C。
错误!＋错误!D。
错误!＋错误!－错误!解析D f（n＋1）＝错误!＋错误!＋…＋错误!＋错误!＋错误!＝错误!＋错误!＋…＋错误!＋错误!＋错误!－错误!＝f(n）＋错误!＋错误!－错误!.3．用数学归纳法证明“n3＋(n＋1）3＋(n＋2)3（n∈N＊)能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k＋1（k∈N*）时的情况，只需展开（)A．（k＋3)3 B.（k＋2）3C．(k＋1)3 D.(k＋1)2＋(k＋2）3解析A 假设n＝k(k∈N*)时，k3＋（k＋1）3＋（k＋2)3能被9整除,当n＝k＋1时，需证(k＋1)3＋(k＋2）3＋(k＋3)3能被9整除,为了能用上面的归纳假设证明，只需将(k＋3）3展开，让其出现k3即可．4．已知f（n)＝错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!，则A．f（n）中共有n项，当n＝2时,f(2）＝错误!＋错误!B．f（n)中共有n＋1项，当n＝2时，f（2）＝错误!＋错误!＋错误!C．f（n)中共有n2－n项，当n＝2时,f(2）＝错误!＋错误!D．f(n）中共有n2－n＋1项,当n＝2时，f（2)＝错误!＋错误!＋错误!解析D 从n到n2共有n2－n＋1个数，所以f（n)中共有n2－n＋1项,当n＝2时，f（2）＝12＋错误!＋错误!。
2014《创优导学案》高考数学总复习(人教新课标)配套课后巩固提升：第六章 不等式 6-3含解析
(对应学生用书P 305 解析为教师用书独有)（时间：45分钟 满分：100分)一、选择题（本大题共6小题，每小题6分,共36分)1．若不等式组错误!表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是( ) A ．a ≥43B 。
0<a ≤1C ．1≤a ≤错误!D 。
0<a ≤1或a ≥错误!解析 D 由约束条件的可行域是如图所示的阴影区域，观察得0<a ≤1或a ≥错误!.2．(2013·合肥调研）设双曲线x 2－y 2＝1的两条渐近线与直线x ＝错误!围成的三角形区域（包含边界)为D ，P (x ，y )为D 内的一个动点，则目标函数z ＝x －2y 的最小值为A ．－2B.－错误! C ．0 D.错误!解析B 作出可行域OAB，如图所示,作直线l0：x－2y＝0，平移l0至l，使l过点A时z有最小值，z min＝错误!－2×错误!＝－错误!。
3．已知变量x，y满足约束条件错误!则错误!的取值范围是( )A。
错误!B。
错误!∪[6，＋∞)C．(－∞，3]∪[6,＋∞) D.[3,6］解析A 作出可行域如图△ABC，错误!表示可行域上点M到原点O连线的斜率k，∴k OA≤k≤k OB,∴错误!≤k≤6.4．（2011·广东高考）已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组错误!给定．若M(x，y）为D上的动点，点A的坐标为(错误!，1）,则z＝错误!·错误!的最大值为（A．3 B。
4C．3错误!D。
4错误!解析B画出区域D，如图中阴影部分所示，而z＝错误!·错误!＝错误!x＋y,∴y＝－2x＋z，令l0:y＝－错误!x,将l0平移到过点(错误!，2）时，截距z有最大值，故z max＝错误!×错误!＋2＝4。
5．在平面直角坐标系中，若不等式组错误!(a为常数)所表示的平面区域的面积为2，则a的值为( A．－5 B.1C．2 D。
【创优导学案】高考数学总复习 第六章 不等式 65课后巩固提升(含解析)
【创优导学案】2014届高考数学总复习 第六章 不等式 6-5课后巩固提升（含解析）新人教A 版(对应学生用书P 301 解析为教师用书独有)(时间：45分钟 满分：100分)一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分)1．已知{b n }为等比数列，b 5＝2，则b 1·b 2·b 3·b 4·b 5·b 6·b 7·b 8·b 9＝29.若{a n }为等差数列，a 5＝2，则{a n }的类似结论为( )A ．a 1·a 2·a 3·…·a 9＝29B ．a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 9＝29C ．a 1·a 2·a 3·…·a 9＝2×9D ．a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 9＝2×9解析 D 根据等差数列中“若m ＋n ＝p ＋q (m 、n 、p 、q ∈N *)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ”，等比数列中“若m ＋n ＝p ＋q (m 、n 、p 、q ∈N *)，则a m ·a n ＝a p ·a q ”，可得a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 9＝2×9.2．已知扇形的弧长为l ，半径为r ，类比三角形的面积公式S ＝底×高2，可推知扇形面积公式S 扇等于( )A.r 22 B.l 22 C.lr2D.