高中数学椭圆双曲线和抛物线的总结及例题精讲
高中数学有关圆-椭圆-双曲线-抛物线的详细知识点
<一>圆的方程(x-a)^2+(y-b)^2=r^2，圆心O（a，b），半径r。
（1）圆的一般式方程：x^2+y^2+Dx+Ey+F=0此方程可用于解决两圆的位置关系：配方化为标准方程：（x+D/2）^2.+(y+E/2)^2=(D^2+E^2-4F)/4其圆心坐标：（-D/2,-E/2）半径为r=√[（D^2+E^2-4F）]/2此方程满足为圆的方程的条件是:D^2+E^2-4F>0若不满足,则不可表示为圆的方程（2）点与圆的位置关系点P（X1,Y1) 与圆(x－a)^2+(y－b) ^2=r^2的位置关系：⑴当(x1－a)^2+(y1－b) ^2>r^2时，则点P在圆外。
⑵当(x1－a)^2+(y1－b) ^2=r^2时，则点P在圆上。
⑶当(x1－a)^2+(y1－b) ^2<r^2时，则点P在圆内。
圆与直线的位置关系判断平面内，直线Ax+By+C=0与圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是：1.由Ax+By+C=0，可得y=(-C-Ax)/B，（其中B不等于0），代入x^2+y^2+Dx+Ey+F=0，即成为一个关于x的一元二次方程f（x）=0。
利用判别式b^2-4ac的符号可确定圆与直线的位置关系如下：如果b^2-4ac>0，则圆与直线有2交点，即圆与直线相交。
如果b^2-4ac=0，则圆与直线有1交点，即圆与直线相切。
如果b^2-4ac<0，则圆与直线有0交点，即圆与直线相离。
2.如果B=0即直线为Ax+C=0，即x=-C/A，它平行于y轴（或垂直于x 轴），将x^2+y^2+Dx+Ey+F=0化为 (x－a)^2+(y－b) ^2=r^2。
令y=b，求出此时的两个x值x1、x2，并且规定x1<x2，那么：当x=-C/A<x1或x=-C/A>x2时，直线与圆相离；当x1<x=-C/A<x2时，直线与圆相交；半径r，直径d在直角坐标系中，圆的解析式为：(x-a)^2+(y-b)^2=r^2;x^2+y^2+Dx+Ey+F=0=> (x+D/2)^2+(y+E/2)^2=(D^2+E^2-4F)/4=> 圆心坐标为(-D/2,-E/2)其实只要保证X方Y方前系数都是1就可以直接判断出圆心坐标为(-D/2,-E/2)这可以作为一个结论运用的且r=根号（圆心坐标的平方和-F）<二>椭圆的标准方程椭圆的标准方程分两种情况：当焦点在x轴时,椭圆的标准方程是：x^2/a^2+y^2/b^2=1，(a>b>0)；当焦点在y轴时,椭圆的标准方程是：y^2/a^2+x^2/b^2=1，(a>b>0)；其中a>0，b>0。
高中椭圆双曲线抛物线知识点汇总
高中椭圆双曲线抛物线知识点汇总一、椭圆的定义和基本特性1. 椭圆的定义：椭圆是平面上到两定点F1和F2的距离之和为常数2a （a>0）的点P的轨迹。
2. 椭圆的基本特性：椭圆有两条对称轴，长轴和短轴，焦点到中心的距离为c，满足c²=a²-b²，离心率e的定义为e=c/a。
3. 椭圆的标准方程：椭圆的标准方程为x²/a²+y²/b²=1（a>b>0），中心在原点，长轴与x轴平行。
二、双曲线的定义和基本特性1. 双曲线的定义：双曲线是平面上到两定点F1和F2的距离之差为常数2a的点P的轨迹。
2. 双曲线的基本特性：双曲线有两条对称轴，两个顶点，离心率e的定义为e=c/a。
3. 双曲线的标准方程：双曲线的标准方程为x²/a²-y²/b²=1（a>0,b>0），中心在原点，x²项系数为正。
三、抛物线的定义和基本特性1. 抛物线的定义：抛物线是平面上到定点F与直线l的距离相等的点P 的轨迹。
2. 抛物线的基本特性：抛物线有焦点F和直线l两个重要元素，焦点到顶点的距离为p，离心率e的定义为e=1。
3. 抛物线的标准方程：抛物线的标准方程为y²=2px（p>0），焦点在y轴上。
四、椭圆双曲线抛物线的性质比较1. 焦点、离心率和轴与方程的关系：椭圆的焦点在轴上，双曲线的焦点在中心轴的延长线上，抛物线的焦点在轴上。
2. 直线与曲线的关系：椭圆是对称轴与任意直线的交点个数有限，双曲线是对称轴与任意直线的交点有两个，抛物线是对称轴与任意直线的交点有且仅有一个。
3. 其他性质：椭圆和双曲线是封闭曲线，抛物线是开口向上或者向下的曲线。
五、高中数学中的应用1. 物理中的应用：椭圆、双曲线和抛物线在经典力学、电磁学等物理学科中有着重要的应用，比如行星轨道、抛物线运动等。
干货椭圆、双曲线、抛物线重点知识总结常考题型技巧讲解
干货椭圆、双曲线、抛物线重点知识总结常考题型技巧讲解基础知识总结圆锥曲线常见题型+解题技巧1.直线与圆锥曲线位置关系这类问题主要采用分析判别式，有△＞0，直线与圆锥曲线相交；△=0，直线与圆锥曲线相切；△＜0，直线与圆锥曲线相离．若且a=0，b≠0，则直线与圆锥曲线相交，且有一个交点．注意：设直线方程时一定要考虑斜率不存在的情况，可单独提前讨论。
2.圆锥曲线与向量结合问题这类问题主要利用向量的相等，平行，垂直去寻找坐标间的数量关系，往往要和根与系数的关系结合应用，体现数形结合的思想，达到简化计算的目的。
3.圆锥曲线弦长问题弦长问题主要记住弦长公式：设直线l与圆锥曲线C相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则：4.定点、定值问题（1）定点问题可先运用特殊值或者对称探索出该定点，再证明结论，即可简化运算；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．5.最值、参数范围问题这类常见的解法有两种：几何法和代数法．（1）若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法；（2）若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，这就是代数法．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑：（1）利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；（3）利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用基本不等式求出参数的取值范围；（5）利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．6.轨迹问题轨迹问题一般方法有三种：定义法，相关点法和参数法。
