高考数学(理)一轮复习讲练测：专题13.4 数学归纳法(讲)答案解析
2021年高考数学第一轮复习 课后练习册子及其答案和详细解析
强化练习题
目录
第 1 讲 集合与简易逻辑...........................................................................................................................- 1 第 2 讲 函数及其性质经典精讲 ...............................................................................................................- 2 第 3 讲 函数及其性质 2019 高考真题赏析 .............................................................................................- 3 第 4 讲 函数及其性质 2018 高考真题赏析 .............................................................................................- 4 第 5 讲 平面向量.......................................................................................................................................- 5 第 6 讲 三角函数与三角恒等变换经典精讲 ............................................................
专题13-4 数学归纳法练-2018年高考数学理一轮复习讲练
2018年高考数学讲练测【新课标版理 】【练】第十三章 算法初步、推理与证明、复数第04节 数学归纳法A 基础巩固训练1. 用数学归纳证明“凸n 边形对角线的条数()()32n n f n -=”时，第一步应验证 （ ）A. 1n =成立B. 2n =成立C. 3n =成立D. 4n =成立 【答案】C【解析】因为多边形至少有3条边， 故第一步只需验证n =3结论成立即可。
本题选择C 选项.2. 利用数学归纳法证明“()221*111,1n n a a a aa n a+--++++=≠∈N -”时，在验证1n =成立时，左边应该是（ ）A ．1B ．1a +C ．21a a ++ D ．231a a a +++ 【答案】C3. 用数学归纳法证明： *1111,(,1)2321n n n N n ++++<∈>-时，在第二步证明从n k =到1n k =+成立时，左边增加的项数是（ ） A. 2kB. 21k- C. 12k - D. 21k+【答案】A【解析】从n k =到1n k =+成立时，左边增加的项为1111,,,22121k k k ++- ，因此增加的项数是21012k k--+= ，选A. 4. 用数学归纳法证明22n n >， n 的第一个取值应当是A. 1B. 3C. 5D. 10 【答案】C5. 用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n ＋y n 能被x ＋y 整除”的第二步是____． 【答案】假设n ＝2k －1(k ∈N *)时正确，再推n ＝2k ＋1(k ∈N *)正确【解析】因为n 为正奇数，根据数学归纳法证题的步骤，第二步应先假设第k 个正奇数也成立，本题先假设n ＝2k －1(k ∈N *)正确，再推第k ＋1个正奇数，即n ＝2k ＋1(k ∈N *)正确．B 能力提升训练1. 用数学归纳法证明1＋12＋14＋…＋112n ->12764(n ∈N *)成立，其初始值至少应取( ) A ．7 B ．8 C ．9 D ．10 【答案】B【解析】左边＝1＋12＋14＋…＋112n -＝112112n --＝2－112n -，代入验证可知n 的最小值是8.故选B. 2. 若f (x )＝f 1(x )＝x1＋x，f n (x )＝f n －1[f (x )](n ≥2，n ∈N *)，则f (1)＋f (2)＋…＋f (n )＋f 1(1)＋f 2(1)＋…＋f n (1)＝( )A ．n B.9n ＋1 C.nn ＋1 D ．1【答案】D【解析】易知f (1)＝12，f (2)＝23，f (3)＝34，…，f (n )＝n n ＋1；由f n (x )＝f n －1(f (x ))得，f 2(x )＝x 1＋2x ，f 3(x )＝x1＋3x ，…，f n (x )＝x 1＋nx ，从而f 1(1)＝12，f 2(1)＝13，f 3(1)＝14，…，f n (1)＝1n ＋1，所以f (n )＋f n (1)＝1，故f (1)＋f (2)＋…＋f (n )＋f 1(1)＋f 2(1)＋…＋f n (1)＝n ，故选D.3. 已知f(n)＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，用数学归纳法证明f(2n )>112时，f(2k ＋1)－f(2k)等于________．【答案】121k +＋122k +＋…＋112k + 【解析】∵f(2k ＋1)＝1＋12＋13＋14＋…＋1k ＋11k +＋…＋12k ＋121k +＋122k +＋…＋112k +，f(2k)＝1＋12＋13＋14＋…＋1k ＋11k +＋…＋12k ，∴f(2k ＋1)－f(2k)＝121k +＋122k +＋…＋112k +.4. 【浙江省名校协作体2018届高三上学期考试】已知无穷数列{}n a 的首项112a =，*1111,2n n n a n N a a +⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭. （Ⅰ）证明： 01n a <<； （Ⅱ） 记()211n n nn n a a b a a ++-=， n T 为数列{}n b 的前n 项和，证明：对任意正整数n ， 310n T <.（Ⅱ）12211n n n a a a +=>+，即1n n a a +>，所以数列{}n a 为递增数列。
(江苏专版)2020版高考数学一轮复习 数学归纳法教案(理)(含解析)苏教版
第五节 数学归纳法数学归纳法一般地，证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n 取第一个值n 0(例如n 0＝1,2等)时结论成立；(2)(归纳递推)假设n ＝k (k ≥n 0，k ∈N *)时结论成立，证明当n ＝k ＋1时结论也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立．上述证明方法叫做数学归纳法．[小题体验]1．若f (n )＝1＋12＋13＋…＋16n －1(n ∈N *)，则f (1)＝________.解析：等式右边的分母是从1开始的连续的自然数，且最大分母为6n －1，则当n ＝1时，最大分母为5.答案：1＋12＋13＋14＋152．用数学归纳法证明“1＋a ＋a 2＋…＋a n ＋1＝1－an ＋21－a(a ≠1)”．当验证n ＝1时，上式左端计算所得为________．答案：1＋a ＋a 23．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n 2＝n 4＋n 22时，当n ＝k ＋1时左端应在n ＝k 的基础上加上__________________．答案：(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋(k 2＋3)＋…＋(k ＋1)21．数学归纳法证题时初始值n 0不一定是1.2．推证n ＝k ＋1时一定要用上n ＝k 时的假设，否则不是数学归纳法．3．解“归纳——猜想——证明”题的关键是准确计算出前若干具体项，这是归纳、猜想的基础．否则将会做大量无用功．[小题纠偏]1．已知数列{a n }的前n 项和为S n 且S n ＝2n －a n (n ∈N *)，若已经算出a 1＝1，a 2＝32，则猜想a n ＝____________.解析：因为a 1＝1，a 2＝32，又S 3＝1＋32＋a 3＝6－a 3，所以a 3＝74.同理，可求a 4＝158，观察1，32，74，158，…，猜想a n ＝2n－12n －1.答案：2n－12n －12．用数学归纳法证明2n＞2n ＋1，n 的第一个取值应是________．解析：因为n ＝1时，21＝2,2×1＋1＝3,2n ＞2n ＋1不成立；n ＝2时，22＝4,2×2＋1＝5,2n＞2n ＋1不成立；n ＝3时，23＝8,2×3＋1＝7,2n＞2n ＋1成立．所以n 的第一个取值应是3.答案：3考点一 用数学归纳法证明等式基础送分型考点——自主练透 [题组练透]1．(易错题)用数学归纳法证明：12×4＋14×6＋16×8＋…＋12n 2n ＋2＝n4n ＋1(n∈N *)．证明：(1)当n ＝1时， 左边＝12×1×2×1＋2＝18，右边＝141＋1＝18， 左边＝右边，所以等式成立． (2)假设n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即有 12×4＋14×6＋16×8＋…＋12k2k ＋2＝k4k ＋1， 则当n ＝k ＋1时，12×4＋14×6＋16×8＋…＋12k 2k ＋2＋12k ＋1[2k ＋1＋2]＝k 4k ＋1＋14k ＋1k ＋2＝k k ＋2＋14k ＋1k ＋2＝k ＋124k ＋1k ＋2＝k ＋14k ＋2＝k ＋14k ＋1＋1.所以当n ＝k ＋1时，等式也成立．由(1)(2)可知，对于一切n ∈N *等式都成立．2．设f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)．求证：f (1)＋f (2)＋…＋f (n －1)＝n [f (n )－1](n ≥2，n ∈N *)．证明：(1)当n ＝2时，左边＝f (1)＝1，右边＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1＝1，左边＝右边，等式成立．(2)假设n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，结论成立，即f (1)＋f (2)＋…＋f (k －1)＝k [f (k )－1]，那么，当n ＝k ＋1时，f (1)＋f (2)＋…＋f (k －1)＋f (k )＝k [f (k )－1]＋f (k )＝(k ＋1)f (k )－k ＝(k ＋1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤fk ＋1－1k ＋1－k ＝(k ＋1)f (k ＋1)－(k ＋1)＝(k ＋1)[f (k ＋1)－1]， 所以当n ＝k ＋1时结论仍然成立．由(1)(2)可知：f (1)＋f (2)＋…＋f (n －1)＝n [f (n )－1](n ≥2，n ∈N *)．[谨记通法]用数学归纳法证明等式应注意的2个问题(1)用数学归纳法证明等式问题是常见题型，其关键点在于弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，以及初始值n 0的值．(2)由n ＝k 到n ＝k ＋1时，除考虑等式两边变化的项外还要充分利用n ＝k 时的式子，即充分利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明．考点二 用数学归纳法证明不等式重点保分型考点——师生共研 [典例引领]用数学归纳法证明：2n ＜C n 2n ＜4n，其中n ≥2，n ∈N. 证明：①当n ＝2时，22＜6＝C 24＜42，不等式成立． ②假设当n ＝k (k ∈N ，k ≥2)时，2k＜C k2k ＜4k成立， 则当n ＝k ＋1时，由C k ＋12k ＋2＝2k ＋2！k ＋1！k ＋1！＝2k ＋1！×2k ＋1k ＋1！k ＋1！＝22k ＋1！k ＋1！k ！＝2C k 2k ＋1＞2C k 2k ＞2·2k ＝2k ＋1，即2k ＋1＜C k ＋12k ＋2.C k ＋12k ＋2＝2C k 2k ＋1＝2·2k ＋1k ＋1C k 2k ＜2·2C k 2k ＝4C k 2k ＜4·4k ＝4k ＋1，因此2k ＋1＜C k ＋12k ＋2＜4k ＋1成立，即当n ＝k ＋1时，不等式成立，所以对任意的n ≥2，n ∈N ，不等式2n＜C n2n ＜4n恒成立．[由题悟法]用数学归纳法证明不等式应注意的2个问题(1)当遇到与正整数n 有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法．(2)用数学归纳法证明不等式的关键是由n ＝k 成立，推证n ＝k ＋1时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、作差(作商)比较法、放缩法等证明．[即时应用](2019·南通测试)已知函数f (x )＝2x －3x 2，设数列{a n }满足：a 1＝14，a n ＋1＝f (a n )．(1)用数学归纳法证明：∀n ∈N *，都有0＜a n ＜13；(2)求证：31－3a 1＋31－3a 2＋…＋31－3a n ≥4n ＋1－4.证明：(1)①当n ＝1时，a 1＝14，有0＜a 1＜13.所以n ＝1时，不等式成立．②假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时，不等式成立， 即0＜a k ＜13.则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝f (a k )＝2a k －3a 2k ＝－3⎝⎛⎭⎪⎫a k －132＋13， 于是13－a k ＋1＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫13－a k 2.因为0＜a k ＜13，所以0＜3⎝ ⎛⎭⎪⎫13－a k 2＜13，即0＜13－a k ＋1＜13，可得0＜a k ＋1＜13.所以当n ＝k ＋1时，不等式也成立． 由①②可知，∀n ∈N *，都有0＜a n ＜13.(2)证明：由(1)可得13－a n ＋1＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫13－a n 2.两边同时取以3为底的对数，可得log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫13－a n ＋1＝1＋2log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫13－a n ，即1＋log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫13－a n ＋1＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫13－a n .所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1＋log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫13－a n 是以log 314为首项，2为公比的等比数列．所以1＋log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫13－a n ＝2n －1log 314，化简得13－a n ＝13·⎝ ⎛⎭⎪⎫1412n -，所以113－a n ＝3·412n -.因为当n ≥2时，21n －＝C 0n －1＋C 1n －1＋C 2n －1＋…＋C n －1n －1≥1＋n －1＝n ，又n ＝1时，21n －＝1. 所以n ∈N *时，21n －≥n ， 所以113－a n ＝3·412n -≥3·4n.