用二重积分推导水压力的计算公式
水闸计算公式范文
水闸计算公式范文
1.伯努利方程
伯努利方程是流体力学中的基本方程，描述了流体在静态和动态压力
之间的关系。
对于水闸来说，伯努利方程可以写为如下形式：P + 0.5ρv^2 + ρgh = constant
其中，P是水闸中的压力，ρ是水的密度，v是水的流速，g是重力
加速度，h是离地面的高度。
2.底孔流量公式
底孔流量公式用于计算水闸中通过底孔流出的水量。
底孔流量公式与
伯努利方程相结合，可以写为如下形式：
Q = CdA√2gh
其中，Q是流出水量，Cd是底孔流出系数，A是底孔的面积，g是重
力加速度，h是水头。
3.承压能力公式
承压能力公式用于计算水闸的承压能力，即水闸可以承受的最大压力。
承压能力公式可以写为如下形式：
F=A*σ
其中，F是水闸的承压能力，A是水闸的截面积，σ是水闸材料的抗
压强度。
对于具体的水闸设计，需要根据实际情况选择适用的计算公式，并考虑因素如闸门的形状、尺寸、材料、水流的动力特性、水势差、孔口形状等。
这些因素会对水闸的流量和承压能力产生影响，因此需要综合考虑进行合理的设计和计算。
此外，水闸的计算还涉及到其他因素如水位、水流速度、泄水能力、闸门运动机构以及周围环境等的考虑。
因此，在进行水闸计算时，需要综合考虑各个方面的因素，并使用适当的计算公式，以确保水闸的正常运行和安全性。
以上是水闸计算公式的基本介绍，具体的计算过程和公式选择需要根据实际情况进行。
对于精确的水闸计算，可以使用专业的水力学软件或请相关专业人士进行计算和设计。
注电考试最新版教材-第17讲 数学：积分学(六)
平面曲线积分的计算法 1 第一类曲线积分的计算法设 f ( x ，y)在曲线弧L 上连续，L 的参数方程为在［a ，β］上具有一阶连续导数，且如果曲线 L 由方程y =y (x) ( a ≤x ≤b ）给出，则有如果曲线由方程ρ=ρ(θ)（α≤θ≤β）给出，则有2 第二类曲线积分的计算法设函数P （x ， y ) , Q ( x ，y)在有向曲线弧 L 上连续, L 的参数方程为()()x t y t ϕψ=⎧⎨=⎩.当t 单调地由a 变到β时，点 M 从起点 A 沿 L 运动到终点 B ，(),()t t ϕψ在［ a ，β］或 [ β,α]上具有一阶连续导数，如果有向曲线 L 由方程 y = y (x ）给出（x ： a → b ) ，则有格林公式定理 设闭区域 D 由分段光滑的曲线 L 围成，函数P （ x ，y ）及 Q （ x ，y)在 D 上具有一阶连续偏导数，则有其中 L 是 D 的取正向的边界曲线。
上述公式称格林公式。
这一公式揭示了闭区域 D 上的二重积分与沿闭区域 D 的正向边界曲线 L 上的曲线积分之间的联系，利用这一联系使得两种积分的计算可以相互转化。
（四）例题【例 1- 3 - 22 】计算半径为 R 、中心角为 2a 的圆弧L 对于它的对称轴的转动惯量 I （线密度μ＝ 1 ）。
【解】取圆弧的圆心为原点，对称轴为 x 轴，并使圆弧位于y轴的右侧（图 1 一 36 ) ，则L 的参数方程为于是例题2计算Ly2dx，其中L是半径为 a 、圆心为原点、按逆时针方向绕行的上半圆周（图 1 -3-7 ）。
【解】 L 是参数方程为当参数θ从 0 变到π的曲线弧。
因此．积分的应用（一）定积分的应用1 ．几何应用（ 1 ）平面图形的面积1 ）直角坐标情形设平面图形由曲线 y = f （ x ）、y = g （ x ) （f（ x ) ≥g （ x ) ）和直线 x = a 、x = b所围成（图 1-3 - 8 ) ，则其面积。
七大积分总结
七大积分总结一． 定积分1.定积分的定义：设函数f(x)在[a,b]上有界，在区间[a,b]中任意插入n －1个分点：a=x 0<x 1<x 2<……<x i-1<x i <x i+1<……<x n-1<x n =b, 把区间[a,b]分成n 个小区间：[x 0,x 1]……[x i-1,x i ]……[x n-1,x n ]， 记△x i =x i －x i-1(i=1,2,3,……,n)为第i 个小区间的长度，在每个小区间上[x i-1,x i ]上任取一点ξi (x i-1≤ξi ≤i )，作乘积:f(ξi )△x i (i=1,2,3,……,n),并作合式： i i x f ∆=∑-)(S i n1ξ记λ=max{△x 1, △x 2, △x 3……, △x n },若不论对[a,b]怎样分法，也不论在小区间[x i-1,x i ]上点ξi 怎样取法，只要当λ→0时，S 的极限I 总存在，这时我们称I 为函数f(x)在区间[a,b]上定积分（简称积分），记做：∑⎰=→∆==ni i i bax f I dx x f 10)()(lim ξλ其中f(x)称为被积函数，f(x)dx 称为被积表达式，x 称为积分变量，a 称为积分下限，b 称为积分上限，[a,b]称为积分区间，∑=∆ni iixf 0)(ξ称为积分和。
如果f(x)在[a,b]上的定积分存在，则称f(x)在[a,b]上可积。
关于定积分的定义，作以下几点说明：（1） 积分值仅与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的字母记法无关，即⎰⎰⎰==b a b a ba du u f dt t f dx x f )()()(。
（2） 定义中区间的分法与ξi 的取法是任意的。
（3） 定义中涉及的极限过程中要求λ→0，表示对区间[a,b]无限细分的过程，随λ→0必有n →∞，反之n →∞并不能保证λ→0，定积分的实质是求某种特殊合式的极限： 例：∑⎰=∞→=ni nn i f dx x f 110n 1)()(lim （此特殊合式在计算中可以作为公式使用） 2.定积分的存在定理定理一 若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。
抽水管道压强计算公式
抽水管道压强计算公式在工程领域中，抽水管道是一种常见的设施，用于输送水或其他液体。
在设计和运行抽水管道时，了解管道内的压力是非常重要的。
压力的大小直接影响着管道的安全性和运行效率。
因此，我们需要一种可靠的方法来计算抽水管道的压力，以便合理地设计和运行管道系统。
抽水管道的压强计算公式是一个基本的工程公式，它可以用来计算管道内的压力。
这个公式可以帮助工程师和设计师快速准确地计算出管道内的压力，从而为管道系统的设计和运行提供重要参考。
抽水管道的压强计算公式可以表示为：P = ρgh + P0 + 1/2ρv^2。