定义法：（1）判断动点的运动轨迹是否满足某种曲线的定义；（2）设标准方程，求方程中的基本量（3）求轨迹方程相关点法：（1）分析题目：与动点M（x，y）相关的点P（x0，y0）在已知曲线上；（2）寻求关系式，x0=f（x，y），y0=g（x，y）；（3）将x0，y0代入已知曲线方程；（4）整理关于x，y的关系式得到M的轨迹方程。
椭圆双曲线抛物线 高考数学专题复习精细高效梳理(附详解)
第五节椭圆一、必记3个知识点1．椭圆的定义－a≤x≤a(1)设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上任意一点P (x ，y )，则当x ＝0时，|OP |有最小值b ，这时，P 在短轴端点处；当x ＝±a 时，|OP |有最大值a ，这时，P 在长轴端点处．(2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a 是斜边长，a 2＝b 2＋c 2.(3)已知过焦点F 1的弦AB ，则△ABF 2的周长为4a .(4)若P 为椭圆上任一点，F 为其焦点，则a －c ≤|PF |≤a ＋c .二、必明3个易误点1．椭圆的定义中易忽视2a >|F 1F 2|这一条件，当2a ＝|F 1F 2|其轨迹为线段F 1F 2，当2a <|F 1F 2|不存在轨迹．2．求椭圆的标准方程时易忽视判断焦点的位置，而直接设方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)． 3．注意椭圆的范围，在设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上点的坐标为P (x ，y )时，则|x |≤a ，这往往在求与点P 有关的最值问题中特别有用，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因．三、技法1. 求椭圆标准方程的2种常用方法(1)直接求出a ，c 来求解e .通过已知条件列方程组，解出a ，c 的值．(2)构造a ，c 的齐次式，解出e .由已知条件得出关于a ，c 的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e 的一元二次方程求解．(3)通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．提醒：在解关于离心率e 的二次方程时，要注意利用椭圆的离心率e ∈(0,1)进行根的取舍，否则将产生增根.3. 求解最值、取值范围问题的技巧(1)与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使画不出图形，思考时也要联想到一个图形．(2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如，－a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b,0<e <1，在求椭圆的相关量的范围时，要注意应用这些不等关系．(3)最值问题，将所求列出表达式，构造基本不等式或利用函数单调性求解.4. 判断直线与椭圆位置关系的四个步骤第一步：确定直线与椭圆的方程．第二步：联立直线方程与椭圆方程．第三步：消元得出关于x (或y )的一元二次方程．第四步：当Δ>0时，直线与椭圆相交；当Δ＝0时，直线与椭圆相切；当Δ<0时，直线与椭圆相离．5．直线被椭圆截得的弦长公式设直线与椭圆的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋1k 2[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2](k 为直线斜率).参考答案①F1，F2②|F1F2| ③x轴，y轴④坐标原点⑤(－a,0) ⑥(a,0) ⑦(0，－b) ⑧(0，b) ⑨(0，－a) ⑩(0，a) ⑪(－b,0) ⑫(b,0) ⑬2a⑭2b⑮2c⑯(0,1) ⑰c2＝a2－b2第六节双曲线一、必记3个知识点1．双曲线的定义(1)平面内与两个定点F1、F2(|F1F2|＝2c>0)的距离①________________为非零常数2a(2a<2c)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的②________，两焦点间的距离叫做③________.(2)集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.(ⅰ)当④________________时，M点的轨迹是双曲线；(ⅱ)当⑤________________时，M点的轨迹是两条射线；(ⅲ)当⑥________________时，M点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质⑧________ x∈R3.双曲线中的4个常用结论(1)双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e＝2⇔双曲线的两条渐近线互相垂直．(2)渐近线的斜率与双曲线的焦点位置的关系：当焦点在x轴上时，渐近线斜率为±ba，当焦点在y轴上时，渐近线斜率为±ab.(3)渐近线与离心率．x2 a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的斜率为ba＝e2－1.(4)若P为双曲线上一点，F为其对应焦点，则|PF|≥c－a.二、必明4个易误点1．双曲线的定义中易忽视2a<|F1F2|这一条件．若2a＝|F1F2|，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线，若2a>|F1F2|则轨迹不存在．2．双曲线的标准方程中对a，b的要求只是a>0，b>0，易误认为与椭圆标准方程中a，b的要求相同．