所以113－a 1＋113－a 2＋…＋113－a n ≥3(41＋42＋…＋4n )＝4+1n －4，即31－3a 1＋31－3a 2＋…＋31－3a n≥4+1n －4. 考点三 归纳—猜想—证明重点保分型考点——师生共研[典例引领](2019·无锡调研)已知数列{a n }满足a n ＋1＝－a 2n ＋na n ＋1且a 1＝0. (1)求a 2，a 3，a 4的值；(2)猜想数列{a n }的通项公式，并用数学归纳法证明；(3)求证：13(n ＋1)n ＜a n n ＋1≤12(n ＋1)n (n ∈N *)．解：(1)因为a 1＝0，所以a 2＝－a 21＋a 1＋1＝1， 同理a 3＝2，a 4＝3. (2)猜想a n ＝n －1.证明：①当n ＝1时，由a 1＝0，结论成立； ②假设当n ＝k (k ∈N *)时结论成立， 即a k ＝k －1.当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝－a 2k ＋ka k ＋1＝－(k －1)2＋k (k －1)＋1＝(k ＋1)－1， 这说明当n ＝k ＋1时结论成立．由①②可知，a n ＝n －1对任意正整数n 都成立． (3)证明：13(n ＋1)n ＜a n n ＋1≤12(n ＋1)n (n ∈N *)，即为13(n ＋1)n ＜n n ≤12(n ＋1)n，化为2≤⎝⎛⎭⎪⎫1＋1n n＜3，由⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n n ＝1＋C 1n ·1n＋C 2n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1n 2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n n ，当n ＝1时，显然⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n n＝2；当n ≥2时，显然⎝⎛⎭⎪⎫1＋1n n＞2.由⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n n ＝1＋C 1n ·1n＋C 2n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1n 2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n n＝1＋1＋n －12n ＋…＋1nn ＜1＋11！＋12！＋13！＋…＋1n ！＜1＋1＋11×2＋12×3＋…＋1nn －1＝2＋1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ＝3－1n＜3，即有2≤⎝⎛⎭⎪⎫1＋1n n＜3，所以13(n ＋1)n ＜a n n ＋1≤12(n ＋1)n (n ∈N *)．[由题悟法]“归纳—猜想—证明”的3步曲 (1)计算：根据条件，计算若干项．(2)归纳猜想：通过观察、分析、综合、联想，猜想出一般结论． (3)证明：用数学归纳法证明．[即时应用](1)若不等式(x ＋1)ln(x ＋1)≥ax 对任意x ∈[0，＋∞)恒成立，求实数a 的取值范围； (2)设n ∈N *，试比较12＋13＋…＋1n ＋1与ln(n ＋1)的大小，并证明你的结论．解：(1)原问题等价于ln(x ＋1)－axx ＋1≥0对任意x ∈[0，＋∞)恒成立， 令g (x )＝ln(x ＋1)－axx ＋1，则g ′(x )＝x ＋1－ax ＋12(x ≥0)． 当a ≤1时，g ′(x )＝x ＋1－ax ＋12≥0恒成立，即g (x )在[0，＋∞)上单调递增， 所以g (x )≥g (0)＝0恒成立；当a ＞1时，令g ′(x )＝0，则x ＝a －1＞0，所以g (x )在(0，a －1)上单调递减，在(a －1，＋∞)上单调递增， 所以g (a －1)＜g (0)＝0，即存在x ＞0，使得g (x )＜0，不合题意． 综上所述，实数a 的取值范围是(－∞，1]． (2)法一：注意到12＜ln 2，12＋13＜ln 3，…，故猜想12＋13＋…＋1n ＋1＜ln(n ＋1)(n ∈N *)，下面用数学归纳法证明该不等式成立． 证明：①当n ＝1时，12＜ln 2，不等式成立；②假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时不等式成立， 即12＋13＋…＋1k ＋1＜ln(k ＋1)， 在(1)中取a ＝1，得ln(x ＋1)＞xx ＋1(x ∈(0，＋∞))，令x ＝1k ＋1(k ∈N *)，有1k ＋2＜ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋2k ＋1， 那么，当n ＝k ＋1时，12＋13＋…＋1k ＋1＋1k ＋2＜ln(k ＋1)＋1k ＋2＜ln(k ＋1)＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋2k ＋1＝ln(k ＋2)．即当n ＝k ＋1时不等式也成立．由①②可知，12＋13＋…＋1n ＋1＜ln(n ＋1)．法二：在(1)中取a ＝1，得ln(x ＋1)＞xx ＋1(x ∈(0，＋∞))，令x ＝1n (n ∈N *)，上式即为ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋1n ＞1n ＋1， 即ln(n ＋1)－ln n ＞1n ＋1，所以ln 2－ln 1＞12，ln 3－ln 2＞13，…，ln(n ＋1)－ln n ＞1n ＋1， 上述各式相加可得12＋13＋…＋1n ＋1＜ln(n ＋1)(n ∈N *)．一保高考，全练题型做到高考达标1．用数学归纳法证明等式“1＋2＋3＋…＋(n ＋3)＝n ＋3n ＋42(n ∈N *) ”，当n ＝1时，等式应为__________________．答案：1＋2＋3＋4＝1＋31＋422．利用数学归纳法证明“(n ＋1)(n ＋2) …(n ＋n )＝2n×1×3×…×(2n －1)，n ∈N *”时，从“n ＝k ”变到“n ＝k ＋1”时，左边应增乘的因式是________．解析：当n ＝k (k ∈N *)时，左式为(k ＋1)(k ＋2) ·…·(k ＋k )；当n ＝k ＋1时，左式为(k ＋1＋1)·(k ＋1＋2)·…·(k ＋1＋k －1)·(k ＋1＋k )·(k ＋1＋k ＋1)，则左边应增乘的式子是2k ＋12k ＋2k ＋1＝2(2k ＋1)．答案：2(2k ＋1)3．(2018·海门实验中学检测)数列{a n }中，已知a 1＝1，当n ≥2时，a n －a n －1＝2n －1，依次计算a 2，a 3，a 4后，猜想a n 的表达式是________．解析：计算出a 2＝4，a 3＝9，a 4＝16.可猜想a n ＝n 2. 答案：a n ＝n 24．平面内有n 条直线，最多可将平面分成f (n )个区域，则f (n )的表达式为________． 解析：1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；…；n 条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n )＝1＋n n ＋12＝n 2＋n ＋22个区域．答案：f (n )＝n 2＋n ＋225．用数学归纳法证明不等式1＋12＋14＋…＋12n －1＞12764成立，起始值应取为n ＝________.解析：不等式的左边＝1－12n1－12＝2－12n －1，当n ＜8时，不等式不成立，故起始值应取n ＝8.答案：86．平面内n (n ∈N *)个圆中，每两个圆都相交，每三个圆都不交于一点，若该n 个圆把平面分成f (n )个区域，则f (n )＝________.解析：因为f (1)＝2，f (n )－f (n －1)＝2(n －1)，则f (2)－f (1)＝2×1，f (3)－f (2)＝2×2，f (4)－f (3)＝2×3，……，f (n )－f (n －1)＝2(n －1)，所以f (n )－f (1)＝n (n －1)，即f (n )＝n 2－n ＋2.答案：n 2－n ＋27．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知对任意的n ∈N *，点(n ，S n )均在函数y ＝b x＋r (b ＞0且b ≠1，b ，r 均为常数)的图象上．(1)求r 的值．(2)当b ＝2时，记b n ＝2(log 2a n ＋1)(n ∈N *)，证明：对任意的n ∈N *，不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n＞n ＋1成立． 解：(1)由题意，S n ＝b n＋r ， 当n ≥2时，S n －1＝bn －1＋r .所以a n ＝S n －S n －1＝bn －1(b －1)．由于b ＞0且b ≠1，所以当n ≥2时，{a n }是以b 为公比的等比数列． 又a 1＝b ＋r ，a 2＝b (b －1)， 因为a 2a 1＝b ，所以b b －1b ＋r＝b ，解得r ＝－1.(2)证明：当b ＝2时，由(1)知a n ＝2n －1，因此b n ＝2n (n ∈N *)，故所证不等式为2＋12·4＋14·…·2n ＋12n ＞n ＋1.用数学归纳法证明如下：①当n ＝1时，左式＝32，右式＝2，左式＞右式，所以不等式成立．②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时不等式成立， 即2＋12·4＋14·…·2k ＋12k＞k ＋1， 则当n ＝k ＋1时，2＋12·4＋14·…·2k ＋12k ·2k ＋32k ＋1＞k ＋1·2k ＋32k ＋1＝2k ＋32k ＋1， 要证当n ＝k ＋1时结论成立， 只需证2k ＋32k ＋1≥k ＋2，即证2k ＋32≥k ＋1k ＋2，由基本不等式， 得2k ＋32＝k ＋1＋k ＋22≥k ＋1k ＋2，故2k ＋32k ＋1≥k ＋2成立， 所以当n ＝k ＋1时，结论成立． 由①②可知，对任意的n ∈N *，不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n＞n ＋1成立． 8．已知点P n (a n ，b n )满足a n ＋1＝a n ·b n ＋1，b n ＋1＝b n1－4a 2n(n ∈N *)，且点P 1的坐标为(1，－1)．(1)求过点P 1，P 2的直线l 的方程；(2)试用数学归纳法证明：对于n ∈N *，点P n 都在(1)中的直线l 上．解：(1)由题意得a 1＝1，b 1＝－1，b 2＝－11－4×1＝13，a 2＝1×13＝13，所以P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13. 所以直线l 的方程为y ＋113＋1＝x －113－1，即2x ＋y ＝1.(2)证明：①当n ＝1时，2a 1＋b 1＝2×1＋(－1)＝1成立． ②假设n ＝k (k ≥1且k ∈N *)时，2a k ＋b k ＝1成立． 则2a k ＋1＋b k ＋1＝2a k ·b k ＋1＋b k ＋1 ＝b k1－4a 2k ·(2a k ＋1)＝b k 1－2a k ＝1－2a k1－2a k＝1， 所以当n ＝k ＋1时，2a k ＋1＋b k ＋1＝1也成立．由①②知，对于n ∈N *，都有2a n ＋b n ＝1，即点P n 在直线l 上．9．已知数列{}a n ，当n ≥2时，a n ＜－1，又a 1＝0，a 2n ＋1＋a n ＋1－1＝a 2n ，求证：当n ∈N*时，a n ＋1＜a n .证明：(1)当n ＝1时，因为a 2是a 22＋a 2－1＝0的负根， 所以a 1＞a 2.(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，a k ＋1＜a k ，因为a 2k ＋1－a 2k ＝(a 2k ＋2＋a k ＋2－1)－(a 2k ＋1＋a k ＋1－1)＝(a k ＋2－a k ＋1)(a k ＋2＋a k ＋1＋1)，a k ＋1＜a k ≤0，所以a 2k ＋1－a 2k ＞0，又因为a k ＋2＋a k ＋1＋1＜－1＋(－1)＋1＝－1， 所以a k ＋2－a k ＋1＜0，所以a k ＋2＜a k ＋1，即当n ＝k ＋1时，命题成立． 由(1)(2)可知，当n ∈N *时，a n ＋1＜a n .10．(2019·南京模拟)把圆分成n (n ≥3)个扇形，设用4种颜色给这些扇形染色，每个扇形恰染一种颜色，并且要求相邻扇形的颜色互不相同，设共有f (n )种方法．(1)写出f (3)，f (4)的值；(2)猜想f (n )(n ≥3)，并用数学归纳法证明．解：(1)当n ＝3时，第一个有4种方法，第二个有3种方法，第3个有2种方法，可得f (3)＝24；当n ＝4时，第一个有4种方法，第二个有3种方法，第三个与第一个相同有1种方法，第四个有3种方法，或第一个有4种方法，第二个有3种方法，第三个与第一个不相同有2种方法，第四个有2种方法，可得f(4)＝36＋48＝84.(2)证明：当n≥4时，首先，对于第1个扇形a1，有4种不同的染法，由于第2个扇形a2的颜色与a1的颜色不同，所以，对于a2有3种不同的染法，类似地，对扇形a3，…，a n－1均有3种染法．对于扇形a n，用与a n－1不同的3种颜色染色，但是，这样也包括了它与扇形a1颜色相同的情况，而扇形a1与扇形a n颜色相同的不同染色方法数就是f(n－1)，于是可得f(n)＝4×3n－1－f(n－1)．猜想f(n)＝3n＋(－1)n·3(n≥3)．①当n＝3时，左边f(3)＝24，右边33＋(－1)3·3＝24，所以等式成立．②假设当n＝k(k≥3)时，f(k)＝3k＋(－1)k·3，则当n＝k＋1时，f(k＋1)＝4×3k－f(k)＝4×3k－[3k＋(－1)k·3]＝3k＋1＋(－1)k＋1·3，即当n＝k＋1时，等式也成立．综上，f(n)＝3n＋(－1)n·3(n≥3)．二上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2019·无锡中学检测)将正整数排成如图所示的三角形数阵，记第n行的n个数之和为a n.(1)设S n＝a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1(n∈N*)，计算S2，S3，S4的值，并猜想S n的表达式；(2)用数学归纳法证明(1)的猜想．解：(1)S1＝a1＝1，S2＝a1＋a3＝1＋4＋5＋6＝16，S3＝S2＋a5＝16＋11＋12＋13＋14＋15＝81，S4＝S3＋a7＝81＋22＋23＋…＋28＝256，猜想S n＝n4.(2)证明：①当n＝1时，猜想成立．②假设当n＝k(k∈N*)时成立，即S k＝k4，由题意可得，a n ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤n n －12＋1＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤n n －12＋2＋…＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤n n －12＋n＝n ·n n －12＋n n ＋12＝n n 2＋12，∴a 2k ＋1＝2k ＋1[2k ＋12＋1]2＝(2k ＋1)(2k 2＋2k ＋1)＝4k 3＋6k 2＋4k ＋1，∴S k ＋1＝S k ＋a 2k ＋1＝k 4＋4k 3＋6k 2＋4k ＋1＝(k ＋1)4， 即当n ＝k ＋1时猜想成立，由①②可知，猜想对任意n ∈N *都成立．2．已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝14a 2n －34na n ＋9n 2(n ∈N *)．(1)计算a 2，a 3，a 4的值，猜想数列{a n }的通项公式，并给出证明； (2)当n ≥2时，试比较1a n ＋1a n ＋1＋1a n ＋2＋…＋1a 2n与13的大小关系．