不可类比解析 C 可将扇形的弧长与三角形的底边相类比，将扇形的半径与三角形的高相类比． 3．定义A *B ，B *C ，C *D ，D *B 分别对应下列图形：那么下列图形中，可以分别表示A *D ，A *C 的是( )A ．①② B.②③ C ．②④D.①④解析 C 依据条件可知：A 为、B 为、C 为———、D 为，∴A *D ，A *C 分别对应②，④.4．已知x ∈R ＋，有不等式x ＋1x≥2x ·1x ＝2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x 2≥33x 2·x 2·4x2＝3，…，启发我们可以推广为x ＋axn ≥n ＋1(n ∈N *，a ＞0)，则a 的值为 ( )A ．n nB.2nC ．n 2D.2n －1解析 A 由前面两个式子可得5．如果f (x ＋y )＝f (x )·f (y )，且f (1)＝1，则f f＋f f＋…＋f f＋f f等于( )A ．1 005 B.1 007 C ．2 007D.2 010解析 B ∵f (x ＋y )＝f (x )·f (y )，∴f n ＋f n＝f (1)＝1，∴f f＋f f＋…＋f f＝1 007.6．(2013·太原模拟)如图是网络工作者用来解释网络运作的蛇形模型：数字1出现在第一行；数字2,3出现在第二行；数字6,5,4(从左到右)出现在第三行；数字7,8,9,10出现在第四行，依此类推数字2 011出现在( )A ．第63行，从左到右第5个数B ．第63行，从左到右第6个数C ．第63行，从左到右第7个数D ．第63行，从左到右第8个数 解析 B 从第1行到第63行共有数字＋2＝2 016，依据蛇形模型的规律，数字2 011在第63行，从左到右第6个数．二、填空题(本大题共3小题，每小题8分，共24分) 7．(2011·山东高考)设函数f (x )＝xx ＋2(x >0)，观察：f 1(x )＝f (x )＝xx ＋2，f 2(x )＝f (f 1(x ))＝x3x ＋4， f 3(x )＝f (f 2(x ))＝x7x ＋8， f 4(x )＝f (f 3(x ))＝x15x ＋16，…根据以上事实，由归纳推理可得：当n ∈N *且n ≥2时，f n (x )＝f (f n －1(x ))＝________.解析 观察f 2(x )，f 3(x )，f 4(x )的解析式特征即可归纳出一般解析式． 【答案】x－x ＋28．(2013·兰州模拟)在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．解析 棱长比与面积比→棱比与体积比面积比是棱长比的平方，体积比是棱长比的立方，可知它们的体积比为1∶8.【答案】 1∶89．给出下列不等式：1＋12＋13>1,1＋12＋13＋…＋17>32，1＋12＋13＋…＋115>2，…，则按此规律可猜想第n 个不等式为____________．解析 观察不等式左边最后一项的分母3,7,15，…，通项为2n ＋1－1，不等式右边为首项为1，公差为12的等差数列，故猜想第n 个不等式为1＋12＋13＋14＋…＋12n ＋1－1>n ＋12.【答案】 1＋12＋13＋14＋…＋12n ＋1－1>n ＋12三、解答题(本大题共3小题，共40分)10．(12分)如图，已知空间四边形ABCD 中，点E 、F 分别是AB 、AD 的中点．求证：EF ∥平面BCD .解析 因为点E 、F 分别是AB 、AD 的中点，所以EF ∥BD . 又因为EF ⊄平面BCD ，BD ⊂平面BCD ， 所以EF ∥平面BCD .11．(12分)若函数f (x )＝e x ＋e －x 2，g (x )＝e x －e－x2，分别计算g (4)－2f (2)g (2)和g (6)－2f (3)g (3)的值，由此归纳出函数f (x )和g (x )的对于所有实数x 都成立的一个等式，并加以证明．解析 g (4)－2f (2)g (2)＝0，g (6)－2f (3)g (3)＝0， 由此归纳出g (2x )－2f (x )g (x )＝0. 证明如下：g (2x )－2f (x )g (x )＝e 2x－e－2x2－2·e x ＋e －x 2·e x －e －x2＝e 2x－e －2x2－e 2x －e－2x2＝0.12．(16分)已知函数f (x )＝x 21＋x2，(1)分别求f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，f (4)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14的值； (2)归纳猜想一般性结论，并给出证明；(3)求值：f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 013)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 013.