若a>b>0，则双曲线的离心率e∈(1，2)；若a＝b>0，则双曲线的离心率e＝2；若0<a<b，则双曲线的离心率e> 2.3．注意区分双曲线中的a，b，c大小关系与椭圆a，b，c关系，在椭圆中a2＝b2＋c2，而在双曲线中c2＝a2＋b2.4．易忽视渐近线的斜率与双曲线的焦点位置关系．当焦点在x轴上，渐近线斜率为±b a ，当焦点在y 轴上，渐近线斜率为±a b.三、技法1. 双曲线定义的应用 (1)判定满足某条件的平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程；(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立|PF 1|与|PF 2|的关系．[注意] 在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支，若是双曲线的一支，则需确定是哪一支.2. 求双曲线标准方程的一般方法(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a ，b ，c 的方程并求出a ，b ，c 的值．与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为：x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)． (2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a 的值，由定点位置确定c 的值.3. 求双曲线离心率或其范围的方法(1)求a ，b ，c 的值，由c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a2直接求e .(2)列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝c 2－a 2消去b ，然后转化成关于e 的方程(或不等式)求解．4．求双曲线的渐近线方程的方法求双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线的方法是令x 2a 2－y 2b 2＝0，即得两渐近线方程为：x a ±y b＝0.参考答案①之差的绝对值 ②焦点 ③焦距 ④2a <|F 1F 2| ⑤2a ＝|F 1F 2| ⑥2a >|F 1F 2|⑦x ≥a 或x ≤－a ⑧y ≥a 或y ≤－a ⑨x 轴，y 轴 ⑩坐标原点 ⑪x 轴，y 轴⑫坐标原点 ⑬(－a,0) ⑭(a,0) ⑮(0，－a ) ⑯(0，a ) ⑰y ＝±b a x ⑱y ＝±a bx ⑲c a ⑳ a 2＋b 2 ○212a ○222b ○23a 2＋b 2第七节抛物线一、必记2个知识点1．抛物线定义、标准方程及几何性质x轴⑤________y轴⑥________设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则(1)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2. (2)弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2p sin 2α(α为弦AB 的倾斜角)． (3)以弦AB 为直径的圆与准线相切．(4)通径：过焦点且垂直于对称轴的弦，长等于2p .二、必明2个易误点1．抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线．2．抛物线标准方程中参数p 易忽视，只有p >0，才能证明其几何意义是焦点F 到准线l 的距离，否则无几何意义．三、技法1. 应用抛物线定义的2个关键点(1)由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化．(2)注意灵活运用抛物线上一点P (x ，y )到焦点F 的距离|PF |＝|x |＋p 2或|PF |＝|y |＋p 2. 2. 求抛物线的标准方程的方法(1)求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p ，所以只需一个条件确定p 值即可．(2)因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量．3．确定及应用抛物线性质的技巧(1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化为标准方程．(2)要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解.4. 解决直线与抛物线位置关系问题的常用方法(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．提醒：涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解.参考答案①相等 ②y 2＝－2px (p ＞0) ③x 2＝－2py (p ＞0) ④x 2＝2py (p ＞0) ⑤x 轴 ⑥y 轴⑦F (－p 2，0) ⑧F (0，－p 2) ⑨F (0，p 2) ⑩e ＝1 ⑪x ＝－p 2 ⑫y ＝－p 2 ⑬－y 0＋p 2⑭y 0＋p 2⑮y ≤0 ⑯y ≥0。
高中圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)规律技巧总结
八、圆锥曲线1.圆锥曲线的两个定义：（1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。
若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。
若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。
如（1）已知定点)0,3(),0,3(21F F -，在满足下列条件的平面上动点P 的轨迹中是椭圆的是 A ．421=+PF PF B ．621=+PF PF C ．1021=+PF PF D ．122221=+PF PF （答：C ）；（2）方程8=表示的曲线是_____（答：双曲线的左支）（2）第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母”，其商即是离心率e 。
圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。
如已知点)0,22(Q 及抛物线42x y =上一动点P （x ,y ）,则y+|PQ|的最小值是_____（答：2）2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：（1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+b y a x （0a b >>）⇔{cos sin x a y b ϕϕ==（参数方程，其中ϕ为参数），焦点在y 轴上时2222b x a y +＝1（0a b >>）。
方程22Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B ）。
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高中数学专题四 椭圆、双曲线、抛物线《圆锥曲线》知识点小结一、椭圆：（1）椭圆的定义：平面内与两个定点的距离的和等于常数（大于）21,F F ||21F F 的点的轨迹。
其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距。
注意：表示椭圆；表示线段；没有轨迹；||221F F a >||221F F a =21F F ||221F F a <（2）椭圆的标准方程、图象及几何性质：3．常用结论：（1）椭圆的两个焦点为，过的直线交椭圆于)0(12222>>=+b a by a x 21,F F 1F 两点，则的周长=B A ,2ABF ∆（2）设椭圆左、右两个焦点为，过且垂直于对称轴)0(12222>>=+b a by a x 21,F F 1F 的直线交椭圆于两点，则的坐标分别是Q P ,Q P ,=||PQ 二、双曲线：（1）双曲线的定义：平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（小于21,F F ）的点的轨迹。
||21F F 其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距。
注意：与（）表示双曲线的一支。
a PF PF 2||||21=-a PF PF 2||||12=-||221F F a <表示两条射线；没有轨迹；||221F F a =||221F F a >（2）双曲线的标准方程、图象及几何性质：（3）双曲线的渐近线：①求双曲线的渐近线，可令其右边的1为0，即得，因式分解得到12222=-b y a x 02222=-by a x 。
0x ya b±=②与双曲线共渐近线的双曲线系方程是；12222=-b y a x λ=-2222by a x （4）等轴双曲线为，其离心率为222t y x =-2（4）常用结论：（1）双曲线的两个焦点为，过的直线交)0,0(12222>>=-b a by a x 21,F F 1F 双曲线的同一支于两点，则的周长=B A ,2ABF ∆（2）设双曲线左、右两个焦点为，过且垂直于对)0,0(12222>>=-b a b y a x 21,F F 1F 称轴的直线交双曲线于两点，则的坐标分别是Q P ,Q P ,=||PQ 三、抛物线：（1）抛物线的定义：平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离相等的点的轨迹。
圆锥曲线(椭圆-双曲线-抛物线)的定义、方程和性质知识总结
椭圆的定义、性质及标准方程1. 椭圆的定义：⑴第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。
⑵第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)10(<<e e ，则动点M 的轨迹叫做椭圆。
定点F 是椭圆的焦点，定直线l 叫做椭圆的准线，常数e 叫做椭圆的离心率。
说明：①若常数2a 等于2c ，则动点轨迹是线段12F F 。
②若常数2a 小于2c ，则动点轨迹不存在。
2.3. 焦半径公式：椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。
焦半径公式：椭圆焦点在x 轴上时，设12F F 、分别是椭圆的左、右焦点，()00P x y ，是椭圆上任一点，则10PF a ex =+，20PF a ex =-。
推导过程：由第二定义得11PF e d =（1d 为点P 到左准线的距离）， 则211000a PF ed e x ex a a ex c ⎛⎫==+=+=+ ⎪⎝⎭；同理得20PF a ex =-。
简记为：左“＋”右“－”。
由此可见，过焦点的弦的弦长是一个仅与它的中点的横坐标有关的数。
22221x y a b +=；若焦点在y 轴上，则为22221y x a b+=。
有时为了运算方便，设),0(122n m m ny mx ≠>=+。
双曲线的定义、方程和性质知识要点：1． 定义（1）第一定义：平面内到两定点F 1、F 2的距离之差的绝对值等于定长2a （小于|F 1F 2|）的点的轨迹叫双曲线。
说明：①||PF 1|-|PF 2||=2a （2a <|F 1F 2|）是双曲线；若2a=|F 1F 2|，轨迹是以F 1、F 2为端点的射线；2a >|F 1F 2|时无轨迹。
②设M 是双曲线上任意一点，若M 点在双曲线右边一支上，则|MF 1|>|MF 2|，|MF 1|-|MF 2|=2a ；若M 在双曲线的左支上，则|MF 1|<|MF 2|，|MF 1|-|MF 2|=-2a ，故|MF 1|-|MF 2|=±2a ，这是与椭圆不同的地方。
圆锥曲线(椭圆,双曲线,抛物线)的定义、方程和性质知识总结
椭圆的定义、性质及标准方程1. 椭圆的定义：⑴第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。
⑵第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)10(<<e e ，则动点M 的轨迹叫做椭圆。