其中，P表示管道内的压力，单位为帕斯卡（Pa）；ρ表示液体的密度，单位为千克/立方米（kg/m³）；g表示重力加速度，单位为米/秒²（m/s²）；h表示液体的高度，单位为米（m）；P0表示液体的静压力，单位为帕斯卡（Pa）；v表示液体的流速，单位为米/秒（m/s）。
在这个公式中，第一项ρgh表示液体的静压力，它是由于液体的重力作用而产生的压力。
第二项P0表示液体的静压力，它是由于液体的自身重量而产生的压力。
第三项1/2ρv^2表示液体的动压力，它是由于液体的流动而产生的压力。
这个公式可以很好地描述抽水管道内的压力情况。
在实际应用中，我们可以根据具体情况选择适当的参数值，然后代入公式进行计算。
通过这个公式，我们可以快速准确地计算出抽水管道内的压力，从而为管道系统的设计和运行提供重要参考。
在使用抽水管道的过程中，我们还需要注意一些与压力相关的问题。
首先，管道的设计和安装需要考虑管道内的压力情况，以确保管道系统的安全性和稳定性。
其次，管道的运行需要监测管道内的压力，及时发现并解决压力异常问题，以确保管道系统的正常运行。
总之，抽水管道的压强计算公式是一个非常重要的工程公式，它可以帮助工程师和设计师快速准确地计算出管道内的压力，为管道系统的设计和运行提供重要参考。
在实际应用中，我们需要根据具体情况选择适当的参数值，然后代入公式进行计算。
考研数学二分类模拟261
考研数学二分类模拟261解答题1. 计算二重积分，其中D={(x，y)|(x-1)2+(y-1)2≤2，y≥x}．正确答案：解：令u=x-1，v=y-1，则D变为D'={(u，v)|u2+v2≤2，v≥u}，且于是[考点] 二重积分的计算．[解析] 本题的积分区域较复杂，可先换元再计算二重积分．2. 设函数y(x)(x≥0)二阶可导，且y'(x)＞0，y(0)=1．过曲线y=y(x)上任意一点P(x，y)作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S1，在区间[0，x]上以y=y(x)为曲边的曲边梯形的面积记为S2，并设2S1-S2恒为1，求此曲线y=y(x)的方程．正确答案：解：y=y(x)在点P处的切线方程为Y-y=y'(X-x)．令Y=0，则于是，故由2S1-S2=1知两边对x求导，得从而yy"-(y')2=0．令y'=p(y)，则由于y(0)=1，又对令x=0得y'(0)=1，从而C1=1，C2=0，故所求曲线方程为y=e x.[考点] 微分方程的几何应用，可降阶的微分方程的解法．[解析] 根据2S1-S2=1，便能得到一个含变限积分的等式，两边求导，就能得到一个形如y"=f(y，y')的可降阶的微分方程．对令x=0可得y'(0)=1，用于确定通解中一个任意常数的取值．3. 设f(x)在x=0的某邻域内二阶可导，且求f(0)，f'(0)，f"(0)的值．正确答案：解：由题意得只有f(0)=-1，f'(0)=0，从而求得f'(0)=-1，f'(0)=0，[考点] 已知极限求抽象函数的导数．[解析] 利用泰勒公式求解．4. 设不定积分的结果中不含对数函数，求常数α，β，γ，δ应满足的充分必要条件，并计算此不定积分．正确答案：解：对于部分分式若A≠0，则积分之后会出现对数函数；若C≠0，则也会出现对数函数，因此A=0且C=0．将它们代入式①后通分，并令两边分子相等，得αx3+βx2+γx+δ=B(x2+x+1)+D(x-1)2=(B+D)x2+(B-2D)x+(B+D).所以α=0，β=B+D，γ=B-2D，δ=B+D，从而推得α=0，β=δ以及γ可以任意．当满足上述条件时，被积函数为，因此，[考点] 有理分式的不定积分求解．[解析] 用待定系数法进行分式分解求不定积分．计算有理函数的积分时，要将有理分式分解为部分分式，但必须熟悉分解原理，最终将其化为这4种形式．已知函数f(x)=e-x sinx，求：5. ∫f(x)dx．正确答案：解：由分部积分知[考点] 有关周期函数定积分的计算．[解析] 根据函数的周期性利用区间的可加性求解．这是一道综合性较强的题目，先根据|sinx|的周期性划分积分区间，去掉被积函数中的绝对值，然后再计算定积分．6.正确答案：解：令，又因为|sinx|=(-1)(k+1)sinx，x∈[(k-1)π，kπ]，coskπ=(-1)k，sinkπ=0，所以[考点] 有关周期函数定积分的计算．7. 证明：．正确答案：证明：由题意，有[考点] 周期函数的定积分与旋转体的体积．[解析] 根据周期性证明积分等式，利用定积分确定旋转体的体积，并求相关极限值．这是一道综合性较强的题目，根据|sinx|的周期性划分积分区间，利用已证明的等式求极限．8. 设f(x)=|sinx|在[0，(2n-1)π](n≥1)上与x轴所围区域绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为V n，求．正确答案：解：如下图所示，有所以[考点] 周期函数的定积分与旋转体的体积．9. 求积分正确答案：解：因为[考点] 定积分的计算．[解析] 用对称区间上定积分的性质求解．设f(x)连续，则常见的积分等式为10. 设矩阵证明AX=B有解，但BY=A无解的充分必要条件是a≠2，b=2．正确答案：解：首先容易得|A|=12(a-2)，且所以当a≠2，b=2时，矩阵A可逆，B不可逆，那么矩阵方程AX=B一定有解X=A-1B.而若矩阵方程BY=A有解，不妨设为Y0，那么对BY0=A取行列式可得|B||Y0|=|A|≠0，由此可知B也可逆，矛盾，所以矩阵方程BY=A无解．反之，若b≠2，则矩阵B可逆，所以矩阵方程BY=A一定有解y=B-1A，于是若BY=A无解，则b=2，在此情况下，对(A，B)进行初等行变换，化为阶梯形，有当a≠2时，显然r(A)=r(A，B)=3，所以矩阵方程AX=B有解．当a=2时，继续作初等行变换，有由此可知r(A)=2＜3=r(A，B)，所以矩阵方程AX=B无解，即AX=B有解的充分必要条件是a≠2．综上可知，矩阵方程AX=B有解，但BY=A无解的充分必要条件是a≠2，b=2．[考点] 矩阵方程．[解析] 利用矩阵方程解的判别条件证明．矩阵方程是线性代数的一个重要题型，实际上也是线性方程组的一种变形考查．本题用到了判别条件：矩阵方程AX=B有解r(A)=r(A，B)B的列向量可由A的列向量线性表示．下面的证明过程可以看出矩阵方程与线性方程组的密切联系．令X=(x1，x2，…，x n)，B=(b1，b2，…，b n)，则AX=B有解Ax i=b i都有解(i=1，…，n)r(A)=r(A，b i)(i=1，…，n)r(A)=r(A，B)．11. 设φ(x)是在[-a，a]上的连续正值函数，且定义证明：曲线y=f(x)在[-a，a]上是凹的．正确答案：证明：利用定积分的性质，得所以f"(x)=φ(x)-[-φ(x)]=2φ(x)＞0，x∈[-a，a].