解析 (1)∵f (x )＝x 21＋x2，∴f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝221＋22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1221＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝221＋22＋122＋1＝1， 同理可得f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝1，f (4)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝1. (2)由(1)猜想f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1，证明：f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x 21＋x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＝x 21＋x2＋1x 2＋1＝1.(3)由(2)可，得原式＝f (1)＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋…＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 013 ＝f (1)＋2 012＝12＋2 012＝4 0252.。
2014《创优导学案》高考数学总复习(人教新课标)配套课后巩固提升：第六章 不等式 6-5含解析
(对应学生用书P301解析为教师用书独有)(时间:45分钟满分：100分）一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分)1．已知｛b n｝为等比数列，b5＝2，则b1·b2·b3·b4·b5·b6·b7·b8·b9＝29.若｛a n｝为等差数列，a5＝2，则{a n}的类似结论为( )A．a1·a2·a3·…·a9＝29B．a1＋a2＋a3＋…＋a9＝29C．a1·a2·a3·…·a9＝2×9D．a1＋a2＋a3＋…＋a9＝2×9解析D 根据等差数列中“若m＋n＝p＋q(m、n、p、q∈N＊)，则a m＋a n＝a p＋a q",等比数列中“若m＋n＝p＋q（m、n、p、q∈N＊），则a m·a n＝a p·a q”，可得a1＋a2＋a3＋…＋a9＝2×9。
2．已知扇形的弧长为l,半径为r，类比三角形的面积公式S＝错误!，可推知扇形面积公式S扇等于(A。
错误! B.错误!C。
错误!D。
不可类比解析C 可将扇形的弧长与三角形的底边相类比，将扇形的半径与三角形的高相类比．3．定义A*B，B*C，C＊D，D＊B分别对应下列图形：那么下列图形中，可以分别表示A*D,A*C的是A．①②B。
②③C．②④ D.①④解析C 依据条件可知:A为、B为、C为-——、D为，∴A*D，A*C分别对应②，④.4．已知x∈R＋，有不等式x＋错误!≥2错误!＝2，x＋错误!＝错误!＋错误!＋错误!≥3错误!＝3，…,启发我们可以推广为x＋错误!≥n＋1(n∈N＊，a ＞0)，则a的值为( ）A．n n B。
2nC．n2D。
2n－1解析A 由前面两个式子可得5．如果f （x ＋y ）＝f (x )·f (y )，且f （1)＝1，则错误!＋错误!＋…＋f 2 012f 2 011＋f 2 014f 2 013等于 (A ．1 005B.1 007 C ．2 007 D.2 010 解析 B ∵f (x ＋y )＝f (x )·f （y ），∴错误!＝f （1)＝1,∴错误!＋错误!＋…＋错误!＝1 007.6．(2013·太原模拟）如图是网络工作者用来解释网络运作的蛇形模型：数字1出现在第一行；数字2,3出现在第二行；数字6,5，4（从左到右)出现在第三行；数字7,8，9,10出现在第四行，依此类推数字2 011出现在 ( ）A ．第63行，从左到右第5个数B ．第63行，从左到右第6个数C ．第63行,从左到右第7个数D．第63行,从左到右第8个数解析B 从第1行到第63行共有数字错误!＝2 016，依据蛇形模型的规律,数字2 011在第63行，从左到右第6个数．二、填空题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）7．（2011·山东高考）设函数f（x)＝错误!（x>0）,观察：f1(x）＝f（x)＝xx＋2，f2(x)＝f（f1（x))＝x 3x＋4,f3（x）＝f（f2（x))＝错误!，f4(x）＝f(f3（x）)＝错误!，…根据以上事实，由归纳推理可得：当n∈N＊且n≥2时，f n（x)＝f(f n－1（x))＝________。
2014《创优导学案》高考数学总复习(人教新课标)配套课后巩固提升：第六章 不等式 6-2含解析
（对应学生用书P 307 解析为教师用书独有)（时间:45分钟 满分：100分)一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分)1．设集合S ＝｛x ｜－5<x 〈5},T ＝｛x ｜x 2＋4x －21<0}，则S ∩T ＝ ( ）A ．{x |－7<x 〈－5｝ B.｛x ｜3〈x <5｝C ．｛x |－5<x <3} D.{x ｜－7<x 〈5｝解析 C ∵S ＝{x |－5<x <5}，T ＝｛x ｜－7〈x 〈3｝,∴S ∩T ＝｛x |－5〈x 〈3｝．2．不等式x ＋1x －2≥0的解集是 (A ．{x |x ≤－1或x ≥2｝ B.｛x ｜x ≤－1或x 〉2｝C ．｛x |－1≤x ≤2｝D 。