定点F 是椭圆的焦点，定直线l 叫做椭圆的准线，常数e 叫做椭圆的离心率。
说明：①若常数2a 等于2c ，则动点轨迹是线段12F F 。
②若常数2a 小于2c ，则动点轨迹不存在。
2. 椭圆的标准方程、图形及几何性质：标准方程)0(12222>>=+b a by a x 中心在原点，焦点在x 轴上)0(12222>>=+b a b x a y 中心在原点，焦点在y 轴上图形范围 x a y b ≤≤，x b y a ≤≤，顶点()()()()12120000A a A a B b B b --，、，，、，()()()()12120000A a A a B b B b --，、，，、，对称轴 x 轴、y 轴；长轴长2a ，短轴长2b ；焦点在长轴上x 轴、y 轴；长轴长2a ，短轴长2b ；焦点在长轴上焦点 ()()1200F c F c -，、， ()()1200F c F c -，、， 焦距 )0(221>=c c F F)0(221>=c c F F离心率 )10(<<=e ace )10(<<=e ace 准线2a x c=±2a y c=±参数方程与普通方程22221x y a b +=的参数方程为 ()cos sin x a y b θθθ=⎧⎨=⎩为参数 22221y x a b +=的参数方程为 ()cos sin y a x b θθθ=⎧⎨=⎩为参数3. 焦半径公式：椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。
最新圆锥曲线-椭圆-双曲线-抛物线-知识点总结-例题习题精讲-详细答案
课程星级：★★★★★【椭圆】 一、椭圆的定义1、椭圆的第一定义：平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121F F a PF PF >=+ ，这个动点P 的轨迹叫椭圆。
这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距。
注意：若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ；若)(2121F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形。
二、椭圆的方程1、椭圆的标准方程（端点为a 、b ，焦点为c ）（1）当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+b y a x )0(>>b a ，其中222b a c -=；（2）当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+b x a y )0(>>b a ，其中222b a c -=；2、两种标准方程可用一般形式表示：221x y m n += 或者 mx 2+ny 2=1 三、椭圆的性质（以12222=+by a x )0(>>b a 为例）知能梳理1、对称性：对于椭圆标准方程12222=+by a x )0(>>b a ：是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形；并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。
2、范围：椭圆上所有的点都位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足a x ≤，b y ≤。
3、顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。
②椭圆12222=+by a x )0(>>b a 与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为)0,(1a A -，)0,(2a A ，),0(1b B -，),0(2b B 。
③线段21A A ，21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴，a A A 221=，b B B 221=。
a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
圆锥曲线(椭圆,双曲线,抛物线)的定义、方程和性质知识总结
圆锥曲线(椭圆,双曲线,抛物线)的定义、方程和性质知识总结-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN椭圆的定义、性质及标准方程1. 椭圆的定义：⑴第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。
⑵第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)10(<<e e ，则动点M 的轨迹叫做椭圆。
定点F 是椭圆的焦点，定直线l 叫做椭圆的准线，常数e 叫做椭圆的离心率。
说明：①若常数2a 等于2c ，则动点轨迹是线段12F F 。
②若常数2a 小于2c ，则动点轨迹不存在。
2. 标准方程)0(12222>>=+b a b y a x 中心在原点，焦点在x 轴上)0(12222>>=+b a b x a y 中心在原点，焦点在y 轴上图形范围 x a y b ≤≤，x b y a ≤≤，顶点()()()()12120000A a A a B b B b --，、，，、，()()()()12120000A a A a B b B b --，、，，、，对称轴 x 轴、y 轴； 长轴长2a ，短轴长2b ； 焦点在长轴上 x 轴、y 轴；长轴长2a ，短轴长2b ；焦点在长轴上 焦点 ()()1200F c F c -，、， ()()1200F c F c -，、，焦距 )0(221>=c c F F )0(221>=c c F F 离心率 )10(<<=e ace )10(<<=e ace 准线 2a x c=±2a y c=±参数方程与普22221x y a b +=的参数方程为 22221y x a b+=的参数方程为3. 焦半径公式：椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。