因此曲线y=f(x)在[-a，a]上是凹的．[考点] 含绝对值的积分的求解及函数的凸性．[解析] 利用变限积分的性质，求函数的二阶导数．本题的关键是先根据区间的可加性，去掉被积函数中的绝对值，然后再根据变限积分的性质求导数．12. 计算二重积分正确答案：解：因为f(-x，y)=-f(x，y)，且D关于y轴对称，故因为g(-x，y)=g(x，y)，且D关于y轴对称，故其中D1={(x，y)|x2+y2≤1，y≥x≥0}．于是[考点] 二重积分的计算．[解析] 本题可先利用二重积分的对称性，再利用极坐标计算二重积分． 本题应注意三角函数积分的计算．设方程组Ax=0的基础解系为α1=(1，1，1，0，2)T ，α2=(1，1，0，1，1)T ，α3=(1，0，1，1，2)T ，方程组Bx=0的基础解系为β1=(1，1，-1，-1，1)T，β2=(1，-1，1，-1，2)T ，β3=(1，-1，-1，1，1)T.13. 问线性方程组Ax=0和Bx=0是否有非零公共解?若有，则求出所有的非零公共解．若没有，则说明理由． 正确答案：解：考虑线性方程组对系数矩阵(α1，α2，α3，β1，β2，β3)作初等行变换化为行最简形矩阵因而得到方程组的基础解系(-2，0，2，-1，0，1)T，代入后得到的基础解系为ξ=-2α1+2α3=(0，-2，0，2，0)T，求得通解为x=(0，-k，0，k，0)T，其中k为任意非零常数．[考点] 线性方程组的公共解．[解析] 两个齐次线性方程组的公共解可以分别被两个方程组的基础解系线性表示，从而得到一个新的齐次线性方程组，求解即得公共解．公共解和同解的问题也是线性方程组的变形考查内容．1．公共解问题．(1)已知两个方程组的一般形式，联立即可求得公共解．(2)已知一个方程组的通解和另一个方程组的一般形式，代入即可求得公共解．(3)已知Ax=0和Bx=0的基础解系分别为ξ1，ξ2，…，ξs和η1，η2，…，ηt ，则公共解γ满足γ=x1ξ1+x2ξ2+…+x sξs=y1η1+y2η2+…+y tηt，则有齐次线性方程组x1ξ1+x2ξ2+…+x sξs-y1η1-y2η2+…-y tηt=0，解得x i或y i即可求得γ．2．同解问题．(1)齐次线性方程组Ax=0和Bx=0同解(2)非齐次线性方程组Ax=b1和Bx=b2有解，则Ax=b1和Bx=b2同解14. 求矩阵C=(A T，B T)的秩．正确答案：解：由此可见，矩阵C=(A T，B T)的秩为4．[考点] 线性方程组的公共解．求数列极限：15. ．正确答案：解：因为而由夹逼定理知[考点] n项和极限的求法．[解析] 夹逼定理求数列极限．16.正确答案：解：因为f(x)=sinx在内单调增加，则当n＞2时，由夹逼定理知，[考点] n项和极限的求法．17. 求微分方程y"+4y'+4y=e ax的通解，其中a为常数．正确答案：解：对于y"+4y'+4y=0，解特征方程r2+4r+4=0得r1=r2=-2，故其通解为Y=(C1+C2x)e-2x．当a≠-2时，设y*=b0e ax，代入原方程得(a2+4a+4)b0=1，即当a=-2时，设y*=b0x2e-2x，代入原方程得2b0=1，即所以，原方程的通解为[考点] 二阶常系数非齐次线性方程的求解．[解析] 原方程为自由项形如f(x)=eλx P m(x)(λ为常数，P m(x)为x的一个m 次多项式)的二阶常系数非齐次线性方程，应先求其对应齐次线性方程的通解，再求其自身的一个特解．值得注意的是，本题中参数a的取值影响了特解的形式，故应对其进行分类讨论．18. 试确定常数A，B，C的值，使正确答案：解：由题意得，则A=2．[考点] 已知极限求待定系数．[解析] 利用常见结论：已知极限存在确定待定常数的问题是考研数学的常考题型，其主要方法是将其转化为相应的极限求解．设求：19. 正交矩阵P，使得P-1AP为对角矩阵．正确答案：解：得λ1=a+2，λ2=λ3=a-1.当λ1=a+2时，得特征向量为当λ2=λ3=a-1时，得特征向量为[考点] 实对称矩阵的正交相似对角化，正定矩阵的性质．20. 正定矩阵C，使得C2=(a+3)E-A.正确答案：解：[考点] 实对称矩阵的正交相似对角化，正定矩阵的性质．[解析] 先把C2对角化，再反求矩阵C.本质上是相似对角化的应用问题，即已知相似对角化，反求矩阵，因此先把C2对角化，再反求矩阵C.21. 设f(x)在[a，b]上有二阶连续导数，证明：至少存在一点ξ∈(a，b)，使得正确答案：证明：令，将f(x)在x=c处进行泰勒展开，得其中，η介于x与c之间，取x=a，x=b，则其中，ξ1介于a与c之间，ξ2介于c与b之间．式①+式②得其中，m，M分别为f"(x)在[ξ1，ξ2]上的最小值和最大值．由介值定理可知，存在，使得[考点] 有关中值等式的证明问题．[解析] 利用泰勒公式证明．22. 已知问：(1)当a，b，c为何值时，方程组只有零解?(2)当a，b，c为何值时，方程组有无穷多解?并求通解．正确答案：解：系数行列式(1)当a≠b，b≠c，c≠a时，D≠0，方程组仅有零解x1=x2=x3=0．(2)下面分4种情况：1)当a=b≠c时，同解方程组为方程组有无穷多解，全部解为k1(1，-1，0)T，其中k1为任意常数．2)当a=c≠b时，同解方程组为方程组有无穷多解，全部解为k2(1，0，-1)T，其中k2为任意常数．3)当b=c≠a时，同解方程组为方程组有无穷多解，全部解为k3(0，1，-1)T，其中k3为任意常数．4)当a=b=c时，同解方程组为x1+x2+x3=0．方程组有无穷多解，全部解为k4(-1，1，0)T+k5(-1，0，1)T，其中k4，k5为任意常数．[考点] 具体型齐次线性方程组的求解．[解析] 先利用克拉默法则确定参数的范围，再对参数的不同取值用消元法求解．具体型线性方程组的求解难度不高，但需要注意两点：(1)如果系数矩阵是方阵，而且系数行列式容易求解，则先考虑克拉默法则；(2)含参数方程组的计算量相对较大，这也是近年来命题的一个趋势，所以必须计算过关!23. 设半径为R的圆形闸门，水面与其闸顶平齐，如下图所示，求闸门一侧所受的水压力(水密度为ρ，重力加速度为g)．正确答案：解：如下图所示，由微元法知故水压力为根据定积分的几何意义和奇函数在对称区间上积分的性质知(也可用换元法x=Rsint求解)P=ρgπR3+0=ρgπR3.[考点] 定积分的物理应用．[解析] 用微元法求水压力问题．24. 设f(x)在[0，1]上可导，f'(x)＞0，0≤t≤1，记S1(t)为y=f(x)，y=f(t)，x=0所围区域的面积，S2(t)为y=f(x)，y=f(t)，x=1所围区域的面积，证明：存在唯一的ξ∈(0，1)，使得S1(ξ)=kS2(ξ)，k＞0．正确答案：证明：依题设，如下图所示，有令F(t)=S1(t)-kS2(t)，其中k＞0，则由f'(x)＞0知，f(x)在[0，1]上单调增加，故由零点定理知，存在一点ξ∈(0，1)，使得F(ξ)=0，即S1(ξ)=kS2(ξ)，k＞0．下面证明ξ是唯一的．因为F'(t)=f(t)+tf'(t)-f(t)+k(1-t)f'(t)=tf'(t)+k(1-t)f'(t)＞0，故F(t)严格单调增加，从而ξ是唯一的．[考点] 用定积分求面积及函数零点的个数．[解析] 根据定积分的几何意义确定函数，通过单调性确定零点的个数．。