{x ｜－1≤x <2}解析 B 错误!≥0⇔错误!⇔x >2或x ≤－1.3．（2013·四川模拟)若集合A ＝{x |｜x －2｜≤3，x ∈R }，B ＝｛y |y ＝1－x 2，x ∈R }，则A ∩B ＝（A ．[0，1]B.[0，＋∞) C ．[－1,1] D 。
∅解析C 由｜x－2|≤3，得－1≤x≤5,即A＝{x|－1≤x≤5}；B＝｛y|y≤1}．故A∩B＝［－1,1］．4．若对任意实数x,不等式a(x2＋1）≥3－5x＋3x2都成立，则实数a的取值范围是（)A.错误!B.错误!C.错误!∪(3，＋∞) D。
错误!∪错误!解析A ∵对x∈R,a（x2＋1)≥3－5x＋3x2都成立．∴（a－3）x2＋5x＋a－3≥0对x∈R恒成立，即错误!解得a≥错误!.故选A。
5．在R上定义运算⊙：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙（x－2）〈0的实数x的取值范围是（A．（0，2） B.(－2，1）C．（－∞，－2)∪（1，＋∞）D。
(－1,2）解析B ∵a⊙b＝ab＋2a＋b，∴x⊙(x－2）＝x（x－2）＋2x＋x－2＝x2＋x－2，∴x⊙（x－2）〈0化为x2＋x－2<0⇔－2<x<1.6．（2013·安庆模拟）若不等式ax2＋bx＋c〉0的解集是（－4,1),则不等式b（x2－1）＋a(x＋3)＋c〉0的解集为A.错误!B。
【创优导学案】高考数学总复习 第六章 不等式 64课后巩固提升(含解析)
【创优导学案】2014届高考数学总复习 第六章 不等式 6-4课后巩固提升（含解析）新人教A 版(对应学生用书P 303 解析为教师用书独有)(时间：45分钟 满分：100分)一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分) 1．已知m >0，n >0且mn ≥81，则m ＋n 的最小值为 ( )A ．18 B.36 C ．81D.243解析 A ∵m >0，n >0，mn ≥81，∴mn ≥9. ∴m ＋n ≥2mn ≥18.2．若实数a ，b 满足a ＋b ＝2，则3a＋3b的最小值为 ( )A ．18 B.6 C ．2 3D.243解析 B ∵3a>0,3b>0，∴3a＋3b≥23a ·3b＝2×3＝6，当且仅当a ＝b ，即a ＝b ＝1时，取“＝”，故选B.3．(2011·上海高考)若a ，b ∈R ，且ab >0.则下列不等式中，恒成立的是 ( ) A ．a 2＋b 2>2ab B.a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b>2abD.b a ＋ab≥2解析 D 由ab >0，可知a 、b 同号．当a <0，b <0时，B 、C 不成立；当a ＝b 时，由不等式的性质可知，A 不成立，D 成立．4．已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为 ( )A.13B.12C.34D.23解析 B ∵0<x <1，∴1－x >0.∴x (3－3x )＝3x (1－x )≤3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1－x 22＝34.当且仅当x ＝1－x ，即x ＝12时取等号． 5．已知x <54，则函数y ＝4x －2＋14x －5的最大值是( )A ．2 B.3 C ．1D.12解析 C ∵x <54，∴4x －5<0，∴－(4x －5)－14x －5≥2－4x15－4x ＝2，当且仅当－(4x －5)＝－14x －5，即x ＝1时，取“＝”，∴－(4x －5)－14x －5的最小值为2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －5＋14x －5max ＝－2， ∴y ＝4x －5＋14x －5＋3≤1，当且仅当x ＝1时，取“＝”．6．函数y ＝x 2＋2x ＋2x ＋1(x >－1)的图象最低点坐标是( ) A ．(1,2)B.(1，－2) C ．(1,1)D.(0,2) 解析 D ∵x >－1，∴y ＝x ＋2＋1x ＋1＝(x ＋1)＋1x ＋1≥2x ＋1x ＋1＝2，当且仅当x ＋1＝1x ＋1时，即x ＝0时，取等号，∴y min ＝2，故最低点的坐标为(0,2)． 二、填空题(本大题共3小题，每小题8分，共24分)7．已知x >1，y >1，且lg x ＋lg y ＝4，则lg x ·lg y 的最大值是________． 解析 ∵x >1，y >1，∴lg x >0，lg y >0，∴lg x ·lg y ≤⎝⎛⎭⎪⎫lg x ＋lg y 22＝4，当且仅当lg x ＝lg y ，即x ＝y ＝100时，取等号，∴(lg x ·lg y )max ＝4.【答案】 4 8．函数y ＝a1－x(a >0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny －1＝0(mn >0)上，则1m ＋1n的最小值为________．