圆锥曲线_椭圆_双曲线_抛物线_知识点总结_例题习题精讲_详细答案
椭圆一、椭圆的定义1、椭圆的第一定义：平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121F F a PF PF >=+ ，这个动点P 的轨迹叫椭圆。
这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距。
注意：若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ；若)(2121F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形。
二、椭圆的方程1（1）当焦点在x 22b a -；（2）当焦点在y 22b a -；2三、椭圆的性质（1、对称性：对于椭圆标准方程12222=+by a x )0(>>b a ：是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形；并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。
2、范围：椭圆上所有的点都位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足a x≤，b y ≤。
3、顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。
②椭圆12222=+by a x )0(>>b a 与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为)0,(1a A -，)0,(2a A ，),0(1b B -，),0(2b B 。
③线段21A A ，21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴，a A A 221=，b B B 221=。
a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
4、离心率：①② 因为)0(>>c a e 越接近1，则c 反之，e 越接近于 当且仅当b a =a =。
③ 注意：椭圆22+a xe PM PF PM PF ==2211 )2(21a PF PF =+ )2(221ca PM PM =+5、椭圆的第二定义：平面内与一个定点（焦点）和一条定直线（准线）的距离的比为常数e ，（0＜e ＜1）的点的轨迹为椭圆（e dPF =||）。
即：到焦点的距离与到准线的距离的比为离心率的点所构成的图形，也即上图中有e PM PF PM PF ==2211。
高中数学椭圆双曲线抛物线考点精讲
专题椭圆双曲线抛物线.一、椭圆定义到两个定点的距离之和等于定值的点的轨迹\PF}\+\PF2\=2a(2a>\F}F2\)顶点(±c/,0),(0,±b)(0,士a),(±b,0)焦点F(士c,0)F(0,±c)长轴2a2a短轴2b2b焦距2cc=^Ja2-b2通经长2b22b2离心率e=-0<e<l.且e越接近1,对应椭圆越扁；e越接近于0,越接近于圆a二、双曲线定义到两个定点距离之差的绝对值等于定值的点的轨迹||捋1-|P§||=2q(2qv|RE|)标准方程22与一土=l(o>0M>0)a b22与-亳=l(a>0M>0)a b顶点(-a,0),(a,0)(0-a),(0,a)焦点Fi(—c,0)『2(c,0),Fi(0,—c),F2(0,c).焦距2c c=』a2+b1离心率c〃e=-e>l.a对称性：对称轴为x=0’y=0;对称中心为0(0,0)实轴长2a虚轴长2b渐近线t by=±-x；a,ay=±—xb1.从双曲线一个焦点到一条渐近线的距离等于b.22222.共渐进线双曲线系：与土-七=1共渐进线的双曲线方程是二一谷=人(序0)a b a b22双曲线的渐近线为马业=0时，它的双曲线方程可设为三一J=膈0).a b a2b23.双曲线方程中化1为0,因式分解可得渐进线方程4.等轴双曲线：双曲线x2-y2=±a2称为等轴双曲线，其渐近线方程为y=±x,e=V2.5.直线与双曲线仅有一个交点的位置关系：区域①：无切线，2条与渐近线平行的直线，合计2条；区域②：即定点在双曲线上，1条切线，2条与渐近线平行的直线，《"合计3条；区域③：2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4条；一纣米区域④：即定点在渐近线上且非原点，1条切线，1条与渐近线平行的直线，合计2条；/3区域⑤：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线.小结：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条.三、抛物线定义到定点的距离与到定直线的距离之比等于1的点的轨迹方程y2=2px y2=—2px x2—2py x2=-2py图形JL I V11,,1--A zr焦点F(§,0)F(专0)F(0,方f（o-£）准线px=--2X_L2py=-l范围x>0,yeR x<0,ycR XGR,y>0xeR,j<0对称轴x轴y轴顶点(0,0)离心率e=l通经2p焦半径朋十1网=§+山网=§+|yj 1.抛物线y2=2px中p的几何意义是焦点到准线的距离，恒正;焦点坐标、准线方程与2相关，是一次项的四分之一22.注意抛物线焦点弦的特点：如y2=2px中y x y2 =-p1,x x x2=%,|AB|=x Y+x2-\-p例题精讲例1.若直线ax-y+l=Q经过抛物线y2=4x的焦点，则实数。
高中数学必备方法和必记结论高中数学椭圆双曲线抛物线的重点知识归纳
高中数学必备方法和必记结论高中数学椭圆双曲线抛物线的重点知识归纳高中数学是中学阶段最重要的一门学科，它不仅为后续学习奠定基础，还对培养逻辑思维和解决问题的能力具有重要意义。
为了在高中数学学习中取得好成绩，掌握一些必备方法和记住重点结论是至关重要的。
首先，我们来谈谈高中数学的必备方法。
解题技巧是高中数学学习的核心。
了解各种题型的解题思路和步骤，能够帮助我们迅速找到解决问题的方法。