二重积分的几种计算方法
若为奇函数,则 ；若 偶函数，则 。
例1:计算 (1)
(2)计算积分 ，其中
解：(1) 因为 为偶函数，且积分区间是对称的，所以：
(2) 此题很容易出现计算错误
因为 是偶函数，且积分区间是对称的，所以
当处理到这一步时，发现无法做下去了，此积分不存在，那么哪里错了呢，回头再分析一下题目就会发现，原来积分里出现了断点 和 ，而且即使是采用积分区间可加性的性质，最后计算下来积分也不存在。
Key words: double integral; Symmetrical area; Parity; Polar coordinates; Integral order
0引言
在整个数学分析课程中，无疑我们接触最多的思想莫过于分割思想。从极限理论到函数连续性，从微分学再到积分学，分割思想无处不在；由二重积分的定义知道，若在区域D上可积，则与定积分情况一样，对任何分割 ，只要当 ，即分割细度无限小时，属于 的所有积分和都有 成立。因此对于二重积分的运算，我们不仅要把握积分定义，还要对积分区间的对称性、被积函数的奇偶性、换元思想、积分次序等计算方法熟悉掌握，从而能做到把二重积分转化为累次积分的简化计算；当然也不排除用积分定义、直角坐标系下求解二重积分、与积分路劲无关的格林公式等这些普遍通用的二重积分运算方法；但针对某些复杂的积分运算，为了避免耗时费力，不得不采取一些较为特殊的简化方法，极大地减少计算量！
关于二重积分在直角坐标系下的运算，教材侧重从几何推理出发，推导相应的积分运算公式。而对于二重积分的计算，研究积分区域关于直线对称、关于坐标轴对称、积分区域关于特殊直线对称、一般直线对称、积分区域为圆域或多条曲线围成的区域、积分运算极坐标转化等都只是一笔带过，而没做过多说明。二重积分的计算技巧极为重要，正确选取坐标系、进行适合的坐标变换、注重积分次果！当积分区域为对称区域时，一定要检验被积函数或被积函数的某一部分是否对某一变量具有奇偶性，尤其是对奇函数的部分!合理选择积分坐标运算、利用对称性，奇偶性，对于运算来说无疑是一种快车道。
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a⊥ b的充分必要条件是 a .b =0两向量垂直，则上式等于0（一）平面的方程设平面过点M0（ x0 , y0 , z0 ) ，它的一个法向量n =（A , B , C ) ，则平面Ⅱ的方程为此方程称为平面的点法式方程。
如，在方程Ax＋By＋Cz + D = 0 中，当D = 0 时，方程表示一个通过原点的平面；当A = 0 时，方程表示一个平行于 x 轴的平面；当 A = B = 0 时，方程表示一个平行于 x Oy的平面。
类似地，可得其他情形的结论。
（二）两平面的夹角由此可得Ⅱ1与Ⅱ2互相垂直相当于A1A2+B1B2+C1C2=0Ⅱ1与Ⅱ2平行相当于空间一点 P 0（ x 0，y0， z 0）到平面的距离，有以下公式：（二）两直线的夹角则 L 1 和 L 2的夹角ϕ可由下式确定：由此可得L 1和 L 2 互相垂直相当于L 1和 L 2平行相当于（三）直线与平面的夹角直线和它在平面上的投影直线的夹角ϕ称为直线与平面的夹角，通常规定02πϕ≤≤。
设直线的方程是平面的方程是则直线与平面的夹角φ由下式确定：由此可得直线与平面垂直相当于直线与平面平行或直线在平面上相当于 A m + B n + C P = 0极限（ l ） （极限的四则运算法则）利用准则I ’，可得一个重要极限利用准则II ，可得另一个重要极限其中 e 是一个无理数， e =2 . 71828 … … 当 x → 0时，有以下常用的等价无穷小：(0tan 2limsin 5x xx→)一般地，对有理分式函数其中P （ x ）、 Q （ x ）是多项式， 若0lim x Q χ→（x ）=Q （x 0） ≠0,则注意：若 Q （ x 0） = 0 ，则关于商的极限运算法则不能应用，需特殊考虑。
由函数在一点连续的定义可知,函数 f （ x ）在一点 x 0处连续的条件是: （ 1 ） f （ x o ）有定义； （ 2 ） 0lim ()x x f x → 存在；（ 3 ）00lim ()()x x f x f x →=若上述条件中任何一条不满足, 则f （ x ）在 x 0处就不连续，不连续的点就称函数的间断点。
高数公式大全
高等数学公式汇总第一章 一元函数的极限与连续1、一些初等函数公式：sin()sin cos cos sin cos()cos cos sin sin tan tan tan()1tan tan cot cot 1cot()cot cot ()()sh sh ch ch sh ch ch ch sh sh αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαββααβαβαβαβαβαβ±=±±=±±=⋅⋅±=±±=±±=±和差角公式：sin sin 2sincos22sin sin 2cos sin22cos cos 2cos cos22cos cos 2sin sin22αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+-+=+--=+-+=+--=和差化积公式： 1sin cos [sin()sin()]21cos sin [sin()sin()]21cos cos [cos()cos()]21sin sin [cos()cos()]2αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ=++-=+--=++-=+--积化和差公式：2222222222sin 22sin coscos 22cos 1 12sin cos sin 2tan tan 21tan cot 1cot 22cot 22212 21sh sh ch ch sh ch ch sh αααααααααααααααααααααα==-=-=-=--===+==-=+倍角公式：22222222sin cos 1;tan 