解析 ∵y ＝a1－x恒过点A (1,1)，又∵A 在直线上，∴m ＋n ＝1.而1m ＋1n ＝m ＋n m ＋m ＋n n ＝2＋n m ＋mn≥2＋2n m ·m n ＝4，当且仅当m ＝n ＝12时，取“＝”，∴1m ＋1n的最小值为4.【答案】 49．(2013·浙江五校联考)已知x >0，y >0，x ＋y ＋xy ＝8，则x ＋y 的最小值是________． 解析 xy ＝－(x ＋y )＋8≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22，当且仅当x ＝y ＝2时，取等号，∴(x ＋y )2＋4(x ＋y )－32≥0，即(x ＋y ＋8)(x ＋y －4)≥0，∵x >0，y >0，∴x ＋y ≥4，当且仅当x ＝y ＝2时取等号．【答案】 4三、解答题(本大题共3小题，共40分)10．(12分)已知a >0，b >0，c >0，且a ＋b ＋c ＝1. 求证：1a ＋1b ＋1c≥9.解析 ∵a >0，b >0，c >0，且a ＋b ＋c ＝1，∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c ＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c ≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，取等号．11．(12分)已知M 是△ABC 内的一点，且AB →·AC →＝23，∠BAC ＝30°，若△MBC ，△MCA 和△MAB 的面积分别为12，x ，y ，求1x ＋4y的最小值．解析 由已知得AB →·AC →＝bc cos ∠BAC ＝23⇒bc ＝4，故S △ABC ＝x ＋y ＋12＝12bc sin ∠BAC＝1⇒x ＋y ＝12，而1x ＋4y＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ×(x ＋y )＝2⎝⎛⎭⎪⎫5＋y x＋4x y ≥2⎝⎛⎭⎪⎫5＋2y x ×4x y ＝18，当且仅当y x ＝4x y ，即x ＝16，y ＝13时，等号成立．故1x ＋4y的最小值是18.12．(16分)经长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路汽车的车流量y (千辆/时)与汽车的平均速度v (千米/时)之间的函数关系为y ＝920vv 2＋3v ＋1 600(v >0)．(1)在这时段内，当汽车的平均速度v 为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？ (2)若要求在该时段内车流量超过10(千辆/时)，则汽车的平均速度应在什么范围内？ 解析 (1)y ＝920vv 2＋3v ＋1 600＝920v ＋1 600v＋3≤9203＋2 1 600＝92083，当且仅当v ＝1 600v，即v ＝40时，等号成立，∴y max ＝92083.故当汽车的平均速度为40千米/时时，车流量最大为92083千辆/时．(2)由题意得920vv 2＋3v ＋1 600>10，整理得v 2－89v ＋1 600<0，即(v －25)(v －64)<0， 解得25<v <64.故汽车的平均速度在25千米/时至64千米/时之间时，车流量超过10千辆/时．。
【创优导学案】高考数学总复习 第六章 不等式 67课后巩固提升(含解析)
【创优导学案】2014届高考数学总复习 第六章 不等式 6-7课后巩固提升（含解析）新人教A 版(对应学生用书P 297 解析为教师用书独有)(时间：45分钟 满分：100分)一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分)1．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1＜n (n ∈N *，n ＞1)时，第一步应验证的不等式为( )A ．1＋12＜3B.1＋12＋13＜2C ．1＋12＋13＜3D.1＋12＋13＋14＜3解析 B ∵n ＞1，∴当n ＝2时不等式为1＋12＋13＜2.2．(2013·郑州质检)设f (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n (n ∈N *)，那么f (n ＋1)－f (n )等于( )A.12n ＋1B.12n ＋2C.12n ＋1＋12n ＋2D.12n ＋1＋12n ＋2－1n解析 D f (n ＋1)＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＋12n ＋1＋12n ＋2＝1n ＋1n ＋1＋…＋12n ＋12n ＋1＋12n ＋2－1n＝f (n )＋12n ＋1＋12n ＋2－1n.3．用数学归纳法证明“n 3＋(n ＋1)3＋(n ＋2)3(n ∈N *)能被9整除”，要利用归纳假设证n ＝k ＋1(k ∈N *)时的情况，只需展开( )A ．(k ＋3)3B.(k ＋2)3C ．(k ＋1)3D.