此外，记忆技巧也是提高数学成绩的关键。
通过整理和归纳知识点，形成知识体系，可以让我们在解题过程中信手拈来。
接下来，我们重点关注高中数学中的椭圆、双曲线和抛物线。
这些都是曲线几何的重要内容，考查学生的基本概念理解、公式运用和解题技巧。
椭圆、双曲线和抛物线的定义和性质是学习的基础。
椭圆是到两个定点的距离之和等于常数的点的集合；双曲线是到两个定点的距离之差等于常数的点的集合；抛物线是到直线焦点的距离与到直线顶点的距离之比等于常数的点的集合。
这三种类型的曲线都有各自的性质和特点，我们需要熟练掌握。
在掌握基本概念的基础上，我们要学会运用公式进行计算。
例如，椭圆的的标准方程、离心率公式；双曲线的标准方程、离心率公式；抛物线的标准方程、焦距公式等。
这些公式是解决曲线几何问题的关键，要牢记。
最后，我们要学会解题技巧和策略。
针对椭圆、双曲线和抛物线的题目，我们要熟悉常见的考查方式，如求解方程、证明性质、求最值等问题。
在解题过程中，要善于运用公式和基本概念，灵活运用解题方法。
总之，高中数学的学习需要我们掌握必备的方法和记住重点结论，特别是椭圆、双曲线和抛物线这部分内容。
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椭圆2012年高考文科数学1 ．（2012年高考（课标文））设1F ,2F 是椭圆E :2222x y ab=1(a >b >0)的左、右焦点,P 为直线32a x 上一点,△21F PF 是底角为030的等腰三角形,则E 的离心率为（）A ．12B ．23C ．34D ．452 ．（2012年高考（江西文））椭圆22221(0)x y a bab的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F 1,F 2.若|AF 1|,|F 1F 2|,|F 1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为（）A ．14B ．55C ．12D ．5-23．（2012年高考（大纲文））椭圆的中心在原点,焦距为4,一条准线为4x,则该椭圆的方程为（）A ．2211612x yB ．221128xyC ．22184xyD ．221124xy4（2012年高考（四川文））椭圆2221(5x ya a为定值,且5)a 的的左焦点为F ,直线x m 与椭圆相交于点A 、B ,FAB 的周长的最大值是12,则该椭圆的离心率是______.5（2012年高考（重庆文））(本小题满分12分,(Ⅰ)小问5分,(Ⅱ)小问7分)已知椭圆的中心为原点O ,长轴在x 轴上,上顶点为A ,左、右焦点分别为12,F F ,线段12,OF OF 的中点分别为12,B B ,且△12AB B 是面积为4的直角三角形.(Ⅰ)求该椭圆的离心率和标准方程;(Ⅱ)过1B 作直线交椭圆于,P Q ,22PB QB ,求△2PB Q 的面积6（2012年高考（天津文））已知椭圆2222+=1x y ab(>>0)a b ,点52(,)52P a a 在椭圆上.(I)求椭圆的离心率. (II)设A 为椭圆的右顶点,O 为坐标原点,若Q 在椭圆上且满足||||AQ AO ,求直线OQ 的斜率的值.双曲线高考文科真题一、选择题1.(2007宁夏海南文2)双曲线121022yx的焦距为 ( )（A ）32（B ）42（C ）33（D ）43【解析】由已知有22212,cab所以23,c故双曲线焦距为43,故选 D.2.（2009浙江9）过双曲线22221x y ab(a ＞0,b ＞0)的右顶点A 作斜率为-1的直线,该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B ，C ，若BC AB21，则双曲线的离心率是( ) （A ）2（B ）3（C ）5（D ）10【解析】由BC AB 21，OC OAOB3132,又直线BC 的方程a xy，与渐近线交点),(),,(22b a ab baaC b a abb a aB ，所以54231222e acab a baabbaab 。
3.（2009海南宁夏4）双曲线112422yx的焦点到渐近线的距离为（）（A ）32（B ）2（C ）3（D ）1【解析】双曲线112422yx的一条渐近线是4124,3cx y ，其一焦点的坐标xyoxyoxy oxyo为（4，0），由点到直线的距离公式可得焦点到渐近线的距离为32)3(1342。
选A4.(2009安徽理3)下列曲线中离心率为26的是（ )（A ）14222y x（B ）12422y x（C ）16422yx（D ）110422yx【解析】2123,22222222ab a baac ea ce,选B5.（2009浙江文6）已知椭圆22221(0)x y a b ab的左焦点F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，BF ⊥x 轴, 直线AB 交y 轴于点P ．若PB AP 2，则椭圆的离心率是( )（A ）23（B ）22（C ）31（D ）21【解析】由题意知，因为PB AP 2，则21,2,2ec aAF OA。
选 D6.(2009天津文4)设双曲线)0,0(12222b a by ax 的虚轴长为2，焦距为32，则双曲线的渐近线方程为 ( )（A ）x y 2（B ）xy 2（C ）xy 22（D ）xy21【解析】由题意知，2,3,1,322,22ac b c b，故双曲线的渐近线方程为x y22，选 C7．已知m,n 为两个不相等的非零实数，则方程mx －y+n=0与nx 2+my 2=mn 所表示的曲线可能是（）AB C D【解析】选 C8.(2009福建文4)若双曲线132222y ax 的离心率为2，则a 等于（）A ．2B ．3C ．32D ．1【解析】由离心率公式，选 B二、填空题9.(2008山东文13)已知圆.0846:22yx yxC 以圆C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为 .[【解析】令0y 得24x x 或符合条件的双曲线2,4,ac 2216412bc且焦点在x 轴上。