解：(1)a 2＝4，a 3＝7，a 4＝10， 猜想：a n ＝3n －2. 用数学归纳法证明：①当n ＝1时，a 1＝1，结论成立．②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，结论成立，即a k ＝3k －2， 当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝14a 2k －34ka k ＋92k ＝14(3k －2)2－34k (3k －2)＋92k ＝14(9k 2－12k ＋4)－94k 2＋32k ＋92k ＝3k＋1，所以当n ＝k ＋1时，结论也成立．由①②得数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －2(n ∈N *)． (2)由(1)知a n ＝3n －2，当n ＝2时，1a 2＋1a 3＋1a 4＝14＋17＋110＝69140＞13，当n ＝3时，1a 3＋1a 4＋1a 5＋…＋1a 9＝17＋110＋113＋116＋119＋122＋125 ＝17＋⎝ ⎛⎭⎪⎫110＋113＋116＋⎝ ⎛⎭⎪⎫119＋122＋125 ＞18＋⎝ ⎛⎭⎪⎫116＋116＋116＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋132＋132＝18＋316＋332＞18＋316＋116＞13. 猜测：当n ≥2，n ∈N *时，1a n ＋1a n ＋1＋1a n ＋2＋…＋1a 2n＞13.用数学归纳法证明： ①当n ＝3时，结论成立，②假设当n ＝k (k ≥3，k ∈N *)时，1a k ＋1a k ＋1＋1a k ＋2＋…＋1a 2k＞13，则当n ＝k ＋1时，1a k ＋1＋1ak ＋1＋1＋1ak ＋1＋2＋…＋1a 2(1)k ＋＝⎝⎛⎭⎪⎫1a k ＋1a k ＋1＋1a k ＋1＋1＋1ak ＋1＋2＋…＋1a 2k ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 21k +＋1a 22k +＋…＋1a 2(1)k ＋－1a k ＞13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 21k +＋1a 22k +＋…＋1a 2(1)k ＋－1a k ＞13＋2k ＋13k ＋12－2－13k －2 ＝13＋2k ＋13k －2－[3k ＋12－2][3k ＋12－2]3k －2＝13＋3k 2－7k －3[3k ＋12－2]3k －2.由k ≥3，可知3k 2－7k －3＞0， 所以3k 2－7k －3[3k ＋12－2]3k －2＞0， 即1ak ＋1＋1ak ＋1＋1＋1ak ＋1＋2＋…＋1a 2(1)k ＋＞13. 故当n ＝k ＋1时，不等式也成立，由①②可知，当n ≥2时，1a n ＋1a n ＋1＋1a n ＋2＋…＋1a 2n＞13.命题点一算法1.(2018·江苏高考)一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S的值为________．I←1S←1While I＜6I←I＋2S←2SEnd WhilePrint S解析：I＝1，S＝1，此时I＜6，进入循环；I＝3，S＝2，此时I＜6，进入下一次循环；I＝5，S＝4，此时I＜6，进入下一次循环；I＝7，S＝8，此时I＞6，不满足I＜6，退出循环，输出S＝8.答案：82．(2017·江苏高考)如图是一个算法流程图．若输入x的值为116，则输出y的值是________．解析：由流程图可知其功能是运算分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≥1，2＋log 2x ，0＜x ＜1，所以当输入的x 的值为116时，y ＝2＋log 2116＝2－4＝－2.答案：－23．(2016·江苏高考)如图是一个算法的流程图，则输出的a 的值是________．解析：由a ＝1，b ＝9，知a ＜b ， 所以a ＝1＋4＝5，b ＝9－2＝7，a ＜b . 所以a ＝5＋4＝9，b ＝7－2＝5，满足a ＞b . 所以输出的a ＝9. 答案：94．(2015·江苏高考)根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为________．S ←1I ←1While I ＜8 S ←S ＋2 I ←I ＋3End While Print S解析：由程序可知，S ＝1，I ＝1，I ＜8；S ＝3，I ＝4，I ＜8；S ＝5，I ＝7，I ＜8；S ＝7，I ＝10，I ＞8，此时结束循环，输出S ＝7.答案：7 命题点二 复数1.(2018·江苏高考)若复数z 满足i·z ＝1＋2i ，其中i 是虚数单位，则z 的实部为________．解析：由i·z ＝1＋2i ，得z ＝1＋2ii ＝2－i ，∴z 的实部为2. 答案：22．(2017·江苏高考)已知复数z ＝(1＋i)(1＋2i)，其中i 是虚数单位，则z 的模是________．解析：法一：复数z ＝1＋2i ＋i －2＝－1＋3i ， 则|z |＝－12＋32＝10.法二：|z |＝|1＋i|·|1＋2i|＝2×5＝10. 答案：103．(2016·江苏高考)复数z ＝(1＋2i)(3－i)，其中i 为虚数单位，则z 的实部是________．解析：因为z ＝(1＋2i)(3－i)＝3－i ＋6i －2i 2＝5＋5i ，所以z 的实部是5. 答案：54．(2015·江苏高考)设复数z 满足z 2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则z 的模为________． 解析：因为z 2＝3＋4i ，所以|z 2|＝|z |2＝|3＋4i|＝32＋42＝5， 所以|z |＝ 5. 答案： 55．(2018·天津高考)i 是虚数单位，复数6＋7i 1＋2i ＝________.解析：6＋7i 1＋2i ＝6＋7i 1－2i 1＋2i1－2i ＝20－5i5＝4－i.答案：4－i命题点三 合情推理与演绎推理1.(2017·全国卷Ⅱ改编)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则下列说法正确的序号为________．①乙可以知道四人的成绩 ②丁可以知道四人的成绩 ③乙、丁可以知道对方的成绩 ④乙、丁可以知道自己的成绩解析：依题意，四人中有2位优秀，2位良好，由于甲知道乙、丙的成绩，但还是不知道自己的成绩，则乙、丙必有1位优秀，1位良好，甲、丁必有1位优秀，1位良好，因此，乙知道丙的成绩后，必然知道自己的成绩；丁知道甲的成绩后，必然知道自己的成绩．故④正确．答案：④2．(2016·天津高考)已知{a n }是各项均为正数的等差数列，公差为d ，对任意的n ∈N *，b n 是a n 和a n ＋1的等比中项．(1)设c n ＝b 2n ＋1－b 2n ，n ∈N *，求证：数列{c n }是等差数列； (2)设a 1＝d ，T n ＝∑k ＝12n(－1)k b 2k，n ∈N *，求证：∑k ＝1n1T k ＜12d 2.证明：(1)由题意得b 2n ＝a n a n ＋1，c n ＝b 2n ＋1－b 2n ＝a n ＋1a n ＋2－a n a n ＋1＝2da n ＋1.因此c n ＋1－c n ＝2d (a n ＋2－a n ＋1)＝2d 2， 所以{c n }是等差数列．(2)T n ＝(－b 21＋b 22)＋(－b 23＋b 24)＋…＋(－b 22n －1＋b 22n ) ＝2d (a 2＋a 4＋…＋a 2n ) ＝2d ·n a 2＋a 2n2＝2d 2n (n ＋1)． 所以∑k ＝1n1T k ＝12d 2∑k ＝1n1k k ＋1＝12d 2∑k ＝1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1k ＋1＝12d 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1 ＜12d2. 命题点四 数学归纳法1.(2018·江苏高考)设n ∈N *，对1,2，…，n 的一个排列i 1i 2…i n ，如果当s ＜t 时，有i s ＞i t ，则称(i s ，i t )是排列i 1i 2…i n 的一个逆序，排列i 1i 2…i n 的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对1,2,3的一个排列231，只有两个逆序(2,1)，(3,1)，则排列231的逆序数为2.记f n (k )为1,2，…，n 的所有排列中逆序数为k 的全部排列的个数．(1)求f 3(2)，f 4(2)的值；(2)求f n (2)(n ≥5)的表达式(用n 表示)．解：(1)记τ(abc )为排列abc 的逆序数，对1,2,3的所有排列，有τ(123)＝0，τ(132)＝1，τ(213)＝1，τ(231)＝2，τ(312)＝2，τ(321)＝3，所以f 3(0)＝1，f 3(1)＝f 3(2)＝2.对1,2,3,4的排列，利用已有的1,2,3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置．因此f 4(2)＝f 3(2)＋f 3(1)＋f 3(0)＝5.(2)对一般的n (n ≥4)的情形，逆序数为0的排列只有一个：12…n ，所以f n (0)＝1. 逆序数为1的排列只能是将排列12…n 中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，所以f n (1)＝n －1.为计算f n ＋1(2)，当1,2，…，n 的排列及其逆序数确定后，将n ＋1添加进原排列，n ＋1在新排列中的位置只能是最后三个位置．因此f n ＋1(2)＝f n (2)＋f n (1)＋f n (0)＝f n (2)＋n .当n ≥5时，f n (2)＝[f n (2)－f n －1(2)]＋[f n －1(2)－f n －2(2)]＋…＋[f 5(2)－f 4(2)]＋f 4(2)＝(n －1)＋(n －2)＋…＋4＋f 4(2)＝n 2－n －22，因此，当n ≥5时，f n (2)＝n 2－n －22.2．(2015·江苏高考)已知集合X ＝{1,2,3}，Y n ＝{1,2,3，…，n }(n ∈N *)，设S n ＝{(a ，b )|a 整除b 或b 整除a ，a ∈X ，b ∈Y n }，令f (n )表示集合S n 所含元素的个数．(1)写出f (6)的值；(2)当n ≥6时，写出f (n )的表达式，并用数学归纳法证明． 解：(1)Y 6＝{1,2,3,4,5,6}，S 6中的元素(a ，b )满足：若a ＝1，则b ＝1,2,3,4,5,6；若a ＝2，则b ＝1,2,4,6；若a ＝3，则b ＝1,3,6. 所以f (6)＝13.(2)当n ≥6时，f (n )＝⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧ n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2＋n 3，n ＝6t ，n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12＋n －13，n ＝6t ＋1，n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2＋n －23，n ＝6t ＋2，n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12＋n 3，n ＝6t ＋3，n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2＋n －13，n ＝6t ＋4，n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12＋n －23，n ＝6t ＋5(t ∈N *) 下面用数学归纳法证明： ①当n ＝6时，f (6)＝6＋2＋62＋63＝13，结论成立． ②假设n ＝k (k ≥6)时结论成立，那么n ＝k ＋1时，S k ＋1在S k 的基础上新增加的元素在(1，k ＋1)，(2，k ＋1)，(3，k ＋1)中产生，分以下情形讨论：a ．若k ＋1＝6t ，则k ＝6(t －1)＋5，此时有f (k ＋1)＝f (k )＋3＝k ＋2＋k －12＋k －23＋3 ＝(k ＋1)＋2＋k ＋12＋k ＋13，结论成立；b ．若k ＋1＝6t ＋1，则k ＝6t ，此时有f (k ＋1)＝f (k )＋1＝k ＋2＋k 2＋k 3＋1 ＝(k ＋1)＋2＋k ＋1－12＋k ＋1－13，结论成立；c ．若k ＋1＝6t ＋2，则k ＝6t ＋1，此时有f (k ＋1)＝f (k )＋2＝k ＋2＋k －12＋k －13＋2 ＝(k ＋1)＋2＋k ＋12＋k ＋1－23，结论成立；d ．若k ＋1＝6t ＋3，则k ＝6t ＋2，此时有f (k ＋1)＝f (k )＋2＝k ＋2＋k 2＋k －23＋2 ＝(k ＋1)＋2＋k ＋1－12＋k ＋13，结论成立；e ．若k ＋1＝6t ＋4，则k ＝6t ＋3，此时有f (k ＋1)＝f (k )＋2＝k ＋2＋k －12＋k 3＋2 ＝(k ＋1)＋2＋k ＋12＋k ＋1－13，结论成立； f ．若k ＋1＝6t ＋5，则k ＝6t ＋4，此时有f (k ＋1)＝f (k )＋1＝k ＋2＋k 2＋k －13＋1 ＝(k ＋1)＋2＋k ＋1－12＋k ＋1－23，结论成立．综上所述，结论对满足n ≥6的自然数n 均成立． 3．(2014·江苏高考)已知函数f 0(x )＝sin x x(x ＞0)，设f n (x )为f n －1(x )的导数，n ∈N *. (1)求2f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π2f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2的值； (2)证明：对任意的n ∈N *，等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪nf n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋π4f n ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝22都成立． 解：(1)由已知，得f 1(x )＝f ′0(x )＝⎝⎛⎭⎪⎫sin x x ′＝cos x x －sin x x 2， 于是f 2(x )＝f ′1(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x x ′－⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x x 2′＝－sin x x －2cos x x 2＋2sin x x 3， 所以f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－4π2，f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－2π＋16π3. 故2f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π2f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－1. (2)证明：由已知，得xf 0(x )＝sin x ，等式两边分别对x 求导，得f 0(x )＋xf ′0(x )＝cos x ，即f 0(x )＋xf 1(x )＝cos x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2， 类似可得2f 1(x )＋xf 2(x )＝－sin x ＝sin(x ＋π)，3f 2(x )＋xf 3(x )＝－cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3π2， 4f 3(x )＋xf 4(x )＝sin x ＝sin(x ＋2π)．