1sec ;cot 1csc ;1sin 2cos 21cos sin tan 2sin 1cos 1cos sin cot2sin 1cos x x x x ch x sh x αααααααααααααα+=+=+=-===-===++===-半角公式：::ln(2::ln(211::ln21x xx xx x x x e e shx arshx x e e chx archx x shx e e xthx arthx chx e e x-----==++==±+-+===+-双曲正弦；反双曲正弦双曲余弦；反双曲余弦双曲正切；反双曲正切3322()()()a b a b a ab b ±=±+，222(1)(21)126n n n n +++++=22333(1)124n n n ++++=2、极限➢常用极限：1,lim 0n n q q →∞<=;1n a >=;lim 1n =➢ ln(1())limln(1())~()()lim[()()]1/()()0,(),lim[1()]f x f x f x g x f x g x g x f x g x f x ee ++±→→∞±=−−−−−−→若则➢ 两个重要极限100sin sin 1lim 1,lim 0;lim(1)lim(1)x x x x x x x x e x x x x→→∞→∞→==+==+ ➢:常用等价无穷小2111cos ~; ~sin ~arcsin ~arctan 1~;2 1~ln ; ~1;(1)~1; ln(1)~x x a x x x x x x x n a x a e x x ax x x--++++3、连续：定义：000lim 0;lim ()() x x x y f x f x ∆→→∆==00lim ()lim ()()()x x x x f x f x f x f x -+-+→→⇔==极限存在或 第二章 导数与微分1、 基本导数公式：00000000()()()()()limlim lim tan x x x x f x x f x f x f x yf x x x x x α∆→∆→→+∆--∆'====∆∆-_0+0()()f x f x -+''⇔=导数存在1220; (); (sin )cos ; (cos )sin ; (tan )sec ; (cot )csc ;(sec )sec tan ; (csc )csc ; ()ln ;();11(log ); (ln ); (arcsin ) (arccos )ln a a x x x x a C x ax x x x x x x x x x x x x x ctgx a a a e e x x x x x a x -''''''======-''''=⋅=-⋅==''''====222211(arctan ); (cot ); ();();1111(); () ())1x arc x shx hx chx shx x x thx arshx archx arthx ch x x ''''==-==++''''====-2、高阶导数：()()()()!()()!; ()ln ()()!n k n k n n x n x n x n x n x x x n a a a e e n k -=⇒==⇒=-()()()1111(1)!1(1)!1!(); (); ()()()n n n n n n n n n n n x x x a x a a x a x +++--===++-- ()()(sin )sin(); (cos )cos();22n n n n kx k kx n kx k kx n ππ=⋅+⋅=⋅+⋅()1()(1)1(1)!1(1)[ln()]()(1)()n n n n n n nn n a x x a x x x-----+=-⇒==-+ 牛顿-莱布尼兹公式：()()()0()(1)(2)()()()()(1)(1)(1)2!!nn k n k k n k n n n n k k n uv C u v n n n n n k u v nu v u v u v uv k -=---=---+'''=++++++∑3、微分：0()()(); =()();y f x x f x dy o x dy f x x f x dx ''∆=+∆-=+∆∆=⇒⇔⇒连续极限存在收敛有界;=⇔⇔⇒可微可导左导右导连续；⇒不连续不可导第三章微分中值定理与微分的应用1、基本定理()()()(),(,)()()(),(,)()()()F()f b f a f b a a b f b f a f a b F b F a F x x ξξξξξ'-=-∈'-=∈'-=拉格朗日中值定理：柯西中值定理：当时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。
高数二重积分习题解答
2 dy
4y2 f (x, y)dx ；
0
0
0
1 1y2
1
0
(5)
0
y1
1
dy f (x, y)dx dy
1y 2 f (x, y)dx ；
1 0
0
0
(6)
1
x2
3
3 x
dx f (x, y)dy dx 2 f (x, y)dy
0
0
1
0
所属章节：第九章第二节
(5)
sin( x )d
2
dy
y3
sin(
x
)dx
2
(
y
cos1
y
cos
y
2)dy
3cos1 sin1 sin 4 ．
D
y
1
y
y
1
2
所属章节：第九章第二节
难度：二级
12．画出下列各题中的积分区域，并交换积分次序(假定 f(x，y)在积分区域上连续)：
(1)
1
dy
y f (x, y)dx ；
1
4
的面积为
1 4
，在其中1
sin( x2
y2)
1
e4
，而等号不恒成
1
立，故 π I πe4 ．
4
4
所属章节：第九章第一节
难度：二级
7．设
f(x，y)是连续函数，试求极限： lim r 0
1 πr 2
x2 y2 r2
f ( x,
y)d
解答：先用积分中值定理，再利用函数的连续性，即得
lim
D D1
D
D1
栓口水压和水柱充实长度的关系
栓口水压和水柱充实长度的关系栓口水压（Hydraulic Head）和水柱充实长度之间的关系是由Bernoulli方程描述的。
Bernoulli方程是液体流动的基本方程，描述了在流体中的动能、压力和势能之间的平衡。
Bernoulli方程的一般形式如下：
P+1/2ρv2+ρgh=constant
其中：
•P是流体的压力，
•ρ是流体的密度，
•v是流体的速度，
•g是重力加速度，
•h是流体的势能高度。
在一定条件下，如果我们考虑水平管道中的水流，可以简化Bernoulli方程：
P+1/2ρv2=constant