(k ＋1)2＋(k ＋2)3解析 A 假设n ＝k (k ∈N *)时，k 3＋(k ＋1)3＋(k ＋2)3能被9整除，当n ＝k ＋1时，需证(k ＋1)3＋(k ＋2)3＋(k ＋3)3能被9整除，为了能用上面的归纳假设证明，只需将(k ＋3)3展开，让其出现k 3即可．4．已知f (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋ (1)2，则( )A ．f (n )中共有n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13B ．f (n )中共有n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14C ．f (n )中共有n 2－n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13D ．f (n )中共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14解析 D 从n 到n 2共有n 2－n ＋1个数，所以f (n )中共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14.故选D. 5．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n 2＝n 4＋n 22，则当n ＝k ＋1时，左端应在n ＝k 的基础上加上( )A ．k 2＋1 B ．(k ＋1)2C.k ＋4＋k ＋22D ．(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋(k 2＋3)＋…＋(k ＋1)2解析 D 当n ＝k 时，等式左端＝1＋2＋…＋k 2，当n ＝k ＋1时，等式左端＝1＋2＋…＋k 2＋(k 2＋1)＋…＋(k ＋1)2，故选D.6．在数列{a n }中，a 1＝13，且S n ＝n (2n －1)a n ，通过求a 2，a 3，a 4，猜想a n 的表达式为A.1n －n ＋ B.12nn ＋C.1n －n ＋D.1n ＋n ＋解析 C 由a 1＝13，S n ＝n (2n －1)a n ，求得a 2＝115＝13×5，a 3＝135＝15×7，a 4＝163＝17×9，猜想a n ＝1n －n ＋.二、填空题(本大题共3小题，每小题8分，共24分)7．(2013·贵阳模拟)用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n ＋y n能被x ＋y 整除”，当第二步假设n ＝2k －1(k ∈N *)命题为真时，进而需证n ＝________时，命题亦真．解析 因为n 为正奇数，所以与2k －1相邻的下一个奇数是2k ＋1. 【答案】 2k ＋18．用数学归纳法证明“n 3＋5n (n ∈N *)能被6整除”的过程中，当n ＝k ＋1(k ∈N *)时，式子(k ＋1)3＋5(k ＋1)应变形为________．解析 (k ＋1)3＋5(k ＋1)＝k 3＋3k 2＋3k ＋1＋5k ＋5 ＝k 3＋5k ＋3k 2＋3k ＋6＝k 3＋5k ＋3k (k ＋1)＋6. 【答案】 k 3＋5k ＋3k (k ＋1)＋69．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n ·3n －1＝3n (na －b )＋c 对一切n ∈N *都成立，则a ＝________，b ＝________，c ＝________.解析 分别令n ＝1,2,3，得⎩⎪⎨⎪⎧1＝a －b ＋c ，1＋2×3＝a －b ＋c ，1＋2×3＋3×32＝a －b ＋c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝14，c ＝14.【答案】 12 14 14三、解答题(本大题共3小题，共40分)10．(12分)用数学归纳法证明：平面内有n 个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都不相交于同一点，则这n 个圆将平面分成n 2－n ＋2个部分．解析 ①当n ＝1时，一个圆把平面分成两部分，12－1＋2＝2，命题成立．②假设当n ＝k (k ∈N *)时命题成立，即k 个圆把平面分成k 2－k ＋2个部分，则当n ＝k ＋1时，这k ＋1个圆中的k 个圆把平面分成了k 2－k ＋2个部分，第k ＋1个圆被前k 个圆分成2k 条弧，每条弧把它所在的部分分成了两部分，这时共增加了2k 个部分，即k ＋1个圆把平面分成(k2－k ＋2)＋2k ＝(k ＋1)2－(k ＋1)＋2个部分，这说明当n ＝k ＋1时命题也成立．由①②知，对一切n ∈N *，命题都成立．11．(12分)设n ∈N *，n >1，求证：1＋12＋13＋…＋1n>n .解析 (1)当n ＝2时， 不等式左边＝1＋12>2＝右边．(2)假设n ＝k (k >1，k ∈N *)时，不等式成立， 即1＋12＋13＋…＋1k>k ， 那么当n ＝k ＋1时， 有1＋12＋13＋…＋1k ＋1k ＋1>k ＋1k ＋1＝k k ＋1＋1k ＋1>k 2＋1k ＋1＝k ＋1k ＋1＝k ＋1. 