(河北衡水)§1.3.2 秦九韶算法和进位制实验班学案

1.3.2 秦九韶算法和进位制学案
一、学习目标
1、通过案例进一步体会算法的思想。

2、理解辗转相除法，更相减损法，秦九韶算法 二、自学导引
1.进位制是人们为了 和 而约定的记数系统，“满k 进一”就是 ，k 进制的基数是
2.为了区分不同的进位制，常在 标明基数如二进制数
(2)10六进制数(6)234等，
一般不标注基数。

3.把十进制数化为k 进制数的方法是除k 取余法，其步骤为： 第一步：将所给的十进制数除以基数k ，余数便是等值的k 进制数的最 位。

第二步：将上一步的商再除以基数k ，余数便是等值的k 进制数的次低位。

第三步：重复第二步，直到所得的商等于0为止，各次除得的余数，便是k 进制各位的数，最后一次的余数是最 位。

4.k
进制数
110()n n k a a a a - 化为十进制为
110110n n n n a k a k a k a k --⨯+⨯++⨯+⨯
5.秦九韶算法是我国南宋科学家秦九韶在他的代表作《数学九章》中提出的一种用于计算 的值的方法。

6.用秦九韶算法求多项式()n n f x a x =
121210n n n n a x a x a x a ----+++++ 当0x x =时计算方法如
下：
121210()n n n n n n f x a x a x a x a x a ----=+++++
1231210()n n n n n n a x a x a x a x a -----=+++++
231210(())n n n n a x a x a x a x a ---=+++++ =
1210((()))n n n a x a x a x a x a --=⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++从上式发现：首先计算
11n n v a x a -=+，再计算212n v v x a -=+，
323n v v x a -=+，
…10n n v v x a -=+则n v 就等于0()f x 这样只需做 次乘法运算， 加法运算。

三、典型例题 （一）秦九韶算法
例1用秦九韶算法求多项式
5432()3835126f x x x x x x =+-++-当2x =时的值.
变式1
用秦九韶算法求多项式
765432()73532f x x x x x x x x =++++++
当2x =时的值.
（二）k 进制转化为十进制 步骤：（1）把k 进制数写成不同数位上的数字与k 的幂的乘积之和的形式。

（2）按十进制的运算规则运算出结果。

例2.把八进制数(8)314706化为十进制数。

变式2：
比较(2)11111，(6)210，(4)100的大小
例3设计一个算法，把k 进制a （共有n 位）化为十进制数b
变式3：
计算(2)(5)1011203+的值
（三）把十进制转化为k进制
例4．将十进制数8543转化为七进制数。

例5
用“除k取余法”将十进制数2008转化为二进制和八进制。

（四）进位制的综合应用
把一个非十进制数转化为另一个非十进制数，要先把这个数化为十进制数，再利用“除k取余法”化为另一个十进制数。

例6.把五进制数
(5)
1234转化为十进制数，再把它转化为八进制数。

变式4
将七进制数
(7)
235转化为八进制数。

练习：
1.用秦九韶算法计算多项式
65432
()3456781
f x x x x x x x
=++++++当0.4
x=需要
做的乘法和加法的次数是（）
A.6,6
B.5,6
C.5,5
D.6,5
2.关于进位制说法错误的是（）
A．进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统。

B．二进制就是满二进一，十进制就是满十进一。

C．满几进几，就是几进制，几进制的基数就是几。

D．为了区分不同的进位制，必须在数的右下角标注基数。

3.下列各数中最小的数是（）
A.
(2)
111111 B.
(6)
210
C.
(4)
1000 D.
(8)
81
4.四位二进制数中能表示最大的十进制数位
（）
A. 4
B. 15
C. 64
D.127
二．计算
5.用秦九韶算法求多项式
765432
()765432
f x x x x x x x x
=++++++当3
x=的值
6.把
(3)
20121化为四进制
1.3.2秦九韶算法和进位制答案
二、自学引导：
1．记数 运算方便 k 进制 k 2．数的右下角 十进制数 3．低 高
5．一元n 次多项式 6．n n 三、典型问题
例1．解析：5
4
3
2
()3835126f x x x x x x =+-++-
((((38)3)5)12)6x x x x x =+-++-
而2x =，所以有：03;v =
10432814v v x a =+=⨯+=； 213142325v v x a =+=⨯-= 322142555v v x a =+=⨯+= 43155212122v v x a =+=⨯+= 54012226238v v x a =+=⨯-=
即当2x =
5432()3835126f x x x x x x =+-++-
的值为238 变式一解析：
765432()73532f x x x x x x x x =++++++
((((((73)5)1)3)2)1)x x x x x x x
=++++++所
以
0107,17
v v v x a ==+
= 21539v v x a =+= 32479v v x a =+=
433161v v x a =+= 542324v v x a =+= 1298156=+=a x v v
()f x 当2x =时的值是1298
例2解析：
5432(8)31470638184878=⨯+⨯+⨯+⨯
100868+⨯+⨯=104902，所以，化为十进制数为104902
变式2解析：
43210(2)11111121212121231=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=210(6)21026160678=⨯+⨯+⨯= 2(4)1001416=⨯=
所以(6)(2)(4)21011111100>>
例
3
程序：INPUT “a ，k ，n ” b=0
i=1
t=a MOD 10 DO
*(1)b b t k i ∧=+-
\10a a =
t = a MOD 10 i= i+1
LOOP UNTIL i >n PRINT b END
例4
变式3解析：
3210
(2)10111202121211=⨯+⨯+⨯+⨯=210(5)20325053553=⨯+⨯+⨯=
所以 (2)(5)101120364+= 例
5
例6解析
3210(5)123415253545194
=⨯+⨯+⨯+⨯=
则(8)194302= 变式4解析：
练习
1.A 提示多项式的乘法和加法的运算次数取决于多项式的次数
2.D 十进制不用标注基数
3.A 提示不同进制数之间不能进行大小比较，都把它转化成十进制数再比较
4.B 提示：四位二进制数能表示的最大十进制数应该是四位二进制数中最大的即
(2)111115=
5.解析：
765432()765432f x x x x x x x x
=++++++.
((((((76)5)4)3)2)1)x x x x x x x
=++++++所
以
0107,27v v v
x a
==+= 21586v v x a =+= 324262v v x a =+= 433789v v x a =+= 5422369v v x a =+= 21324156=+=a x v v
()f x 当3x =时的值是21324
6.
.
8
8。