这里，P 是水柱顶端的压力，1/2ρv2是动能。
这个方程告诉我们，当水柱的速度发生变化时，压力也会发生变化。
在水柱充实长度的情况下，如果水流速度增加，动能增加，因此压力会降低，而栓口水压会减小。
反之，如果水流速度减小，压力会增加，栓口水压也会增大。
需要注意的是，这里的关系受到管道内摩擦、粘性和其他因素的影响。
这是一个基本的理论框架，实际应用中可能需要考虑更多的因素。
1 / 1。
重积分应用案例
重积分与微分几何、偏微分方程等数学分支有着密切的联系。未来可以 加强这些领域之间的交叉研究，以推动重积分理论的深入发展和应用拓 展。
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其他物理量如流量、压力等计算
流量计算
在流体力学中，流量是单位时间内通过某一 截面的流体体积。对于连续分布的流体，如 管道中的水流或气流，流量可以通过重积分 来计算。即对每个小微元的流速与其截面面 积的乘积进行积分。
压力计算
在静力学中，压力是垂直作用于单位面积上 的力。对于连续分布的物体，如液体中的压 力分布或固体中的应力分布，可以通过重积 分来计算。即对每个小微元的压力与其作用 面积的乘积进行积分。
02
重积分计算方法
直角坐标系下重积分
投影法
将重积分区域投影到某一坐标平面上 ，通过对投影区域进行单重积分来计 算重积分。
截面法
通过垂直于某一坐标轴的平面将重积 分区域切割成若干个小区域，对每个 小区域进行单重积分后再求和。
极坐标系下重积分
极坐标变换
将直角坐标系下的重积分通过极坐标变换转化为极坐标系下的重积分，简化计算 过程。
流速场描述
利用重积分对流速场进行建模，了解流体在空间中的速度分布情 况。
压力场描述
通过重积分描述压力场，掌握流体内部压力变化规律。
流体动力学分析
结合流速场和压力场信息，对流体动力学问题进行分析，如流体 流动、传热、传质等。
控制系统中系统稳定性和性能评估
系统稳定性分析
利用重积分对控制系统稳定性进 行评估，判断系统是否能在受到 扰动后恢复到平衡状态。
激发学习兴趣和动力
通过介绍有趣的重积分应用案例，激发读者对重积分学习的兴趣和动力，提高 学习效果。
液体压力的三种计算公式
液体压力的三种计算公式
液体压力的计算公式取决于液体的密度、重力加速度以及液体所处深度等因素。
以下是三种液体压力的常见计算公式：
1. 压力 = 密度×重力加速度×液体深度
这个公式适用于液体静止或处于恒定的情况下。
其中，压力是单位面积上的力，密度是液体的质量单位体积，重力加速度是指在地球上的重力加速度（约为9.8 m/s²），液体深度是指相对于液体表面的垂直距离。
2. 压力 = 密度×重力加速度×液体高度
当液体处于一个封闭容器中，并且容器的底部面积为A 时，可以使用这个公式来计算液体压力。
其中，密度是液体的质量单位体积，重力加速度是指在地球上的重力加速度（约为9.8 m/s²），液体高度是指液体柱的高度。
3. 压力 = 压力差 / 液体柱的高度
当液体柱的两端存在不同的压力时，可以使用这个公式来计算液体压力。
其中，压力差是液体柱两端的压力差值，液体柱的高度是指液体柱的垂直高度。
需要注意的是，以上公式只适用于理想情况下的液体压力计算，并且在实际应用中可能需要考虑其他因素，如温度、表面张力等。
二重积分的生活应用
二重积分的生活应用
二重积分是微积分中的重要概念，它在生活中有着广泛的应用。
从工程建设到经济学模型，二重积分都扮演着重要的角色。
在这篇文章中，我们将探讨二重积分在生活中的应用，并且展示它是如何影响我们的日常生活的。
首先，二重积分在工程建设中有着重要的应用。
在建筑设计中，工程师需要计算建筑物的质量、重心和稳定性。
通过使用二重积分，他们可以计算出建筑物的质心位置，从而确保建筑物的稳定性。
此外，在土木工程中，二重积分也被用来计算土地的密度和压力分布，以确保建筑物的安全性。
其次，二重积分在地理学和环境科学中也有着重要的应用。
地理学家可以使用二重积分来计算地球表面的面积和体积，从而帮助他们理解地球的形状和结构。
同时，环境科学家可以利用二重积分来分析污染物在大气和水体中的扩散和分布，以及预测其对环境的影响。
此外，二重积分在经济学和市场分析中也扮演着重要的角色。
经济学家可以使用二重积分来计算市场需求和供给曲线下的总收入和总成本，从而帮助他们预测市场的发展趋势。
同时，市场分析师也可以利用二重积分来分析商品的价格和销量之间的关系，以及预测未来的市场走势。
总之，二重积分在生活中有着广泛的应用，从工程建设到环境科学，再到经济学和市场分析，它都扮演着重要的角色。
通过使用二重积分，我们可以更好地理解和预测世界的运行规律，从而为我们的生活带来更多的便利和可能性。
希望未来二重积分的应用能够继续发展，为我们的生活带来更多的创新和进步。
注册公用设备工程师（给水排水）执业资格考试专业考试大纲
附件1：注册公用设备工程师（给水排水）执业资格考试专业考试大纲1．给水工程1.1 给水系统给水系统了解给水系统分类、组成和布置了解给水系统分类、组成和布置掌握设计供水量计算掌握设计供水量计算掌握给水系统的流量关系，水压关系掌握给水系统的流量关系，水压关系1.2 输配水输配水掌握输水管渠、配水管网布置及流量计算掌握输水管渠、配水管网布置及流量计算掌握输水管渠、配水管网水力计算掌握输水管渠、配水管网水力计算了解管网技术经济比较了解管网技术经济比较熟悉给水管管材、管网附件和附属构筑物选择熟悉给水管管材、管网附件和附属构筑物选择熟悉给水泵站设计熟悉给水泵站设计1.3 取水取水了解水资源状况及水源选择了解水资源状况及水源选择熟悉地下水取水构筑物构造和设计要求熟悉地下水取水构筑物构造和设计要求掌握江河特征及取水构筑物选择和设计掌握江河特征及取水构筑物选择和设计1.4 给水处理给水处理了解水源水质指标和给水处理方法了解水源水质指标和给水处理方法掌握混凝及混合、絮凝设备设计掌握混凝及混合、絮凝设备设计掌握沉淀、澄清处理构筑物设计掌握沉淀、澄清处理构筑物设计掌握过滤处理构筑物设计掌握过滤处理构筑物设计熟悉氯消毒工艺及其它消毒方法熟悉氯消毒工艺及其它消毒方法熟悉地下水除铁除锰工艺设计熟悉地下水除铁除锰工艺设计了解饮用水深度处理技术了解饮用水深度处理技术掌握水的软化与除盐工艺设计掌握水的软化与除盐工艺设计熟悉自来水厂设计熟悉自来水厂设计1.5 循环水的冷却和处理循环水的冷却和处理了解冷却构筑物的类型及工艺构造了解冷却构筑物的类型及工艺构造熟悉冷却塔热力计算方法熟悉冷却塔热力计算方法掌握循环冷却水水质特点、处理方法及补充水量计算掌握循环冷却水水质特点、处理方法及补充水量计算掌握循环冷却水系统设计掌握循环冷却水系统设计2．