所以当n ＝k ＋1时，不等式也成立． 由(1)(2)可知对任何n ∈N *，n >1，1＋12＋13＋…＋1n>n 均成立．12．(16分)已知函数f (x )＝x 2＋x －1，α、β是方程f (x )＝0的两个根(α>β)，f ′(x )是f (x )的导数，设a 1＝1，a n ＋1＝a n －f a nf a n(n ＝1,2，…)．(1)求α、β的值；(2)证明对任意的正整数n ，都有a n >α. 解析 (1)由x 2＋x －1＝0得x ＝－1±52.∵α>β，∴α＝－1＋52，β＝－1－52.(2)①当n ＝1时，a 1＝1>5－12，命题成立； ②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，命题成立， 即a k >5－12， ∴a k ＋1＝a 2k ＋12a k ＋1＝a k ＋122＋58a k ＋12－12≥2·516－12＝5－12＝α， 又等号成立时，a k ＝5－12， ∴a k >5－12时，a k ＋1>α. ∴n ＝k ＋1时，命题成立． 由①②知对任意n ∈N *，均有a n >α.。
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(对应学生用书P297解析为教师用书独有)
(时间：45分钟满分：100分)
一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分)
1．用数学归纳法证明1＋1
2＋
1
3＋…＋
1
2n－1
＜n(n∈N*，n＞1)时，第一步应
验证的不等式为()
A．1＋1
2＜3 B.1＋
1
2＋
1
3＜2
C．1＋1
2＋
1
3＜3 D.1＋
1
2＋
1
3＋
1
4＜3
解析B∵n＞1，∴当n＝2时不等式为1＋1
2＋
1
3＜2.
2．(2013·郑州质检)设f(n)＝1
n＋
1
n＋1
＋
1
n＋2
＋…＋
1
2n(n∈N
*)，那么f(n＋1)
－f(n)等于()
A.
1
2n＋1
B.
1
2n＋2
C.
1
2n＋1
＋
1
2n＋2
D.
1
2n＋1
＋
1
2n＋2
－
1
n
解析D f(n＋1)＝
1
n＋1
＋
1
n＋2
＋…＋
1
2n＋
1
2n＋1
＋
1
2n＋2
＝
1
n＋
1
n＋1
＋…＋
1
2n＋
1
2n＋1
＋
1
2n＋2
－
1
n
＝f(n)＋
1
2n＋1
＋
1
2n＋2
－
1
n.
3．用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除”，要利用
归纳假设证n＝k＋1(k∈N*)时的情况，只需展开() A．(k＋3)3 B.(k＋2)3
C．(k＋1)3 D.(k＋1)2＋(k＋2)3
解析A假设n＝k(k∈N*)时，k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除，当n＝k＋1时，需证(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3能被9整除，为了能用上面的归纳假设证明，
只需将(k ＋3)3展开，让其出现k 3即可．
4．已知f (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1
n 2，则
( )
A ．f (n )中共有n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋1
3 B ．f (n )中共有n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋1
4 C ．f (n )中共有n 2－n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋1
3 D ．f (n )中共有n 2
－n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋1
4
解析 D 从n 到n 2共有n 2－n ＋1个数，所以f (n )中共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋1
4.故选D.
5．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n 2
＝n 4＋n 2
2，则当n ＝k ＋1时，左端应
在n ＝k 的基础上加上
( )
A ．k 2＋1
B ．(k ＋1)2 C.(k ＋1)4＋(k ＋1)22
D ．(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋(k 2＋3)＋…＋(k ＋1)2
解析 D 当n ＝k 时，等式左端＝1＋2＋…＋k 2，当n ＝k ＋1时，等式左端＝1＋2＋…＋k 2＋(k 2＋1)＋…＋(k ＋1)2，故选D.
6．在数列{a n }中，a 1＝1
3，且S n ＝n (2n －1)a n ，通过求a 2，a 3，a 4，猜想a n 的表达式为
( )
A.
1
(n －1)(n ＋1)
B.