下面用数学归纳法证明等式nf n －1(x )＋xf n (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋n π2对所有的n ∈N *都成立． ①当n ＝1时，由上可知等式成立．②假设当n ＝k 时等式成立，即kf k －1(x )＋xf k (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k π2. 因为[kf k －1(x )＋xf k (x )]′＝kf ′k －1(x )＋f k (x )＋xf ′k (x )＝(k ＋1)f k (x )＋xf k ＋1(x )，⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k π2′＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k π2·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k π2′＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋k ＋1π2， 所以(k ＋1)f k (x )＋xf k ＋1(x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋k ＋1π2.因此当n ＝k ＋1时，等式也成立．综合①②可知等式nf n －1(x )＋xf n (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋n π2对所有的n ∈N *都成立．令x ＝π4，可得nf n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋π4f n ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋n π2(n ∈N *)．所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪nf n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋π4f n ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝22(n ∈N *)．。
高考数学理一轮(新课标通用)考点测试： 数学归纳法 Word版含解析
考点测试39 数学归纳法高考概览高考在本考点的常考题型为解答题，分值12分，中等以上难度 考纲研读1．了解数学归纳法的原理2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题一、基础小题1．在应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线为12n (n －3)条时，第一步检验第一个值n 0等于( )A ．1B ．2C ．3D ．0 答案 C解析 边数最少的凸n 边形是三角形．2．用数学归纳法证明“1＋a ＋a 2＋…＋a n＝1－a n ＋11－a，a ≠1，n ∈N *”，在验证n ＝1时，左边是( )A ．1B ．1＋aC ．1＋a ＋a 2D ．1＋a ＋a 2＋a 3 答案 B解析 当n ＝1时，代入原式有左边＝1＋a ．故选B ．3．对于不等式n 2＋n ≤n ＋1(n ∈N *)，某学生的证明过程如下： ①当n ＝1时，12＋1≤1＋1，不等式成立．②假设n ＝k (k ∈N *)时，不等式成立，即k 2＋k ≤k ＋1，则n ＝k ＋1时，(k ＋1)2＋(k ＋1)＝k 2＋3k ＋2<(k 2＋3k ＋2)＋(k ＋2)＝(k ＋2)2＝(k ＋1)＋1．所以当n＝k＋1时，不等式成立．上述证法()A．过程全都正确B．n＝1检验不正确C．归纳假设不正确D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确答案D解析n＝1的验证及归纳假设都正确，但从n＝k到n＝k＋1的推理中没有使用归纳假设，而通过不等式的放缩法直接证明，不符合数学归纳法的证题要求，故选D．4．利用数学归纳法证明不等式1＋12＋13＋…＋12n－1<f(n)(n≥2，n∈N*)的过程，由n＝k到n＝k＋1时，左边增加了() A．1项B．k项C．2k－1项D．2k项答案D解析1＋12＋13＋…＋12k＋1－1－1＋12＋13＋…＋12k－1＝12k＋12k＋1＋…＋12k＋1－1，共增加了2k项．5．某个命题与自然数n有关，若n＝k(k∈N*)时命题成立，那么可推得当n＝k＋1时该命题也成立，现已知n＝5时，该命题不成立，那么可以推得() A．n＝6时该命题不成立B．n＝6时该命题成立C．n＝4时该命题不成立D．n＝4时该命题成立答案C解析假设n＝4时该命题成立，由题意可得n＝5时，该命题成立，而n＝5时，该命题不成立，所以n＝4时，该命题不成立，而n＝5，该命题不成立，不能推得n＝6该命题是否成立，故选C．6．用数学归纳法证明1＋12＋14＋…＋12n－1>12764(n∈N*)成立，其初始值至少应取()A．7 B．8 C．9 D．10答案B解析左边＝1＋12＋14＋…＋12n－1＝1－12n1－12＝2－12n－1，代入验证可知n的最小值是8．故选B．7．下列代数式(其中k∈N*)能被9整除的是()A．6＋6·7k B．2＋7k－1C．2(2＋7k＋1) D．3(2＋7k)答案D解析①当k＝1时，显然只有3(2＋7k)能被9整除．②假设当k＝n(n∈N*)时，命题成立，即3(2＋7n)能被9整除，那么3(2＋7n＋1)＝21(2＋7n)－36，这就是说，k＝n＋1时命题也成立．由①②可知，命题对任何k∈N*都成立．故选D．8．设f(n)＝1n＋1＋1n＋2＋…＋1n＋n，n∈N＋，那么f(n＋1)－f(n)＝()A．12n＋1B．12n＋2C．12n＋1＋12n＋2D．12n＋1－12n＋2答案D解析f(n＋1)－f(n)＝1(n＋1)＋1＋1(n＋1)＋2＋…＋1(n＋1)＋n＋1(n＋1)＋(n＋1)－1n＋1－1n＋2－…－1n＋n＝12n＋1＋12n＋2－1n＋1＝12n＋1－12n＋2．9．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，x n＋y n能被x＋y整除”的第二步是()A．假使n＝2k＋1时正确，再推n＝2k＋3正确(k∈N*)B．假使n＝2k－1时正确，再推n＝2k＋1正确(k∈N*)C．假使n＝k时正确，再推n＝k＋1正确(k∈N*)D．假使n≤k(k≥1)时正确，再推n＝k＋2时正确(k∈N*)答案B解析 因为n 为正奇数，根据数学归纳法证题的步骤，第二步应先假设第k 个正奇数也成立，本题即假设n ＝2k －1正确，再推第k ＋1个正奇数，即n ＝2k ＋1正确．10．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n ·3n －1＝3n (na －b )＋c 对一切n ∈N *都成立，则a ，b ，c 的值为( )A ．a ＝12，b ＝c ＝14B ．a ＝b ＝c ＝14C ．a ＝0，b ＝c ＝14 D ．不存在这样的a ，b ，c 答案 A解析 ∵等式对一切n ∈N *均成立，∴n ＝1，2，3时等式成立，即⎩⎨⎧1＝3(a －b )＋c ，1＋2×3＝32(2a －b )＋c ，1＋2×3＋3×32＝33(3a －b )＋c ，整理得⎩⎨⎧3a －3b ＋c ＝1，18a －9b ＋c ＝7，81a －27b ＋c ＝34，解得a ＝12，b＝c ＝14．11．在数列{a n }中，a 1＝13且S n ＝n (2n －1)a n ，通过计算a 2，a 3，a 4，猜想a n 的表达式是________．答案 a n ＝1(2n －1)(2n ＋1)解析 因为S n ＝n (2n －1)a n ，当n ＝2，3，4时，得出a 2＝115，a 3＝135，a 4＝163． a 1＝13＝11×3，a 2＝115＝13×5，a 3＝135＝15×7，a 4＝163＝17×9．∴a n ＝1(2n －1)(2n ＋1)．12．已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，用数学归纳法证明f (2n )>n 2时，f (2k ＋1)－f (2k )＝________．答案12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋1解析 ∵f (2k ＋1)＝1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋1，f (2k )＝1＋12＋13＋…＋12k ，∴f (2k ＋1)－f (2k )＝12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋1．二、高考小题本考点在近三年高考中未涉及此题型． 三、模拟小题13．(2018·山东淄博质检)设f (x )是定义在正整数集上的函数，且f (x )满足：当f (k )≥k ＋1成立时，总能推出f (k ＋1)≥k ＋2成立，那么下列命题总成立的是( )A ．若f (1)<2成立，则f (10)<11成立B ．若f (3)≥4成立，则当k ≥1时，均有f (k )≥k ＋1成立C ．若f (2)<3成立，则f (1)≥2成立D ．若f (4)≥5成立，则当k ≥4时，均有f (k )≥k ＋1成立 答案 D解析 当f (k )≥k ＋1成立时，总能推出f (k ＋1)≥k ＋2成立，说明如果当k ＝n 时，f (n )≥n ＋1成立，那么当k ＝n ＋1时，f (n ＋1)≥n ＋2也成立，所以如果当k ＝4时，f (4)≥5成立，那么当k ≥4时，f (k )≥k ＋1也成立．一、高考大题1．(2017·浙江高考)已知数列{x n }满足：x 1＝1，x n ＝x n ＋1＋ln (1＋x n ＋1)(n ∈N *)． 证明：当n ∈N *时， (1)0<x n ＋1<x n ； (2)2x n ＋1－x n ≤x n x n ＋12； (3)12n －1≤x n ≤12n －2．证明 (1)用数学归纳法证明：x n >0． 当n ＝1时，x 1＝1>0． 假设n ＝k 时，x k >0，那么n＝k＋1时，若x k＋1≤0，则0<x k＝x k＋1＋ln (1＋x k＋1)≤0，矛盾，故x k＋1>0．因此x n>0(n∈N*)．所以x n＝x n＋1＋ln (1＋x n＋1)>x n＋1．因此0<x n＋1<x n(n∈N*)．(2)由x n＝x n＋1＋ln (1＋x n＋1)得x n x n＋1－4x n＋1＋2x n＝x2n＋1－2x n＋1＋(x n＋1＋2)ln (1＋x n＋1)．记函数f(x)＝x2－2x＋(x＋2)ln (1＋x)(x≥0)，f′(x)＝2x2＋xx＋1＋ln (1＋x)>0(x>0)，函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，所以f(x)≥f(0)＝0，因此x2n＋1－2x n＋1＋(x n＋1＋2)ln (1＋x n＋1)＝f(x n＋1)≥0，故2x n＋1－x n≤x n x n＋12(n∈N*)．(3)因为x n＝x n＋1＋ln (1＋x n＋1)≤x n＋1＋x n＋1＝2x n＋1，所以x n≥12n－1．由x n x n＋12≥2x n＋1－x n得1x n＋1－12≥2⎝⎛⎭⎪⎫1x n－12>0，所以1x n－12≥2⎝⎛⎭⎪⎫1x n－1－12≥…≥2n－1⎝⎛⎭⎪⎫1x1－12＝2n－2，故x n≤12n－2．综上，12n－1≤x n≤12n－2(n∈N*)．2．(2015·江苏高考)已知集合X＝{1，2，3}，Y n＝{1，2，3，…，n}(n∈N*)，设S n＝{(a，b)|a整除b或b整除a，a∈X，b∈Y n}．令f(n)表示集合S n所含元素的个数．(1)写出f(6)的值；(2)当n ≥6时，写出f (n )的表达式，并用数学归纳法证明． 解 (1)f (6)＝13． (2)当n ≥6时，f (n )＝⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2＋n 3，n ＝6t ，n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12＋n －13，n ＝6t ＋1，n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2＋n －23，n ＝6t ＋2，n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12＋n 3，n ＝6t ＋3，n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2＋n －13，n ＝6t ＋4，n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12＋n －23，n ＝6t ＋5(t ∈N *)．下面用数学归纳法证明：①当n ＝6时，f (6)＝6＋2＋62＋63＝13，结论成立；②假设n ＝k (k ≥6)时结论成立，那么n ＝k ＋1时，S k ＋1在S k 的基础上新增加的元素在(1，k ＋1)，(2，k ＋1)，(3，k ＋1)中产生，分以下情形讨论：a ．若k ＋1＝6t ，则k ＝6(t －1)＋5，此时有 f (k ＋1)＝f (k )＋3＝k ＋2＋k －12＋k －23＋3 ＝(k ＋1)＋2＋k ＋12＋k ＋13，结论成立； b ．若k ＋1＝6t ＋1，则k ＝6t ，此时有f (k ＋1)＝f (k )＋1＝k ＋2＋k 2＋k3＋1＝(k ＋1)＋2＋(k ＋1)－12＋(k ＋1)－13，结论成立；c ．若k ＋1＝6t ＋2，则k ＝6t ＋1，此时有 f (k ＋1)＝f (k )＋2＝k ＋2＋k －12＋k －13＋2 ＝(k ＋1)＋2＋k ＋12＋(k ＋1)－23，结论成立；d．若k＋1＝6t＋3，则k＝6t＋2，此时有f(k＋1)＝f(k)＋2＝k＋2＋k2＋k－23＋2＝(k＋1)＋2＋(k＋1)－12＋k＋13，结论成立；e．若k＋1＝6t＋4，则k＝6t＋3，此时有f(k＋1)＝f(k)＋2＝k＋2＋k－12＋k3＋2＝(k＋1)＋2＋k＋12＋(k＋1)－13，结论成立；f．若k＋1＝6t＋5，则k＝6t＋4，此时有f(k＋1)＝f(k)＋1＝k＋2＋k2＋k－13＋1＝(k＋1)＋2＋(k＋1)－12＋(k＋1)－23，结论成立．综上所述，结论对满足n≥6的自然数n均成立．二、模拟大题3．(2018·常德月考)设a>0，f(x)＝axa＋x，令a1＝1，a n＋1＝f(a n)，n∈N*．(1)写出a2，a3，a4的值，并猜想数列{a n}的通项公式；(2)用数学归纳法证明你的结论．解(1)∵a1＝1，∴a2＝f(a1)＝f(1)＝a1＋a；a3＝f(a2)＝a·a 1＋aa＋a1＋a＝a2＋a；a4＝f(a3)＝a·a 2＋aa＋a2＋a＝a3＋a．猜想a n＝a(n－1)＋a(n∈N*)．(2)证明：①易知，n＝1时，猜想正确．②假设n＝k(k∈N*)时猜想正确，即a k＝a(k－1)＋a，则a k＋1＝f(a k)＝a·a ka＋a k＝a·a(k－1)＋aa＋a(k－1)＋a＝a(k－1)＋a＋1＝a[(k＋1)－1]＋a．这说明，n＝k＋1时猜想正确．由①②知，对于任何n∈N*，都有a n＝a(n－1)＋a．4．(2018·福建三明月考)已知x i>0(i＝1，2，3，…，n)，我们知道(x1＋x2)1x1＋1x2≥4成立．(1)求证：(x1＋x2＋x3)1x1＋1x2＋1x3≥9；(2)同理我们也可以证明出(x1＋x2＋x3＋x4)1x1＋1x2＋1x3＋1x4≥16．由上述几个不等式，请你猜测一个与x1＋x2＋…＋x n和1x1＋1x2＋…＋1x n(n≥2，n∈N*)有关的不等式，并用数学归纳法证明．解(1)证法一：(x1＋x2＋x3)1x1＋1x2＋1x3≥33x1x2x3·331x1·1x2·1x3＝9．证法二：(x1＋x2＋x3)1x1＋1x2＋1x3＝3＋x2x1＋x1x2＋x3x1＋x1x3＋x3x2＋x2x3≥3＋2＋2＋2＝9．(2)猜想(x1＋x2＋…＋x n)1x1＋1x2＋…＋1x n，≥n2(n≥2，n∈N*)．证明如下：①当n＝2时，由已知得猜想成立．②假设当n＝k时，猜想成立，即(x1＋x2＋…＋x k)1x1＋1x2＋…＋1x k≥k2，则当n＝k＋1时，(x1＋x2＋…＋x k＋x k＋1)1x1＋1x2＋…＋1x k＋1x k＋1＝(x1＋x2＋…＋x k)1x1＋1x2＋…＋1x k＋(x1＋x2＋…＋x k)1x k＋1＋x k＋11x1＋1x2＋…＋1x k＋1≥k2＋(x1＋x2＋…＋x k)1x k＋1＋x k＋11x1＋1x2＋…＋1x k＋1＝k2＋x1x k＋1＋x k＋1x1＋x2x k＋1＋x k＋1x2＋…＋x kx k＋1＋x k＋1x k＋1≥k2＋2＋2＋…＋2k个2＋1＝k2＋2k＋1＝(k＋1)2，所以当n＝k＋1时原式成立．结合①②可知，猜想成立．。
