11章 电势02

0
x
U (C) - a
O
X +a
也可用积分法。
15
例9. 两均匀带电球壳同心放置，半径分别为R1和R2 （R1＜R2），已知内外球之间的电势差为 U12，求 两球壳间的电场分布。
解：设内球的带电量为q，则
U 12

R2
ˆ r dr 2

R2 R1
E dr
dr 2

-σ
-a 0
+σ
X +a
U + aX (B) - a
U X +a
(A) - a O U
O
U X +a
(C) - a
(D) - a
O
+ aX
14
O
解： - a ＜x＜+ a时
E
-σ 0
+σ X +a
0
（负号表示方向向左） -a
E
U
dU dx
x0
0
U Ex
i j k （直角坐标系） x y z
求场强的第3种方法：利用场强与电势梯度的关系
4
物理和数学
题外话
从学科发展上看： 物理学中的问题推动了数学的发展；数学的 进步，为物理提供了更高级的工具。
从学习的角度看： 物理课是运用、巩固数学知识的最好载体； 足够的数学知识是学好物理课的保证。 高斯定律
El d dl
可正可负
d dl
d dl
——沿 dl 方向的电势变化率 （方向导数）
E cos
显然，θ=π 时电势的变化率 取正的最大值。
2
ˆ（指向升高最快的方向） n
θ=π
+d
同理，E
n

d dn

E 数学上，若某一标量函数对某一方向有最大 变化率（方向导数最大），则定义此方向上的 导数为该标量函数的梯度( gradient)。
( 2 ) AB A B 45 V ,
CB C B 15 V .
( 3 ) 在 （ 2） 中令 B 0 A 45 V , C 15 V .
习题集p121.7与此题类似，采用方法2较为方便。
10
例6. 真空中有一半径为 R 的半圆细环，均匀带电 Q ,如图所示。设 φ ∞ = 0 ,则圆心 O 处的电势为 φ O = ＿＿＿ .若将一带电量为 q 的点电荷从 ∞ → O 点，则电场力作的功 A = ＿＿＿ . dq=λdl O
1
§11.8.3 电势梯度(electric potential gradient)
b
E El θ dl +d l
由 a b

a
E dl
( d ) d E d l
Edl cos E l d l d

E ds
s

V
dV 0
高数下册第十章第六节 高斯公式 通量与散度 环路定理 E dl 0
l
高数下册第十章第七节 斯托克斯公式 环流量与旋度 5
例3. （书上11.17）求均匀带电细圆环 ( 带电q、 半径R)轴线上任一点的场强。 解：由电势叠加原理容易求出 轴线上的电势分布为：
R2 R1
q 4 0 r
qR 1
U12

R2 R1
q 4 0 r
q 4
0
( 1 1 ) R1 R 2
由此得两球壳间的电场分布为：
E q 4 0 r
2

U 12 r
2
R1 R 2 R 2 R1
方向沿径向。
16
练习：习题集“静电学”
一、1-11 二、16-32
17
9
C
B C

B C B
E dr E dr
q 4
0
q o
( 1 rB 1 rC
A
B
C
r
) 15 V
C
方法2（利用“电势差与电势零点的选择无关”）：
( 1 )取 0
A

q 4 0 r A
90 V , B 45 V , C 30 V .

q 4 0 R ( 0 )
→ (A)错
参考点的选择有任意性，电势为0， 场强不一定为0. → (B)错
由 E 知
(D)错， (C)对。
8
例5.如图， 一点电荷带电量 q = 10 -9 C. A、B、 C 三点分别距离点电荷 10cm、20cm、30cm .若 选 B 点电势为0，则 A 点电势为＿＿＿，C 点电 势为＿＿＿.（ε0= 8.85 × 10-12 C2· -1 · -2 ） N m q o
O
13

=
x( x 0 ) 2 0
x( x 0 ) 2 0
也可用积分法。
例8. (习题集7)电荷面密度为+σ和-σ的两块“无限 大”均匀带电的平行平板，放在与平面相⊥的X轴 上的+a和- a 位置上。设坐标原点O处电势为零， 则在- a ＜x＜+ a 区域的电势分布曲线为( )
Ex x ,Ey
y , Ez
z
.
E E xi E y j E zk ( i j k ) x y z ( i j k ) x y z
O
解：任取电荷元dq,则其在O处的电 势为 dq
d 4
0
R Q
R

Q
dq 4 0 R

1 4 0 R

Q
dq
Q 4
0
R
电场力的功为
A q
O
q(

O )
qQ 4
11 0
R
例7. (习题集p162.5)一“无限大”带负电荷的平面， 若设平面所在处为电势零点，取X轴⊥带电平面， 原点在带电平面处，则其周围空间各点电势U 随 距离平面的位置坐标x 变化的关系曲线为( ) U U
某点的电势梯度：
grad d dn ˆ n
d ˆ ˆ n E E nn dn
它是一个矢量，方向沿该点处电势升高最快的方 3 向，大小等于该点处电势沿该方向的方向导数。
引入 Harmilton 算符： grad
E

→场强单位也可用：V/m.
直角坐标系中，将x、y、z轴的方向，分别看作 d l 方向，则得到 E 沿x、y、z轴的分量：
B
A
B
B
解： 利用电势的定义： C 当φB = 0 时， r
rB
A

A
E dr
9
Edr
A
12


rA
q 4 0 r
1
2
dr
q 4
1
0
(
1 rA

1 rB
)

10
4 8 . 85 10
(
10 10
2

20 10
2
) 45 ( V )
(A)
X
O
(B)
O
X
U (C) X
O
U (D) X
O
12
“无限大”均匀带负电荷 解： 平面的电场分布，如右图： 选向右为正、向左为负， ( x 0 ) 则 2 E=
0
σ o E o x X

( x 0 ) 2 0
E
U
dU dx
x0
0
U Ex
U (A) X
S
E d S

qi
0
具有对称性
对称性分析；选Gauss面；列方程解方程 。 电势梯度法 E d n 电势分布函数 ˆ dn 7 已知 或易求
例4. 关于场强与电势之间的关系，下列说法中，哪 一种是正确的？（ ） （A）在电场中，场强为0的点，电势必为0. （B）在电场中，电势为0的点，场强必为0. （C）在电势不变的空间，场强处处为0. （D）在场强不变的空间，电势处处相等. 解： 均匀带电球面内部，场强为0，但

1 4
0 2
q (R x )
2 1 2
由 E 知
Ey 0
Ex
Ez
x

qx 4 0 ( R x )
2 2 3/ 2
z
2
y E E xi
0
qx 4 0 ( R x )
2 3/ 2
i
实际上， 仅为x的函数，故 E可直接 由 E= -d /dx求得。
6
迭加法
点电荷
求和式 积分式
E
E
1 4 0
r
i

qi
2 i
ˆ r

1
dq
2
q
求
典型场 均匀带电球面
无限大均匀带电平面 无限长均匀带电圆柱面
4 0 r
ˆ r
均匀带电球体
均匀带电细圆环轴线
E
高斯定理法