排水工程2.1 排水系统排水系统了解污水的分类及排水工程任务了解污水的分类及排水工程任务掌握排水体制、系统组成及布置形式掌握排水体制、系统组成及布置形式熟悉排水系统规划设计熟悉排水系统规划设计2.2 排水管渠排水管渠掌握污水管渠设计流量计算与系统设计掌握污水管渠设计流量计算与系统设计掌握雨水管渠设计流量计算与系统设计掌握雨水管渠设计流量计算与系统设计掌握合流制管渠设计流量计算与系统设计及旧系统改造 掌握合流制管渠设计流量计算与系统设计及旧系统改造熟悉排水管渠材质、敷设方式和附属构筑物选择熟悉排水管渠材质、敷设方式和附属构筑物选择了解排水管渠系统的管理和养护了解排水管渠系统的管理和养护熟悉排水泵站设计熟悉排水泵站设计2.3 城镇污水处理城镇污水处理了解污水的污染指标和处理方法了解污水的污染指标和处理方法掌握污水的物理处理法处理设备选择和设计掌握污水的物理处理法处理设备选择和设计掌握污水的活性污泥法处理系统工艺设计掌握污水的活性污泥法处理系统工艺设计掌握污水的生物膜法处理工艺设计掌握污水的生物膜法处理工艺设计熟悉污水的厌氧生物处理工艺设计熟悉污水的厌氧生物处理工艺设计掌握污水的生物除磷脱氮工艺设计掌握污水的生物除磷脱氮工艺设计熟悉污水的深度处理和利用技术熟悉污水的深度处理和利用技术熟悉城镇污水处理厂设计熟悉城镇污水处理厂设计2.4 污泥处理污泥处理了解污泥的分类、性质和处理方法了解污泥的分类、性质和处理方法掌握污泥的浓缩及脱水方法掌握污泥的浓缩及脱水方法熟悉污泥的稳定与消化池设计熟悉污泥的稳定与消化池设计熟悉污泥的最终处置方法熟悉污泥的最终处置方法2.5 工业废水处理工业废水处理了解工业废水的水质特点和处理方法了解工业废水的水质特点和处理方法熟悉工业废水的物理、化学和物理化学法处理设计计算 熟悉工业废水的物理、化学和物理化学法处理设计计算3．建筑给水排水工程3.1 建筑给水建筑给水了解给水系统分类、组成及给水方式了解给水系统分类、组成及给水方式掌握给水设计流量计算与给水系统设计掌握给水设计流量计算与给水系统设计掌握给水系统升压、贮水设备选择计算掌握给水系统升压、贮水设备选择计算掌握节水和防水质污染措施掌握节水和防水质污染措施熟悉给水管道布置、敷设及管材、附件选用熟悉给水管道布置、敷设及管材、附件选用熟悉游泳池水给水系统设计熟悉游泳池水给水系统设计熟悉游泳池水循环水净化处理工艺设计熟悉游泳池水循环水净化处理工艺设计3.2 建筑消防建筑消防了解灭火设施设置场所火灾危险等级及灭火系统选择 了解灭火设施设置场所火灾危险等级及灭火系统选择掌握消防用水量计算掌握消防用水量计算掌握消火栓系统设计掌握消火栓系统设计掌握自动喷水灭火系统设计掌握自动喷水灭火系统设计熟悉水喷雾灭火系统设计熟悉水喷雾灭火系统设计了解建筑灭火器及其他非水消防系统设计了解建筑灭火器及其他非水消防系统设计3.3 建筑排水建筑排水了解排水系统分类、组成及排水体制选择了解排水系统分类、组成及排水体制选择掌握污水排水管道设计流量计算与系统设计掌握污水排水管道设计流量计算与系统设计掌握屋面雨水排水工程设计流量计算与系统设计掌握屋面雨水排水工程设计流量计算与系统设计了解排水管道系统中水气流动规律了解排水管道系统中水气流动规律熟悉污水、废水局部处理设施选择计算熟悉污水、废水局部处理设施选择计算熟悉排水管道布置、敷设及管材、附件选用熟悉排水管道布置、敷设及管材、附件选用3.4 建筑热水建筑热水掌握热水供应系统的分类、组成及供水方式掌握热水供应系统的分类、组成及供水方式掌握热水用量、耗热量和热媒耗量计算掌握热水用量、耗热量和热媒耗量计算掌握热水加热、贮热设备及安全设施的选择计算掌握热水加热、贮热设备及安全设施的选择计算掌握热水供应系统管网水力计算掌握热水供应系统管网水力计算熟悉饮水制备方法及饮水系统设置要求熟悉饮水制备方法及饮水系统设置要求了解热水、饮水管道布置、敷设及管材、附件选用了解热水、饮水管道布置、敷设及管材、附件选用3.5 建筑中水和雨水利用建筑中水和雨水利用掌握中水的水质要求、水量平衡及处理工艺设计掌握中水的水质要求、水量平衡及处理工艺设计熟悉雨水收集、储存及水质处理技术熟悉雨水收集、储存及水质处理技术注册公用设备工程师（给水排水）执业资格考试专业考试规范及设计手册一、规范、规程、标准类执业资格考试适用的规范、规程及标准按时间划分原则：考试年度的试题中所采用的规范、规程及标准均以前一年十月一日前公布生效的规范、规程及标准为准。
用二重积分推导水压力的计算公式
6.3 定积分的物理应用 1
用二重积分推导水压力计算公式
King’s College
a b
这就是计算水压力的定积分公式
四川大学数学学院 徐小湛 June 18, 2012
6.3 定积分的物理应用 10
下面举一个例子来说明以上公式的应用
四川大学数学学院 徐小湛
June 18, 2012
下面用二重积分来计算平板所受水压力
四川大学数学学院 徐小湛
June 18, 2012
6.3 定积分的物理应用 5
如图建立坐标系。
设平板占据的区域为 D，水面高度为 H。
水面 水 D
H
ห้องสมุดไป่ตู้
四川大学数学学院 徐小湛
6.3 定积分的物理应用 8
如果 D {( x , y ) | a y b , g ( y ) x f ( y )}
y
H
水面
b
x=g(y)
a
O
D
x=f(y)
x
四川大学数学学院 徐小湛 June 18, 2012
y
6.3 定积分的物理应用 9
6.3 定积分的物理应用 11
例 一个横放着的圆柱形水桶，桶内盛有半桶 水，设桶的底半径为 R ，水的密度为 ，计算 桶的一端面上所受的压力．
解 如图建立坐标系，D为下半圆域， 水面高度 H=0，则由前面的公式， 水桶一端面所受的压力为：
y
P
g (0 y ) d
浮力公式 内外压力差
浮力公式内外压力差浮力公式是描述物体在液体中受到的浮力的公式。
根据阿基米德原理，浮力的大小等于物体排开的液体的重量，也等于物体在液体中排开的体积乘以液体的密度乘以重力加速度。
浮力公式可以表示为F = ρVg，其中F代表浮力，ρ代表液体的密度，V代表物体排开的体积，g代表重力加速度。
内外压力差是指在液体中或气体中，由于深度或高度的变化所产生的压力差。
在液体中，内外压力差可以通过帕斯卡定律来描述，即在静止的液体中，液体对任何一个物体或容器的压力都是均匀的，且方向是向各个方向均匀的。
因此，液体中的内外压力差可以通过液体的密度、重力加速度和深度来计算。
在气体中，内外压力差也可以通过类似的方式计算，考虑气体的密度、重力加速度和高度的变化。
从物理学角度来看，浮力公式和内外压力差是密切相关的。
液体或气体中的压力差会影响物体所受的浮力大小，因为压力差会影响液体或气体对物体施加的支持力。
因此，在研究物体在液体或气体中的浮力时，需要考虑内外压力差对浮力的影响。