高考数学一轮复习学案：13.3 数学归纳法(含答案)
高考数学一轮复习学案：13.3 数学归纳法（含答案）13.3数学归纳法数学归纳法最新考纲考情考向分析1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.以了解数学归纳法的原理为主，会用数学归纳法证明与数列有关或与不等式有关的等式或不等式在高考中以解答题形式出现，属高档题.数学归纳法一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行1归纳奠基证明当n取第一个值n0n0N*时命题成立；2归纳递推假设当nkkn0，kN*时命题成立，证明当nk1时命题也成立只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立题组一思考辨析1判断下列结论是否正确请在括号中打“”或“”1用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n1时结论成立2所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明3用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用4不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由nk到nk1时，项数都增加了一项5用数学归纳法证明等式“12222n22n31”，验证n1时，左边式子应为122223.6用数学归纳法证明凸n边形的内角和公式时，n03.题组二教材改编2P99B组T1在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为12nn3条时，第一步检验n等于A1B2C3D4答案C解析凸n边形边数最小时是三角形，故第一步检验n3.3P96A组T2已知an满足an1a2nnan1，nN*，且a12，则a2______，a3______，a4______，猜想an______.答案345n1题组三易错自纠4用数学归纳法证明1aa2an11an21aa1，nN*，在验证n1时，等式左边的项是A1B1aC1aa2D1aa2a3答案C解析当n1时，n12，左边1a1a21aa2.5对于不等式n2n1，nN*.1证明当x1且x0时，1xp1px；2数列an满足a11pc，an1p1pancpa1pn.证明anan11pc.证明1当p2时，1x212xx212x，原不等式成立假设当pkk2，kN*时，不等式1xk1kx成立则当pk1时，1xk11x1xk1x1kx1k1xkx21k1x.所以当pk1时，原不等式也成立综合可得，当x1，且x0时，对一切整数p1，不等式1xp1px均成立2方法一当n1时，由题设知a11pc成立假设当nkk1，kN*时，不等式ak1pc成立由an1p1pancpa1pn易知an0，nN*.则当nk1时，ak1akp1pcpapk11pcpka1.由ak1pc0得1c，即ak11pc.所以当nk1时，不等式an1pc也成立综合可得，对一切正整数n，不等式an1pc均成立再由an1an11pcapn1可得an1an1pc，nN*.方法二设fxp1pxcpx1p，x1pc，则xpc，并且fxp1pcp1pxpp1p1cxp0，x1pc.由此可得，fx在1pc，上单调递增，因而，当x1pc时，fxf1pc1pc.当n1时，由a11pc0，即1pac 可知a2p1pa111pcapa111pc1pa11pc，从而a1a21pc.故当n1时，不等式anan11pc成立假设当nkk1，kN*时，不等式akak11pc成立，则当nk1时，fakfak1f1pc，即有ak1ak21pc.所以当nk1时，原不等式也成立综合可得，对一切正整数n，不等式anan11pc均成立思维升华数学归纳法证明不等式的适用范围及关键1适用范围当遇到与正整数n有关的不等式证明时，若用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法2关键由nk时命题成立证nk1时命题也成立，在归纳假设使用后可运用比较法.综合法.分析法.放缩法等来加以证明，充分应用基本不等式.不等式的性质等放缩技巧，使问题得以简化跟踪训练xx衡水调研若函数fxx22x3，定义数列xn如下x12，xn1是过点P4,5，Qnxn，fxnnN*的直线PQn与x轴的交点的横坐标，试运用数学归纳法证明2xn0，使x0nN*猜想an的通项公式，并用数学归纳法加以证明解分别令n1,2,3，得2a1a211，2a1a2a222，2a1a2a3a233，an0，a11，a22，a33，猜想ann.由2Sna2nn，可知，当n2时，2Sn1a2n1n1，，得2ana2na2n11，即a2n2ana2n11.当n2时，a222a2121，a20，a22.假设当nkk2，kN*时，akk，那么当nk1时，a2k12ak1a2k12ak1k21，即ak1k1ak1k10，ak10，k2，ak1k10，ak1k1，即当nk1时也成立annn2，显然当n1时，也成立，故对于一切nN*，均有ann.命题点3存在性问题的证明典例设a11，an1a2n2an2bnN*1若b1，求a2，a3及数列an的通项公式；2若b1，问是否存在实数c使得a2nf1a2，即1ca2k2a2.再由fx在，1上为减函数，得cfca2n2，所以a2n1a22n12a2n121.解得a2n114.综上，由知存在c14使得a2n0，ana2n0，0an1，故数列an 中的任何一项都小于1.2由1知0a1111，那么a2a1a21a1122141412，由此猜想an1n.下面用数学归纳法证明当n2，且nN*时猜想正确当n2时已证；假设当nkk2，且kN*时，有ak1k成立，那么1k12，ak1aka2kak122141k122141k1k2k1k2k1k211k1，当nk1时，猜想正确综上所述，对于一切nN*，都有an1n.归纳猜想证明问题典例12分数列an满足Sn2nannN*1计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式an；2证明1中的猜想思维点拨1由S1a1算出a1；由anSnSn1算出a2，a3，a4，观察所得数值的特征猜出通项公式2用数学归纳法证明规范解答1解当n1时，a1S12a1，a11；当n2时，a1a2S222a2，a232；当n3时，a1a2a3S323a3，a374；当n4时，a1a2a3a4S424a4，a4158.2分由此猜想an2n12n1nN*4分2证明当n1时，a11，结论成立5分假设当nkk1且kN*时，结论成立，即ak2k12k1，那么当nk1时，7分ak1Sk1Sk2k1ak12kak2akak1，2ak12ak.9分ak12ak222k12k122k112k.当nk1时，结论成立11分由知猜想an2n12n1nN*成立12分归纳猜想证明问题的一般步骤第一步计算数列前几项或特殊情况，观察规律猜测数列的通项或一般结论；第二步验证一般结论对第一个值n0n0N*成立；第三步假设当nkkn0，kN*时结论成立，证明当nk1时结论也成立；第四步下结论，由上可知结论对任意nn0，nN*成立。
高考数学一轮复习 134数学归纳法课件 理
证明
(1)当n＝2时，右边＝ttaann2αα
－2＝
1－t2an2α－2＝
2tan2α 1－tan2α
＝tan α·tan 2α＝左边，等式成立．
(2)假设当n＝k(k∈N*且k≥2)时，等式成立，即
tan α·tan 2α＋tan 2α·tan 3α＋…＋tan(k－1)α·tan kα＝ttaannkαα－k，
则当n＝k＋1时， 1×1 3＋3×1 5＋…＋2k－112k＋1＋2k＋112k＋3 ＝2k＋k 1＋2k＋112k＋3＝2kk＋2k1＋32k＋＋13 ＝22kk＋2＋132kk＋＋13＝2kk＋＋13＝2k＋k＋11＋1， 所以当n＝k＋1时，等式也成立． 由(1)(2)可知，对一切n∈N*等式都成立．
第4讲 数学归纳法
【2013 年高考会这样考】 1．数学归纳法的原理及其步骤． 2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题． 【复习指导】 复习时要抓住数学归纳法证明命题的原理，明晰其内在的联系， 把握数学归纳法证明命题的一般步骤，熟知每一步之间的区别 联系，熟悉数学归纳法在证明命题中的应用技巧．
基础梳理 1．归纳法 由一系列有限的特殊事例得出一般结论 的推理方法，通常叫做 归纳法．根据推理过程中考查的对象是涉及事物的全体或部分 可分为 完全 归纳法和 不完全 归纳法．
考向三 用数学归纳法证明不等式
【例 3】►用数学归纳法证明：对一切大于 1 的自然数，不等式
1＋131＋15·…·1＋2n1－1> 2n2＋1均成立． [审题视点] 本题用数学归纳法证明不等式，在推理过程中用放 缩法，要注意放缩的“度”．
证明
(1)当
n＝2
时，左边＝1＋13＝43；右边＝
5 2.
高三苏教数学理一轮复习基础达标演练 第十四章 第讲 数学归纳法 含解析
第5讲数学归纳法分层训练A级基础达标演练(时间：30分钟满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1．用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，x n＋y n能被x＋y整除”，在进行第二步证明时，给出四种证法．)，证明n＝k＋1命题成立；①假设n＝k(k∈N＋②假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋1命题成立；)，证明n＝k＋1命题成立；③假设n＝2k＋1(k∈N＋④假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋2命题成立．正确证法的序号是________．解析①②③中，k＋1不一定表示奇数，只有④中k为奇数，k＋2为奇数．答案④2．用数学归纳证明：对任意的n∈N*,34n＋2＋52n＋1能被14整除的过程中，当n ＝k＋1时，34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1可变形为________．答案34(34k＋2＋52k＋1)－52k＋1×563．(2010·寿光一中模拟)若存在正整数m，使得f(n)＝(2n－7)3n＋9(n∈N*)能被m 整除，则m＝________.解析f(1)＝－6，f(2)＝－18，f(3)＝－18，猜想：m＝－6.答案 64．用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k＋1时的情况，只需展开的式子是________．解析假设当n＝k时，原式能被9整除，即k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除．当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k ＋3)3展开，让其出现k3即可．答案 (k ＋3)35．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n 2＝n 4＋n 22，则当n ＝k ＋1时左端应在n ＝k 的基础上加上________．解析 ∵当n ＝k 时，左侧＝1＋2＋3＋…＋k 2，当n ＝k ＋1时，左侧＝1＋2＋3＋…＋k 2＋(k 2＋1)＋…＋(k ＋1)2，∴当n ＝k ＋1时，左端应在n ＝k 的基础上加上(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋(k 2＋3)＋…＋(k ＋1)2.答案 (k 2＋1)＋(k 2＋2)＋(k 2＋3)＋…＋(k ＋1)26．若f (n )＝12＋22＋32＋…＋(2n )2，则f (k ＋1)与f (k )的递推关系式是________．解析 ∵f (k )＝12＋22＋…＋(2k )2，∴f (k ＋1)＝12＋22＋…＋(2k )2＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2；∴f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2.答案 f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2二、解答题(每小题15分，共30分)7．(2012·苏中三市调研)已知数列{a n }满足：a 1＝12，a n ＋1＝2a n a n ＋1(n ∈N *)． (1)求a 2，a 3的值；(2)证明：不等式0<a n <a n ＋1对于任意的n ∈N *都成立．(1)解 由题意，得a 2＝23，a 3＝45.(2)证明 ①当n ＝1时，由(1)，知0<a 1<a 2，即不等式成立．②设当n ＝k (k ∈N *)时，0<a k <a k ＋1成立，则当n ＝k ＋1时，由归纳假设，知a k ＋1>0.而a k ＋2－a k ＋1＝2a k ＋1a k ＋1＋1－2a k a k ＋1＝2a k ＋1(a k ＋1)－2a k (a k ＋1＋1)(a k ＋1＋1)(a k ＋1)＝2(a k ＋1－a k )(a k ＋1＋1)(a k ＋1)>0， ∴0<a k ＋1<a k ＋2，即当n ＝k ＋1时，不等式成立． 由①②，得不等式0<a n <a n ＋1对于任意n ∈N *成立．8．(2011·盐城调研)已知数列{a n }满足a n ＋1＝－a 2n ＋pa n (p ∈R )，且a 1∈(0,2)，试猜想p 的最小值，使得a n ∈(0,2)对n ∈N *恒成立，并给出证明． 证明 当n ＝1时，a 2＝－a 21＋pa 1＝a 1(－a 1＋p )． 因为a 1∈(0,2)，所以欲使a 2∈(0,2)恒成立，则要⎩⎪⎨⎪⎧ p ＞a 1，p ＜a 1＋2a 1恒成立，解得2≤p ≤22，由此猜想p 的最小值为2.因为p ≥2，所以要证该猜想成立，只要证：当p ＝2时，a n ∈(0,2)对n ∈N *恒成立． 现用数学归纳法证明：①当n ＝1时结论显然成立；②假设当n ＝k 时结论成立，即a k ∈(0,2)， 则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝－a 2k ＋2a k ＝a k (2－a k )， 一方面，a k ＋1＝a k (2－a k )＞0成立，另一方面，a k ＋1＝a k (2－a k )＝－(a k －1)2＋1≤1＜2， 所以a k ＋1∈(0,2)，即当n ＝k ＋1时结论也成立． 由①②可知，猜想成立，即p 的最小值为2.。
高考第一轮复习数学：131数学归纳法-教案(含习题及答案).
