固体物理习题12

固体物理补充习题

晶体的结构

1. 写出NaCl 和CsCl 的结构类型。

2.分别指出简单立方、体心立方和面心立方晶体的倒格子点阵的结构类型。

3 .画出下列晶体的惯用元胞和布拉菲格子，写出它们的初基元胞基矢表达式，指明各晶体的结构及两种元胞中的原子个数。

(1) 氯化钾 （2）氯化钛 （3）硅 （4）砷化镓 （5）钽酸锂（6）铍 解：

基矢表示式参见教材（1－5）、（1－6）、（1－7）式。 4.对于六角密积结构，初基元胞基矢为

.

求其倒格子基矢，并判断倒格子也是六角的。

倒空间 ↑→

j

i i (B)

晶胞体积为

其倒格矢为

晶体的结合

1. 晶体的结合能, 晶体的内能, 原子间的相互作用势能有何区别

自由粒子结合成晶体过程中释放出的能量, 或者把晶体拆散成一个个自由粒子所需要的能量, 称为晶体的结合能.

原子的动能与原子间的相互作用势能之和为晶体的内能.

在0K 时, 原子还存在零点振动能. 但零点振动能与原子间的相互作用势能的绝对值相比小得多. 所以, 在0K 时原子间的相互作用势能的绝对值近似等于晶体的结合能.

2.共价结合为什么有 “饱和性”和 “方向性”?

设N 为一个原子的价电子数目, 对于IV A 、V A 、VI A 、VII A 族元素，价电子壳层一共有8个量子态, 最多能接纳(8- N )个电子, 形成(8- N )个共价键. 这就是共价结合的 “饱和性”. 共价键的形成只在特定的方向上, 这些方向是配对电子波函数的对称轴方向, 在这个方向上交迭的电子云密度最大. 这就是共价结合的 “方向性”. 3．已知某晶体两相邻原子间的互作用能可表示成 n

m

r

b r

a r U +

-

=)(

(1) 求出晶体平衡时两原子间的距离； (2) 平衡时的二原子间的结合能；

(3) 若取m=2,n=10,两原子间的平衡距离为3Å,仅考虑二原子间互作用则离解能为4ev ，计算

a 及

b 的值； （4） 若把互作用势中排斥项b/r n 改用玻恩－梅叶表达式λexp(-r/p),并认为在平衡时对互作

用势能具有相同的贡献，求n 和p 间的关系。 解：(1)平衡时 01

1

=-=∂∂----n m r b n r a m r r u

得 am bn r m

n =-0

m n am

bn r -=1)(0 (2)平衡时 把r 0表示式代入u(r)

u(r 0)=－

m

n n m

n m am

bn b am

bn a --+)

(

)

(

=－m

n m n

m n m

n n m

m n b

am

n a

bn

m -----+)

(

)

(

（3）由r 0表示式得： 8

1)5(

10

310

a

b =⨯-

若理解为互作用势能为二原子平衡时系统所具有的能量，由能量最小原理，平衡时系统能量具有极小值，且为负值；离解能和结合能为要把二原子拉开，外力所作的功，为正值，所以，

离解能＝结合能＝－互作用势能，由U(r)式的负值，得

10

10

2

10

19

)

103()

10

3(10

6.14---⨯-⨯+

=⨯⨯b a

化简为 80

10

10

3

9

104.6-⨯-+=⨯b a 略去第二项

a=5.76⨯102 上式代入a 值得 b=7.55⨯10-75

(4)由题意得 λex ρ(-r 0/ρ)＝br -n

*

ln λ－r 0/ρ=lnb －nlnr 0 nlnr o ＝r 0/ρ＋lnb/λ

ln ln 0

r n b

r λ

ρ

+=

又解：*式两边对r 0求导，得：λ/ρ×ex ρ(-r 0/ρ)＝bnr -n+1, 与*式比较得： n/r 0 =1/ρ 得：r 0 = n ρ

4.N 对离子组成的Nacl 晶体相互作用势能为 ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡-=R e R

B N R U n 02

4)(πεα

(1) 证明平衡原子间距为

n e

B

R n 2

01

4απε=

-

(2) 证明平衡时的互作用势能为 )11(4)(0

02

0n

R Ne

R U -

-

=πεα

(3) 若试验试验测得Nacl 晶体的结合能为765kj/mol,晶格常数为5.63⨯10-10m ，计算Nacl 晶体的排斥能的幂指数n ，已知Nacl 晶体的马德隆常数是α＝1.75

证： （1）⎥⎦

⎤⎢⎣⎡---=---2

02

1)1(4)(R e e n B N dr du

n πεα )4(

1

2

2

+--

=n R

Bn R

e

N πε

α

令

00

==R R dR

du 得2

01

4e

Bn

R n απε=

- 证毕