此外，从工程和实际应用的角度来看，浮力公式和内外压力差也具有重要意义。
在设计船只、潜艇等水下设备时，需要考虑水的密度、深度对浮力的影响，以及内外压力差对结构的影响。
在气压计、水压计等仪器中，也需要考虑内外压力差的影响。
因此，深入理解浮力公式和内外压力差对于工程和实际应用具有重要意义。
总的来说，浮力公式和内外压力差是物理学中重要的概念，涉及到液体和气体中物体受力的问题。
从物理学、工程和实际应用的角度来看，对这两个概念的全面理解和应用是非常重要的。
希望以上回答能够满足你的要求。
液体压强公式的推导过程
液体压强公式的推导过程
液体压强是指液体对单位面积的压力，可以通过液体的密度和
深度来计算。
液体压强的公式推导过程如下：
首先，我们知道压强是单位面积上的力，因此液体压强可以表
示为P=F/A，其中P为压强，F为液体对单位面积的力，A为单位面积。
当液体处于重力场中时，液体的压强与液体的密度和深度有关。
根据液体静力学的原理，液体内部的压强随深度的增加而增加。
这
是因为液体内部的各点受到上方液体的压力，随着深度增加，上方
液体对下方液体的压力增加，从而导致液体压强增加。
根据液体静力学的原理，液体压强P与液体的密度ρ、重力加
速度g和液体所在深度h有关。
根据这些因素，我们可以得到液体
压强的公式为P=ρgh，其中ρ为液体的密度，g为重力加速度，h
为液体所在深度。
这个公式的推导过程基于液体静力学的原理，通过分析液体内
部的压力分布，得出了液体压强与液体的密度、重力加速度和深度
之间的关系。
这个公式在物理学和工程学中有着广泛的应用，能够帮助我们理解液体的压力特性，也能够指导工程实践中液体压力的计算和应用。
希望这个回答能够帮助你理解液体压强公式的推导过程。
第六章 定积分的应用
方便.在区域 D 中取一小区域 d ,其面积记为 d , x, y为区
域 d 中的任意一点，则该小区域绕直线 L旋转一周所得环
形体（可以近似看成为横截面为 d ，长度为 2 r(x, y)的柱
体）的体积的近似值为 dV 2 r(x, y)d
其中r(x, y)为点 x, y到直线 L : ax by c 0 的距离，即
水的压强 P gh ,水的压力F =水的压强 P接触面积 S.
二、常考题型及解题方法
1.几何应用
【例1】设 D是由曲线 xy 1 0与直线 y x 0 及 y 2
围成的有界区域，求 D 的面积.
解：把区域 D看成Y-型区域，则 D的面积
2 1
y2 2 3
S
1
y
y
dy
ln
两条直线yd与yc所围成设平面图形的面积为
S
d
c
[右(
y)
左(
y)]dy
(2)极坐标情形
由曲线()及射线 , 围成的图形称为曲边 扇形. 曲边扇形的面积元素为
dS 1 [( )]2 d.
2
曲边扇形的面积为 S 1 [( )]2 d. 2 2.用定积分计算旋转体的体积
旋转体的体积的一般问题是平面区域 D 绕直线 L : ax by c 0 （该直线不穿过区域 D）旋转所得旋转体的体积，记该体积
【答案: 4 ；8 】
33
【例3】设星形线 (1) 它的周长；
x y
a a
cos3 sin3
t t
,
求：
(2)它绕 x 轴旋转而成旋转体的体积和侧面积.
解：(1)周长：L 4 2 x2 y2 dt 4 2 3a sin t costdt 6a sin2 t 2 6a.
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y
H
水面
b
x=g(y) D
a
O
x=f(y)
x
四川大学数学学院 徐小湛
June 18, 2012
y
则平板一侧所受的水压力
H
b
Pg(Hy)d
D
x=g(y) D
a
g
b
dy
f(y)
(Hy)dx
O
a
g(y)
6.3 定积分的物理应用 9源自水面x=f(y)x
g
b
(Hy)[f(y)g(y)]dy
水面 H
水 D
四川大学数学学院 徐小湛
June 18, 2012
6.3 定积分的物理应用 6
下面用元素法来建立水压力的二重积分公式。
在平板的(x,y)处取一个面积元素 d
它到水面的距离是 H y
四川大学数学学院 徐小湛
June 18, 2012
6.3 定积分的物理应用 11
例 一个横放着的圆柱形水桶，桶内盛有半桶
水，设桶的底半径为 R，水的密度为 ，计算
桶的一端面上所受的压力．
解 如图建立坐标系，D为下半圆域，
水面高度 H=0，则由前面的公式，
水桶一端面所受的压力为：
y
Pg(0y)d
6.3 定积分的物理应用 1
用二重积分推导水压力计算公式
hKttipn:g//’
四川大学数学学院 徐小湛
June 18, 2012
6.3 定积分的物理应用 2
作为定积分的物理应用，平板所受 的水压力一般是用定积分来计算。
本课件用二重积分的元素法来推导 水压力的二重积分计算公式。
D
D
这就是计算水压力的二重积分公式
四川大学数学学院 徐小湛
June 18, 2012
6.3 定积分的物理应用 8
如果 D { ( x ,y ) |a y b ,g ( y ) x f ( y ) }
H D
水面
水
(x, y) d
四川大学数学学院 徐小湛
June 18, 2012
6.3 定积分的物理应用 7
所以该面积元素所受到的水压力约为：
dP(H y)gd （压力元素）
其 中 为 水 的 密 度 ， g 为 重 力 加 速 度 。
于是整个平板一侧所受的水压力为：
PdPg(Hy)d
a
Pgb(Hy)[f(y)g(y)]dy a
这就是计算水压力的定积分公式
四川大学数学学院 徐小湛
June 18, 2012
6.3 定积分的物理应用 10
下面举一个例子来说明以上公式的应用
D
g 0 d Rrsinrdr
0
o
x
D
2 gR3 3
同济六版290页，例4
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用二重积分来计算平板的水压力， 有时更方便。
最后，举例加以说明。
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问题：
将一平板垂直地放入水中（如图）， 求平板一侧所受的水压力 P。
6.3 定积分的物理应用 3
水面
水 平板
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6.3 定积分的物理应用 4
下面用二重积分来计算平板所受水压力
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如图建立坐标系。
6.3 定积分的物理应用 5
设平板占据的区域为 D，水面高度为 H。