※第十三章 极限●络体系总览数学归纳法 应用极限数列的极限 函数的极限四则运算法则无穷等比数列函数的连续性●考点目标定位1.数学归纳法、极限 要求：（1）理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学 （2）了解数列极限和函数极限的概念.（3）掌握极限的四则运算法则，会求某些数列与函数的极限.（4）了解函数连续的意义，理解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质. ●复习方略指南极限的概念和方法是近代数学的核心内容，微积分学的基本概念、基本方法在现代实践中越来越多的被应用，并在现代数学及相关研究中不断得到进一步的发展.本章的主要内容由两部分组成，一是数学归纳法，二是极限.学习极限时要注意数列极限和函数极限的联系和区别、函数的极限与函数连续性的渐进性.13.1 数学归纳法●知识梳理1.数学归纳法的定义：由归纳法得到的与自然数有关的数学2.数学归纳法的应用：①证恒等式；②整除性的证明；③探求平面几何中的问题；④探求数列的通项；⑤不等式的证明.特别提示（1）用数学归纳法证题时，两步缺一不可;（2）证题时要注意两凑：一凑归纳假设；二凑目标. ●点击双基1.设f （n ）=11+n +21+n +31+n +…+n21（n ∈N *），那么f （n+1）－f （n ）等于 A.121+n B.221+n C.121+n +221+n D.121+n －221+n 解析：f （n+1）－f （n ）=21+n +31+n +…+n 21 +121+n +221+n －（11+n +21+n +…+n 21）=121+n +221+n －11+n =121+n －221+n . 答案：D2.（2004年太原模拟题）若把正整数按下图所示的规律排序，则从2002到2004年的箭头方向依次为A .B .D .C .123456789101112…解析：2002=4×500+2，而a n =4n 是每一个下边不封闭的正方形左、上顶点的数. 答案：D3.凸n 边形有f （n ）条对角线，则凸n+1边形有对角线条数f （n+1）为A.f （n ）+n+1B.f （n ）+nC.f （n ）+n －1D.f （n ）+n －2解析：由n 边形到n+1边形，增加的对角线是增加的一个顶点与原n －2个顶点连成的 n －2条对角线，及原先的一条边成了对角线.答案：C4.用数学归纳法证明“（n+1）（n+2）·…·（n+n ）=2n·1·3·…·（2n －1）”，从“k 到k+1”左端需增乘的代数式为A.2k+1B.2（2k+1）C.112++k k D.132++k k解析：当n=1时，显然成立.当n=k 时，左边=（k+1）（k+2）·…·（k+k ）， 当n=k+1时，左边=（k+1+1）（k+1+2）·…·（k+1+k ）（k+1+k+1） =（k+2）（k+3）·…·（k+k ）（k+1+k ）（k+1+k+1） =（k+1）（k+2）·…·（k+k ）1)22)(12(+++k k k =（k+1）（k+2）·…·（k+k ）2（2k+1）.答案：B5.（2004年春季上海，8）根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n 个图形中有_________个点.解析：观察图形点分布的变化规律，发现第一个图形只有一个中心点;第二个图形中除中心外还有两边，每边一个点;第三个图形中除中心点外还有三个边，每边两个点;…;依次类推，第n 个图形中除中心外有n 条边，每边n －1个点，故第n 个图形中点的个数为n （n －1）+1.答案：n 2－n+1 ●典例剖析【例1】 比较2n 与n 2的大小（n ∈N *）.剖析：比较两数（或式）大小的常用方法本题不适用，故考虑用归纳法推测大小关系，再用数学归纳法证明.解：当n=1时，21＞12，当n=2时，22=22，当n=3时，23＜32，当n=4时，24=42，当n=5时，25＞52，猜想：当n ≥5时，2n ＞n 2. 下面用数学归纳法证明：（1）当n=5时，25＞52成立.（2）假设n=k （k ∈N *，k ≥5）时2k ＞k 2，那么2k+1=2·2k=2k+2k＞k 2+（1+1）k＞k 2+C 0k +C 1k +C 1-k k =k 2+2k+1=（k+1） 2.∴当n=k+1时，2n ＞n 2.由（1）（2）可知，对n ≥5的一切自然数2n ＞n 2都成立.综上，得当n=1或n ≥5时，2n ＞n 2；当n=2，4时，2n =n 2；当n=3时，2n ＜n 2.评述：用数学归纳法证不等式时，要恰当地凑出目标和凑出归纳假设，凑目标时可适当放缩.深化拓展当n ≥5时，要证2n＞n 2，也可直接用二项式定理证：2n=（1+1）n=C 0n +C 1n +C 2n +…+C 2-n n +C 1-n n +C n n ＞1+n+2)1(-n n +2)1(-n n =1+n+n 2－n ＞n 2. 【例2】 是否存在常数a 、b 、c 使等式1·（n 2－12）+2（n 2－22）+…+n （n 2－n 2）=an 4+bn 2+c对一切正整数n 成立?证明你的结论.剖析：先取n=1，2，3探求a 、b 、c 的值，然后用数学归纳法证明对一切n ∈N*，a 、b 、c 所确定的等式都成立.解：分别用n=1，2，3代入解方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++.0,41,411898134160c b a c b a c b a c b a下面用数学归纳法证明.（1）当n=1时，由上可知等式成立; （2）假设当n=k+1时，等式成立，则当n=k+1时，左边=1·［（k+1）2－12］+2［（k+1）2－22］+…+k ［（k+1）2－k 2］+（k+1）［（k+1）2－（k+1）2］=1·（k 2－12）+2（k 2－22）+…+k （k 2－k 2）+1·（2k+1）+2（2k+1）+…+k （2k+1）=41k 4+（－41）k 2+（2k+1）+2（2k+1）+…+k （2k+1）=41（k+1）4－41（k+1）2. ∴当n=k+1时，等式成立. 由（1）（2）得等式对一切的n ∈N*均成立. 评述：本题是探索性【例3】（2003年全国）设a 0为常数，且a n =3n －1－2a n －1（n ∈N*）.证明：n ≥1时，a n =51[3n+（－1）n －1·2n］+（－1）n·2n·a 0.剖析：给出了递推公式，证通项公式，可用数学归纳法证.证明：（1）当n=1时，51［3+2］－2a 0=1－2a 0，而a 1=30－2a 0=1－2a 0. ∴当n=1时，通项公式正确.（2）假设n=k （k ∈N*）时正确，即a k =51［3k +（－1）k －1·2k ］+（－1）k ·2k·a 0， 那么a k+1=3k－2a k =3k－52×3k +52（－1）k ·2k +（－1）k+1·2k+1a 0 =53·3k +51（－1）k ·2k+1+（－1）k+1·2k+1·a 0 =51［3k+1+（－1）k ·2k+1］+（－1）k+1·2k+1·a 0.∴当n=k+1时，通项公式正确. 由（1）（2）可知，对n ∈N*，a n =51［3n +（－1）n －1·2n ］+（－1）n ·2n·a 0.评述：由n=k 正确⇒n=k+1时也正确是证明的关键.深化拓展本题也可用构造数列的方法求a n . 解：∵a 0为常数，∴a 1=3－2a 0.由a n =3n －1－2a n －1， 得n n a 33=－1132--n n a +1， 即n n a 3=－32·113--n n a +31. ∴n n a 3－51=－32（113--n n a －51）. ∴{n n a 3－51}是公比为－32，首项为513230--a 的等比数列.∴n na 3－51=（54－32a 0）·（－32）n －1. ∴a n =（54－32a 0）·（－2）n －1×3+51×3n=51［3n +（－1）n －1·2n ］+（－1）n ·2n·a 0. 注：本题关键是转化成a n+1=ca n +d 型. ●闯关训练 夯实基础 1.如果A.P （n ）对n ∈N*成立B.P （n ）对n ＞4且n ∈N*成立C.P （n ）对n ＜4且n ∈N*成立D.P （n ）对n ≤4且n ∈N*不成立解析：由题意可知，P （n ）对n=3不成立（否则n=4也成立）.同理可推得P （n ）对n=2，n=1也不成立.答案：D2.用数学归纳法证明“1+21+31+…+121-n ＜n （n ∈N*，n ＞1）”时，由n=k （k ＞1）不等式成立，推证n=k+1时，左边应增加的项数是A.2k －1B.2k －1C.2kD.2k +1解析：左边的特点：分母逐渐增加1，末项为121-n ;由n=k ，末项为121-k 到n=k+1，末项为1211-+k =kk 2121+-，∴应增加的项数为2k.答案：C3.观察下表： 12 3 43 4 5 6 74 5 6 7 8 9 10 ……设第n 行的各数之和为S n ，则∞→n lim 2n S n =__________.解析：第一行1=12，第二行2+3+4=9=33，第三行3+4+5+6+7=25=52，第四行4+5+6+7+8+9+10=49=72.归纳：第n 项的各数之和S n =（2n －1）2，∞→n lim 2n S n =∞→n lim（nn 12-）2=4. 答案：44.如图，第n 个图形是由正n+2边形“扩展”而来（n=1，2，3，…），则第n －2个图形中共有____________个顶点.解析：观察规律：第一个图形有32+3=（1+2）2+（1+2）;第二个图形有（2+2）2+（2+2）=42+4;第三个图形有（3+2）2+（3+2）=52+5; …第n －2个图形有（n+2－2）2+（n+2－2）=n 2+n 个顶点.答案：n 2+n5.已知y=f （x ）满足f （n －1）=f （n ）－lga n －1（n ≥2，n ∈N ）且f （1）=－lga ，是否存在实数α、β使f （n ）=（αn 2+βn －1）lga 对任何n ∈N *都成立，证明你的结论.解：∵f （n ）=f （n －1）+lga n －1，令n=2，则f （2）=f （1）+f （a ）=－lga+lga=0. 又f （1）=－lga ， ∴⎩⎨⎧=+=+.1420αββα∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==.21,21βα ∴f （n ）=（21n 2－21n －1）lga. 证明：（1）当n=1时，显然成立.（2）假设n=k 时成立，即f （k ）=（21k 2－21k －1）lga ， 则n=k+1时，f （k+1）=f （k ）+lga k=f （k ）+klga=（21k 2－21k －1+k ）lga=［21（k+1）2－21（k+1）－1］lga. ∴当n=k+1时，等式成立.综合（1）（2）可知，存在实数α、β且α=21，β=－21，使f （n ）=（αn 2+βn －1）lga 对任意n ∈N*都成立.培养能力6.已知数列｛ｂn ｝是等差数列，ｂ1＝1，ｂ1＋ｂ2＋…＋ｂ10＝100． （1）求数列｛ｂn ｝的通项公式ｂn ；（2）设数列｛a n ｝的通项a n ＝lg （1＋nb 1），记S n 为｛a n ｝的前n 项和，试比较S n 与21lg ｂn ＋1的大小，并证明你的结论． 解：（1）容易得ｂn ＝2n －1.（2）由ｂn ＝2n －1， 知S n ＝lg （1＋1）＋1g （1＋31）＋…＋lg （１＋121-n ）＝lg （１＋１）（１＋31）·…·（１＋121-n ）. 又211gb n ＋１＝1g 12+n ， 因此要比较S n 与211gb n ＋１的大小，可先比较（1＋１）（１＋31）·…·（１＋121-n ）与12+n 的大小.取n=1，2，3可以发现：前者大于后者，由此推测 （1+1）（1+31）· …· （１＋121-n ）＞12+n . ① 下面用数学归纳法证明上面猜想：当n=1时，不等式①成立.假设n=k 时，不等式①成立，即 （1＋1）（1＋31）·…·（１＋121-k ）＞12+k . 那么n=k+1时，（１＋１）（１＋31）·…·（１＋121-k ）（１＋121+k ）＞12+k （１＋121+k ） ＝1212)1(2+++k k k .又［1212)1(2+++k k k ］2－（32+k ）2＝121+k ＞０，∴1212)1(2+++k k k ＞32+k =.1)1(2++k∴当n=k+1时①成立.综上所述，n ∈N*时①成立． 由函数单调性可判定S n ＞211gb n ＋１. 7.平面内有n 条直线，其中无任何两条平行，也无任何三条共点，求证：这n 条直线把平面分割成21（n 2+n+2）块. 证明：（1）当n=1时，1条直线把平面分成2块，又21（12+1+2）=2， （2）假设n=k 时，k ≥1命题成立，即k 条满足题设的直线把平面分成21（k 2+k+2）块，那么当n=k+1时，第k+1条直线被k 条直线分成k+1段，每段把它们所在的平面块又分成了2块，因此，增加了k+1个平面块.所以k+1条直线把平面分成了21（k 2+k+2）+k+1= 21［（k+1） 2+（k+1）+2］块，这说明当n=k+1时， 探究创新8.（2004年重庆，22）设数列{a n }满足a 1=2，a n+1=a n +na 1（n=1，2，…）. （1）证明a n ＞12+n 对一切正整数n 都成立；（2）令b n =na n （n=1，2，…），判定b n 与b n+1的大小，并说明理由.（1）证法一：当n=1时，a 1=2＞112+⨯，不等式成立. 假设n=k 时，a k ＞12+k 成立，当n=k+1时，a k+12=a k 2+21k a +2＞2k+3+21k a ＞2（k+1）+1，∴当n=k+1时，a k+1＞1)1(2++k 成立.综上，由数学归纳法可知，a n ＞12+n 对一切正整数成立. 证法二：当n=1时，a 1=2＞3=112+⨯结论成立. 假设n=k 时结论成立，即a k ＞12+k ， 当n=k+1时，由函数f （x ）=x+x 1（x ＞1）的单调递增性和归纳假设有 a k+1=a k +ka 1＞12+k +121+k =12112+++k k =1222++k k =124842+++k k k ＞12)12)(32(+++k k k =32+k .∴当n=k+1时，结论成立.因此，a n ＞12+n 对一切正整数n 均成立.（2）解：n n b b 1+=n a n a n n 11++=（1+21n a ）1+n n ＜（1+121+n ）1+n n =1)12()1(2+++n n n n =12)1(2++n n n =2141)21(2+-+n n ＜1. 故b n+1＜b n . ●思悟小结1．用数学归纳法证明问题应注意：（1）第一步验证n=n 0时，n 0并不一定是1．（2）第二步证明的关键是要运用归纳假设，特别要弄清由k 到k+1时 （3）由假设n=k 时2.归纳、猜想、论证是培养学生观察能力、归纳能力以及推理论证能力的方式之一.●教师下载中心 教学点睛1.数学归纳法中的归纳思想是比较常见的数学思想，因此要重视.2.数学归纳法在考试中时隐时现，且较隐蔽，因此在复习中应引起重视.只要与自然数有关，都可考虑数学归纳法，当然主要是恒等式、等式、不等式、整除问题、几何问题、三角问题、数列问题等联系得更多一些.拓展题例【例1】 是否存在正整数m ，使得f （n ）=（2n+7）·3n+9对任意自然数n 都能被m 整除?若存在，求出最大的m 值，并证明你的结论;若不存在，请说明理由.解：由f （n ）=（2n+7）·3n+9，得f （1）=36， f （2）=3×36， f （3）=10×36， f （4）=34×36，由此猜想m=36. 下面用数学归纳法证明：（1）当n=1时，显然成立.（2）假设n=k 时， f （k ）能被36整除，即f （k ）=（2k+7）·3k+9能被36整除;当n=k+1时，［2（k+1）+7］·3k+1+9=3［（2k+7）·3k +9］+18（3k －1－1），由于3k －1－1是2的倍数，故18（3k －1－1）能被36整除.这就是说，当n=k+1时，f （n ）也能被36整除.由（1）（2）可知对一切正整数n 都有f （n ）=（2n+7）·3n+9能被36整除，m 的最大值为36.【例2】 如下图，设P 1，P 2，P 3，…，P n ，…是曲线y=x 上的点列，Q 1，Q 2，Q 3， …，Q n ，…是x 轴正半轴上的点列，且△OQ 1P 1，△Q 1Q 2P 2，…，△Q n －1Q n P n ，…都是正三角形，设它们的边长为a 1，a 2，…，a n ，…，求证：a 1+a 2+…+a n =1n （n+1）. 证明：（1）当n=1时，点P 1的交点，∴可求出P 1（31，33）.∴a 1=|OP 1|=32.而31×1×2=32，（2）假设n=k （k ∈N*）时命题成立，即a 1+a 2+…+a k =31k （k+1），则点Q k 的坐标为（31k （k+1），0），∴直线Q k P k+1的方程为y=3[x －31k （k+1）].代入y=x ，解得P k+1点的坐标为)).1(33,3)1((2++k k∴a k+1=|Q k P k+1|=33（k+1）·32=32（k+1）.∴a 1+a 2+…+a k +a k+1=31k （k+1）+32（k+1）=31（k+1）（k+2）.∴当n=k+1时， 由（1）（2）可知，评述：本题的关键是求出P k+1的纵坐标，再根据正三角形高与边的关系求出|Q k P k+1|.。