1
2n (2n ＋1)
C.1
(2n －1)(2n ＋1) D.1
(2n ＋1)(2n ＋2)
解析 C 由a 1＝13，S n ＝n (2n －1)a n ，求得a 2＝115＝13×5，a 3＝135＝1
5×7，a
4＝163＝17×9，猜想a n ＝1
(2n －1)(2n ＋1)
.
二、填空题(本大题共3小题，每小题8分，共24分)
7．(2013·贵阳模拟)用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n ＋y n 能被x ＋y 整除”，当第二步假设n ＝2k －1(k ∈N *)命题为真时，进而需证n ＝________时，命题亦真．
解析 因为n 为正奇数，所以与2k －1相邻的下一个奇数是2k ＋1. 【答案】 2k ＋1
8．用数学归纳法证明“n 3＋5n (n ∈N *)能被6整除”的过程中，当n ＝k ＋1(k ∈N *)时，式子(k ＋1)3＋5(k ＋1)应变形为________．
解析 (k ＋1)3＋5(k ＋1)＝k 3＋3k 2＋3k ＋1＋5k ＋5 ＝k 3＋5k ＋3k 2＋3k ＋6＝k 3＋5k ＋3k (k ＋1)＋6. 【答案】 k 3＋5k ＋3k (k ＋1)＋6
9．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n ·3n －1＝3n (na －b )＋c 对一切n ∈N *都成立，则a ＝________，b ＝________，c ＝________.
解析 分别令n ＝1,2,3，
得⎩⎨⎧
1＝3(a －b )＋c ，
1＋2×3＝9(2a －b )＋c ，
1＋2×3＋3×32＝27(3a －b )＋c ，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝12，
b ＝14，
c ＝14.
【答案】 12 14 1
4
三、解答题(本大题共3小题，共40分)
10．(12分)用数学归纳法证明：平面内有n 个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都不相交于同一点，则这n 个圆将平面分成n 2－n ＋2个部分．
解析 ①当n ＝1时，一个圆把平面分成两部分，12－1＋2＝2，命题成立．②假设当n ＝k (k ∈N *)时命题成立，即k 个圆把平面分成k 2－k ＋2个部分，则当n ＝k ＋1时，这k ＋1个圆中的k 个圆把平面分成了k 2－k ＋2个部分，第k ＋1个圆被前k 个圆分成2k 条弧，每条弧把它所在的部分分成了两部分，这时共增加了2k 个部分，即k ＋1个圆把平面分成(k 2－k ＋2)＋2k ＝(k ＋1)2－(k ＋1)＋2个部分，这说明当n ＝k ＋1时命题也成立．由①②知，对一切n ∈N *，命题都成立．
11．(12分)设n∈N*，n>1，求证：1＋1
2
＋
1
3
＋…＋
1
n
>n.
解析(1)当n＝2时，
不等式左边＝1＋1
2
>2＝右边．
(2)假设n＝k(k>1，k∈N*)时，不等式成立，
即1＋1
2
＋
1
3
＋…＋
1
k
>k，
那么当n＝k＋1时，
有1＋1
2
＋
1
3
＋…＋
1
k
＋
1
k＋1
>k＋
1
k＋1
＝
k(k＋1)＋1
k＋1
>k2＋1
k＋1
＝
k＋1
k＋1
＝k＋1.
所以当n＝k＋1时，不等式也成立．
由(1)(2)可知对任何n∈N*，n>1，1＋1
2
＋
1
3
＋…＋
1
n
>n均成立．
12．(16分)已知函数f(x)＝x2＋x－1，α、β是方程f(x)＝0的两个根(α>β)，f′(x)
是f(x)的导数，设a1＝1，a n
＋1＝a n－
f(a n)
f′(a n)
(n＝1,2，…)．
(1)求α、β的值；
(2)证明对任意的正整数n，都有a n>α.
解析(1)由x2＋x－1＝0得x＝－1±5
2.
∵α>β，∴α＝－1＋5
2，β＝
－1－5
2.
(2)①当n＝1时，a1＝1>5－1
2，命题成立；
②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，命题成立，
即a k>5－1 2，
∴a k
＋1＝
a2k＋1
2a k＋1
＝
a k＋
1
2
2＋
5
8
a k＋
1
2
－
1
2
≥2·5
16－
1
2
＝5－1
2＝α，
又等号成立时，a k＝5－1 2，
∴a k>5－1
2时，a k＋1>α.
∴n＝k＋1时，命题成立．
由①②知对任意n∈N*，均有a n>α.。