双曲线方程为：221.412xy10.(2009上海春文7)过点)1,4(A 和双曲线116922yx右焦点的直线为 .【解析】双曲线221916xy的右焦点为（5，0），过(4,-1)和（5，0）两点的直线方程为5.y x 11.(2007宁夏海南13)已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为 .【解析】设焦点在x 轴上，渐近线为,b yx a顶点到渐近线1222,1b ab d cba焦点到渐近线距离2226.1bc ad b b a则 3.c ca12．(2009辽宁16）已知F 是双曲线112422yx的左焦点，A （1,4）,P 是双曲线右支上的动点，则|PF|+|PA|的最小值为。
【解析】设双曲线的右交点为1F ,则由双曲线的定义可知1142PF PF a PF ，所以当满足|PF 1|+|PA|最小时就满足|PF|+|PA|取最小值。
由双曲线的图像可知当点A,P,F 1共线时，满足|PF 1|+|PA|最小，而1AF 即为|PF 1|+|PA|的最小值，1AF =5，故所求最小值为9. 三、解答题13.已知双曲线与椭圆1244922yx共焦点，且以x y34为渐近线，求双曲线方程．14.(2008上海18)已知双曲线221,4xyP 是双曲线上一点.（1）求证P 点到双曲线两条渐进线的距离的乘积是一个定值；(6分)（2）已知点A （3，0），求PA 的最小值. (9分)【解析】（1）设),(11y x P 是双曲线上任意一点，该双曲线的两条渐近线方程分别是02y x 和),(,0211y x P yx点到两条渐近线的距离分别是1111|2||2|.55x y x y 和它们的乘积是22111111|2||2||4|4,5555x y x y xy [来源:Z_xx_]∴点P 到双曲线C 的两条渐近线的距离的乘积是一个常数.（2）设P 的坐标为),(y x ，则222)3(||yxPA 54)512(4514)3(222xxx .2||x ，时当512x，|PA |2的最小值为54，即|PA|的最小值为.552抛物线高考文科真题一、选择题1.(2007宁夏海南文7)已知抛物线22(0)y px p的焦点为F ，点111(,)P x y 、222(,)P x y 、333(,)P x y 在抛物线上，且2132x x x ，则有( ) A.123FP FP FP B.222123FP FP FP C.2132FP FP FP D.2213FP FP FP 【解析】11||,2p FP x 22||,2p FP x 33||,2p FP x 2213132||2||||.FP x px x p FP FP 故选 C.2.（2009山东文10）设斜率为2的直线l 过抛物线)0(2aax y的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若OAF （O 为坐标原点）的面积为4，则抛物线方程为（）（A ）42y（B ）x y 82（C ）x y42（D ）xy82【解析】不论a 值正负，过抛物线)0(2aax y的焦点坐标都是)0,4(a，故直线l 的方程为),4(2a xy令0x得2a y，故OAF 的面积为41624212aa a ，故8a 。
选B二、填空题3.(2007广东文11)在平面直角坐标系xOy 中,已知抛物线关于x 轴对称,顶点在原点O ,且过点P (2,4), 则该抛物线的方程是 . 【解析】设抛物线方程,y ax 又抛物线图象过(2,4),p 则162,a 28,8.a yx4.(2008上海文6)若直线01_y ax 经过抛物线x y42的焦点,则a=.【解析】抛物线24yx 的焦点(1,0)F 在直线10axy 上，10, 1.a a5.(2009上海春5)抛物线x y 2的准线方程是 .【解析】由2yx ，得21,p 故准线方程为,2p x即1.4x6.（2009福建理13）过抛物线)0(22ppx y的焦点F 作倾斜角为450的直线交抛物线于A 、B 两点，线段AB 的长为8，则p ．【解析】设点B A,的坐标分别为),(11y x ，),(22y x ，过抛物线)0(22p px y的焦点F 作倾斜角为450的直线方程为,2p xy 把2p yx代入)0(22ppx y得，0222ppy y。
因为8AB,所以,)24(4)(,2422122121y y y y y y pp p ,32)(4)2(222。
7.（2009上海文9）过点A （1，0）作倾斜角为4的直线，与抛物线22yx 交于M N 、两点，则MN= 。
【解析】由已知条件可得直线方程为1yx ,代入抛物线方程可得2220yy ,设M(1x ,1y ),N(2x ,2y ), 由12122,2y y y y 可得222212121212||()()()()MN x x y y y y y y 2212122()422826y y y y 8.(2009海南宁夏文14）已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，直线x y 与抛物线C 交于A ，B 两点，若)2,2(P 为AB 的中点，则抛物线C 的方程为 .【解析】设抛物线的方程为)0(2a ax y，由方程组xyax y 2得交点坐标为),(),0,0(a a B A ，而点)2,2(P 是AB 的中点，从而有4a，故所求抛物线C 的方程为x y 42。
三、解答题9.(2008广东文20)设0,b 椭圆方程为222212xy bb抛物线方程为).(82b y x如图所示，过点x b F 作)2,0(轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G .已知抛物线在点G的切线经过椭圆的右焦点F 1.求满足条件的椭圆方程和抛物线方程。
【解析】由28()xy b 得218yxb ，当2yb得4x，G 点的坐标为(4,2)b，1'4y x ，4'|1xy ，过点G 的切线方程为(2)4ybx即2yxb，令0y 得2x b ，1F 点的坐标为(2,0)b ，由椭圆方程得1F 点的坐标为(,0)b ，2bb 即1b ，即椭圆和抛物线的方程分别为2212xy和28(1)xy 10.（2009浙江文22）已知抛物线)0(2:2ppy xC 上一点A （m ,4）到其焦点的距离为417.求p 与m 的值。