高考数学一轮复习讲练测(江苏版)：专题11.4 数学归纳法(练)答案解析
1. 已知n 是正偶数,用数学归纳法证明时,若已假设n=k(k≥2且为偶数)时命题为真,则还需证明_______．【答案】n=k+2时命题成立【解析】因n 是正偶数,故只需证等式对所有偶数都成立,因k 的下一个偶数是k+2 2. 用数学归纳法证明1＋12＋14＋…＋112n ->12764(n ∈N *)成立，其初始值至少应取_______． 【答案】8【解析】左边＝1＋12＋14＋…＋112n -＝112112n --＝2－112n -，代入验证可知n 的最小值是8.3. 用数学归纳法证明“()()()()12212321nn n n n n +⋅+⋅⋅+=⋅⋅⋅⋅⋅- ”，从“k 到1k +”左边需增乘的代数式_______． 【答案】()221k +4. 若*111()1()2331f n n n =++++∈-N ，则对于*k ∈N ，(1)()f k f k +=+ ．【答案】13k + 131k + +132k + 【解析】由题知()f k =*1111()2331k N k ++++∈- ，(1)f k +=11112331k ++++- +13k + 131k + +13(1)1k +-*()k N ∈=11112331k ++++- +13k + 131k ++132k +*()k N ∈，所以(1)f k +=()f k +13k + 131k + +132k +. 5. 用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n ＋y n 能被x ＋y 整除”的第二步是____． 【答案】假设n ＝2k －1(k ∈N *)时正确，再推n ＝2k ＋1(k ∈N *)正确【解析】因为n 为正奇数，根据数学归纳法证题的步骤，第二步应先假设第k 个正奇数也成立，本题先假设n ＝2k －1(k ∈N *)正确，再推第k ＋1个正奇数，即n ＝2k ＋1(k ∈N *)正确． 6. 已知n 为正偶数，用数学归纳法证明1111111122341242n n n n ⎛⎫-+-++=+++ ⎪-++⎝⎭ 时，若已知假设()2n k k =≥为偶数时，命题成立，则还需要用归纳假设再证_______． 【答案】2n k =+时等式成立【解析】由于n 为正偶数，已知假设()2n k k =≥为偶数，则下一个偶数为2n k =+. 7.若f (x )＝f 1(x )＝x 1＋x ，f n (x )＝f n －1[f (x )](n ≥2，n ∈N *)，则f (1)＋f (2)＋…＋f (n )＋f 1(1)＋f 2(1)＋…＋f n (1)＝_______． 【答案】18. 已知f(n)＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，用数学归纳法证明f(2n )>112时，f(2k ＋1)－f(2k )等于________．【答案】121k +＋122k +＋…＋112k + 【解析】∵f(2k ＋1)＝1＋12＋13＋14＋…＋1k ＋11k +＋…＋12k ＋121k +＋122k +＋…＋112k +， f(2k )＝1＋12＋13＋14＋…＋1k ＋11k +＋…＋12k ，∴f(2k ＋1)－f(2k )＝121k +＋122k +＋…＋112k +.9. 【江苏省苏锡常镇四市2016届高三教学情况调研（二）数学试题】（本小题满分10分）设实数12n a a a ，，，满足120n a a a +++= ，且12||||||1n a a a +++ ≤(*n ∈N 且2)n ≥，令(*)n n a b n n =∈N ．求证：1211||22n b b b n+++-≤(*)n ∈N ． 【答案】详见解析【解析】证明：（1）当2n =时，12a a =-，∴1122||||||1a a a =+≤，即11||2a ≤，∴21121||111||||224222a ab b a +=+==-⨯≤，即当2n =时，结论成立． …………2分由假设可得112111||22k k k a a b b b k k+-+++++- ≤， …………7分 ∴1121121|||1k k k k k a a b b b b b b b k k ++-++++=++++++ 1111112111|()(||1221k k k k k k k a a a a a a b b b k k k k k k+++++-+=+++++-+++ -)|≤- 111111111111()||()221221222(1)k a k k k k k k k +=-+-+⨯=-+++-≤-， 即当1n k =+时，结论成立．综上，由（1）和（2）可知，结论成立． …………10分 10. 【江苏省苏北三市（徐州市、连云港市、宿迁市）2016届高三最后一次模拟考试】（本小题满分10分）在集合{1,2,3,4,,2}A n = 中，任取(,,*)m m n m n N ≤∈个元素构成集合m A . 若m A 的所有元素之和为偶数，则称m A 为A 的偶子集，其个数记为()f m ；m A 的所有元素之和为奇数，则称m A 为A 的奇子集，其个数记为()g m . 令()()()F m f m g m =-. （1）当2n =时，求(1),(2),(3)F F F 的值； （2）求()F m .【答案】（1）(1)0F =，(2)2F =-，(3)0F =，（2）22(1)C , ()0,m mn m F m m ⎧⎪-=⎨⎪⎩为偶数， 为奇数．(2)当m 为奇数时，偶子集的个数0224411()C C C C C C C C mm m m n n n nn n n n f m ---=++++ ，奇子集的个数11330()C C C C C C m m m n nn nn n g m --=+++ ， 所以()(),()()()0f m g m F m f m g m ==-=． …………………………………6分 当m 为偶数时，偶子集的个数022440()C C C C C C C C mm m m n n n nn n n n f m --=++++ ，奇子集的个数113311()C C C C C C m m m n nn nn n g m ---=+++ ， 所以()()()F m f m g m =-0112233110C C C C C C C C C C C C m m m m m m n n n n n n n nn n n n ----=-+-+-+ ． ………7分 一方面，122122(1)(1)(C C C C )[C C C (1)C ]nnnnnnnn n n n n n n n x x x x x x x x +-=++++-+-+- 所以(1)(1)n n x x +-中m x 的系数为0112233110C C C C C C C C C C C C m m m m m m n n n n n n n nn n n n -----+-+-+ ； …………………8分另一方面，2(1)(1)(1)n n n x x x +-=-，2(1)nx -中mx 的系数为22(1)C m m n-，故()F m =22(1)C m mn-．综上，22(1)C , ()0,m mn m F m m ⎧⎪-=⎨⎪⎩为偶数， 为奇数． ……………………………………………10分11. 【盐城市2016届高三年级第三次模拟考试】（本小题满分10分）记2222*234()(32))(2,)n f n n C C C C n n N =+++++≥∈ （.（1）求(2),(3),(4)f f f 的值；（2）当*2,n n N ≥∈时，试猜想所有()f n 的最大公约数，并证明. 【答案】（1）(2)8,(3)44,(4)140f f f ===（2）4.【解析】（1）因为222232341()(32)()(32)n n f n n C C C C n C +=+++++=+ ， 所以(2)8,(3)44,(4)140f f f ===. ……………………3分12. 【江苏省扬州中学2015—2016学年第二学期质量检测】设数列{}n a （n N ∈）为正实数数列，且满足20nin i n i ni C a aa -==∑.（1）若24a =，写出10,a a ；（2）判断{}n a 是否为等比数列？若是，请证明；若不是，请说明理由. 【答案】（1）2,110==a a （2）是等比数列【解析】（1）当1n =时，0121011011102C a a C a a a a a +=⇒= 当2n =时，01222022*********C a a C a a C a a a a a ++=⇒= 因为24a =，所以2,110==a a（2）假设对于n i n N ≤∈，，均有02n n a a =，则当1n i =+时，2121110101022(22)2i i i i i i a a a a a a ++++++=+-⇒= 综上，02nn a a =，{}n a 为等比数列 13. 各项均为正数的数列{}n x 对一切*n ∈N 均满足112n n x x ++<．证明： （1）1n n x x +<； （2）111n x n-<<．（2）下面用数学归纳法证明：11n x n>-． ① 当1n =时，由题设10x >可知结论成立；② 假设n k =时，11k x k>-， 当1n k =+时，由（1）得，11111121121k kk x x k k k +>>==--++⎛⎫-- ⎪⎝⎭． 由①，②可得，11n x n>-． 下面先证明1n x ≤． 假设存在自然数k ，使得1k x >，则一定存在自然数m ，使得11k x m>+． 因为112k k x x ++<，11112121k kmx x m m +>>=--⎛⎫-+ ⎪⎝⎭， 21111122211k k m x x m m ++->>=--⎛⎫-+ ⎪-⎝⎭， ，()()1221k m m m x m m +--->=--，与题设112k k x x ++<矛盾，所以，1n x ≤． 若1k x =，则11k k x x +>=，根据上述证明可知存在矛盾． 所以1n x <成立．14. 已知数列{b n }是等差数列，b 1＝1，b 1＋b 2＋…＋b 10＝145. (1)求数列{b n }的通项公式b n ； (2)设数列{a n }的通项a n ＝log a 11n b ⎛⎫⎪⎝⎭＋(其中a ＞0且a≠1)．记S n 是数列{a n }的前n 项和，试比较S n 与13log a b n＋1的大小，并证明你的结论.(2)由b n ＝3n －2，知S n ＝log a (1＋1)＋log a 114⎛⎫ ⎪⎝⎭＋＋…＋log a 1132n ⎛⎫⎪-⎝⎭＋＝log a 111111432n ⎛⎫⎛⎫⋯ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭（＋）＋＋而13log a b n ＋1＝logS n 与13log a b n ＋1的大小 比较 (1＋1)1111432n ⎛⎫⎛⎫⋯ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭＋＋的大小. 取n ＝1，有1＋1， 取n ＝2，有(1＋1)114⎛⎫ ⎪⎝⎭＋.推测(1＋1)114⎛⎫ ⎪⎝⎭＋…1132n ⎛⎫ ⎪-⎝⎭＋(*)15.已知函数()2ln ,(1)0bf x ax x f x=--= （Ⅰ）若函数()f x 在其定义域上为单调函数,求a 的取值范围； （Ⅱ）若函数()f x 的图像在1x =处的切线的斜率为0，211()11n n a f n a n +'=-+-+，已知14,a =求证：22n a n ≥+ （Ⅲ）在（2）的条件下，试比较12311111111n a a a a ++++++++ 与25的大小，并说明理由.【解析】 (Ⅰ) ∵f(1)=a-b=0 ∴a=b∴()2ln af x ax x x=-- ∴22222()a ax x af x a x x x -+'=+-=要使函数()f x 在其定义域上为单调函数，则在定义域（0，+∞）内()f x '恒大于等于0或恒小于等于0， 当a=0时，2()0f x x'=-<在（0，+∞）内恒成立； 当a>0时， 222()0ax x a f x x -+'=≥恒成立，则2440a ∆=-≤∴1a ≥ 当a<0时， 222()0ax x af x x -+'=≤恒成立∴a 的取值范围是:(][),01,-∞⋃+∞ 5分（Ⅲ）由（2）得211112(1)1(22)1n n n n n a a n a a a n ----=--+=-++[]112(1)222121n n a n n a --≥-+-++=+于是112(1)(2)n a a n +≥+≥所以2112(1),a a +≥+3212(1),a a +≥+ ，112(1),n n a a -+≥+累称得：1112(1),n n a a -+≥+则11111(2)121n n n a a -≤⋅≥++ 所以211211111111(1)1111222n n a a a a -++⋅⋅⋅+≤+++⋅⋅⋅+++++ 212(1)525n =-<.。
【状元360】高考数学一轮复习 13.4 数学归纳法(二)课件 理
证明(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝2，不等式成立． (2)假设当n＝k(k≥1)时，命题成立，即 1 1 1 1＋ ＋ ＋…＋ ＜2 k 2 3 k 1 1 1 1 ∵当n＝k＋1时：左边＝1＋ ＋ ＋…＋ ＋ 2 3 k k＋1 2 kk＋1＋1 1 ＜2 k＋ ＝ ① k＋1 k＋1 k＋k＋1＋1 ＜ ＝2 k＋1＝右边， k＋1 ∴当n＝k＋1时，不等式也成立． 综合(1)(2)知，对∀n∈N*，原不等式都成立．
方法点拨： 证明不等式问题中，从“n＝k”到“n＝k＋1”的过渡 中涉及放缩问题，可用“比较法、分析法、综合法”等来分 析放缩尺度，准确地拼凑出所需的结构.
考点三 递推、猜想、数学归纳证明 示范3 设数列{an}的前n项和为Sn，且方程x2－anx－an＝ 0有一根为Sn－1(n＝1,2,3，…)， (1)求a1，a2； (2)求数列{an}的通项公式．
展示2 1＋22＋33＋…＋nn 已知an＝ ， n＋1n 求证：an＜1.
1 【证明】(1)当n＝1时，a1＝2＜1，不等式成立． (2)假设当n＝k(k∈N*)时，不等式成立， 1＋22＋33＋…＋kk 即ak＝ ＜1，亦即1＋22＋33＋…＋kk＜ k k＋1 2 3 k k＋1 1 ＋ 2 ＋ 3 ＋ … ＋ k ＋ k ＋ 1 (k＋1)k.则ak＋1＝ ＜ k＋1 [k＋1＋1] k＋1k＋k＋1k＋1 k＋1kk＋2 k＋1k ＝ ＝ ＋ ＋ ＜1.∴n＝k＋1时， k ＋ 2 k＋2k 1 k＋2k 1 不等式成立． 由(1)(2)，知对∀n∈N*，an＜1.
证明 (1)当n＝3时，三角形对角线条数为0，f(3)＝0成立． 1 (2)假设n＝k(k≥3)时命题成立，即f(k)＝2k(k－3)． 那么当n＝k＋1时，凸多边形A1A2…AkAk＋1，连结 A1Ak，则凸多边形A1A2…Ak的对角线条数f(k)，Ak＋1与A2， A3，…，Ak－1相连构成了k－2条对角线，而A1Ak也是对角 1 1 线，∴f(k＋1)＝f(k)＋(k－2)＋1＝2k(k－3)＋k－1＝2(k＋1)[(k ＋1)－3]． 即n＝k＋1时命题成立． 综合(1)(2)知，对∀n∈N*(n≥3)，命题成立．
2017年高考数学(理)一轮复习讲练测 专题13.4 数学归纳法(讲) 含解析
【课前小测摸底细】1.【人教A 版选修2-2第106页】用数学归纳法证明222(1)(21)126n n n n +++++=．2.【2015江苏高考，23】（本小题满分10分）已知集合{}3,2,1=X ,{})(,,3,2,1*N n n Y n∈= ，{,),(a b b a b a S n整除或整除=}n Y b X a ∈∈,,令()f n 表示集合n S 所含元素的个数。
（1)写出(6)f 的值；（2）当6n ≥时，写出()f n 的表达式,并用数学归纳法证明.【答案】(1）13（2)()2,623112,612322,622312,632312,6423122,6523n n n n t n n n n t n n n n t f n n n n n t n n n n t n n n n t ⎧⎛⎫+++= ⎪⎪⎝⎭⎪⎪--⎛⎫+++=+⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪-⎛⎫+++=+⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨-⎛⎫⎪+++=+ ⎪⎪⎝⎭⎪-⎛⎫⎪+++=+ ⎪⎪⎝⎭⎪--⎛⎫⎪+++=+ ⎪⎪⎝⎭⎩【解析】①当6n =时，()666621323f =+++=，结论成立； ②假设n k =（6k ≥）时结论成立，那么1n k =+时,1k S +在kS 的基础上新增加的元素在()1,1k +,()2,1k +，()3,1k +中产生，分以下情形讨论：3. 【2016宁夏模拟】用数学归纳法证明22222222(21)12(1)(1)213n n n n n ++++-++-+++=时,由n k=时的假设到证明1n k =+时,等式左边应添加的式子是（）A ．22(1)2k k ++ B ．22(1)k k ++C ．2(1)k + D ．21(1)[2(1)1]3k k +++【答案】B 【解析】试题分析：n k =时,左边为222(1)(1)k k k +-++-+，1n k =+时，左边为22222(1)(1)(1)k k k k k +-+++++-+,可见左边添加的式子为22(1)k k ++．故选B ． 4。
高考数学一轮总复习试题解析
高考数学一轮总复习试题解析
一、选择题解析
1. 数列问题
解析：
2. 几何问题
解析：
3. 函数问题
解析：
二、填空题解析
解析：
三、解答题解析
解析：
第一题：
第二题：
第三题：
总结：
通过本次试题解析，我们对高考数学一轮总复习的相关知识点有了更深入的了解。
在做选择题时，要注意题意的理解和运算步骤的正
确性，特别是在数列、几何和函数等问题中。
在填空题中，要灵活运
用所学的知识点，注意填写答案的规范性。
在解答题中，要有清晰的
思路和合理的结论，同时注重解题过程的逻辑性和严谨性。
希望以上试题解析能够对您的高考备考有所帮助，祝您考试顺利！。
[教学]高考数学总复习经典测试题解析版134数学归纳法.docx
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9 ?用数学归纳法证明：
2
2
2
1X3 + 3X5+ "' +(2n-l) (2n+1) =2(2n+1);当推证当 n = k+1 等式也成“
时，用上归纳假设后需要证明的等式是
解析当 n = k+l 时，
___________?
I 2 22
1?
(k+lF
IX3 十 3X5 十…十 ( 2k—1) (2k+l) 十 ( 2k+l) (2k + 3)
用姒子厂 I 才 j 低也力 2 3 4
2/?-1 2 刀 n+1 71+2
—, 则
2n 人」
1
A ---------------
2A+2
C ——- ————— - —— 2k+1 2k+2
2k+2
[) ——- ——+——- —— 2k+ r 2A+2
解析 I?当 n=k 时，左侧 =1—*+￡—* ----------- 2 k —[~2^ 9 当 n=k~^~ 】时，
的基础上加上 ().
A. #+1 B. (A+1) 2
仏 +1)" + 仇+1)2
匚
2
D. (#+1) + ( 才+2) + ( 才 +3) + …＋幺+1)2［来洙学科网］
解析 ???当 n=k 时，左侧 =1+2+3 +??? +护 ,
当 n— 时，
左侧 =1 + 2+3+??? + #+(#+1)+??? +(&+1)2,
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【课前小测摸底细】1.【人教A 版选修2-2第106页】用数学归纳法证明 222(1)(21)126n n n n +++++=．2.【2015江苏高考，23】（本小题满分10分）已知集合{}3,2,1=X ，{})(,,3,2,1*N n n Y n ∈= ，{,),(a b b a b a S n 整除或整除=}n Y b X a ∈∈,，令()f n 表示集合n S 所含元素的个数.（1）写出(6)f 的值；（2）当6n ≥时，写出()f n 的表达式，并用数学归纳法证明.【答案】（1）13（2）()2,623112,612322,622312,632312,6423122,6523n n n n t n n n n t n n n n t f n n n n n t n n n n t n n n n t ⎧⎛⎫+++= ⎪⎪⎝⎭⎪⎪--⎛⎫+++=+⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪-⎛⎫+++=+⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨-⎛⎫⎪+++=+ ⎪⎪⎝⎭⎪-⎛⎫⎪+++=+ ⎪⎪⎝⎭⎪--⎛⎫⎪+++=+ ⎪⎪⎝⎭⎩【解析】①当6n =时，()666621323f =+++=，结论成立； ②假设n k =（6k ≥）时结论成立，那么1n k =+时，1k S +在k S 的基础上新增加的元素在()1,1k +，()2,1k +，()3,1k +中产生，分以下情形讨论：3.【2016宁夏模拟】用数学归纳法证明22222222(21)12(1)(1)213n n n n n ++++-++-+++=时，由n k =时的假设到证明1n k =+时，等式左边应添加的式子是（ ） A ．22(1)2k k ++ B ．22(1)k k ++ C ．2(1)k + D ．21(1)[2(1)1]3k k +++ 【答案】B 【解析】试题分析：n k =时，左边为222(1)(1)k k k +-++-+，1n k =+时，左边为22222(1)(1)(1)k k k k k +-+++++-+，可见左边添加的式子为22(1)k k ++．故选B ．4.【基础经典试题】已知数列{a n }，a n ≥0，a 1＝0，a 2n ＋1＋a n ＋1－1＝a 2n .求证：当n ∈N *时，a n <a n ＋1.5.【改编题】用数学归纳法证明1＋a ＋2a ＋…＋1n a +＝-211n a a+--(a ≠1，n ∈N *)，在验证n＝1成立时，左边的项是( )A ．1B ．1＋aC ．1＋a ＋2aD ．1＋a ＋2a +4a 【答案】C【解析】由题意知，等式左边：221n a a a ++++⋅⋅⋅+，所以当1n =时，左边= 21a a ++.故选C.【考点深度剖析】1．数学归纳法常以压轴题的形式出现，用以证明一些结论，以解答题考查为主． 【经典例题精析】 考点1 数学归纳法【1-1】用数学归纳法证明：“()111112321n n n ++++<>-K ”，由()1n k k =>不等式成立，推证1n k =+时，左边应增加的项的项数是 ． 【答案】2k【解析】试题分析：分母是公差为1的等差数列，当k n =时，最后一项的分母是12-k，当1+=k n 时，最后一项的分母是121-+k ，增加的项数为()()k k k 212121=---+项，故填：k 2.【1-2】若*111()1()2331f n n n =++++∈-N ，则对于*k ∈N ，(1)()f k f k +=+．【答案】23113131++++k k k【1-3】在数列{}n a 中，11a =，214a =，且()()112n n n n a a n n a +-=≥-. （1）求3a 、4a，猜想n a 的表达式，并加以证明； （2）设n b =，求证：对任意的自然数n N *∈，都有12n b b b +++<； 【解析】 （1）()11n n nn a a n a +-=-，且11a=，214a =， 23211412724a a a ∴===--，34312217131037a a a ⨯===--， 猜想：n N *∀∈，132n a n =-，假设()n k k N *=∈时，猜想成立，即132k a k =-，则当1n k =+时，()()12211111323213213213232k k k k k k a k k k a k k k a k k k k k +--⋅----====-------- ()1131312k k ==++-，这说明，当1n k =+时，猜想也成立， 由归纳原理知n N *∀∈，132n a n =-；【课本回眸】1. 一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法，通常叫做归纳法．根据推理过程中考查的对象是涉及事物的全体或部分可分为完全归纳法和不完全归纳法．2．数学归纳法：设{}n p 是一个与正整数相关的命题集合，如果：①证明起始命题1p (或0p )成立；②在假设k p 成立的前提下，推出1k p +也成立，那么可以断定{}n p 对一切正整数成立． 3. 用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题时，其步骤为： ①归纳奠基：证明当取第一个自然数0n 时命题成立；②归纳递推：假设n k =，(k N *∈，0k n ≥)时，命题成立，证明当1n k =+时，命题成立； ③由①②得出结论． 【方法规律技巧】1. 明确数学归纳法的两步证明数学归纳法是一种只适用于与正整数有关的命题的证明方法，它们的表述严格而且规范，两个步骤缺一不可．第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，第二步中，归纳假设起着“已知条件”的作用，在n ＝k ＋1时一定要运用它，否则就不是数学归纳法．第二步的关键是“一凑假设，二凑结论”．2. 用数学归纳法证明等式应注意的问题(1)用数学归纳法证明等式问题是常见题型，其关键点在于弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，以及初始值0n 的值．(2)由n k =到1n k =+时，除考虑等式两边变化的项外还要充分利用n k =时的式子，即充分利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明．弄清左端应增加的项，明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等．简言之：两个步骤、一个结论；递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉． 3. 数学归纳法证明不等式的注意问题(1)当遇到与正整数n 有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法．(2)用数学归纳法证明不等式的关键是由n k =成立，推证1n k =+时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、作差(作商)比较法、放缩法等证明．4. “归纳——猜想——证明”的模式，是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式．其一般思路是：通过观察有限个特例，猜想出一般性的结论，然后用数学归纳法证明．这种方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题中有着广泛的应用．其关键是观察、分析、归纳、猜想，探索出一般规律．5. 使用数学归纳法需要注意的三个问题 在使用数学归纳法时还要明确：(1)数学归纳法是一种完全归纳法，其中前两步在推理中的作用是：第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，二者缺一不可；(2)在运用数学归纳法时，要注意起点0n ，并非一定取1，也可能取0,2等值，要看清题目； (3)第二步证明的关键是要运用归纳假设，特别要弄清楚由n k =到1n k =+时命题变化的情况．6. 数学归纳法常用于与正整数有关命题的证明可用数学归纳法．例如根据递推公式写出数列的前几项，通过观察项与项数的关系，猜想出数列的通项公式，再用数学归纳法进行证明，初步形成“观察—归纳—猜想—证明”的思维模式；利用数学归纳法证明不等式时，要注意放缩法的应用，放缩的方向应朝着结论的方向进行，可通过变化分子或分母，通过裂项相消等方法达到证明的目的． 【新题变式探究】【变式一】某个命题与正整数有关，如果当n ＝k (k ∈N ＋)时，该命题成立，那么可推得当n ＝k ＋1时命题也成立．现在已知当n ＝5时，该命题不成立，那么可推得( )． A ．当n ＝6时该命题不成立 B ．当n ＝6时该命题成立 C ．当n ＝4时该命题不成立 D ．当n ＝4时该命题成立 【答案】C【变式二】已知1x ，2x 是函数2()f x x mx t =++的两个零点，其中常数m ，t ∈Z ，设120()nn r rn r T x x n -*==∈∑N ．（Ⅰ）用m ， t 表示1T ，2T ； （Ⅱ）求证：543T mT tT =--； （Ⅲ）求证：对任意的,n n T *∈∈N Z ．三、易错试题常警惕易错典例：在数列{a n }、{b n }中，a 1＝2，b 1＝4，且a n ，b n ，a n ＋1成等差数列，b n ，a n ＋1，b n＋1成等比数列(n ∈N *)．(1)求a 2，a 3，a 4及b 2，b 3，b 4，由此猜测{a n }，{b n }的通项公式，并证明你的结论； (2)证明：1a 1＋b 1＋1a 2＋b 2＋…＋1a n ＋b n ＜512. 易错分析：不是所有与n 有关的问题都用数学归纳法,本题由于不等式的右端为常数，结论本身是不能用数学归纳法证明的，可考虑用放缩法证明，也可考虑加强不等式后，用数学归纳法证明．n认为是1，如证明多边形内角和定理温馨提醒：1．数学归纳法证题时，误把第一个值()2-时，初始值nπn＝3.2．数学归纳法证题的关键是第二步，证题时应注意：①必须利用归纳假设作基础；②证明中可利用综合法、分析法、反证法等方法；③解题时要搞清从=+增加了哪些项或减少了哪些项．3.把归纳假设当做已知条件参加推理.明确n kn k=到1对下一个正整数值命题成立的目标，通过适当的变换达到这个目标，这里可以使用综合法，也可以使用分析法，甚至可以再次使用数学归纳法.。